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\pagestyle{empty}

\begin{document}

MESURES DE MONGE-AMPERE
structures algébriques $(\mathrm{X}, ^{\mathrm{K}_{\varphi}\langle \mathrm{X})}\cap \mathrm{O}(\mathrm{X}))$ et $\langle\Omega.\mathrm{B}\langle \mathrm{Q})$ sont isomorphes.
PROPOSITION 13.3. -
(a) $\mathrm{F}^{*}$ : $\mathrm{K}\langle \mathfrak{g}\rightarrow \mathrm{K}_{\varphi}\{\mathrm{X}) \underline{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}$un isomorphisme.
$$
(\mathrm{b})\ \mathrm{F}^{*}\mathrm{R}(\mathrm{Q}=\mathrm{K}_{\varphi}\{\mathrm{x}\gamma\cap \mathrm{O}(\mathrm{X})
$$
Démons tration.
(a) Il suffit de démontrer la surjectivité de $\mathrm{F}^{*}$ Or, si $\mathrm{g}\in \mathrm{K}_{\varphi}\langle \mathrm{X})$
la fonction $\mathrm{g}$ est algébrique sur CE $\{\mathrm{f}_{1},\ldots,\ \mathrm{f}_{\mathrm{N}})$ d'après il.6. Par suite
$-1$
$\mathrm{g}_{0}\mathrm{F}$ est méromorphe sur $\Omega$ et algébrique sur $\mathrm{Kt}\Omega$ Il en résulte que
$-1$
$\mathrm{g}_{0}\mathrm{F} \in \mathrm{K}\{\Omega)=\mathrm{K}\langle \mathrm{M})$. en raisonnant par exemple comme à la fin de la dé-
monstration 12.9.
$\zeta \mathrm{b})$ se déduit aussitôt de (a) , à condition de vérifier l'égalité
$\mathrm{R}\langle\zeta)=\kappa\langle\omega\cap$\fbox{} (Q). $\mathrm{L}$'inc lusion $\subset$ es tclaire. Inversement, étant donné
anal
$\mathrm{g}\in \mathrm{K}\langle\Omega)$ et $\mathrm{x}\in\Omega$. soit $\mathrm{g}=\mathrm{u}/\mathrm{v}$ où $\mathrm{u},\ \mathrm{v} 0$ une écriture irré-
$\mathrm{x}$, alg.
ductible de $\mathrm{g}$ au point $\mathrm{x}$ (qui est lisse par hypothèse). Cette écriture est
aussi irréductible dans \fbox{} Comme $\mathrm{g}\in O$ on a donc $\mathrm{v}\langle \mathrm{x})\neq 0$,
$\mathrm{x}$. anal $\mathrm{x}$. anal 
par suite $\mathrm{g}\in O$ et $\mathrm{g}\epsilon \mathrm{R}\langle \mathrm{f}).\ \blacksquare$
$\mathrm{x}$, aig
Pour achever la preuve du théorème 9. 1 `. ll reste maintenant à
montrer que $\Omega$ est algébriquement isomorphe à une variété algébrique
affine, autrement dit ll faut prouver l'existence d'un plongement algébrique
$$
\mathrm{N}'
$$
propre $0 =\mathrm{M}\backslash \mathrm{H}-0 \mathrm{C}'$ est facile si $\mathrm{M}$ est lisse, mais lorsque $\mathrm{M}$
est singulière 11 se peut que l'hypersurface algébrique $\mathrm{H}$ ne soit pas lO-
calement intersection complète, et dans cette situation Goodman $[\mathrm{Go}] \mathrm{a}$
donné des exemples pour lesquels l'algèbre $\mathrm{R} \langle \mathrm{M}\backslash \mathrm{H})$ n'est pas de type
fni. Je remercie N. Mok de m'avoir signalé cette difficulté, qui rendait
caduque ma démonstration initiale. Le raisonnement de ÏMok 2\} consiste
à observer que $\Omega$ est rationnellement convexe dans le sens suivant:
pour tout compac $\mathrm{t} \mathrm{K}\subset\zeta^{\backslash }$ l'enveloppe
$\hat{\mathrm{K}}=\{\mathrm{x}\in \Omega$ : $|\mathrm{g}\langle \mathrm{x})|\leq \displaystyle \sup_{\mathrm{K}}|\mathrm{g}|$ pour tout $\mathrm{g}\in \mathrm{R}(\mathrm{Q})\{$
est compacte. Ceci résulte en effet de 11.5 $\langle \mathrm{d})$ et du fait que $\Omega\approx \mathrm{X}$
101

J. P. DEMAILLY
est de Stein. On applique alors la partie (b) du théorème $\mathrm{cl}-\mathrm{d}\infty\S\alpha \mathrm{lS}$.
THEOREME 13.4. - Soit $\mathrm{M}\subset 0^{\mathrm{N}}$ une variété algébrique affine
(éventuellement singulière) de dimension pure $\mathrm{n}$, et $\mathrm{H}$ une
hypersurface algébrique de $\mathrm{N}$ . Alors $\mathrm{M}^{\backslash }\mathrm{J}\ddagger$ est isomorphe à
une variété algébrique affine sous l'une quelconque des deux
hypothèses suivantes:
$\langle \mathrm{a}) \mathrm{H}$ est localement intersection complète dans $\mathrm{M}$
(b) $\mathrm{M}\Psi$ est rationnellement convexe ([Mok 2]).
Démonstration sous l'hypothèse (a). Pour tout $\mathrm{x}\in$ H. il existe
par hypothèse un polynOme $\mathrm{p}\in \mathrm{G}[ \mathrm{z}_{1},\ldots.\mathrm{z}_{\mathrm{N}}]$ et un voisinage de Zariski
$$
-1
$$
V(x) $\subset \mathrm{M}$ tels que $\mathrm{H}\cap \mathrm{V}(\mathrm{x})=\mathrm{P}$ (0) $\cap \mathrm{V}(\mathrm{x})$ Soit $\mathrm{H}'$ la réunion des
$$
-1
$$
composantes irréductibles de $\mathrm{P}$ (0) non contenues dans $\mathrm{H}$ . Comme
$\mathrm{x}\not\in \mathrm{H}'$ . il existe un polynôme $\mathrm{Q}$ s'annulant sur $\mathrm{H}'$ , tel que $\mathrm{Q}(\mathrm{x})=1$
Le théorème des zéros de Hilbert entraîne l'existence d'un entier $\mathrm{s}\in$ IN
tel que $\mathrm{Q}^{8}/\mathrm{P}\in \mathrm{R}(\mathrm{MW})$ Comme la topologie de Zariski est quasi-
compacte, on peut extraire un recouvrement fni $\mathrm{V}\langle \mathrm{x}_{1})\ldots..\mathrm{V}\langle \mathrm{x}_{\mathrm{m}})$ de H.
et une famille finie de polynOmes $\mathrm{P}_{\mathrm{j}}$ , $\mathrm{Q}_{\mathrm{i}}\mathrm{s}_{]}$ associés aux points $\mathrm{x}_{\mathrm{j}}$
Notre construction montre alors que le morphisme
$$
\mathrm{s}_{1}\ \mathrm{s}_{\mathrm{m}}
$$
$$
(\mathrm{z}_{1},\ldots,\ \mathrm{z}_{\mathrm{N}'}\mathrm{Q}_{1}/\mathrm{P}_{1}\ldots.,\ \mathrm{Q}_{\mathrm{m}}/\mathrm{Pm}^{)}:\mathrm{M}\backslash \mathrm{H}\rightarrow 0^{\mathrm{N}+\mathrm{m}}
$$
est un plongement propre.
Démonstration sous l'hypothèse (b). On construit d'abord par
récurrence descendante sur $\mathrm{k}$ une suite de sous-variétés algébriques
$\mathrm{M}_{\mathrm{k}}\subset \mathrm{M}$ fermées, de dimension pure $\mathrm{k}$ . telles que $\mathrm{M}_{\mathrm{k}}\cap \mathrm{H}$ soit une
hypersurfac $\mathrm{e}$ de $\mathrm{M}_{\mathrm{k}}$ . On pose $\mathrm{M}_{\mathrm{n}}=\mathrm{M}$ : si $\mathrm{M}_{\mathrm{k}}$ a été construite, on
choisit un polynôme $\mathrm{P}_{\mathrm{k}}\in \mathrm{R} (\mathrm{M})$ s'annulant sur $\mathrm{H}$ mais ne s'annulant
identiquement sur aucune composante irréductible de $\mathrm{M}_{\mathrm{k}}$: on note
$$
-1
$$
alors $\mathrm{M}$ la réunion des composantes irréductibles de $\mathrm{M}\cap \mathrm{P} \langle 0)$
k-1 kk
non contenues dans $\mathrm{H}$
On démontre maintenant par récurrence croissante sur $\mathrm{k}$
102

