Séminaire P.~LELONG, P.~DOLBEAULT, H.~SKODA\\ (Analyse) 23e année, 1982/83\\ Lecture Notes in Mathematics n° 1028, Springer, pages 96-1024 MAJORATION STATISTIQUE DE LA COURBURE D'UNE VARIÉTÉ ANALYTIQUE par Jean-Pierre DEMAILLY et Bernard GAVEAU 0 - INTRODUCTION L'objet de ce travail est d'étudier la croissance de la courbure de Ricci d'une sous-variété analytique dans un ouvert strictement pseudoconvexe borné Çl C .(C . Une telle étude avait déjà été entreprise dans [5], [4] pour le cas des diviseurs de la boule de E ou E . De manière générale, étant donné une application analytique F = (F, ,...,F) : Q ?*? ¼ ayant une certaine croissance, on regarde si la courbure des surfaces de niveau de F peut-être estimée. En codimension p > 1, on sait que la croissance de l'aire d'une surface de niveau prise isolément n'est pas reliée à la croissance de F (cf.[ 2 ] ) , mais que l'estimation de l'aire subsiste néanmoins en moyenne (cf.[ 7 ] ) . On est donc amené à étudier de même des majorations statistiques de la courbure. Pour tout Ç £ E , on considère la surface de niveau X = F ( Ç). La variété X sera supposée sans singularités. On munit alors X de la métrique kahlérienne a = - dd |z| induite par la métrique euclidienne usuelle de C , et on désigne par R la forme de courbure de Ricci correspondante de X (la définition précise est donnée au §3). Nous montrons le résultat suivant. Théorème 1. Soit 6(z) = d(z,9^) la distance de z au bord dÛ. On suppose que F.,...,F sont bornées. Alors pour tout entier q = 0, 1,...,n-p on a l'estimation ç e cp dX(ç) 6p+q [Log(l + 1/6)] q Rq A an p q < + - avec dX = mesure de Lebesgue de Ç Une estimation plus générale valable pour un ordre de croissance quelconque des fonctions F. sera énoncée dans le th. 3.6. Le th. 1 équivaut respectivement pour q = 0, q = 1, q = dim X = n-p à une majoration de l'aire, de la courbure scalaire K = trace(R), et de la courbure totale r - Il Rn~P/(n-p)!ll de V Lors que q est quelconque, on a simplement une estimée des fonctions symétriques élémentaires des courbures principales de X (= valeurs propres de la forme R). La démonstration consiste essentiellement à effectuer de multiples intégrations par parties, en exploitant le fait qu'on dispose d'un bon contrôle du potentiel de la forme R. Même en codimension p = 1, il semble peu probable qu'on puisse obtenir une version individuelle du th. 1 (i.e. pour tout Ç, (---)< + OT ) : les résultats obtenus dans [3] indiquent que la croissance des singularités d'une hypersurface quelconque n'est pas liée à la croissance de l'équation. Dans le dernier paragraphe, on montre que la courbure totale d'une hypersurface vérifie une équation de type Monge-Ampère, généralisant ainsi le résultat analogue de [4] dans le cas des courbes et des surfaces. Théorème 2. Soit X une hypersurface de Ci dont la courbure totale Y n'est identiquement nulle sur aucune composante de X. Alors T vérifie l'équation i38 Log r = -(n + 1) R + 2 tt[Z] où [ Z ] est le diviseur des zéros de F . Cette formule pourrait s'avérer utile pour obtenir des estimées fin.es de F et de ses dérivées covariantes, en utilisant la théorie du potentiel le long de 1Thypersurface X elle-même. 1. MAJORATION DE L'AIRE D'UN DIVISEUR. Les résultats de ce paragraphe sont tout à fait classiques. Nous avons préféré cependant reproduire l'essentiel des démonstrations, d'une