\documentclass{eudml-infty} \usepackage{latexsym} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{bm} \pagestyle{empty} \newtheorem{axiom}{Axiom}[section] \newtheorem{theorem}{Theorem}[section] \newtheorem{corollary}{Corollary}[section] \newtheorem{proposition}{Propositioin}[section] \newtheorem{lemma}{Lemma}[section] \newtheorem{definition}{Definition}[section] \begin{document} Séminaire BOURBAKI Novembre 1998 51ème année, 1998-99, n${}^{\text{o}}$852 MÉTHODES $L^{2}$ ET RÉSULTATS EFFECTIFS EN GÉOMÉTRIE ALGÉ$\acute{}$BRIQUE par Jean-Pierre DEMAILLY 1. INTRODUCTION La théorie des systèmes linéaires adjoints a pour but $\mathrm{d}$ `étudier les espaces de sections $H^{0}(X,\ K_{X}+mL)$ associés à un fibre' en droites $L$ ample --ou du moins suffisamment positif --sur une variété algébrique projective $X$ de dimension $n$. La motivation principale est la construction de plongements d'une ``variété algébrique polarisée`, $(X,\ L)$ donnée dans un espace projectif complexe $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^{N}$, avec des bornes effectives explicites pour les degrés. À leur tour, de tels plongements peuvent être utilisés pour démontrer des théorèmes de finitude ou pour essayer de classifier les structures algébriques sur une variété de type topologique donné. On supposera tout au long de cet exposé que $X$ est lisse, définie sur $\mathbb{C}$, et on notera $K_{X}=\Lambda^{n}T_{X}^{\star},\ n=\dim X$, le {\it fibre en droites canonique} de $X$. On utilisera la notation additive usuelle pour le groupe de Picard: $K_{X}+mL$ est donc synonyme de $K_{X}\otimes L^{\otimes m}.\ \mathrm{L}$ `une des questions les plus motivantes pour la théorie des systèmes llnéaires adjoints a sans doute été la conjecture suivante, due à T Fujita [Fuj87, 88. Conjecture (Fujita). {\it Si} $L$ {\it est un fibre en droites ample sur une variété projective} $X$ {\it de dimension} $n$, {\it alors} (i) $K_{X}+mL$ {\it est engendré}$\acute{}$ {\it par ses sections pour} $m\geq n+1$. (ii) $K_{X}+mL$ {\it est très ample pour} $m\geq n+2$. À ce jour, la partie (ii) de la conjecture de Fujita semble encore hors de portée hormis le cas bien compris des dimensions 1 et 2 (cf I Reider [Rei87]), mais la partie (ii a fait 1`objet de nombreux travaux qui ont conduit à une réponse positive jusqu'en dimension 5 (Ein-Lazarsfeld [EL93] en dimension 3 Y Kawamata $[\mathrm{Kaw}97\mathrm{a}]$ en dimension 4 S Helmke [Hel98] en dimension 5). 59 \medskip {\it J}.-{\it P. DEMAILLY} Il faut observer que ce type de résultat, fournissant une borne universelle ne dépendant que de la dimension $n$ pour 1`entier $m$, se saurait être vrai pour les systèmes linéaires $H^{0}(X,\ mL)$. En effet, si $X$ est une courbe de genre $g$, il est bien connu que $H^{0}(X,\ mL)$ n'a pas de sections si $m0$ {\it tels que} $\Theta_{h}(L)\geq\epsilon\omega$. \end{definition} 61 \medskip {\it J}.-{\it P. DEMAILLY} Avant d'aller plus loin, nous discutons deux exemples fondamentaux. 2.1.5. Exemple. Soit $D=\displaystyle \sum\alpha_{j}D_{j}$ un diviseur à coefficients $\alpha_{j}\in \mathrm{Z}$ et soit $L=(9 (D)$ le faisceau inversible associé, défini comme le faisceau des fonctions méromorphes $u$ telles que $\mathrm{div}(u)+D\geq 0$; le fibré en droites correspondant peut alors être muni de la métrique singulière définie par $\Vert u\Vert=|u|$ (module de la fonction méromorphe $u$). Si $g_{j}$ est un générateur de l'ddéal de $D_{j}$ sur un ouvert $U\subset X$, alors $\displaystyle \tau(u)=u\prod g_{j}^{\alpha_{j}}$ définit une trivialisation de $(0(D)$ sur $U$, donc notre métrique singulière est associée au poids $\displaystyle \varphi=\sum\alpha_{j}\log|g_{j}|$. L'équation de Lelong-Poincaré ([Lel57, 69]) implique $$ \Theta(0(D))=\frac{i}{\pi}\partial\overline{\partial}\varphi=[D], $$ où $[D]=\displaystyle \sum\alpha_{j}[D_{j}]$ désigne le courant d'nntégration sur $D$. La courbure est semi- positive au sens des courants si et seulement si le diviseur $D$ est effectif (i.e. à coefh- cients $\alpha_{j}\geq 0$). 2.1.6. Exemple. Supposons que $\sigma_{1},\ \ldots,\ \sigma_{N}$ soient des sections holomorphes non nulles de $L$. On peut alors définir une métrique hermitienne naturelle $h$ (éventuelle- ment singulière) sur $L^{\star}$, en posant $\displaystyle \Vert\xi^{\star}\Vert^{2}=\sum_{1\leq j\leq n}|\xi^{\star}.\sigma_{j}(x)|^{2}$ pour $\xi^{\star}\in E_{x}^{\star}$. La métrique duale de $L$ est donnée par $$ \Vert\xi\Vert^{2}=\frac{|\tau.(\xi.)|^{2}}{|\tau(\sigma_{1}(x))|^{2}+\cdot+|\tau(\sigma_{N}(x))|^{2}} $$ par rapport à toute trivialisation locale $\tau$. La fonction poids associée est donc donnée par $\displaystyle \varphi(x)=\log(\sum_{1\leq j\leq N}|\tau(\sigma_{j}(x))|^{2})^{1/2}$. Notons $\Sigma=|\sigma_{1},\ \ldots,\ \sigma_{N}| :=$ Vect $(\sigma_{1},\ \ldots,\ \sigma_{N})$ le système linéaire défini par $\sigma_{1},\ \ldots,\ \sigma_{N}$ et $B_{\Sigma}=\cap\sigma_{j}^{-1}(0)$ son ensemble base. On a une application méromorphe $\Phi_{\Sigma}:X\backslash B_{\Sigma}\rightarrow P(\Sigma^{\star})\simeq \mathbb{P}^{N-1},\ x\mapsto\Phi_{\Sigma}(x)\simeq[\sigma_{1}(x):\sigma_{2}(x)\ :.\ .\ .\ :\sigma_{N}(x)]$, qui à $x$ associe $1' \mathrm{hyperplan}$ $$ \Phi_{\Sigma}(x)=\{\sigma=\sum\xi_{j}\sigma_{j};\sigma(x)=\sum\xi_{j}\sigma_{j}(x)=0\}\subset\Sigma. $$ 62 \medskip (852) {\it MÉTHODES} $L^{2}$ {\it ET RÉSULTATS EFFECTIFS} Avec ces notations, la courbure $\Theta_{h}(L)$ restreinte à $X\backslash B_{\Sigma}$ s'identifie à Pimage-inverse par $\Phi_{\Sigma}$ de la métrique de Fubini-Study $\displaystyle \omega_{\mathrm{F}\mathrm{S}}=\frac{i}{2\pi}\partial\overline{\partial}\log(|z_{1}|^{2}+\cdots+|z_{N}|^{2})$ sur $\mathbb{P}^{N-1}$. Le courant $\Theta_{h}(L)$, qui est de bidimension $(n-1,\ n-1)$, ne peut porter de masse sur $B_{\Sigma}$ lorsque $B_{\Sigma}$ est de codimension $\geq 2$, mais il peut se produire que $B_{\Sigma}$ ait une {\it composante} divisorielle égale au pgcd $D$ des diviseurs $\sigma_{j}=0$. Dans ce cas, on vérifie aisément que $\Theta_{h}(L)$ est égal au courant $\mathrm{d}$ `intégration $[D]$ en restriction à $B_{\Sigma}$. Dans tous les cas, $\Theta_{h}(L)$ est un courant positif fermé. 2.2. Identité de Bochner-Kodaira-Nakano Dans cette section, on désigne par $(L,\ h)$ un fibre' holomorphe hermitien au-dessus $\mathrm{d}$ une variété complexe $X$, tel que la métrique $h$ soit de classe $C^{\infty}$. Rappelons tout $\mathrm{d}$ `abord le lemme classique suivant (voir par exemple [GH78]). \begin{lemma} 2.2.1. Lemme. {\it Il existe une unique connexion} $D=\nabla+\overline{\nabla}$ {\it sur} $L$, {\it dite connexion de} {\it Chern, ayant les proprie}'{\it te}'{\it s suivantes}: (i) $D$ {\it opère sur les sections} $C^{\infty}$ {\it des fibres} $\Lambda,\ T_{X}^{\star}\otimes L$, {\it la composante} $\nabla$ ({\it resp}. $\overline{\nabla}$) {\it en}- {\it voyant les formes de type} $(p,\ q)$ {\it dans les formes de type} $(p+1,\ q)$, ({\it respectivement} $(p,\ q+1))$. (ii) $D$ {\it satisfait la règh de Leibnitz, à savoir} $D(f\wedge u)=df\wedge\nabla u+(-1)^{\deg f}f\wedge\nabla u$, {\it si} $f$ {\it est une forme à valeurs scalaires et} $u$ {\it une forme à valeurs dans} $L$. (iii) $D$ {\it est holomorphe}'', {\it i.e}. $\overline{\nabla}=\overline{\partial}$. (iv) $D$ {\it est hermitienne}, $i.e$. {\it la me}'{\it trique} $h$ {\it est une section paarlllèl} $du$ {\it fibre des ma}- {\it trices hermitiennes} Herm $(E)\subset E^{\star}\otimes\overline{E}^{\star}$. \end{lemma} Si $L_{|U}\simeq U\times \mathbb{C}$ est localement ttivialisé et si la méétriqu $h$ ddOnné par un poids $e^{-\varphi}$, on vérifie facilement que \begin{center} (2.2.2) $\nabla u=\partial u-2\partial\varphi\wedge u,\ \overline{\nabla}u=\overline{\partial}u,\ D^{2}u=(\nabla\overline{\nabla}+\overline{\nabla}\nabla)u=2\partial\overline{\partial}\varphi\wedge u$, \end{center} en sorte que $\displaystyle \frac{i}{2\pi}D^{2}u=\Theta_{h}(L)\wedge u$. On suppose maintenant que $X$ est munie d'une métrique hermitienne $\omega =i\displaystyle \sum_{1\leq j,k\leq n}\omega_{jk}(z) dz_{j}\wedge d\overline{z}_{k}$ ddéfni positive. Une telle métrique permet de définir des normes $L^{2}$ et des espaces de sections $L^{2}$ globales $L^{2}(X,\ \Lambda^{p,q}T_{X}^{\star}\otimes L)$ en posant $$ \Vert u\Vert^{2}=\Vert u\Vert_{\omega,h}^{2}=\int_{X}|u|_{\omega}^{2}e^{-2\varphi}dV_{\omega}, $$ où $dV_{\omega}=\displaystyle \frac{1}{n!}w^{n}$ est 1`élément de volume kkhhérienn $|u|_{\omega}$ la norme ponctuelle induite par $\omega$ sur $\Lambda^{p,q}T_{X}^{\star}$ et $e^{-\varphi}$ le poids de la métrique $h$ suu $L$ (il $\mathrm{y}$ a quelque abus dans 63 \medskip {\it J}.-{\it P. DEMAILLY} cette notation, car le poids $\varphi$ n'est pas global, mais on utilisera tout de même cette notation par souci de simplicité). La norme $L^{2}$ permet de définir des {\it adjoints} formels $\nabla^{\star}$ et $\overline{\nabla}^{\star}$, de types respectifs (-1,0) et $(0,\ -1)$, et on considère les opérateurs de Laplace-Beltrami associés $$ \triangle=DD^{\star}+D^{\star}D,\ \square =\nabla\nabla^{\star}+\nabla^{\star}\nabla,\ \overline{\square }=\overline{\nabla}\overline{\nabla}^{\star}+\overline{\nabla}\overline{\nabla}. $$ On a alors l'ddentité fondamentale suivante. 2.2.3. Identité de Bochner-Kodaira-Nakano. {\it Si} $\omega$ {\it est kàhlérienne, les laplaciens} $\triangle,\ \square ,\ \overline{\square }$ {\it vérifient} $\triangle=\square +\overline{\square }$ {\it e}f $$ \overline{\square }=\square +[\Theta_{h}(L),\ \Lambda] $$ {\it où} $\Lambda$ {\it est l}'{\it adjoint de l}'{\it ope}'{\it rateur} $s \mapsto\omega \wedge s,\ \Theta_{h}(L)$ {\it l}'{\it ope}'{\it rateur de multiplication par} {\it le tenseur de courbure de} $(L,\ h)$ {\it et} $[\cdot,\ ]$ {\it le crochet de commutation}. En chaque point $x\in X$, on peut choisir un système de coordonnées $(z_{1},\ \ldots,\ z_{n})$ qui diagonalise simultanément les formes hermitiennes $\omega(x)$ et $\Theta_{h}(L)(x)$, de telle manière que $$ \omega(x)=i\sum_{1\leq j\leq n}dz_{j}\wedge d\overline{z}_{j},\ \Theta_{h}(L)(x)=i\sum_{1\leq j\leq n}\gamma_{;i}dz_{j}\wedge d\overline{z}_{j} $$ avec $\gamma_{1}\leq\cdots\leq\gamma_{n}$. Les valeurs propres de courbure $\gamma_{j}=\gamma_{j}(x)$ sont alors définies de manière unique et continues en $x$. Pour toute $(p,\ q)$-forme $u=\displaystyle \sum u_{JK}dz_{J}\wedge d\overline{z}_{K}\otimes s$ (avec $s$ section holomorphe trivialisante de $L,\ |s|_{h}=e^{-\varphi}$), un calcul explicite donne $$ \{[i\Theta_{h}(L),\ \Lambda]u,\ u\rangle=\sum_{|J|=p,|K|=q}(\sum_{j\in J}\gamma_{j}+\sum_{j\in K}\gamma_{j}-\sum_{1\leq j\leq n}\gamma_{j})|u_{JK}|^{2}e^{-2\varphi} $$ \begin{center} (2.2.4) $\geq(\gamma_{1}+\cdots+\gamma_{q}-\gamma_{n-p+1}-\cdots-\gamma_{n})|u|^{2}e^{-2\varphi}$. \end{center} Comme $\langle\langle\overline{\coprod}u,\ u\}\rangle=\Vert\overline{\nabla}u\Vert^{2}+\Vert\overline{\nabla}^{\star}u\Vert^{2}$, on déduit de (2.2.3) et (2.2.4) l'nnégalité fon- dament ale \begin{center} (2.2.3) $\displaystyle \Vert\overline{\nabla}u\Vert^{2}+\Vert\overline{\nabla}u\Vert^{2}\geq\int_{X}(\gamma_{1}+\cdots+\gamma_{q}-\gamma_{n-p+1}-\cdots-\gamma_{n})|u|^{2}e^{-\varphi}dV_{\omega}$. \end{center} Supposons que $\Theta_{h}(L)$ soit positive. Dans ce cas, il est naturel de munir $X$ de la métrique kàhlérienne particulière $\omega =\Theta_{h}(L)$. Alors $\gamma_{j}=1$ pour $j=1,2,\ \ldots,\ n$ et on obtient l'égalité $\Vert\overline{\nabla}u\Vert^{2}+\Vert\overline{\nabla}^{\star}u\Vert^{2}=(p+q-n)\Vert u\Vert^{2}$. Ceci implique en particulier 64 \medskip (852) {\it MÉTHODES} $L^{2}$ {\it ET RÉSULTATS EFFECTIFS} que les formes $\overline{\square }$-harmoniques sont nulles en tout bidegré $(p,\ q)$ tel que $p+q>n$, $\mathrm{d}$ `où le 2.2.6. Théorème d'annulation de Kodaira-Akizuki-Nakano. {\it Si} $(L,\ h)$ {\it est un} {\it fibré en droites à courbure positive sur une variéJté}$\acute{}$ {\it complexe compacte} $X$, {\it alors} $H^{p,q}(X,\ L)=H^{q}(X,\ \Omega_{X}^{p}\otimes L)=0$ {\it pour} $p+q>n=\dim X$. Observons cependant que le théorème de Kodaira-Akizuki-Nakano n'est pas vala- ble dans le cas de fibrés munis de métriques $h$ singulières (et en particulier, dans le cas de systèmes linéaires ayant un ensemble-base non trivial), car $\omega$ doit être lisse et le choix t{\it o} $=\Theta_{h}(L)$ n'est pas permis dans ce cas. 2.3. Estimations $L^{2}$ de Hörmander-Andreotti-Vesentini Dans cette section, on s`affranchit complètement de toute hypothèse de régularité sur la métrique $h$ de $L$. On suppose simplement que $\Theta_{h}(L)$ est un courant positif Les coefficients de ce courant sont alors des mesures, ses valeurs propres par {\it rapport} à la métrique de référence t{\it o} sont évaluées en considérant la partie absolument continue de $\Theta_{h}(L)$ par {\it rapport} à la mesure de Lebesgue (et en négligeant la partie singullère). \begin{theorem} 2.3.1. Théorème. {\it Soit} $(X,\ \omega)$ {\it une varie}'{\it ie}' {\it kâhlérienne}, $\dim X=n$. {\it On suppose} {\it que} $X$ {\it est ou bien compacte ou bien faiblement pseudoconvexe, au sens où} $X$ {\it pos}- {\it sède une fonction d}'{\it exhaustton} $C^{\infty}$ {\it faiblement plurisousharmonique. Soit} $(L,\ h)$ {\it un} {\it fibre en droites holomorphe muni d}'{\it une me}'{\it trique hermitienne} $sin9^{g}$ {\it llièr à courbure} $\Theta_{h}(L)\geq 0$, {\it et soient} $$ \gamma_{1}(x)\leq\cdots\leq\gamma_{n}(x) $$ {\it les valeurs propres de courbure de} $\Theta_{h}(L)$ {\it par rapport à la me}$\acute{}${\it étriq} $e$ t{\it o en tout point}. {\it Alors pour toute forme} $g\in L^{2}(X,\ \Lambda^{n,q}T_{X}^{\star}\otimes E)$ {\it telle que} $$ \overline{\partial}g=0\ et\ \int_{X}(\gamma_{1}+\cdots+\gamma_{q})^{-1}|g|^{2}e^{-2\varphi}dV_{\omega}<+\infty, $$ ({\it on suppose donc} $g(x)=0$ {\it presque partout aux points où} $\gamma_{1}(x)+\cdots+\gamma_{q}(x)=0$), {\it il} {\it existe} $f\in L^{2}(X,\ \Lambda^{n,q-1}T_{X}^{\star}\otimes E)$ {\it telle que} $$ \overline{\partial}f=g\ et\ \int_{X}|f|^{2}e^{-2\varphi}dV_{\omega}\leq\int_{X}(\gamma_{1}+\cdots+\gamma_{q})^{-1}|g|^{2}e^{-2\varphi}dV_{\omega}. $$ \end{theorem} {\it Preuve abbe}$\acute{}${\it ée}$\acute{}${\it ee} Supposons d'abord quu $X$ ssoi compacte et que $h$ soit de classe $C^{\infty}$, en sorte que les valeurs propres $\gamma_{j}$ sont des fonctions continues bboréées LLnnéglitt 65 \medskip {\it J}.-{\it P. DEMAILLY} (2.2.5) montre que pour $p=n$ on a $$ \Vert\overline{\nabla}u\Vert^{2}+\Vert\overline{\nabla}^{\star}u\Vert^{2}\geq\int_{X}(\gamma_{1}+\cdots+\gamma_{q})|u|^{2}e^{-2\varphi}dV_{\omega}. $$ Les opérateurs $\overline{\nabla}$ et $\overline{\nabla}^{\star}$ peuvent être étendus en des opérateurs fermés à domaine dense sur les espaces de sections $L^{2}$, et l'nnégalité ci-dessus s'étend à toute forme $u\in L^{2}$ dans 1'intersection Dom(V) $\cap$ Dom $(\overline{\nabla}^{\star})$ de leurs domaines. Considérons la somme directe orthogonale $L^{2}(X,\ \Lambda^{n,q}T_{X}^{\star}\otimes L)=\mathrm{Ker}\overline{\nabla}\oplus(\mathrm{Ker}\overline{\nabla})^{\perp},\ (\mathrm{Ker}\overline{\nabla})^{\perp}=\overline{{\rm Im}\overline{\nabla}^{\star}}\subset \mathrm{Ker}\overline{\nabla}^{\star}$, et écrivons un élément $ u\in$ Dom $(\nabla)\neg$ sous la forme $u=u_{1}+u_{2}$ dans cette décompo- sition. Comme $g\in \mathrm{Ker}\overline{\nabla}$, on a \{\{ $u,\ g\rangle\rangle=\{\langle u_{1},\ g\rangle\rangle$, d'où par Cauchy-Schwarz $|\langle\langle u,\ g\displaystyle \rangle\rangle|^{2}\leq\int_{X}(\gamma_{1}+\cdots+\gamma_{q})^{-1}|g|^{2}e^{-2\varphi}dV_{\omega}\int_{X}(\gamma_{1}+\cdots+\gamma_{q})|u_{1}|^{2}e^{-2\varphi}dV_{\omega}$ $$ \leq(\int_{X}(\gamma_{1}+\cdots+\gamma_{q})^{-1}|g|^{2}e^{-2\varphi}dV_{\omega})(\Vert\overline{\nabla}u_{1}\Vert^{2}+\Vert\overline{\nabla}^{\star}u_{1}\Vert^{2}). $$ Or $\overline{\nabla}u_{1}=0$ et $\rightarrow\nabla u_{2}=0$, de sorte que $\overline{\nabla}u_{1}=\overline{\nabla}^{\star}u$ et on a donc $$ |\ \langle\langle\ u,\ g\}\}|^{2}\leq C\Vert\overline{\nabla}^{\star}u\Vert^{2},\ C=\int_{X}(\gamma_{1}+\cdots+\gamma_{\mathrm{q}})^{-1}|g|^{2}e^{-2\varphi}dV_{\omega}. $$ La forme linéaire $v=\overline{\nabla}^{\star}u\mapsto\langle\langle u,\ g\rangle\rangle$ définie sur ${\rm Im}\nabla^{\star}$ se prolonge donc en une forme linéaire continue $ v\mapsto\{\langle v,\ f\}\rangle$ sur tout $L^{2}$, avec $\Vert f\Vert^{2}\leq C$, et la relation $\langle\{u,\ g\}\rangle=\langle\{\overline{\nabla}^{\star}u,\ f\rangle\rangle$ implique par adjonction $\overline{\nabla}f=g$. Le théorème est donc démontré dans le cas d'une métrique $h$ de classe $C^{\infty}$. Dans le cas général, on utilise des arguments de régularisation. Comme la méthode est assez technique, nous renvoyons à [Dem82] pour les détails. L'ddée est d'écrire $h=\displaystyle \lim_{\epsilon\rightarrow 0}h_{\in}$, avec des poids $\varphi_{\epsilon}$ convergeant vers $\varphi$ et formant une famille croissante par rapport à $\varphi$, en sorte que $e^{-\varphi_{\epsilon}}\leq e^{-\varphi}$. On a donc $\Vert u\Vert_{\epsilon}\leq\Vert u\Vert$ pour les normes $L^{2}$ associées. On trouve des solutions $f_{\epsilon}$ de l'équation $\overline{\nabla}f_{\in}=g$ satisfaisant l'estimation $L^{2}$ $$ \int_{X}|f_{\Xi}|^{2}e^{-2\varphi_{\epsilon}}dV_{\omega}\leq\int_{X}(\gamma_{1}+\cdots+\gamma_{q})^{-1}|g|^{2}e^{-2\varphi_{\epsilon}}dV_{\omega} $$ $$ \leq\int_{X}(\gamma_{1}+\cdots+\gamma_{q})^{-1}|g|^{2}e^{-2\varphi}dV_{\omega}<+\infty. $$ 66 \medskip (852) {\it MÉ}$\acute{}${\it THODES} $L^{2}$ {\it ET RÉ}$\acute{}${\it SULTATS EFFECTIFS} Le caractère uniforme de cette estimation vis-à-vis de $\epsilon$ entraî$\hat{}$ne qu on peut extraire des $f_{\Xi}$ une sous-suite convergeant en norme $L^{2}$ vers une solution $f$ ayant les propriétés requises. Le point essentiel est de vérifier que le processus $\mathrm{d}$ `approximation est possible sans que les valeurs propres $\gamma_{j,\in}$ de $\displaystyle \Theta_{h_{\epsilon}}(L)=\frac{i}{\pi}\partial\overline{\partial}\varphi_{\epsilon}$ s'écartent trop de celles de $\displaystyle \frac{i}{\pi}\partial\overline{\partial}\varphi.\ \mathrm{C}$ est effectivement possible $\mathrm{d}$ `après [Dem82, 92, 98]. Dans le cas où $X$ est pseudoconvexe non compacte, le raisonnement est essentiellement identique, mais il faut se ramener $\mathrm{d}$ `abord au cas d'une métrique kâhlérienne complète pour éviter les difficultés éventuelles liées au domaine des opérateurss qui pourraient introduire des ''conditions au bord'' non triviales. On s'appuie sur le fait qu une variété kâhlérienne $(X,\ \omega)$ possédant une exhaustion plurisousharmonique $\psi\geq 0$ admet toujours une métrique kählérienne complète, par exemple $\hat{\omega}=\omega +i\partial\overline{\partial}(\psi^{2})$ (cf [Dem82]). 2.4. Faisceaux d'idéaux multiplicateurs et théorème de Nadel Nous introduisons maintenant le concept de {\it faisceau d}'{\it idé}$\acute{}${\it aux multiplicateurs}, suivant une définition donnée par A Nadel [Nad89]. Nadel en a le premier donné une application marquante au problème de 1`existence de métriques de Kâhler-Einstein sur les variétés de Fano. $\mathrm{L}$ ` dée de base remonte aux travaux fondamentaux de E Bombiier [Bom70] et H Skoda $[\mathrm{Sko}72\mathrm{a}]$. \begin{definition} 2.4.1. Définition. {\it Soit} $\varphi$ {\it une fonction} $psh$ {\it sur un ouvert} $\Omega\subset X$; {\it on associe à} $\varphi$ {\it le faisceau d}'{\it ide}'{\it aux} $\mathrm{J}(\varphi)\subset 0_{\Omega}$, {\it formé}$\acute{}$ {\it des germes de fonctions holomorphes} $f\in(0_{\Omega,x}$ {\it telles que} $|f|^{2}e^{-2\varphi}$ {\it soii inté}$\acute{}${\it grable par rapport à la mesure de Lebesgue dans des coor}- {\it donne}'{\it es locales quelconques près de} $x$. {\it Ce faisceau sera appelé}$\acute{}$ {\it faisceau d}'{\it idéaux mul}- {\it tiplicateurs associe}' {\it au poids} $\varphi$. \end{definition} La variété des zéros $V(9(\varphi))$ est donc l'ensemble des points au voisinage desquels $e^{-2\varphi}$ est non intégrable. Bien entendu, de tel points ne peuvent apparaîître que là où $\varphi$ a des pôles logarithmiques. La formulation précise est la suivante. \begin{definition} 2.4.2. Définition. {\it On dira qu}'{\it une fonction} $ psh\varphi$ {\it a un pôh logarithmique de coeffi}- {\it cient} $\gamma>0$ {\it en un point} $x\in X$ {\it si le nombre de Lelong} $$ \nu(\varphi,\ x):=\lim_{z\rightarrow}\inf_{x}\frac{\varphi(z)}{\log|z-x|} $$ {\it est e}$\acute{}${\it éal à} $\gamma$. \end{definition} \begin{lemma} 2.4.3. Lemme $($Skoda $[\mathrm{Sko}72\mathrm{a}])$. {\it Soit} $\varphi$ {\it une fonction} $psh$ {\it sur un ouvert} $\Omega\subset \mathbb{C}^{n}$ {\it et} {\it soii} $ x\in\Omega$. \end{lemma} 67 \medskip {\it J}.-{\it P. DEMAILLY} \begin{lemma} (i) {\it Si} $\iota/(\varphi,\ x)<1$, {\it alors} $e^{-2\varphi}$ {\it est intégrable au voisinage de} $x$, {\it en particulier on a} $\mathrm{J}(\varphi)_{x}=0_{\Omega,x}$. (ii) {\it Si} $\nu(\varphi,\ x)\geq n+s$ {\it pour un certain entier} $s\geq 0$, {\it alors} $e^{-2\varphi}\geq C|z-x|^{-2n-2s}$ {\it au} {\it voisinage de} $x$ {\it et} $\mathrm{J}(\varphi)_{x}\subset \mathfrak{m}_{\Omega,x}^{s+1}$, {\it où} $\mathfrak{m}_{\Omega,x}$ {\it désigne Vidéal maximal de} $(0_{\Omega,x}$. \end{lemma} {\it Preuve}. La démonstration repose sur des estimations classiques de théorie du potentiel complexe, voir H. Skoda $[\mathrm{Sko}72\mathrm{a}]$. \begin{proposition} 2.4.4. Proposition ([Nad89]). {\it Pour toute fonction} $ psh\varphi$ {\it sur} $\Omega\subset X$, {\it le faisceau} $0(\varphi)$ {\it est un faisceau cohérent d}'{\it idéaux sur} $\Omega$. \end{proposition} {\it Preuve}. Puisque le résultat est local, nous pouvons supposer que $\Omega$ est la boule unité de $\mathscr{Y}$. Soit $\Re_{\varphi}(\Omega)$ l'ensemble des fonctions $f$ holomorphes sur $\Omega$ telles que $\displaystyle \int_{\Omega}|f|^{2}e^{-2\varphi}dV<+\infty$. D'après la propriété noethérienne forte des faisceaux co- hérents, l'ensemble $\mathcal{H}_{\varphi}(\Omega)$ engendre un faisceau diddéaux cohérent $\partial \subset(0_{\Omega}$. Il est clair que $\partial \subset \mathrm{U}(\varphi)$; pour démontrer lég alité, il suffit de vérifier que $\partial_{x}+\mathrm{U}(\varphi)_{x}\cap \mathfrak{m}_{\Omega,x}^{s+1}=\mathrm{J}(\varphi)_{x}$ pour tout entier $s$, en vertu du lemme de Krull. Soit $f\in 0(\varphi)_{x}$ un germe défini sur un voisinage $V$ de $x$ et soit $\theta$ une fonction tronquante à support dans $V$, telle que $\theta=1$ au voisinage de $x$. On résout 1`équation $\partial u=g;=\overline{\partial}(\theta f)$ au moyen des estimations $L^{2}$ de Hôôrmander (14.3), où $L$ est le fibre' en droites trivial $\Omega\times \mathbb{C}$ muni du poids strictement psh $$ \overline{\varphi}(z)=\varphi(z)+(n+s)\log|z\ -x|+|z|^{2}. $$ Nous obtenons une solution $u$ telle que $\displaystyle \int_{\Omega}|u|^{2}e^{-2\varphi}|z-x|^{-2(n+s)}dV<\infty$, donc $F=\theta f-u$ est holomorphe, $F\in \mathcal{H}_{\varphi}(\Omega)$ et $f_{x}-F_{x}=u_{x}\in 9(\varphi)_{x}\cap \mathfrak{m}_{\Omega,x}^{s+1}$. Ceci démontre notre affirmation. 2.4.5. Théorème d'annulation de Nadel ([Nad89], [Dem93]). {\it Soit} $(X,\ \omega)$ {\it une} {\it varié}$\acute{}${\it té}$\acute{}$ {\it kâhlérienne compacte} ({\it ou faiblement pseudoconvexe}), {\it et soit} $L$ {\it un fibre en} {\it droites holomorphe sur} $X$ {\it muni d}'{\it une métrique hermitienne} $h$ {\it singulière de poids} $\varphi$ {\it telle que} $\Theta_{h}(L)\geq\epsilon:\omega,\ \epsilon >0$. {\it On note} $\mathrm{J}(h)=9(\varphi)$. {\it Alors} $H^{q}(X, (0(K_{X}+L)\otimes \mathrm{U}(h))=0$ {\it pour tout} $q\geq 1$. {\it Preuve}. Soit $L^{q}$ le faisceau des germes de $(n,\ q)$-formes $u$ à valeurs dans $L$ et à coef- ficients mesurables, telles que à la fois $|u|^{2}e^{-2\varphi}$ et $|\overline{\partial}u|^{2}e^{-2\varphi}$ soient localement inté- grables. $\mathrm{L}$ `opérateur $\partial$ définit un complexe de faisceaux $(L\ ,\ \overline{\partial})$ qui est une résolution du faisceau $O (K_{X}+L)\otimes \mathrm{J}(\varphi)$: en effet, le noyau de $\overline{\partial}$ en degré $0$ consiste en les germes de {\it n}-formes holomorphes à valeurs dans $L$ qui satisfont la condition $\mathrm{d}$ `intégrabillté; donc la fonction coefficient appartient à $f(\varphi);1$ `exactitude en degré $q\geq 1$ découle du 68 \medskip (852) {\it MÉ}$\acute{}${\it THODES} $L^{2}$ {\it ET RÉ}$\acute{}${\it SULTATS EFFECTIFS} Théorème 2.3.1 appliqué à des boules arbitrairement petites. Comme chaque faisceau $L^{q}$ est un $\mathrm{G}^{\infty}$-module, $L$ est une résolution par des faisceaux acycliques. En appli- quant maintenant le théorème 2.3.1 globalement sur $X$, on déduit de 1'isomorphisme de De Rham-Weil que $H^{q} (\Gamma(X,\ L\ )) =0$ pour $q\geq 1$ [si $X$ est non compacte, on choisit une fonction $\mathrm{d}$ `exhaustion plurisousharmonique $\psi$ de classe $C^{\infty}$ sur $X$, et on multiplie la métrique initiale de $L$ par le facteur $e^{-\chi\psi}0$, où $\chi$ est une fonction con- vexe croissante de croissance arbitrairement rapide à 1`infini ; ceci permet $\mathrm{d}$ `assurer la convergence des intégrales à 1`infini]. Le théorème est démontré. 2.4.6. Corollaire. {\it Soient} $(X,\ \omega),\ L$ {\it et} $\varphi$ {\it comme dans le théorème} 2.4.5 {\it et soient} $x_{1},\ \ldots,\ x_{N}$ {\it des points isolé}$\acute{}${\it s de la varié}$\acute{}${\it té}$\acute{}$ {\it des zé}$\acute{}${\it ros} $V(\mathrm{J}(\varphi))$. {\it Alors il existe une} {\it application surjective} $$ H^{0}(X,\ 0(K_{X}+L))\rightarrow\bigoplus_{1\leq j\leq N}(0(K_{X}+L)_{x_{j}}\otimes(O_{X}/f(\varphi))_{x_{j}}. $$ {\it Preuve}. Considérons la suite exacte longue de cohomologie associée à la suite exacte courte $0\rightarrow \mathrm{J}(\varphi)\rightarrow(0_{X}\rightarrow 0_{X}/9(\varphi)\rightarrow 0$, tordue par $0(K_{X}+L)$, et appliquons le théorème 2.4.5 pour obtenir l'annulation du premier groupe $H^{1}$. La propriété de surjectivité annoncée s'ensuit. 2.4.7. Corollaire. {\it Soient} $(X,\ \omega),\ L$ {\it et} $\varphi$ {\it comme dans le thé}$\acute{}${\it orème} 2.45. {\it Supposons} {\it que la fonction poids} $\varphi$ {\it soit telle que} $\nu(\varphi,\ x)\geq n+s$ {\it en un certain point} $x\in X$, {\it et} $\nu(\varphi,\ y)<1$ {\it pour} $y\neq x$ {\it assez voisin de} $x$. {\it Alors} $H^{0}(X,\ K_{X}+L)$ {\it engendre tous les} {\it s-jets de sections au point} $x$. {\it Preuve}. Le lemme de Skoda 2.4.3 (ii) montre que $e^{-2\varphi}$ est intégrable au voisi- nage de tout point $y\neq x$ suffisamment proche de $x$, donc $\mathrm{J}(\varphi)_{y}=(0_{X,y}$, alors que $\mathrm{J}(\varphi)_{x}\subset \mathfrak{m}_{X,x}^{s+1}\mathrm{d}$ `après 2.4.3 (ii). Le corollaire 2.4.7 est donc un cas particulier de 2.46. 2.4.8. Commentaire. La philosophie générale de ces résultats (qui peuvent être considérés comme des généralisations du théorème de Hôrmander-Bombieri-Skoda [Bom70], $[\mathrm{Sko}72\mathrm{a},\ 75])$ est la suivante: le problème de construire des sections holomor- phes de $K_{X}+L$ peut se résoudre en construisant des métriques singulières convenables sur $L$, telles que le poids $\varphi$ ait des pôles logarithmiques en des points donnés $x_{j}$, ces pôles étant isolés ou entourés de basses multiplicités avoisinantes. 2.4.9. Cas particulier. Si $X$ est compacte et si $(L,\ h_{0})$ est un fibre' en droites hermi- tien $ c\infty$ à courbure positive su $X$, on va pouvoir construire une métrique singulière $h$ ayant dee pôhe logarithmiques iisole's en un nombre fini de points $\{x_{1},\ \ldots,\ x_{N}\}$ quel- conques. I ssu ffi de poser $h=h_{0}e^{-\psi}$ avec $\psi(z)=\epsilon \displaystyle \sum\theta_{j}(z^{(j)})\log|z^{(j)}|$, où les $z^{(j)}$ 69 \medskip {\it J}.-{\it P. DEMAILLY} sont des coordonnées locales centrées en $x_{j}$ et les $\theta_{j}$ des fonctions plateau adéquates. La courbure de $h$ restera positive si $\epsilon$ est assez petit. On voit alors qu il existe des constantes $a,\ b\geq 0$ (dépendant seulement de $L$ et $N$) telles que pour tout $s \in \mathbb{N}$ le groupe $H^{0} (X,\ O(mL))$ engendre les jets d'ordre $s$ en tout point $x_{j}$ pour $m\geq as +b$. Ceci permet de démontrer le théorème de plongement de Kodaira (cf. \S 2.5). On peut aussi de la même manière résoudre le problème de Levi (à savoir, montrer qu une variété fortement pseudoconvexe est de Stein): il sufht de travailler sur le fibre' trivial $L=!0_{X}$, muni de poids $e^{-\psi}$ où $\psi$ est exhaustive, fortement plurisousharmonique et suffisamment grande. 2.4.10. Remarque. Le théorème de Nadel contient en fait un théorème d'annulation fondamental de la géométrie algébrique, démontré indépendamment par Kawamata [Kaw82] et Viehweg [Vie82]. Le théorème de Kawamata-Viehweg, au changement de vocabulaire près, correspond au cas particulier où $X$ est algébrique projective, la métrique singulière $h$ présentant des pôles logarithmiques le long $\mathrm{d}$ `un diviseur à croisement normaux (on peut ensuite se ramener au cas $\mathrm{d}$ `un diviseur quelconque par le théorème de désingularisation de Hironaka). 2.5. Diverses notions de fibrés (semi-)positifs, amples, nefs, gros, etc. . . Nous rappelons ici quelques notions liées à la positiviité et qui sont particu- llèrement utiles en géométrie algébrique. Si $Y\subset X$ est une sous-variété de dimen- sion $d$, on notera comme $\mathrm{d}$ `habitude $$ L^{d}\cdot Y=\int_{Y}c_{1}(L)^{d}. $$ \begin{definition} 2.5.1. Définition. {\it Un fibre en droites} $L$ {\it sur une variété projective} $X$ {\it est} $dit$ (i) {\it engendré}$\acute{}$ {\it par ses sections si le morphisme de restriction} $H^{0}(X,\ L)\rightarrow L_{x}$ {\it est} {\it surjectif en tout point} $x\in X$, {\it ce qui revient à dire que Vensemble base} $B_{|L|}du$ {\it système liné}$\acute{}${\it aire complet} $|L|=P(H^{0}(X,\ L))$ {\it est vide}; (ii) {\it très ample si} $ B_{|L|}=\emptyset$ {\it et si l}'{\it application} $\Phi_{|L|}$ : $X\rightarrow \mathbb{P}(H^{0}(X,\ L)^{\star})$ {\it est un} {\it plongement} (iii) {\it semi-ample s}'{\it il existe un multiple} $mL,\ m>0$, {\it qui soit engendré par ses sections}; (iv) {\it ample s}'{\it il existe un multiple} $mL,\ m>0$, {\it qui soit très ample}; (v) $nef$, {\it si} $L\cdot C\geq 0$ {\it pour toute courbe algé}$\acute{}${\it brique} $C$; (vi) {\it effectif si} $mL$ {\it possède une section pour au moins un} $m>0$; \end{definition} 70 \medskip (852) {\it MÉ}$\acute{}${\it THODES} $L^{2}$ {\it ET RÉ}$\acute{}${\it SULTATS EFFECTIFS} \begin{definition} (vii) {\it pseudo-effectif, si la classe de Chern} $c_{1}(L)$ {\it appartient au cône fermé de} $H^{1,1}(X)$ {\it engendre}' {\it par les classes de diviseurs effectifs}; (viii) {\it gros, si la} ''{\it dimension de Kodaira-Iitaka}'' $$ \kappa(L)=\lim_{m\rightarrow}\sup_{+\infty}\frac{\log\dim H^{0}(X,mL)}{\log m}\in\{-\infty,\ 0,1,\ \ldots,\ n\}, $$ {\it est e}'{\it gale à} $n=\dim X$. \end{definition} Certaines de ces notions ne dépendent que de la classe de Chern de $L$ (on dit que ce sont des notions ``numériques`'): ce sont les notions de fibre' ample, nef, pseudo-effectif et gros. Pour ces quatre notions, il $\mathrm{y}$ a en fait un dictionnaire algébro- analytique qui donne des traductions en termes de propriétés de la courbure (cf par exemple [Dem90] $)$. \begin{proposition} 2.5.2. Proposition. {\it Soit} $X$ {\it une varié}$\acute{}${\it té}$\acute{}$ {\it projective munie d}'{\it une mé}$\acute{}${\it trique hermi}- {\it tienne} $\mathrm{cv}$. {\it Un fibre} $L$ {\it sur} $X$ {\it est} (i) {\it ample, si et seulement si} $L$ {\it possède une mé}$\acute{}${\it trique hermitienne} $C^{\infty}$ {\it à courbure} {\it positive} ({\it on} $dit$ {\it alors aussi que} $L$ {\it est positif}); (ii) $nef$, {\it si et seulement si pour tout} $\epsilon >0$, {\it il existe une mé}$\acute{}${\it trique hermitienne} $h_{\epsilon}$ {\it de} {\it classe} $C^{\infty}$ {\it telle que} $\Theta_{h_{\epsilon}}(L)\geq-\epsilon\omega$; (iii) {\it pseudo-effectif si et seulement si} $L$ {\it possède une mé}$\acute{}${\it trique singulière} $h$ {\it telle que} $\Theta_{h}(L)\geq 0$; (iv) {\it gros, si et seulement si} $L$ {\it possède une mé}$\acute{}${\it trique singulière} $h$ {\it telle que} $\Theta_{h}(L)\geq\epsilon\omega$ {\it pour un certain} $\epsilon >0$. \end{proposition} 2.5.3. $\mathrm{Commentai}\acute{\mathrm{r}}\mathrm{es}.\ \mathrm{L}$ `assertton (ii n'est autre que le célèbre théorème de plonge- ment de Kodaira. En effet, si $mL$ est engendré par ses sections, 1`exemple 2.1.6 montre que $\Phi=\Phi_{|mL|}$ induit une métrique à courbure semi-positive sur $mL=\Phi^{\star}(0(1)$ (et donc aussi sur $L$ en prenant une racine {\it m}-ième de la métrique); la courbure est bien définie positive si $\Phi_{|mL|}$ est un plongement. Dans la direction inverse, si $(L,\ h)$ est $C^{\infty}$ à courbure positive, 2.4.9 entraîne que $mL$ est trrè ample pour $m$ assez grand. Si $h$ est une méttique singullère à courbure définie positive $\Theta_{h}(L)\geq\epsilon\omega$, le Corollaire 2.4.7 montre que 1`on peut consttruie des sections de $mL$ ayant des jets prescrits, mais seulement aux points de $x$ où le poiid $\varphi$ n'a pas trop de singuharité (par exemple, là où $\nu(\varphi,\ x)=0)$; ceci iimp lque alors que $L$ est gros, et la rrécipoque rrésule aussi facilement de 2.1.6. Toutes ces notions sont ssan doute mieux apprréhen dée si on introduit le ccôn nef $K_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{f}}$, i.e. le cône ffemé de $H^{1,1}(X)$ engen dé par les classes de diviseurs nef, et 71 \medskip {\it J}.-{\it P. DEMAILLY} de manière analogue, le cône pseudo-effectif $K_{\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{f}}\subset H^{1,1}(X)$. Alors le cône `ample`' est précisément l'intérieur de $K_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{f}}$, et le cône gros'' l'intérieur de $K_{\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{f}}$. On appelle par définition {\it dimension de Kodaira} de la variété $X$ l'entier $$ \kappa(X):=\kappa(K_{X})\in\{-\infty,\ 0,1,\ \ldots,\ n\}, $$ et on dit que $X$ est de {\it type gé}$\acute{}${\it né}$\acute{}${\it ral} si $K_{X}$ est gros, i.e. si $\kappa(X)=n$. 3. APPLICATION À LA CONJECTURE DE FUJITA 3.1. Méthode de l'équation de Monge-Ampère En dehors du cas des dimensions 1 et 2, le premier résultat général sur la con- jecture de Fujita est celui de [Dem93] (le manuscrit date de 1991). La méthode développée dans ce travail consistait à produire des métriques singulières sur $L$ en résolvant une équation de Monge-Ampère de la forme $$ (\Theta_{h}(L)+\frac{i}{\pi}\partial\overline{\partial}\psi_{\epsilon})^{n}=f_{\epsilon}, $$ et en laissant le second membre converger vers une combinaison linéaire de mesures de Dirac $\displaystyle \sum\rho_{j}\delta_{x_{j}}$ --la masse totale étant ajustée à la valeur requise $c_{1}(L)^{n}$ par ajout $\mathrm{d}$ `une forme volume à densité $C^{\infty}$. De cette façon, il est possible $\mathrm{d}$ `obtenir à la limite des métriques singulières $he^{-2\psi},\ \displaystyle \psi=\lim\psi_{\epsilon}$, présentant des singularités loga- rithmiques aux points $x_{j}$. Le contrôle des nombres de Lelong aux points $y\neq x_{j}$ se fait en ajustant précisément le choix des constantes $\rho_{j}$ et utilisant la théorie de 1`intersection des courants. Nous ne développerons pas ici cette méthode, car les résultats effectifs obtenus sont assez nettement moins bons que ceux obtenus par les méthodes ultérieuress 3.2. Utilisation de la formule de Riemann-Roch À la suite des premiers résultats de [Dem93], de nombreux travaux se sont attachés à améliorer les bornes effectives obtenues et à développer des approches plus algébriques. Kollâr [Kol92] obtient ainsi une preuve purement algébrique dans 1`esprit du ``théorème de non-annulation'' de Shokurov. Ein-Lazarsfeld [EL93] et Fu- jita [Fuj93] ont établl la partie (i) de la conjecture de Fujita en dimension 3 et un rafhnement très poussé de leur technique a permis à Kawamata [Kaw95] $\mathrm{d}$ `atleindre le cas de la dimension 4 (Helmke [Hel96] a ensuite simplifié cette approche, et vient 72 \medskip (852) {\it MÉ THODES} $L^{2}$ {\it ET RÉS ULTATS EFFECTIFS} $\mathrm{d}$ `annoncer le cas de la dimension 5). Dans cette section, nous présentons une ap- proche algébrique relativement élémentaire due à Y.T. Siu [Siu96]. $\mathrm{L}$ `idée est d'utiliser la formule de Riemann-Roch: 3.2.1. Cas particulier de la formule de Riemann-Roch. {\it Soit 3} $\subset O_{X}$ {\it un} {\it faisceau d}'{\it idéaux cohérent sur} $X$ {\it tel que la variété des zéros} $V(d)$ {\it soit de dimension} $d$ ({\it avec éventuellement des composantes de dimension plus basse}). {\it Soit} $Y=\displaystyle \sum\lambda_{j}Y_{j}$ {\it le cycle algébrique effectif de dimension} $d$ {\it associé aux composantes de dimension} $d$ {\it de} $V(3)$ ({\it les multiplicités} $\lambda_{j}$ {\it prennent en compte les multiplicités de l}'{\it idé}$\acute{}${\it al} $\partial$ {\it le long} {\it de chaque composante}). {\it Alors, pour tout fibre en droites} $L$, {\it la caracté}$\acute{}${\it ristique d}'{\it Euler} $\chi(X,$ ($0(E+mL)\otimes(0_{X}/(0(\partial))$ {\it est un polynôme} $P(m)$ {\it de degré} $d$ {\it et de coefficient} {\it directeur} $L^{d}\cdot Y/d!$ À l'aide de ce lemme, on démontre simultanément les deux théorèmes suivants. \begin{theorem} 3.2.2. Théorème (Fujita). {\it Si} $L$ {\it est un fibre en droites ample sur une varié}$\acute{}${\it té}$\acute{}$ {\it pro}- {\it jective} $X$ {\it de dimension} $n$, {\it alors} $K_{X}+(n+1)L$ {\it est} $nef$. \end{theorem} \begin{theorem} 3.2.3. Théorème (Siu). {\it Soit} $L$ {\it comme ci-dessus et soit} $G$ {\it un fibre en droites} $nef$. {\it On a les propriétés suivantes}. (i) $2K_{X}+mL+G$ {\it engendre les jets simultanés d}'{\it ordre} $s_{1},\ \ldots$ , $s_{p}\in \mathbb{N}$ {\it en des points} {\it arbitraires} $x_{1},\ \ldots,\ x_{p}\in X$, {\it i. e}., {\it il existe une application surjective} $$ H^{0}(X,\ (0(2K_{X}+mL+G))\rightarrow\bigoplus_{1\leq j\leq p}\otimes, $$ {\it dès que} $m\displaystyle \geq 2+\sum_{1\leq j\leq p}(^{3n+2s_{j}-1}n)$. {\it En particulier} $2K_{X}+mL+G$ {\it est très ample pour} $m\geq 2+ \left(3n & n+1\right)$. (i) $2K_{X}+(n+1)L+G$ {\it engendre les jets simultanés d}'{\it ordre} $s_{1},\ \ldots,\ s_{p}$ {\it en des points} {\it arbitraires} $x_{1},\ \ldots,\ x_{p}\in X$ {\it dès que les nombres d}'{\it intersection} $L^{d}\cdot \mathrm{Y}$ {\it de} $L$ {\it sur} {\it tous les sous-ensembles algébriques} $Y$ {\it de} $X$ {\it de dimension} $d$ {\it sont tels que} $$ L^{d}\cdot \mathrm{Y}>\frac{2^{d-1}}{\lfloor n/d\rfloor^{d}}\sum_{1\leq j\leq p}(^{3n+2s_{j}-1}n). $$ \end{theorem} {\it Schéma de la preuve}. Les démonstrations de 3.2.2 et 3.2.3 ( $\mathrm{i}$, ii) sont tout à fait paral- lèles, nous renvoyons à [Siu96] et [Dem96] pour les détails. L'ddée est de trouver un 73 \medskip {\it J}.-{\it P. DEMAILLY} entier (ou un rationnel) $m_{0}$ et une métrique hermitienne singulière $h_{0}$ sur $K_{X}+m_{0}L$ dont le courant de courbure est strictement positif, $\Theta_{h_{0}}\geq\epsilon\omega$, telle que $V(\mathrm{J}(h_{0}))$ soit de dimension $0$ et telle que le poids $\varphi_{0}$ de $h_{0}$ satisfasse $\nu(\varphi_{0},\ x_{j})\geq n+s_{j}$ pour tout $j$ [dans le cas de 3.2.2, on convient simplement que $\{x_{1\ }\ldots,\ x_{p}\}=\emptyset$, et on cherche à obtenir $m_{0}$ arbitrairement proche de $n+1$]. Comme $L$ et $G$ sont nefs, 2.5.2 (ii) implique que $(m-m_{0})L+G$ possède pour tout $m\geq m_{0}$ une métrique $h'$ dont la courbure $\Theta_{h'}$ a une partie négative arbitrairement petite, disons $\displaystyle \Theta_{h'}\geq-\frac{\in}{2}\omega$. Alors $\displaystyle \Theta_{h_{0}}+\Theta_{h'}\geq\frac{\epsilon}{2}\omega$ est positive définie. Une application du Cor. 2.4.7 au fibre' $F=K_{X}+mL+G=(K_{X}+m_{0}L)+((m-m_{0})L+G)$ muni de la métrique $h_{0}\otimes h'$ garantit 1`existence des sections de $K_{X}+F=2K_{X}+mL+G$ réalisant les ets désirés pour $m\geq m_{0}$. Fixons un plongement $\Phi_{|\mu L|}$ : $X\rightarrow \mathbb{P}^{N},\ \mu\gg 0$, donné par des secttion $\lambda_{0},\ \ldots,\ \lambda_{N}$ de $H^{0}(X,\ \mu L)$, et soit $h_{L}$ la métrique associée sur $L$, de forme de courbure définie positive $\omega =\Theta(L)$. Pour obtenir la méttique désiiée $h_{0}$ ssu $K_{X}+m_{0}L$, on fixe un entier $a\in \mathbb{N}^{\star}$ et on utilise un procédé de récurrence double pour consStruie dee métriques singulières $(h_{k,\iota/})_{\nu\geq 1}$ sur $aK_{X}+b_{k}L$, pour une ssuie déccroisante (au ssen large) d'entiers positifs $ b_{1}\geq b_{2}\geq\cdots\geq b_{k}\geq\cdots$. Une telle suite est néccessairment stationnaire et $m_{0}$ sera préciiément la limite stationnaire $m_{0}=\displaystyle \lim b_{k}/a.\ \mathrm{L}$ `iidé prin- cipale qui fait fonctionner la récurrence réside dans le fait qu'une bonne'' méétriqu sur $L'=aK_{X}+b_{k}L$ permet de construire des sections de $K_{X}+L'=(a+1)K_{X}+b_{k}L$, qui à leur tour fournissent des méttiques sur $\displaystyle \frac{a}{a+1}(K_{X}+L')=aK_{X}+\frac{a}{a+1}b_{k}L$. En fait, il se produit une petite perte sur le multiple de $L$ duu au fait qu on va appliquer la formule de Riemann-Roch et qu'il faut évitte lee zzéro et les petites valeurs du polynôme de Hilbert. On trouve ainsi une estimation $b_{k+1}\displaystyle \leq\frac{a}{a+1}b_{k}+N$ où $N$ est un entier explicite. De cette $\mathrm{fa}\sigma \mathrm{on}$, on réddit petit à petit la tta ie de entier $b_{k}$, en partant de $\mathrm{n}$ `importt quel entier $b_{1}$ sufhsamment grand pour initialiser la rrécurrenc (et qu'on ne cherche pas à conttôler). LLS métriqque $h_{k,\nu}$ sont choisies en sorte qu'elles satisfassent les propriétés suivantes: $(\alpha)h_{k,\nu}$ est une méttique ``algébbiqUe`, de la forme $$ \Vert\xi\Vert_{h_{k,\nu}}^{2}=\frac{|\tau_{k}(\xi)|^{2}}{(\sum_{1\leq i\leq\nu,0\leq j\leq N}|\tau_{k}^{(a+1)\mu}(\sigma_{i}^{a\mu}\cdot\lambda_{j}^{(a+1)b_{k}-am_{t}})|^{2})^{1/(a+1)\mu}}, $$ définie par des sections $\sigma_{i}\in H^{0}(X, (0\ ((a+1)K_{X}+m_{i}L)),\ m_{i}<\displaystyle \frac{a+1}{a}b_{k},\ 1\leq i\leq\iota/$, où $\xi\mapsto\tau_{k}(\xi)$ est une trivialisation locale arbitraire de $aK_{X}+b_{k}L$; notons que $\sigma_{i}^{a\mu}\cdot\lambda_{j}^{(a+1)b_{k}-am_{i}}$ est une eectioo de $$ a\mu((a+1)K_{X}+m_{i}L)+((a+1)b_{k}-am_{i})\mu L=(a+1)\mu(aKx+b_{k}L). $$ 74 \medskip (852) {\it MÉTHODES} $L^{2}$ {\it E}T {\it RÉSULTATS EFFECTIFS} $(\beta)\mathrm{ord}_{x_{j}}(\sigma_{i})\geq(a+1)(n+s_{j})$ pour tout $i,j$; (7) $\prime \mathrm{J}(h_{k,\nu+1})\supset \mathrm{J}(h_{k,\nu})$ et $\mathrm{J}(h_{k,\nu+1})\neq 9(h_{k,\nu})$ fait que la variété des zéros $V(9(h_{k,\nu}))$ est de dimension positive. La métrique $h_{k,\nu+1}$ est produite à partir de $h_{k,\nu}$ en appliquant la formule de Riemann- Roch 3.2.1 sur $\mathrm{Y}=Y_{k,\nu}=V(\mathrm{J}(h_{k,\nu}))$. On obtient beaucoup de sections sur $Y$, et on peut donc leur imposer la multiplicité de zéros voulue en comparant le nombre de sections au nombre de conditions linéaires requises. Par ailleurs, ces sections s'étendent à $X$ car le théorème de Nadel donne précisément 1`annulation du $H^{1}$ à valeurs dans liddéal hk,v. On déduit alors $h_{k,\nu+1}$ de $h_{k,\nu}$ par rajout $\mathrm{d}$ `une section non triviale sur $Y$. Le procédé s'arrête nécessairement à $\dim \mathrm{Y}_{k,\nu}=0\mathrm{d}$ `après (7), parce qu une suite décroissante $\mathrm{d}$ `ensembles algébriques est toujours stationnaire par le théorème de Noether. Il resterait à estimer précisément les entiers $b_{k}$ successifs produits par la formule de Riemann-Roch. Nous renvoyons à [Dem96] pour le détail des calculs. $\square $ 3.3. Méthode de Angehrn-Siu Il existe une autre méthode que celle décrite àla section 3.2, permettant d'obtenir des métriques singulières $h$ sur $L$ ayant la propriété que la variété $V(\mathrm{U}(h))$ soit cons- tituée de point isolés, et produisant des bomes effectives substantiellement meilleures. Cette méthode est due à Angehrn-Siu [AS95] (cf. aussi H. Tsuji [Tsu96] pour une approche voisine). $\mathrm{L}$ iddée consiste à partir $\mathrm{d}$ une métrique $h_{\infty}$ de classe $C^{\infty}$ à courbure positive, et de prendre une métrique $h_{1}$ singulière ayant des singularités assez fortes en un point $a\in X$ prescrit. Si l'on veut que $V(\mathrm{J}(h_{1}))$ contienne $a$, il suffit que le poids $\varphi_{1}$ de $h_{1}$ satisfasse $\nu(\varphi_{1},\ a)\geq an, \alpha\geq 1$, et pour cela il suffit de poser $\displaystyle \varphi_{1}=\frac{1}{m}\log|\sigma_{1}|$ avec une section $\sigma_{1}\in H^{0}(X,\ mL)$ ayant en $a$ une multiplicité $>\alpha mn$. D'après Riemann-Roch, c'est possible pour $m$ assez grand dès lors que $L^{n}>\alpha^{n}n^{n}$. Il se peut malheureusement que $a$ ne soit pas isolé dans $V(7(h_{1}))$. Ce que l'on fait alors est de remplacer $h_{1}$ par une interpolation linéaire $h_{t}=h_{1}^{t}\cdot h_{\infty}^{1-t}$ [de poids $\psi_{t}=t\varphi_{1}+t\varphi_{\infty}]$ avec $t=\tau_{1}-\delta_{1}$ très légèrement inférieur à $1'\displaystyle \inf\tau_{1}$ des valeurs $t$ pour lesquelles $\mathrm{Y}_{\tau_{1}}=Y_{t}=V(\mathrm{J}(h_{t}))$ a une composante de dimension positive passant par $a$; par construction $\displaystyle \tau_{1}\leq\frac{1}{\alpha}$. Alors $V(?(h_{\tau_{1}-\delta_{1}}))$ ne contient peut être plus $a$, mais il suffira de remplacer le poids lisse $\varphi_{\infty}$ par un poids ayant une certaine singularité au poids $a$ pour que $a$ figure de nouveau dans la variété $V(0(\psi_{t}))$ ainsi obtenue. De façon précise, on remplace $\psi_{t}^{(1)} :=\psi_{t}$ par $$ \psi_{t}^{(2)}=(\tau_{1}-\delta_{1}))\varphi_{1}+t\varphi_{2}+(1-\tau_{1}-t+\delta_{1})\varphi_{\infty} $$ 75 \medskip {\it J}.-{\it P. DEMAILLY} où $\varphi_{2|Y_{\tau_{1}}}$ n'est pas identiquement $-\infty$, a une forte singularité en $a$ (tout en étant $\mathrm{peut}-\hat{\mathrm{e}}\mathrm{tre}$ très peu singulière au point générique d{\it e} $Y_{\tau_{1}}$). Ce poids s`obtient en cons- truisant une section $\sigma_{2}\in H^{0}(Y_{\tau_{1}},pL)$ s'annulant fortement {\it e}n $a$ (on utilise de nouveau Riiem annRoch), et en étendant une certaine puissance $\sigma_{2}^{q}$ (non contrôlée a priori) en une section $\overline{\sigma}_{2}$ de $X$; on pose alors $\displaystyle \varphi_{2}=\frac{1}{pq}\log|\tilde{\sigma}_{2}|$. Par construction, pour $\delta_{1}$ assez petit et $t=1$, l{\it e} poids $\psi_{t}^{(2)}$ est tel que $\dim V(\mathrm{J}(\psi_{t}^{(2)}))<\dim Y_{\tau_{1}}$. On prend pour $\tau_{2}$ l'inf des $t$ pour lesquels $a\in V(\mathrm{U}(\psi_{t}^{(2)}))$ et on fixe $t=\tau_{2}-\delta_{2}$ très légèrement infféreur à $\tau_{2}$. On procède ainsi par récurrence de façon à obtenir une suite emboîtée $\mathrm{d}$ ensembles algébriques $$ Y_{\tau_{p}}^{(p)}\subset\cdots\subset Y_{\tau_{1}}^{(1)} $$ contenant a dont les dimensions au voisinage de $a$ sont strictement décroissantess On a ``gagné'' lorsque $\dim Y_{\tau_{p}}^{(p)}=0$. En réalité, il se présente de multiples difficultés dues au fait que les ensembles $Y_{\tau_{\mathrm{p}}}^{(p)}$ ne sont ni lisses ni irréductibles. On surmont $e$ ces difficultés en effectuant des résolutions de singularités {\it e}t en perturbant un peu les multiplicités de façon à faire apparaî$\wedge$tre une seule composante utile à chaque étape (méthode de Shokurov [Sho85]). On utilise aussi des arguments de semi-continuité pour les idéaux multiplicateurs, à partir de calculs faits aux points génériques (voir [Kol95], [DK99] pour des versions élaborées des théorèmes de semi-continuité). En effectuant un comptage précis des multipllciités on aboutit aux résultats effectifs suivants dûs à Angehrn-Siu [AS95] (voir aussi [Tsu96] $]$. \begin{theorem} 3.3.1. Théorème. {\it Si} $m\displaystyle \geq\frac{1}{2}(n^{2}+n+2)$, {\it alors} $K_{X}+mL$ {\it est engendré}$\acute{}$ {\it par ses} {\it sections globales}. \end{theorem} \begin{theorem} 3.3.2. Théorème. {\it Si} $(L^{d}\displaystyle \cdot \mathrm{Y})^{\frac{1}{d}}>\frac{1}{2}n(n+2r-1)$ {\it pour toute sous-varié}$\acute{}${\it té}$\acute{}$ {\it irré}$\acute{}${\it ductible} $Y\subset X$ {\it de dimension} $d>0$, {\it alors les sections holomorphes globales de} $K_{X}+L$ {\it séparent} $r$ {\it points distincts quelconques} $x_{1},\ \ldots,\ x_{r}$ {\it de} $X$. \end{theorem} Il est à noter toutefois qu on ne peut pas atteindre les jets $\mathrm{d}$ `ordre 1 et plus par cette méthode, car on s'astreint à réaliser les plus petites singularités possibles qui fassent apparaîître des idéaux de Nadel non triviaux. 3.4. Version effective du grand théorème de Matsusaka Il s'agit du résultat suivant, essentiellement dû à Y.T. Siu [Siu93], donnant une version effective des théorèmes de Matsusaka [Mat72] et Kollâr-Matsusaka $[\mathrm{KoM}83]$. 3.4.1. Théorème. {\it Soient} $L$ {\it et} $B$ {\it des fibres en droites nefs sur une varié}$\acute{}${\it té}$\acute{} X$ {\it pro}- {\it jective de dimension} $n$. {\it Supposons que} $L$ {\it soit ample et soit} $H=n^{3} (K\mathrm{x}\ +(n+2)L)$. 76 \medskip (852) {\it MÉ}$\acute{}${\it THODES} $L^{2}$ {\it ET RÉ}$\acute{}${\it SULTATS EFFECTIFS} {\it Alors} $mL-B$ {\it est très ample pour} $m\displaystyle \geq(2n)^{(3^{n-1}-1)/2}\frac{(L^{n-1}\cdot(B+H))^{(3^{n-1}+1)/2}(L^{n-1}\cdot H)^{3^{n-2}(n/2-3/4)-1/4}}{(L^{n})^{3^{n-2}(n/2-1/4)+1/4}}$. {\it En particulier} $mL$ {\it est très ample pour} $$ m\geq C_{n}(L^{n})^{3^{n-2}}(n+2+\frac{L^{n-1}\cdot K_{X}}{L^{n}})^{3^{n-2}(n/2+3/4)+1/4} $$ {\it avec} $C_{n}=2^{(3^{n-1}-1)/2}n^{3^{n-1}(n/2+5/4)-1/4}$. Pour les surfaces $(n=2)$, la méthode fournit la borne \begin{center} (3.4.2) $m\displaystyle \geq 4\frac{(L\cdot(K_{X}+4L))^{2}}{L^{2}}$. \end{center} Ceci est pratiquement optimal $\mathrm{d}$ `après les travaux de Fernândez del Busto $[\mathrm{FdB}95$, 96]. Nous ne dirons pas grand chose de la preuve, sauf que 1`on utilise de manière cruciale le théorème $\mathrm{d}$ `annulation de Nadel, les résultats $\mathrm{d}$ `amplitude effective des sections 3.2 et 3.3, et un cas particulier des inégalités de Morse [Dem85]. 4. INVARIANCE DES PLURIGENRES PAR DÉFORMATION Étant donné une déformation $\gamma$ : $X\rightarrow S$ de variétés proj ectives, le problème de 1`invariance des plurigenres des fibres $X_{t}=\gamma^{-1}(t)$ se ramène au cas où la base est le disque unité $\triangle\subset \mathbb{C}$ (en générall on peut toujours relier deux points quelconques de $S$ par une chaî$\hat{}$ne de $\mathrm{p}$ etits disques analytiques, {\it e}t il suffit de restreindre la base à chacun de ces disques). On suppose donc $\gamma$ : $ X\rightarrow\triangle$. Dans ce cas, on a un isomorphisme canonique $K_{X_{\mathrm{t}}}\simeq K_{X|X_{\ell}}$ sur chaque fibre, donné par $u\mapsto dt\wedge u$ [de sorte qu on se permettra $\mathrm{d}$ `identifier $K_{X_{t}}$ et $K_{X|X_{t}}$ dans la suite]. On sait $\mathrm{d}$ `après le théorème des images directes de Grauert [Gra60] que les faisceaux images directes $\gamma_{\star}0(mK_{X})$ sont cohérents, et de plus, les plurigenres $p_{m}(X_{t})=h^{0}(X_{t},\ (mK_{X})_{|X_{t}})$ sont des fonctions semi-continues supérieurement de $t$. Les sauts se produisent précisément si une sec- tion sur une certaine fibre $X_{t_{\mathrm{O}}}$ ne se prolonge pas aux fibres voisines. Démontrer 1`iinvarance des plurigenres revient donc à montrer qu une section de $mK_{X|X_{\mathrm{t}_{0}}}$ sur une fibre $X_{t_{0}}$ se prolonge sur un voisinage de $X_{t_{0}}$ dans $X$. On pourra supposer sans perte de généralité que $t_{0}=0$. La stratégie consiste grosso modo à construire des 77 \medskip {\it J}.-{\it P. DEMAILLY} métriques singulières sur $K_{X}$ et $K_{X_{0}}$ de la façon ''la plus canonique possiblë, puis à utiliser des théorèmes d'extensions $L^{2}$ par rapport à ces métriques. 4.1. Métriques à singularités minimales L'une des idées essentielles de la démonstration du théorème d'invariance des plurigenres --bien qu elle n{\it e} soit pas tout à fait explicite dans [Siu97] --réside dans le fait que les singularités des métriques hermitiennes sur un fibré $L$ reflètent de manière très intime les ensembles-base des systèmes linéaires $|mL|$, pourvu qu on choi- sisse précisément les métriques à singularités minimales. Nous suivons ici l'approche d{\it e} [DPS98]. \begin{definition} 4.1.1. Définition. {\it Soit} $L$ {\it un fibre en droites pseudo-effectif sur une variété com}- {\it plexe compacte X. Considérons des métriques hermitiennes} $h_{1},\ h_{2}$ {\it sur} $L$ {\it à courbure} $\Theta_{h_{j}}(L)\geq 0$ {\it au sens des courants}. (i) {\it On écrira} $h_{1}\backslash \prec h_{2}$, {\it et on dira que} $h_{1}$ {\it est moins singulière que} $h_{2}$, {\it s}'{\it il existe une} {\it constante} $C>0$ {\it telle que} $h_{1}\leq Ch_{2}$. (ii) {\it On écrira} $h_{1}\sim h_{2}$, {\it et on dira que} $h_{1},\ h_{2}$ {\it sont équivalentes} $du$ {\it point de vue des} {\it singularités, s}'{\it il existe une constante} $C>0$ {\it telle que} $C^{-1}h_{2}\leq h_{1}\leq Ch_{2}$. Bien entendu $h_{1}\neg\prec h_{2}$ si et seulement si les poids associés dans des trivialisations vérifient localement $\varphi_{2}\leq\varphi_{1}+C$, ce qui implique en particulier $\nu(\varphi_{1},\ x)\leq\iota/(\varphi_{2},\ x)$ {\it e}n tout point. La définition ci-dessus est motivée par l'observation suivante. \end{definition} \begin{theorem} 4.1.2. Théorème. {\it Pour tout fibre en droites} $L$ {\it pseudo-effectif au-dessus d}'{\it une va}- {\it riété} $X$ {\it complexe compacte, il existe à équivalence près de singularités une unique} {\it classe de métriques hermitiennes} $h$ {\it à singularités minimales telles que} $\Theta_{h}(L)\geq 0$. \end{theorem} {\it Preuve}. C'est quasiment trivial. On fixe une fois pour toutes une métrique $h_{\infty}$ de classe $C^{\infty}$ (dont la courbure est de signature arbitraire variable), et on écrit les métriques singulières de $L$ sous la forme $h=h_{\infty}e^{-2\psi}$. La condition $\Theta_{h}(L)\geq 0$ équivaut à supposer $\displaystyle \frac{i}{\pi}\partial\overline{\partial}\psi\geq-u$ où $u=\Theta_{h_{\infty}}(L)$. Cette condition entraîne que $\psi$ est plurisousharmonique à l'ajout près du poids $\varphi_{\infty}$ d{\it e} $h_{\infty}$, et donc localement majorée. Comme on s'intéresse aux métriques uniquement à équivalence de singularités près, on peut toujours ajuster $\psi$ par une constante en sorte que $\displaystyle \sup_{X}\psi=0$. On pose maintenant $$ h_{\min}=h_{\infty}e^{-2\psi_{\min}},\ \psi_{\min}(x)=\sup_{\psi}\psi(x) $$ où le $\displaystyle \sup$ est étendu à toutes les fonctions $\psi$ telles que $\displaystyle \sup_{X}\psi=0$ et $\displaystyle \frac{i}{\pi}\partial\overline{\partial}\psi\geq-u$. D'après les résultats standards sur les fonctions plurisousharmoniques (cf. Lelong 78 \medskip (852) {\it MÉ}$\acute{}${\it THODES} $L^{2}$ {\it ET RÉ}$\acute{}${\it SULTATS EFFECTIFS} [Le169] $),\ \psi_{\min}$ vérifie encore $\displaystyle \frac{i}{\pi}\partial\overline{\partial}\psi_{\min}\geq-u$ (Le. le poids $\varphi_{\infty}+\psi_{\min}$ de $h_{\min}$ est plurisousharmonique), et $h_{\min}$ est évidemment la métrique à singularité minimale cherchée. $\square $ Étant donné une section $\sigma\in H^{0}(X,\ mL)$ alors $h(\xi)=|\xi^{m}/\sigma(x)|^{1/m}$ définit évidemment une métrique singulière sur $L$, qui a nécessairement au moins autant de singularités que $h_{\min}$, i.e. $\displaystyle \frac{1}{m}\log|\sigma|\leq\varphi_{\min}+C$ localement. En particulier $|\sigma|^{2}e^{-2m\varphi_{\min}}$ est localement bornée, en sorte que $\sigma\in H^{0} (X,\ mL\otimes?(h_{\min}^{m}))$, et on a donc pour tout $m>0$ un isomorphisme $$ H^{0}\ (X,\ mL\otimes 9(h_{\min}^{m}))\ \rightarrow^{\simeq}H^{0}(X,\ mL). $$ En vertu de cet isomorphsme, on dira que 1`ensemble \begin{center} (4.1.3) $E_{+}(h_{\min})=\{x\in X;\nu(\varphi_{\min},\ x)>0\}$ \end{center} est {\it l}'{\it ensemble-base virtuel} de $L$. On a toujours $E_{+}(h_{\min})\displaystyle \subset\bigcap_{m>0}B_{|mL|}$ et il peut $\mathrm{y}$ avoir inclusion stricte, notamment si les $mL$ n'ont aucune section non nulle (c'est le cas si $L$ est un fibre plat générique, bien qu on ait alors $E_{+}(h_{\min})=\emptyset)$. Si $h$ est une métrique hermitienne singulière telle que $\Theta_{h}(L)\geq 0$ et 4.1.4 $H^{0}(X,\ mL\otimes 9(h^{m}))\simeq H^{0}(X,\ mL)$ pour tout $m\geq 0$, on dira que $h$ est une {\it dé}$\acute{}${\it composition de Zariski analytique} de $L$. On vient de voir qu'une telle décomposition existe toujours et que $h=h_{\min}$ répond à la question. Cette définition est motivée par l'analogue algébrique (qui ne conduit pas toujours à une réponse affirmative, loin s'en faut) : on dit que $L$ admet une {\it décomposition} {\it de Zariski algébrique} s'il existe un entier $m_{0}$ tel que $m_{0}L\simeq(0(E+D)$ où $E$ est un diviseur effectif et $D$ un diviseur nef, en sorte que $H^{0}(X,\ kD)\simeq H^{0}(X,\ km_{0}L)$ pour tout $k\geq 0$. Si $0(D)$ est semi-ample, il $\mathrm{y}$ a alors une métrique lisse à courbure semi-positive sur $(0(D)$, et on en déduit une métrique singulière $h$ sur $L$ de courbure $\displaystyle \frac{1}{m_{0}}(\Theta(0(D))+[E])$, dont les pôhe sont consstiués du diviseur effectif $\displaystyle \frac{1}{m_{0}}E$. Pour cette métrique, on a éviid emment $\mathrm{J}(h^{km_{0}})=(0(-kE)$, de sorte que 4.1.4 est réalisé au moins si $m$ eet $\mathrm{mullt}_{\mathrm{i}}\mathrm{ple}$ de $m_{0}$. 4.2. Une propriiéé uniforme de génératton glo bale Il s'agit $\mathrm{d}$ `un rrésultat qui, $\mathrm{d}$ une certaine maniière donne une ''borne infe'rieure uniforme'' pour le prro dui tensoriel $L\otimes?(h)$, lorsque $h$ est une méttique sSingulère quelconque à courbure $\geq 0$ ssu $L$. 79 \medskip {\it J}.-{\it P. DEMAILLY} \begin{proposition} 4.2.1. Proposition. {\it Soit} $E$ {\it un fibre en droites ample au-dessus d}'{\it une variété com}- {\it plexe compacte} $X$ {\it de dimension} $n$, {\it tel que pour tout point} $x_{0}$ {\it de} $X$ {\it il existe un nom}- {\it bre fini d}'{\it e}$\acute{}${\it lé}$\acute{}${\it ments de} $H^{0}(X,\ E)$ {\it qui s}'{\it annulent chacun à l}'{\it ordre} $n+1$ {\it au moins} {\it en} $x_{0}$, {\it et sans zé}$\acute{}${\it ros communs sur} $X\backslash \{x_{0}\}$. {\it Alors pour tout fibre en droites} $L$ {\it sur} $X$ {\it ayant une mé}$\acute{}${\it trique hermitienne singulière localement de la forme} $e^{-\xi}$ {\it avec} $\xi$ {\it plurisousharmonique d}'{\it idé}$\acute{}${\it al multiplicateur associé}$\acute{} \mathrm{U}(\xi)$, {\it l}'{\it espace des sections globales} $H^{0} (X,\ 0(Kx+E+L)\otimes \mathrm{J}(\xi))$ {\it engendre le faisceau} $0(K_{X}+E+L)\otimes 0(\xi)$ {\it en tout} {\it point de} $X$. \end{proposition} {\it Preuve}. Nous ne donnerons pas beaucoup de détals. Il $\mathrm{y}$ a deux ingrédients clés. $\mathrm{D}$ `une part, pour tout germe $f$ de $(0(K_{X}+E+L)\otimes\sigma(\xi)$, le théorème de Hôôrmander- Bombieri permet d{\it e} trouver une section globale $\sigma$ pour laquelle \begin{center} (4.2.2) $\displaystyle \int_{V(x_{0})}|f(x)-\sigma(x)|^{2}e^{-2\xi}|x-x_{0}|^{-2(n+1-\xi \mathrm{i})}dV<\infty$ \end{center} au voisinage du point donné $x_{0}$. L{\it e} second ingrédient-clé est le théorème d{\it e} division $L^{2}$ d{\it e} Skoda [ $\mathrm{Sko}72\mathrm{b}$, Th. 1 p. 555-556]. Celui-ci permet en effet de déduire de (4.2.2) que $f-\sigma\in(0 (K_{X}+E+L)\otimes \mathrm{J}(\xi)\otimes \mathfrak{m}_{X,x_{0}}$. On conclut alors par le lemme de Nakayama. 4.3. Le théorème $\mathrm{d}$ `extension $L^{2}$ de Ohsawa-Takegoshi-Manivel. Il s'agit $\mathrm{d}$ `un théorème de prolongement de sections $L^{2}$ de fibre's holomorphes à partir d'une sous-variété de la variété ambiante. C{\it e} théorème fondamental a été d'abord démontré par Ohsawa-Takegoshi [OT87, Ohs88], puis raffiné par L Manivel [Man93] (au total, la preuve du théorème $\mathrm{d}$ `iinvarance des plurigenres utilise donc 3 types essentiellement différents de théorèmes $\mathrm{d}$ `existence $L^{2}$!). Nous énoncerons ici seulement le cas très particulier qui nous intéresse. \begin{theorem} 4.3.1. Théorème. {\it Soit} $\gamma$ : $ X\rightarrow\triangle$ {\it une famille projective de variétés complexes com}- {\it pactes paramé}$\acute{}${\it tré}$\acute{}${\it es par le disque ouvert unité}$\acute{} \triangle\subset \mathbb{C}$. {\it Soit} $X_{0}=\gamma^{-1}(0),\ n=\dim_{\mathbb{C}}X_{0}$, {\it et soii} $L$ {\it un fibre holomorphe en droites muni d}'{\it une mé}$\acute{}${\it trique hermitienne localement} {\it repre}$\acute{}${\it sentté par} $e^{-\chi}$, {\it telle que} $ i\partial\overline{\partial}\chi\geq\omega$ {\it dans le sens de courants, pour une certaine} (1, 1)-{\it forme positive} $\omega$ {\it sur X Soit} $00$ convenables et $a$ assez grand. $\mathrm{D}$ `après l{\it e} choix de $t_{1}$, toute section non nulle de $H^{0}(X_{t_{1}},\ aK_{X_{t_{1}}}-F)$ s`étend {\it e}n une section $s$ d{\it e} $H^{0}(X,\ aK_{X}-F)$, donc $aK_{X}=D+F$ où $D$ est l{\it e} diviseur de $s$. Si nécessairi , on peut éliminnr la composante $X_{0}$ dans la décomposition de $D$ en divisant $s$ par une puissance convenable de $t.\ \square $ $\mathrm{L}$ `étape suivante est d{\it e} construire des métriques hermitiennes suu $K_{X_{0}}$ et $K_{X}$, respectivement, {\it e}t de comparer leurs faisceaux $\mathrm{d}$ `iddaux multiplicateurs. D'après la section 4.1, il existe une métrique à singularités minimales sur $X_{0}$ (unique à équi- valence d{\it e} singularité près)s On notera $\varphi_{0}$ le poids de cette mététruu D{\it e} mmêm il existe une métrique à singularités minimales sur tout voisinage eelel avement compact 81 \medskip {\it J}.-{\it P. DEMAILLY} d{\it e} $X_{0}$ dans $X$, {\it e}t quitte à rétrécir la base $\triangle$ on peut supposer que cette métrique existe sur l'espace total $X$ tout entier. On notera $\varphi$ {\it la restriction à} $X_{0}$ du poids de cette métrique. Par définition, $\varphi$ est au moins aussi singulier que $\varphi_{0}$ sur $X_{0}$, et après ajout éventuel d'une constante on $\mathrm{p}$ eut supposer que $\varphi\leq\varphi_{0}$. Par ailleurs, d'après le lemme 4.4.1, on peut choisir un entier $a\geq 2$ tel que $aK_{X}=D+F$, où $D$ est un diviseur effectif sur $X$ n{\it e} contenant pas $X_{0}$, {\it e}t $F$ un fibre' {\it e}n droites positif sur $X$. Quitte à remplacer $a$ par un multiple assez grand, on peut faire les hypothèses supplémentaires suivantes: (4.4.2) {\it pour tout} $x_{0}\in X_{0}$, {\it il existe un nombre fini d}'{\it e}$\acute{}${\it léments de} $H^{0}(X,\ F-2K_{X})_{|X_{0}}$ {\it dont le lieu des zéros communs est réduit au singleton} $\{x_{0}\}$, {\it et s}'{\it annulant à un ordre} {\it au moins égal à} $n+1$ {\it en} $x_{0}$. (4.4.3) {\it une base des sections de} $H^{0}(X,\ F)_{|X_{0}}$ {\it fournit un plongement de} $X_{0}$ {\it sur une} {\it sous-variété d}'{\it un espace projectif complexe}. Soit $s_{D}$ la section canonique du fibre' {\it e}n droites $(0 (D)$, d{\it e} sorte que l{\it e} diviseur de $s_{D}$ est $D$. Soient $u_{1},\ \ldots,\ u_{N}\in H^{0}(X,\ F)$ des sections $\mathrm{t}$ elles que $$ u_{1|X_{0}},\ \ldots,\ u_{N|X_{0}} $$ forment une base de $H^{0}(X,\ F)_{|X_{0}}$. Puisque $s_{D}u_{j}\in H^{0}(X,\ aK_{X})(1\leq j\leq N)$, on obtient une métrique hermitienne $$ e^{-\psi}=(\frac{1}{|s_{D}|^{2}\sum|u_{j}|^{2}})^{\frac{1}{a}} $$ sur l{\it e} fibre' en droites $K_{X}$. De plus $$ \psi=\frac{1}{a}(\log|s_{D}|^{2}+\chi) $$ où $\displaystyle \chi=\log(\sum|u_{j}|^{2})$ définit une métrique hermitienne d{\it e} classe $ c\infty$ à courbure positive sur $F$. Par conséquent, $ i\partial\overline{\partial}\psi$ est un courant défini positif. En outre, les singularités d{\it e} $\psi$ sur $X$ sont au moins aussi grandes que celles du poids $\varphi$ qui a les singula- rités minimales sur $X$. En ajustant de nouveau les constantes si nécessaire, on peut énoncer l{\it e} \begin{lemma} 4.4.4. Lemme. {\it La métrique hermitienne} $e^{-\psi}$ {\it est à courbure définie positive et} $\psi\leq\varphi\leq\varphi_{0}$ {\it sur} $X_{0}$. \end{lemma} L'argument crucial est un résultat de comparaison des faisceaux d'ddé aux multi- plicateurs sur $X_{0}$ définis par $\ell\varphi_{0}$ et $ l\varphi$, respectivement, lorsque $\ell$ est grand. Dans tout 82 \medskip (852) {\it MÉ}$\acute{}${\it THODES} $L^{2}$ {\it ET RÉ}$\acute{}${\it SULTATS EFFECTIFS} le reste de cet exposé, la notation $f((\ell+a-\epsilon)\varphi+\epsilon\psi)$ désignera un faisce au d'ddéaux sur $X_{0}$ (et non pas un faisceau d'déaux sur $X$, même si le poids est éventuellement défini sur $X$ tout entier). \begin{proposition} 4.4.5. Proposition. {\it Choisissons} $00$ et une section $s\in H^{0}(X_{0},\ mK_{X_{0}})$ quelconque. Par définition de $\varphi_{0}$, on a $|s|^{2}\leq Ce^{m\varphi_{0}}$ sur $X_{0}$. Si $s_{D}$ est la section canonique de (9 $(-D)$ de diviseur $D$, on en déduit que $s^{p}s_{D}$ est localement $L^{2}$ par rapport au poids $e^{-\ell m\varphi_{0}-(a+\epsilon)\psi}$, car $ a\psi$ possède la même singularité que $\log|S_{D}|^{2}$ {\it e}t $e^{-\epsilon\psi}$ est supposée 84 \medskip (852) {\it MÉTHODES} $L^{2}$ {\it ET RÉSULTATS EFFECTIFS} localement intégrable sur $X_{0}$. Les fonctions trivialisant $s^{l}s_{D}$ sont localement dans l{\it e} faisce au $\mathrm{d}$ `idéaux $\mathrm{J}((\ell m-\epsilon)\varphi_{0}+(a+\epsilon)\psi).\ \mathrm{D}$ `après la Proposition 4.45, elles appartiennent à $T((\ell m-1-\epsilon)\varphi+\epsilon\psi)$, i.e. $$ \int_{U}|s^{\ell}s_{D}|^{2}e^{-(\ell m-1-\epsilon)\varphi-\epsilon\psi}<+\infty $$ sur tout ouvert $U$ suffisamment petit tel que $K_{X_{0}}|U$ {\it e}t $0(-D)|U$ soient triviaux. $\mathrm{D}$ une manière équivalentee on peut écrire $$ \int_{U}|s|^{2\ell}e^{-(fm-1-\epsilon)\varphi+(a-\epsilon)\psi}<+\infty. $$ Prenons $\ell$ assez grand pour que $ a/(l-1)\leq\epsilon$, de sorte que $e^{\varphi-\frac{a}{\ell-1}\psi}\leq Ce^{-\xi j\psi}$ ssoi int égrabh sur $U.\ \mathrm{D}$ `après 1`inégaliié de Hölder $\mathrm{d}$ `exposantt conjugués $\ell,\ \ell'=\ell/(\ell-1)$, on trouve $+\displaystyle \infty>(\int_{U}|s|^{2\ell}e^{-(\ell m-1-\epsilon)\varphi+(a-\epsilon)\psi})^{1/p}(\int_{U}e^{\varphi-\frac{a}{\ell-1}\psi})^{(l-1)/\ell}$ $$ \geq\int_{U}|s|^{2}e^{-(m-\frac{1}{\ell}-\frac{\epsilon}{\ell})\varphi+(\frac{a}{\ell}-\frac{\epsilon}{p})\psi_{e^{(1-\frac{1}{p})\varphi-\frac{a}{\ell}\psi}=}}\int_{U}|s|^{2}e^{-(m-1-\delta)\varphi-\delta\psi} $$ avec $\delta=\epsilon/\ell$. On peut considérer $s$ comme une section de $K_{X_{0}}+L_{|X_{0}}$ avec $L=(m-1)K_{X}$. Le poids $(m-1-\delta)\varphi-\delta\psi$ ddfinit une méétriqu hermitienne sur $L$ à courbure définie positive, {\it e}t $s$ est globalement $L^{2}$ par rapport à cette méétrique $\mathrm{D}$ `après l{\it e} théorème $\mathrm{d}$ `ext ension de Ohsawa-Takegoshi-Manivel, on peut par cconé- quent étendde $s$ {\it e}n une section $\tilde{s}\in H^{0}(X,\ K_{X}+L)=H^{0}(X,\ mK_{X})$, évvetuulleemnt après avoir tronqué $\triangle$. Ceci termine la preuve du thhorèmee BIBLIOGRAPHIE [AN54] Y. Akizuki and S. Nakano -{\it Note on Kodaim-Spencer}'{\it s proof of Lefschetz} {\it theorems}, Proc. Jap. Acad. 30 (1954), 266-272. [AS95] U. Angehm and Y.T. Siu-{\it Effective freeness and point separation for adjoint} {\it bundles}, Invent. Math. 122 (1995), 291-308. [AV65] A. Andreotti and E. Vesentini-{\it Carleman estimates for the Laplace-Beltrami} {\it equation in complex manifolds}, Publ. Math. I.H.E.S. 25 (1965) 81-130. 85 \medskip {\it J}.-{\it P. DEMAILLY} [BeS93] M. Beltrametti and A.J. Sommese- {\it On k-jet ampleness}, Complex Analysis and Geometry, Univ. Séries in Math., edited by V. Ancona and A. Silva, Plénum Press, New-York, (1993), 355-376. [BFS89] M. Beltrametti, P. Francia and A.J. Sommese -{\it On Reider}'{\it s method and} {\it higher order embeddings}, Duke Math. J. 58 (1989), 425-439. [Boc48] S. Bochner- {\it Curvature and Betti numbers} ({\it I}) {\it and} ({\it II}), Ann. of Math. 49 (1948), 379-390; 50 (1949), 77-93. [Bom70] E. Bombieri -{\it Algebraic values of meromorphic maps}, Invent. Math. 10 (1970), 267-287 and {\it Addendum}, Inve nt. Math. 11 (1970), 163-166. [Bon93] L. Bonavero-{\it Inégalités de Morse holomorphes singulières}, C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. I 317, n${}^{\text{o}}$12, 1163-1166 (1993) [Dem82] J.-P. Demailly-{\it Estimations} $L^{2}$ {\it pour} $l' op\acute{e}rateur \overline{\partial}$ {\it d}'{\it un fibre vectoriel holo}- {\it morphe semi-positif au-dessus d}'{\it une variété kâhlérienne complète}, Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. 15 (1982), 457-511. [D {\it e}m85] J.-P. Demailly- {\it Champs magnétiques et inégalités de Morse pour la} $d''$-{\it coho}- {\it mologie}, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 35 (1985), 189-229. [Dem89] J.-P. Demailly -{\it Transcendental proof of a generalized Kawamata-Viehweg} {\it vanishing theorem}, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 309 (1989), 123- 126 and: Proceedings of the Conférence ''Geometrical and algebraical aspects in sev- eral complex variables'' held at Cetraro, Univ. délia Calabria, June (1989). [Dem90] J.-P. Demailly-{\it Singular hermitian metrics on positive Une bundles}, Proc. Conf. Complex algebraic varieties (Bayreuth, April2-6, 1990), edited by K. Hulek, T. Peternell, M. Schneider, F. Schreyer, Lecture Notes in Math., Vol. 1507, Springer-Verlag, Berlin, (1992). [Dem93] J.-P. Demailly -{\it A numerical criterion for very ample Une bundles}, J. Dif- ferential Geom. 37 (1993), 323-374. [Dem96] J.-P. Demailly-{\it Effective bounds for very ample Une bundles}, Invent. Math. 124 (1996), 243-261. [Dem98] J.-P. Demailly-{\it Pseudoconvex-concave duality and regularization of currents}, Prépublication Institut Fourier, Septembre 1998, $40\mathrm{p}$. [DK99] J.-P. Demailly, J. Kollâr-{\it Semi-continuity of complex singularity exponents} {\it and Kâhler-Einstein metrics on Fano manifolds}, prépublication Institut Fou- rier 1999. [DPS94] J.-P. Demailly, Th. Peternell, M. Schneider -{\it Compact complex manifolds} {\it with numerically effective tangent bundles}, J. Algebraic Geometry 3 (1994) 86 \medskip (852) {\it MÉ}$\acute{}${\it THODES} $L^{2}$ {\it ET RÉ}$\acute{}${\it SULTATS EFFECTIFS} 295-345. [DPS98] J.-P. Demailly, Th. Petemell, M. Schneider -{\it Pseudo-effective Une bundles} {\it on projective varieties}, manuscript in préparation (1998). [Ein94] L. Ein-{\it Note on higher dimensional adjoint linear systems}, preprint 1994, personal communication to the author. [EKL95] L. Ein, O. Kuchle and R. Lazarsfeld-{\it Local positivity of ample Une bundles}, J. Differ. Geom. 42, (1995), 193-219. [EL92] L. Ein and R. Lazarsfeld-{\it Seshadri constants on smooth surfaces}, Journées d{\it e} Géométrie Algébrique $\mathrm{d}$ `Orsay, Juillet 1992, Astérisque 282 (1993), 177- 186. [EL93] L. Ein and R. Lazarsfeld -{\it Global génération of pluricanonical and adjoint} {\it linear séries on smooth projective threefolds}, Jour. of Am. Math. Soc. 6 (1993), 875-903. [EL95] L. Ein and R. Lazarsfeld -{\it Global génération of linear séries on terminal} {\it threefolds}, Intern. J. Math. 6 (1995) 1-18. [EV86] H Esnault and E. Viehweg-{\it Logarithmic De Rham complexes and vanishing} {\it theorems}, Inve nt. Math. 86 (1986) 161-194. [EV92] H Esnault and E Viehweg-{\it Lectures on vanishing theorems}, DMV Seminar, Band 20, Birkhàuser Verlag (1992). $[\mathrm{FdB}95]$ G. Fernândez del Busto-{\it Bogomolov instability and Kawamata-Viehweg van}- {\it ishing}, J Algebr. Geom. 4 (1995) 693-700. $[\mathrm{FdB}96]$ G. Fernândez del Busto-{\it A Matsusaka-type theorem on surfaces}, J Algebr. Geom. 5 (1996), 513-520. [Fuj83] T Fujita-{\it Semipositive Une bundles}, J Fac. Sci. Univ. of Tokyo 30 (1983), 353-378. [Fuj87] T Fujita-{\it On polarized manifolds whose adjoint bundles are not semiposi}- {\it tive}, Algebraic Geometry, Sendai, 1985, Adv. Stud. in Pure Math., Vol. 10, North Holland, T Oda (éd.) (1987), 167-178. [Fuj88] T Fujita -{\it Problem list}, Conférence held at the Taniguchi Foundation, Katata, Japan, August 1988. [Fuj93] T Fujita -{\it Remarks on Ein-Lazarsfeld criterion of spannedness of adjoint} {\it bundles of polarized threefolds}, preprint 1993. [Gra60] H Grauert -{\it Ein Theorem der analytischen Garbentheorie und die Modul}- {\it râ} $ume$ {\it komplexer Strukturen}, Publ. Math. I.H.E.S. 5 (1960), 233-292. [Gri69] P.A. Griffîths-{\it Hermitian differential geometry, Chern classes and positive} {\it vector bundles}, Global Analysis, papers in honor of K Kodaira, Princeton 87 \medskip {\it J}.-{\it P. DEMAILLY} Univ. Press, Princeton, 1969, 181-251. [GH78] P.A. Griffiths, J. Harris-{\it Principles of algebraic geometry}, Wiley, New York (1978). [Hel97] S. Helmke- {\it On Fujita}'{\it s conjecture}, Duke Math. J. 88 (1997), 201-231. [Hel98] S. Helmke- {\it Global génération of adjoint linear systems}, Communication au Congrès d'Oberwolfach ''Komplexe Analysis'', Septembre 1998. [Hir64] H. Hironaka-{\it Resolution of singularities of an algebraic variety over a field} {\it of characteristic zéro}, Ann. of Math. 79 (1964) 109-326. [Hôr65] L. Hôrmander-{\it L}2 {\it estimâtes and existence theorems for the} $\overline{\partial}$ {\it operator}, Acta Math. 113 (1965), 89-152. [Hôr66] L. Hôrmander-{\it An introduction to Complex Analysis in several variables}, 1966, 3rd édition, North-Holland Math. Libr., vol.7, Amsterdam, London (1990). [Kaw82] Y. Kawamata-{\it A generalization of Kodaira-Ramanujam}'{\it s vanishing theo}- {\it rem}, Math. Ann. 261 (1982), 43-46. [Kaw84] Y. Kawamata- {\it The cône of curves of algebraic varieties}, Ann. of Math. 119 (1984) 603-633. $[\mathrm{Kaw}97\mathrm{a}]$ Y. Kawamata- {\it On Fujita}'{\it s freeness conjecture for 3-folds and} 4-{\it folds}, Math. Ann. 308 (1997), 491-505. $[\mathrm{Kaw}97\mathrm{b}]$ Y. Kawamata-{\it Déformation of canonical singularities}, alg-geom/9712018 (1997), to appear in J. Amer. Math. Soc. [Kaw98] Y. Kawamata- {\it On the extension problem of pluricanonical forms}, preprint Univ. of Tokyo at Komaba, September 1998. [KMM87] Y. Kawamata, K. Matsuda and K. Matsuki -{\it Introduction to the mini}- {\it mal problem} Algebraic $\mathrm{G}$ eometry, Sendai, 1985, Adv. Stud. in Pure Math., Vol. 10, T. Oda (éd.), North Holland, Amsterdam (1987), 283-360. [Kod53] K. Kodaira -{\it On a differential géométric method in the theory of analytic} {\it stacks}, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 39 (1953), 1268-1273 [Kod54] K. Kodaira- {\it On Kâhler varieties of restricted type}, Ann. of Math. 60 (1954), 28-48. [Kol92] J. Kollâr-{\it Effective basepoint freeness}, Math. Ann. 296 (1993), 595-605. [Kol95] J. Kollâr-{\it Singularity of pairs}, Preprint University of Utah, Novemb {\it e}r 1998. $[\mathrm{KoM}83]$ J. Kollâr and T. Matsusaka-{\it Riemann-Roch type inequalities}, Amer. J. of Math. 105 (1983), 229-252. $[\mathrm{KoMM}92]$ J. Kollâr, Y. Miyaoka and S. Mori-{\it Rational connectedness and boundedness} {\it of Fano manifolds}, J. Differential Geom. 36 (1992), 765-779. 88 \medskip (852) {\it MÉTHODES} $L^{2}$ {\it ET RÉSULTATS EFFECTIFS} [Laz93] R Lazarsfeld, -{\it Lectures on linear séries, with the assistance of G. Fernândez} $del$ {\it Busto}, Lectures of a summer program on Complex Algebraic Geometry, Park City, 1993, Amer. Math. Soc, IAS/Park City Math. Ser. 3 (1997), 163-219. [Lel57] P. Lelong-{\it Intégration sur un ensemble analytique complexe}, Bull. Soc. Math. France 85 (1957), 239-262. [Lel69] P. Lelong-{\it Plurisubharmonic functions and positive differential forms}, Gor- don and Breach, New-York, and Dunod, Paris (1969). [Man9{\it 3}] L. Manivel- {\it Un théorème de prolongement} $L^{2}$ {\it de sections holomorphes d}'{\it un} {\it fibré vectoriel}, Math. Zeitschrift 212 (1993) 107-122. [Mat72] T. Matsusaka-{\it Polarized varieties with a given Hilbert polynomial}, Amer. J. of Math. 94 (1972), 1027-1077. [Mor82] S. Mori-{\it Threefolds whose canonical bundles are not numerically effective}, Ann. of Math. 116 (1982), 133-176. [Nad89] A.M. Nadel-{\it Multiplier idéal sheaves and Kâhler-Einstein metrics of positive} {\it scalar curvature}, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 86 (1989), 7299-7300 and Annals of Math., 132 (1990), 549-596. [Nak55] S. Nakano - {\it On complex analytic vector bundles}, J. Math. Soc. Japan 7 (1955), 1-12. [Ohs88] T. Ohsawa- {\it On the extension of} $L^{2}$ {\it holomorphic functions, II}, Publ. RIMS, Kyoto Univ. 24 (1988), 265-275. [OT87] T. Ohsawa and K. Takegoshi-{\it On the extension} $ofL^{2}$ {\it holomorphic functions}, Math. $\mathrm{Z}$ eitschrift 195 (1987), 197-204. [Rei88] I. Reider- {\it Vector bundles of rank 2 and linear systems on algebraic surfaces}, Ann. of Math. 127 (1988), 309-3{\it 3}.1 [Rh55] G. De Rham- {\it Variétés différentiables}, Hermann, Paris (1955). [Sak88] F. Sakai-{\it Reider-Serrano}'{\it s method on normal surfaces}, Proc. Int ern. Conf. on Algebraic Geometry (L'Aquila, June 1988), Lecture Notes in Math., Vol. 1417, Springer-Verlag, Berlin, 1990, 301-319. [Sch74] M. Schneider-{\it Ein einfacher Beweis des Verschwindungssatzes für positive} {\it holomorphe Vektorraumbûndel}, Manuscripta Math. 11 (1974), 95-101. $[\mathrm{ShSo}85]$ B. Shiffman, A.J. Sommese - {\it Vanishing theorems on complex manifolds}, Progress in Math. no 56, Birkhàuser (1985). [Sho85] V. Shukorov- {\it The non-vanishing theorem}, Math. U.S.S.R. Izv. 19 (1985), 591-607. [Siu74] Y.T. Siu-{\it Analyticity of sets associated to Lelong numbers and the extension} 89 \medskip {\it J}.-{\it P. DEMAILLY} {\it of closed positive currents}, Invent. Math. 27 (1974), 53-156. [Siu93] Y.T. Siu-{\it An effective Matsusaka big theorem}, Ann. Inst. Fourier 43 (1993), 1387-1405. [Siu95] Y.T. Siu- {\it Very ampleness criterion of double adjoint of ample Une bundles}, Princeton Conf. in honor of Robert C. Gunning and Joseph J. Kohn, Prince- ton University, NJ, USA, Mar. 16-20, 1992; Ann. Math. Stud. 137 (1995), 291-318. [Siu96] Y.T. Siu-{\it Effective Very Ampleness}, Invent. Math. 124 (1996), 563-571. [Siu97] Y.T. Siu-{\it Invariance of Plurigenera}, manuscript Octob {\it e}r 1997, to appear in Inventiones Math. $[\mathrm{Sko}72\mathrm{a}]$ H. Skoda-{\it Sous-ensembles analytiques d}'{\it ordre fini ou infini dans} $\mathbb{C}^{n}$, Bull. Soc. Math. France 100 (1972), 353-408. $[\mathrm{Sko}72\mathrm{b}]$ H. Skoda -{\it Applications des techniques} $L^{2}$ {\it à la théorie des idéaux d}'{\it une} {\it algèbre de fonctions holomorphes avec poids}, Ann. Scient. Ec. Norm. Sup. $4e$ Série 5 (1972), 545-579. [Sko75] H. Skoda-{\it Estimations} $L^{2}$ {\it pour} $l' op\acute{e}rateur \overline{\partial}$ {\it et applications arithmétiques}, Séminaire P. Lelong (Analyse), année 1975/76, Lecture Notes in Math., Vol. 538, Springer-Verlag, Berlin (1977), 314-323. [Tsu96] H. Tsuji-{\it Global génération of adjoint bundles}, Nagoya Math. J. 142 (1996), 5-16. [Vie82] E. Viehweg- {\it Vanishing theorems}, J. Reine Angew. Math. 335 (1982), 1-8. Jean-Pierre Demailly Université d{\it e} Grenoble 1 Institut Fourier, UMR 5582 du CNRS B.P. 74, route des Maths F-38402 Saint-Martin-d`Hères Cedex E-mail: Jean-Pierre.Demailly@ujf-grenoble.fr 90 \end{document}