MESURES DE MONGE-AMPEBE
l'existence de frac tions rationnelles $\mathrm{g}_{1},\ldots,\mathrm{g}_{\mathrm{m}_{\mathrm{k}}}\in \mathrm{R}(\mathrm{M}\backslash \ddagger \mathrm{D}$ telles que le
morphisme
$$
 1_{\mathrm{k}};\mathrm{tz}_{1},\ldots,\ \mathrm{z}_{\mathrm{N}},\ \mathrm{g}_{1},\ldots\prime \mathrm{g}_{\mathrm{m}_{\mathrm{k}^{)}}}:\mathrm{Mw}\ \rightarrow \mathrm{a}^{\mathrm{N}\mathrm{m}_{\mathrm{k}}}
$$
soit un plongement propre en restriction à $\mathrm{M}_{\mathrm{k}}\Psi$ (pour $\mathrm{k}=\mathrm{n}$ le théorè-
me sera ainsi démontré). Si $\mathrm{k}=$ dlm $\mathrm{M}_{\mathrm{k}}=1$, cette propriété est claire.
car l'hypothèse (b) et le principe du maximum entraînent $1'\underline{\mathrm{e}}-\mathrm{ste}\mathfrak{X}\mathrm{e}$ de
fractions rationnelles $\mathrm{g}_{1},\ldots,\ \mathrm{g}_{\mathrm{m}_{1}}\in \mathrm{R}\langle \mathrm{M}\backslash \mathrm{H})$ dont les restrictions à $\mathrm{M}_{1}$
ont des pôles aux différents points $\mathrm{x}_{1},\ldots.\mathrm{x}_{\mathrm{m}_{1}}$ de $\mathrm{M}_{1}\cap \mathrm{H}$ . Supposons
maintenant $\Phi_{\mathrm{k}}$ construit. Soit $\mathfrak{n}_{\mathrm{k}}:0^{\mathrm{N}+\mathrm{m}_{\mathrm{k}}}\rightarrow 0^{\mathrm{N}}$ la projection. $\overline{\mathrm{M}}$
l'adhérence de $\Phi_{\mathrm{k}}\langle \mathrm{M}\backslash \mathrm{H})$ dans $\mathrm{c}^{\mathrm{N}+\mathrm{m}_{\mathrm{k}}}$ et $\overline{\mathrm{H}}=\overline{\mathrm{M}}\cap \mathfrak{n}_{\mathrm{k}}\{\mathrm{H})-\iota$ , de sorte
que
$$
\Phi_{\mathrm{k}}:\mathrm{MV}\{\ \rightarrow\overline{\mathrm{M}}\backslash \overline{\mathrm{H}}
$$
$$
-1
$$
est un isomorphisme (d'inverse $1_{\mathrm{k}} =\mathfrak{n}_{\mathrm{k}|\overline{\mathrm{M}}\overline{\mathrm{V}\mathrm{i}}}$) . .Par hypothèse de r{\it é}-
currenc $\mathrm{e} \overline{\mathrm{h}}\mathrm{k}=\Phi_{\mathrm{k}}\langle \mathrm{M}_{\mathrm{k}}\mathrm{W}$ est une sous-variété algébrique fermée de
$$
-1
$$
$\overline{\mathrm{M}}_{\mathrm{k}+1}=\overline{\Phi_{\mathrm{k}}\langle \mathrm{M}_{\mathrm{k}+1}\backslash \mathrm{H}})$ Comme $\overline{\mathrm{M}}_{\mathrm{k}+1}\cap\langle \mathrm{P}_{\mathrm{k}}\circ \mathfrak{n}_{\mathrm{k}})$ (0) est la réunion dis-
jointe $(\overline{\mathrm{M}}_{\mathrm{k}+1}\cap\overline{\mathrm{H}})\cup\overline{\mathrm{M}}_{\mathrm{k}}$ , on voit que $\overline{\mathcal{K}}+1\cap \mathrm{H}$ est localement intersec-
tion complète dans $\overline{\mathrm{M}}$ (et $\mathrm{y}$ est localement définie par $\mathrm{P}\circ$ tt)
$$
\mathrm{k}+1\ \mathrm{k}\ \mathrm{k}
$$
Pour tout $\mathrm{x}\in\overline{\mathrm{M}}_{\mathrm{k}+1}\cap\overline{\mathrm{H}}$, il existe donc un poiynOme $\mathrm{Q}\in \mathrm{n} (\overline{\mathrm{m}})$ tel que
$\mathrm{Q}\langle \mathrm{x})=1$ . qui s'annule sur toutes les composantes irréducUbles de
$$
-1
$$
$(\mathrm{P}_{\mathrm{k}}\circ \mathfrak{n}_{\mathrm{k}}) \{0)$ ne rencontrant pas $\overline{\mathrm{M}}_{\mathrm{k}+1}\cap\overline{\mathrm{H}}$ On peut donc compléter $\Phi_{\mathrm{k}}$
en un morphisme $1_{\mathrm{k}+1}$ comme dans le cas (a) . en adjoignant à $\Phi_{\mathrm{k}}$
des fonctions $\mathrm{g}_{\mathrm{j}}=(\mathrm{Q}_{\mathrm{j}}\circ\Phi_{\mathrm{k}})^{\mathrm{S}}/\mathrm{P}_{\mathrm{k}}\mathrm{j}$ . $\mathrm{m}_{\mathrm{k}}<\mathrm{j}\leq \mathrm{m}_{\mathrm{k}+\iota}$ : alors
$8_{\mathrm{k}+1}:\mathrm{M}_{\mathrm{k}+1} \mathrm{j} \mathrm{k} \mathrm{j} \mathrm{k} \mathrm{k}$
$\backslash \mathrm{H}\rightarrow \mathrm{c}^{\mathrm{N}\mathrm{m}_{\mathrm{k}+1}}$ est propre, car les fonctions $\mathrm{gQ}\mathfrak{n} =\mathrm{Q}^{\mathrm{s}_{\mathrm{j}}}/\mathrm{P} \mathfrak{n}$
définissent un morphisme propre sur $\overline{\mathrm{M}}_{\mathrm{k}+1}\backslash \overline{\mathrm{H}}$ . $\blacksquare$
La propriété 13.3 (a) entraîne que $\mathrm{K}_{\varphi}\langle \mathrm{X})$ est engendré par
$\mathrm{f}_{1},\ \ldots,\ f_{\mathrm{N}}$ , et donc que $\mathrm{K}_{\varphi}\langle \mathrm{X})$ est aussi le corps des quotients de $\mathrm{A}_{\varphi}^{0}\langle \mathrm{X})$,
ce qui n'était nullement évident a priori. On peut en fait obtenir un ré-
sultat un peu plus précis.
103

J. P. DEMAILLY
PROPOSITION 13.5. - Sous l'hypothèse 9.1' $\mathrm{tb}' \mathrm{I}$ [resp. 9. 1 $(\mathrm{b}1$.
$\mathfrak{b}$ ( $\mathrm{X}]\underline{\mathrm{e}\S \mathrm{t}}$engendr6par $\mathrm{A}_{\varphi}^{\mathrm{b}}\langle \mathrm{X}$) $\underline{00} \displaystyle \mathrm{b}=\frac{2\mathrm{c}}{1+\mathrm{c}} [\underline{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{p}.}$par
$$
\mathrm{A}_{\varphi}^{2}(\mathrm{x}\gamma].
$$
Démonstration. Pour le voir, il suffit grâce au raisonnement
précédenn de $\infty \mathrm{nstmlre}$ un plongement injectif
$$
\mathrm{c}\ =\{\mathrm{g}_{1},\ldots.\mathrm{g}_{\mathrm{s}}):\mathrm{X}\rightarrow \mathbb{C}^{\mathrm{s}}\text{ . }\mathrm{g}_{\mathrm{j}}\epsilon\ \mathrm{A}^{\mathrm{b}}\langle \mathrm{X})\varphi\ .
$$
La proposition 11.5 (c) permet de $\infty$ nstruire pour tous po $ 1\iota \mathrm{A}\epsilon \mathrm{x}_{0}\in \mathrm{X}$
et $(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2})\in$ Xx $\mathrm{X}\backslash \Delta$ (où $\Delta=$ diagonale) des fonctions $\mathrm{g}_{1},\ldots,\mathrm{g}_{\mathrm{n}}$ ,
$\mathrm{g}\in \mathrm{A}^{\mathrm{b}}\varphi$ ( $\mathrm{X}\urcorner$ telles que dg $1\wedge\ldots\wedge \mathrm{dg}_{\mathrm{n}}\{\mathrm{x}_{0})\neq 0$ et $\mathrm{g}(\mathrm{x}_{1})\neq \mathrm{g}(\mathrm{x}_{2})$ . Comme
les ouve rts $[\mathrm{x} :\mathrm{dg}_{1}\wedge\ldots\wedge \mathrm{dg}_{\mathrm{n}}(\mathrm{x})\neq 0]\subset \mathrm{X}$ et
$[(\mathrm{x}.\mathrm{y}), \mathrm{g}(\mathrm{x})\neq \mathrm{g}(\mathrm{y})] \subset \mathrm{XxX}\backslash \Delta$ sont des ouverts de Zariski,
il existe des recouvrements finis de X et Xx $\mathrm{X}\backslash \Delta$ respectivement,
par de tels ouverts. La collection des fonctions $\mathrm{g},\ \mathrm{g}_{\mathrm{j}}$ ainsi obtenues
donne le morphisme $0$ cherché. $\blacksquare$
Remarque l3.6. --On a en toute généralité les inclusions
$$
\mathrm{A}_{\varphi}^{\infty}\{\mathrm{X})\subset \mathrm{A}^{\mathrm{b}}\{\mathrm{X})\varphi\subset \mathrm{A}^{0}(\mathrm{X})\varphi\subset \mathrm{A}\{\mathrm{X})\varphi\text{ , } 0<\mathrm{b}\leq\ 2\ ,
$$
mais nous ne savons pas pour les deux dernières s'il $\mathrm{y}$ a toujours
égalité ou non. I4 fait surprenant est que l'algèbre $\mathrm{A}^{\infty}(\mathrm{X}\gamma\varphi$ peut avoir
un degré de transcendance $<\mathrm{n}$ Choisissons par exemple X $=\mathbb{C}$
avec la fonction strictement psh
$$
\varphi(\mathrm{z})=\sum\ 2^{-\mathrm{j}}\ \mathrm{I}D\ \mathrm{gtC}+|\mathrm{z}-\mathrm{jj}|^{2})\text{ . }0<\epsilon_{\mathrm{j}}\leq 1\ \epsilon_{0}=1
$$
$$
\mathrm{j}\epsilon \mathrm{m}
$$
Soit $\mathrm{r}\geq 3$ donné. En découpant la somme pour les indices $\mathrm{j}\leq$ L{\it D} gr
d'une part. $\mathrm{j}>$ Logr d'autre part, on obtient aisément pour $|\mathrm{z} |=\mathrm{r}$
les est imat ions
$\{$13. 7) $\varphi(\mathrm{z})=2\mathrm{Iog}\{1 +|\mathrm{z} |^{2_{)}}+ \displaystyle \mathrm{o}(\frac{б \mathrm{g}\mathrm{r}}{\mathrm{r}})$ si $\forall \mathrm{j} |\displaystyle \mathrm{z}-\mathrm{j}|>\frac{1}{2}$
\{13.8\} $\varphi(\mathrm{z})=2$ б g $(1 \star |\mathrm{z} |^{2})+2^{-\mathrm{j}}$ I{\it D} $\mathrm{g}(\epsilon_{\mathrm{j}}+|\mathrm{z}-\mathrm{j}|^{2})+ \mathrm{ot}_{\mathrm{r}}^{\underline{\mathrm{I}}o\mathrm{g}\underline{\mathrm{r}}})$
ei $|\mathrm{z}-\mathrm{J}|\leq_{\frac{1}{2}}$
104

MESURES DE MONGE-AMPEBE
Choisissons $\epsilon_{\mathrm{j}}$ de sorte que
\begin{center}
(13.9)   2 L{\it D} $\mathrm{g}(1+\mathrm{j}^{2})+2^{-\mathrm{j}}$ L{\it D} $\mathrm{g}\epsilon_{\mathrm{j}}=$ Ixg $(1+\mathrm{I}_{D}\mathrm{gj}) \mathrm{j}\geq 1$
1. $\mathrm{e}.\ \displaystyle \epsilon_{\mathrm{j}}=[\frac{1+б \mathrm{g}\mathrm{j}}{(1+\mathrm{j}^{2})^{2}}]^{2^{\mathrm{j}}}$
\end{center}
On a alors $\varphi(\mathrm{j})\sim$ Iog L{\it D} gj quand $\mathrm{j}\rightarrow+_{\Phi}$ , d{\it e} sorte que çp $\mathrm{e}$ st
exhaustive. Les fonctions $\mathrm{f}\in A_{\mathrm{t}\mathrm{P}}^{\infty}\{\mathbb{C})$ sont à croissance polynomiale {\it e}t
Cte
doivent vérifier d{\it e} plus $|\mathrm{f}[\mathrm{i}) |\leq \langle$Iog $\mathrm{j}$ ) quand $\mathrm{j}\rightarrow+_{\infty}$. Par suite
$\mathrm{A}_{\varphi}^{\infty}\langle \mathbb{C})$ se réduit aux constantes. Les conditions $9_{\iota}1\langle \mathrm{a})$ et (b) sont
néanmoins vérifiées. Un calcul immédiat donne en effet
$$
-\mathrm{j}
$$
\begin{center}
2 $\mathrm{c}$
$$
\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi=21\ \mathrm{dz}\ \wedge \mathrm{d}\overline{\mathrm{z}}\sum_{\mathrm{j}\epsilon \mathrm{N}}\frac{\mathrm{j}}{\mathrm{t}\mathrm{e}_{\mathrm{j}^{+}}|\mathrm{z}-\mathrm{j}|^{2_{)}2}}\ '
$$
\end{center}
de sorte que $\square _{\mathbb{C}}\mathrm{dd}^{\mathrm{C}}\varphi=8\mathrm{T}1$ . La majoration 9.1 (b) a lieu avec la fonc-
tlon
$$
\phi\ =-\mathrm{Iog}(\sum\frac{2^{-\mathrm{j}}\mathrm{e}_{\mathrm{j}}}{1\mathrm{e}_{\mathrm{j}}+|\mathrm{z}-\mathrm{j}|^{2_{)}2}})
$$
En $\infty$nsidérant le seul terme $\mathrm{j}=0$ on obtient $\psi\leq 2$ б g $(1+|\mathrm{z}|^{2})$
Pour $\mathrm{e}_{\mathrm{j}}1/3\leq |\displaystyle \mathrm{z}-\mathrm{j}|\leq\frac{1}{2}$ on a suite part grâce à (13.8) et (13.9) :
$$
\varphi\langle \mathrm{z})\geq 2\ \mathrm{L}D\ \mathrm{g}\{1+|\mathrm{z}|^{2})+2^{-\mathrm{j}}.\ \frac{2}{3}\ \mathrm{L}D\ \mathrm{ge}_{\mathrm{j}}+\mathrm{O}\langle 1)
$$
$$
\geq\frac{2}{3}б \mathrm{g}(1+|\mathrm{z}|^{2})+\mathrm{O}(1)
$$
1/3
tandis que pour $|\mathrm{z}-\mathrm{j}|\leq\epsilon_{\mathrm{j}}$ il vient
$$
2^{-\mathrm{j}_{\mathrm{C}}}\  2^{-\mathrm{j}}\epsilon.
$$
$$
\frac{\mathrm{j}}{\mathrm{t}\epsilon_{\mathrm{j}^{+}}|\mathrm{z}-\mathrm{j}|^{2_{)}2}}\geq\overline{4\mathrm{c}_{\mathrm{j}}4/3}\ =2^{-\mathrm{j}-2_{\mathrm{c}_{\mathrm{j}}}-1/3}
$$
de sorte que $\psi\leq 0$ si $\mathrm{j} \mathrm{e}$ st assez grand. On voit donc qu il existe
une constante $\mathrm{B}$ t{\it e} lle que $\phi \leq 3\infty+ \mathrm{B}$ . $\blacksquare$
105

J. P. DEMAILLY
14. --Algébricité des espaces complexes singuliers.
Soit X un espace analytique de dimension $\mathrm{n}$ Si X est un
ensemble algébrique dans $\mathbb{C}^{\mathrm{N}}$ les calculs du \S 10 montrent que l{\it e} 8
$\infty \mathrm{nditions}$ géométrique 89.1 $(\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c})$ sont vérifiées.
Inve rsement, pour démontrer la suffisance des $\infty \mathrm{ndlt}\ddagger \mathrm{on}\epsilon$ géomé-
triques, on se heurte à deux difficultés principales, D'une part les $\mathrm{e}$ sti-
mations $\mathrm{L}^{2}$ de $\mathrm{H}\dot{\mathrm{o}}$ rmander ne sont a priori valables que sur un ouvert
de Stein lisse de la forme $\mathrm{X}\backslash \mathrm{H}$ . où $\mathrm{H}$ est une hypersurface de X
contenant l{\it e} lieu singulier $\mathrm{x}_{\mathrm{s}}$ Pour pouvoir appliquer un lemme de
prolongement, on doit donc supposer que X est normal.
LEMME 14.1. - Soit $\mathrm{f}$ une fonction holomorphe sur $\mathrm{X}\backslash \mathrm{H}$ telle
$\mathfrak{g}\underline{\mathrm{u}\mathrm{e}} \mathrm{f}\in \mathrm{L}_{1\mathrm{o}\mathrm{c}}^{2}\langle \mathrm{X}) \underline{\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}$si X $\underline{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}$normal $\mathrm{f} \underline{\mathrm{s}e}$prolonge
en une fonction holomorphe sur X.
Démonstration. Saus l'hypothèse $\mathrm{f}\in \mathrm{L}^{2}$ (X7 il est classique
loc
que $\mathrm{f}$ se prolonge de $\mathrm{X}_{\mathrm{r}}\backslash \mathrm{H}$ à $\mathrm{X}_{\mathrm{r}}$ et toute fonction holomorphe sur
$\mathrm{x}_{\mathrm{r}}$ se prolonge à X si X $\mathrm{e}$ st normal (cf. [Nar]. prop. VI.4). $\blacksquare$
Une autre difficulté vient du fait que le poids $\mathrm{e}^{-\psi}$ peut n{\it e} pas
être localeme nt sommable en c{\it e} rtains points. Considérons par exemple
le cas d{\it e} la variété $\infty \mathrm{niqu}e$ X d'équation $\mathrm{z}_{0}^{\mathrm{P}}+\ldots+\mathrm{z}^{\mathrm{p}}\mathrm{n}=0$ dans $\mathrm{C}^{\mathrm{n}+1}$
$\mathrm{p}\in W$ La courbure de Ricci d{\it e} X est alors donnée grâce à la pro-
Ricc $\mathrm{it}6 |_{\mathrm{X}})=-\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{dd}^{\mathrm{C}}$ I{\it D} $\mathrm{gV}$
avec V $=$ б gl $|\mathrm{z}_{0}|^{2\mathrm{p}-2_{+\ldots+}}|\mathrm{z}_{\mathrm{n}}|^{2\mathrm{p}-2})$
position 10.1 (a) par la formule
-V
On voit donc que la fonction $\mathrm{e}$
106

MESURES DE MONGE-AMPEBE
n'est localement sommable {\it e}n $0$ que sl $\mathrm{p}\leq \mathrm{n}$ Dans le cas d'un {\it e}s-
pace X pour lequel $\mathrm{e}^{-\phi}$ est non sommable au voisinage de tout point
d'une $\infty \mathrm{urk}$. la proposition 11.5 (c) ne s'applique plus. On $\mathrm{e}$ st donc
amené à suwoser que les singularités de X sont isolée $\mathrm{s}$.
Démonstration du théorème 9.1' (Suffisance des conditions dans
le cas d{\it e} singularités isolées). L'hyJ'pothèse $\langle \mathrm{c}')$ entraîne que les com-
posantes irréductibles de X sont en nombre fini. Soit
$$
\mathrm{n}\ :\tilde{\mathrm{X}}\rightarrow \mathrm{X}
$$
la normalisation de X. La fonction $\varphi\circ \mathfrak{n}$ n'est pas en général stric-
$$
-1
$$
tement psh au voisinage de $\Pi (\mathrm{X}_{\mathrm{S}})$ , mais quitte à modifier $\varphi \mathrm{oTT}$
$$
-1
$$
et $:\phi 0\uparrow 1$ au voisinage d{\it e} l'ensemble fini tt $\langle \mathrm{X}_{\mathrm{S}})$ . on voit que les hy-
pothèse $\mathrm{s}\infty \mathrm{nt}$ satisfait {\it e}s par $\tilde{\mathrm{X}}$ . En définitive, on peut supposer X
normal {\it e}t irréductible.
La démonstration est maintenant tout à fait semblable à celle
qui a été donnée au $\infty$ urs des \S 11. 12. 13, aussi nous $\infty \mathrm{ntente}$ rons-nous
d'indiquer l{\it e} $\mathrm{s}$ grandes lignes {\it e}t l{\it e} $\mathrm{s}$ changements à apporter. Les lemmes
11. 2 et 11.3 sont vrais sans aucune modification, $\mathrm{a}\dot{\mathrm{u}}$lsi que les propriétés
11.5 $\langle \mathrm{a},\ \mathrm{b},\mathrm{d})$. L'énoncé 11.5 $\langle \mathrm{c})$ r{\it e} ste valable si $\{\mathrm{x}_{1}\ldots$., $\mathrm{x}_{\mathrm{m}}]\subset \mathrm{X}_{\mathrm{r}}$ et si
c{\it e} 11ain $\mathrm{s}$ d{\it e} $\mathrm{s}$ points $\mathrm{x}$ sont singulie rs, on a l{\it e} résultat part i{\it e} 1 suivant
$$
\mathrm{j}
$$
(qui $\infty \mathrm{rre}$ spond au cas $\mathrm{p}=0$).
LEMME $14.2_{\mathrm{f}\mathrm{o}^{-}\mathrm{c}}\underline{\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{t}}$un$\displaystyle \mathrm{bfinix}_{\mathrm{m}}\mathrm{b}=\frac{\{\mathrm{x}_{1}2\mathrm{c}'}{1+\mathrm{c}}\ldots,$\} $\subset \mathrm{X}$ . $\mathrm{e}^{\underline{\mathrm{A}1\circ \mathrm{r}\mathrm{s}}}$
$$
\underline{\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{u}\mathrm{n}e\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}}\ \mathrm{f}\epsilon\ \mathrm{A}_{\varphi}(\mathrm{X})\ \underline{\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{t}}
$$
$$
\underline{\mathrm{d}'\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{r}\mathrm{e}}\ \mathrm{s}\ \underline{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m})\text{é} \mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{I}\mathrm{X})\mathrm{i}\mathrm{n}}\mathrm{t}\ \mathrm{x}_{1},\ \mathrm{x}_{2},\ldots,\ \mathrm{x}_{\mathrm{m}}
$$
Démonst rat ion. On reprend les mêmes arguments que dans
(j)
11.5 $\langle \mathrm{c})$. {\it e}n remplaçant le système d{\it e} coordonnées locale sz par
un système générateur $(\mathrm{z}_{1}^{\mathrm{j}}$ ,..., $\mathrm{z}_{\mathrm{N}}^{\mathrm{j}})$ d{\it e} l'idéal maximal $rr_{1}$ d{\it e}
$\mathrm{j}$ X. $\mathrm{x}_{\mathrm{i}}$
$\mathrm{O}_{\mathrm{X},\mathrm{x}_{\mathrm{j}}}$ {\it e}t $\mathrm{p}_{1}$ par
$$
\mathrm{p}_{1}=\mathrm{s}\langle \mathrm{n}+2)[\sum_{\mathrm{j}=1}\mathrm{m}_{\mathrm{X}_{\mathrm{j}}}\ \mathrm{lo}\ \mathrm{g}|\mathrm{z}^{0)}|^{2}+\mathrm{c}_{1^{\vee^{\wedge}}}\prime]
$$
107

J. P. DEMAILLY
(j)
Au voisinage de $\mathrm{x}_{\mathrm{j}}$ . la $\infty \mathrm{naemct}\ddagger \mathrm{on}$ donne alors $\mathrm{f}=\mathrm{P}_{\mathrm{j}}(\mathrm{z} )-\mathrm{g}$ avec
$\mathrm{g}$ holomorphe telle que
$$
|\mathrm{g}|^{2}|\mathrm{z}^{(\mathrm{j})}|^{-2\mathrm{s}(\mathrm{n}+2)_{\mathrm{e}}-\mathrm{V}}\epsilon\ \mathrm{I}^{2}]_{\mathrm{o}\mathrm{C}}\langle \mathrm{X})\ .
$$
D'après les estimations $\mathrm{L}^{2}$ de H. ftoda I Sk 4], ceci entraîne que
$\mathrm{g}\in m_{\mathrm{x}_{\mathfrak{J}}}^{8},\ \cdot \blacksquare$
I4 proposition 11.7 reste donc applicable si $\mathrm{x}_{0}\in \mathrm{x}_{\mathrm{r}}$. et en
reprenant les arguments des \S 12, 13, on $\infty$ nstruit une variété algébri-
que normale $\mathrm{M}$ et un morphisme $\mathrm{F} =\langle \mathrm{f}_{1},\ldots,\mathrm{f}_{\mathrm{N}})$: $\mathrm{X}-\mathrm{M}$ dont la
restriction à $\mathrm{Xr}$ est un isomorphisme de $\mathrm{x}_{\mathrm{r}}$ sur un ouvert de
Zariski de M Grâce au lemme 14.2, on peut (quitte à $\infty$mpléter $\mathrm{F}$
par un nombre fini de fnctions $\mathrm{f}_{\mathrm{J}}$ ) suppose $\mathrm{r}$ que $\mathrm{F}$ définit un plon-
gement de X au voisinage de chaque point singulier. $\mathrm{I}\epsilon$ morphisme
$\mathrm{F}$ est alors un isomorphisme de X sur Rouvert de Zariski
$\mathrm{F}\langle \mathrm{r}\subset \mathrm{M}$ Ia fin de la preuve $\mathrm{e}$ st $ ide\alpha$ ique à celle donnée au \S l3. $\blacksquare$
$\mathrm{I}\epsilon$ raisonnement qui vient d'être esquissé donne d'autre part le
résultat intéressant ci-dessous.
THEOREME 14.3. -- Soit X un espace analytique normal de
dimension $\mathrm{n}$ vérifiant les hypothèses 9.1' $(\mathrm{a}'.\mathrm{b}'.\mathrm{c}')$. Alors
$\mathrm{x}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}} \underline{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}$analvtiouement iaemorphea une vari6téa10ebrioue
quasi-affine. 1' isomorphisme étant donné par un morphisme
$\varphi$ -mlmomlal $\mathrm{F}$ de X dans une variété algébrique affine
normale $\mathrm{M} \subset \mathbb{C}^{\mathrm{N}}$ de dimension $\mathrm{n}$ . $\blacksquare$
108

MESURES DE MONGE-AMPEBE
15. --Appendice : courants et fonctions
plurisousharmoniques à croissance minimale
sur une variété algébrique affine.
Soit $\mathrm{M}\subset \mathrm{O}^{\mathrm{N}}$
une sous-variété algébrique affine lisse de di-
mension $\mathrm{n}$ On munit $\mathrm{M}$ des métriques kablériennes
$$
\beta\ =\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}|\mathrm{z}|^{2}\ \iota \mathrm{v}\ =\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\ \mathrm{L}D\ \mathrm{g}(1+|\mathrm{z}|^{2})
$$
induites respectivement par la métrique plate de $\mathbb{C}^{\mathrm{N}}$ et par la métri-
que de FUbini-Study de l'espace projectif $\mathrm{P}^{\mathrm{N}}$ .
DE FINITION 15.1. -
(a) Une fonction psh V sur $\mathrm{M}$ est dite à croissance mini-
male $\mathrm{s}' \mathrm{u}$ existe des $\infty \mathrm{n}\#\mathrm{antes} \mathrm{C}_{0}.\mathrm{C}_{1}\geq 0 \underline{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{U}\mathrm{e}\mathrm{s}}$oue
$$
\mathrm{V}\{\mathrm{z})\leq\ \mathrm{C}_{1}б)\mathrm{g}_{+}|\mathrm{z}\ |+\mathrm{C}_{0}\ .
$$
(b) Un courant positif fermé $\mathrm{T}$ d{\it e} bidegré (1,1) sur $\mathrm{M}$
est dit à croissance minimale si
n-l
$$
\int_{\mathrm{M}}\mathrm{T}\wedge|\mathrm{v}
$$
$$
<+\mathrm{w}.
$$
Du $\infty$ rollaire 7.3 résulte aussitôt la
$\mathrm{P}\mathfrak{X}\mathrm{PO}\mathfrak{N}\Gamma \mathrm{ION}$ l5.2. --$\underline{\mathrm{S}1}$ V est psh d{\it e} croissance minimale
sur $\mathrm{M}$ , alors $\mathrm{T}=\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}$ est à croissance minimale. $\blacksquare$
Réciproquement, étant donné un courant $\mathrm{T}\geq 0$ fermé à
croissance minimale, on n{\it e} $\iota \mathrm{x}$)urra trouver de solution à l'équation
$\mathrm{dd}^{\mathrm{C}}\mathrm{V}=\mathrm{T}$ que si la classe de $\infty \mathrm{bmologie}$ de $\mathrm{T}$ est nulle. L'objectif
de ce paragraphe est de démontrer le résultat général suivant, qui est
une réciproque partielle de la proposition 15.2.
109

J. P.. DEMAILLY
THEOREME 15.3. -- Soit $\mathrm{T}$ un (l.l)-courant positif fermé
sur $\mathrm{M}$ tel que
$$
\mathrm{n}-1
$$
$$
\lceil_{\mathrm{M}}\mathrm{T}\wedge\omega
$$
$$
<+_{\Phi}.
$$
Alors il existe une fonction psh V et une \{1.0)-forme $\mathrm{u}$ d{\it e}
classe $\mathrm{C}^{\Phi}$ sur $\mathrm{N}$ avant l{\it e}8 propriétés ci-dessous, où $\mathrm{C}$
1'
$\mathrm{C}_{2},\ \mathrm{C}_{3}$ sont des $\infty \mathrm{n}\epsilon \mathrm{tante}\epsilon \geq 0$.
$$
(\mathrm{a})\ \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\geq \mathrm{T}\ ;
$$
(b) $\mathrm{V}(\mathrm{z})\leq \mathrm{C}_{1}$ L{\it D} $\mathrm{g}_{+}|\mathrm{z}|$ :
$$
(\mathrm{c})\ \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}-\mathrm{T}=\overline{\mathfrak{N}}\ :
$$
$$
\langle \mathrm{d})\ |\mathrm{u}|_{\omega}\leq\ \mathrm{C}_{2}\{1+|\mathrm{z}|)^{\mathrm{C}_{3}}
$$
La démonstration se fera en plusieurs étape $\epsilon$. Observons
d'abord que la $\infty \mathrm{ndnlon} 15.1(\mathrm{b})$ est équivalente à la suivante :
n-1 $2\mathrm{n}-2$
\begin{center}
(15.4)   $\displaystyle \mathrm{o}(\mathrm{r})=\int_{|\zeta|<\mathrm{r}}\mathrm{T}(\zeta)\wedge\beta \leq \mathrm{Cr}$
\end{center}
$\mathrm{n}$ n'est pas restrictif d'autre part de $8\mathrm{upr}$)ser $\mathrm{n}\geq 2$ . Dans le cas
contraire, on peut appliquer le théorème 15.3 à la variété $\mathrm{M}'=$ Mx $\mathbb{C}$
et au courant image réciproque $\mathrm{T}'=\theta_{\mathrm{M}}\mathrm{T}$ . La fonction V(z) $=\mathrm{V}'(\mathrm{z}. 0)$
et la forme $\mathrm{u}=\mathrm{u}'$ répondenA alors à la question.
$$
|\mathrm{Mx}\{0]
$$
Etant donné un courant $\mathrm{T}\geq 0$ de bidegré (1.1) sur $\mathrm{M}$
vérifiant (15.4), on peut lui associer un potentiel $\mathrm{v}_{\mathrm{T}}$ par les mômes
formules que celles utuisées par $\mathrm{p}.\ \mathrm{I}\epsilon \mathrm{long}$ [Lae 3] dans $\mathbb{C}^{\mathrm{n}}$
:
(15. 5) $\mathrm{v}_{\mathrm{T}^{\langle \mathrm{z})}}=f_{\mathrm{M}}\mathrm{T}\{\zeta)\wedge 6_{\mathrm{n}^{\langle \mathrm{Z},\zeta)}}^{\mathrm{n}-1_{\mathrm{L}}}$
avec
$$
\mathrm{L}\langle \mathrm{z}.\zeta)\mathrm{n}=\frac{1}{\{\mathrm{n}-1)\{4\mathfrak{n})^{\mathrm{n}}}[\frac{1}{\langle 1+|\zeta|^{2})^{\mathrm{n}-1}}-\frac{1}{|\mathrm{z}-\zeta|^{2\mathrm{n}-2}}]
$$
LEMME l5.6. -- La frmule $\langle$15.5) définit une fonction
$\mathrm{v}_{\mathrm{T}}\in \mathcal{K}_{\mathrm{c}^{(\mathrm{M})}}^{1} \underline{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{i}-\infty \mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{e}\sup 6\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}}$Il existedes
constantes $\mathrm{C}_{0},\ \mathrm{C}_{1}\geq 0$ celles oue
$\mathrm{v}_{\mathrm{T}^{\{\mathrm{z})}}\leq \mathrm{C}_{1}$ L{\it D} $\mathrm{g}_{+}|\mathrm{z}|+\mathrm{C}_{0}$.
110

MESURES DE MONGE-AMPEBE
Démonstration. $\mathrm{I}\epsilon$ noyau
tions suivantes:
$$
|\mathrm{L}\{\mathrm{z}.\zeta)|\mathrm{n}.\ \leq \mathrm{C}_{2}|\mathrm{z}||\zeta|^{1-2\mathrm{n}}
$$
$$
\mathrm{L}(\mathrm{z},\zeta)\mathrm{n}\ \leq\ \mathrm{C}_{3}|\zeta|^{2-2\mathrm{n}}
$$
$\mathrm{Ln}$ vérifie clairement les estima-
$\mathrm{sI} |\zeta|\geq 2 |\mathrm{z}|\geq 1$,
si $ 1\leq |\zeta|\leq 2|\mathrm{z}|$
Pour $|\mathrm{z}|=\mathrm{r}\geq 1$ on en déduit
$$
\mathrm{V}_{\mathrm{T}}\langle \mathrm{z})\leq \mathrm{C}_{4}[1\ +f_{1}^{2\mathrm{n}}\frac{1}{\mathrm{t}^{2\mathrm{n}-2}}\ \mathrm{do}\ \{\mathrm{t})+.\lceil_{2\mathrm{r}}^{+_{\infty}}\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{t}^{2\mathrm{n}-1}}\mathrm{d}o\{\mathrm{t})]
$$
Après intégration par parties, il vient, compte-tenu de (15.4) :
$$
\mathrm{v}_{\mathrm{T}^{\langle \mathrm{z})}}\leq \mathrm{C}_{4}[1\ +\frac{\mathrm{o}\{2\mathrm{r})}{\langle 2\mathrm{r})^{2\mathrm{n}-2}}+\{2\mathrm{n}-2)\int_{1}^{2\mathrm{r}}\frac{\mathrm{o}\langle \mathrm{t})\mathrm{d}\mathrm{t}}{\mathrm{t}^{2\mathrm{n}-1}}\ +(б-\mathrm{l})\mathrm{r}\ \int_{2\mathrm{r}}^{+\varpi}\frac{\mathrm{o}(\mathrm{t})\alpha}{\mathrm{t}^{2\mathrm{n}}}]
$$
$$
\leq\ \mathrm{c}_{5^{(1+\mathrm{I}o\mathrm{g}\mathrm{r})}}
$$
Les estimations précédent {\it e}s montrent de plus que l'intégrale (15. 5)
$\infty \mathrm{nve}$ rge absolument sur Pensemble $[\zeta\epsilon \mathrm{M} \cdot|\zeta|>2|\mathrm{z}|]$ de manière
uniforme lorsque $\mathrm{z}$ décrit un $\infty \mathrm{mpact}$ de M La propriété
$\mathrm{V}_{\mathrm{T}}\in \mathrm{L}_{1\mathrm{o}\mathrm{c}}^{1}\langle \mathrm{M})$ résulte alors par l{\it e} théorème de FUbini du fait que
$|\mathrm{L}\langle \mathrm{zn}$' $\zeta)| \mathrm{e}$ st, localement sur $\mathrm{MxM}$ intégrable en $\mathrm{z}$ un ifo rmément
par rapport à $\zeta$ . $\blacksquare$
LEMME 15.7. - Pour tout point $\mathrm{z}\epsilon$ Mu existe d{\it e} $\mathrm{s}$ boules
$\mathrm{B}_{\mathrm{Z}}'\subset \mathrm{T}_{\mathrm{Z}}\mathrm{M}$ . $\mathrm{B}''\mathrm{z}\subset(\mathrm{T}_{\mathrm{Z}}\mathrm{M})^{\perp} \underline{\mathrm{d}\mathrm{e}}$centre $0 \underline{\mathrm{e}\mathrm{t}}$de rayon
$$
-\mathrm{C}_{7}
$$
$\mathrm{r}(\mathrm{z})=\mathrm{C}_{6}(1+|\mathrm{z}|) \underline{0\theta} \mathrm{C}_{6}.\ \mathrm{C}_{7}>0 \underline{\mathrm{e}\mathrm{t}}$une applicationholo-
$\underline{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{h}e} \mathrm{g}_{\mathrm{z}}$ : $\mathrm{B}_{\mathrm{Z}}^{\prime-}\mathrm{B}_{\mathrm{Z}}''$ telles oue $\mathrm{M}\cap\langle \mathrm{z}+\mathrm{B}_{\mathrm{Z}}'+\mathrm{B}_{\mathrm{z}}'')$ soit le
$\underline{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{e}}$ de $\mathrm{g}_{\mathrm{z}} \underline{1.\mathrm{e}.}$si $\zeta-\mathrm{z}=\zeta'+\zeta'' \displaystyle \frac{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}{\mathrm{N}}$l'écriture d'un
$\underline{\alpha)\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}} \acute{\mathrm{b}}\in \mathrm{M} \underline{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}}$la dé$\omega$m$\mathfrak{o}$osition$\mathbb{C} =\{\mathrm{T}_{\mathrm{Z}}\mathrm{M})\oplus \{\mathrm{T}_{\mathrm{Z}}\mathrm{M})^{\perp}$
alors
$$
\mathrm{M}\cap\ (\mathrm{z} +\mathrm{B}_{\mathrm{Z}}'+\mathrm{B}_{\mathrm{Z}}'')=\mathfrak{t}\epsilon\prime\backslash '\ \zeta'\epsilon \mathrm{B}_{\mathrm{Z}}'\}
$$
$\underline{\mathrm{D}\epsilon \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{n}\epsilon \mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{Q}\mathrm{n}}$. Soit $\mathrm{t}^{\mathrm{p}_{1}}\ldots,\ \mathrm{p}$)$\mathrm{m}$ un système de polynômes
générateu rs pour l'idéal de la variété $\mathrm{M}$ dans $\mathbb{C}\mathrm{I} \mathrm{X}_{1},\ldots,\ \mathrm{X}_{\mathrm{N}}|$
Puisque $\mathrm{M}$ est lisse, les jacobiens partiels $\mathrm{J}$ d'ordre N-n
$$
\mathrm{K},\ \mathrm{L}
$$
(cf. \S 10) ne s'annulent pas tous simultanéme nt sur M D'après l{\it e}
111

J. P. DEMAILLY
théorème des zéros de HUbert. les polynômes $\mathrm{J}_{\mathrm{K},\mathrm{L}}$ engendrent
l'idéal unité sur $\mathrm{N}$ : $\mathrm{u}$ existe donc des $\infty \mathrm{n}\#$ ante $\epsilon \mathrm{C}_{8},\ \mathrm{C}_{9}>0$
telles que
$$
\max_{\mathrm{K},\mathrm{L}}|\mathrm{J}_{\mathrm{K},\mathrm{L}}(\mathrm{z})|\ \mathrm{a}\ \mathrm{C}_{8}(1+|\mathrm{z}|)^{-\mathrm{C}_{9}}\text{ , }\mathrm{z}\epsilon \mathrm{u}.
$$
Iae lemme résulte alors du théorème des fonctions implicites (dans sa
version quantitative). $\blacksquare$
On observe maintenant que la formule (15.5) peut se récrire
ous la forme
\begin{center}
(15.8)   $\mathrm{V}_{\mathrm{T}}\{\mathrm{z})= \displaystyle \int_{\mathrm{N}}\mathrm{T}(\zeta)\wedge 1 \kappa_{\mathrm{n}}(\mathrm{z},\zeta)-\mathrm{Ir}_{\mathrm{n}}(\zeta)]$
\end{center}
avec $\kappa_{\mathrm{n}^{\{\mathrm{z},\zeta)}}= \displaystyle \frac{-1}{\{\mathrm{n}-1)(4\mathfrak{n})^{\mathrm{n}}}[\frac{\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}|\mathrm{z}<|^{2}}{|\mathrm{z}<|^{2}}]^{\mathrm{n}-1}$ ,
$$
\mathrm{H}(\zeta)\mathrm{n}=\ \frac{-1}{(\mathrm{n}-1)(4\pi)^{\mathrm{n}}}\frac{\beta^{\mathrm{n}-1}}{(1+|\zeta|^{2})^{\mathrm{n}-1}}
$$
Les propriétés du noyau $\mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ vont nous permettre de calculer aisément
$\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}_{\mathrm{T}}$ en fonction de T.
LEMME l5.9. --$\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{x}_{\mathrm{n}}=[\Delta] +\mathrm{Rn}$ .
où $[\Delta]$ est le $\infty \mathrm{urant}$ d'intégration sur la diagonale de
$$
\mathrm{MxM}\ \underline{\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{u}}\ \mathrm{R}_{\mathrm{n}}\ \underline{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}\mathrm{un}\ \{\mathrm{n}.\mathrm{n})-\underline{\infty \mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}}\ \geq\ 0\ \underline{\mathrm{A}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}\dot{\mathrm{t}}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}\alpha\S}
$$
localement intégrables sur Mx $\mathrm{M}$ , vérifiant l'estimation
$$
||R(\mathrm{z}.\zeta)||_{8\oplus\beta}\mathrm{n}\leq\ \mathrm{C}_{10}\mathrm{m}\ln[\frac{1}{|\mathrm{z}-\zeta|^{б}}.\ \frac{\langle 1+|\mathrm{z}|)^{\mathrm{C}_{11}}}{|\mathrm{z}-\zeta|^{2\mathrm{n}-1}}]
$$
Démonstration. En dehors de la diagonale $\Delta$. un calcul
classique aisément vérifié donne
(15. 10) $\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{K}_{\mathrm{O}}\epsilon \displaystyle \frac{\{\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}|\mathrm{z}-\zeta|^{2})^{\mathrm{n}}-\mathrm{n}|\mathrm{z}-\zeta|^{-2}\mathrm{d}|\mathrm{z}-\zeta|^{2}\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}|}{(4\mathfrak{n})^{\mathrm{n}}|\mathrm{z}-\zeta|^{2\mathrm{n}}}\underline{\mathrm{z}-\zeta|^{2}\wedge \mathrm{t}\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}|\mathrm{z}<|^{2_{)}\mathrm{n}-1}}$
$$
=(\frac{1}{4\mathfrak{n}}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}} \mathrm{I}D\mathrm{g}|\mathrm{z}< |^{2})^{\mathrm{n}}
$$
112

MESLBES DE MONGE-AMPERE
$$
\tau
$$
On a \& nc bien $\mathrm{R}=\mathrm{ndd}^{\mathrm{c}}\kappa_{\mathrm{n}}\geq 0$ et $\Vert \mathrm{R}_{\mathrm{n}}!!\mathrm{s} \mathrm{C}|\mathrm{z}-\zeta|^{-2\mathrm{n}}$ . Pour obtenir
la deuxième partie de la majoration, plaçons-nous en un point $\mathrm{z}\in \mathrm{M}$
et $\mathrm{utlll}\infty \mathrm{ns}$ le lemme 15.7. En restriction à $\mathrm{N}$ , on a au oint $\mathrm{z}$ :
dz $=$ d{\it z}' $=\infty \mathrm{mpo}$ sante d{\it e} dz sur $\mathrm{T}_{\mathrm{Z}}\mathrm{N}$ ,
tandis qu en un point voisin $\zeta\in \mathrm{z}+1_{\mathrm{z}}^{\mathrm{B}'+\mathrm{B}_{l}'')}$ on a :
$$
\mathrm{d}\zeta\ =\mathrm{d}\zeta'+\mathrm{d}(\mathrm{g}_{\mathrm{z}}\{\zeta'))
$$
D'après \{15.10) 11 vient \& nc ;
$$
\mathrm{R}_{\mathrm{n}}\langle \mathrm{z}.\zeta)=[\frac{\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}(|\mathrm{z}'-\zeta'|^{2}+|\mathrm{g}_{\mathrm{z}}(\zeta')|^{2})}{|\zeta|^{2}+|g_{\mathrm{z}}\{\zeta)|^{2}}
$$
$$
-\frac{\mathrm{d}\langle|\mathrm{z}'-\zeta'|^{2}+|\mathrm{g}_{\mathrm{z}}\{\zeta')|^{2})\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}(|\mathrm{z}'<'|^{2}+|\mathrm{g}_{\mathrm{z}}(\zeta')|^{2})}{1|\zeta|^{2}+|\mathrm{g}_{\mathrm{z}}1\zeta)|^{2})^{2}}]^{\mathrm{n}}
$$
où la différentiation de $\mathrm{g}_{\mathrm{z}}(\zeta')$ porte uniquement sur $\zeta'$ . Ie lemme
15.7 donne par $\infty \mathrm{n}$ struction $\mathrm{g}_{\mathrm{z}}(0)=\mathrm{D}_{0}\mathrm{g}_{\mathrm{z}}= 0$ : le lemme de Schwarz
implique alors les inégalités
$$
|\mathrm{g}_{\mathrm{z}}(\zeta')|\leq|\zeta'|\ \zeta'\epsilon\ \mathrm{B}'\ :
$$
$$
||\mathrm{D}_{\zeta'}\mathrm{g}_{\mathrm{z}}||\leq\ \mathrm{C}(\lambda)\frac{|\zeta'|}{\mathrm{r}(\mathrm{z})}\ \zeta'\epsilon\ \lambda \mathrm{B}'\mathrm{z}\ 0<\lambda<1
$$
On observe maintenant que $\mathrm{R}_{\mathrm{n}}\langle \mathrm{z}.\zeta)\underline{=}0$ si $\mathrm{g}_{\mathrm{z}}\underline{=}0.\ \mathrm{u} \mathrm{s}'$ ensuit pour
$\zeta'\in \displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{B}_{\mathrm{Z}}'$ 1'In6gallté
$$
||\mathrm{R}\{\mathrm{z},\zeta)\Vert \mathrm{n}\leq\ \frac{\mathrm{C}_{12}|\zeta'|\mathrm{r}\langle \mathrm{z})^{-1}}{\{|\zeta|^{2}+|\mathrm{g}_{\mathrm{z}}(\zeta')|^{2})^{\mathrm{n}}}\leq\ \frac{\mathrm{C}_{12}\mathrm{r}\{\mathrm{z})^{-1}}{|\mathrm{z}-\zeta|^{2\mathrm{n}-1}}\ '
$$
qui $\infty$mplète l'estimation du lemme 15. 9. I4 formule classique de
$\mathrm{B})\mathrm{chner}$-Martinelli dans $\mathbb{C}^{\mathrm{n}}$ donne d'autre part
$$
\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\{\mathrm{z}',\ \zeta')=[\Delta[
$$
Par un calcul analogue à celui ci-dessus, {\it o}n obtient l'inégalité
$$
||\kappa_{\mathrm{n}^{\{\mathrm{z}.\zeta)-\mathrm{K}}\mathrm{n}^{(\mathrm{z}'.\zeta')\Vert}}\leq\ \frac{\mathrm{C}_{13}\mathrm{r}\{\mathrm{z})^{-}}{|\mathrm{z}<|^{2\mathrm{n}-3}}1\ '
$$
113

J. P. DEMAILLY
et pour chaque différentiation de $\kappa_{\mathrm{n}}$ l'ewsant de $|\mathrm{z}-\zeta|$ staccroît
d'une unité. On voit donc que $\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\kappa_{\mathrm{n}}-[\Delta]$ est à $\infty \mathrm{efflcle}\alpha \mathrm{s} \mathrm{L}_{1\mathrm{o}\mathrm{c}}^{1}$
$\mathrm{alr} \mathrm{N} \mathrm{xM}$ . la preuve est achevée. $\bullet$
PROPOSITION 15.11. - Si $\mathrm{T} \underline{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}$ fermé alors
$$
\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}_{\mathrm{T}}=\mathrm{T}+\Theta_{\mathrm{T}}\text{ , }\underline{00}\ \Theta_{\mathrm{T}}\{\mathrm{z})=\mathrm{I}_{\mathrm{M}^{\mathrm{n}}}^{\mathrm{R}\langle \mathrm{z},\zeta)}\wedge \mathrm{T}\{\zeta)\geq 0.\ \underline{\mathrm{E}\mathrm{n}}
$$
$\underline{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{r}} \mathrm{v}_{\mathrm{T}} \underline{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}$ psh .
Démonstration. Soit X : $\mathrm{m} \rightarrow 10,1$] une fonction de classe
$\mathrm{C}^{\Phi}$ telle que $\mathrm{X}(\mathrm{t})=1$ pour $\mathrm{t}<1 \mathrm{xlt}$) $=0$ pour $\mathrm{t}>2$ et soit
$\mathrm{w}$ une $(\mathrm{n}-1,\mathrm{n}-1)$ forme $\mathrm{C}^{\infty}$ à support compact sur M L'écriture
(15.8) nous donne
$$
\int_{\mathrm{M}}\mathrm{V}_{\mathrm{T}}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{w}=\lim_{\mathrm{r}\rightarrow+_{\infty}}\mathrm{I}\{\mathrm{r}),
$$
$$
\mathrm{I}\{\mathrm{r})=\int_{\mathrm{M}\mathrm{x}\mathrm{M}}\mathrm{x}(\frac{|\zeta|}{\mathrm{r}})\mathrm{T}\{\zeta)\wedge\langle\kappa_{\mathrm{n}}(\mathrm{z},\zeta)-\mathrm{H}_{\mathrm{n}}(\zeta))\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{w}(\mathrm{z})
$$
Le théorème de Stokes et le lemme 15.9 impliquent
$$
\mathrm{I}(\mathrm{r})\ =\int_{\mathrm{M}\mathrm{x}\mathrm{M}}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}[\mathrm{X}(\frac{|\zeta|}{\mathrm{r}}1\mathrm{T}\langle\zeta)\wedge\kappa_{\mathrm{n}}\langle \mathrm{z},\zeta)]\ \mathrm{a}\ \mathrm{w}(\mathrm{z})
$$
$$
=\int \mathrm{x}\ (\frac{|\zeta|}{\mathrm{r}})\mathrm{T}(\zeta)\wedge([\Delta 1_{\mathrm{n}}+\mathrm{R}\langle \mathrm{z}, \zeta))\wedge \mathrm{w}(\mathrm{z})
$$
$$
+.\mathrm{r}_{2\mathrm{d}}[\mathrm{x}(\frac{|_{\mathrm{s}}'|}{\mathrm{r}})]\wedge \mathrm{T}(\zeta)\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{K}_{\mathrm{n}}(\mathrm{z}.\zeta)\wedge \mathrm{w}\langle \mathrm{z})
$$
$$
+_{\iota}\lceil \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}[\mathrm{x}(\frac{|_{\mathrm{b}}^{r}|}{\mathrm{r}})]\ \wedge \mathrm{T}(\zeta)\wedge \mathrm{K}_{\mathrm{n}}(\mathrm{z}.\zeta)\wedge \mathrm{w}\langle \mathrm{z})
$$
car $\mathrm{dT}=\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{T}=0$ Pour justifier ce calcul, on peut d'abord $\displaystyle \sup\iota \mathrm{x}$\} -
s{\it e} $\mathrm{r}$ que $\mathrm{T}$ est de classe $\mathrm{C}^{\Phi}$ quitte à régulariser ensuite $\mathrm{T}$ au
voisinage du support de $\displaystyle \mathrm{X}(\frac{|\zeta|}{\mathrm{r}}) \subset$ \{ $\left|\begin{array}{l}
r\\
\mathrm{b}
\end{array}\right|\leq 2\mathrm{r})$ On utilise maintenant
(15.4) et les majorations évidentes
$$
||\mathrm{d}_{\mathrm{X}}(\frac{|\zeta|}{\mathrm{r}})\Vert=\mathrm{O}(\frac{1}{\mathrm{r}})\ ||\mathrm{dd}^{\mathrm{c}_{\mathrm{X}}}(\frac{|\zeta|}{\mathrm{r}})||_{1}=\mathrm{O}(\frac{1}{\mathrm{r}^{2}})
$$
$$
||\mathrm{d}^{\mathrm{C}}\mathrm{K}\{\mathrm{zn}'\ \zeta)||=\mathrm{O}(\frac{1}{|\mathrm{z}-\prime|^{2\mathrm{n}-1}}1\ ||\mathrm{K}_{\mathrm{n}}\langle \mathrm{z}.\zeta)|_{1}^{1}=\mathrm{O}(\frac{1}{|\mathrm{z}_{\mathrm{b}}-r|^{2\mathrm{n}-2}})\ \mathrm{n}\neq 1\ .
$$
114

MEStBES DE MONGE-AMPERE
pour voir que les deux dernières intégrales dans le calcul de $\mathrm{I}\{\mathrm{r})$ sont
$-2$
$\mathrm{O}(\mathrm{r} )$ On a donc la formule attendue
$$
\lim_{\mathrm{r}\rightarrow+\alpha}\mathrm{I}(\mathrm{r})=\int_{\mathrm{M}}\mathrm{T}\langle\zeta)\wedge \mathrm{w}(\zeta)+\int_{\mathrm{M}\mathrm{x}\mathrm{M}}\mathrm{T}(\zeta)\wedge \mathrm{R}\langle \mathrm{z}.\zeta)\mathrm{n}\ \mathrm{a}\ \mathrm{w}(\mathrm{z})\text{ . }\blacksquare
$$
Démonstration du théorème 15.3. D'après la proposition 15.2
et le lemme 15. 6. l{\it e} $\infty \mathrm{urant} \Theta_{\mathrm{T}}$ est positif f{\it e} rmé à croissance mini-
male. On peut donc construire par récurrence sur $\mathrm{k}$ des fonctions
psh $\mathrm{v}_{\mathrm{k}}$ et des courants $\mathrm{T}_{\mathrm{k}}$ positifs fermés à croissance minimale
tels que
$$
\mathrm{T}_{0}=\ \mathrm{T}.\ \mathrm{v}_{\mathrm{k}}=\mathrm{V}_{\mathrm{T}_{\mathrm{k}-1}}\text{ . }\mathrm{T}_{\mathrm{k}}=\Theta_{\mathrm{T}_{\mathrm{k}-1}}\ '
$$
$$
\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}_{\mathrm{k}}=\mathrm{T}_{\mathrm{k}-1}+\mathrm{T}_{\mathrm{k}}\ .
$$
Effectuons la somme alternée de ces identités. Pour les indices impairs
Il vient :
$$
\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\langle \mathrm{V}_{1}-\mathrm{V}_{2}+\ldots-\mathrm{v}_{2\mathrm{k}}+\mathrm{v}_{2\mathrm{k}+1})=\mathrm{T}+\mathrm{T}_{2\mathrm{k}+1}\geq 0.
$$
et le lemme 15.14 ci-dessous implique que la fonction psh
V $=\mathrm{V}_{1}-\mathrm{v}_{2}+\ldots+\mathrm{v}_{2\mathrm{k}+1}$ est à croissance minimale. D'après la propo-
sition 15.11, on a la relation d{\it e} récurrence
$$
\mathrm{T}_{\mathrm{k}+1}\{\mathrm{z})=\int_{\mathrm{M}}\mathrm{R}\{\mathrm{z}.\zeta)\mathrm{n}\wedge \mathrm{T}_{\mathrm{k}}(\zeta)
$$
On exploite maintenant l{\it e} fait que $\mathrm{R}_{\mathrm{n}}$ est un noyau régularisant de
type $\infty \mathrm{n}$ vo lut {\it i}o $\mathrm{n}$.
LEMME 15.12. -
(a) Pour tout entier kl $\leq \mathrm{k}<2\mathrm{n}$ il existe des constantes
$\mathrm{A}_{\mathrm{k}}.\ \mathrm{B}_{\mathrm{k}}\geq 0 \underline{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{s}}$que $\infty \mathrm{ur}$tout $\epsilon \in|0,1$ [ $\underline{\mathrm{o}\mathrm{n}}$ait
$$
|^{1}.\mathrm{T}_{\mathrm{k}}\{\mathrm{z})\Vert\leq\ \mathrm{A}_{\mathrm{k}}\langle 1+|\angle\ |)^{\mathrm{B}_{\mathrm{k}}}[\mathrm{e}^{-\angle}+\int\ \underline{\mathrm{T}\mathrm{t}_{\simeq}')\wedge \mathrm{s}\mathrm{l}_{\rightarrow)^{\mathrm{n}-1}}'}2\mathrm{n}-\mathrm{k}]
$$
$|_{3}'-\mathrm{z}|<$ er (z) $|_{\mathrm{s}}-\mathrm{z}|$
$$
\underline{00}\ \mathrm{r}(\mathrm{z})=\mathrm{C}_{6}\{1+\ |\mathrm{z}|)
$$
$-\mathrm{C}_{7}$ (cf. lemme 15.7].
115

J. P. DEMAILLY
(b) $\underline{\mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{r}} \mathrm{k}\geq\theta \underline{\mathrm{l}\mathrm{e}\infty \mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}} -\mathrm{T}_{\mathrm{k}} \underline{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}$acoefficientscontinus et
$$
\Vert \mathrm{T}_{\mathrm{k}}(\mathrm{z})||.\ \mathrm{o}((1+|\mathrm{z}|)^{*})\ .
$$
Démonstrat ion.
(a) On raisonne par récurrence sur $\mathrm{k}$. Posons
$$
\mathrm{o}_{\mathrm{k}}\{\mathrm{z},\ \mathrm{r}\ )\ =.\lceil_{|\zeta-\mathrm{z}|<\mathrm{r}}\mathrm{T}_{\mathrm{k}}(\zeta)\wedge\beta(\zeta)^{\mathrm{n}-1}.
$$
On sait que la fonction $\mathrm{r}\leftarrow \mathrm{r}^{2-2\mathrm{n}}$
$\mathrm{o}_{\mathrm{k}}(\mathrm{z}, \mathrm{r})$ est croissante et qu'elle
admet pour limite $\displaystyle \int_{\mathrm{M}}\mathrm{T}_{\mathrm{k}}\wedge\omega^{\mathrm{n}-1}<+\mathrm{oe}$ quand $\mathrm{k}\rightarrow+\infty$. Ecrivons
$\mathrm{T}_{\mathrm{k}+1}(\mathrm{z})=\mathrm{I}_{1}(\mathrm{z})+\mathrm{I}_{2}(\mathrm{z})$ où
$$
\mathrm{I}_{1}(\mathrm{z})=\int\ \mathrm{R}(\mathrm{z},\zeta)\wedge \mathrm{T}_{\mathrm{k}}(\zeta)\mathrm{n}'
$$
$$
|\zeta-\mathrm{z}|\geq\epsilon \mathrm{r}(\mathrm{z})
$$
$$
\mathrm{I}_{2}(\mathrm{z})=\int\ \mathrm{R}\{\mathrm{z},\zeta)\wedge \mathrm{T}_{\mathrm{k}}\{\zeta)\mathrm{n}\ .
$$
$$
|\zeta-\mathrm{z}|<\epsilon \mathrm{r}\{\mathrm{z})
$$
On utilise maintenant le lemme 15.9 pour estimer $\mathrm{I}_{1}(\mathrm{z})$ et $\mathrm{I}_{2}\{\mathrm{z})$
La norme $||\mathrm{I}_{1}(\mathrm{z})||$ est majorée à une $\infty$ nstante près par
$$
\mathrm{I}_{\epsilon \mathrm{r}(\mathrm{z})}^{+\mathrm{o}\mathrm{e}}\frac{\mathrm{d}\mathrm{o}_{\mathrm{k}}\langle \mathrm{z}_{1}\mathrm{r})}{\mathrm{r}^{2\mathrm{n}}}\leq\ 2\mathrm{n}\int^{+_{\Phi}}\frac{\sigma \mathrm{k}(\mathrm{z},\mathrm{r})}{\mathrm{r}^{2\mathrm{n}+1}}\epsilon \mathrm{r}(\mathrm{z})\ \mathrm{dr}
$$
$$
\leq\ \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{e}^{2}\mathrm{r}(\mathrm{z})^{2}}\int_{\mathrm{M}^{\mathrm{T}_{\mathrm{k}}\wedge\omega^{\mathrm{n}-1}}}=\mathrm{o}(\epsilon^{-2}(1+|\mathrm{z}|)^{2\mathrm{C}_{7}}).
$$
$\backslash _{\backslash }$ tandis que
$$
*'
$$
(15. 13) $||\mathrm{I}_{2}(\mathrm{z})||\leq \displaystyle \mathrm{C}_{10}\{1+|\mathrm{z}|)^{\mathrm{C}_{11}}\int$
$$
||\mathrm{T}_{\mathrm{k}}(\zeta)||\beta(\zeta\rangle^{\mathrm{n}}
$$
$$
|\zeta-\mathrm{z}|<\epsilon \mathrm{r}\langle \mathrm{z})\ |\zeta-\mathrm{z}|^{2\mathrm{n}-1}
$$
Lorsque $\mathrm{k}=0$ , ceci démontre l'estimation (a) pour $\Vert \mathrm{T}_{1}\langle \mathrm{z})\Vert$ Dans
le cas général, l'estimation à l'ordre $\mathrm{k} \infty$mbinée à (15.13) entraîne
$$
||\mathrm{I}_{2}(\mathrm{z})\Vert\leq\ \mathrm{C}_{14}\langle 1+|\mathrm{z}|)^{\mathrm{B}_{\mathrm{k}}+\mathrm{C}_{11}}(\epsilon^{-2}\mathrm{I}_{3}\langle \mathrm{z})+\mathrm{I}_{4}\langle \mathrm{z}))
$$
avec
$$
\mathrm{I}_{3}(\mathrm{z})=\int\ \frac{\mathrm{B}(\zeta)^{\mathrm{n}}}{2\mathrm{n}-1}
$$
$$
|_{\approx}-\mathrm{z}|<\mathrm{er}(\mathrm{z})\ |_{\mathrm{b}}'-\mathrm{z}|
$$
$$
\mathrm{I}_{4}\langle \mathrm{z})=\int\ \frac{\beta\{\zeta)^{\mathrm{n}}}{2\mathrm{n}-1}\int\ \frac{\mathrm{T}\mu)\wedge \mathrm{B}\mu)^{\mathrm{n}-1}}{2\mathrm{n}-\mathrm{k}}
$$
$$
|\zeta-\mathrm{z}|<\epsilon \mathrm{r}(\mathrm{z})\ |\zeta-\mathrm{z}|\ |\mathrm{w}-\zeta|<\mathrm{er}(\zeta)\ |\mathrm{w}\{\ |
$$
116

MESURES DE MONGE-AMPERE
Pour $\epsilon$ assez petit, les inégalités $|\zeta-\mathrm{z}|<$ er(z) et $|\mathrm{w}-\zeta|<$ er $(\zeta)$
impliquent $|\mathrm{w}-\mathrm{z}|<3\mathrm{er}\{\mathrm{z})$ . Avec les notations du lemme 15.7, les
intégrales $\mathrm{I}_{3}(\mathrm{z})$ et $\mathrm{I}_{4}(\mathrm{z})$ admettent donc les majorations
$$
\mathrm{I}_{3}(\mathrm{z})\leq\ \mathrm{C}_{15}[\ \frac{\beta\{\zeta')^{\mathrm{n}}}{2\mathrm{n}-1}\leq\ \mathrm{C}_{16}\mathrm{er}\{\mathrm{z})\ .
$$
$$
|\zeta'|<\epsilon \mathrm{r}(\mathrm{z})|\zeta'|
$$
$$
\mathrm{I}_{4}(\mathrm{z})\leq \mathrm{C}_{17}\int_{|\mathrm{w}-\mathrm{z}|<3\epsilon \mathrm{r}\langle \mathrm{z})}\mathrm{T}(\mathrm{w})\wedge \mathrm{B}(\mathrm{w})^{\mathrm{n}-1}\int_{\zeta'\epsilon \mathrm{c}^{\mathrm{n}}}\frac{-\beta(\mathrm{C}'\mathrm{I}^{\mathrm{n}}}{|\zeta'|^{2\mathrm{n}-1}|\mathrm{w}-\zeta'|^{2\mathrm{n}-\mathrm{k}}}
$$
Par homogénéité, on obtient
$$
\int_{\mathrm{c}^{\mathrm{n}}}\frac{\beta(\zeta')^{\mathrm{n}}}{|\zeta|^{2\mathrm{n}-1}|\mathrm{w}-\zeta|^{2\mathrm{n}-\mathrm{k}}}=\frac{\mathrm{C}_{\mathrm{l}8}}{|\mathrm{w}|^{2\mathrm{n}-\mathrm{k}-1}}\leq\ \frac{\mathrm{C}_{19}}{|\mathrm{w}-\mathrm{z}|^{2\mathrm{n}-\mathrm{k}-1}}\ '
$$
et l'estimation (a) $\epsilon'$ en déduit à l'ordre $\mathrm{k}+1$ .
(b) Utilisons l'inégalité (a) pour $\mathrm{k}\geq 3$ Il vient
$$
\int_{|\zeta-\mathrm{z}|<\mathrm{e}\mathrm{r}(\mathrm{z})}\frac{\mathrm{T}\langle\zeta)\wedge\beta(\zeta)^{\mathrm{n}-1}}{|\mathrm{z}-\zeta|^{2\mathrm{n}-\mathrm{k}}}=\int_{0}^{\mathrm{e}\mathrm{r}(\mathrm{z})}\frac{\mathrm{d}o\{\mathrm{z}_{1}\mathrm{r})}{\mathrm{r}^{\mathrm{Z}-\mathrm{k}}}
$$
$$
=\frac{\mathrm{o}(\mathrm{z},\mathrm{e}\mathrm{r}\{\mathrm{z}))}{[\mathrm{e}\mathrm{r}\langle \mathrm{z})]^{2\mathrm{n}-\mathrm{k}}}+\langle 2\mathrm{n}-\mathrm{k})\int_{0}^{\epsilon \mathrm{r}(\mathrm{z})}\frac{\sigma(\mathrm{z},\mathrm{r})\mathrm{d}\mathrm{r}}{\mathrm{r}^{2\mathrm{n}-\mathrm{k}+1}}\ =\mathrm{O}\langle\epsilon \mathrm{r}(\mathrm{z}))^{\mathrm{k}-2}
$$
L'estimation (b) en résulte. On observe de plus que l'intégrale précé-
de $\alpha \mathrm{e}$ converge uniformément vers $0$ quand $\mathrm{e}\rightarrow 0$. Cette intégrale
$\infty$ rrespnnd dans l'estimation (a) à l'itération du noyau $\mathrm{R}_{\mathrm{n}}$ sur les
boules $|\zeta-\mathrm{z}|<$ er(z) Tous les autres termes apportant une $\infty \mathrm{r}t$ ri-
bution dans $\mathrm{T}_{\mathrm{k}}$ font intervenir au moins une intégration sur le com-
plémentaire \{ $|\zeta-\mathrm{z}|\geq$ er $(\mathrm{z})]$ et sont par suite $\infty$ ntinus en $\mathrm{z}$ Donc
$\mathrm{T}_{\mathrm{k}}$ est $\infty$ ntinu dès que $\mathrm{k}\geq 3$ . $\blacksquare$
Démonstration du théorème 15.3. (suite). A ce point, on a
donc $\infty \mathrm{n}\epsilon \mathrm{t}_{1}\mathrm{uit}$ un $\mathrm{e}$ fonction psh V de croissance minimale et un
$\infty \mathrm{urant} \Theta$ positif fermé à $\infty e\mathrm{fficlent}8\infty \mathrm{ntlnus}$ tels que
$$
\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}=\mathrm{T}+\otimes,\ ||\Theta\langle \mathrm{z})||=\mathrm{Q}(1+|\mathrm{z}|)^{\mathrm{C}_{20}})\ .
$$
117

J. P. DEMAILLY
On va commencer par montrer qu on peut supposer $\Theta$ de
classe $\mathrm{C}^{\infty}$. Soit $(\Omega_{\mathrm{j}}.\mathrm{g}_{\mathrm{j}})_{\mathrm{j}\epsilon \mathrm{m}}$ un atlas localement fini de $\mathrm{M}$ , où
$\Omega_{\mathrm{j}}\subset\subset \mathrm{M}$ , où $\mathrm{g}_{\mathrm{j}}:$ f\ \rightarrow \mathrm{c}^{\mathrm{n}}$ est une application biholomorphe de $\Omega_{\mathrm{j}}$
$\mathrm{alr}$ la boule unité de $\mathrm{G}^{\mathrm{n}}$ et soit $(|_{\mathrm{j}})_{\mathrm{j}\epsilon \mathrm{r}}$ une partition $\mathrm{C}^{\infty}$ d{\it e}
l'unité subordonnée à $\mathrm{M}$ . Il existe des fonctions psh $\tau_{\mathrm{J}}$ sur $\Omega_{\mathrm{j}}$
telles que $\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\tau_{\mathrm{j}}=\Theta$. Désignons par $\tau_{\mathrm{j}}^{6}=\tau_{\mathrm{j}}* \mathrm{p}_{\epsilon}$ une famille de r{\it é}-
gularisées $\mathrm{C}^{\Phi}$ de $\tau_{\mathrm{j}}$ relativement à la carte $\mathrm{g}_{\mathrm{j}}$ , et posons
$$
\mathrm{w}=\sum_{\mathrm{j}\epsilon \mathrm{N}}\phi_{\mathrm{j}}(\tau_{\mathrm{j}}-\tau_{\mathrm{j}}\epsilon_{\mathrm{j}})\ \mathrm{e}_{\mathrm{j}}>0.
$$
SUr $1^{1}$ ouvert $\Omega_{\mathrm{k}}$ {\it i}l vient
$$
\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{W}-\Theta=\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}(\mathrm{W} -\tau_{\mathrm{k}})=\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}[\sum_{\mathrm{J}\epsilon \mathrm{N}}\mathrm{V}_{\mathrm{j}}(\tau_{\mathrm{j}}-\tau_{\mathrm{k}}-\tau_{\mathrm{j}}\epsilon_{\mathrm{j}})]
$$
et puisque $\tau_{\mathrm{j}}-\tau_{\mathrm{k}}\in \mathrm{C}^{\Phi}\langle\Omega_{\mathrm{j}}\cap\Omega_{\mathrm{k}})$ . on voit que $\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{W}-\Theta\in \mathrm{C}_{1.1}^{\infty}(\mathrm{M})$
Comme le $\infty \mathrm{urant} \Theta \mathrm{eg}\iota$ à coefficients continus, $\tau_{\mathrm{j}}$ et les 1-formes
$\mathrm{d}\tau \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\tau$ sont continues. Lorsque les $\epsilon$ sont choisis assez petits,
$\mathrm{j} \mathrm{j} \mathrm{j}$
on $\mathrm{oRieIn}$ donc $|\mathrm{w}|\leq 1$ et $-\iota \mathrm{v}\leq \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{W}\leq\omega$, avec $\omega =\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{Iog}(1+|\mathrm{z}|^{2})$.
La fonction V $=\mathrm{V}-\mathrm{W} +10.1 +|\mathrm{z}|^{2})$ est alors psh à croissance
minimale, et vérifie $\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}=\mathrm{T}+\otimes'$ où
$$
\Theta'=\Theta-\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{W}+\omega
$$
est un $\infty \mathrm{urant}$ positif fermé de classe $\mathrm{C}^{\Phi}$ , tel que $||\Theta'\langle \mathrm{z})||=\mathrm{O}((1+|\mathrm{z}|)^{\mathrm{C}_{20}})$.
On $\displaystyle \sup\mu)$ se donc désormais que $\Theta$ est de classe $\mathrm{C}^{\infty}$ On
applique alors les estimations $\mathrm{L}^{2}$ de $\mathrm{H}\dot{\mathrm{o}}\mathrm{rmander}-$ Nakano - Skoda [Nak],
[Sk4] au $\infty \mathrm{urant} \Theta \infty$nsidéré $\infty$ mme une $\langle \mathrm{n}$, 1 $)$ Comme fermée à
valeurs dans le flbré $\mathrm{E}=\mathrm{T}^{\iota}\mathrm{M}\Phi \Lambda^{\mathrm{n}}\mathrm{TM}$ Iae fibré cotangent $\mathrm{T}^{*}\mathrm{M}$ est
semi-positif au sens de Griffiths pour la métrique 6 (c'est un quotient
du fibre plat $\mathrm{T}\mathbb{C} |\mathrm{M} )$. donc d'aprè $\mathrm{s}$ iDSÎ le fibré $\mathrm{T}^{*}\mathrm{M}\Phi\Lambda$ TM
$$
*\mathrm{N}\ \mathrm{n}*
$$
est semi-positif au sens de Nakano. La $\mathrm{P}^{\mathrm{I}\mathfrak{v}}\mathrm{I}^{\mathrm{X}}$)sition 10.1 (b) montre que
le fibre $\mathrm{E}$ est lui-même semi-positif au sens de Nakano pour la mé-
trique $8\mathrm{e}^{-2\mathrm{V}}$ où V $=\displaystyle \mathrm{I}_{D}\mathrm{g}(\sum_{\mathrm{K},\mathrm{L}}|\mathrm{J}_{\mathrm{K},\mathrm{L}}|^{2}) \mathrm{I}y$ après les estimations
de [\& 4$|$ appliquées au fibre h{\it e} rmitien 1 $\iota^{\neg}.8\mathrm{ewl}-2\phi -\mathrm{C}$ lo $\mathrm{g}\langle 1+|\mathrm{z}|^{2}))|$,
21
118

MESURES DE MONGE-AMPEBE
on obtient l'existence d'une forme $\mathrm{u}\in \mathrm{C}_{1,0}^{\Phi}(\mathrm{M})$ telle que $\overline{8}\mathrm{u}=\Theta$ et
$$
\int_{\mathrm{M}}|\mathrm{u}|_{\beta}^{2}(1+|\mathrm{z}|^{2})^{-\mathrm{C}_{22}}\beta^{\mathrm{n}}<+_{0}.
$$
Pour achever la preuve du théorème 15.3 et en particulier d{\it e} 15.3 $\{\mathrm{d})$,
il suffit de conve rtir cette estimation $\mathrm{L}^{2}$ en une estimation $\mathrm{L}^{\Phi}$
$$
|\mathrm{u}|_{\beta}\leq\ \mathrm{C}_{23}\{1+|\mathrm{z}|)^{\mathrm{C}_{24}}
$$
Compte-tenu que $\overline{3}\mathrm{u}=\Theta$ admet une majoration {\it e}n norme $\mathrm{L}^{\infty}$ 11
suffit d'utiliser l'inégalité ci-dessous, en se plaçant dans les boules
$|\displaystyle \zeta-\mathrm{z}|<\frac{1}{2}\mathrm{r}\langle \mathrm{z})$ du lemme 15.7. $\blacksquare$
LEMME 15.13. - Soit $\mathrm{v}$ une fonction de classe $\mathrm{C}^{1}$ dans
la boule $\mathrm{B}(\mathrm{r})\subset \mathbb{C}^{\mathrm{n}}$ Alors
$$
|\mathrm{v}\langle 0)|\leq[\frac{\mathrm{n}!}{\mathrm{r}\mathfrak{s}^{\mathrm{n}}\mathrm{r}^{2\mathrm{n}}}\mathrm{r}_{\mathrm{B}\{\mathrm{r})}\backslash |\mathrm{v}|^{2}]^{:}+\frac{4\mathrm{n}}{2\mathrm{n}+1}\mathrm{r}.\sup_{\mathrm{B}(\mathrm{r})}|\overline{8}\mathrm{v}|
$$
Démonstration. Appliquons la formule de Cauchy avec reste
à la fonction $\mathrm{t}-\mathrm{v}(\mathrm{tz}) \mathrm{z}\in \mathrm{B}(\mathrm{r}) \mathrm{t}\in \mathbb{C}.\ |\mathrm{t}|<1$ Il vient
$$
\mathrm{v}\langle 0)=\frac{1}{2\mathfrak{n}}\int_{0}^{2\mathfrak{n}}\mathrm{v}(\mathrm{e}^{18}\mathrm{z})\mathrm{d}6-\frac{1}{17}\mathrm{r}_{|\mathrm{t}|<1}\frac{\overline{\delta}\mathrm{v}\{\mathrm{t}\mathrm{z}).\mathrm{z}}{\mathrm{t}}\mathrm{d}\lambda\langle \mathrm{t}),
$$
$$
|\mathrm{v}\langle 0)|\leq\ \frac{1}{2\Pi}f_{0}^{2\mathfrak{n}}|\mathrm{v}\{\mathrm{e}^{\mathrm{i}6}\mathrm{z})|\ \mathrm{de}\ +2|\mathrm{z}|\sup_{\mathrm{B}\langle \mathrm{r})}|\overline{8}\mathrm{v}|
$$
Après calcul de la valeur moyenne (VM) pour $\mathrm{z}\in \mathrm{B}\langle \mathrm{r})$ on obtient
$$
|\mathrm{v}\{0)|\leq\ \mathrm{VM}\ [ |\mathrm{v}|, \mathrm{B}\langle \mathrm{r})|\ +\frac{4\mathrm{n}}{2\mathrm{n}+1}\mathrm{r}.\ \epsilon \mathrm{up}_{\mathrm{B}\{\mathrm{r})}|\overline{8}\mathrm{v}|
$$
et VM [ $|\mathrm{v}|$ ; $\mathrm{B}(\mathrm{r})| \leq (\mathrm{VM}[ |\mathrm{v}|^{2_{:}}\mathrm{B}\langle \mathrm{r}) \text{î})$g
grâce à l'inégalité de Cauchy-Schwarz. $\bullet$
$\mathrm{U}$ ne nous rest $\mathrm{e}$ plus qu à vérifier le résultat élémentaire
suivant, qui a été utilisé au cours de la démonstration.
119

J. P. DEMAILLY
LEMME 15.14. $- \underline{\&\mathrm{i}\mathrm{e}\alpha} \mathrm{V}_{1},\ \mathrm{V}_{2} \underline{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{u}\mathrm{x}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}\epsilon}$ psh à
croissance minimale sur $\mathrm{N}$ . $\underline{\mathrm{O}\mathrm{n}\sup \mathrm{m}\mathrm{s}\mathrm{e}}$ oue V $= \mathrm{V}_{1}-\mathrm{V}_{2}$
est psh. Alors V est à croissance minimale.
Démonstration. D'après le théorème de normalisation de
Noether. il existe des fonctions polynomiales $\mathrm{f}_{1},\ldots,\mathrm{f}_{\mathrm{n}}$ sur $M$ telles
que $\mathbb{C}[\mathrm{z}_{1},\ldots.\mathrm{z}_{\mathrm{N}}\mathfrak{l}/\mathrm{I}(\mathrm{N})$ soit une algèbre entière sur $\mathbb{C}1\mathrm{f}_{1},\ldots,\mathrm{f}_{\mathrm{n}}1$ Iae
morphisme $\mathrm{F}=\langle \mathrm{f}_{1} \mathrm{f})\mathrm{n}$ ; $\mathrm{M}\rightarrow \mathrm{C}^{\mathrm{n}}$ est donc propre et fini, et {\it o}n a
un encadrement
$$
\mathrm{c}_{\yen}(1+|\mathrm{z}|)^{\mathrm{C}_{26}}\leq\ |\mathrm{F}(\mathrm{z})|\ \leq\ \mathrm{C}_{27}(1+|\mathrm{z}|)^{\mathrm{C}_{28}}
$$
avec $\mathrm{C}_{25}\ldots.,\ \mathrm{C}_{28}>0$. Grâce à l'inégalité évidente
$$
\mathrm{V}\ \leq\ \mathrm{V}_{+}\leq\ \mathrm{F}^{*}(\mathrm{F}_{*}\mathrm{V}_{+})\ .
$$
il suffit de montrer que $\mathrm{F}_{\sim}\mathrm{V}_{+}$ est à croissance minimale dans $\mathbb{C}^{\mathrm{n}}$
Comme $\mathrm{V}_{+}\leq (\mathrm{V}_{1})_{+}+\langle \mathrm{V}_{2})_{+}-\mathrm{V}_{2}$. {\it o}n en déduit pour la valeur moyenne
de $\mathrm{F}_{\sim}\mathrm{V}_{+}$ sur la boule $\mathrm{B}(\mathrm{r})\subset \mathbb{C}^{\mathrm{n}}$ la majoration
$$
\mathrm{VM}\ [\mathrm{F}_{*}\mathrm{V}_{+^{:}}\mathrm{B}(\mathrm{r})[\leq \mathrm{VN}[ \mathrm{F}_{\sim}(\mathrm{V}_{1})_{+}+ \mathrm{F}_{\sim}\{\mathrm{V}_{2})_{+}j\mathrm{B}(\mathrm{r})]-\mathrm{VM}[\ \mathrm{F}_{\sim}\mathrm{V}_{2}:\ \mathrm{B}(\mathrm{r})î
$$
Les fonctions $\mathrm{F}_{*}(\mathrm{V}_{1})_{+},\ \mathrm{F}_{\sim}\{\mathrm{V}_{2})_{+}$ sont psh à croissance minimale,
tandis que la fonction $\mathrm{r}-$ VM $[\mathrm{p} \mathrm{V} : \mathrm{B}(\mathrm{r})]$ est croissante. On obtient
$$
*\ 2
$$
par $\infty$nséquent une majoration
$$
\mathrm{VM}\ [\ \mathrm{F}_{*}\mathrm{V}_{+}:\mathrm{B}(\mathrm{r})|\ \leq\ \mathrm{C}_{29}\mathrm{Iog}_{+}\mathrm{r}+\mathrm{C}_{30}\ .
$$
et le lemme se déduit des inégalités de moyenne
$$
2\mathrm{n}
$$
$$
\mathrm{F}_{*}\mathrm{V}_{+}(\mathrm{z})\leq\ \mathrm{VM}\ [\mathrm{F}_{*}\mathrm{V}_{+}: \mathrm{B}\langle \mathrm{z}, \mathrm{r})[\ \leq\ 2\ \mathrm{VM}\ [ \mathrm{F}_{*}\mathrm{V}_{+};\mathrm{B}\langle 0,2\mathrm{r})]\ ,
$$
avec $|\mathrm{z}|=\mathrm{r}$ . $\blacksquare$
120

MESURES DE MONGE-AMPEBE
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Jean Pierre DEMAILLY
INSTITUT FOU RIER
Laboratoire de Mathématiques associé
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11/12 C. Henniart - La conjecture de Langlands locale pour GL(3)
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14 G. Dioussky - Structure des surfaces de Kato
15 M. Duflo, P. Eymard, $G$. Schiffmann - Analyse harmonique sur
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17 Bernadette Perrin-Riou - Arithmétique des courbes ellip-
tiques et théorie d'Iwasawa
1985 - 18 Corinne Blonde 1 - Les représentations supercuspidales
des groupes métaplectiques sur GL(2) et leurs
$\mathrm{c}$ a rac $\mathrm{c}$ è $\mathrm{r}e\mathrm{s}$
19 J. -P. Demailly - Mesures d{\it e} Monge-Ampère $\mathrm{e}\iota$ caractérisation
géométrique des variétés algébriques affines
125

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