part pour fixer les notations, et d'autre part parce que nous aurons besoin de toute façon des éléments techniques qui interviennent ici. Soit U C C un ouvert strictement pseudoconvexe borné de classe C . On sait qu'il existe une fonction p G C (fi) ayant les propriétés suivantes : (3.5)p < 0 sur fi ; (3.6)p = 0 , dp i 0 sur le bord 9fi ; (3.7)p est strictement plurisousharmonique (p.s.h. en abrégé) sur fi. On pose $ = dd p = 2i33p où d = i(3 - 5), et pour tout a < 0 'on définit : fi (a) = {z S Çl ; p(z) < a}, S (a) = {z ¤ fi ; p(z) = a}. Soit a < 0 tel que dn^ 0 pour p >^ a . L'ensemble S(a), a >/ a , est donc o r o o une sous-variété compacte de classe C , canoniquement orientée par la forme c n_ 1 volume d pA B . Dans l'intégrale du th. 1, il sera commode de remplacer la distance au bord ô par | p| et la (1.1) forme a = ~r dd |z|2 par .$ (il existe en effet des constantes C > C? > 0 telles que C"6 < [p| < C.<5 et C"a < 3 < C-a sur fi). Nous serons alors amenés à effectuer de multiples intégrations par parties du type suivant. - 4 - Lemme 1.1. Soit X une sous-variété analytique fermée de codimension p dans fi, V une fonction p.s.h. sur X, G une forme fermée de bidegré (n-p-1, n-p-1) à coefficients continus sur X. On se donne une fonction X - ]_co) 0] -*? 3R convexe décroissante, de classe C sur ]-°°, 0[ , telle que X(0) = X'(0) - 0. X(P) dd^VAG = - i V|xT (p)|dd^p AG + '(p)dpAdCpA0 X ^x ^X sous réserve que les trois intégrales soient absolument convergentes. Dans le cas particulier X = fi, p = 0, on obtient pour tout a ¤ [a ,0 [ : (1.5) j(a-p)ddCVA6 = VdpAG - V ddCpA0 fi(a) JS(a) Jfi(a) Démonstration. Pour vérifier (1.4), on commence par tronquer les intégrales en remplaçant X par X n fi(a) et X par X (t) = X(t) - X(a) - XT(a) (t-a), a a < 0, puis on passe à la limite quand a -> 0. Grâce aux procédés standards de co régularisation, on se ramène également au cas où P,6,V sont de classe C . La formule (1.4) s'obtient alors à partir des identités : (1.6) d[x (p)d°VA6] = X (P) dd°VAG + x' (p) dp A d°V AG a a a = x (P) dd^AG + x' (P) dV A dCp AG, a a (1.7) d[V x' (p)dCpAe] = xT dV A d°p AG + V x' (p) ddCpA0 + Vx"(p) dp A d°p A6 a a a a c c en appliquant deux fois la formule de Stokes. LTégalité dp A d VA0 = dV A d pAG utilisée implicitement dans (1.7) se démontre en observant que la 2-forme ce - dp A d V - dV A d p ne contient pas de terme de bidegré (1,1). Les intégrales de bord sont nulles car X (a) = XT(a) =0. La vérification de (1.5) est analogue a a à celle de (1.4) avec X = fi et X (t) = a - t, mais ici (1.7) fait apparaître a - 5 - l'intégrale de bord S (a) Vd pA9. ? Lemme 1.2. Soit T un courant > 0 fermé de bidegré (n-p-1, n-p-1) sur X et X - ]-°°,0 [ -y ]R une fonction décroissante de classe C1 telle que X(0_) = 0. Alors (1.8) |Xf (P) | dp A d°P A T = X(P) dd°p A T. X -'X La démonstration est semblable à celle du lemme 1.1. On applique la formule de Stokes sur X n Q(a) en écrivant d[X (p) dCp A T = X (P) ddCp A T + X' (P) dp AdCp A T avec X (t) = X(t)~x(a).E a a a a Lorsque V est une fonction p.s.h., on sait que les moyennes de V = sup(V,o) sur les pseudo-sphères S(a) majorent les moyennes de V_ = sup(-V,0). De façon précise : Lemme 1.3. Soit n une fonction croissante > 0 sur l'intervalle [a ,0[. On suppose que la fonction p.s.h. V vérifie une condition de croissance au bord du typ e S(a) V dCn A 3n l < n(a) , a e [a ,0 [ Alors il existe une constante C >0 telle que (1.9) S(a) V_ d"p A 3 < C. (n(a) + v H ) où a e [a ,0[ et ! |v I o '' -''o Q(a ) o ,n Démonstration. En choisissant pour 8 la (n-l,n-l)- forme positive la formule (1.5) entraîne ,n-l - 6 - (1.10) S(a) V+dCp A 3n_1 V d p A S(a) ver > o fi(a) v_dcp A 6n ! < ri(a) + S(a) fl(a) v 3 Puisque dp ^ 0 pour p > a , il existe une constante C2 > 0 telle que (1.12) 6n < C2 dp A dCp A 6n_1 sur fi\fi(a ). o Posons À(a) S(a) c n- 1 V_d p A B - Pour a > a , l'égalité (1.11) implique À (a) < n(a) + V . + C, fi(a) \fi(a ) V dp A dCp A 3n" n(a) + ||v_||o + c2 ra X(t)dt Il suffit maintenant de reproduire la démonstration du lemme de Gronwall. La for-le de Stokes montre que la fonction À est continue sur [a ,0[, car dV_ = dV - dV mu C.a est à coefficients L: . En posant A(a) = e 2 loc A1 (a) = e"C2a (A(a) - C2 X(t)dt) ^ e~C2ao(n(a) + I I VJ I Q) Comme X] est croissante, on obtient donc A(a) « e ^0 (a - a ) (n(a) + V | I ) d'où X(a) « C1 (n(a) + ( [V_| | ) avec C-, = 1 + Cj a e 2 o. ? Certaines classes de fonctions holomorphes seront d'un intérêt tout particulier dans la suite. Définition 1.4. Soit rt : [-°°,0 [ ?+- B une fonction croissante > 0 de classe C1 On définit les classe A (Q.) C N (P.) de fonctions holomorphes sur Q par n ri F les conditions suivantes : (1.13) F £ A (P) si et seulement si il existe une constante M ^ 0 telle que Log |F(z)I ^ M n(p(z>) , z G Q ; (1.14) F ^ N (fi) si et seulement si il existe une constante m ^ 0 telle que Log^ |F(z) | d° p A gn 1 <: m n(t) , t6[a,0[ S(t) ° On considère sur A (fi), N (J2) les fonctionnelles n n (1.15) *n(F) = Mn(F) + ||Log_ |P| ||o , *n(P) = mn(F) + ||Log_ |F| ||o , M (F) et m (F) étant respectivement les plus petites constantes possibles M,m dans (1. 13) et (1. 14). La classe N (Q) correspondant à n = 1 est usuellement dénommée classe de Nevanlinna (d'où la notation). Cette classe intervient de manière naturelle lorsqu'on cherche à obtenir des majorations de l'aire d'un diviseur (cf [1] , [ 6] ) Théorème 1.5. Soit F G N (9.) et [ Z] le diviseur des zéros de F. Etant donné £ > 0, on considère la fonction convexe de classe C x(t) -^V- . t < 0. t n(u) Il existe des constantes C"(e) , C,(e) > 0 indépendantes de F telles que (1.16) Condition de Blaschke : X (P) [z] A Bn !< C3(e) * (F) (1.17) Condition de Malliavin : -^ [Z]Adp Adcp A Bn 2 < C4 (e) * (F) n(p) La démonstration repose essentiellement sur l'équation de Lelong-Poincaré (1.18) [ Z] = -7^- dd Log |f| et sur les formules d'intégration par parties 2tt des lemmes 1.1 et 1.2. Avec X = Q et T = [ Z] A que 1 - [ Z] A dp A dcp A Bn 2 n(p) X(P) [Z] A 3 n-1 Les conditions de Blaschke et de Malliavin sont donc équivalentes. Raisonnons d'abord dans le cas où n est non bornée, c'est-à-dire X1 (0) = 0- D'après l'équation (1.18) et le lemme 1.1 (1.4) il vient : 2tt X(P) [ Z] A 6 n-1 Log|F|.|X'(p)| ddCp ABnl + Log|F| X"(p) dpAdCp A 3n 1 l Log_|F|.|x,(p)| 3n+ I Lo? Jf| X"(p) dp A dCp A Bn 1 L'hypothèse F G N (fi) entraîne que ,(a) Log+ |F| d°p A 3n l S(a ) ° n o (1.20) [ Log_|F|.ixf(p)| 3n + f Log+|F| X"(P) dpAdcpABn * < C, V> (F) jfi (a ) 4Ka ) n D'après (1.12), les intégrales analogues sur fi \ fi(a ) sont majorées par : - 9 - fi \fi(a ) o (Log_|F|. C2|xf(p)| + ^og+ |f| x"(P» dpAdCp A soit encore, grâce au théorème de Fubini, par (1.21) C. ?'(t)ldt S(t) Log |f| dc o A Bn ] (1.22) + X"(t) dt Log+|F| dC p A 3. "o S(t) On a x" = -0+£)n' r)~2~Z , donc (1.22) < (1.23) avec (1.23) x"^dt x n(t) *n = V Ue *n tC ; (1 n n UJ n Enfin, le lemme 1.3 montre que Log_|F| dCp A Bn < C (n(t)v (F) + ||Log_|F| || ) , S(t) donc l'intégrale (1.21) est inférieure à (1.24) = Cj C2 dt n (t) (n(t) «p (F) + ||Log_ |f| ||o 0) 1 p Pour tout e > 0 on pose (u - t)P * du (p-D Il existe une constante C(p,e) > 0 telle que (2.1) Ç 6 (C1 (1+ Ç ) dX(ç) (p) Bn p < C(P,e) B(F) avec B(F) = (1 + m (F.)) II (1+M (F.)), cf. définition 1.4 1, j=2 rij J Démonstration. Par récurrence sur p. Considérons d'abord le cas p = 1, ri = ri , F = F, , l'hypersurface X étant définie par F - Ç = 0. D'après le théorème 1.5, il suffit de vérifier : (2.2) Ç S ¼ (1 + |ç|2) ' £ ¥>n(F - ç) dX(ç) < C^e) (1 + ^(F)) - 11 - Par définition,

0 , il vient mn(F - Ç) < m^(F) + C2(l + Log+|ç|) , ç e ¼ (1 + kl2) X e m (F - ç) dX(ç) < C (e) (1 + m (F)) i i2 -1-e En majorant brutalement (1 + |ç| ) par I, on trouve d1 autre part (2.3) Ç e E (1 + |ç|2) ! £ Logja - ç| dX(Ç) < C4 = Log - dX(Ç), d Bn"P+1 < --^ B(^ V Un calcul immédiat donne x'i(t> = -^i7- ' xp (t) n, (t) 0 l nP"2 A (u - t) du (p-2)! 't (rij n2.--np)(u) , P > 2 ; xâ(t) (nj1+en2)(t) . x"(t) = (p - 3) ! (V3- t)P 3 du (ri! en2---n )(u) p > 3 . On en déduit pour p > 2 les inégalités (2.5) XpCt) I < c6 Vl(t) Sl t ^ [InfP'0] » x" <« n(t) < Ixl , (t) - 12 - Choisissons ç' tel que X , soit sans singularités, et Ç valeur non critique de la restriction de F à X . Appliquons le lemme 1.1 (1.4) à X- Xç. , V = Jjj; Log |Fp - Çp| , G = 3n_P. L'équation de Lelong-Poincaré dd V = [X ] considérée sur X , implique (2.6) X_ X_(p) 3 n-P _ _ V V|X'(P) I Bn P+1 + I Vx"(p)dpAdcpA6n p 'V Log_|Fp - Ç| . |Xp(p)| 3 V n-p+1 V LogjF -ç .x"(p)dpAd p A 3 + p p Ap n-p Comme ci-dessus on voit que L°g+|Fp - çp| < c7(M^(Fp) + i + Log+|çp|) np(P) ; les inégalités (2.5) donnent donc la majoration (2.7) Log |F- ç | Xn (p) 3n"P+1 b -' p p Ap-1 V + C7 (Mn(V + X + L°g+Upl> { lx'p_iCp)| dpAdCp A 3 P X T n-p D'après le lemme 1.2, on a : (2.8) Kt |X' 1(p)|dpAdCp A B n-p V Vi (p) 3 n-p+ On intègre maintenant (2.6) avec le poids (l + |ç|2) P , qu'on majore par (1 + |ç'|2)-P+ï-e/2 (1 + |ç |2j-l-e/2t si 1Ion tient compte de (2.3), (2.4), (2.8) et (2.6) < (2.7) , on obtient finalement l'inégalité attendue (2.1). ? 1 +£ Posons n (t) = (n n ... n ) ((1-e)t). Des minorations triviales donnent y (t) > £P ]t|P/p! n (t) , Xf 00 > £P * |t|P * /(p-1 ) !r. (t) P b p e Une nouvelle application du lemme 1.2 permet d'énoncer : - 13 - Corollaire 2.2. Sous les hypothèses du théorème 2.1 on a |p|p n (P)"1 Bn"p < + - (2.9) (1 + |ç|') L G (CP X ç i id-1 - .-1 - . ,c . _n-t)-l + 00. (2.11) les fonctions F. sont bornées et n (t) = 1. J ^ (2.12) Les fonctions F. sont à croissance pôlynomiale au bord , (i.e. Log|F.| 0, i.e. pour tout £ > 0, 3 il existe C(e) > 0 telle que Log|F.\< .C(e)|p| ; on peut prendre alors s*.\ i-i~PT~£ / x i .ip(l+r)+e ne(t) » \t\ * et X (P) = IpI 3. INTEGRALES DE COURBURE Soit X une sous-variété analytique de dimension d dans l'ouvert .n Q(Çl CC (C strictement pseudoconvexe). On désigne par TX le fibre tangent à X. Définition 3. 1. TX étant muni de la métrique euclidienne standard a = -r dd |z|' on appellera forme de courbure de Ricci de (X,a) la forme de courbure du fibre .d * canonique ATX: R = i c (AdT*X) = - i c(AdTX). Cette définition diffère des conventions usuelles, suivant lesquelles R = i c (A TX). Le choix que nous avons fait sera commode parce que i c(A T X) est toujours une (l,l)-forme > 0, comme le montre le calcul explicite suivant. Lemme 3.2. On suppose que X est définie par le système d'équations F = (F.,...,F ) = (0,...,0) et que l'application linéaire tangente dF est - 14 - surjective en tout point de X (on a donc d = dim X = n - p) . Pour tout multi-indice croissant L = {l.,...,l } C {l,2,...,n} , on pi JL(F) = dët [ S~J \ 1 < j , k < p J (F) = ( Z |JT (F) j2)1/2 > 0 iLl-p L Alors on a les formules suivantes (3.1) || F*(dÀ) || = J(F)2 , où dX est la (p,p)-forme associée à la mesure de Lebesgue sur tC1 (3.2) R = [ ddC Log J(F)] ? (restriction de dd° Log J(F) à X). Preuve de (3.1). Soient (Ç19....t ) , (z,_...,z ) des coordonnées orthonormées I p 1 n sur ¼P et (Cn. On a dA = 2 p ip dç, A...A dç A dç. A...A dç pi p (3.3) F (dç. A... A dç ) = E ? JT(F) àz. 1 p |L| L L La formule (3. 1) résulte immédiatement de là. Preuve de (3.2). Pour tout multi-indice L de longueur p, 1'égalité (3.3) implique F (dç. A... A dç ) A dzr,T = ± JT(F) dz. A... A dz 1 p \.h L I n ± étant la signature de la permutation qui réordonne LU ÇL en l,2,...,n Fixons z° G X et un multi-indice M, | m| = p, tel que JM(F) =^0 au voisinage de z°. Puisque dz/f et dzn sont des formes holomorphes de degré maximal d = n-p sur X, on trouve - 15 - dz Cl JL(F) ± - ^zPm ^en restri-ctlon à TX) , et VF> d a d! Ll- P 2 P iP dzr> A dz 2 _ 2 -rr 2 p ip dzn.. A dz, Il vient donc lldzn II = 2p/2 |j"(F)|/J(F) aV X est alors donnée classiquement par la forme de courbure de R = i c (AdT*X) = dd° Lo; dz M = dd Log J(F) , car JM(F) est une fonction holoraorphe non nulle. ? Nous pouvons maintenant énoncer le résultat essentiel de ce travail Théorème 3. 3. Soit F - (F. , . . . ,F ) : Ù -*? ¼1 une application holoraorphe, avec F e N (Q) , F2 S A (fi) ,....,F G A (Q) . On suppose que Log J(F)< y(p) G? 1 p sur fi, avec une fonction y e G (]-°°,0[ croissante > 0. Quel que soit e > 0, on pose : (u-t)r _ du 1+e q, . l l p Pour tout entier q = 0,1,...,n-p, la courbure de Ricci des surfaces de niveau X - F (Ç) vérifie l'estimation (3.4) ç e {C] (l+|H2)-p-£ dX(ç) X. X (P) Rq A 3n~p"q < + ». Ap,q Démonstration. Par récurrence sur q. Pour q = 0 l'inégalité (3,4) résulte de (2.1). Nous aurons besoin des lemmes techniques suivants au cours de l'étape de récurrence. - 16 - Lemme 3.4. Soit V G & (ft) une fonction p. s.h. telle que 0 < V < y(pî) sur fi. Pour tout entier k = l,...,n et tout e > 0, on définit des fonctions 1 r° -k-£ convexes 4V : ]-°°,0[ -»? H par \(t) = Tirrrrr lu_tl Vi(u) du. Alors Vk(p) (ddCV)k A 3n k < (!+«?) Q y(p) -e "n Preuve : Il n'est pas restrictif de supposer y non bornée ; lorsque y est bornée, on peut toujours écrire y comme limite décroissante de fonctions non bornées et passer à la limite dans les inégalités. On raisonne alors par récurrence sur k. Des calculs élémentaires donnent : y;(t> y(t) e, r (t) (k-2) ! 0 u-11 y(u) du si k > 2 ^i'(t) ^(t) (1+e) yT(t) y(t) -0 (k-3)! 2-e ^(t) = y(t) ?2-e On en déduit (3.8)Vj'Ct) y(t) = (1 + 1) -^ (-y £) (3.9)^'(t) u(t) < |T£_j(t)| pour k>2 c k- 1 t\-k Le lemme 1.1 (1.4) appliqué à 0 = (dd V) A3 entraine pour tout k > 1 : ¥ (p) (ddcV)k A en k = -| V |r(p)| (dd^ l A V Y" (p) (ddcv)k * Adp A dcp A 3n k r (p) y(p) (ddcV)k lA dp A dcp A 3n k Si k = 1, (3.5) donne le majorant - 17 - (1 + 7 ) d(-u(p) £) dcpA 3n l « (i + I ) [ y(p) £ 3n , compte tenu de la formule de Stokes et de ce que lim ]i(p) = 0 p->o Si k > 2, (3.6) implique ( \(P) (ddcV)k A Bn k < [ \V ,(p)| (ddcV)k } A dp A dcp A 3n k, Jfi k Jq k_1 et l'intégrale de droite est égale à Y . (p) (dd V) A $ fe k grâce au lemme 1.2. Q Lemme 3.5. Soit V une fonction p.s.h. telle que V < u(p) sur Çl. On suppose que V est de classe C2 sur un ouvert Q,1 C Q, Soit ¥ k comme dans le lemme 3.4 si k > 1 et f - 1. Alors pour tout £ > 0 et tout entier k > 0, il existe une constante C > 0 indépendante de V et fi1 , telle que \(p) eV (ddCV)k A 6n"k < C < + oo. fi'n {v < 0} k Preuve. Pour k > 1, soit y la fonction convexe > 0 définie par a(t) - et/k si t < 0 et Y(t) = 1 + Vk si t > 0. La fonction p.s.h. YoV est de classe C2 sur l'ouvert fi' n {v < 0} et vérifie 0 - e dd V implique le lemme 3.5 avec C = k C". ? Revenons maintenant au th. 3.3, en supposant le théorème démontré pour q-1 (q>l). Des calculs analogues à ceux effectués au §2 (2.5) donnent p,q (p+q-2) ! 0 / .NP+q-2 a (u-t)r n du I+e q, N t ru ru.«n y^(u) I L p (3.7) X"p;q (t) u(t) < |x- (t) si p > 1, q > 1 On va utiliser le lemme 3.5 avec e = 1, k = q - 1, en remarquant qu'il existe une constante CL telle que (3.8) |x'n (t)| < C" Y (t) pour t g [ Inf p,0] . p ,q s> q i D'après (3.7) , (3.8), l'hypothèse Log J(F) < u(p) et le lemme 1.1 (avec V = Log J(F) , R = dd°V , 0 = Rq~ * A Sn_P~q) on obtient : X. Xp>q(p) ^ A f? X. X^jq (p)| Log J(F) R*"1 A3n"P"q+1 X" (p) Log J(F) R4 A dp A dp A < C. Y ^(p) Log_ J(F) Rq_1 A 3n"P_q+1 + - 19 - (3.9) + [ | x' (p)|Rql A dp A dCp A 3n P q. Le lemme 1.2 et l'hypothèse de récurrence montrent que l'intégrale (3.9) fournit une contribution finie dans l'estimation (3.4). La preuve sera achevée si on vérifie que dX(ç) f Vl(p) L°ê-J(F) Rq_1 A 3n"P~q+1 < + ». EP 1* q" Soit Q% = {z G Q ; J(F) (z) £ 0}. Avec le changement de variable Ç = F(z), le théorème de Fubini donne Y .(p) Log_J(F) Rq l A 3n P q+1 A F*(d\). ?W q i La formule (3.1) implique Bn~P~q+1 AF*(dÀ)< C^ J (Y)2 &n"q+1, d'où I < C ? Y ,(p) J(F)2 Log^J(F) Rq l A 3n q+1 tf q La fonction à intégrer est nulle en dehors de l'ouvert {J(F)<1} , et 2 sur cet ouvert on a J(F) Log J(F) < J(F), ce qui donne : ¥ .(p) J(F) Rq 1 A 6n q+1 4 Wn {j(f)q p>q Xp (t)> c8(e) |t|*" v ((l-e)t) lxf" #I(t>|>C9(e) |t|p+q *v_ J(l-e)t) p+£ [n + Log(i + i/|t|) ]q Le théorème 3.3 et le lemme 1.2 permettent donc de donner l'énoncé suivant Théorème 3.6. Soit F. E A (£}) , 1 < i < p. La courbure R de X^ vérifie les estimations (3.10) Ç G ÎE! (l+|çf2) q 0n-p-q pr H v ((l-e)p) RH A p>q < + co (3.11) ( (I+|ç| ) p £ f |p|p+q lv ((l-e)p) * Rq A dp Adcp A 3 ç e ½ avec n (t) = nP+E [ri + Log(l + 7|t|)]q P >q Corollaire 3.7. Dans les cas particuliers suivants, les intégrales (3.10) et (3.11) sont finies avec le choix de V indiqué p.q - 21 - (3.12) F. bornées ; V (t) = [ Log (1+Vl tl )] q. j p>q (3.13) F. à coissance polynomiale (cf. (2.12)) ; v (t) = [ Log(1+!/|11)] P+q+£ 1 P ? 1 (3.14) F. d'ordre fini t>0 (cf. (2.13)) ; v (t) - 111 " ^P+ 0 telles que Log |F.(z) | < M. n-( |z| ) , M. > 0, Log J(F) < M ]i( |z| ) , M > 0. On note a = r dd |z| et B(r) la boule de centre 0 et de rayon r dans e. Théorème 4.1. Il existe une constante C > 0 telle que pour r > 1 on ait d + kl2)~p~£ (r2 - |zt2)p+q Rq A an"P"q B(r) n x^_ < C r2n[(n...n Pq) (r) + r2P U^1 (r)] 1 P La démonstration est pratiquement identique à celle du théorème 3.3., aussi nous contenterons-nous d!en indiquer les grandes lignes. La boule B(r) est i i 9 9 e définie par la fonction p.s.h. p(z) = 7- (]z| ~ r ) et on a : a = dd p . En reprenant le raisonnement qui mène aux théorèmes 1.5 et 2.1, on obtient alors pour a > 1 : d + ld2)~p'e - 22 - de volume S(r) d p A a B(r) n Les lemmes 3.4 et 3.5 admettent de même les analogues suivants. Soit V t 9 n il une fonction p. s. h. de classe C sur ¼ telle que V 0 et tout £ > 0 : B(r) ik+e f , ,cltv k . n-k - " , ,k p| (dd V) A a < c2 y^ IpI « pourvu que V soit > 0, d'où l'on déduit en général (r) n {v<0} |k+£ V,,,c.k a n-k ^ _ 2n+2e , .k p e (dd V) A a < C. r p(r) , On est alors amené à choisir e = p , k = q-1, ce qui explique la présence du terme r p yq (r) dans l'estimation du Théorème 4.1. D Corollaire 4.2. Pour presque tout Ç G ¼, il existe une constante C(Ç,e) telle que pour r > 2 on ait B(r) n x; Rq A an~p_q < c(ç,e) r2(n"p_q) (Logr)1+E v(r(l+e)) avec u(t) = (nr..n Pq) (t) + t2p uq '(t) Démonstration. En remplaçant r par r(l+e) le théorème 4.1 implique ç e tcJ d + k|2)"p"e B(r) n x Rq n-p-q < r 2(n-p-q) V(r(l+£)) Il suffit alors d'appliquer le lemme élémentaire qui suit. Lemme 4.3. Soit E un espace mesurable, m une mesure > 0 a-finie sur E g(Ç,r) une fonction mesurable > 0 sur E x [ 2,+°4 , croissante par rapport - 23 - à la variable r. On suppose que g(Ç,r) dm(Ç) < v(r) Ç e E où v est une fonction croissante > 0. Alors pour m-presque tout Ç G E , il existe une constante CT(Ç,e) telle que g(ç,r) < C'(ç,e) (Logr)1+e v(r(l+e)). Démonstration. Soit e > 0. Le théorème de Fubini implique + CO s + CO 8(g»r) g dm(ç) < ^ < + - Ç e E ^2 r(Logr) Cv(r) >2" r(Logr)î + £ Pour m-presque tout Ç £ E on a donc f + co i(C,e) = ëU'r)1+dFr < + M ^2 r(Log r) \ C.e g(Ç'r) v(r(l+e)) (Log r)1+e Le lemme 4.3 est donc vrai avec C'(Ç,e) = ! .? C6E Corollaire 4.4. On suppose que F.,...,F sont des fonctions entières d'ordre T au plus, i.e. pour tout e> 0 il existe une constante M. (e) telle que Log| F (z)| < M.(e) (1 + |zI)T+e. - 24 - Alors pour presque tout Ç £ ¼ , il y a une constante C(z,e) > 0 telle que pour r > 2 on ait : B(r) n X, RqAan_p-q < C(Ç,e) r2+£ (r n X n-1 z n-1 " n-1 1 + Z \v.\2 n-1 J Dans cette formule | Iî a . || est le carré du module d'une (n-1)-forme holomorphe sur X. La relation (5.2) est donc bien vraie par définition de R - ic(An_1 T*X). ? Nous aurons besoin du calcul classique qui donne l'expression de la forme volume de ¼ ' " induite par la forme volume canonique de l'espace projectif 1P11"1 = ]P(En). 1 n"^ -1 Lemme 5.2. Soit to = j dd° Log (1 + Z |z, | 2) sur ¼n . Alors 3-1 J n-1 i a 'i n-1 n-1 tu = Soit (j> : X -*? (Cn l'application $ = Qp . ,V>2, .. . ,

) , 1 < j,k < n-1 , est le jacobien de cj) relativement aux coordonnées z ,. . . ,z _.. En comparant (5.1) et (5.3) il vient : - 26 - n-1 Rn_1 n-I ]dët ( jk)|2 an|x (n-1)! (1+ ||d^||2)n+1 (n-1)! d'où l'égalité des normes : Proposition 5.3. On a T(z) = 2 (H|dHI2)n+1 On suppose désormais que Y ne s'annule identiquement sur aucune composante connexe de X (la condition Y = 0 signifie géométriquement que X est une surface developpable, c'est-à-dire que X est réunion de droites le long desquelles le plan tangent reste fixe). D'après (5.2) et l'équation de Lelong-Poincaré, on obtient l'équation annoncée dans l'introduction, et déjà démontrée dans [4 ] pour n = 2,3. Théorème 5.4. i39 Log T(z) = -(n+1) R + 2 [ Z] où Z est le diviseur des zéros de dét(»P.,) , i.e. des zéros de la courbure totale. En particulier Log T est une fonction plurisurharmonique en dehors de Z. Si on calcule successivement la trace et le déterminant dans l'identité du théorème 5.4, on obtient le corollaire suivant. Corollaire 5.5. Sur 1'hypersurface X on a l'identité A Log T - -(2n+2)K + 4tt do où A est le laplacien euclidien de X et da l'élément d'aire du diviseur Z. De plus, Y vérifie 1'équation de type Monge-Ampère /. r/K , pvii-1 , ,. n- 1 , , .. n-1 _ n-1 (i93 Log T) = (-1) (n+1) T a \ nlX en dehors du support de Z. - 27 - On suppose maintenant que X est définie globalement par une équation F == 0, avec F holomorphe dans Çl et |f| + | dF| ^ 0 sur X. La proposition 5.3 n'est pas tout à fait satisfaisante, car l'expression de r qui y est donnée dépend du choix de la coordonnée z . On va donc transformer cette expression pour obtenir Y en fonctions des dérivées F. et F., de F, 1 < j ,k < n. Théorème 5.6. R, K et Y vérifient les formules suivantes (5.4) R = I [dd° Log ||dF||2] |X ; (5.5) K(z) = A Log | dF (5.6) r(z) = 2 n-1 IV^I2 2n+2 où Q-^Cz) es t le déterminant d' ordre n+1 r . QF(Z) Fl Fjk F n Fl ? - ? F n 0 On a en effet w . = - ~-, r- , et les formules (5.4), (5.5) découlent de (5.2). On notera d'ailleurs que (5.4) n'est qu'un cas particulier de la formule (3.2). Un calcul immédiat montre d'autre part que Vzr"-'Vi^ F (zl9...,z . ni n-1 n F. 6. F. - -J- Ô\ F k j k n n où 1 < j,k < n-1 , et où Ô, est l'opérateur différentiel - 28 ~ (5.7) ô\. - k 8 . + ^k 8 zk zn zk k 8 F 3 n zn On obtient donc dÉt(*:jk) - (-j-) dét(ôkF. - -1 6k Fn) F....F , 1 n-1 iFl-Vn-l Ô.F 1 n un-l 1 n-1 n-1 n-1 n comme on le voit en effectuant des combinaisons linéaires sur les colonnes pour remplacer les coefficients F.,...,F _, de la première ligne par 0. En travaillant de même sur les lignes et en tenant compte de (5.7) on obtient dët(Y>-k) (-D ,n+l 11 In (-D QF(z) n ni nn On a donc bien Y (z) 2n_1 |QFU)|2 211+2 (l+||d^P)2n+2 2n_1 |QF (-)l2 2n+2 - 29 - BIBLIOGRAPHIE [1] CHEE PAK SONG. - The Blaschke condition for bounded holomorphic functions ; trans. Amer. Math. Soc. , t. 148 1970, p. 248-263. [2] CORNALBA (M.) and SHIFFMAN (B.). - A countrexample to the "transcendental Bezout problem" ; Vol. 96(2) , 1972, Vol. 96(2), 1972, p. 402-406. [3] DEMAILLY (J.-P.). - Construction d'hypersurfaces irréductibles avec lieu singulier donne dans E ; Ann. Inst. Fourier , t. 30, fasc. 3, 1980, p. 219-236. [4] GAVEAU (B.)* ~ Intégrales de courbure et potentiels sur les hypersurfaces analytiques de ¼ ; séminaire P. Lelong-H. Skoda 1980/1981, à paraître. [5] GAVEAU (B.) et MALLIAVIN (P.). - Courbure des surfaces de niveau d'une fonction holomorphe bornée ; C. R. Acad. Se. Paris , t. 293 (1981), série I, p. 135-138. [6] MALLIAVIN (P.) - Fonctions de Green d'un ouvert strictement pseudoconvexe et classe de Nevanlinna ; C.R, Acad. Se. Paris , t. 2 78 (1974) , série A, p. 141-144. [7] STOLL (W.). - A Bezout estimate for complète intersections ; Ann. of Math., Vol. 96(2) , 1972, p. 361-401. J.-P. DEMAILLY et B. GAVEAU LA 213 ANALYSE COMPLEXE ET GEOMETRIE UNIVERSITE DE PARIS VI - Tour 45-46, 5ème étage 4, Place Jussieu 75005 PARIS