% Texte de l'expos\'e de J.-P. Demailly (Institut Fourier, Grenoble I)
% \`a la journ\'ee Henri Cartan organis\'ee par la SMF le 14 juin 1997
% Vari\'et\'es projectives hyperboliques et
% \'equations diff\'erentielles alg\'ebriques
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{\tenpointbf #1.}\ {\em #2}\par\vskip 5pt}

\def\dem{\noindent{\em D\'emonstration}}

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% special symbols
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% arrows
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% mathematical operators
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% subscript and superscript operands
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\title{Vari\'et\'es projectives hyperboliques et}
\title{\'equations diff\'erentielles alg\'ebriques}
%\headline={\hfill}
\titlerunning{VARI\'ET\'ES HYPERBOLIQUES ET \'EQUATIONS 
DIFF\'ERENTIELLES ALG\'EBRIQUES}
\medskip

\centerline{\twelvebf Jean-Pierre Demailly}\medskip
\centerline{\twelverm Universit\'e de Grenoble I, Institut Fourier}
\bigskip\bigskip
\noindent
{\em Ces notes sont une version \'etendue d'un expos\'e pr\'esent\'e le 14 
juin 1997 \`a l'occasion de la journ\'ee annuelle de la SMF en l'honneur de 
Henri Cartan, dont une pemi\`ere version est parue 
dans le n${}^\circ\,73$ de la Gazette des math\'ematiciens en juillet 1997,
cf.\ {\rm [Dem97]}.}

\bigskip\bigskip

\section{0. Introduction}

Le but de ce texte est d'offrir une introduction aussi \'el\'ementaire
que possible \`a un r\'esultat important concernant la g\'eom\'etrie
des courbes holomorphes trac\'ees dans les vari\'et\'es alg\'ebriques
complexes. Ce r\'esultat trouve son origine dans les travaux
fondamentaux d'Andr\'e Bloch [Blo26a, 26b], et dans la Th\`ese de Henri
Cartan [Car28]. La d\'emonstration que nous allons pr\'esenter est une
contribution tr\`es r\'ecente de Y.T.~Siu et S.K.~Yeung ([SiYe96b],
[Siu97]).  Elle s'obtient de mani\`ere relativement simple \`a l'aide
d'estimations classiques en th\'eorie de Nevanlinna, comme le lemme de
la d\'eriv\'ee logarithmique, et par l'utilisation d'op\'erateurs
diff\'erentiels tels que les Wronskiens, toutes id\'ees d\'ej\`a
pr\'esentes en germe dans la Th\`ese de Henri Cartan.

Avant de passer \`a des \'enonc\'es d\'etaill\'es, rappelons un peu de
terminologie.  On s'int\'eressera particuli\`erement aux vari\'et\'es
alg\'ebriques dites de {\em type g\'en\'eral}. Rappelons qu'une forme
de type $(p,q)$ sur une vari\'et\'e complexe est une forme
diff\'erentielle $u$ de degr\'e $(p+q)$ admettant dans tout
syst\`eme de coordonn\'ees holomorphes $(z_1\ld z_n)$ une \'ecriture
du type
$$
u=\sum_{|I|=p,|J|=q}u_{IJ}(z_1\ld z_n)\,dz_{i_1}\wedge\ldots\wedge dz_{i_p}
\wedge d\ol z_{j_1}\wedge\ldots\wedge d\ol z_{j_q}.
$$
La somme ci-dessus est \'etendue \`a tous les multi-indices croissants 
$I=(i_1\ld i_p)$, $J=(j_1\ld j_q)$ d'entiers de $\{1,2\ld n\}$. 
On appelle {\em $p$-forme
holomorphe} une forme de type $(p,0)$ ayant tous ses coefficients
holomorphes. Le fibr\'e (ou faisceau $\ldots$) des $p$-formes holomorphes 
sur $X$ est not\'e habituellement $\Omega^p_X$. On appelle {\em section
canonique}, resp.\ {\em section pluricanonique} de $X$ toute section
holomorphe globale du fibr\'e en droites canonique $K_X=\Omega_X^n$, 
resp.\ du fibr\'e en droites $K_X^{\otimes k}$ pour un certain entier $k>0$.
Une section pluricanonique d'ordre~$k$ peut donc s'\'ecrire localement
$h(z_1\ld z_n)(dz_1\wedge\ldots\wedge dz_n)^{\otimes k}$
avec des coefficients holomorphes~$h$. On dit qu'une vari\'et\'e $X$ de 
dimension $n$ est de {\em type g\'en\'eral} si le nombre de sections 
pluricanoniques d'ordre $k$ est de l'ordre de grandeur de $k^n$ quand $k$
tend vers~$+\infty$.

Par exemple si $X$ est une hypersurface lisse dans l'espace projectif
complexe $\bP^{n+1}_\bC$ de dimension $n+1$, d\'efinie par une \'equation
polynomiale
$$
\sigma(z_0,z_1\ld z_{n+1})=0
$$
homog\`ene de degr\'e~$p$, alors toute expression de la forme
$$
u=q(z){\sum_{0\le j\le n+1}(-1)^jz_j\,
dz_0\wedge dz_1\wedge\ldots\widehat{dz_j}\ldots\wedge dz_{n+1}\over d\sigma}
$$
d\'efinit une $n$-forme holomorphe sur $X$ d\`es lors que $q$ est un
polyn\^ome homog\`ene de degr\'e $p-(n+2)$ (en sorte que $u$ est
homog\`ene de degr\'e $0$, i.e.\ invariante par homoth\'etie). Il en r\'esulte
facilement que $X$ est de type g\'en\'eral si $p\ge n+3$. La th\'eorie des
surfaces de Riemann montre de m\^eme qu'une courbe (compacte lisse)
est de type g\'en\'eral si et seulement si elle est de genre au moins $2$,
c'est-\`a-dire n'est ni $\bP^1_\bC$ ni une courbe elliptique. De fa\c{c}on
\'equivalente, une courbe est de type g\'en\'eral si et seulement si elle
peut \^etre munie d'une m\'etrique hermitienne \`a courbure constante
n\'egative; il suffit en effet de prendre la m\'etrique induite par la
m\'etrique de Poincar\'e sur le rev\^etement universel de la courbe, \`a
savoir le disque unit\'e. Cela \'etant, on s'int\'eresse \`a la conjecture
fondamentale suivante, propos\'ee par Green-Griffiths [GrGr80] et Lang
[Lang86, 87].

\claim 0.1. Conjecture|Soit $X$ une vari\'et\'e alg\'ebrique lisse de type
g\'en\'eral. Alors il existe une sous-vari\'et\'e alg\'ebrique propre
$Y\subsetneq X$ telle que toute courbe enti\`ere non constante
$f:\bC\to X$ est contenue dans~$Y$.
\endclaim

Les vari\'et\'es alg\'ebriques consid\'er\'ees ici seront toujours des
vari\'et\'es {\em projectives}, \`a savoir des vari\'et\'es d\'efinies
par un nombre fini d'\'equations polynomiales homog\`enes dans un
espace projectif complexe.  La locution ``courbe enti\`ere''
d\'esignera une courbe holomorphe d\'efinie sur $\bC$ tout entier.
Insistons sur le fait que l'\'enonc\'e de la conjecture inclut le cas
des courbes enti\`eres trans\-cendantes. Si elle \'etait vraie, il en
r\'esulterait que les courbes elliptiques ou rationnelles $C$
trac\'ees dans $X$ sont toutes contenues dans un sous-vari\'et\'e
alg\'ebrique $Y\subsetneq X$
(Rappelons qu'une courbe alg\'ebrique $C\subset X$ est dite
rationnelle, resp.\ elliptique, si sa d\'esingularis\'ee est la droite
projective $\bP^1_\bC$, resp.\ une courbe elliptique, i.e.\ un tore
$\bC/\Lambda$. Dans les deux cas, en effet, on a des applications
holomorphes $f:\bC\to C$ qui couvrent $C$ toute enti\`ere). En
particulier, si $X$ est une surface de type g\'en\'eral, alors $Y$
serait de dimension${}\le 1$, et par cons\'equent $X$ ne devrait avoir
qu'un nombre fini de courbes rationnelles ou elliptiques. Cette
``toute petite'' cons\'equence est encore largement conjecturale, en
d\'epit d'avanc\'ees notables dues \`a Bogomolov [Bog77], Lu-Yau
[LuYa90], Lu-Miyaoka [LuMi95, 96], [Lu96], dans le cas o\`u on pose
certaines conditions num\'eriques sur les classes de Chern de~$X$.

On dit qu'une vari\'et\'e complexe $X$ est {\em hyperbolique au sens de
Brody} si elle n'admet aucune courbe enti\`ere non constante $f:\bC\to
X$ (lorsque $X$ est compacte, Brody [Bro78] a montr\'e que cela \'equivaut
\`a l'hyperbolicit\'e au sens de Kobayashi [Kob70], i.e.\ \`a la non 
d\'eg\'en\'erescence de la pseudo-m\'etrique de Kobayashi). L\`a encore, 
la situation est relativement claire en dimension $1$, une courbe complexe
est hyperbolique si et seulement si son rev\^etement universel est le
disque, en particulier une courbe alg\'ebrique complexe est
hyperbolique si et seulement si elle est de type g\'en\'eral (i.e.\ de
genre au moins~$2$). La situation se complique d\`es la dimension~$2$. 
Ainsi, les {\em surfaces de Fermat} $z_0^p+z_1^p+z_2^p+z_3^p=0$ dans 
$\bP^3_\bC$, qui sont de type g\'en\'eral pour $p\ge 5$, contiennent 
toujours des droites projectives, par exemple les droites d\'efinies par 
$z_1=\zeta z_0$, $z_3=\eta z_2$ avec $\zeta$, $\eta$ racines $p$-i\`emes 
de~$-1$, et ne sont donc pas hyperboliques. S.~Kobayashi a n\'eanmoins
conjectur\'e l'\'enonc\'e suivant [Kob70, KobO75].

\claim 0.2. Conjecture|Pour tout $n$, il existe un entier $d_0(n)$ tel
qu'une hypersurfaces $X$ g\'en\'erique de degr\'e $d$ dans $\bP^{n+1}_\bC$ 
est hyperbolique pour $d\ge d_0(n)$.
\endclaim

La borne optimale attendue est $d_0(n)=2n+1$ (pour le degr\'e $2n$, on
n'a pas g\'en\'eriquement hyperbolicit\'e d'apr\`es Zaidenberg
[Zai87]). Le mot ``g\'en\'erique'' signifie ici qu'on doit omettre un
ensemble alg\'ebrique dans l'espace projectif des coefficients des
polyn\^omes param\'etrisant les hypersurfaces alg\'ebriques de
degr\'e~$d$. La conjecture 0.2 est d\'emontr\'ee \`a l'heure actuelle
seulement pour $n=2$ et pour la propri\'et\'e plus faible
``d'hyperbolicit\'e alg\'ebrique'', \`a savoir la non existence de
courbes rationnelles et elliptiques; ceci se fait au moyen d'un calcul
pr\'ecis du genre des courbes (voir Clemens [Cle86]). Des r\'esultats
d'hyperbolicit\'e au sens analytique du terme ont \'et\'e obtenus
r\'ecemment pour les compl\'ementaires de courbes alg\'ebriques dans
$\bP^2_\bC$, cas un peu plus facile \`a traiter que celui des surfaces
dans $\bP^3_\bC$.  Les premiers r\'esultats obtenus concernent les
compl\'ementaires de courbes ayant au moins $3$ composantes
irr\'eductibles g\'en\'eriques ([DSW92, 94]).  Il y a deux ans,
Siu-Yeung [SiYe96a] ont annonc\'e l'hyperbolicit\'e au sens de
Kobayashi du compl\'ementaire d'une courbe g\'en\'erique de tr\`es
grand degr\'e dans $\bP^2_\bC$, leur borne \'etant de l'ordre
de~$10^{13}$.

L'int\'er\^et \`a l'\'egard les vari\'et\'es hyperboliques tient
principalement au fait qu'on attend de celles-ci des propri\'et\'es
arithm\'etiques de finitude g\'en\'eralisant le th\'eor\`eme de
Mordell-Faltings pour les courbes. Ainsi, Lang a conjectur\'e qu'une
sous-vari\'et\'e alg\'ebrique hyperbolique de l'espace projectif
d\'efinie sur un corps de nombres (c'est-\`a-dire par des polyn\^omes
ayant leurs coefficients dans ce corps) n'admet qu'un nombre fini de
points rationnels. P.~Vojta [Voj87] a formul\'e des conjectures
quantitatives explicites qui devraient permettre de faire le lien
entre la g\'eom\'etrie des vari\'et\'es et leurs propri\'et\'es
arithm\'etiques. Le lecteur pourra aussi consulter [Nog81, 91], [NoOc90] 
\`a ce sujet.

Notre ambition (beaucoup plus modeste ici) est d'abord de faire le lien
entre l'existence des courbes enti\`eres et celle des op\'erateurs 
diff\'erentiels alg\'ebriques globaux sur la vari\'et\'e. Nous suivons
en cela des id\'ees remontant aux travaux originaux de Bloch, \`a la 
lumi\`ere des \'eclaircissements apport\'es cinquante ans plus tard
par Ochiai [Och77], Noguchi [Nog77] et Green-Griffiths [GrGr80].

Si $f:(\bC,0)\to (X,x)$ est un germe de courbe holomorphe tel que $f(0)=x$,
repr\'esent\'e dans des coordonn\'ees locales au voisinage de $X$ par des 
composantes $(f_1\ld f_n)$, on consid\`ere les op\'erateurs diff\'erentiels
alg\'ebriques d'ordre $k$ agissant sur $f$, \`a savoir les op\'erateurs
de la forme
$$
P(f',f''\ld f^{(k)})=\sum_{\alpha_1,\alpha_2\ld \alpha_k\in\bN^n}
a_{\alpha_1\alpha_1\ldots\alpha_k}(f)(f')^{\alpha_1}(f'')^{\alpha_2}
\ldots(f^{(k)})^{\alpha_k},
$$
o\`u les coefficients $a_{\alpha_1\alpha_1\ldots\alpha_k}(z_1\ld z_n)$ sont
holomorphes, et o\`u 
$$
(f^{(i)})^{\alpha_i}=(f^{(i)}_1)^{\alpha_{i,1}}\ldots (f^{(i)}_n)^{\alpha_{i
,n}},\qquad \alpha_i=(\alpha_{i,1}\ld \alpha_{i,n}).
$$
Le degr\'e total d'un tel op\'erateur est le maximum des degr\'es
de ses mon\^omes non nuls, d\'efini comme
$$
|\alpha_1|+2|\alpha_2|+\cdots+k|\alpha_k|,\qquad\hbox{o\`u}\quad
|\alpha_i|=\sum_j\alpha_{i,j}
$$
(on peut voir le degr\'e comme le nombre total de ${}'$ figurant
dans le mon\^ome).  On consid\'erera uniquement des op\'erateurs
diff\'erentiels {\em homog\`enes} en ce sens, et on notera $m$ le
degr\'e commun des mon\^omes. En fait, on a une $\bC^\star$-action sur
les germes de courbes, d\'efinie par reparam\'etrisation lin\'eaire
des germes,
$$
(\lambda\cdot f)(t)=f(\lambda t),\qquad\hbox{$t\in\bC$, $\lambda\in
\bC^\star$},
$$
en sorte que $(\lambda\cdot f)^{(i)}=\lambda^i f^{(i)}(\lambda t)$,
et $P$ est homog\`ene de degr\'e $m$ si on a la relation
$$
P((\lambda\cdot f)',(\lambda\cdot f)''\ld (\lambda\cdot f)^{(k)})
=\lambda^m P(f',f''\ld f^{(k)})
$$
pour tout germe $f$ et tout $\lambda\in\bC^\star$. On notera $E_{k,m}$
le fibr\'e vectoriel holomorphe dont les sections sont les op\'erateurs
diff\'erentiels alg\'ebriques d'ordre $k$ et de degr\'e~$m$, \`a valeurs
scalaires. De m\^eme, si $V$ est un fibr\'e vectoriel sur $X$, on peut
consid\'erer les op\'erateurs diff\'erentiels $P(f'\ld f^{(k)})$ de degr\'e
$m$ \`a valeurs dans $V$ comme \'etant les sections de $E_{k,m}\otimes V$.

Nous aurons encore besoin de la notion de {\em courbure} d'un fibr\'e 
en droites holomorphe hermitien $(L,h)$. Si $(L,h)$ est un tel fibr\'e 
sur $X$ et $L_{|U}\build\lra|\simeq||U\times\bC$, $L_x\ni \xi\mapsto
(x,\xi/\eta)$ une trivialisation donn\'ee par une section holomorphe
locale non nulle $\eta$ du fibr\'e, la norme hermitienne 
sur $L_x$ est donn\'ee par une expression de la forme 
$$
\Vert \xi\Vert_h^2=|\xi/\eta(x)|^2\Vert\eta(x)\Vert^2_h
=|\xi/\eta(x)|^2e^{-\varphi(x)}
$$
avec $\varphi(x)=-\log\Vert\eta(x)\Vert^2_h$. La fonction
$\varphi$ est une fonction r\'eelle de classe $C^\infty$ sur $U$ qu'on
appelle {\em poids} de la m\'etrique~$h$ relativement
\`a~$\eta$. La courbure de la m\'etrique $h$ est par
d\'efinition la forme r\'eelle de type $(1,1)$
$$
\Theta_h(L)={i\over 2\pi}\ddbar\varphi={i\over 2\pi}\sum_{1\le j,k\le n}
{\partial^2\varphi\over\partial z_j\partial\ol z_k}dz_j\wedge d\ol z_k,
$$
qui est ind\'ependante du choix de la section~$\eta$.
On dit que cette courbure est positive si la matrice hermitienne
$(\partial^2\varphi/\partial z_j\partial\ol z_k)$ est d\'efinie
positive en tout point. Dans ce contexte, on a le th\'eor\`eme
d'annulation fondamental suivant, \'enonc\'e par Green et Griffiths
[GrGr80].

\claim 0.3. Th\'eor\`eme|Soit $X$ une vari\'et\'e alg\'ebrique
projective et $f:\bC\to X$ une courbe enti\`ere non constante. Alors
on a $P(f'\ld f^{(k)})\equiv 0$ pour tout op\'erateur diff\'erentiel
alg\'ebrique $P$ \`a valeurs dans le dual $L^\star$ d'un fibr\'e
holomorphe en droite \`a courbure positive sur~$X$ $($c'est-\`a-dire
pour toute section globale $P\in H^0(X,E_{k,m}\otimes L^\star))$.
\endclaim

Le point essentiel (que nous ne v\'erifierons ici que sur quelques
exemples, voir \S$\,$5) est qu'une surface $X$ de type g\'en\'eral
poss\`ede toujours beaucoup de tels op\'erateurs~$P$, la dimension de
l'espace des op\'erateurs $P$ globaux pouvant \^etre \'evalu\'ee \`a
partir de la formule de Riemann-Roch$\,$; on a en fait la formule
g\'en\'erale suivante, d\^ue \`a Green-Griffiths [GrGr80]: pour tout fibr\'e 
en droites $L$ sur $X$, la caract\'erisque d'Euler-Poincar\'e $\chi(X,
E_{k,m}\otimes L^{-1})=\sum(-1)^q\dim H^q(X,E_{k,m}\otimes L^{-1})$
admet une estimation
$$
\chi(X,E_{k,m}\otimes L^{-1})={m^{n+kn-1}\over (k!)^n(n+kn-1)!}
\big((-1)^nc_1^n(\log k)^n-O\big((\log k)^{n-1}\big)\big)
+O(m^{n+kn-2}),
$$
lorsque $m\gg k\gg 1$, o\`u $c_i=c_i(X)$ d\'esignent les classes de Chern de 
$X$, \hbox{$n=\dim X$}, et les $O(...)$ sont des expressions polynomiales en 
les classes de Chern. Par ailleurs, un th\'eor\`eme d'annulation d\^u \`a
Bogomolov [Bog79] montre que 
$$
H^2(X,E_{k,m}\otimes L^{-1})=0\qquad\hbox{pour $m\gg k\gg 1$},
$$
lorsque $X$ est une surface, de sorte que l'estimation pr\'ec\'edente
pour la caract\'eristique d'Euler donne aussi une minoration pour
le~$H^0$.

Il en r\'esulte qu'une courbe enti\`ere $f$ trac\'ee sur une surface $X$ de
type g\'en\'eral est n\'ecessairement une courbe int\'egrale d'une certaine
\'equation diff\'erentielle alg\'ebrique sur~$X$. Pour achever la preuve de
la conjecture 0.1 dans le cas des surfaces, il reste encore un point a
priori tr\`es d\'elicat \`a prouver, qui serait de montrer la finitude du
nombre de trajectoires ayant un rev\^etement universel de type conforme
$\bC$ ou~$\bP^1_\bC$. On y parvient effectivement dans quelques cas
tr\`es particuliers, mais le probl\`eme g\'en\'eral est compl\`etement ouvert.

Le sch\'ema de preuve sugg\'er\'e dans [GrGr80] pour le th\'eor\`eme~0.3
est malheureusement incomplet. Il a fallu attendre ces 2 derni\`eres
ann\'ees pour voir appara\^{\i}tre des preuves convaincantes.
L'un de nos principaux objectifs sera de pr\'esenter une telle preuve,
due \`a Y.T.~Siu et S.K.~Yeung (voir [SiYe96a], [Siu97]); une preuve
enti\`erement diff\'erente d'un r\'esultat un peu moins fort mais suffisant
pour les applications a aussi \'et\'e obtenue dans [Dem95].

Comme application, nous obtenons des exemples explicites de surfaces 
alg\'ebriques hyperboliques de tr\`es bas degr\'e, am\'eliorant ainsi
des r\'esultats obtenus successivement par Brody-Green [BrGr77] et
Nadel [Nad89]. L'id\'ee est d'appliquer le th\'eor\`eme d'annulation
0.3 dans le cas des {\em op\'erateurs wronskiens}. L'\'enonc\'e qui suit
est d\^u ind\'ependamment \`a [SiYe96b] et [DeEG97] (voir aussi [EG96]).

\claim 0.4. Th\'eor\`eme|La surface alg\'ebrique lisse $X\subset\bP^3_\bC$
d\'efinie par 
$$
X=\{z^p_0 + z^p_1 + z^p_2 + z^{p-2}_3 (\varepsilon _0 z^2_0 +
\varepsilon _1 z^2_1 + \varepsilon _2 z^2_2 + z^2_3)=0\}
$$
est hyperbolique pour des valeurs g\'en\'eriques des constantes
$\varepsilon_j$ et pour tout degr\'e $p\ge 11$.
\endclaim

Le plan de cet article est le suivant: apr\`es quelques rappels de
notions de base sur la th\'eorie de Nevanlinna au \S$\,1,\,2,\,3$, nous
d\'emontrons le th\'eor\`eme fondamental 0.3 au \S$\,$4. La section
\S$\,$4 d\'ecrit un peu de g\'eom\'etrie des connexions m\'eromorphes,
en vue de la construction de ``bons'' op\'erateurs wronskiens. Les
deux derni\`eres sections illustrent l'utilisation du th\'eor\`eme
fondamental et d\'etaillent la construction de surfaces hyperboliques 
explicites poss\'edant de tels op\'erateurs wronskiens.

L'auteur remercie vivement la SMF de lui avoir donn\'e l'occasion de
rendre hommage \`a Monsieur Henri Cartan par cet expos\'e, pr\'esent\'e
devant un large auditoire.

\section{1. Notions de base de la th\'eorie de Nevanlinna}

Soit $\omega=i\sum_{j,k}\omega_{jk}(z)\,dz_j\wedge d\ol z_k$ une
$(1,1)$-forme de classe $C^\infty$ sur une vari\'et\'e complexe
compacte~$X$. On supposera que $\omega$ est {\em d\'efinie positive}, 
c'est-\`a-dire que la matrice hermitienne $(\omega_{jk}(z))$ est 
d\'efinie positive en chaque point. Suivant les besoins, on consid\`erera
un tel objet ou bien comme une $2$-forme sur $X$ ou bien comme 
une m\'etrique hermitienne sur le fibr\'e tangent $T_X$. Rappelons que 
la m\'etrique $\omega$ est dite {\em k\"ahl\'erienne} si $d\omega=0$.

\'Etant donn\'e une courbe enti\`ere $f:\bC\to X$, {\em l'indicatrice de
croissance} de $f$ est la fonction $T_{f,\omega}$ telle que
$$
T_{f,\omega}(r)=\int_{r_0}^rt_f(\rho){d\rho\over\rho},\qquad
t_{f,\omega}(\rho)=\int_{D(0,\rho)}f^\star\omega,
\leqno(1.1)
$$
o\`u $t_{f,\omega}(\rho)$ n'est autre que l'aire par rapport \`a $\omega$
de l'image $f(D(0,\rho))$ du disque de centre $0$ et de rayon $\rho$
dans~$\bC$. Si on s'int\'eresse seulement \`a l'ordre de grandeur
$O\big(T_{f,\omega}(r)\big)$ quand $r$ tend vers $+\infty$ (\`a des
constantes multiplicatives pr\`es), il est clair que cet ordre de
grandeur est ind\'ependant du choix de la m\'etrique $\omega$. Notons
d\`es \`a pr\'esent que la limite $\lim_{r+\infty}T_{f,\omega}(r)/\log r$
est \'egale \`a l'aire totale $A=\int_\bC f^\star\omega$, de sorte
que $T_{f,\omega}(r)\sim A\log r$ si $A<+\infty$. On verra plus loin que 
la finitude de l'aire caract\'erise les courbes $f$ qui sont 
{\em alg\'ebriques}.

Notons que si $f:\bC\to X$ est une {\em courbe de Brody}, c'est-\`a-dire une
courbe ayant une d\'eriv\'ee $\Vert f\Vert_\omega\le C$ born\'ee,
alors $t_{f,\omega}(r)\le \pi C r^2$ et $T_{f,\omega}(r)\le {\pi\over
  2}C r^2$.  De mani\`ere g\'en\'erale, on dit que la courbe $f$ a une
{\em croissance d'ordre $\alpha$} si pour tout $\varepsilon>0$ on a
une majoration $t_{f,\omega}(r)\le C_\varepsilon
r^{\alpha+\varepsilon}$ (ou, ce qui revient au m\^eme, 
$T_{f,\omega}(r)\le C'_\varepsilon r^{\alpha+\varepsilon}$). 
Il est facile de voir qu'une courbe non
constante $f:\bC\to X=\bC^n/\Lambda$ trac\'ee dans un tore complexe
a une croissance d'ordre au moins $2\,$; en effet la simple connexit\'e 
de $\bC$
implique l'existence d'un rel\`evement $\wt f:\bC\to\bC^n$ et l'aire
euclidienne de $\wt f$ est donn\'ee par l'int\'egrale
$$
t_{f,\omega}(r)=\int_{D(0,r)}|\wt f'(z)|^2d\lambda(z)\ge\pi r^2|\wt f'(0)|^2
$$
($\lambda={}$mesure de Lebesgue). Une estimation au plus
quadratique de cette int\'egrale implique facilement par
l'in\'egalit\'e de moyenne que la d\'eriv\'ee $\wt f'$ est born\'ee,
donc \hbox{$\smash{\wt f}(t)=at+b$} d\'ecrit une droite affine complexe.
Inversement,
le th\'eor\`eme de reparam\'e\-trisation de Brody [Bro78] garantit l'existence
d'une courbe enti\`ere non constante \`a d\'eriv\'ee born\'ee d\`es
lors qu'il existe une courbe enti\`ere non constante, et on peut donc
ainsi se ramener \`a des courbes d'ordre au plus~$2$.

On s'int\'eresse particuli\`erement au cas o\`u $\omega=\Theta_h(L)$ est la
forme de courbure d'un fibr\'e en droites hermitien $(L,h)$ \`a courbure
positive sur $X$. Dans ce cas, on peut voir que, \`a des {\em constantes 
additives pr\`es}, la taille de $T_{f,\omega}(r)$ quand $r\to+\infty$
ne d\'epend pas du choix de la m\'etrique $h$. Il suffit pour cela d'utiliser
la {\em formule de Jensen} d'une variable complexe, sous la forme 
$$
\int_{r_0}^r{d\rho\over\rho}\int_{D(0,\rho)}{i\over \pi}\ddbar v=
{1\over 2\pi}\int_0^{2\pi} v(re^{i\theta})d\theta-
{1\over 2\pi}\int_0^{2\pi} v(r_0e^{i\theta})d\theta,
\leqno(1.2)
$$
vraie pour toute fonction $v$ dont le laplacien $i\ddbar v$ est une mesure
r\'eelle (i.e.\ une fonction qui est la diff\'erence de deux fonctions
sous-harmoniques) : la d\'emonstration de $(1.2)$ est une cons\'equence 
directe de la formule de Stokes. Si \hbox{$h_1=he^{-\psi}$} est une 
autre m\'etrique
hermitienne sur $L$, alors son poids $\varphi_1$ est tel que
$\varphi_1=\varphi+\psi$, par suite
$$
\omega_1=\Theta_{h_1}(L)=\Theta_h(L)+{i\over 2\pi}\ddbar\psi.
$$
Comme la fonction $\psi$ est born\'ee sur $X$ par compacit\'e, on
voit que le terme $f^\star\ddbar\psi=\ddbar\psi\circ f$ dans
$T_{f,\omega_1}$ s'exprime \`a l'aide de moyennes de $v=\psi\circ f$ 
sur des cercles, quantit\'es qui restent born\'ees ind\'ependamment
de~$r$, de sorte que $T_{f,\omega_1}(r)=T_{f,\omega}(r)+O(1)$.

\claim 1.3. Exemple|{\rm L'exemple fondamental est celui de l'espace
projectif $\bP_\bC^n$ avec son fibr\'e en droites canonique $\cO(1)$
(par d\'efinition $\cO(-1)$ est le fibr\'e dont la fibre au dessus
d'un point de $\bP^n_\bC$ est la droite correspondante de $\bC^{n+1}$,
$\cO(1)$ est son dual, et $\cO(k)$, $k\in\bZ$, est le fibr\'e en
droites obtenu en prenant la puissance tensorielle $k$-i\`eme). Si
$[z]=[z_0:z_1:\ldots:z_n]\in\bP^n_\bC$, alors la fibre $\cO(-1)_{[z]}$
est $\bC z$. On munit ce fibr\'e de la m\'etrique hermitienne induite
par la m\'etrique hermitienne canonique $|z|^2=\sum|z_j|^2$ de
$\bC^{n+1}$. Si $\xi\in\cO(1)_{[z]}=(\bC z)^\star$, la m\'etrique
duale est donn\'ee par
$$
\Vert\xi\Vert^2_{\rm can}={|\xi\cdot z|^2\over |z|^2}.
\leqno(1.4)
$$
Sur la carte affine $z_0\ne 0$ de $\bP^n_\bC$, on a des coordonn\'ees locales
holomorphes $(\zeta_1\ld\zeta_n)=(z_1/z_0\ld z_n/z_0)$, et une section
trivialisante $\eta:[z]\mapsto(1,z_1/z_0\ld z_n/z_0)$ de $\cO(-1)$. 
Il en r\'esulte que le poids (resp.\ la courbure) de la m\'etrique 
canonique de $\cO(1)$ dans cette carte est
$$
\eqalign{
&\varphi([z])=-\log\Vert\eta^\star([z])\Vert^2=
\log\Vert\eta([z])\Vert^2=
\log(1+|\zeta_1|^2+\cdots+|\zeta_n|^2),\cr
&\omega=\Theta_{\rm can}(\cO(1))=
{i\over 2\pi}\ddbar
\log(1+|\zeta_1|^2+\cdots+|\zeta_n|^2)={i\over 2\pi}\ddbar\log|z|^2.\cr}
$$
Un calcul facile montre que $\omega$ est bien une forme hermitienne 
positive sur $\bP^n_\bC$ (c'est \`a constante multiplicative pr\`es l'unique
m\'etrique invariante sous l'action du groupe unitaire $U(n+1)$, dite 
``m\'etrique de Fubini-Study''). Toute courbe holomorphe
$f:\bC\to\bP^n_{\bC}$ peut \^etre relev\'ee en une courbe holomorphe
$\wt f=(f_0\ld f_n):\bC\to\bC^{n+1}\ssm\{0\}$, et on a alors la formule
$$
t_{f,\omega}(\rho)=\int_{D(0,\rho)}{i\over 2\pi}\ddbar\log(|f_0|^2
+|f_1|^2+\cdots+|f_n|^2).
\leqno(1.5)
$$
En particulier, toute courbe $f:\bC\to\bP^1_\bC=\bC\cup\{\infty\}$ peut \^etre
vue comme une fonction m\'eromorphe sur $\bC$, donn\'ee par
$t\mapsto[1:f(t)]$ en coordonn\'ees homog\`enes, et
$$
t_{f,\omega}(\rho)=\int_{D(0,\rho)}{i\over 2\pi}\ddbar\log(1+|f|^2)=
\int_{D(0,\rho)}{|f'(t)|^2\over(1+|f(t)|^2)^2}{i\,dt\wedge d\ol t\over 2\pi}.
\eqno\square
$$}
\endclaim

Il nous sera utile de savoir comparer l'indicatrice de croissance d'une
courbe enti\`ere $f:\bC\to X$ avec celle de son image $u\circ f$ par
une application m\'eromorphe (rationnelle) $u:X\dashto Y$
dans une autre vari\'et\'e projective.

\claim 1.6. Lemme|Soit $u:X\dashto Y$ une application rationnelle entre
vari\'et\'es projectives, et soient $\omega$, $\omega'$ des m\'etriques
hermitiennes sur $X$ et $Y$ respectivement. Il existe une constante $C>0$
telle que pour toute courbe enti\`ere $f:\bC\to X$ non contenue dans le lieu
d'ind\'etermination de $u$ on ait
$$
T_{u\circ f,\omega'}(r)\le C\,T_{f,\omega}(r)+O(1)
$$
$($la constante $O(1)$ pouvant d\'ependre de $f)$.
\endclaim

\dem. On peut supposer que $X,\,Y$ sont plong\'ees dans des espaces projectifs
$\bP_\bC^N$, $\bP_\bC^{N'}$ et que $\omega$, $\omega'$ sont les restrictions 
des m\'etriques de Fubini-Study respectives. Alors, si $(u_0,u_1\ld
u_{N'})$ sont des fonctions rationnelles de degr\'e $0$ sur $\bP_\bC^N$ 
qui d\'efinissent $u$ en restriction \`a~$X$, et si $u_j=p_j/q$ est une 
r\'eduction des $u_j$ au m\^eme d\'enominateur, on obtient
$$
u^\star\omega'={i\over2\pi}\ddbar\log(|u_0|^2+|u_1|^2+\cdots+
|u_{N'}|^2)={i\over2\pi}\ddbar\log(|p_0|^2+|p_1|^2+\cdots+
|p_{N'}|^2)
$$
(l'\'egalit\'e \'etant valable seulement en dehors du lieu d'ind\'etermination
de~$u$). Soit $m$ le degr\'e commun des polyn\^omes $p_j$. On peut
\'ecrire
$$
u^\star\omega'=m\,\omega+{i\over 2\pi}\ddbar\psi
$$
o\`u $\psi(z)=\log\sum(|p_j(z)|^2/|z|^{2m})$ est une fonction major\'ee 
sup\'erieurement sur $\bP^N_\bC$ (par une certaine constante $K$ ne d\'ependant
que des coefficients des~$p_j$). On a donc $(u\circ f)^\star\omega'=
m\,f^\star\omega+{i\over 2\pi}\ddbar(\psi\circ f)$, et une application 
de la formule de Jensen \`a $v=\psi\circ f$ montre que
$$
\eqalignno{T_{u\circ f,\omega'}(r)
&=m\,T_{f,\omega}(r)+{1\over 2\pi}\int_0^{2\pi} v(re^{i\theta})d\theta-
{1\over 2\pi}\int_0^{2\pi} v(r_0e^{i\theta})d\theta\cr
&\le m\,T_{f,\omega}(r)+K-{1\over 2\pi}\int_0^{2\pi} v(r_0e^{i\theta})d\theta.
&\square\cr}
$$

\claim 1.7. Corollaire|L'aire $A=\int_\bC f^\star\omega=\limsup
T_{f,\omega}(r)/\log r$ est finie si et seulement si $f$ admet une 
factorisation sous la forme $f=g\circ R$ o\`u $R\in\bC(z)$ est
une fonction rationnelle $($vue comme fonction
$\bC\to\bP^1_\bC)$ et $g:\bP^1\to C\subset X$ une courbe rationnelle
de~$X$.
\endclaim

\dem. La condition est suffisante, car si $\omega_1$ est la m\'etrique
de Fubini-Study sur $\bP^1_\bC$, on a $\int_{\smash{\bP^1_\bC}}\omega_1=1$
et $\int_{\smash{\bP^1_\bC}}R^\star\omega_1=d$ o\`u $d$ est le degr\'e de~$R$
(sup des degr\'es du num\'erateur et d\'enominateur de~$R$). On peut
alors d'appliquer le lemme 1.6 pour voir que 
$$
\limsup_{r\to+\infty}{T_{f,\omega}(r)\over \log r}
=\limsup_{r\to+\infty}{T_{g\circ R,\omega}(r)\over \log r}
\le C\limsup_{r\to+\infty}{T_{R,\omega_1}(r)\over \log r}
<+\infty.
$$
Inversement, supposons $A<+\infty$. Si $X=\bP^1_\bC$, la conclusion est 
imm\'ediate. En effet, $f$ peut \^etre vue comme une fonction m\'eromorphe
sur $\bC\,$; si $f$ n'est pas une fraction rationnelle, le th\'eor\`eme
de Picard montre que $f$ rev\^et une infinit\'e de fois $\bP^1_\bC$ \`a
l'exception d'au plus $2$ points, d'o\`u $\int_\bC f^\star\omega_1=+\infty$. 
En g\'en\'eral, soit $X$ une vari\'et\'e de dimension $n$ quelconque plong\'ee 
dans un espace projectif $\bP^N_\bC$ avec sa m\'etrique de 
Fubini-Study~$\omega$. Quitte \`a bien choisir les coordonn\'ees,
on peut supposer que la courbe enti\`ere $f$
n'est contenue dans aucun des hyperplans $z_j=0$. Soit $\smash{\wt f}=
(f_0,f_1\ld f_N)$ un rel\`evement de $f$ \`a $\bC^{N+1}$. Alors
$f_j/f_0=u_j\circ f$ o\`u $u_j:\bP^N_\bC\dashto\bP^1_\bC$ est l'application
rationnelle $[z]\mapsto z_j/z_0$. L'hypoth\`ese que l'aire d\'ecrite par $f$
soit finie entra\^{\i}ne que l'aire d\'ecrite par les $u_j\circ f$ est finie,
de sorte que $F_j=f_j/f$ est une fonction rationnelle. Il suffit alors de
factoriser $F_j=g_j\circ R$ en sorte que $g=(1,g_1\ld g_N):\bP^1_\bC\to
X$ d\'efinisse une application g\'en\'eriquement injective.\square

\section{2. Le premier th\'eor\`eme fondamental de Nevanlinna}

On cherche ici \`a d\'enombrer les incidences de la courbe $f:\bC\to X$
avec une hypersurface $H=\{\sigma(x)=0\}\subset X$ d\'efinie par une section
globale $\sigma$ de $L$. On regarde pour cela la fonction holomorphe
$\sigma\circ f:\bC\to L$ et on introduit la {\em fonction de d\'enombrement
des z\'eros}
$$
N_{f,\sigma}(r)=\int_{r_0}^rn_{f,\sigma}(\rho){d\rho\over\rho},\qquad
n_{f,\sigma}(\rho)=\hbox{nombre de z\'eros de $\sigma\circ f$ 
dans $D(0,\rho)$},
\leqno(2.1)
$$
o\`u les z\'eros sont compt\'es avec multiplicit\'es. Enfin, on
introduit la fonction $m_{f,\sigma}$, dite {\em fonction de
proximit\'e}, telle que
$$
m_{f,\sigma}(r)={1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}\log{1\over\Vert\sigma\circ 
f(re^{i\theta})\Vert_h}d\theta.
\leqno(2.2)
$$
Cette fonction est positive ou nulle, si on normalise $\sigma$ par
une constante en sorte que $\Vert\sigma\Vert_h\le 1$ (ce que nous
supposerons d\'esormais).  Intuitivement, $m_{f,\sigma}(r)$ est
d'autant plus grand que $f$ s'approche souvent de $H=\{\sigma=0\}$ sur
le cercle de rayon~$r$. Nous pouvons maintenant \'enoncer le

\claim 2.3. Premier th\'eor\`eme fondamental de Nevanlinna|Soit $(L,h)$ un
fibr\'e en droites hermitien de forme de courbure $\omega=\Theta_h(L)>0$.
Pour toute section $\sigma$ de $L$ et toute courbe $f:\bC\to X$ dont l'image
n'est pas contenue identiquement dans l'hypersurface $H=\{\sigma=0\}$, 
on a
$$
m_{f,\sigma}(r)+N_{f,\sigma}(r)=T_{f,\omega}(r)+O(1).
$$
En particulier, \`a constante additive pr\`es, l'ordre de grandeur du
membre de gauche quand $r\to +\infty$ ne d\'epend pas du choix de
$\sigma$, mais seulement de l'indicatrice de croissance de~$f$.
\endclaim

\dem. C'est une cons\'equence de la formule de Jensen $(1.2)$,
appliqu\'ee \`a la fonction $ v(t)=\log\Vert\sigma\circ f(t)\Vert_h$.
On constate que, au sens des distributions
$$
{i\over \pi}\ddbar v={i\over \pi}\ddbar\log\Vert\sigma\circ f(t)\Vert_h
=\sum m_j\delta_{a_j}-f^\star\omega
$$
o\`u $\delta_{a_j}$ est la mesure de Dirac en les z\'eros $(a_j)$
de $\sigma\circ f$ et $m_j$ la multiplicit\'e de ce z\'ero (c'est le
cas particulier \`a une variable de la formule dite de
``Lelong-Poincar\'e''; le terme $f^\star \omega$ provient de la
diff\'erentiation de la fonction $\varphi\circ f$, issue du poids de
la m\'etrique $h$). En substituant dans la formule de Jensen, on
trouve alors
$$
N_{f,\sigma}(r)-T_{f,\omega}(r)=-m_{f,\sigma}(r)+m_{f,\sigma}(r_0).
\eqno\square
$$

On introduit classiquement le {\em d\'efaut} de $f$ par rapport \`a 
l'hypersurface $H=\{\sigma=0\}$ comme \'etant
$$
\delta_\sigma(f)=\liminf_{r\to+\infty}{m_{f,\sigma}(r)\over T_{f,\omega}(r)}
\in[0,1].
\leqno(2.4)
$$
En particulier, le d\'efaut est \'egal \`a $1$ si $\sigma\circ f$
ne s'annule pas, et il est \'egal \`a $0$ si la fonction de
d\'enombrement des z\'eros $N_{f,\sigma}(r)$ cro\^{\i}t aussi vite que
possible.  

Pour une fonction m\'eromorphe $f:\bC\to\bP^1_\bC=\bC\cup\{\infty\}$,
un r\'esultat essentiel de la th\'eorie de Nevanlinna est que la 
somme des d\'efauts 
$\sum_{a\in\bP^1_\bC}\delta_a(f)$ est au plus \'egal \`a~$2$ (ce qui 
redonne sous forme quantitative le th\'eor\`eme de Picard).  
L'un des principaux ingr\'edients de la preuve est une estimation de
la fonction de proximit\'e des d\'eriv\'ees logarithmiques de~$f$.
En l'occurrence, la fonction de proximit\'e au point $\infty$ est donn\'ee 
par
$$
m_{f,\infty}(r)={1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}\log_+|f(re^{i\theta})|\,d\theta+
O(1)
\leqno(2.5)_\infty
$$
En effet, si $\sigma(z)=(1,z)^{-1}\in\cO(1)$ est la section
de $\cO(1)$ s'annulant \`a l'infini, on a $\|\sigma(z)\|=(1+|z|^2)^{-1/2}$,
de sorte que $\log 1/\|\sigma\circ f)\|=\log(1+|f|^2)^{1/2}=\log_+|f|+O(1)$
(en fait, l'erreur est major\'ee par $\log 2$). De m\^eme,
la fonction de proximit\'e \`a un point $a\in\bP^1_\bC$, $a\ne\infty$, est 
donn\'ee par
$$
\leqalignno{
m_{f,a}(r)=m_{1/(f-a),\,\infty}(r)
&={1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}\log_+{1\over |f(re^{i\theta})-a|}\,d\theta+O(1)\cr
&={1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}\log_-|f(re^{i\theta})-a|\,d\theta+O(1).
&(2.5)_a\cr
}
$$
Pour un produit de fonctions m\'eromorphes, l'in\'egalit\'e 
$1+|fg|^2\le(1+|f|^2)(1+|g|^2)$ implique aussit\^ot
$$
m_{fg,\infty}\le m_{f,\infty}+m_{g,\infty}\leqno(2.6)
$$ 
et de m\^eme $m_{fg,0}\le m_{f,0}+m_{g,0}$ en passant aux inverses.
\'Etant donn\'e $a\in\bP^1_\bC$, nous noterons $N_{f,a}(r)$ la fonction de 
comptage des pr\'e-images $t\in\bC$
telles que $f(t)=a$, ce~qui revient \`a compter les z\'eros de 
$\sigma\circ f$ o\`u $\sigma$
est la section de $\cO(1)$ qui s'annule au point~$a$. Dans ce contexte,
le premier th\'eor\`eme fondamental s'\'ecrit
$$
m_{f,a}(r)+N_{f,a}(r)=T_{f,\omega}(r)+O(1)\leqno(2.7)
$$
pour tout point $a\in\bP^1_\bC$, o\`u $\omega$ est la m\'etrique de 
Fubini-Study sur $\bP^1_\bC$. Il est clair que
$$
N_{fg,0}\le N_{f,0}+N_{g,0},\qquad N_{fg,\infty}\le N_{f,\infty}+
N_{g,\infty}\leqno(2.8)
$$
(avec \'egalit\'e si aucun z\'ero de $f$ n'est p\^ole de $g$ et si aucun 
p\^ole de $f$ n'est z\'ero de $g$). La combinaison de (2.6), (2.7), (2.8)
donne en particulier
$$
T_{fg,\omega}\le T_{f,\omega}+T_{g,\omega}+O(1).\leqno(2.9)
$$
En combinant $(2.5)_0$ et $(2,5)_\infty$ on obtient par ailleurs la 
majoration utile
$$
{1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}\big|\log|f(re^{i\theta})|\big|\,d\theta=
m_{f,\infty}(r)+m_{f,0}(r)\le 2\,T_{f,\omega}(r)+O(1).
\leqno(2.10)
$$

\claim 2.11. Cas \lguil local\rguil|{\rm Il est int\'eressant de consid\'erer 
aussi le cas de fonctions qui ne sont pas d\'efinies sur toute la droite 
complexe, mais seulement sur un voisinage de l'infini $\bC\ssm\ol D(0,R)$ 
(par changement de variable $t\mapsto 1/t$, il
reviendrait au m\^eme de prendre un voisinage point\'e $D(0,\varepsilon)\ssm
\{0\}$). Etant donn\'e une fonction holomorphe $f:\bC\ssm\ol D(0,R)\to X$,
on peut \'etendre les notions d'indicatrice de croissance
$T_{f,\omega}(r)$, de fonction de proximit\'e $m_{f,\sigma}(r)$ et de
fonction de d\'enombrement $N_{f,\sigma}(r)$ pour des valeurs assez 
grandes $r\ge r_0>R$ du rayon. Dans ce cas, on pose simplement
$$
\eqalign{
T_{f,\omega}(r)&=\int_{r_0}^r{d\rho\over\rho}\int_{D(0,\rho)\ssm D(0,r_0)}
f^*\omega,\cr
m_{f,\sigma}(r)&=
{1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}\log{1\over\Vert\sigma\circ 
f(re^{i\theta})\Vert_h}d\theta,\cr
N_{f,\sigma}(r)&=\int_{r_0}^rn_{f,\sigma}(\rho)\,{d\rho\over\rho},\cr
}
$$
o\`u $n_{f,\sigma}=\#
\big\{t\in D(0,r)\ssm D(0,r_0)\,;\;\sigma\circ f(t)=0\big\}$. Il est facile
de voir qu'un changement du choix de $r_0$ modifie $T_{f,\omega}(r)$
et $N_{f,\sigma}(r)$ par des quantit\'es $C\,\log r$ o\`u $C={}$Constante. 
On peut encore appliquer la formule de Jensen \`a une fonction $v$ sur 
$\bC\ssm \ol D(0,R)$ quitte \`a la tronquer au moyen d'une fonction plateau
nulle sur un voisinage de $\ol D(0,R)$. Ceci n'influe sur
la croissance que par des termes en $C\log r$. Le premier th\'eor\`eme
fondamental est donc encore valable si l'on accepte des erreurs en 
$O(\log r)$ plut\^ot que $O(1)$. La croissance minimale 
$T_{f,\omega}(r)=O(\log r)$ est r\'ealis\'ee si et seulement si $f$ admet
un prolongement holomorphe \`a l'infini. Pour le voir, il suffit de
traiter le cas $X=\bP^1_\bC$, et dans ce cas le r\'esultat provient du
grand th\'eor\`eme de Picard (il est \`a noter que la th\'eorie de Nevanlinna
va d'ailleurs redonner une d\'emonstration directe tr\`es naturelle du grand
th\'eor\`eme de Picard, cf.\ \S$\,$3). Compte tenu du fait que les erreurs
sont en $O(\log r)$, les estimations de la th\'eorie de Nevanlinna ne
sont int\'eressantes que pour des courbes $f$ admettant une singularit\'e
essentielle \`a l'infini.
}
\endclaim

\section{3. Le deuxi\`eme th\'eor\`eme fondamental de Nevanlinna}

Le point de d\'epart est le ``lemme de la d\'eriv\'ee logarithmique'',
qui est v\'eritablement l'une des contributions essentielles de
Nevanlinna. L'id\'ee est qu'une d\'eriv\'ee logarithmique $f'/f$ d'une
fonction m\'eromorphe a une croissance qui est seulement logarithmique par
rapport \`a $f$, pr\'ecis\'ement parce que c'est la d\'eriv\'ee du logarithme
de~$f$.

\claim 3.1. Lemme de la d\'eriv\'ee logarithmique|Soit $f:\bC\to \bP^1_\bC$ 
une fonction m\'eromorphe et $D^p\log f$ la d\'eriv\'ee logarithmique
$p$-i\`eme de $f$. Alors, pour tout $\varepsilon>0$, il existe un
ensemble $E$ de mesure de Lebesgue finie dans $\bR_+$ tel que
$$
m_{D^p\log f,\infty}(r)\le 
(p+1+\varepsilon)\big(\log r+\log_+T_{f,\omega}(r)\big)+
O(1),\qquad \forall r\in\bR_+\ssm E.
$$
\endclaim

\dem. Fixons $R>r$. On utilise la version suivante de la formule de 
Jensen$\,$:
$$
\log|f(t)|={1\over 2\pi}\int_{|z|=R}{R^2-|t|^2\over |z-t|^2}\,\log|f(z)|\,
d\theta(z)+\sum_{a_j\in D(0,R)}\nu_j\,\log\Big|{R(t-a_j)\over
R^2-t\ol a_j}\Big|,
$$
o\`u $\sum \nu_j[a_j]$ est le diviseur des z\'eros et des p\^oles de $f$, et 
o\`u $d\theta$, $d\lambda$ d\'esignent respectivement la mesure angulaire sur
le cercle et la mesure de Lebesgue sur le disque de rayon~$R$. (Preuve: 
si $t=0$, la formule se r\'eduit \`a la formule habituelle des
manuels de second cycle; en g\'en\'eral, il suffit d'appliquer cette formule
apr\`es avoir compos\'e $f$ avec l'auto\-morphisme $z\mapsto {R^2(t-z)\over
R^2-z\ol t}$ qui envoie $0$ sur $t$). Compte tenu de ce que
${R^2-|t|^2\over |t-z|^2}=2\Re{z+t\over z-t}$, une d\'erivation sous le
signe somme au moyen de l'op\'erateur $2\partial/\partial t$ donne
$$
{f'(t)\over f(t)}={1\over 2\pi}\int_{|z|=R}{2z\over
(z-t)^2}\,\log|f(z)|\, d\theta(z)+\sum_j
\nu_j\Big({\ol a_j\over R^2-t\ol a_j}-{1\over a_j-t}\Big).
$$
On d\'erive une nouvelle fois avec l'op\'erateur ${1\over(p-1)!}
({\partial\over\partial t})^{p-1}$ pour obtenir
$$
{D^p\log f(t)\over (p-1)!}={1\over 2\pi}\int_{|z|=R}{2z\over
(z-t)^{p+1}}\,\log|f(z)|\, d\theta(z)+\sum_j
\nu_j\Big({\ol a_j^p\over (R^2-t\ol a_j)^p}-{1\over (a_j-t)^p}\Big).
$$
Une majoration brutale de cette expression sur le cercle $|t|=r$
fournit
$$\eqalign{
\Big|{D^p\log f(t)\over (p-1)!}\Big|
&\le{1\over 2\pi}{2r\over(R-r)^{p+1}} 
\int_{|z|=R}\big|\log|f(z)|\big|\,d\theta(z)\cr
&\kern70pt{}+\Big(\sum_j|\nu_j|\Big)
\Big({1\over (R-r)^p}+\max_j{1\over |a_j-t|^p}\Big)\cr}
$$
L'int\'egrale de $\big|\log|f|\big|$ se majore ais\'ement \`a
l'aide de (2.10) par un terme de la forme $2 T_{f,\omega}(R)+O(1)$.  
Par ailleurs, si $b\in\bP^1_\bC$ est un point
quelconque, la d\'efinition de la fonction de comptage $N_{f,b}(R)$
donne
$$
n_{f,b}(R)\log{R'\over R}\le N_{f,b}(R')\le T_{f,\omega}(R')+O(1),
$$
pour tout $R'>R$, d'o\`u
$$
\sum_{a_j\in D(0,R)}|\nu_j|=n_{f,0}(R)+n_{f,\infty}(R)\le
{2\over \log R'/R}\big(T_{f,\omega}(R')+O(1)\big).
$$
Nous choisissons $R=r+\delta/2$, $R'=r+\delta$ avec $\delta\ll r$, de 
sorte que ${1\over\log R'/R}\le C{r\over\delta}$ et donc
$$
\leqalignno{
|D^p\log f(t)|&\le C\Big({r\over\delta^{p+1}}+{r\over\delta}
\Big({1\over\delta^p}+\max_j{1\over |a_j-t|^p}\Big)\Big)
\big(T_{f,\omega}(r+\delta)+O(1)\big),\cr
~~~~~~~~
\log_+|D^p\log f(t)|&\le \log_+\Big({r\over\delta^{p+1}}+{r\over\delta}
\max_j{1\over |a_j-t|^p}\Big)+\log_+T_{f,\omega}(r+\delta)+O(1).
&(3.2)\cr}
$$
La fonction $m_{D^p\log f,\infty}(r)$ que nous cherchons \`a majorer
est l'int\'egrale 
$$
{1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}\log_+|D^p\log f(re^{i\theta})|d\theta
$$
et l'in\'egalit\'e $(3.2)$ en donne une majoration, mais
il y a deux difficult\'es qui se pr\'esentent. L'une r\'eside dans le fait
que le second membre contient le terme $\log_+T_{f,\omega}(r+\delta)$
l\`a o\`u nous voudrions $\log_+T_{f,\omega}(r)$, l'autre est dans la
pr\'esence de termes a priori non born\'es $1/|a_j-t|^p$. Les deux
difficult\'es vont se r\'egler de la m\^eme mani\`ere, en \'evitant 
les valeurs de $r$ trop \lguil mauvaises\rguil.
On s'appuie sur le lemme \'el\'ementaire suivant, d\^u \`a Emile Borel.

\claim 3.3. Lemme {\rm(E.\ Borel)}|Soit $T:\bR_+\to{}]0,+\infty[$ une 
fonction continue croissante. Alors, pour tout $\varepsilon>0$, l'ensemble 
$E=E_\varepsilon$ des $r\in\bR_+$ tels que
$$
T\Big(r+T(r)^{-\varepsilon}\big)\ge 2\, T(r)
$$
est de mesure de Lebesgue finie. Par cons\'equent, sur l'ensemble $\bR_+\ssm E$
qui est asymptotiquement de densit\'e $1$ \`a l'infini, nous avons
$$
T\Big(r+T(r)^{-\varepsilon}\big)<2\, T(r).
$$
\endclaim

\dem. Comme $T$ est continue, $E$ est ferm\'e. Soit $r_1=\min E$. On
d\'efinit $r_k$ par r\'ecurrence sur $k$ en posant
$$
r_{k+1}=\min\big(E\cap \big[r_k+T(r_k)^{-\varepsilon},+\infty\big[\big).
$$
Si $E$ ou si l'intersection ci-dessus est vide pour un certain $k$,
alors $E$ est born\'e et donc de mesure de Lebesgue finie. Sinon, on obtient
une suite infinie $(r_k)$ de points de $E$ tels que
$$
T(r_{k+1})\ge T\big(r_k+T(r_k)^{-\varepsilon}\big)\ge 2\,T(r_k),
$$
pour tout $k$, par cons\'equent $T(r_k)\ge 2^{k-1}T(r_1)$ et
$$
\sum_{k=1}^{+\infty}T(r_k)^{-\varepsilon}<+\infty.
$$
Comme $E\subset\bigcup_{k\ge 1}[r_k,r_k+T(r_k)^{-\varepsilon}]$ par
d\'efinition des $r_k$, le lemme est d\'emontr\'e.\square \medskip

Nous utilisons maintenant l'in\'egalit\'e (3.2) en posant
$T(r)= T_{f,\omega}(r)$ et $\delta=T(r)^{-\varepsilon}$.
Le lemme de Borel montre que nous pouvons remplacer
$T_{f,\omega}(r+\delta)$ par $T_{f,\omega}(r)$ quitte \`a prendre
$r\in\bR_+\ssm E$ o\`u $E$ de mesure finie dans $\bR_+$. 
L'autre difficult\'e vient des rayons
trop proches des valeurs $r_j=|a_j|$. Dans un intervalle $[r/2,r]$,
il y a d'apr\`es ce que nous avons d\'ej\`a vu au plus 
$$
N(r)=\sum_{a_j\in D(0,r)}|\nu_j|\le 
C(r/\delta)T_{f,\omega}(r+\delta)\le C'r\,T(r)^\varepsilon T(r+\delta)
$$ 
telles valeurs g\^enantes, soit $N(r)\le 2C'r\,T(r)^{1+\varepsilon}$ si
de plus $r\in\bR_+\ssm E$. Nous \'eliminons
autour de chacune de ces valeurs $r_j$ un intervalle $[r_j-\eta,r_j+\eta]$
avec $\eta=1/(2^{k\varepsilon}N(r))$ et $k=E(\log_2 r)$. La r\'eunion 
de tous ces intervalles
est un ensemble $E'$ de mesure finie comme on le voit facilement en 
consid\'erant les intervalles $[r/2,r]$ tels que $r=2^k$.
Quitte \`a remplacer $E$ par $E\cup E'$, nous avons maintenant
$|a_j-t|\ge 1/(2^{k\varepsilon}N(r))\ge 1/(r^\varepsilon N(r))$, donc
$$
{1\over|a_j-t|^p}\le (r^\varepsilon\,N(r))^p\le 
C''\big(r\,T(r)\big)^{(1+\varepsilon)p}.
$$
Dans ces conditions, pour $|t|=r\in \bR_+\ssm (E\cup E')$, 
l'in\'egalit\'e $(3.2)$ devient
$$
\eqalign{
\log_+|D^p\log f(t)|&\le \log_+\Big(r\, T(r)^{\varepsilon(p+1)}
+r\,T(r)^\varepsilon\big(r\,T(r)\big)^{(1+\varepsilon)p}\Big)
+\log_+T(r)+O(1)\cr
&\le (p+1)(1+\varepsilon)\big(\log r +\log_+ T(r)\big)+O(1).
\cr}
$$
Quitte \`a remplacer $\varepsilon$ par $\varepsilon/(p+1)$, le lemme de 
la d\'eriv\'ee logarithmique r\'esulte maintenant du calcul de
la valeur moyenne de cette expression sur le cercle $|t|=r$.\square\medskip

\claim 3.4. Cas local|{\rm Le lemme de la d\'eriv\'ee logarithmique s'\'etend
tr\`es facilement \`a une fonction m\'eromorphe $f:\bC\ssm\ol D(0,R)\to
\bP^1_\bC$ d\'efinie seulement dans un voisinage de l'infini. En effet,
nous allons montrer qu'il existe un rayon $R_1>R$ et une fonction
holomorphe born\'ee $u:\bC\ssm \ol D(0,R_1)\to\bC^*$, v\'erifiant
$u(\infty)=1$, telle que $\smash{\wt f}=uf$ se prolonge en une
fonction m\'eromorphe sur $\bC$. Il suffit alors d'appliquer le lemme
de la d\'eriv\'ee logarithmique \`a $D^p\log\smash{\wt f}=D^p\log u+D^p\log f$,
en observant que $D^p\log u$ est une fonction born\'ee au voisinage de
l'infini. Pour construire $u$, on choisit des rayons $R_2>R_1>R$ tels
que la couronne $R_1<|t|<R_2$ ne contienne ni z\'eros ni p\^oles de $f$,
ce qui est possible puisque ces points forment des ensembles localement
finis. Soit $n\in\bZ$ l'indice de $f$ sur un cercle $|t|=r$, $r\in{}]R_1,R_2[$,
c'est-\`a-dire l'int\'egrale de ${1\over 2\pi i}df/f$ sur ce cercle. 
Il existe alors
une fonction holomorphe $g$ sur la couronne $R_1<|t|<R_2$ telle que
$\exp(g(t))=f(t)/t^n$. Puisque $H^1(\bP^1_\bC,\cO)=0$, le~premier probl\`eme
de Cousin a toujours une solution, autrement dit il existe une
fonction holomorphe $g_1$ sur le disque $\bC\cup\{\infty\}\ssm
D(0,R_1)$ et une fonction holomorphe $g_2$ sur le disque $D(0,R_2)$
telles que $g=g_2-g_1$ sur la couronne intersection $R_1<|t|<R_2$. Il
n'est pas restrictif de supposer $g_1(\infty)=0$. En posant
$u(t)=\exp(g_1(t))$, on voit que
$u(t)f(t)=\exp(g_1(t))t^n\exp(g(t))=t^n\exp(g_2(t))$ se prolonge
en une fonction m\'eromorphe sur $D(0,R_2)$ (ayant d'ailleurs au plus
un p\^ole en $0$).
}
\endclaim

Une cons\'equence importante du lemme de la d\'eriv\'ee logarithmique
est ce que l'on appelle le {\em ``Deuxi\`eme th\'eor\`eme fondamental''}
de Nevanlinna. Le lecteur pourra consulter S.~Lang [Lang87] pour
davantage de d\'etails.

\claim 3.5. Deuxi\`eme th\'eor\`eme fondamental de Nevanlinna|Soit $f:
\bC\ssm \ol D(0,R)
\to \bP^1_\bC$ une fonction m\'eromorphe. On d\'efinit le diviseur
de ramification $R_f$ de $f$ comme \'etant \'egal \`a $\sum e_j[w_j]$
o\`u $w_j$ sont les points o\`u $df$ s'annule et $e_j\ge 1$ la multiplicit\'e
d'annulation de $df$ $($c'est-\`a-dire la multiplicit\'e de $f'$ en un point 
$w_j$ o\`u $f(w_j)\ne\infty$, et celle de $(1/f)'$ en un point $w_j$ o\`u
$f(w_j)=\infty)$. Alors, pour tout
ensemble fini $\{a_j\}_{1\le j\le p}\subset\bP^1_\bC$, il existe une partie
$E\subset\bR_+$ de mesure de Lebesgue finie telle que
$$
N_{R_f}(r)+\sum_{j=1}^p m_{f,a_j}(r)\le 2\,T_{f,\omega}(r)+O\big(
\log r+\log_+T_{f,\omega}(r)\big),\qquad\hbox{pour $r\in\bR_+\ssm E$},
$$
o\`u $N_{R_f}(r)=\int_{r_0}^rn_{R_f}(\rho)\,d\rho/\rho$ est la fonction de 
d\'enombrement du diviseur de ramification.
\endclaim

\dem. On suppose dans un premier temps $a_j\ne\infty$ pour tout~$j$.
Dans ce cas nous posons
$$
F(t)=\prod_{1\le j\le p}(f(t)-a_j),\qquad
G={F'\over Ff'}=\sum_{1\le j\le p}{1\over f(t)-a_j}.
$$
Le lemme 1.6 (ou l'in\'egalit\'e (2.9)) fournissent 
$T_{F,\omega}\le p\,T_{f,\omega}+O(1)$, d'o\`u
$$
m_{F'/F,\infty}(r) = O(\log r+\log_+(T_{f,\omega}(r)))
$$
gr\^ace au lemme de la d\'eriv\'ee logarithmique. Nous affirmons 
par ailleurs que
$$
\sum_{j=1}^p m_{f,a_j}(r)\le m_{G,\infty}(r)+O(1).\leqno(3.6)
$$
En effet, soit $d=\min_{j\ne k}|a_j-a_k|$ et $E_j=\{t\in\bC\,;\;
|f(t)-a_j|<d/(2p)\}$. Il vient 
$$
\sum_{j=1}^p m_{f,a_j}(r)\le \sum_{j=1}^p
{1\over 2\pi}\int_{\theta\in [0,2\pi],\,
r\,e^{i\theta}\in E_j}
\log_+{1\over |f(t)-a_j|}\,dt+p\log{2p\over d}
$$
puisque $|1/(f(t)-a_j)|\le 2p/d$ en dehors de $E_j$. Cependant les $E_j$ sont
disjoints et si $t\in E_j$ nous avons $|f(t)-a_k|\ge d/2$ pour 
$k\ne j$ et $1/|f(t)-a_j|\ge 2p/d$, donc
$$
|G(t)|\ge {1\over |f(t)-a_j|}-{2(p-1)\over d}\ge {1\over p}\,
{1\over |f(t)-a_j|}
$$
et par cons\'equent
$$
\sum_{j=1}^p m_{f,a_j}(r)\le
{1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}\log_+|G(r\,e^{i\theta})|\,d\theta
+p\log{2p\over d}+\log p,
$$
ce qui implique (3.6). Par d\'efinition de $G=F'/(Ff')$ on a
$$
m_{G,\infty}=m_{F'/Ff',\infty}\le m_{F'/F,\infty}+m_{f',0}
\le m_{F'/F,\infty}+m_{f,0}+m_{f'/f,0}.
$$
Comme le lemme de la d\'eriv\'ee logarithmique nous donne une estimation
de $m_{f'/f,\infty}$ plut\^ot que de $m_{f'/f,0}$, nous
effectuons les transformations
$$
\eqalign{
m_{f,0}&=T_{f,\omega}-N_{f,0}+O(1),\cr
m_{f'/f,0}&=T_{f'/f,\omega}-N_{f'/f,0}+O(1)
=m_{f'/f,\infty}+N_{f'/f,\infty}-N_{f'/f,0}+O(1)\cr
}
$$
\`a l'aide du premier th\'eor\`eme fondamental. En combinant ces
trois (in)\'egalit\'es avec (3.6) il vient
$$
\sum_{j=1}^p m_{f,a_j}\le
m_{F'/F,\infty}+(T_{f,\omega}-N_{f,0})
+(m_{f'/f,\infty}+N_{f'/f,\infty}-N_{f'/f,0})+O(1).
$$
Si l'un des points $a_j$ est le point $\infty$, disons $a_p=\infty$,
cette estimation vaut pour la somme jusqu'\`a $p-1$ et il
faut ajouter de plus $m_{f,\infty}=T_{f,\omega}-N_{f,\infty}$.
Dans tous les cas on obtient
$$
\sum_{j=1}^p m_{f,a_j}
\le 2\,T_{f,\omega}-\big(N_{f,0}+N_{f'/f,0}+N_{f,\infty}-N_{f'/f,\infty}\big)
+m_{f'/f,\infty}+m_{F'/F,\infty}+O(1).
$$
La somme $(N_{*,*}+\ldots)$ des fonctions de comptage ne fait
intervenir que les z\'eros et les p\^oles $p_j$ de $f$, ainsi que les z\'eros
de $f'$ qui ne sont pas des z\'eros de $f$. Il est facile de voir
que la multiplicit\'e totale en chacun de ces points est pr\'ecis\'ement 
\'egale \`a l'indice de ramification $e_j$, la somme $(N_{*,*}+\ldots)$
est donc \'egale \`a $N_{R_f}$. On obtient en d\'efinitive
$$
N_{R_f}+\sum_{j=1}^p m_{f,a_j}\le
2\,T_{f,\omega}+m_{f'/f,\infty}+m_{F'/F,\infty}+O(1).\leqno(3.7)
$$
Le lemme de la d\'eriv\'ee logarithmique montre qu'il existe un
ensemble $E\subset \bR_+$ de mesure de Lebesgue finie tel que
$$
m_{f'/f,\infty}+m_{F'/F,\infty}=O\big(\log r+\log_+ T_{f,\omega}(r)\big)
$$
pour $r\in\bR_+\ssm E$. Le deuxi\`eme th\'eor\`eme fondamental est 
d\'emontr\'e.\square\medskip

En divisant l'in\'egalit\'e du deuxi\`eme th\'eor\`eme fondamental par
$T_{f,\omega}(r)$, on d\'eduit imm\'ediatement pour les
d\'efauts la relation $\sum_j\delta_{a_j}(f)\le 2$, ceci \`a condition que 
$T_{f,\omega}(r) \gg \log r$ pour que les termes d'erreurs tendent vers $0$~:

\claim 3.8. Corollaire (version forte du grand th\'eor\`eme de Picard 
due \`a Nevanlinna)|Soit 
$f:\bC\ssm\ol D(0,R)\to\bP^1_\bC$ une
fonction m\'eromorphe ayant un point singulier essentiel \`a
l'infini. Alors $\sum_{a\in\bP^1_\bC}\delta_{a}(f)\le 2$. En particulier,
$f$ omet au plus $2$ valeurs et prend toutes les autres une infinit\'e
de fois.
\endclaim

\section{4. Preuve du th\'eor\`eme d'annulation fondamental}

Nous d\'emontrons maintenant le th\'eor\`eme 0.3 en suivant les arguments
de Y.T.~Siu [Siu87]. Soit $f:\bC\to X$ une courbe
enti\`ere et $P$ un op\'erateur diff\'erentiel alg\'ebrique \`a valeurs dans 
$L^\star$ o\`u $\omega=\Theta_h(L)>0$. On suppose que $P(f'\ld f^{(k)})$
ne s'annule pas identiquement. Le point de d\'epart est l'in\'egalit\'e
$$
{i\over 2\pi}\ddbar\log\Vert P(f'\ld f^{(k)})\Vert_h^2\ge f^\star\omega
$$
(en fait le membre de gauche est \'egal au membre de droite plus une certaine
combinaison lin\'eaire de mesures de Dirac aux points o\`u $P(f'\ld f^{(k)})$
s'annule). On en d\'eduit alors
$$
\eqalign{
T_{f,\omega}(r)&\le\int_{r_0}^r{d\rho\over\rho}\int_{D(0,\rho)}
{i\over 2\pi}\ddbar\log\Vert P(f'\ld f^{(k)})\Vert_h^2\cr
&={1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}\log\Vert P(f'\ld f^{(k)})(re^{i\theta})
\Vert_h\,d\theta
+\hbox{Const}\cr}
$$
gr\^ace \`a la formule de Jensen. Consid\'erons maintenant une famille finie 
de fonctions m\'eromorphes $(u_j)$ sur $X$ telles qu'on puisse extraire
des coordonn\'ees locales holomorphes au voisinage de tout point \`a partir
de d\'eterminations locales des logarithmes $\log u_j$ ($X$ \'etant
plong\'ee dans un espace projectif, il suffit de prendre les fonctions 
induites par les fonctions rationnelles $z_j/z_k$ sur l'espace projectif
dans suffisamment de syst\`emes de coordonn\'ees). On peut alors exprimer
localement $P(f'\ld f^{(k)})$ comme un polyn\^ome $Q$
dans les d\'eriv\'ees logarithmiques $D^p(\log u_j\circ f)$, ayant
des coefficients holomorphes en la variable $f$, i.e.,
$$
P(f'\ld f^{(k)})=Q\big(f,D^p(\log u_j\circ f)_{p,j}\big),\qquad
Q(z,v_{p,j})=\sum a_\alpha(z)v^\alpha.
$$
Par compacit\'e de $X$, il en r\'esulte
$$
{1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}\log\Vert P(f'\ld f^{(k)})(re^{i\theta})
\Vert_h\,d\theta
\le C_1\sum_{j,\,1\le p\le N} m_{D^p(\log u_j\circ f),\infty}(r)+C_2
$$
pour des constantes $C_1$, $C_2$ ad\'equates. D'apr\`es le lemme 1.6 et le
lemme de la d\'eriv\'ee logarithmique, on aura
$$
m_{D^p(\log u_j\circ f),\infty}(r)\le C_3\big(\log r+\sum\log_+ 
T_{u_j\circ f,\omega}(r)\big)\le C_4\big(\log r+\log_+ 
T_{f,\omega}(r)\big)
$$ 
en dehors d'un ensemble de mesure de Lebesgue finie dans $[0,+\infty[$.
Mettant bout \`a bout ces in\'egalit\'es, il vient
$$
T_{f,\omega}(r)\le C\big(\log r+\log_+ T_{f,\omega}(r)\big)
$$
en dehors d'un ensemble de mesure de Lebesgue finie. On en d\'eduit
que \hbox{$T_{f,\omega}(r){=}O(\log r)$}, par cons\'equent $f(\bC)$ est d'aire
totale finie et $C=\ol{f(\bC)}$ est une courbe rationnelle. On peut alors
factoriser $f=g\circ R$ avec une fonction rationnelle $R\in\bC(z)$ 
et $g:\bP^1_\bC\to C\subset X$ le morphisme de d\'esingularisation.
L'op\'erateur $g^\star P$ induit sur $\bP^1_\bC$ est n\'ecessairement nul
d'apr\`es le lemme ci-dessous. Par
suite $g^\star P=0$ et 
$$
P(f'\ld f^{(k)})=g^\star P(R'\ld R^{(k)})\equiv 0,
$$
ce qu'il fallait d\'emontrer.\square

\claim 4.1. Lemme|Soit $X$ une vari\'et\'e projective dont le fibr\'e
canonique $K_X$ est \`a courbure semi-n\'egative $($par exemple un espace 
projectif ou une hypersurface lisse de degr\'e${}\le n+2$ dans 
$\bP^{n+1}_\bC)$. Alors, pour tout fibr\'e en droites $L$ \`a courbure 
positive sur $X$ et tous entiers $k,m>0$, 
on a $H^0(X,E_{k,m}\otimes L^{-1})=0$.
\endclaim

\dem. Soit $P(f'\ld f^{(k)})\in E_{k,m}$. En regardant les degr\'es partiels 
par rapport \`a la variable $f^{(k)}$ des mon\^omes intervenant dans $P$, on
obtient une filtration de $E_{k,m}$ dont le gradu\'e est
$$
\bigoplus_{0\le p\le m/k} E_{k-1,m-kp}\otimes S^pT^\star_X.
$$
En effet $f^{(k)}$ peut \^etre vu comme un \'el\'ement de $T_X$, et un mon\^ome
$(f^{(k)})^{\alpha_k}$ de degr\'e $|\alpha_k|=p$, comme un \'el\'ement
de $S^pT^\star_X$. En filtrant de nouveau par rapport aux degr\'es en
les d\'eriv\'ees $f^{(j)}$, $j<k$, on obtient une filtration telle que
$$
G^\bullet E_{k,m}=\bigoplus_{p_1+2p_2+\ldots+kp_l=m} 
S^{p_1}T^\star_X\otimes\cdots\otimes S^{p_k}T^\star_X.
$$
Pour d\'emontrer le lemme, il suffit donc de v\'erifier que
$H^0(X,(T_X^\star)^{\otimes m}\otimes L^{-1})=0$ n'a pas de section
non triviale. C'est clair si $X=\bP^1_\bC$, puisqu'alors
$T_{\bP^1}^\star= \cO(-2)$ et $L=\cO(-\lambda)$ pour un
certain $\lambda>0$. Dans le cas g\'en\'eral (que nous ne d\'etaillerons 
pas ici), on peut s'appuyer sur la formule de Bochner et le fait que
$X$ admet une m\'etrique k\"ahl\'erienne \`a courbure de Ricci
semi-positive (voir par exemple [Dem95], lemme 14.2).\square

\section{5. Op\'erateurs wronskiens et connexions projectives partielles}

Soit $X$ une vari\'et\'e complexe de dimension $n$. En reprenant des
id\'ees de Y.T.\ Siu [Siu87] et de A.~Nadel [Nad89], nous consid\'ererons des
{\em connexions m\'eromorphes} $\nabla$ op\'erant sur le fibr\'e
tangent $T_X$, c'est-\`a-dire des op\'erateurs de la forme
$$
\nabla_w v=\sum_{1\le i,k\le n}
\Big(w_i{\partial v_k\over\partial z_i}+\sum_{1\le j\le n}
\Gamma^k_{ij}w_iv_j\Big){\partial\over\partial z_k}
=d_wv+\Gamma\cdot (w,v),
$$
dont les {\em symboles de Christoffel}
$\Gamma =(\Gamma ^k_{ij})_{1\le i,j,k \le n}$, calcul\'es relativement
\`a des syst\`emes de coordonn\'ees holomorphes $(z_1\ld z_n)$
quelconques, sont m\'eromorphes.  Soit $B$ le diviseur des p\^oles de
$\nabla$ (i.e.\ de ses coefficients $\Gamma ^k_{ij}$) et $b\in
H^0(X,\cO(B))$ la section canonique associ\'ee.  Alors $b\nabla$ est
un op\'erateur \`a coefficients holomorphes.

\'Etant donn\'e une courbe holomorphe $f:D(0,r)\to X$ non contenue
dans le support $|B|$ de $B$, on d\'efinit inductivement les
d\'eriv\'ees covariantes $f',\,f''_\nabla \ld f^{(n)}_\nabla$ par
$f^{(k+1)}_\nabla = \nabla_{f'}(f^{(k)}_\nabla)$.  Le {\em Wronskien}
de $f$ relativement \`a $\nabla$ est la section m\'eromorphe de
$f^*(\Lambda^nT_X)=f^*(K_X^\star)$ telle que
$\smash{W_\nabla(f)=f'\wedge f''_\nabla \wedge\cdots\wedge
f^{(n)}_\nabla}$.  En compensant les p\^oles du Wronskien \`a l'aide
d'une puissance de $b$, on obtient une section holomorphe
$b(f)^{n(n-1)/2}W_\nabla(f)$, \`a valeurs dans le fibr\'e en droite
$f^*\big(K_X^\star\otimes \cO_X({1\over 2} n(n-1)B)\big)$. Le point
de d\'epart est la cons\'equence suivante du th\'eor\`eme 0.3, appliqu\'e
\`a l'op\'erateur $P=b^{n(n-1)/2}W_\nabla$ \`a valeurs dans
le dual $L^{-1}$ du fibr\'e $A=K_X\otimes\cO_X(-{1\over 2}n(n-1)B)$,
op\'erateur qui est d'ordre $n$ et de degr\'e $m=n(n+1)/2$.

\claim 5.1. Th\'eor\`eme|Soit $X$ une vari\'et\'e
complexe compacte de dimension $n$ munie d'une connexion m\'eromorphe
$\nabla$ de diviseur de p\^oles $B$. Si $K_X\otimes\cO_X(-{1\over 2}
n(n-1)B)$ est ample, alors pour toute courbe enti\`ere non constante
$f:\bC\to X$, on a ou bien $f(\bC)\subset \vert B\vert$ ou bien
$W_\nabla(f)\equiv 0$.
\endclaim

Une observation importante est de voir que pour d\'efinir le Wronskien
$W_\nabla$ on n'a pas besoin de conna\^{\i}tre enti\`erement le tenseur
$\Gamma_{ij}^k$, mais seulement modulo des tenseurs de la forme
\hbox{$\alpha_i\delta_{jk}+\beta_j\delta_{ik}$}. En effet, soit
$\smash{\wt\nabla}$ une autre connexion telle qu'il existe des
$1$-formes m\'eromorphes $\alpha$ et $\beta$ avec $\smash{\wt\nabla_wv}
= \nabla_w v + \alpha(w)\cdot v + \beta(v)\cdot w$ pour tous
champs de vecteurs $v,\,w$. On v\'erifie alors facilement par
r\'ecurrence~sur $k$ que $\smash{f^{(k)}_{\wt\nabla}}$ est somme de
$\smash{f^{(k)}_\nabla}$ et d'une combinaison lin\'eaire des d\'eriv\'ees
covariantes d'ordre inf\'erieur, par suite $\smash{W_\nabla =
W_{\wt\nabla}}$.  Ceci permet d'\'etendre le th\'eor\`eme d'annulation du
Wronskien au cas des ``connexions projectives partielles'', d\'efinies
comme suit.

\claim 5.2. D\'efinition|Une connexion projective partielle $\nabla$
sur $X$ est une section du faisceau quotient du faisceau des
connexions m\'eromorphes modulo l'addition de tenseurs m\'eromorphes
de la forme $(w,v)\mapsto\alpha(w)\cdot v + \beta(v)\cdot w$. En
d'autres termes, $\nabla$ est d\'efinie par la donn\'ee de connexions
m\'eromorphes ${}_j\kern-1.3pt\nabla$ sur les ouverts $U_j$ d'un
recouvrement de~$X$, en sorte qu'on ait des relations de
compatibilit\'e ${}_k\kern-1.3pt\nabla_wv-{}_j\kern-1.3pt\nabla_wv =
\alpha_{jk}(w)\cdot v + \beta_{jk}(v)\cdot w$ sur $U_j\cap U_k$.
\endclaim

Un des int\'er\^ets la notion de connexion projective partielle est sa
bonne compatibilit\'e avec les passages au quotient. On v\'erifie ais\'ement
la propri\'et\'e suivante.

\claim 5.3. Proposition|Soit $W$ une vari\'et\'e complexe sur laquelle un
groupe de Lie $G$ agit librement et proprement. Soit $X=W/G$ la
vari\'et\'e quotient et $\pi : W\to X$ la projection canonique.
\'Etant donn\'e une connexion m\'eromorphe $\wt\nabla$ sur $W$ et une
section locale $\sigma :W/G\supset U\to W$ de~$\pi$, on peut d\'efinir 
une connexion ${}_\sigma\kern-1.3pt\nabla=\pi_*(\sigma^*(\wt\nabla))$
sur $U$ telle que
\smallskip
\item{\rm o)}
${}_\sigma\kern-1.3pt\nabla_wv=\pi_*\big(\wt\nabla_{\sigma_{\!*}w}
(\sigma_{\!*}v)\big)$
\smallskip\noindent
pour tout couple de champs $(w,v)$ sur~$U$. Les diff\'erentes connexions 
${}_\sigma\kern-1.3pt\nabla$ se recollent en une connexion projective 
partielle sur $W/G$ tout entier sous les conditions suivantes~:
{\em
\smallskip
\item{\rm i)} $\wt\nabla$ est 
$G$-invariante.
\smallskip
\item{\rm ii)} Pour tout couple de champs
$G$-invariants $v$ et $\tau$ sur $W$ tel que $\tau$ soit dans le fibr\'e
tangent relatif $T_{W/X}\subset T_W$, il existe des $1$-formes m\'eromorphes 
$\alpha$ et $\beta$ le long de $T_{W/X}$ telles que 
$\smash{\wt\nabla_\tau v}-\alpha(\tau)v$ et $\smash{\wt\nabla_v\tau}-
\beta(\tau)v$ soient tangents \`a $T_{W/X}$.\vskip0pt}
\endclaim

\dem. Lorsque $W=X\times G$ (ce qui n'est pas restrictif compte tenu du
caract\`ere
local de l'assertion), la v\'erification se fait ais\'ement en \'ecrivant
$\wt\nabla=d_X + d_G + \wt\Gamma$ o\`u $W\ni(x,g)\mapsto\wt\Gamma(x,g)$,
est un tenseur \`a valeurs dans $T_W^*\otimes T_W^*\otimes T_W$ et o\`u
$d_G$ est invariant \`a gauche. D'apr\`es i), $\wt\Gamma(x,g)=\Gamma(x)$ ne 
d\'epend en fait que de $x$. On \'ecrit alors
$\sigma(x)=(x,h(x))$ o\`u $h:U\to G$ est une application~holomorphe,~d'o\`u
$$
\sigma_{\!*}v=v+dh(v),\qquad
\wt\nabla_{\sigma_{\!*}w}(\sigma_{\!*}v)
= d_w v + d^2h(w,v) + \Gamma (x)(w+dh(w), v+ dh(v)).
$$
La condition ii) garantit que les champs
$\Gamma (x)(dh(w),v)-\alpha(dh(w))v$,~ $\Gamma (x)(w,dh(v))-\beta (dh(v))w$,
et $\Gamma (x)(dh(w), dh(v))$ sont dans le noyau de $\pi_*$. On en d\'eduit
$$
{}_\sigma\kern-1.3pt\nabla_wv
=d_wv + \Gamma (x)(w,v)+\alpha (dh(w))v+\beta (dh(v))w,
$$
ce qui signifie que les connexions $\nabla_{|U_j}$ d\'efinies par
des sections $\sigma _j:U_j\to W$ quelconques peuvent se recoller en 
une connexion projective partielle globale $\nabla$ sur $X$.\square


\claim 5.4. Corollaire| {\rm (Cas de $\bP^n=\bC^{n+1}\ssm\{0\}/\bC^*$).}
Soient $\wt\nabla = d+\wt\Gamma$ une connexion m\'eromorphe sur $\bC^{n+1}$, 
$\varepsilon =\sum z_j\partial/\partial z_j$ le champ de vecteurs d'Euler
et $\pi : \bC^{n+1}\ssm\{0\}\to\bP^n$ la projection
canonique. Alors $\wt\nabla$ induit une connexion projective partielle
sur $\bP^n$ d\`es que
\smallskip
\item{\rm i)} les symboles de Christoffel $\Gamma ^k_{ij}$ sont des
fonctions rationnelles homog\`enes de degr\'e~$-1$.
\smallskip
\item{\rm ii)} il existe des fonctions m\'eromorphes $\alpha$, $\beta $ et 
des $1$-formes m\'eromorphes $\gamma$, $\eta$ telles que pour tous champs 
de vecteurs $v$, $w$ on ait
$$
\wt\Gamma \cdot(\varepsilon ,v)=\alpha v + \gamma (v)\varepsilon,\qquad
\wt\Gamma (w,\varepsilon )=\beta w + \eta (w)\cdot\varepsilon.
$$
\vskip0pt
\endclaim

\section{6. Cas de certaines classes d'hypersurfaces alg\'ebriques 
dans $\hbox{\twelvemsb P}^n$}

Soit $X$ une vari\'et\'e complexe de dimension $n$ munie d'une
connexion projective partielle~$\nabla$, et soit $Y$ une hypersurface
de $X$ non contenue dans le diviseur des p\^oles de $\nabla$.
L'hypersurface $Y$ est dite {\em totalement g\'eod\'esique} par
rapport \`a la connexion $\nabla$ si $\nabla_wv$ est un champ de
vecteurs tangent \`a $Y$ chaque fois que $v$, $w$ sont tangents \`a
$Y$, autrement dit si la restriction $\nabla_{|Y}$ d\'efinit une
connexion sur $T_Y$. Un calcul classique donne la caract\'erisation
suivante.

\claim 6.1. Lemme|$Y=\{s=0\}$ est totalement g\'eod\'esique par rapport \`a
$\nabla$ si et seulement s'il existe localement au voisinage de $Y$
des fonctions m\'eromorphes $a_i$, $b_j$ et $c_{ij}$ telles que
$$
\sum_{1\le k\le n}
\Gamma ^k_{ij} {\partial s\over \partial z_k}+ a_i {\partial s\over
\partial z_j} + b_j {\partial s\over \partial z_i} + s\,c_{ij}
={\partial^2 s\over \partial z_i\partial z_j},
\qquad 1\le i,j\le n.
$$
\endclaim

L'id\'ee originale de [Nad89] est de profiter de la haute
ind\'etermination de ce syst\`eme lin\'eaire (en les inconnues $\Gamma
^k_{ij}$, $a_i$, $b_j$ et $c_{ij}$) pour trouver une connexion
m\'eromorphe de $\bP^n$ par rapport \`a laquelle toute hypersurface
membre d'un syst\`eme lin\'eaire $(Y_\alpha )$ assez grand soit
totalement g\'eod\'esique. La d\'efinition suivante introduite dans
[EG96] sera commode.

\claim 6.2. D\'efinition|Soient $k_0\ld k_n$ et $p$ des entiers tel que 
$0\le k_j <p/2$~; on note $\cS_{p, k_0\ld k_n}$ l'espace des polyn\^omes
homog\`enes $s$ de degr\'e $p$ dans $\bC [z_0\ld z_n]$ tel que chaque
mon\^ome de $s$ est multiple de $\smash{z_j^{p-k_j}}$ pour un certain~$j$.
\endclaim

Remarquons que, dans ces conditions, tout \'el\'ement
$s\in\cS_{p,k_0\ld k_n}$ s'\'ecrit de fa\c{c}on unique comme $s=s_0
+\cdots + s_n$ avec $s_j$ multiple de $\smash{z_j^{p-k_j}}$.
Consid\'erons une telle hypersurface $Y=\{s=0\}\subset \bP^n$, et le
syst\`eme lin\'eaire associ\'e \hbox{$Y_\alpha =\{\alpha _0 s_0 +\cdots +
\alpha _n s_n=0\}$}, $\alpha=(\alpha _0\ld\alpha _n)\in \bC^{n+1}$.  On
va construire une connexion m\'eromorphe $\wt\nabla$ sur $\bC^{n+1}$
par rapport \`a laquelle le c\^one alg\'ebrique $\wt Y_\alpha\subset
\bC^{n+1}$ au dessus de $Y_\alpha $ soit totalement g\'eod\'esique
pour tout~$\alpha$. Il suffit pour cela de r\'esoudre le syst\`eme 
d'\'equations du lemme 6.1 en fixant par exemple $a_i=b_j=c_{ij}=0$, 
ce qui conduit \`a r\'esoudre le syst\`eme lin\'eaire
$$
\sum_{0\le k\le n} \wt\Gamma ^k_{ij} {\partial s_\ell\over \partial
z_k} = {\partial^2 s_\ell\over \partial z_i \partial z_j},\qquad 0\le
i,j,\ell \le n.
\leqno(6.3)
$$
Ce syst\`eme admet une solution unique si on suppose 
$\delta:=\det(\partial s_\ell/\partial z_k)_{0\le k,\ell\le n}
\not\equiv 0$.

\claim 6.4. Lemme|La connexion $\wt\nabla$ d\'efinie par les symboles
$\wt\Gamma_{ij}^k$ solutions de $(6.3)$ induit sur $\bP^n$ une 
connexion projective partielle $\nabla$ pour laquelle toute hypersurface
$Y_\alpha $ est totalement g\'eod\'esique.
\endclaim

\dem. En effet, la solution $(\wt\Gamma ^k_{ij})$ est constitu\'ee de fonctions
rationnelles de degr\'e $-1$, donc 5.4~i) est v\'erifi\'e. Observons de plus
que la connexion est sym\'etrique (i.e.\ $\smash{\wt\Gamma ^k_{ij}=
\wt\Gamma ^k_{ji}}$). Finalement, gr\^ace \`a l'identit\'e d'Euler, on a~:
$$
\sum_{0\le i,k\le n} z_i \wt\Gamma ^k_{ij} {\partial s_\ell\over
\partial z_k}=\sum_{0\le i\le n} z_i {\partial^2 s_\ell\over \partial
z_i \partial z_j}= (p-1) {\partial s_\ell\over \partial z_j}, \quad
0\le \ell,j\le n.
$$
Par suite, la condition $\delta \not\equiv 0$ entra\^{\i}ne
$\smash{( \sum_i z_i \wt\Gamma ^k_{ij})_{j,k}}=(p-1)\Id$, d'o\`u
puisque $\wt\nabla$ est sym\'etrique, $\smash{\wt\Gamma (\varepsilon,v)
=\wt\Gamma (v,\varepsilon )}=(p-1)v$. La propri\'et\'e 5.4~ii)
est donc \'egalement v\'erifi\'ee.\square \medskip

Un v\'erification ais\'ee montre que les d\'eterminants de Cramer
intervenant dans la r\'esolution de $(6.3)$ sont tous divisibles par
$\prod z_j^{p-k_j-2}$, et il en r\'esulte par simplification de ce
facteur dans $\delta$ que le degr\'e du diviseur $B$ des p\^oles de
$\nabla$ est au plus \'egal \`a $n+1+\sum^n_{j=0} k_j$. Si $p$ est assez
grand, une application directe du th\'eor\`eme~0.1 montre que toute courbe
enti\`ere $f$ trac\'ee sur~$Y$ satisfait ou bien $f(\bC)\subset|B|$ ou
bien $W_\nabla(f)\equiv 0$. La condition $W_\nabla(f)\equiv 0$ permet
de voir que $f(\bC)$ est contenu dans toute hypersurface $Y_\alpha$ qui
contient les $(n-1)$ premi\`eres d\'eriv\'ees covariantes de $f$ en un point
g\'en\'erique. Or, par un comptage de dimension, il y a au moins une autre
hypersurface $Y_\alpha\ne Y$ pour laquelle cette condition soit
r\'ealis\'ee. On en d\'eduit

\claim 6.5. Th\'eor\`eme|Soit $s=s_0+\cdots +s_n\in \cS_{p,k_0\ld k_n}$
un polyn\^ome tel que $\delta =\det \big(\partial s_\ell/\partial z_k
\big)_{k,\ell}\not\equiv 0$, et tel que $Y:=\{s=0\}$ soit une
hypersurface lisse de $\bP^n$. Soient enfin $Y_\alpha=\{\alpha _0
s_0+\cdots + \alpha _n s_n=0\}$ et $B$ le diviseur des p\^oles de la 
connexion projective partielle $\nabla$ donn\'ee par $(6.3)$. Supposons
$p>n+1+{{(n-1)(n-2)}\over2}(n+1+\sum_{i=0}^n k_i)$.  Alors, toute
courbe enti\`ere non constante trac\'ee sur $Y$ est alg\'ebriquement
d\'eg\'en\'er\'ee et v\'erifie ou bien $f(\bC)\subset Y\cap\vert B\vert$, 
ou bien $f(\bC)\subset Y\cap Y_\alpha$ pour une certaine hypersurface
$Y_\alpha$ distincte de~$Y$.
\endclaim

\section{7. Exemples}

\noindent{\bf 7.1.} {\em Hypersurfaces de Fermat}
$Y=\{z^p_0 + z^p_1 +\cdots + z^p_n=0\}$.

On fait un calcul \`a la main pour voir que le Wronskien a pour
d\'enominateur $(z_0\cdots z_n)^{n-2}$ (le th\'eor\`eme 6.5 tel quel
ne donne pas l'estimation optimale). Les courbes enti\`eres sont donc
toutes alg\'ebriquement d\'eg\'en\'er\'ees d\`es que $p\ge n^2$. C'est
un r\'esultat d\'emontr\'e originellement par M.~Green [Green75] en
utilisant la th\'eorie de Nevanlinna.

\noindent{\bf 7.2.} Comme dans [EG96], consid\'erons une hypersurface
$Y\subset\bP^3$ de la forme
$$
Y=\{z^p_0 + z^p_1 + z^p_2 + z^{p-2}_3 (\varepsilon _0 z^2_0 +
\varepsilon _1 z^2_1 + \varepsilon _2 z^2_2 + z^2_3)=0\},
\leqno(7.3)
$$
d\'efinie par un \'el\'ement $s$ de $\cS_{p,0,0,0,2}$. On peut v\'erifier
que $Y$ est lisse si et seulement si
$$
\sum_{j\in J} \varepsilon ^{p/p-2}_j \ne {2\over p-2}\Big(-{p\over 2}
\Big)^{p/p-2}\qquad\forall J\subset \{0,1,2\}\leqno(7.4)
$$
pour chaque choix des racines complexes d'ordre $p-2$, et que la
condition de non d\'eg\'en\'erescence $\delta\not\equiv 0$ est
toujours satisfaite.  Par suite, pour $p>10$, le th\'eor\`eme 0.3
montre que toute courbe enti\`ere $f:\bC\to Y$ est contenue dans une
intersection compl\`ete $Y\cap |B|$ ou $Y\cap Y_\alpha $. Gr\^ace \`a
un calcul du genre des intersections (d\'etaill\'e dans [EG96], \S4), ces
courbes ont toute un genre g\'eom\'etrique $\ge 2$, du moins si on
exclut les cas triviaux o\`u $Y$ contient des droites projectives, \`a
savoir si
$$
(\varepsilon _i,\varepsilon _j)\ne (0,0),\quad\forall i\ne j\quad
\hbox{et}\quad
\varepsilon _i/\varepsilon _j\ne -\theta ^2,\quad\forall\theta~
\hbox{racine de $\theta ^p=-1$.}
\leqno(7.5)
$$
On obtient donc finalement le r\'esultat suivant, d\'emontr\'e
ind\'ependamment par [DeEG97] et [SiYe96b].

\claim 7.6. Th\'eor\`eme|Sous les conditions $(7.4)$ et $(7.5)$, la surface
alg\'ebrique lisse $Y\subset\bP^3$ d\'efinie par $(7.3)$ est hyperbolique
au sens de Kobayashi, en tout degr\'e $p\ge 11$.
\endclaim

\vskip10pt

\null
\section{Bibliographie}
\bigskip

{\eightpoint

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}

\end

\vskip15pt
\parindent=0cm
(manuscrit achev\'e le 20 juin 1997, imprim\'e le \aujourdhui, \timeofday)
\vskip15pt

Universit\'e Joseph Fourier Grenoble I\hfil\break
Institut Fourier (Math\'ematiques)\hfil\break
UMR 5582 du C.N.R.S., BP 74\hfil\break 38402
Saint-Martin d'H\`eres, France\hfil\break
{\em e-mail:}\/ demailly@fourier.ujf-grenoble.fr

% Local Variables:
% TeX-command-default: "TeX"
% End:

