\input macros_ocr.tex \def\enonce{\bf} {\sevenrm\baselineskip=8pt Séminaire P.~LELONG, H.~SKODA\\ (Analyse) 20 et 21e année, 1980-1981\\ Lecture Notes in Math.\ {\sevenbf 919}, Springer, pages 77--107\vskip1.5cm} \centerline{\hugebf Scindage holomorphe d'un morphisme de} \medskip \centerline{\hugebf fibrés vectoriels semi-positifs avec estimations $\hbox{\hugebfit L}^{\hbox{\tenbf 2}}$} \bigskip {\leftskip=6mm par Jean-Pierre Demailly\vskip0pt {\it C.N.R.S., L.A.\ n$\scriptstyle°\,$213 Analyse Complexe et Géométrie,\\ Université de Paris VI, Département de Mathématiques, 75005 Paris \vskip1cm}} {\bf Table des matières} \bigskip \line{0. Introduction et notations\dotfill 1} \line{1. Rappel sur les différentes notions de positivité\dotfill 3} \line{2. Estimations a priori et inégalités $L^2$\dotfill 7} \line{3. Calcul de courbure\dotfill 13} \line{4. Construction de rétractions holomorphes\dotfill 21} \line{5. Extension des fonctions holomorphes avec contrôle de la croissance\dotfill 29} \bigskip {\bigbf 0. Introduction et notations} Le présent travail réétudie dans un cas particulier les techniques développées par Henri {\petcap Sko\-da} [11] , [12] , [13] , [14] , [15] pour l'étude des morphismes surjectifs de fibrés vectoriels holomorphes semi-positifs. On considère une suite exacte $$ 0\lra S \lra E \build\lra|g||Q \lra 0 \leqno(1) $$ de fibrés vectoriels holomorphes, de rangs respectifs $s,\,p,\,q$ (avec $s = p-q$) , au-dessus d'une variété analytique complexe $X$ de dimension~$n$. On dit qu'un morphisme de $Q$ dans $E$ réalise un scindage holomorphe de la suite exacte (1) si $$ g \circ h = \Id_Q, $$ de sorte qu'on a alors la décomposition $$ E = S \otimes h(Q). $$ Plus généralement, étant donné un fibre linéaire $M$ sur $X$, et une section f du fibré $\Hom(Q, Q \otimes M)$, on recherche s'il existe une section h du fibré $\Hom(Q, E \otimes M)$ telle que $$ g \circ h = f. $$ Pour obtenir de tels résultats, nous serons amenés à faire des hypothèses de convexité sur la variété $X$, et de positivité sur les fibrés $E$ et $M$. Nous supposerons, comme {\petcap H.~Skoda} [13], [14], [15], que $X$ est une {\it variété kahlérienne}, munie d'une métrique de Kähler $\omega$ non nécessairement complète, et que $X$ est {\it faiblement pseudoconvexe}, c'est-à-dire qu'il existe sur $X$ une fonction de classe $C^2$, plurisousharmonique et exhaustive. Les variétés compactes, les variétés de Stein, l'espace total d'un fibré holomorphe semi-négatif an sens de Griffiths au-dessus d'une variété compacte, sont faiblement pseudoconvexes. On suppose de plus que les fibrés $E$, $M$ sont munis de métriques hermitiennes, et que les fibrés $S$, $Q$, $\Hom(Q, Q\otimes M)$, $\Hom(Q, E\otimes M)$ sont munis des métriques naturelles déduites de celles de $E$ et $M$. Les hypothèses de positivité sont les suivantes (voir le paragraphe 1 pour les définitions concernant la courbure et la positivité) : le fibré $E$ est {\it semi-positif au sens de Griffiths}, et il existe un réel $k>\inf(n,q) + \inf(n,s)$ tel que l'une des conditions (2) ou (3) soit réalisée : {\parindent=6mm \item{(2)} $i\,c(M) - ik\, c(\det Q) - ic(\det E) + i\,\Ricci(\omega) \ge 0\;;$ \item{(3)} le rang $s$ de $S$ est égal à $1$, ou bien $E$ est semi-positif au sens de Nakano et on a $$ i\,c(M) - ik\,c(\det Q) + i\, \Ricci(\omega) \ge 0. $$}% On a alors un théorème d'existence avec estimations $L^2$ précises (on a noté $dV = \omega^n/n!$ l'élément de volume canonique sur ~$X$). \medskip {\enonce Théorème 1.} -- {\it Pour toute section globale $f$ de $\Hom(Q, Q \otimes M)$ telle que le second membre de $(5)$ soit fini, il existe une section globale $h$ de $\Hom(Q, E \otimes M)$ telle que $$ \leqalignno{ &g \circ h = f ,&(4)\cr &\int_X |h|^2 dV \le C \int_X |f|^2 dV,&(5)\cr} $$ avec $$ C={k - \inf(n,q)\over k-\inf(n,s)-\inf(n,q)}. $$} En pratique, le théorème 1 s'appliquera surtout au cas où la variété $X$ est de Stein car les conditions de positivité et la convergence globale des intégrales semblent supposer l'existence de fonctions d'exhaustion strictement plurisousharmoniques (du moins lorsqu'on cherche à construire des scindages holomorphes). La démonstration repose sur l'inégalité de Kodaira-Nakano, et sur le lien qui existe entre les formes de courbure des fibrés $Q$, $S$ et l'obstruction au scindage holomorphe de la suite exacte (1). Les calculs sont directement inspirés de [14] , mais utilisent de plus une relation entre les notions de positivité de {\petcap P.A.~Griffiths} et de {\petcap S.~Nakano}, récemment publiée par l'auteur dans [3] en collaboration avec {\petcap H.~Skoda}, et dans [2]. Etant donné une sous-variété $X$ de dimension $n$ de $\bC^p$, le théorème 1 s'applique en particulier à la suite exacte $$ 0 \lra TX \lra T\bC^p_{|X} \lra NX \lra 0 $$ qui définit le fibre normal $NX$ de $X$. Cette idée, déjà utilisée par {\petcap C.A.~Berenstein} et {\petcap B.A.~Taylor} [1], nous permet de montrer l'existence d'un voisinage tubulaire $U$ se rétractant holomorphiquement sur $X$, et d'estimer la taille de $U$. En appliquant des techniques analogues à celles de {\petcap B.~Jennane} [9] nous obtenons au dernier paragraphe un théorème d'extension des fonctions holomorphes avec contrôle de la croissance Je tiens à remercier Monsieur Henri {\petcap Skoda} pour ses nombreuses suggestions, qui ont permis d'améliorer la rédaction initiale. \bigskip {\bigbf 1. Rappel sur les différentes notions de positivité} \end Si E est un fibre hermitien, on peut définir une connexion canonique D sur E , hermitienne et holomorphe (cf. A.DOUADY et J.-L.VERDIER [4] , P.A.GRIFFITHS [5]) , 00 qui envoie l'espace C K(X,E) des formes de type (a,b) à valeurs dans E , dans co oo Ca+l,b(X'E> eCa,b+I(X'E) « La forme de courbure c(E) du fibre E est alors définie par la propriété suivante : D2u = c(E).u pour toute section C u de E , de sorte que ic(E) est une (1,1)-forme à valeurs dans le fibre Herm(E,E) des endomorphismes hermitiens de E ; on identifiera toujours ic(E) à la forme hermitienne sur TX \otimes E qui lui est associée canoniquement. DEFINITION 1. - Soit 0 une forme hermitienne sur un produit tensoriel T \otimes E d'espaces vectoriels complexes T e_t_ E de dimensions respectives n et p . On dira que 0 est semi-positive (cf. § 4, théorèmes 4 et 5). (cf. corollaires 2,3,et 4 du théorème 6). -4- (29)au sens de GRIFFITHS, si pour tout vecteur décomposable x = t\otimese£T<8E , on a 0(x,x) > 0 ; (30)au sens de NAKANO, si pour tout x G T \otimes E , on a 0(x,x) :> 0 . Le fibre vectoriel hermitien E sur la variété X est dit semi-positif au sens de GRIFFITHS (resp. au sens de NAKANO) si pour tout point z^ X , la forme hermitienne ic(E) sur la fibre T X 0 E est semi-positive dans ce sens. z z E - Nous noterons *} la semi-positivité de GRIFFITHS, \ celle de NAKANO. Il est G N clair que la semi-positivité de NAKANO entraîne celle de GRIFFITHS. De plus, les deux notions coïncident si n = 1 ou si p = 1 , et sont reliées en général par le théorème suivant. THÉORÈME 2 - Soit 0 > 0 une forme hermitienne sur T \otimes E . G ' ' ii i ii ii i. Si (e.). - ^ est une base orthonormée quelconque de E (supposé hermitien) on J 1 ?$ J ?$? P définit Tr 0 par ,- j^ P Tr^ 0(t,t) = E 0(t \otimes e., t \otimes e.) pour t ^ T . Alors on a (31)0 + TrE 0 Idg >N 0 , (32)0 > 0 (resp. >N0) . REMARQUE 1* Les deux assertions de (10) (ou de (11)) ne sont pas équivalentes car la positivité de E équivaut à la négativité de E seulement au sens de GRIFFITHS (mais pas au sens de NAKANO en général). Les points (9) et (11) sont en fait une généralisation du lemme fondamental (3,5) de [14] . Lorsque E est quotient dTun fibre trivial, la seconde assertion de (11) est d'ailleurs conséquence de ce lemme de [l4j . Démonstration. Nous renvoyons le lecteur à [2J , [3] pour une preuve de (8). Preuve de (9) : montrons tout d'abord que TrE 0 \otimes IdE - 0 >G 0 . En effet, tout vecteur décomposable x^T \otimes E peut s'écrire x = t \otimes e où e =1 ; si l'on choisit une base orthonormêe (e.)i , - , de E telle que e, = e , il vient 0(x,x) = 0(t \otimes ej, t \otimes ej) , et P ? Tr 0 \otimes Id"(x,x) = E 0(t \otimes e., t \otimes e.) ||e|r ^0(x,x) , J = l J J grâce à l'hypothèse 0 ^n 0 . D'après (8) on a donc TrE 0 \otimes IdE - 0 + TrE(TrE 0 \otimes IdE - 0) \otimesIdE = p TrE G \otimes Id£ - 0 ^ 0 , ce qui démontre (9) lorsque p soit 0 $" n Tr 0 \otimes Id_ sur T^F . N E E Preuve de (10) et (11). Il est bien connu que la courbure du fibre dét E = A^ E est reliée à celle de E par la formule (12) c(dét E) - Tr£ c(E) = - TrE c(E*) , et que pour deux fibres vectoriels hermitiens E.- et E" , on a (13) c(Ej \otimes E2) = c(Ej) \otimes IdE + IdE \otimes c(E2) . (10) et (11) se déduisent alors de (8) et (9) en prenant 0 = ic(E) ou G = -ic(E ) selon le cas. 2 2. Estimations a priori et inégalités L On considère , avec les notations et hypothèses de l'introduction, la suite exacte (1) : 0-fS->E-l(|-^0 . La connexion canonique D sur E se décompose suivant le scindage orthogonal C , E = S & Q , de la manière suivante 3* (14) D = où D et P sont respectivement les connexions canoniques sur S et Q , et où oo 6 e Cj (X, Hom(S,Q)) . Nous renvoyons à P.A. GRIFFITHS [5] pour la démonstration de (14), et à H. SKODA [l 4] pour le détail des calculs qui vont suivre. On a classiquement e* a g - 03* d? n2Q - $ a 0* c(S) = D^ = c(E)| + 8*A c(Q) = D^ = c(E)| + 6 a 3* . n ~k. Soit K = A T X le fibre canonique de la variété X et M un fibre en droites sur X . Par application à (1) du foncteur Hom(Q, ?\otimesK\otimesM), on obtient la suite exacte (16) 0 ->Hom(Q, S \otimes K «S» M) >- Hom(Q, E \otimes K \otimes M) ->- Hom(Q,Q <8> K \otimes M) y 0 , et la connexion DT1 ," _ rr ... se décompose suivant le scindage orthogonal de Hom(Q, E\otimesK\otimesM) * & & (16) , en Hom(Q, SOK0M) - 3 DHom(Q, E\otimesKOM) DHom(Q, Q\otimesK\otimesM) Posons R = Hom(Q, S\otimesM) pour simplifier les notations. PROBLEME. - Etant donné une section holomorphe f de Hom(Q, Q\otimesK<3M), chercher un -7- relèvement h de f dans Hom(Q, E 0 K <8> M) sous la forme h = f + u , oo oo avec u e c (X, R \otimes K) = C n(X, R) . n,U On aura bien par construction g o h = f , et h sera holomorphe si et seulement si 0 7) Dî,! u = - D" ,n ^ " ^ ^ M,f = 3* f - N ' R Hom(Q, E @ K \otimes M) On résout cette équation par la méthode d'HORMANDER [6] et [7] , ce qui, modulo l'inégalité de KODAIRA-NAKANO (cf. [4], exposé III, th. 3) , nécessite l!obtention d'une estimation a priori du type suivant (avec une constante A ^ 0) (18) |(6*f|v)|2 « A(ic(R)A v |v) OO pour toute (n,l) forme v à valeurs dans R , de classe C et à support compact. Le produit scalaire ( ) est défini à partir du produit scalaire ponctuel < , > des formes par la formule (v | w) =1 dV , X pour deux formes v et w a valeurs dans R , de classe C , et a support compact. A désigne d'autre part l'opérateur de type (-1,-1), adjoint de l'opérateur L de multiplication extérieure par tû , pour le produit scalaire ponctuel < , > Nous nous, servirons de la proposition suivante (cf. H.SKODA [14] , lemme (3,1) , proposition 3.1. , et conclusion (4,17)). co PROPOSITION. - Sous l'hypothèse (18), il existe une forme u6C (X, R \otimes K) vérifiant (17) : D£ u = 6* f , et (19) X Le relèvement h = f + u de f est donc tel que (20) |h| dV ^ A + Jx Jx car f et u sont orthogonaux. Le théorème 1 sera démontré si nous établissons l'inégalité (18) et déterminons la constante A . 3. Calcul de courbure. Nous aurons besoin des notations et résultats suivants . Le produit intérieur a J b de deux formes à valeurs scalaires est défini en tout point z de X par dualité : < aJb , c > = ; on étend le produit intérieur au cas où a, b sont des formes à valeurs dans des fibres vectoriels E, F par bilinéarité (le résultat étant à valeurs dans le fibre G si on a un morphisme bilinéaire E x F ->? G) . LEMME 1. - (H.SKODA [14] , lemmes (3,3) et (3,4)) . oo co Pour toute forme v ^C (X, R) = C (X, Hom(Q, S % K \otimes M)) à support compact, toute (l,l)-forme réelle Q ^ 0 à valeurs dans Herm(R, R) , et toute forme oo 3 S Cj Q(X, Hom(S, Q)), on a (33)(0 A v | v) >/ 0 (34)(-13* A 3 A v |v) =|3Jv||2. Démonstration de (21). Soit 0 = i Z a, ., dz, /\ dz \otimes e. & e, , Ayjk X u j k * X,U,j,k v = -r- Z v-, . dz,A... A dz Adz, \otimes e. , 2 . Aj 1 n A j 'J l'écriture canonique de 0 et de v relativement a une base orthonormêe (dz-,), , À 1 -^ À$ n de T X , et à une base orthonormêe {e-} de la fibre de R . On a en tout point n - \ /\ Av = Z (-1 ) v, . dz. A ...a dz, A ... Adz \otimes e. , \ s Aj 1 A n j A,J 0 A v = i Z a, .. v, , dz. A ...A dz Adz \otimese, , A,y,j ,k < 0Av,v >= 2n Z a, ... v.. v , ^ 0 , A,y,j,k X«k AJ ^k dTaprès l1 hypothèse de semi-positivité de NAKANO de 0 . Démonstration de (22). Ecrivons en tout point de X A j J 5 -^ v = -s- Z vv dz, A ... Adz Adz, \otimes e. , 2 . . Ail n A i ' X,J,m J avec v,.eQ \otimesM, l^X^n, l^j= <0 \otimes Id^*^,, A.v,v > ,n X,u, j,k,i Uj v*k Xj yk 2n Z I S S,.. v. J2 . A X,j Uj Xj (22) résulte donc de l'inégalité 3 J v = (-l)n i T. g. n. v, . dz, a ... Adz \otimes ru . ? X,j,£Uj XJ l n £ Nous disposons maintenant des moyens techniques nécessaires pour effectuer le calcul de courbure. Puisque R = Q \otimes S 0 . Puisque -ig a3 ^ 0 (en fait on a même -i 3 A3 ^T 0) , (9) et (15) entraînent succès- u In sivement (25) i(c(E) |s - c(S)) = -i3*A3 0 ; comme Tr BaB* = c(det Q) - Tr c(E)| d'après (15), on obtient (28) ic(R) - ieTr B A B* \otimes Id_ »" i(c(M)"- k c(det Q) + (k - Inf(n,q))Tr c(E)L - Tr c(E) I c) (SUd,, ; le terme Tr c(E)| peut même être omis sous l'hypothèse (3) . o Remplaçons M par M \otimes K = M Odét TX ; compte tenu de ce que Ricci (ai) = c(dét TX) et E > 0, le premier membre de (28) est semi-positif sous les hypothèses (2) ou (3). La propriété (21) entraîne donc l'inégalité suivante : (29) (ic(R) Av|v)^ e(i Tr 3 A3*Av| v) . Pour obtenir l'estimation a priori (18) , il nous reste à majorer | (g* f|v)|2 en fonction de (i Tr BaB*Av|v). Pour obtenir (18), il nous reste à majorer | (B f | v) | en fonction de (i Tr BaB Av|v) Par définition du produit intérieur, et d'après (22), on a (30) |(g*f|v)|2 = |(f|6 Jv)|2s< |j£]|2 l3Jv||2 = |f|2 (-i6*Af3Av|v) . Une nouvelle application de (21) fournit à partir de (25) : (31) (-iB*A B A v|v) ^Inf(n,s) (i Tr BaB* A v|v) , d'où en combinant avec (29): LEMME 2. - L'estimation (18) |(B*f|v)|24 A(i c(R) Avlv) est satisfaite , et on peut choisir la constante A égale à Inf(n,s) k-Inf(n,q) - Inf(n,s) Le théorème 1 résulte maintenant de la proposition (cf. (20)) et du lemme 2. REMARQUE 2. Les calculs précédents montrent en fait que le théorème est vrai si l'on suppose seulement (32) i(c(M)-kc(dét Q)+(k-Inf (n,q))Tr c(E)| -Tr c(E)|s+Ricci w) > 0 , le terme Tr c(E)|- étant superflu si s = 1 , ou si E >" 0. Mais nous avons préféré énoncer le théorème 1 avec des hypothèses géométriques qui ne supposent pas une connaissance approfondie de c(E). REMARQUE 3. Lorsque la section f du fibre Hom(Q, Q \otimes M) est de la forme f = Id \otimes u pour une section u de M , on va montrer que |(3* f |v)|2^ Inf(-,s) [|f||2 (i Tr B'aB* A vIv> > de sorte quTon peut dans le lemme 2 prendre Inf(J,s) A = k - Inf(n,q) - Inf(n,s) X i 2 f dV et remplacer la constante C du théorème 1 par Inf&s) C = 1 + k - Inf(n,q) - Inf(n,s) Ecrivons en effet en chaque point z ^X la section oo co v G C 1 (X,R) = C (X, Hom(Q,S \otimes K \otimes M)) sous la forme v = w \otimes e , où e est n, i un vecteur unitaire de la fibre K <9 M , et où w est une (0,1)-forme à valeurs dans Hom (Q,S) . On a (33) <0*f» v> = < 3* o Id \otimesu, w \otimes e > - . Dans une base orthonormée (dz.) de T X , les formes 3 et w sTécrivent 1 z ' n J 3=2 3- dz. , 3- G Hom (S,Q) , - i J J j z j n j = l w = tt E w. dz. , w. E Hom (Q,S) . 2 j=i J J J z Il vient donc n <3*, w> = E <3*, w.> , j = l 1 J n (34) |<3*, w>|2 ^ n Z |S.|2 |v.|2 , avec v. * w. \otimes e . j=1 J J J J Si d'autre part, on a choisi la base (dz.) de sorte que les éléments 3- soient orthogonaux (ce qui est toujours possible, car toute matrice r x n y B peut s'écrire B = U D V , où D matrice "diagonale" r x n 9 ]j et V matrices unitaires r x r et n x n) on obtient successivement : 3 a 3* = Z 3- 3* dz. Adz l^j,k^n J k 3 k * n * - n i .2 i Tr £ A 3 - i S Tr(3. 3-) dz. Adz. = i 2 g. dz. A dz. , j-1 J V J J j=1 ' l1 J 1 12- (35) = Z |S.|2 |v.]2 j-1 J J pour établir l'égalité (35), on se reportera à la démonstration de (21). En combinant (33), (34) et (35), on voit que * , .|2 . m x , ,2 < Après intégration sur X , l'inégalité de Cauchy-Schwarz implique | (6* f|v)|\< £( ' X et (30) , (31) montrent qu'on peut remplacer - par Inf(-,s) . ? On va maintenant énoncer les résultats du théorème 1 en fonction d'une métrique donnée a priori sur Q , de manière à pouvoir traiter comme H. SKODA [l 4] le cas où le morphisme g dégénère. Soit g le morphisme G , transposé de g , pour les métriques données sur E et Q : 0 >? Q -^-E . S 3fc -l . co Le morphisme g (gg ) : Q ->- E , est le scindage C de la suite exacte (1) qui envoie Q dans (Ker g) = S ; la métrique quotient | | ' sur Q est donc donnée en fonction de la métrique initiale par (36) |u|'2 = |g*(gg*)_1 u|2 = <(gg*)-1 u,u> , uSQ . Désignons par c'(dét Q) la forme de courbure de dét Q relative à la métrique quotient sur Q . Il résulte aussitôt de (36) que pour tout v G dét Q : |v |'* = det(gg ) |v| . On a donc cf(dét Q) = c(det Q) + d'd" Log dét(gg*) . Si l'on veut conserver telles quelles les hypothèses de positivité (2) et (3), on est amené à multiplier la métrique de M par le poids |_dét(gg )J , de sorte que l'estimation (5) du théorème 1 devient (37) x Pour tout élément h£Hom(Q, E) , la norme |h|f est donnée en fonction de la -13-norme naturelle |h| par |h|'2 » |h o g| = , et d'après (36), on a pour tout fEHom(Q, Q) : |f|'2 = <(gg*)"1o f ogg* , f > = (dët gg ) < gg o f o gg , f > , ^i .. . ïfc où gg désigne 1'endomorphisme cotransposé de gg L'estimation (37) s'écrit donc < h o gg , h > (dét gg*) " dV £ C X Si maintenant g n'est surjectif qu'au dessus de X privé d'un ensemble analytique Z , on suppose que Z est X-négligeable au sens suivant. DEFINITION 2. - Nous dirons qu'un ensemble ZCX est X-négligeable, s'il existe un sous-ensemble fermé Y d_e X , contenant Z , de mesure nulle, tel que l'ouvert X \Y soit faiblement pseudoconvexe, et tel que toute fonction de carré som-mable sur un ouvert U de_ X , holomorphe dans U \Y , se prolonge en une fonction holomorphe sur U . Lorsque la variété X est de Stein ou projective, Z est toujours X-négligeable il suffit de prendre pour Y une hypersurface quelconque de X contenant Z . Si Z est X-nëgligeable, le théorème 1 s'applique à X \Y . Comme k ^ 1 , la finitude de l'intégrale ïfe i -k (dét gg ) dV X \Y 2 entraîne que h est localement L , donc que h se prolonge à X . D'où le THEOREME 2. - Etant donné un morphisme g : E ->? Q , on suppose que 1 ensemble analytique Z = {z£X]g(E ) f Q } est X-négligeable , et que le fibre linéaire M vérifie l'une des conditions de positivité (2), (3) ou (32) . Alors, pour toute section f de Hom(Q, Q \otimes M) telle que le second membre de (38) soit fini, il existe une section h d_e_ Hom(Q, E \otimes M) telle que g o h = f et (dét gg*) k dV<çC X\Z k - Inf(n,q) Inf(n,q) - Inf(n,s) X\Z < gg f o gg ,f> (dét gg ) dV , On peut démontrer que cette hypothèse est superflue. -14- 4. Construction de rétractions holomorphes. Soit X une sous-variété fermée de dimension n dTun ouvert pseudoconvexe Q de $\frac{1}{4}$^ . On s'intéresse à la suite exacte 0 ? TX -*- TQ\X -^>NX *Q où NX est le fibré normal à X . Tous ces objets sont munis des métriques induites par la métrique de E . Avec les notations de l'introduction , on a E= Tft|x,S=TX,Q=NX,s=n,q=p-n. De plus, dét Q = dét NX ^ (dét TX) métriquement, donc c(dét Q ) = - Ricci(X) . Choisissons pour M un fibré trivial, dont la métrique est donnée par le poids e , de telle sorte que c (M) = d'd"

0 ; en appliquant le théorème là f = Id , dont la norme en tant que section de -(û Hom(Q, Q \otimes M) vaut qe , et compte-tenu de la remarque 3, on obtient le THEOREME 3. - Pour toute fonction V plurisousharmonique sur X , et tout réel k > Inf(2n,p) tels que id'd'V + i(k+l)Ricci(X) >s 0 , il existe une section h : NX ->- TQ | telle que -- - - ? x "--L ' - ? -'-'"" "' - A g oh = IdNX , (39) | |h|2e-*dV.< (p-n + k,In^(2n>p)) A - a REMARQUE 4. Le résultat a été démontré seulement lorsque <£ est de classe C , mais il est immédiat de se débarrasser de cette hypothèse par un passage à la limite, On notera que la condition de courbure ne peut être vérifiée que si $ est plurisousharmonique , car i Ricci(X) -£ 0 . Si 7TV : NX ->? X est la projection du fibré NX , on définit une application A 0 : NX ->- (CP par a(Ç) = ttx(ç) + h.Ç , ç G NX Il est clair, d'après le théorème des fonctions implicites, que a est un -15- isomorphisme d!un voisinage V de la section nulle dans NX , sur un voisinage V' de X dans Q . On construit donc une rétraction holomorphe r : V1 ->X (c'est-à-dire une application holomorphe r : V! -^-X telle que r(z) = z pour tout z £ X) en posant r = Ux o a'1 . Il ne nous reste plus qufà préciser V et V! On se donne une fonction p>0 sur X telle que pour tout z^X , il existe un polydisque D(z, p(z)) de centre z , de rayon p(z) , dans lequel X est un graphe. De façon précise, on suppose : (40) D(z, p(z)) est le produit des deux disques D'CT X, DM C (T X) de centre z z z et de rayon p(z) . (41) XHD(z, p(z)) est le graphe d'une application holomorphe u : D1 vD" . z Si on pose (z) - sup

0), e_V? dV < +co X p une fonction vérifiant les hypothèses (40) , (41) , et h le scindage holomorphe du théorème 3. Alors l'application cr(z, Ç) = z + h(z) . Ç, définie sur NX , est injective sur un "voisinage" V de la section nulle dans NX de la forme 1 Il existe une constante C? > 0 et une rétraction holomorphe r : U -> X sur 1T ouvert U = {Ç e CP ; (3zGX) |Ç - z| < C2 e P p(z)2n+1} Les constantes C, > 0 , CL > 0 , sont le produit de constantes universelles (ne dé' pendant que de la dimension p ) et de [(!+£) e^dv] Démonstration. Dans toute la suite, on désignera par a. les constantes ne dépendant que de la dimension p , et on posera C = (I +1) [ e^ dV. Jx On considère en tout point z^ X un système de coordonnées linéaires (ç,, ..., Ç ) 3 S .. . . 3 9 'P une base orthonormée de (T X) . Les vecteurs ~ , .... *- définissent un 9Çn+l 9S repère local de NX au-dessus de XOD ; on note E ,,..., E les coordonnées z ' ^n+1' ' ^p correspondantes dans les fibres de NX . La section h G Hom(NX, TQI ) est donc A définie dans XHD par une matrice Hz(Çlf..., Çn) = [h (Çl,...,Çn)] J 1 ^ J ^ P n+1 ^ k < p avec h., (z) = 6., , n+1 ^i,k^p . jk jk Soit A le polydisque de centre z et de rayon -^ p(z) , contenu dans D (z, p(z)). Z <£ o Dans A , |.h| est équivalent à une constante universelle près à i 12 i (2 H = Z h.. j,k & (noter que l'application u de (41) a ses dérivées bornées dans A ) , et on z z tire de (39) , grâce aux inégalités de Cauchy, que pour tout Ç ¤= A , 1/2* (z) Hz(Ç)| Sa, C1/Z e P p(z) " I 3Hz | 1/2 »/2V*) -n-1 Sup I gp-(Ç)| $a2C1/Z e P p(z) n . a/ Injectivité de a sur V C NX . De (42) il résulte en particulier pour Ç = z : r1/2 1/2VZ) , ,-n s (43) C e p(z) :> a3 , et si (z, Ç) appartient au "voisinage" V , 0n a u -1/2* (z) +] (44) |a(z, Ç) - z| = |h(z).£| 4 a4C!C e p(z) ' Supposons a(z, Ç) = a(z!> £f) pour deux points distincts (z,Ç), (zf, Çf) de V , ce qui ne peut se produire que si z ^ z! ; on a par exemple K p(z') ^ e H p(z) 17- (43) et (44) entraînent donc 1/9 -1/2* (z) (45) |z' - z| ^2a4 Cj C1/Z e P p(z)n x$ a5 Cj C p(z) , et z! £ A dès que C. C est assez petit . z ^ 1 r On montre aisément à partir de (41) , (45) que ., -1/2* (z) n angle(TzX ; z'-z) ^ c^CjC e P^ » car les dérivées secondes de u sont bornées par a7 p(z) dans A . Ecrivons maintenant 0 = ff(z», V) - CT(z, Ç) - z' - z + Hz(z').Ç' - Hz(z).Ç = z' - z + (H (z') - H (z)). V + H (z).(Ç' - Ç) . z z z -V (z) D'après (42) et lTinégalité |Ç'| ^ C, e P p(z) n , on obtient , si C.C est assez petit : 1/9 -1/2* (z) |(Hz(z') - Hz(z)).Ç'| « agCj C1/Z e P p(z)n. |z' - z| ^ a9C c|z'-z[<|z'-z| , -1/2* (z) angle (z1 - z ; zT - z + (Hz(zT) - H^z)). Ç») ^a^CjC1'2 e P p(z)n . D'autre part, comme le vecteur non nul H (z). (Ç! - Ç) se projette sur le vecteur de coordonnées Ç1 - Ç dans N X , (42) implique angle (T X ; H (z). (£' - Q)>\V - Ç|. |H (z) . (Ç« - Ç) |_1 > CtnC e M p(z) . Les trois évaluations d!angle qui précèdent sont contradictoires dès que C,C est assez petit; on a donc démontré 1'injectivité de a sur V . b/ Existence de l'ouvert U . Comme nous n'avons fait aucune hypothèse de régularité sur la fonction p , l'ensemble V n'est pas nécessairement un véritable voisinage de la section nulle dans NX . Il nous faut commencer par "régulariser" p . On remarque qu'il existe une constante a19eJ0,l[ telle que pour tout £ 6 A = D(z, y p(z)), X soit un graphe dans le polydisque D(Ç,a p(z)) (c'est-à-dire que les hypothèses (40) , (41) relatives à Ç, D(Ç, a,"p(z)) sont vérifiées). On peut donc remplacer p par la fonction p'(Ç) = sup a12(p(z) - 2 |ç - z|) , çex . p' est lipschitzienne de rapport 2a,- , à moins que p' s + co f auquel cas X est le graphe d'une application $\frac{1}{4}$ ->- $\frac{1}{4}$ , et 1! ouvert U = $\frac{1}{4}$ convient ! Posons pour tout z^X et 0s~y- p(z) entraîne par définition de p r,&\ ~V?) ~/^2n+1 x , ... fal2 , N1 2n+l (46) e H p(ç) ^exp(-«p (ç)) . L^>-P(Z)J - p(z) . al2 N2n+1 ~VZ) / s2n+l >À - ) e P(z) u car D( Ç, -^ p(z)) C D(z, p(z)) . Fixons z^X ; d'après (46) l'ensemble V contient l'adhérence W de l'ouvert W={(Ç, Ç) ^NX ; [Ç - z| < ^ p(z) et |Ç| < C3 e r p(z) } dès que CL < a, ~ C -19- "V2) 2 On va montrer que 0{VS) contient la boule de centre z et de rayon C9 e p(z) lorsque C" C est assez petit, ce qui achèvera la démonstration. Il est clair que le rayon de la plus grande boule incluse dans a(W) est égal à la distance de z au bord 9a(W) = a(3W) de a(W) . Supposons qu'un point (Ç, Ç) ^ W soit tel que -

p(z)2n+l ,a15(C2 + C3)C1/2e"1/2V'P(Z)p(z)-1. On en déduit comme dans la première partie : ," -1/2 $ (z) angle (Ç - z ; T X) ^ ^l6^2 + C3)Ci/Z e p p(z)n angle (h(ç).Ç ; Tç X)»|Ç| . |h(ç) .Ç| > ap C p(z)n , et lorsque (C + C~)C est assez petit : angle (Ç - z, -h(Ç). Ç) ^.1 |Ç|. |h(Ç).Ç|-1 , |ç - z + MO.Çl^sinCJlçl.lMç).^-1)] . [|ç-z| + |h(Ç)-Ç|] . -1/2 y> (z) >, I |Ç| + a18 C_1/2 e P p(z)n |ç - z| , ce qui est vrai même si |ç| = 0 . Il résulte alors de (47) : |6| .< 8C2 e""^^ p(z)2n+1 , 1/2 ~1/2^ |Ç - z| ^ a~g C2 C e P p(z)n+ <ç a19 C2 C p(z) ; lorsque C" C est assez petit, on voit que ( Ç , Ç) ne peut appartenir à la frontière 9W de W , donc la distance de z à o(9 W) est bien minorée par C e p(z) . ? Nous allons maintenant transcrire le théorème 4 sous une forme plus exploitable dans la pratique. On suppose que la variété X est définie par des équations Fj =f2= .... =Fn = 0 , telles que le rang du système (dF.)i - N soit égal à codim X = p - n en tout point de X . Calculons la courbure de Ricci de X en un point z E X où 20- les formes (dF.)._T sont indépendantes, J C {l,...,N} , |j I = p ? jjfcj o ' ' o1 Si l'on considère dF. comme une section de NX, /\ dF. définit jej section de dét NX- dét TX ; par conséquent Ricci(X) = c(dét TX) = -d'd" Log | A dF JGJ ce qui entraîne i Ricci(X) + id'd" Log 1 n . une /\ dF id'd" Log £ J-i j a dF. >s 0 D'autre part , par définition de la métrique de AT (E^ on a ou Î^J 9F AT _,= dét ~- J,K L ôz. J'AJ.*I ' ]jej, k£K , JC{1 K } , K C {!,..., p} p - n On a donc i Ricci(X) + id'd" Log Z aj)KI »° et on voit qu'on peut prendre pour poids

£ = e + 1 + Inf(2n, p) , A2 = S |A |2 J,K J> et où v. est une fonction plurisousharmonique sur X telle que -2£ ~*\ A e dV < + $\frac{1}{2}$ . X Nous pouvons maintenant montrer de façon très précise l'existence de rétractions ho- lomorphes, déjà discutée par C.A.BERENSTEIN et B.A.TAYLOR [î] dans un cadre analogue THEOREME 5. - Soient ip, , $?, x des fonctions plurisousharmoniques sur l'ouvert pseudoconvexe Çl C $\frac{1}{4}$ , telles que (49) (50) dV < + $\frac{1}{2}$ 9 i = e + i + inf(2n , p) , N , ,2 1/2 ^2 F| = ( E |F.| V ^ e Z -21- (51) z^flet |ç - z| 2 + C3 x + C4 log A + C5 , avec C2 = (2n+2) (p-n)-l, C3 = (2n+2) (p-n)+2n, C^ = 2( Jl-n-1) , -2? " 1 1 A e dv) + log - + a (1+ e +A) , >x e et a > 0 une constante ne dépendant que de N et p . 1 + £ +A Démonstration. On désignera par (3- les constantes du type a , et c * (i + h -2? "^l A Z e dV . a/ Montrons que la fonction -(p-n)tf>? - (p-n+l)x (53) p = g, A e vérifie les hypothèses (40) , (41). D'après (50), (51) et les inégalités de Cauchy, les dérivées premières des F. *2(z)+X(z> 1 J-v(z) sont majorées par $" e sur la boule de centre z et de rayon y G *>2(z) + 2x(z) les dérivées secondes par L e On a donc |a| «: 3, etP~n; (s^+X) ^ ce quj_ permet de choisir ^ tel que (54) p «c e"X . Fixons un point z£X , que nous prendrons comme origine des coordonnées pour simplifier ; quitte à effectuer une transformation unitaire sur (F,,...,F ) , on peut supposer que les différentielles d F,,...,d F _ sont orthogonales, et que d F . = . . . = d F._ = 0 . H z p-n+1 z N On choisit un système de coordonnées (Ç,,...,Ç ) tel que dF.fe) =a,Ç, dF (ç) = a Ç z Ivs/ 1^1' z p-n p-n ; V?2(z)+x(z) A(z) - a, ... a , et a. = d F.\ 4 3?e ce qui entraîne -(p~n-l)0/>2(z)+x(z)) (55) fâjl ^ 35 A(z) e -22- On peut écrire aT (F.(Ç) - F.(z)) - Çj + G,(Ç) , 1 $ j< p-n , avec |dGj(Ç)| ^66 A(z)"1 exp((p-n-l)(^2(z)+ x(z)) + *2(z) + 2 X, I A(z) . b/ D'après (48), (51), (54), (56), on a e^(Ç) « Sge^^ pour |ç - z\ (z) f N2n+1 ^ inf j 3nC e p(z) zex,|z-zo|^(zo) >. S^C^e^^o) p(Zo)2n+l , et comme |zq - o(Ç,Ç)| < p(a (Ç, Ç)) , on a d!après (51), (53), (54) e^(zo) p(zo)2n+1 »B,3e^(o(C^» P(a(ç)?))2n+I - On obtient donc au point 0= cr(Ç,£) e 8a(V) : |F(a)| ^S,4C_IA(a) exp(-(p-n-l)(v2(a) +X(a)))e^(CT)p(a)2n+1 = e"*(a)p(o)2n+1 (cf. (48),(52),(53),(55),56)). -23- II en resuite que l'ouvert V contient toutes les composantes connexes de U qui rencontrent la sous-variété X . On définit la rétraction r par r= tt ° a X sur ces composantes, et r = point constant de X sur les autres composantes de U REMARQUE 5. On a de plus par construction |r(ç) - ç| + (p-n+ 1 )x] < B16 A-2(£+P"n) e ' e compte-tenu de la définition (53) de p . Supposons maintenant que les conditions suivantes soient réalisées (avec des fonctions plurisousharmoniques v", ^,, x ) : (57) A >. e 3 , If (58) |F|*e 2 , (59) z e $\frac{1}{4}$ et |ç-z|< e~X^z' impliquent Ç G 0 > V2(Ç) ^2(z) + A, V3(Ç)^3(z) + A, X(Ç) ^ X(z) + A - Alors on peut choisir Vj « 2 (p-n) [(p-n)v?2 + (p-n+l)x] + 2(&+p-n) 93 + (p+e)Log(l + |z| ) , 2 if = C^V2 + C^3 + C^ X + ^ + (p+e)Log(l +|z| ) , (p-n)(v>2+X) avec £- ert-1 + Inf(2n,p) , et (compte-tenu de ce que |A| ^ 6, e ) Z%2 = 2( Jt+p-n)(p-n) - 1 , C^ = 2(£+p-n) , C! - 2(£+p-n+l)(p-n) + 2n, C^ = 2 Log - + a( 1 + e + A) . Ces dernières estimations précisent et généralisent les résultats antérieurs de C.A.BERENSTEIN et B.A.TAYLOR [l] . Ainsi, soit X unG fonction plurisous- -24- harmonique sur fi vérifiant les conditions suivantes : (60) X ^ 0 , et Log(l + |z|) = 0(X (z)) ; (61) il existe une constante A telle que z ^ fi et |z - Ç| < exp(- X (z) ) implique que X(Ç) $ X(z) + A . On définit l'algèbre A (fi) comme lTensemble des fonctions holomorphes f sur fi telles qu'il existe des constantes A , A"^0 telles que (62) |f(z)| £Aj exp(A2 X(z)) . L'hypothèse (61) est généralement exprimée sous une forme un peu plus générale dans la littérature (voir par exemple [8j), mais tous les poids usuels satisfont la condition plus restrictive que nous avons donnée . COROLLAIRE î. - Soit X une sous-variété de dimension n de 1Touvert pseudoconvexe fi C $\frac{1}{4}$p t définie par les équations F = F = ... = F = 0, avec F ,...,F e A (fi) On suppose que la quantité |2\l/2 9F. dét j| = |k| = p-n est non nulle, et vérifie une minoration du type A ^ exp(- A X(z) " An) 9 pour tout zGX . Alors il existe des constantes À«,A, > 0 et une rétraction holomorphe r : U définie sur l'ouvert U = {z^fi ; |F(z)| . X * 5. Extension des fonctions holomorphes avec contrôle de la croissance. On se replace tout d'abord dans la situation générale des paragraphes 0,1 et 2 : X désigne une variété kahlerienne faiblement pseudoconvexe de dimension n , E, M des des fibres hermitiens au-dessus de X , M étant de rang N . On considère un sous-ensemble analytique Y = F (0) de X , lieu des zéros d'une section holomorphe F de M , et on pose U = {z e x ; |F(z)| 0 tels que |F | " ne soit localement sommable en aucun point de Y (en général q sera un entier ^ 1 , par exemple q = sud codim Y , ou q = Inf(n.N)) . z^Y ~z On suppose que Y est X-négligeable (cf. §3, définition 2) ,et que la forme de courbure de E satisfait â l'inégalité (63) ic(E) ^N ( 1 + F ) -i Ricci(X) Alors pour toute section g de E au-dessus de U , telle que dV < + co il existe une section G de E au-dessus dq X,coïncidant avec g sur Y, et telle que i2 G dV (1 +M2)q+n 2 avec C(q,n) = 1 + q* ' si q^l , £ C(q,n) 1 |g| dV > si 0 g . Comme toute solution de l'équation (64) est de classe C , il suffit d'imposer que |u | *' |F [ soit localement sommable pour assurer 1 ' annulation de u sur Y . Soit Z une partie fermée de X contenant Y , telle que X \ Z satisfasse les hypothèses de la définition 2. On résout l'équation (64) dans X\Z , après avoir multiplié la métrique de E par (1 + |f[ ) |f| . Pour cette nouvelle métrique, la forme de courbure c'(E) du fibre E est donnée par c'(E) = c(E) +n |F| - A 9 9 9 9 *" 1 1 2 (1 + F ) (1 + F| ) 1 + M F] - A i"i4 u,2 Comme pour le théorème 2, cette hypothèse est en fait superflue. ?26- Soit K = dét(T X) le fibre canonique de X . Comme la (1,1)-forme n i(|F| - A ) est >, 0 , il résulte de l'hypothèse (63) que ic'(K* se) *. n-i j J n j i |v|2. , grâce au lemme 1, § 3, ligne (21). D'après H.SKODA [l3] , théorème 2 et remarques consécutives (comparer aussi avec la proposition du § 2), il existe une solution u e Cn Q(X\ Z, K \otimes E) = C (X\ Z, E) de l'équation (64) , telle que i/n x'2.]f|2 (1 + If]2)2 XXZ (1 + |F|2)n|F|2^ 2_2 -ïïj Tl^^ (^|Fl2)^lël2dV; 1 ^u |f| q o _9- O + |f| ) est bornée, la dernière intégrale du If! q second membre est bien finie. La section G = X(|f| )g - u est donc holomorphe dans X\Z et localement L dans X , par conséquent G se prolonge en une section holomorphe de E sur X (hypothèse co de la définition 2) ; on voit que u est de classe C dans X , et que u = 0 sur Y d'après (65). On obtient : \G\Z x< (1 + (1 + l/|F|2)q ?) X' 2 + o+-L )q M2 O +M2)q % (1 +|F|2)q -|F|2q |F|2q Gl2 dV JY o +\*n + 1 At2.(l+|F|2)2- F|2)q -|F|2q n On fait tendre convenablement X vers la fonction X définie par o r q+1/2 pour = 0 pour t > 1 ; le prolongement G de g va tendre vers une section enoore notée G 27- telle que G dV , C' « H*!2)2 avec X (1 +|F|2)q+T1 2.t2 l>;(hr>ra ^n (1 +|F|2)q-|F|2q n (?^)2 (1 +|F|2)2 « (q+D2 dans U , et (1 +|F|2)q - |F|2q^,Inf(l , 2q-l) dans U , car la fonction (1 + x)q - xq est monotone sur [o, l] . 2 On peut donc prendre C(q,n) = Sup(l , - ) + - 2q-l On remplace désormais X par un ouvert pseudoconvexe Q de $\frac{1}{4}$p , et on suppose que N E = $\frac{1}{4}$ , M = $\frac{1}{4}$ sont des fibres triviaux , dont les métriques sont données respectivement par les poids e q , e ( y> , ty fonctions plurisousharmoniques de co classe C ) . On a donc Ricci(Q) = 0, c(E) = d'd'V - 2q d'd"^ , c(M) = - 2d'd"ifj 8 Id , de sorte que la condition (63) est vérifiée. COROLLAIRE 2. - Soient g une fonction holomorphe dans l'ouvert U = {Z Gfi; |F(Z)| 0 U Alors il existe une fonction holomorphe G qui coïncide avec g sur 1T ensemble ana- lytique X = F (0), et telle que lG|2 e2^ dV g r( , U gl2 e2*"* dV Par un passage à la limite évident, le corollaire 1 s'étend au cas où \p est pluri- :fe sousharmonique quelconque, et Xp localement minorée. Reprenons maintenant les notations et les hypothèses du théorème 5 : X est la sous- On améliore ainsi les estimations de B.JENNANE [9] , grâce au choix de poids plus naturellement adaptés au problème posé. Il peut paraître surprenant que le corollaire 1 fasse intervenir un poids non plurisous-harmonique 2qi|> - ip, mais cette situation s'explique par le fait qu'on a "récupéré de la plurisousharmonicitë" en jouant sur la négativité du fibre M . Lorsque F(z) = z = (z],...,z ) , q = p , et ty = constante, le corollaire 1 redonne le théorème d'H0RMANDER-BOMBIERIp sous une forme optimale, utile pour la théorie des nombres (cf. H. SKODA [16] ). -28-variété lisse de l'ouvert Q Cffi définie par les équations F, = ... = F = 0 , On pose n = dim X, A = 2__ |dét f-^-1 I , F = (F. , . . . ,F") , 2 2 2lJl = lKl=P"n k jej' kGK^ lFl = lFjl +...+ |FN| , et on désigne par dVx = ~y| x 1'élément de volume canonique de X ; on suppose que ^ est la fonction plurisousharmonique donnée par le théorème 5 ou la remarque 6, et que 1T inégalité |ç - z| 0, il existe une fonction holomorphe G dans Q qui prolonge g , telle que ,2 -* - 2n* ", 1+A , n (|f|2 + e-2*)p-n+T1 n où a est une constante ne dépendant que de p e_t N . Démonstration. On choisit q = codim X = p-n ; si r : U -*-X est la rétraction du théorème 5 , on étend g à U en posant g = g o r sur les composantes de U . m qui rencontrent X , et g = 0 sur les autres composantes. Réexaminons maintenant les arguments utilisés dans la démonstration du théorème 5, en conservant les mêmes notations. Les composantes connexes de U qui rencontrent X forment un voisinage tubulaire de X , dont la coupe suivant le plan normal (T X) constitue approximativement i i-l -Y | i-l -iJj un polydisque de multirayon (|a.| e ,..., |a_| e ). Un tel polydisque est contenu par construction dans la boule de centre z et de -y(z) rayon p(z) ^e A , et son volume est donne par : p-n , ,-2 . ,-2 -2(p-n)4» q A~2 -2qi|T TT a, ... a e ^ yy=TTH A e HY . i 1 i i p_nt On en déduit visiblement d'après la remarque 5 que .rj|2 2qijj -

, et qui ne sont probablement pas les meilleures possibles, n'auront en général aucune importance dans les applications du corollaire 3, puisqu'on peut les "tuer" en choisissant f) assez petit, et qu'en pratique ty sera > 0 . -29' REMARQUE 7. Explicitons le corollaire 3 en termes plus familiers, sous les hypothèses suivantes : |g| ^ eY , |F| ^e 2 , A > e 3 , dans lesquelles on suppose que y> ^> ^, X sont des fonctions plurisousharmoniques vérifiant toutes l'analogue de (51) ; dans ces conditions, on peut choisir comme fonction p (cf. (40) , (41) et le théorème 5) la fonction -(p-n)v? -(p-n+l)x P = 34 Ae On obtient alors, en posant a) = W T)(z, p(z)) et en remplaçant

., . 3 p-2(P"n) dV ; >X on choisit donc y = y+ (p-n+1) ^3 + (p-n) [(p-n)^2 + (p-n+l)x]+ (p+n)Log(l +|z|) , ce qui donne f ? -2 d'où |G|Ol9.(l +I)e^+n* + ^ .(f2 + e^)P"n+n . COROLLAIRE 4. - Sous les hypothèses du corollaire 1 [voir (60), (61), (62) ; X est définie par F ,F ,. . . ,F <= A (Q) , et on suppose que A 5- exp(-A.)£ - A")] , une fonction holomorphe g sur X se prolonge en une fonction G^A (Q) si et seulement si A g vérifie la condition : |g(z)| ^ exp(A x(z) + A,) , pour tout z^X . -30- BIBL IQ GRAPHIE [î] BERENSTEIN (C.A.) and TAYLOR (B.A.). - Interpolation problems in (Cn with applications to harmonie analysis, à paraître au Journal d'Analyse Math, de Jérusalem. [2j DEMAILLY (J.-P.). ~ Relations entre les différentes notions de fibres et de courants positifs, à paraître. [3] DEMAILLY (J.-P.) et SKODA (H.). - Relations entre les notions de positivités de P.A.Griffiths et de S.Nakano pour les fibres vectoriels, Séminaire P.Lelong-H.Skoda (Analyse), 19e année, 1978-1979, Lecture Notes (à paraître). [4] DOUADY (A.) et VERDIER (J.-L.). - Séminaire de Géométrie analytique, E.N.S., 1972-1973, Différents aspects de la positivité, Astérisque 17, 1974, Société Mathématique de France. [5] GRIFFITHS (P.A.). - Hermitian differential geometry, Chern classes and positive vector bundles, Global analysis, Princeton University Press, p. 185-251, 1969. [6] HORMANDER (L.). - L estimâtes and existence theorems for the 3 operator, Acta Math., 113, p. 89-152, 1965. [7] HORMANDER (L.). - An introduction to Complex analysis in Several Variables, Princeton, Van Nostrand Company, 1966, 2e édition, 1973. [8] HORMANDER (L.). - Generato rs for sortie rings of analytic functions, Bull. Amer. Math. Soc. 73, p. 943-949, 1967. [9] JENNANE (B.). - Extens ion dTune fonction définie sur une sous-variété avec contrôle de la croissance, Séminaire P.Lelong-H.Skoda (Analyse), 17e année, 1976-1977, Lecture Notes n° 694, Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1978. [10] NAKANO (S.) - Vanishing theorems for weakly 1-complete manifolds II, Publ. RIMS, Kyoto University, vol. 10, p. 101, 1974. [il] SKODA (H.). - Application des techniques L à la théorie des idéaux d'une algèbre de fonctions holomorphes avec poids, Annales scient, de l1Ecole Normale Supérieure, 5, p. 545-579, 1972. [12] SKODA (H.). - Formulation hilbertienne du Nullstellensatz dans les algëbres de fonctions holomorphes, paru dans "l'Analyse harmonique dans le domaine complexe". Lecture Notes in Mathematics, n° 336, Springer, Berlin,Heidelberg,New York,19 73. [l3] SKODA (H.). - Morphismes surjectifs et fibres linéaires semi-positifs, Séminaire P.Lelong-H.Skoda (Analyse), 17e année, 1976-1977, Lecture Notes n° 694, Springer, Berlin,Heidelberg,New York, 19 78. -31- [l4j SKODA (H.)- ~ Morphismes surjectifs de fibres vectoriels semi-positifs, Ann. Scient. de l'Ecole Normale Supérieure, 4e série, t. 11, p. 577-611, 1978. [l5j SKODA (H.). - Relèvement des sections globales dans les fibres semi-positifs, Séminaire P.Lelong-H.Skoda (Analyse), 19e année, 1978-1979, Lecture Notes (à paraître) . [l6] SKODA (H.). - Estimations L pour l'opérateur 8 et applications arithmétiques. Séminaire P.Lelong (Analyse), 16e année, 1975-1976, Lecture Notes n° 578, Springer, Berlin-Heidelberg,New York, 1977. % Local Variables: % TeX-command-default: "uTeX" % End: