\input macros_ocr.tex {\sevenrm\baselineskip=8pt Bull.\ Sc.\ Math., 2e série, 103, 1979, pages 179--191\\ Bulletin des Sciences Mathématiques. 0007. 4497/1979/179/\$ 4.00 {\rm\copyright} Gauthier-Villars \vskip1.5cm} \centerline{\hugebf Fonctions holomorphes à croissance polynomiale} \medskip \centerline{\hugebf sur la surface d'équation $\hbox{\hugebfit e}^{\,\hbox{\bfit x}}\hbox{\hugebf$\;$+$\;$} \hbox{\hugebfit e}^{\,\hbox{\bfit y}}\hbox{\hugebf ~=~1}$} \bigskip {\leftskip=6mm par Jean-Pierre Demailly$\;$\note{*}{% Texte présenté par P. Malliavin, reçu le 4 octobre 1978.} \vskip0pt {\it École Normale Supérieure, 45, rue d'Ulm, 75230 Paris\\ et C.N.R.S., L.A.\ n$°\,$213 Analyse Complexe et Géométrie,\\ Université de Paris VI, Département de Mathématiques, 75005 Paris \vskip1.5cm}} {\bf Résumé.} -- Dans cet article, nous démontrons un théorème d'extension très précis pour les fonctions holomorphes sur la surface $S$ de $\bC^2$ d'équation $e^x+e^y=1$. Nous en déduisons que les fonctions à croissance polynomiale sur $S$ sont des restrictions de polynômes sur $\bC^2$ et que les fonctions méromorphes à fibres finies sont constantes. En particulier, les fonctions holomorphes bornées sur $S$ sont constantes. \bigskip {\bf Abstract.} -- {\it Holomorphic functions with polynomial growth on the curve defined\break by $e^x+e^y=1$.} In this paper, we prove a very précise extension theorem for holomorphic functions on the curve $S$ defined by $e^x+e^y=1$ in $\bC^2$. Then we show that holomorphic functions with polynomial growth on $S$ are restrictions of polynomials on $\bC^2$, and that meromorphic functions with finite fibres are constant. Especially, we prove that holomorphic bounded functions on $S$ are constant. \bigskip\bigskip {\bf Introduction} Dans un article récent [2], {\petcap L.A.~Rubel, W.A.~Squires {\rm et} B.A.~Taylor} ont démontré que si $f_1$, $f_2,\,\ldots\,,\,f_n$, $n\ge 3$, sont des fonctions méromorphes non constantes dans le plan, l'hypersurface $S$ de $\bC^n$ d'équation $$ f_1(z_1)+\ldots +f_n(z_n) = 0 $$ est irréductible. Un problème naturel, soulevé par les auteurs de [2], est de savoir si $S$ est de Liouville, c'est-à-dire si toute fonction holomorphe bornée sur $S$ est constante. La réponse est positive, comme on le voit facilement, lorsque l'une des $f_i$ est rationnelle. Dans ce travail, nous montrons que la réponse est encore positive pour la surface régulière $S$ d'équation $e^x+e^y = 1$ (qui est connexe en tant que surface de Riemann de la fonction $y = \log(1-e^x)$), et plus précisément qu'une fonction à croissance polynomiale sur $S$ est la restriction d'un polynôme de deux variables de degré correspondant. La démonstration consiste, dans un premier temps, à étendre les fonctions de $S$ en des fonctions entières, dont on contrôle la croissance grâce aux techniques d'{\petcap Hörmander} [1]. Dans un deuxième temps, on utilise le fait que S est «voisine» de la surface $e^x+e^y = 0$, qui est réunion de droites complexes$\,$; le théorème de Liouville permet d'exploiter les propriétés de croissance précédemment établies, et de montrer qu'une fonction $f$ sur $S$ à croissance polynomiale est la restriction à $S$ d'un polynôme sur $\bC^2$. Ce résultat entraîne aisément qu'il n'existe pas sur $S$ de fonction méromorphe à fibres finies. On en déduit en particulier que $S$ n'est pas isomorphe à un ouvert d'une courbe algébrique, et plus généralement, que $S$ ne peut s'obtenir à partir de la sphère de Riemann $\bP^1(\bC)$ par constructions successives de revêtements ramifiés à fibres finies (cf.