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\begin{document}

\`Ann. Inst. Fourier, Grenoble
35, 4 (1985), 189 \`a 229.
CHAMPS MAGN\'ETIQUES
ET IN\'EGALIT\'ES DE MORSE
POUR LA {\it d}''-COHOMOLOGIE
par Jean-Pierre DEMAILLY
0. Introduction.
Soit X une vari\'et\'e C-analytique compacte de dimension $n,\ F$ un
fibr\'e vectoriel holomorphe de rang $r$ et $E$ un fibre' holomorphe en droites
hermitien de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ au-dessus de X. Soit $\mathrm{D}=\mathrm{D}'+\mathrm{D}''$ la connexion
canonique de $E$ et $c(E)=\mathrm{D}^{2}=\mathrm{D}'\mathrm{D}''+\mathrm{D}''\mathrm{D}'$ la forme de courbure de
cette connexion. D\'esignons par $X(q),\ 0\leq q\leq n$, l'ouvert des points de
X d'indice $q$, i.e. l'ouvert des points $x \in X$ en lesquels la forme de
courbure $ic(E)(x)$ a exactement $q$ valeurs propres $<0$ et $(n-q)$
valeurs propres $>0$. On pose \'egalement
$$
X(\leq q)=X(0)\cup X(1)\cup\ldots\cup X(q).
$$
Nous d\'emontrons alors les in\'egalit\'es de Morse suivantes, qui boment la
dimension des espaces de cohomologie $H^{q}(X,E^{k}\otimes F)$ en fonction
d'invariants int\'egraux de la courbure de E.
Th\'eOr\`eme 0.1. - {\it Lorsque} $k$ {\it tend vers} $+\infty$ {\it on a pour tout}
$q=0,1,\ \ldots,\ n$ {\it les in\'egalit\'es asymptotiques suivantes}.
$(a)$ {\it In\'egalit\'es de Morse}:
$$
\dim H^{q}(X,E^{\mathrm{k}}\otimes F)\ \leq r\frac{k^{n}}{n!}\int_{X\langle q)}(-1)^{q}(\frac{i}{2\pi}c(E))^{n}+o(k^{n}).
$$
{\it Mots-cl\'es}: In\'egalit\'es de Morse $-d''$ cohomologie-Fibre' lin\'eaire hermitien-Forme de
courbure- Champ magn\'etique-Op\'erateur de Schr\"odinger- Identit\'e de Bochner-Kodaira-
Nakano -Espace de MoiSezon.

190
JEAN-PIERRE DEMAILLY
$(b)$ {\it In\'egalit\'es de Morse fortes}:
$\displaystyle \sum_{j=0}^{q}(-1)^{q-j}\dim H^{j}(X,E^{k}\otimes F)\leq r\frac{k^{n}}{n!}\int_{X(\leq q)}(-1)^{q}(\frac{i}{2\pi}c(E))^{n}+o(k^{n})$.
$(c)$ {\it Formule de Riemann-Roch asymptotique}:
$$
\sum_{q=0}^{n}(-1)^{q}\dim H^{q}(X,E^{\mathrm{k}}\otimes F)=r\frac{k^{n}}{n!}\int_{\mathrm{x}}(\frac{i}{2\pi}c(E))^{n}+o(k^{n}).
$$
Les estimations 0.1 $(a),\ (b)$ sont nouvelles \`a notre connaissance, m\^eme
dans le cas des vari\'et\'es projectives. L'\'egalit\'e asymptotique 0.1 $(c)$, quand \`a
elle, est une version affaiblie du th\'eor\`eme de Hirzebruch-Riemann-Roch,
qui est lui-m\^eme un cas particulier du th\'eor\`eme de $1' \mathrm{indice}$ d'Atiyah-
Singer [1]. Ce demier th\'eor\`eme permet en effet d'exprimer la caract\'eristique
d'Euler-Poincar\'e
$$
\chi(X,E^{k}\otimes F)=\sum_{q=0}^{n}(.-1)^{q}\dim H^{q}(X,E^{k}\otimes F)
$$
sous la forme
\begin{center}
(0.2)   X $(\displaystyle X,E^{k}\otimes F)=r\frac{k^{n}}{n!}c_{1}(E)^{n}+\mathrm{P}_{n-1}(k)$;
\end{center}
$\mathrm{P}_{n-1}(k)\in Q[k]$ d\'esigne ici un polyn\^ome de degr\'e $\leq n-1$ et
$c_{1}(E)\in H^{2}(X,\mathrm{Z})$ est la premi\`ere classe de Chem de $E$, repr\'esent\'ee en
cohomologie de De Rham par la (l,1)-forme ferm\'ee $\displaystyle \frac{i}{2\pi}c(E)$ (cf. par
exemple [16] $)$. On observera que la constante num\'erque de 1'in\'egalit\'e
0. 1 $(a)$ est optimale, comme le montre $1' \mathrm{exemple}$ du fibre' produit tensoriel
total $E=\mathcal{O}(1)^{n-q}$ El $\mathcal{O}(-1)^{q}$ au-dessus de X $=(\mathrm{P}^{1}(\mathrm{C}))^{n}$ Pour ce fibre,
on a en effet $X(q)=X$ et
$$
\dim H^{q}(X,E^{\mathrm{k}})=(k+1)^{n-q}(k-1)^{q},\ k\geq 1,
$$
\begin{center}
$\displaystyle \int_{\mathrm{x}}(\frac{i}{2\pi}c(E))^{n}=(-1)^{q}n$ !.
\end{center}
L'existence d'une majoration du type 0.1 $(a)$ \'etait conjectur\'ee par
Y. T. Siu, qui a successivement d\'emontr\'e le cas particulier o\`u $ic(E)$ est
$>0$ dans le compl\'ementaire d'un ensemble de mesure nulle [16], puis le
cas o\`u $ic(E)$ est $\geq 0$ sur X [17]. Nous avons d'ailleurs emprunt\'e \`a Siu
une partie des techniques utilis\'ees ici, notamment aux \S 3 et \S 5. La preuve

IN\'EGALIT\'ES DE MORSE EN $d''$-COHOMOLOGIE
191
du th\'eor\`eme 0.1 repose sur la m\'ethode analytique introduite r\'ecemment
par E. Witten[18], [19]. Cette m\'ethode permet (entre autres) de
red\'emontrer les in\'egalit\'es de Morse classiques $b_{q}\leq m_{q}$ sur une vari\'et\'e
diff\'erentiable compacte $M$, o\`u $b_{q}$ d\'esigne le {\it q-i\`eme} nombre $\dot{\mathrm{d}}e$ Betti et
$m_{q}$ le nombre de points critiques d'indice $q$ d'une fonction de Morse
quelconque sur M. Dans notre situation, le r\^ole de la fonction de Morse
est tenu par le choix de la m\'etrique hermitienne sur E. On munit d'autre
part X et $F$ de m\'etriques hermitiennes arbitraires, qui interviendront
seulement dans les termes $o(k^{n})$ des estimations finales. \'Etant donn\'e un
r\'eel $\lambda\geq 0$, on consid\`ere le sous-complexe $\mathcal{X}_{k}(\lambda)$ du complexe de
Dolbeault $\mathcal{C}_{0}^{\infty}.(X,E^{k}\otimes F)$ des $(0,q)$-formes de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur X \`a valeurs
dans $E^{k}\otimes F$, engendr\'e par les fonctions propres du Laplacien
antiholomorphe $\Delta''$ dont les valeurs propres sont $\leq k\lambda$. Les groupes de
cohomologie du complexe $\mathcal{X}_{k}(\lambda)$ sont alors isomorphes aux groupes
$H^{q}(X,E^{k}\otimes F)$ (proposition 4.1), de sorte qu il suffit de savoir borner la
dimension des espaces $\mathcal{P}_{k}^{q}(\lambda)$. Pour cela, on utilise essentiellement deux
outils.
Le premier outil consiste en une formule de type Weitzenb\^ock
\begin{center}
(0.3) $\displaystyle \frac{2}{k}\int_{\mathrm{x}}\langle\Delta''u,u\rangle=\int_{\mathrm{x}}\frac{1}{k}|\nabla_{k}u+\mathrm{S}u|^{2}-\langle \mathrm{V}u,u\rangle+\frac{1}{k}\langle\Theta u,u\rangle$
\end{center}
d\'emontr\'ee au \S 3, et d\'eriv\'ee de l'identit\'e de Bochner-Kodaira-Nakano non
k\^ahl\'erienne [6]. $\nabla_{k}$ d\'esigne ici la connexion hermitienne naturelle sur le
fibr\'e $\Lambda^{0.q}\mathrm{T}^{*}X\otimes E^{k}\otimes F,\ \mathrm{V}$ est un potentiel lin\'eaire d'ordr\c{c}$\grave{} 0$ li\'e \`a la
courbure du fibre $E$, enfin $\mathrm{S}$ et $\Theta$ sont des op\'erateurs d'ordre $0$
provenant de la torsion de la m\'etrique hermitienne sur X et de la courbure
de F. L'\'etude du spectre de $\Delta''$ se trouve donc ramen\'ee \`a l'\'etude du
spectre de l'op\'erateur autoadjoint $\nabla_{k}^{*}\nabla_{k}$ associ\'e \`a la connexion r\'eelle $\nabla_{k}$.
Le deuxi\`eme outil fondamental consiste pr\'ecis\'ement en un th\'eor\`eme
spectral tr\`es g\'en\'eral relatif aux op\'erateurs du type $\nabla^{*}\nabla$. Soit $(M,g)$ une
vari\'et\'e riemannienne $\mathcal{C}^{\infty}$ de dimension r\'eelle $n,\ E$ un fibr\'e en droites
complexes au-dessus de X, muni d'une connexion hermitienne $\nabla$. Si $\nabla_{k}$
d\'esigne la connexion induite par $\nabla$ sur $E^{k}$, on \'etudie alors le spectre de la
forme quadratique
\begin{center}
(0.4)   $\displaystyle Q_{k}(u)=\int_{\Omega}(\frac{1}{k}|\nabla_{k}\mathrm{u}|^{2}-\mathrm{V}|u|^{2}) d\mathrm{o},\ u\in \mathrm{L}^{2}(\Omega,E^{\mathrm{k}})$
\end{center}


192
JEAN-PIERRE DEMAILLY
pour le probl\`eme de Dirichlet, o\`u $\Omega$ est un ouvert relativement compact
dans $M$, et o\`u V est un potentiel scalaire continu sur M. D'un point de
vue physique, ceci revient \`a \'etudier le spectre de 1'op\'erateur de Schr\^odinge $\mathrm{r}$
$\displaystyle \frac{1}{k}(\nabla_{k}^{*}\nabla_{k}-k\mathrm{V})$ associ\'e au champ \'electrique $k\mathrm{V}$ et au champ magn\'etique
$k\mathrm{B}$, o\`u $\mathrm{B}=-i\nabla^{2}$ n'est autre que la 2-forme de courbure de la
connexion V. C'est dans la pr\'esence de ce champ magn\'etique que r\'eside
notre contribution principale par rapport \`a la m\'ethode de E. Witten [18],
[19] (dans le cas de la cohomologie de De Rham le champ magn\'etique est
toujours nul puisque $d^{2}=0$).
En tout point $\chi \in X$, soit $2s=2s(x)\leq n$ le rang de $\mathrm{B}(\mathrm{x})$ et
$\mathrm{B}_{1}(x) \geq\ldots\geq \mathrm{B}_{s}(x) >0$ les modules des valeurs propres non nulles de
l'endomorphisme antisym\'etrique associ\'e. On d\'efinit une fonction $\mathrm{v}_{\mathrm{B}(x)}(\lambda)$
du couple $(x,\lambda)\in M\times \mathrm{R}$, continue \`a gauche en $\lambda$, en posant
(0.5) $\displaystyle \mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\lambda)=\frac{2^{s-n}\pi^{-\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}-s+1)}\mathrm{B}_{1}\ldots \mathrm{B}_{s}\sum_{(p_{1},\ldots,p_{s})\epsilon \mathrm{N}^{s}}[\lambda-\Sigma(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}]^{\frac{n}{2+}-s}$
avec la convention $0^{\mathrm{o}}=0$. Enfin, si $\lambda_{1}\leq\lambda_{2}\leq\ldots$ d\'esignent le $\mathrm{s}$ vale urs
propres de $Q_{k}$ (compt\'ees avec multiplicit\'e), on consid\`ere la fonction de
d\'enombrement
$\mathrm{N}_{k}(\lambda)=$ card $\{j;\lambda_{j}\leq\lambda\},\ \lambda\in$ R.
Th\'eOr\`eme 0.6. - {\it Si} $\partial\Omega$ {\it est de mesure nulle, il existe un ensemble}
{\it d\'enombrable} $\mathcal{D}\subset \mathrm{R}$ {\it tel que}
$$
\lim_{k\rightarrow+\infty}k^{-\frac{n}{2}}\mathrm{N}_{k}(\lambda)=\int_{\Omega}\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V}+\lambda)d\sigma
$$
{\it pour tout} $\lambda\in \mathrm{R}\backslash \mathcal{D}$.
Pour d\'emontrer le th\'eor\`eme 0.6, on commence par \'etudier le cas simple
o\`u $M=\mathrm{R}^{n}$ avec un champ magn\'etique constant $\mathrm{B}$ et avec $\mathrm{V}=0$.
Lorsque $\Omega$ est un cube, on sait alors expliciter les fonctions propres par
une transformation de Fourier partielle qui ram\`ene le probl\`eme \`a celui
classique de $1' \mathrm{oscillat}e\mathrm{ur}$ harmonique en une variable. L'id\'ee de ce calcul
nous a \'et\'e fortement inspir\'ee par les articles [3] [4] de Y. Colin de Verdi\`ere.
L'extension du r\'esultat au cas d'un champ magn\'etique quelconque reprend

IN\'EGALIT\'ES DE MORSE EN $d''$-COHOMOLOGIE
193
une id\'ee de [16], consistant \`a utiliser un pavage de $\Omega$ par des cubes assez
petits. Notre m\'ethode est n\'eanmoins tr\`es diff\'erente de celle de Siu, puisque
nous travaillons directement sur les formes harmoniques alors que Siu se
ramenait aux cocha\^{\i}nes holomorphes via l'isomorphisme de Dolbeault. On
gagne ainsi beaucoup en pr\'ecision sur les estimations cherch\'ees. Le c\^ot\'e des
cubes doit \^etre ici choisi d'un ordre de grandeur inte rm\'ediaire entre $k^{-\frac{1}{2}}$ et
$k^{-\frac{1}{4}}$, par exemple $k^{-\frac{1}{3}}$ : $k^{-\frac{1}{2}}$ est en effet la longue ur d'onde de $\mathrm{s}$ premi\`ere $\mathrm{s}$
fonctions propres, de sorte que l'action du champ magn\'etique $\mathrm{B}$ n'est pas
perceptible \`a une \'echelle inf\'erieure; au-dessus de $k^{-\frac{1}{4}}$, l'oscillation de $\mathrm{B}$ est
au contraire trop forte. On utilise finalement le principe du minimax pour
comparer les valeurs propres sur $\Omega$ aux valeurs propres sur les cubes.
Dans la m\'ethode ant\'erieure de [16] (telle qu elle est reprise dans [7]), la
taille des cubes \'etait choisie \'egale \`a $k^{-\frac{1}{2}}$; on peut voir ais\'ement que ce
choix \'etait critique pour permettre de bomer les effets du champ
magn\'etique ind\'ependamment de $k$, mais la d\'etermination exacte du
spectre devenait alors impossible.
Le demier paragraphe est consacr\'e \`a l'\'etude de caract\'erisations
g\'eom\'etrque $\mathrm{s}$ des espaces de MoiSezon [13]. Rappelons qu un espace
analytique compact irr\'eductible X est appel\'e espace de MoiSezon si le
corps $\mathrm{K}(X)$ des fonctions m\'eromorphes sur X est de degr\'e de
transcendance $=n=\dim_{\mathrm{c}}X$. La conjecture de Grauert-Riemenschneider
[10] affirme que X est de MoiSezon si et seulement si il existe un faisceau
quasi-positif 8 de rang 1 sans torsion au-dessus de X. Par
d\'esingularisation, on se ram\`ene au cas o\`u X est lisse et o\`u $g$ est le
faisceau localement libre des sections d'un fibre' en droites $E$ strictement
positif sur un ouvert dense de X. Y. T. Siu [17] a r\'esolu r\'ecemment la
conjecture et l'a renforc\'ee en supposant seulement $ic(E)$ semi-positive et
$>0$ en au moins un point. L'utilisation du th\'eor\`eme 0.1 $(b)$ permet de
trouver des conditions g\'eom\'etrques plus faibles encore, qui n'exigent pas
la semi-positivit\'e ponctuelle de $ic(E)$, mais se ulement la positivit\'e d'une
certaine int\'egrale de courbure. Pour $q=1$, l'in\'egalit\'e 0.1 $(b)$ implique en
effet une minoration du nombre de sections holomorphes de $E^{k}$, \`a savoir:
\begin{center}
(0.7)   $\displaystyle \dim H^{0}(X,E^{k})\geq\frac{k^{n}}{n!}\int_{X\langle\leq 1)}(\frac{i}{2\pi}c(E))^{n}-o(k^{n})$.
\end{center}
On pe ut nombrer d'autre part, en utilisant un raisonnement classique de
Siegel [15] mis en forme par [16] que $\dim H^{0}(X,E^{k})\leq \mathrm{ct}e.k^{n-1}$ si X n'est

194
JEAN-PIERRE DEMAILLY
pas de MoiSezon (cf. th\'eor\`eme 5.1). De l\`a il r\'esulte le
Th\'eOr\`eme 0.8. --{\it Soit} X {\it une vari\'et\'e C-analytique compacte connexe de}
{\it dimension} $n$. {\it Pour que} X {\it soit de Moisezon, il suffit que} X {\it poss\`ede un fibr\'e}
{\it holomorphe en droites hermitien v\'erifiant l}'{\it une des hypoth\`eses} (a), (b), (c) {\it ci}-
{\it dessous}.
$(\displaystyle \mathrm{a})\int_{X(\leq 1)}(ic(E))^{n}>0$.
(b) $c_{1}(E)^{n}>0$, {\it et la forme de courbure} $ic(E)$ {\it ne poss\`ede aucun point}
{\it d}'{\it indice pair} $\neq 0$.
(c) $\mathfrak{X}(E)$ {\it est semi-positive en tout point de} $X$ {\it et d\'efinie positive en au}
{\it moins un point de} X.
Ce travail a fait l'objet d'une note [8] du m\^eme titre, publi\'ee aux
Comptes Rendus. Le pr\'esent article est une version am\'elior\'ee d'un
m\'emoire ant\'ere ur [7], qui \'etait plus proche des techniques initiales de Siu,
et qui d\'emontrait seulement l'in\'egalit\'e 0.1 (a) \`a la constante num\'erique
pr\`es; de ce fait, les estimations 0.1 (b) et (c) restaient inaccessibles.
L'auteur remercie vivement MM. G\'erard Besson, Alain Dufresnoy,
Sylv\c{c}stre Gallot et tout particuli\`erement Yves Colin de Verdi\`ere, pour de
stimulantes conversations qui ont beaucoup contribu\'e \`a la mise en forme
d\'efinitive des id\'ees de ce travail, notamment dans le \S 1.
1. Spectre de l'op\'erateur de Schr\^odinger associ\'e
\`a un champ magn\'etique constant.
Soit $(M,g)$ une vari\'et\'e riemannienne de classe $\mathcal{C}^{\infty}$, de dimension
r\'eelle $n$, et $E\rightarrow M$ un fibre en droites complexes au-dessus de $M$, muni
d'une m\'etrique hermitienne $\mathcal{C}^{\infty}$ Notons $\mathcal{C}_{q}^{\infty}$ (M,E) l'espace des sections
de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ du fibr\'e $\Lambda^{q}\mathrm{T}^{*}M\otimes E$, et $(?|?)$ l'accouplement
sesquilin\'eaire canonique
$$
\mathcal{C}_{q}^{\infty}(M,E)\times \mathcal{C}_{q}^{\infty}(M,E)\rightarrow \mathcal{C}_{p+q}^{\infty}(M,\mathrm{C}).
$$
On suppose donn\'ee une connexion he rmitienne $\mathrm{D}$ sur $E$, c'est-\`a-dire un
op\'erateur diff\'erentiel d'ordre un
$\mathrm{D}:\wp_{q}^{\infty}(M,E)\rightarrow \mathcal{C}_{q+1}^{\infty}$ (M,E), $0\leq q<n$,

IN\'EGALIT\'ES DE MORSE EN $d''$-COHOMOLOGIE
195
v\'erifiant les identit\'es
$(\mathrm{i}.\mathrm{i}) \mathrm{D}(f\wedge u)=df\wedge u+(-1)^{m}f\wedge \mathrm{D}u$,
\begin{center}
(1.2)   $d(u|v)=(\mathrm{D}u|v)+(-1)^{p}(u|\mathrm{D}v)$,
\end{center}
pour toutes sections $f\in \mathcal{C}_{m}^{\infty}(M,C),\ u\in \mathcal{C}_{p}^{\infty}(M,E),\ v\in \mathcal{C}_{q}^{\infty}(M,E)$. Soit
$\Theta$ : $E|_{\mathrm{W}}\rightarrow \mathrm{W}\times C$ une trivialisation isom\'etrque de $E$ au-de ssus d'un
ouvert $\mathrm{W}\subset$ M. Les connexions hermitiennes de $E|_{\mathrm{W}}$ sont alors toutes
donn\'ees par la formule suivante:
D{\it u} $=du+i\mathrm{A}\wedge \mathrm{u}$,
o\`u $u\in \mathcal{C}_{q}^{\infty}$ (W,E) $\simeq \mathcal{C}_{q}^{\infty}(\mathrm{W},C)$ et o\`u $\mathrm{A}\in \mathcal{C}_{1}^{\infty}$ (W,R) est une 1-forme {\it r\'eelle}
arbitraire.
L{\it e champ magn\'etique} (ou forme de courbure) associ\'e \`a la connexion $\mathrm{D}$
est la 2-forme r\'eelle ferm\'ee $\mathrm{B}=d\mathrm{A}$ telle que
$$
\mathrm{D}^{2}u=i\mathrm{B}\wedge u
$$
pour tout $u\in \mathcal{C}_{q}^{\infty}$ (M,E). $\mathrm{B}$ ne d\'epend donc que de la connexion $\mathrm{D}$, mais
pas de la trivialisation $\Theta$ choisie. Un changement de phase $u=ve^{i\varphi}$ dans
9 conduit \`a remplacer A par $\mathrm{A}+d\varphi$. Le choix d'une trivialisation de $E$
et de la 1-forme A correspondante s'interpr\`ete physiquement comme le
choix d'un potentiel vecteur particulier du champ magn\'etique B.
D\'esignons par $|u|$ la norme ponctuelle d'un \'el\'ement $u\in\Lambda^{q}\mathrm{T}^{*}M\otimes E$
pour la m\'etrque produit tensoriel des m\'etriques de $M$ et E. Si $\Omega$ est un
ouvert de $M$, on note $\mathrm{L}^{2}(\Omega,E)$ (resp. $\mathrm{L}_{q}^{2}(\Omega,E)$) $1' e\mathrm{spac}e\mathrm{L}^{2}$ de $\mathrm{s}$ sections
de $E$ (resp. de $\Lambda^{q}\mathrm{T}^{*}M\otimes E$) au-dessus de $\Omega$, muni de la norme
$||u||_{\Omega}^{2}=\displaystyle \int_{\Omega}|u|^{2}$ {\it do},
o\`u $ d\sigma$ est la densit\'e de volume riemannien sur M.
Soit $\mathrm{D}_{k}$ la connexion induite par $\mathrm{D}$ sur la puissance tensorielle {\it k}-
i\`eme $E^{\mathrm{k}}$, et V un potentiel scalaire sur $M$, i.e. une fonction r\'eelle
continue. \'Etant donn\'e un ouvert relativement compact $\Omega\subset M$, nous
nous proposons de d\'eterminer asymptotiquement lorsque $k$ tend vers
$+\infty$ le spectre de la forme quadratique
\begin{center}
(1.3)   $\displaystyle Q_{\Omega,k}(u)=\int_{\Omega}(\frac{1}{k}|\mathrm{D}_{k}u|^{2}-\mathrm{V}|u|^{2})d\sigma$
\end{center}


196
JEAN-PIERRE DEMAILLY
o\`u $u\in \mathrm{L}^{2}(\Omega,E^{k})$, avec condition de Dirichlet $u|_{\partial\Omega}=0$. Le domaine de
$Q_{\Omega,k}$ est donc $1' \mathrm{espac}e$ de Sobolev $\mathrm{W}_{\mathrm{o}}^{1}(\Omega,E^{k})=$ adh\'erence de $1' \mathrm{espac}e$
$\mathcal{D}(\Omega,E^{k})$ des sections $\mathrm{C}^{\infty}$ de $E^{k}$ \`a support compact dans $\Omega$ dans
l'espace $\mathrm{W}^{1}(M,E^{k})$. D'un point de vue physique, ceci revient \`a \'etudier le
spectre de 1'op\'erateur de Schr\^odinger $\displaystyle \frac{1}{k}(\mathrm{D}_{k}^{*}\mathrm{D}_{k}-k\mathrm{V})$ associ\'e au champ
magn\'etique $k\mathrm{B}$ et au champ \'electrique $k\mathrm{V}$, lorsque $k$ tend vers $+\infty$.
Nous renvoyons le lecteur \`a l'article classique [2] pour une \'etude g\'en\'erale
du spectre de l'op\'erateur de Schr\^odinge $\mathrm{r}$, et aux travaux [3], [4], [5], [9], [12]
pour 1'\'etude de probl\`emes asymptotiques voisins du pr\'ec\'edent.
D\'efinition 1.4. - {\it On d\'esignera par} $\mathrm{N}_{\Omega,k}(\lambda)$ {\it le nombre de valeurs}
{\it propres} $\leq\lambda$ {\it de la forme quadratique} $Q_{\Omega,k}$.
Nous allons d'abord \'etudier un cas simple qui servira de mod\`ele pour le
cas g\'en\'eral au \S 2. On se place dans la situation suivante: $M=\mathrm{R}^{n}$ avec la
m\'etrique constante $g=\displaystyle \sum_{j=1}^{n}dx_{j}^{2},\ \Omega$ est le dube de c\^ot\'e $r$:
$$
\Omega=\{(x_{1},\ldots,x_{n})\in \mathrm{R}^{n};|x_{j}|<\frac{r}{2'}1\leq j\leq n\},
$$
V $=0$, et enfin le champ magn\'etique $\mathrm{B}$ est constant, \'egal \`a la 2-forme
altem\'ee de rang $2s$ donn\'ee par
$$
\mathrm{B}=\sum_{j=1}^{s}\mathrm{B}_{j}dx_{j}\wedge dx_{j+s},
$$
avec $\mathrm{B}_{1}\geq \mathrm{B}_{2}\geq\cdots\geq \mathrm{B}_{s}>0,\ s\displaystyle \leq\frac{n}{2}$. On peut alors choisir une
trivialisation de $E$ dont le potentiel vecteur associ\'e est
$$
\mathrm{A}=\sum_{j=1}^{s}\mathrm{B}_{j}x_{j}dx_{j+\mathrm{s}}.
$$
La connexion de $E^{k}$ s'\'ecrt donc
$$
\mathrm{D}_{k}u=du+ik\mathrm{A}\wedge u,
$$
et la forme quadratique $Q_{\Omega,k}$ est donn\'ee par
$\displaystyle Q_{\Omega,k}(u)=\frac{1}{k}\int_{\Omega}[_{1_{\backslash }}\sum_{<j\leq s}(|\frac{\partial u}{\partial x_{j}}\left|2 +\right|\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x_{j+s}}+ik\mathrm{B}_{j}x_{J}u|^{2})+\sum_{j>2s}|\frac{\partial u}{\partial x_{j}}|^{2}]d\mu$

IN\'EGALIT\'ES DE MORSE EN $d''$-COHOMOLOGIE
197
o\`u $ d\mu$ d\'esigne la mesure de Lebesgue sur $\mathrm{R}^{n}$. Si on effectue l'homoth\'etie
$X_{j}=\sqrt{k}x_{j}$, on est ramen\'e \`a \'etudier les valeurs propres de la forme
quadratique
$$
\int_{\sqrt{k}\mathrm{f}1}[_{1_{\sim}}\sum_{<j\leq s}\ (|\frac{\partial u}{\partial X_{j}}\left|2 +\right|\frac{\partial u}{\partial X_{j+s}}+i\mathrm{B}_{j}X_{J}u|^{2})+\sum_{j>2s}|\frac{\partial u}{\partial X_{j}}|^{2}]d\mu
$$
sur les cubes $\sqrt{k}\Omega$ de c\^ot\'e $\sqrt{k}r$. Au champ $\mathrm{B}$, nous associons la
fonction de la variable r\'eelle $\lambda$ d\'efinie par
\begin{center}
(1.5)   $\displaystyle \mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\lambda)=\frac{2^{s-n}\pi^{-\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}-s+1)}\mathrm{B}_{1}\ldots \mathrm{B}_{\mathrm{s}}\sum_{(p_{1},\ldots,p_{s})\in \mathrm{N}^{S}}[\lambda-\Sigma(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}]^{\frac{n}{2+}-s}$
\end{center}
o\`u l'on pose par convention $\lambda_{+}^{0}=0$ si $\lambda\leq 0$ et $\lambda_{+}^{0}=1$ si $\lambda>0$. La
fonction $\mathrm{v}_{\mathrm{B}}$ est donc croissante et continue \`a gauche sur $\mathrm{R}$; on observera
que $\mathrm{v}_{\mathrm{B}}$ est en fait continue si $s<\displaystyle \frac{n}{2}$. Le spectre de $Q_{\Omega,k}$ est alors d\'ecrit
asymptotiquement par le th\'eor\`eme suivant, dont 1'id\'ee nous a \'et\'e sugg\'er\'ee
par Y. Colin de Verdi\`ere [4].
Th\'eOr\`eme 1.6. - {\it Soit} $\mathrm{R}$ {\it un r\'eel} $>0$,
$$
\mathrm{P}(\mathrm{R})=\{x\in \mathrm{R}^{n};|x_{j}|<\frac{\mathrm{R}}{2}\}
$$
{\it le pav\'e de c\^ot\'e} $\mathrm{R}$, QR {\it la forme quadratique}
$\displaystyle Q_{\mathrm{R}}(\mathrm{u})=\int_{\mathrm{P}(\mathrm{R})}[_{1_{\backslash }}\sum_{<j\leq s}(|\frac{\partial u}{\partial x_{j}}\left|2 +\right|\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x_{j+s}}+i\mathrm{B}_{j}x_{J}u|^{2})+\sum_{j>2s}|\frac{\partial u}{\partial x_{j}}|^{2}]d\mu$,
{\it et} $\mathrm{N}_{\mathrm{R}}(\lambda)$ {\it le nombre de valeurs propres} $\leq\lambda$ {\it de} QR {\it pour le probl\`eme de}
{\it Dirichlet. Alors pour tout} $\lambda\in \mathrm{R}$ {\it on a}
$$
\lim_{\mathrm{R}\rightarrow+\infty}\mathrm{R}^{-n}\mathrm{N}_{\mathrm{R}}(\lambda)=\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\lambda).
$$
Lorsque $s=\displaystyle \frac{n}{2},\ \mathrm{v}_{\mathrm{B}}$ est une fonction en escalier. Les valeurs propres de
QR se regroupent donc par paquets autour des valeurs $\Sigma(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}$, avec
multiplicit\'e approximative $(2\pi)^{-s}\mathrm{B}_{1}\ldots \mathrm{B}_{s}\mathrm{R}^{n}$. Ceci pe ut s'interpr\'eter
physiquement comme un ph\'enom\`ene de quantification des \'etats propres.

198
JEAN-PIERRE DEMAILLY
En revenant au probl\`eme initial relatif \`a la forme quadratique $Q_{\Omega,k}$, nous
obtenons le
COROLLAIRE 1.7. $-\displaystyle \lim_{k\rightarrow+\infty}k^{-\frac{n}{2}}\mathrm{N}_{\Omega,k}(\lambda)=r^{n}\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\lambda).\ \square $
{\it D\'emonstration} $du$ {\it th\'eor\`eme} 1.6. - On cherche d'abord \`a majorer
$\mathrm{N}_{\mathrm{R}}(\lambda)$. Dans ce but, \'etant donn\'e $u\in \mathrm{W}_{0}^{1}(\mathrm{P}(\mathrm{R}))$, on exprime $u$ sous
forme de s\'erie de Fourier partielle par rapport aux variable $\mathrm{s}x_{s+1},\ \ldots,\ x_{n}$ :
$u(x) =\displaystyle \mathrm{R}^{-\frac{1}{2}\langle n-s)}\sum_{\ell\in \mathrm{Z}^{n-s}}u_{t}(x')$ exp $(\displaystyle \frac{2\pi i}{\mathrm{R}}l. x'')$
o\`u $u_{1}\in \mathrm{W}_{0}^{1}(\mathrm{R}^{s}\cap \mathrm{P}(\mathrm{R}))$, avec les notations
$$
x'=(x_{1^{ }},\ldots,\mathrm{x}_{s}),\ x''=(x_{s+1^{ }},\ldots,x_{n}),
$$
$$
l.\ x''=l_{\iota^{X_{s+1}}}+\ \cdots\ +l_{n-s^{X_{\hslash}}}.
$$
L'hypoth\`ese $u\in \mathrm{W}_{0}^{1}(\mathrm{P}(\mathrm{R}))$ entra\^{\i}ne que la s\'erie
$$
\Sigma|l|^{2}|u_{t}(x')|^{2}
$$
est dans $\mathrm{L}^{2}(\mathrm{R}^{s})$. Posons $l'=(l_{1^{ }},\ldots,l_{s}),\ l''=(l_{s+1}, \ldots,l_{n-s})$. La
norme $||u||_{\mathrm{P}(\mathrm{R})}$ et la forme quadratique QR sont donn\'ees par
$$
||u||_{\mathrm{P}(\mathrm{R})}^{2}=\sum_{t\in \mathrm{Z}^{n-s}}\int_{\mathrm{R}^{s}}|u_{t}(x')|^{2}d\mu(x'),
$$
$\displaystyle Q_{\mathrm{R}}(u)=\sum_{t\in \mathrm{Z}^{n-s}}\int_{\mathrm{R}^{s}}[\sum_{1\leq j\leq s}(|\frac{\partial u}{\partial \mathrm{x}_{j}}|^{2}+(\frac{2\pi}{\mathrm{R}}l_{j}+\mathrm{B}_{j}x_{j})^{2}|u_{t}|^{2})$
$$
+\frac{4\pi^{2}}{\mathrm{R}^{2}}|l''|^{2}|u_{f}|^{2}]d\mu(x').
$$
On obtient par cons\'equent un probl\`eme de Dirichlet \`a $\langle\langle$ variables
s\'epar\'ees $\rangle\rangle$ sur le cube $\mathrm{R}^{s}\cap \mathrm{P}(\mathrm{R})$. En posant $t=x_{j}+\displaystyle \frac{2\pi l_{j}}{\mathrm{R}\mathrm{B}_{j}}$, on est
ramen\'e \`a \'etudier le spectre de la forme quadratique d'une variable
$$
q(f)=\int_{\mathrm{R}}(|\frac{df}{dt}|^{2}+\mathrm{B}_{\mathrm{j}}^{2}t^{2}|f|^{2})dt,
$$
avec $f\displaystyle \in \mathrm{W}_{0}^{1}(]-\frac{\mathrm{R}}{2}\frac{\mathrm{R}}{2}[+\frac{2\pi l_{j}}{\mathrm{R}\mathrm{B}_{j}})$. On retombe donc sur le probl\`eme

IN\'EGALIT\'ES DE MORSE EN $d''$-COHOMOLOGIE
199
classique de l'oscillateur harmonique (cf. par exemple [14], Vol. I, p. 142).
Sur $\mathrm{R}$, i.e. sans condition de support pour $f$, la suite des valeurs propres
de $q$ est la suite $(2m+1)\mathrm{B}_{j},\ m\in \mathrm{N}$, et les fonctions propres associ\'ees sont
donn\'ees par $\Phi_{m}(\sqrt{\mathrm{B}_{j}}t)$ o\`u $\Phi_{0},\ \Phi_{1},\ \ldots$ sont les fonctions d'Hermite:
$$
\Phi_{m}(t)=e^{\iota^{2}/2}\frac{d^{m}}{dt^{m}}(e^{-\mathrm{t}^{2}}).
$$
Pour tout $p_{j}\in \mathrm{N}$, notons $\Psi_{p_{j},l_{j}}(x_{j})$ la {\it p}$\Gamma${\it i\`eme} fonction propre de la forme
quadratique
\begin{center}
(1.8)   $qU) =\displaystyle \int_{\mathrm{R}}(|\frac{df}{dx_{j}}|^{2}+(\frac{2\pi}{\mathrm{R}}l_{j}+\mathrm{B}_{j}x_{j})^{2}|f|^{2})d\mathrm{x}_{j}$
\end{center}
pour $f\displaystyle \in \mathrm{W}_{0}^{1}(]-\frac{\mathrm{R}}{2}\frac{\mathrm{R}}{2}[)$, et $\lambda_{p_{j},t_{j}}$ la valeur propre correspondante. On
peut alors d\'ecomposer chaque fonction $\mathrm{u}_{t}$ en s\'erie de fonctions propres, ce
qui conduit \`a \'ecrire $\mathrm{u}$ sous la forme
\begin{center}
(1.9)   $u(\mathrm{x}) =\displaystyle \mathrm{R}^{-\frac{1}{2}\langle n-s)}\sum_{(p,')\in \mathrm{N}^{s}\mathrm{x}\mathrm{Z}^{n-s}}u_{p,\parallel}\Psi_{pl}(\mathrm{x}')$ exp $(\displaystyle \frac{2\pi i}{\mathrm{R}}l. \mathrm{x}'')$
\end{center}
avec $u_{p.\swarrow}\in C,\ \displaystyle \Psi_{p\swarrow l}(x')=\prod_{1<_{\backslash }j\leq \mathrm{s}}\Psi_{p_{j},\swarrow \mathrm{j}}(x_{\mathrm{j}})$.
On prendra garde au fait que $\Psi_{p,t'}(x')$ exp $(\displaystyle \frac{2\pi i}{\mathrm{R}}l. \mathrm{x}'')$ {\it n}'{\it est pas} une vraie
fonction propre pour le probl\`eme de Dirichlet, car le terme exponentiel
prend des valeurs non nulles aux points du bord $\displaystyle \chi_{j}=\pm\frac{\mathrm{R}}{2} j>s$. Par
cons\'equent, les coefficients $(u_{p,t})$ ne sont pas arbitraires si $u\in \mathrm{W}_{0}^{1}(\mathrm{P}(\mathrm{R}))$;
ils doivent v\'erifier les conditions d'annulation au bord:
\begin{center}
(1.10)   $\displaystyle \sum_{t_{j}\in \mathrm{Z}}(-1)^{t_{j}}\mathrm{u}_{p,\swarrow}=0$
\end{center}
pour tout $j=1,\ \ldots,\ n-s$ et tous les indices autres que $l_{j}$ fix\'es:
\begin{center}
$p\in \mathrm{N}^{s},\ l_{1},\ \ldots,\ l_{j-1},\ l_{j+1},\ \cdots,\  l_{n-s}\in$ Z.
\end{center}
Avec r\'ecriture (1.9), la norme $\mathrm{L}^{2}$ et la forme quadratique $Q_{\mathrm{R}}$ s'expriment
sous la forme
$$
||u||_{\mathrm{P}(\mathrm{R})}^{2}=\Sigma|u_{p,J}|^{2},\ Q_{\mathrm{R}}(u)=\Sigma(\lambda_{p,t'}+\frac{4\pi^{2}}{\mathrm{R}^{2}}|l''|^{2})|u_{p,t}|^{2},
$$
200
JEAN-PIERRE DEMAILLY
o\`u $\displaystyle \lambda_{p,1'}=\sum_{1\sim<j\leq s}\lambda_{p_{j},\swarrow j}$. Le principe du minimax 1.20 $(b)$ rappel\'e plus loin
montre que
\begin{center}
(1.11)   $\mathrm{N}_{\mathrm{R}}(\lambda)\leq$ card $\{(p,l)\in \mathrm{N}^{s}\mathrm{x} \displaystyle \mathrm{Z}^{n-s};\lambda_{p,t'}+\frac{4\pi^{2}}{\mathrm{R}^{2}}|l''|^{2}\leq\lambda\}$.
\end{center}
Il suffit donc d'obtenir une minoration ad\'equate de $\lambda_{p_{j^{\gamma}j}},\cdot$
LEMME 1.12. - {\it On a l}'{\it in\'egalit\'e}
$\displaystyle \lambda_{p_{j},t_{j}}\geq\max ((2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j},\ \displaystyle \frac{4\pi^{2}}{\mathrm{R}^{2}}[(\frac{p_{j}+1}{2})^{2}+(|l_{j}|-\frac{\mathrm{B}_{j}\mathrm{R}^{2}}{4\pi})_{+}^{2}])$,
{\it et celle-ci est stricte si} $l_{j}\neq 0$ {\it ou si} $\Phi_{p_{j}}(\mathrm{R}\sqrt{\mathrm{B}_{j}}/2)\neq 0$.
La minoration $\lambda_{\mathrm{p}_{j},t_{j}}\geq(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}$ r\'esulte en effet du minimax et du fait
que les valeurs propres de $q(f)$ sur $\mathrm{R}$ valent $(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}$. Pour obtenir
l'autre in\'egalit\'e, on minore (1.8) par la forme quadratique
$$
\hat{q}U)\ =\int_{|\mathrm{x}_{J}|<\mathrm{R}/2}(|\frac{df}{dx_{\mathrm{j}}}|^{2}+(\frac{2\pi}{\mathrm{R}}|l_{j}|-\mathrm{B}_{j}\frac{\mathrm{R}}{2})_{+}^{2}|f|^{2})d\mathrm{x}_{j}.
$$
Les fonctions propres de $\hat{q}$ sont les fonctions
$$
\sin\frac{\pi}{\mathrm{R}}(p_{j}+1)(x_{j}+\frac{\mathrm{R}}{2}),\ p_{j}\in \mathrm{N};
$$
$\lambda_{p_{jj}},$' est donc minor\'ee par la valeur propre correspondante:
$$
\frac{4\pi^{2}}{\mathrm{R}^{2}}[(\frac{p_{j}+1}{2})^{2}+(|l_{j}|-\frac{\mathrm{B}_{j}\mathrm{R}^{2}}{4\pi})_{+}^{2}].
$$
Les in\'egalit\'es sont strictes parce que d'une part $ q\omega >\hat{q}(f)$ pour tout
$f\neq 0$, et d'autre part $\Phi_{p_{j}}(\sqrt{\mathrm{B}_{j}}t)$ ne peut \^etre fonction propre de $q$ sur
$]-\mathrm{R}/2,\ \mathrm{R}/2[+2\pi l_{j}/\mathrm{RB}_{j}$ que si
$$
\Phi_{p_{j}}(\pm \mathrm{R}\sqrt{\mathrm{B}_{j}}/2+2\pi l_{j}/\mathrm{R}\sqrt{\mathrm{B}_{j}})=0.
$$
Comme les z\'eros de $\Phi_{p_{j}}$ sont alg\'ebrques et que $\pi$ est transcendant, ceci
n'est possible que si
$l_{j}=0$ et $\Phi_{p_{j}}(\mathrm{R}\sqrt{\mathrm{B}_{\mathrm{J}}}/2)=0$.
$$
\square 
$$
IN\'EGALIT\'ES DE MORSE EN $d''$-COHOMOLOGIE
201
LEMME 1.13. --{\it Soit} $\tau_{n}(\mathrm{p})$ {\it le nombre de points de} $Z^{n}$ {\it situ\'es dans la}
{\it boule ferm\'ee} $\overline{\mathrm{B}}(0,\mathrm{p})\subset \mathrm{R}^{n}$. {\it Alors}
$$
\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}(\mathrm{p}-\frac{\sqrt{n}}{2})_{+}^{n}\leq\tau_{n}(\mathrm{p})\leq\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}(\mathrm{p}+\frac{\sqrt{n}}{2})^{n}
$$
En effet, la r\'eunion des cubes de c\^ot\'e 1 centr\'es aux points $\chi \in \mathrm{Z}^{n}$ tels
que $|x|\leq \mathrm{p}$ est contenue dans la boule $\displaystyle \overline{\mathrm{B}}(0,\mathrm{p}+\frac{\sqrt{n}}{2})$, et contient la
boule $\displaystyle \overline{\mathrm{B}}(0,\mathrm{p}-\frac{\sqrt{n}}{2})$ si $\displaystyle \mathrm{p}\geq\frac{\sqrt{n}}{2}$, car $\displaystyle \frac{\sqrt{n}}{2}$ est la demi-diagonale du cube;
l'entier $\tau_{n}(\mathrm{p})$ est donc encadr\'e par le volume des boules $\displaystyle \overline{\mathrm{B}}(0,\mathrm{p}\pm\frac{\sqrt{n}}{2})\square $.
Nous majorons maintenant $\displaystyle \lim\sup \mathrm{R}^{-n}\mathrm{N}_{\mathrm{R}}(\lambda)$ en utilisant (1.11) et les
lemmes 1.12, 1.13. Pour $p\in \mathrm{N}^{s}$ fix\'e, l'in\'egalit\'e $\displaystyle \lambda_{p,t'}+\frac{4\pi^{2}}{\mathrm{R}^{2}}|l''|^{2}\leq\lambda$
implique
\begin{center}
(1.14)   $|l''|\displaystyle \leq\frac{\mathrm{R}}{2\pi}(\lambda-\Sigma(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j})^{\frac{1}{2+}}$,
\end{center}
et 1'in\'egalit\'e est stricte pour $\mathrm{R}>\mathrm{R}_{0}(p)$ assez grand. Lorsque $s<n/2$ le
nombre de multi-indices $t''\in \mathrm{Z}^{n-2s}$ correspondants est donc au plus
\begin{center}
(1.11)   $\displaystyle \frac{\pi^{\frac{n}{2}-s}}{\Gamma(\frac{n}{2}-s+1)}[\frac{\mathrm{R}}{2\pi}(\lambda-\Sigma(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j})^{\frac{1}{2+}}+\frac{\sqrt{n}}{2}]^{n-2s}$
$$
\mathrm{R}\rightarrow+\infty\sim\frac{2^{2s-n}\pi^{s-\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}-s+1)}\mathrm{R}^{n-2s}(\lambda-\Sigma(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j})^{\frac{n}{2+}-s}
$$
\end{center}
Lorsque $s=\displaystyle \frac{n}{2}$, ce nombre doit \^etre compt\'e comme valant 1 si
$\lambda-\Sigma(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}>0$ et $0$ sinon, ce qui est bien conforme \`a la convention
que nous avons adopt\'ee pour la notation $\lambda_{+}^{\mathrm{o}}$. L'in\'egalit\'e $\lambda_{p,t'}\leq\lambda$

202
JEAN-PIERRE DEMAILLY
implique d'autre part
\begin{center}
(1.16)   $|l_{j}|\displaystyle \leq\frac{\mathrm{R}}{2\pi}\sqrt{\lambda_{+}}+\frac{\mathrm{B}_{j}\mathrm{R}^{2}}{4\pi} 1\leq j\leq s$,
\end{center}
ce qui correspond asymptotiquement \`a un nombre de multi-indices
$l'=(l_{1^{ }},\ldots,l_{s})\in \mathrm{Z}^{s}$ \'equivalent \`a
\begin{center}
(1.17)   $\displaystyle \prod_{j=1}^{s}\frac{\mathrm{B}_{j}\mathrm{R}^{2}}{2\pi}=2^{-s}\pi^{-s}\mathrm{B}_{1}\ldots \mathrm{B}_{s}\mathrm{R}^{2s}$.
\end{center}
La majoration $\displaystyle \lim\sup \mathrm{R}^{-n}\mathrm{N}_{\mathrm{R}}(\lambda)\leq \mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\lambda)$ s'obtient alors en effectuant le
produit de (1.15) par (1.17), et en sommant pour tout $p\in \mathrm{N}^{s}$ (la somme est
finie). $\square $
Pour des questions de convergence qui interviendront au \S 2, nous
aurons besoin \'egalement de conna\^{\i}tre une majoration de $\mathrm{N}_{\mathrm{R}}(\lambda)$
ind\'ependante du champ magn\'etique B. Une telle estimation uniforme est
foumie par la proposition suivante.
PROPOSITION 1.18. $-\mathrm{N}_{\mathrm{R}}(\lambda)\leq(\mathrm{R}\sqrt{\lambda_{+}}+1)^{n}$.
{\it D\'emonstration}. --On majore pour chaque indice $j$ le nombre d'entiers
$p_{j}$ et $l_{j}$ tels que 1'in\'egalit\'e
$$
\lambda_{p,J'}+\frac{4\pi^{2}}{\mathrm{R}^{2}}|l''|^{2}\leq\lambda
$$
ait lieu. Le lemme 1.12 implique
card $\displaystyle \{p_{j}\}\leq\max(p_{j}+1)\leq\min(\frac{\lambda_{+}}{\mathrm{B}_{j}}\frac{\mathrm{R}}{\pi}\sqrt{\lambda_{+}}),\ 1\leq j\leq s$,
tandis que (1.16) entra\^{\i}ne
card $\displaystyle \{l_{j}\}\leq\frac{\mathrm{R}}{\pi}\sqrt{\lambda_{+}}+\frac{\mathrm{B}_{j}\mathrm{R}^{2}}{2\pi}+1,\ 1\leq j\leq s$.
On en d\'eduit par cons\'equent pour $1\leq j\leq s$:
card $\displaystyle \{(p_{j},l_{j})\}\leq(\frac{\mathrm{R}}{\pi}\sqrt{\lambda_{+}})^{2}+\frac{\lambda_{+}}{\mathrm{B}_{j}}\cdot\frac{\mathrm{B}_{j}\mathrm{R}^{2}}{2\pi}+\frac{\mathrm{R}}{\pi}\sqrt{\lambda_{+}}.1$
$$
\leq(\mathrm{R}\sqrt{\lambda_{+}}+1)^{2}.
$$
IN\'EGALIT\'ES DE MORSE EN $d''$-COHOMOLOGIE
203
Pour $s<j\leq n-s$, l'in\'egalit\'e (1.14) donne d'autre part
$$
|l_{j}|<\frac{\mathrm{R}}{2\pi}\sqrt{\lambda_{+}},
$$
d'o\`u card $\displaystyle \{l_{j}\}\leq\frac{\mathrm{R}}{\pi}\sqrt{\lambda_{+}}+1$. La proposition 1.18 s'ensuit. $\square $
{\it Fin de la d\'emonstration} $du$ {\it th\'eor\`eme} 1.6 (minoration de $\mathrm{N}_{\mathrm{R}}(\lambda)$).
Pour minorer $\mathrm{N}_{\mathrm{R}}(\lambda)$, il suffit d'apr\`es 1.20 $(a)$ de construire un espace
vectoriel de dimension finie sur lequel $Q_{\mathrm{R}}(u)\leq\lambda||u||_{\mathrm{P}(\mathrm{R})}^{2}$. On consid\`ere
pour cela l'espace vectoriel $F_{\iota}$ des combinaisons lin\'eaires de $\langle\langle$ fonctions
propres $\rangle\rangle$ du type (1.9), assujetties aux conditions d'annulation au bord
(1.10), et somm\'ees sur les indices $(p,\swarrow)\in \mathrm{N}^{s}\times \mathrm{Z}^{n-s}$ tels que
$$
\lambda_{p,t'}+\frac{4\pi^{2}}{\mathrm{R}^{2}}|l''|^{2}\leq\lambda.
$$
D'apr\`es le raisonnement de la proposition 1.18, le nombre de conditions
(1.10) \`a r\'ealiser est major\'e par
$\displaystyle \sum_{j=1}^{s}[\mathrm{card}\{p_{j}\}\times\prod_{1\leq i\leq si\neq j}$, card $\displaystyle \{(p_{i},l_{i})\}\times\prod_{s<i\leq n-s}$ card $\{l_{i}\}]$
$+\displaystyle \sum_{s<j\leq n-s}[\prod_{1\leq i\leq s}$ card $\displaystyle \{(p_{i},l_{i})\}\times\prod_{s<i\neq j}$ card $\{t_{i}\}]\leq n(\mathrm{R}\sqrt{\lambda_{+}}+1)^{n-1}$.
L'entier $\mathrm{N}_{\mathrm{R}}(\lambda)$ est donc major\'e par
$\dim F_{\iota}\geq$ card $\{(p,\parallel)\in \mathrm{N}^{s}\mathrm{x} \displaystyle \mathrm{Z}^{n-s};\lambda_{p,t'}+\frac{4\pi^{2}}{\mathrm{R}^{2}}|l^{n}|^{2}\leq\lambda\}-\mathrm{O}(\mathrm{R}^{n-1})$.
En combinant la minoration du lemme 1.13 avec le lemme ci-dessous,
1'in\'egalit\'e $\displaystyle \lim \mathrm{infR}^{-n}\mathrm{N}_{\mathrm{R}}(\lambda)\geq \mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\lambda)$ r\'esulte alors de calculs analogues \`a
ceux que nous avons explicit\'es pour obtenir la majoration de $\mathrm{N}_{\mathrm{R}}(\lambda)$.
lemme 1.19. - {\it Soit} $p\in \mathrm{N}^{s}$ {\it un multi-indice fix\'e. Alors il existe une}
{\it constante} $\mathrm{C}=\mathrm{C}(p,\mathrm{B})\geq 0$ {\it telle que}
$$
\lambda_{p,J'}\leq(1+\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{R}})\sum_{j=1}^{s}(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}
$$
{\it lorsque} $|t_{j}|\displaystyle \leq\frac{\mathrm{B}_{j}\mathrm{R}^{2}}{4\pi}(1-\mathrm{R}^{-1}2),\ 1\leq j\leq s$.

204
JEAN-PIERRE DEMAILLY
{\it D\'emonstration}. --On utilise \`a nouveau le minimax et le fait que les
fonctions d'Hermite $\Phi_{p}(\sqrt{\mathrm{B}_{j}}t)$ sont une bonne approximation des
fonctions propres de $q$ sur tout intervalle assez grand de centre $0$.
Lorsque $|l_{j}|\displaystyle \leq\frac{\mathrm{B}_{j}\mathrm{R}^{2}}{4\pi}(1-\mathrm{R}^{-\frac{1}{2}})$ et $x_{j}\displaystyle \in]-\frac{\mathrm{R}}{2}\frac{\mathrm{R}}{2}[$, la variable
$t=x_{j}+\displaystyle \frac{2\pi l_{j}}{\mathrm{B}_{j}\mathrm{R}}$ qui appara\^{\i}t dans (1.8) d\'ecrit en effet un intervalle
contenant $]-\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{R}}}{2}\frac{\sqrt{\mathrm{R}}}{2}[$. On a donc $\lambda_{p_{j},t_{j}}\leq 1_{p_{j}}$ o\`u $(\lambda_{m})_{m\in \mathrm{N}}$ est la
suite des valeurs propres de la forme quadratique
$\displaystyle \tilde{q}(f)=\int[|\frac{df}{dt}|^{2}+(\mathrm{B}_{j}t)^{2}|f|^{2}]dt,\ f\displaystyle \in \mathrm{W}_{0}^{1}(]-\frac{\sqrt{\mathrm{R}}}{2},\ \displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{R}}}{2}[)$.
Soit $\chi_{\mathrm{R}}$ une fonction plateau \`a support dans $[-\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{R}}}{2}\frac{\sqrt{\mathrm{R}}}{2}]$, \'egale \`a 1
sur $[-\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{R}}}{4}\frac{\sqrt{\mathrm{R}}}{4}]$, dont la d\'eriv\'ee est major\'ee par $5/\sqrt{\mathrm{R}}$. Pour toute
combinaison lin\'eaire
$$
f=\sum_{m\leq \mathrm{p}_{j}}c_{m}\Phi_{m}(\sqrt{\mathrm{B}_{j}}t),
$$
la d\'ecroissance exponentielle des fonctions $\Phi_{m}$ \`a $1' \mathrm{infini}$ implique pour $\mathrm{R}$
assez grand 1'in\'egalit\'e
$$
||f||\leq(1+C_{1}\exp(-\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{C}_{1}}))||\chi_{\mathrm{R}}f||
$$
o\`u $\mathrm{C}_{1}=\mathrm{C}_{1}(p_{j}, \mathrm{B}_{j})>0$. On en d\'eduit par cons\'equent:
$$
\tilde{q}(\mathrm{x}\Phi\leq\tilde{q}0+\int_{|\mathrm{t}|>\sqrt{\mathrm{R}}/4}(\frac{10}{\sqrt{\mathrm{R}}}|f\frac{df}{dt}|+\frac{25}{\mathrm{R}}|f|^{2})dt
$$
$$
\leq\tilde{q}\omega+\int_{\mathrm{t}|>\sqrt{\mathrm{R}}/4}(\frac{1}{\mathrm{R}}|\frac{d}{dt}|^{2}+25(1+\frac{1}{\mathrm{R}})|f|^{2})dt
$$
$$
\leq(1+\frac{C_{2}}{\mathrm{R}})\tilde{q}\omega\leq(1+\frac{\mathrm{C}_{2}}{\mathrm{R}})(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{\mathrm{J}}\{|f||^{2}
$$
$$
\leq(1+\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{R}})(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}||\chi_{\mathrm{R}}f||^{2}.
$$
Ceci donne bien $\displaystyle \lambda_{p_{j},\swarrow j}\leq\lambda_{p_{j}}\leq(1+\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{R}})(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}.\ \square $

IN\'EGALIT\'ES DE MORSE EN $d''$-COHOMOLOGIE
205
Pour faciliter la t\^ache du lecteur, nous \'enon\c{c}ons maintenant le principe
du minimax sous la forme o\`u il nous a servi.
PROPOSITION 1.20 (principe du minimax, cf. [14], Vol. IV, p. 76 et 78). -
{\it Soit} $Q$ {\it une forme quadratique \`a domaine dense} $\mathrm{D}(Q)$ {\it dans un espace de}
{\it Hilbert} $\mathcal{X}$. {\it On suppose que} $Q$ {\it est born\'ee inf\'erieurement}, i.e.
$Q\omega \geq-\mathrm{C}||f||^{2}$ {\it si} $f\in \mathrm{D}(Q)$, {\it que} $\mathrm{D}(Q)$ {\it est complet pour la norme}
$||f||_{Q}=[Q(f)+(\mathrm{C}+1)||f||^{2}]^{\frac{1}{2}}$, {\it et enfin que} $!' injection$
$(\mathrm{D}(Q), \Vert||_{Q})\subset_{-\rangle}(\mathcal{P},\Vert||)$ {\it est compacte. Alors} $Q$ {\it a un spectre discret}
$\lambda_{1}\leq\lambda_{2}\leq\ldots$ , {\it et on a les \'egalit\'es}:
(a) $\displaystyle \lambda_{p}=\min_{F\subset \mathrm{D}(Q)f\in}\max_{F,||f||=1}Q(f)$,
{\it o\`u} $F$ {\it d\'ecrit l}'{\it ensemble des sous-espaces de dimension} $p$ {\it de} $\mathrm{D}(Q)$;
(b) $\displaystyle \lambda_{p+1}=\max_{F\subset \mathrm{D}(}\min_{Q)f\in F,||f||=1}Q(\int)$,
{\it o\`u} $F$ {\it d\'ecrit l}'{\it ensemble des sous-espaces} $||||_{Q}$-{\it ferm\'es de codimension} $p$ {\it de}
$\mathrm{D}(Q)$.
2. Distribution asymptotique du spectre
(cas d'un champ variable).
Nous nous pla\c{c}ons \`a nouveau dans le cadre g\'en\'eral d\'ecrit au d\'ebut du
\S 1. Notre objectif est d'\'etudier le spectre de la forme quadratique $Q_{\Omega,k}$
(cf. (1.3)) dans le cas d'un champ magn\'etique $\mathrm{B}$ et d'un champ \'electrique
V quelconques. Pour tout point $a\in M$, soit
\begin{center}
(2.1)   $\displaystyle \mathrm{B}(a)=\sum_{j=1}^{s}\mathrm{B}_{j}(a)dx_{j}\wedge dx_{j+s}$
\end{center}
1'\'ecriture r\'eduite de $\mathrm{B}(a)$ dans une base orthonorm\'ee convenable
$(dx_{1^{ }},\ldots,dx_{n})$ de $\mathrm{T}_{a}^{*}M$, o\`u $2s=2s(a)\leq n$ est le rang de $\mathrm{B}(a)$, et o\`u
$\mathrm{B}_{1}(a)\geq \mathrm{B}_{2}(a)\geq\ldots\geq \mathrm{B}_{s}(a)>0$ sont les modules des valeurs propres
non nulles de l'endomorphisme antisym\'etrique associ\'e. L'\'egalit\'e de
d\'efinition 1.5 permet de regarder $\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\lambda)$ comme une fonction du couple
$(a,\lambda)\in M\times$ R. Nous aurons besoin \'egalement de consid\'erer la fonction
$\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\lambda)$, continue \`a droite en $\lambda$, d\'efinie par:
\begin{center}
(2.2)   $\displaystyle \overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\lambda)=\lim_{0<\epsilon\rightarrow 0}\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\lambda+\epsilon)$.
\end{center}
Nous d\'emontrons alors la g\'en\'eralisation suivante du corollaire 1.7.

206
JEAN-PIERRE DEMAILLY
Th\'eOr\`eme 2.3. --{\it Lorsque} $k$ {\it tend vers} $+\infty$, {\it le nombre} $\mathrm{N}_{\Omega,k}(\lambda)$ {\it de}
{\it valeurs propres} $\leq\lambda$ {\it de} $Q_{\Omega,k}$ {\it v\'erifie l}'{\it encadrement asymptotique}
$$
\int_{\Omega}\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V}+\lambda)d\sigma\ \leq\lim\inf k^{-\frac{n}{2}}\mathrm{N}_{\Omega,k}(\lambda)
$$
$$
\leq\lim\sup k^{-\frac{n}{2}}\mathrm{N}_{\Omega,k}(\lambda)\leq\int_{\Omega}\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V}+\lambda)d\sigma.
$$
La fonction $\displaystyle \lambda\mapsto\int_{\Omega}\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V}+\lambda)d\sigma$ est croissante et continue \`a gauche;
elle n'a donc au plus qu un ensembl $e\mathcal{D}$ d\'enombrable de points de
discontinuit\'e. L'ensemble $\mathcal{D}$ est d'aille urs vide si $n$ est impair, car $\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\lambda)$
est alors continue. De l\`a, on d\'eduit aussit\^ot le
COROLLAIRE 2.4. - {\it On suppose que} $\partial\Omega$ {\it est de mesure nulle. Alors}
$$
\lim_{k\rightarrow+\infty}k^{-\frac{n}{2}}\mathrm{N}_{\Omega,k}(\lambda)=\int_{\Omega}\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V}+\lambda)d\sigma
$$
{\it pour tout} $\lambda\in \mathrm{R}\backslash \mathcal{D}$, {\it et la mesure de densit\'e spectrale} $k^{-\frac{n}{2}}\displaystyle \frac{d}{d\lambda}\mathrm{N}_{\Omega,k}(\lambda)$
{\it converge faiblement sur} $\mathrm{R}$ {\it vers} $\displaystyle \frac{d}{d\lambda}\int_{\Omega}\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V}+\lambda)$ {\it d}o. {\it S}\"{\i} $n$ {\it est impair}, $la$
{\it mesure limite est diffuse}. $\square $
Le lemme suivant montre que les int\'egrales du th\'eor\`eme 2.3 ont bien un
sens.
lemme 2.5.
(a) {\it On a les in\'egalit\'es} $\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\lambda)\leq\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\lambda)\leq\lambda_{+}^{n/2}$.
(b) $\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})$ (resp. $\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})$) {\it est semi-continue inf\'erieurement} (resp.
sup\'ereurement) {\it sur} M.
(c) {\it En tout point} $\chi \in M$ {\it o\`u} $s(x) <\displaystyle \frac{n}{2}$ {\it on a} $\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})(x)=\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})(x)$ {\it et}
$\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V}),\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})$ {\it sont continues en} $\chi$.
(d) {\it Si} $n$ {\it est impair}, $\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})=\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})$ {\it est continue sur} M.
{\it D\'emonstration}. $-(a)$ On a toujours $(\lambda-\Sigma(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j})^{\frac{n}{2+}-s}\leq\lambda^{\frac{n}{2+}-s}$, et
le nombre d'entiers $p_{j}$ tels que $\lambda-(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}$ soit $\geq 0$ est major\'e par

IN\'EGALIT\'ES DE MORSE EN $d''$-COHOMOLOGIE
207
$\displaystyle \frac{\lambda_{+}}{\mathrm{B}_{j}}$ Comme la quantit\'e num\'erque figurant dans (1.5) est major\'ee par 1,
1'in\'egalit\'e $(a)$ s'ensuit.
$(b, c)$ Le rang $s=s\{x)$ est une fonction semi-continue inf\'erieurement
sur $M$, et les valeurs propres $\mathrm{B}_{1},\ \mathrm{B}_{2},\ \ldots$, prolong\'ees par $\mathrm{B}_{j}(x) =0$
pour $j>s(x)$, sont continues sur M. Comme la fonction $\mathrm{t}\mapsto t_{+}^{\mathrm{o}}$
$($resp. $t\mapsto(t+0)_{+}^{0})$ est semi-continue inf\'ereurement (resp. sup\'ereure-
ment), la semi-continuit\'e de $\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})$ et $\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})$ pose un probl\`eme uniquement
aux points $a\in M$ au voisinage desquels $s(\mathrm{x})$ n'est pas localement
constant. En un tel point $a\in M$, on a n\'ecessairement $s(a)<\displaystyle \frac{n}{2}$, donc
$\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})(a)=\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})(a)$; on va alors montrer que $\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})$ et $\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})$ sont
continues en $a$. La continuit\'e des $\mathrm{B}_{j}$ donne $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\mathrm{B}_{j}(x) =0$ pour
$j>s(a)$. Si les entiers $p_{1},\ \ldots,\ p_{\mathrm{s}\langle a)}$ sont fix\'es, la sommation figurant
dans (1.5) peut s'interpr\'eter comme une somme de Riemann d'une int\'egrale
sur $\mathrm{R}^{s\langle x)-s(a)}$, et on a donc l'\'equivalent:
$\displaystyle \sum_{(p_{j};s(a)<j\leq s(x))}(\mathrm{V}(x)-\Sigma(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}(x))^{\frac{n}{2}-s\langle x)}$
$$
\sim\int_{\mathrm{e}\mathrm{R}^{s(x)-s(a)}}[\mathrm{V}(a)-\sum_{j=1}^{s\langle a)}(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}(a)-\sum_{j=s\langle a)+1}^{s\langle x)}2t_{j}\mathrm{B}_{j}(x)]^{\frac{n}{2+}-s(x)}dt
$$
$$
=\frac{2^{s\langle a)-s\langle x)}(\mathrm{V}(a)-\Sigma(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}(a))^{\frac{n}{2+}.-.s(a)}}{(\frac{n}{2}-s(x)+1)\cdots(\frac{n}{2}-s(a))\mathrm{B}_{s\langle a)+1}(x).\mathrm{B}_{s\langle x)}(x)}.
$$
On obtient bien par cons\'equent:
$$
\lim_{x\rightarrow a}\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})(x)=\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})(a)=\lim_{x\rightarrow a}\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})(x).
$$
$(d)$ Est un cas particulier de $(c)$.
$$
\square 
$$
La d\'emonstration du th\'eor\`eme 2.3 repose essentiellement sur deux
ingr\'edients: tout d'abord un principe de localisation asymptotique des
fonctions propre $\mathrm{s}$, qui s'obtient par application directe du minimax
(proposition 2.6); d'autre part, la connaissance explicite du spectre de
l'op\'erateur de Schr\^odinger associ\'e \`a un champ magn\'etique constant
(cf. \S 1). Le principe de localisation permet en effet de se ramener au cas
d'un champ constant en utilisant un pavage de $\Omega$ par des cube $\mathrm{s}$ assez
petits.

208
JEAN-PIERRE DEMAILLY
PROPOSITION 2.6. $-(\mathrm{a})$ {\it Si} $\Omega_{1},\ \cdots,\ \Omega_{\mathrm{N}}\subset\Omega$ {\it sont des ouverts} 2 {\it \`a} 2
{\it disjoints, alors}
$$
\mathrm{N}_{\Omega,k}(\lambda)\geq\sum_{j=1}^{\mathrm{N}}\mathrm{N}_{\Omega_{j},k}(\lambda).
$$
(b) {\it Soit} $(\Omega_{j}')_{1\leq j\leq \mathrm{N}}$ {\it un recouvrement ouvert de} $\Omega$ {\it et} $(\psi_{j})_{1\leq j\leq \mathrm{N}}$ {\it un}
{\it syst\`eme de fonctions} $\psi_{j}\in \mathcal{C}^{\infty}(\mathrm{R}^{n})$ {\it \`a support dans} $\Omega_{j}'$ , {\it telles que} $\Sigma\psi_{j}^{2}=1$
{\it sur} $\Omega$. {\it On pose}
$$
\mathrm{C}(\psi)=\sup_{\Omega}\sum_{j=1}^{\mathrm{N}}|d\psi_{j}|^{2}.
$$
{\it Alors}
$$
\mathrm{N}_{\Omega,k}(\lambda)\leq\sum_{j=1}^{\mathrm{N}}\mathrm{N}_{\alpha_{j^{k}}},(\lambda+\frac{1}{k}\mathrm{C}(\psi)).
$$
{\it D\'emonstration}. $-(a)$ {\it Soit} $F$ l{\it e C}-espace vectoriel engendr\'e par la
collection de toutes les fonctions propres des formes quadratiques $Q_{\Omega_{j},k}$,
$1\leq j\leq \mathrm{N}$, correspondant \`a des valeurs propres $\leq\lambda.\ \swarrow \mathcal{J}^{\cdot}$ est de
dimension
$$
\dim ???=\sum_{j=1}^{\mathrm{N}}\mathrm{N}_{\Omega_{j},k}(\lambda)
$$
et pour tout $u\in \mathcal{P}$, on a
$$
Q_{\Omega,k}(\mathrm{u})=\sum_{j=1}^{\mathrm{N}}Q_{\Omega_{j},k}(\mathrm{u})\leq\sum_{\mathrm{j}=1}^{\mathrm{N}}\lambda||u||_{\Omega_{j}}^{2}=\lambda||u||_{\Omega}^{2}.
$$
Le principe du minimax montre donc que les valeurs propres de $Q_{\Omega.k}$
d'indice $\leq\dim\swarrow 0^{-}$ sont $\leq\lambda$, d'o\`u 1'in\'egalit\'e $(a)$.
$(b)$ Pour tout $u\in \mathrm{W}_{0}^{1}(\Omega,E^{k})$ il vient
$$
\sum_{j}|\mathrm{D}_{k}(\psi_{J}\mathrm{u})|^{2}=\sum_{j}|\psi_{j}\mathrm{D}_{k}\mathrm{u}+(d\psi_{j})\mathrm{u}|^{2}=|\mathrm{D}_{k}u|^{2}+\sum_{j}|d\psi_{j}|^{2}|\mathrm{u}|^{2}
$$
car $2\Sigma\psi_{j}d\psi_{j}=d(\Sigma\psi_{j}^{2})=0$. On obtient donc
$$
\sum_{j=1}^{\mathrm{N}}Q_{\Omega_{j}',k}(\psi \mathrm{u})=Q_{\Omega,k}(\mathrm{u})+\int_{\Omega}\frac{1}{k}\sum_{j=1}^{\mathrm{N}}|d\psi_{j}|^{2}|u|^{2}d\sigma
$$
$$
\leq Q_{\Omega,k}(u)+\frac{1}{k}\mathrm{C}(\psi)||u||_{\Omega}^{2}.
$$
Si chaque fonction $\psi_{J}\mathrm{u}\in \mathrm{W}_{0}^{1}(\Omega_{j}, E^{k})$ est orthogonale aux fonctions

IN\'EGALIT\'ES DE MORSE EN $d''$-COHOMOLOGIE
209
propres de $Q_{\Omega_{j}',k}$ de valeurs propres $\displaystyle \leq\lambda+\frac{1}{k}C(\psi)$, on en d\'eduit
suitessivement
\begin{center}
$\displaystyle Q_{\alpha_{j^{k}}},(\psi_{J}u)>(\lambda+\frac{1}{k}C(\psi))||\psi_{J}u||_{\Omega_{j}}^{2}$, si $\psi_{J}u\neq 0$,
\end{center}
$Q_{\Omega,k}(u)>\lambda||u||_{\Omega}^{2}$, si $u\neq 0$.
Le principe du minimax 1.20 $(b)$ entra\^{\i}ne alors que $\mathrm{N}_{\Omega,k}(\lambda)$ est major\'e par
le nombre d'\'equations lin\'eaire $\mathrm{s}$ impos\'ees \`a $u$, {\it soit} au plus
$$
\sum_{j=1}^{\mathrm{N}}\mathrm{N}_{\alpha_{j^{k}}},(\lambda+\frac{1}{k}\mathrm{C}(\psi)).\ \square 
$$
Soit $\mathrm{W}_{1},\ \ldots,\ \mathrm{W}_{\mathrm{N}}$ un recouvrement de $\Omega$ par des ouvert $\mathrm{s}$ de carte de
la var\'et\'e M. Pour tout $\epsilon>0$, on peut trouver des ouverts $\Omega_{j}\subset\Omega_{j}'$
relativement compacts dans $\mathrm{W}_{j},\ 1\leq j\leq \mathrm{N}$, tels que
\begin{center}
(2.7)   $\Omega=\cup\Omega_{j}$ (disjointe), et $\mathrm{Vol}(\Omega)=\Sigma$ Vo $1(\Omega_{j})$,
(2.8)   $\Omega\subset\cup\Omega_{j}'$, {\it et} Vol $(\Omega)\leq\Sigma$ Vol $(\Omega_{j}')+\epsilon$.
\end{center}
La proposition 2.6 ram\`ene alors la preuve du th\'eor\`eme 2.3 au cas des
ouverts $\Omega_{j}$ et $\Omega_{j}'$ (on observera pour cela que la fonction $\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V}+\lambda)$ {\it est}
bom\'ee et que la constante $\mathrm{C}(\psi)$ est ind\'ependante de $k$).
En d\'efinitive, on peut supposer que $M=\mathrm{R}^{n}$, avec une m\'etrque
riemannienne $g$ quelconque. Comme $M=\mathrm{R}^{n}$ est contractile, le fibre' $E$
est alors trivial; soit A un potentiel vecteur de la connexion $\mathrm{D}$ et
$\mathrm{B}=d\mathrm{A}$ le champ magn\'etique correspondant. Nous d\'emontrons d'abord
la version locale suivante du th\'eor\`eme 2.3.
PROPOSITION 2.9. --{\it Soit} $a\in \mathrm{R}^{n}$ {\it un point fix\'e, et} $\mathrm{P}_{k}$ {\it une suite de pav\'es}
{\it cubiques ouverts tels que} $\mathrm{P}_{k}\ni a$. {\it On note} $r_{k}$ {\it la longueur} $du$ {\it c\^ot\'e de} $\mathrm{P}_{k}$, {\it et}
{\it on suppose que}
$$
r_{k}\leq 1,\ \lim k^{\frac{1}{2}}r_{k}=+\infty,\ \lim k^{\frac{1}{4}}r_{k}=0.
$$
{\it Alors quand} $k$ {\it tend vers} $+\infty$, {\it on a}
$$
\lim\inf\frac{k^{-\frac{n}{2}}}{\mathrm{V}\mathrm{o}1(\mathrm{P}_{k})}\mathrm{N}_{\mathrm{P}_{k},k}(\lambda)\geq \mathrm{v}_{\mathrm{B}(a)}(\mathrm{V}(a)+\lambda),
$$
$$
\lim\sup\frac{k^{-\frac{n}{2}}}{\mathrm{V}\mathrm{o}1(\mathrm{P}_{k})}\mathrm{N}_{\mathrm{P}_{k},k}(\lambda)\leq\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}\langle a)}(\mathrm{V}(a)+\lambda),
$$
210
JEAN-PIERRE DEMAILLY
{\it et pour tout compact} $\mathrm{K}\subset \mathrm{R}^{n},\ \mathrm{N}_{\mathrm{P}_{k},k}(\lambda)$ {\it admet la majoration}
$$
\mathrm{N}_{\mathrm{P}_{k},k}(\lambda)\leq \mathrm{C}_{\mathrm{K}}(1+r_{k}\sqrt{k(\lambda_{+}\neq\max_{\mathrm{K}}\mathrm{V}_{+})})^{n}
$$
{\it uniforme par rapport \`a} $a$, {\it d\`es fors que} $\mathrm{P}_{k}\subset$ K.
{\it D\'emonstration}. --On va se ramener au th\'eor\`eme 1.6 en effectuant une
homoth\'e {\it tie} de rapport $\sqrt{k}$ sur $\mathrm{P}_{k}$ (c'est pourquoi nous avons d\^u
supposer $\displaystyle \lim k^{\frac{1}{2}}r_{k}=+\infty$).
Le lemme suivant mesure combien le champ magn\'etique $\mathrm{B}$ d\'evie du
champ constant $\mathrm{B}(a)$ sur chaque $\mathrm{P}_{\mathrm{k}}$.
lemme 2.10. --{\it Sur chaque pav\'e} $F_{k}$, {\it on peut choisir un potentiel} \^A{\it k} $du$
{\it champ constant} $\mathrm{B}(a)$ {\it tel que pour tout} $\chi \in\overline{\mathrm{P}}_{k}$ {\it on ait}
$|$\^A{\it k}(x) $-\mathrm{A}(x)|\leq C_{1}r_{k}^{2}$,
{\it o\`u} $\mathrm{C}_{1}$ {\it est une constante} $\geq 0$ {\it ind\'ependante de} $k$ ({\it et ind\'ependante de a si a}
{\it d\'ecrit un compact} $\mathrm{K}\subset \mathrm{R}^{n}$).
La r\'egulart\'e $C^{\infty}$ de $\mathrm{B}$ entra\^{\i}ne en {\it effet} une majoration
$$
|\mathrm{B}(a)-\mathrm{B}(x)|\leq \mathrm{C}_{2}r_{\mathrm{k}},\ x\in \mathrm{P}_{k}.
$$
Soit $\mathrm{A}_{k}'$ un potentiel du champ $\mathrm{B}(a)-\mathrm{B}(x)$ sur le cube $\mathrm{P}_{k}$, calcul\'e au
moyen de la formule d'homotopie usuelle pour les ouverts \'etoiles. On a
alors
$$
|\mathrm{A}_{k}'(x)|\leq \mathrm{C}_{3}r_{k}^{2},
$$
et il suffit de poser \^A{\it k} $=\mathrm{A}+\mathrm{A}_{k}'.\ \square $
Notons $(x_{1},\ldots,x_{n})$ les coordonn\'ees standard de $\mathrm{R}^{n}$ Soit $(y_{1}\ldots,y_{n})$
un syst\`eme de coordonn\'ees lin\'eaires en $x_{1},\ \ldots,\ x_{n}$ tel que $(dy_{1},\ldots,dy_{n})$
soit une base orthonorm\'ee au point $a$ pour la m\'etrique $g$, et tel que dans
cette base $\mathrm{B}(a)$ s'\'ecrve sous la forme diagonale (2.1):
$$
\mathrm{B}(a)=\sum_{j=1}^{s}\mathrm{B}_{j}(a)dy_{j}\wedge dy_{j+s}.
$$
Soit $\tilde{g}$ la m\'etrque constante
$$
\tilde{g}\equiv g(a)=\sum_{j=1}^{n}dy_{j}^{2}.
$$
IN\'EGALIT\'ES DE MORSE EN $d''$-COHOMOLOGIE
211
D\'esignons par $\mathrm{D}_{k}=d+ik\mathrm{A}\wedge?,\ \text{{\it {\bf \^U}}} k=d+ik\mathrm{A}_{k}\wedge$? les connexions
sur $E^{k}|\mathrm{P}_{k}$ associ\'ees aux potentiels $\mathrm{A}$, \^A{\it k}, et par $Q_{k}=Q_{\mathrm{P}_{k},k},\ Q_{k}$ les
formes quadratiques associ\'ees respectivement aux connexions $\mathrm{D}_{k},\ \mathrm{D}_{k}$,
aux m\'etriques $g,\tilde{g}$, et aux potentiels scalaires V, $\tilde{\mathrm{V}}\equiv \mathrm{V}(a)$ (formule
(1.3) $)$.
lemme 2.11. --{\it Il existe une suite} $\epsilon_{k}$ {\it tendant vers} $0$ ({\it d\'ependant des} $r_{k}$,
{\it mais ind\'ependante de a si a d\'ecrit un compact} $\mathrm{K}\subset \mathrm{R}^{n}$) {\it telle que si} $\Vert\Vert_{g}$
{\it et} $||\Vert_{\xi}$ {\it d\'esignent les normes} $\mathrm{L}^{2}$ {\it globales associ\'ees aux m\'etriques} $g$ {\it et} $\tilde{g}$,
{\it on ait}
$$
(1-\epsilon_{k})||u||_{3}^{2}\leq||u||_{g}^{2}\leq(1+\epsilon_{k})||u||_{\tilde{g}}^{2},
$$
$$
(1-\epsilon_{k})Q_{k}(u)-\epsilon_{k}||u||_{E}^{2}\leq Q_{k}(u)\leq(1+\epsilon_{k})Q_{k}(u)+\epsilon_{k}\Vert u||_{g}^{2}
$$
{\it pour tout} $u\in \mathrm{W}_{0}^{1}(\mathrm{P}_{k})$.
Sur $\mathrm{P}_{k}$, on a en effet un encadrement:
$$
(1-\mathrm{C}_{4}r_{k})\tilde{g}\leq g\leq(1+\mathrm{C}_{4}r_{k})\tilde{g},
$$
et ceci donne la premi\`ere in\'egalit\'e double dans 2.11. Avec la notation
$\mathrm{A}_{k}'=$ \^A{\it k} --$\mathrm{A}$, on en d\'eduit
$\displaystyle Q_{k}(u)=\int_{\mathrm{P}_{k}}(\frac{1}{k}|\mathrm{D}_{k}u-tk\mathrm{A}_{k}'\wedge u|_{g}^{2}-\mathrm{V}|u|^{2})$ {\it do}
$$
\leq(1+\mathrm{C}_{5}r_{k})\int_{\mathrm{P}_{k}}(\frac{1}{k}|\mathrm{D}_{k}u-ik\mathrm{A}_{k}'\wedge u|\frac{2}{g}-\mathrm{V}(a)|u|^{2})d\tilde{\sigma}+\eta_{k}||u||\frac{2}{g}
$$
avec $\displaystyle \eta_{k}=\sup_{\mathrm{P}_{k}}|\mathrm{V}-\mathrm{V}(a)|+\mathrm{C}_{6}r_{k}$, quantit\'e qui tend vers $0$ lorsque $k$
{\it t}end vers $+\infty$. En utilisant l'in\'egalit\'e $(a+b)^{2}\leq(1+a)(a^{2}+\alpha^{-1}b^{2})$, le
lemme 2.10 implique d'autre part
$$
|\mathrm{D}_{k}u-tk\mathrm{A}_{k}'\wedge \mathrm{u}|\frac{2}{g}\leq(1+\alpha)[|\mathrm{D}_{k}\mathrm{u}|\frac{2}{g}+\alpha^{-1}\mathrm{C}_{1}^{2}k^{2}r_{\mathrm{k}}^{4}|\mathrm{u}|^{2}].
$$
Choisissons $\alpha=\alpha_{k}=\mathrm{C}_{1}\sqrt{k}r_{k}^{2}$. La suite $\alpha_{k}$ tend ve rs $0$ d'apr\`es
l'hypoth\`ese lim $k^{\frac{1}{4}}r_{k}=0$, et il vient
$$
\frac{1}{k}|\mathrm{D}_{k}u-ik\mathrm{A}_{k}'\wedge u|\frac{2}{g}\leq(1+\alpha_{k})[\frac{1}{k}|\mathrm{D}_{\mathrm{k}}u|_{\tilde{g}}^{2}+\alpha_{k}|u|^{2}].
$$
La majoration de $Q_{k}$ s'ensuit. La minoration s'obtient de m\^eme gr\^ace \`a
1'in\'egalit\'e $(a+b)^{2}\geq(1-\alpha)(a^{2}-\alpha^{-1}b^{2}).\ \square $

212
JEAN-PIERRE DEMAILLY
Le lemme 2.11 ram\`ene la preuve de la proposition 2.9 au cas o\`u la
m\'etrique $g$ e{\it t} le champ magn\'etique $\mathrm{B}$ sont constants:
$$
g=\sum_{j=1}^{n}dy_{j}^{2},\ \mathrm{B}=\sum_{j=1}^{n}\mathrm{B}_{j}dy_{j}\wedge dy_{j+\mathrm{s}}.
$$
On peut supposer de plus V $\equiv 0$ en effectuant la translation
$\lambda\mapsto\lambda+\mathrm{V}(a)$. La seule difficult\'e qui subsiste pour appliquer directement
le th\'eor\`eme 1.6 vient du fait que les cubes $\mathrm{P}_{k}$ deviennent en g\'en\'eral des
parall\'el\'epip\`edes obliques dans les coordonn\'ees $(y_{1^{ }},\ldots,y_{n})$; les angles
entre les diff\'erentes ar\^etes de chaque $\mathrm{P}_{k}$ e{\it t} les rapports de leurs longueurs
restent toutefois encadr\'es par des constantes $>0$. Pour r\'esoudre cette
difficult\'e, il suffit de paver chaque parall\'el\'epip\`ede $\mathrm{P}_{k}$ par des cubes $\mathrm{P}_{k,\alpha}$
dont les ar\^etes sont parall\`eles aux axes des coordonn\'ees $(y_{1^{ }},\ldots,y_{n})$.
Choisissons $\epsilon\in$] $0,1$ [. Pour tout oc $\in \mathrm{Z}^{n}$, soient $(\mathrm{P}_{k,\alpha}),\ (\mathrm{P}_{k,\alpha}')$ les cubes
ouverts de c\^ot\'es respectifs $\epsilon r_{k},\ \epsilon(1+\epsilon)r_{k}$, et de centre commun $\epsilon r_{k}\alpha$. On
se bomera \`a consid\'ere $\mathrm{r}$ les cubes $\mathrm{P}_{k,\alpha}$ contenus dans $\mathrm{P}_{k}$ et les cubes $\mathrm{P}_{k,\alpha}'$
rencontrant $\mathrm{P}_{k}$. On a alors
$$
\sum \mathrm{Vol}(\mathrm{P}_{k,\alpha})
$$
\begin{center}
(2.12)   $\displaystyle \mathrm{P}_{k}\supset\bigcup_{\alpha}\mathrm{P}_{k,\alpha}$ (disjointe), et $\displaystyle \frac{\alpha}{\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}(\mathrm{P}_{k})}\geq 1-\mathrm{C}_{7}\epsilon$,
$$
\sum \mathrm{Vol}(\mathrm{P}_{k,\alpha}')
$$
(2.13)   $\displaystyle \mathrm{P}_{k}\subset\bigcup_{\alpha}\mathrm{P}_{k.\alpha}',\ e\mathrm{t} \displaystyle \frac{\alpha}{\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}(\mathrm{P}_{k})}\leq 1+\mathrm{C}_{7}\epsilon$,
\end{center}
o\`u $\mathrm{C}_{7}$ est une constante ind\'ependante de $k$ (et aussi de $a$, si $a$ d\'ecrit un
compact). Le nombre de cube $\mathrm{sP}_{k,\alpha}\mathrm{P}_{k,\alpha}'$ qui figurent dans (2.12) ou (2.13)
est major\'e par $\mathrm{C}_{8}\epsilon^{-n}$. Comme les cubes $\mathrm{P}_{k,\alpha}'$ se recouvrent deux \`a deux
sur une longueur $\epsilon^{2}r_{k}$ lorsqu ils sont contigus, {\it o}n peut construire une
partition de l'unit\'e $\Sigma\psi_{k,\alpha}^{2}=1$ sur $\mathrm{P}_{k}$, avec $\mathrm{Supp}\psi_{k,\alpha}\subset \mathrm{P}_{k,\alpha}'$ et
$$
\sup_{\mathrm{P}_{k}}\sum_{\alpha}|d\psi_{k,\alpha}|^{2}=\mathrm{C}(\psi_{k})\leq \mathrm{C}_{9}(\epsilon^{2}r_{k})^{-2}
$$
L'hypoth\`ese lim $ k^{\frac{1}{2}}r_{k}=+\infty$ entra\^{\i}ne bien $\displaystyle \lim\frac{1}{k}\mathrm{C}(\psi_{k})=0$, ce qui
permet d'applique $\mathrm{r}2.6(b)$. Sur les cubes $\mathrm{P}_{k\alpha},\ \mathrm{P}_{k,\alpha}'$ nous sommes
:
maintenant dans la situation du th\'eor\`eme 1.6: apres homoth\'etie de rapport
$\sqrt{k}$, le c\^ot\'e du cube homoth\'etique $\sqrt{k}\mathrm{P}_{k,\alpha}$ vaut $\mathrm{R}_{k}=\epsilon r_{k}\sqrt{k}$ et tend
bien vers $+\infty$ par hypoth\`ese. La majoration uniforme de $\mathrm{N}_{\mathrm{P}_{k},k}(\lambda)$
r\'esulte de la proposition 1.18 et du fait que toutes nos constantes
$\mathrm{C}_{1},\ \ldots,\ \mathrm{C}_{9}$ \'etaient uniformes. La proposition 2.9 est d\'emontr\'ee. $\square $

IN\'EGALIT\'ES DE MORSE EN $d''$-COHOMOLOGIE
213
{\it D\'emonstration} $du$ {\it th\'eor\`eme} 2.3. - D'apr\`es la remarque pr\'ec\'edant la
proposition 2.9, nous pouvons supposer que $M=\mathrm{R}^{n}$ {\it et} que $\Omega$ est un
ouvert bom\'e de $\mathrm{R}^{n}$. L'id\'ee du raisonnement {\it est} de combiner les
propositions 2.6 {\it et} 2.9 en utilisant un pavage de $\Omega$ par des cubes de c\^ot\'e
$r_{k}=k^{-\frac{1}{3}}$. La mise en œuvre effective r\'eclame n\'eanmoins un peu de soin \`a
cause des difficult\'es li\'ee $\mathrm{s}$ \`a la non-uniformit\'e \'event uelle des $\displaystyle \lim \displaystyle \sup$ et
$\displaystyle \lim \displaystyle \inf$.
D\'esignons par $\Pi_{k,\alpha},\ \Pi_{k,\alpha}',\ \alpha\in \mathrm{Z}^{n}$, les cubes ouverts de c\^ot\'es respectifs
$$
k^{-\frac{1}{3}},\ k^{-\frac{1}{3}}(1+k^{-\frac{1}{8}})=k^{-\frac{1}{3}}+k^{-\frac{11}{24}}
$$
et de centre commun $ k^{-\frac{1}{3}}\alpha$. Soit I $(k)$ (resp. $\mathrm{I}'(k)$) l'ensemble des indice $\mathrm{s}$
$\mathrm{a}\in \mathrm{Z}^{n}$ tels que $\Pi_{k,\alpha}\subset\Omega ($resp. $\coprod_{k,\alpha}'\cap\Omega\neq\emptyset)$. Comme dans le
raisonnement de la proposition 2.9, il existe une partition de 1'unit\'e
$\displaystyle \sum_{\alpha\in \mathrm{I}'(k)}\psi_{k,\alpha}^{2}=1$ sur $\Omega$, avec $\mathrm{Supp}\psi_{k,\alpha}\subset\Pi_{k,\alpha}'$ et
$$
\mathrm{C}(\psi_{k})=\sup_{q}\sum_{\alpha\in \mathrm{I}'(k)}|d\psi_{k,\alpha}|^{2}\leq \mathrm{C}_{10}k^{\frac{11}{12}},
$$
d'o\`u $\displaystyle \lim\frac{1}{k}\mathrm{C}(\psi_{k})=0$. On pose
$$
\Omega_{k}=\bigcup_{\alpha\in \mathrm{I}(k)}\Pi_{k,\alpha},\ \Omega_{k}'=.\bigcup_{\alpha\in \mathrm{I}'(k)}\Pi_{k,\alpha}'
$$
et on consid\`ere pour tout $\lambda\in \mathrm{R}$ fix\'e, les fonctions sur $\mathrm{R}^{n}$ d\'efinies par
$$
f_{k}=k^{-\frac{n}{2}}\sum_{\alpha\in \mathrm{I}(k)}\mathrm{N}_{\Pi k}k,\alpha'(\lambda)\frac{1}{\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}(\Pi_{k,\alpha})}l_{\mathrm{n}_{k,\alpha}},
$$
$$
f_{k}'=k^{-\frac{n}{2}}\sum_{\alpha\in\Gamma(k)}\mathrm{N}_{\mathrm{n}_{k,\alpha}',k}(\lambda+\frac{1}{k}\mathrm{C}(\psi_{k}))\frac{1}{\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}(\Pi_{k,\alpha})}\eta_{\mathrm{n}_{k,\alpha}},
$$
o\`u $\eta_{\Pi}k,\alpha$ d\'esigne la fonction caract\'eristique de $\Pi_{k,\alpha}$. La proposition 2.6
implique l'encadrement
\begin{center}
(2.14)   $\displaystyle \int_{\mathrm{R}}.f_{\mathrm{k}}d\sigma \displaystyle \leq k^{-\frac{n}{2}}\mathrm{N}_{\Omega,k}(\lambda)\leq\int_{\mathrm{n}*}f_{k}'d\sigma$.
\end{center}
Soit $\chi \in \mathrm{R}^{n}$ un point fix\'e n'appartenant pas \`a l'ensemble n\'egligeable
$$
\mathrm{Z}\ =\bigcup_{k\in \mathrm{N}\alpha\in \mathrm{Z}^{*}}\partial\prod_{k,\alpha}.
$$
214
JEAN-PIERRE DEMAILLY
Il existe alors une suite d'indices $\alpha(k)\in \mathrm{Z}^{n}$ unique telle que $\chi \in\Pi_{k,\alpha\langle k)}$. La
proposition 2.9 appliqu\'ee \`a la suite des cubes $\mathrm{P}_{k}=\Pi_{k,\alpha\langle k)}$ (resp.
$\mathrm{P}_{k}'=\Pi_{k,\alpha\langle k)}')$ avec $\mathrm{Vol}(\mathrm{P}_{k})\sim \mathrm{VolP}_{k}'$ montre que les suites ponct telles
$f_{k}(x)=\displaystyle \frac{k^{-\frac{n}{2}}}{\mathrm{V}\mathrm{o}1(\mathrm{P}_{k})}\mathrm{N}_{\mathrm{P}_{k},k}(\lambda)1_{\Omega_{k}}(x),\ f_{k}'(x)=\displaystyle \frac{k^{-\frac{n}{2}}}{\mathrm{V}\mathrm{o}1(\mathrm{P}_{k})}\mathrm{N}_{\mathrm{P}_{k}',k}(\lambda)^{\eta_{\Omega_{k}'}}(x)$,
sont {\it t}elles que
(2.15) $\left\{\begin{array}{l}
\lim in\int f_{k}(x) \geq \mathrm{v}_{\mathrm{B}(x)}(\mathrm{V}(x)+\lambda)0_{\Omega}(x)\\
\lim \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}f_{k}'(x) \leq\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}(x)}(\mathrm{V}(x)+\lambda)\mathrm{t}_{\Omega}(\mathrm{x}).
\end{array}\right.$
La majoration uniforme de la proposition 2.9 entra\^{\i}ne d'autre part
l'existence de constantes $\mathrm{C}_{11},\ \mathrm{C}_{12}$ ind\'ependantes de $k,\ x$ {\it et} $\lambda$ telles que
$$
f_{k}(x)\ \leq f_{k}'(x)\ \leq \mathrm{C}_{11}(1+\sqrt{\lambda_{+}+\mathrm{C}_{12}})^{n}
$$
Le th\'eor\`eme 2.3 r\'esulte alors de (2.14), (2.15) et du lemme de Fatou.
$$
\square 
$$
En vue des applications \`a la g\'eom\'etrie complexe, nous aurons besoin
d'une l\'eg\`ere g\'en\'eralisation du th\'eor\`eme 2.3. On se donne un fibr\'e hermitien
$F$ de rang $r$ et de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ au-dessus de $M$, muni d'une connexion
hermitienne $\nabla$, {\it et} des sections continues $\mathrm{S}$ du fibr\'e
$\Lambda_{\mathrm{R}}^{1}\mathrm{T}^{*}X\otimes {}_{\mathrm{R}}H\mathrm{om}_{\mathrm{c}}(F,F)$ et V du fibre' Herm(F) des endomorphismes
hermitiens de F. Soit $\nabla_{k}$ la connexion hermitienne sur $E^{k}\otimes F$ induite
par les connexions $\mathrm{D}$ et V. Pour abr\'eger les notations, on d\'esignera
encore par $\mathrm{S}$ {\it et} V les endomorphismes $\mathrm{Id}_{E^{k}}\otimes \mathrm{S}$ et $\mathrm{Id}_{E^{k}}\otimes \mathrm{V}$ op\'erant
sur $E^{k}\otimes$ F. \'Etant donn\'e un ouvert $\Omega$ relativement compact dans $M$,
on consid\`ere la forme quadratique
$$
\Omega_{\eta,k}(\mathrm{u})=\int_{\Omega}(\frac{1}{k}|\nabla_{k}u+\mathrm{S}u|^{2}-\langle \mathrm{V}u,u\rangle)\ d\mathrm{o},
$$
o\`u $u\in \mathrm{W}_{0}^{1}(\Omega,E^{k}\otimes F)$. Soient $\mathrm{V}_{1}(\mathrm{x}) \leq \mathrm{V}_{2}(x)\leq\cdots\leq \mathrm{V}_{r}(x)$ les valeurs
propres de $\mathrm{V}(x)$ en tout point $ x\in$ M. On a alors le r\'esultat suivant.
Th\'eOr\`eme 2.16. --{\it La fonction de d\'enombrement} $\mathrm{N}_{\Omega.k}(\lambda)$. {\it des valeurs}
{\it propres de} $Q_{\Omega,k}$ {\it admet pour tout} $\lambda\in \mathrm{R}$ {\it les estimations asymptotiques}
$$
\lim_{k\rightarrow+}\inf_{\infty}k^{-\frac{n}{2}}\mathrm{N}_{\Omega.k}(\lambda)\geq\sum_{j=1}^{r}\int_{\Omega}\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V}_{j}+\lambda)d\sigma,
$$
$$
\lim_{k\rightarrow+}\sup_{\infty}k^{-\frac{n}{2}}\mathrm{N}_{\Omega.k}(\lambda)\leq\sum_{j=1}^{r}\int_{\Omega}\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V}_{j}+\lambda)\ do,
$$
{\it o\`u} $\mathrm{B}$ {\it est le champ magn\'etique associ\'e \`a la connexion} $\mathrm{D}$ {\it sur} E.

IN\'EGALIT\'ES DE MORSE EN $d''$-COHOMOLOGIE
215
{\it D\'emonstration}. -- Le principe de localisation 2.6 est encore valable
dans la pr\'esente situation. Il suffit donc de d\'emontrer les in\'egalit\'es 2.16
lorsque $\Omega$ est assez petit. Soit $a\in M$ un point fix\'e et $(e_{1}, \ldots,e_{r})$ un
rep\`ere orthonorm\'e $\mathcal{C}^{\infty}$ de $F$ au-de sous d'un voisinage $\mathrm{W}$ de $a$, tel que
$(e_{1}(a),\ldots,e_{r}(a))$ soit une base propre pour $\mathrm{V}(a)$. \'Ecrivons $u$ sous la
forme
$$
u=\sum_{j=1}^{r}u_{j}\otimes e_{j}
$$
o\`u $u_{j}$ {\it est} une section de $E^{k}$. Pour tout $\epsilon>0$, il existe un voisinage
$\mathrm{W}_{\epsilon}'\subset \mathrm{W}$ de $a$ sur lequel
$$
\sum_{j=1}^{r}(\mathrm{V}_{j}(a)-\epsilon)|u_{j}|^{2}\leq\langle \mathrm{V}u,u\rangle\leq\sum_{j=1}^{r}(\mathrm{V}_{j}(a)+\epsilon)|u_{j}|^{2}
$$
On a d'autre part
$$
\nabla_{k}u=\sum_{j=1}^{r}\mathrm{D}_{k}u_{j}\otimes e_{j}+u_{j}\otimes\nabla e_{j},
$$
et le terme $u_{j}\otimes\nabla e_{j}$ peut \^e{\it tre} absorb\'e dans S{\it u} (ce qui nous ram\`ene en
fait au cas o\`u la connexion $\nabla$ {\it est} plate). L'encadrement
$(1-k^{-\frac{1}{2}})|\nabla_{k}u|^{2}+(1-k^{1}5|\mathrm{S}u|^{2}\leq|\nabla_{k}u+\mathrm{S}u|^{2}$
$$
\leq(1+k^{-\frac{1}{2}})|\nabla_{k}u|^{2}+(1+k^{1}2\gamma|\mathrm{S}u|^{2}
$$
montre que l{\it e terme} S{\it u} ne modifie $Q_{\Omega,k}$ que par un facteur multiplicatif
1 $\pm\epsilon$ {\it et} par un facteur additif $\pm\epsilon||u||^{2}$ Pour tout $\epsilon>0$, Il existe
donc un voisinage $\mathrm{W}_{\epsilon}$ de $a$ et un entier $k_{0}(\epsilon)$ tels que
$$
(1-\epsilon)Q_{\Omega.k}(u)-\epsilon||u||^{2}\leq Q_{\Omega,k}(u)\leq(1+\epsilon)Q_{\Omega,k}(u)+\epsilon||u||^{2}
$$
d\`es que $k\geq k_{0}(\epsilon)$ et $\Omega\subset \mathrm{W}_{\epsilon}$, o\`u $Q_{\Omega,k}$ d\'esigne la forme quadratique
$$
Q_{\Omega,k}(u)=\sum_{j=1}^{r}\int_{\Omega}(\frac{1}{k}|\mathrm{D}_{k}u_{j}|^{2}-\mathrm{V}_{j}(a)|u_{j}|^{2})\ d\mathrm{o}.
$$
Comme $Q_{\Omega,k}$ {\it est} une somme directe de $r$ formes quadratiques, le spectre
de $Q_{\Omega.k}$ est la r\'eunion (compt\'ee avec multiplicit\'es) des spectres de chacun
des termes de la somme. Le th\'eor\`eme 2.16 s'ensuit.
$$
\square 
$$
216
JEAN-PIERRE DEMAILLY
3. Identit\'e de Bochner-Kodaira-Nakano
en g\'eom\'etrie hermitienne.
L'objet des paragraphes qui suivent est de tirer les cons\'equences du
th\'e$\grave{}$or\`eme de r\'epartition spectrale 2.16 pour 1'\'etude de la {\it d}''-cohomologie
des fibre's vectoriels holomorphes hermitiens. Dans ce but, nous aurons
besoin de relier le laplacien antiholomorphe $\Delta''$ \`a l'op\'erateur de
Schr\^odinger d'une conne xion r\'eelle ad\'equate. Ceci se fait au moyen d'une
formule particuli\`ere de type Weitzenb\^ock, connue en g\'eom\'etrie complexe
sous le nom d'identit\'e de Bochner-Kodaira-Nakano.
Soit X une vari\'et\'e analytique complexe compacte de dimension $n$ et
$F$ un fibr\'e vectoriel holomorphe he rmitien de rang $r$ au-dessus de X. On
sait qu il existe une unique connexion hermitienne $\mathrm{D}=\mathrm{D}'+\mathrm{D}''$ sur $F$
dont la composante $\mathrm{D}''$ de type (0,1) co\"{\i}ncide avec 1'op\'erateur $\partial$ du fibre'
(une telle connexion {\it est} dite holomorphe). Soit
$c(F)=\mathrm{D}^{2}=\mathrm{D}'\mathrm{D}''+\mathrm{D}''\mathrm{D}'$ la forme de courbure de F. Munissons X
d'une m\'etrique hermitienne arbitraire to de type (1,1) et de classe $\varphi\infty$
L'espace $\mathcal{C}_{p,q}^{\infty}$ (X,F) des sections de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ du $\mathrm{f}_{1}\mathrm{br} \acute{\mathrm{e}}\Lambda^{p,q}\mathrm{T}^{*}X\otimes F$ se
trouve alors muni d'une s{\it t} ructure pr\'ehilbe rtienne naturelle. On note
$6=6'+6''$ l'adjoint formel de $\mathrm{D}$ consid\'er\'e comme op\'erateur diff\'erentiel
sur $\mathcal{C}^{\infty}(X,F)$, et $\Lambda$ l'adjoint de l'op\'erateur $\mathrm{L}:u\mapsto(0 \wedge u$.
Nous utiliserons l'identit\'e de Bochner-Kodaira-Nakano sous la forme
g\'en\'erale d\'emontr\'ee dans [6], bien qu on puisse en fait se contenter, comme
le fait Y. T. Siu [16], [17], de la formule moins pr\'ecise donn\'ee par P.
Griffiths. Si $\mathrm{A},\ \mathrm{B}$ sont des op\'erateurs diff\'erentiels sur $\mathcal{C}^{\infty}(X,F)$, on
d\'efinit leur $\mathrm{anti}-\mathrm{c}\dot{\mathrm{o}}\mathrm{mmutat}e\mathrm{ur}$ [A,B] par la formule
[A,B] $=\mathrm{AB}-(-1)^{ab}\mathrm{BA}$
o\`u $a,\ b$ sont les degr\'es respectifs de A et B. Les op\'erateurs de Laplace-
Beltrami $\Delta'$ et $\Delta''$ sont alors donn\'es classiquement par
$$
\Delta'=[\mathrm{D}',\delta']=\mathrm{D}'\delta'+\delta'\mathrm{D}',\ \Delta''=[\mathrm{D}'', 6''].
$$
A la forme de torsion $d'\mathrm{o}$), nous associons l'op\'erate ur de multiplication
ext\'erieure $u\mapsto d'\mathrm{o}$) $\wedge u$ sur $\mathcal{C}^{\infty}(X,F)$, de type (2,1), not\'e simplement
{\it d}'eo, et 1'op\'erateur $\tau$ de type (1,0) d\'efini par $\tau =[\Lambda,d'\mathrm{o})]$. Nous posons
enfin
$$
\mathrm{D}_{\tau}'=\mathrm{D}'+\tau, \partial =(\mathrm{D}_{\tau}')^{*}=6'+\tau^{*},\ \Delta_{\tau}'=[\mathrm{D}_{\tau}',6_{\iota}'].
$$
IN\'EGALIT\'ES DE MORSE EN $d''$-COHOMOLOGIE
217
On a alors l'identit\'e suivante, pour une d\'emonstration de laquelle le lecteur
se reportera \`a [6].
PROPOSITION 3.1. $-\Delta''=\Delta_{\tau}'+[ic(F),\Lambda]+\mathrm{T}_{\mathrm{m}}$ {\it o\`u} $\mathrm{T}_{\omega}$ {\it est l}'{\it op\'erateur}
{\it d}'{\it ordre} $0$ {\it et de type} (0,0) {\it d\'efini par}
$$
\mathrm{T}_{\mathrm{t}0}=[\Lambda,[\Lambda,\frac{i}{2}d'd''(\mathrm{D}]]-[d'\mathfrak{c}0,(d'\mathrm{o}))^{*}].
$$
D'apr\`es la th\'eorie de Hodge-De Rham, le groupe de cohomologie
$H^{q}(X,F)$ s'identifie \`a l'espace des $(0,q)$ donne $\Delta''$-harmoniques \`a valeurs
dans F. Soit $u\in \mathcal{C}_{p.q}^{\infty}(X,F)$. La proposition 3.1 nous donne l'\'egalit\'e
\begin{center}
(3.2)   $\displaystyle \int_{\mathrm{x}}'|\mathrm{D}''\mathrm{u}|^{2}+|\delta''u|^{2}=\int_{\mathrm{x}}\langle\Delta''u,u\rangle$
\end{center}
$=\displaystyle \int_{\mathrm{x}}|\mathrm{D}_{\tau}'u|^{2}+|\delta_{\tau}'u|^{2} + \langle$[\^{\i}{\it c}(F),$\Lambda$]{\it u,u} $\rangle +\langle \mathrm{T}_{0)}\mathrm{u},u\rangle$,
o\`u les int\'egrales sont calcul\'ees relativement \`a l'\'el\'ement de volume
$ d\sigma =\displaystyle \frac{(\mathrm{D}^{n}}{n!}$. En particulier, si $u$ {\it est} de bidegr\'e $(0,q)$, on a $6_{\tau}'u=0$ par
raison de bidegr\'e, d'o\`u
\begin{center}
(3.3)   $\displaystyle \int_{\mathrm{x}}\langle\Delta''u,u\rangle=\int_{\mathrm{x}}|\mathrm{D}_{\tau}'u|^{2}+\langle[ic(F),\Lambda]u,u\rangle+\langle \mathrm{T}_{\omega}u,u\rangle$.
\end{center}
On p{\it eut} \'egalement consid\'erer $u$ comme une $(n,q)$ donne \`a valeurs dans le
fibre $F=$ F$\otimes$\"ATX; on notera $0 =\mathrm{D}'+\mathrm{D}''$ la connexion he rmitienne
holomorphe de $F$ {\it et} $\tilde{u}$ l'image canonique de $u$ dans $\mathcal{C}_{n,q}^{\infty}(\mathrm{x},F)$.
LEMME 3.4. - {\it On a des diagrammes commutatifs}
$\mathcal{C}_{0.q}^{\infty}(F) \rightarrow^{\mathrm{D}''}\mathcal{C}_{0,q+1}^{\infty}(F)$,
$\downarrow\sim \downarrow\sim$
$$
\mathrm{D}''
$$
$\mathcal{C}_{n,q}^{\infty}(F) \rightarrow \mathcal{C}_{n.q+1}^{\infty}(F)$,
$$
\rightarrow^{\Delta''}
$$
$\mathcal{C}_{\mathrm{O},q}^{\infty}(F) \mathcal{C}_{0,q}^{\infty}(F)$
$\downarrow\sim \downarrow\sim$
$$
\rightarrow^{\Delta''}
$$
$\mathcal{C}_{n,q}^{\infty}(F) \mathcal{C}_{n.q}^{\infty}(F)$
{\it o\`u les fl\`eches verticales sont les isom\'etries} $\mathrm{u}\mapsto\tilde{u}$.

218
JEAN-PIERRE DEMAILLY
{\it D\'emonstration}. --La commutativit\'e du diagramme de gauche r\'esulte
du fait que \"ATX est un fibre' holomorphe (on prendra garde au fait que le
r\'esultat correspondan $t$ pour $\mathrm{D}'$ {\it et} $\mathrm{D}'$ est faux). On a donc un diagramme
commutatif analogue pour les adjoints $\delta'',\ 8''$ e{\it t} pour $\Delta'',\ \Delta''.\ \square $
Le lemme 3.4 et l'identit\'e (3.2) nous donnent
\begin{center}
(3.5)   $\displaystyle \int_{\mathrm{x}}\langle\Delta''\mathrm{u},u\rangle=\int_{\mathrm{x}} \langle$\^A''u$\tilde{}$,u$\tilde{} \rangle$
$$
=\int_{\mathrm{x}}|\mathrm{S}_{c}'\tilde{u}|^{2}+\langle[ic(F),\Lambda]\tilde{u},\tilde{u}\rangle+\langle \mathrm{T}_{i0}\tilde{u},\tilde{u}\rangle.
$$
\end{center}
Nous allons maintenant transformer l\'eg\`erement l'\'ecriture de (3.3) et (3.5).
La connexion hermitienne holomorphe du fibre' $\Lambda^{q}\mathrm{T}^{*}X$ induit sur le fibr\'e
conjugu\'e $\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}X$ une connexion dont la composante de {\it t}ype (1,0)
co\"{\i}ncide avec l'op\'erateur $d'$. On en d\'eduit alors une connexion
hermitienne naturelle $\nabla$ sur le fibre' produit tensoriel $\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}X\otimes F$ (on
observera que ce fibr\'e vectoriel {\it n}'{\it est pas} holomorphe en g\'en\'eral si $q\neq 0$).
Soient V e{\it t} $\nabla''$ les composantes de $\nabla$ de type (1,0) et (0,1).
PROPOSITION 3.6. - {\it On a}
$$
\nabla'=\mathrm{D}'\ :\ \mathcal{C}^{\infty}(\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}X\otimes F)\rightarrow \mathcal{C}_{1,0}^{\infty}(\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}X\otimes F),
$$
{\it et il existe un diagramme commutatif}
$$
\mathcal{C}^{\infty}(\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}X\otimes F)\rightarrow^{\nabla''}\ \mathcal{C}_{0.1}^{\infty}(\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}X\otimes F)
$$
$$
\downarrow\sim\ \downarrow\Psi
$$
$$
\rightarrow^{\mathrm{S}'}
$$
$$
\varphi_{n,q}^{\infty}(F)\ \mathcal{C}_{n-1,q}^{\infty}(F)
$$
O{\it \`u les fl\`eches verticales sont des isom\'etries, celle de gauche \'etant donn\'ee par}
$u\mapsto\tilde{u}$.
{\it D\'emonstration}. -- L'\'egalit\'e V $=\mathrm{D}'$ provient du fait que la
composante de type (1,0) de la connexion de $\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}X$ co\"{\i}ncide avec $d'$.
Pour le diagramme, on commence par d\'efinir la fl\`eche verticale $\Psi$. Soit
$$
(?|?)\ :\ (\Lambda^{p_{\mathrm{i}},q_{1}}\mathrm{T}^{*}X\otimes F)\times(\Lambda^{p_{2},q_{2}}\mathrm{T}^{*}X\otimes F)\rightarrow\Lambda^{p_{1}+q_{2},q_{1}+p_{2}}\mathrm{T}^{*}X
$$
IN\'EGALIT\'ES DE MORSE EN $d''$-COHOMOLOGIE
219
$1' \mathrm{accoupl}e\mathrm{m}e\mathrm{nt}$ sesquilin\'eaire canonique induit par la m\'etrique sur les fibre $\mathrm{s}$
de $\mathrm{p}$, {\it et}
$$
*:\ \Lambda^{p,q}\mathrm{T}^{*}X\otimes F\rightarrow\Lambda^{n-q,n-p}\mathrm{T}^{*}X\otimes F
$$
l'op\'erateur de Hodge-De Rham-Poincar\'e d\'efini par
$(v|*w)=\langle v,w\rangle$ {\it d}o, $v,\  w\in\Lambda^{p,q}\mathrm{T}^{*}X\otimes$ F.
On en d\'eduit par composition une isom\'etrie
$$
\Psi_{0}:\Lambda^{0,1}\mathrm{T}^{*}X\otimes F\rightarrow^{\sim}\Lambda^{n,1}\mathrm{T}^{*}X\otimes F\rightarrow^{*}\Lambda^{n-1,0}\mathrm{T}^{*}X\otimes F
$$
et la fl\`eche $\Psi$ s'obtient par d\'efinition en tensorisant $-i^{-n^{2}}\Psi_{0}$ par
$\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}X$. Pour d\'emontrer la commutativit\'e, on suppose d'abord $q=0$.
Soit $u\in \mathcal{C}^{\infty}(F)$. On a classiquement
$$
\mathrm{S}'\tilde{u}=-*\mathrm{D}''*\tilde{u},
$$
et comme $\tilde{u}\in \mathcal{C}_{n,0}^{\infty}(F)$, il vient $*\tilde{u}=i^{-n^{2}}\tilde{u}$, d'o\`u
$\mathrm{S}'\tilde{u}=-i^{-n^{2}}*\mathrm{D}''\tilde{u}=-i^{-n^{2}}*\sim \mathrm{D}''u=-i^{-n^{2}}\Psi_{0}(\mathrm{D}''u)=\Psi(\nabla''u)$.
Dans le cas o\`u $q$ est quelconque, il suffit de trivialiser $\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}X$ au
voisinage d'un point $x$ arbitraire, en choisissant un rep\`ere orthonorm\'e
$(e_{1}, \ldots,e_{\mathrm{N}})$ de ce fibre' tel que $\nabla e_{1}(x)=\cdots=\nabla e_{\mathrm{N}}(x)=0.\ \square $
On consid\`ere maintenant les morphismes de fibre
$$
\mathrm{S}'\ :\ \Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}X\otimes F\rightarrow\Lambda^{1,\mathrm{O}}\mathrm{T}^{*}X\otimes\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}X\otimes F
$$
$$
\mathrm{S}''\ :\ \Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}X\otimes F\rightarrow\Lambda^{0,1}\mathrm{T}^{*}X\otimes\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}X\otimes F
$$
o\`u $\mathrm{S}'=\tau=[\Lambda,d'\omega]$, {\it et} o\`u $\mathrm{S}''$ est le relev\'e par les isom\'etries $\sim$ et $\Psi$ du
morphisme
\begin{center}
$\tau^{*}=[(d'\mathrm{co})^{*},\mathrm{L}]:\Lambda^{n,q}\mathrm{T}^{*}X\otimes F \rightarrow\Lambda^{n-1,q}\mathrm{T}^{*}X\otimes$ F.
\end{center}
D'apr\`es la proposition 3.6, on a
$$
|\mathrm{D}_{\tau}'u|=|\nabla'u+\mathrm{S}'u|,\ |\mathrm{S}_{\tau}'\tilde{u}|=|\nabla''u+\mathrm{S}''u|.
$$
Si on pose $\mathrm{S}=\mathrm{S}'\oplus \mathrm{S}''$, le $\mathrm{s}$ identit\'es (3.3) et (3.5) impliquent par addition
\begin{center}
(3.7)   2 $\displaystyle \int_{\mathrm{x}}\langle\Delta''u,u\rangle=\int_{\mathrm{x}}|\nabla u+Su|^{2}+\int_{\mathrm{x}}\langle[ic(F),\Lambda]u,u\rangle$
$$
+\int_{\mathrm{x}}\langle[ic(F),\Lambda]\tilde{u},\tilde{u}\rangle+\langle \mathrm{T}_{\omega}u,u\rangle+\langle \mathrm{T}_{\omega}\tilde{u},\tilde{u}\rangle
$$
\end{center}
pour tout $u\in \mathcal{C}_{0,q}^{\infty}(X,F)$.

220
JEAN-PIERRE DEMAILLY
Soit maintenant $E$ un fibre' holomorphe he rmitien de rang 1 au-dessus
de X. Pour tout entier $k$, on note $\mathrm{D}_{k}$ et $\nabla_{k}$ les connexions hermitiennes
naturelles sur les fibr\'es $F_{k}=E^{k}\otimes F$ et $\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}X\otimes F_{k}$, {\it et} on pose
$\Delta_{k}''=[\mathrm{D}_{k}'',6_{k}'']$. La courbure de $F_{k}$ (resp. $F_{k}$) est donn\'ee par
\begin{center}
(3.8)   $c(F_{k})=c(F)+kc(E)\otimes \mathrm{Id}_{F}$,
\end{center}
$($resp. $c(F_{k})=c(F) +kc(E)\otimes \mathrm{Id}_{F})$.
Rappelons, bien que ce soit inutile pour la suite, que
$c(F) =c(F)+c(\Lambda^{n}\mathrm{TX})\otimes \mathrm{Id}_{F}=c(F)+$ Ricci(cn) $\otimes \mathrm{Id}_{F}$.
Nous aurons donc besoin d'\'evaluer les termes $[ic(E),\Lambda]$. Pour tout point
$\chi \in X$, soient $\alpha_{1}(x)$ , $\alpha_{2}(x),\ \ldots,\ \alpha_{n}(x)$ les valeurs propres de $ic(E)(x)$
relativement \`a la m\'etrique hermitienne ro sur X. Il existe donc un
syst\`eme de coordonn\'ees locales $(z_{1^{ }},\ldots,z_{n})$ centr\'e en $\chi$ {\it tel} que
$(\displaystyle \frac{\partial}{\partial z_{1}'}\cdots'\frac{\partial}{\partial z_{n}})$ solt une base orthonorm\'ee de $\mathrm{T}_{X}X$, et tel que
$$
\omega(x)=\frac{i}{2}\sum_{j=1}^{n}dz_{j}\wedge d\overline{z}_{j},
$$
$$
ic(E)(x)=\frac{i}{2}\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}(x)\ dz_{j}\wedge d\overline{z}_{j}.
$$
Soit $(e_{1^{ }},\ldots,e_{r})$ un rep\`ere orthonorm\'e de la fibre $E_{x}^{k}\otimes F_{\mathrm{x}}$. Pour
$v\in\Lambda^{p,q}\mathrm{T}^{*}X\otimes F_{k}$, on peut \'ecrire
$$
v=\sum_{|\mathrm{I}|=p,|\mathrm{J}|=qf}v_{\mathrm{I},\mathrm{J},t}dz_{\mathrm{I}}\wedge d\overline{z}_{\mathrm{J}}\otimes e_{t},\ |v|^{2}=2^{p+q}\sum_{\mathrm{I}\mathrm{J},t}|v_{\mathrm{I}\mathrm{J},t}|^{2}
$$
Un calcul \'el\'ementaire, explicit\'e par exemple dans [6], donne la formule
\begin{center}
(3.9)   $\displaystyle \langle[ic(E),\Lambda]v,v\rangle=2^{p+q}\sum_{\mathrm{I},\mathrm{J},t}(\alpha_{\mathrm{I}}+\alpha_{\mathrm{J}}-\sum_{\mathrm{j}=1}^{n}\alpha_{j})|v_{\mathrm{I},\mathrm{J},\dot{\swarrow}}|^{2}$
\end{center}
avec $\displaystyle \alpha_{\mathrm{I}}=\sum_{j\epsilon \mathrm{I}}\alpha_{j}$. Soit $u\in\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}X\otimes F_{k}$. Posons
$$
u=\sum_{\mathrm{J},\prime}u_{\mathrm{J},t}d\overline{z}_{\mathrm{J}}\otimes e_{1}.
$$
D'apr\`es (3.9), il vient
$$
\langle[ic(E),\Lambda]u,\mathrm{u}\rangle=2^{q}\sum_{\mathrm{J},t}-\alpha_{\mathrm{t}\mathrm{J}}|u_{\mathrm{J},t'}|^{2},
$$
$\langle$[ic(E),A]{\it u}$\tilde{}$,\^u $\displaystyle \rangle=2^{q}\sum_{\mathrm{J},t}\alpha_{\mathrm{J}}|U_{\mathrm{J},J}|^{2}$

IN\'EGALIT\'ES DE MORSE EN $d''$-COHOMOLOGIE
221
Soit V Fendomorphisme hermitien de $\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}X\otimes F_{k}$ d\'efini par
\begin{center}
(3.10)   $\langle \mathrm{V}u,u\rangle=-\langle[ic(E),\Lambda]u,u\rangle-\langle$[i$c$(E),$\Lambda$]\^u,$u\tilde{} \rangle$
$$
=2^{q}\sum_{\mathrm{J},t}(\alpha_{\mathrm{t}^{\mathrm{J}}}-\alpha_{\mathrm{J}})|u_{\mathrm{J},t}|^{2}
$$
\end{center}
Les valeurs propres de V sont donc les coefficients $\alpha_{1^{\mathrm{J}}}-\alpha_{\mathrm{J}}$, compt\'es
avec multiplicit\'e $r=$ rang (F). Soit enfin $\Theta$ l'endomorphisme hermitien
d\'efini par
\begin{center}
(3.11)   $\langle\Theta \mathrm{u},u\rangle=\langle[ic(F),\Lambda]u,u\rangle+\langle[ic(F),\Lambda]\tilde{u},\tilde{u}\rangle$
$$
+\langle \mathrm{T}_{\omega}u,u\rangle+\langle \mathrm{T}_{\omega}\tilde{u},\tilde{u}\rangle.
$$
\end{center}
Les identit\'es (3.7-11) impliquent alors
\begin{center}
(3.12)   $\displaystyle \frac{2}{k}\int_{\mathrm{x}}\langle\Delta_{k}''u,u\rangle=\int_{\mathrm{x}}\frac{1}{k}|\nabla_{k}u+\mathrm{S}u|^{2}-\langle \mathrm{V}u,u\rangle+\frac{1}{k}\langle\Theta \mathrm{u},u\rangle$
\end{center}
o\`u les op\'erate urs $\mathrm{S},\ \mathrm{V},\ \Theta$ n'agissent que sur la composante $\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}X\otimes F$
de $\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}X\otimes F_{k}$. On va donc pouvoir utiliser le th\'eor\`eme 2.16 pour
d\'eterminer la distribution spectrale asymptotique de $\Delta_{k}''$, car le terme
$\displaystyle \frac{1}{k}\langle\Theta u,u\rangle$ tend vers $0$ en norme.
Soit $h_{k}^{q}(\lambda)$ le nombre de valeurs propres $\leq k\lambda$ de $\Delta_{k}''$ op\'erant sur
$\mathcal{C}_{0,q}^{\infty}(E^{k}\otimes F)$. Le champ magn\'etique $\mathrm{B}$ est ici donn\'e par
(3.13) $\displaystyle \mathrm{B}=-ic(E)=-\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}d\mathrm{x}_{j}\wedge dy_{j},\ z_{j}=x_{j}+iy_{j}$.
Compte-tenu que $\dim_{\mathrm{R}}X=2n$, le th\'eor\`eme 2.16 se transcrit comme suit.
Th\'eOr\`eme 3.14. --{\it Il existe un ensemble d\'enombrable} $\mathcal{D}$ {\it tel que pour}
{\it tout} $q=0,1,\ \ldots,\ n$ {\it et tout} $\lambda\in \mathrm{R}\backslash \mathcal{D}$ {\it on ait}
$$
h_{k}^{q}(\lambda)=rk^{n}\sum_{|\mathrm{J}|=q}\int_{\mathrm{x}}\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(2\lambda+a_{1^{\mathrm{J}}}-\alpha_{\mathrm{J}})\ d\mathrm{o}\ +o(k^{n})
$$
{\it lorsque} $k$ {\it tend vers} $+\infty$.

222
JEAN-PIERRE DEMAILLY
4. Complexe de Witten et in\'egalit\'es de Morse.
E. Witten[18], [19] a introduit r\'ecemment une nouvelle m\'ethode
analytique pour d\'emontrer les in\'egalit\'es de Morse en cohomologie de
de Rham. Nous adaptons ici sa m\'ethode pour 1'\'etude de la
$d''$ cohomologie. La principale diff\'erenoe r\'eside dans le fait que le champ
magn\'etique est toujours nul dans le cas de la cohomologie de de Rham (on
a en effet $d^{2}=0$!), $et$ c'est le champ \'electrique qui intervient seul dans ce
cas.
Avec les notations du \S 3, soit $\mathcal{P}_{k}^{q}(\lambda)\subset \mathcal{C}_{0,q}^{\infty}(X,E^{k}\otimes F)$ la somme
directe des sous-espaces propres de $\Delta_{k}''$ attach\'es aux valeurs propres
$\leq k\lambda.\ \mathcal{X}_{k}^{q}(\lambda)$ est donc un espace vectoriel de dimension finie
$$
h_{k}^{q}(\lambda)=\dim_{\mathrm{c}}????_{k}^{q}(\lambda).
$$
La th\'eorie de Hodge donne un isomorphisme
$$
H^{q}(X,E^{k}\otimes F)\simeq \mathcal{X}_{k}^{q}(0).
$$
On posera pour abr\'eger
$$
h_{k}^{q}=\dim H^{q}(X,E^{k}\otimes F)=h_{k}^{q}(0).
$$
PROPOSITION 4.1. $-\mathcal{X}_{\dot{k}}(\lambda)$ {\it est un sous-complexe} $du$ {\it complexe de}
{\it Do lbeault}
$$
\mathrm{D}_{k}'':\mathcal{C}_{0}^{\infty}.(X,E^{k}\otimes F).
$$
{\it De plus, l}'{\it inclusion} $\mathcal{X}_{\dot{k}}(\lambda)\subset\varphi_{0}^{\infty}.(X,E^{k}\otimes F)$ {\it et la projection orthogonale}
$$
\mathrm{P}_{\lambda}:\mathcal{C}_{0}^{\infty}.(X,E^{k}\otimes F)\rightarrow \mathcal{X}_{\dot{k}}(\lambda)
$$
{\it induisent en cohomologie des isomorphismes inverses l}'{\it un de l}'{\it autre}.
{\it D\'emonstration}. -- Le fait que $\mathcal{X}_{\dot{k}}(\lambda)$ soit un sous-complexe de
$\varphi_{0}^{\infty}.(X,E^{k}\otimes F)$ provient de la propri\'et\'e de commutation des op\'erateurs $\mathrm{D}_{k}''$
et $\Delta_{k}''$. Soit maintenant
$$
\mathrm{G}=\int_{\lambda>0}\frac{1}{\lambda}d\mathrm{P}_{\lambda}
$$
IN\'EGALIT\'ES DE MORSE EN $d''$-COHOMOLOGIE
223
l'op\'erateur de Green du laplacien $\Delta_{k}''$. Comme $[\mathrm{P}_{\lambda},\Delta_{k}'']=0$, on a les
relations $[\mathrm{G},\Delta_{k}'']=0$ et
$\Delta_{k}''\mathrm{G}+\mathrm{P}_{0}=$ Id.
De plus, $[\mathrm{P}_{\iota},\mathrm{D}_{k}'']=[\mathrm{G},\mathrm{D}_{k}'']=0$. On en d\'eduit donc
Id $-\mathrm{P}_{\lambda}=\Delta_{k}''\mathrm{G}(\mathrm{Id}-\mathrm{P}_{\lambda})+$ Po $(\mathrm{Id}-\mathrm{P},) =\Delta_{k}''\mathrm{G}(\mathrm{Id}-\mathrm{P}_{\lambda})$
$$
=\mathrm{D}_{k}''(\delta_{k}''\mathrm{G}(\mathrm{Id}-\mathrm{P}_{\lambda}))+(6_{k}''\mathrm{G}(\mathrm{Id}-\mathrm{P}_{1}))\mathrm{D}_{k}'',
$$
de sorte que 1'op\'erateur $6_{k}''\mathrm{G}(\mathrm{Id}-\mathrm{P}_{\lambda})$ est une homotopie entre Id et $\mathrm{P}_{\lambda}$.
$$
\square 
$$
On utilise maintenant un lemme classique simple d'alg\`ebre
homologique.
lemme 4.2. - {\it Soit}
$$
0\rightarrow \mathrm{C}^{0}\rightarrow^{d^{0}}\mathrm{C}^{1}\rightarrow^{d^{1}}.\text{ . . }\rightarrow \mathrm{C}^{n}\rightarrow 0
$$
{\it un complexe d}'{\it espaces vectoriels de dimensions finies} $c^{0},\ c^{1},\ \ldots,\ c^{n}$ {\it sur un}
{\it corps} K. {\it Soit} $h^{q}=\dim_{\mathrm{K}}H^{q}(\mathrm{C}^{\cdot})$. {\it Alors, on a les in\'egalit\'es suivantes}:
$(a)$ {\it In\'egalit\'es de Morse}: $h^{q}\leq c^{q},\ 0\leq q\leq n$.
$(b)$ {\it \'Egalit\'e des caract\'eristiques d}'{\it Euler-Poincar\'e} $\chi(H^{\cdot}(\mathrm{C}^{\cdot}))=\chi(\mathrm{C}^{\cdot})$:
$$
h^{0}-h^{1}+\cdots+(-1)^{n}h^{n}=c^{0}-c^{1}+\cdots+(-1)^{n}c^{n}
$$
{\it c}$)$ {\it In\'egalit\'es de Morse fortes}: {\it pour tout} $q,\ 0\leq q\leq n$,
$$
h^{q}-h^{q-1}+\cdots+(-1)^{q}h^{0}\leq c^{q}-c^{q-1}+\cdots+(-1)^{q}c^{\mathrm{o}}.
$$
{\it D\'emonstration}. -- Si $\mathrm{Z}^{q}=\mathrm{K}e\mathrm{r}d^{q}$ et $\mathrm{B}^{q}=$ I{\it m} $d^{q-1}$ ont pour
dimensions $z^{q}$ et $b^{q}$, 1'\'egalit\'e $(b)$ r\'esulte en effet des formules
$$
c^{q}=z^{q}+b^{q+1},\ h^{q}=z^{q}-b^{q},
$$
tandis que $(c)$ r\'esulte de $(b)$ appliqu\'e au complexe
$$
 0\rightarrow \mathrm{C}^{0}\rightarrow \mathrm{C}^{1}\rightarrow\ \rightarrow \mathrm{C}^{q-1}\rightarrow \mathrm{Z}^{q}\rightarrow 0.\ \square 
$$
-Si $F$ est un fibre' vectoriel holomorphe sur X, on d\'efinit sa
caract\'eristique d'Euler-Poincar\'e par
$\displaystyle \chi(X,F)=\sum_{q=0}^{n}(-1)^{q}\dim H^{q}$ (X,F).

224
JEAN-PIERRE DEMAILLY
En combinant la proposition 4.1 et le lemme 4.2, nous obtenons pour tout
$\lambda\geq 0$ et tout $q,\ 0\leq q\leq n$, l'in\'egalit\'e
$h_{k}^{q}-h_{k}^{q-1}+\cdots+(-1)^{q}h_{\mathrm{k}}^{0}\leq h_{k}^{q}(\lambda)-h_{k}^{q-1}(\lambda)+\cdots+(-1)^{q}h_{k}^{0}(\lambda)$.
\'Evaluons maintenant $h_{k}^{q}(\lambda)$ au moyen du th\'eor\`eme 3.14 et faisons tendre
$\lambda\in \mathrm{R}\backslash \mathcal{D}$ vers $0$ par valeurs $>0$. Il s'ensuit:
COROLLAIRE 4.3. - {\it On a les in\'egalit\'es asymptotiques}
$(a) h_{k}^{q}\leq k^{n}\mathrm{I}^{q}+o(k^{n})$
$(b) \chi(X,E^{k}\otimes F)=k^{n}(\mathrm{I}^{0}-\mathrm{I}^{1}+\cdots+(-1)^{n}\mathrm{I}^{n})+o(k^{n})$,
$(c) h_{\mathrm{k}}^{q}-h_{\mathrm{k}}^{q-1}+\cdots+(-1)^{q}h_{\mathrm{k}}^{0}\leq \mathrm{k}^{\mathrm{n}}(\mathrm{I}^{q}-\mathrm{I}^{q-1} +\cdots+(-1)^{q}\mathrm{I}^{\mathrm{o}})+o(k^{n})$,
o{\it \`u} $\mathrm{I}^{q}$ {\it d\'esigne l}'{\it int\'egrale de courbure}
$$
\mathrm{I}^{q}=r\sum_{|\mathrm{J}|=q}\int_{\mathrm{x}}\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\alpha_{[\mathrm{J}}-\alpha_{\mathrm{J}})\ d\mathrm{o}.
$$
D'apr\`es (3.13), les modules des vale urs propres du champ magn\'etique $\mathrm{B}$
sont les $|\alpha_{j}|,\ 1\leq j\leq n$. Pour tout point $x \in X$, rangeons ces valeurs
propres en sorte que
$|\alpha_{\mathrm{L}}\llcorner\geq|\alpha_{2}|\geq$. . . $\geq|\alpha_{s}|>0=|\alpha_{\mathrm{s}+1}|=$. . . $=|\alpha_{n}|,\ s=s(x)$.
La formule (1.5) donne
$\displaystyle \overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\alpha_{|\mathrm{J}}-\alpha_{\mathrm{J}})=\frac{2^{s-2\prime\prime}\pi^{-n}}{\Gamma(n-s+1)}|\alpha_{1}\ldots\alpha_{s}|_{(p_{1},\ldots p_{S})}\sum,\{\alpha_{[\mathrm{J}}-\alpha_{\mathrm{J}}-\Sigma(2p_{j}+1)|\alpha_{j}|\}_{+}^{n-s}$
avec la notation $\{\lambda\}_{+}^{0}=0$ si $\lambda<0$ {\it et} $\{\lambda\}_{+}^{0}=1$ si $\lambda\geq 0$. Comme la
quantit\'e $\alpha_{\mathrm{f}^{\mathrm{J}}}-\infty_{\mathrm{J}}-\Sigma(2p_{j}+1)|\alpha_{j}|$ est toujours $\leq 0,\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\alpha_{[\mathrm{J}}-\alpha_{\mathrm{J}})$ ne peut
\^etre non nul que si $s=n$. Dans ce dernier cas
$\alpha_{\mathrm{t}^{\mathrm{J}}}-\alpha_{\mathrm{J}}-\Sigma(2p_{j}+1)|\alpha_{j}|=0$ si et seulement si $p_{1}= =p_{n}=0$ et
$\alpha_{j}<0$ pour $j\in \mathrm{J},\ \alpha_{j}>0$ pour $j\in[$ J. Ceci entra\^{\i}ne que la forme $ic(E)$
est non d\'eg\'en\'er\'ee d'indice $q$. Pour $x\in X(q)$ (cf. notations de
$1' \mathrm{introduction})$ et $|\mathrm{J}|=q$, on a donc
$$
\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\alpha_{\mathrm{t}^{\mathrm{J}}}-\alpha_{\mathrm{J}})=(2\pi)^{-n}|a_{1}\ldots\alpha_{n}|>0
$$
si $\mathrm{J}$ est le multi-indice $\mathrm{J}(\mathrm{x})=\{j;\alpha_{j}(x)<0\}$ et $\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\alpha_{\mathrm{t}^{\mathrm{J}}}-\alpha_{\mathrm{J}})=0$ si
$\mathrm{J}\neq \mathrm{J}(x)$. Il s'ensuit
$\displaystyle \mathrm{I}^{q}=r\int_{X\langle q)}(2\pi)^{-n}(-1)^{q}\alpha_{1}\ldots \alpha_{n}d\sigma =\displaystyle \frac{r}{n!}\int_{X(q)}(-1)^{q}(\frac{i}{2\pi}c(E))^{n}$

IN\'EGALIT\'ES DE MORSE EN $d''$-COHOMOLOGIE
225
Le th\'eor\`eme fondamental 0.1 n'est alors qu une reformulation du
corollaire 4.3. Le raisonnement ci-dessus montre que les formes
harmoniques de $H^{q}(X,E^{\mathrm{k}}\otimes F)$ se concentrent asymptotiquement sur
$X(q)$, et qu en chaque point de X $(q)$ leur direction {\it t}end \`a s'aligner sur le
{\it q}-sous-espace de TX correspondant \`a la partie n\'egative de $ic(E)$. De
plus, seule la valeur propre d'\'energie minimale $p_{1}= =p_{n}=0$ de
$1' \mathrm{oscillat}e\mathrm{ur}$ harmonique intervient pour ce $\mathrm{s}$ formes. Pour $q=1$,
l'in\'egalit\'e de Morse forte 4.3 $(c)$ s'\'ecrit
$$
h_{k}^{1}-h_{k}^{0}\leq k^{n}(\mathrm{I}^{1}-\mathrm{I}^{0})+o(k^{n}),
$$
d'o\`u en particulier une minoration asymptotique du nombre de sections
holomorphes du fibre' $E^{k}\otimes$ F.
Th\'eOr\`eme 4.4. -
$$
\dim H^{0}(X,E^{k}\otimes F)\geq r\frac{k^{n}}{n!}\int_{X(\leq 1)}(\frac{i}{2\pi}c(E))^{n}-o(k^{n}).
$$
Plus g\'en\'eralement, l'addition des in\'egalit\'es 4.3 $(c)$ pour les indices
$q+1$ et $q-2$ entra\^{\i}ne
$$
h_{k}^{q+1}-h_{k}^{q}+h_{k}^{q-1}\leq k^{n}(\mathrm{I}^{q+1}-\mathrm{I}^{q}+\mathrm{I}^{q-1})+o(k^{n}),
$$
d'o\`u la minoration
(4.5) $\displaystyle \dim H^{q}(X,E^{k}\otimes F)\geq r\frac{k^{n}}{n!}\sum_{j=0,\pm 1}(-1)^{q}\int_{X(q+J)}(\frac{i}{2\pi}c(E))^{n}-o(k^{n})$.
5. Caract\'erisation des vari\'et\'es de MoiSezon.
Soit X une vari\'et\'e {\it C}-analytique compacte connexe de dimension $n$.
On appelle dimension alg\'ebrique de X, not\'ee $\mathrm{a}(X)$, le degr\'e de
transcendance sur $C$ du corps $\mathrm{K}(X)$ des fonctions m\'eromorphes sur X.
D'apr\`es un th\'eor\`eme bien connu de Siegel [15], la dimension alg\'ebrque de
X v\'erfie toujours l'in\'egalit\'e $0\leq a(X)\leq n$. Lorsque $a(X)=n$, on dit
que X est un espace de MoiSezon. Comme on va le voir, la dimension
alg\'ebrque de X impose asymptotiquement de fortes contraintes sur la
dimension des espaces de sections d'un fibre' vectoriel holomorphe.
Th\'eOr\`eme 5.1. --{\it Soit a la dimension alg\'ebrique de} $X,\ F$ {\it un fibr\'e}
{\it vectoriel} $ho$ {\it lomorphe de rang} $r$ {\it et} $E$ {\it un fibr\'e lin\'eaire sur} X. {\it Alors, il existe}

226
JEAN-PIERRE DEMAILLY
{\it une constante} $\mathrm{C}_{E}\geq 0$ {\it ne d\'ependant que de} $E$ {\it telle que}
dim $H^{0}(X,E^{k}\otimes F)\leq C_{E}rk^{a} +o(k^{a})$.
{\it D\'emonstration}. --Nous reprenons pour l'essentiel les arguments de
Y. T. Siu [16]. Soit $\{\mathrm{W}_{1}\}$ un recouvrement de X par des ouverts de
coordonn\'ees $\mathrm{W}_{f}\subset C^{n}$, et $\mathrm{B}_{j}=\mathrm{B}(a_{j},\mathrm{R}_{j}),\ 1\leq j\leq m$, une famille de
boules relativement compactes dans les ouverts $\mathrm{W}_{t}$, {\it t}elles que les boules
concentriques $\displaystyle \mathrm{B}_{j}'=\mathrm{B}(a_{j},\frac{1}{7}\mathrm{R}_{j})$ recouvrent X. Munissons $E,\ F$ de
m\'etrques hermitiennes, et soit exp $(-\varphi_{j})$ le poids repr\'esentant la
m\'etrque de $E$ dans une trivialisation de $E$ au voisinage de $\overline{\mathrm{B}}_{j}$.
Soit alors $s\in H^{0}(X,E^{k}\otimes F)$ une section holomorphe qui s'annule \`a
$1' \mathrm{ordr}ep$ en un point $x_{j}\in \mathrm{B}_{j}'$. Les inclusions
$$
\mathrm{B}_{j}'\subset \mathrm{B}(x_{j},\frac{2}{7}\mathrm{R}_{j})\subset \mathrm{B}(x_{j},\frac{6}{7}\mathrm{R}_{j})\subset \mathrm{B}_{j}
$$
et le lemme de Schwarz appliqu\'e aux deux boules interm\'ediaires entra\^{\i}nent
1'in\'egalit\'e
\begin{center}
(5.2)   $\displaystyle \sup_{\mathrm{B}_{j}'}|s|\leq e\mathrm{xp}(\mathrm{A}k+\mathrm{C}_{F})3^{-p}\sup_{\mathrm{B}_{j}}|s|$,
\end{center}
o\`u $\displaystyle \mathrm{A}=\max_{1\leq j\leq m}$ diam $\varphi_{j}(\mathrm{B}_{j})$ ne d\'epend que de $E$, et o\`u $\mathrm{C}_{F}$ est une
constante $\geq 0$ qui d\'epend de la m\'etrque de F.
Soit $\mathrm{p}\leq r=$ rang (F) le maximum pour $\mathrm{x} \in X$ de la dimension du
sous-espace de la fibre $F_{\mathrm{x}}$ engendr\'e par les vecteurs $s(x)$ lorsque $s$ d\'ecrit
$\displaystyle \bigcup_{k\in \mathrm{N}}H^{0}(X,E^{k}\otimes F)$. Si $\mathrm{p}=0$, alors $H^{0}(X,E^{k}\otimes F)=0$ pour tout $k$.
Distinguons maintenant deux cas suivant que $\mathrm{p}=1$ ou $\mathrm{p}>1$.
$(a)$ {\it Supposons} $\mathrm{p}=1$.
Soit $h_{\mathrm{k}}=\mathrm{di}mH^{0}(X,E^{k}\otimes F)$, suppos\'ee $>0$. Sous l'hypoth\`ese
$\mathrm{p}=1$, les sections globales de $E^{k}\otimes F$ d\'efinissent une application
holomorphe
$$
\Phi_{\mathrm{k}}:X\backslash \mathrm{Z}_{\mathrm{k}}\rightarrow \mathrm{P}^{h_{k}-1}(C)
$$
o\`u $\mathrm{Z}_{k}\subset X$ est le sous-ensemble analytique de leurs z\'eros communs. Soit
$d$ le rang maximum de $\Phi_{\mathrm{k}}'$ sur $X\backslash \mathrm{Z}_{\mathrm{k}}$. On a n\'ecessairement $d\leq a$, sinon
le corps des fractions rationnelles de $\mathrm{P}^{h_{k}-1}(C)$ induirait un corps de

IN\'EGALIT\'ES DE MORSE EN $d''$-COHOMOLOGIE
227
fonctions m\'eromorphes sur X de degr\'e de transcendance $\geq d>a$, ce
qui est absurde. Choisissons pour tout $j=1,\ \ldots,\ m$ un point $\chi_{j}\in \mathrm{B}_{j}'\backslash \mathrm{Z}_{k}$
tel que $\Phi_{k}'$ soit de rang maximum $=d$ en $\chi_{j}$, et soit $s_{0}\in H^{0}(X,E^{k}\otimes F)$
une section qui ne s'annule en aucun point $x_{j}$. Pour tout
$s\in H^{0}(X,E^{k}\otimes F)$, le quotient $s/s_{\mathrm{o}}$ est bien d\'efini en tant que fonction
m\'eromorphe sur X, et de plus $s/s_{\mathrm{o}}$ est une fonction holomorphe au
voisinage de $x_{j}$, constante le long des fibres de $\Phi_{k}$. Comme $\Phi_{k}$ est une
subimmersion au voisinage de chaque point $x_{j}$, on peut choisir une
sous-var\'et\'e $M_{j}$ de dimension $d$ passant par $x_{j}$ et transverse \`a la fibre
$\Phi_{k}^{-1}(\Phi_{\mathrm{k}}(x_{\mathrm{j}}))$. La section $s$ s'annulera \`a l'ordre $p$ en chaque point $x_{j}$,
$1\leq j\leq m$, si et seulement si les d\'eriv\'ees partielle $\mathrm{s}$ d'ordre $<p$ de $s/s_{0}$ le
long de $M_{j}$ s'annulent en $\chi_{j}$. Ceci correspond au total \`a l'annulation de
$$
m\left(\begin{array}{ll}
p+d & -1\\
d & 
\end{array}\right)
$$
d\'eriv\'ees. Si nous choisissons $p=[\mathrm{A}k+\mathrm{C}_{F}]+1$, alors 1'in\'egalit\'e (5.2)
entra\^{\i}ne
$$
\sup_{X}|s|\leq(\frac{e}{3})^{p}\sup_{X}|s|,
$$
d'o\`u $s=0$. Comme $d\leq a$, nous obtenons par cons\'equent
$$
\dim H^{0}(X,E^{k}\otimes F)\leq m\left(\begin{array}{ll}
p+a & -1\\
a & 
\end{array}\right)\leq \mathrm{C}_{E}k^{a}+o(k^{a})
$$
avec $\mathrm{C}_{E}=mA^{a}/a$ !.
$(b)$ {\it Supposons} $\mathrm{p}>1$.
Il existe alors des sections $s_{\mathrm{t}}\in H^{0}(X,E^{k_{\mathrm{t}}}\otimes F),\ 1\leq t\leq \mathrm{p}$, et un point
$\chi_{0}\in X$ tels que les vecteurs $s_{1}(x_{0}),\ \ldots,\ s_{\mathrm{p}}(x_{0})$ soient lin\'eairement
ind\'ependants. Par construction, pour tout $k\in \mathrm{N}$ et toute section
$s\in H^{0}(X,E^{k}\otimes F)$, la droite $C.s(x)$ est contenue dans le sous-espace
engendr\'e par $(s_{1}(x)_{ }\ldots,s_{\rho}(x))$, sauf peut-\^etre au-dessus du sous-ensemble
analytique $\{\mathrm{x} \in X;s_{1}\wedge\ldots\wedge s_{\mathrm{p}}(\mathrm{x})\}=0$. On a donc un morphisme injectif
$$
H^{0}(X,E^{k}\otimes F)\rightarrow\bigoplus_{1\leq \mathrm{t}\leq \mathrm{p}}H^{0}(X,E^{k+k_{\downarrow}^{\wedge}}\otimes\Lambda^{\mathrm{p}}F)
$$
o\`u $k_{\mathrm{t}}-=(k_{1}+\cdots+k_{\rho})-k_{\mathrm{t}}$, dont la composante d'indice $t$ est donn\'ee
par $s\rightarrow s_{1}\wedge\cdots\wedge\hat{s}_{\mathrm{t}}\wedge\cdots\wedge s_{\mathrm{p}}\wedge s$. L'image de $H^{\mathrm{o}}(X,E^{k}\otimes F)$ sur
chaque composante est form\'ee de sections colin\'eaires en presque tout point

228
JEAN-PIERRE DEMAILLY
\`a $s_{1}\wedge\cdots\wedge s_{\rho}$. On se retrouve donc dans une situation analogue \`a celle
du $(a)$, o\`u $F$ est remplac\'e par $E^{k_{\hat{t}}}\otimes\Lambda^{\rho}F$; par suite:
$$
\dim H^{0}(X,E^{k}\otimes F)\leq \mathrm{C}_{E}\mathrm{pk}^{\mathrm{a}}\ +o(k^{a}),\ \mathrm{p}\leq r.\ \square 
$$
Choisissons en particulier pour $F$ le fibre $\mathrm{tr}_{\mathrm{v}}\mathrm{ia}1$ X $\times C$. En
comparant les th\'eor\`emes 4.4 et 5.1, nous obtenons la caract\'erisation
g\'eom\'etrque suivante des var\'et\'es de MoiSezon.
Th\'eOr\`eme 5.2. - {\it Pour qu}'{\it une vari\'et\'e C-analytique compacte connexe}
{\it Xde dimension} $n$ {\it soit de Moishezon, il suffit qu}'{\it il existe un fibre en droites}
{\it holomorphe hermitien} $E$ {\it au-dessus de} X {\it tel que} $\displaystyle \int_{X(\leq 1)}(ic(E))^{n}>0.\ \square $
Ce th\'eor\`eme entra\^{\i}ne \`a son tour le th\'eor\`eme 0.8 puisque
0.8 $(c)\Rightarrow 0.8(b)\Rightarrow 0.8(a)$. On am\'eliore ainsi les r\'esultats de
Y. T. Siu[17][18], et on retrouve donc en particulier une nouvelle
d\'emonstration de la conjecture de Grauert-Riemenschneider [10].

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IN\'EGALIT\'ES DE MORSE EN $d''$-COHOMOLOGIE
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Manuscrit re\c{c}u le 30 mai 1985.
Jean-Pierre DEMAILLY,
Institut Fourier
Laboratoire de Math\'ematiques
Universit\'e de Grenoble 1
B.P. 74
38402 {\it S}t-Martin d'H\`eres {\it Cedex}.

\end{document}