\input macros_ocr.tex \def\enonce{\bf} {\sevenrm\baselineskip=8pt Séminaire P.~LELONG, P.~DOLBEAULT, H.~SKODA\\ (Analyse) 25e année, 1984/85\\ Lecture Notes in Math.\ {\sevenbf 1295}, Springer, pages 24--47 \vskip1.5cm} \centerline{\hugebf Une preuve simple de la} \medskip \centerline{\hugebf conjecture de Grauert-Riemenschneider} \bigskip {\leftskip=9mm par Jean-Pierre Demailly\vskip0pt {\it Université de Grenoble I, Institut Fourier\\ Laboratoire de Mathématiques associé au C.N.R.S.\ n° 188\\ BP 74, F-38402 Saint-Martin d'Hères, France\vskip1cm}} {\bf Résumé.} Soit $E$ un fibré hermitien holomorphe en droites au-dessus d'une variété analytique complexe compacte $X$. Nous démontrons une majoration asymptotique pour la dimension des groupes de cohomologie des puissances tensorielles $E^k$ assez élevées. Le majorant obtenu s'exprime de manière intrinsèque à l'aide d'une intégrale de la forme de courbure de $E$. Comme application, nous obtenons une preuve simple de la conjecture de Grauert-Riemenschneider, résolue récemment par Siu : si $X$ possède un fibré en droites $E$ quasi-positif, alors $X$ est de Moishezon ; de plus, l'hypothèse de quasi-positivité a pu être affaiblie ici en une condition intégrale qui n'exige pas la semi-positivité ponctuelle de $E$. \bigskip \centerline{\bf A simple proof of the Grauert-Riemenschneider conjecture} \medskip {\bf Abstract.} Let $E$ be a hermitian holomorphic line bundle over a compact complex manifold $X$. We give an asymptotic upper bound for the dimension of cohomology groups of high tensor powers $E^k$. This bound is invariantly expressed in terms of an integral of the bundle curvature form. As an application, we find a simple proof of the Grauert-Riemenschneider conjecture, recently solved by Siu : if $X$ possesses a quasi-positive line bundle $E$, then $X$ is a Moishezon space ; furthermore the quasi-positivity hypothesis has been weakened here in an integral condition which does not require the bundle $E$ to be pointwise semi-positive. \vskip1.5cm {\bigbf 0. Introduction et notations} Soient $X$ une variété analytique complexe compacte de dimension~$n$, $F$ un fibré vectoriel holomorphe de rang $r$ et $E$ un fibré holomorphe en droites hermitien de classe $C^\infty$ au-dessus de $X$. Soient $\nabla = \nabla' + \nabla''$ la connexion canonique de $E$ et $c(E) = \nabla^2 = \nabla'\nabla'' + \nabla''\nabla'$ la forme de courbure de~$E$. Désignons par $X(q)$, $0\le q\le n$, l'ouvert de $X$ sur lequel la $(l,l)$-forme de courbure $ic(E)$ possède exactement $q$ valeurs propres${}<0$ et $n-q$ valeurs propres${}> 0$. Nous démontrons alors l'estimation asymptotique suivante, qui borne la dimension de l'espace de cohomologie $H^q(X, E\otimes F)$ en fonction d'une intégrale de courbure de $E$ sur~$X(q)$. \medskip {\enonce Théorème 0.1.} -- {\it Pour tout $q = 0,\,1,\,\ldots\,,n$ on a l'estimation $$ \dim H^q(X,E^k\otimes F) \le C(n)rk^n \int_{X(q)}P \big|c(E)^n\big| +o(k^n) $$ où $r = \rang(F)$ et où $C(n) > 0$ ne dépend que de $n$.} \medskip La constante optimale dans l'inégalité du théorème 0.1 est $C(n) = (2\pi)^n/n!$, mais la preuve de ce résultat requiert une analyse beaucoup plus détaillée que celle élémentaire que nous exposons ici (cf.\ [D2], [D3]). La constante optimale précédente s'obtient en combinant les inégalités de Morse de E.~Witten [W] avec un théorème de [D3], qui décrit de manière très précise le spectre de l'opérateur de Schrödinger associé au champ magnétique $B = k\,ic(E)$ lorsque $k$ tend vers $+\infty$. Les techniques du présent article sont en fait plus proches des techniques utilisées anté\-rieurement par [ Siu 1,2] pour prouver la conjecture de Grauert-Kiemenschneider.\break Indiquons brièvement la méthode de démonstration. Les groupes de cohomologie\break $H^q(X,E^k\otimes F)$ peuvent être interprétés comme des espaces de formes harmoniques à valeurs dans $E^k\otimes F$, une fois qu'on a muni $E$ et $X$ de métriques hermitiennes. On utilise alors l'identité de Bochner-Kodaira-Nakano non kahlérienne de P.~Griffiths [G], relative à la connexion $D_k = D'_k + D''_k$ de $E^k \otimes F$~: $$ \Delta''_k = \Delta'_k + [ic(E^k\otimes F), \Lambda] + [D'_k,\theta] - [D''_k,\ovl\theta]~;\eqno(0.2) $$ $\Delta'_k$, $\Delta''_k$ désignent ici les Laplaciens holomorphes et antiholomorphes sur $E \otimes F$, et $\theta$ est un opérateur d'ordre $0$ et de bidegré $(-1,0)$ qui dépend uniquement de la torsion de la métrique hermitienne sur $X$. Il résulte de la présence du terme de courbure $k[ic(E),\Lambda]$ dans (0.2) que toute $(0,q)$-forme harmonique $h$ à valeurs dans $E^k \otimes F$ est nécessairement petite en dehors de l'ensemble $X(q)$. Pour majorer $h$ sur $X(q)$, on commence par démontrer un lemme de type Rellich pour opérateur $D'_k$ en bidegré $(0,q)$. Ce lemme repose sur l'ellipticité du $\dbar$ en degré $0$ (cf.\ \S$\,$3, \S$\,$4) la preuve nécessite l'utilisation d'un pavage de $X(q)$ par des cubes de côté${}\sim 1/\sqrt{k}$ de manière à pouvoir contrôler les effets de la courbure (qui sont grosso modo proportionnels à~$k$) lorsque $k$ tend vers~$+\infty$. La dimension de $H^q(X,E^k\otimes F)$ est donc majorée à une constante près par le nombre de cubes du pavage, soit $k^n\Vol(X(q))\;$; il reste alors seulement à choisir la métrique hermitienne sur $X$ de manière adéquate pour en déduire le théorème~0.1. La méthode de [Siu~l], [Siu~2] était assez différente, et consistait à utiliser l'isomor-phisme de Dolbeault en vue d'appliquer le lemme de Schwarz à des cochaîhes holomorphes s'annulant en de nombreux points. L'utilisation directe du lemme de Rellich pour les formes harmoniques va entraîner ici un gain de précision considérable dans les estimations recherchées. Soit maintenant $\chi(E^k\otimes F) =\sum_{0\le q\le n} (-1)^q\dim H^q(X, E^k\otimes F)$ la caractéristique\break d'Euler-Poincaré du fibre $E^k\otimes F$. La formule de Hirzebruch-Riemann-Roch donne $$ \chi(E^k\otimes F) = r {k^n\over n!} c_1(E)^n + P_{n-1}(k) \eqno(0.3) $$ où $P_{n-1}\in\bQ[k]$ est un polynôme de degré${}\le n-l$, et où $c_1(E)$ est la première classe de Chern de~$E$. La forme $c_1(E)$ est représentée en cohomologie de de Rham par la $(l,l)$-forme ${i\over 2\pi}c(E)$, de sorte que la formule précédente se récrit $$ \chi(E^k\otimes F) = r {k^n\over n!}\int_X \Big({i\over 2\pi}c(E)\Big)^n+o(k^n) \eqno(0.3') $$ En combinant $(0.3)$ et le théorème $0.1$ pour $q\ge 2$, on en déduit la minoration suivante du~$H^0$. \medskip {\enonce Corollaire 0.4.} -- {\it Supposons que $c(E)$ ait au plus $1$ valeur propre${}<0$ en tout point de~$X$. Alors~$:$ $$ \eqalignno{ \dim H^0(X,E^k\otimes F) & \ge \chi(E^k\otimes F) - o(k^n)\cr & \ge r {k^n\over n!} c_1(E)^n - o(k^n).&\square\cr} $$} \vskip-5pt Le dernier paragraphe est consacré à l'étude des espaces de Moishezon. Rappelons-en la définition. \medskip {\enonce Définition 0.5.} -- {\it Soit $Y$ un espace analytique compact irréductible. On appelle dimension algébrique de $Y$, notée~$a(Y)$, le degré de transcendance sur $\bC$ du corps $\cM(Y)$ des fonctions méromorphes de $Y$.} \medskip D'après un théorème bien connu de Siegel [S], on a toujours l'encadrement $0\le a(Y)\le n$, où $n = \dim_\bC Y$. \medskip {\enonce Définition 0.6.} -- {\it $Y$ est appelé espace de Moishezon si $a(Y) = n$.} \medskip En utilisant le raisonnement de Siegel [S], il n'est pas difficile d'obtenir d'autre part l'estimation suivante (cf. \S$\,$6 ; voir aussi [Siu~1]). \medskip {\enonce Théorème 0.7.} -- {\it Pour tout fibré holomorphe en droites $E$ au-dessus de $X$, il existe une constante $C > 0$ telle que $$ \dim H^0(X,E^k) \le Ck^{a(X)},\qquad \forall k\ge 1. $$} Le fibré $E$ est dit quasi-positif si la forme de courbure $ic(E)$ est définie positive sur un ouvert dense de $X$. La conjecture [G-R] de Grauert et Riemenschneider peut alors s'énoncer comme suit. \medskip {\enonce Conjecture 0.8.} -- {\it Pour que $Y$ soit un espace de Moishezon, il faut et il suffit qu'il existe une désingularisation $\pi: X\to Y$ de $Y$ et un fibré holomorphe en droites $E\to X$ quasi-positif.} \medskip La condition est trivialement nécessaire, car si $Y$ est de Moishezon on sait d'après [Moi] que $Y$ possède une désingularisation projective~$X$ . Le corollaire 0.4 et le théorème 0.7 permettent inversement de résoudre par l'affirmative la conjecture de Grauert et Riemenschneider. Le corollaire 0.4 fournit en fait une condition suffisante plus générale, qui n'exige pas la semi-positivité ponctuelle de $E$. \medskip {\enonce Théorème 0.9.} -- {\it Soit $X$ une variété analytique compacte connexe de dimension~$n$. Pour que $X$ soit de Moishezon, il suffit que $X$ possède un fibré hermitien en droites vérifiant l'une des hypothèses suivantes~$:$ \smallskip {\parindent=6.5mm \item{\rm(a)} $c_1(E)^n>0$, et $ic(E)$ a au plus une valeur propre${}< 0$ en tout point de~$X$. \item{\rm(b)} $ic(E)$ est semi-positive sur $X$ et définie positive en au moins un point.\medskip}} Le théorème 0.9 (b) a été démontré antérieurement par [Siu~1] avec l'hypothèse supplé\-mentaire $ic(E) > 0$ presque partout, puis par [Siu~2] en général. C'est ce résultat qui a constitué la principale motivation de notre travail. Une fois que l'on sait que $X$ est de Moishezon, il n'est pas difficile de démontrer un théorème d'annulation sous hypothèse de semi-positivité de $E$ (cf.\ \S$\,$7). \medskip {\enonce Théorème 0.10.} -- {\it Soit $X$ une variété complexe compacte et connexe de dimension $n$, $E$ un fibré hermitien en droites au-dessus de $X$. Si $ic(E)$ est${}\ge 0$ sur $X$ et${}> 0$ en au moins un point, alors $$ H^q(X, K_X\otimes E) = 0 = H^{n-q}(X, E^{-1}) $$ pour tout $q = 1,\,\ldots\,,n$.} \bigskip {\baselineskip=16pt \bigbf 1. Identité de Bochner-Kodaira-Nakano\\ \phantom{\bigbf 1. }en géométrie hermi\-tienne\vskip0pt} \end L'outil essentiel pour la démonstration du théorème 0.1 consiste en une estimation a priori pour les formes harmoniques à valeurs dans le fibré $E^k \otimes F$, dérivée de l'identité de Bochner-Kodaira-Nakano. Pour obtenir cette estimation, on munit la variété $X$ d'une métrique hermitienne 00 arbitraire u> de type (1,1) et de classe C , et on introduit de même une métrique co hermitienne C sur les fibres de F . L'espace C (X, F) des (p.q)-formes de p,q classe C à valeurs dans F se trouve alors muni d'une structure préhilbertienne naturelle. On note D = D' +D" la connexion hermitienne canonique (i. e. telle que D" = â ) de F , 6 = ô' + S" l'adjoint formel de D considéré comme opérateur dif- CO férentiel sur C (X, F) , et A l'adjoint de l'opérateur de multiplication extérieure - ? - co par ou . Si A,B sont des opérateurs différentiels sur C (X, F) de degrés respec- * ? - tifs a,b , on définit leur anti-commutateur [a,B] par la formule ah [A.BJ = AB - (-1) BA . Pour un troisième opérateur C de degré c , l'identité de Jacobi s'écrit alors : (-l)Ca[A,[B,C]] + (-l)ab[B,[C,A]] + (-l)bC[C,[A,B]] = 0 . (1.1) Avec ces notations, les opérateurs de Laplace-Beltrami A' , A" du fibre F sont définis par A" = fD',6'1 = D'ô* + Ô'D' , A" = fD",ô"] . LEMME 1.2. - On a les relations de commutation fA,D'] = i(ô"+6) , fA,D"] = -i(ô' + 6) , où 0 (resp. 0) est un opérateur d'ordre 0 et de bide gré (-1,0) (resp. (0,-1)) ne dépendant que de la torsion de la métrique ^ sur $X$ . Démonstration. - Les relations sont vraies dans C pour la métrique canonique (et plus généralement pour toute métrique kahlérienne) : on a alors 0 = 0. Pour une métrique hermitienne uu quelconque, l'égalité a donc bien lieu au niveau des symboles principaux. On peut montrer que 8* = [A ,d'uu] (cf. [Dl]), mais nous aurons besoin ici seulement de savoir que 0 est indépendant de F ; or, ceci est évident, car pour tout x ¤ $X$ le fibré F admet localement une trivialisation par un repère holomorphe qui est orthonormé et D-parallèle au point x . ? 29 L'utilisation du lemme 1.2 et de l'identité (1.1) donne A" = ID", -i[A,D'] -ël = -i([D',[D",A]] + [A,[D',D"]]) - [D",ë] = A' + lD',91 + [i[D',D"],A] - tD",0] , ce qui implique la formule suivante, connue sous le nom d'identité de Bochner-Kodaira-Nakano. COROLLAIKE 1.3. - A" = A' + Uc(F), A] + [D», 9Ï - ÏD", 9 I -? Pour u Ç C (X, F) on note u(x) la norme de u en chaque point x £ $X$ et p,q ' ' [lu|| la norme L^ globale : ||u||2=J |u|2dV , dV = -J-½n . X 2nn ! Par adjonction, on obtient les égalités = ||û'u||2 + ||ô'u||2 , - (9u,ô'u) + , <[D",9]u,u) = <0u,6"u) + . Grâce à l'inégalité |(9u,6'u)| * è(||6'u||2+||0u||2) . et ses 3 analogues, on déduit alors du corollaire 1.3 l'estimation | ;> |(A'u,u> + <[ic(F),A]u,u) - C^uf , (1.4) où Cft est une constante s 0 dépendant de d'uu , mais pas de F . Soit maintenant v la connexion de E , D, = D! + D" celle de E \otimes F , k k k ô, l'adjoint de D. , et Aï , A!' les laplaciens associés. k k k k La courbure de E\otimes F se calcule par la formule c(Ek<8»F) = kc(E)\otimes H + c(F) . -F oo k Pour tout u Ç C (X,E \otimes F) , l'estimation (1.4) implique p,q 3(||D^u||2+||ô^u||2) ^ |lD^u||2 + ||6{5u||2 +2k<[ic(E),A]u,u) - C^uf (1.5) où C > 0 dépend de d'uu et de F , mais pas de k . Nous aurons donc besoin d'évaluer le terme en courbure tic(E),A] . En tout point x 6 $X$, notons 30 a (x) = T (aT+aT- Za.)|uT T |2 . (1.6) I,J,m V I J j=i 1) M,m 2. ESTIMATIONS A PRIORI POUR LES FORMES HARMONIQUES. q k D'après la théorie de Hodge, l'espace de cohomologie H (X,E\otimes F) est isomorphe q k à l'espace M, des (0,q)-formes AV. -harmoniques à valeurs dans E\otimes F . Toute k forme u 6 c! (X,E\otimes F) peut également être interprétée comme une (n.q)-forme k ~ ~ n u à valeurs dans le fibré E\otimes F , où F = F\otimes A TX ; de plus, l'isomorphisme ui-u est une isométrie C* (X,Ek\otimes F)^C° (X,Ek\otimes F) . 0,qv n,qx Si on écrit u = Eu. ÇT\otimes e , l'égalité (1.6) donne J,m J m <[ic(E),AÏu,u> = E -ccPj|uJ>m|2 > -(aq+1+...+an)|u|2 , (2.1) (tie(E),A]ïï,û) - T ajluj^l2 ^ (ai+...+ aq)|u|2 . (2.1) L'estimation a priori (1.5) appliquée aux formes u ¤ Cn (X, E\otimes F) et S 6 C (X, E\otimes F) entraîne alors les trois inégalités suivantes : n,qv illD^uf - 2B||u||2 * ek(u) , (2.2) 2Jx" (V+'"+Vlul2dV^k(u) » <2-3> 31 2j (a +...+otQ)|u|2dV <; e (a) , (2.3) avec B = max (a J_1(x)+...+a (x)) , (2.4) x¤X q+1 n ek(u) = |(llDku!l2 + llôkull2 + c2H2) . c2-° - (2-5) Soit maintenant h une (0,q)-forme harmonique à valeurs dans E\otimes F et soit \|t une fonction C arbitraire sur $X$ . On a D" h = ô"h = 0 , donc K K D"(tjjh) = d"ij/Ah , ô"(i|rh) = -d*\|tJ h (2.6) où j désigne le produit intérieur. Considérons le recouvrement de $X$ par les intérieurs des compacts K+ = {x¤X ; a1(x)+...+ a (x)^|] , K_ = {x¤X; a (x)+...+ an(x)<;-.i } , K [x6X; a.(x)+... + a (x) s 1 et a J_(x)+...+ a (x) > -1} , L 1 q q+1 n J et soit (\|t , \|r , \|i) une partition de l'unité subordonnée à ce recouvrement, telle que 2 2 2* ~ i|r + i|r_ + ?j/ = 1 . Les estimations (2.3), (2.3), (2.5), (2.6) appliquées à u = ijj h fournissent alors de sorte qu'il suffit de savoir contrôler ijfh . Ceci sera possible grâce à l'inégalité (2.2), moyennant un lemme de Rellich convenable pour l'opérateur D' . 3. UN LEMME DE RELLICH POUR L'OPERATEUR a DANS (c" . Soit cp une fonction de classe C°° à valeurs réelles dans AT (cp de classe C suffirait). On désigne par \ la mesure de Lebesgue sur ¤r et par ||w||, la norme L d'une fonction mesurable complexe w , avec poids exp(-kcp) : Hkcp = J^lw^e^îX-kcpJdX . Soit N(P) le nombre de points du réseau Kti] = (2Z + i:&) situés dans la boule fermée de centre 0 et de rayon p . Nous démontrons alors le lemme de Rellich explicite suivant pour l'opérateur d . THEOREME 3.1. - Soit K une partie compacte de C et A > 0 un majorant sur K des valeurs propres du Hessien de cp , i.e. Soit a un réel > 0 quelconque. Pour tout réel k > 0 il existe alors un entier ,n, n Y(k) = N(Vo-+2n)A"k"\(K) + o(k ) (3.2) et des fonctions f. ¤ C (¼ ) , l^j^y(k) » ayant la propriété suivante : pour î » -K n toute fonction w ¤ C (¼ ) à support dans K , on a l'Inégalité H< <3S l'5< + lsi?Y(k) I^'jA/ - <3'3» Démonstration. - Observons d'abord que le problème est, en un certain sens, local o sur K . Soient en effet K ,...,K des compacts dont les intérieurs K recouvrent 1 s 2 K et sofent \|/ des fonctions réelles C à support dans K. , telles que Zï-i|f = 1 sur K . L'égalité 2Z4 ô\|i =0 donne S |i(>Lw)|2 = S |*p5w + w5*pl2 = 1ôw|2 + ( ? |5*pl2)|w|2 . (3.4) g=l * £=1 c w e \£=1 e / Supposons (3.3) vraie sur chaque K ; il suffira alors de sommer les inégalités (3.3) relatives aux fonctions i|i w pour obtenir celle relative à w , car la constante - 2 2jô|0| figurant dans (3.4) se trouve multipliée par le facteur l/k tendant vers 0 . Pour démontrer l'inégalité (3.3) on va utiliser un pavage de K par des cubes de côté assez petit. On considère pour cela le pavé "modèle" P de côté 2 défini par P = {z = (xj + iyj)^jàn; jx.jsl, jy.^1} . (3.5) On définit une fonction i|i ¤ C ( 0 et v, x des fonctions complexes de classe C sur P , avec v.. r BjiN = N(2P/tt) , telles que Jp|v|2exp(-ReX)dX £ ^J (jgvj2 +\ |ôX|2 |v|2)eXp(-Rex)dX + £||2 . (3.10) JP p2 V j J 2n Identifions l'espace mesuré (P,d\) au tore (IR/2I&) et considérons les coefficients de Fourier de g définis par g(v) = f g(z)exp(-iTTRe+x/2) avec |v| <- - Le lemme est démontré.» On considère maintenant le recouvrement du compact K par la famille de pavés P =-r=r(P+v), v¤^ti]n (3.11) v V^k de côté 2A/Â"k et de centre a = v/jAk . Posons v If (z) « ?ifijAkz - v) (3.12) de sorte que Supp | c Pv . D'après (3.7), (3.8) et (3.4), il vient HlLp - £ MIL <3-13> S||5«vW)||^=|W|^+n4AkH^. (3. ,4) On va maintenant appliquer le lemme 3. 9 aux fonctions \|i w sur chaque cube P . On cherche pour cela un poids x = $X$ te* Ç. C. + n o où £ = z - a , n(0 ^ O |C| , et où F est le polynôme holomorphe défini par Fv(c, - cp(av) ? Z Z XL (av,£. ? S J&- ,av) CjC , . On pose alors X (z) = cp(z) +iImFv(0 , de sorte que àv 2 *V ,-x 5 cp , ., , âî] .,. | Sri .... n lr,2 lsj^n ôzjôzg v J ÔZ¤ 'âz¤ Puisque les valeurs propres de iôôcp sont majorées par A et puisque o k.l ^ 2/Ak sur P , nous obtenons : 'V v |ôXv|2 * A2|C|2 + C3|C|3 <. 2nA/k + C4k"3/2 . (3.15) Appliquons maintenant le lemme 3.9 au poids x(z) ~ ^X ((z+v)A/Ak) et à la fonction v(z) = \|i(z)w((z+v)/*/ÂTE) = (\|i w)((z+v)Â/A"E) , zÇP . - 2 -4 L'estimation (3.15) entraîne jôxl s 2n + C k , d'où Pour achever la démonstration, il ne reste plus qu'à sommer les inégalités (3.16) sur les cubes P qui rencontrent K . En utilisant (3.13) et (3.14) on obtient alors «-C ^ [s iis-C+ Hrt) +V*)ii<,] 'uftw'^W (3-17) où les fonctions (f. , ) ne sont autres que les fonctions è f. après réindexation. J,k VJ J L'inégalité (3.17) implique (3.3) en faisant passer le terme ||w|L du membre de droite dans le membre de gauche ; il suffit pour cela que 35 l-(l+n2/4)n/p2 p2 0 < = -5- 2/p2 2 ce qui est réalisé par exemple pour p = - ^a + 2n . L'entier y(k) est alors donné 2 par Y(k) = Ncard{v ;PvnK^0} avec N = Ni--) = N("/a +2n) . Comme la maille du réseau des translations définissant les cubes P a pour volume (Ak) , il vient card{v ;PnK^} = Ank\(K) + o(kn) , et l'estimation (3.2) s'ensuit. ? 4. LEMME DE RELLICH POUR L'OPERATEUR D' . 1 k Comme l'estimation (3.3) est locale, elle peut s'étendre sans difficulté au cas de l'opérateur Dj agissant sur une section u ¤ Cn (X, E \otimes F) . Pour cela, il suffit k 0, q d'appliquer le théorème 3.1 aux composantes de u dans des coordonnées locales convenables. THEOREME 4.1. - Soit K une partie compacte de $X$ et Vol(K) son volume relativement à la métrique uu . Soit A un réel > 0 tel que sup max ! a. (x) I <. A , x6K l±]<,n $Y$ ' où a <. 0 quelconque. Pour tout entier k > 0 , il existe alors un entier v(k) = fnjrN(Va+2n)AnknVol(K) + o(kn) (4.3) 0 k et des formes v. . ¤ C" (X,E \otimes F) , l^j âv(k) , telles que pour tout ½ u ' u ¤ Cn (X,E\otimes F) à support dans K on ait i2 1 n_. i,2 ^ , , lf2 1 sï Démonstration. - Soit g g ]0,ll un réel fixé. On va d'abord démontrer que l'inégalité (4.4) a lieu a un facteur multiplicatif 1 + e près dès que K est assez petit. On suppose que K est contenu dans un ouvert de carte Q c $X$ qui trivialise les fibres E et F . Pour simplifier les notations, on identifiera E|q au fibre trivial Q x C ; la métrique de E est alors donnée par un poids e-cf , et la 36 courbure de E est telle que ic(E) = iôôcp sur Ci . (4.5) 00 Soit d'autre part (f ,...,f ) un repère orthonormé C de Fi~ . Quitte à rétrécir Q , on peut supposer que fi est muni de coordonnées locales holomorphes (z ,...,z ) approximativement orthonormées, telles que ! n n (1 + e) i Zdz.Adz. <. ut), <; (1+e) i Edz.Adz. . (4.6) 1=1 J i |u j-i J J co k Via l'identification E i =* fi x ¼ , toute forme u ¤ Cn (X, E\otimes F) peut s'écrire u = Z uT dzT\otimes f , |j|=q, l^m^r. J,m J.m J m " LEMME 4.7. - L'opérateur D' est défini par la formule D'u = E E ekcp-^(e"kCpuT )dznAdzT\otimes f k J,m lsfcsn Sz¤ J,m ¤ J m + (-l)q Z uT dzT\otimes D'f . J,m J>m J m Démonstration. - En utilisant la formule de différentiation d'un produit tensoriel, on se ramène au cas où le fibré F est trivial (la métrique de F étant elle aussi triviale). Sbit (X, d'ou le lemme. ? _ -kep Posons wT = uT e . D'après (4.6) on a l'inégalité J,m J,m ||u||2 * (l+£)n+q E J |wT |2ekcpdX (4.8) J,mJK' J»m V ' car Supp u c Kc n ; le coefficient (1+e) provient de l'inégalité dV ^ (1+e) d\ , le coefficient (1 + e) de la métrique du fibre ATX. Le lemme 4.7 peut se récrire par ailleurs 37 2 2-12 Grâce à l'inégalité (a+b) ^ (l+e)(a +e b ) , il vient : Ci E J I», jV^X < (1+e,n+^2[||D.u||2 + a"uf ] , (4.9, J,m K J'm L K où C est un majorant de (JD'f |+... + |D'f |) sur K. Les valeurs propres de ic(E) = iôôcp sont d'autre part majorées sur K par (l + s)A . Appliquons alors le théorème 3.1 aux fonctions wT , où cp est remplacé par -cp et A par (1+e) A . U vient -2n-2q-3 ||w ||2 ^ ||ôw ||2 + E | . | . (4.10) J'm'-kcp °Ak J'm -kcp l^j^Y(k) J>m J,k kcp En combinant (4.8), (4.9) et (4.10) on obtient après sommation sur J,m : H2 * lî - <4'n> et comme \(K) <; (l + e)nVol(K) il vient V(k) =fn]rY(k) ^fn]rN(Vor+2H)(l+e) 2AnknVol(K) + o(kn) . (4.12) Ceci suppose que Supp u c K et que le compact K soit assez petit. Dans le cas o général, soient K ,...,K des compacts dont les intérieurs K recouvrent K , tels 1 S £ que (4.11) et (4.12) soient réalisés sur chaque K et tels que Vol(K ) +...+ Vol(K ) < Vol(K) +e . J- O p Soient if des fonctions réelles C à support dans K vérifiant Z)f = 1 sur K On a alors l'estimation suivante, analogue à (3.4) : ^K^^f * !!Dkull2 + C3HI2 . <4-13> 2 où C est un majorant pour £|ô| | . Les inégalités (4.11) et (4.12) relatives aux formes ty u impliquent avec v(k) - fnjrN(^ + 2ÏÏ)(l+e) 2 Ankn(Vol(K) + e) + o(kn) . Le théorème 4.1 s'ensuit si l'on fait tendre e vers 0 . ? llull2 * <1+E>_1 38 5. MAJORATION ASYMPTOTIQUE DE LA DIMENSION DES GROUPES DE COHO MO LOGEE. Pour illustrer la méthode, nous commencerons d'abord par étudier le cas particulièrement simple où ic(E) s 0 . THEOREME 5.1. - On suppose ie(E) s 0 sur $X$ . Alors dim Hq(X,Ek\otimes F) = o(kn) si q s 1 . Ce résultat est dû à Y. T. Siu [Siu2] (avec une preuve différente) ; grâce à la formule de Riemann-Roch (0.3), on en déduit la minoration suivante du H : 0 k k11 dim H (X,E \otimes F) £ r - c (E)n - o(k.n) . (5.2) En utilisant le théorème 0.7 on voit que la proposition 5.1 entraîne déjà la conjecture de Grauert-Riemenschneider dans sa formulation 0.9 (b). Démonstration du théorème 5.1. - Soit fi , l'ouvert des points de $X$ où ic(Ë) " ' ' ?" "" - - ' ?? -f- est définie > 0 (c'est-à-dire où (ic(E)) >0 ), et K un voisinage compact de X\Q . Pour tout e > 0 , on peut choisir K tel que f (ic(É))n < e . Si K+ c 0 est un voisinage compact de X\K , il existe des fonctions \|i,\|i ¤ C½(X,IR) à support dans K, K respectivement, telles que i)j + \|t = 1 sur $X$ . Soit S une métrique hermitienne arbitraire sur $X$, ri un réel > 0 et ou = ic(E) + nôJ - Puisque K c: Q , ic(E) est définie > 0 sur K . Les valeurs propres a. de ic(E) relativement à la métrique uu vérifient donc a. s:...s a ^l sur $X$, et sur K on aura -sa, s...^a s 1 (5.3) 2 1 n dès que r\ est assez petit ; pour r\ < ru suffisamment petit, on aura de plus Vol(K) = J ~- < e - JK 2nn! Soit alors h une (0,q)-forme harmonique à valeurs dans E\otimes F , qsl . Les estimations (2.3), (2.5), (2.6) pour u = \|r h donnent WKH2 * t INI2 . (5-4) 39 tandis que les inégalités (2.2), (2.4) pour u = ijjh impliquent i||D^h)||2 - (2n-2)||rf ^ ^ INI2' (5-5) Utilisons maintenant le théorème 4.1 avec u = t|fh , A = 1 , a = 2n-l . Il vient (2n-l)||^h||2 - i||D^h)||2 £ VÈ ||2 . (5.6) Par addition de (5.4), (5.5), (5.6), on en déduit IN2 - IIHI2 - IIMI2 * ïlN2 +Vf ll2 ? ce qui entraîne h= 0 dès lors que k> C et (h, i|rv. ) = 0 , l^j^v(k) . Il vient donc dimHq(X,Ek\otimes F) <; v(k) 5; fJn]rN(v4rn^î)kne + o(kn) pour k assez grand, et le théorème 5.1 est démontré. ? Démonstration du théorème 0.1. - L'idée est analogue est celle du théorème 5.1 ; elle consiste à combiner l'estimation a priori du Aï avec le lemme de Rellich pour l'opérateur D' . Nous aurons besoin pour cela de construire une métrique hermitienne adéquate sur $X$ . Désignons par S l'ensemble des points x ¤ $X$ en lesquels la forme de courbure ic(E)(x) est dégénérée. Avec les notations de l'introduction, posons fi + = X(0) U...U X(q-l) , fi_ = X(q+1) U..-U X(q) . On a alors une partition de $X$ : X=SUX(q)U^Un . L'ensemble S U X(q) est compact, et c(E) =0 sur S . Pour tout e > 0 , il existe donc un voisinage compact K de SU X(q) tel que P |c(E)n| < e/2nn . (5-7) JK\X(q) ' On choisit d'autre part des compacts K c fi , K cz fi tels que 00 o X = K U K U K . 4- - On va maintenant construire une métrique hermitienne m sur $X$ qui sera intimement reliée à la forme de courbure ic(E) . Soit Ûj une métrique hermitienne fixée une fois pour toutes et a £ a0 £ >.«£a les valeurs propres de ic(E) relativement à ûj . 1 £ Xi. 40 On définit trois formes hermitiennes uu , tu , uu semi-positives en tout point T) + - x 6 $X$ en posant n / 2 2 0) = i E 7a (x) +n Ç AÇ > il >o M j=l J J J uu = i E n|â (x)|c.AC + i £Aà(x)CAC (5.8) + aj<0 J J J a.>0 J J J uu = i S |â.(x)|CAC +i L na(x)C.AC a.<0 J J J a.>o J J J relativement à une base (Ç.) . de TrX , orthonormée pour S et orthogonale pour ic(E) , telle que n ic(E) = i Z a(x)Q AQ . (5.9) j=l J J J LEMME 5.10. - ou (resp. uu , , uu ) est définie > 0 de classe C°° sur X f] + ~ (resp. sur X\S ) . Démonstration. - Soit M la matrice de ic(E) dans un repère eu -orthonormé de classe C°° de TX et |M| = Jm la valeur absolue de M . Les matrices de uu > U), , w sont données par M est donc de classe C°° sur $X$, et MM le sont sur X\S . ? X] + En recollant uu , uu , uu à l'aide d'une partition de l'unité, on peut construire m ri + une métrique C définie positive ou sur $X$ telle que uu = eu sur SU X(q) , uu = uu+ sur K+ , (5.11) uu = m sur K_ . Comme les 3 métriques uu , m , uu majorent |ic(E)| et comme uu ^nuu T] + ±11 on a l'encadrement |ic(E)| ^ uu ^ nuu . (5.12) T) Puisque uu converge vers |ic(E)| quand n tend vers 0 , (5.7), (5.11), (5.12) entraînent pour r| < r)n assez petit : 41 r ½n q . En particulier, on en déduit (5.14) 00 Soient \|j , \|i , i|i ¤ C (X,IR) des fonctions à support dans K , K , K respec- 9 2 2 tivement, telles que i|i + i|) + \|) =1 sur $X$ . Pour toute (0,q)-forme harmonique h à valeurs dans Ek\otimes F , les estimations (2.2) pour u = \jjh , (2.3) pour u = i|r h , (2.3) pour u = i|r h entraînent respectivement ±||D^h)||2 -2n||th||2 s ^||h||2 , (5.15) |!^±h||2 * S |Jh||2 . (5. 16) Utilisons maintenant le théorème 4.1 avec u = \)rh , A. = 1 , a = 2n+l . Il vient (2n+l)^h|!2 -i||D'(^h)||2 <; £ ||2 . (5.17) K K l^j^v(k) J'K Par addition de (5.15), (5.16), (5.17) on en déduit IN2 = IIHI2 + llnhH2 + IM!2 - <5-18> ^||h||2+ S | C" et (h,\|iv. , ) = 0 , 1 <; j <; v(k) . Pour k > C" il vient dim Hq(X,Ek\otimes F) <; v(k) =£ MrN(v^n+Î)knVol(K) + o(kn) . D'après (5.13) on a 42 VbKK)--^-; / < 4~(j lc(E)nî+e) - 2nn! JK 2nn! ^ X(q) / Comme ( ] £ 2 il s'ensuit dimHq(X,E\otimes F) <; -r N(A^n+ï)rk11 f |c(E)n| + e + o(kn) , n! V JX(q) / et l'estimation asymptotique 0.1 est donc démontrée avec C(n) = ~ N^iH+l) . . Le théorème 0.1 entraîne une minoration du nombre de sections holomorphes de E \otimes F ; plus précisément, on a l'énoncé suivant qui généralise le corollaire 0.4. COROLLAIRE 5.19. - Supposons que la courbure c(E) n'admette aucun point d'indice pair ^ 0 . Alors 0 1 kn dimH (X,Ë\otimes F) s x^cAE) - o(kn) . Démonstration. - Par hypothèse X(2) = X(4) = ... = 0 , donc le théorème 0.1 donne H q(X,E \otimes F) = o(kn) . Par suite x(X,£k\otimes F) = dimH° - (dim H1 + dimH3+... ) + o(kn) , et le corollaire résulte de la formule de Riemann-Roch (0. 3).b 6. MAJORATION DU NOMBRE DE SECTIONS HOLOMORPHES ET DIMENSION DE KODAIRA. Tous les résultats de ce paragraphe sont archi-classiques. Nous les rappelons simplement afin de donner un exposé complet et autonome. Si E est un fibré en droites au-dessus de la variété $X$ (supposée connexe), on notera V. = H (X, E ) et h, = dim V, . Si h, est >0 , les sections globales k k k k s Ç V. définissent une application holomorphe naturelle $k : X\Zk^lP(Vk)- IP k où Z c $X$ est le sous-ensemble analytique de leurs zéros communs : pour tout x ¤ X\z, , l'image \S$\,$,(x) est définie comme droite épointée de V, par $k(x) = |(v£) . 43 Soit p le rang maximum de \S$\,$. sur X\Z . DEFINITION 6.1. - On appelle dimension de Kodaira de E l'entier H(E) = max{pk; k>l et h^O} jsi h, ^ 0 pour au moins un k s 1 , et k(E) = -½ sinon. On a alors la majoration suivante pour les dimensions h, . THEOREME 6.2. - Il existe une constante C s 0 telle que pour tout entier k 2: 1 on ait hk = dimH°(X,Ek) ^ CkK(E) . Démonstration. - Nous reprenons pour l'essentiel les arguments de Siegel [S] tels qu'ils sont exposés dans [Siu 1], Soit [q } un recouvrement de $X$ par des ouverts de coordonnées o c I et B. = B(a. , R.) , 1 £ j <; m , une famille de boules g j s j relativement compactes dans les ouverts Q , telles que les boules concentriques 1 B! = B(a. , - R. ) recouvrent $X$ . Munissons E d'une métrique hermitienne, et soit exp(-cp.) le poids représentant cette métrique dans une trivialisation de E au voisinage de B. . J 0 k Soit alors s ¤ H (X,É ) une section holomorphe qui s'annule à l'ordre p en un point x. ¤ B! . Les inclusions J J B! g Bfx. , Ir.) c b(x. .Ir.) c B. J V J 7 j) V j 7 jj j et le lemme de Schwarz appliqué aux deux boules intermédiaires entraînent l'inégalité supB,|s| <; exp(Ak)3 P supB |s| (6.3) J « où A = max, . diamcp.(B.) est l'oscillation maximale des poids cp. sur les l£] 0 . Choisissons pour tout j = l,...,m un point x. 6 B'.\Z, tel que d$. soit de rang maximum = p, en x. , et soit j J K K K J s. ¤ H (X,E ) une section qui ne s'annule en aucun point x. . Pour tout s ¤ H (X,E ) le quotient s/s" est bien défini en tant que fonction méromorphe sur 44 X , et de plus s/s est une fonction holomorphe au voisinage de x. , constante le long des fibres de |. . Comme $ est une subimmersion au voisinage de chaque Xv IV point x. (théorème du rang), on peut choisir localement une sous-variété complexe J -1 M. de dimension p passant par x. et transverse à la fibre \S$\,$ ($, (x.)) . La J K J K K J section s s'annulera à l'ordre p en chaque point x. , 1 <. j <. m , si et seulement si les dérivées partielles d'ordre < p de s/sn le long de M. s'annulent en x. . Ceci correspond au total à l'annulation d'au plus mp dérivées. Si nous choisissons p = ([A] +l)k , alors l'inégalité (6.3) entraîne supx|s| <; (e/3)psupx|s| d'où s = 0 . Comme p. <. k (E) , nous obtenons par conséquent dim H (X,E ) <. mp <. Ck . ? Pour achever la preuve du théorème 0.7 et donc de la conjecture de Grauert-Hiemenschneider, il suffit maintenant de combiner le théorème 6.2 avec le résultat élémentaire (6.5) ci-dessous. THÉORÈME 6.4. - &it a(X) = deg.tr $(X) la dimension algébrique de $X$ . IL Alors : x. (E) <. a(X) pour tout fibre en droites E sur $X$ ; (6.5) 0 <; a(X) <. n , et il existe un diviseur positif D sur $X$ tel que (6.6) k(0 0 sur $X$ et > 0 en au moins un point, alors Hq(X,K\otimes E) - 0 = H11 q(X,E l pour tout q = l,...,n . Démonstration. - Dans le cas où $X$ est kahlérienne, on raisonne comme O. Riemenschneider [R]. Soit h une forme harmonique dans H (X,E ) . L'identité 1.3 pour F = E donne ||D'hl|2 +||ô'h||2 - = 0 , et la formule (2.1) entraîne que h s'annule sur l'ouvert de $X$ où ic(E) > 0 . Le résultat de Aronszajn [Ar] sur les zéros des solutions d'équations elliptiques implique alors que h est identiquement nulle sur $X$ . Dans le cas général, le théorème 0.9 (b) montre que $X$ est de Moishezon. Il existe donc d'après [Moi] une modification propre n : $X$ -- $X$ telle que $X$ soit une variété projective. Le fibre E = tt E est lui aussi semi-positif et > 0 en au 46 moins un point de $X$, car c(Ê) = rr7r(c(E)) . Par suite H (X,Ê ) = 0 . Or le morphisme naturel est clairement injectif : on a en effet rr «rr* = id où n désigne le morphisme image directe n" : H^X.Ê-1) -^(X.E"1) calculé au sens des courants (on utilise ici le fait que la cohomologie peut être calculée indifféremment au moyen des formes C ou au moyen des courants). q La démonstration de la nullité de H (X,K \otimes E) est analogue, si on identifie cet espace à l'espace des (n,q)-formes harmoniques à valeurs dans E . On peut aussi se ramener au cas précédent en invoquant la dualité de Serre : Hq(X,K \otimes E)* - eP^X.e"1) . BIBLIOGRAPHIE [Ar] N. ARONSZAJN, A unique continuation theorem for solutions of elliptic partial differential équations or inequalities of second order. J. Math. Pures Appl. , 36 (1957), pp. 235-249. [A-S] M. F. ATIYAH and I. M. SINGEE, The index of elliptic operators III ; Ann. of Math. 87 (1968), pp. 546-604. [Dl] J.P. DEMAILLY, Sur l'identité de Bochner-Kodaira-Nakano en géométrie hermitienne. Séminaire P. Lelong - P. Dolbeault - H. 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