\ para­graphe~2). Je remercie vivement M.\ Henri {\petcap Skoda} de m'avoir soumis ce sujet de recherches, et d'avoir beaucoup contribué par ses remarques à améliorer la clarté de l'exposé. Après avoir terminé ce travail, nous avons appris récemment que {\petcap I.~Wakabayashi} (Tokyo Noko University) a également démontré que la surface $S$ est de Liouville, par une méthode complètement différente. \bigskip {\bf 1. Extension des fonctions holomorphes sur $S$ avec contrôle de la croissance} \end Théorème 1. - Soit (p une fonction plurisousharmonique dans C2 telle que (1) |(p(z)-(p(z')| 0 j/(z)|0 et \ex + ey-l\ <-|e*|l Oc, y); Rex>0 et \e~x-ey~x-l\ < /se prolonge en une fonction/} holomorphe sur Uj,j = 1,2, de la manière suivante (on appelle Log la détermination du logarithme complexe sur C-]-oo, 0] telle que Log 1=0): fi(x9y)=*f(x- Log (ex + ey), y - Log (ex + ey)) pour (x, y)eU1, (2) f2(x, y) = f(x + Log(e-x-ey~xl y) pour (x, y)e U2. Il est immédiat que fx et f2 coïncident avec / sur S. Étape 2 : construction d'une partition de Vunité. Soit % une fonction de classe C°° définie sur R telle que 0 < % < 1, On pose x(0-'0 ^1(z) = x(Rex).X(|^+e3'-l|), ^OO^l-xCRexW.XCle"'^ <13. Il)- Les supports de \|/l5 \|/2 sont respectivement contenus dans Ux et U2, et 0<\|f1(z) + \|f2(z) 0, on a |e-*_^-*_l| r*-e),~*)| < Log2 < 1 sur U2. Il en résultera une majoration du type | h | < Cx e9 (z), où Ct est une constante à déterminer. En dehors de F on a | ex + ey-1 | ^ 1/4, et d'après (3), (4) il vient sur [ V : (6) | fe| < 4.70(|Sx | + | fz |) < 560CeV(2). Pour z e F, on peut supposer z e supp tyt n supp \|/2, donc 1/4 < Re x ^ 1/3, sinon h (z) = 0 d'après (5). x étant fixé tel que 1/4 < Re x < 1/3, la fonction J2~Jl ex+ey-l est holomorphe en y pour \ex + ey-l\< . 1 ' 2 Pour p^\ex + ey-l\ <-, 2 on a (7) /2-/1 ^gC^M BULLETIN DES SCIENCES MATHÉMATIQUES 184 J.-P. DEMAILLY L'ensemble {yeC; \ex + ey-l\ ^ p}, pour p<|l-e*|, est une réunion de translatées modulo lin Z de la partie compacte Kx = {yeC; \ex + ey-i\ ^ p, |lmj;-Arg(l-ex)| <7u}, dont le diamètre est majoré par 2Log- ex + ey-l l puisque y = Log (1 - ex) + Log ( 1 + V V 1-e* Comme e*-l >ex/*-l >- + - = _, 1 4 32 32 le choix p = 1/10 entraîne 45 diamXx^2Log- < 1; 29 le principe du maximum donne alors pour tout y tel que | e^e*- 1 | < p : /2(z)-A(z) (8) ex + e"-l i < suPz'=(x,y'). |y'-y| _z. 2 <& c(i+ z r) On vérifie aisément que dA, ic»(l+ zr) izi (0 = w(z+t», zeC2, toeC2, ÇeC, il vient 3y dX(Ç) lin .jti-i ? rt, u(z+Ç») 1 " u(z) = 2Î7T ici =i Prenons la valeur moyenne (en abrégé FM) en la variable m; des deux membres sur la boule \w\ < 1 : d'où u(z) = FM, wj <1u(z + w) - 2 drVM\ w\<1du(z + rw). m;, (11) | m(z) | )|, grâce à l'inégalité de Schwarz. BULLETIN DES SCIENCES MATHÉMATIQUES 186 J.-P. DEMAILLY (1) et (10) entraînent (VMlw_2]<1\u(w)\2)1/2 ^700j2Ce2Ae*{z)+A(l+(i + \z\2)5/2 O600Cé^(1 + |z|)V(z). L'inégalité (11) jointe à (9) montre que \u(z)\ ^8000Ce3^(l + |z|)V(z), et en revenant à la définition de F9 on voit que \F(z)\^CeAe(?(z) + S0Q0Ce3A(i + \z\)5\ex + ey-l\e*(z) ^lQ*Ce3A(l + \z\)5(l + \éx + é'\)é9i'\ qui était précisément l'inégalité à démontrer. 2. Fonctions holomorphes à croissance polynomiale sur S Théorème 2. - Soit f une fonction holomorphe sur S telle que |/(z)|oXJëj(y-x)> où les gj sont des fonctions entières. 2e SÉRIE - TOME 103 - 1979 - N° 2 FONCTIONS HOLOMORPHES 187 On a gj(y) = x\=l x et 2iu' (13) |8yG0||)"(l + |«'|). On remarque que la surface d'équation ex + ey = 0 est la réunion des droites complexes y - x = (2k + l)in, ke Z, et la démonstration utilisera ce fait de manière essentielle. Sur la surface e*+ey = 0, on a d'après (12) : | F(z) | < C (1 +1 z \ )n. La restriction de F à chaque droite y - x = (2k + l)in est donc un polynôme de degré ^ n, i. e. gj((2k+l)in) = 0 pour j > n, /ceZ, et gj(y) est divisible par ey-­l pour j > n; on pose g/(y) = (ey + l)Pj(y)-Pour | ey+ 1 | > 1/2, (13) implique ^ (y) < C2 (1 + | y \ f (distinguer les cas Re^ ^ 1, Rej> ^ 1). Comme l'ensemble défini par | ey +1 | ^ 1/2 est une réunion de compacts disjoints qui se déduisent les uns des autres par translations modulo 2 i n Z, la majoration |/>j00| ^ C2 ( 1 -H| 3^ | )n s'étend à tout le plan complexe grâce au principe du maximum. Pj est donc un polynôme de degré < n, et on a F(x9 y) = l,o^j^n^gj(y~x)+(ey^x+ï)Ylj>nXJPj(y-^ où les deux sommes sont des fonctions entières. Cette égalité peut se récrire : (14) F(x, y) = TJo^^xjgj(y-x) + (ex+ey)^o^j^n{y-x)Jhj(x)9 (14) =^j^yih(y^x)Hex + ey)^j^(y-xyhj(yl compte tenu de la symétrie des rôles de x et y; gj9 gj9 hj9 hj désignent ici des fonctions entières. Il vient (15) (e' + er^j^iy-xy'lhjW-hjiy)] = Eo^y<«y gj(y~x)- Y,o-^ D'après la majoration (12), et (19), on a \lo^j^xifj(y^x)\^C3(l + \z\ni + \ex + ey\)9 IIo^v^7i(»|^C4(l + |z|r(l + |^|(l + |^|)). Utilisons cette inégalité aux points x, x + l, ...,x+v, et résolvons le système linéaire ainsi obtenu. Le déterminant du système est du type Vandermonde, donc son module est ^ 1, la distance des points x9 x+l9 .. .9 x+v, deux à deux étant elle-même > 1. De plus les déterminants 1 x ... xv 1 x + l (x + iy 1 x + v (x + v)v où l'une des colonnes est remplacée par une colonne de données, sont majorés par c5(l + |*|)^+1^sup|données|. On a donc \fjiy)\'2\l + \ex\(l+\e'\)y, si Re y ^ 0, choisissons x = 0, et si Re y ^ 0 choisissons x = - y; il vient et y} est un polynôme de degré ^ n (v+2). BULLETIN DES SCIENCES MATHEMATIQUES 190 J.-P. DEMAILLY L'égalité (19) s'écrit maintenant : F (x, y) = G (x, y) + (ex + e») H (x, y), où G et H sont deux polynômes, degG < n(v + 2) +v < n(n + 3), 2 2 Montrons qu'en fait deg G < n, deg H ^ n. Sur la surface Sa d'équation ex + ey = a, F coïncide avec le polynôme P = G+aH. Il suffit de prouver que pour tout a e C, deg P < n. Sinon, soient m = deg P > n,Pm la partie homogène de degré m de P, et (x0, ^0) un point fixé de Sa. Pour tous les entiers j et k, le point (jt0+2y rc, y0+2ikK) appartient à Sai et d'après (12) on a |P(x0+2ijn, y0 + 2ikiz)| < C8(1 + \j| +1k\)n. Prenons j = \t Ç], k - [t rj], où £, Ç, r| e R, et où [ ] désigne la partie entière. ", ^.. n., N P(x0 +2ijk, y0 + 2ikn) (2ïtcOw tend vers Pm (Ç, r|) quand 111 tend vers +oo, tandis que c8(i+ljl+lfeD" \2int\m tend vers zéro, puisque m > n. On a donc Pm (Ç, tj) = 0 pour tous Ç, n e R, et Pm = 0 contrairement à l'hypothèse. La démonstration du lemme 2 est achevée, et avec elle, celle du théorème 2 (l'assertion deg P ^ n s'obtient en raisonnant sur S comme ci-dessus). En particulier, S est de Liouviîle, ce qui signifie par définition que les fonctions holomorphes bornées sur 5 sont constantes. Signalons qu'étant donné une variété de Liouviiîe X, il est possible de construire des variétés de même nature par les procédés suivants : (a)ôter de X une partie fermée « suffisamment petite » (par exemple une partie fermée polaire); (b)construire au-dessus de X un revêtement connexe (ramifié ou non) à fibres finies. Ainsi, de même que C, les variétés algébriques irréductibles de dimension n sont de Liouviîle. 2e série - tome 103 - 1979 - n° 2 FONCTIONS HOLOMORPHES 191 Le corollaire ci-dessous montre que la surface S ne peut se déduire de la sphère P1 (C) par application répétée des procédés (a) et (b). Corollaire. - Soit f : S->P1(C) une fonction méromorphe sur S. On suppose quil existe un ouvert non vide U de P1 (C) tel que pour tout a e U la fibre f~x (à) soit finie. Alors f est constante. Démonstration. - Comme la fonction U-» N, a h-» Card/-1 (a) est semi-continue inférieurement, le théorème de Baire montre qu'il existe un ouvert non vide V c U et un entier p, tels que pour tout a e V, Card/-1 (a) ^ p. Choisissons a0 e V tel que p = Card/-1 (a0) soit maximal, et notons t ( . f (a0) = {zl5z2,..., zp). Il existe des voisinages W c V de a0 dans P1 (C), et Wx, ..., Wp de zu ...9zp, disjoints, relativement compacts dans 5, tels que / applique isomorphiquement Wl9 ..., Wp sur W (sinon Card/-1 (a0) ne serait pas maximal). Si a0 = oo posons g = /, sinon posons 1 on a. f1 (W) =^u...u ]^p, par suite g est bornée en dehors de Wl9 ..., Wp, et possède des pôles simples aux points de s zi = (^i, yù, ..., 2P = (xp, yp) La fonction P(x9y) = g(x, y)Y[i y) = gO> y)ïli*j*r(y-yj)- OnasurS, n ( ^ et cette égalité est vraie formellement (cf. démonstration du lemme 2; S n'est pas algébrique). Par conséquent J]Uj<| (x-xj) divise P, g est holomorphe bornée sur S9 et p = 0. Il en résulte que g et/sont constantes. BIBLIOGRAPHIE [1] Hôrmander (L.). - An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North Holland Publishing Company, 1973. [2] Rubel (L. A.), Squires (W. A.) et Taylor (B. A.). - Irreducibility of certain entire functions with applications to harmonie analysis (preprint). BULLETIN DES SCIENCES MATHÉMATIQUES A1 ADDENDUM (tiré de la Thèse de 3e Cycle) COROLLAIRE (analogue pour S du théorème de Picard dans le plan). -Soit f une fonction méromorphe non constante sur S, considérée comme application de S dans (P (D . Alors l'ensemble des points aeP C tels que la fibre f (a) soit finie est maigre-Démons trat ion. Il suffit de montrer que pour tout entier p 1'ensemble fermé fa e. tP (C ; Card f (a) ^ plest d'intérieur vide. Supposons au contraire qu 'il existe un ouvert U non vide de tP $\frac{1}{4}$ tel que pour tout a e U on ait Card f (a) ^p . Choisissons a <= U tel que p = Card f (a ) soit maximal, et notons f (a ) = |z.§z_,...,z X . o o \ 1 2 p/ Il existe des voisinages V c U de a dans ÏP y) h-*(x + 2ijrr , y+2ikrr) , j,ké=2T , opère transitivement sur les fibres de p. Ce groupe est donc le groupe Aut(p) de tous les automorphismes du revêtement p . D'autre part, il est bien connu que le revêtement universel de « - [°>lJ s'identifie au demi-plan superieur TT+, avec pour groupe dTautomorphismes le groupe I des homographies z >- cz + d a,d entiers impairs, b,c pairs, ad - bc « 1 (RUDIN [3], section 16.20) H est un groupe libre à deux générateurs T(z) = z + 2 correspondant (avec des conventions adéquates de point-bases) aux lacets autour des points 0 et 1 dans le groupe fondamental de C - {0, 1 } . Notons À : TT+ >? £ - {p,l} °* I l+ /Pla projection. Il existe une flèche q : TT -*-S qui rend le diagramme suivant commu- tatif : TT.-^-^s p g' - (o, 1 ] q est un revêtement, et puisque p est galoisien, Aut(q) est un sous-groupe distingué de P tel que P/Aut (q) ^âut(p) cssi % . Par conséquent Aut(q) est le groupe P! des commutateurs de P, de sorte que la surface S est définie explicitement comme quotientI \J P ! du demi-plan supérieur. Une fonction holomorphe sur S sTidentifie à une fonction automorphe invariante par Pf. La proposition suivante précise cette quest ion - PROPOSITION. - Soit G un groupe d'automorphismes du disque unité D opérant proprement et librement sur D, X - D/G 1Tespace quotient. A3 (i) S'il existe une fonction holomorphe bornée non constante sur X, on a la condition de Blaschke uniforme 2 g ¤G 1 ~ g(z)| < C -!-! Log F^guTF^1 |0 6V£,/| " ' +|T(0)| Choisissons deux points a} et a2 tels que f(aj) 4 f(a2) > lal|^|a2i' et deux utomorphismes *jC , Y« tels que JT (0) = a, » "jC (0) - a^- 1 + la. Alors ^L 1 - |g(g)|Z> » -|g(z)| 42 inf 3=1,2 ' "1^1 -f^ * f^z)! 4 |£Il Log 1 -ja2| -° |f (a,) " f (a2)| (ii) La convergence des produits infinis est bien connue (sous lThypothè se J^ 1 - jg(z )| < co ; cf. RUDIN [3] , section 15.21), et il est clair gé=G que j ! |g(z)| est invariant par G. geG Par ailleurs, posant B (z) B o g = p g (a) -=- pour 0 < |a| < 1 , B (z) = z, on a a z o 1 . Par suite,pour tout g £G, il existe une constante de module 1, p > telle o que f o g = p f. On peut vérifier que p = 1 lorsque g est une homographie parabolique, o n général p 4- L!invariance de f par les commutateurs de G est néanmoins évidente. (iii) Soit h une fonction harmonique positive invariante par G, f une fonction holomorphe telle que h = lia f = "- (f - f) . Pour tout g eG, il existe une constante réelle p telle que f o g = f + u o 6 d'où l'invariance de f par G! . f est à valeurs dans le demi-plan supérieur II.» et on construit une fonction holomorphe bornée en posant F = t-r . (ii) et (iii) montrent l'intérêt qu'il y aurait à étudier le revêtement homologique ST de S. Mais le groupe fondamental de S est un groupe libre à une infinité de générateurs, et la surface S! est particulièrement difficile à décrire de manière exploitable. A5 Complément de bibliographie : [3] RUDIN (W.). - Real and complex analysis, Me Graw-Hill, 1966 % Local Variables: % TeX-command-default: "uTeX" % End: