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\def\dsta#1|{D_{#1}''\kern-11pt{}^\star\kern7pt}

\centerline{\bf TH\'EOR\`EMES D'ANNULATION POUR LA COHOMOLOGIE}
\centerline{\bf DES PUISSANCES SYM\'ETRIQUES ET EXT\'ERIEURES}
\centerline{\bf D'UN FIBR\'E VECTORIEL POSITIF}
\vskip 0.5cm
{\noindent\hangindent4cm\hangafter-1
{\sl par Jean-Pierre DEMAILLY

}}

{\noindent\hangindent4cm\hangafter-4{\sl
Universit\'e de Grenoble I,\hfill\break
Institut Fourier, BP 74,\hfill\break
Laboratoire associ\'e au C.N.R.S.
n\kern-2pt{\rm\char'27}188,\hfill\break
F-38402 Saint-Martin d'H\`eres

}}
\eightpoint\vskip 30pt
{\bf R\'esum\'e}\pointir Soit $E$ un fibr\'e vectoriel holomorphe de rang $r$ 
au dessus d'une vari\'et\'e\break $\scriptstyle\Bbb C$--analytique compacte $X$
de dimension $n$~. Si $E$ est positif au sens de Griffiths, nous montrons que 
les groupes de cohomologie de Dolbeault $H^{p,q}(X,\Lambda^sE\otimes S^kE
\otimes(\det E)^l)$ s'annulent pour $p+q\ge n+r-(s-1)_+$ et $l\ge C_{n,p,q,r}$
. La d\'emonstration repose d'une part sur la technique de passage au fibr\'e 
en espaces projectifs $P(E^\star)$ utilis\'ee par Griffiths et Le Potier, et
d'autre part sur une estimation a priori nouvelle pour le Laplacien 
$\Delta''$~, faisant intervenir la courbure de certains sous-fibr\'es
universels de $\Lambda\ T^\star P(E^\star)$~.

\vskip 10pt
{\bf Abstract}\pointir Let $E$ be a holomorphic vector bundle of rank $r$ over
a compact complex manifold $X$ of dimension $n$~. If $E$ is positive in the 
sense of Griffiths, it is shown that Dolbeault cohomology groups $H^{p,q}(X,
\Lambda^sE\otimes S^kE\otimes(\det E)^l)$ vanish for $p+q\ge n+r-(s-1)_+$ and
$l\ge C_{n,p,q,r}$~. The proof rests on the one hand on the $P(E^\star)$ 
projectivization technique used by Griffiths and Le Potier, and on the other 
hand on a new a priori estimate for the Laplace-Beltrami operator $\Delta''$~, 
involving the curvature of some universal subbundles of $\Lambda\ T^\star 
P(E^\star)$~.

\vskip 30pt\tenpoint
\titre 1. Enonc\'e des r\'esultats.|

 Soit $X$ une vari\'et\'e $\Bbb C$--analytique compacte de dimension $n$ et $E$
un fibr\'e vectoriel holomorphe hermitien de rang $r$ au dessus de $X$~. Etant
donn\'e un rep\`ere orthonorm\'e local $(e_1 \ld e_n)$ de $E$~, la forme de 
courbure de Chern $ic(E)\in C^{\infty}(X,\Lambda_{\Bbb R}^{1,1}T^\star X\otimes
{\rm Herm}(E,E))$ s'\'ecrit 
  $$ic(E)=i\sum_{i,j,\lambda ,\mu }c_{ij\lambda \mu }\,dz_i\wedge
    d{\overline z}_j\otimes e^\star _\lambda \otimes e_\mu $$
avec $1\le i,j\le n,\ 1\le\lambda,\mu \le r,\ c_{ij\lambda \mu }=
{\overline c}_{ji\mu \lambda}$~. On peut donc identifier $ic(E)$ \`a une forme
hermitienne sur $TX\otimes E$~. Rappelons que le fibr\'e $E$ est dit {\sl 
positif}, resp. {\sl semi-positif} (au sens de Griffiths [3]) si $E$ poss\`ede 
une m\'etrique telle qu'en tout point $x\in X$ on ait
$$ic(E)_x(\zeta \otimes v)=\sum_{i,j,\lambda ,\mu }c_{ij\lambda \mu }(x)\,
\zeta_i{\overline\zeta}_jv_\lambda {\overline v}_\mu >0~~,~~{\rm resp.}~~
\ge 0 $$
pour tous vecteurs $\zeta =\sum \zeta_i\,\partial/\partial z_i \in T_xX~,$ 
$v=\sum v_\lambda e_\lambda\in E_x$ non nuls. Il est classique que la stricte 
positivit\'e entra\^\i ne l'amplitude de $E$~, mais la r\'eciproque n'est pas 
connue. 

 A l'heure actuelle, il ne semble pas qu'on dispose de th\'eor\`emes 
d'annulation g\'en\'eraux et optimaux pour les groupes de cohomologie de 
Dolbeault $H^{p,q}$ des puissances tensorielles d'un fibr\'e vectoriel
positif $E$~. Ainsi, le c\'el\`ebre th\'eor\`eme de Le Potier [6]
  $$E~~{\rm ample}~~\Longrightarrow~~H^{p,q}(X,E)=0~~{\rm pour}~~p+q\ge n+r$$
ne se g\'en\'eralise pas aux puissances sym\'etriques $S^kE$~, bien que 
l'annulation ait lieu lorsque $q\ge n-1$ (\cf [4])~. Le r\'esultat suivant 
permet n\'eanmoins d'annuler les groupes de cohomologie de certaines 
puissances tensorielles de $E$~.

\tha Th\'eor\`eme|Soit $M$ un fibr\'e holomorphe en droites au dessus de $X$~.
On suppose que $E>0$ et $M\ge 0$~, ou $E\ge 0$ et $M>0$~. Alors pour tous
entiers $p,q,s,k,l\ge 0$ tels que $k+s\ge 1$ on a
  $$H^{p,q}(X,\Lambda^sE\otimes S^kE\otimes(\det E)^l\otimes M)=0$$
sous les deux hypoth\`eses suivantes~:
\vskip 2pt\noindent
{\rm (1.1)}\quad $\displaystyle p+q \ge n+r-(s-1)_+~~,$
\vskip 2pt\noindent
{\rm (1.2)}\quad $\displaystyle l\Big(1+{l\over k+s}\Big)\ge A_{n,p,q,r,s}$
\qquad{\sl avec}
\vskip 2pt\noindent
{\rm (1.3)}\quad $\displaystyle A_{n,p,q,r,s}={1\over 4}n(n+1)\,
\max(N_{p,q,s}\, ,N_{p,q,s-1}\, ,N_{p+1,q+1,s-1}\, , N_{p+1,q+1,s-2})$~~,
\vskip 0pt\noindent
{\rm (1.4)}\quad $\displaystyle N_{p,q,s}=\min\bigg({pq(r-s-1)\over 
p+q+s-n-r+1}\ ,\, {(n-p+1)(n-q+1)(s+1)\over p+q+s-n-r}\bigg)$
\vskip2pt\noindent
\phantom{{\rm (1.4)}\quad}si \ $0\le s\le r-2$~, $1\le p\le n$~, $1\le q\le n~$
et \ $N_{p,q,s}=0$~ sinon.\fintha 

Il est facile de voir que l'on a toujours $A_{n,p,q,r,s}\le{1\over 4}n(n+1)
pq(r-1)$~.\break Explicitons quelques cons\'equences du th\'eor\`eme dans le 
cas particuli\`erement int\'eressant $s=r$~.

\tha Corollaire 1|Sous les hypoth\`eses du th\'eor\`eme on a
  $$H^{p,q}(X,S^kE\otimes(\det E)^{l+1}\otimes M)=0$$
pour~~$p+q\ge n+1$ et $\displaystyle l\Big(1+{l\over k+r}\Big)\ge{1\over4}
n(n+1)N_{p+1,q+1,r-2}$\ , o\`u
$$N_{p+1,q+1,r-2}=\min\bigg({(p+1)(q+1)\over p+q-n+1}\ ,
{(n-p)(n-q)(r-1)\over p+q-n}\bigg)~~.$$
\fintha

\tha Corollaire 2| $H^{p,q}(X,S^kE\otimes\det E\otimes M)=0$ \ pour tout \
$k\ge 0$ \ et\break $p=n$~, $q\ge 1$ \  ou \ $p\ge 1$~, $q=n$~.\fintha 

Le cas $p=n$ du corollaire 2 est un r\'esultat classique de P. Griffiths [3].
Dans ces r\'esultats, il serait souhaitable de remplacer l'hypoth\`ese de
positivit\'e de $E$ par l'hypoth\`ese plus conceptuelle d'amplitude. Compte
tenu des contre-exemples donn\'es dans [4]~, la question suivante para\^\i t
naturelle.

\tha Question|Si $E$ est ample et $M\ge 0$ ou si $E\ge 0$ et $M$ ample, a-t-on
$H^{p,q}(X,S^kE\otimes\det E\otimes M)=0$ \ pour \ $p+q\ge n+1$ \ et \ $k\ge 0$
quelconque ?\fintha
 
Dans le cas des puissances ext\'erieures $\Lambda^sE$~, A.J. Sommese [8] 
conjecture que $E$ ample $\Longrightarrow$ $H^{p,q}(X,\Lambda^sE)=0$ pour
$p+q\ge n+r-s+1$~. A notre connaissance, ce r\'esultat n'est \'etabli que pour 
$p=n$ (\cf [6])~.

  La d\'emonstration du th\'eor\`eme repose pour une part sur la technique 
de passage au fibr\'e $O_E(1)$ au dessus de $P(E^\star)$~, utilis\'ee
par P.Griffiths [3] et J. Le Potier [6] (avec les simplifications apport\'ees 
par M. Schneider [7])~. L'autre ingr\'edient est une estimation de courbure 
pour le fibr\'e des vecteurs tangents verticaux \`a $P(E^\star)$~. Cette
estimation permet d'obtenir des r\'esultats d'annulation m\^eme dans le cas
o\`u la filtration naturelle de l'image directe sur $X$ du faisceau des
formes diff\'erentielles sur $P(E^\star)$ \`a valeurs dans $O_E(k)$ est non
scind\'ee.

Il para\^\i t clair que nos r\'esultats pourraient s'\'etendre aux puissances
tensorielles quelconques de $E$ en travaillant sur la vari\'et\'e des drapeaux 
de $E$ plut\^ot que sur $P(E^\star)$~. Ceci fera l'objet d'un prochain travail.

\vskip 10pt
\titre 2. Utilisation du fibr\'e \ $O_E(1)$~.|

 Si $V$ est un espace vectoriel complexe de dimension $r\ge 1$~, on note
$O(-1)$\break le fibr\'e en droites canonique au dessus de $P(V)=V\setminus
\{0\}/{\Bbb C}^\star$~, tel que\break $O(-1)_{[\xi]}={\Bbb C}.\xi\subset V$
quel que soit $[\xi]\in P(V)$~. On pose plus g\'en\'eralement $O(k)=
O(-1)^{-k}$~, $k\in{\Bbb Z}$~. Pour tout entier $k\ge 0$~, on d\'efinit 
un complexe $(\Gamma^{\blt,k}(V^\star),\delta )$ par~:
   $$\Gamma^{p,k}(V^\star)=\Lambda^pV^\star\otimes S^{k-p}V^\star~~,~~0\le p\le
        k~~,$$
identifi\'e \`a l'espace des formes $\alpha=\sum\alpha_I(\xi)\,d\xi_I$~, 
$|I|=p$~, o\`u $(\xi_1 \ld \xi_r)$ sont des coordonn\'ees sur $V$ et les 
$\alpha_I$ des polyn\^omes homog\`enes de degr\'e $k-p$~~;\break la 
diff\'erentielle
  $$\delta =\tau \ort \blt~~:~~\Gamma^{p,k}(V^\star)\longrightarrow 
      \Gamma^{p-1,k}(V^\star)$$
est d\'efinie comme le produit int\'erieur par le champ d'Euler $\tau=
{\rm Id}_V=\sum \xi_j\,\partial/\partial \xi_j$~. La  diff\'erentielle 
ext\'erieure $d$ v\'erifie alors trivialement $d\delta+\delta d=k.{\rm Id}$~. 
On en d\'eduit que $(\Gamma^{\blt,k}(V^\star),\delta)$ est exact pour $k\ne 0$
et que
$$\Gamma^{p,k}(V^\star)=\Lambda^p V^\star\otimes S^{k-p}V^\star\simeq
   Z^{p,k}(V^\star)\oplus Z^{p-1,k}(V^\star)~~,\leqno(2.1)$$
o\`u $Z^{\blt,k}(V^{\star})$ d\'esigne l'espace des cycles de
$\Gamma^{\blt,k}(V^\star)$~; l'isomorphisme est donn\'e par la 
fl\`eche $u\mapsto({1\over k}\delta du\,,\,{1\over k}\delta u)$ et son inverse
par $(v,w)\mapsto v+dw$~. Cela \'etant, on a les formules 
classiques de R. Bott [2]~:
$$\leqalignno{&H^{p,0}(P(V),O(k))\simeq Z^{p,k}(V^\star)~~;&(2.2)\cr
             &H^{p,q}(P(V),O(k))=0~~{\rm pour}~~q\ge 1~,~k\ge 1~.&(2.3)\cr}$$
On a en effet $TP(V)_{[\xi]}\simeq V/{\Bbb C}.\xi\otimes O(1)_{[\xi]}$ pour 
tout point $\xi\in V\setminus\{0\}$~. L'isomorphisme (2.2) provient alors du 
fait que tout \'el\'ement $u\in\Lambda^p V^\star\otimes S^{k-p}V^\star$ tel que
$\tau\ort u=0$ induit en chaque point $[\xi]$ une $p$--forme dans la fibre
   $$\Lambda^p(V/{\Bbb C}.\xi)^\star\otimes O(k-p)_{[\xi]}\simeq 
       \Lambda^p T^\star P(V)\otimes O(k)_{[\xi]}~~.$$

Appliquons maintenant la construction de $O(1)$ \`a chaque fibre
$V=E_x^\star$~, $x\in X$~. On obtient ainsi un fibr\'e en droites
$O_E(1)$ au dessus de $Y=P(E^\star)$~, et il est bien connu que la 
positivit\'e de $E$ entra\^\i ne celle de $O_E(1)$ (\cf formule (3.9)
ci-dessous). Posons d'autre part
$$\Omega^p_X=\Lambda^pT^\star X\quad,\quad\Omega^p_Y=\Lambda^pT^\star Y~~.$$
On a une suite exacte
$$0\longrightarrow \pi^\star\Omega^1_X\longrightarrow\Omega^1_Y\longrightarrow
\Omega^1_{Y/X}\longrightarrow 0\leqno(2.4)$$
o\`u $\Omega^1_{Y/X}$ est par d\'efinition le fibr\'e des 1--formes 
diff\'erentielles relatives le long des fibres de la projection
$\pi:Y=P(E^\star)\to X$~. On peut alors d\'efinir une filtration 
d\'ecroissante naturelle de $\Omega_Y^s$ en posant
$$F_Y^{p,s}=F^p(\Omega_Y^s)=\pi^\star(\Omega^p_X)\wedge\Omega^{s-p}_Y~~.
        \leqno(2.5)$$
Le gradu\'e associ\'e \`a cette filtration est
$$G_Y^{p,s}=F_Y^{p,s}/F_Y^{p+1,s}=\pi^\star(\Omega^p_X)\otimes
           \Omega^{s-p}_{Y/X}~~;\leqno(2.6)$$
Au dessus de tout ouvert $U\subset X$ o\`u $E^\star$ est un fibr\'e 
trivial $U\times V$ avec $\dim{}_{\Bbb C}\,V=r$~, la suite exacte (2.4) se 
scinde ainsi que la filtration (2.5). En utilisant (2.2) et (2.3), on calcule 
aussit\^ot les images directes de faisceaux
$$\eqalign{&\pi_\star(G_Y^{p,s}\otimes O_E(k)\otimes \pi^\star M) =
   \Omega^p_X\otimes Z^{s-p,k}(E)\otimes M~~,\cr
        R^q&\pi_\star(G_Y^{p,s}\otimes O_E(k)\otimes \pi^\star M)=0
   \quad {\rm si}~~q\ge 1~,~k\ge 1~.\cr}$$
La suite spectrale de Borel-Leray implique l'isomorphisme
$$H^q(Y,G_Y^{p,p+s}\otimes O_E(k)\otimes \pi^\star M)\simeq
        H^{p,q}(X,Z^{s,k}(E)\otimes M)~~.\leqno(2.7)$$
Compte tenu de la suite exacte courte $0\to F_Y^{p+1,\blt}\to F_Y^{p,\blt}
\to G_Y^{p,\blt}\to 0$~, le groupe $H^{p,q}(X,Z^{s,k}(E)\otimes M)$
s'annulera pourvu que
$$\leqalignno{
      H^q(Y,F_Y^{p,p+s}&\otimes O_E(k)\otimes \pi^\star M)=0~~,&(2.8)\cr
H^{q+1}(Y,F_Y^{p+1,p+s}&\otimes O_E(k)\otimes \pi^\star M)=0~~.&(2.9)\cr}$$
Le th\'eor\`eme d'annulation de Kodaira-Nakano [1] appliqu\'e au fibr\'e 
$O_E(k)\otimes\pi^\star M$ sur $Y=P(E^\star)$~, $k\ge 1$~, donne par 
ailleurs
   $$H^q(Y,\Omega_Y^{p+s}\otimes O_E(k)\otimes \pi^\star M)=0\quad
       {\rm pour}\quad p+q+s\ge n+r~.$$
Lorsque $p+q+s\ge n+r$~, les \'egalit\'es (2.8) et (2.9) sont donc des 
cons\'equences respectives des \'egalit\'es
$$\leqalignno{
H^{q-1}(Y,\Omega_Y^{p+s}/F_Y^{p,p+s}&\otimes O_E(k)\otimes \pi^\star M)=0~~,
       &(2.8')\cr
  H^q(Y,\Omega_Y^{p+s}/F_Y^{p+1,p+s}&\otimes O_E(k)\otimes \pi^\star M)=0~~.
       &(2.9')\cr}$$
Nous sommes finalement ramen\'es \`a \'etudier (2.8) et $(2.8')$, car les 
propri\'et\'es (2.9) et $(2.9')$ s'en d\'eduisent par la substitution
$(p,q,s)\mapsto (p+1,q+1,s-1)$~.

\remarque Remarque 2.10|Si la filtration $\pi_\star\big(F^\blt(\Omega_Y^{p+s})
\otimes O_E(k)\big)$ est globalement scind\'ee sur $X$~, c'est-\`a-dire si
$$\pi_\star\big(\Omega_Y^{p+s}\otimes O_E(k)\big)\simeq\bigoplus_m\pi_\star\big
(G_Y^{m,p+s}\otimes O_E(k)\big)
        =\bigoplus_m\Omega^m_X\otimes Z^{p-m+s,k}(E)~~,$$
alors l'annulation du groupe $H^{p,q}(X,Z^{s,k}(E)\otimes M)$ est une
cons\'equence imm\'ediate du th\'eor\`eme d'annulation de Kodaira-Nakano.
Le th\'eor\`eme de Le Potier correspond ainsi au cas $s=0$~, $k=1$ o\`u
la somme directe comporte un seul terme non nul $Z^{0,1}(E)=E$ pour l'indice
$m=p$~. On sait n\'eanmoins d'apr\`es [5] que la filtration est en g\'en\'eral
non scind\'ee. Les techniques de g\'eom\'etrie diff\'erentielle que nous allons
pr\'esenter permettent de s'affranchir de ces difficult\'es et d'obtenir des 
r\'esultats m\^eme lorsque la filtration n'est pas scind\'ee.
\eject
\titre 3. Estimation de la courbure du sous-fibr\'e \ $F_Y^{p,p+s}$~.|

Posons pour simplifier $\Omega=\Omega_Y^{p+s}$~, $F=F_Y^{p,p+s}$~,
$Q=\Omega_Y^{p+s}/F_Y^{p,p+s}$ et consid\'erons les suites exactes 
$$\eqalign{0&\longrightarrow \ \ F\ \cr
           0&\longrightarrow  F(k)\cr}
  \eqalign{&\longrightarrow \ \ \Omega\ \cr
           &\longrightarrow \Omega(k) \cr} 
  \eqalign{&\longrightarrow \ \ Q\ \cr
           &\longrightarrow Q(k) \cr}
  \eqalign{&\longrightarrow 0~~, \cr
           &\longrightarrow 0~~, \cr}
  \leqno{\eqalign{(3.1)&\cr(3.2)&\cr}}$$
o\`u (3.2) se d\'eduit de (3.1) par tensorisation par $O_E(k)\otimes
\pi^\star M$~. Munissons\break $Y=P(E^\star)$ de la m\'etrique k\"ahl\'erienne
$\omega={1\over k}ic(O_E(k)\otimes\pi^\star M)$~, et appliquons \`a toute forme
$u$ de type $(p+s,q)$ sur $Y$ \`a valeurs dans $O_E(k)\otimes\pi^\star M$ 
l'identit\'e de Kodaira-Nakano [1]. Il vient
     $$||D_{\Omega(k)}''u||^2+||\dsta\Omega(k)|u||^2
                        \ge k(p+q+s-(n+r-1))\ ||u||^2~~.\leqno(3.3)$$
Relativement au scindage orthogonal $\Omega\simeq F\oplus Q$~, les connexions 
de Chern de\break $\Omega$~, $F$~, $Q$ sont d'autre part reli\'ees par la 
formule classique (\cf [3])~:
$$D_\Omega=\pmatrix{D_F & -\beta^\star\wedge\blt\cr
                    \beta\wedge\blt & D_Q\cr}~~,~~
  \beta\in C^{\infty}(\Lambda^{1,0}T^\star P(E^\star)\otimes{\rm Hom}(F,Q))~.$$
On en d\'eduit par cons\'equent
$$D_{\Omega(k)}''=
   \pmatrix{D_{F(k)}'' & -\beta^\star\wedge\blt\cr 0 & D_{Q(k)}''\cr}\quad,
                   \quad \dsta\Omega(k)|=
   \pmatrix{\dsta F(k)| & 0\cr
                  -\beta\ort\blt & \dsta Q(k)|\cr}~~.$$
Pour toute $(0,q)$--forme $u$ \`a valeurs dans $F(k)$ [resp. $Q(k)$] on a 
donc
$$\eqalign{&D_{F(k)}''u\cr&\dsta Q(k)|u\cr}
  \eqalign{&=D_{\Omega(k)}''u\quad\cr&=\dsta\Omega(k)|u\quad\cr}
  \eqalign{&,\quad||\dsta F(k)|u||^2\cr&,\quad||D_{Q(k)}''u||^2\cr}
  \eqalign{&=||\dsta\Omega(k)|u||^2\cr&=||D_{\Omega(k)}''u||^2\cr}
  \eqalign{&-||\beta \ort u||^2~~,\cr&-||\beta^\star\wedge u||^2~~.\cr}
  \leqno{\eqalign{&(3.4)\cr&(3.4')}}$$
Pour annuler $H^q(Y,F(k))$ [resp. $H^q(Y,Q(k))$] il suffit, compte tenu de
l'estimation a priori (3.3) , de r\'ealiser en chaque point l'in\'egalit\'e
$$|\beta\ort u|^2\quad{\rm(resp.}\ |\beta^\star\wedge u|^2{\rm)}\ 
        <k(p+q+s-(n+r-1))\,|u|^2~~.\leqno(3.5)$$
Nous allons calculer la forme $\beta $ en nous pla\c cant dans un
syst\`eme de coordonn\'ees convenable. Soit $\alpha_0$ un point quelconque de
$P(E^\star)$ et $(z_1 \ld z_n)$ des coordonn\'ees locales sur $X$ centr\'ees au
point $a_0=\pi(\alpha_0)$~. On peut trouver un rep\`ere holomorphe local
$(e_1^\star \ld e_r^\star)$ de $E^\star$ au voisinage de $a_0$ tel que
$\alpha_0=[e_r^\star(a_0)]$ et
$$\langle e_\lambda^\star\,,\,e_\mu^\star\rangle=\delta_{\lambda\mu}+\sum_
{i,j}\gamma_{ij\lambda\mu}\,z_i\overline z_j+{\rm O}(|z|^3)~~.\leqno(3.6)$$
On en d\'eduit aussit\^ot
$$\eqalign{
  De_\lambda^\star&=\phantom{-}\sum_{i,j,\mu}\gamma_{ij\lambda\mu}\,
       \overline z_jdz_i\otimes e_\mu^\star+{\rm O}(|z|^2)~~,\cr
  D^2e_\lambda^\star&=-\sum_{i,j,\mu}\gamma_{ij\lambda\mu}\,dz_i\wedge
         d\overline z_j\otimes e_\mu^\star+{\rm O}(|z|)~~,\cr}$$
donc $(\gamma_{ij\lambda\mu})$ s'identifie \`a la matrice de la forme de 
courbure $-c(E^\star)={}^tc(E)$~. Par suite $\gamma_{ij\lambda\mu}=
c_{ij\mu\lambda}$~. Soient $(\xi_1 \ld \xi_r)$ les coordonn\'ees sur les 
fibres de $E^\star$ associ\'ees au rep\`ere $(e_1^\star \ld e_r^\star)$~. Les 
fibres de $P(E^\star)$ sont alors repr\'esent\'ees par les coordonn\'ees 
affines $(\xi_1 \ld \xi_{r-1},1)$ au voisinage de $\alpha_0=[e_r^\star(a_0)]$~.
De plus, l'application
  $$(z,\xi)\longmapsto\xi_1e_1^\star+\ldots+\xi_{r-1}e_{r-1}^\star+e_r^\star$$
est une section locale du fibr\'e $O_E(-1)$~. On en d\'eduit
  $$c(O_E(1))=d'd''\log|\xi_1e_1^\star+\ldots+\xi_{r-1}e_{r-1}^\star+
       e_r^\star|^2~~.\leqno(3.7)$$
D'apr\`es (3.6), on obtient
$$\eqalign{|\xi_1e_1^\star+\ldots+\xi_{r-1}e_{r-1}^\star+e_r^\star|^2=1
&+\ \,\sum_{i,j}c_{ijrr}\,z_i\overline z_j+\sum_{\lambda<r}|\xi_r|^2\cr
&+\sum_{i,j,\lambda<r}c_{ijr\lambda}\,z_i\overline z_j\xi_\lambda+
  \sum_{i,j,\mu<r}c_{ij\mu r}\,z_i\overline z_j\overline\xi_\mu\cr
&+{\rm O}(|z|^3+|z|^2|\xi|^2)~~.\cr}$$
Apr\`es diff\'erentiation du logarithme dans (3.7), il vient
     $$\leqalignno{
c(O_E(1))&=\ \,\sum_{i,j}\big(c_{ijrr}+{\rm O}(|z|)\big)\,dz_i\wedge d
\overline z_j+\sum_{\lambda<r}d\xi_\lambda\wedge d\overline\xi_\lambda&(3.8)\cr
&+\sum_{i,j,\lambda<r}c_{ijr\lambda}\,\xi_\lambda dz_i\wedge d\overline z_j
 +\sum_{i,j,\lambda<r}c_{ijr\lambda}\,z_id\xi_\lambda\wedge d\overline z_j\cr
&+\sum_{i,j,\mu<r}c_{ij\mu r}\,\overline\xi_\mu dz_i\wedge d\overline z_j
 +\sum_{i,j,\mu<r}c_{ij\mu r}\,\overline z_jdz_i\wedge d\overline \xi_\mu\cr
&+{\rm O}(|z|^2+|\xi|^2)~~.\cr}$$
Comme $\omega=i\big(c(O_E(1))+{1\over k}\pi^\star c(M)\big)$~, on en d\'eduit
en particulier
$$\leqalignno{
\qquad\quad c(O_E(1))_{\alpha_0}&=\sum_{i,j}c_{ijrr}\,dz_i\wedge d\overline z_j
+\sum_{\lambda<r}d\xi_\lambda\wedge d\overline\xi_\lambda~~,&(3.9)\cr
\omega_{\alpha_0}&=i\Big(\sum_{i,j}\big(c_{ijrr}+{1\over k}c(M)_{ij}(\alpha_0)
\big)dz_i\wedge d\overline z_j+\sum_{\lambda<r}d\xi_\lambda\wedge d\overline
    \xi_\lambda\Big)~~.&(3.10)\cr}$$
En calculant dans (3.8) la diff\'erentielle ext\'erieure de $c(O_E(1))$ au 
point $\alpha_0$ et en posant $c_{ijrr}(z):=c_{ijrr}+{\rm O}(|z|)$~, on obtient
les relations de K\"ahler
$${\partial\over\partial z_m}c_{ijrr}(\alpha_0)={\partial\over\partial z_i}
   c_{mjrr}(\alpha_0)~~,~~1\le i,m\le n~~.$$
Comme $c(M)$ est \'egalement k\"ahl\'erienne, il en r\'esulte que les 
coordonn\'ees locales $(z_1 \ld z_n)$ sur $X$ peuvent \^etre choisies en sorte 
que
   $$c_{ijrr}(z)+{1\over k}c(M)_{ij}(z)=
                     \delta_{ij}+{\rm O}(|z|^2)~~.\leqno(3.11)$$
D'apr\`es (3.8), la norme des vecteurs de base de $TP(E^\star)$ relativement 
\`a la m\'etrique $\omega$ est donn\'ee modulo ${\rm O}(|z|^2+|\xi|^2)$ par
$$\eqalign{
\langle{\partial\over\partial z_i},{\partial\over\partial z_j}\rangle &\sim
  \delta_{ij}+\sum_{\lambda<r}c_{ijr\lambda}\,\xi_\lambda
             +\sum_{\mu<r}c_{ij\mu r}\,\overline\xi_\mu\quad,\quad
\langle{\partial\over\partial\xi_\lambda},{\partial\over\partial\xi_\mu}\rangle
   \sim\delta_{\lambda\mu}~~,\cr
\langle{\partial\over\partial\xi_\lambda},{\partial\over\partial z_j}\rangle &
   \sim\sum_i c_{ijr\lambda}\,z_i\quad,\quad
\langle{\partial\over\partial z_i},{\partial\over\partial\xi_\mu}\rangle 
   \sim\sum_j c_{ij\mu r}\,\overline z_j~~.\cr}$$
Par dualit\'e, on obtient
$$\eqalign{
\langle dz_i\,,\,dz_j\rangle &\sim
 \delta_{ij}-\sum_{\lambda<r}\overline c_{ijr\lambda}\,\overline\xi_\lambda
            -\sum_{\mu<r}\overline c_{ij\mu r}\,\xi_\mu\quad,\quad
\langle d\xi_\lambda\,,\,d\xi_\mu\rangle\sim\vphantom{\sum}
  \delta_{\lambda\mu}~~,\cr
\langle d\xi_\lambda\,,\,dz_j\rangle &\sim
 -\sum_i\overline c_{ijr\lambda}\,\overline z_i\quad,\quad
\langle dz_i\,,\,d\xi_\mu\rangle \sim
 -\sum_j\overline c_{ij\mu r}\,z_j~~.\cr}$$
De ces d\'eveloppements limit\'es, on d\'eduit l'expression sur la base
$(dz_i\,,\,d\xi_\lambda)$ de la connexion de Chern de $T^\star P(E^\star)$ au
point $\alpha_0$~:
$$D(dz_j)=-\sum_{i,\lambda<r}c_{ijr\lambda}(d\xi_\lambda\otimes dz_i+dz_i
\otimes d\xi_\lambda)~~,~~D(d\xi_\mu)=0~~.$$
Le sous-fibr\'e $F$ (resp. le fibr\'e quotient $Q$) admet au point $\alpha_0$ 
la base orthonorm\'ee
$$dz_I\wedge d\xi_J~~{\rm avec}~~|I|+|J|=p+s~~,~~|I|\ge p~~({\rm resp.}~|I|\le
p-1)~~.$$
Soit $f=\sum f_{I,J}\,dz_I\wedge d\xi_J$ une section $C^\infty$ de $F$~. La
$(1,0)$--forme $\beta\wedge f$ n'est autre que la projection de $Df$ sur
$Q=\Omega/F$~. On en d\'eduit
   $$\beta\wedge f=-\sum_{i,j,\lambda<r}c_{ijr\lambda}\,dz_i\otimes
     \big(d\xi_\lambda\wedge\big({\partial\over\partial z_j}\ort f\big)\big)~~
     {\rm mod}\,F~~.\leqno(3.12)$$
En effet, la d\'erivation d'un facteur $dz_j$ dans un terme 
$D(f_{I,J}\,dz_I\wedge d\xi_J)$ abaisse d'une unit\'e le degr\'e partiel $|I|$
lorsque $dz_j$ est d\'eriv\'e en $c_{ijr\lambda}\,dz_i\otimes d\xi_\lambda$~.
La partie correspondante de la d\'eriv\'ee est donc dans $Q$ si $|I|=p$~.
Pour toute $(0,q)$--forme $u=\sum u_{I,J,K,L}\,dz_I\wedge d\xi_J\wedge d
\overline z_K\wedge d\overline\xi_L$~, $|I|+|J|=p+s$~, $|I|\ge p$~,
$|K|+|L|=q$\break \`a valeurs dans $F(k)$~, on obtient par cons\'equent
   $$\beta \ort u=-\sum_{i,j,\lambda<r}c_{ijr\lambda}\,{\partial\over
             \partial\overline z_i}\ort\big(d\xi_\lambda\wedge\big(
             {\partial\over\partial z_j}\ort u\big)\big)~~
             {\rm mod}\,F(k)~~.\leqno(3.13)$$
Dans le calcul de $\beta\ort u$~, seuls interviennent les termes de $u$ dans 
lesquels $|I|=p$ et $|J|=s$~. Ecrivons $v=\beta\ort u$ sous la forme
$$v=\sum v_{I',J',K',L'}\,dz_{I'}\wedge d\xi_{J'}\wedge d\overline z_{K'}\wedge
d\overline\xi_{L'}~~,$$
o\`u $|I'|=p-1~,~|J'|=s+1~,~|K'|+|L'|=q-1$~. La formule (3.13) implique
$$\eqalign{
v_{I',J',K',L'}&=\sum_{i,j,\lambda<r}\pm c_{ijr\lambda}\,u_{jI',J'\setminus
\{\lambda\},iK',L'}~~,\cr
|v_{I',J',K',L'}|^2&\le\Big(\sum_{i,j,\lambda<r}|c_{ijr\lambda}|^2\Big)
\Big(\sum_{i,j,\lambda<r}|u_{jI',J'\setminus\{\lambda\},iK',L'}|^2\Big)~~,\cr
\sum_{I',J',K',L'}|v_{I',J',K',L'}|^2&\le
\Big(\sum_{i,j,\lambda<r}|c_{ijr\lambda}|^2\Big)pq(r-1-s)
\sum_{I,J,K,L}|u_{I,J,K,L}|^2~~.\cr}$$
On en d\'eduit donc la majoration
$$|\beta\ort u|^2\le pq(r-1-s)\Big(\sum_{i,j,\lambda<r}|c_{ijr\lambda}|^2
              \Big)\,|u|^2~~.\leqno(3.14)$$
De m\^eme, pour toute $(0,q)$--forme $u=\sum u_{I,J,K,L}\,dz_I\wedge d\xi_J
\wedge d\overline z_K\wedge d\overline\xi_L$~, $|I|+|J|=p+s$~, $|I|\le p-1$~,
$|K|+|L|=q$ \`a valeurs dans $Q(k)$~, on obtient
$$\leqalignno{\displaystyle
      \beta^\star\wedge u&=-\sum_{i,j,\lambda <r}\overline c_{ijr\lambda}
             \,d\overline z_i\,\wedge\big(dz_j\wedge\big(
             {\partial\over\partial\xi_\lambda}\ort u\big)\big)~~
             {\rm mod}\,Q(k)~~,&(3.13')\cr
     |\beta^\star\wedge u|^2&\le (n-p+1)(n-q)(s+1)\Big
          (\sum_{i,j,\lambda<r}|c_{ijr\lambda}|^2\Big)\,|u|^2~~.&(3.14')\cr}$$
Il s'agit maintenant d'estimer la quantit\'e $\sum|c_{ijr\lambda}|^2$ sous
l'hypoth\`ese (3.11). Celle-ci permet seulement a priori de contr\^oler les
coefficients $c_{ijrr}$~, c'est pourquoi on va remplacer $M$ par le fibr\'e en
droites $M_l=(\det E)^l\otimes M$~, la courbure de $\det E$ \'etant 
$$c(\det E)={\rm tr}_{\raise-2pt\hbox{$\scriptstyle E$}}\,c(E)=\sum_{i,j}\Big(
 \sum_{1\le\lambda\le r}c_{ij\lambda\lambda}\Big)dz_i\wedge d\overline z_j~~.$$
L'\'egalit\'e (3.11) donne alors au point $\alpha_0$
   $$c_{ijrr}+{l\over k}\ \sum_{1\le\lambda\le r}c_{ij\lambda\lambda}+
     {1\over k}c(M)_{ij}(\alpha_0)=\delta_{ij}~~.\leqno(3.15)$$
\tha Lemme 3.16|Sous l'hypoth\`ese (3.15) on a
$$\sum_{i,j,\lambda<r}|c_{ijr\lambda}|^2<{n(n+1)\over4{l\over k}({l\over k}+1)}
         \quad{\rm si}\quad l>0~~.$$
\fintha
\dem Effectuons le changement de variable
$$\sum_{\lambda,\mu}c_{ij\lambda\mu}\,\xi_\lambda\overline\xi_\mu=
  \sum_{\lambda,\mu}c'_{ij\lambda\mu}\,\xi'_\lambda\overline\xi'_\mu$$
avec les notations
$$\eqalign{\displaystyle
    c'_{ijrr}&=\Big(1+{l\over k}\Big)c_{ijrr}~~,
                   ~~\xi_r=\sqrt{1+{l\over k}}\,\xi'_r~~,\cr
    c'_{ij\lambda\lambda}&={l\over k}\,c_{ij\lambda\lambda}~~
        \phantom{\Big(1+~~},
       ~~\xi_\lambda=\sqrt{l\over k}\,\xi'_\lambda~~~~{\rm si}~~\lambda<r~~,\cr
    c'_{ijr\lambda}&=\sqrt{{l\over k}\Big(1+{l\over k}\Big)}
        \,c_{ijr\lambda}~~~~{\rm si}~~\lambda<r~~.\cr}$$
La matrice $(c'_{ijr\lambda})$ est positive au sens de Griffiths et le lemme 
3.16 est \'equivalent \`a l'assertion
$$\Big(\sum_{1\le\lambda\le r}c'_{ij\lambda\lambda}\Big)+{1\over k}c(M)_{ij}
(\alpha_0)=\delta_{ij}~\Longrightarrow~\sum_{i,j,\lambda<r}|c'_{ijr\lambda}|^2
<{1\over 4}n(n+1)~~.\leqno(3.17)$$
Pour d\'emontrer celle-ci, on fait d'abord l'observation suivante~: pour
toute matrice hermitienne positive $(a_{\lambda\mu})_{1\le\lambda,\mu\le r}$
l'in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz entra\^\i ne
$$\sum_{\lambda<r}|a_{r\lambda}|^2\le\sum_{\lambda<r}a_{\lambda\lambda}\,a_{rr}
  =a_{rr}(\tau-a_{rr})$$
o\`u \ $\tau=\sum_{1\le\lambda\le r}a_{\lambda\lambda}$ est la trace de 
$(a_{\lambda\mu})$ et o\`u $0\le a_{rr}\le\tau$~. Par suite
$$\sum_{\lambda<r}|a_{r\lambda}|^2\le{1\over 4}\tau^2~~,\leqno(3.18)$$
avec in\'egalit\'e stricte si la matrice $(a_{\lambda\mu})$ est d\'efinie 
positive. Or pour tout vecteur $t=(t_1\ld t_n)\in{\Bbb C}^n$~, la matrice
$a_{\lambda\mu}=\sum_{ij}c'_{ij\lambda\mu}\,t_i\overline t_j$ est 
hermitienne $\ge 0$~, et gr\^ace \`a l'hypoth\`ese de (3.17) on a
$$\tau=\sum_\lambda a_{\lambda\lambda}\le\sum_{i,j,\lambda}\big(
  c'_{ij\lambda\lambda}+{1\over k}c(M)_{ij}(\alpha_0)\big)t_i\overline t_j
  =|t|^2~~,$$
avec in\'egalit\'e stricte si $M>0$~, $t\ne 0$~. De (3.18) on d\'eduit par 
cons\'equent
$$\sum_{\lambda<r}\Big|\sum_{i,j}c'_{ijr\lambda}\,t_i\overline t_j\Big|^2
     <{1\over 4}|t|^4~~{\rm si}~~t\ne 0~~.\leqno(3.19)$$ 
Appliquons l'in\'egalit\'e (3.19) au vecteur $t=(e^{i\theta_1}\ld 
e^{i\theta_n})\in {\Bbb T}^n$ et int\'egrons sur le tore ${\Bbb T}^n$~. 
D'apr\`es l'identit\'e de Parseval pour les s\'eries de Fourier, on obtient
$$\sum_{\lambda<r}\Big(\sum_{i\ne j}|c'_{ijr\lambda}|^2+
  \big|\sum_i c'_{iir\lambda}\big|^2\Big)<{1\over 4}n^2~~.$$ 
L'in\'egalit\'e (3.19) appliqu\'ee aux vecteurs de la base canonique de
${\Bbb C}^n$ donne de m\^eme $\sum_{\lambda<r}|c'_{iir\lambda}|^2<{1\over 4}$
pour tout $i$~, d'o\`u l'assertion (3.17) et le lemme.\finpr

En combinant (3.14), $(3.14')$ avec le lemme 3.16, il vient
$$\leqalignno{
  |\beta\ort u|^2&\le pq(r-1-s){n(n+1)\over4{l\over k}({l\over k}+1)}|u|^2~~,
      &(3.20)\cr
  |\beta^\star\wedge u|^2&\le (n-p+1)(n-q)(s+1){n(n+1)\over4{l\over k}
  ({l\over k}+1)}|u|^2~~.&(3.20')\cr}$$
Compte tenu du crit\`ere (3.5), l'annulation du groupe $H^q(Y,F(k)\otimes
\pi^\star(\det E)^l)$\break [resp. $H^q(Y,Q(k)\otimes\pi^\star(\det E)^l)$] 
a lieu pour $p+q+s\ge n+r$ et 
$$\eqalign{{4{l\over k}({l\over k}+1)\over n(n+1)}k(p+q+s-n-r+1)&\ge pq(r-1-s)
   \cr{\rm resp.}\quad &\ge (n-p+1)(n-q)(s+1)~~.\qquad\cr}\leqno(3.21)$$
Comme $(2.8')$ implique (2.8) , l'annulation (2.8) a lieu pour $p+q\ge n+r-s$ 
et\break (d'apr\`es (1.4)) pour $l(1+{l\over k})\ge{1\over 4}n(n+1)
N_{p,q,s}$~. Comme (2.8) et (2.9) entra\^\i nent l'annulation des groupes 
(2.7)~, il vient apr\`es substitution de $(\det E)^l\otimes M$ \`a $M$~~:
$$H^{p,q}(X,Z^{s,k}(E)\otimes(\det E)^l\otimes M)=0\phantom{\sum}
       {\rm pour}\leqno(3.22)$$
\vskip -12pt
$$p+q\ge n+r-s~~{\rm et}~~l\Big(1+{l\over k}\Big)\ge
     {1\over 4}n(n+1)\,\max(N_{p,q,s}\, ,\, N_{p+1,q+1,s-1})~~.\leqno(3.23)$$
Ceci implique le th\'eor\`eme car
$\Lambda^sE\otimes S^{k-s}E=Z^{s,k}E\oplus Z^{s-1,k}E$ d'apr\`es (2.1).

\vskip 10pt
\titre Bibliographie|
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