\input macros_ocr.tex

\def\enonce{\bf}

{\sevenrm\baselineskip=8pt
S\'eminaire P.~LELONG, H.~SKODA\\
(Analyse) 17e ann\'ee, 1976-1977\\
Lecture Notes in Math.\ {\sevenbf 694}, Springer, pages 15--41\vskip1.5cm}
\centerline{\hugebf Différents exemples de fibrés}
\medskip
\centerline{\hugebf holomorphes non de Stein}
\bigskip

{\leftskip=10mm par Jean-Pierre Demailly\vskip0pt 
{\it \'Ecole Normale Sup\'erieure, 45, rue d'Ulm, 75230 Paris\\ 
et C.N.R.S., L.A.\ n$^\circ\,$213 Analyse Complexe et Géométrie,\\
Université de Paris VI, Département de Mathématiques, 75005 Paris
\vskip1cm}}


{\bigbf Introduction}

Le présent travail se rattache au problème posé en 1953 par {\petcap
J.-P.~Serre} (cf.\ [3]) de savoir si un espace fibré analytique dont
la base et la fibre sont des variétés de Stein est lui-même une
variété de Stein.

Depuis lors de nombreux résultats avaient été obtenus, apportant tous
des réponses partielles positives. En 1977, {\petcap H.~Skoda} montrait
néanmoins par un contre-exemple que la réponse générale était
négative~; nous renvoyons à [4] et [5] pour le contre-exemple ainsi
que pour une liste complète de références.

Dans ce contre-exemple, la fibre est $\bC^2$, la base est un ouvert
de $\bC$, les automorphismes de transition sont localement constants et
à croissance exponentielle.

La démonstration repose essentiellement sur l'inégalité de {\petcap P.~Lelong}
relative à la croissance des fonctions plurisousharmoniques sur les
fibres, que nous rappelons en préli\-minaires. Il en résulte que s'il
existe une fonction holomorphe non triviale sur le fibre, les
automorphismes de transition ne peuvent pas être trop déformants et
doivent vérifier des conditions assez restrictives à l'infini. Nous
reprenons les arguments de {\petcap H.~Skoda} [5] dans la deuxième partie.

Une question naturelle posée dans [5] était de savoir si le type
exponentiel des automorphismes jouait un rôle fondamental. Nous
montrons au paragraphe 3 qu'il suffit en fait de prendre des
automorphismes de transition polynomiaux, de degré 2 lorsque la base
est bien choisie, le problème se ramenant à un calcul d'enveloppe
pseudo-convexe.

Dans la quatrième partie nous examinons par les mêmes méthodes le
cas où la base est un ouvert simplement connexe de $\bC$, et donnons un
exemple de fibre non de Stein à fibre $\bC^2$  au dessus d'une telle base.

Les automorphismes de transition sont dans ce cas de type exponentiel,
et il nous semble que la croissance polynomiale soit insuffisante pour
obtenir le même phénomène.

Je suis heureux de remercier ici le professeur {\petcap H.~Skoda} pour la
générosité avec laquelle il m'a accordé son temps. Je lui dois en
particulier plusieurs améliorations dans la rédaction du manuscrit
original, et je lui en suis très reconnaissant.
\bigskip

{\bigbf 1. Préliminaires : l'inégalité de P.~Lelong }

\end

Soit XI une variété analytique connexe de dimension p,

V une fonction plurisousharmonique (en abrégé p.s.h.) sur/l/C , uj un ouvert relativement compact de/1.

On mesure la croissance de V sur les fibres en posant :

M(V,co,r) =    sup     V(x,z)	(1)

XÊ.CÛ ,|z| ^r

où r 6 (R   et où  jzl =  sup   Iz . I

 D'après P.LELONG ]2\     , M(V,co,r) est une fonction convexe croissante de Log r , strictement croissante pour  r  assez grand si  V  est non constante sur au moins une fibre au-dessus de ou .

 LEMME 1 - ~  Siilest un ouvert de ¤ , ou C co" C OU   trois polydisques concentriques de rayons o  < «>" <A, relativement compacts dans il, et_  V une fonction p.s.h. surJlxC , alors :

(2)	M(V, co2,r) < M(V,   CW, , r°~)    +   p[M(V, ">3 , 1 )    -   M(V,   «^ ,r«-)]

log  ga/gj	,        1	lpg  ft/f 1

 (3)	avec a~ = ?;	;-       u = 1 - -  =	?.-

log C3/e2	r       a-	log e3/f]

Démons tra t ion . Supposons eu , co? ,  eu- centrés en 0

17

 M( p  , r) est une fonction convexe des variables u = Log p (cf. par exemple [2] , prop. 2.3.3. et 6.2.1.).

Log r

 On  considère dans le plan des (u,v) les trois points A ,A",A

 définis par :

 :  u,  = log e,

:  u2  = log Çl

Vj = log r

v  = Xlog r

u3  = Log ^3 e sor

lQg e2    l0s e3	los e3/e2

soi t X

log   p{   -   log   (p3

On en déduit par convexité de (u,v) i->M(e ,eV) M(o2,r^) 4 XM( p   ,r) + (1 -\)M(p,l)

 soit avec o~= -        = 1 -X ès remplacement de r par r*5"- : À

 M( p2,r)   ^M( £,,r°-) + p [m ( £> 3 , 1 ) ~ M(fj,r«o]

ce qui est bien la relation (2).

COROLLAIRE 1 . - S_i V est non constante sur au moins une fibre au-

 dessus de cu" , il existe  r  > 0 tel que :

	  2  	-   o    	-	

M(V,u>2,r)  4 M(V, COj ,r«") pour  r^rQ -

En effet M(V, CO~,r) est convexe croissante en log r, et non constante pour r assez grand, donc M(V, eu , r) tend vers +ooquand r tend vers

D'après (2)  M(V, u>,r) tend également vers +cO , d'où la conclusion.

COROLLAIRE 2 (inégalité de P.LELONG). - SoitHune variété analyti' que connexe de dimension p ,  V  une fonction p.s.h. sur il /.  ¼  non constante sur au moins une fibre, et co cu"  deux ouverts relativement compac t s de il- . Il existe une constanteçr ne dépendant que de tû.  , UX , Çï.   et une



18

 constante  r  dépendant en outre de V telles que

	  o	'		

(4)       M(V,o>2, r) 4M(V,OJj , r<r) pour  r ^ r . Démonstration:immédiate grâce au Corollaire connexité de/let des arguments de compacité.

1 en utilisant la

 2. Construction du fibre X . Restrictions sur la croissance d'une fonction plurisousharmonique non triviale (H.SKODA L5J ) .

 On  considère maintenant des ouverts 0. , Jl, , . . . , fl  de <£ , connexes,

 0    1	N

tels que fl n il. , 1 < j / N ait deux composantes connexes il! fi".    , et

1     0 i   j )   * J *	r	3	3

tels que il.Oil = 0 pour 1 ^j <k^

N.

 On prend pour base B du  fibre l'ouvert B =   ^_J fi.

j=o  J On définit le fibre X en recollant les cartes locales trivialisantes

 T, : X

n.-

 ->J1. X ¼   et t  : X ,

o

 par les automorphismes de  transition  T.  = t. o T   suivants :

30	3	o

 t.(x,z)    =      (x,g.(z))       si      x6   Jl!

(5)

(x, z)

où les g. sont des automorphismes analytiques de C" (1 ^j ^N).

Une fonction p.s.h. V sur X est définie par la donnée de fonctions

p.s.h.	V. = V o T .  sur il. x £   pour  0 < j <N telles que

pour  1 ^j <N, on ait :

V (x,z)  =  V.(x,g.(z))  quand  xeil!

(6)

 Vo(x,z)  =  V.(x,z)

quand  xgA'1 J



 Si h est un automorphisme de <C , nous  écrirons abusivement

V o h(x,z)  = V(x,h(z)) .

Etant donné deux fonctions (f> , \y  sur R  nous noterons (r>   r^J \^> la rel

tion d'équivalence :

"il existe des constantes a~>0   et  r  > 0 telles que

a-



 Cp(r) ^ v|/(r«~)  4»(r) ^ (|>(rO

pour  r yyxQ



19

On   se   donne   alors   des   ouverts   co ,   Col ,   eu'.'

o        J	J

compacts respectivement dans il , fi'.,  il'.' .

o   J   J

 (1 4J 4N)  relativement

 Appliquons trois fois la relation (4) du corollaire 2 dans les cartes,

en supposant que V est non constante sur une fibre :

 . à la  fonction V. o g. o h et au couple d'ouverts il!, ii'.1 C Jl.

 M(V. o g. o h , oo! , r)r\JM(V. o g. o h , co'.', r)  soit d'après (6)

 M(V  o h, eu! , r) rJ  M(V  o g . o h, 00'.', r )

o	J	°    J       J

- à la fonction V  o h et au couple co , co! cil  :

o	o   j    o

M(V  oh,co,r)rjM(V  oh,co!,r)

o        o	o	J

» à   la   fonction   V      o   g.    o   h   et   au   couple CO   ,  co" C fl    '-

 O      J	O     J      o

M(Vq o g. o h, coo, r) «M(Vq o g. o h , co" ,    r)  (7)

Il vient par transitivité de rJ :

M(V  o g. o h, co, r)r\jM(V  o h,co , r).

o    J        o	o        o

Prenons pour h un élément du groupe d'automorphismes  G  engendré par les g. ; en raisonnant par récurrence sur la longueur de l'écriture formelle de h, on obtient à partir de  (7)  :

PROPOSITION 1, - Soit h ,..., h  des automorphismes de d  appartenant au groupe G engendré par les g.. Il existe une constante g-  ne

dépendant que de eu  et de l'écriture formelle des h. dans G, et une

	c	a	 -0 	  j 	    	

 constante r  dépendant en outre de V et des h. telles que :

	  0 	c	   	  j 	a	

(8)

M(V  o h., co , r) <M(V , co , r °~)  pour   r yy r

o    J   o     **   o   o		      " o

 Désignons  maintenant par D  le polydisque  jzl  = sup  z . I <r de <E

 L'inégalité (8) s'écrit encore

sup	V   (x,z) <M(V   ,co  , r0^   pour   r > r

xeo>o ,    z &      \J      h . (Dr)

lO<q	--r-^^

Notons K  l'enveloppe pseudo-convexe  \J h.(D )	(c'est aussi l'enve-

loppe polynomialement convexe d'après HÔRMANDER [l]  , p. 91, th. 4.3.4.)



20

et r = r(h ,...,h ) le rayon du plus grand polydisque D_ inclus

1       q	Ç

dans K . r

Comme V  est plurisousharmonique en z, on a par définition de K

o	-i        »       r	r

sup

x£w ,z£ U h,(D ) j

V (x,z )  =    sup        V(x,z) xê55 , z e K

 et a  fortiori  M ( V , (x>   , f ) < M ( V ,co. r°~) pour  r >. r

o   o     *    o   o	?    o

 Si V est non triviale, M(V , eu , r ) est strictement croissante pour r

assez grand, et on en déduit aussitôt :

PROPOSITION 2. - Si le fibre X possède une fonction p.s.h. non

constante sur au moins une fibre , il existe des constantes <r>0 et

r x 0 telles que :

o '       	3	

r" (hj,..., hq) ^r^  pour r + x q	(9)

Comme l'a souligné H.SKODA dans son article £53 , il est possible de donner une construction plus algébrique du fibre X.

Une autre construction du fibre X :

On choisit la base B de sorte que le groupe fondamental G de B soit un groupe libre à N générateurs o<. , . . . , <*N, opérant sur le re-vêtement universel B de B .

rJ	n

On fait alors opérer G à gauche sur B ^ (E  proprement et librement en posant :

 o(. (x,z) = (o<.(x), g.(z))  où   I4J4N   xeB  et  z «= C

 L'espace quotient (B^d )/G est alors un fibre au-dessus de B,à fibre

¼ , et on no te

 p : B X ¼

 -> X la projection

 La donnée d'une  fonction p.s.h. V sur X équivaut à la donnée d'une fonc-tion p.s.h.  V = V o p sur Bx¼  invariante par l'action de G :

(10)       V(x,z) = V(«*. (x), g.(z)) pour xeB et  z a <En,



21

On retrouve les résultats de la proposition 1 en considérant pour

tout élément  (o<, h) du groupe libre engendré par les ( o< . , g.) le

 couple ( co , o<(ûo)) d'ouverts de B. o     o

 D'après (10) on a M(V, co , r) = M(V o h Jt><(co ),r), et d'après (4),

B étant connexe

 M(V, CO-,  r)rJM(V o h, cj , r )

pour tout h dans le, groupe engendré par les g., c'est-à-dire l'équivalent de (8) .

 3. Est ima t ion de r, et contre-exemple.

2 On prend n = 2, N = 1, autrement dit la fibre est ¼ , et la base

B réunion de deux ouverts SI   ,   SI, .

o   1

 Définissons  g = gj par gCZj.z») = (z  - z2, Zj)

 k  etN

(1 O

 g est évidemment un automor phisme de  ¼  ,  et g (z > z 9 ) = (z",z? - z.)

(	2	! k

Il est clair que g(D ) = J ( z , z ) e C  ; jz.J^r  et  z2 - z

g_1(Dr) ={(z1'z2) £<I  ; lzlUr  et \z\   " z:

Soit V^ la surface de (C  définie par l'équation : P(Z],z2) = (z* - z2)(z2 -*,)--<  »  °<eC -

 L'ensemble des valeurs o< pour lesquelles V, possède des singularités (^valeurs critiques de P^>) est fini : cela résulte du fait général qu'un polynôme n'a qu'un nombre fini de valeurs critiques, mais nous le vérifierons de façon élémentaire par des calculs explicites.

Soit L . la partie compacte de V^ définie par :

I   1 k

 1,1 k Z2 |<kr  -

 .Supposons  d'abord que	V , est	lisse

Le bord ÔL, de L^dans	V, est	l'ensemble des points tels que :

Il	1    k	i.lk

lzll     =      2r	lz2l<2r

"l       *    2r



22

( 9L^ fait évidemment partie de cet ensemble, et lui est précisément égal car les coordonnées z.,z  définissent des applications ouvertes

pour

¼)

1  k

1 k

 2r *   "k+l

pourvu que

k-1  , r    »2

 Cette condition sera assurée si k y^ 2 ,    r ^2, ce qu'on suppose désormai:

 Sur la  partie de "3 L , définie par  z | = -s-r , on a donc :

 Z2   "   ZlK

r     722 k   +1

Prenons|o<|4  *Y+T~	''    alors    |z2	Z l|   4 r   et   comme j z ] j ^ lr k   on   a

|z2|4r      (sinon    jz

 ùl|> 2r >r) d'où (z] «z2) * S^V

 Par  conséquent  "3L C g(D ) (Jg  (D ) et le principe du maximum appliqué

 os     r	r

A

Cherchons maintenant les valeurs de^pour lesquelles V^,   est singu-

lière ; elles sont obtenues pour dP = 0 :

k  k    k+1     k+1 P = z, z2 - z,   - z2   + z, z2 = o<

(12)



 âP/ 3Z] = k zk ' zk - (k+l)zk + z2 = 0 'ÔP/ Bz2 = k Zj z2   - (k+l)z2 + Zj = 0

 (13)  (14)

 En  multipliant l'équation (13) par z  et (14) par z0 on voit que :

k+1    k+1	(z, = t	^k+1

z.   = z     , soit  ^_1 __      avec   ^

Remplaçons dans (12) et (13) :

Y t2k - 2tk+1 + ^t2 = o< k ^k t2k-l _ (k+1)tk + ^t = 0 .

 Ces équations se  résolvent explicitement ; on trouve

t = 0    ,	c< = 0      ,      z  = 0

z2 = 0



o( = 0

1



1

 t = ,/k,«=7k+1 k  k-'(, -I)2 ,  Z] =.k k"'  .

1

 k .  k-1 1  k



23

avec

k2-:

1,^=7

k-l

 En  particulier les valeurs critiques sont de module 41 *  r'

Or   pour   |o< W r	et      ( z    , z   ) e L ,   ,   on   a

 Zl    "   Z2 '

k z2    -   z,

<   r

 conditions  qui impliquent l'une et l'autre (z.,z )eK , comme vu au

 point précédent.

 k2+l

Dans tous les cas , on a  L,cK  pour \o(\   4 	?-

°<  r r	II    "k +

 REMARQUE 1 . "* En fait	le principe du maximum est vrai même sur une

surface à singularités ;	nous aurions donc pu nous dispenser des calculs

précédents, mais il nous	a paru intéressant d'étudier les singularités

de V t    .



 D'après  (15)  K  contient l'ensemble : r

{(*,.«2) e(C ;  [«J4.

Si maintenant |z l et

k2+l^,/2

I k zl " Z2

l2k+1  J        k

- +

Sj^k^2, r ^ 4  r ( g , g  )^yr

 .   k2+, k        r

z2 " ziU-kTT-

 Si k est assez grand (par exemple k v,2o-avec la cons  tante o-de la proposition 2), on obtient la contradiction désirée.

THEOREME 1. - Le fibre X construit au paragraphe 2 à l'aide de

2 1 ' automorphi sme de (E  défini par (11) et avec k % 2<r  ne possède aucune

 fonction plurisousharmonique et aucune fonction holomorphe non constante

sur les fibres ; en particulier X n'est pas une variété de Stein.

Remarquons que si k = 0 (resp. k = 1) X est un fibre affine (resp. vectoriel) au-dessus d'un ouvert B de Stein (car B cS) donc X est lui-même une variété de Stein.

Nous allons maintenant donner un contre-exemple précis pour lequel on pourra prendre  k > 2 .



24

Choisissons	B   =      <E   \ {0}

A      =      <C \> oo ,    o]

jn   =   c \ [o, +«> C

fi-J ={xêC ; Im x<0} A" =jxëC ; Im x ? O] (1'automorphisme g étant toujours défini par (11)).

 Explicitons la construction de X comme espace quotient indiquée au

paragraphe 1.

2 Soitp  :  <E*¼  -7- X l'application définie par :

 p(x,z)    =   T     (e    ,    g      (z))    pour    ( 2m-1 )lT<:Im   x<(2m+l)rr

-1

v	-m

 =   T      (e    ,    g       (z))    pour      2 m tt   <Im   x   <(2m+2)n 1

 (on  vérifie aisément que les conditions de compatibilité sont satisfaites) .

2 X s'identifie donc à travers p au quotient de £ x C  par le groupe

d ' au tomorphi smes G = |o<  ; m ¤ % \      où o<(x,z) = (x + 2 i tt , g(z)).

Une fonction V sur X est caractérisée par la donnée de V = V o p

2 sur C XI  vérifiant

 ( 16)	V(x + 2irr , g(z>) = V(x,z) .

 Notons a>/a     \=   I x e C    ; |x  -  a |<£*l      ,   où     aél     et     O > 0

 D'après  (16)     M(V o g, OJ(0>1)  , r) = M (V ,u>(_2 .  , y   r)

-1

 M(V *°>(ZM,\y  r)    = M(V o g  ,cu(or), r). du 1, avec &     = 1 , ç>_ = +2TT,p  ,il

pour tout <r>1 une constante r ( a-) telle que

o

M<^(_2iTT,.) '  r)  s<M^,«>(0)}+2TT) . r) N< M(V, cu(oj)) ra-)

 M(*»«Wfi) ' r } ^M(^'a,(o,i+2îT)'r4M(^'co(o,i)'r<r) pour r?r0(cr)  pourvu

 que V soit non constante sur au moins une fibre; en posant ou « eu

(0,1)

 il  vient      M(V o g, co , r)<M(V, où  ,    «~ )

-1

 M(Vog  ,a;,r) ^M(V, tu , r^ pour r >r (*-).



25

En répétant le raisonnement  précédant    la proposition 2, on obtient :

LEMME 3. - Si le fibré X possède une fonction plurisousharmonique non constante sur au moins une fibre, il existe pour touto->I un nombre r (or) > 0 tel que :

r(g,g  ) 4. r

°~  pour  r >,x   ( cr )

 Lorsque  k ^ 2     les lemmes 2 et 3 montrent que X n'a pas de fonction plur

sousharmonique non constante sur les fibres (prendre 1<o-<t-) .

2 4. Exemple de fibré holomorphe non de Stein à fibre C  au-des sus

d'un ouvert simplement connexe de ¼.

Soit B un ouvert simplement connexe de C (cette hypothèse n'étant d'ailleurs pas nécessaire dans ce qui suit) contenant les six points :

a, = 1, a" = l+2i, a" = 1 -2 i, a. = -1, ac = -l+2i, a, = -l-2i .

12	3	h	d	o

On note II  = B\ja,a2,a,a,,a5>a,\

 JL » SI       U  fa, \  pour 1 < k / 6 . k    o      \ kJ

2 On construit un fibré X à fibre <E  au-dessus de B par les cartes locales trivialisantés :

2 X,  : X -y X   <C   -dessusde il,   (0 4k ^6)   avec les automorphismes

-1

T -: Jï x <C  	^/l X ¼   (si k il      -^k^^ = fL) définis Par

tQ j (x, z)	=	(x,w)

XQ2 (x»z)	=	(x,w)

 To3(x,z)	=	(x,w)

 T(x,z)	=	(x,w)

o4

ro5(x,z)	=	( x , w )

T6(x,z)	=	(x,w)

avec xe fi.



w

-

z .

w

=

z .

w

=

z

w

=

z

w

=

z

w

=

z

J =

w2= z2 exp(z](p(x))

w2 = z2exp ( z j j Cp (x) )

2 w2 = z2exp (z j j Cp(x) )

exp(z2q)(x))   ,	w2

exp(z2j(p(x) ) ,	w2

2

exp(z2j Cp(x) ) ,	w2

1    . ]/l



(D(x) = exp(-2

x - 1

(x-2i)2-l    (x+2i)2-1



26

k-i   =rôk  ° Xoi    P°Ur t0Ut   k'^  = ]"-- 6

REMARQUE 2. - Pour définir X, il n'est pas indispensable d'utiliser

2 la carte Çï    X ¼  ; nous la conserverons néanmoins par souci de symétrie,

et pour simplifier les calculs.

LEMME 4. -   Pour -1 £Re x <1, on a  lcp(x)l<l .

 Démonstration. En effet  	^	  = - - ( -.	 +	 )  et -.	»-;	

		2 ,       2   1+x   1-x        I+x 1-x

x - 1

ont tous deux une partie réelle positive donc

Re -s	  < 0   et de même  Re 	=	   <  0 ,

 x - 1	(x-2i)Z - 1

 Re 	=	 <0    pour  -1 < Re x <1 .

(x+2i) -1

Soit maintenant V une fonction plurisousharmonique continue sur X re-

2

présentée dans la carte Çl    ¼  par la fonction plur isousharmonique con

tinue V.  = V o t,

k	k

2

On a donc  V  o T   .   = V- sur flx<C	k, -ê     -    , . . . 6 .

 Désignons par co,	,  le disque ouvert de centre a et de rayon p

\  a , p )	Ç

(ae(C,P>0) et par b,   1 <k ^6 la projection orthogonale i  Im  a  de a sur l'axe imaginaire.

Nous supposerons de plus que B contient le disque ouvert de centre 0 et

de rayon 4 afin que tous les disques considérés dans la démonstration

du lemme 5 soient contenus et relativement compacts dans B.

2 LEMME 5. - S_i V est non constante sur la fibre Ça,  ")x<E  , il existe

des constantes  C, r >0 telles que pour  r>r  :

	      o '		°    o

M(Vo  ° Tok' ^b-.i)  ' r)   ^  M(Vo'C°(b" I)  ' 6XP (C(l0g r)4))-

Démons tration. Pour simplifier les notations, on suppose par

exemple k = 1 , a  = 1 , b, = 0.

2 V. étant non constante par hypothèse sur la fibre {l\* ¼

sup  V (l,z)  tend vers +ooquand r tend vers + co .

M*

27

Grâce à la continuité de V , il existe pour tout nombre A >0 une constante r. et un voisinage U  de 1 tels que :

A	A

sup  V (x,z) y,  A pour tout   xeUA -

I l        *	A

ZUrA

Prenons A = M(Vj, uù, ]    /4)» -)-

 D'après la relation (2), si (£>. et) c û sont trois disques concentri

ques contenus dans CO, . 7 / a \ > de rayon o cç <ç	, uo |J ,

alors la cons tant e o~ éc i sée dans le lemme 1 (3) :

M(V. ,  Co",r)   <M(V        co, ,    r o")   pour      r > r

1 '  -2'   '  *     v    1 '       1 (utiliser   le   fait   que   cT >1) -

(17)

Sur   Çï   ,      V.    =   V        o   X  ,    ,   donc

o	1	o	o 1

M(V      o   X,   tO	r)    =   M(V    ,   CO        ,

o	01	/       1\	1	,       I\

(o,y)	(o,j)

4M(v   , co

(l-t,|~t)

pu i sque    u>	c

(o,   j)	(1-t,   --t)

 (t est un nombre réel compris  entre 0 et 1).

 Choisissons t assez petit pour que 1 - t & [)     et appliquons (17) à :

co=co	,  CO    =   co	,  co    = co	?        cco       ?

(1-t,   |)	(l-t,|-t)	(l-t,-£~t)	(1,|)

Il vient pour  r ^r  :

M(V , CO     .   , r) ^M(V , co

(l-t,|-t)	(1-t,y)

, r«")

(19)



 avec <y =

log 3/t

log(7-4t)/(6-4t)

 4 c,  log

 r  étant fixé ^ r  choisissons t pour que

Le transformé de co de d iamè tre :

est le disque



(t + })"

3t '    KZ        2}	t



28

 1     2

de  sorte que pour x e. ao	.       on a  Re -j-- >,    et

(l-t - )

 i(p(x)j ^exp(- r- )   (voir la  démonstration du lemme 4) .

C^ogi

 Il  suffit de prendre  exp(-r-) yf r

1

J >3Cj    log   r

log

 ou    encore

7 }C      log   r.    log   log   r

 avec   C"    constante  >3   C      et   r   assez   grand

Avec   ce   choix   de    t   1'image   réciproque   par   T   .    du   polydisque    :

C    log   i	Cjlogi

lorsque  xeco

contient le polydisque:Iz I , Iz |£r

1

-1        ftl	C'108^

oi - "d-t.i)!"

Cjfogf

= M(V   ,  eu	,   ,ér	).

°	(l-t.|)

C   log   log   r

4M(Vo,   co	r	)

 (l-t,-5-)

1 en   prenant   C      log   r    .    log   log   r £ -  <C,    log   r.    log   log   r

C~,C, sont des constantes, avec C, >C" à préciser par la suite.

En combinant (18), (19)  et (20), il vient (22)  M(V  o T., co     , r) (M(V , eu

(o ,j)

pour  r ^r   et  t  vérifiant  (21)

» r

C3log log r

 Définissons  maintenant	une suite de disques concentriques

-*, cu), C(°,  décentre	l-t  (ne(N) et de rayons

\          l         5	n

ni        n    1	n   3

<°1 = 4^  ' <?2  = 2fcn	' ^3 = î'n   '

On veut que CO C CO   ,	ce qui équivaut à

 1        1	2

t  , - t  /xt  , - 7-t	ou encore  t >.vt  , .

 n-1     n *- 2 n-1    4 n	n * 3 n-1

2Nn

On prendra  t  = Tt  , = (-=-)   et  C, - -C,

r	a  3 n-1    3        4   2 2

Pour n = n(r) bien déterminé on a alors :

C2 log r log log r4-7- < C 4 log r.log log r



29

et d'après   (22)

n(r)	C3log   lo§   r

M(Vq   o    rol,   co       ,       ,   r)^M(Vo,co2k   \    r	)    si   r^r	(23)

 Choisissons   maintenant   A   =   M(V.,   CO        7    ,    e)      une   constante   r      et   un

( 1   - )

Il	.	' 4

 sinage   UA    correspondants    (voir   le   début   de   la   démonstration).

Pour   tout   nelN,co"ccO       ,	.    et   si      n  >n	,CO,    rencontre   L». .

3	/ i   J_\	v   o	\	A

 D'après    (2),    lemme    l,on   a    :

(24)      M(V   .«£,    r)   /M(V    ,   tu",    r<H    +

avec a~ =

^

M(V   , go",    1)   -   M(V   , eu"     r*»")]

o	J	o	1	J

 Or    M(Vo,CO^,    1)    =   M(Vj    o  tj, w", 1) 4 M(V( , u)^,e) 4 A   car   dans ùj"   on   a

(p(x)    <1    (lemme   4)    et 00-.CLO

(I,

de  plus M(VQ,Co",r   ) =   M(V      o   T~J    , <J^,    r «~ )

>M(V, ,  CO°,   f log   r)

car   si      z

Iz    I ^ ^"  log   r      l'image    (w   ,w")    par   T.    vérifie

|wj|4Ç  log   r 4rw^   =   exp(   Ç  log   r)      4   rr	(r»l)

W2 1^2"   log   r -    r

<*/2

;râce   au   1 emme   4	(eu   c)x e <E    ;    - 1 <r e   x<l



d'où    lx" l^r

o~

cr

En   prenant   nvn	et      -^   log   rvr	(24)      donne

'     O	L.	'	CL

M(Vo,wJ, r) ^ M(Vq, coj, r"")

», /.,    n-1    __..    .       n   n-1

4 M(V , CO"  , rr) puisque w c Co

Pour r assez grand n(r) >n , donc de proche en proche

M(VQ, Co"(r), r) 4M(Vq, cu2° , ra"n(r)_no) pour Ç log r ^ rA    (25) .

Il ne reste qu'un nombre fini d'étapes à accomplir (n  précisément)

pour obtenir

n (26)    M(VQ, co2° , r) {M(Vo, u>° , r"

r  >ri



 (23), (25) et (26) entraînent ,  puisque co"

uo

(o,j)



30

n(r)

Ce-   ,log log r

r	) pourvu que

M(Vo o rol, «    , r)4M(Vo, co  ^    ,

2r

A/c

r >, sup (r- , r j , e       ) . Mais <s-=    (j)  avec <>< = 2,458333 ... <3  d'où

o-n(r) = ~	 ^ c*(log r^  <l08 loS r>°<et C3o-n(r) log log r^C5 (log r)3

Cn(r) pour r assez grand .

On a donc pour   r ^.r" convenable :

M(Vo o T   co      , r)4M(Vo, co      ,

et la démonstration du lemme 5 est achevée.

C,(log r)

r	)

 Nous pouvons  enfin énoncer le résultat essentiel de ce paragraphe :

THEOREME 2. - Le fibre X construit ci-dessus au moyen des 7 cartes **. X C  et des au tomorphi sme s de transition T « a la propriété suivante :

fa ]xC   ,  k= 1 , . . . 6 où toutes les fonctions plu-

risousharmoniques continues sur X sont constantes ; en particulier X n'est

2 pas de Stein, et n'est pas isomorphe au fibre trivial B X (E .

Démons tr at ion . Supposons que pour tout k = 1 , ... . 6 il existe un

fonction VA1 N plurisousharmonique et continue sur X non constante sur la (k)

2 fibre {a }x G .

il existe une fibre

Posons

o  . V = y       À, V..  où les X,  sont des scalaires réels >0

k=l

 Lorsque les X,  sont bien choisis V est non constante sur les six fibres

9	A

 (a Jx C   ( il y a au  plus un hyperplan de ( A., À " , . . . Àf-)elR  pour lesquels V soit constante sur l'une des six fibres).

On peut alors appliquer le lemme 5 à chacune des fibres [a jxî  :

M(V  o T  , co   , , r)/M(V , co       , exp(C(log r) ) pour r ^ r

(bk,I)	(bk,i)

En appliquant aux deux membres le corollaire 2 dans il , on obtient pour

r^r  assez grand et C > 0 convenable

4 M(V  o t ,,,«)   . , r) y M(V , CO     , exp(C (log r) ))  d'où avec les

O      OK     /   1 \       ^      O     /1\	*

(o,j)



31

 notations   du   §   3,    et   Kx        =   (    (J    ?ok({x}XD   ))

lN<k46

sup	Vq(x,z) 4 M(Vq,   co        ,    ,    exp(Cj(log   r)4))

xew      .       ,    z 6K	(o'2}

(o ,y)

Or   il   est   clair   que

Tol ( (x}XDr) D  {(Wj ,w2) eC2; |w,| ^r, |w2|4r exp (y |(j>(x)| ) et - j4Arg W]Cf(x)4 y j.

et de même pour T .(^xj-XD )  X "([x}x D ) en remplaçant la dernière condition par

- J- /	~ ient

r   exp(|-|(p(x) | ) .

Mais   pour   x 6 cô       ,	l(D(x)^.C">0      d'où

(0'2}      C   r M(Vo,co       j       ,    r   exp    (--)) ^ M (Vq ,  eu        ,       ,    exp(C,(log   r)4))    .

Comme   V   est   non   constante   sur   au   moins   une   fibre   de   X

M(V   ,  Co	,   r)    est   une   fonction   strictement   croissante   de   r   pour   r

(o,y)	C2r	4

 assez   grand    ;   on   en   conclut      r   exp (-y- )^exp (C ( log   r)    )    pour   tout   r   asseï

grand,    ce   qui   est   contradictoire.

5.    Nature   du   fibré   X   selon   la   valeur   de   la   constante   de   Lelong.

Nous   nous   proposons   de   montrer   par   un   exemple   que   la   nature   du fibré   X   est   intimement   liée   à   la   valeur   de   la   constante   de   Lelong    (et donc   à   la   géométrie   de    la   base).

Prenons   pour   base   une   couronne

B = {xc,t ?> fi<lxl <e2}	° 4 <°i < e2 « +o° -

32

Le revêtement universel de B s'identifie à la bande

B  = J"xêC ; log ^ < Re x  <log ,o 2 j

au moyen de l'exponentielle  exp  :   B 	7» B .

Soit g un automorphisme polynomial de ¼	de degré k au plus ainsi que

g   et G le groupe d'automorphismes .) ^	; j g Z > de B x (  où

o<(x,z)  = (x + 2iTT , g(z)) .

Considérons le fibre X = B Xin/G  (voir	§ 2) .

Js       .	.	rJ	n

Cherchons a construire une fonction (p plur1 sousharmonique sur B % C  et

 invariante par G qui induise une fonction d'exhaustion strictement pluri-

sousharmonique sur X.

. ?2	.	.

Si  - <+ooon peut toujours supposer  o     0     = 1  quitte à appliquer une

homo thé tie à B.

*      .                            <°2

La bande B , qui a pour largeur  a = Log 	 , est alors centrée en 0.

^1

Posons      (&. (x   z)    =   exp(x      cos   	)z.	si      	    < + co

'1	'	ai	/o

=   exp(x   )z

puis   ())(x,z)    =   2_        /	Jcpi   o o<J(x,z)|

jez      1   ^ 1 4. n

y(x,z,x',z')    =   2	        X	CPi   o  o<j (x,z)      Cp.    o   0<J (x' ,z')    .

j e 2      1   4 i y<  n

Cherchons à quelle condition cette dernière série  converge uniformément

w   n 2

 sur tout compact de (B X. (C )

 Il  existe une constante  C >, \    telle que

1 + |g(z)|  4 C(l + |z|)

 1 +|g '(z)| 4 C(l + |zi)k

d'où par récurrence

1   +   |gjU)|   ,< C

1 +k+. . .+k

3-1

 (1    +    Izl)

M



et

gJ(z)     N<   (clJl     (1+ |z)))k	=   exp    (k ^ ( |j|     log   C   +   log(l    + |z|)))



33

n(x+2ijrr)	TTRe x       .   TT(Im x  +  2jtt)        .      .     TT Re x    .   rr(Im x +  2jtt)

cos	    = cos 	    ch 	*- - 1  Bin 	 sh 	:l-L-    .

a.	a.	&	a	a

a    r,	a       j	nRe x     n	% j	TT(x  +  2ijTf)

On a    - tt <Re x < -=?      donc    cos    	 >0  sur  B de  sorte que    cos -	*--    a un

22	a	a

argument  en valeur  absolue   ^ constante<y    lorsque x  décrit un  compact  de  B.

 Pour   tout   compact   RcB,    il   existe   donc   une   constante   C      telle   que    :

K

D    f	o---n-N2	TT.(x   +   2ijTT)       .       _	.2	2 |j|TT2

Re(x + 2ijTT)  cos 	--- / - C"  1  exp --	

a        ?*    K  J     v	a

2 d'où JQp. o o(j(x,z)|^exP(kl:il  (|j| log C + Log (1 +  |z| )) - CR j2 exp ^~-)

Les séries précédentes convergent donc uniformément sur tout compact de

v   n

B X <E  pourvu que :

2

k 4 exP c---)

 v^définit alors une fonction continue holomorphe en (x,z) et antiholo-morphe en (x',z') de sorte que (v  est analytique réelle.

 ©n'est pas nécessairement propre à cause de la dépendance en x, mais tend uniformément vers +oo  quand z tend vers +oo, x décrivant un compact de B.

 SoitCDla fonction induite sur X  par n), (^/:    B -t- une 'exhaus-plur i sousharmonique sur B, et q : X -£>-B la projection sur la base.

)C = CD + y o q  est alors une fonction d'exhaustion strictement plu-risousharmonique sur X.

Montrons en effet que la forme de Levi Jh   ( X)   deY(i.e. la forme hermi-tienne associée à la ( 1 , 1 )-forme réel 1 e iàè)Y) est définie positive.

Pour tout vecteur tangent ^  à  X on a :

U^V  (5> =#(Cp)(5) +<#(^)(dqQ))  -

Comme les deux termes du membre de droite sont ^. 0,$f(Y)(*p)  est ^, 0 et ne peut s'annuler que s i <$f( Cp ) ( ^) = $C ( \^J ) (dq ( \  ) ) = 0   d'où dq(^) = (VL/est strictement p lur i sousharmonique sur la base) puis 2= 0  ((P est strictement plurisousharmonique sur les fibres).

34

Le fibre  X  est de Stein pour k^exp(

 1   <°2/ log    /p

2	k

S i g est 1'automorphisroe de d  défini par g ( z , z ) = ( z  - z", z )  et

2tt2

si k > exp (	-pr.	 ) toutes les fonctions p luri sousharmonique s sur X

log    /ç]

sont constantes sur les fibres.

 Démonstration.  La première assertion vient d'être prouvée; pour obtenir la deuxième il suffit de réexaminer les arguments du paragraphe 3.

. Estimation de la constante de Lelong.

6:      x i-h TT-

2a

est une application conforme de la bande

f\J	r	ci	o  ~\

B   =   J x e <£    ;    -  y <Re   x<y   y   sur   le   disque   unité

Soit     co    =    jxeB    ;    j G ( x ) | < t h p  j        p > 0

Montrons   que     co_  +   ib     C  COp»	b <S (R	tt Ihl

Si x £ co	G(x   +   ib)    =      ,	n+r   \n)-L\      Par   suite   G( co   +   ib)      est   le   tram

p	1    -	9(x)0 Cib)	C

formé   du   disque     jxl < th p par	l'homographie

x f->-

1 - ix th^/Za Ce transformé est le disque de diamètre :

.    rrb / "

i    th p +   i    th        /2a

1    +   thp th TTb/2a

-   i   th|Q +   i   th TTb/2a

1 - tho th

nb/2a

 et il est bien contenu dans le  disque de centre 0 et de rayon th( p + -2^1)  = th p' .

Si V est une fonction plurisousharmonique non triviale sur X et V son relèvement à B xî , on a, pour tout entier j ^, 1 et r assez grand : M(V o g J , co  , r) =  M(V,co + 2ij TT , r)

^ M(V, co  , r)

4,  M(V,tO, r J)

 ivec   xj . = p +

- rr



35

o-j    a

log      /th p

rbi traire > 	°-j	'	

log      /th  ç .



log coth

log coth ( p +   j   -j-   )

 (d'après le  corollaire 1 appliqué sur le disque unité ; g-- est donné

 par la  relation (3) avec traire).

e,

th

e    e2

th

fj     e3 * J   arbi~



 Un calcul  élémentaire fournit :

, .               log   coth p

1 îm	z-

,2j TT   ,

exp(-=*-	)



^     log   coth(£ +   j   -!i-)

 <°2

On   peut   donc   énoncer    ,    en   prenant      a   =   log   	

trairement   grand   sinon    :

.       ?2 s î     -    4.+co,et  a    arbi-

2 i  TT 	*>

LEMME   6.    -     Pour   tout <j->exp(	^	),    il   existe   u^uvert tuccB

et une constante r  d ép endant de j ,   <j-   tels que M(V o g  , co, r)^M(V,cu, r ) pour tout r^r

En prenant j = 1, les résultats du § 3 (lemme 2) montrent déjà que X n'est pas de S-tein si :

I  *

 1  .     ,  2tt >exp (-

-)

 . Calcul d'enveloppe pseudo-convexe.

Il s'agit donc d'évaluer l'enveloppe (gJ (D ) |J g  (D ))

Soit  p.  : (f  	y-  ¼    i = 1,2  les fonctions coordonnées, V, la surfa-

(z, , z2)   i	ï  zi

2 ce de Ç  définie par l'équation

p  o gJ(z) . p2 o g~J(z)  = °<	o< e ¼ ,

et L/ la partie compacte de V^, définie par  |zj =sup(|zj,z|)^r

Pour  z

r   et r assez grand  p  o g (z)

1 k »2r

2j

i	i	kJ

(p. o g  est un polynôme de degré k  admettant z.  comme seul monôme de

 degré  k ).

On prend |o<|^. yr

k2j + l

:t on a donc  p" ° 8  (z)

4r

k	-î  I

Vérifions par récurrence sur j que les inégalités  z|4r   et P? ° 8  (z) 4r



 entraînent  p. o g J ( z ) / C . r  où C. est une constante >, 1  assez grande.

z" - z, Lr   et   lz,  /r   par hypothèse donc

2     il*	Ml*     r

^ r  +r^2r   et  |z?U2

Si j > 1   P2 o g  (z)

 ' ' P9 o g  J    (w)|/r/2r     avec w = g '(z)

k2,kj"

et |w|<2r      ^ (2r  )

Par hypothèse de récurrence (appliquée en remplaçant z,

w, g""-». 2rk2)

2

'P, o g"J(z)|  = |p, o g"(j_1)(w)|  /2C._. rk .

*    j - 1 4

"(J-1)

 donc   p  o g       (z)   <2C.   r     (hypothèse de récurrence).

 Or  p2 o g J(z) = [p2 o g (J °(z)]

- p  o g       (z)  est de module ^r

 d'où lp" o g  J    (z)| 4 C ' r  où C' est une constante yy  1.

Pi ° g       (z)I^C'C. .r   (hypothèse  de récurrence)

 P j o g J(z)

P2 o g (j °(z)| ^C.r

C.Q.F.D.

 Par  suite

i.e.   z Ég (D.  )  et le bord de L, est con-

0 . r	°^

tenu dans gJ(DQ r)Ug~J(Dc  ).

j	j

Des calculs analogues à ceux du § 3 donnent alors :

LEMME 7. -  Pour r * r   e t S-  assez petit

	     °  	  J	

(g (D ) Ug  (D ))   contient le polydisque de rayon   6.r

kJ/2 + l/2k-

-) pour j assez grand ,

log<°2/e

'g i-lçx	~* -.c,

par conséquent  -k- + 	r- > exp (	jnj	)  et les propositions 1 et 2

1    2kJ	los   'e-i

permettent d'achever la démonstration de la proposition 3.

 6.  Topologie de H1 (X,ff) .

Soit X l'un des fibres construits aux paragraphes 2,3,4 et 5, U  le faisceau des germes de fonctions analytiques sur X.

Par l'isomorphisme de Dolbeault H (X,(fft s'identifie au quotient Z /B  où



37

Z	= jf orme s différentielles de bidegré (0,1)9 -fermées sur X i

B	= formes différentielles de bidegré (0,1) ^-exactes sur X >  .

Z   est muni de la topologie de la convergence C°° sur tout compact,

H	(X,u)    de la topologie quotient.

 Soit q : X

la projection sur la base , et x  un point de B tel

 que toute  fonction holomorphe sur X soit constante sur la fibre q  (x ) (x  peut être choisi arbitrairement dans les exemples des § 3,5 ).

Soit U un ouvert de B contenant x , f une fonction holomorphe sur

q  (U) , (i> une fonction de classe C°° sur B à support dans U, égale à 1

au voisinage de x

°	

Cherchons une fonction u de classe C  sur X telle que

h = f . CP o q - (q - x )u  soit holomorphe sur X.

h(x ,z) = f(x ,z)  donc le problème précédent n'a pas de solution si f

est non constante sur la fibre  q  (x ).

La condition   'Bh = 0 équivaut à :

Bu =

f «q ^(p

q - x,

 Lorsqu'on  prend pour U un domaine de carte trivialisant et f du type

f(x,z) = F(z) ou F est entière, on obtient ainsi des formes  "3-fermées

* -

f 	-*-   qui ne sont d -cohomo logue s que si les F correspondantes diffè

q    -   x o

rent   d'une   constante.

Ceci   montre   déjà   que   H'(X,&)    est   de   dimension   infinie    ;   plus   précisé

ment   il   possède   un   sous-espace    isomorphe    à   U ( t   ) /C	((y(C   )    =   fonctions

entières   de   n   variables).

.   Non   séparation   de   H   (X,y).

Nous   allons   voir   de   plus   que   B      n'est   pas   fermé   dans   Z    ,    ce   qui   prouvera que   H   (X,#)    n'est   pas   séparé.

Soit   en   effet   x.    un   point   frontière   de   B   tel   que   d(x    ,x.)    =   d(x    ,       B)

1	o        1	o       b

(on  prendra      x      = co      si   B   =   C) .



38

 Le    segment   |x    >x.|     est   donc   inclus   dans   B.

Dans   le   cas   des   exemples   des   §    2   et   3,    il   existe   un   voisinage   ouvert

U   de    [x    fX.f   dans   B   sur   lequel   le    fibre   X   est   trivial.

(car   les   automorphismes   de    transition   sont   localement   constants).

Dans   l'exemple   du   §   4,    x      appartient   à   une   certaine   carte

-li.    =   B\   Jnombre   fini   de   points   a.  L   .

J	1	1 J

Si   par   malchance   x    >x        passe   par   certains   des   a.,    on   peut   trouver   un chemin  Y joignant   x      à   x.    dans   il.      en   contournant   les   a.   par   de   petits demi-cercles    .

Dans    tous   les   cas,    il   existe   un   chemin "Y";   [0, 1 J   -y £ U (ool     )f( [0| l(_)  cB Y(0)    =   x        V( 1 )    =   x      et   un   ouvert   U   contenant  "jf([o,l[)    sur   lequel   X est    trivial.

On   prend   f   :    q      (U)   -^-(C   non   constante    sur   q       (x   )       (par   exemple    l'une des   fonctions   coordonnées   z    ,...,z      de    la   fibre).

Soi t CpeCa:>( B)    à   support   dans   U   et   égale   à   1    au   voisinage   de  Tf([0,l[).

 D'après   le    théorème   de   Runge    ,   x k-'

est   limite   uniforme    sur   tout

compact de B\ "¥"(|jÛ»lf) d'une suite v de fonctions holomorphes sur B (cf. HORMANDER [lj , p. 9, th. 1.3.4. b/ ; ^f([0,l[) est connexe et non c o mp a c t ) .

*r-

 Comme   "3 CP   = 0 au voisinage de ~|f ( [0 > '  [)> la suite v  o q.f.q à Q) con-

verge uniformément sur tout compact de X ainsi que ses dérivées vers

* -

	--^4 qui est ô -fermée mais non "â-exac te .

q - Xo

 Cependant v  o q.f.q à G) = ^( v o q.f . (j)o q ).

. Si X est le fibre du § 5, H (X,^) est grossier.

**        2 X   la   projection   de   B XC      sur   son   quotient   par   le   grou

ni e :r >   avec   B   = jx <s C    ;    log   x?    < Re   x (log û.l o<(x,z)   =   (x+2irr,   g(z))



 39 Soit f une forme fermée de  bidegré (0,1) et de classe C°° sur X.

5(p*f) = p*^ f = o .

A»	2

 Puisque   B x (E      est   de   Stein,    il   existe   une    fonction   h   de   classe   C      sur

rJ	2

Bx¼      te 1 le   que

^h   =   p*f

et   il   est   immédiat   que   u   =   h   -   h   o  o<      est   holomorphe    sur   B X C    .

Montrons   que   u   peut   être   approchée   uniformément   sur   tout   compact   par

*        2 des   fonctions   du   type   v   -   v   o   o<   où      v   est   holomorphe    sur   B x <E    .

**       2

Soit S un   nombre  > 0   et   K   un   compact   de   B x ¼      de    la   forme   LxD   où   L   est   un

rJ

 rectangle   de   B   et   D   un   bidisque.

Il   existe   un   entier   j  e IN   tel   que   L  p(L   +   2ij  rï )    =   0   e t   un   bidisque   D' contenant   DUgJ(D).

Avec   les   choix   précédents      K   a Lx D1

 o(J (K) c (L   +   2ijTT)xD' LU(L   +   2ijrr)    ne    sépare   pas   le   plan,    donc   est   polynomialement   convexe, et   il   en   est   de   même   du   produit       I LU(L   +   2 ij TT )   x D '

 D'après   HORMANDER    [l]    }     th.    2.7.7.,   p.    55,     il   existe   un   polynôme   Q tel   que   :

JQ   -   ul<£    sur   KcLx D '

q|  <   6	sur  o<J(K) c.(L   +   2 i j rT ) X D'

j-l

d'où    |Q   -   Q   oe<J   ~   u|<2&     sur   K,    et   en   posant      v   =   Q   +   Q Oo< + ...+  Q o o< v-voo<=Q-Qo0<     approche  u  à  2 8 près   sur  K.

Remplaçons   h   par   h   -   v   ;    on   voit   qu'il   existe   une   suite   h      de   fonctions

C03  sur   B  X¤2    telles   que    :

^h      =p      f    ,   et   si      u      =h      -h      o    ^	lim   u      =   0    .

n	n	n	n	n

Soit   maintenant   (D   ,  C£_   une   partition   de   l'unité   subordonnée  au  recouvrement

]-l ,    + °° [,   ] - oo,    |[   de  B

<x>	^2

On définit une fonction k      C  sur B x (E  par

n

 k (x,z) = y       u  o o<J(x,z). Cp_(Im(x + 2ijTT)) j>0

40

j^o

u  o o<J(x,z) Q>+(Im(x + 2ij TT ) )



(k  - k  O «O (x,z) n    n

u (x,z) (0 (Im x) + u (x,z) q? (Im x)

 d'où  k  - k  o *( =   u   , et de plus k  tend uniformément vers 0 sur

n    n   ^    n	r     n

tout compact ainsi que ses dérivées.

 h  - k  est invariante par o< , et  induit sur X une fonction C  notée w

n    n	r	n

* -        -     -p  "à w   =  "àh  - 'Ôk n        n     n

d'où  lim 3w  = f  pour la topologie  C°°.

Par conséquent B  est dense dans Z , ce qui signifie que H (X, U)    a la topologie grossière.



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BIBLIOGRAPHIE

[l]  HORMANDER (L. ) . - An introduction to complex analysis in several variables. Second Edition. North Holland Publishing Company, 1973.

|2|  LELONG (P.). - Fonctionnelles analytiques et fonctions entières (n variables) . Montréal, les Presses de l'Université de Montréal, 1968, Séminaire de Mathématiques Supérieures, Eté 1967, n° 28.

[3j  SERRE (J.-P.). - Quelques problèmes globaux relatifs aux variétés

de Stein. Colloque sur les fonctions de plusieurs variables, Bruxelles, 1953.

|4  SKODA (H.). - Fibres holomorphes à base et à fibre de Stein. C.R.Acad. Sc.de Paris, 16 Mai 1977, A. 1159-1202.

[5J  SKODA (H.). - Fibres holomorphes à base et à fibre de Stein . Preprint, Université de Paris VI, Juin 1977, à paraître aux Inven-tiones Math.

J.-P. DEMAILLY