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\begin{document}

Mémoire de la Société Mathématique de France, $\mathrm{n}19$
Supplément au Bulletin de la S.K.F.
Tome 113. 1985. fascicule {\it 2}
MESU RES DE MONGE-AMPÈRE E $\mathrm{T}$
CARACTÊRISATION GÉOMÉTRIQUE DES VARIÉTÉS
ALGÉ BRIQUES AFFINES
par Jean-Pierre DEMAILLY
RÉSUMÉ.
A toute fonction d'exhaustion plurisousharmonique continue cp
sur un espace de Stein, nous associons une coll ection de mesures posi-
tives portées par les surfaces de niveau de cp. et définies à l'aide des
opérateurs de Monge-Ampère au sens de Bedford et Taylor. Nous mon-
trons que ces mesures jouent un rôle fondamental dans l'étude des prr
priétés de croissance et de convexité des fonctions plurisousharmoniques
ou holom orphes. Lorsque le volume de Monge-Ampère de la variété est
fini, un théorème d'algébricité de type Siegel s'applique aux fonctions
holomorphes à croissance $\varphi$-polynomiale. Nous en déduisons que la fini-
tude du volume de Monge-Ampère, associée à une minoration convenable
de la courbure de Ricci, est une condition géométrique nécessaire et
suffisante caractérisant les variétés algébriques affines.
ABS TRACT.
To every continuous plurisubharmonic exhaustion function cp on
a Stein spac $e$, we associate a collection of positive measures with support
$\ln$ the level sets o{\it f} $\varphi$. defined by means of the Monge-Ampère operators
$\ln$ the sensé of Bedford and Taylor. We show that thèse measures play
a prominent part $\ln$ the study of growth and convexity properties of pluri-
subharmonic or holomorphic $\mathrm{fu}\iota \mathrm{ruons}$. When the variety has finite Monge-
Ampère volume, an algebraicity theorem of Siegel type hoids for holomor-
phic functions with cp-polynomial growth. From this resuit, we deduce
that the finiteness of Monge-Ampère volume, together with a suitable
lower bound of the Bicci curvature, $1\mathrm{s}$ a necessary and sufficient géomé-
trie condition characterizing affine algebraic varieties.
0037-9484/85021114.50 \copyright Gauthier-Villars
1

TABLE DES MATIERES
0. Introduc tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
$\mathrm{A})$ MESU RES DE MONGE-AMPEBE ET CROISSANCE
DES FONC TIONS PLU RISOUSHARMONIQUES 13
1. Courants {\it e}t fonctions plurisousharmoniques sur les
espaces complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
ck
2. Opérateurs $\langle$dd) {\it e}t inégalités de Chern-Levine-
Nirenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3. $\mathrm{M}$ esures de Monge-Ampèr $e$ et formule de $\mathrm{J}$ ensen 34
4. Mesur $e$ résiduelle d{\it e} $(\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi)^{\mathrm{n}}$ sur $\mathrm{S}\{-\infty)$ . . . . . . . . . 41
5. Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6. Propriétés de convexité des fonctions psh . . . . . . . 48
7. Croissance à l'infini des fonctions psh . . . . . . . . . .
58
8. Fonctions holomorphes polynomial {\it e}s . . . . . . . . . . . . . 62
$\mathrm{B})$ CARACTEBISATION GEOMETRIQUE DES VARIETES
ALGEBRIQUES AFFINES 69
9. Enoncé du critère dtalgébricité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
10. Nécessité des conditions sur l{\it e} volume et la cour-
bure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
11. Existence d'un plongement sur un ouvert d'une va-
riété algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
12. Quasi-surjectivité du plongement . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
13. Démonstration du critère d'algébricité (cas lisse) 98
14. Algébricité des espac es complexes singuliers . . . . . 106
15. APPENDICE: courants et fonctions piurisousharmo-
niques à croissance minimale sur une variété algé-
brique affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
BIBLIOGRAPHI $E$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2

MESURES DE MONGE-AMPERE
0. -- Introduction.
La présente étude s{\it e} plac $\mathrm{e}$ dans l{\it e} cadr $\mathrm{e}$ général des espac {\it e}s
analytiques complexes. La $\mathrm{pr}$ emière section est donc consacrée à une
définition des formes différ entiell {\it e}s, courants positifs et fonctions plu-
risousharmoniques sur un espace complexe X éventuellement singulier.
Etant donné un plongement local d{\it e} X dans un ouvert $\Omega\subset \mathrm{G}^{\mathrm{N}}$, nous
définissons 1 {\it e}s formes différentiell {\it e}s sur X comm $\mathrm{e}$ les restrictions
à X $\mathrm{d}$ {\it e}s formes ''ambiantes'' sur $\Omega$ : 1 {\it e}s espaces d{\it e} courants s'{\it e}n
déduisent par dualité comme dans l{\it e} cas lisse.
DEFINITION 0.1. - Soit une fonction V : X $\rightarrow 1 -\mathrm{a}.\ +\mathrm{r}[$
(a) V sera dite plurisousharmonique (psh {\it e}n abrégé) sur X
si V est local ement restriction à X d{\it e} fonction psh
sur l'espac $\mathrm{e}$ ambiant $\mathrm{a}^{\mathrm{N}}$
$\mathrm{tb})$ V sera dite faibl {\it e}m ent psh si V est local ement inté-
grable {\it e}t $\mathrm{ma}j$ orée sur X. {\it e}t si $\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\geq 0$
Toute fonction psh est alors faiblement psh . mais {\it e}n géné-
ral une fonc tion faiblem ent psh ne s'id entifie pas néc essaire $\mathrm{m}$ ent
presque partout à une donc tion psh Nous montrons toutefois que 1 {\it e}s
deux notions coïncident lorsque l'espac $\mathrm{e}$ X est local ement irréducti-
ble. La démonstration d{\it e} c{\it e} résultat fait usage d{\it e} deux ingrédi ents :
d'une part la caractérisation des fonctions psh due à Fornaess et
Narasimhan [FN) $\mathrm{d}^{\dagger}$ autre part un théorèm $\mathrm{e}$ de prolongem ent des
fonctions psh bornées à travers l{\it e} li {\it e}u singulier de X (qui utilise
la résolution des singularités). Nous étudions égal {\it e}m ent la transforma-
3

J. P. DEMAILLY
$\mathrm{u}$ {\it o}n des courants positifs fermés et des fonctions psh par image
directe propre.
Dans le \S 2, nous reprenons essenti ell ement la méthode dévelop-
pée par Bedford {\it e}t Taylor [BT 2] pour donner un $\mathrm{s}$ ens au courant po-
sitif $\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{1}\wedge\ldots\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}{}^{\mathrm{t}}\mathrm{k}$ lorsqu $\mathrm{e}$ les $\varphi_{\mathrm{j}}$ sont des fonctions psh loca-
1 {\it e}m ent bornées, et nous la généralisons au cas où l'une des fonctions
(soit $\varphi_{1}$ par exemple) n'est pas localement borné $\mathrm{e}$. Les inégalités clas-
siques de Chern-Levin -Nir {\it enb} erg peuvent alors s$\dagger$énoncer comme suit :
THEOBEME 0.2. --Pour tout ouvert tu cr X et tout compact
$\mathrm{K}\subset\omega \underline{1\mathrm{l}\mathrm{e}-\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{e}}$des constantes$\mathrm{C}_{1} \mathrm{C}_{2} \mathrm{ne}$  oue de
u$)$ {\it e}t $\mathrm{K}$ telles quon aitles majorations de massesuivantes :
$$
\langle \mathrm{a})\ \int_{\mathrm{K}}||\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{1}\wedge\ldots\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}_{{}^{\mathrm{t}}\mathrm{k}||}}\mathrm{s}\ \mathrm{c}_{1}||\varphi_{1}||_{\mathrm{L}^{1}(\mathrm{w})}||\varphi 4|_{\mathrm{L}^{\infty}(\omega}\cdots||\eta \mathrm{J}|_{\mathrm{L}^{\Phi}\{\omega)}
$$
$$
(\mathrm{b})\ \int_{\mathrm{K}}||\varphi_{1^{\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}}}\%^{\wedge\ldots\wedge \mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}}\Re \mathrm{J}|\mathrm{s}\ \mathrm{c}_{2}\Vert\varphi_{1}||_{\mathrm{L}^{1}\{\mathrm{w})}||41_{\mathrm{L}^{\Phi}(\omega}\ ||\Re_{\mathrm{C}}||_{\mathrm{L}^{\Phi}(\omega)}
$$
Nous $\mathrm{m}$ ontrons finalem ent dans cette situation la continuité 8é-
quentielle des opérateurs de Monge-Ampère
$$
\mathrm{tq}\cdots\cdot\cdot\ \Re)\leftrightarrow \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{1}\wedge\ldots\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\Re\ e\mathrm{t}\ \varphi_{\mathrm{t}}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{2}\wedge\ldots\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{k}}
$$
pour des suites décroissantes $\varphi_{1}^{\mathrm{v}} \%^{\mathrm{v}}$ d{\it e} fonctions psh
On suppose maintenant que X est un espace de Stein {\it e}t que X
est muni d'une fonction psh continue exhaustive $\varphi$ : $\mathrm{X}\rightarrow 1 -\infty,\ \mathrm{R}[$ . Nous
not erons alors
$$
\mathrm{B}(\mathrm{r})=\mathrm{t}^{\mathrm{z}}\epsilon\ \mathrm{x}\ :\ \phi \mathrm{z})\ <\mathrm{r})\ \mathrm{S}(\mathrm{r})\ =\{\mathrm{z}\in\ \mathrm{X}\ ;\ \varphi\langle \mathrm{z})=\mathrm{r}],\ \mathrm{r}\in 1\ -\infty,\ \mathrm{R}[
$$
les ps $\mathrm{eudoboules}'$' et psmdospher $e\mathrm{s}^{l\mathrm{t}}$ associées à $\mathrm{r}\mathfrak{p}$ . A ces données$*$nous
montrons qu on peut associer de manière natur {\it e}lle une collection de me-
sures positives $\mathrm{u}_{\mathrm{r}}$ portées par les sphères $\mathrm{S}\langle \mathrm{r})$ , que nous appe-
lons mesures de Monge-Ampère associées à $\varphi.\ \mathrm{C}e1\mathrm{les}-\mathrm{cl}$ sont définies
simpl {\it e}m ent par
4

MESURES DE MONGE-AMPERE
$\mathrm{c}$ n-l
$\displaystyle \mu_{\mathrm{r}}(\mathrm{h})=\int_{\mathrm{S}(\mathrm{r})}\mathrm{h}(\mathrm{dd}\varphi) \wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi$ , $\mathrm{n}=$ dlm X.
lorsque cp est de classe $\mathrm{C}^{2}$ et lorsque $\mathrm{r}$ est valeur régulière de
cp. Dans le cas où cp est seulement continue, on est amené à utiliser
la définition de Bedford-Taylor pour $(\mathrm{dd}^{\mathrm{c}})^{\mathrm{n}}$ {\it e}t à poser
$\mathrm{u}_{\mathrm{r}^{=}} ($ddc $\displaystyle \max\langle\varphi.\mathrm{r}))-\mathrm{nn}_{\mathrm{X}\backslash \mathrm{B}\langle \mathrm{r})}\{\mathrm{dd}^{\mathrm{C}}\varphi)^{\mathrm{n}}$
On a alors une formule générale de type Jensen-Lelong. dont la démons-
tration est conséquence immédiate des théorèmes de Stokes et d{\it e} Fubini
(cf. \S 3).
THEOREME $0.3.\ -\underline{\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{e}}$fonction psh V $\underline{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{r}}$ X $\underline{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}\mu_{\mathrm{r}}-$
intégrable qu {\it e}l que soit $\mathrm{r}<\mathrm{R}$ , {\it e}t on a la formule
$$
\int_{-a}^{\mathrm{r}}\mathrm{dt}\int_{\mathrm{B}\langle \mathrm{t})}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi)^{\mathrm{n}-1}=\mu_{\mathrm{r}}(7)-\int_{\mathrm{B}\langle \mathrm{r})}\mathrm{V}\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi)^{\mathrm{n}}
$$
On montre de plus que les mesures $\mathrm{u}_{\mathrm{r}}$ dépendent continûment
de $\varphi$ relativement aux suites décroissantes. Ceci perm {\it e}t d{\it e} voir com-
me dans le cas $\mathrm{C}^{\Phi}$ que la famille $1\mathrm{t}_{\mathrm{r}}^{1}$) est la famille de mesur {\it e}s
faiblement continue à gauche qui désintègre l{\it e} courant positif
$\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi)^{\mathrm{n}-1}\wedge$ dcp $\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}$ cp sur les sphères $\mathrm{S}\langle \mathrm{r})$.
Les mesures $\mathrm{L}_{\mathrm{r}}^{1}$ ainsi construites jouissent d'un certain nom-
bre d{\it e} propriétés naturelles important {\it e}s pour l'étude de la croissanc $\mathrm{e}$
et de la convexité des fonctions psh.
cn
Le paragraphe 4 étudi $\mathrm{e}$ la mesure `'résiduelle`' $=1 \langle$dd $\varphi)$
$$
\mu-\infty\ \mathrm{S}\langle-\mathrm{d}
$$
porté $\mathrm{e}$ par les emble polaire $\mathrm{S}\{-\infty)$ D'après (0.3), la mesure $\mu_{-\infty}$
peut aussi se définir comme la limite faible de $\mathrm{t}_{\mathrm{r}}1$ quand $\mathrm{r}$ tend
vers $-\Phi$. En nous inspirant de nos travaux antérieurs [D4, D5]
nous montrons que la mesure $\mu-\varpi$ ne dépend essentiell ement que du
comportement asymptotique de $\varphi$ au voisinage de $\mathrm{S}\{-\circ)$ De ce ré-
sultat découle l'inégalité classique
\begin{center}
(0.4)   $\langle$ddc $\phi^{\mathrm{n}}\geq 2^{\mathrm{n}} \displaystyle \sum \mathrm{v}1\Re \mathrm{x})^{\mathrm{n}}6_{\mathrm{X}}$
$$
\mathrm{x}\in\ \mathrm{X}
$$
\end{center}
5

J. P. DEMAILLY
où $\mathrm{v}1\varphi$. x$)$ désigne le nombre de Leiong de cp en tout point $\mathrm{x}\epsilon$ X. et
$6_{\mathrm{X}}  1\bullet$ mesure de Dirac en $\mathrm{x}$ (en un point singulier $\mathrm{x}$, cette mesure
doit être comptée avec muluplicité égale à la multiplicité de X en x).
Au \$ 5, nous montrons que les mesures $+$ vérifient le prin-
cipe du maximum vis à vis des fonctions psh, à $\mathrm{savolr}-$ que pour toute
fonction psh V on a l'égalité :
(0.5) $\displaystyle \sup_{\mathrm{B}(\mathrm{r})}\mathrm{V}=\mathrm{s}\iota\Psi$ essentiel d{\it e} V relativement à $\mu_{\mathrm{r}}$
L{\it e} fait remarquable est que l'égalité a lieu bien que le support de $*$
ru\S se êtr $\mathrm{e}$ très lacunaire dans $\mathrm{S}\langle \mathrm{r})$ , comme par exempl $\mathrm{e}$ dans l{\it e} cas
où 1 {\it e}s pseudoboules $\mathrm{B}\langle \mathrm{r})$ sont des polyèdres analytiques.
L{\it e} paragraphe 6 généralise à la présent $\mathrm{e}$ situation les proprié-
tés de convexité classiques dues à P. Leiong, relatives aux moyennes
d{\it e} fonctions psh sur les boules, sphères, $\mathrm{polydl}\epsilon$ ques. . . . Nous mon-
trons que l'hypothès $\mathrm{e}$ géométrique naturelle qui sous-tend la validité des
propriétés de convexité est l{\it e} fait qu $\mathrm{e}$ la fonction $\varphi$ soit solution d{\it e}
l'équation d{\it e} Monge-Ampère homogène $(\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi)^{\mathrm{n}}\in 0$. De façon précis $\mathrm{e}$ :
THEOREME 0.6. - On suppose que $(\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi)^{\mathrm{n}}\equiv 0$ sur l'ouvert
$[\varphi>\mathrm{A}]$. Soit V une fonction psh sur X. Alors le $\displaystyle \sup$
$\underline{\mathrm{d}\mathrm{e}}$ V $\underline{\epsilon \mathrm{u}\mathrm{r}} \mathrm{B}(\mathrm{r})$ . les movennae $\mathrm{t}^{1_{\mathrm{r}^{(\mathrm{V})}}},\ \underline{\mathrm{e}\mathrm{t}}$nlus $\mathrm{g}6\mathrm{n}e\mathrm{ralement}$
les moyennes {\it e}n norm $\mathrm{e} \mathrm{L}^{\mathrm{p}}$ , $ 1\mu(\mathrm{VP}\# 1/\mathrm{p},\ \mathrm{s}$ ont Ioirtlons
$$
\mathrm{r}\ +
$$
convexes croissantes de $\mathrm{r}\in$] A. $\mathrm{R}[$
La vérification de ce résultat $\mathrm{s}'$ obtient par des calculs élémen-
taires de dérivées secondes, faisant intervenir la formule d{\it e} Jens {\it e}n
0.3 et les théorèmes de Stokes {\it e}t de Fubini. Plus général ement, nous
démontrons une version avec ''paramètre'' du théorème 0.6. relative
$$
-1
$$
aux mesures $\mathrm{t}1$ sur les fibres tt (y) d'une fibration holomorphe
$$
\mathrm{y}.\mathrm{r}
$$
tt : X--Y La fonction psh $\varphi$ donnée sur X est supposée exhaustiv $\mathrm{e}$
cn
sur les fibres et telle que (dd $\varphi$) $\equiv 0$ sur l'ouvert $[\varphi>\mathrm{A})$ . où $\mathrm{n}$
est la $\mathrm{d}!\mathrm{m}$ ension des fibres. Alors les moyennes $\mu \{\mathrm{V})$ et les moyen-
$$
\mathrm{y}.\mathrm{r}
$$
6

MESURES DE MONGE-AMPERE
nés en norme $\mathrm{L}^{\mathrm{p}}$ sont fonctions faiblement psh du couple $(\mathrm{Y}. \mathrm{z}.)$
sur YxG. si l'on pose $\mathrm{r}=$ R{\it e} $\mathrm{z}$ On en tire aisém ent l'extension
suivante du théorème 0.6 aux espaces produits.
THEOREME 0.7. - Soient $\mathrm{X}_{1},\ldots, \nwarrow \underline{\mathrm{d}\infty \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{c}\infty}$deStein.
munis d{\it e} fonctions psh continues exhaustives
$$
\varphi_{\mathrm{j}}\ :\ \mathrm{X}_{\mathrm{j}}\rightarrow 1-\infty,\ \mathrm{R}_{\ddagger}[\ \underline{\mathrm{t}\mathrm{e}11\mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{e}}\overline{(\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{j}})^{\mathrm{n}_{\mathrm{j}}}\equiv 0}\underline{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{r}1^{\mathrm{t}}\alpha 1\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{t}}
$$
$[\varphi_{\mathrm{j}}>\mathrm{A}_{\mathrm{j}}].\ \mathrm{n}_{\mathrm{j}}=$ dlm $\mathrm{X}_{\mathrm{j}}$ Alors, si V $\mathrm{aet}$ psh $\underline{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{r}}$
$\mathrm{x}_{\iota}\mathrm{x}\cdots \mathrm{x}^{\mathrm{x}_{\mathrm{k}}},\ \underline{1\mathrm{a}}$movenne ennorme $\mathrm{L}^{\mathrm{p}}$
$$
\mathrm{M}_{\mathrm{V}}^{\mathrm{p}}\{\mathrm{r}_{1},\ldots,\ \mathrm{r}_{\mathrm{k}})=1\mathrm{u}_{\mathrm{r}_{1}}\emptyset\ldots\Phi\mu_{\mathrm{r}_{\mathrm{k}}}(\mathrm{v}_{+}^{\mathrm{p}}\#^{1/\mathrm{p}}
$$
$\underline{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}$convexe$\mathrm{simul}\tan 6\mathrm{m}$enten lesvariables $(\displaystyle \mathrm{r}_{\iota'\cdots,\mathrm{i}_{\mathrm{C}})\epsilon}\prod]\mathrm{A}_{\ddagger}, \mathrm{R}_{\mathrm{J}}$ [
Dans les paragraphes 7 et 8 , nous faisons l'hypothèse addition-
nelle qu $\mathrm{e}$ le volume de X est à croissance modérée à l'infini (le
lrayo $\mathrm{n}'' \mathrm{R}$ est ici supposé égal à $+_{0}$) D{\it e} façon précise, nous suppo-
sons que
$\{0.8) \mathfrak{U}\mathrm{m} \displaystyle \frac{1}{\mathrm{r}}\Vert\mu_{\mathrm{r}}||=0$.
$$
\mathrm{r}\rightarrow+\mathrm{oe}
$$
Sous cette hypothèse, la formule de $\mathrm{J}$ ens {\it e}n 0.3 implique l'inégalité fon-
damentale suivante:
$\langle 0.9) \displaystyle \int_{\mathrm{X}}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge(\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi)^{\mathrm{n}-\mathrm{t}}* \displaystyle \mathrm{u}_{\mathrm{m}\inf_{\mathrm{r}\rightarrow+_{\Phi}}}\frac{\iota}{\mathrm{r}}\mu_{\mathrm{r}}\mathrm{t}7_{+})$ .
de laquelle découle un $\mathrm{c}$ ertain nombre de résultats conc ernant la crois-
sanr $\mathrm{e}$ des fonctions psh ou la distribution des valeurs des fonctions
holomorphes (comme le suggère l'article de N. Sibony et P.M. Wong
[SW] $)$. En particulier, toute fonction psh ou holomorphe bornée sur
X est constante.
Etant donné une fonc tion holomorphe $\mathrm{f}$ sur X. nous définis-
sons d'autr $\mathrm{e}$ part le `'degré'' de $\mathrm{f}$ relativement à $\varphi$ par
$(0.10)$ 6(f) $=$ lIm $\displaystyle \sup \displaystyle \frac{1}{\mathrm{r}}\mu_{\mathrm{r}}\langle{\rm Log}_{+}|\mathrm{f}|)$ ,
$$
\mathrm{r}\rightarrow\star_{\infty}
$$
7

J. P. DEMAILLY
et nous disons que $\mathrm{f}$ est cp-polynomial $\mathrm{e}$ si ô(f) est fini. L'inégalité
(0.9) entraîne alors que l'ordre d'annulation de $\mathrm{f}$ en un point régulier
$\mathrm{a}\in \mathrm{X}$ vérifie l'estimation :
$$
\mathrm{ord}_{\mathrm{a}}\langle 0\mathrm{s}\ \mathrm{C}\langle \mathrm{a})6(i^{\rightarrow})
$$
Par un raisonnem ent élémentaire d'algèbre linéaire dû à Siegel, il en
résulte le théorème d'algébricité suivant (on suppose X irréductible).
THEOREME 0.11. $- \underline{\mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}} \kappa_{\varphi}\langle \mathrm{X}) \underline{1\mathrm{e}}$ corps desfonctions$\mathrm{m}6\mathrm{ro}-$
morphes de la forme $\mathrm{f}/\mathrm{g}$ où $\mathrm{f}$ et $\mathrm{g}$ sont çp-polynomiales.
Alors :
(a) $0\mathrm{s}$ deg $\mathrm{tr}_{\mathrm{O}}\mathrm{K}_{\varphi}\langle \mathrm{X})\leq$ dlm {\it a}  :
(b) $\underline{\mathrm{S}1}$ deg $\mathrm{tr}_{\mathrm{Q}}\mathrm{K}_{\varphi}\{\mathrm{X})=\mathrm{dlm}_{\mathrm{G}}\mathrm{X}.\ \underline{\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}$ le corps $\mathrm{K}_{\varphi}\{\mathrm{X}) \underline{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}$de
type fini.
Comm $\mathrm{e}$ cas particuli {\it e}r de ce théorème, nous retrouvons le
résultat d{\it e} W. Stoll [St 1] caractérisant les variétés algébriqu {\it e}s dans
$\mathrm{G}^{\mathrm{N}}$ par la propriété que la croissanc $\mathrm{e}$ de l'aire est minimal $\mathrm{e}$.
La deuxièm $\mathrm{e}$ parti $\mathrm{e} \mathrm{B}$ de c{\it e} travail est consacré $\mathrm{e}$ à une ca-
ractérisation des variétés algébriques affines par un critère g{\it é} ométri-
que ''intrinsèqu $\mathrm{e}''$. faisant interv enir la finitude du volume de Monge-
Ampère et une minoration de la courbure de Ricci. De façon précise.
nous démontrons le résultat suivant :
THEOREME $0.12$. - Soit X une variété analytique complexe.
lisse, connexe, de dimension $\mathrm{n}$ Alors X est analytiqu ment
$$
\underline{\mathrm{l}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{e}}\mathrm{aVari}6\mathrm{tp}\text{   }\mathrm{x}_{\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{g}}\ \underline{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{e}}-
$$
$\mathrm{m}$ ent si X vérifie la condition (c) cî dessous et si X
possède une fonction d'exhaustion $\varphi$ strictement psh de
classe $\mathrm{C}^{\Phi}$ telle que:
8

MESURES DE MONGE-AMPERE
$$
(\mathrm{a})\ \mathrm{v}\circ\iota(\mathrm{x}\gamma=\int_{\mathrm{X}}(\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{cp})^{\mathrm{n}}<+\epsilon:
$$
(b) La courbure de Ricci d{\it e} la métrique $\beta =\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}(\mathrm{e}^{\mathrm{W}})$ admet
une minoration d{\it e} la form $\mathrm{e}$
Ricci $(\beta)\geq -\mathrm{gu}^{\mathrm{c}} \dagger$
avec $\dagger \epsilon \mathrm{c}4\mathrm{x}$, n) . $\mathrm{V}\leq \mathrm{A}\varphi +\mathrm{B}$, A. $\mathrm{B} \underline{\overline{\mathrm{c}}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{s}}\geq 0$.
(c) Les espaces de cohomologi $\mathrm{e}$ de degré pair $\mathrm{H}^{2\mathrm{q}}(\mathrm{X}:\mathrm{R})$ sont
de dimension finie.
L'anneau des fonctions réguuères d{\it e} la structure algébrique
$$
\mathrm{x}_{\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{g}}\ \mathrm{aetalorsdonn}6\mathrm{par}\ \kappa_{\varphi^{\langle \mathrm{X})\cap}}\fbox{}(\mathrm{x}\gamma
$$
A la suite des travaux de W. Stoll sur les variétés strictem ent
paraboliques (cf. [St 2] et [Bu]), D. Burns a posé le problème de la
caractérisation des variétés algébriqu {\it e}s affines $\dot{\mathrm{e}}\mathrm{n}$ termes de $\mathrm{fo}\iota \mathrm{ruons}$
d'exhaustion ayant des propriétés particulières, vérifiant par exempl $\mathrm{e}$
la condition d'homogénéité $(\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi)^{\mathrm{n}}\equiv 0$ en dehors d'un compact. L{\it e}
théorème 0.12 apporte une répons $\mathrm{e}$ partiell $\mathrm{e}$ à ce problème. Il s'inscrit
d'autre part dans la lignée des conditions suffisantes obtenues par Mok,
Siu {\it e}t Yau [SY\} . 1 MSY] [Mok 1. 2, 3]. bien que nos hypothès {\it e}s
soient sensiblem ent différentes de $0$ ell {\it e}s des travaux précédemment
cités. Notre argumentation est d'ailleurs analogue dans $\mathrm{s}$ {\it e}s grandes li-
gnes à la démarche suivie par [Mok 1,2, 3].
L{\it e} paragraph $\mathrm{e}10$ démontre la néc essité des conditions 0.12
$\{\mathrm{a}.\mathrm{b}.\mathrm{c})$ pour tout ensemble algébriqu $\mathrm{e}$ X $\subset 0^{\mathrm{N}}$ La fonction $\varphi$ est
alors donnée par $\varphi(\mathrm{z})=\mathrm{L}\mathfrak{X}\{1+|\mathrm{z} |^{2})$, de sorte qu $\mathrm{e}$ la métrique $\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi$
coïncide avec la métrique d{\it e} Fubini-Study de l'espace proj $\infty$ ur $\mathrm{p}^{\mathrm{N}}$
Grfc $\mathrm{e}$ à un calcul explicite d{\it e} la $\mathrm{c}$ ourbure de Ricci, nous vérifions que
l'inégalité de courbure (b) a lieu avec $\mathrm{V} =\mathrm{L}\mathfrak{X} \displaystyle \sum |\mathrm{J}_{\mathrm{K},\mathrm{L}}|^{2}$, où 1 {\it e}s
K. $\mathrm{L}$
$\mathrm{J}_{\mathrm{K},\mathrm{L}}$ désignent les déterminants jacobiens associés à un système d'é-
quations polynomial {\it e}s d{\it e} X . Nous montrons de plus par un contre-
exemple qu $\mathrm{e}$ la condition d{\it e} courbure (b) est bien indispensable.
9

J. P. DEMAILLY
La preuve de la suffisance des conditions $\langle \mathrm{a},\mathrm{b}$.c $)$ fait 1 objet
des \S 11. 12, l3 Le schéma général d{\it e} la démonstration est le suivant.
Grб e aux estimations $\mathrm{L}^{2}$ de $\mathrm{Ii}6\mathrm{rmander}-$ Nakan $\propto \mathrm{Skoda}$ pour l'opéra-
teur $\overline{8}$ et grdce à l'hypothèse (b) , on construit un système
$\mathrm{F}=(\mathrm{f}_{1},\ldots.\mathrm{f}_{\mathrm{N}})$ d{\it e} fonctions holomorphes cp-polynomiales qui, en dehors
d'un ensemble analytique $\mathrm{S}\subset \mathrm{X}$, définit un plongem ent de $\mathrm{X}\backslash \mathrm{S}$ dans
$\mathrm{c}^{\mathrm{N}}$ Sous l'hypothèse (a) de finitude du volum $\mathrm{e}$. le théorème d'algé-
bricité 0.11 implique que le degré de trant endanre des fonctions
$\mathrm{f}_{1},\ldots.\mathrm{f}_{\mathrm{N}}$ est égal à $\mathrm{n}=\dim$ X. L{\it e} morphisme $\mathrm{F}$ envoie par consé-
quent X dans une variété algébrique $\mathrm{M}\subset \mathrm{c}^{\mathrm{N}}$ d{\it e} dlm ension $\mathrm{n}$
La principale difficulté qui subsiste est alors de prouver que
le plongem ent est quasi-surjectif, c$\dagger$est-à-dire que l'ouv ert $\Omega=\mathrm{F}\langle \mathrm{X}\backslash \mathrm{S})$
est un ouvert de Zariski de M Nous obtenons c{\it e} résultat {\it e}n mon-
trant d'abord que la (1, 1)-forme $\mathrm{F}_{\sim}\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\phi$ se prolonge {\it e}n un courant
positif fermé $\mathrm{T}$ de masse finie sur $\mathrm{M}$, tel que $\mathrm{T}=0$ sur $\mathrm{M}\backslash \Omega$ :
compte tenu des estimations de masse qui résultent d{\it e} la construction,
ceci se fait essentiellement par la méthode d'intégration par parties
développée par H. Skoda [Sk5] et H. El Mir [EM]. Afin de donner
un aperçu de la suite du raisonnement, regardons le cas déjà signifi-
catif où $\mathrm{N}=\mathrm{n}$ . 1. $\mathrm{e}$. le cas $\mathrm{M}=\mathrm{c}^{\mathrm{n}} \mathrm{L}$ existe alors une fonction
psh V sur $0^{\mathrm{n}}$ à croissance minimale, 1. $\mathrm{e}.\ \mathrm{V}\{\mathrm{z})\mathrm{s} \mathrm{C}_{1}{\rm Log}_{+}|\mathrm{z}| +\mathrm{C}_{0}$ ,
telle que $\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}=\mathrm{T}$ Par construction, la fonction $\uparrow=\mathrm{V}-\varphi\circ \mathrm{F}^{-1}$
est pluriharmonique sur $\Omega$. de plus $\tau$ tend vers $-\varpi$ {\it e}n tout point
de $\delta\Omega$. Il en résuite qu $\mathrm{e}$ l'ensemble fermé $\mathrm{M}\backslash \Omega$ est pluripolaire.
Pour montrer que $\mathrm{M}\backslash \Omega$ est en fait un ensemble algébrique, notre mé-
thode consiste à vérifier, {\it e}n utilisant de nouveau le théorème d[algé-
bricité $0.11$. que la 1-forme holomorphe $\mathrm{h}=8\uparrow$ se prolonge en une
forme méromorphe rationnelle sur $\mathrm{M}=\mathbb{C}^{\mathrm{n}}$
Dans le cas où $\mathrm{M}$ est une variété algébrique affine quelcon-
que. le lien qui existe dans $\mathrm{c}^{\mathrm{n}}$ entre les (1, 1)-courants positifs fer-
10

MESURES DE MONGE-AMPEBE
mes $\mathrm{T}$ de masse projective finie et 1 {\it e}s fonctions psh à croissanc $\mathrm{e}$
minimale ne s'applique plus. On peut tout efois montrer (voir l'appendice
\S 15) que l'inéquation différentielle $\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\geq \mathrm{T}$ se résout toujours sur
$\mathrm{M}$ avec une solution psh V telle que l{\it e} courant $\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}-\mathrm{T}$ soit de
classe $\mathrm{C}^{\Phi}$ et à croissanc $\mathrm{e}$ polynomiale. La fin de la démonstration est
alors presque identique. L'hypothèse (c), quant à elle, sert à dém ontr {\it e}r
que la ''topologie de Zariskï'' sur X est quasi-compacte, {\it e}t donc que
X peut être recouvert par un nombre fini d'ouverts de la forme $\mathrm{X}\backslash \mathrm{S}$
(cf. \S 13). Nous ne savons pas {\it e}n fait sl l'hypothèse (c) est réelle-
$\mathrm{m}$ ent indispensable.
Signalons enfin que le thé orème 0.12 peut sIétendre aux espa-
ces complexes à singularités isolées (cf. \S 9), mais l'extension au cas
quelconque soulève des difficultés qui seront étudiées au \S 14.
11


MESURES DE MONGE-AMPERE
$$
A.
$$
{\it Mesures d}e {\it Monge-Ampère}
{\it et croissance des fonctions}
{\it pluris} $0$ {\it usharmoniques}
$$
\mathrm{t}3
$$
J. P. DEMAILLY
1. -- Courants et fonctions plurisousharmoniques
sur les espaces complexes.
Le but d{\it e} ce paragraphe est de donner une définition des cou-
rants et des fonctions psh sur un espace analytique complexe éventuelle-
ment singuli {\it e}r. Le lecteur qui souhaite ne considérer dans la suite que
l{\it e} cas lisse peut sauter directem ent au \S 2.
Soit X un espac $\mathrm{e}$ complexe réduit de dimension pure $\mathrm{n}$ ,
$\mathrm{X}_{\mathrm{r}}$ (resp. $\mathrm{X}_{\mathrm{S}}$) les emble de ses points réguliers (resp. singuliers).
Comme les définitions que nous allons considérer sont locales, on peut
sans restriction supposer que X $\mathrm{s}' \mathrm{iden}\mathfrak{t}\mathrm{lfie}$ à un sous-ens emble analy-
tique fermé d'un ouvert $\Omega\subset 0^{\mathrm{N}}$ au moyen d'un plongement $\mathrm{j}$ : X $\rightarrow\Omega$.
On définit alors l'espace $\mathrm{C}^{\mathrm{k}}$ (X) des $\mathrm{tp}$, q)-formes de classe
$$
\mathrm{p},\ \mathrm{q}
$$
$\mathrm{C}^{\mathrm{k}}$ sur X. $\mathrm{k}\in$ IN $\cup[\infty)$ . comme l'image du morphisme de restriction
$$
\mathrm{J}^{*}:\mathrm{c}_{\mathrm{p}.\mathrm{q}^{\{\Omega)}}^{\mathrm{k}}\rightarrow \mathrm{C}_{\mathrm{p},\mathrm{q}}^{\mathrm{k}}\langle \mathrm{X}_{\mathrm{r}})\ ,
$$
$$
\mathrm{N}_{1}
$$
munie de la topologie quotient. Sl $\mathrm{j}_{1}$ : X -- $\Omega_{1}\subset \mathrm{O}$ est un autre
$$
\mathrm{N}_{1}
$$
plongement. il existe (local ement) des applications holomorphes $\mathrm{f}:\Omega\rightarrow G$
$\mathrm{g}:\Omega_{1} \rightarrow 0^{\mathrm{N}}$ telles que $\mathrm{j}_{1}=\mathrm{f}\circ \mathrm{j}$ et $\ddagger =\mathrm{g}\circ ]_{1}$ Le diagramme com-
mutatif
$$
\mathrm{x}\infty\ \mathrm{f}^{-1}\{\Omega_{\mathrm{t}})\subset\Omega
$$
$$
\mathrm{j}_{\iota}|\ \mathrm{lIdxf}
$$
$\Omega_{1\overline{\mathrm{g}\mathrm{x}i\mathrm{d}}}\supset \mathrm{g}^{-1}(\Omega)\Omega \mathrm{x}\Omega_{\mathrm{t}}$
$\mathrm{m}$ ontre alors que les morphismes $\mathrm{j}^{*}$ et $\mathrm{j}_{1}^{\sim}$ induisent bien le mêm $\mathrm{e}$
14

MESURES DE MONGE-AMPEBE
espace-image $\mathrm{c}^{\mathrm{k}}$ (X) car Id xf et gx id sont des plongements
$$
\mathrm{p}.\mathrm{q}
$$
lisses fermés.
DEFINITION 1.1. - On désigne par $p$ (X) (resp. $p^{\mathrm{k}}$ (X))
$$
\mathrm{p},\ \mathrm{q}\ \mathrm{p},\ \mathrm{q}
$$
1' espac $\mathrm{e}$ des $(\mathrm{p}, \mathrm{q})$-formes sur X de class $\mathrm{e} \mathrm{C}^{\Phi}$ ($\mathrm{r}$ esp. $\mathrm{C}^{\mathrm{k}}$) et
à support compact, muni de la topologie limite inductive.
L'espac $\mathrm{e}$ dual $p'$ (X) est par définition l'espace des courants
$$
\mathrm{p},\ \mathrm{q}
$$
de bidimension $(\mathrm{p}, \mathrm{q})$ et de bidegré (resp. n-q) sur X. Les
courants appartenant au sous-espace $[p^{\mathrm{k}} \langle \mathrm{X})]'$ seront dits
$$
\mathrm{p},\ \mathrm{q}
$$
courants d'ordre $\mathrm{k}$.
Si $\mathrm{T}\in [p^{\mathrm{k}} \langle \mathrm{X})]'$ , le courant $\mathrm{j}_{*}\mathrm{T}\in 1 p^{\mathrm{k}} 1\Omega 1'$ défini par
$$
\mathrm{p},\ \mathrm{q}\ \mathrm{p}.\mathrm{q}
$$
$$
\langle \mathrm{j}_{*}\mathrm{T},\ \mathrm{v}\rangle=\langle \mathrm{T},\ \mathrm{j}^{*}\mathrm{v}\rangle
$$
pour toute forme $\mathrm{v}\in p^{\mathrm{k}}$ (0) . est à support dans $\mathrm{j}(\Omega)$ Néanmoins,
$$
\mathrm{p},\ \mathrm{q}
$$
pour $\mathrm{k}\geq 1$ un courant 6 $\epsilon 1 p^{\mathrm{k}} (\Omega)]'$ à support dans $\mathrm{j}\langle\Omega)$ ne pro-
$$
\mathrm{p},\ \mathrm{q}
$$
vient pas nécessairement d'un courant $\mathrm{T}$ défini sur X. même si X
est lisse.
Les opérateurs différentiels $\mathrm{d}$, 8. $\overline{8}$ usuels et l'opérateur
de multiplication extérieure par une forme $\mathrm{C}^{\Phi}$ sont d'autre part étendus
par dualité aux courants, exactement comme dans le cas lisse, $\mathrm{n}$ serait
particulièrem ent intéressant de savoir calculer en général les groupes
de cohomologie locale $\mathrm{d}$ {\it e}s opérateurs $\mathrm{d}$ et $\overline{\text{{\it ò}}}$ : nous ne savons même
pas en fait si ces groupes sont toujours nuls dans le cas de singularités
quelconques.
DEFINITION 1.2. -Un courant $\mathrm{T}\in p'$ (X) sera dit (faible-
$$
\mathrm{p},\ \mathrm{p}
$$
ment) positif si le courant d{\it e} bidegré $\langle \mathrm{n}$, n $)$
$$
\mathrm{T}\wedge \mathrm{i}\alpha_{1}\wedge\overline{\mathrm{a}}_{1}\wedge\ldots\wedge 1\alpha_{\mathrm{p}}\wedge\overline{\alpha}_{\mathrm{p}}
$$
est une mesure $\geq 0$ pour tout système de (1,0)-formes
$$
\mathrm{t}\alpha_{1}\ldots.,\ \mathrm{a}\ \mathrm{p}^{)}\ \underline{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{e}}\ \mathrm{c}^{\infty}\ \underline{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{r}}\ \mathrm{X}.
$$
15

J. P. DEMAILLY
Il revient au même de dire que le courant $\mathrm{J}_{\sim}\mathrm{T}$ est $\geq 0$ sur $\Omega$ :
{\it e}n particulier, un courant $\mathrm{T}\geq 0$ sur X est nécessair {\it e}m ent d'ordre $0$ .
Soit maintenant $\mathrm{F}$ : X $\rightarrow \mathrm{Y}$ un morphisme d'espaces analyti-
ques X. $\mathrm{Y}$ de dimensions respectives $\mathrm{n}$ . $\mathrm{m}$ Pour $\epsilon'$ assurer que le
morphisme image réciproque
$\mathrm{F}^{*}:\mathrm{c}_{\mathrm{P}.\mathrm{q}^{(\mathrm{Y})}}^{\mathrm{k}}\rightarrow \mathrm{c}_{\mathrm{p}.\mathrm{q}}^{\mathrm{k}}\mathrm{t}\partial$
est bien défini, {\it i}l suffit de vérifer le lemme suivant :
LEMME 1.3. - Soit $\mathrm{j}$ : $\mathrm{Y}\rightarrow\Omega\subset \mathrm{G}^{\mathrm{N}}$ un plongem ent {\it e}t
$$
\alpha\epsilon\ \mathrm{c}^{\mathrm{k}}
$$
$$
\mathrm{p},\ \mathrm{q}^{\langle\Omega)}\ \underline{\mathrm{u}\mathrm{n}e\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}e\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{e}}\ \propto\ |_{\mathrm{Y}_{\mathrm{r}}}=0.\ \underline{\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}8}\ \mathrm{F}^{\sim}\propto|_{\nwarrow}=0
$$
Démonstration. On peut supposer X lisse et connexe. Si
$\mathrm{F}(\mathrm{X}\urcorner\not\in \mathrm{Y}_{8}$ . alors $\mathrm{F}^{-1}(\mathrm{Y}_{\mathrm{r}})$ est dense dans X {\it e}t le résultat $\mathrm{s}'$ ensult
par continuité. La seule difficulté est donc le cas où $\mathrm{F}\langle \mathrm{X})\subset \mathrm{Ys}$ En
raisonnant par récurrence sur la dlm ension de $\mathrm{Y}$ et en décomposant
$\mathrm{F}$ sous la forme
$$
\mathrm{x}\ \rightarrow \mathrm{FY}^{\mathrm{C}_{-}}\mathrm{Y}\epsilon
$$
on voit qu'11 suffit de considérer au lieu de $\mathrm{F}$ le cas du morphisme
d'inclusion $\mathrm{Ys} \mathrm{c}_{\rightarrow}$ Y. Le lemme 1.3 résulte alors d{\it e} la continuité de
$\alpha$ et du lemme suivant :
LEMME 1.4. $-\underline{\mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}$ a $\underline{\mathrm{u}\mathrm{n}}$point$\mathrm{r}\epsilon_{\mathrm{f}\mathrm{f}}$lier sur$\mathrm{Ys}$ Alors ll
tel le une suite de points $[\mathrm{a}_{\mathrm{V}}]\subset \mathrm{Yr}$ convergeant vers a .
telle que dans la grasmannienne des m-plans de {\it a}  1' espace
$$
\underline{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}}\ \mathrm{T}_{\mathrm{a}_{\mathrm{v}^{\mathrm{Y}}}\mathrm{r}}\ \underline{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}}\ \mathrm{T}_{\mathrm{a}^{\mathrm{Y}}\mathrm{s}}
$$
Démonstration. $\mathrm{C}'$ est une conséquenc $\mathrm{e}$ de l'existenc $\mathrm{e}$ de stra-
tifications de Whitn {\it e}y d{\it e} $\mathrm{Y}$, voir [Wh 1] et I Wh 2]. $\blacksquare$
Supposons que le morphisme $\mathrm{F}:\mathrm{X}$ -- $\mathrm{Y}$ soit propre. On dé-
finit alors $\iota\uparrow$ application image directe
16

-
MESURES DE MONGE-AMPEBE
$$
\mathrm{F}_{\sim}:\iota_{B_{\mathrm{p},\mathrm{q}^{\langle \mathrm{X})]'}}^{\mathrm{k}}}\rightarrow 1p_{\mathrm{p},\mathrm{q}}^{\mathrm{k}}(\mathrm{Y})]'
$$
par dualité, en posant pour tout courant $\mathrm{T}\in 1p^{\mathrm{k}} \langle \mathrm{X})]'$ et toute forme
$$
\mathrm{p},\ \mathrm{q}
$$
$\alpha\in p_{\mathrm{p}.\mathrm{q}^{(\mathrm{Y})}}^{\mathrm{k}}$:
$$
\langle \mathrm{F}_{\sim}\mathrm{T}.\alpha\rangle=\langle \mathrm{T},\ \mathrm{F}_{\alpha}^{\mathrm{r}}\rangle
$$
Si $\mathrm{T}$ est $\geq 0$, il en est clairto ut de même pour $\mathrm{F}_{\sim}$ T. De plus, le
morphisme image directe $\mathrm{F}_{*}$ commute avec les opérateurs $\mathrm{d}$ , $\mathrm{d}^{\mathrm{C}}$ ,
8, $\overline{8}$. Si $\mathrm{T}$ est $\geq 0$ fermé . $\mathrm{F}_{*}\mathrm{T}$ est donc aussi $\geq 0$ fermé.
Venons en maintenant à la définition des fonctions psh .
DEFINITION 1.5. --Soit V : X - [-œ, $+_{\infty}[$ une fonction gui
$\mathrm{n}'$ est identiquement $-\alpha$ sur aucun ouvert de X. On dira que
V est plurisousharmonique sur X (psh en abrégé) si, pour
tout plongement local $\mathrm{j}$ : X $\rightarrow\Omega\subset 0^{\mathrm{N}}$, V est local ement
restriction d'une fonction psh sur $\Omega$.
J. E. Fornaess et R. Narasimhan ont donné la caractérisaion
fondam entale suivante des fonctions psh sur un espace complexe.
THEOREME 1.6 ([FN), th. 5.3.1). - Une fonction
V : $\mathrm{X}\rightarrow 1 -\infty.\ \vee[$ est psh sur X si et seulement si :
(a) V est $\mathrm{s}e\mathrm{mI}$-contlnue supérieurement:
(b) Pour toute application holomorphe $\mathrm{f}:\Delta-\mathrm{X}$ du disque
unité dans X, $\mathrm{v}\circ \mathrm{f}$ est sous-harmonique ou $\equiv-\Phi$
sur $\Delta$ .
Grâc $\mathrm{e}$ à ce résultat, on peut aisément généraliser le théorème
de prolongement de Brelot au cas des espaces complexes.
THEOREME 1.7. - Soient X un espac $\mathrm{e}$ complexe localem ent
irréductible et $\mathrm{Y}\subset \mathrm{X}$ un sous-ensemble analytique d'intérieur
vide dans X. Soit V une fonction psh sur $\mathrm{X}\backslash \mathrm{Y}$ locale-
17

J. P. DEMAILLY
ment majorée au voisinage de Y. Alors ll existe une fonction
psh $\mathrm{V}^{*}$ sur X V , $\underline{\mathrm{u}\mathrm{n}}\mathrm{l}\Delta\underline{\mathrm{u}\mathrm{e}}$ donnée par
\begin{center}
\includegraphics[width=18.25mm,height=2.96mm]{./MSMF_1985_2_19__1_0_001-100_images/image001.eps}
\end{center}
$\mathrm{V}^{*}(\mathrm{y})= \displaystyle \lim\sup \mathrm{V}\{\mathrm{x}).\ \mathrm{y}\epsilon \mathrm{Y}$
$$
\mathrm{x}\epsilon \mathrm{x}\backslash \mathrm{Y}.\ \mathrm{x}\rightarrow \mathrm{y}
$$
Dém ons tr ation.
(a) Unicité de $\mathrm{V}^{*}$ Comme $\mathrm{V}^{*}$ est semi-continue supérieu-
rement, on a pour tout $\mathrm{y}\in \mathrm{Y}$
$\mathrm{V}^{\iota}(\mathrm{y})=$ Um $\displaystyle \sup \mathrm{V}^{*}(\mathrm{x})\geq$ Um $\displaystyle \sup \mathrm{V}\langle \mathrm{x})$
$$
\mathrm{x}\rightarrow \mathrm{y}\ \mathrm{x}\epsilon \mathrm{x}\backslash \mathrm{Y},\ \mathrm{x}\rightarrow \mathrm{y}
$$
Inversement, choisissons une application holomorphe $\mathrm{f}:\Delta$ --X telle
que $\mathrm{f}(0)=\mathrm{y}$ et $\mathrm{f}(\Delta)\not\in \mathrm{Y}$ Alors $0$ est isolé dans $\mathrm{f}^{-1}\alpha$) et com-
me $\mathrm{V}^{*}\circ \mathrm{f}$ est psh sur $\Delta$ , il vient
$$
\mathrm{V}^{*}(\mathrm{v})=\mathrm{V}^{\sim}(\mathrm{f}\{0))=\ \mathrm{Um}\ \sup\ \mathrm{V}\ (\mathrm{f}\langle \mathrm{t}))\leq\ \lim\sup\ \mathrm{V}(\mathrm{x})
$$
$$
\mathrm{t}\neq 0,\ \mathrm{t}\rightarrow 0\ \mathrm{x}\epsilon \mathrm{X}\backslash \mathrm{Y},\ \mathrm{x}\sim \mathrm{y}
$$
(b) Plurisousharmonicité d{\it e} $\mathrm{V}^{*}$ Le résultat est local sur X.
D'après le théorème d{\it e} désingularisation de Hironaka [ Hi) , il existe
un espace lisse X et une modification propr $\mathrm{e} 0$ : X' $\rightarrow \mathrm{X}$ ; par dé-
finition, $0$ est propre et induit en dehors d'un ensemble analytique
$\mathrm{Z}\subset \mathrm{X}$ un isomorphisme
$$
\mathrm{o}:\mathrm{X}'\backslash 0^{-1}(\mathrm{z})\sim-\mathrm{x}\backslash \mathrm{z}
$$
$$
-1
$$
Pour tout $\mathrm{x}\in$ X. la fibre $0$ (x) est compacte et connexe. En effet,
$-1$
$\mathrm{sI} 0 \langle \mathrm{x})$ était non connexe, l{\it e} point $\mathrm{x}$ aurait un voisinage ouv ert $\mathrm{L}$'
$$
-1
$$
irréductible (X est supposé local ment irréductible), tel que $0$ (U)
$$
-1\ -1
$$
soit non connexe: mais alors $\mathrm{t} \backslash \mathrm{Z}$ serait connexe et $0 \mathbb{C}^{7}$) $\backslash 0$ (Z)
non connexe, ce qui est absurde. La fonc tion V $\mathrm{Q} 0$ est psh sur
$-1 -1$
X' $\backslash 0$ (Y) {\it e}t localement majorée au voisinage de $0$ (Y) D'après le
théorème d{\it e} Brelot relatif au cas lisse. $\mathrm{V}\circ 0$ se prolonge en une
fonction psh V' sur X' La fonction V' est nécessairement cons-
$$
-1
$$
tante sur les fibres $0$ (x) , donc V induit par passage au quotient
une donc tion $\mathrm{V}^{\sim}$ semi-continue supérieurem ent sur X . Montrons main-
18

MESURES DE MONGE-AMPERE
tenant que $\mathrm{V}^{\mathrm{r}}$ est psh sur X en utilisant le théorème 1.7. Etant
donné un germe d'application holomorphe $\mathrm{f}$ ; $ 1\Delta.\ 0$) $\rightarrow(\mathrm{X}, \mathrm{x})$ . il existe
dans X' un germe de $\mathrm{c}$ ourbe $1\Gamma',\ \mathrm{x}'$) au-dessus de l'image $\Gamma=\mathrm{f}1\Delta$),
donc il existe un entier $\mathrm{k}\in \mathrm{N}^{l}-$ et un germe $\mathrm{f}'$ : $(\Delta, 0)\rightarrow\{\mathrm{X}',\ \mathrm{x}')$ tels
que $\mathrm{f}(\mathrm{t}^{\mathrm{k}})=0\{\mathrm{f}'(\mathrm{t}))$ Par suite $\mathrm{V}^{*}\langle \mathrm{f}\{\mathrm{t}^{\mathrm{k}}))=\mathrm{V}'\{\mathrm{f}'(\mathrm{t}))$ est psh sur $(\Delta, 0)$ .
ce qui entraîne que $\mathrm{V}^{*}\cdot \mathrm{f}$ est aussi psh . $\blacksquare$
PROPOSITION 1.8. - Toute fonction psh V sur X est
localement intégrable pour la mesure aire de X (relative à
un plongem ent qu elconque $\mathrm{j}$ : $\mathrm{X}\rightarrow\Omega\subset \mathrm{G}^{\mathrm{N}}$)
Démonstration. V étant local ent majorée par définition,
on peut supposer V $\leq 0$ . $\mathrm{n}$ existe en tout point de X un plongement
local $\mathrm{j}$ : $\mathrm{X}\leftarrow \mathrm{p}$ sur un polydisque de $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$ tel que 1 {\it e}s projections
$\mathfrak{n}^{\mathrm{I}}$ : X $-\mathrm{P}^{\mathrm{I}}$ sur les n-plans de coordonnées soient propres à fibres
finies. Pour tout $ 1\subset[1,\ldots$ , $\mathrm{N} ).\ |\mathrm{I}| =\mathrm{n}$, il $\mathrm{ex}\dot{\mathrm{i}}\mathrm{ste}$ un ens emble ana-
lytique $\mathrm{S}_{\mathrm{I}}\subset \mathrm{p}^{\mathrm{I}}$ tel que la restriction $\mathfrak{n}^{\mathrm{I}}$ : $\mathrm{x}\backslash 11_{\mathrm{I}}-1_{\{\mathrm{S}_{\mathrm{I}})}$ -- $\mathrm{p}^{\mathrm{I}}\backslash \mathrm{S}_{\mathrm{I}}$ soit
un revêtement fini. La fonction $\mathfrak{n}_{\sim}^{\mathrm{I}}\mathrm{V}$ définie par
$$
11_{*}^{\iota_{\mathrm{v}\mathrm{t}_{-}\mathrm{v})}}=\sum_{\mathfrak{n}^{\mathrm{I}_{\{\mathrm{x})=\mathrm{y}}}}\mathrm{V}\{\mathrm{x})
$$
est psh $\leq 0$ sur $\mathrm{P}^{\mathrm{I}}*_{\mathrm{I}}$ , donc se prolonge {\it e}n une fonction psh $\mathrm{V}_{\mathrm{I}}$
sur $\mathrm{P}^{\mathrm{I}}$ tout entier. Comme la $\mathrm{m}$ esure aire de X est donnée par
$$
\mathrm{do}_{\mathrm{X}}=\sum_{\mathrm{I}}\langle \mathfrak{n}^{\mathrm{I}})^{*}\mathrm{d}\lambda_{q^{\mathrm{n}}}
$$
la conc lusion résulte alors du fait que les $\mathrm{V}_{\mathrm{I}}$ sont localement lnté-
grables sur $\mathrm{P}^{\mathrm{I}}.\ \bullet$
La proposition t.8 montre qu on $\mathrm{p}$ eut considérer toute donc tion
psh sur X comme un courant de bidegré $\langle$0,0) Par régularisation
d'un prolongement local de V à $0^{\mathrm{N}}$ et passage à la limite décrois-
santé, on vérifie aisément que le $\{\mathrm{t},\ 1)-\mathrm{c}$ ourant $\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}=?.\mathrm{i} 8\overline{8}\mathrm{V}$ où
$\mathrm{d}^{\mathrm{c}}=\mathrm{i}1_{\grave{\text{ò}}}^{-}-8\mathrm{I}$. est positif sur X .
19

J. P. DÇMAILLY
DEFINITION 1.9. - Une fonction localement intégrable V sur
X sera dite faiblement psh si V est localem ent malorée {\it e}t
\begin{center}
$\mathrm{s}$l $\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{Vz} 0$.
\end{center}
.$\cdot$
Contrair ement au cas lisse, l'hypothèse que V soit localement
majorée est fondamentale. Considérons par exemple la- courbe paramé-
trée $\langle \mathrm{z}_{1}.\ \mathrm{z}_{2})=\langle \mathrm{t}^{2},\ \mathrm{t}^{3})$ dans $\mathrm{C}^{2}$ : la fonction V(t) $=$ Be(l/t) n'y est
pas localement majorée en $0$. cependant on peut vérifier que
$\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}=0$ au sens des courants (cf. définition 1. 1). Observons d'autre
part qu une fonr tion faibl {\it e}m $\mathrm{e}$ nt psh n{\it e} s'identifie pas néc essairement
presque partout à une fonction psh, comme le montr $\mathrm{e}$ exemple de
la fonction définie sur la courbe $\mathrm{z}_{1}\mathrm{z}_{2}=0$ de $\mathbb{C}^{2}$ par $\mathrm{V}(\mathrm{z}_{\mathrm{t}}, 0)=1$ .
$\mathrm{V}\{0,\ \mathrm{z}_{2})=0$ sl $\mathrm{z}_{2}\neq 0$ . On a toutefois le résultat suivant :
THEOREME 1. 10. - Etant donné une foncton V : $\mathrm{X}\rightarrow 1 -\infty, +d$ ,
il $\mathrm{v}$ a équivalence entre les propriétés (a) , (b) (c) $\underline{\mathrm{c}\mathrm{i}}-$
$\mathrm{d}$ essous :
(a) V est faiblement psh sur X .
(b) V $\underline{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{h}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}}$ presque partout$\mathrm{av}\infty$un$e$fonction$\mathrm{v}_{\mathrm{r}}$ psh
$\underline{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{r}} \mathrm{x}_{\mathrm{r}}$ . $\underline{1\infty \mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}}$maior $6\mathrm{e}$au voislnage de $\mathrm{x}_{\mathrm{s}}$
$\langle \mathrm{c})$ Il existe une fonction psh 7 sur la normalisation $\tilde{\mathrm{X}}$ d{\it e}
X. tell $\mathrm{e}$ que $\nabla=\mathrm{V}_{\mathrm{Q}}\mathfrak{n}$ presqu $\mathrm{e}$ partout. où $\tau \mathfrak{s}$ : $\tilde{\mathrm{X}}-\mathrm{X}$
est le morphisme naturel.
Pour que V soit égale presque partout à une fonction psh
sur X . il faut et il suffit que la condition suivante soit réali-
sée: pour tout a $\epsilon \mathrm{X}$, on désigne par $\mathrm{V}^{*}(\mathrm{a})$ la limite su-
périeure essentielle de V(x) quand $\mathrm{x}\in \mathrm{X}$ tend vers a et
$$
\underline{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}}\ (\mathrm{X}_{\mathrm{j}'}\mathrm{a})\ \underline{\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{r}\text{é} \mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{e}}\ \langle \mathrm{X},\ \mathrm{a}\ )\ :
$$
al or $\mathrm{s}$
$1\displaystyle \ddagger \mathrm{m}\sup \mathrm{ess} \mathrm{V}\langle \mathrm{x})=\mathrm{V}^{\mathrm{c}}\langle \mathrm{a})$ vj
$$
\mathrm{x}\in\ \mathrm{X}:\mathrm{x}\rightarrow \mathrm{a}
$$
$$
\mathrm{j}
$$
Sous cette hypothèse $\mathrm{V}^{\iota}$ est psh sur X et V $=\mathrm{V}^{*}$ pres-
que partout.
20

MESURES DE MONGE-ANPERE
Démonstration. $(\mathrm{a})\Rightarrow(\mathrm{b})$. Cette implication résulte aussitôt
d{\it e} la défnition 1.9 et du cas bi {\it e}n connu où X est lisse.
$(\mathrm{b})\Rightarrow\{\mathrm{a})$. Soit $\mathrm{h}_{1}=\ldots=\mathrm{h}_{\mathrm{m}}=0$ des équations locales d{\it e} $\mathrm{X}_{\mathrm{S}}$
dans X. Alors pour tout $\epsilon >0$ la fonction
$\mathrm{v}_{\epsilon}=\left\{\begin{array}{ll}
\mathrm{v}_{\mathrm{r}}\star\in {\rm Log}(|\mathrm{h}_{1}|^{2_{++}}\ldots|\mathrm{h}_{\mathrm{m}}|^{2}) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{r} \mathrm{X}_{\mathrm{r}} & -\\
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{r} \mathrm{x}_{\mathrm{s}} & 
\end{array}\right.$
est psh sur X d'après le théorème 1.6. On a donc $\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{v}_{\epsilon}\geq 0$.
Comme $\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}_{\mathrm{C}}$ conv erge fait {\it e}m ent $\mathrm{v}$ ers $\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}$ quand $\epsilon$ tend vers
0. ll s'ensuit $\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\geq 0$ .
$(\mathrm{b}) \Rightarrow\langle \mathrm{c})$ La fonction $\mathrm{v}_{\mathrm{r}}\circ\Pi$ est psh sur $\tilde{\mathrm{x}}\backslash \mathfrak{n}^{4-1}1_{\mathrm{s}}^{\mathrm{X}}$) $=\mathfrak{n}\{\mathrm{x}_{\mathrm{r}})$,
localement majorée au voisinage de $\uparrow 1 (\mathrm{x}_{\mathrm{s}})$ . et $\tilde{\mathrm{X}}$ est localement
$$
-1
$$
irréductible. Le théorème 1.7 montre que $\mathrm{v}_{\mathrm{r}^{\mathrm{O}}}$ tt s{\it e} prolonge en une
fonction psh $\tilde{\mathrm{V}}$ sur $\tilde{\mathrm{X}}$.
$(\mathrm{c})\Rightarrow(\mathrm{b})$ résulte du fait que tt : $\tilde{\mathrm{X}}\backslash \mathfrak{n} (\mathrm{x}_{\mathrm{s}}) \rightarrow \mathrm{Xr}$ est un
$$
-1
$$
isomorphisme.
En ce qui concerne la dernièr $\mathrm{e}$ affirmation, la condition qu $\mathrm{e}$
nous avons donnée pour la plurisousharmonicité de $\mathrm{V}^{*}$ est évidemment
nécessaire. Pour voir qu'elle est suffisante, on observe que l'ensemble
des composantes irréduc tibles $\mathrm{tx}_{\mathrm{i}}$, a) est {\it e}n correspondance bijective
avec l'ensemble des points a de $\tilde{\mathrm{X}}$ situés au-dessus de a $\langle \mathrm{c}$ eci
$$
\mathrm{j}
$$
résulte par exemple de Narasimhan [Nar]. prop. VI. 2) et que
$$
\tilde{\mathrm{V}}\langle \mathrm{a})=\lim\sup \mathrm{ess}\ \mathrm{V}\langle \mathrm{x}).
$$
$$
\mathrm{j}
$$
$\mathrm{x}\in \mathrm{X}_{\mathrm{j}}$, x-a
On a donc par hypothèse V' $\circ$ tt $=\tilde{\mathrm{V}}$ en tout point de $\tilde{\mathrm{X}}$ : comme toute
application holomorphe $\mathrm{f}:\Delta \rightarrow \mathrm{X}$ se relève en une application
$\tilde{\mathrm{f}}:\Delta \rightarrow\chi$. la plurisousharmonicité de $\tilde{\mathrm{V}}$ entraîne celle de $\mathrm{V}^{*}$ . $\blacksquare$
21

J. P. DEMAILLY
COROLLAIRE 1.11. - Si X est localement irréductible et
sl V est faiblement psh sur X, alors la fonction définie
par
$\displaystyle \mathrm{V}^{*}\{\mathrm{a})=11\mathrm{m}\sup_{\mathrm{x}\rightarrow}\mathrm{essV}\langle \mathrm{x})$ . $\mathrm{a}\in \mathrm{X}$,
est psh sur X et V $=\mathrm{V}^{\sim}$ presque partout. $\blacksquare$
COROLLAIRE l. l2. -- Sî V : X -- $ 1-\infty.\ +_{\Phi}[$ eaest continue {\it e}t
faiblem ent psh, alors V est psh. $\blacksquare$
Pour $\mathrm{t}$ erminer cette section, nous examinons la transformation
des fonctions psh par image directe.
PROPOSITION 1. 13. - Soit $\mathrm{F}$ : $\mathrm{X}\rightarrow \mathrm{Y}$ un morphisme propr $\mathrm{e}$
suriaetlf à fibres finies.
(a) Si V est une fonction faiblement psh sur X, la $\mathrm{fon}\triangleright$
$\underline{\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}} \mathrm{F}_{\sim}\mathrm{V} \underline{\mathrm{d}\xi \mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{e}}$par
$$
\mathrm{F}_{l}\mathrm{V}[\mathrm{v})\ =\ \sum_{-\iota}\ \mathrm{V}\ (\mathrm{x})
$$
$$
\mathrm{x}\epsilon \mathrm{F}\ [\mathrm{v})
$$
est faiblement psh sur $\mathrm{Y}$ et de plus
$$
\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\{\mathrm{F}_{\sim}\mathrm{V})=\mathrm{F}_{\sim}\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V})
$$
(b) On suppose de plus que $\mathrm{Y}$ est localement irréductible.
Si V $\underline{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}$ psh $\underline{\mathrm{e}\mathrm{t}}$sl lasomme $\displaystyle \sum_{-1} \mathrm{V}\langle \mathrm{x}) \underline{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}$comp-
$$
\mathrm{x}\epsilon\ \mathrm{F}\ [\mathrm{v})
$$
tée avec multiplicités, $\underline{\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}} \mathrm{F}_{\sim}\mathrm{V} \underline{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}$psh sur $\mathrm{Y}$
Dém onstration.
$\langle \mathrm{a})$ On sait que $\mathrm{F}$ est un revêtement ramifié, $\mathrm{i}.\ \mathrm{e}$. ll existe
un ensemble analytique $\mathrm{Z}\subset \mathrm{Y}$ tel que
$$
\mathrm{F}\ :\ \mathrm{X}\backslash \mathrm{F}^{-1}(\mathrm{Z})\ --\ \mathrm{Y}\backslash \mathrm{Z}
$$
soit un revêtement de variétés lisses. On voit alors que la définition de
22

MESURES DE MONGE-AMPERE
$\mathrm{F}_{*}\mathrm{V}$ coihcide avec celle donnée pour les images directes de $\mathrm{c}$ ourants.
$\mathrm{n}$ est clair que $\mathrm{F}_{\sim}\mathrm{V}$ est localement majorée sur Y. et la propriété
$\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\langle \mathrm{F}_{*}\mathrm{V})=\mathrm{F}_{\sim}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\geq 0$ résulte du fait que $\mathrm{F}_{*}$ commute avec les opé-
rateurs $\mathrm{d}$ et $\mathrm{d}^{\mathrm{c}}$
(b) Sous l'hypothèse X localem ent irréductible, le cardinal
$$
-1
$$
de la fibre $\mathrm{F}$ (y) , $\mathrm{y}\in \mathrm{Y}\backslash \mathrm{Z}$ , est localement constant au voisinage
d'un point de Z Sl de plus V est continue, $\mathrm{F}_{*}\mathrm{V}$ s{\it e} prolonge par
continuité sur $\mathrm{Y}$ à travers Z. et le $\mathrm{c}$ orollaire 1.12 montre que
$\mathrm{F}_{\iota}\mathrm{V}$ est psh. Dans le cas général, il existe pour toute fibre
$-1$
$\mathrm{F}$ (y) $=[\mathrm{x}_{1},\ldots, \mathrm{x}_{\mathrm{m}}]$ des voisinages arbitrairement petits $\mathrm{O}_{\mathrm{j}}$ de $\mathrm{x}_{\mathrm{J}}$ .
$$
-1
$$
1 sj $\leq \mathrm{m}$ , et un voisinage $\mathrm{L}$ de $\mathrm{y}$ tels que $\mathrm{F}$ (L) $=\mathrm{O}_{1}\cup\leftrightarrow.\cup \mathrm{O}_{\mathrm{m}}$
Ecrivons V comme limite décroissante de fonctions psh continues
$$
-1
$$
$\mathrm{V}_{\mathrm{k}}$ sur un tel voisinage $\mathrm{F} \sigma^{1}$) Il vi ent $\mathrm{F}_{*}\mathrm{V}= \displaystyle \lim \mathrm{F}_{*}\mathrm{V}_{\mathrm{k}}$ sur $\mathrm{L}^{1}$ ,
$$
\mathrm{k}\sim\mapsto
$$
par suite $\mathrm{F}_{\sim}\mathrm{V}$ est psh . $\bullet$
23

J. P. DEMAILLY
$$
\mathrm{ck}
$$
2. -- Opérateurs (dd) et
inégalités de Chern-Levine-Nirenberg.
Dans cette section, nous rappelons la définition des opérateurs
ck
de Monge-Ampèr $\mathrm{e}$ (dd) introduits par Bedford et Taylor [BTi], $l$ BT2 $]$.
Cette définition permet de donner un sens au courant $\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}_{1}\wedge\ldots \mathrm{a} \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}_{\mathrm{k}}$
lorsque les $\mathrm{V}_{\mathrm{j}}$ sont des fonctions psh bornées. Nous aurons besoin
ici de considérer le cas un peu plus général où l'une des fonctions $\mathrm{V}_{\mathrm{j}}$
peut ne pas être bornée, et nous redonnerons dans ce cadre une démons-
tration des inégalités de $\mathrm{Ch}e\mathrm{rn}-$ Levine-Nirenberg [CLN]. Enfin, nous
$$
\mathrm{ck}
$$
étudions comme dans [BT2] la continuité de l'opérateur (dd) rela-
tivement aux limites décroissantes de fonctions psh
Soient $\varphi_{1}.\ \varphi_{2}\ldots..\eta_{\sigma}$ des fonctions psh localement bornées sur
X et V une fonction psh quelconque. D'après Bedford-Taylor [BT 2]
on peut définir le courant $\geq 0$ fermé $\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{C}}\varphi_{1}\wedge\ldots\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{C}}\varphi_{\mathrm{k}}$ par ré-
currence sur $\mathrm{k}$ {\it e}n posant
$\langle$2.1) $\mathrm{dd}^{\mathrm{c}_{\mathrm{V}\wedge \mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi_{1}\wedge\ldots\wedge \mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}_{\$_{\sigma}}}=\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}(\eta_{\zeta}^{\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}}\wedge \mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi_{1}\wedge\ldots\wedge \mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{k}-1})}}$
La positivité du second membre est évidente par hypothèse de récurren-
ce $\mathrm{sI} \varphi_{\mathrm{k}}\in \mathrm{C}^{\Phi}\langle \mathrm{X})$ : le cas général s'en déduit par régularisation de $\eta_{\sigma}$
et passage à la limite faible dans l'espace des courants.
Soit $\Omega =$ ( $\mathrm{p}<0]$ un ouvert relativ ement compac $\mathrm{t}$ dans X,
défini par une fonction $\mathrm{p}$ strictement psh $\mathrm{C}^{\infty}$ dans un voisinage $\Omega'$
de $\overline{\Omega}$ et telle que dp $\neq 0$ sur ò$\Omega$. Pour tout réel a $>0$ et tout
entier $ 0\leq \mathrm{k}\leq \mathrm{n}$ on pose
$$
\mathrm{e}_{\mathrm{k}}=|\mathrm{p}|^{\mathrm{k}\dagger \mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{n}-\mathrm{k}}\mathrm{tddp})+(\mathrm{k}+\mathrm{a})|\mathrm{p}|^{\mathrm{k}-1+\mathrm{a}}\mathrm{dp}\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{p}\wedge(\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{p})^{\mathrm{n}-\mathrm{k}-\mathrm{t}}
$$
24

MESURES DE MONGE-AMPERE
et on désign $\mathrm{e}$ par $\Vert \mathrm{v}||_{\mathrm{p}}$ la norme $\mathrm{L}^{\mathrm{p}}$ d'une fonction $\mathrm{v}$ sur $\Omega$ re-
lativem ent à la mesure $\beta_{0}$ , $\mathrm{p}\in\iota_{1,*\mathrm{w}}$] La masse du courant (2.1)
admet alors 1 {\it e}s estimations suivantes (cf. [CLN)).
THEOREME 2.2. $\underline{\mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}}$ V . $\mathrm{V}_{1},\ldots,\ \mathrm{V}_{\mathrm{k}} \underline{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{t}\ddagger \mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}}$ psh $\underline{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{r}}$
X telles que V $\leq 0.\ \mathrm{V}_{1}\geq  0\ldots$. , $\mathrm{v}_{\mathrm{k}}\geq 0 \underline{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{r}} \Omega\cdot \underline{\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}$il
$\underline{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{e}}$des constantes$\mathrm{C}_{j}=\mathrm{C}_{\mathrm{J}}\langle \mathrm{k}$, a $) \mathrm{j}=$ t. 2, 3 $\underline{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{s}}$que
$\langle \mathrm{a})\mathrm{I}_{\Omega}^{\beta_{\mathrm{k}+1_{-}}\wedge \mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge \mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi_{1}\wedge\ldots\wedge \mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{k}}\leq \mathrm{c}_{1}\Vert \mathrm{v}||_{1}\Vert\varphi_{1}\Vert_{\Phi}\cdots\Vert\varphi_{\mathrm{k}}||_{\infty}}$,
(b) $\mathrm{I}_{\Omega}^{\mathrm{e}_{\mathrm{k}}\wedge|\mathrm{v}|\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi_{1}\wedge\ldots\wedge \mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}}\eta_{\mathrm{c}}^{\epsilon \mathrm{C}_{2}||\mathrm{v}||_{1}\Vert\varphi_{1}||_{\Phi}\cdots\Vert\varphi_{\mathrm{k}}||_{\Phi}}$.
$\displaystyle \langle \mathrm{c})\int_{\Omega}\mathrm{B}_{\mathrm{k}}\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}_{1}\wedge\ldots\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}_{\mathrm{k}}\leq \mathrm{c}_{3}||\mathrm{v}_{1}||_{\mathrm{k}}\Vert \mathrm{v}4|_{\mathrm{k}}\cdots||\mathrm{v}_{\mathrm{k}}\Vert_{\mathrm{k}}$ .
Démonstration. Grâce au 1 emme d'approximation 2.4 ci-dessous,
on $\mathrm{p}$ eut supposer qu $\mathrm{e}$ les V et $\varphi$ sont de classe $\mathrm{C}^{\infty}$ Un calcul {\it i}m-
$$
j\ \mathrm{j}
$$
médiat donne
$$
\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\beta_{\mathrm{k}}=-2\{\mathrm{k}+\mathrm{a})|\mathrm{p}|\ \mathrm{dp}\ \wedge\langle \mathrm{ddp})
$$
$\mathrm{k}-1+\mathrm{ac} \mathrm{c}$ n-k
$\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\beta_{\mathrm{k}}=2\langle \mathrm{k}+\mathrm{a})[-|\mathrm{p}|^{\mathrm{k}-1+\mathrm{a}}\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{p})^{\mathrm{n}-\mathrm{k}+1_{+}}\langle \mathrm{k}-\mathrm{t}+\mathrm{a})$ dp $\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}_{\mathrm{p}}}\wedge$ (ddc $\mathrm{p}$ ) $\mathrm{n}-\mathrm{k}]$
d'où l'inégalité entre formes
$$
|\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}6_{\mathrm{k}}|\epsilon\ 2\{\mathrm{k}+\mathrm{a})\beta_{\mathrm{k}-1}
$$
Notons $1_{\mathrm{k}}$ , $\mathrm{J}_{\mathrm{k}}$ les intégrales (a) , (b) $\mathrm{r}$ espectivement et
$\mathrm{V}_{\mathrm{k}}=\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{1}\wedge\ldots\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{k}}$ . D'après la formule d'intégration par parties du
lemme 2.5 et compte $\mathrm{t}$ enu que $\beta_{\mathrm{k}+1}|_{\text{ò}\Omega}=\mathrm{d}^{\mathrm{c}}5_{\mathrm{k}+1}|_{8\Omega^{=}}0$ , il vient
$$
\mathrm{I}_{\mathrm{k}}=\ \mathrm{r}_{\Gamma}\mathrm{dd}^{\mathrm{C}}8_{\mathrm{k}+1}\wedge {}^{\mathrm{t}}\mathrm{t}^{\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}_{\wedge}}}\mathrm{V}_{\mathrm{k}-1}
$$
$$
\leq\ 2\{\mathrm{k}+\mathrm{t}+\mathrm{a})||\varphi l|_{\infty}\mathrm{I}_{\Omega}\ \beta_{\mathrm{k}}\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge\psi_{\mathrm{k}-1}
$$
$$
=2\{\mathrm{k}+\mathrm{t}+\mathrm{a})||\varphi_{\mathrm{k}}||_{\Phi}\mathrm{I}_{\mathrm{k}-\iota}
$$
$$
\mathrm{I}_{0}=l_{\Omega}^{\mathrm{V}\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}}\beta_{1}\leq;\ 2\langle 1+\mathrm{a})\int_{\Omega}|\mathrm{V}||\mathrm{p}|^{\mathrm{a}}\{\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{p})^{\mathrm{n}}
$$
\begin{center}
$\leq$ 2 $\{\mathrm{t}+\mathrm{a})\Vert \mathrm{V}||_{1}$
\end{center}
25

J. P. DEMAILLY
$$
\mathrm{k}+\iota
$$
Ceci démontre (a) par récurrence avec $\mathrm{C}_{1}(\mathrm{k}.\mathrm{a})=2 (1+\mathrm{a})\ldots\{\mathrm{k}+\mathrm{t}+\mathrm{a})$.
l'inégalité étant d'aill eurs vérifiée même si $\mathrm{a}=0$. D'autre part si
$\mathrm{k} 2 1$ on obtient
$$
\mathrm{J}_{\mathrm{k}}=\int_{\Omega}\ -\%\ \#_{\mathrm{k}-1}
$$
$$
=\int_{\Omega}-\eta_{\mathrm{c}}^{(\mathrm{V}\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\beta_{\mathrm{k}}+\beta_{\mathrm{k}}\wedge}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}+2\mathrm{dV}\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}8_{\mathrm{k}^{]\wedge}}\mathrm{V}_{\mathrm{k}-1}
$$
$$
=\int_{\Omega}\ \eta_{\zeta}^{\varphi \mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\beta_{\mathrm{k}}-\beta_{\mathrm{k}}\wedge \mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{V})\wedge \mathrm{V}_{\mathrm{k}-\mathrm{t}^{+2\mathrm{V}\mathrm{d}}}}\eta_{\mathfrak{c}^{\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\beta_{\mathrm{k}}\wedge\#_{\mathrm{k}-1}}}
$$
en intégrant par parties le terme $-2\varphi_{\mathrm{k}}\mathrm{dV}\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\beta_{\mathrm{k}}\wedge\gamma_{\mathrm{k}-1}$ à la 2ème ligne.
On suppos $\mathrm{e}$ maintenant $\varphi_{\mathrm{k}}>0$. {\it e}t on applique l'inégalité de $\mathrm{C}$ auchy-
Schwarz à la composante de bidegré $(\mathrm{n}-\mathrm{k}+1, \mathrm{n}-\mathrm{k}+1)$ du courant
\begin{center}
2 $\mathrm{d}\varphi_{\mathrm{k}}\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\beta_{\mathrm{k}}=-4\{\mathrm{k}+\mathrm{a})|\mathrm{p}|^{\mathrm{k}-1+\mathrm{a}_{\mathrm{d}}}\$_{\mathrm{C}}\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{p}\wedge\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{p})^{\mathrm{n}-\mathrm{k}}$ .
\end{center}
c{\it e} qui donne le majorant
$[4\{\mathrm{k}+\mathrm{a})^{2}\Re_{\mathrm{C}}|\mathrm{p}|^{\mathrm{k}-2+\mathrm{a}}$ dp $\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{p}+|\mathrm{p}|$ kb $\displaystyle \frac{\mathrm{d}\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}}{\varphi_{\mathrm{k}}}]\cdot\wedge ($ddc $\mathrm{p})^{\mathrm{n}-\mathrm{k}}$.
$\mathrm{n}$ en résulte
$\mathrm{J}_{\mathrm{k}}\sigma \displaystyle \int_{\Omega}\Re_{\mathfrak{c}}^{|\mathrm{v}||-\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\beta_{\mathrm{k}}+4\langle \mathrm{k}+\mathrm{a})^{2}|\mathrm{p}|^{\mathrm{k}-2+\mathrm{a}}\mathrm{d}\mathrm{p}\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{p}\wedge\langle \mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{p})^{\mathrm{n}-\mathrm{k}}\}\wedge\uparrow \mathrm{k}-1}$
$$
+\int_{\Omega}|\mathrm{v}||\mathrm{p}|^{\mathrm{k}+\mathrm{a}}\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{p})^{\mathrm{n}-\mathrm{k}}\wedge\frac{\mathrm{d}\varphi_{\mathrm{k}}\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}_{\$_{\sigma}}}}{\varphi_{\mathrm{k}}}\wedge\Downarrow_{\mathrm{k}-1}
$$
La forme entre accolades dans la première intégrale est égale à
2 $\langle \mathrm{k}+\mathrm{a})[|\mathrm{p}|^{\mathrm{k}-1+\mathrm{a}}\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}p)^{\mathrm{n}-\mathrm{k}\star 1_{+}}(\mathrm{k}+\iota+\mathrm{a})|\mathrm{p}|^{\mathrm{k}-2+\mathrm{a}}\mathrm{dp}\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{p}\wedge$ (ddc $\mathrm{p}\rangle^{\mathrm{n}-\mathrm{k}}]$
$$
\leq\ \mathrm{C}_{4}\beta_{\mathrm{k}-1}
$$
$$
-\wedge
$$
avec $\mathrm{C}_{4}=\mathrm{C}_{4}\langle \mathrm{k}$, a $) =\displaystyle \frac{2\langle \mathrm{k}+\mathrm{a})\langle \mathrm{k}+1+\mathrm{a})}{\mathrm{k}-1+\mathrm{a}}$ On obtient donc finalement
$$
\mathrm{J}_{\mathrm{k}}\leq\ \mathrm{C}_{4}||\mathrm{w}|_{\Phi}\mathrm{J}_{\mathrm{k}-1}+\int\Omega|\mathrm{V}|\beta_{\mathrm{k}^{\wedge}}\phi_{\mathrm{k}-1}\wedge\frac{\mathrm{d}\varphi_{\mathrm{k}}\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}_{\Re}}}{\varphi_{\mathrm{k}}}
$$
Notons $\mathrm{J}_{\mathrm{k}}'$ l'intégrale obtenue en remplaçant $\varphi_{\mathrm{k}}$ par $\varphi_{\mathrm{k}}'=e\mathrm{xp}\{\mathrm{B}\varphi_{\mathrm{k}})$
dans $\mathrm{J}_{\mathrm{k}}$ et posons $\mathrm{M}=\Vert\$\Vert_{\Phi} \mathrm{n}$ vient
26

MESURES DE MONGE-AMPERE
$$
\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{k}}'=\mathrm{etBdd}^{\mathrm{c}}\eta_{\sigma}^{+\mathrm{B}^{2}\mathrm{d}}\eta_{\sigma}\mathfrak{B}_{\mathrm{k}}\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}_{\$_{\mathrm{C}})}}
$$
$$
\geq\ \mathrm{Be}^{-\mathrm{B}\mathrm{M}}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}_{\Re_{\mathrm{C}}}}+\ \frac{\mathrm{d}\eta_{\mathrm{c}}'\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{k}}'}{\varphi_{\mathrm{k}}'},
$$
$$
\mathrm{Be}^{-\mathrm{B}\mathrm{M}}\mathrm{J}_{\mathrm{k}}\leq\ \mathrm{J}_{\mathrm{k}}'-\int_{\Omega}|\mathrm{v}|\ 8_{\mathrm{k}}\wedge\uparrow_{\mathrm{k}-1^{\wedge}}\frac{\mathrm{d}\varphi_{\mathrm{k}}'\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{k}}'}{\varphi_{\mathrm{k}}'}\mathrm{s}\ \mathrm{C}_{4}\{\mathrm{k}.\mathrm{a})\mathrm{e}^{\mathrm{B}\mathrm{M}}\mathrm{J}_{\mathrm{k}-1}.
$$
Comme $\displaystyle \mathrm{inf}\frac{1}{\mathrm{B}}\mathrm{e}^{2\mathrm{B}\mathrm{M}}=2e\mathrm{M}=2\mathrm{e}||\varphi_{[\mathrm{J}1_{\Phi}}$. ceci achève la démonstration
$$
\mathrm{B}>0
$$
de $\zeta \mathrm{b})$ par récurrenc $\mathrm{e}$ sur $\mathrm{k}$ avec la constante
$$
\mathrm{C}_{2}\{\mathrm{k},\ \mathrm{a}\ )\ =(4\mathrm{e})^{\mathrm{k}_{\frac{\mathrm{k}+\mathrm{a}}{\mathrm{a}}}}\langle 2+\mathrm{a})\ldots(\mathrm{k}+1+\mathrm{a})
$$
Pour démontrer (c) supposons d'abord que $\mathrm{V}_{1}=\mathrm{V}_{2}=\ldots=\mathrm{V}_{\mathrm{k}}=\mathrm{v}\geq 0$ .
Comme
$$
(\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{v}^{\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{k}-1}})^{\mathrm{k}-1}\geq\ \mathrm{v}(\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{k}-1}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{v})^{\mathrm{k}-1}
$$
une intégration par parties nous donne
$$
\mathrm{I}_{\Omega}8_{\mathrm{k}}\wedge(\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{v})^{\mathrm{k}}=\int_{\Omega}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\beta_{\mathrm{k}}\wedge \mathrm{v}\{\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{v})^{\mathrm{k}-1}
$$
$\underline{\mathrm{k}}$ k-1
$$
\leq\ 2\langle \mathrm{k}+\mathrm{a})1^{\frac{\mathrm{k}-1}{\mathrm{k}})^{\mathrm{k}-1}}\int_{\Omega}\beta_{\mathrm{k}-1}\wedge(\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{v}^{\mathrm{k}-1})
$$
Par récurrence sur $\mathrm{k}$ cette inégalité entraîne à son tour
$\displaystyle \int\beta_{\mathrm{k}}\wedge\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{v})^{\mathrm{k}}\mathrm{s}\Omega 2^{\mathrm{k}_{\langle 1\star \mathrm{a})\ldots\langle \mathrm{k}+\mathrm{a})\frac{\langle \mathrm{k}-1}{\mathrm{k}^{\mathrm{k}-1}}})!}\displaystyle \int_{\Omega}\beta_{0^{\mathrm{V}}}\mathrm{k}$
Remplaçons maintenant $\mathrm{v}$ par $\displaystyle \mathrm{v}=\underline{\mathrm{V}_{1}}+\ldots+\frac{\mathrm{v}_{\mathrm{k}}}{||\mathrm{v}1|_{\mathrm{k}}}$ Il vient
$$
\Vert \mathrm{v}_{\mathrm{t}}\Vert_{\mathrm{k}}
$$
$$
\frac{\mathrm{k}!}{|,||\mathrm{V}_{1}||_{\mathrm{k}}\cdots\Vert \mathrm{V}_{\mathrm{k}^{\mathrm{i}_{1}}}^{||}}\mathrm{k}\int_{\zeta_{\grave{\iota}}}6_{\mathrm{k}}\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}_{1}\wedge\ldots\prime \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}_{\mathrm{k}}
$$
$$
\mathrm{s}\ 2^{\mathrm{k}}\{\mathrm{t}+\mathrm{a})\ldots\{\mathrm{k}+\mathrm{a})\frac{\langle \mathrm{k}-1)!}{\mathrm{k}^{\mathrm{k}-\mathrm{t}}}\mathrm{J}_{\Omega}\beta_{0}\mathrm{v}^{\mathrm{k}}
$$
tandis que $||\mathrm{v}||_{\mathrm{k}}s \mathrm{k}$ L'inégalité (c) $\mathrm{s}'$ ensuit avec
$\mathrm{C}_{3}\langle \mathrm{k}$, a $) =2^{\mathrm{k}}\langle 1+\mathrm{a})\ldots\langle \mathrm{k}+\mathrm{a})$. .
27

J. P. DEMAILLY
Une conséquence immédiate du théorème 2.2 (b) est que le
courant Vddc $\varphi_{\mathrm{t}}\wedge\ldots\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\$_{\mathrm{C}}$ est de masse localement Uni $\mathrm{e}$ sur X : en
particulier on retrouve le résultat suivant dû à Bedford-Taylor [BT 2].
COROLLAIRE 2.3. $\underline{\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{e}}$mesures coefficientsde $\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{1}\wedge\ldots\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{k}}$
ne chargent pas les ensembles pluripolaires \{V $=_{-\infty]}.\ \bullet$
L'espac $\mathrm{e}$ X étant de Stein, ll existe d'après J. E. Fornaess
et R. Narasimhan ÏFN] des suites décroissantes $\mathrm{v}_{\mathrm{m}}$ , $\varphi_{\mathrm{J},\mathrm{m}}$ de
fonctions psh $\mathrm{C}^{\Phi}$ sur X tell {\it e}s que
$\mathrm{v}_{\mathrm{m}}\rightarrow \mathrm{v}.\ \varphi_{1^{\mathrm{m}}}.\rightarrow\varphi \mathrm{J}$ pour $\iota \mathrm{s} \mathrm{i}\leq \mathrm{k}$.
LEMME 2.4. Il existe des suites strictement croissantes $\mathrm{d}'$ {\it e}n-
$\underline{\mathrm{t}\mathrm{i}e\mathrm{r}\mathrm{s}} \mathrm{m}\{\mathrm{v}),\ \mathrm{m}_{1}1\mathrm{v}),\ \ldots$ , $\mathrm{m}_{\mathrm{k}}(\mathrm{v})$ , $\mathrm{v}\epsilon$ IN, $\underline{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{e}}$ qu'au sensde la
convergence faible des mesures on ait au choix l'une ou l'autre
des propriétés d{\it e} convergence ci-dessous :
$$
(\mathrm{a})\ \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{Vm}(\mathrm{v})\ \wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}_{\mathrm{h}.{}^{\mathrm{t}}\mathrm{k},\ulcorner}}\mathrm{m}_{1}(\mathrm{v})^{\wedge\ldots \mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}}\mathrm{m}_{\mathrm{k}}(\mathrm{vdd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{1}\wedge\ldots \mathrm{dd}^{\mathrm{c}_{\%}}
$$
$$
(\mathrm{b})\ \mathrm{vm}\ (\mathrm{v})^{\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi}1.\mathrm{m}_{1}\langle \mathrm{v})^{\wedge\ldots \mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}}\ \%,\ \mathrm{m}_{\mathrm{k}}(\mathrm{v})-\mathrm{Vdd}^{\mathrm{c}}\varphi_{1}\wedge\ldots \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\psi\ .
$$
Démonstration. D'après le théorème 2.2 déjà démontré dans l{\it e}
cas des fonctions psh $\mathrm{C}^{\mathrm{Q}}$ les suites (a) (b) sont localement bornées
en masse, et les parties bornées de l'espac $\mathrm{e}$ des courants d'ordre $0$ sont
métrisabl {\it e}s pour la topologie faible. Dans le cas (a) on observe que
$$
\mathrm{c}*_{\mathrm{m}}1
$$
par convergenc $\mathrm{e}$ monotone de $\zeta \mathrm{k},\ \mathrm{m}$ quand $\mathrm{m}-+_{\infty}$ : on a donc
$$
\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}_{{}^{\mathrm{t}}\mathrm{h}}}\ldots\ \mathrm{dd}^{\mathrm{C}}\eta_{\sigma-1}\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{C}}\varphi_{\mathrm{k},\mathrm{m}}\rightarrow \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{1\mathrm{k}}\ \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi
$$
La topologie étant métrisable, on peut choisir successivement $\mathrm{m}_{\mathrm{k}}1\mathrm{v}$) $=\vee$
$\mu_{1}\mathrm{i}\epsilon \mathrm{m}_{\mathrm{k}-1}\mathrm{t}_{\vee}),\ldots.\mathrm{m}_{1}\mathrm{t}_{\mathrm{V}}),\ \mathrm{mt}_{\mathrm{V}})$ par récurrence sur $\mathrm{v}$ (resp. $\mathrm{m}(\mathrm{v})=\mathrm{v}$
puis $\mathrm{m}_{\mathrm{k}}1_{\mathrm{V}}$) $\ldots..\mathrm{m}_{1}1\mathrm{v})$ dans le cas $(\mathrm{b}))$ pour obtenir la convergence sou-
haitée. $\bullet$
28

MBURE DE MONGE-AMPEBE
Enonçons ici en vue de références ultérieures le 1 emme d'intégra-
tion par parties que nous avons utilisé.
LEMME 2.5. Si $\mathrm{u}$ et $\mathrm{v}$ sont des formes de classe $\mathrm{c}^{2}$ de
bidegrés $\mathrm{r}$ espec tifs $[\mathrm{p}, \mathrm{q})$ et $(\mathrm{n}-\mathrm{p}-1, \mathrm{n}-\mathrm{q}-1)$ avec $\mathrm{p}\#\mathrm{q}$ pair.
al ors
$\mathrm{I}_{\Omega\Omega 8\Omega}^{\mathrm{u}\wedge \mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{v}=\int \mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{u}\wedge \mathrm{v}+\int \mathrm{u}\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{v}-\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{u}\wedge \mathrm{v}}$ .
Il suffit en effet d'appliquer le théorème de Stokes à la forme
$$
\mathrm{d}\langle \mathrm{u}\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{v}-\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{u}\wedge \mathrm{v})=\mathrm{u}\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{v}-\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{u}\wedge \mathrm{v}+\ \mathrm{du}\ \wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{v}+\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{u}\wedge\ \mathrm{dv}
$$
et d'observer que du $\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{v}=\mathrm{I}\langle 8\mathrm{u}\wedge\overline{8}\mathrm{v}+\delta \mathrm{v} \wedge\overline{\mathrm{a}}|)=$ dv $\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{u}$ . $\blacksquare$
En adaptant les techniques de [BT2] à la situation présente,
$$
\mathrm{ck}
$$
nous montrons maintenant la continuité de Topérateur (dd) par rap-
port aux limites décroissantes de fonctions psh .
THEOREME 2.6. $\underline{\mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}} \mathrm{t}\varphi\backslash _{\mathrm{v}\in \mathrm{N}}\mathrm{i}\subset \mathrm{L}_{1\mathrm{o}\mathrm{e}}^{\Phi}\langle \mathrm{X})$ et $(7^{\mathrm{V}})_{\vee\in}\mathrm{N}$
des suites décroissantes de fonctions psh tell {\it e}s que
$\varphi_{\mathrm{j}^{=\lim_{\mathrm{v}\rightarrow+\Phi}}}\varphi_{\mathrm{j}}^{\mathrm{V}}\in \mathrm{L}_{1\infty}^{\infty}(\mathrm{x}) \displaystyle \mathrm{v}=\lim_{\mathrm{v}\rightarrow+\Phi}\mathrm{V}^{\mathrm{V}}\not\in -\infty$.
Au sens de la convergence faible des mesures, on a alors
$$
(\mathrm{a})\ \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}^{\mathrm{v}}\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi^{\mathrm{v}_{1}}\wedge\ldots\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{k}}^{\mathrm{v}}\rightarrow \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{1}\wedge\ldots\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{k}}\ ,
$$
(b) $\mathrm{V}^{\mathrm{v}}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{t}}^{\mathrm{v}}\wedge\ldots\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{k}}^{\mathrm{v}}-$ Vddc $\varphi_{1}\wedge\ldots\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}$ \% ,
$$
\langle \mathrm{c})\ \varphi_{\mathrm{k}}^{\mathrm{v}}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{t}}\wedge\ldots\wedge \mathrm{dd}_{\varphi_{\mathrm{k}-1^{-}}^{\mathrm{v}}}^{\mathrm{c}}\%^{\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}}\wedge \mathrm{dd}_{\varphi_{1}}^{\mathrm{c}}\wedge\ldots\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{k}-1}
$$
Nous prouverons le th. 2.6 simultanément avec la propriété
suivante qui en est un corollaire.
29

J. $\mathrm{p}.$. DEMAILLY
COROLLAIRE 2.7.
$$
(\mathrm{a})\ \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}(\mathrm{Vdd}^{\mathrm{c}}\varphi_{1}\wedge\ldots\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{k}})=\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{C}}\varphi_{1}\wedge\ldots\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}_{\%}}.
$$
(b) $\underline{\mathrm{L}\infty \mathrm{c}\alpha \mathrm{l}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{s}}$ Vddc $\varphi_{1}\ldots \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\eta_{\mathrm{c}}$ et $\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge \mathrm{dd}_{\varphi_{1}}^{\mathrm{c}}\ldots \mathrm{dd}^{\mathrm{C}}\$_{\mathrm{t}}$
$$
\underline{\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{s}\mathrm{v}\mathrm{m}\epsilon \mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}}\ \varphi_{1}\ldots..\eta_{\mathrm{c}}\ .
$$
Démonstration. En utilisant le lemme 2.4 et un procédé évident
de suite diagonale, on se ramène au cas où $\mathrm{V}^{\vee},\ \varphi_{1}^{\vee},\ \ldots,\ \eta_{\mathrm{c}}^{\mathrm{v}}$ sont de
classe $\mathrm{C}^{\infty}$ Comme les propriétés 2.6 $(\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c})$ sont local {\it e}s, on peut
sans perte de généralité se plac {\it e}r dans un ouvert $\Omega=\{\mathrm{p}<0] \subset\subset$ X.
On va maintenant se ramener à la situation où $\varphi_{\mathrm{i}}$ . $\varphi_{\mathrm{j}}^{\mathrm{v}}$ sont de classe
$\mathrm{C}^{\infty}$ au voisinage de {\it ò}$\Omega$ et nulles sur {\it ò}$\Omega$. de manière à pouvoir appli-
quer la formule de Stokes sans termes de bord. Soit $\mathbb{R}^{2}\ni\langle \mathrm{u},\ \mathrm{v})\leftarrow\lambda\langle \mathrm{u}$, v $)$
une fonction $\mathrm{C}^{\Phi}$ convexe croissante en $\mathrm{u}$ {\it e}t $\mathrm{v}$ . qui coiheide avec
$\mathrm{max}\{\mathrm{u}.\mathrm{v})$ pour $|\mathrm{u}-\mathrm{v}|>1$ Alors $\displaystyle \tilde{\varphi}_{\mathrm{J}}^{\mathrm{v}_{=}}\lambda\langle\varphi_{\mathrm{j}}^{\mathrm{V}}-\frac{2}{\epsilon}.\ \epsilon^{-2}\mathrm{p})$ est psh $\mathrm{C}^{\Phi}$
de plus pour $\epsilon >0$ assez petit
$\left\{\begin{array}{ll}
\tilde{\varphi}_{\mathrm{j}}^{\mathrm{v}}=\varphi_{\mathrm{j}}^{\mathrm{v}}-\frac{2}{\mathrm{c}} & \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{r} \Omega_{3\epsilon}= [ \mathrm{p}<-3\epsilon\}\\
\tilde{\varphi}^{\mathrm{V}}\mathrm{i}=\epsilon^{-2}\mathrm{p} & \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{r} \overline{\Omega}\backslash \Omega_{\epsilon^{=}}[-\mathrm{e}\leq \mathrm{p}\leq 0]
\end{array}\right.$
On peut donc finalement supposer que $\varphi_{\mathrm{j}}^{\mathrm{v}_{=}}\varphi_{\mathrm{j}}=\epsilon^{-2}\mathrm{p}$ sur la ''couronne''
$\overline{\mathrm{f}})\backslash \Omega_{\mathrm{C}}$ \{et ceci quels que soient $\mathrm{j},\ \vee$)
Preuve de 2.6 (a) On raisonne par récurrence sur $\mathrm{k} \mathrm{D}'\mathrm{a}-$
près (2.1) il suffit de prouver que
\{2.8) $\displaystyle \lim_{\mathrm{v}-+\Phi}\int_{\Omega}\eta_{\mathrm{c}}^{\mathrm{v}_{\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}^{\vee}\wedge \mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi_{1}^{\mathrm{v}}\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{k}-1}^{\mathrm{v}}\wedge \mathrm{d}\mathrm{d}_{\phi}^{\mathrm{c}}}}\cdots$
$$
=\int_{\Omega}\varphi_{\mathrm{k}1\mathrm{k}-\iota^{\wedge \mathrm{d}\mathrm{d}_{\phi}^{\mathrm{c}}}}^{\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge \mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi\ldots \mathrm{d}\mathrm{d}_{\varphi}^{\mathrm{c}}}
$$
pour toute forme V $\in \mathrm{c}_{\mathrm{n}-\mathrm{k}-\mathrm{t},\mathrm{n}-\mathrm{k}-1}^{\Phi}\langle\overline{\Omega})$ telle que $\mathrm{v}_{|\theta^{=}}0$ (noter que
par hypothèse $\varphi_{\mathrm{k}|8\Omega^{=}}^{\mathrm{V}}0$) Quitte à remplacer V successivement par
$\mathrm{p}\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{p})^{\mathrm{n}-\mathrm{k}-1}$ et V $+$ Ap $\langle$ddc $\mathrm{p})^{\mathrm{n}-\mathrm{k}-1} \mathrm{A}\gg 0$, on peut supposer $\mathrm{dd}^{\mathrm{c}_{\mathrm{V}}}\geq 0$
sur $\overline{\Omega}$ L'inégalité $\leq$ dans (2.8) résulte alors simplement de Phypo-
thèse de récurrence
30

MESURES DE MONGE-AMPERE
$$
\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}^{\vee}\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{1}^{\mathrm{V}}\ldots \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\eta_{\sigma-1}^{\mathrm{v}}\rightarrow \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{1}\ldots \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{k}-1}
$$
et du théorème de convergence monotone. Pour prouver l'inégalité $\geq$
inverse, on effectue des intégrations par parties successives au moyen
du 1 emme 2.5:
$$
\int_{\Omega}\varphi_{\mathrm{k}^{\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge}}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{1}\ldots \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{k}-1}\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{C}}\mathrm{V}
$$
$$
\leq\ \int_{\Omega}{}^{\mathrm{t}}\mathrm{k}^{\mathrm{v}_{\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge \mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{t}}\ldots \mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{k}-\iota^{\wedge \mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}}}\phi}}
$$
$$
=\ \mathrm{I}_{\Omega}\varphi_{\mathrm{k}-\iota^{\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge \mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}}}\varphi_{\mathrm{t}}\cdots \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{k}-2}\wedge \mathrm{dd}_{\varphi_{\mathrm{k}}^{\mathrm{V}}}^{\mathrm{c}}\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\phi
$$
$$
\leq\ \int_{\Omega}\varphi_{\mathrm{k}-\iota^{\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge \mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi_{1}\ldots \mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}}}^{\mathrm{v}}\eta_{\sigma-2^{\wedge \mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{k}}^{\mathrm{v}}}}\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\dagger
$$
$$
=\text{ . . . }\leq\ \int\Omega\varphi_{\mathrm{t}}^{\mathrm{v}_{\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge \mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}}}\varphi_{2}^{\vee}\cdots \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{k}}^{\mathrm{v}}\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\phi
$$
$$
=\ \int\Omega \mathrm{Vdd}^{\mathrm{c}}\mathfrak{c}\mathrm{p}_{\iota}^{\mathrm{v}}\ ...\ \mathrm{dd}_{\varphi_{\mathrm{k}}^{\mathrm{v}}}^{\mathrm{C}}\wedge \mathrm{dd}_{\phi}^{\mathrm{c}}
$$
$$
-\int\ \mathrm{V}\ \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi_{1}^{\mathrm{V}}\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{2}^{\mathrm{v}}\cdots \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\ \mathrm{cp}\ \mathrm{kv}\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\phi
$$
{\it ò}$\Omega$
$$
\sim\ \int_{\Omega}\mathrm{V}^{\mathrm{v}}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{1}^{\mathrm{v}}\ ...\ \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{k}}^{\mathrm{v}}\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\downarrow-\ \epsilon\int_{8\Omega}\mathrm{Vd}^{\mathrm{C}}\mathrm{p}\wedge\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{C}}\mathrm{p}\rangle^{\mathrm{k}-1}\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{C}}\phi-2\mathrm{k}
$$
$$
=\ \int\Omega\varphi_{\mathrm{k}}^{\mathrm{v}}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}^{\vee}\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{1}^{\mathrm{v}}\ ...\ \mathrm{dd}^{\mathrm{c}_{\%^{\mathrm{v}}}}
$$
$$
+\mathrm{e}^{-2\mathrm{k}}\mathrm{J}^{\cdot}\ \{\mathrm{V}^{\mathrm{v}}-\mathrm{V})\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{p}\wedge\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{p})^{\mathrm{k}-\mathrm{t}}\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\phi
$$
{\it ò}$\Omega$
La dernière intégrale tend vers $0$ par convergenr $\mathrm{e}$ monotone, ce qui
achève la preuve de 2.6 (a)
Preuve de 2.7 (a) Conséquence immédiate de 2.4 (b) et 2.6 (a)
Preuve de 2.6 (b) L'inégalité 2.2 $\zeta \mathrm{b}$) entraîne que la suite
$\mathrm{v}^{\mathrm{v}}\mathrm{dd}_{\vee^{\wedge}}^{\mathrm{c}_{\mathrm{v}_{1}}}\mathrm{A}\ldots\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathfrak{c}\mathrm{q}_{\sigma}^{\mathrm{v}}$ est de masse localement uniformément bornée sur
X . De plus toute valeur d'adhérence de cette suite est telle que
$\mathrm{T}\leq$ Vddc $\mathrm{t}_{r_{1}}'\wedge\ldots\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{k}}$ ,
avec égalité sur $\Omega\backslash \Omega_{\mathrm{C}} (\mathrm{l}\text{à} \mathrm{o}\text{ù} \varphi_{\mathrm{j}}^{\vee}=\varphi_{\mathrm{i}}=\mathrm{c} \mathrm{p})$. D'après 2.6 ta) et
$$
-2
$$
2.7 (a) on a d'autre part
31

J. P. DEMAILLY
$\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\tau=\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge \mathrm{dd}_{\varphi_{1}}^{\mathrm{c}}\wedge\ldots\wedge \mathrm{dd}_{\varphi_{\mathrm{k}}}^{\mathrm{c}}=\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}(\mathrm{Vdd}^{\mathrm{c}}\varphi_{1}\ldots \mathrm{u}_{\eta_{\mathrm{c}}}^{\mathrm{c}})$ .
Distinguons maintenant deux cas suivant la valeur de l'entier $\mathrm{k}$.
$$
\mathrm{c}\ \mathrm{n}-\mathrm{k}-1
$$
Si $\mathrm{k}\leq$ n-1. le lemme 2.5 appliqué avec $\mathrm{v}=\mathrm{p}(\mathrm{ddp})$
entraîne que le courant positif
$\mathrm{u}=\mathrm{Vdd}^{\mathrm{c}}\varphi_{1}\wedge\ldots\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{k}}$ -T -
est nul sur $\Omega$
Si $\mathrm{k}=\mathrm{n}$, on peut considérer V . $\varphi_{1}\ldots.,\ \eta_{\sigma}$ comme des fonc-
tions sur $\mathrm{XxG}$ n{\it e} dépendant pas de la dernièr $\mathrm{e}$ variable, {\it e}t appliquer
le résultat 2.6 (b) déjà connu à $\mathrm{XxG}$ . La démonstration de 2.6 (c)
est identique. $\blacksquare$
$\underline{\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{e}}2.9$. Si $\varphi_{]}$ est $\geq 0$. on peut écrire
$\mathrm{d}\varphi_{\mathrm{j}}\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi_{\int}=\mathrm{g} \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{\int}^{2}-\varphi_{\int}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\eta$:
par conséquent, le théorème de convergenc $\mathrm{e}$ faible 2.6 reste valable pour
tout produit de V ou $\mathrm{ff}1^{\mathrm{c}}\mathrm{V}$ par des (1, 1)-formes du type $\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{j}$.
$\infty_{\mathrm{j}}\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{j}}$ , ou encore (par polarisation) $\mathrm{d}\varphi_{1}\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{j}}+\Phi_{\mathrm{j}}\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{i}}$
Remarque 2.10. Le lecteur trouv era une intéressante discussion
sur le problème de la définition et de la continuité de l'opérateur de
Monge-Ampèr $\mathrm{e}$ dans (Kil et [Ce] En particulier, il est possible
d'étendre $\mathrm{c}$ ertains des résultats précédents au cas où les fonctions $\varphi_{\mathrm{i}}$
ne sont plus nécessairement bornées, à condition de faire une hypothèse
de compacité sur 1 {\it e}s pôles des $\varphi_{\mathrm{J}}$ Nous supposerons qu ll existe un
compact $\mathrm{K}\subset \mathrm{X} \mathrm{t}$ el que $\varphi_{\iota},\ \Re_{\mathrm{C}}$ soient loc alement bornées sur $\mathrm{X}\backslash \mathrm{K}$
Alors la définition (2.1), le 1 emme 2.4 (a) et le théorème 2.6 (a) res-
tent valables.
Pour le voir. on observe que le problème $8\mathrm{e}$ pose uniquement
32

MESURES DE MONGE-AMPERE
au voisinage de K Soit $\mathrm{p}$ une fonction $\mathrm{C}^{\Phi}$ strictement psh {\it e}t $\mathrm{w}$
un ouvert tels que Kc $\mathrm{w} \subset\subset\Omega=(\mathrm{p}<0; \subset\subset$ X. Quitte à remplacer $\varphi_{\mathrm{J}}$
par
$\left\{\begin{array}{l}
\varphi_{\mathrm{j}^{-\frac{2}{\epsilon}}} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{r} \omega , \epsilon^{-2}\mathrm{p} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{r} \mathrm{X}\backslash \Omega\\
\sup\langle\varphi_{\mathrm{j}^{-\frac{2}{\epsilon}}} , \epsilon^{-2}\mathrm{p}) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{r} \Omega\backslash \omega
\end{array}\right.$
$$
-2
$$
on peut supposer $\varphi =\epsilon \mathrm{p}$ au voisinage de 8 $\Omega$. Démontrons d'abord
$$
\mathrm{j}
$$
par récurrence que $\eta_{\mathrm{c}}^{\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}}\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{1}\wedge\ldots\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}_{(\mathrm{k}_{-1}}}$ (et donc aussi
$\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi\ldots \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\iota {}^{\mathrm{t}}\mathrm{k})$ est de masse local ement finie $\epsilon \mathrm{i} \mathrm{k}\leq$ n-1 Pour
tout a $<0$ on a {\it e}n effet, avec la notation $\displaystyle \eta_{\mathrm{c}.\mathrm{a}^{=}}\max\langle\varphi_{\mathrm{k}}.\mathrm{a})$ :
$$
\mathrm{J}_{\Omega}\ |\eta_{\sigma.\mathrm{a}}1^{\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}}\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{1}\ldots \mathrm{dd}^{\mathrm{c}_{{}^{\mathrm{t}}\mathrm{k}_{-1^{\wedge}}}}\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{p})^{\mathrm{n}-\mathrm{k}}
$$
\begin{center}
$=\displaystyle \int_{\Omega}|_{\mathrm{P}}|\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}$ 1\%. $\mathrm{a}^{\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge \mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi_{1}\ldots \mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}}\mathrm{q}_{\mathrm{c}-\iota^{)\wedge\langle \mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{p})^{\mathrm{n}-\mathrm{k}-1}}}$
$$
\leq \mathrm{c}\ \mathrm{I}_{\Omega}^{\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\{*.\eta_{\mathrm{c}-1})\wedge\langle \mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{p})^{\mathrm{n}-\mathrm{k}-1}}\mathrm{a}^{\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{C}}\mathrm{V}\wedge \mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi_{1}\ldots \mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}}
$$
$$
=\mathrm{C}\epsilon^{-2\mathrm{k}}\int \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge(\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}p)^{\mathrm{n}-1}\Omega
$$
$$
<+\mathrm{a}.
$$
\end{center}
la dernière égalité provenant du thé orème de Stokes. La démonstration
de 2.4 (a) et 2.6 (a) se fait alors sans aucune modification.
33

J. P. DEMAILLY
3. -- Mesures de Monge-Ampère
et formule de Jensen.
A toute fonction cp psh continue et exhaustive sur un espac $\mathrm{e}$ de
Stein, nous allons associer de manière canonique une famille de $\mathrm{m}$ esures
positives portées par les ensembles de niveau de cp. Ces mesures appa-
raissent naturellement lorsqu on cherche à étendre la formule de Jensen
en plusieurs variables. Les principales idées d{\it e} ce paragraphe reposent
sur 1 {\it e}s calculs faits par P. Leiong [L{\it e} 1] pour montr {\it e}r l'existence des
nombres de Leiong d'un courant positif fermé. Nous reprenons pour l'es-
sentiel les notations de [D4] . [D5] (voir aussi l'article de H. Skoda
[Sk 51).
On considère un espace de Stein X de dimension pure $\mathrm{n}$ . ré-
duit, muni d'une fonction psh continue cp : X -- $ 1-\circ,\ \mathrm{R}[$ , où
$\mathrm{R}\in 1 -\otimes, \mapsto]$ Pour tout $\mathrm{r}<\mathrm{R}$ on note
$\mathrm{B}\langle \mathrm{r})=\iota \mathrm{z}\in \mathrm{x}:\propto \mathrm{z}) <\mathrm{r}].\ \overline{\mathrm{B}}\langle \mathrm{r})=\{\mathrm{z}\in \mathrm{X},\ \varphi\{\mathrm{z})\leq \mathrm{r}]$
les 'pseudoboules'' ouvertes {\it e}t fermées associées à cp (on prendra gar-
de au fait que $\overline{\mathrm{B}}\langle \mathrm{r}) \mathrm{n}'$ est pas nécessairement l'adhérenre de $\mathrm{B}(\mathrm{r})|)$
$\alpha)$ suppose que cp est exhaustive. clest-à-dire que les pseudoboules
$\overline{\mathrm{B}}(\mathrm{r}) \mathrm{r}<\mathrm{R}$ . sont compac tes. On pose enfin pour tout $\mathrm{r}\in 1 -\infty.\ \mathrm{R}[$
$\mathrm{S}\langle \mathrm{r})=\mathrm{tz}\epsilon \mathrm{x}:\varphi\langle \mathrm{z})=\mathrm{rJ}=\overline{\mathrm{B}}(\mathrm{r})\backslash \mathrm{B}\{\mathrm{r})$.
$$
\varphi_{\mathrm{r}}=\max(\varphi, \mathrm{r})
$$
$\alpha =\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}$ cp $=21\text{ò}\overline{\delta}\varphi$.
Le courant $($ddc $\varphi_{\mathrm{r}})^{\mathrm{n}}$ est bi {\it e}n défini grâce à \{2. 1) si $\mathrm{r}>-\infty$, et si
$\mathrm{r}=-\Leftrightarrow,\ (\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{r}})^{\mathrm{n}}=(\mathrm{dd}^{\mathrm{C}}\varphi)^{\mathrm{n}}$ existe d'après la remarqu $\mathrm{e}2.10$.
LEMME 3.1. $-\underline{\mathrm{L}'\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{p}11\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}}\mathrm{r}-\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{r}})^{\mathrm{n}} \underline{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{e}}$de $ 1-\circ,\ \mathrm{R}[$
dans l'espac $\mathrm{e}$ des mesures sur X muni de la topologie faible.
34

MESURES DE MONGE-AMPERE
Démonstration. La continuité à droite résulte du théorème 2.6 $\langle \mathrm{a})$,
tandis que la continuité à gauche s'obtient en écrivant
$\displaystyle \{M^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{r}})^{\mathrm{n}}=\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\max\{\varphi-\mathrm{r}.0))^{\mathrm{n}} \blacksquare$
Comme $(\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{r}})^{\mathrm{n}}$ est nul sur $\mathrm{B}(\mathrm{r})$ et coïncide avec $(\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\emptyset^{\mathrm{n}}$
sur $\mathrm{X}\backslash \overline{\mathrm{B}}\langle \mathrm{r})$ , la continuité à gauche entraîne
$$
\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{r}})^{\mathrm{n}}\geq\ 1_{\mathrm{X}\backslash \mathrm{B}\langle \mathrm{r})^{\{\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi)^{\mathrm{n}}}}.
$$
où $\mathrm{n}_{\mathrm{A}}$ désigne la fonction caractéristique d'une partie $\mathrm{A}\subset$ X. Les ré-
sultats ci-dessous découlent aussitôt de ces remarques et justifient la dé-
finition suivante.
THEOREME et DEFINITION 3.2. - On appellera mesures de
Monge-Ampère associées à cp 1 {\it e}s familles de mesures positives
$\mathrm{tu}_{\mathrm{r}}),\ \mathrm{t}_{\mathrm{t}_{\mathrm{r}}^{\overline{1}}}) \underline{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{t}\epsilon \mathrm{e}\mathrm{s}}$ par $\mathrm{S}\langle \mathrm{r})$ , $\mathrm{r}\in 1-\mathrm{a}$. Rl , $\underline{\mathrm{d}6\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{s}}$oar
$$
+\ =(\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{r}})^{\mathrm{n}}-1_{\mathrm{X}\backslash \mathrm{B}\langle \mathrm{r})^{\langle \mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi)^{\mathrm{n}}}},
$$
$$
\mathfrak{l}_{\mathrm{r}}^{\overline{1}}=\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{r}})^{\mathrm{n}}-1_{\mathrm{X}\backslash \overline{\mathrm{B}}\{\mathrm{r})^{(\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi)^{\mathrm{n}}}}
$$
$\underline{\mathrm{L}\mathrm{a}}$famille $\mu_{\mathrm{r}}$ (resp. $\overline{\mathrm{u}}_{\mathrm{r}}$) est faiblement continue a gauche (resp.
à droite), et on a les relations
$$
\overline{\mathrm{t}}_{\mathrm{r}}1=\lim_{\mathrm{p}\rightarrow \mathrm{r}\triangleleft}\mu_{\mathrm{p}}\text{ . }\mu_{\mathrm{r}}=\lim_{\mathrm{p}\rightarrow \mathrm{r}-0}\overline{\mu}_{\mathrm{p}}.
$$
$\overline{\iota_{\mathrm{r}}^{=1_{\mathrm{S}\langle \mathrm{r})}\langle \mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{r}})^{\mathrm{n}}=}4}\mathrm{u}_{\mathrm{r}}^{+1_{\mathrm{S}(\mathrm{r})}\{\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi^{\mathrm{n}}}$
soit $\mathrm{D}_{\varphi}\subset 1 -\circ.\mathrm{R}$ [ 1' ensemble au plus $\mathrm{d}6\mathrm{nombrable}$ des $\mathrm{r}6\mathrm{els} \mathrm{r}$
$$
\mathrm{c}\ \mathrm{n}
$$
tels que $\mathrm{S}\{\mathrm{r})$ soit négligeable pour la mesure (dd cp) sur X.
Alors $\displaystyle \bigcup_{\mathrm{r}^{=}}-\mathrm{t}_{\mathrm{r}}^{1} \underline{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{r}}$tout $\mathrm{r}i \mathrm{D}_{\varphi}$ , $\underline{\mathrm{e}\mathrm{t}}$les applications$\mathrm{r}\leftarrow \mathrm{u}_{\mathrm{r}}.\overline{\mu}_{\mathrm{r}}$
sont continues en tout point $\mathrm{r}\not\in \mathrm{D}_{\varphi}.\ \blacksquare$
Nous remercions vivement E. Bedford de nous avoir suggéré cette
définition, qui simplifie celle que nous avions utilisé dans une version an-
térieure de ce travail. En tout point où $\varphi$ est régulière, $\mathrm{u}_{\mathrm{r}}$ et $\overline{\mathrm{u}}_{\mathrm{r}}$
peuvent se déc rire par une forme différentielle simple sur 1 $\mathrm{hypersurf}\epsilon \mathrm{ce}$
$\mathrm{S}(\mathrm{r})$
35

J. P. DEMAILLY
PROPOSITION 3.3. -Soit $\mathrm{x}\in \mathrm{X}$ un point réguuer au voisi-
reg
nage duquel cp est de classe $\mathrm{C}^{2}$ et tel que dçp(x) $\neq 0$ On
oriente $\mathrm{S}\langle \mathrm{r}) \underline{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{m}\mathrm{e}}$bord de $\mathrm{B}\{\mathrm{r})$ Alors les mesures $\mu_{\mathrm{r}}$ et
$\mathrm{p}_{\mathrm{r}}$ sont uflnles au $\mathrm{v}\alpha \mathrm{s}i$ nage de $\mathrm{x}\underline{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}}$la $\{2\mathrm{n}-1)-\underline{\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{e}}$volume
$\mathrm{c}$ n-l $\mathrm{c}$
\{dd cp) $\wedge \mathrm{d}\varphi|\mathrm{S}(\mathrm{r})$ .
Démonstration. Soit $\Omega$ un voisinage de $\mathrm{x}$ sur lequel dcp $\neq 0$.
et $\mathrm{h}$ une fonc tion $\mathrm{C}^{\Phi}$ à support compact dans $\Omega$. Ecrivons
$\displaystyle \max\langle \mathrm{r}$, t $) =$ Um X(t)
$$
\mathrm{v}\rightarrow\ \mathrm{v}
$$
où $\mathrm{X}_{\mathrm{v}}$ est une suite de régularisées par convolution de $\displaystyle \mathrm{t}\leftarrow\max(\mathrm{r}, \mathrm{t})$
$\mathrm{t}_{\searrow^{)}}$ est une suite décroissante de fonctions convexes $\mathrm{C}$ , telle que
$ 0\leq \mathrm{x}_{\mathrm{v}}'\leq 1$ et Um $\mathrm{X}_{\mathrm{V}}'\langle \mathrm{t})=0$ pour $\mathrm{t}<\mathrm{r}$ , $=1$ pour $\mathrm{t}>\mathrm{r}$ Le théo-
rème 2.6 (a) entraîne donc
$$
\int_{\Omega}\mathrm{h}\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{r}})^{\mathrm{n}}=\vee\varliminf \mathrm{J}_{\Omega}\mathrm{h}(\mathrm{d}*\mathrm{x}_{\mathrm{v}}\cdot\varphi)^{\mathrm{n}}
$$
$$
=\ \mathfrak{U}\mathrm{m}\ -\int\ \mathrm{m}_{\wedge\langle \mathrm{d}\mathrm{d}_{\nwarrow^{9}\varphi)^{\mathrm{n}-1}\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}(\aleph^{\circ \mathrm{c}\delta}}^{\mathrm{c}}}
$$
$$
\infty\ \Omega
$$
$$
=\lim_{\vee\cdot \mathrm{b}}-\int_{\Omega^{\mathrm{X}_{\mathrm{V}}'}}(\varphi)^{\mathrm{n}}\ \mathrm{dh}\ \wedge\{\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi)^{\mathrm{n}-1}\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi
$$
$$
=-\int\ \mathrm{dh}\wedge\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi)^{\mathrm{n}-1}\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi
$$
$$
\Omega\backslash \mathrm{B}(\mathrm{r})
$$
$\mathrm{c}$ n-1 $\mathrm{c} \mathrm{c} \mathrm{n}$
$=\displaystyle \int \mathrm{h}\{\mathrm{dd}\varphi) \wedge$ dcp $+\mathrm{J}^{\cdot} \mathrm{h}\{\mathrm{dd}\varphi)$
$$
\Omega\cap \mathrm{S}(\mathrm{r})\ \Omega\backslash \mathrm{B}(\mathrm{r})
$$
d'après la formule d{\it e} Stokes. On en déduit donc sur $\mathrm{C}_{l}$ l'égalité de me-
sures
$(\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{r}^{)^{\mathrm{n}}=(\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi)^{\mathrm{n}-1}\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi}|\mathrm{S}(\mathrm{r})^{+\mathrm{I}}\mathrm{X}\backslash \mathrm{B}\langle \mathrm{r})^{\langle \mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi)^{\mathrm{n}}}} \blacksquare$
Nous pouvons maintenant démontrer la formul $\mathrm{e}$ de Jensen-Lelong
que nous avions {\it e}n vue.
THEOREME 3.4. - Soit V une fonction psh sur X. Alors V
$\underline{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}\mu \mathrm{r}^{-\underline{\ln\iota\epsilon}}$pour tout$\mathrm{r}\in \displaystyle \int-\mathrm{oe},\ \mathrm{R}$ [ $\underline{\mathrm{D}\mathrm{e}}$plus
36

MESURES DE MONGE-AMPERE
$$
\mathrm{I}_{-\infty}^{\mathrm{r}}\ \mathrm{dt}\ \int_{\mathrm{B}(\mathrm{t})}\mathrm{g}^{\mathrm{c}_{\mathrm{V}\wedge\alpha}\mathrm{n}-1}=\mathrm{u}_{\mathrm{r}^{(7)-}}\int_{\mathrm{B}(\mathrm{r})}\mathrm{v}_{\alpha}^{\mathrm{n}},
$$
où $\alpha =\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi.\ \underline{\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{s}}$dmx membressont finissi $\mathrm{lnf}\mathcal{S} >-\infty$
$$
\underline{\alpha \mathrm{l}\mathrm{s}\mathrm{i}}\ \inf_{\mathrm{B}(\mathrm{r})^{\mathrm{V}>-\infty}}.
$$
$\mathrm{oe}_{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}}$. L'intégrabilité de V pour $\mathrm{u}_{\mathrm{r}}$ (et pour $\mathrm{t}1_{\mathrm{r}}$)
résulte du fait que V est intégrable pour $\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{r}})^{\mathrm{n}}$ d'après le théorème
2.2 (b) Notons aussi que les intégrales $\displaystyle \int \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{t}\emptyset^{\mathrm{n}-1}\geq 0$ et
$$
\mathrm{B}(\mathrm{t})
$$
$\displaystyle \int_{\mathrm{B}(\mathrm{r})}\mathrm{V}\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}$ cp $)$n ont bi {\it e}n un sens en vertu de la remarque 2.10, la pre-
mière {\it é} tant d'ailleurs toujours convergente. La deuxième converge si
$\displaystyle \inf_{\mathrm{X}}\varphi>-\infty$ grâc $\mathrm{e}$ à 2.2 (b) , ou $\mathrm{sI} \displaystyle \inf_{\mathrm{B}\langle \mathrm{r})}>-\infty$ grâc $\mathrm{e}$ à 2.10. Pour dé-
montrer la formule 3.4$*$ on suppose d'abord
$\displaystyle \inf_{\mathrm{X}}\varphi>-\Leftrightarrow\underline{\mathrm{e}\mathrm{t}}1\mathrm{nf}_{\mathrm{B}(\mathrm{r})}\mathrm{V}>-\infty$,
et on se donne $\mathrm{c}>\mathrm{r}$ Le théorème de Fubini implique
\{3. 5) $\displaystyle \int_{-\Phi}^{\mathrm{c}}$ dt $\displaystyle \int_{\mathrm{B}\langle \mathrm{t})}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge(\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi)^{\mathrm{n}-1}=\int_{\mathrm{B}\{\mathrm{c})}1 \displaystyle \int \mathrm{dt}]\varphi<\mathfrak{t}<\mathrm{cdd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathfrak{c}\delta^{\mathrm{n}-1}$
$$
=\int_{\mathrm{B}(\mathrm{c})}(\mathrm{c}-\varphi)\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge\{\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathfrak{c}\emptyset^{\mathrm{n}-1}
$$
D'après la formule d{\it e} Stokes, on a l'égalité
$$
\int_{\mathrm{B}(\mathrm{c})}\mathrm{d}\Vert \mathrm{c}-\varphi)\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi^{\mathrm{n}-1}+\mathrm{V}(\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi)^{\mathrm{n}-1}\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi]
$$
$$
=\mathrm{r}_{\mathrm{B}\langle \mathrm{c})}\mathrm{d}[\langle \mathrm{c}-\varphi_{\mathrm{r}})\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}_{\varphi_{\mathrm{r}})}\mathrm{n}-1}+\mathrm{V}\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}_{\varphi_{\mathrm{r}})}\mathrm{n}-1}\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{r}}]
$$
puisque les courants à intégr {\it e}r coihrident sur $\mathrm{B}\langle \mathrm{c})\backslash \mathrm{B}\langle \mathrm{r})$ Si on développe
la première intégrale, ll vient
$$
\mathrm{r}
$$
$$
\langle \mathrm{c}-\mathfrak{cp})\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathfrak{c}\emptyset^{\mathrm{n}-1}+\mathrm{V}(\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi)^{\mathrm{n}_{+}}\mathrm{J}\ \langle \mathrm{dV}\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi-\mathrm{d}\varphi\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{V})\wedge\{\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi)^{\mathrm{n}-1}
$$
$$
\mathrm{JB}\langle \mathrm{c})\ \mathrm{B}\langle \mathrm{c})
$$
et comme la composante de type $\langle$1, 1) de $\mathrm{dV}\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}_{\mathrm{k}'}}-$ drp $\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}$ est nulle,
la $\mathrm{d}$ euxième somme s'annule. Par suite
$$
\mathrm{J}_{\mathrm{B}\langle \mathrm{c})}\ulcorner\{\mathrm{c}-\varphi)\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{cp})^{\mathrm{n}-1}+\mathrm{V}\ (\mathrm{dd}^{\mathrm{c}} \varphi)^{\mathrm{n}}
$$
$=\sigma_{\langle \mathrm{c})}(\mathrm{C}'-\backslash r)\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{Vr}\wedge\{\mathrm{dd}_{\dot{\vee}^{\cap}}^{\mathrm{c}})^{\mathrm{n}-1}\mathrm{r}+ \mathrm{V} \langle$ddc $\mathrm{v}_{\mathrm{r}})^{\mathrm{n}}$
37

J. P. $\mathrm{DEUAn},\mathrm{LY}$
Faisons maintenant tendre $\mathrm{c}$ vers $\mathrm{r}$ à droite. Comme $ 0\leq \mathrm{c}-\varphi_{\mathrm{r}}\leq$ c-r ,
ll vient à la limite
$\displaystyle \int_{\overline{\mathrm{B}}(\mathrm{r})^{(\mathrm{r}-\emptyset \mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\mathrm{A}(\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi^{\mathrm{n}-1}+\mathrm{V}\{\mathrm{d}}}\theta_{\psi^{\mathrm{n}}=\int_{\overline{\mathrm{B}}(\mathrm{r})}\mathrm{V}(\mathrm{d}}\theta_{\varphi_{\mathrm{r}})^{\mathrm{n}}}$
$$
=\overline{\iota_{\mathrm{r}}1}(\mathrm{V})
$$
Compte tenu de (3.5) et de l'égalité $\overline{\mu}_{\mathrm{r}}= \mathrm{t}\iota_{\mathrm{r}}+1_{\mathrm{S}(\mathrm{r})}(\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi)^{\mathrm{n}}$, ceci démon-
tre la formule 3.4 sous l'hypothèse restrictive que cp et V soient mi-
norées. Dans le cas général, on peut écrire $\mathrm{v}=\mathrm{v}\varliminf_{\Phi}^{\mathrm{v}}+\mathrm{v}$ où $\mathrm{v}_{\mathrm{V}}$ est
un $\mathrm{e}$ suite décroissant $\mathrm{e}$ de fonctions psh $\mathrm{C}^{\mathrm{Q}}$ sur X (cf. [FN]). Soit
$\mathrm{a}<\mathrm{r}$ fixé. D'après ce qui précède, on a l'égalité
$+\mathfrak{c}\mathrm{v}_{\vee})=\mathrm{I}_{\mathrm{a}}^{\mathrm{r}}$ dt $\mathrm{J}_{\mathrm{B}(\mathrm{t})^{\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}}}\vee\wedge(\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{a}})^{\mathrm{n}-1}+\mathrm{J}_{\mathrm{B}\{\mathrm{r})^{\mathrm{V}}}.\ \langle$ddc $\varphi_{\mathrm{a}})^{\mathrm{n}}$
Un passage à la limite quand $\mathrm{v}$ tend vers $+\Phi$ donne
$$
\mathrm{t}_{\mathrm{r}}1\mathrm{t}7)\ =\int_{\mathrm{a}}^{\mathrm{r}}\ \mathrm{dt}\ \mathrm{J}_{\mathrm{B}(\mathrm{t})^{\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}}}\wedge\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{a}})^{\mathrm{n}-1}+\int_{\mathrm{B}(\mathrm{r})^{\mathrm{V}(\mathrm{d}}}\theta_{\varphi_{\mathrm{a}})^{\mathrm{n}}}\ :
$$
en effet, la mesure $\mathrm{dfv}_{\mathrm{v}}\wedge \mathrm{td}f_{\varphi_{\mathrm{a}})^{\mathrm{n}-1}}$ converge faiblement $\mathrm{v}$ ers
$\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge(\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{a}})^{\mathrm{n}-1}$ grace au théorèm $\mathrm{e}2.6(\mathrm{a})$ . et cette mesure est éva-
luée sur la fonction continue $1_{\mathrm{B}\langle \mathrm{r})}\langle \mathrm{r}-\varphi_{\mathrm{a}})$ d'après (3.5) Le théorème
d{\it e} Stokes montr $\mathrm{e}$ que la mesure $\mathrm{d}\theta \mathrm{v}\wedge [\{\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{a}})^{\mathrm{n}-1_{-}}\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi)^{\mathrm{n}-1}]$ est
d'intégrale nulle sur $\mathrm{B}(\mathrm{t})$ pour tout $\mathrm{t} \mathrm{a}$, donc on obti ent
$\mathrm{I}_{\mathrm{a}}^{\mathrm{r}}$ dt $\displaystyle \int_{\mathrm{B}\{\mathrm{t})}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge ($dàc cp $)^{\mathrm{n}-1}=\mathrm{u}_{\mathrm{r}}(7) -\displaystyle \int_{\mathrm{B}\langle \mathrm{r})}\mathrm{V} ($ddc $\varphi_{\mathrm{a}})^{\mathrm{n}}$
$$
\mathrm{c}\ \mathrm{n}
$$
Cette formule entraîne que les fonctions continues $\displaystyle \mathrm{a}-\int_{\mathrm{B}\{\mathrm{r})}\mathrm{v}_{\vee}\{\mathrm{dd}\varphi_{\mathrm{a}})$
sont croissantes sur 1-$\cdot,\ \mathrm{r}$ ( $\mathrm{L}$ eur limite décroissant $\mathrm{e}$
$\displaystyle \mathrm{a}\leftrightarrow\int \mathrm{V}\{\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{a}})^{\mathrm{n}}$ est donr continue à droite, ce qui permet de pass {\it e}r
$$
\mathrm{B}(\mathrm{r})
$$
à la limite {\it e}n $\mathrm{a}=-\circ.\ \blacksquare$
De la formule 3.4 on déduit aussitôt la formule analogue pour les
mesures $\overline{\mu}_{\mathrm{r}}$ :
\begin{center}
(3.6)   $1_{-\sim}^{\mathrm{r}}$ dt $\mathrm{J}_{\overline{\mathrm{B}}\{\mathrm{t})}^{\backslash }\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi)^{\mathrm{n}-1}=\overline{[\mathrm{J}}_{\mathrm{r}}\zeta 7) -\mathrm{J}_{\overline{\mathrm{B}}(\mathrm{r})^{\mathrm{V}}}$ (ddc cp)n
\end{center}
38

MESURES DE MONGE-AMPERE
En particulier pour $\mathrm{V}=1$ il vient :
COROLLAIRE 3.7. $- \underline{\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{s}}$masses totalesde $\mu_{\mathrm{r}} \underline{\mathrm{e}\mathrm{t}} \overline{\mu}_{\mathrm{r}} \underline{\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}}$
données par
$$
\Vert \mathrm{u}_{\mathrm{r}}\Vert=\int\ \alpha \mathrm{n},\ ||^{-}+||=\int\ \alpha \mathrm{n}
$$
$$
\mathrm{B}\langle \mathrm{r})\ \overline{\mathrm{B}}\langle \mathrm{r})
$$
Dans toute la suite, nous laisserons au lecteur le soin de traduire
les résultats obtenus dans le cas des mesures $\overline{\mathrm{u}}_{\mathrm{r}}$. Nous étudions mainte-
nant la continuité des $\mathrm{m}$ esures $\mu_{\mathrm{r}}$ en fonction d{\it e} l'exhaustion cp.
PROPOSITION 3.8. $- \underline{\mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}} \{\varphi^{\vee})_{\vee\epsilon \mathrm{m}}$ une suite d\& roissante de
$\underline{\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{c}}$tlons psh continues convergeant vers cp $\underline{\epsilon \mathrm{u}\mathrm{r}}$ X, $\underline{\mathrm{e}\mathrm{t}} \mathrm{t}1_{\mathrm{r}}^{\vee}$
$\underline{\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{e}}$mesures de$\mathrm{Monze}-\mathrm{Ampere} \mathrm{assoe}\iota\epsilon\infty$a $\varphi^{\mathrm{v}}$ Alors $\mathrm{t}_{\mathrm{r}}^{1^{\vee}}$
$\underline{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{g}e}$faiblement$\mathrm{v}$ers $|\iota_{\mathrm{r}}$ pour tait $\mathrm{r}\in 1 -\infty.\ \mathrm{R}$ [ $\backslash \mathrm{D}_{\varphi}$.
Démonstration. $\mathbb{I}$ suffit d'appliquer la définition 3.2. qui donne
$$
+^{\mathrm{v}_{=}}\{\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{\mathrm{r}}^{\mathrm{V}})^{\mathrm{n}}-1_{\mathrm{X}\backslash \mathrm{B}^{\mathrm{V}}\langle \mathrm{r})^{(\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi^{\mathrm{v}})^{\mathrm{n}}}}
$$
avec $\displaystyle \varphi_{\mathrm{r}}^{_{=}}\max\langle\varphi^{\vee}$. r $)$ , $\mathrm{B}_{\mathrm{r}}^{\mathrm{V}}=\{\mathrm{z}\in \mathrm{X}$ : $\varphi^{\vee}\langle \mathrm{z})<\mathrm{r}\}$ . et d'obs erver que
$\mathrm{B}\langle \mathrm{r})=\cup \mathrm{B}^{\mathrm{V}}\{\mathrm{r})$ Le théorème 2.6 (a) implique alors
$$
\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi^{\mathrm{v}})^{\mathrm{n}}\rightarrow(\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi)^{\mathrm{n}}\ \mathrm{cv}\ \mathrm{n}\ \mathrm{c}\ \mathrm{n}\ \blacksquare
$$
(dd $\varphi_{\mathrm{r}}$) $-\langle \mathrm{dd}\varphi_{\mathrm{r}})$
La proposition suivante montre que les mesures $\mathrm{u}_{\mathrm{r}}$ sont essen-
tiellem ent les mesures de désintégration du courant $\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi)^{\mathrm{n}-1}\wedge \mathrm{d}\varphi\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi$
sur la famille des pseudosphères $\mathrm{S}\{\mathrm{r})$
PROPOSITION 3.9. - Soit $\mathrm{h}$ une fonction borélienne bornée à
support compac $\mathrm{t}$ dans $\mathrm{X}*1-\triangleleft$ Alors
$\{\mathrm{a}) f^{\mathrm{R}}-v\mathrm{u}_{\mathrm{r}}(\mathrm{h})$ dr $=\displaystyle \int_{\mathrm{X}}\mathrm{h}\alpha \mathrm{n}-1 \wedge$ dcp $\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}$ cp.
(b) Si d{\it e} plus $\mathrm{h}$ est de classe $\mathrm{c}^{1}$ , on a
$$
\square _{\mathrm{r}}^{\mathrm{r}\mathrm{h})=}4f_{\mathrm{B}\langle \mathrm{r})}^{\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{h}_{\alpha^{\mathrm{n}-1}}\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi \mathfrak{l}=}\mathrm{J}_{\mathrm{B}\langle \mathrm{r})}^{\mathrm{h}\mathrm{a}^{\mathrm{n}}+\mathrm{m}\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi\wedge \mathrm{a}^{\mathrm{n}-1}}
$$
39

J. P. D.EMmLY
Démons tration.
(a) Les deux membres définissent des mesures positives opérant
sur $\mathrm{h}.\ \mathrm{n}$ suffit donc de démontrer l'égalité lorsqu $\mathrm{e} \mathrm{h}$ est continue
à support compact. D'après la proposition 3.3 et le théorème de Fubini,
la formule est vraie lorsque $\Phi$ est d{\it e} classe $\mathrm{C}^{\Phi}$: le théorème de
Sard montr $\mathrm{e}$ en effet qu $\mathrm{e}$ l'ensemble des valeurs critiques d{\it e} cp est né-
gligeable. L{\it e} cas général s'obtient alors en appliquant la proposition 3.8
à une suite $\varphi^{}$ de régularisées d{\it e} cp.
(b) D'après 3.3. la formule est vrai $\mathrm{e}$ si cp est $\mathrm{C}^{\mathrm{a}}$ {\it e}t $\mathrm{s}\ddagger \mathrm{r}$
n'est pas val eur critique de cp. La proposition 3.8 étend le résultat au
cas où cp est seulement continue, pourvu que $\mathrm{r}4\mathrm{D}\varphi.\ \mathbb{I}$ suffit alors
d'observer que les deux membres sont des fonctions continues à gauche
en $\mathrm{r} \blacksquare$
Soit $\mathrm{x} :1-\mathrm{oe}.\mathrm{R}[ \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction convexe croissante non cons-
tante. Les mesures $\mu_{\mathrm{r}}^{\sim}$ associées à l'exhaustion $\varphi^{*}=\mathrm{X}^{\circ}\varphi$ sont alors
$\mathrm{r}$ eliées aux mesures $\mathrm{t}_{\mathrm{r}}1$ par la formule de changem ent d{\it e} variable sui-
vante :
PROPOSITION 3.10. - Pour tout $\mathrm{r}\in 1 -\circ,\ \mathrm{R}[$ , on a les formules
$\mathfrak{u}_{\mathrm{X}\langle \mathrm{r})^{=}}^{\sim}\mathrm{x}_{-}'\mathrm{tr})^{\mathrm{n}}\mu_{\mathrm{r}} -\displaystyle \bigcup_{\mathrm{x}\mathrm{t}\mathrm{r})^{=}\mathrm{r}}'\mathrm{X}_{+}'\mathrm{tr})_{\overline{\mathfrak{t}1}}^{\mathrm{n}}$.
où $\mathrm{x}_{+}'$ , $\mathrm{X}_{-}'\underline{\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}}$les$\mathrm{d}6\mathrm{riv}$ées adroite etagauchede X.
Démonstration. Les égalités résult ent d{\it e} la proposition 3.3 lors-
que cp. X sont de classe $\mathrm{C}^{\Phi}$ et lorsque $\mathrm{r}$ est valeur régulière d{\it e} $\varphi$.
La proposition 3.8 implique le cas général si $\mathrm{r}i\mathrm{D}\zeta\{$, , après passage à
la limite déc roissante sur cp {\it e}t X. Le résultat s'en déduit par conti-
nuité pour $\mathrm{r}\in \mathrm{D}$
$$
\blacksquare
$$
$$
\varphi.
$$
40

MESURES DE MONGE-AMPERE
4. -- Mesure résiduelle de $(\mathrm{dd}^{\mathrm{c}_{\mathrm{Y}}})^{\mathrm{n}}$ sur S- $(-\cdot) \cdot$
Si V est une fonction psh $\geq 0$ , le théorèm $\mathrm{e}3.4$ montre que
la fonction $\mathrm{r}-\llcorner\iota_{\mathrm{r}}(\mathrm{V})$ est croissante $\geq 0$ De plus, comme Pintégra-
ble double $\mathrm{J}^{\mathrm{r}}-\Phi$ dt $\mathrm{J}_{\mathrm{B}\langle \mathrm{t})^{\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}}}\wedge\alpha \mathrm{n}-1\leq \mathrm{t}1_{\mathrm{r}}(\mathrm{V})$ {\it e}s $\mathrm{t} \mathrm{c}$ onvergente, Il vient
$$
\lim_{\mathrm{r}--\infty}\mathrm{t}_{\mathrm{r}}^{1}(7)\ =\lim_{\mathrm{r}\rightarrow-\infty}\int_{\mathrm{B}\langle \mathrm{r})}\mathrm{v}_{\alpha^{\mathrm{n}}}=\int_{\mathrm{S}\langle-\infty)}\mathrm{v}_{\alpha}^{\mathrm{n}}
$$
$$
\mathrm{n}
$$
THEOREME ET DEFINITION 4.1. $\underline{\mathrm{L}\mathrm{a}}$mesur$e \overline{\mu}_{-\infty}^{=} 1 \alpha$
$$
\mathrm{S}(-\triangleleft
$$
porté $\mathrm{e}$ par 1 $e\mathrm{c}$ ompac $\mathrm{t} \mathrm{S}\langle-\triangleleft \underline{\mathrm{s}}$ era appeléemesurerésiduelle
associée à cp. Pour toute fonction psh V $\geq 0$ sur X on a
$$
\overline{\mu}_{-\infty}(\nabla)=\lim_{\mathrm{r}\rightarrow-\Phi}\mu_{\mathrm{r}}(7)
$$
$\underline{\mathrm{e}\mathrm{t}}\mathrm{u}_{\mathrm{r}}\underline{\mathrm{t}e\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{m}e\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}}\overline{\mathrm{u}}_{-\mathrm{a}}\underline{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}}\mathrm{r}--\circ$.
La $\mathrm{d}$ ernière affirmation résulte du th. 3.2, ou du fait qu on peut
écrire toute fonction $\mathrm{h}$ de classe $\mathrm{C}^{2}$ sur l'espace d{\it e} Stein X sous
la forme $\mathrm{h}=\mathrm{h}_{1}-\mathrm{h}_{2}$ avec $\mathrm{h}_{1}.\ \mathrm{h}_{2}\geq 0$ psh de classe $\mathrm{C}^{2}$
L'objet de ce paragraphe est d'énoncer quelques propriétés
générales des mesures résiduelles $\overline{\vdash\downarrow}_{-\infty}$ Pour évaluer $\overline{\mathrm{t}1}_{-\Phi}$ sur des
exemples concrets, on dispose du théorèm $\mathrm{e}$ d{\it e} comparaison suivant,
inspiré des résultats de [D4] [D5] sur les nombres de Leiong.
THEOREME 4.2. Soient cp : X- $|_{-ae}.\ \mathrm{B}| \mathrm{j}=\mathrm{t}$, 2 . deux
$$
\mathrm{j}\ \mathrm{j}
$$
$\underline{\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}}$ psh $\underline{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{I}\mathrm{v}e\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}} \mathrm{u}_{\mathrm{r}.\mathrm{j}} \underline{\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}$
$$
\underline{\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}\propto 16\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{p}\infty \mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{r}}\ \mathrm{S}_{\mathrm{j}}\langle \mathrm{r})=\{\varphi_{\mathrm{j}^{=}}\mathrm{r}]\ \underline{\mathrm{O}\mathrm{n}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}}
$$
41

J. P. DEMAILLY
$$
l=\ \lim\ \mathrm{inf}\underline{\mathrm{h}^{(\mathrm{z})}}
$$
$$
\varphi_{1}\langle \mathrm{z})\rightarrow-\infty\varphi_{1}(\mathrm{z})\ \underline{\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{n}\propto \mathrm{l}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}e\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{e}\mathrm{u}\circ \mathrm{n}}\ \mathrm{pshV}\ \mathrm{a}\ 0
$$
on al'inégalité
$\overline{\mathrm{u}}_{-\Leftrightarrow.2}\Gamma \mathrm{v})\geq \iota^{\mathrm{n}}\overline{\mathrm{u}}_{-\neg^{\iota^{(\mathrm{V})}}}$
$\underline{\mathrm{E}\mathrm{n}}$particulier, si $\mathrm{h}^{\sim}l\varphi_{1} \underline{\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}} \varphi_{1}\langle \mathrm{z})--\Phi$ , $\underline{\mathrm{o}\mathrm{n}}$a
$$
\overline{\mu}_{-\infty,2}=\ell^{\mathrm{n}}\overline{\mu}_{-\infty,1}
$$
$\underline{\alpha \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}}$, Il suffit de montrer que $\overline{\mu}_{-\circ.2}(\mathrm{V})\geq \overline{\mu}_{-\leftrightarrow \mathrm{t}}\{7)$
sous l'hypothèse $\mathfrak{U}\mathrm{m} \mathrm{infh}^{/\varphi_{1}}>\iota$ Fixons $\mathrm{r}<\mathrm{R}_{2}$ et posons
$\displaystyle \varphi^{=}\sup\{\varphi_{\mathrm{t}}-\mathrm{A},\ \varphi_{2})$ où A est choisi ass {\it e}z grand pour que $\varphi$ coïncide
avec $\varphi_{2}$ au voisinage de $\mathrm{S}_{2}(\mathrm{r})$ Soient $\mu_{\mathrm{r}}$ les mesures associées
à cp. L'hypothès $\mathrm{e}$ llm $\displaystyle \inf\varphi_{2^{/}}\varphi_{\mathrm{t}}>1$ entr $\mathrm{e}$ qu il existe $\mathrm{t}<\mathrm{r}$ tel
que $\varphi$ coïncide avec $\varphi_{1}-\mathrm{A}$ sur $\mathrm{B}_{\iota}\{\mathrm{t})=[\varphi_{1}<\mathrm{t}]$. On obtient donc
$\overline{\mu}_{-\leftrightarrow 1}(7) =\mathfrak{U}\mathrm{m}\mu_{\mathrm{t}}\mathrm{u}_{\mathrm{r}}\mathrm{u}_{\mathrm{r}.2}\mathrm{CV})\mathrm{t}\rightarrow-\Leftrightarrow.\iota^{(7)=\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{u}_{\mathrm{t}}(\tau)\leq(7)=}\mathrm{t}\rightarrow-\infty$.
d'où $\overline{\mu}_{-\circ.\iota}(\mathrm{v})\mu_{\mathrm{r},2}()\overline{\mathrm{u}}_{-\circ,2}\mathrm{Cv}) \blacksquare$
Sous les hypothèses précédentes, on peut conjecturer que l'iné-
galité entre mesures $\overline{\mu}_{-\cdot\cdot 2}\mathrm{z} t^{\mathrm{n}}\overline{\mu}_{-0}.1$ a toujours lieu, mais les
conclusions du théorème 4.2 n{\it e} nous ont pas permis de le démontrer.
Nous disposons toutefois du résultat particulier suivant :
COROLLAIRE 4.3. Avec les notations du théorème 4.2, soit
$\mathrm{A}\subset \mathrm{S}_{1}(-\triangleleft$ une partie bor61ienne oul oet $\mathrm{r}6\mathrm{u}\omega$ on de $\mathrm{como}\propto \mathrm{an}-$
$\underline{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{s}}$connexes de$\mathrm{S}_{1}\langle-\triangleleft$ et $1_{\mathrm{A}} \underline{1\mathrm{a}}$ fonction$\mathrm{caraCtgrlS}\mathfrak{U}\mathrm{que}$ de
A Alors pour toute fonction psh V î $0$
$$
\overline{\mu}_{-\circ.2}\{1_{\mathrm{A}}\mathrm{V})\geq\ell_{\bigcup_{-\mathrm{o}\mathrm{e}}}^{\mathrm{n}-}.\ \iota^{\{\iota_{\mathrm{A}^{\mathrm{V})}}}
$$
$\underline{\mathrm{E}\mathrm{n}}$partlculler. $\underline{\mathrm{s}1} \mathrm{s}_{1}(-\triangleleft \underline{\mathrm{e}8\downarrow \mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}!\alpha \mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}}$dlscontinu, $\underline{\mathrm{o}\mathrm{n}}$a
$$
\mathrm{n}-
$$
\begin{center}
$\overline{\mu}_{-\circ.2}\geq$? $\mathrm{t}\downarrow_{-\circ.1}$
\end{center}
42

MESURES DE MONGE-AMPEBE
Démonstration. $\mathrm{n}$ existe une suite croissante de compacts
$\kappa_{\vee}\subset$ A tels que $\mathrm{t}_{-\Phi}^{\overline{1}}\mathrm{J}^{(\mathrm{A}\backslash \kappa_{\vee})}<2^{-}.\ \mathrm{j}= 1$, 2. La relation d'équiva-
lence dont les classes sont les composantes connexes de $\mathrm{S}_{1}(-\triangleleft$ est de
graphe fermé ($\mathrm{S}_{1}$ \{-è étant compact). Le saturé $\mathrm{r}_{\mathrm{v}}$ d{\it e} $\mathrm{K}_{\mathrm{V}}$ est donc
une partie compacte de $\mathrm{A}$ : de plus $x_{\mathrm{v}}$ est intersection d'une suite
décroissante de parties à la fois ouvertes et fermées dans $\mathrm{S}_{1}(-\infty)$
(cf. Bourbaki [Bol, chap. II, \S 4. $\mathrm{n}^{\mathrm{Q}}4$). On peut donc supposer que $\mathrm{A}$
est ouv ert {\it e}t fermé dans $\mathrm{S}_{1}1-\mathrm{oe}$) $\mathbb{I}$ existe alors un ouvert $\iota$) $\subset\subset \mathrm{X}$
tel qu $\mathrm{e} \mathrm{A}=\mathrm{U}\cap \mathrm{S}_{1}(-\infty)  8\mathrm{L}^{\rceil}\cap\S 1-\triangleleft=\phi$. Soit $\displaystyle \mathrm{r}_{0}=\inf_{3^{\mathrm{U}}}\varphi_{1}>-\mathrm{a}$ {\it e}t
$\Omega=\{\mathrm{z}\in \mathrm{U}$ : $\varphi_{1}\langle \mathrm{z}) <\mathrm{r}_{0}]$ . $\Omega$ est réunion de composantes connexes de
$\mathrm{B}_{1}\{\mathrm{r}_{0})$ , donc $\Omega$ est de Stein : de plus $\varphi_{1}$ ; $\Omega -1 -\infty,\ \mathrm{r}_{0}[$ est
exhaus tiv $\mathrm{e}$. Pos ons
$\varphi_{\mathrm{v}}^{=\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{n^{\mathrm{v}\mathrm{t}\varphi_{1}-\mathrm{r}_{0}+1))}}$,
Pour $\mathrm{v} >\displaystyle \sup\varphi_{2}$ l'application $\varphi_{\vee}:\Omega \rightarrow 1 -\infty$,   [ est exhaustive,
$$
\Omega
$$
tandis que pour $\mathrm{v}\geq\ell$ {\it o}n a
$\displaystyle \varphi_{\mathrm{t}}\langle \mathrm{z})\mathfrak{U}\mathrm{m}\inf_{\rightarrow-\infty}\frac{\varphi_{\vee}(\mathrm{z})}{\varphi_{1}\langle \mathrm{z})}=11\mathrm{m}\inf^{\frac{\varphi_{2}}{\varphi_{1}}=}\iota$ .
D'après le théorème 4.2 appliqué à $\varphi_{1}$ et $\varphi_{\mathrm{V}}$ sur $\zeta^{\backslash }$, il vient
$$
\overline{\mathrm{u}}_{-\infty,\mathrm{v}^{\{1}\Omega^{\mathrm{V})}}\geq\ \ell^{\mathrm{n}_{\overline{\mu}_{-\infty,1}}}(\mathrm{u}_{\Omega}\mathrm{v})
$$
Sl $p$ est $>0 \langle \mathrm{s}$ eul cas intéressant à considérer) on a $\mathrm{S}_{2}(-\triangleleft\supset \mathrm{s}_{1}1-\triangleleft$
donc $\mathrm{s}_{\mathrm{V}}\langle-\triangleleft =\mathrm{s}_{1}\mathrm{t}-\triangleleft$ et $\Omega \cap \mathrm{s}_{1}1-\infty)=\mathrm{U}\cap \mathrm{S}_{1}\mathrm{t}-\infty)=$ A Par conséquent
\begin{center}
$\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{\vee})^{\mathrm{n}}\langle 1_{\mathrm{A}}\mathrm{V})=\overline{\mu}_{-\infty.}\langle \mathrm{I}_{\mathrm{A}}\mathrm{V})\geq \mathrm{e}^{\mathrm{n}_{\overline{\mu}_{-\infty}}}$. 1 $\langle 1_{\mathrm{A}}\mathrm{V})$
\end{center}
On observe maintenant que la suite $\varphi$ déc $\mathrm{r}0\mathrm{lt}$ vers $\varphi_{2}$ sur
1 ouver $\mathrm{t} \mathrm{B}_{1}\{\mathrm{r}_{0}-1)$ quand $\mathrm{v} \rightarrow+_{\infty}$, donc $(\mathrm{dd}^{\mathrm{c}^{\mathrm{v}}}\varphi_{\mathrm{V}})^{\mathrm{n}}$ tend faibl {\it e}m ent
$$
\mathrm{c}\ \mathrm{n}
$$
vers (dd $\varphi_{2}$) sur $\mathrm{B}_{1}\langle \mathrm{r}_{0}-1)$ d'après 2.6 (a) et 2.10. Comme $\mathrm{A}$
est compac $\mathrm{t}.\ \mathrm{A} \subset \mathrm{S}_{1}1-\infty$) $\subset \mathrm{B}_{1}\{\mathrm{r}_{0}-1)$ et comme $1_{\mathrm{A}}\mathrm{V}$ est semi-c ontinue
supéri eur ement, on {\it e}n déduit à la limite
43

J. P. DEMAILLY
$\overline{\mu}_{-\circ.2}\mathrm{t}1_{\mathrm{A}}\mathrm{V})=(\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi_{2})^{\mathrm{n}}(1_{\mathrm{A}}\mathrm{V})\geq l^{\mathrm{n}}\overline{\mu}_{-\infty.1}\{1_{\mathrm{A}}\mathrm{V})$ . $\blacksquare$
Dans le calcul classique qui suit, nous aurons besoin d'évaluer
la masse $||\mu_{-}\rfloor|$ à partir de la fonction $\varphi^{*_{=}}\mathrm{e}^{\varphi}$. A cet effet, on ob-
serve d'après la proposition 3.10 que $\mu_{\mathrm{r}^{=}}^{\sim}\mathrm{r}^{\mathrm{n}}\mu$ Logr . d'où
\begin{center}
(4.4)   $\displaystyle \overline{\mu}_{-\mathrm{o}\mathrm{e}}(1)=\lim \mathrm{r}\mu_{\mathrm{r}}^{l}(1)-\mathrm{n}=\lim \displaystyle \mathrm{r}^{-\mathrm{n}}\int \mathrm{ldd}^{\mathrm{c}} \varphi\eta^{\mathrm{n}}$
$$
\mathrm{r}\rightarrow 0\ \mathrm{r}\rightarrow 0\ \phi<\mathrm{r}
$$
\end{center}
PROPOemON 4.5. Soit cp $={\rm Log}\varphi^{*}$ une fonction continue ps $\mathrm{h}$
dans $\mathrm{G}^{\mathrm{n}}$. où $\phi$ est homogène d{\it e} degré $l >0$ et $\mathrm{t}\phi)^{-1}(0)=0$.
Alors
$$
\{\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi)^{\mathrm{n}}=\mathrm{t}^{211}\mathrm{v}^{\mathrm{n}}6_{0}
$$
$\underline{\Phi} 6_{0} \underline{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}$la mesure de Dlrac en $0$ .
Démonstration. L'homogénéité de $\varphi'$ impliqu $\mathrm{e} (\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi)^{\mathrm{n}}=0$ sur
$\mathrm{G}^{\mathrm{n}}\backslash \{0\}$. Dans le cas particulier $\varphi^{*}(\mathrm{z})=|\mathrm{z} |^{2}$, on trouve
$(\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi^{\sim})^{\mathrm{n}}=4^{\mathrm{n}}\mathrm{n}!\mathrm{d}\lambda \langle \mathrm{d}\lambda=$ mesure de Lebesgue). d'où $\overline{\mu}_{-\mathrm{a}}(\mathrm{t})=(4\mathfrak{n})^{\mathrm{n}}$
et $\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi)^{\mathrm{n}}=\overline{\mu}_{-\Phi}=\langle 4\mathfrak{n})^{\mathrm{n}}6_{0}$. L{\it e} cas général résulte du théorème 4.2. $\blacksquare$
Exempl $\mathrm{e}4.6$. A titre d'illustration d{\it e} ce qui précède, regardons
l{\it e} cas où $\varphi\langle \mathrm{z})= {\rm Log} \displaystyle \sup\langle|\mathrm{z}_{1}|,\ldots.|\mathrm{z}_{\mathrm{n}}|)$ dans $\mathbb{C}^{\mathrm{n}}$ Comme cp ne dé-
pend que de n-1 var iables au voisinage d{\it e} tout point du complémentaire
de la ''diagonale'' $\Delta= [ |\mathrm{z}_{1}|= ... = |\mathrm{z}_{\mathrm{n}}|]$, on en déduit par homogénéité
de $\mathrm{e}^{\varphi}$ que $\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi)^{\mathrm{n}-1}=0$ sur $ 0^{\mathrm{n}}\backslash \Delta$. La proposition 3.7 montre alors
que la mesure $\mathrm{u}_{\mathrm{r}}$ est à support dans le bord distingué
$\Gamma\langle \mathrm{r})=\{|\mathrm{z}_{1}|=\ldots=|\mathrm{z}_{\mathrm{n}}|=\mathrm{e}^{\mathrm{r}}\}=\mathrm{S}\langle \mathrm{r})\cap\Delta$ du polydisque $\mathrm{B}(\mathrm{r})$ Comme
$\mathrm{t}1_{\mathrm{r}}$
est invariante par les rotations préservant $\mathrm{B}\langle \mathrm{r})$. et comme
$||\mathrm{u}_{\mathrm{r}}||=\langle 2\mathfrak{n})^{\mathrm{n}}$ d'après 4. 5. 11 en résulte que $\vdash 1_{\mathrm{r}}=$ db $1\wedge\ldots\wedge \mathrm{d}8_{\mathrm{n}}$ avec
$\mathrm{z}_{\mathrm{J}}=\mathrm{e}^{\mathrm{r}+\mathrm{i}8_{\mathrm{j}}}  1\leq \mathrm{j}\leq \mathrm{n}$ On obtient de plus:
$$
\{\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi)^{\mathrm{n}}=\langle 2\mathfrak{n})^{\mathrm{n}}6_{0}.
$$
$($ddc $\varphi)^{\mathrm{n}-\mathrm{t}}\wedge \mathrm{d}\varphi\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}$ cp $=$ dr $\wedge$ del $\wedge\ldots\wedge \mathrm{d}\Theta_{\mathrm{n}}$ sur $\Delta\backslash \{0\}$
44

MESURES DE MONGE-AMPEBE
Revenons maintenant au cas général. Soit $\mathrm{x}\in \mathrm{X}$ un point quel-
conque et $\mathrm{w} =\{\mathrm{w}_{1},\ \mathrm{w}_{2},\ldots,\ \mathrm{w}_{\mathrm{N}})$ 1 {\it e}s $\mathrm{N}$ fonctions c$\infty$rdonnées relatives
à un plongement d'un voisinage $\mathrm{U}\subset \mathrm{X}$ de $\mathrm{x}$ dans $\mathrm{G}^{\mathrm{N}}$. tel que
$\mathrm{w}(\mathrm{x})=0$. Il existe un voisinage $\Omega\subset\subset\iota$ de $\mathrm{x}$ et $\mathrm{r}_{0}<0$ tels que
la fonction $\varphi_{1}(\mathrm{z})={\rm Log}|\mathrm{w}\{\mathrm{z})|^{2}$ : $\Omega\rightarrow 1 -\circ.\mathrm{r}_{0}1$ soit exhaustive. La for-
mule 4.4 donne alors (cf. [D5]) :
$_{-\rightarrow 1}\langle 1)=(4\mathfrak{n})^{\mathrm{n}}\mathrm{v}([\mathrm{X}],\mathrm{x})$
où $\mathrm{vllX}]$ , x) est le nombr $\mathrm{e}$ de Leiong en $\mathrm{x}$ du courant d'intégration
d{\it e} X dans $0^{\mathrm{N}}$, égal d'après P. Thie [Th] à la multiplicité algé-
brique $\mathrm{m}\langle \mathrm{X}$, x$)$ de X au point $\mathrm{x}$. On obtient donc
\begin{center}
(4.7)   $\overline{\mu}_{-\infty,1}=(4\mathfrak{n})^{\mathrm{n}}\mathrm{m}(\mathrm{X}, \mathrm{x})6_{\mathrm{X}}$
\end{center}
Pour une fonction cp quelconque, on obtient le résultat suivant, qui es $\mathrm{t}$
bien connu au moins dans le cas où X est lisse.
COROLLAIRE 4.8. Désignons $\mathrm{Dar} \vee 1\varphi.\mathrm{x}$) le nombre d{\it e}
Leiong d{\it e} cp en tout point $\mathrm{x}\in$ X. Alors
$$
(\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{cp})^{\mathrm{n}}\ \geq\ \overline{\mu}_{-\infty}\geq 2^{\mathrm{n}}\ \sum_{\mathrm{x}\in \mathrm{X}}\ \mathrm{m}\ (\mathrm{X}.\ \mathrm{x})\ \mathrm{v}1\varphi.\ \mathrm{x})^{\mathrm{n}}6_{\mathrm{x}}
$$
Démonstration. Avec les notations précédentes, l'une des défi-
nitions équivalentes des nombres de Leiong est la suivante :
$$
\frac{1}{\mathfrak{n}}\mathrm{v}(\varphi.\mathrm{x})=\mathrm{Um}\inf_{\mathrm{z}\rightarrow \mathrm{x}}\ \frac{\varphi\langle \mathrm{z})}{{\rm Log}|\mathrm{w}(\mathrm{z})|}.
$$
Posons alors $\varphi_{1}\langle \mathrm{z})=\mathrm{X}\langle \mathrm{z}){\rm Log}|\mathrm{w}\langle \mathrm{z})|^{2}+\mathrm{A}\# \langle \mathrm{z})$ où X est $\mathrm{C}^{\infty}$ à sup-
port compact dans $\Omega$. X $\equiv 1$ au voisinage de $\mathrm{x}$ . V strictement psh
d{\it e} classe $\mathrm{C}^{2}$ sur X {\it e}t $\mathrm{A}>0$ assez grand. D'après le corollaire
4.3 {\it e}t la formule (4.7) 11 vient:
llm $\mathrm{inf}\underline{\varphi(\mathrm{z})}=\underline{1}\mathrm{vt}\varphi$, x)
z-x $\varphi_{1}\{\mathrm{z}) 2\mathfrak{n}$
d'où
$\overline{\mathrm{u}}_{-\Phi}\geq \displaystyle \mathrm{t}\frac{1}{2\mathrm{T}1}\mathrm{v}$ (cp, x) $)^{\mathrm{D}}\overline{\mu}_{-\infty.1}\geq 2^{\mathrm{n}}\mathrm{m}$ (X. x) $\langle\varphi.\mathrm{x})^{\mathrm{n}}6_{\mathrm{x}}$ . $\blacksquare$
45

J. P. DEMAILLY
5. -- Principe du maximum.
Soit $\varphi$ une fonction d'exhaustion psh continue sur un espace
complexe X. Nous allons voir que les fonctions plurisousharmoniques
sur X satisfont le principe du maximum relativem ent aux $\mathrm{m}$ esures de
Monge-Ampère associées à cp.
THEOREME 5.1. Si $\mathrm{B}\{\mathrm{r})= \{$cp $<\mathrm{r}\} \neq\phi,\ \underline{\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}} ||\mu_{\mathrm{r}}\Vert>0$
et pour toute fonction V psh sur X on a :
$\displaystyle \sup_{\mathrm{B}\{\mathrm{r})}\mathrm{V}=\sup$ essentiel de V $\mathrm{r}$ elativement à $\mathrm{u}_{\mathrm{r}}$
L'exempl $\mathrm{e}4.6$ montre que l'hypothès $\mathrm{e}$ de plurisousharmonlcit6
de V dans le théorème 5.1 est pertinente.
Démonstration. $\mathrm{n}$ n'est pas restrictif de supposer V $\mathrm{z} 0$ . Nous
allons alors montrer que $\displaystyle \sup_{\mathrm{B}(\mathrm{r})}\mathrm{V}=\Vert \mathrm{V}||_{\mathrm{L}^{\Phi}1\mathrm{t}1_{\mathrm{r}^{)}}}$ en appliquant la formu-
le de Jensen à une fonction d'exhaustion $\varphi'$ bien choisie.
Soit $\mathrm{V}$ une fonction stric tem ent psh de classe $\mathrm{C}^{2}$ sur X.
$\mathrm{z}_{0}\in \mathrm{B}\langle \mathrm{r})\cap \mathrm{xunreg}$ point régulier et $\iota^{\urcorner}\subset\subset \mathrm{B}\langle \mathrm{r})\mathrm{nx}_{\mathrm{o}\mathrm{e}\mathrm{g}}$ un voisinage de $\mathrm{z}_{0}$ .
Pour $\mathrm{e} >0$ assez petit, la fonction
$\displaystyle \varphi'\langle \mathrm{z})=\sup(\varphi\{\mathrm{z}),\varphi\{\mathrm{z}_{0}).\mathrm{r}-\sqrt{}\overline{\epsilon}+\epsilon\psi(\mathrm{z}))$
est égale à $\epsilon\downarrow(\mathrm{z})\star$ Cte sur $\mathrm{L}^{1}$ et coihcide avec cp au voisinage de
$\mathrm{S}(\mathrm{r})$ La mesure $\square  1_{\mathrm{r}}$ peut donc aussi bien être définie par $\varphi'$ ce
qui donne
$$
\mu_{\mathrm{Y}}^{\ulcorner \mathrm{V})}\ =\int^{\mathrm{r}}-\infty\ \mathrm{dt}\ \int_{\mathrm{B}\{\mathrm{r})\cap\{\varphi<\mathrm{t}]^{\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\cap\{\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi')^{\mathrm{n}-\iota}}}+\int_{\mathrm{B}(\mathrm{r})^{\mathrm{V}(\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi')^{\mathrm{n}}}}
$$
$$
\geq\ \mathrm{e}^{\mathrm{n}}\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{v}(\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{V})^{\mathrm{n}}\\
\mathrm{J}
\end{array}\right.
$$
46

MESURES DE MONGE-AMPEBE
En particulier $||\mu_{\mathrm{r}}||=\mu_{\mathrm{r}}(1)>0$ . Remplaçons maintenant V par $\mathrm{V}^{\mathrm{P}}$
et faisons tendre $\mathrm{p}$ vers $\star_{\Phi}.\ \mathrm{n}$ vient :
$\displaystyle \mathrm{vtz}_{0})\leq r\lim\mapsto[\cdot \mathrm{t}^{\mathrm{V}^{\mathrm{p}}\mathrm{t}\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}_{\mathrm{V}}}})^{\mathrm{n}}]^{\iota/\mathrm{p}}\mathrm{z}\lim_{\triangleright+\Phi}[^{-\mathrm{n}}\mathrm{et}_{\mathrm{r}}^{1}\sigma^{\mathrm{p}})]^{1/\mathrm{p}}=||\mathrm{v}||\mathrm{L}^{\infty}(\mathrm{u}_{\mathrm{r}})$
On obtient par conséquent
$$
\sup_{\mathrm{B}\langle \mathrm{r})^{\mathrm{V}}}=\sup_{\mathrm{B}\langle \mathrm{r})\cap \mathrm{x}_{\mathrm{I}\mathrm{e}\mathrm{g}}^{\mathrm{V}}}\leq\ ||\mathrm{v}||_{\mathrm{L}^{\infty}(\mu_{\mathrm{r}})}
$$
Dans l'autr $\mathrm{e}$ sens, l'inégalité
$$
||\mathrm{v}\Vert_{\mathrm{L}^{\infty}(\mu_{\mathrm{r}})}\leq\ \sup_{\mathrm{S}\langle \mathrm{r})^{\mathrm{V}}}
$$
est évidente. Si on prouve la continuité à gauche de la fonction
$\mathrm{r}\leftarrow||\mathrm{V}||_{\mathrm{L}^{\infty}1\mathrm{t}\downarrow \mathrm{r}^{)}}$ on aura donc
$$
\Vert \mathrm{v}\Vert_{\mathrm{L}^{\infty}\{\mu_{\mathrm{r}})}\leq\lim_{\mathrm{t}<\mathrm{r}.\mathrm{t}\sim \mathrm{r}}\ \sup_{\mathrm{S}(\mathrm{t})}\mathrm{V}\simeq\ \sup_{\mathrm{B}(\mathrm{r})^{\mathrm{V}}}\ .
$$
LEMME 5.2. Pour toute fonction psh V $\mathrm{iO}$, lapplication
$\mathrm{r}\leftarrow||\mathrm{v}||_{\mathrm{L}^{\Phi}\langle \mathrm{u}_{\mathrm{r}})} \underline{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}$croissante et continu $e$agauche.
Démonstration. La formule 3.4 montre que la fonction
$\mathrm{r}-\mathrm{u}_{\mathrm{r}}^{(\mathrm{V})}$ est croissante et continue à gauche. Sur tout intervalle
$ 1-\infty,\ \mathrm{r}_{0}\mathrm{I} \mathrm{r}_{0}<$ Rl {\it e}s fonctions
$$
\mathrm{r}\ \leftrightarrow[\Vert \mathrm{u}_{\mathrm{r}_{0}}||^{-1}\mu_{\mathrm{r}}(\mathrm{V}^{\mathrm{p}})]^{\iota/\mathrm{p}}\ \mathrm{p}\in[1,\text{  }[
$$
sont donc croissantes et continues à gauche, et forment une famille
croissante par rapport à $\mathrm{p}$ en vertu de l'inégalité de HOlder (la me-
$$
-1
$$
sure $||_{\square +_{0}}|| \mathrm{u}_{\mathrm{r}}$ est de masse $\leq 1$). La limite quand $\mathrm{p}\rightarrow+_{\infty}$ , à
savoir $\mathrm{r}\leftarrow\Vert \mathrm{V}\Vert_{\mathrm{L}^{\Phi}(\mathrm{u}_{\mathrm{r}})}$ est donc croissante et continue à gauche sur
$] -\mathrm{r},\ \mathrm{r}_{0^{]}}$ . $\bullet$
47

J. P. DEMAILLY
6. -- Propriétés de convexité des fonctions psh.
Un résultat bien connu d{\it e} P. Leiong (cf. [Le 11) affirme que
le $\displaystyle \sup$, la moyenne et plus général ement la moyenne $\mathrm{L}^{\mathrm{P}}$ d'une fonction
psh sur la sphère e{\it uoe} lidienne de rayon $\mathrm{r}$ dans $\mathrm{G}^{\mathrm{n}}$ sont fonctions
convexes de Logr Nous nous proposon $\mathrm{s}$ d'étendre ces propriétés à
une situation beaucoup plus générale.
Soit X un espace de Stein de dimension pur $\mathrm{e} \mathrm{n}$ ,
cp : $\mathrm{X}\rightarrow 1-\circ,\ \mathrm{R}[$ une fonction psh continue exhaustive. On suppose que
$\varphi$ est Monge-Ampère-homogène. $i.\ \mathrm{e}$. 11 existe A $\epsilon 1 -\infty.\mathrm{R}[$ tel que
\begin{center}
(6.1)   $\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi)^{\mathrm{n}}=0$ sur l'ouvert $[\varphi>\mathrm{A}]$
\end{center}
Pour toute fonction psh V sur X et tout $\mathrm{r}>$ A l{\it e} théorème 3.4
montre alors que la dérivée à gauche
(6.2) $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{r}_{-}}\mathrm{u}_{\mathrm{r}}(7)=\int_{\mathrm{B}\langle \mathrm{r})}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge\alpha^{\mathrm{n}-1}$
est positiv $\mathrm{e}$ croissante en $\mathrm{r}$ d'où le
THEOREME 6.3. $\underline{\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{o}\mathrm{n}}$valeur moyenne$\mathrm{r}\leftarrow \mathrm{M}_{\mathrm{V}}\langle \mathrm{r})=\mu_{\mathrm{r}}\langle \mathrm{V})$
est conv exe croissante sur ] A. $\mathrm{R}[$
Le cas classique évoqué au début correspond à la boule de
rayon $\mathrm{e}^{\mathrm{R}}$ dans $\mathbb{C}^{\mathrm{n}}$ avec $\phi \mathrm{z}$) $={\rm Log}|\mathrm{z}| \mathrm{A}=-\infty$. Plus général $\mathrm{e}-$
ment, on a un résultat d{\it e} convexité pour les moyennes en norme $\mathrm{L}^{\mathrm{p}}$
définies par
$u_{\mathrm{v}^{(\mathrm{r})=}}^{\mathrm{p}}[\mathrm{t}_{\mathrm{r}}\lambda \mathrm{tV}_{+}^{\mathrm{p}})]^{\iota/\mathrm{p}} \mathrm{p}\epsilon \iota_{1.+}\circ\iota$
48

$\dot{\mathrm{M}}\mathrm{E}^{\mathrm{e}}.\mathrm{URES}$ DE MONGE-AMPEBE
THEOREME 6.4. $\underline{\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{o}\mathrm{n}} \mathrm{r}\leftrightarrow \mathrm{M}_{\mathrm{V}}^{\mathrm{p}}(\mathrm{r}) \underline{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}$convexe croissante
sur ] $\mathrm{A},\ \mathrm{R}$ [
Démonstration. Par régularisation on se ramène au cas où V
est psh $>0$ de classe $\mathrm{C}$' Etant donné $\mathrm{e}>0$, considérons la fonc-
tion
$$
\mathrm{h}\langle \mathrm{r})\mathrm{e}=\mathrm{I}_{\mathrm{r}-\epsilon}^{\mathrm{r}}\mathrm{t}1_{\mathrm{t}^{(7^{\mathrm{p}})\mathrm{d}\mathrm{t}}}=\int_{\mathrm{B}\langle \mathrm{r})\backslash \mathrm{B}\langle \mathrm{r}-\mathrm{e})}\mathrm{v}^{\mathrm{p}_{\alpha}\mathrm{n}-1_{\wedge \mathrm{d}\varphi\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{C}}\varphi}},\ \mathrm{r}\in]\ \mathrm{A}\star\epsilon,\ \mathrm{R}[
$$
(la dernière égalité résulte de la proposition 3.9 $\langle \mathrm{a}$) $)$ Comme
$\mu_{\mathrm{r}}(7^{\mathrm{P}})=$ iim $\underline{1}\mathrm{h}\langle \mathrm{r})$ . il suffit d{\it e} prouv {\it e}r que $\mathrm{h}^{1/\mathrm{p}}\epsilon$ est conv exe pour
$$
\epsilon\rightarrow 0\epsilon\ \epsilon
$$
tout $\epsilon >0$. On doit donc vérifier linégalité
(6.5) $\displaystyle \mathrm{h}\epsilon \mathrm{h}''\mathrm{e}-\langle 1-\frac{1}{\mathrm{p}})\mathrm{h}^{\prime 2}\geq\epsilon 0$
où la dérivée seconde $\mathrm{h}''\epsilon$ est, disons, calculée à gauche. D'après la proposi-
tion 3.9 (b) et l'hypothès $\mathrm{e}\{6.1)$ il vi ent
$$
\mathrm{h}'\langle \mathrm{r})\mathrm{e}=\mathrm{u}_{\mathrm{r}}6^{r^{\mathrm{p}_{)-}}}\mathrm{u}_{\mathrm{r}-\epsilon^{(7^{\mathrm{p}})}}
$$
$$
=\int\ \mathrm{d}1\mathrm{V}^{\mathrm{P}_{\alpha^{\mathrm{n}-1}}}\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi 1
$$
$$
\mathrm{B}(\mathrm{r})\backslash \mathrm{B}(\mathrm{r}-\mathrm{e})
$$
$\mathrm{p}\leftrightarrow 1$ n-1 $\mathrm{c}$
$$
=\int_{\mathrm{B}\langle \mathrm{r})\backslash \mathrm{B}(\mathrm{r}-\epsilon)}\mathrm{pV}\ \mathrm{dV}\wedge\alpha\ \wedge \mathrm{d}\ \mathrm{cp}.
$$
La formule (6.2) implique par ailleurs
$\displaystyle \mathrm{h}^{\prime \mathfrak{e}}\mathrm{e}\langle \mathrm{r})=\int_{\mathrm{B}\langle \mathrm{r})\backslash \mathrm{B}\langle \mathrm{r}-\epsilon)}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}(\mathrm{V}^{\mathrm{p}})\wedge\alpha^{\mathrm{n}-1}$
Grâc $\mathrm{e}$ à l'inégalité de Cauchy-Schwarz on obtient
$\mathrm{h}^{1}\langle \mathrm{r})^{2}\epsilon\leq \displaystyle \int \mathrm{V}^{\mathrm{P}_{\alpha^{\mathrm{n}-1}}}\wedge$ dcp $\displaystyle \wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi\cdot\int \mathrm{p}^{2}\mathrm{V}^{\mathrm{p}-2}\mathrm{dV}\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge \mathrm{a}^{\mathrm{n}-1}$
$$
\mathrm{B}(\mathrm{r})\backslash \mathrm{B}\ (\mathrm{r}-\mathrm{e})\ \mathrm{B}\langle \mathrm{r})\backslash \mathrm{B}\langle \mathrm{r}-\epsilon)
$$
et la relation (6.5) cherchée découle de l'inégauté
$$
\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}(\mathrm{v}^{\mathrm{p}})\geq\ \mathrm{p}\iota \mathrm{p}-1)\mathrm{V}^{\mathrm{p}-2}\mathrm{dV}\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\ .
$$
49

J. P. D.EMAILLY
COROLLAIRE 6.6. Les fonctions définies par
$$
(\mathrm{a})\ \mathcal{W}^{\exp_{(\mathrm{r})}}={\rm Log}\mu_{\mathrm{r}}(\mathrm{e}^{\mathrm{V}})
$$
$$
(\mathrm{b})\ \mathrm{M}_{\mathrm{V}}^{\Phi}\langle \mathrm{r})=\ \sup_{\mathrm{B}\{\mathrm{r})^{\mathrm{V}}}
$$
sont croissantes convexes sur ] $\mathrm{A},\ \mathrm{R}$ [
Démonstration. La propriété (a) résulte du théorème 6.4 {\it e}t
de l'égalité
$$
{\rm Log}\mu_{\mathrm{r}}(\mathrm{e}^{\mathrm{V}})=\mathrm{P}^{\rightarrow+}\Phi \mathrm{ump}\{[\mu_{\mathrm{r}}((1+\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{p}})_{+}^{\mathrm{P}})]^{1/\mathrm{p}}-1\}.
$$
Le principe du maximum (th. 5.1) entraîne d'autre part
$\displaystyle \sup_{\mathrm{B}(\mathrm{r})}\mathrm{V}=\lim_{\lambda\wedge\Phi}\frac{1}{\lambda}{\rm Log}\mu_{\mathrm{r}}(\mathrm{e}^{\lambda \mathrm{V}})$
$\dot{\mathrm{p}}$ar suite (b) est conséquenc $\mathrm{e}$ de (a) $\bullet$
En vue des applications à l'étude des espaces $\mathrm{mr}6\mathrm{s}$, nous dé-
montrons maintenant une version avec paramètre du théorème 6.4. On
se donne un morphisme tt : X $\rightarrow \mathrm{Y}$ d'espaces analytiques de dimen-
sions pures $\dim \mathrm{X}=\mathrm{m}+\mathrm{n}$ , dlm $\mathrm{Y}=\mathrm{m}$ {\it e}t des fonctions $\varphi$: $\mathrm{X}\rightarrow 1 -\infty, +_{\infty}[$
psh continue. $\mathrm{R}$ : $\mathrm{Y}\rightarrow 1-\infty.\ +_{\infty}1 ($resp. $\mathrm{A}:\mathrm{Y}\rightarrow 1 -\circ,\ \star\infty 1)$ semi-
continue inférieurement (resp. supérivrement vérifiant les propriétés
ci-dessous.
Hypothèses 6.7.
$$
-1
$$
(a) tt est surjectif, et les fibres tt $\mathrm{Lv}$) $\mathrm{y}\in \mathrm{Y}$ sont d{\it e} di-
mension pure $\mathrm{n}$
(b) $T1$ est un morphisme de Stein, $\mathrm{i}.\ \mathrm{e}.\ \mathrm{Y}$ possède un recou-
$$
-1
$$
$$
\underline{\mathrm{v}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{t}}\ \mathrm{t}\Omega_{\mathrm{J}^{)}\ddagger\epsilon \mathrm{J}}\ \underline{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{e}}\ \mathrm{rr}\ \langle\Omega_{\mathrm{j}})\ \underline{\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{n}}
$$
pour tout $\mathrm{j}\in \mathrm{J}$
(c) $\phi \mathrm{x}) <\mathrm{R}\{\mathfrak{n}(\mathrm{x}))$ {\it e}t $\mathrm{A}[\mathrm{y}) <\mathrm{R}(\mathrm{y})$ quels que soient $\mathrm{x}\in \mathrm{X}$,
$$
\mathrm{y}\in\ \mathrm{Y}
$$
50

MESURES DE MONGE-AMPEBE
(d) Pour tout $\mathrm{y}\in \mathrm{Y}$ et tout $\mathrm{r}<\mathrm{R}(\mathrm{y})$ , il existe un voisinage
$\mathrm{U}$ d{\it e} $\mathrm{y}$ dans $\mathrm{Y}$ tel que $\mathfrak{n}^{-}{}^{\mathrm{t}}\varpi$) $\cap \mathrm{B}(\mathrm{r})\subset\subset$ X.
(e) $(\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\phi^{\mathrm{n}}\equiv 0$ sur l'ouvert $[\mathrm{x}\epsilon \mathrm{x} : _{\varphi\langle \mathrm{x})}>\mathrm{A}(\mathfrak{n}(\mathrm{x}))]$
On not $\mathrm{e}$ ici $\mathrm{e}\infty$ ore $\mathrm{B}(\mathrm{r})=[\varphi<\mathrm{r}),\ \mathrm{S}(\mathrm{r})=[\varphi^{=}\mathrm{r}]$ et $\alpha =\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}$ cp.
Sous les hypothèses (c) et (d) le \S 3 permet d'associer à chaqu $\mathrm{e}$ fibre
$-1 -1$
tt $\mathrm{Cv})$ une famille dé mesures $\mu$ portées par $\Pi (\mathrm{Y}) \cap \mathrm{S}(\mathrm{r})$ pour
$$
\mathrm{y},\ \mathrm{r}
$$
$\mathrm{r}\in 1 -\infty,\ \mathrm{R}(\mathrm{y})$ [ Etant donné une fonction psh V sur X on introduit
les valeurs moyennes
$\mathrm{M}_{\mathrm{V}}$ (Y. r) $=\mu_{\mathrm{y},\mathrm{r}}(7)$,
$$
\mathrm{M}_{\mathrm{V}}^{\mathrm{p}}(\mathrm{y}, \mathrm{r})=[\mu_{\mathrm{y},\mathrm{r}}(\mathrm{V}_{+}^{\mathrm{p}})]^{1/\mathrm{p}}\ \mathrm{sl}\ \mathrm{p}\in[\ 1,\ +\infty[\ ,
$$
$$
\mathrm{M}_{\mathrm{V}}^{\exp}(\mathrm{y}.\mathrm{r})={\rm Log}\mu_{\mathrm{y},\mathrm{r}}(\mathrm{e}^{\mathrm{V}})\ .
$$
$$
\mathrm{M}_{\mathrm{V}}^{\Phi}\mathrm{Cv},\ \mathrm{r})=\sup-1\ \mathrm{V}\ .
$$
$$
\mathfrak{n}\ (\mathrm{Y}\rangle \cap \mathrm{B}\langle \mathrm{r})
$$
PROPOSITION 6.8. Pour tout $\mathrm{r}$ fixé, les applications
$\mathrm{y}\leftarrow \mathrm{u}_{\mathrm{y}}.{}_{\mathrm{r}}\mathrm{C}\mathrm{V}) \underline{\mathrm{e}\mathrm{t}}\mathrm{y}\leftarrow \mathrm{M}_{\mathrm{V}}^{\mathrm{p}}$(y.r) $\underline{\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}}$faiblement psh $\underline{\mathrm{a}\mathrm{u}}$sens
de la définition 1.9 $\underline{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{r}1'\mathrm{a}1\mathrm{V}}$ ert $\{\mathrm{y} \mathrm{Y} : \mathrm{A}(\mathrm{y}) <\mathrm{r}<\mathrm{R}(\mathrm{y})\}$ .
Démonstration. Comme le résultat est local sur Y. l'hypo-
thèse 6.7(b) permet de supposer X. $\mathrm{Y}$ de Stein. Un passage à la lI-
mite décroissante nous ramène alors au cas où V est psh de classe
$\mathrm{c}^{\Phi}$ : si $\mathrm{p}>1$ on peut supposer d{\it e} plus $\mathrm{V}>0$ . Soit $\epsilon >0$ arbitraire
et $\mathrm{X}:\mathrm{lr}-\mathrm{e},\ \mathrm{r}[$ -- $\mathrm{R}$ une fonction $\mathrm{C}^{\Phi}\geq 0$ non nulle à support com-
pact. Par analogie avec le théorème 6.4. introduisons la fonction auxi-
liaire
$$
\mathrm{h}(\mathrm{y})=\mathrm{J}^{\mathrm{r}}\ \mathrm{u}_{\mathrm{y}.\mathrm{t}}\mathrm{N}^{\mathrm{p}})_{\mathrm{X}}\{\mathrm{t})\ \mathrm{dt}\ =\int\ \mathrm{v}^{\mathrm{p}_{\mathrm{X}}}\{\varphi)\alpha \mathrm{n}-1\wedge \mathrm{d}\varphi\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi
$$
$$
\mathrm{r}-\epsilon\ -\mathrm{t}
$$
$$
\mathfrak{n}\ \mathrm{tv})
$$
définie sur 1 ' ouvert
$$
\iota_{\mathrm{e}}^{\mathrm{t}}=\}\mathrm{y}\in\ \mathrm{Y}\prime \mathrm{A}(\mathrm{Y})\ +\epsilon\ <\mathrm{r}<\mathrm{R}(\mathrm{y})\}
$$
Pour conclure, 11 suffit de montrer que $\mathrm{h}^{1/\mathrm{p}}$ est faiblement psh sur
51

J. P. DEMAILLY
$\mathrm{U}_{6}$ Si $\mathrm{p}>1$ il s'agit donc de montrer que
$$
:\mathrm{hdd}^{\mathrm{c}}\mathrm{h}-(1-\frac{\iota}{\mathrm{p}})\mathrm{dh}\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{h}\geq\ 0.
$$
Soient $\mathrm{u},\ \mathrm{v}.\ \mathrm{w}$ des formes réelles d{\it e} classe $\mathrm{C}^{\Phi}$ sur $\mathrm{Y}$ à support
compact dans $\iota_{\epsilon}^{1}$ , de bidegrés $\mathrm{r}$ espectifs $\{\mathrm{m}$, m $)$ . $\{\mathrm{m},\ \mathrm{m}-1)\oplus(\mathrm{m}-1, \mathrm{m})$
et $(\mathrm{m}-1, \mathrm{m}- \mathrm{l})$ D'après le théorème d{\it e} Fubini. qu on applique d'abord
en supposant cp de classe $\mathrm{C}'$. ll vient
$$
\int_{\mathrm{Y}}\ \mathrm{hu}\ =\int_{\mathrm{x}}\mathrm{v}^{\mathrm{p}_{\mathrm{X}(\varphi)\alpha}\mathrm{n}-\mathrm{t}}\wedge \mathrm{d}\varphi\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{C}}\varphi\wedge \mathfrak{n}^{\sim}\mathrm{u}:
$$
le cas où cp est seulement continue s'en dédu4t par limite décroissante
(th. 2.6). On observe maint enant que l'intégrande est à support dans
$-1$
tt $\{\mathrm{Suppu})\cap(\mathrm{B}\langle \mathrm{r})\backslash \mathrm{B}(\mathrm{r}-\epsilon))\subset\subset \mathrm{X}$ (hypothèse 6.7 d) et que l{\it e} courant
$\mathrm{X}\{\psi_{\alpha}^{\mathrm{n}-1}\wedge \mathrm{d}\varphi\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi$ est d-fermé (hypothès $\mathrm{e}6.7\mathrm{e}$). Au moyen d'une in-
tégration par parties sur $\mathrm{Y}$ et d'une autre inverse sur X on obtient
donc successivement
\{6.9) $\mathrm{I}_{\mathrm{Y}}^{\mathrm{d}\mathrm{h}\wedge \mathrm{v}=\int_{\mathrm{x}}\mathrm{x}^{(\varphi)\alpha^{\mathrm{n}-1}\wedge \mathrm{d}\varphi\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi \mathrm{A}\mathfrak{n}^{\sim}\mathrm{v}}}\mathrm{d}(\mathrm{v}^{\mathrm{p}})\wedge\cdot$.
$\langle$6.10) $\mathrm{I}_{\mathrm{Y}}^{\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{h}\wedge \mathrm{w}=\int_{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}(7^{\mathrm{p}})\wedge \mathrm{x}\mathrm{t}\varphi)\alpha^{\mathrm{n}-\iota}\wedge \mathrm{d}\varphi\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi\wedge \mathfrak{n}^{\sim_{\mathrm{W}}}}$.
Supposons qu $\mathrm{e}$ la $(\mathrm{m}-1, \mathrm{m}-1)$-formew soit $\geq 0$ . L'égaUté $\langle$6. 10)
montre déjà que $\mathrm{J}_{\mathrm{Y}}^{\backslash }\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{h}\wedge \mathrm{w}$ a $0$. donc $\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{hZ} 0$ sur $\mathrm{U}_{\mathrm{C}}$. ce qui
résout le cas $\mathrm{p}=1$ Dans le cas générai $\mathrm{p}>1$ soit $\mathrm{Y}$ une 1-forme
réelle $\mathrm{C}^{\Phi}$ sur $\mathrm{Y}$ et $\gamma^{\mathrm{C}}=1\{\gamma^{0.1}-\gamma^{1.0})$ L'égalité (6.9) combinée à
l'inégalité de Cauchy-Schwarz entraîne
$$
\int_{\mathrm{Y}}\mathrm{dh}\wedge\gamma^{\mathrm{C}}\wedge \mathrm{w}=\int_{\mathrm{x}^{\mathrm{P}}}\mathrm{V}^{\mathrm{p}-\mathrm{t}}\mathrm{dV}\wedge \mathfrak{n}^{\sim}\gamma^{\mathrm{C}}\wedge \mathrm{x}^{(\varphi)\alpha^{\mathrm{n}-1}}\wedge\infty\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi\wedge \mathfrak{n}^{\sim}\mathrm{W}
$$
$$
\mathrm{sg}\ \int_{\mathrm{X}}(7^{\mathrm{p}}\mathfrak{n}^{*}(\gamma\wedge\gamma^{\mathrm{C}})\star \mathrm{p}^{2}\mathrm{V}^{\mathrm{p}-2}\mathrm{dV}\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{V})\ \mathrm{a}\ \chi\langle\psi_{\alpha}^{\mathrm{n}-1}\wedge \mathrm{d}\varphi\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi\wedge \mathfrak{n}^{2}\mathrm{w}
$$
$$
\mathrm{s}*\ \int_{\mathrm{Y}}(\mathrm{h}\gamma \wedge\gamma^{\mathrm{C}}\wedge \mathrm{w}\star \frac{\mathrm{p}}{\mathrm{p}-1}\mathrm{dd}^{\mathrm{C}}\mathrm{h}\wedge \mathrm{w})
$$
compte tenu que $\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}^{\mathrm{p}}\geq \mathrm{p}[\mathrm{p}-1) \mathrm{dV}\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}$ Comme ceci est vrai pour
toute forme $\mathrm{w}\geq 0$, on en déduit au sens des courants l'inégalité
dh A $\gamma^{\mathrm{C}}+\gamma \wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{hs} \mathrm{h}_{\mathrm{Y}}\wedge \mathrm{v}^{\mathrm{c}}\star_{\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{p}-\iota}}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{h}$
52

MESURES DE MONGE-AMPERE
Observons que $\mathrm{h}$ est partout $>0$ sur $\mathrm{u}_{\epsilon}$ d'après 4.1 : si nous fai-
sons tendr $\mathrm{e}$ maintenant $\mathrm{Y}$ vers $\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{h}}{\mathrm{h}}$ , il vi ent l'inégalité attendue
$\displaystyle \frac{1}{\mathrm{h}}$ dh $\displaystyle \wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{h}\leq\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{p}-}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{h}1^{\cdot}$
Pour voir que $\mathrm{h}$ est localem ent majorée sur Y. il suffit de regarder
le cas où V $\equiv\iota$ L'égalité (6.9) montre alors que dh $=0$. donc $\mathrm{h}$
est localement constante sur $\mathrm{X}_{\mathrm{r}}$ . $\bullet -$
La proposition 6.8 contient en fait le résultat plus général sui-
vant, qui était notre principal objectif.
THEOREME 6. 11. Les fonctions sur $\mathrm{YxC}$ défnies par
$(\mathrm{Y}. \mathrm{z})\leftarrow \mathrm{M}_{\mathrm{V}}(\mathrm{Y}. {\rm Re} \mathrm{z})$ , $\mathrm{N}_{\mathrm{V}}^{\mathrm{p}}[\mathrm{v}$. Rez) , $*^{\exp_{(7}},\ {\rm Re} \mathrm{z})$ . $\mathrm{N}_{\mathrm{V}}^{\Phi}(\mathrm{Y}\cdot {\rm Re} \mathrm{z})$
sont faiblem ent psh sur l'ouvert
$\{(\mathrm{y},\mathrm{z})\mathrm{Y}_{\mathrm{X}}\mathrm{CA}(\mathrm{y})<\mathrm{Rez}<\mathrm{R}(\mathrm{y})\}$ .
Démonstration. On considère le morphisme
$\tilde{\mathfrak{n}}=$ ri $\mathrm{xid}$: Xx $\mathrm{G} \rightarrow \mathrm{Yx}\mathbb{C}$
et on munit Xx Q. Yx $q$ des fonctions
$\tilde{\varphi}(\mathrm{x}.\mathrm{z})=\phi \mathrm{x})$-Rez. $\mathrm{r}_{\mathrm{L}\mathrm{v}.\mathrm{z})=\mathrm{R}(\mathrm{Y})-\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{z}}, \mathrm{z}_{\mathfrak{c}\mathrm{y},\mathrm{z})=\mathrm{A}(\mathrm{y})-{\rm Re} \mathrm{z}}$.
de sorte que les hypothèses 6.7 (a-e) sont vérifiées relativement à ce $\mathrm{s}$
données. Si $\tilde{\mathrm{V}}\{\mathrm{x}$. z $) =\mathrm{V}(\mathrm{x})$ on a par construction
$$
\tilde{\mathrm{u}}_{(\mathrm{y}.\mathrm{z}),0^{(\tilde{\nabla})}}=\mu_{\mathrm{y}.{\rm Re} \mathrm{z}}\ulcorner \mathrm{V}),
$$
et le théorème 6.11 découl $\mathrm{e}$ donc de la proposition 6.8. $\bullet$
COROLLAIRE 6.12. $\underline{\mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}} \langle \mathrm{x}_{\mathrm{i}})_{1\triangleleft}$ sk des espaces de Stein de
dimension pure $\mathrm{n}_{\mathrm{j}} \underline{\mathrm{e}\mathrm{t}} \varphi \mathrm{i}$ : $\mathrm{X}_{\mathrm{j}} -1-\circ.\mathrm{R}_{\mathrm{j}}[ \underline{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{s}}$fonctions psh
continues exhausUvae telles que (ddc $\varphi_{\mathrm{J}}$)$\mathrm{n}_{\mathrm{j}} \equiv 0 \underline{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{r}1'\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}1}$
$[\mathrm{x}\in \mathrm{X}_{\mathrm{j}}:\varphi_{\mathrm{j}}\langle \mathrm{x})>A_{\mathrm{j}}] \underline{\mathrm{S}1}$ V $\underline{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}$ psh $\underline{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{r}} \mathrm{X}_{1}\mathrm{x}\cdots \mathrm{xX}_{\mathrm{k}} \underline{\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{s}}$
fonr tions
53

J. P. DEMAILLY
$$
\mathrm{N}_{\mathrm{V}1}(\mathrm{r}\ldots..\mathrm{r}_{\mathrm{k}^{)=}1}\mu.\mathrm{r}_{1}^{\Phi\mu}2.\mathrm{r}_{2}^{\Phi\ldots\Phi\mu}\mathrm{k}.\mathrm{r}_{\mathrm{k}^{(\eta}}.
$$
$$
\mathrm{u}_{\mathrm{v}^{(\mathrm{r}_{1}\ldots..\mathrm{r}_{\mathrm{k}})=}}^{\mathrm{p}}\mathrm{x}_{\mathrm{V}_{*}^{\mathrm{p}^{(\mathrm{r}}\iota*)}}\ldots..
$$
$$
\iota/\mathrm{p}
$$
$$
\mathrm{u}_{\mathrm{V}1\mathrm{k}_{\epsilon}}^{\exp_{(\mathrm{r}\ldots..\mathrm{r})\approx{\rm Log} \mathrm{u}_{\mathrm{v}^{(\mathrm{r}_{1}\ldots..\mathrm{r}_{\mathrm{k}})}}}}
$$
$$
u_{\mathrm{v}^{(\mathrm{r}_{1}\ldots..\mathrm{r}_{\mathrm{k}})\cdot\sup_{\mathrm{B}(\mathrm{r}_{1})\mathrm{x}\ldots \mathrm{x}\mathrm{B}(\mathrm{r}_{\mathrm{k}})^{\mathrm{V}}}}}\ -
$$
\begin{center}
$\underline{\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}\epsilon} (\displaystyle \mathrm{r}_{1},\ldots\prime \mathrm{r}_{\mathrm{k}})\in 1\mathrm{J}^{g}\mathrm{k}\prod_{\leq}]\mathrm{A}_{\mathrm{J}}.\mathrm{R}_{\mathrm{J}}[$ si-
\end{center}
$\underline{\mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{l}\tan 6\mathrm{m}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{l}\epsilon \mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{t}}$achacune$\mathrm{d}\infty \mathrm{r}_{1}$
$\underline{\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{z}\epsilon_{\mathrm{n}}\epsilon \mathrm{r}\mathrm{a}]\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}},\ \underline{\epsilon 1} \mathrm{X}_{0} \mathrm{aet}$un espace analvuou $e$dedimen-
sion pure $\mathrm{n}_{0} \underline{\mathrm{e}\mathrm{t}}$sl V $\underline{\mathrm{s}\mathrm{t}}$ psh $\underline{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{r}} \mathrm{X}_{0}\mathrm{xX}_{1}\mathrm{x}\ldots \mathrm{x}\nwarrow$. la
fonc tion
$$
\mathrm{N}_{\mathrm{V}}^{\mathrm{P}}(\mathrm{x}_{0}, {\rm Re} \mathrm{z}_{1}\ldots..{\rm Re} \mathrm{z}_{\mathrm{k}})=\mathrm{N}^{\mathrm{P}}\ ({\rm Re} \mathrm{z}_{1}\ldots., {\rm Re}\iota_{\mathrm{k}})
$$
$$
\mathrm{V}(\mathrm{x}_{0^{ }},.)
$$
$($resp. $\mathrm{p}=\phi,\ \mathrm{e}1\varphi,\ \infty)$ est psh sur l'ouvert
$$
\mathrm{x}_{0^{\mathrm{X}}]_{=1}^{\mathrm{k}}\mathfrak{t}_{J\mathrm{J}1}^{\mathrm{A}<\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{z}<\mathrm{R}]\subset \mathrm{X}_{0}\mathrm{x}}}\urcorner l\ .
$$
Démonstration. $\mathbb{I}$ suffit de prouver la dernièr $\mathrm{e}$ affrmation.
On raisonne par récurrence sur $\mathrm{k}$. Pour $\mathrm{k}=1$ , le théorème 6.11
appliqué à tt: X $=\mathrm{X}_{0}\mathrm{xX}_{1}\rightarrow \mathrm{X}_{0}=\mathrm{Y}$ et çp $=\varphi_{1}$ montre que la fonc-
tion
$$
1_{01}^{\mathrm{x}.\mathrm{z}})\leftrightarrow \mathrm{M}_{\mathrm{V}}^{\mathrm{p}}\{\mathrm{x}_{0}.\mathrm{Rez}_{1})
$$
est faiblement psh. Sl de plus V est continue, cette fonction est
séparément continue en $\mathrm{x}_{0}$ {\it e}t convexe en Rez $\iota$ , donc continue {\it e}n
$(\mathrm{x}_{0}$. R{\it e} $\mathrm{z}_{1})$ Grâce au corollaire 1.12 . $\mathcal{F}^{\mathrm{P}_{(\mathrm{x}_{0^{\cdot}}}}$ Rezl) est donc psh .
Le cas où V est quelconque $\mathrm{s}'$ obtient en écrivant V comme limite
décroissante d{\it e} fonctions psh contnues.
Pour $\mathrm{k}>1$ . la propriété résulte à l'ordre $\mathrm{k}$ de sa validité
aux ordres 1 et k-t en posant
54

MESURES DE MONGE-AMPERE
$\mathrm{wtx}_{0}.\mathrm{x}_{1}\ldots.,\ \mathrm{x}_{\mathrm{k}-1}.\ \mathrm{z}_{\mathrm{k}})=\mathrm{N}_{\mathrm{V}(\mathrm{x}_{0}\ldots..\mathrm{x}_{\mathrm{k}-1}.\cdot)^{(\mathrm{R}\mathrm{c}\iota}\mathrm{k}^{)}}^{\mathrm{p}}$
et en observant que
$\mathrm{w}_{\mathrm{v}^{(\mathrm{x}_{0},\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{z}_{1},\ldots.\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{z}_{\mathrm{k}})=}}^{\mathrm{P}} \mathrm{N}_{\mathrm{w}\mathrm{t}}^{\mathrm{p}}\{\mathrm{x}_{0}\ldots \mathrm{z}_{\mathrm{k}})^{\mathrm{t}{\rm Re}}\ldots..{\rm Re}\iota_{\mathrm{k}-1})$ . $\blacksquare$
Nous terminons c{\it e} paragraphe en réexaminant à la lumière des
résultats précédents l'inégalité d{\it e} convexité d{\it e} P. Leiong, qui mesure
d{\it e} façon précis $\mathrm{e}$ les variations d{\it e} croissance d'une fonction psh sur
un espace flbr6 le long des différent {\it e}s fibres. Cette inégalité a été utili-
sée par H. Skoda [Sk2] pour construire un premier contre-exemple
au problèm $\mathrm{e}$. posé par J. P. Serre en 1953. de savoir sl un fibre à
bas $\mathrm{e}$ et à fibre de Stein est lui-mêm $\mathrm{e}$ de Stein: voir aussi [ Dl]
[D2] pour d'autres contre-exemples et [D31 pour une constructi {\it o}n
simple et rapide.
Soit $\Omega$ un espace de Stein irréductible d{\it e} dimension $\mathrm{m}$ . qui
jouera le rôle de base du Abr6. et X un espace de Stein de dimension
pure $\mathrm{n}$. qui sera la fibre. On suppose qu il existe des fonctions
$\#$ : $\Omega\rightarrow 1-\circ,\ \mathrm{R}[ \varphi$ : X $\rightarrow 1 -\infty, +\triangleleft$ psh contnues exhaustives telles
que
$($ddc $\phi)^{\mathrm{m}}=0$ sur $[\phi >$ AJ , $(\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\alpha^{\mathrm{n}}=0$ sur $[\varphi>0]$
Par exempl $\mathrm{e}$ sl X est une variété algébriqu $\mathrm{e}$ affine, il existe un mor-
phisme fini $\mathrm{F}$ : $\mathrm{X}\rightarrow \mathrm{C}^{\mathrm{n}}$ (th. de normalisation de Nœther), et il suffit
de prendre cp $={\rm Log}||\mathrm{F}||$ ou $\Vert \Vert$ est une norme sur $\mathrm{a}^{\mathrm{n}}$: le même
raisonnement vaut localement sur $\Omega$ pour l'existence d{\it e} $\mathrm{V}$
Soient V une fonction psh sur $\Omega \mathrm{xX}$ et des réels $\mathrm{a},\ \mathrm{b},\ \mathrm{c},\ \mathrm{r}$
tels que $\mathrm{A}<\mathrm{a}<\mathrm{b}<\mathrm{c}<\mathrm{R}$ et $\mathrm{r}>0$ . La propriété de convexité du
corollaire 6.12 montre que
$$
\mathrm{M}_{\mathrm{V}}^{\Phi}(\mathrm{b}, \mathrm{r})\leq\ \mathrm{M}_{\mathrm{V}}^{\infty}\langle \mathrm{a},\ o\mathrm{r})+\langle 1-\frac{\iota}{0})[\mathrm{M}_{\mathrm{V}}^{\Phi}(\mathrm{c}. 0)-\mathrm{M}_{\mathrm{V}}^{\Phi}(\mathrm{a}, \mathrm{or})]
$$
55

J. P. DEMAILLY
avec $0=\displaystyle \frac{\mathrm{c}-\mathrm{a}}{\mathrm{c}-\mathrm{b}} \mathrm{n}$ résulte du théorème 7.5 démontré au paragraphe sui-
vant que $\mathrm{M}_{\mathrm{V}}^{\Phi}\{\mathrm{a}$, r $) \rightarrow+\epsilon$ quand $\mathrm{r}\rightarrow+_{0}$ dès que V est non constante
sur au moins un $\mathrm{e}$ fibre $\{\mathrm{z})\mathrm{x}$ X. $\mathrm{z}\in \mathrm{B}(\mathrm{a}) \mathrm{n}$ existe alors une constante
$\mathrm{r}_{0}$ dépendant de $\mathrm{a}$, b.c.V tell $\mathrm{e}$ que
\begin{center}
(6.13)   $\mathrm{M}_{\mathrm{V}}^{\Phi}(\mathrm{b}.\mathrm{r})<\mathrm{N}_{\mathrm{V}}^{\Phi}\{\mathrm{a}$. or $)$ pour $\mathrm{r}>\mathrm{r}_{0}$ , où $0=\displaystyle \frac{\mathrm{c}-\mathrm{a}}{\mathrm{c}-\mathrm{b}}$
\end{center}
SI $\omega$ est un ouvert relativem ent compact dans $\Omega$ . on pose maintenant
$$
\mathrm{M}_{\mathrm{V}}^{\Phi}\langle\omega;\mathrm{r})=\sup_{\mathrm{w}\mathrm{x}\mathrm{B}\langle \mathrm{r})^{\mathrm{V}}}
$$
Grôce à un raisonnem ent élémentair $\mathrm{e}$ d{\it e} compacité et de connexité (cf.
[Le2], th. 6.5.4) on déduit alors d{\it e} (6.13) l{\it e} résultat suivant :
COROLLAIRE 6.14 (Inégalité de P. Leiong). Soient $\Omega$ un
$$
\underline{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{p}[\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{r}\mathrm{r}6\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}}.\ \omega_{1}.\ \psi\ \underline{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{u}\mathrm{x}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{s}\mathrm{r}e\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{m}e\mathrm{n}\mathrm{t}}
$$
compacts dans $\Omega$ et V une fonction psh sur $\Omega \mathrm{xX}$ suppo-
sée non constante sur au moins une fibre $[\mathrm{z}\}_{\mathrm{X}}$ X. Alors $\underline{11}$
$\underline{\mathrm{e}\mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{e}}$ une constante$\mathrm{o}>\iota \mathrm{ne}$  oue d{\it e}$\omega_{1}.\ \omega_{2}.\ \Omega$, et
$\underline{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{e}}$constant$e \mathrm{r}_{0} \underline{\mathrm{d}6\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}}$ en alorsde V, $\underline{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{s}\circ \mathrm{u}e\mathrm{o}\alpha \mathrm{l}\mathrm{r}}$
$$
\underline{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}\ \mathrm{r}>\mathrm{r}_{0}\underline{\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{t}}
$$
$\mathcal{F}^{\mathrm{t}^{\mathrm{w}_{2}}:\mathrm{r})<}\mathcal{F}^{(\omega_{1}:\circ \mathrm{r})}\infty\infty$
Dans les applications pratiques se pose le problème du calcul
explicite de la constante $0$. L'inégalité (6.13) apporte une réponse théo-
riqu $\mathrm{e}$ complète à ce problème. Si $\iota \mathrm{v}_{1}.\omega_{2}\subset \mathrm{c}.\ \Omega$ sont des ouverts de $\mathrm{Q}$ .
on cherche une fonction harmonique $\psi$ sur $\Omega\backslash \overline{\mathrm{b}}$ qui tend vers $0$ sur
ò $\mathrm{w}_{1}$ {\it e}t vers 1 sur 8 $\Omega$ (resp. vers $+\mathrm{r}$ si $\delta\Omega$ est de capacité $0$), on
prolonge V par $0$ sur $\omega_{1}$ et on pos $\mathrm{e} \displaystyle \mathrm{b}=\sup_{\omega_{2}}\eta$ Toute constante
$\displaystyle \mathrm{o}>\frac{1}{1-\mathrm{b}}$ (resp. $0>1$) répond alors à la question. Le cas où la base $\Omega$
est d{\it e} dlm ension $\mathrm{m}>1$ revient à résoudre un problème de Diric hlet
analogue pour l'équation de Monge-Ampère $($ddc $\phi)^{\mathrm{m}}=0$ sur $\Omega\backslash \varpi_{1}$
56

MESURES DE MONGE-AMPEBE
$\mathrm{n}$ est facile de voir que la constante $0$ ainsi obtenue est la
meilleure possible. $\mathrm{L}^{\mathrm{l}}\mathrm{n}$ calcul élémentaire $\mathrm{m}$ ontre en effet que la fonc-
tion
$$
\mathrm{X}\ \{\mathrm{t},\ \mathrm{r})=\mathrm{exp}1\frac{\mathrm{r}}{1-\mathrm{t}}+_{\frac{1}{(1-\mathrm{t})^{2}})}
$$
est croissante convexe sur [ $0$, 1 [ $\mathrm{x}10.\ +\triangleleft$ La fonction psh
$$
\iota\ -
$$
V $=\mathrm{X}(\phi_{+}.\varphi_{+})$ contr edit alors (6.13) pour tout $\mathrm{o}\leq \overline{1-\mathrm{b}}$.
57

J. P. DEMAILLY
7. -- Croissance {\it à} $|$'infinî des fonctions psh .
Soit X un espac $\mathrm{e}$ de Stein irréductible de dimension $\mathrm{n}$ {\it e}t
cp : X $\rightarrow 1-\infty, +d$ une fonction psh continue exhaustive (on a donc
ici $\mathrm{R}=+\Phi)$ On note
$$
\mathrm{n}
$$
$$
\uparrow\langle \mathrm{r})=||\mu_{\mathrm{r}}||=\int_{\mathrm{B}\{\mathrm{r})^{\alpha}}
$$
où $\alpha=\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi$, le volum $\mathrm{e}$ de la pseudoboule $\mathrm{B}(\mathrm{r})=\{\varphi<\mathrm{r}]$ . La formule
de Jensen 3.4 permet alors de relier la croissance du $\mathrm{Couk}_{\mathrm{n}\mathrm{t}} \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}$
à la croissance de V De façon précise :
PROPOSITION 7. 1. Soient V une fonction psh sur X,
$\mathrm{r}_{0}\in \mathrm{R} \underline{\mathrm{e}\mathrm{t}} \in\epsilon] 0.1$ [ $\underline{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{e}}$uneconstante$\mathrm{C}>0 \underline{\mathrm{d}\epsilon_{\mathrm{D}}\mathrm{e}\mathrm{n}}-$
$\underline{\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}}$de V. $\epsilon.\ \mathrm{r}_{0}$ telle que pour tout $\mathrm{r}\geq \mathrm{r}_{0} \underline{\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{a}!\mathrm{t}}$
$$
\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge\alpha^{\mathrm{n}-1}
$$
$$
(\mathrm{l}-\mathrm{e})\mathrm{r}\ \int_{\mathrm{B}(\mathrm{r}_{0})}\ \leq\ \mu_{\mathrm{r}}(\nabla_{+})+\mathrm{C}\uparrow\{\mathrm{r})
$$
Démons tration. Pos ons V $=\displaystyle \sup(\mathrm{V}. -\mathrm{v}) \mathrm{v}\in \mathrm{N}$. Les $\mathrm{m}$ esures
$$
\mathrm{v}
$$
$\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{v}_{\mathrm{V}}\wedge\alpha^{\mathrm{n}-1}$ convergent faiblement vers $\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge\alpha^{\mathrm{n}-\mathrm{t}}$ quand $\mathrm{v}$ --$+\infty$ ,
par suite $\displaystyle \lim \displaystyle \mathrm{inf}\int \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{v}_{\vee}\wedge \mathrm{a}^{\mathrm{n}-\uparrow} \mathrm{z} \displaystyle \int_{\mathrm{B}(\mathrm{r}_{0})}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge\alpha^{\mathrm{n}-1} \mathrm{n}$ existe donc
$$
\rightarrow\$\mathrm{w}\ \mathrm{B}(\mathrm{r}_{0})
$$
$\mathrm{v} \in$ IN (dépendant de V. $\mathrm{e}.\ \mathrm{r}_{0}$) tel que
$$
\int_{\mathrm{B}\{\mathrm{r}_{0})}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}_{\mathrm{v}_{\mathrm{V}}\wedge\alpha}\mathrm{n}-1}\geq\ \{1-\epsilon)\int_{\mathrm{B}\langle \mathrm{r}_{0})}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge\alpha^{\mathrm{n}-1}
$$
La formule 3.4 appliquée à $\mathrm{v}_{\vee}$ donne d'autre part
$$
\{\mathrm{r}-\mathrm{r}_{0^{)\int_{\mathrm{B}\{\mathrm{r}_{0})^{\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}}}}\mathrm{v}^{\wedge\alpha^{\mathrm{n}-1}}}\leq\ \mu_{\mathrm{r}}\{\mathrm{V}.)\ -\int_{\mathrm{B}\langle \mathrm{r})}\mathrm{v}_{\vee^{\alpha^{\mathrm{n}}}}\leq\ \mu_{\mathrm{r}}\{\mathrm{V}_{+})+\mathrm{v}\cdot \mathrm{r}\{\mathrm{r})
$$
Ces deux inégalités combinées entraîn ent la proposition 7.1 avec
58

MESURES DE MONGE-AMPERE
$\mathrm{c}=\vee +\displaystyle \frac{\langle 1-\mathrm{e}\rangle \mathrm{r}_{0}}{\tau(\mathrm{r}_{0})}\int_{\mathrm{B}(\mathrm{r}_{0})}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge\alpha^{\mathrm{n}-1}$ . $\blacksquare$
Dans toute la suite de c{\it e} paragraphe, nous ferons une hypothèse
de modération sur la croissanc $\mathrm{e}$ du volum $\mathrm{e}$ de X.
HYPOTHESE 7.2. $\displaystyle \lim \displaystyle \frac{\tau(\mathrm{r})}{\mathrm{r}}=0$ .
$$
\mathrm{r}\rightarrow+\alpha
$$
Nous obtenons alors comme consé$*$uence immédiate de la pro-
position 7. 1 l'inégalité fondamentale suivante :
COROLLAIRE 7.3. Sous l'hypothèse (7.2), on a pour toute
fonction V psh :
$\displaystyle \int_{\mathrm{x}}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge \mathrm{a}^{\mathrm{n}-1}\leq \displaystyle \lim_{\mathrm{r}\rightarrow\mapsto}\inf\frac{\iota}{\mathrm{r}}\mathrm{u}_{\mathrm{r}}\mathrm{N}_{+})$
$\mathrm{C}$ {\it e}tte inégalité sera exploitée principalement au moyen du 1 {\it e}m-
me suivant:
LEMME 7.4. $\underline{\mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{i}}$ent $\# \underline{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{e}}$fonction strictementpsh $\underline{\mathrm{d}\mathrm{e}}$
classe $\mathrm{C}^{2} \underline{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{r}}$ X et $\mathrm{r}_{1}<\mathrm{r}_{2} \underline{\mathrm{a}\mathrm{v}\infty} \mathrm{B}(\mathrm{r}_{2})\neq\phi.\ \underline{\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{l}}$
$\underline{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{e}}$une$\mathrm{c}$onstante$\mathrm{C}\langle \mathrm{r}_{1},\ \mathrm{r}_{2})>0$ telle que pour toute fonc tion
psh V:
$\displaystyle \int_{\mathrm{B}\langle \mathrm{r}_{1})}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}$ VA $($ddc $\mathrm{V})^{\mathrm{n}-1}\leq \mathrm{C}(\mathrm{r}_{1}, \mathrm{r}_{2})\mathrm{J}_{\mathrm{B}\langle \mathrm{r}_{2})^{\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}}}\wedge \mathrm{a}^{\mathrm{n}-1}$
$\underline{\mathrm{D}6\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}}.\ \mathrm{P}$ osons cp' $=\displaystyle \sup\langle\varphi,\ \mathrm{r}_{1}+\epsilon \mathrm{V} +\sqrt{\epsilon}) (\mathrm{n} \epsilon >0$
est choisi assez petit pour que $\phi =_{\hat{\Psi}}\sim$ au voisinage de $\mathrm{S}(\mathrm{r}_{2})$ et
$\varphi'=\mathrm{r}_{1}+\mathrm{c}\psi +\sqrt{}\overline{\epsilon}$ sur $\mathrm{B}\langle \mathrm{r}_{1}\rangle$ D'après le théorème de Stokes 11 vient
$$
\int_{\mathrm{B}\{\mathrm{r}_{2})}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge\{\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\emptyset^{\mathrm{n}-1}=\int_{\mathrm{B}(\mathrm{r}_{2})}\mathrm{dd}^{\mathrm{C}}\mathrm{V}\wedge(\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi')^{\mathrm{n}-1}
$$
$$
\geq \mathrm{c}^{\mathrm{n}-1}\int\ \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\wedge\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{C}}\mathrm{V})^{\mathrm{n}-\iota}\text{ . }\blacksquare
$$
$$
\mathrm{B}(\mathrm{r}_{1})
$$
59

J. P. DEMAILLY
THEOREME 7.5. Toute fonction psh V sur X vérifant
l'une des hypothèses d{\it e} croissance ci-dessous est constante :
(a) $\displaystyle \lim$ ini $\displaystyle \frac{1}{\mathrm{r}}\mu_{\mathrm{r}}(\nabla_{+})=0$:
$$
\mathrm{r}\rightarrow+\varpi
$$
$\displaystyle \langle \mathrm{b})\sup_{\mathrm{B}\{\mathrm{r})^{\mathrm{V}=\mathrm{o}(\frac{\mathrm{r}}{\pi(\mathrm{r})})}}\underline{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}}\mathrm{r}\rightarrow\star\circ$.
Démonstration. Le théorème 5.1 donne
$\mu_{\mathrm{r}}(7_{+})\epsilon ||_{\mathrm{H}_{\mathrm{r}}}\displaystyle \Vert\sup_{\mathrm{B}\langle \mathrm{r})}\mathrm{V}_{+}=\tau(\mathrm{r})\sup_{\mathrm{B}(\mathrm{r})}\mathrm{V}_{+}$.
donc l'hypothèse 7.5 (b) impUque 7.5 (a) . Sous l'hypothèse 7.5 (a).
le corollaire 7.3 et le lemme 7.4 montrent que $\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}=0$, i.e. V
est pluriharmonique. Pour tout $\mathrm{x}\in \mathrm{X}$ la fonction $\mathrm{z}\leftarrow\nabla(\mathrm{z})=\mathrm{supCV}\langle \mathrm{z}).\ \mathrm{V}(\mathrm{x}))$
vérifie encore 7.5 (a) . elle est donc pluriharmonique. D'après le prin-
cipe du maximum $-\tilde{\mathrm{V}}$ est constante sur X $\langle$X est supposé irréductible),
$\mathrm{i}.\ \mathrm{e}$. V $\leq \mathrm{V}\langle \mathrm{x})$: V est donc constante. $\blacksquare$
Dans la situation usuelle de l'espace hermitien $\mathrm{G}^{\mathrm{n}}$ et de la
fonction d'exhaustion $\psi \mathrm{z}$) $={\rm Log}|\mathrm{z}|$ . le théorème 7. 5 redonne (avec une
démonstration un peu plus simple) un résultat dû à N. Sibony {\it e}t P. -M. Wong.
Définissons l'ordre logarithmique $\mathrm{p}(7)$ d'une fonction psh V dans $0^{\mathrm{n}}$
(resp. d'une fonction entière F) par
$\iota +\displaystyle \mathrm{p}\ulcorner \mathrm{V})=11\mathrm{m}\sup_{\mathrm{r}-+\Leftrightarrow}\frac{{\rm Log}\sup \mathrm{V}_{+}\langle \mathrm{z})|\mathrm{z}|<\mathrm{r}}{{\rm Log}{\rm Log} \mathrm{r}}$, (resp. $\mathrm{p}\langle \mathrm{F}$) $=\mathrm{p}\{{\rm Log}|\mathrm{F}|)$.
En d'autres termes V et $\mathrm{F}$ sont d'ordre logarithmique $\leq \mathrm{p}$ si pour
tout $\epsilon >0$ on a
$$
 1\backslash +\mathrm{p}+\epsilon\  1+\mathrm{p}\star\epsilon
$$
$\mathrm{v}_{+}(\mathrm{z})\leq\varphi \{\mathrm{z}) ($resp. $|\mathrm{F}(\mathrm{z})|\leq \exp\langle\varphi\langle \mathrm{z}) ))$
quand $|\mathrm{z}|$ est assez grand. En particulier, tout polynOme est d'ordre
logarithmique nul. {\it e}t toute fonction entière d'ordre logarithmique fini est
d'ordr $\mathrm{e}$ nul au sens usuel.
60

MESL RES DE MONGE-AMPEBE
COROLLAIRE 7.6 $\langle[\mathrm{SW}])$. Soit $\mathrm{F}$ une fonction entièr $\mathrm{e}$ non
constante d'ordre logarithmique $\mathrm{p}<1$ . et X une composante
$$
-1
$$
irréductible de Phypersurface $\mathrm{F}$ (0) Alors toute fonction
psh V sur X d'ordr $\mathrm{e}$ logarithmique $< 1-\mathrm{p}$ est constante. En
particulier, les fonctions psh et holomorphes bornées sur X
sont constantes.
Démonstration. L{\it e} th. 7.5 nous ramène à estim {\it e}r l{\it e} volume
de X relativem ent à $\varphi$. ce qui est un problèm $\mathrm{e}$ classique. L{\it e} $\mathrm{c}$ ourant
d'intégration sur X est en effet majoré par $\displaystyle \frac{1}{2\mathfrak{n}}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}{\rm Log}|\mathrm{F}|$ en vertu
de l'équation de Lelong-Poincaré (cf. [Lel]) : on a donc
$$
\uparrow(\mathrm{r})=\int_{\mathrm{x}\cap[\mathrm{c}\mathrm{p}<\mathrm{r}]}\ (\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\ \mathrm{cp}\ )^{\mathrm{n}-1}\leq\ \int_{[\varphi<\mathrm{r}]}\frac{1}{2\mathfrak{n}}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}{\rm Log}|\mathrm{F}|\wedge\alpha^{\mathrm{n}-1}
$$
Après translation éventuelle on peut supposer $\mathrm{F}(0)\neq 0$ . La proposi-
tion 4.5 et la formule 3.4 appliquée à V $=\displaystyle \frac{1}{2\mathfrak{n}}{\rm Log}|\mathrm{F}|$ dans $\mathrm{G}^{\mathrm{n}}$ don-
nent alors
$$
\mathrm{I}_{-\infty}^{\mathrm{r}}\uparrow\langle \mathrm{t})\ \mathrm{dt}\ \mathrm{s}\ \mu_{\mathrm{r}}\langle\frac{1}{2\mathfrak{n}}{\rm Log}|\mathrm{F}|)-\langle 2\mathfrak{n})^{\mathrm{n}}\frac{1}{2\mathfrak{n}}{\rm Log}|\mathrm{F}\{0)|\leq\ \mathrm{Cr}\  1+\mathrm{p}+\epsilon
$$
pour $\mathrm{r}\geq \mathrm{r}_{0}(\in)$ Comme la fonction $\uparrow$ est croissante, on en déduit
$\uparrow(\mathrm{r})\leq \displaystyle \frac{1}{\mathrm{r}}\iota_{\mathrm{r}}^{2\mathrm{r}_{T}}\langle \mathrm{t})\mathrm{dt}\leq \mathrm{C}'\mathrm{r}^{\mathrm{P}^{+\epsilon}}$ La conclusion résulte alors d{\it e} 7.5 (b). $\blacksquare$
61

J. P. DEMAILLY
8. -- Fonctions holomorphes $\mathrm{po}|\mathrm{ynomia}|\mathrm{es}-\cdot$
Nous conservons ici les notations {\it e}t hypothèses du \S 7 : X dé-
si $g\iota \mathrm{e}$ un espace de Stein irréductible de dimension $\mathrm{n}$, muni d'une fonc-
tion d'exhaustion psh cp vérifiant la condition (7.2) de croissance du
volume.
DEFINITION 8.1. Si $\mathrm{F}$ est une fonction holomorphe sur X,
on appellera degré de $\mathrm{F}$ le nombre
\begin{center}
6($\mathrm{F}$) $= \displaystyle \lim \displaystyle \sup\frac{1}{\mathrm{r}}\mu_{\mathrm{r}}\langle{\rm Log}_{+}|\mathrm{F}|)$
$$
\mathrm{r}\rightarrow\mapsto
$$
\end{center}
Les inégalités évidentes ${\rm Log}_{+}|$ FG $|\leq {\rm Log}_{+}|\mathrm{F}|+ {\rm Log}_{+}|\mathrm{G}|$ et
${\rm Log}_{+}|\lambda \mathrm{F}+\mu \mathrm{G} |\leq {\rm Log}_{+}|\mathrm{F}|+{\rm Log}_{+}|\mathrm{G}|+{\rm Log}_{+}|\lambda+\mu |$, jointes à (7.2), en-
traînent pour tous scalaires $\lambda,\ \mu\in \mathbb{C}$:
6(FG) $\leq$ ô(F) $+$ô(G) , $ 6\langle\lambda \mathrm{F}+\mu \mathrm{G})\leq 6\langle \mathrm{F})+6(\mathrm{G})$
L'ensemble des fonctions holomorph {\it e}s d{\it e} degré fini est donc une $\mathrm{G}-$
algèbre intègre.
DEFINITION 8.2. On note
$$
(\mathrm{a})\ \mathrm{A}_{\varphi}(\mathrm{X}\gamma\ \underline{1'\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{g}\&\mathrm{r}e\mathrm{d}\mathrm{e}\epsilon \mathrm{f}\mathrm{o}\ddagger \mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{d}e\mathrm{g}\mathrm{r}6\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}},
$$
qui $\mathrm{s}$ eront dit {\it e}s fonc tion çp-polynomial es.
$$
(\mathrm{b})\ \kappa_{\varphi^{\langle \mathrm{X})}}\ \underline{\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{s}}\ \mathrm{F}/\mathrm{G}\ \underline{\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{e}}\ \mathrm{F},\ \mathrm{G}\ \in \mathrm{A}_{\varphi}(\mathrm{X}),
$$
dit corps des fonctions cp-rationnelles.
La terminologie est justifiée par le théorème 8.5 ci-dessous.
Dans tous les exemples que nous connaissons, l'{\it é} galité $\mathrm{A}_{\varphi}\langle \mathrm{X})=\kappa_{\varphi}(\yen)\cap \mathrm{O}\langle \mathrm{X})$
62

MESURES DE MONGE-AMPEBE
a lieu. mais nous n{\it e} savons pas si cette propriété est générale. cette
part. sl X est normal. $\mathrm{A}_{\varphi}(\mathrm{X}\gamma$ est une sous-algèbre intégralement
close d{\it e} $\mathrm{K}(\mathrm{X}\gamma\varphi$ (vérification immédiate).
Avec ces définitions, on a l'inégalité fondamental $\mathrm{e}$ suivante.
qui découl $\mathrm{e}$ de la proposition 7.3 appliquée à V $={\rm Log}|\mathrm{F}\downarrow$ .
PROPOSITION 8.3. $\underline{\mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}} [\mathrm{Z}_{\mathrm{F}}] =\displaystyle \frac{1}{2\mathfrak{n}}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}{\rm Log}|\mathrm{F}| \underline{1\mathrm{e}}$diviseur
$$
\underline{\mathrm{d}e\mathrm{s}\mathrm{z}\text{é} \mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{e}\mathrm{d}'\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}}\ \mathrm{F}\in\ \mathrm{A}_{\varphi}\langle \mathrm{X})\ \underline{\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{d}e\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{m}e\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}}.
$$
Alors
$$
\mathrm{n}-1
$$
$$
2\mathfrak{n}\ \mathrm{J}_{\mathrm{x}}[\mathrm{z}_{\mathrm{F}}]\wedge\alpha\ \leq\ 6\langle \mathrm{F})\ \bullet
$$
COROLLAIRE 8.4. Soit a un point régulier de X . On dé-
$\underline{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}e}$par $\mathrm{ord}_{\mathrm{a}}\langle \mathrm{F}) \underline{1'\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{r}\mathrm{e}}$d'annulation d'unefonction holomor-
phe $\mathrm{F}$ en a . Il existe une constante $\mathrm{C}\{\mathrm{a})>0$ telle que
$$
\underline{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}}\ \mathrm{F}\in \mathrm{A}\varphi^{(\mathrm{x}\gamma}\ \underline{\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{t}}:
$$
$$
\mathrm{ord}_{\mathrm{a}}(\mathrm{F})\leq\ \mathrm{C}\{\mathrm{a})6\langle \mathrm{F})
$$
$\underline{\mathrm{D}6\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}}$. Soit $\langle \mathrm{z}_{1},\ \mathrm{z}_{2}\ldots.,\ \mathrm{z}_{\mathrm{n}})$ un système de coordonnées
locales sur X, centré {\it e}n a , tel qu $\mathrm{e}$ la boule $|\mathrm{z}|\leq\epsilon$ soit relativ $\mathrm{e}-$
ment compac te dans X. Le lemme 7.4 entraîne l'existenc $\mathrm{e}$ d'une cons-
tante $\mathrm{c}_{1}>0$ telle que
$$
\int_{|\mathrm{z}|\leq\epsilon}1\ \mathrm{z}_{\mathrm{F}^{]}}\wedge\{\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}|\mathrm{z}|^{2_{)}\mathrm{n}-1}\leq\ \mathrm{c}_{1}\int_{\mathrm{X}}1\ \mathrm{z}_{\mathrm{F}^{]}}\wedge\alpha^{\mathrm{n}-1}
$$
Le corollaire 8.4 résulte alors de la proposition 8.3 et de l'inégalité
classique de P. Leiong [Le $\iota 1$ :
$$
\langle 4\mathfrak{n}\ \epsilon^{2})^{1-\mathrm{n}}\int_{|\mathrm{z}|\leq}\epsilon 1\ \mathrm{z}_{\mathrm{r}^{]}}\wedge\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}|\mathrm{z}|^{2_{)}\mathrm{n}-1}\geq \mathrm{ord}_{\mathrm{a}}\{\mathrm{F})\ \blacksquare
$$
En utilisant un raisonnement classique remontant à Poincaré
et développé par Si egel $|$ Si lJ (Si 2] nous allons maintenant en
déduire un théorème dfalgébricité très générai.
63

J. P. DEMAILLY
THEOREME 8. 5. Le degré de transcendance sur $\mathrm{G}$ du corps
$$
\kappa_{\varphi^{(\mathrm{X}\urcorner}}\ \underline{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}}\varphi-\underline{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{e}}:
$$
(a) $0\mathrm{s} \deg \mathrm{tr}_{\mathrm{Q}}\mathrm{K}_{\varphi}\langle \mathrm{X})$ sn $=$ dlm X.
(b) Si $\deg$ tr $\mathrm{a}^{\kappa_{\varphi}(\mathrm{X}\gamma}=\mathrm{n}$.   $\underline{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}$une de
type fini d{\it e} $0$.
$\underline{\mathrm{D}6\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{o}\mathrm{n}}$. Soient $\mathrm{F}_{1},\ldots,\ \mathrm{F}_{\mathrm{N}}$ des fonctions $\varphi$-poiynomiales,
$\langle \mathrm{k}_{1}\ldots..\mathrm{k}_{\mathrm{N}})$ un N-uplet d'enters $\geq 0$, et $\mathrm{P}\in \mathrm{G}[ \mathrm{X}_{1},\ldots.\mathrm{X}_{\mathrm{N}}]$ un polynôme
tel que $\deg_{\mathrm{X}_{\mathrm{J}}}\mathrm{Ps} \mathrm{k}_{\mathrm{j}}$ et $\mathrm{P}\langle \mathrm{F}_{1}\ldots.,\ \mathrm{F}_{\mathrm{N}})\not\in 0$. On a alors
${\rm Log}_{+}\mathrm{P}(\mathrm{F}_{1},\ldots, \mathrm{F}_{\mathrm{N}})|\leq \displaystyle \sum \mathrm{k}{\rm Log}_{+}|\mathrm{F}_{\mathrm{J}}|+$ Cte,
\begin{center}
$1\leq \mathrm{i}^{\mathrm{s}\mathrm{N}}$ 1
6 $\langle \mathrm{P}\{\mathrm{F}_{1},\ldots,\ \displaystyle \mathrm{F}_{\mathrm{N}}))f\sum_{\iota\sigma \mathrm{j}e\mathrm{N}}\mathrm{k}_{\mathrm{j}}6(\mathrm{F}_{\mathrm{J}})$.
\end{center}
Le corollaire 8.4 donne donc l'inégalité
\begin{center}
(8.6)   $\mathrm{ord}_{\mathrm{a}}\mathrm{P}(\mathrm{F}_{1},\ldots, \mathrm{F}_{\mathrm{N}})\mathrm{s} \displaystyle \mathrm{C}(\mathrm{a})\sum_{1\mathrm{s}\int\simeq \mathrm{N}}\mathrm{k}_{J}6(\mathrm{F}_{J})$
\end{center}
Supposons $\mathrm{F}_{1},\ldots.\mathrm{F}_{\mathrm{N}}$ algébriquement indépendantes. Alors la dimension
de l'espace vectoriel des polynômes $\mathrm{P}(\mathrm{F}_{1},\ldots, \mathrm{F}_{\mathrm{N}})$ est égale à
$\mathrm{t}[1^{+1)}\cdots(\mathrm{k}_{\mathrm{N}}+1)$ Pour tout entier $\mathrm{s}\geq 0$ donné, le système Unéaire
$\mathrm{hom}$ ogène
$2_{\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{e}^{\mathrm{v}}}\mathrm{P}(\mathrm{F}_{1''}\ldots \mathrm{F}_{\mathrm{N}})|_{\mathrm{z}=\mathrm{a}}=0}\mathrm{a}.\ \mathrm{v} \in \mathrm{N}^{\mathrm{n}},\ |\mathrm{v}|\leq\epsilon$ .
admet une solution non nulle dès que cette dlm ension excède le nombre
d'équations, égal à $\mathrm{t}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{n}*}$) $\leq \displaystyle \frac{1}{\mathrm{n}!}\langle \mathrm{n}*)^{\mathrm{n}}$ La fonction $\mathrm{P}\langle \mathrm{F}_{1}\ldots.,\ \mathrm{F}_{\mathrm{N}})$ s'an-
nule alors au moins à l'ordre $\mathrm{s}+1$ au point $\mathrm{a}$. et le choix de $\mathrm{s}$ tel que
$\mathrm{s}* \displaystyle \mathrm{C}(\mathrm{a})\sum \mathrm{k}_{\mathrm{j}}6\langle \mathrm{F}_{\mathrm{j}})<\mathrm{s}\star 1$ contredit l'inégalité (8.6) à moins que
$$
(\mathrm{k}_{1}+\iota)\ldots\{\mathrm{k}_{\mathrm{N}}\star 1)\leq\ \mathrm{t}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{n}+\mathrm{s}_{)}}\leq\ \frac{\iota}{\mathrm{n}!}[\mathrm{n}+\mathrm{C}\{\mathrm{a})\ \sum\ \mathrm{k}6\langle \mathrm{F}_{\mathrm{j}})]^{\mathrm{n}}
$$
1 sjs $\mathrm{N} \mathrm{j}$
Prenons alors $\mathrm{k}_{1}=\ldots=\mathrm{k}_{\mathrm{N}}=\mathrm{k}$ et faisons tendre $\mathrm{k}$ vers $+\infty$. L'iné-
galité précédente montre que $\langle \mathrm{k}+\mathrm{t})^{\mathrm{N}}\leq$ Oe $(\mathrm{k}+1)^{\mathrm{n}}$ par suite $\mathrm{Y}\leq \mathrm{n}$ et
la propriété $\{\mathrm{a})$ est démontrée.
64

$\mathrm{MESL}$ RES DE MONGE-AMPEBE
Supposons maintenant $\deg$ tr $\mathrm{K} \{\mathrm{X})=\mathrm{n}$. et soient $\mathrm{F}_{1} \mathrm{Fn}$
$\mathrm{G}$ cp
$\mathrm{n}$ fonctions algébriquem ent indépendantes de $\mathrm{A}_{\varphi}(\mathrm{X}\gamma$ Pour démontr {\it e}r
(b) . il suffit de majorer le degré de Pextension algébrique
$[\mathrm{K}_{\varphi}\langle \mathrm{X})$ : $0\langle \mathrm{F}_{1\mathrm{n}}$  Si $\mathrm{F}_{\mathrm{n}+1}\in \mathrm{A}(\mathrm{X}\gamma\varphi$ est algébrique de degré $\mathrm{d}$
$$
\iota_{1}\ \iota_{\mathrm{n}}\ \mathrm{C}_{\mathrm{n}+1}
$$
sur $\mathrm{Q} \langle \mathrm{F}_{1}\ldots.,\ \mathrm{F}_{\mathrm{n}})$ , les monOmes $\mathrm{F}_{1}$ ... $\mathrm{Fn} \mathrm{F}_{\mathrm{n}+1}$ sont linéairement
indépendants dès qu $\mathrm{e} \ell <\mathrm{d}$. Le raisonnement précédent appliqué
$$
\mathrm{n}+1
$$
avec $\mathrm{k}_{\mathrm{n}+\mathrm{t}}=$ d-1 donne donc
$$
\langle \mathrm{k}_{1}+\mathrm{t})\ \ldots\ \langle \mathrm{k}_{\mathrm{n}}+\iota)\mathrm{d}\leq\ \frac{\iota}{\mathrm{n}!}[\mathrm{n}+\mathrm{C}\langle \mathrm{a})(\sum_{\mathrm{j}=1}^{\mathrm{n}}\mathrm{k}_{\mathrm{J}}6(\mathrm{F})\mathrm{i}+\{\mathrm{d}-1)6\{\mathrm{Fn}+1))]^{\mathrm{n}}
$$
Prenons $\mathrm{k}_{1}\sim \mathrm{q}_{1}\mathrm{k},\ldots,\ \mathrm{k}_{\mathrm{n}^{\sim}}\mathrm{q}_{\mathrm{n}}\mathrm{k}$ où $\mathrm{q}_{1},\ldots.\mathrm{q}_{\mathrm{n}}$ sont des réels $>0$ {\it e}t
$\mathrm{k}\rightarrow+_{\infty}.\ \mathrm{n}$ vient à la limite
$\mathrm{q}_{1}\mathrm{q}_{2}\ldots \mathrm{q}_{\mathrm{n}}\mathrm{d}\leq \displaystyle \frac{1}{\mathrm{n}!}[\mathrm{C}(\mathrm{a})\sum_{\mathrm{j}=1}^{\mathrm{n}}\mathrm{qi}6\langle \mathrm{F}_{\mathrm{j}})]^{\mathrm{n}}$ .
et le choix $\mathcal{F} =1/6\{\mathrm{F})\mathrm{i}$ donne la majoration explicite attendue du de-
gré :
$$
\mathrm{d}\leq\frac{\langle \mathrm{n}\mathrm{C}\{\mathrm{a}))^{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}!}6\langle \mathrm{F}_{1^{)\ldots 6\langle \mathrm{F}}\mathrm{n}^{)}}\ \blacksquare
$$
Signalons que le théorème 8.5 (b) ne dit rien en c{\it e} qui concer-
ne l'algèbre $\mathrm{A}_{\varphi}\{\mathrm{X})$ elle-même : comme nous le verrons au \S lO, il
se peut fort bien que l'algèbre $\mathrm{A}_{\varphi}\langle \mathrm{X}) \underline{\mathrm{n}\mathrm{e}}$soit pasde type fini.
A titre $\mathrm{d}^{\mathrm{t}}$ application. considérons le cas particulier où X est
un sous-ensemble analytique (fermé) de dimension pure $\mathrm{n}$ dans $\mathrm{c}^{\mathrm{N}}$
muni de la fonction $\mathrm{d}'$ exhausuon $\varphi\langle \mathrm{z})={\rm Log}(1+|\mathrm{z}|^{2})$ La métrique as-
sociée $\alpha =\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi$ s'identifie avec la métrique de Fubini-Study de l'es-
pac $\mathrm{e}$ projecti $f \mathrm{P}^{\mathrm{N}}$ tandis que la métrique 3 $=\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{e}^{\varphi}$ coihcide avec
la métrique hermitienne plate d{\it e} $0^{\mathrm{N}}$ La proposition 3.10 implique
les relations
$$
\mathrm{J}_{\mathrm{x}\cap[|\mathrm{z}|<\mathrm{r}]}\mathrm{e}^{\mathrm{n}2\mathrm{n}\mathrm{n}}=\{1+\mathrm{r})\int_{\mathrm{X}\cap[\varphi<{\rm Log}\{1+\mathrm{r}))^{\alpha}}2
$$
65

J. P. DEMAILLY
$\displaystyle \mathrm{v}\circ\iota_{\alpha}(\mathrm{x}\gamma=\int_{\mathrm{x}^{\alpha^{\mathrm{n}}}}=\mathrm{umr}^{-2\mathrm{n}}\mathrm{r}\sim\$\cdot$ xn $[|\mathrm{z}|<\mathrm{r}\}^{\beta^{\mathrm{n}}}$.
L{\it e} théorème 8.5 redonne alors de façon élémentaire le résultat classi-
que suivant dû à W. Stoll [St 1] .
COROLLAIRE 8.7. Soit X un sous-ens emble analytique fermé
de dlm ension pure $\mathrm{n}$ dans $0^{\mathrm{N}}$ , dont le volume projectif
$\mathrm{Vo}1_{\alpha}\langle \mathrm{X}) \underline{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}$finl. I. $\mathrm{e}.\ \underline{1\mathrm{e}}$volume euclidlen $\mathrm{v}6\mathrm{rme}1'\mathrm{estimation}$
$$
\mathrm{Vo}1_{\beta}(\mathrm{X}\cap\{|\mathrm{z}|<\mathrm{r}])\leq\ \mathrm{C}.\ \mathrm{r}^{2\mathrm{n}}\text{ , }\mathrm{C}\geq 0
$$
Alors X est algébrique.
Démonstration. Chaque composante irréductible de X est de
volum $\mathrm{e}$ au moins égal au volume d'un n-plan (cf. [Lel]). donc ces
composantes sont en nombre fini, et on peut supposer X irréductible.
On obs erve maintenant que les polynômes $\mathrm{P}\in \mathrm{G} [\mathrm{z}_{1}.'\ldots.\mathrm{z}_{\mathrm{N}}1$
induisent sur X des fonctions $\varphi$-polynomial {\it e}s au sens des définitions
8. 1 et 8.2. En effet, l'estimation évidente ${\rm Log}_{+}|\mathrm{P}|\mathrm{s}*$ deg(P)cp$+$Qe
$\mathrm{entra}!\mathrm{he}$
6(P) $=$ iim $\displaystyle \sup^{\frac{1}{\mathrm{r}}}\mu_{\mathrm{r}}\langle{\rm Log}_{+}|\mathrm{P}|)** \mathrm{Vo}1_{\alpha}\langle \mathrm{X})\cdot \mathrm{d}e\mathrm{g}\langle \mathrm{P})$
$$
\mathrm{r}\rightarrow+_{\infty}
$$
Considérons alors le morphisme de $\mathrm{r}$ estriction
$$
\mathrm{G}|\mathrm{z}_{1}\ '\ \mathrm{z}_{\mathrm{N}}1-\mathrm{A}\{\mathrm{X})\varphi
$$
et Pidéal I , noyau de ce morphisme. Puisque $\mathrm{A}_{\varphi}\{\mathrm{X})$ est intègre, I
est un idéal premi {\it e}r: de plus la variété algébrique irréductible des
zéros V(I) contient X par définition. L{\it e} théorème 8.5 (a) montre
que $\mathrm{Q} [\mathrm{z}_{1},\ \ldots,\ \mathrm{z}_{\mathrm{N}}1/\mathrm{IcA}_{\varphi}\langle \mathrm{X})$ a un degré de transcendance au plus égal
à $\mathrm{n}=$ dlm X : par conséquent dlm V(I) $\leq \mathrm{n}$ et X $=\mathrm{V}\{\mathrm{I})$
$$
\blacksquare
$$
Remarque 8.8. Dans la situation du corollaire on a un iso-
morphisme Q I $\mathrm{z}_{1},\ \ldots.\ \mathrm{z}_{\mathrm{N}}1/\mathrm{I} \rightarrow^{\sim}\mathrm{A}_{\varphi}$ ( $\mathrm{X}\gamma$ en particulier $\mathrm{A}_{\varphi}\langle \mathrm{X}$) est de
type fini. Sinon, il existerait une algèbre $\mathrm{B}$ de type fini telle que
66

MESURES DE MONGE-AMPEBE
$\mathrm{C} [ \mathrm{z}_{1}\ldots, \mathrm{z}_{\mathrm{N}}]/\mathrm{I}\mathcal{K} \mathrm{B}\subset \mathrm{A}_{\varphi}(\mathrm{X}\urcorner$ Soit $\mathrm{M}=$ Spm $\mathrm{B}$ la variété algébri-
que affine associée à $\mathrm{B}$ (voir [Di]. tom $\mathrm{e}2$. chap. I, pour l{\it e} forma-
lisme d{\it e} base conc ernant les variétés algébriques) : les inclusions pré-
cédentes induiraient alors respectiv {\it e}m ent un morphisme algébrique
$\mathrm{M}$ -- V(I) et un morphisme analytique V(I) $= \mathrm{X}$ --$\mathrm{M}$ , réciproques l'un
de l'autre. Par suite l{\it e} morphisme V(I) -- $\mathrm{M}$ serait algébrique, et
on aurait $0 [\mathrm{z}_{1},\ \ldots,\ \mathrm{z}_{\mathrm{N}}1/\mathrm{I}=\mathrm{B}$ contrairement à l'hypothèse. $\blacksquare$
Nous allons voir maintenant comment ces résultats se transpo-
sent au cas des sections ''polynomiales'' d'un fб re linéaire. Soit $\mathrm{L}$ un
fibré linéaire hermiti {\it e}n au-dessus de X. $\mathrm{D}$ la connexion h{\it e} rmitienne
canonique de $\mathrm{L}$ , et $\mathrm{c}\langle \mathrm{L})=\mathrm{D}^{2}$ la $\langle$1, 1)-forme de courbure de $\mathrm{L}$
Sl $0$ est une section holomorphe non nulle d{\it e} L. on obtient
pour tout $\mathrm{e} >0$:
\begin{center}
$18\overline{8}{\rm Log}\{\mathrm{c}+|0|^{2_{)}}= \mathrm{I}$8 $[\displaystyle \frac{\mathrm{t}\mathrm{o}|\mathrm{D}\mathrm{o})}{\epsilon+|0|^{2}}]=\frac{\epsilon\langle \mathrm{D}_{\mathrm{O}}|\mathrm{D}\mathrm{o})}{1\epsilon+|0|^{2_{)}2}}-\frac{|_{0}|^{2}}{\epsilon+|0|^{2}}\mathrm{c}\langle \mathrm{L})$
\end{center}
La formule de Jensen 3.4 appliquée à la fonction V $=* {\rm Log}\langle\epsilon+|0|^{2})$
donne alors, compte tenu que V $\geq{\rm Log}\epsilon \mathrm{g}$:
$$
\int_{0}^{\mathrm{r}}\mathrm{dt}f_{\mathrm{B}(\mathrm{t})}\frac{\xi;\langle \mathrm{D}\mathrm{o}|\mathrm{D}\mathrm{o})}{\mathrm{t}\epsilon^{+}|0|^{2_{)}}}2\wedge \mathrm{an}-1
$$
$$
=\int_{0}^{\mathrm{r}}\ \mathrm{dt}\ \lceil\ \frac{|0|^{2}}{2}\mathrm{c}\langle \mathrm{L})\wedge \mathrm{a}^{\mathrm{n}-1}+\mathrm{u}_{\mathrm{r}0}(\mathrm{V})-\vdash\downarrow(\mathrm{V})-\mathrm{J}_{\mathrm{B}\langle \mathrm{r})\backslash \mathrm{B}\langle 0)}\mathrm{v}_{\mathrm{a}^{\mathrm{n}}}\sigma
$$
$$
\mathrm{v}_{\mathrm{B}(\mathrm{t})}\ \mathrm{C}^{+}|0|
$$
$$
\leq\ \mathrm{r}\cap|_{\mathrm{x}^{\mathrm{l}\mathrm{c}\langle \mathrm{L})\wedge\alpha^{\mathrm{n}-\mathrm{t}}}}]_{+}\ +\mu_{\mathrm{r}}\langle \mathrm{V})+\tau\langle \mathrm{r}){\rm Log}\epsilon^{-\not\in}
$$
où 1 $\mathrm{ctL}) \wedge \mathrm{a}^{\mathrm{n}-1}1_{+}$ désigne la partie positive de la mesure $\mathrm{c}\langle \mathrm{L})\wedge\alpha^{\mathrm{n}-1}$
Divisons cette inégalité par $\mathrm{r}$ et faisons tendre $\mathrm{r}$ vers $+_{\infty}$ Comme
V $\mathrm{s} {\rm Log}_{+}|0|+* {\rm Log}(\mathrm{c}.+\mathrm{c})$ il vient
$$
\mathrm{x}^{2}\frac{\vee^{\wedge}\vee \mathrm{t}\mathrm{D}o|\mathrm{D}\mathrm{o})}{(\mathrm{C}^{+}|0|^{2}\rangle}\wedge \mathrm{a}\leq \mathrm{n}-1\ \lim_{\mathrm{r}\rightarrow}\sup_{+\Phi}\frac{1}{\mathrm{r}}\mathrm{u}_{\mathrm{r}}\mathrm{t}{\rm Log}_{+}|0|)+\ \int_{\mathrm{X}}|\mathrm{c}\langle \mathrm{L})^{\Pi-\iota_{\mathfrak{l}_{+}}}\wedge \mathrm{a}
$$
67

J. P. DEMAILLY
Quand $\mathrm{e}$ tend vers $0$, le terme $\underline{\epsilon(\mathrm{D}o|\mathrm{D}\mathrm{o})}$ converge faiblement vers
22
$$
\{\mathrm{e}+|0|)
$$
l{\it e} courant d'intégration $2\mathfrak{n}[ \mathrm{Z}_{\mathrm{O}}]$ associé au diviseur des zéros d{\it e} $0$.
On obtient donc la généralisation suivante d{\it e} l'inégalité 8.3.
PROPOSITION 8.9. Pour toute section holomorphe $ 0\not\in 0$ d{\it e}
$\mathrm{L}$, on a
$2\mathfrak{n} \displaystyle \int_{\mathrm{x}}1\mathrm{z}_{\mathrm{O}}1\wedge \mathrm{a}^{\mathrm{n}-1}\leq 6\langle 0)+6(\mathrm{L})$
où $6(0)$ , 6(0) désignent les '$\mathfrak{l}$degrés'' respectifs d{\it e} $0$ et $\mathrm{L}$:
$6(0)=\displaystyle \lim\sup_{+\mathrm{r}\rightarrow\sim}\frac{1}{\mathrm{r}}\mu_{\mathrm{r}}({\rm Log}_{+}.|0|)6(\mathrm{L})=\int_{\mathrm{x}}1\mathrm{c}(\mathrm{L})\wedge\alpha^{\mathrm{n}-\iota_{1_{+}}}$.
Le théorème d'algébricité 8'énonce maintenant comme suit.
THEOREME 8.10. $\underline{\mathrm{O}\mathrm{n}\mathrm{d}\xi\epsilon \mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{n}\mathrm{e}}$par $\kappa_{\varphi}(\mathrm{X}, \mathrm{L}) \underline{1e}$corps desfonc-
$\underline{\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{m}6\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{h}e\mathrm{s}}$sur X $\underline{\mathrm{d}\mathrm{e}}$la forme$0_{1}/0_{2} \underline{\mathrm{a}\mathrm{v}\infty} 0\mathrm{j}\in \mathrm{O} \{\mathrm{L}^{\mathrm{m}})$,
$\mathrm{m}\in$ IN 6 $(\mathrm{o}_{\mathrm{J}})<+\mathrm{oe}$ , $\mathrm{j}=1$, 2 . $\underline{\mathrm{S}\mathrm{i}}$le fibr6$\mathrm{L} \underline{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}$de$\epsilon$
6(0) fini. alors :
(a) $ 0\leq \deg \mathrm{tr}_{\mathrm{c}}\mathrm{K}_{\mathrm{C}\mathrm{p}}\langle$ X. $\mathrm{L})\leq \mathrm{n}=$ dlm X :
(b) Si $\deg \mathrm{tr}_{\mathrm{O}}\mathrm{K}_{\varphi}\langle \mathrm{X}$. L $) =\mathrm{n}$ . $\underline{1e\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{D}\mathrm{s}} \kappa_{\varphi}\langle \mathrm{X}, \mathrm{L}) \underline{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}$de $\mathrm{tYDe}$
fi ni.
$\underline{\mathrm{D}6\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{o}\mathrm{n}}$. Soient $\displaystyle \mathrm{F}_{1}=\frac{\mathrm{o}_{1}'}{\mathrm{o}_{1}}$ , ... . $\displaystyle \mathrm{F}_{\mathrm{N}}=\frac{\mathrm{o}_{\mathrm{N}}'}{\mathrm{o}_{\mathrm{N}}}$ des éléments de
$\mathrm{K}_{\varphi}\langle$ X. L) av {\it e}c $0_{\int}.\  0\mathrm{j}\prime\epsilon \mathrm{olL}^{\mathrm{m}_{\mathrm{j}}})$ et $\mathrm{P}\in \mathrm{G} [\mathrm{X}_{1}\ldots..\mathrm{X}_{\mathrm{N}}]$ un polynôme
tel que $\mathrm{d}e\mathrm{g}_{\mathrm{X}}\mathrm{P}\leq \mathrm{k}_{\mathrm{J}}$ Posons
$$
\mathrm{j}
$$
$$
\mathrm{o}=\mathrm{P}(\frac{\mathrm{o}_{1}'}{\mathrm{o}_{\mathrm{t}}},\ldots\prime\frac{\mathrm{o}_{\mathrm{N}}'}{\mathrm{o}_{\mathrm{N}}})0_{1}^{\mathrm{k}_{1}}\ ...\  0_{\mathrm{N}}^{\mathrm{k}_{\mathrm{N}}}\epsilon\ \fbox{}(\mathrm{L}^{\mathrm{m}})\ \mathrm{m}=\sum \mathrm{k}_{\mathrm{j}}\mathrm{m}_{\mathrm{j}}
$$
L'inégalité (8.6) se généralise alors sous la forme suivante :
(8.11) $\mathrm{ord}\{0)\leq \mathrm{a} \displaystyle \mathrm{C}(\mathrm{a})\sum_{1\mathrm{s}\mathrm{j}\leq \mathrm{n}}\mathrm{k}_{\mathrm{j}\mathrm{j}\mathrm{j}}[\max\{6\{0),6\{0'))+\mathrm{m}_{\mathrm{J}}6(\mathrm{L})]$
et le reste de là démonstration est identique à celle de 8.5. $\blacksquare$
68

MESU RES DE MONGE-AMPEBE
$$
B.
$$
{\it Caracté rîsa tion géomé trique}
{\it des varié tés algébriques affines}
69

J. P. DEMAILLY
9. - Enoncé du critère dialgébricité.
L'objet d{\it e} $\epsilon$ paragraphes qui suivent est de montrer que l{\it e} $\mathrm{s}$ va-
riétés algébriques affine $\mathrm{s}$ sont caractérisées parmi les espace $\epsilon$ de Ste in
par des conditions géométrique 8 simples, à savoir la finitude du volume
de Monge-Ampère et une minoration $\infty \mathrm{nv}e\mathrm{nable}$ d{\it e} la courbure d{\it e} Ricci.
Rappelons $\mathrm{qu}' \mathrm{une}$ variété algébrique affine est par définition une sous-
variété algébrique fermée d'un espace $\mathbb{C}^{\mathrm{N}}$ Dans le cas d'un espace
X à singularités isolée 8. nous obtenons la caractérisâtion nécessaire
et suffisante ci-dessous.
THEOREME 9.1. - Soit X un $\mathrm{e}$ space analytique $\infty \mathrm{moleoe}$ de
dimension $\mathrm{n}$ . ayant au plus un nombre fini de points singu-
lie rs. Alors X est analytiquement isomorphe à une variété al-
\begin{center}
\includegraphics[width=97.49mm,height=11.05mm]{./MSMF_1985_2_19__1_0_001-100_images/image002.eps}
\end{center}
propriétés (a), (b). (c) ci-dessous.
$$
\{\mathrm{a})\ \mathrm{Vol}(\mathrm{X})=\ \int_{\mathrm{X}}\{\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi)^{\mathrm{n}}<+\varpi\ :
$$
$$
\mathrm{c}\ \varphi
$$
$\{\mathrm{b})$ la $\infty \mathrm{urbure}$ de Ricci de la métrique $\mathrm{B} =$ dd $\langle \mathrm{e})$ admet
$$
\frac{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{e}\min \mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}1\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}1\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{e}}{R1\mathrm{c}\mathrm{c}1(\beta)\geq-\frac{1}{2}\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{C}}\psi}
$$
$\underline{\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}} \phi\in \mathrm{L}_{1\mathrm{o}\mathrm{c}}^{1}\langle \mathrm{X},\ \mathrm{IR})\cap \mathrm{c}^{\mathrm{o}_{(\mathrm{X}}}$ , R$)$ V $\leq$ Acp $+\mathrm{B}$ .
reg
où $\mathrm{A},\ \mathrm{B}$ sont des constantes $\geq 0$ :
(c) $\varphi$ n'a ou`un nombre fini de points critiques sur X
reg
Sl ces conditions sont vérifiées l'anneau $\mathrm{R}\{\mathrm{X})\varphi=\mathrm{K}\{\mathrm{X})\varphi\cap$\fbox{} (X7
(cf. définition 8.2] est une C-algèbre de type fini et de degré
$$
\underline{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{c}e}\ \mathrm{n}\ \underline{\mathrm{I}_{4}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{m}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{g}6\mathrm{b}\mathrm{r}\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{e}}\ \mathrm{x}_{\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{g}}\ \underline{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}
$$
70

MESURES DE MONGE-AMPEBE
définie comme 1'unique structure algébrique sur X dont l'anneau
$$
\underline{\mathrm{d}\mathrm{e}\epsilon \mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{r}6\mathrm{g}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{i}\epsilon \mathrm{r}e\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}\  R(\mathrm{X}]\varphi\ .
$$
L'extension d{\it e} cette caractérisation au cas des espaces analyti-
ques ayant des singularités $\mathrm{quel}\infty \mathrm{nques}$ présente d{\it e} $\mathrm{s}$ difficultés qui
seront examinées au \S 14.
Le rôle des diffécette $\mathrm{s}$ hypothèses du théorème 9.1 se partage
grosso modo $\infty \mathrm{mme}$ suit. L'existence d'une fonction d'exhaustion $\varphi$
strictement psh garantit que X est une variété de Stein, d'après la
solution du problème de Levi donnée par H. Grauert [Gr].
Sous l'hyI$\mu$othèse (a), le théorème 8.5 implique d'autre part que
le corps d{\it e} $\mathrm{s}$ fonctions $\varphi$-rationnelles est de d{\it e} gré d{\it e} transcendance
fini. L'hypothèse (b), quant à elle, assure l'existence d'un nombre suf-
fisant d{\it e} fonctions $\varphi$-polynomiale $\mathrm{s}$, grâce aux $\mathrm{e}$ stimations $\mathrm{L}^{2}$ de
$\Re \mathrm{rmander}$-Nakam -Bombleri-Skoda pour l'opérateur $\overline{8}$ Signalons ici
qu on ne peut remplacer la $\infty \mathrm{ndition}(\mathrm{b})$ par une condition $\mathrm{I}^{\mathrm{x}}$)rtant sur
la $\infty \mathrm{urbure}$ de la métrique $\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi$ (cf. remarque 10.2). On obtient par
$\infty$ ntre une condition équivalente en remplaçant 6 par une métrique $\mathrm{Y}$
$\mathrm{quel}\infty \mathrm{nque}$ telle que
$$
\mathrm{e}\Psi 1-\mathrm{A}_{1}\varphi-\mathrm{B}_{1})8\leq\ \mathrm{Y}\leq\ \mathrm{ep}\{\mathrm{A}_{2}\varphi+\mathrm{B}_{2})8
$$
par exemple la métrique $\mathrm{Y}=\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{I}o\mathrm{g}(1+\mathrm{e}^{\varphi})$ ou $\mathrm{Y}=$ dd $(\varphi)$
\begin{center}
$\mathrm{c}$ 2
\end{center}
Enfin l'hypothèse (c) entraîne d'après la théorie de Morse que
X a même type d'homotopie qu'un $\infty$ mplexe cellulaire fini, et donc
que la $\infty$ hnmologie de X est de type fini. Nous ne savons pas en fait
si l'hypothèse $\mathrm{tc}$) est réellement indispensable, dès lors qu'on suppose
X irréductible. Sans l'hypothèse (c), on peut déjà montrer que X est
réunion d'une suite croissante de variétés $\mathrm{X}_{\}}$ algébriques quasi-affines
$\mathrm{t} =$ ouve rts de Zariski de variétés affines), cf. proposition 13. 1. De ce
résultat dé$\infty$ule l'amélioration suivante du théorème 9.1.
71

J. P. DEMAILLY
THEOREME 9.1'. --$\mathrm{I}ae$ théorème 9.1 reste vrai sl les hypnthè-
ses $\{\mathrm{a}.\mathrm{b}.\mathrm{cI}$ sont affaiblies comme suit:
\{ $\mathrm{a}')=\{\mathrm{a})$ ; Vol(X) $=\displaystyle \int_{\mathrm{X}}(\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi)^{\mathrm{n}}<+\epsilon$ :
$(\mathrm{b}')$ Ricc $\displaystyle \mathrm{i}(\beta)\geq-\frac{1}{2}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\phi$ . $\underline{00} \gamma \in \mathrm{I}^{1}]_{\mathrm{o}\mathrm{C}}(\mathrm{X},\mathrm{R})\cap \mathrm{c}^{\mathrm{o}}$ ( $\mathrm{x}_{\mathrm{r}e\mathrm{g}}$, IR) $\underline{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}e\mathrm{t}}$
une estimation de la forme
$$
\square _{\mathrm{x}^{\mathrm{e}\Psi\{\mathrm{c}\phi-\ovalbox{\tt\small REJECT})\beta^{\mathrm{n}}}}<+_{\infty},\ \mathrm{c}>0\text{ . }\mathrm{A}>0\ :
$$
$(\mathrm{c}')$ l{\it e} $\mathrm{s}$ espace $\mathrm{s}$ de cobomologie de degré nalr $\mathrm{H}^{2\mathrm{q}}$( $\mathrm{X}$ ; IR)
r{\it e} $\mathrm{g}$
sont d{\it e} dimension finie.
Les hypothèses $(\mathrm{a}')_{*}(\mathrm{b}')$ entraînent $ e\mathrm{n}\infty$ re que X $= \cup\nwarrow$
avec $\nwarrow$ qua $\mathrm{s}$ i-affine, $\mathcal{K} \subset\nwarrow+1$'
et l'hypothèse $\{\mathrm{c}')\mathrm{i}\infty \mathrm{Pk}\xi_{\mathrm{i}\mathrm{q}\mathrm{u}e}^{\mathrm{m}}$ que
la suite $h$ est nécessairement stationnaire: par $\infty$nséquent, X $\mathrm{e}$ st
algébrique. Observons que l'hypothèse $\{\mathrm{c}')$ est toujours vérifiée sl $\mathrm{n}=1$ :
lorsque $\mathrm{n}=2$ ou $\mathrm{n}=3$ , elle équivaut à supposer seulement
dlm $\mathrm{H}^{2}(\mathrm{X}:\mathrm{R}) <+_{\Phi}$ , car les groupes $\mathrm{H}^{\mathrm{q}}\{\mathrm{x}\cdot \mathrm{m})$ sont toujours nuls
pour $\mathrm{q}>\mathrm{n}$ lorsque X est de Stein.
I4 vraisemblance des théorèmes 9.1. 9.1' nous a été suggérée
en partie par les travaux de W. Stoll et D. Burns sur les variétés pa-
raboliques. Rappelons ici le résultat fondamental de W. Stoll (l980). qui
caractérise les variétés strictement paraboliques de rayon quelconque.
THEOREME 9. 2 (cf. [St 2] et $[\mathrm{R} |\rangle$. - ae it $\mathrm{M}$ une va $\mathrm{r}$ iété
analytique complexe connexe de dimension $\mathrm{n}$ On suppose qu il
existe un réel $R\in 10, +\infty \mathfrak{l}$ et une fonction $\tau$ ; $\mathrm{M}-[0, \mathrm{R}^{2}[$
$\displaystyle \underline{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}}\mathrm{p}\S \mathrm{hC}^{\Phi}\mathrm{ae}1\mathrm{tpshetv}6\mathrm{rlf}\underline{\mathrm{e}\mathrm{u}\mathrm{r}}\frac{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{t}1\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{c}1\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{e}}{\mathrm{i}\mathrm{e}(\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}б \mathrm{g}\tau)^{\mathrm{n}}\equiv 0} \mathrm{M} \backslash \tau$ (0) Alors
$\displaystyle \frac{\mathrm{t}\mathrm{e}11\mathrm{e}\mathrm{c}\iota \mathrm{u}\mathrm{e}}{-1}$ L{\it D} $\mathrm{g}\tau$
{\it i}l existe une application bihoiomorphe $\mathrm{F}:\mathrm{B}(\mathrm{R})-\mathrm{M}$ de la
boule de rayon $\mathrm{R}$ dans $\mathrm{M}$ telle que $\Gamma\tau= |\mathrm{z}|^{2}$
S{\it i} on lève l'hypothèse de stricte plurisousharmonicité de $\tau$
72

MESLBES DE MONGE-AMPEBE
on voit facilement que toute variété algébrique affine $\mathrm{M}$ vérifie $\mathrm{en}\infty$ re
la $\infty \mathrm{ndition}$ du théorème 9.2 $($avec $\mathrm{R}=+\mathrm{r})$ ; il suffit d{\it e} choisir
$\tau =\mathfrak{n}^{\sim}$ Iog $|\mathrm{z}|^{2}$ où tt : $\mathrm{M} -\mathbb{C}^{\mathrm{n}}$ est un morphisme propre fini. Cette
remarque a $\infty \mathrm{ndult}$ D. Burns à pose $\mathrm{r}$ l{\it e} problème de la caractérisâtion
d{\it e} telles variétés en termes de fonctions d'exhaustion ayant des proprié-
tés particulières. Signalons en particulier les problèmes ouve rts suivants.
$\underline{\mathrm{P}_{\mathrm{I}}}$Oblème9.3. - On considère une variété de $\mathrm{St}e$ in $\mathrm{M}$ de
dimension $\mathrm{n}$ . ayant une fonction $\mathrm{d}'\mathrm{e}$ xhaustion psh
$\tau$ ; $\mathrm{M}\rightarrow[0, +\infty 1$ de classe $\mathrm{C}^{\infty}$ telle que $\log\tau$ soit psh et
v{\it é} rifie $($ddc L{\it D} $\mathrm{g}\tau)^{\mathrm{n}}\Xi 0$ sur $\mathrm{M}\backslash \tau^{-1}\{0).\ \mathrm{M} \mathrm{e}$ st-elle algébrique
affine ?
Problème 9.4. - Caractériser les variétés $\mathrm{M}$ admettant une
fonction d'exhaustion $\tau$ : $\mathrm{M}\rightarrow 10, +\infty 1$ strictement psh telle
que б g $\tau$ soit psh et vérifie $\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}{\rm Log} T)^{\mathrm{O}}\equiv 0$ {\it e}n d{\it e} hors d'un
compact.
D. Burns a montré qu il existe des variétés algébriques affines
n{\it e} vérifiant pas la $\infty \mathrm{ndltion} 9.4$ : tel est le cas de $\mathrm{M}=\langle \mathbb{C}^{*})^{\mathrm{n}} \mathrm{n}\geq 2$.
Néanmoins, la $\infty \mathrm{ndn}\ddagger \mathrm{on} 9.4$ est vérifiée par une variété affine 'tgénéri-
quë , à savoir une variété dont la $\infty$ mpl $6\mathrm{tlon}$ projective est lisse et
transverse à l'hyperplan à 1' fini.
Peu après avoir démontré le théorème 9.1, nous avons appris
d'autre part que N. Mok avait obtenu antérieurement une $\infty \mathrm{ndltion}$ géo-
métrique suffisante (non nécessaire en général) $\mathrm{Ix})$ ur qu'une variété soit
algébrique affine.
THEOREME 9.5 $($[Mok 1,2,3) $)$. -- Soit X une variété kBhlé-
rienne complète de dimension $\mathrm{n}$ de $\infty \mathrm{urbure}$ bisecttoutelle
positive, telle que
$$
2\mathrm{n}
$$
(a) volume $(\mathrm{B}\langle \mathrm{x}_{0}, \mathrm{r}))\geq$ cr
(b) $0<$ courbure scalaire $\mathrm{s} \mathrm{C}/\mathrm{d}^{2}(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{x})$
73

J. P. DEMAILLY
où $\mathrm{B}(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{r})$ et $\mathrm{d}(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{x}) \underline{\mathrm{d}6\mathrm{s}\mathrm{l}\varpi \mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}}$resnaetlvement les boules
et la distance géodésiques. et $\mathrm{c},\ \mathrm{C}>0$. Alors X est biho-
lomorphiguement isomorphe à une variété algébrique affine.
N. Mok a déduit de ce théorème que toute surface X de cour-
bure riemannienne positive vérmant les hypothèses 9.5 (a), (b) est en
fait isomorphe à $0^{2}$ Le résultat analogue en dimension $\mathrm{n}>2$ de-
$\mathrm{m}$ eure une conjecture. Le théorème 9.5 repos $e\mathrm{ess}$ entiellement sur un
travail [MSY) de Mo4 Siu et Yau portant sur la résolution de l'équa-
tion de Poincaré-Lelong sur les variétés kfhlériennes à $\mathrm{c}$ ourbure bi-
sectionnelle $>0$. Ce résultat mis à part, la démonstration de N. Mok
suit dans ses grandes lignes une démarche sensiblement parallèle à la
notre.
L'hypothèse que la courbure bisectionnelle soit positive appa-
raît cependant assez restrictive, et ne permet pas de couvrir en géné-
ral l{\it e} cas des variétés algébriques affines (la courbure eucUAenne
d'un $\mathrm{e}$ telle variété est toujours négative, cf. \S 10). Citons cependant
quelqu {\it e}s résultats connus dans le cas des courbures non nécessairement
positives. Siu et Yau [SY] ont démontré qu une variété kfhlérienne
complète X simplement conne xe dont la courbure sectionnelle vérifie
- $\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{d}(\mathrm{x}_{0}.\mathrm{x})^{2+\mathrm{C}}}<$ courbure sect. $<0$
est biholomorphe à $\oplus^{\mathrm{n}} \mathrm{n}$ en est de même si la courbure vérifie
$|\mathrm{courbur}e$ sect. $|\leq \displaystyle \frac{\mathrm{C}_{\mathrm{C}}}{\mathrm{d}\langle \mathrm{x}_{0},\mathrm{x})^{2+\mathrm{C}}}$
avec une constante $\mathrm{C}_{\mathrm{C}}$ assez petite (cf. [MSYl).
74

MESURES DE MONGE-AMPEBE
10. -- Nécessité des conditions sur le volume
et la courbure.
Nous allons démontrer ici que les conditions (a), (b), (c) du
théorème 9.1 sont v{\it é} rifiées pour toute sous-variété algébrique irréduc-
tible $\mathrm{X}\subset \mathbb{C}^{\mathrm{N}}$ de dimension $\mathrm{n}$
On choisit dans ce cas cp(z) $=$ Lo $\mathrm{g}\langle 1+|\mathrm{z}|^{2})$ , de sorte que la
métrique $\alpha=\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi$ coïncide avec la métrique de Ribini-Study de l'es-
pace projectif $\mathrm{P}^{\mathrm{N}}$ Comme l${}^{\text{t}}$adhérence $\overline{\mathrm{X}}$ d{\it e} X dans $\mathrm{p}^{\mathrm{N}}$ est une
sous-variété algébrique compacte, on obtient
$$
\int_{\mathrm{x}}\{\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi)^{\mathrm{n}}=\int_{\overline{\mathrm{x}}^{\alpha}}^{\mathrm{n}}<+\Phi,
$$
par $\infty$nséquent la condition $\{\mathrm{a})\mathrm{e}$ st vérifiée.
D'après le théorème de Bertini-Sard. l'ensemble des valeurs
critiques de $\varphi$ sur X est fini, par suite l'ensemble critique de
reg
c{\it p} est $\infty$ mpact. qiitte à perturber légèreme$\iota$r $\mathrm{cp}$ dans $\mathrm{C}^{\Phi}(\mathrm{X}, \mathbb{R})$ au
voisinage de ce $\infty \mathrm{mpact}$ ([Mil], cor. 6.8). on $\infty \mathrm{n}\alpha \mathrm{mit}$ une fonction cp'
dont les points critiques sont non dégénérés. {\it Lae} $\mathrm{s}$ points critiques de cp'
sont alors en nombre fini ï hypothèse $\{\mathrm{c})]$.
Il nous reste maintenant à montrer que X satisfait la condi-
tion de courbure 9.1 (b) relativement à la métrique
$$
\beta\ =\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\langle \mathrm{e}^{\varphi})=\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}|\mathrm{z}|^{2}=2\mathrm{i}\sum_{\mathrm{j}=1}^{\mathrm{N}}\mathrm{dz}_{\mathrm{j}}\wedge \mathrm{d}\overline{\mathrm{z}}_{\mathrm{j}}
$$
ce que nous allons vérifier par un calcul explicite de Ricci $(\beta|_{\mathrm{X}})$ et de V
75

J. P. DEMAILLY
Soit $\mathrm{p}_{1},\ldots,\mathrm{p}_{\Phi}$) un système de polynômes générateurs pour
l'idéal $\mathrm{I}(\mathrm{X}\urcorner$ d{\it e} la sous-variété X dans $\mathrm{C}[\mathrm{z}_{1},\ldots,\mathrm{z}_{\mathrm{N}}1$ , et soit
$\epsilon-\infty \mathrm{dlmX} \Leftrightarrow$ N-n. Pour tout $\infty \mathrm{uple}$ de multi-indices
$$
\mathrm{K}=\ [\mathrm{k}_{1}<\ldots<\mathrm{k}_{8}]\subset\{1,\ldots.\mathrm{m}],\ \mathrm{L}=[l_{1}<\cdot\cdot<l_{8}]\subset\{1\ldots..\mathrm{N}\}
$$
de longueur $\mathrm{s}$ , on $\infty$nsidère le $\mathrm{Ja}\infty \mathrm{blen}$ partiel
$\mathrm{J}_{\mathrm{K},\mathrm{L}}\{\mathrm{z})=$ det $(\mathrm{ae}_{\mathrm{k}_{1^{/\mathfrak{X}}\mathfrak{h})_{1\leq \mathrm{i},\mathrm{j}\leq\epsilon}}}$ ,
et on $\mathrm{I}\mathfrak{v}\epsilon \mathrm{e}$
$$
\phi(\mathrm{z})=\mathrm{I}o\mathrm{g}(_{|\mathrm{K}|}\sum_{=|\mathrm{L}|=\epsilon}|\mathrm{J}_{\mathrm{K},\mathrm{L}}|^{2})\text{ . }.
$$
Les fonctions $\mathrm{J}$ sont polynomiales, en particulier $\mathrm{u}$ existe des
K. $\mathrm{L}$
$\infty \mathrm{n}\#\mathrm{ante}\epsilon$ A. $\mathrm{B}\geq 0$ telles que $\uparrow \mathrm{s}$ Ap $+$ B. L4 proposition suivante
montre que $\varphi.|$ satisfont de plus l'inégalité de $\infty \mathrm{urhre} 9.1(\mathrm{b})$.
PROPOSITION 10.1. $-\underline{\mathrm{O}\mathrm{n}}$note $\mathrm{U}_{\mathrm{K}}=\mathrm{U}_{\mathrm{k}_{1}\ldots \mathrm{k}_{\epsilon}}$ l'ouvert de X
$$
\underline{\theta \mathrm{l}\mathrm{r}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\epsilon \mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}6\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{u}\mathrm{e}\epsilon}\mathrm{dP}_{\mathrm{k}_{1}},\ldots,\mathrm{dP}_{\mathrm{k}_{\epsilon}}\ \underline{\infty\alpha 1\ln 6\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{e}\mathrm{m}e\alpha}
$$
indépendante $\epsilon$. Alors :
(a) Riccl $(\beta |\displaystyle \oint= -\displaystyle \frac{1}{2}M^{\mathrm{c}}\mathrm{I}o\mathrm{g}(\sum|\mathrm{J}_{\mathrm{K}.\mathrm{L}}|^{2}) \underline{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{r}} \mathrm{U}_{\mathrm{K}}$.
(b) Ricci $(\beta|_{\mathrm{X}})\mathrm{z} -\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}$ Iog $(_{|\mathrm{K}|}\displaystyle \sum_{=|\mathrm{L}|=\mathrm{s}}|\mathrm{J}_{\mathrm{K},\mathrm{L}}|^{2}) \underline{\epsilon \mathrm{u}\mathrm{r}} \mathrm{x}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}}$.
$\displaystyle \frac{\propto \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{n}l\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}}{\mathrm{N}}$de(a). Soit $\mathrm{x}\in \mathrm{U}_{\mathrm{K}}.\ \Re \mathrm{ppo}\infty \mathrm{ns}$ les $\infty \mathrm{oI}\Phi \mathrm{n}-$
nées d{\it e} $\mathbb{C}$ rangées de sorte que $(\mathrm{z}_{1},\ldots,\mathrm{z}_{\mathrm{n}})$ soit un système de $\infty \mathrm{or}-$
données locales de X au point $\mathrm{x}$. Ia $\infty \mathrm{ur}\mathfrak{U}$ re de Ricci de X est par
définition l'opposée d{\it e} la $\infty \mathrm{urhre}$ du fibre canonique $\Lambda^{\mathrm{n}}\mathrm{T}^{\mathrm{r}}\mathrm{X}$. On a
donc au voisinage de $\mathrm{x}$ la relation
$$
\mathrm{Riccit}8\ |_{\mathrm{X}})=\ \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{I}o\mathrm{gg}.
$$
où $\mathrm{g}$ est la norme relativement à 8 de la $\langle \mathrm{n}.\ 0)$-forme klomorphe
$\&_{1}\wedge\ldots\wedge \mathrm{dz}_{\mathrm{n}}$ : $\mathrm{g}$ est donnée par
$$
i\mathrm{dz}_{1}\wedgeб_{1}^{-}\wedge\ldots\wedge 1\mathrm{dz}_{\mathrm{n}}\wedge \mathrm{d}\overline{\mathrm{z}}_{\mathrm{n}|_{\mathrm{X}}}=\mathrm{g}\ \overline{\mathrm{n}!}\beta\ |_{\mathrm{x}}
$$
\begin{center}
21 $\mathrm{n}$
\end{center}
?6

MESURES DE MONGE-AMPERE
Soient $\mathrm{L}_{0}-[\mathrm{n}+1,\ldots, \mathrm{N}\}$ . $\mathrm{L}$ un multi-indice $\mathrm{quel}\infty \mathrm{nque}$ de
longueur $\mathrm{s}=$ N-n . et $\mathrm{L}^{\mathrm{c}}$ son complémentaire dans \{1 $\ldots$., N3 . Si
{\it o}n pose
$$
\mathrm{dP}_{\mathrm{K}}=\ \mathrm{dP}_{\mathrm{k}_{1}}\wedge\ldots\wedge \mathrm{dP}_{\mathrm{k}_{6}}\ .
$$
ll vient par définition de $\mathrm{J}_{\mathrm{K}.\mathrm{L}}$ :
$$
\mathrm{dP}_{\mathrm{K}}\wedge \mathrm{dz}_{\mathrm{L}^{\mathrm{C}}}=\pm \mathrm{J}_{\mathrm{K},\mathrm{L}}\mathrm{dz}_{1}\wedge\ldots\wedge \mathrm{dz}_{\mathrm{N}},
$$
$\mathrm{i}^{\epsilon^{2}+\mathrm{n}^{2}}\mathrm{dP}_{\mathrm{K}}\wedge \mathrm{d}\overline{\mathrm{P}}_{\mathrm{K}}\wedge$ dz $\mathrm{L}^{\mathrm{C}}\wedge \mathrm{d}\overline{\mathrm{z}}_{\mathrm{I}P}= |\mathrm{J}_{\mathrm{K}.\mathrm{L}}|^{2}$ idz $1\wedge \mathrm{d}\overline{\mathrm{z}}_{1}\wedge\ldots\wedge \mathrm{idz}_{\mathrm{N}}\wedge \mathrm{d}\overline{\mathrm{z}}_{\mathrm{N}}$.
$$
\mathrm{t}^{\mathrm{s}^{2}}\mathrm{dP}_{\mathrm{K}}\wedge \mathrm{d}\overline{\mathrm{P}}_{\mathrm{K}}\wedge\frac{1}{\mathrm{n}1}\beta^{\mathrm{n}}=2^{\mathrm{n}}\ \sum\ |\mathrm{J}_{\mathrm{K}.\mathrm{L}}|^{2}i\mathrm{dz}_{1}\wedge \mathrm{d}\overline{\mathrm{z}}_{1}\wedge\ldots\wedge i\mathrm{dz}_{\mathrm{N}}\wedge \mathrm{d}\overline{\mathrm{z}}_{\mathrm{N}}
$$
$$
|\mathrm{L}|=\epsilon
$$
$$
=2^{\mathrm{n}}|\mathrm{J}_{\mathrm{K},\mathrm{L}_{0}}|^{-2}\ \sum\ |\mathrm{J}_{\mathrm{K}.\mathrm{L}}|^{2}\mathrm{dP}_{\mathrm{K}}\wedge \mathrm{d}\overline{\mathrm{P}}_{\mathrm{K}}\wedge
$$
$$
|\mathrm{L}|=\mathrm{s}
$$
$$
\wedge i\mathrm{dz}_{1}\wedge \mathrm{d}\overline{\mathrm{z}}_{1}\wedge\ldots\ \mathrm{a}\ \mathrm{idz}_{\mathrm{n}}\wedge \mathrm{d}\overline{\mathrm{z}}_{\mathrm{n}}.
$$
En ''simplifiant'' par $\Phi_{\mathrm{K}}\wedge \mathrm{d}\overline{\mathrm{P}}_{\mathrm{K}}$ , on trouve donc
$$
\mathrm{g}^{2}=2^{-\mathrm{n}}|\mathrm{J}_{\mathrm{K}.\mathrm{L}_{0}}|^{2}(_{1}\sum_{\mathrm{L}|\approx\epsilon}|\mathrm{J}_{\mathrm{K}.\mathrm{L}}|^{2})^{-1}'
$$
{\it e}t $\infty$ mme $\mathrm{J}$ est une fnction bolomorphe inversible en $\mathrm{x}$, la
$$
\mathrm{K},\ \mathrm{L}_{0}
$$
formule (a) s'ensuit.
Démonstration de (b). $ 1\epsilon$ résultat (a) montre que la fonction
б g $[\not\in|\mathrm{J}_{\mathrm{K},\mathrm{L}}|^{2}/\not\in|\mathrm{J}_{\mathrm{K}_{0},\mathrm{L}}|^{2}]$ est pluriharmonique sur l'ouvert
$\mathrm{U}_{\mathrm{K}}\cap \mathrm{U}_{\mathrm{K}_{0}}$ Elle est de plus localement majorée. donc psh sur $\mathrm{U}_{\mathrm{K}_{0}}$.
$\mathrm{n}$ en résulte que la fonction $Iog [\displaystyle \sum_{\mathrm{K},\mathrm{L}}|\mathrm{J}_{\mathrm{K},\mathrm{L}}|^{2}/\sum_{\mathrm{L}}|\mathrm{J}_{\mathrm{K}_{0}.\mathrm{L}}|^{2}] \mathrm{e}$ st psh
sur $\mathrm{U}$ et sur cet ouvert on a donc:
$$
\mathrm{K}_{0}\ .
$$
$\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\geq \displaystyle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{I}o\mathrm{g}\sum_{\mathrm{L}}|\mathrm{J}_{\mathrm{K}_{0}.\mathrm{L}}|^{2}=-2$ Ricci $\langle\beta|_{\mathrm{x}}) \blacksquare$
Remarque lO.2. -- Lorsque X est une sous-variété analytique
fermée d{\it e} $\mathbb{C}^{\mathrm{N}}$ et $\varphi\langle \mathrm{z})=$ L{\it D} $\mathrm{g}(1+|\mathrm{z}|^{2})$ , la $\infty \mathrm{ndltion} 9.1(\mathrm{a})$ de finitude
du volume est à elle seule une $\infty \mathrm{ndltlon}$ suffisante d'algébricité de X
(théorème de W. $\mathrm{a}_{0}\mathrm{u}$. cf. $\infty \mathrm{r}$. 8.6). Nous allons voir néanmoins par
un exemple qu on ne peut en général se dispenser de la condition de
77

J. P. DEMAILLY
$\infty \mathrm{urh}_{1}\mathrm{re} 9.1(\mathrm{b})$. même 819.1' $(\mathrm{c}')$ est satisfaite.
Choisissons X $=\mathbb{C}\backslash \mathrm{E}$ où $\mathrm{E}= [\mathrm{z}_{\mathrm{j}}$ ; $\mathrm{j}\epsilon \mathrm{N}\}$ est un ensemble
fermé dénombrable. et posons
$\varphi(\mathrm{z})=$ I{\it D} $\displaystyle \mathrm{g}\{1+|\mathrm{z}|^{2})-\sum_{\mathrm{j}=0}^{\Phi}\epsilon_{\mathrm{j}}$ Iog $\displaystyle \frac{|\mathrm{z}-\mathrm{z}_{\mathrm{j}}|}{1+|\mathrm{z}_{\mathrm{J}}}| -$
où $\displaystyle \sum^{\Phi}\epsilon =1$ est une série à termes $>0$ {\it e}t à convergence asse $\mathrm{z}$
$\mathrm{j}=0\mathrm{j}$
rapide pour que $\varphi\in \mathrm{C}^{\Phi}\langle \mathbb{C}\backslash \mathrm{E})$ Comme
I{\it D} $g \displaystyle \frac{|\mathrm{z}-\mathrm{z}_{\mathrm{j}}|}{1+|\mathrm{z}_{\mathrm{j}}}|\leq$ L{\it D} $\mathrm{g}(1+|\mathrm{z}|)$ ,
il vie $\alpha$
$$
\varphi\langle \mathrm{z})\geq \mathrm{I}_{D}\mathrm{g}\frac{1+|\mathrm{z}|^{2}}{1+|\mathrm{z}|}\ ;
$$
de plus $\displaystyle \lim$ cp(z) $=+\mathrm{oe}$ pour tout $\mathrm{z}_{\mathrm{j}}\in \mathrm{E}$ . La fonction $\varphi \mathrm{e}$ st donc
$$
\mathrm{z}\rightarrow \mathrm{z}_{\mathrm{j}}
$$
exhaustive sur X. Par $\mathrm{ameur}\epsilon,\ \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi= \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{bg}(1+|\mathrm{z}|^{2})$ . donc
$\displaystyle \int_{\mathrm{X}}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi=4\mathfrak{n} <+\Phi$. Cependant X n'est pas algébrique.
Cet exemple montre incidemment qu on ne peut pas non plus
remplacer la $\infty \mathrm{ndition}9.1(\mathrm{b})$ par une condition portant sur la $\infty \mathrm{urhre}$
de la métrique $\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi$.
Il est facile de voir d'autre part que les algèbre 8 $\mathrm{A}_{\varphi}(\mathrm{X}\gamma$ et
$R(\mathrm{X}\gamma\varphi=\kappa_{\infty}(\mathrm{x}]\cap O (\mathrm{X}) \infty$ïncident avec l'algèbre $\mathrm{Q}$ des fractions ra-
tionnelles de $\mathbb{C}(\mathrm{z})$ dont les pôles appartiennent à E En effet, tout
élément $\mathrm{f}\in 0$ admet visiblement une majoration Iog $|f|\leq \mathrm{C}_{1}\varphi+\mathrm{C}_{2}$
donc $\mathrm{Q} \subset \mathrm{A}\{\mathrm{X})\varphi\subset \mathrm{R}(\mathrm{X})\varphi$ : inve rsement, tout élément de $\mathrm{K}(\mathrm{X})\varphi$ est
algébrique sur $\mathbb{C}\{\mathrm{z})$ par le théorème 8.5, donc $\mathrm{R}_{\varphi}\langle \mathrm{X})\subset \mathbb{C}\langle \mathrm{z})\cap \mathrm{O}\langle \mathrm{X})=$ Q.
$\mathrm{u}$ est clair que l'algèbre $\mathrm{Q}$ n'est pas de type fini.
78

MESURES DE MONGE-AMPERE
11. -- Existence d'un plongement sur un ouvert
d'une variété algébrique.
Les paragraphes 11-14 qui suivent sont $\infty$nsacrés à la démons-
tration de la suffisance du critère d'algébricité 9.1'. Nous supposerons
ici que X $\mathrm{e}$ st une variété lisse et connexe, et que les fonctions do.$\mathrm{n}-$
nées $\langle\varphi,\ \phi)$ vérifient les $\infty \mathrm{nd}i\mathrm{tions}9.1'\langle \mathrm{a}',\ \mathrm{b}')$. On fait d'autre part
l'hypothèse supplémentaire non restrictive cp $\geq 0$. Nous posons $\infty \mathrm{mm}e$
préc édemment $\alpha =\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi$ , $\mathrm{c} \varphi$
$\beta =$ dd $\langle \mathrm{e})$ ; les m{\it e} sures $\mathrm{t}1_{\mathrm{r}}$ sont défi-
nie $\mathrm{s}$ comme au \S 3.
DEFINITION 11. 1. - Soit $\mathrm{p}\in 10, +\circ 1$ . On note
(a) $\mathrm{L}^{\mathrm{p}}\langle \mathrm{X})\varphi$ l'espace vectoriel des applications m{\it e} surables
$\mathrm{f}$ : $\mathrm{X}\rightarrow \mathbb{C}$ telles qu' il existe une $\infty \mathrm{nstante} \mathrm{C}\geq 0$ telle
que :
$$
\int_{\mathrm{x}}|\mathrm{f}|^{\mathrm{p}}\mathrm{e}^{-\mathrm{C}\varphi_{8}\mathrm{n}}<+_{\infty}.\ \underline{\mathrm{s}\mathrm{i}}\ 0<\mathrm{p}<+_{\infty},
$$
$|\mathrm{f}|\leq \mathrm{e}^{\mathrm{C}\varphi}$ si $\mathrm{p}=+\infty$ :
$$
\langle \mathrm{b})\ \iota_{\infty}^{\mathrm{o}}(\mathrm{x})=\bigcup_{\mathrm{p}>0}\iota_{\mathrm{W}}^{\mathrm{p}_{\langle \mathrm{X})}}\ ;
$$
$$
\{\mathrm{c})\ \mathrm{A}_{\varphi}^{\mathrm{P}}\{\mathrm{X})=\mathrm{L}^{\mathrm{P}}(\mathrm{X})\varphi\cap\fbox{}(\mathrm{X})\ \mathrm{p}\epsilon\ [\mathrm{O}.\ +_{\infty}1
$$
L'intérêt de cette définition apparaît dans les deux résultats
techniques ci-dessous, qui seront utilisés à de nombreuses reprises
dans la suite.
79

J. P. DEMAILLY
LEMME ll.2. -
(a) 1 $\epsilon \mathrm{A}^{\mathrm{P}}\{\mathrm{X})\varphi \underline{\mathrm{w}\mathrm{u}\mathrm{r}}$ tout $\mathrm{p}>0$ ;
(b) $\mathrm{L}^{\mathrm{P}}\{\mathrm{X})\varphi\subset \mathrm{L}^{\mathrm{q}}(\mathrm{X})\varphi$ et $\mathrm{A}^{\mathrm{p}}(\mathrm{X})\varphi\subset A^{\mathrm{q}}\{\mathrm{X})\varphi \underline{\mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{r}}$ tous $\mathrm{p}\geq \mathrm{q}>0$ :
(c) $\mathrm{L}^{\mathrm{o}}(\mathrm{X})\varphi \underline{\mathrm{e}\#}$une $\mathrm{C}-\underline{\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{r}\mathrm{e}}$ :
(d) $\mathrm{A}^{\mathrm{o}}(\mathrm{X})\varphi \underline{\mathrm{e}l}$une$\infty \mathrm{u}\epsilon-\mathrm{al}*\mathrm{bre}$ lnt6gralement close de$\mathrm{L}^{\mathrm{o}}(\mathrm{X})\varphi$.
LEMME ll.3. --$\underline{\mathrm{O}\mathrm{n}}$al'inclusion $\mathrm{A}^{\mathrm{o}}\{\mathrm{X})\subset \mathrm{A}_{\varphi}(\mathrm{X}) \underline{\mathrm{E}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}}$donn{\it 6}
$\mathrm{f}\in \mathrm{A}_{\varphi}^{\mathrm{O}}\langle \mathrm{X}) \underline{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{U}\mathrm{e}}$ que $\displaystyle \int_{\mathrm{x}}|\mathrm{f}|^{\mathrm{p}}e\eta(-\mathrm{C}\varphi)\beta <+\alpha$. alors :
$$
\varphi\ \mathrm{n}
$$
$$
(\mathrm{a})\  6\{\mathrm{f})\leq\ \frac{\mathrm{C}-\mathrm{n}}{\mathrm{p}}\mathrm{Vol}(\mathrm{X})\ :
$$
(b) $\displaystyle \int_{\mathrm{X}}|$ df $|_{\beta}^{\mathrm{p}}\displaystyle \mathrm{ep}1(\frac{\mathrm{p}}{2}-\mathrm{C})\varphi 16^{\mathrm{n}}<\star_{\Phi}$ si $\mathrm{p}\epsilon 10.21$ ,
$\underline{\mathrm{o}\mathrm{u}}$la norme $|$ df $|_{8} \underline{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathfrak{t}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{l}6\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}}$ala$\mathrm{m}6\mathrm{trl} -$
que- $\beta$ .
Démonstration de 11.2. I4 proposition 3.10 entraîne succes-
sivement
$$
\mathrm{v}(\mathrm{r})\ :\ \mathrm{s}\ \int_{\varphi<\mathrm{r}}\beta^{\mathrm{n}}=\mathrm{e}^{\mathrm{n}\mathrm{r}}.\square _{\varphi<\mathrm{r}}\alpha^{\mathrm{n}}\leq\ \mathrm{e}^{\mathrm{n}\mathrm{r}}\mathrm{Vol}(\mathrm{X})\ ,
$$
$$
\mathrm{r}_{\mathrm{x}^{\mathrm{e}^{-(\mathrm{n}+1)\varphi}6^{\mathrm{n}}}}=\ \mathrm{r}_{\mathrm{o}}^{+\Phi}\mathrm{e}^{-\{\mathrm{n}+1)\mathrm{r}}\mathrm{dv}(\mathrm{r})=(\mathrm{n}+1)\int_{0^{\Phi}}^{+}\mathrm{e}^{-(\mathrm{n}+1)\mathrm{r}}\mathrm{v}\{\mathrm{r})\mathrm{dr}<+_{\Phi},
$$
c{\it e} qui démontre (a). La propriété (b) résulte alors de l'inégalité de
ffilder. Cette même inégalité implique
$$
\int_{\mathrm{x}^{|\mathrm{f}\mathrm{g}^{\frac{\mathrm{p}\mathrm{q}}{1^{\mathrm{p}+\mathrm{q}}}}\mathrm{e}^{-\mathrm{C}\varphi}8^{\mathrm{n}}}}\leq\ [f_{\mathrm{x}^{|\mathrm{f}|^{\mathrm{p}_{\mathrm{e}}-0_{8^{\mathrm{n}}}}}}]^{\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{P}^{+\mathrm{q}}}}[.\mathrm{r}_{\mathrm{x}^{|\mathrm{g}|^{\mathrm{q}_{\mathrm{e}}-\mathrm{O}\mathrm{P}_{\mathrm{B}^{\mathrm{n}}]^{\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{p}+\mathrm{q}}}}}}}
$$
pour tous p.q $>0$ On obtient donc l'inclusion
\begin{center}
(11.4)   $\mathrm{L}^{\mathrm{p}}(\mathrm{X})\mathrm{L}^{\mathrm{q}}(\mathrm{X}\varphi\varphi)\subset \mathrm{L}^{\mathrm{p}\mathrm{q}\mathrm{p}+\mathrm{q}}\varphi/\langle \mathrm{X})$ .
\end{center}
et la propriété (c) $\epsilon'$ ensu it. Vérifions maintenant l'affirmation (d). Soit
$\mathrm{f}$ une fonction méromorphe sur X vérifiant une équation entière sur
$\displaystyle \bigwedge_{\varphi}^{\mathrm{o}}(\mathrm{X})$ de la forme
$$
\mathrm{f}^{\mathrm{d}}\star\ \mathrm{a}_{1}\mathrm{f}^{\mathrm{d}-1}+\ \ldots+\mathrm{a}_{\mathrm{d}-1}\mathrm{f}+\mathrm{a}_{\mathrm{d}}=0\ \mathrm{a}_{\mathrm{j}}\in\ \mathrm{A}^{\mathrm{O}}(\mathrm{X}\}\varphi
$$
De cette équation, on déduit la majoration
80

MESURES DE MONGE-AMPERE
$$
|\mathrm{f}|\leq\ 2\max_{1\dot{\mathrm{q}}\leq \mathrm{d}}|\mathrm{a}_{\mathrm{j}}|^{1/\mathrm{J}}\ ,
$$
sinon l'égalité
$$
-1\ =\mathrm{a}_{1}\mathrm{f}^{-1}+\ldots+\mathrm{a}_{\mathrm{d}}\mathrm{f}^{4}
$$
conduirait à l'inégalité absurde
$$
 1\leq\ 2^{-1}+\ldots+2^{-\mathrm{d}}
$$
Par conséquent, $\infty \mathrm{mme}$ X est lisse, $\mathrm{f}$ s{\it e} prolonge {\it e}n une fonction
holomorphe sur X, et $\mathrm{f}\in \mathrm{A}^{\mathrm{O}}\langle \mathrm{X})\varphi.\blacksquare$
Démonstration de 11. 3.
(a) On a $\beta^{\mathrm{n}}\geq \mathrm{e}^{\mathrm{n}\varphi}\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi)^{\mathrm{n}-1}\wedge \mathrm{d}\varphi\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi$, par conséquent (propo-
sition 3.8)
$$
\int^{+\Phi}\mathrm{e}^{\langle \mathrm{n}-\mathrm{C})\mathrm{r}}\mathrm{u}_{\mathrm{r}}\mathrm{t}|\mathrm{f}|^{\mathrm{p}})\mathrm{dr}\leq-\Phi\ \int_{\mathrm{x}^{|\mathrm{f}|^{\mathrm{p}_{\mathrm{e}}-\Phi_{8^{\mathrm{n}}<+\Phi}}}}.
$$
Comme l'application $\mathrm{r}-\mathrm{u}_{\mathrm{r}}1|\mathrm{f}|^{\mathrm{p}})$ est croissante, on en déduit
$$
\mathrm{u}_{\mathrm{r}}1|\mathrm{f}|^{\mathrm{p}})\leq\ \mathrm{e}\Psi^{[}\{\mathrm{C}-\mathrm{n})(\mathrm{r}+1)\mathfrak{l}\int_{\mathrm{r}}^{\mathrm{r}+1}\mathrm{e}^{\langle \mathrm{n}-\mathrm{C})\mathrm{t}_{|\mathrm{J}_{\mathrm{t}}\langle}}|\mathrm{f}|^{\mathrm{p}})\mathrm{dt}\leq\ \mathrm{C}_{1}\mathrm{e}^{\{\mathrm{C}-\mathrm{n})\mathrm{r}}
$$
avec une $\infty$ nstante $\mathrm{C}_{1}\geq 0.\ \mathrm{D}'$ après l'inégalité de $\infty$nvexité de Jensen
et l'inégalité $\Vert[\mathrm{J}_{\mathrm{r}}\Vert\leq \mathrm{V}o1\{\mathrm{X})$ . il vient
$$
\frac{\mu_{\mathrm{r}}\{\mathrm{I}o\mathrm{g}(1+|\mathrm{f}|^{\mathrm{p}}))}{||_{|1}||_{\mathrm{r}}}\leq\ \mathrm{L}D\ \mathrm{g}[\frac{\mathrm{u}_{\mathrm{r}^{(1\star|\mathrm{f}|^{\mathrm{p}}\rangle}}}{||\mathfrak{u}_{\mathrm{r}}||}]\leq\ (\mathrm{C}-\mathrm{n})\mathrm{r}+\mathrm{C}_{2}\ .
$$
$$
 6\{\mathrm{f})=\lim_{\mathrm{r}\rightarrow+}\sup_{\infty}\frac{1}{\mathrm{r}}\mathrm{u}_{\mathrm{r}}(\mathrm{I}o\mathrm{g}_{+}|\mathrm{f}|)\leq\ \frac{\mathrm{C}-\mathrm{n}}{\mathrm{p}}\mathrm{Vol}(\mathrm{X})
$$
(b) Pour majorer $|\mathrm{dF}|_{\beta}$ , on {\it o}bse rve que
$$
\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}(|\mathrm{F}|^{\mathrm{p}})\wedge 6^{\mathrm{n}-1}=\frac{\mathrm{P}^{2}}{2\mathrm{n}}|\mathrm{F}|^{\mathrm{p}-2}|\mathrm{dF}|_{\beta}^{2}6^{\mathrm{n}}
$$
Grâce au théorème de Stokes. cette égalité entraîne pour tout $\mathrm{r}>0$ ;
$$
\int_{\mathrm{B}\langle \mathrm{r})}|\mathrm{F}|^{\mathrm{p}-2}|\mathrm{dF}|_{6}^{2}(1-\frac{\varphi}{\mathrm{r}})^{2}\mathrm{e}^{\langle 1-\mathrm{C})\varphi}6^{\mathrm{n}}
$$
$$
=\frac{2\mathrm{n}}{\mathrm{p}^{2}}\mathrm{I}_{\mathrm{B}\langle \mathrm{r})}|\mathrm{r}|^{\mathrm{p}}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}[\{1-\frac{\varphi}{\mathrm{r}})^{2}\mathrm{e}^{\langle 1-\mathrm{C})\varphi}]\wedge\beta^{\mathrm{n}-1}
$$
- Un calcul aisé donne d'autre part la majoration unifo rme en $\mathrm{r}$ :
81

J. P. DEMAILLY
$$
\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}[(1-\frac{\varphi}{\mathrm{r}})^{2}\mathrm{e}^{(1-\mathrm{C}\mathfrak{p}}]\leq\ \mathrm{C}_{2}(1\star\frac{1}{\mathrm{r}})^{2}\mathrm{e}^{-\mathrm{C}\varphi}\beta\text{ , }\mathrm{r}>0.
$$
Après passage à la limite quand $\mathrm{r}\rightarrow+\circ$ , on obtient donc
$\displaystyle \int_{\mathrm{x}^{|\mathrm{F}|^{\mathrm{p}-2}|\mathrm{d}\mathrm{F}|_{\beta^{\mathrm{e}}}^{211-\mathrm{C}\hslash_{\beta^{\mathrm{n}}\leq \mathrm{C}_{2}\int_{\mathrm{x}^{|\mathrm{F}|^{\mathrm{p}}\mathrm{e}^{-\Phi_{\beta}\mathrm{n}}}}}}}}$.
I4 prpriété 11.3 (b) résulte maintenant d{\it e} l'inégalité de Holder appli-
quée à la mesure $|\mathrm{F}|^{\mathrm{p}}\mathrm{e}^{-\Phi}\beta^{\mathrm{n}}$ au couple d{\it e} fonctions
$(|\displaystyle \mathrm{F}|^{-\mathrm{p}}|\mathrm{dF}|_{\beta}^{\mathrm{P}_{\mathrm{e}}}\Psi(\frac{\mathrm{p}}{2}\varphi).1)$ {\it e}t aux exposants $\infty$njugué8 $\displaystyle \mathrm{t}\frac{2}{\mathrm{p}}.\ \displaystyle \frac{2}{2-\mathrm{p}}$) $\blacksquare$
$\mathrm{L}'\mathrm{e}$ xistence d{\it e} fonctions holomorphes non constantes dans $\mathrm{L}^{\mathrm{p}}(\mathrm{X})\varphi$
va résulter d{\it e} $\mathrm{s}$ estimations classiques de L. Hormander $[\mathrm{H} \ddot{\mathrm{o}}1\mathfrak{l}$ pour
l'opérateur $\overline{8}$ .
PROPOSITION 11.5.
(a) $\underline{\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{t}}- \tau\in \mathrm{L}_{1\mathrm{o}\mathrm{c}}^{1}\{\mathrm{X})$ une fonction $\mathrm{teUe}$ que
i{\it ò} $ 8\tau +$ Ricci $(\beta)\geq\lambda\beta$
où $\lambda$ est une fonction continue $>0$ sur X. Soit $\mathrm{u}$
$\underline{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{e}}\{0,\ 1)-\underline{\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{e}}$acoefficients $\mathrm{L}_{]\mathrm{o}\mathrm{c}}^{2} \underline{\epsilon \mathrm{u}\mathrm{r}}$ X $\underline{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}}$oue
$$
\overline{8}\mathrm{u}=0\ \underline{\mathrm{e}\mathrm{t}}
$$
$$
\int_{\mathrm{X}}\lambda^{-1}|\mathrm{u}|^{2}\mathrm{e}^{-\tau}6^{\mathrm{n}}<+\mathrm{r}.
$$
$-\underline{\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}$ll $e\mathrm{xi}\epsilon \mathrm{t}e$une fonction$\mathrm{g}\in \mathrm{L}_{1\mathrm{o}\mathrm{c}}^{2}\langle \mathrm{X}) \underline{\mathrm{t}e}$lle que
$3\mathrm{g} =\mathrm{u}$ et
$$
 f_{\mathrm{x}^{|\mathrm{g}|^{2}\mathrm{e}^{-\tau_{\beta}\mathrm{n}}}}\leq\ \int_{\mathrm{X}}\lambda^{-1}|\mathrm{u}|^{2}\mathrm{e}^{-\tau}6^{\mathrm{n}}
$$
(b) Soient 1, c.A les données de 9.1' $\mathrm{tb}'1$. Sl $\mathrm{p}$ est psh
sur X et sl $\mathrm{u}$ vérifie $\overline{8}\mathrm{u}=0$ et
$$
\int_{\mathrm{x}^{|\mathrm{u}|^{2_{\mathrm{e}}-\mathrm{p}-\mathrm{V}_{\partial^{\mathrm{n}}}}}}<+\Phi.
$$
alors 11 existe $\mathrm{g}\in \mathrm{L}^{2}$ (X) telle oue $\overline{\delta}\mathrm{g}-\mathrm{u}$ et
loc
$$
\lceil_{\mathrm{x}^{|\mathrm{g}|^{2_{\mathrm{e}}-\mathrm{P}-\phi-\Phi_{8^{\mathrm{n}}}}}}\leq\ 4\int_{\mathrm{x}}|\mathrm{u}|^{2}\mathrm{e}^{-\mathrm{P}-\mathrm{V}_{8^{\mathrm{n}}}}
$$
(c) $\underline{\mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{t}}$ un ensembleflnl $[\mathrm{x}_{1}.\mathrm{x}_{2}\ldots..\mathrm{x}_{\mathrm{m}} \} \subset \mathrm{X}$ et $\mathrm{p} \underline{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{e}}$
fonction psh sur X telle que $\mathrm{e}$ soit sommable au
$$
-\mathrm{Q}
$$
$$
\underline{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}\epsilon \mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{d}e}\ \mathrm{x}_{1}.\mathrm{x}_{2'}\ldots.\mathrm{x}_{\mathrm{m}}\ \underline{\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}}
$$
82

MESURES DE MONGE-AMPEBE
holomorphe $\mathrm{f}$ avant un iet d'ordre $\mathrm{s}$ donné en chaoue
$\underline{\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{t}}$ xj $\underline{\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{U}\mathrm{e}}$oue
$$
\int_{\mathrm{x}^{|\mathrm{f}|^{2}\mathrm{e}^{-\mathrm{P}-\Downarrow-\mathrm{C}_{1}\varphi}8^{\mathrm{n}}}}<+_{\Phi}.\ \underline{00}\ \mathrm{C}_{1}\geq 0.
$$
$\underline{\mathrm{A}^{\urcorner}\mathrm{n}\mathrm{D}\mathrm{a}\mathrm{I}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{r}}$si $\mathrm{p}\underline{=}0.\ \underline{\mathrm{o}\mathrm{n}}$ obtient $\mathrm{f}\in \mathrm{A}^{\mathrm{b}}(\mathrm{X})\varphi$ où
$$
2\mathrm{c}
$$
$$
\mathrm{b}=\ \overline{1+\mathrm{c}}
$$
(d) $\mathrm{A}_{\varphi}^{\mathrm{b}}\langle \mathrm{X}) \underline{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}$dense dans\fbox{}$\{\mathrm{X})$ pour la topologie de la
convergence uniforme sur tout compact.
Démo $\mathrm{n}$ st rat ion.
(a) est classique, voir par exemple H. Skoda [Sc3].
(b) Appliquon $\mathrm{s}\langle \mathrm{a})$ avec $\tau =\mathrm{p}+\phi +2\mathrm{I}_{D\mathrm{g}(1+\mathrm{e}^{\varphi})}$ Comme
$\varphi \geq 0$ on a $\tau\leq \mathrm{p}+\phi +u +{\rm Log} 4$ et Phypothèse 9. 1' $(\mathrm{b}')$ entraîne
$$
\mathrm{i}8\overline{\partial}\tau+\mathrm{Ricci}(\beta)\ \geq \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}б \mathrm{g}(1+\mathrm{e}^{\varphi})=\frac{\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi}{1+\mathrm{e}^{\eta}}+_{\frac{\mathrm{e}\triangleleft \mathrm{d}\varphi\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi}{(1+\mathrm{e}^{\eta})^{2}}}\geq\lambda\beta
$$
ave $\mathrm{c} \lambda=\{1+\mathrm{e}^{\varphi}\rangle^{-2}$ L'estimation (b) en résulte.
$\langle \mathrm{c})$ est $\infty$nséquence d{\it e} (b) grâce à un raisonnement classique
dû à Bombieri et Skoda [Sk 1]. Soient $\mathrm{U}_{1}\ldots.,\ \mathrm{U}_{\mathrm{m}}$ des voisinages ouve rts
2 à 2 disjoints de $\mathrm{x}_{1} \mathrm{xm}$ sur lesquels $\mathrm{e}^{-\mathrm{p}}$ est localement som-
mable. On suppose $\mathrm{U}_{\mathrm{j}}$ muni d'un système de $\infty$ordonnée $\mathrm{s}$ locales
(l) $\mathrm{j} \mathrm{j} \mathrm{j}$
$\mathrm{z} =\langle \mathrm{z}_{1},\ \mathrm{z}_{2},\ldots,\ \mathrm{z}_{\mathrm{n}})$ centré en $\mathrm{x}_{\mathrm{j}}$ et on pose
$$
\mathrm{p}_{1}=\mathrm{p}+\{\mathrm{n}+\epsilon)[\mathrm{m}_{\mathrm{X}_{\mathrm{j}}}\sum_{\mathrm{j}=1}\mathrm{Iog}|\mathrm{z}^{[\mathrm{j})}|^{2}+\mathrm{c}_{1^{\varphi}}]
$$
où $\mathrm{x}_{\mathrm{j}} \mathrm{e}\epsilon \mathrm{t}$ une fonction $\geq 0$ de classe $\mathrm{C}^{\infty}$ à support $\infty$ mpact dans
$\mathrm{U}_{\mathrm{j}}$ égale à 1 au voisinage de $\mathrm{x}_{\mathrm{j}}$ , et $\mathrm{C}_{1}$ une $\infty \mathrm{nstante} \geq 0$
assez grande pour que $\mathrm{p}_{1}$ soit psh su $\mathrm{r}$ X. La constante $\mathrm{n}+\epsilon$
est choisie ici de sorte que le jet d'ordre $\mathrm{s}$ d'une fonction $\mathrm{g}$ de
classe $\mathrm{C}^{\infty}$ localement sommable pour la mesure $\mathrm{e}^{-\mathrm{p}_{1}}\mathrm{e}^{\mathrm{n}}$ soit né-
$$
\{\mathrm{j})
$$
cessairement nul aux point $\mathrm{s} \mathrm{x}$ Soit maintenant $\mathrm{P}\langle \mathrm{z} )$ un px)lynôme
$$
\mathrm{j}\ \mathrm{j}
$$
de degré $\leq \mathrm{s}$ ayant le jet imposé en $\mathrm{x}_{]}$ On $\ddagger^{\mathrm{x}}$)se
$$
\mathrm{h}=\mathrm{j}=1\mathrm{E}_{\mathrm{x}_{\mathrm{j}}^{\mathrm{P}_{\mathrm{j}}\{\mathrm{z}^{\mathrm{l}\mathrm{j})_{)}}}}
$$
83

J. P. DEMAILLY
La $(0$, donne $\displaystyle \mathrm{u}=\overline{8}\mathrm{h}=\sum\overline{8}\mathrm{m}$ . $\mathrm{P}(\mathrm{z}^{(\mathrm{J})})$ est $\mathrm{C}^{\Phi}$ , nulle au voisinage
$$
\mathrm{j}=1\mathrm{X}_{\mathrm{j}}\ \mathrm{j}
$$
d{\it e} $\mathrm{x}_{1} \mathrm{xm}$ , {\it e}t par $\infty \mathrm{n}\epsilon \mathrm{tmctlon}$
$$
\int_{\mathrm{X}}|\mathrm{u}|^{2}\mathrm{e}^{-\mathrm{p}_{1^{-\dagger}}}\beta^{\mathrm{n}}<+\alpha\ ;
$$
on a utilisé ici le fait que $\dagger$ soit localement bornée. paprès (b), {\it i}l
existe $\mathrm{g}\in \mathrm{C}^{\Phi}(\mathrm{X})$ telle que $\overline{8}\mathrm{g}= \mathrm{u}$ et
$$
\int_{\mathrm{x}}|\mathrm{g}|^{2}\mathrm{e}^{-\mathrm{P}_{1}-\uparrow-2\varphi}\beta^{\mathrm{n}}<+_{\Phi}.
$$
La fonction $\mathrm{f}=$ h-g répond alors à la question. Sl $\mathrm{p}\equiv 0$ . on peut
écrire
$$
|\mathrm{f}|=1\ |\mathrm{f}|\mathrm{er}1-\frac{1}{2}\phi)1\mathrm{e}\eta(\frac{1}{2}\uparrow)
$$
où $|\displaystyle \mathrm{f}|\mathrm{e}\eta 1-\frac{1}{2}\mathrm{V})\in \mathrm{L}^{2}(\mathrm{X})\varphi$ et $\displaystyle \mathrm{e}\eta(\frac{1}{2}\phi)\in \mathrm{L}^{2\mathrm{c}}\{\mathrm{X})\varphi$ . $\mathrm{N}$ s'ensuit grâce à
.(11.4) que $\mathrm{f}\in \mathrm{L}^{\mathrm{b}}(\mathrm{X})\varphi$ .
(d) se démontre à partir de (b) exactement $\infty$ mme le lemme
4.3.1 de [Ho 2]. $\blacksquare$
$\alpha$ On utulse maintenant la proposition 11.5 pour construire de
nombreuses fonctions holomorphes sur X, et obtenir ainsi un plonge-
ment partiel de X dans $0^{\mathrm{N}}$
. Soit $\mathrm{x}_{0}\in \mathrm{X}$ un point fixé. D'après
11.5 (c) appliqué avec $\mathrm{p}\cong 0$. ll existe des fonctions $\mathrm{f}_{1},\ldots,\  f_{\mathrm{n}}\in \mathrm{A}^{\mathrm{b}}(\mathrm{X}\gamma\varphi$
telles que
$$
\mathrm{dt}^{\wedge\ldots\wedge \mathrm{d}\mathrm{f}_{\mathrm{n}}\langle \mathrm{x}_{0})}\neq 0\ .
$$
En particulier, $\mathrm{f}_{1},\ldots,\ \mathrm{f}_{\mathrm{n}}$ sont algébriquement indépendantes dans $\mathrm{A}_{\varphi}(\mathrm{X}\gamma$
L{\it e} théorème 8.5 (b) s'applique donc, ce qui donne :
PROPOSITION 11. 6. $-\underline{\mathrm{b}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{D}\mathrm{S}} \mathrm{K}(\mathrm{X})\varphi \underline{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{s}}$fonctions $\varphi-$
rationnelles est une extension de type fini de C. de degré
d{\it e} transcendance $\mathrm{n}$ . $\blacksquare$
Comme nous allons le voir, 11 est facile de déduire des résul-
tats précédents l'existence d'un morphisme $\mathrm{F}$ : X $-\mathrm{M}$ de X dans
84

MESURES DE MONGE-AMPEBE
une variété algébrique $\mathrm{M}$ d{\it e} dimension $\mathrm{n}$, qui est, en $ 4\mathrm{ebr}\epsilon$ d'une
hypersurface algébrique $\mathrm{S}\subset \mathrm{X}$, un isomorphisme de $\mathrm{X}\backslash \mathrm{S}$ sur un
ouvert de M I4 principale difficulté qui reste ra à surmonter sera
de prouver que $\mathrm{F}$ est quasi-surjectif, 1. $\mathrm{e}$. que $\mathrm{F}\langle \mathrm{X}\backslash \mathrm{S}) \mathrm{e}$ st un
ouvert de Zariski de $\mathrm{M}$ .
PROPOSITION 11. 7. -
(a) $\underline{\mathrm{I}1e}$xiste unefonction $\mathrm{fn}+1\in  A^{0}(\mathrm{X})\varphi \underline{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{U}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{u}e}$
$$
\mathrm{f}_{\mathrm{n}+1}\{\mathrm{x}_{0})=1\ \underline{\mathrm{e}\mathrm{t}}\ \int_{\mathrm{X}}|\mathrm{fn}+1|^{2}|\mathrm{df}_{1}\wedge\ldots\wedge \mathrm{r}_{\mathrm{n}}|_{8}^{-2_{\mathrm{e}}}\Psi\langle-2\mathrm{V}-\mathrm{C}\varphi)\beta^{\mathrm{n}}<+\alpha
$$
$\underline{\mathrm{E}\mathrm{n}}$paRiculier $\{\mathrm{x}\epsilon \mathrm{X}:\mathrm{df}_{1}\wedge\ldots\wedge \mathrm{g}_{\mathrm{n}}(\mathrm{x})=0] \subset \mathrm{r}_{\mathrm{n}+1}^{-1}(0)$
(b) $\underline{\mathrm{n}}$exist$e$desdonc$\dot{\varpi}$ns$\mathrm{r}_{\mathrm{n}+2},\ldots,\mathrm{f}_{\mathrm{N}}\in \mathrm{A}_{\varphi}^{0}(\mathrm{X}) \underline{\mathrm{e}\mathrm{t}}$une sous-
variété algébrique irréductible $\mathrm{M} \subset \mathbb{C}^{\mathrm{N}}$ d{\it e} dimension $\mathrm{n}$
$\underline{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}e\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{u}e}$le morphisme$\mathrm{F}= (\mathrm{f}_{1},\ldots, \mathrm{f}_{\mathrm{N}}) \underline{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{e}}$ X $\underline{\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}}$
$$
-1
$$
Nl {\it e}t soit un isomorphisme analytique d{\it e} $\mathrm{X}\backslash \mathrm{f}$ (0) sur
$$
\mathrm{n}+1
$$
un ouvert lisse de $\mathrm{M}$
Démon st rat ion.
(a) $\mathrm{u}$ suffit d'appliquer 11.5 (c) à la fonction psh
$$
\mathrm{p}=\psi\ +\mathrm{L})\mathrm{g}|\mathrm{df}_{1}\wedge\ldots\wedge \mathrm{df}_{\mathrm{n}}|_{\beta}^{2}
$$
Si $\mathrm{Z}$ est le diviseur des zéros de la n-forme holomorphe $\mathrm{df}_{1}\wedge\ldots\wedge M_{\mathrm{n}}$
considérée comme section de $\Lambda^{\mathrm{n}}\mathrm{T}^{*}X$ . on a bien en effet d'après l'hy-
pothèse 9. 1 ' $(\mathrm{b}')$ :
$\mathrm{dd}^{\mathrm{C}}\mathrm{P}=\mathrm{dd}^{\mathrm{C}}\mathrm{V}^{+}2$ Ricci (B) $+4\mathfrak{n}[Z|\geq 0$
et $\mathrm{p}$ est continue au voisinage de $\mathrm{x}_{0}$ Il existe donc $\mathrm{f}_{\mathrm{n}+1}\in \mathrm{O}\langle \mathrm{X})$
telle que $\mathrm{f}$ (x) $=1$ vérifiant l'estimation $\mathrm{L}^{2}$ annoncée. Cette
$$
\mathrm{n}+1\ 0
$$
estimation entraîne que $\mathrm{f}$ s'annule sur le support de $\mathrm{Z}$ et
$$
\mathrm{n}+1
$$
d'après le l{\it e} mme 11.3 (b) on a $|\alpha_{\mathrm{j}}|\epsilon \mathrm{L}^{\mathrm{b}}\{\mathrm{X}\varphi)$ d'où
$$
|\mathrm{f}_{0}|\leq\ (|\mathrm{f}_{0}||\mathrm{df}1^{\wedge\ldots\wedge\alpha_{\mathrm{n}}}|^{-1}\mathrm{e}^{-\mathrm{V}})|\ \mathrm{df}\  1|\ldots|\mathrm{r}_{\mathrm{n}}|\mathrm{e}^{\psi}\in\ \mathrm{L}^{0}(\mathrm{X}\varphi)
$$
(b) On $\infty \mathrm{nstmit}$ par récurrence sur $\mathrm{j}$ des fonctions
85

J. P. DEMAILLY
$\mathrm{f}_{1},\ldots,\mathrm{f}_{\mathrm{N}_{\mathrm{j}}}\in A_{\varphi}^{0}(\mathrm{X})$ avec $\mathrm{N}_{0}=\mathrm{n}+1<\mathrm{N}_{1}<\mathrm{N}_{2}\ldots$ (c'est fait pour $\mathrm{j}=0$).
D'après 11. 6 l'image du morphisme $\mathrm{F}_{\mathrm{J}}=(\mathrm{f}_{1}\ldots..\mathrm{f}_{\mathrm{N}})$ : $\mathrm{X}\rightarrow \mathbb{C}^{\mathrm{N}_{\mathrm{J}}}$
est contenue dans une variété algébrique irréductible $\mathrm{M}_{\mathrm{j}}\subset \mathbb{C}^{\mathrm{N}_{\mathrm{J}}}\mathrm{j}$ de dl-
mension $\mathrm{n}$. Soit $\tilde{\mathrm{M}}_{\mathrm{j}}$ la normalisation de $\mathrm{M}_{\mathrm{j}}$ Il existe un diagram-
me $\infty$mmutâtif
$$
\tilde{\mathrm{M}_{\mathrm{j}}\downarrow}=\mathrm{c}^{\tilde{\mathrm{N}}_{\mathrm{j}}}\ \ni\{\mathrm{z}_{1},\ldots.\mathrm{z}_{\tilde{\mathrm{N}}_{\mathrm{j}}})\mathrm{T}
$$
$$
\mathrm{M}_{\mathrm{j}^{=}}\mathbb{C}\dagger_{\mathrm{N}_{\mathrm{j}}}\ \ni\ (\mathrm{z}_{1}\ldots..\mathrm{z}_{\mathrm{N}_{\mathrm{j}}})
$$
Comme la variété X $\mathrm{e}$ st lisse (et donc normale), l{\it e} morphisme
$\mathrm{F}_{\mathrm{j}}$ : $\mathrm{X}\rightarrow \mathrm{M}_{\mathrm{j}}$ se relève en un morphisme
$$
\tilde{\mathrm{F}_{\mathrm{j}}}=\langle \mathrm{f}_{1'}\ldots.\mathrm{f}_{\overline{\mathrm{N}}_{\mathrm{j}}}):\mathrm{X}\rightarrow\tilde{\mathrm{h}}_{\mathrm{j}}\ .
$$
Par construction, les fonctions $\infty$ordonnées $\mathrm{z}_{\mathrm{N}_{\mathrm{j}}\star 1},\ldots.\mathrm{z}_{\tilde{\mathrm{N}}_{\mathrm{J}}}$ (resp.
$\mathrm{f}_{\mathrm{N}_{\mathrm{j}}+1},\ldots.\mathrm{f}_{\tilde{\mathrm{N}}_{\mathrm{j}}} )$ sont des entiers algébrique $\mathrm{s}$ sur l'anneau
$\mathbb{C}1\mathrm{z}_{1}\ldots..\mathrm{z}_{\mathrm{N}_{\mathrm{j}}}[/\mathrm{I}\langle \mathrm{M}_{\mathrm{J}})$ (resp. sur $\mathbb{C}1\mathrm{f}_{1}\ldots.,\mathrm{f}_{\mathrm{N}_{\mathrm{j}}}\mathfrak{l}$), donc $\mathrm{f}_{\mathrm{N}_{\mathrm{j}}+1}\ldots..i_{\tilde{\mathrm{N}}_{\mathrm{j}}}\in \mathrm{A}_{\varphi}^{0}\{\mathrm{X})$
d'après 11.2 (d). De plus. la restriction
$$
\tilde{\mathrm{F}_{\mathrm{j}}}:\mathrm{x}\backslash \mathrm{f}^{-:}\mathrm{n}1^{\{0)}\rightarrow\tilde{\mathrm{M}}_{\mathrm{j}}
$$
$$
-1
$$
est étale, car df $1\wedge\ldots\wedge\alpha_{\mathrm{n}}\neq 0$ sur $\mathrm{x}\backslash \mathrm{r}_{\mathrm{n}+1}(0)$ d'après (a). Comme
$\tilde{\mathrm{N}}_{\mathrm{j}}$ est localement irréductible, l'image $\tilde{\mathrm{F}}_{\mathrm{j}}\langle \mathrm{X}\backslash \mathrm{f}_{\mathrm{n}+1}\{0))$ est nécessai-
$$
-1
$$
rement $\infty \mathrm{ntenue}$ dans l'ensemble des points lisses de $\tilde{\mathrm{M}}_{\mathrm{j}}$ Sl $\tilde{\mathrm{F}}_{\mathrm{j}_{-}}$ est
$$
-1
$$
injective sur $\mathrm{X}\backslash \mathrm{f}$ (0) la $\infty$ nstruction $\mathrm{e}$ st terminée avec $\mathrm{F}=\mathrm{F}$
$$
\mathrm{n}+1\ \mathrm{j}
$$
$\mathrm{M}=\tilde{\mathrm{M}}_{\mathrm{j}} \mathrm{N}=\tilde{\mathrm{N}}_{\mathrm{j}}$
$$
-1
$$
Sinon, soient deux points $\mathrm{z}_{1}\neq \mathrm{z}_{2}$ dans $\mathrm{X}\backslash \mathrm{f}_{\mathrm{n}+1}(0)$ tels que
$\tilde{\mathrm{F}} (\mathrm{z} ) =\tilde{\mathrm{F}}(\mathrm{z} )$ La proposition 11.5 (c) montre qu il existe une fonction
$\mathrm{j}$ 1 $\mathrm{j}$ 2
$\mathrm{g}\in \mathrm{A}_{\varphi}^{\mathrm{b}}(\mathrm{X})$ telle que $\mathrm{g}(\mathrm{z}_{1})\neq \mathrm{g}(\mathrm{z}_{2})$ On tels $\mathrm{N}_{\mathrm{j}+1}=\overline{\mathrm{N}}_{\mathrm{j}}+1$
$\mathrm{f}_{\tilde{\mathrm{N}}}+1=\mathrm{g}$. Daprès 11.6, $\mathrm{g}$ est algébrique sur $\mathbb{C}(\mathrm{f}_{1} ,..., ^{\mathrm{f}_{\tilde{\mathrm{N}}}}) \mathrm{g}$
$\mathrm{j} \mathrm{j}$
v{\it é} rifie donc une équation irréductible de la forme
\begin{center}
(11.8)   $\displaystyle \sum^{\mathrm{d}}\mathrm{a}_{\mathrm{k}}\{\tilde{\mathrm{p}}_{\mathrm{j}})\mathrm{g}^{\mathrm{k}}=0$ , $\mathrm{a}_{\mathrm{k}}\in \mathbb{C}1 \mathrm{f}_{1},\ldots,\mathrm{f}_{\tilde{\mathrm{N}}} ] \mathrm{a}_{\mathrm{d}}(\overline{\mathrm{F}}_{\mathrm{j}})\not\in 0$.
$$
\triangleright_{-}0\ \mathrm{j}
$$
\end{center}
86

MESURES DE MONGE-AMPERE
Comme $\tilde{\mathrm{F}}_{\mathrm{j}}$ est étale au voisinage d{\it e} $\mathrm{z}_{1}$ et $\mathrm{z}_{2}$ , il existe des points
$\mathrm{w}_{1}$ voisin de $\mathrm{z}_{1}$ , $\mathrm{w}_{2}$ voisin de $\mathrm{z}_{2}$ tels que $\tilde{\mathrm{F}}_{\mathrm{j}}\langle \mathrm{w}_{1})=\tilde{\mathrm{F}_{\mathrm{j}}}(\mathrm{w}_{2})p \mathrm{a}_{\mathrm{d}}^{-1}\{0)$
et $\mathrm{g}(\mathrm{w}_{1})\neq \mathrm{g}(\mathrm{w}_{2})$ Ceci enAraîne que l'équation (11.8) est de degré
$\mathrm{d}\geq 2$ Comme $\mathrm{K}(\mathrm{X})\varphi$ est une extension de degré fini de $\mathbb{C}(\mathrm{f}_{1}$ ,
le procédé s'arrête nécessairement au bout d'un nombre fini d'étapes. $\blacksquare$
87

J. P. DEMAILLY
12. --Quasi-surjectivité du plongement. -
Nous reprenons les notations de la proposition 11. 7. L'objectif
de ce paragraphe $\mathrm{e}$ st d{\it e} démontrer que l'image du morphisme
$$
-1
$$
$\mathrm{F};\mathrm{X}\backslash \mathrm{f}(\mathrm{O})\mathrm{n}+1\rightarrow \mathrm{M}$ est un ouve rt de Zariski d{\it e} M Soit
$\mathrm{Q}\in \mathrm{O}[\mathrm{z}_{1},\ldots, \mathrm{z}_{\mathrm{N}}]$ un polynôme non nul sur $\mathrm{M}$ , divisible par $\mathrm{z}_{\mathrm{n}+1}$ ,
$$
-1
$$
tel que l'hypersurface $\mathrm{Q}$ (0) $\infty \mathrm{nt}\dot{\iota}e\mathrm{nn}e$ l{\it e} lieu singulier $\mathrm{M}_{8}$ . On pose
$$
\check{\mathrm{M}}=\mathrm{M}\backslash \vee^{-1}\langle 0)\text{ , }\check{\mathrm{X}}=\mathrm{X}\backslash \mathrm{Q}(\mathrm{F})^{-1}(0)\subset \mathrm{X}\backslash \mathrm{f}_{\mathrm{n}+1}^{-1}\langle 0)\ ,
$$
de sorte que $\check{\mathrm{M}} \mathrm{e}$ st lisse et que l{\it e} morphisme d{\it e} restriction
$$
\check{\mathrm{F}}:\check{\mathrm{x}}\rightarrow\check{\mathrm{M}}
$$
est un isomorphisme de $\check{\mathrm{X}}$ sur l'ouvert $\Omega=i(\check{\mathrm{x}}\gamma$ . La variété $\check{\mathrm{M}}$
peut être (et sera) ident ifiée à une sous-variété algébrique affine d{\it e}
$\mathbb{C}^{\mathrm{N}+1}$ via l'application $\check{\mathrm{M}}\rightarrow \mathbb{C}^{\mathrm{N}+1}$ définie par
$$
-1
$$
$$
(\mathrm{z}_{1}\ldots., \mathrm{z}_{\mathrm{N}})\mapsto\{\mathrm{z}_{1}\ldots.,\ \mathrm{z}_{\mathrm{N}}\ \mathrm{z}_{\mathrm{N}+1}=\mathrm{Q}\{\mathrm{z}_{1},\ldots\prime \mathrm{z}_{\mathrm{N}})\ )\ :
$$
l{\it e} morphisme $\check{\mathrm{F}}$ : $\check{\mathrm{X}}-\check{\mathrm{M}}\subset \mathbb{C}$ est alors donné par $\check{\mathrm{F}}= (\mathrm{F}, \mathrm{Q}(\mathrm{F}) )$.
$$
\mathrm{N}+1\ -1
$$
Un d{\it e} $\mathrm{s}$ points cmciaux du raisonnement est de montrer que le courant
positif fermé $\check{\mathrm{F}}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi$ se prolonge de l'ouvert $\Omega=\check{\mathrm{F}}\langle\check{\mathrm{X}})$ à la variété
$\check{\mathrm{M}}$ toute entière. On a besoin pour cela d'estimations précises de la
masse, qui sont foumies par le lemme suivant.
LEMME 12.1. $-\underline{\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{t}} \mathrm{G} =(\mathrm{g}_{1},\ldots.\mathrm{g}_{\mathrm{m}})\in$ [ $\mathrm{A}_{\varphi}^{0}\langle \mathrm{X})1^{\mathrm{m}}$ et
$\mathrm{Y} =\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{I}o\mathrm{g}\langle 1+|\mathrm{G}|^{2})$ Alors oour tout entier $\mathrm{k}\geq 0$ . on a :
$$
\mathrm{c}\ \mathrm{n}-\mathrm{k}_{\wedge\gamma}\mathrm{k}<\star\infty.
$$
(a) $f_{\mathrm{x}^{\mathrm{l}\mathrm{d}\mathrm{d}}}$ cp $)  0\leq \mathrm{k}\leq \mathrm{n}$
(b) $\displaystyle \int_{\mathrm{B}(\mathrm{r})}\mathrm{d}\varphi\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi\wedge\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi)^{\mathrm{n}-\mathrm{k}-1}\wedge \mathrm{v}^{\mathrm{k}}\leq$ Cr $ 0\leq$ ks n-1
où $\mathrm{C}$ est une $\infty \mathrm{nsorte} \geq 0$
88

MEStBES DE MONGE-AMPEBE
Démonstration. Appliquons le théorème 2.2 (c) avec $\mathrm{p}=$ cp-r.
$\Omega=\{\mathrm{p}<0] =\mathrm{B}\{\mathrm{r})$ {\it e}t $\mathrm{V}_{1}=\ldots=\mathrm{v}_{\mathrm{k}}=1o\mathrm{g}(1+|\mathrm{G}|^{2})\geq 0$ . Il vient
$$
\lceil_{\mathrm{B}\{\mathrm{r})^{\beta}}\mathrm{k}^{\wedge\gamma^{\mathrm{k}}}\leq\ \mathrm{C}_{30}\int_{\mathrm{B}\langle \mathrm{r})}б \mathrm{g}^{\mathrm{k}}(1+|\mathrm{G}|^{2})\beta
$$
où, pour $\mathrm{a}>0$ et $\mathrm{k}\geq 0$ . {\it o}n pose :
$$
\beta_{\mathrm{k}}=\langle \mathrm{r}-\varphi)\ +\langle \mathrm{k}+\mathrm{a}\rangle\langle \mathrm{r}-\varphi)
$$
$$
\mathrm{k}+\mathrm{a}_{1\mathrm{d}\mathrm{d}}\mathrm{c}_{\varphi)}\mathrm{n}-\mathrm{k}\ \mathrm{k}-1+\mathrm{a}_{\Phi\wedge \mathrm{d}}\mathrm{c}_{\varphi \mathrm{A}}\{\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi)^{\mathrm{n}-\mathrm{k}-1}
$$
On a :
$$
\beta_{0}=2\langle \mathrm{r}-\varphi)^{\mathrm{a}}\langle \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi)^{\mathrm{n}}+\frac{1}{2\langle 1+\mathrm{a})}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\beta_{1}
$$
Le théorème de Stokes entraîne donc pour tout $\mathrm{r}>0$ :
$\displaystyle \int_{\mathrm{B}\langle \mathrm{r})}\beta_{0}=2\int_{\mathrm{B}\langle \mathrm{r})}(\mathrm{r}-\varphi)^{\mathrm{a}}(\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi)^{\mathrm{n}}\leq 2\mathrm{r}^{\mathrm{a}}$ Vol(X) .
kk
D'autre part, la fonction $\mathrm{t}\leftarrow \mathrm{I}_{D}\mathrm{g}\langle \mathrm{e}+\mathrm{t})$ est concave sur $10, +\infty 1$
On obtient donc pour tout $\mathrm{p}>0$ l'inégalité de conve xité :
$$
\frac{\mathrm{J}\uparrow_{\mathrm{B}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{I}}\mathrm{I}o\mathrm{g}^{\mathrm{k}}1\mathrm{e}^{\mathrm{k}}+|\mathrm{G}|^{\mathrm{p}}\mathrm{I}8_{0}}{\int_{\mathrm{B}(\mathrm{r})}6_{0}}\leq\ \mathrm{Io}\ \mathrm{g}^{\mathrm{k}}\ [\mathrm{e}^{\mathrm{k}}+\frac{\int_{\mathrm{B}(\mathrm{r})}|\mathrm{c}|^{\mathrm{p}_{\beta_{0}}}}{\int_{\mathrm{B}\{\mathrm{r})^{\beta_{0}}}}]
$$
Comme $\mathrm{g}_{\mathrm{j}}\in \mathrm{A}_{\varphi}^{0}\langle \mathrm{X})$ [cf. définition 11.1], il existe $\mathrm{p}>0$ assez petit
et $\mathrm{C}_{4},\ \mathrm{C}_{5}\geq 0$ assez grands tels que
$$
\uparrow
$$
$|\mathrm{G}|^{\mathrm{p}}8_{0}\leq \mathrm{e}$ xp $(\mathrm{C}_{4}\mathrm{r}+\mathrm{C}_{5})$
$$
\mathrm{B}\langle \mathrm{r})
$$
Les inégalités précédentes entraînent alors
$$
\uparrow 8_{\mathrm{k}}\wedge\gamma^{\mathrm{k}}\mathrm{B}\{\mathrm{r})\leq\ \mathrm{c}_{3}\mathrm{r}_{\mathrm{B}\langle \mathrm{r})}\ \mathrm{I}D\ \mathrm{g}^{\mathrm{k}}\{1+|\mathrm{G}|^{2})8_{0}\leq\ \mathrm{c}_{6^{\mathrm{r}^{\mathrm{k}+\mathrm{a}}}}
$$
Compte-tenu de la définition de $8_{\mathrm{k}}$ ceci implique le lemme 12. 1
après substitution de $2\mathrm{r}$ à $\mathrm{r}$ . $\blacksquare$
Munissons $\mathbb{C}^{\mathrm{N}+1}$ el $\check{\mathrm{M}}\subset \mathbb{C}^{\mathrm{N}+1}$ de la métrique de FUbini-
Study $\prime \mathrm{J}^{\mathrm{t}}=\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\log\{1+ |\mathrm{z} |^{2})$ On a alors le théorème de prolongement
suivant, dont la démonst ration est inspirée de H. Skoda $|\mathrm{Sk}5|$ el de
H. El Mir $|\mathrm{EM}|$ ; voir aussi l'art icle d{\it e} synthèse de N. Sibony $|\mathrm{Sib}|$.
PROPOSITION 12. 2. -- So it $\mathrm{T} \underline{1'\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}}$simple àM$\check{}$ du
$\underline{\omega \mathrm{u}}$rant $\check{\mathrm{F}}_{\iota}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathfrak{c}\rho$ --définiepar
89

J. P. DEMAILLY
$$
\mathrm{T}=\check{\mathrm{F}}_{*}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi\ \underline{\mathrm{m}\mathrm{r}}\ \mathrm{f}(\mathrm{X})\text{ , }\mathrm{T}=0\ \underline{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{r}}\ \check{\mathrm{M}}\backslash \check{\mathrm{F}}\langle \mathrm{X})
$$
Alors $\mathrm{T}$ est un $\infty \mathrm{urant}$ positif f{\it e} rmé sur $\check{\mathrm{N}}$ de masse totale
$$
\int_{\mathrm{N}}\mathrm{T}\wedge\omega \mathrm{n}-1\ \underline{\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{e}}.
$$
Démonstration. Calculons d'abord la $\mathrm{masS}e$ de $\mathrm{T}$ :
$\displaystyle \int_{\check{\mathrm{M}}}\mathrm{t}1)\mathrm{n}-1$
La (1.1-forme $\check{\mathrm{F}}^{*}\mathrm{u}$) est donnée ici par
$$
\check{\mathrm{F}}_{(11}^{*}=\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\ \mathrm{L}D\ \mathrm{g}(1+|\check{\mathrm{F}}|^{2})=\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\ \mathrm{L}D\ \mathrm{g}(1+|\mathrm{F}|^{2_{+}}|\mathrm{Q}\{\mathrm{F})|^{-2})
$$
$$
=\ \mathrm{dd}^{\mathrm{C}}\mathrm{Ixg}\{1+|\mathrm{Q}\langle \mathrm{F})|^{2}+|\mathrm{F}|^{2}|\mathrm{Q}\langle \mathrm{F})|^{2})
$$
La finitude de la masse résulte alors du lemme 12.1 (a). Pour toute
1-forme réelle $\mathrm{v}$ d{\it e} classe $\mathrm{C}^{\Phi}$ à support $\infty \mathrm{mpact}$ dans $\mathrm{M}$ et pour
tous multi-indices J. $\mathrm{K}\subset\{1,\ldots, \mathrm{N}+1\}$ tels que $|\mathrm{J}|=|\mathrm{K}| =$ n-2 , on
montre maintenant la nullité d{\it e} l'intégrale
I $=\displaystyle \int_{\check{\mathrm{M}}}$ dv $\wedge \mathrm{T}\wedge \mathrm{dz}_{\mathrm{J}}\wedge \mathrm{d}\overline{\mathrm{z}}_{\mathrm{K}}$ ,
ce qui prouvera que $\mathrm{dT}=0$ Sbit X une fonction de classe $\mathrm{C}^{\Phi}$
sur $\mathrm{R}$ telle que $ 0\leq \mathrm{X}\leq 1 \mathrm{X}(\mathrm{t})=1$ si $\mathrm{t}<0$ . $\mathrm{X}(\mathrm{t})=0 \epsilon 1$
$\mathrm{t}>1$ el $ 0\leq \mathrm{X}'\leq 2$ Par définition d{\it e} $\mathrm{T}$ , $\mathrm{u}$ vient
$$
\mathrm{I}\ =\int_{\mathrm{X}}\check{\mathrm{F}}^{*}(\mathrm{dv})\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi\wedge \mathrm{d}\check{\mathrm{F}}_{\mathrm{J}}\wedge\overline{\mathrm{d}\check{\mathrm{F}}_{\mathrm{K}}}
$$
$$
=\mathrm{r}\rightarrow\star\Leftrightarrow\check{\mathrm{X}}1\mathrm{lm}\lceil \mathrm{X}\langle\frac{\varphi}{\mathrm{r}})\mathrm{d}\{\check{\mathrm{F}}^{\wedge}\mathrm{v})\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi\wedge \mathrm{d}\check{\mathrm{F}}_{\mathrm{J}}\wedge\overline{\mathrm{d}\mathrm{F}_{\mathrm{K}}}
$$
I4 forme $\displaystyle \mathrm{x}1\frac{\varphi}{\mathrm{r}}$) $\check{\mathrm{F}}^{\wedge}\mathrm{v} \mathrm{e}\alpha$ à support dans $\check{\mathrm{F}}^{-1}\langle \mathfrak{U}\mathrm{ppv})\cap\overline{\mathrm{B}\langle \mathrm{r})}\subset\subset\check{\mathrm{X}}$ .
Une intégration par parties donne donc
$$
\mathrm{I}\ =\lim_{\nu\star\Leftrightarrow}.\lceil_{\dot{\mathrm{X}}}\check{\mathrm{F}}^{*}\mathrm{v}\wedge \mathrm{X}'\mathrm{t}\frac{\varphi}{\mathrm{r}})\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{r}}\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi\wedge \mathrm{d}\check{\mathrm{F}}_{\mathrm{J}}\wedge\overline{\mathrm{d}\mathrm{f}_{\mathrm{K}}}\ .
$$
Grâce à l'inégalité de Cauchy-Schwarz, cette dernière intégrale est
majorée par $\displaystyle \frac{2}{\mathrm{r}}\sqrt{}\overline{1_{1}\mathrm{I}_{2}(\mathrm{r})}$ avec
$$
\mathrm{I}_{1}=\int_{\check{\mathrm{x}}^{\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi\wedge}}\mathrm{f}_{(\mathrm{v}\wedge \mathrm{v}^{\mathrm{C}}\wedge \mathrm{d}\mathrm{z}_{\mathrm{J}}\wedge \mathrm{d}\overline{\mathrm{z}}_{\mathrm{J}})}^{*}
$$
$$
\mathrm{I}_{2}(\mathrm{r})=f_{\check{\mathrm{F}}^{-1}(\mathrm{a}_{\mathrm{P}\mathrm{P}}}\mathrm{v})\cap \mathrm{B}\langle \mathrm{r})^{\mathrm{d}\mathfrak{c}0\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi\wedge \mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi\wedge \mathrm{d}\check{\mathrm{F}}_{\mathrm{K}}\wedge\overline{\mathrm{d}\mathrm{f}_{\mathrm{K}}}}
$$
90

MESURES DE MONGE-AMPERE
Comme $\mathrm{v}$ est à support $\infty \mathrm{mpact}$ dans N. il existe des $\infty \mathrm{nstantes}$
$\mathrm{C}_{1},\ \mathrm{C}_{2}\geq 0$ telles que
va $\mathrm{v}^{\mathrm{C}}\wedge \mathrm{dz}_{\mathrm{J}}\wedge \mathrm{d}\overline{\mathrm{z}}_{\mathrm{J}}\leq \mathrm{c}_{1^{\omega}}^{\mathrm{n}-1}$,
$\mathrm{d}\check{\mathrm{F}}_{\mathrm{K}}\wedge\overline{\mathrm{d}\check{\mathrm{F}}_{\mathrm{K}}}=\check{\mathrm{F}}^{*}(\mathrm{dz}_{\mathrm{K}}\wedge \mathrm{d}\overline{\mathrm{z}}_{\mathrm{K}})\leq \mathrm{C}_{2}(\check{\mathrm{F}}^{*}\omega)^{\mathrm{n}-2}$ sur $\mathrm{r}^{-1}(\Re_{\mathrm{p}\mathrm{p}} \mathrm{v})$
Le lemme 12.1 (a) et (b) entraîne alors
$ 1_{1}\leq \mathrm{C}_{1}.\mathrm{r}_{\mathrm{x}}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi\wedge 1^{\check{\mathrm{F}}^{*}}\iota \mathrm{v})^{\mathrm{n}-1}<+\Phi$.
$\mathrm{I}_{2}\langle \mathrm{r})\leq \mathrm{C}_{2}\mathrm{r}_{\mathrm{B}\langle \mathrm{r})}\mathrm{dcp}\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi\wedge \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi\wedge\{\check{\mathrm{F}}^{\mathrm{s}_{11)}})^{\mathrm{n}-2}\leq \mathrm{CC}_{2}\mathrm{r}$
doù
$|\mathrm{I}| \displaystyle \leq\lim_{\mathrm{r}\rightarrow+\Phi}\frac{2}{\mathrm{r}}\sqrt{1_{1}\mathrm{I}_{2}\langle \mathrm{r}})=0$ . $\blacksquare$
$\mathrm{D}^{\mathrm{t}}$ après le théorème 15.3, $\}1$ existe une fonction psh V et
une $($1, $0)$-forme $\mathrm{u}$ de classe $\mathrm{C}^{\Phi}$ sur $\check{\mathrm{M}}$ ayant les propriétés sui-
vantes, pour des constantes $\mathrm{C}_{1},\ \mathrm{C}_{2},\ \mathrm{C}_{3}\geq 0$ convenables.
PROPRIETES 12.3. -
$$
(\mathrm{a})\ \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}\geq \mathrm{T}\ :
$$
(b) V (z) $\leq \mathrm{C}_{1}$ I{\it D} $\mathrm{g}(1+|\mathrm{z}|^{2})$ ;
$$
(\mathrm{c})\ \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{V}-\mathrm{T}=\overline{8}\mathrm{u}\ :
$$
$$
(\mathrm{d})\ |\mathrm{u}|_{0}\leq \mathrm{C}_{2}(1\ +|\mathrm{z}|^{2_{)}\mathrm{C}_{3}}
$$
Considérons alors la fonction $\tau =\mathrm{V}-\mathrm{f}_{\sim}\varphi$ définie sur l'ouvert
$\cap=\check{\mathrm{F}}\langle\check{\mathrm{X}})\subset\check{\mathrm{M}}$ . D'après 12.3 $\langle \mathrm{a}).\ \tau$ est psh sur $\Gamma$ , et de plus
$\mathrm{T} \leq \mathrm{V}$ Comme $\check{\mathrm{F}}_{*}\varphi$ tend vers $+_{\Phi}$ au vo isinage de $ 8\Omega.\ \tau$ tend
vers $-\infty$ en tout $\mathrm{po}\dot{\mathrm{u}}1\mathrm{t}$ de ò $\zeta^{\backslash }$. . Par conséquent, $\tau$ se prolonge en
une fonction psh sur $\check{\mathrm{M}}$, encore notée $\tau$ telle que $\tau =-\infty$ sur
$\check{\mathrm{M}}\backslash \zeta^{\backslash }$. .
CO $\aleph \mathrm{O}$ LLA IRE l2.4. --$\check{\mathrm{M}}\backslash \cap$. est une partie fe rmée pluripolaire
de $\check{\mathrm{M}}$ . $\blacksquare$
91

J. P. DEMAILLY
la prochaine étape est de montrer que $\check{\mathrm{N}}\backslash \Omega$ est en fait une
hypersurface algébrique de $\check{\mathrm{M}}$ D'après 12.3 (c) et la définition d{\it e} $\mathrm{T}$
on a :
21 $8\overline{8}(\mathrm{V}-\check{\mathrm{F}}_{\sim}\varphi)=\overline{\mathrm{a}}\mathrm{u}$ sur $\Omega$.
donc la (1,1-forme $\mathrm{h}$ définie par
(12.5) $\displaystyle \mathrm{h}=3(\mathrm{V}-\check{\mathrm{F}}_{*}\varphi)+\frac{\mathrm{u}}{2\mathrm{i}}=3\tau^{+\frac{\mathrm{u}}{2\mathrm{i}}} -$
est bolomorphe sur $\Omega$ : $\infty \mathrm{mme} \mathrm{u} \mathrm{e}$ st de classe $\mathrm{C}^{\Phi}$ sur $\check{\mathrm{M}}$ . ceci
démontre au passage que $\tau$ est de classe $\mathrm{C}^{\Phi}$ sur $\Omega$. Nous allons
maintenant prouver que $\mathrm{h}$ se prolonge en une 1-forme méromorphe
rationnelle sur M. Ceci va résulter essentiellement d{\it e} 8 estimations
12.3 $(\mathrm{b},\mathrm{d})$ et du théorème d'algébricité 8.5. Par $\infty \mathrm{nst}_{\mathrm{I}}\mathrm{uctlon}$ de $\mathrm{F}$
et $\check{\mathrm{X}}$ . les formes $(\mathrm{df}_{1},\ldots.\mathrm{N}_{\mathrm{n}})$ définissent un repère global de $\mathrm{T}^{*}\check{\mathrm{X}}$.
Les formes $(\mathrm{dz}_{1}\ldots..\mathrm{dz}_{\mathrm{n}})$ constituent donc aussi un repère de $r\check{\mathrm{N}}$
au-dessus d{\it e} l'ouvert $\Omega=\check{\mathrm{F}}(\check{\mathrm{X}})$ {\it e}t on peut écrire
$$
\mathrm{h}=\sum_{\mathrm{j}=1}^{\mathrm{n}}\mathrm{h}_{\mathrm{j}}\mathrm{dz}_{\mathrm{j}}
$$
avec des fonctions $\mathrm{h} \in \mathrm{O}\{\Omega)$ . Le principe $\alpha 1$ raisonnement consiste à
$$
\mathrm{j}
$$
vérifier que des fonctions $\mathrm{h}_{\int}\cdot\check{\mathrm{F}}$ sont à croissance cp-polynomiale. à
partir de la majoration de $\uparrow=\mathrm{V}-\check{\mathrm{F}}_{\sim}\varphi$ fournie par 12.3 (b) Le fait
qu $\mathrm{e}$ nous n{\it e} disposions pas de minoration d{\it e} $\uparrow$ introduit une difficulté
supplém entaire que nous allons court-circuiter en recherchant seulement
une estimation des fonctions $\exp(*\tau \cdot \mathrm{F})|\mathrm{h}_{\mathrm{J}}\{\check{\mathrm{F}})|$
LEMME l2.6. -- On $\infty$nsidère sur $\check{\mathrm{X}}$ la fonction d'exhaustion
$\check{\varphi}=$ I{\it D} $g\langle 1+\mathrm{e}^{\varphi})+$ Lo $\mathrm{g}(1+|\mathrm{f} |^{2})$
et la métrique associée
$$
\check{\mathrm{a}}=\ \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\check{\varphi}=\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{b}g(1+\mathrm{e}\$+f_{1\mathrm{v}}^{\mathrm{s}}.
$$
Les propriété8 suivantes sont alors vérifiées pour des cons-
$\underline{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{s}} \mathrm{p}>0$ assez petite et $\mathrm{C}_{4}.\ \mathrm{C}_{5}\geq 0$ assez grande $\epsilon$.
$$
(\mathrm{a})\ \int_{\lambda^{\check{\alpha}^{\mathrm{n}}}}<+\mathrm{v}\ :
$$
$$
(\mathrm{b})\ \mathrm{r}\ \mathrm{e}^{\mathrm{T}^{\mathrm{Q}}}\mathrm{F}\ -\mathrm{C}_{4}\check{\varphi}\mathrm{r}_{(\mathrm{i}\mathrm{b}\wedge\overline{\mathrm{h}})\wedge\dot{\mathrm{a}}}^{\iota}\ \mathrm{n}-\mathrm{l}\ <+\alpha\ ,
$$
$$
\check{\mathrm{X}}
$$
$$
\{\mathrm{c})\ \int_{\check{\mathrm{x}}}[\mathrm{e}\prime\ \mathrm{p}1\frac{1}{2}\tau\ \cdot\ \check{\mathrm{F}})|\mathrm{Q}\{\mathrm{F})|^{\mathrm{C}_{4}+1}|\mathrm{h}_{\mathrm{j}}(\check{\mathrm{F}})|]^{\mathrm{p}}\mathrm{e}^{-\mathrm{C}_{5}\varphi}8^{\mathrm{n}}<+n.
$$
92

MESURES DE MONGE-AMPERE
Démonst rat ion.
(a) est $\infty$nséquence immédiate du lemme 12.1 si on observe
que
$\displaystyle \mathrm{dd}^{\mathrm{C}}\mathrm{I}o\mathrm{g}\langle 1+\mathrm{e}^{\varphi})=\frac{\mathrm{e}^{\varphi}\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi}{1+\mathrm{e}^{\varphi}}+\frac{\mathrm{e}^{\varphi}\mathrm{d}\varphi\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi}{\{1+\mathrm{e}^{\varphi})^{2}}\leq \mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\varphi+\mathrm{e}^{-\varphi}\mathrm{d}\varphi\wedge \mathrm{d}^{\mathrm{C}}\varphi$.
(b) L'estimation 12.3 (b) implique
$\langle$12. 7) $\tau =\mathrm{V} -\check{\mathrm{f}}^{*}\varphi\leq \mathrm{V}\leq \mathrm{C}_{1}\mathrm{Iog}(1\star|\mathrm{z}|^{2})$ .
$$
\tau^{\mathrm{Q}}\check{\mathrm{E}^{\cdot}}
$$
donc la fonction $6=$ б g $\{1+\mathrm{e} )$ satisfait la majoration
$$
 6\leq\ \mathrm{L}D\ \mathrm{g}(1+(1+|\mathrm{z}|^{2})^{\mathrm{C}_{1}})\leq \mathrm{C}_{1}\check{\varphi}.
$$
Le $\infty \mathrm{I}\mathfrak{v}\mathrm{Uaire} 7.3$ appliqué à $\langle\check{\mathrm{X}},\check{\varphi})$ entrahe alors
\begin{center}
$\displaystyle \int_{\check{\mathrm{X}}}18\overline{8}8\wedge\check{\alpha} \mathrm{n}$-1 $<+_{\infty}$.
\end{center}
Un calcul immédiat donne par ailleurs
$$
\mathrm{v}
$$
$$
 18\overline{\delta}6=\check{\mathrm{F}}^{k}(\frac{\mathrm{i}8\overline{8}\mathrm{T}}{1+\mathrm{e}^{-\tau}}+\frac{\mathrm{i}\mathrm{e}^{\mathrm{T}}8\tau\wedge\overline{8}\tau}{(1+\mathrm{e}^{\tau})^{2}})\geq\check{\mathrm{F}}^{\mathrm{w}}\{\mathrm{ie}^{\mathrm{T}}8\tau\ \wedge\overline{8}\tau)\mathrm{e}^{-2\mathrm{C}_{1}\varphi}
$$
et il s'ensuit
\begin{center}
$\displaystyle \int_{\lambda}\mathrm{e}^{\mathrm{T}\circ\check{\mathrm{F}}-2\mathrm{C}_{1}\check{\varphi}}\check{\mathrm{F}}^{*}\langle \mathrm{i}8\tau\wedge\overline{8}\tau)\wedge\check{\alpha} \mathrm{n}$-1 $<+\mathrm{r}$.
\end{center}
Par définition de $\check{\alpha}$ on a d'autre part $\check{\alpha}\geq\check{\mathrm{F}}^{*}\omega \mathrm{L}'\mathrm{e}$ stimation 12.3 (d)
entraîne donc
$$
|\check{\mathrm{F}}^{*}\mathrm{u}|_{\alpha}^{\vee}\leq\langle|\mathrm{u}|_{\omega})_{0}\check{\mathrm{F}}\leq\ \mathrm{C}_{2}(1+|\check{\mathrm{F}}|^{2})^{\mathrm{C}_{3}}
$$
$\displaystyle \int_{\check{\mathrm{x}}}|\mathrm{r}_{\mathrm{u}|_{\check{\mathrm{a}}}\mathrm{e}\check{(}\mathrm{x}^{\mathrm{n}}\leq \mathrm{C}_{2}^{2}\int_{\check{\mathrm{x}}^{\check{\alpha}^{\mathrm{n}}<+\sim}}}^{*2\tau \mathrm{F}-(\mathrm{C}_{1}+2\mathrm{C}_{3})\infty}0\vee$.
La propriété $\langle \mathrm{b})$ résulte maintenant d{\it e} la définition de $\mathrm{h}=8\tau +\displaystyle \frac{\mathrm{u}}{2\mathrm{i}}$ et
de l'égalité
$$
|\check{1^{\backslash }\prime}\mathrm{u}|_{\check{\alpha}}\mathrm{a}\ =\ \mathrm{n}\check{\mathrm{F}}^{*}\langle \mathrm{iu}\wedge\overline{\mathrm{u}})\wedge \mathrm{a}
$$
$ 2\sim \mathrm{n} -$ n-1
$\{\mathrm{c})$ L'inégalité triviale $\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}$ L{\it D} $\mathrm{g}\langle 1+\epsilon^{\varphi})\geq \displaystyle \frac{1}{l}\mathrm{dd}^{\mathrm{c}}\mathrm{c}+\frac{1}{4}\mathrm{e}^{-*}\& 0\displaystyle \wedge \mathrm{d}^{\mathrm{c}}\varphi \mathrm{Y}$
entrame successivement
$\bullet$
$\check{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}\geq 2(\mathrm{dde})=2^{-\mathrm{n}}\mathrm{e}^{-\mathrm{n}\varphi_{\beta}\mathrm{n}-1}$
93

J. P. DEMAILLY
$$
\mathrm{P}^{\iota}(i\mathrm{h}\wedge\overline{\mathrm{h}})\wedge\check{\alpha}\ \mathrm{n}-\mathrm{l}\ \geq 2^{\mathrm{r}}\mathrm{e}^{-\mathrm{n}\varphi}.\mathrm{n}|\mathrm{f}^{\mathrm{s}_{\mathrm{h}}}|_{\beta}^{2}\beta^{\mathrm{n}}
$$
Par définition de $\check{\varphi}$ , on a d'autre part
$\check{\varphi}=\mathrm{I}o\mathrm{g}(1+\mathrm{e}^{\varphi})-2\mathrm{Iog}|\mathrm{Q}\{\mathrm{F})|\star \mathrm{I}o\mathrm{g}\langle 1+|Q(\mathrm{F})|^{2_{+}}|\mathrm{Q}(\mathrm{D}|^{2}|\mathrm{F}|^{2})\epsilon\varphi-2\mathrm{I}o\mathrm{g}|\mathrm{Q}(\mathrm{F})|+\mathrm{C}_{6}\mathrm{I}_{D}g(1+|\mathrm{F}|^{2})+\mathrm{C}_{7}$.
on $\mathrm{C}_{6}=1 +$deg(P) $\mathrm{L}'$ inégalité (b) nous donne donc -
\begin{center}
$\mathrm{r}_{\mathrm{X}}\mathrm{e}^{\tau_{0}\check{\mathrm{F}}-\mathrm{C}_{4^{\varphi}}}|4(\mathrm{F})|^{2\mathrm{C}_{4}}|\check{1}^{\backslash *}\mathrm{h}|_{\beta}^{2}(1+|\mathrm{F} |^{2_{)}}$ 4 6 $\beta^{\mathrm{n}}<+_{\Phi}$,
$$
-\mathrm{CC}
$$
\end{center}
et comme $|\mathrm{F}|\epsilon \mathrm{L}^{0}(\mathrm{X})\varphi$ , il s'ensuit
$$
\mathrm{e}\eta(\frac{1}{2}\tau_{9}\check{\mathrm{F}})|\mathrm{Q}(\mathrm{F})|\ |\check{\mathrm{F}}^{*}\mathrm{h}|_{\beta}\in \mathrm{L}^{0}\{\mathrm{X})\varphi
$$
$$
\mathrm{C}_{4}
$$
Par ailleurs, la fonction $\mathrm{h}_{\mathrm{j}}$ peut s'écrire sous la forme
$$
\mathrm{h}_{\mathrm{j}}=\langle-1)^{\mathrm{j}-1}\frac{\mathrm{h}\wedge \mathrm{d}\mathrm{z}_{1}\wedge.\cdot.\cdot\wedge\hat{\mathrm{d}\mathrm{z}}_{\mathrm{j}}\wedge \mathrm{d}\mathrm{z}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{d}\mathrm{z}_{1}\wedge.\wedge \mathrm{d}\mathrm{z}_{\mathrm{n}}}
$$
On a donc
$$
|\mathrm{h}_{\mathrm{j}}\langle \mathrm{p})|\leq\ |\check{\mathrm{F}}^{*}\mathrm{h}|_{\beta}|\ \mathrm{df}\  1|_{\beta}\cdots\ |\hat{\mathrm{d}\mathrm{f}_{\mathrm{j}}}|_{\beta}\ldots\ |\alpha_{\mathrm{n}}|_{\beta}|\mathrm{df}_{1}\wedge\ldots\wedge\alpha_{\mathrm{n}}|_{\beta}^{-1}\ ,
$$
et comme
$|$ df $ 1|_{\beta},\ldots,\ |\alpha_{\mathrm{n}}|_{6}\in \mathrm{L}^{0}\{\mathrm{X})\varphi$ (lemme 11.3 $\langle \mathrm{b}$) $]$
et $|\mathrm{r}_{\mathrm{n}+1}||$ df $ 1\wedge\ldots\wedge\alpha_{\mathrm{n}}|_{\beta}^{-1}\in \mathrm{L}^{0}(\mathrm{X})\varphi [\ln\epsilon \mathrm{gallt}611 7(\mathrm{a})]$.
{\it i}l vient
$$
\mathrm{c}_{4}
$$
$$
\mathrm{e}\Psi(\frac{1}{2}\tau_{0}\check{\mathrm{F}})|\mathrm{Q}(\mathrm{F})|\ |\mathrm{fn}+1||\mathrm{h}_{\mathrm{j}}\cdot\check{\mathrm{F}}|\epsilon\ \mathrm{L}^{0}\langle \mathrm{X})\varphi\ .
$$
Par hypothèse $\mathrm{Q}$ est divisible par $\mathrm{z}_{\mathrm{n}+1} \mathrm{i}.\mathrm{e}.\ \mathrm{Q}=\mathrm{z}_{\mathrm{n}+1}$ R.
La propriété (c) s'obtient alors en multipliant la fonction ci-dessus par
$|\mathrm{R}(\mathrm{F})|\epsilon \mathrm{L}^{0}(\mathrm{X})\varphi$ . $\blacksquare$
Afin de pouvoir travailler sur X plutôt que sur X. nous
aurons besoin du lemme élémentaire de prolongement ci-dessous.
1
LEMME 12.8. - Soit $\mathrm{S}=\mathrm{g}$ (0) une hyper surface de X.
$\underline{\mathrm{e}\mathrm{t}}$ 6 $\underline{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{e}}$fonction psh $\underline{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{r}} \mathrm{X}\backslash \mathrm{S} \underline{\mathrm{t}e}$lle oue$\mathrm{e}^{8}\epsilon *_{\mathrm{C}}^{1}1\mathrm{X}$)
Alors 6 $+\mathrm{I}_{D}\mathrm{g}|\mathrm{g}|^{2}$ s{\it e} prolonge en une fonction psh sur X.
94

MESL'BES DE MONGE-AMPEBE
Démonstration. -Il suffit de montrer que $\mathrm{e} +$ Iog $|\mathrm{g}|^{2}$ est
majorée au voisinage d{\it e} tout point régulie $\mathrm{r}$ de S. On peut donc suppo-
ser que X $\mathrm{e}$ st un ouvert d{\it e} $\mathrm{C}^{\mathrm{n}} \infty \mathrm{ntenant}$ le polydisque unité fermé
$-\mathrm{n}$
$\Delta$ , et que $\mathrm{S}=[\mathrm{z}_{1}=0\}$ L'inégalité de moyenne appliquée au polydisque
$\{\mathrm{z}_{1}+|\mathrm{z}_{1}|\Delta)\mathrm{x}\Delta^{\mathrm{n}-1}\subset \mathrm{X}\backslash \mathrm{S}$ pour tout point $\mathrm{z}\in \Delta^{\mathrm{n}} 0<|\displaystyle \mathrm{z}_{1}|<\frac{1}{2}$ .
implique
$$
\mathrm{e}^{6\langle \mathrm{z})}\leq\ \frac{1}{\mathfrak{n}^{\mathrm{n}}|\mathrm{z}_{1}|^{2}}\int_{\Delta^{\mathrm{n}}}\mathrm{e}^{6}\mathrm{d}\lambda
$$
$\mathrm{Ig}$ fonction 6 $+$ б g $|\mathrm{z}_{1}|^{2}$ est par suite majorée au voisinage de S. $\blacksquare$
$\mathrm{PI}\infty \mathrm{PoaTION}12.9$. - La l-fo ut $\displaystyle \mathrm{h}=\sum^{\mathrm{n}}\mathrm{h}$ dz se prolonge
en une 1-forme méromorphe rationnelle $\mathrm{surj}=\mathrm{l}\tilde{\mathrm{M}}\mathrm{jj}$
$$
-1
$$
Démonstration. Comme X $=\mathrm{X}\backslash \mathrm{Q}(\mathrm{F})$ (0) , les lemmes 12.6 (c) ei
12.8 montrent que
$$
\mathrm{p}\ \mathrm{bg}\ [\mathrm{er}1\frac{1}{2}\tau \mathrm{QF})|\mathrm{Q}\langle \mathrm{F})|\ |\mathrm{h}_{\mathrm{j}}\{\mathrm{F})|]+\mathrm{Io}g\ |\mathrm{Q}\langle \mathrm{F})|^{2}
$$
$$
\mathrm{c}_{4^{+1}}
$$
s'étend {\it e}n une fonction psh sur X. Il existe donc un entier $\mathrm{s}>0$
assez grand et $\epsilon >0$ assez petit tels que, si $\mathrm{g}$ désigne la fonction
holomorphe sur X définie par
$$
\mathrm{g}=\mathrm{Q}\{\mathrm{F})^{\mathrm{S}}\mathrm{h}_{\mathrm{j}}\langle \mathrm{F})
$$
alors la fonction $\displaystyle \frac{1}{2}\tau\circ \mathrm{F} +$ Lo $\mathrm{g}|\mathrm{g}|$ est psh sur X. {\it e}t
$$
\mathrm{r}\ \mathrm{e}\eta\ [\epsilon\langle\frac{1}{2}\tau_{0}\mathrm{F}+\log|\mathrm{g}|)-\mathrm{C}_{8}\varphi]\beta^{\mathrm{n}}<+_{\infty}.
$$
X
En raisonnant $\infty \mathrm{mme}$ dans le lemme 11. 3 (a), on $\mathrm{oR}$ ient par conséquent
$$
\lim\sup\frac{1}{\mathrm{r}}|\lrcorner_{\mathrm{r}}[\mathrm{t}\frac{1}{2}\tau\circ \mathrm{F}+10\mathrm{g}|\mathrm{g}|)_{+}]\leq\frac{\mathrm{C}_{8}-\mathrm{n}}{\mathrm{e}}\mathrm{Vol}(\mathrm{X}]<+\infty.
$$
$$
\mathrm{r}\rightarrow\vdash_{\infty}
$$
S$)$ it $\mathrm{P}\in \mathbb{C}1 \mathrm{X}_{0},\ \mathrm{X}_{1} \mathrm{X}]\mathrm{n}$ un px$)$lynôme tel que $\deg_{\mathrm{X}_{Q}}\mathrm{P}\leq \mathrm{k}_{\mathrm{p}}$ ei
soit 6 la fonction définie par
$$
\mathrm{c}\ =\ \mathrm{L}D\ \mathrm{g}|\mathrm{P}(\mathrm{g}.\mathrm{f}_{1}\ldots..\mathrm{f}_{\mathrm{n}})|+\ \mathrm{k}_{0^{(\frac{1}{2}\mathrm{T}\mathrm{o}}}\mathrm{F}+\mathrm{C}_{1}\log|\mathrm{Q}\langle \mathrm{F})|)
$$
D'après 1 estimation (12.7) et les résultats ci-dessu $\mathrm{s}$, 6 est psh sur
X ei vérifie une est imation
95

J. P. DEMAILLY
$6_{\star}\displaystyle \leq\sum_{\mathrm{j}=1}^{\mathrm{m}}\mathrm{k}_{\mathrm{j}}$ I{\it D} $\displaystyle \mathrm{g}_{+}|\mathrm{f}_{\mathrm{j}}|+\mathrm{k}_{0_{\iota}}\mathrm{r}_{\mathrm{t}}\frac{1}{2}\tau_{0}\check{\mathrm{F}}+$ Iog $|\mathrm{g}|)_{+}+\mathrm{C}_{9}\mathrm{I}o\mathrm{g}_{+}|\mathrm{F}|] +\mathrm{C}_{10}$.
Grâce au $\infty$ rollaire 7.3. on obtient la majoration
$\mathrm{I}_{\mathrm{x}^{\mathrm{d}\mathrm{d}^{\mathrm{c}}6\wedge\alpha^{\mathrm{n}-1}\mathrm{s}\mathrm{C}_{11}\mathrm{k}_{0}+\sum_{\mathrm{j}=1}^{\mathrm{n}}\mathrm{k}_{\mathrm{j}}6(\mathrm{f}_{\mathrm{j}})}}$
avec une constante $\mathrm{C}_{11}\geq 0$ Si a $\epsilon \mathrm{X}$. il en résuite l'inégalité
ordPa $(\mathrm{g},\mathrm{f}_{1\mathrm{n}} \mathrm{f})\leq \mathrm{C}_{12}(\mathrm{k}_{0}+\mathrm{k}_{1}+\ldots+\mathrm{k}_{\mathrm{n}}) \mathrm{C}_{12}\geq 0$ .
Le raisonnement du théorème 8.5 montre alors que $\mathrm{g}$ est algébrique
sur $\mathbb{C}(\mathrm{f}_{1}$  . et il {\it e}n $\mathrm{e}$ st donc d{\it e} même pour la fonction
$\mathrm{h}_{\mathrm{j}}(\check{\mathrm{Q}}=\mathrm{Q}\langle \mathrm{F})^{-\mathrm{s}}g$. Par suite $\mathrm{h}_{\mathrm{j}}$ est algébrique sur $\mathbb{C}(\mathrm{z}_{1},\ldots, \mathrm{z}_{\mathrm{n}})$ i.e.
$\mathrm{h}$ vérifie une équation
$\mathrm{j}$
$$
\sum_{\ell=0}^{\mathrm{d}}\mathrm{a}_{\mathrm{C}}(\mathrm{z}_{1},\ldots, \mathrm{z}_{\mathrm{n}})\mathrm{h}_{\mathrm{j}}^{\mathrm{e}}=0,\ \mathrm{a}_{\ell}\in\ \mathbb{C}[\mathrm{z}_{1},\ldots, \mathrm{z}_{\mathrm{n}}]\text{ , }\mathrm{a}_{\mathrm{d}}\not\equiv\ 0
$$
L'élément $\mathrm{a}_{\mathrm{d}}\mathrm{h}_{\mathrm{j}} \mathrm{e}$ st donc entier algébrique sur $\mathbb{C}[\mathrm{z}_{1},\ldots, \mathrm{z}_{\mathrm{n}}\mathfrak{l}$ : on en
déduit une majoration
$$
|\mathrm{a}_{\mathrm{d}}\{\mathrm{z})\mathrm{h}_{\mathrm{j}}\langle \mathrm{z})|\leq\ \mathrm{C}_{13}(1+|\mathrm{z}|)^{\mathrm{C}_{14}}
$$
Comme $\mathrm{h}_{\mathrm{j}}$ est holomorphe sur l'ouvert $\Omega\subset \mathrm{M}$ {\it e}t que le $\infty$mplément
taire $\check{\mathrm{M}}\backslash \Omega$ est pluripolaire, $\mathrm{a}_{\mathrm{d}}\mathrm{h}_{\mathrm{j}}$ se prolonge {\it e}n un polyltme sur M.
Par conséquent $\mathrm{h}=\Sigma \mathrm{h}$ dz s{\it e} prolonge en une 1-form $\mathrm{e}$ mél$\mathfrak{v}$morphe
$$
\mathrm{j}\ \mathrm{j}
$$
rationnelle sur $\check{\mathrm{M}}$ . $\blacksquare$
PROPOSITION 12.10. - aeit $\Omega_{1} \underline{1\mathrm{e}}$olus grand ouvertde
$\underline{\mathrm{Z}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{l}\epsilon \mathrm{k}\mathrm{l}}$de $\check{\mathrm{M}} \underline{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{r}}$leouel $\mathrm{h} \underline{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{x})\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{n}\mathrm{h}\mathrm{e}.}$Alors $\Omega =\Omega_{1}$
$\underline{\propto \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}}$. On a évidemment $\Omega \subset\Omega_{1}$ Pour obtenir $1'\ln-$
clusion réciproque, montrons d'abord que $\tau$ est de classe $\mathrm{C}^{\infty}$ su $\mathrm{r}$
$\Omega_{1}$ On sait que l'équation \{l2.5)
òv $=\displaystyle \mathrm{h}-\frac{\mathrm{u}}{2\mathrm{i}}$
a lieu sur $\Omega$ et que $\mathrm{v} := \displaystyle \mathrm{h}-\frac{\mathrm{u}}{2\mathrm{i}}\in \mathrm{C}_{1.0}^{\Phi}(\Omega_{1})$ puisque
$\mathrm{u}\in \mathrm{c}_{1.0}^{\sim}(\check{\mathrm{M}})$ Il vient $\mathrm{v}+\overline{\mathrm{v}}=\mathrm{d}\tau$ sur $\Omega$ , d'où $\mathrm{d}(\mathrm{v}+\overline{\mathrm{v}})=0$ sur $\Omega_{1}$
96

MESURES DE MONGE-AMPEBE
par continuité. Soit 1 $\Omega_{\mathrm{j}})_{\mathrm{j}\epsilon \mathrm{J}}$ un re $\infty \mathrm{uvrement}$ de $\Omega_{1}$ par des ouverts
simplement connexes. Il existe des fonctions $\tau_{\mathrm{j}}\in \mathrm{C}^{\Phi}(\Omega_{\mathrm{j}})$ telles que
$\mathrm{d}\tau =\mathrm{v}+\overline{\mathrm{v}}$ sur $\mathrm{Q}$ I4 fonction $\tau -\tau$ est alors localement $\infty \mathrm{ngante}$
$\mathrm{j} \mathrm{j} \mathrm{j}$
sur $\Omega_{\mathrm{j}}\cap\Omega$, donc $\infty$ nstante, car $\Omega_{\mathrm{j}}\cap\Omega=\Omega_{\mathrm{j}}\backslash \langle\check{\mathrm{M}}\backslash \Omega)$ est connexe. Par
suite $\tau\in \mathrm{c}^{\alpha}\{\Omega_{1})$ . et $\infty \mathrm{mme} \tau=-\infty$ sur $\check{\mathrm{M}}\backslash \Omega$. il s'ensuit que
$\Omega_{1}\backslash \Omega=\emptyset$ . $\blacksquare$
$$
-1
$$
CORO LLAIRE 12.11. $- \mathrm{F}\langle \mathrm{X}\backslash \mathrm{f} \langle 0)) \mathrm{e}$ st un ouvert de Zariski
$$
\mathrm{n}+1
$$
de $\mathrm{M}$
$$
-1
$$
Démonstration. Si $\mathrm{x}$ est un point $\mathrm{quel}\infty \mathrm{nque}$ de $\mathrm{X}\backslash \mathrm{f}$ (0) ,
$$
\mathrm{n}+1
$$
alors $\mathrm{F}\langle \mathrm{x})\not\simeq \mathrm{M}_{\mathrm{S}}\cup[\mathrm{z}_{\mathrm{n}+1}=0]$ , donc {\it i}l existe un polynôme $\mathrm{Q}_{\mathrm{x}}$ divisi-
ble par $\mathrm{z}_{\mathrm{n}+1}$ et s'annulant sur $\mathrm{M}_{\mathrm{S}}$ , tel que $\mathrm{Q}_{\dot{\mathrm{x}}}(\mathrm{F}\langle \mathrm{x}))\neq 0$ . D'après
$$
-1
$$
le $\infty$ rollaire 12.10, $\Omega_{\mathrm{x}}=\mathrm{F}\langle \mathrm{X}\backslash \mathrm{Q}_{\mathrm{x}}\langle \mathrm{F}) \langle 0\rangle)$ est un ouvert d{\it e} Zariski de
$\mathrm{M}$ , donc aussi la réunion
$$
-1
$$
$$
\mathrm{x}\epsilon \mathrm{x}\backslash \mathrm{f}_{\mathrm{n}+1}^{-1}(0)^{\Omega_{\mathrm{x}}}\cup=\ \mathrm{F}\langle \mathrm{X}\backslash \mathrm{f}_{\mathrm{n}+1}(0))\text{ . }\blacksquare
$$
Comme $\mathrm{X}\backslash \mathrm{f}^{-1}$ (0) est de Stein ainsi que son image biholomor-
$$
\mathrm{n}+1
$$
$$
-1
$$
phe, on voit en fait que le complémentaire $\mathrm{M}\backslash \mathrm{F}\langle \mathrm{X}\backslash \mathrm{f} \langle 0))$ est néces-
$$
\mathrm{n}+1
$$
sairement une hypersu rface algébrique de $\mathrm{M}$
$$
9_{l}^{-}
$$
13. --Démonstration du critère d'algébricité (cas lisse).
D'après la propo $\mathrm{s}$ tion 11. 7 (a), à tout point $\mathrm{x}_{0}\in \mathrm{X}$ on peut
associer un morphisme $\mathrm{F}^{(0)}=(\mathrm{f}_{1}^{\langle 0)},\ldots,\mathrm{f}_{\mathrm{N}_{0}}^{(0)})\in [\mathrm{A}^{0}\varphi\langle \mathrm{X})]^{\mathrm{N}_{0}}$ et une fonc-
tion $\mathrm{g}_{0}=\mathrm{f}^{\{0)}\mathrm{n}+1$ tels que Rouvert $\mathrm{X}\backslash \mathrm{g}_{0}^{-1}(0)\ni \mathrm{x}_{0}$ soit holomorphe par
$\mathrm{F}^{(0)}$ à un ouvert de Zariski d'une variété algébrique dans $\mathrm{a}^{\mathrm{N}_{0}} \mathrm{u}$
existe donc un re $\infty \mathrm{uvr}e\mathrm{m}e\mathrm{nt}$ dénombrable de X par de tels ouve rts
$-1 \{\mathrm{Ic})$ : $\mathrm{X}\rightarrow \mathbb{C}^{\mathrm{N}_{\mathrm{k}}}$ Considérons
$\mathrm{X}\backslash \mathrm{g}_{\mathrm{k}}\langle 0)$ , associé $\mathrm{s}$ à des morphismes $\mathrm{F}$
le morphisme produit
$$
\mathrm{F}_{\mathrm{k}}=\mathrm{F}^{(0)}\mathrm{xF}^{(1)}\mathrm{x}\cdots \mathrm{xF}^{\{\mathrm{k})}\ :\ \mathrm{X}\rightarrow \mathbb{C}
$$
$$
\mathrm{N}_{0}+\ldots+\mathrm{N}_{\mathrm{k}}
$$
D'après la proposition 8.5, Pimage $\mathrm{F}_{\mathrm{k}}(\mathrm{X}\gamma$ est $\infty\alpha \mathrm{enue}$ dans une variété
$$
\mathrm{N}_{0}+\ldots+\mathrm{N}_{\mathrm{k}}
$$
algébrique irréductible $\mathrm{M}_{\mathrm{k}}\subset \mathbb{C}$ de dimension $\mathrm{n}$ et le $\infty\infty 1-$
$$
-1
$$
laire 12.11 montre que $\mathrm{F}_{\mathrm{k}}(\mathrm{X}\backslash \mathrm{g}_{\mathrm{j}}$ (0) $)$ est un ouvert de $\tilde{4}$ ariski de $\mathrm{M}_{\mathrm{k}}$
sl jsk. Posons
$\displaystyle \mathrm{Y}_{\mathrm{k}_{\mathrm{j}}^{=}}\bigcap_{4}\mathrm{g}_{\mathrm{j}}^{-1}\langle 0).\ \mathrm{x}_{\mathrm{k}}=\mathrm{x}\backslash \mathrm{v}_{\mathrm{k}_{\mathrm{j}\leq \mathrm{k}}^{=\cup(\mathrm{X}\backslash \mathrm{g}_{\mathrm{j}}^{-1}\{0))}}$ .
Par construction $\mathrm{F}_{\mathrm{k}}:\mathrm{x}_{\mathrm{k}}-\mathrm{F}_{\mathrm{k}}(\mathrm{x}_{\mathrm{k}})\subset \mathrm{M}_{\mathrm{k}}$ est un isomorphisme, et
$\mathrm{p}_{\mathrm{k}}\langle \mathrm{X}_{\mathrm{k}})$ est un ouveil d{\it e} Zariski de $\mathrm{M}_{\mathrm{k}}$. On peut donc énoncer:
PROPOSTION 13. 1. - Si X vérifie les hyprthèses 9. 1 ' $[\mathrm{a}'.\mathrm{b}')$,
abrs X est réunion d'une suite croissante de variétés quasi-
$\underline{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}n}$es $\mathrm{X}_{\mathrm{k}},\ \underline{\mathrm{o}\mathrm{O}}$chaoue $\mathrm{x}_{\mathrm{k}} \underline{\mathrm{s}'\mathrm{i}\mathrm{d}e}$ntlfle a$\iota \mathrm{m}$ouvelSde Zariski
$\underline{\mathrm{d}\mathrm{e}} \mathrm{x}_{\mathrm{k}+1} \underline{\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}}$la structure $\mathrm{alg}6\mathrm{brique}$induite. $\bullet$
En d'autres termes. X a bien une structure d'espace anne lé
qui est ''localement'' celle $\mathrm{d}'\iota u1\mathrm{e}$ variété algébrique, mais $la$ ''topologie
d{\it e} Zariskï'' peut ne pas être quasi-compacte. Signalons qu'il existe
98

$\dot{\mathrm{M}}$ ESU RES DE MONGE-AMPEBE
effectivement de telle $\mathrm{s}$ variétés. $\mathrm{u}$ suffit de prendre pour X la surface
(lisse) sinx $=$ yz dans $\mathbb{C}^{3}$ ,
et pour $\gamma_{\mathrm{k}}$ la réunion des droites
$[\mathrm{J}$ tt $\} \mathrm{x}[0] \mathrm{xG}$ , $\mathrm{j}\in \mathrm{Z}$ , $|\mathrm{j}|>\mathrm{k}$. I4 variété $\mathcal{K} =\mathrm{X}\backslash \mathrm{Y}_{\mathrm{k}} \mathrm{s}'$ ident ifie
alors à la variété algébrique
$$
\mathrm{V}_{\mathrm{k}}:\mathrm{x}(1-\frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathfrak{n}^{2}})\ldots(1-\frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{k}^{2}\mathfrak{n}^{2}})=\ \mathrm{yz}
$$
via Papplication $\mathrm{v}_{\mathrm{k}}\leftarrow \mathrm{x}$ définie par
$$
\langle \mathrm{x},\mathrm{y},\ \mathrm{z})\leftarrow(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}')\ \mathrm{o}ù\ \mathrm{z}'=\mathrm{z}|\mathrm{j}|>\mathrm{k}\overline{||}(1-\frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{j}^{2_{\mathfrak{n}}2}})
$$
Nous allons maintenant montrer que la suite $\mathrm{t}^{\mathrm{x}}\rho$ est nécessai-
rement stationnaire si les espaces de $\infty$ hnmologie $\mathrm{H}^{2\mathrm{q}}\langle \mathrm{X}_{j}\mathrm{R})$ sont de
dimension finie [hypothèse 9.1 $\prime\langle \mathrm{c}')$].
LEMME l3.2. -- Soit X une variété analytique $\infty$ mplexe de
dimension $\mathrm{n} \mathrm{Y}$ un ensemble analytique de dimension $\leq \mathrm{p}$
$\underline{\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}}$ X, et $\mathrm{d}=$ n-p $=$ codim $\mathbb{C}$ Y. $\underline{\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{l}' \mathrm{e}\epsilon \mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}}$de cobmo-
logie relative $\mathrm{H}^{\mathrm{q}}\langle \mathrm{X}.\ \mathrm{X}\backslash \mathrm{Y}:\mathrm{m}\rangle \mathrm{e}$ st nul si $\mathrm{q}<2\mathrm{d}$ et
$\mathrm{H}^{2\mathrm{d}}\langle$ X. $\mathrm{X}\backslash \mathrm{Y}$: IR$) \approx \mathrm{R}^{\mathrm{J}}$
$$
\underline{00}\ (\mathrm{Y}_{\mathrm{j}})_{\mathrm{j}\epsilon \mathrm{J}}\ \underline{\mathrm{e}\alpha \mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{s}\omega \mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{r}\text{{\it é}} \mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}\epsilon \mathrm{d}\mathrm{e}}
$$
dimension $\mathrm{p}$ de $\mathrm{Y}$ .
Démonstration. Nous renvoyons par exemple à E. Spanier (Spl
pour les arguments élémentaires de topologie algébrique qui vont être
utilisés. On raisonne par récurrence sur $\mathrm{p}$ le résultat étant trivial
pour $\mathrm{p}=0$ Si $\mathrm{p}\geq 1$ soit $\angle$ la réunion du lieu singulier $\mathrm{Y}_{\mathrm{S}}$
{\it e}t des composantes irréductibles de $\mathrm{Y}$ de dimension $<\mathrm{p}$ de sorte
que $\dim \mathrm{Z}\leq$ p-1 La su it $\mathrm{e}$ exacte du triplet s'écrit
Hqlx. $x\backslash \mathrm{z}$) $-\mathrm{H}^{\mathrm{q}}\langle \mathrm{X}.\mathrm{X}\backslash \mathrm{Y})\rightarrow \mathrm{H}^{\mathrm{Q}}\langle \mathrm{X}\backslash \angle.\mathrm{X}\backslash \mathrm{Y}) \rightarrow \mathrm{H}^{\mathrm{q}+1}\langle \mathrm{X},X\backslash \mathrm{Z})$
Par hypothèse de récurrence $\mathrm{H}^{\mathrm{q}}$ \{{\it X}. $X\backslash \mathrm{Z})=\mathrm{H}^{\mathrm{q}\star 1} \langle X.\ \mathrm{X}\backslash \mathrm{Z})=0 [\mathrm{x})\mathrm{ur}$
$\mathrm{q}\leq 2\mathrm{d}$ donc $\mathrm{H}^{\mathrm{q}}$ \{X. $\mathrm{x}\backslash \eta\sim \mathrm{H}^{\mathrm{q}}\{\mathrm{X}\backslash \mathrm{Z},\ X\backslash \mathrm{Y})$ quitte à remplacer (X. Y)
par $\{\mathrm{X}\backslash $ Z. $\mathrm{Y}\backslash \mathrm{Z})$ on peut supposer $\mathrm{Y}$ lisse de dimension $\mathrm{p}$
99

J. P.. DEMAILLY
$\mathrm{Y}$ possède alors un voisinage tbulaire $\mathrm{U}$ homéomorphe au fibre nor-
mal NY . Grâce au théorème d'excision, on obtient donc
$$
\mathrm{H}^{\mathrm{q}}(\mathrm{X}.\mathrm{X}\backslash \eta\approx\ \mathrm{H}^{\mathrm{q}}(\mathrm{U},\ \mathrm{U}\backslash \mathrm{Y}\urcorner=\ \mathrm{H}^{\mathrm{q}}(\mathrm{NY}.\mathrm{N}^{\cdot}Y)
$$
où N $\mathrm{Y} \mathrm{e}$ st le $\infty$mplémenraire de la section nulle de NY. Comme
le fibré NY est de rang réel $2\mathrm{d}$ , le théorème d'isomorphisme de
Thom-Gysin implique
$\mathrm{Hq}$ (NY, $\mathrm{N}^{\cdot} \eta\approx \mathrm{H}^{\mathrm{q}^{-\underline{\cdot)}}\mathrm{d}}(\mathrm{Y})$,
{\it e}t pour $\mathrm{q}= 2\mathrm{d}$ , $\mathrm{H}^{0}\langle \mathrm{Y})\approx \mathrm{m}^{\mathrm{J}}$ . $\blacksquare$
Revenons maintenant à la situation d{\it e} la proposition 13.1, où
$\mathrm{x}_{\mathrm{k}}=\mathrm{X}\backslash \mathrm{Y}_{\mathrm{k}}$ , et posons $\dim \mathrm{Y}_{\mathrm{k}}=\mathrm{p}_{\mathrm{k}}$ , $\mathrm{d}_{\mathrm{k}}=\mathrm{n}-\mathrm{p}_{\mathrm{k}}$. I4 suite exacte
de la paire (X,  donne
$$
\mathrm{H}^{2\mathrm{d}_{\mathrm{k}^{-1}}}[\mathrm{X}\backslash \mathrm{Y}_{\mathrm{k}})\rightarrow \mathrm{H}^{2\mathrm{d}_{\mathrm{k}}}\{\ \mathrm{X}.\ \mathrm{X}\ \backslash \mathrm{Y}_{\mathrm{k}})\rightarrow \mathrm{H}^{2\mathrm{d}_{\mathrm{k}}}\langle \mathrm{X})
$$
Puisque $\mathrm{X}\backslash \mathrm{Y}_{\mathrm{k}}$ est isomorphe à une variété algébrique, $\mathrm{H}^{2\mathrm{d}_{\mathrm{k}}-1}(\mathrm{X}\backslash \mathrm{Y}_{\mathrm{k}})$
est de dimension finie, et 11 {\it e}n est de même par hypothèse $\iota \mathrm{x}$)ur
$\mathrm{H}^{2\mathrm{d}_{\mathrm{k}}}\langle \mathrm{X})$
$\mathrm{I}\epsilon$ lemme 13.2 montre donc que $\mathrm{Y}_{\mathrm{k}}$ n'a qu'un nombre fini
de composantes irréductibles de dimension maximale $\mathrm{p}_{\mathrm{k}}$. Comme $\mathrm{Y}_{\mathrm{k}}$
est une suite décroissante $\mathrm{d}'\mathrm{lIrersection}$ vide, on voit qu il existe $1>\mathrm{k}$
tel que $\mathrm{d}$ im $\mathrm{Y}_{\mathrm{P}}<\mathrm{p}_{\mathrm{k}}$. au bout $\mathrm{d}^{1}$ un nombre fini d'étape 8 on aura donc
$\mathrm{Y}_{\mathrm{e}}=\emptyset$ X $=\mathrm{x}_{\rho}$ Posons
$$
\mathrm{F}=\mathrm{F}_{?}=\mathrm{F}^{\{0)}\mathrm{x}\cdots\ \mathrm{xF}^{\langle 1)}\ \mathrm{M}=\mathrm{M}_{\mathrm{p}}\ \mathrm{N}=\ \mathrm{N}_{0}+\ldots+\mathrm{N}_{?}
$$
Le morphisme $\mathrm{F}$: X--$\mathrm{M} \subset \mathbb{C}^{\mathrm{N}}$ est alors un isomorphisme analytique
de X sur un ouvert de Zariski $\Omega \subset \mathrm{M}$ quitte à remplace $\mathrm{r} \mathrm{M}$ par
sa normalisation comme dans la démonstration 11. 7 (b), on peut suppo-
ser $\mathrm{M}$ normale. Puisque $\mathrm{f}^{\backslash }$ est de Stein, le complémentaire
$\mathrm{H}=\mathrm{M}\backslash \zeta^{\backslash }$ est nécessairement une hypersurface de M Désignons par
$\mathrm{K}( \cap)\approx \mathrm{K}(\mathrm{b}1)$ le $\infty$ rps des fonctions rationnelles sur $\zeta^{\backslash }$. , et par $\mathrm{R}(\mathrm{Q})$
l'anneau des fonctions régulières sur $\Omega$. Ecrivons
$\mathrm{F}=\{\mathrm{f}_{1},\ldots$, \S $) \in [\mathrm{A}_{\varphi}^{0}(\mathrm{X}\gamma 1^{\mathrm{N}}$ Le $\mathrm{c}$ o-morphisme $\mathrm{F}^{\iota}$ envoi $\mathrm{e} \mathrm{K}(\Gamma_{l})$ dans
le corps $\mathrm{O} (\{\ldots., \mathrm{f}_{\mathrm{N}})\subset \mathrm{K}\langle \mathrm{X})\varphi$. La proposition ci-dessous montre que les
100

\end{document}