{\it Bull. Soc. ma th. France},

$||().\ |9{{\$}}\backslash _{-}^{\prime\urcorner}$. p. $7\underline{5}_{-}|()_{-}^{\urcorner}$

FORMULES DE JENSEN
\begin{center}
\includegraphics[width=66.25mm,height=10.24mm]{./BSMF_1982__110__75_0_images/image001.eps}
\end{center}
PAR

J.-P. DEMAILLY $1*$)

Résumé. --En utilisant une généralisation à plusieurs variables de la formule de Jenscn, nous

démontrons de nouveaux lemmes de Schwarz dans $\mathbb{C}$. La méthode repose sur une minoration

des nombres de LELONG d'un court positif fermé. Nous en déduisons le théorème de

E. BOMBIERI $\mathrm{sUr}$ les valeurs algébriques de fonctions méromorphes, ainsi que quelques résultats

nouveaux sur les zéros de polynômes dans $\mathbb{C}^{*}$.

ABSTRACT. --Using a generalization in several variables of Jensen's formula, we prove new

Schwarz' Lemmas in C. The method rests upon a lower bound for LELONG nombres of closed

positive currents. As a conséquence, we find another proof of E. BOMBIERI'S Theorem on

algebraic values of $\mathrm{m}\epsilon \mathrm{romor} \dot{\mathrm{p}}$hic $\mathrm{ma}\triangleright$ together with some new results conceming zéro sets of

polynomials in $\mathbb{C}$.

0. Introduction.

Étant donné un système de $n+1$ fonctions méromorphes d'ordre fini

$f=(\gamma_{1^{\ }},\ldots,f_{n+1})$ dans $\mathrm{C}^{*}$, algébrquement indépendantes et vérifiant des

équations différentielles, les points algébrques de $f$ sont situés sur une

hypersurface algébrque dè $\mathrm{C}^{n}$. Ce résultat, d'abord démontré par

T. Schneider et S. Lang dans le cas $n=1$, a été étendu en plusieurs variables

par E. BOMBIERI [1] au moyen des estimations $L^{2}$ de L. Hôrmander pour

l'opérateur $\overline{\partial.}$ La méthode de E. Bombicri, qui a été reprise et améliorée

ensuite par H. $\mathrm{Sk}$\fbox{}$\mathrm{dA}[8]$, fournit simultanément une majoration pour le

degré de Fhypersurface. Le lecteur pourra consulter l'article récent de

P. LELONG [5] pour quelques compléments sur le sujet.

1$* )$ Texte $\mathrm{r}\infty \mathrm{u}$ le 9 février 1981. révisé le 23 mai 1981.

J.-P. DEMAILLY, Université de Paris-VI. Laboratoire d'Analyse complexe et Géométre,

Département de Mathématiques, Tour46-0, 4, place Jussieu. 75230 Paris Cedex

BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE -- $\infty$37-9484/] 982/75 /{\$} $s.\alpha)$

\copyright Gauthier-Villars

76

Le présent travail a pour but de démontrer le théorème de Bombieri sans

utiliser les estimations $L^{2}$, grâce à une extension convenable de la formule de

Jensen en plusieurs variables. Cette extension $(\phi$ \S 1 $)$ fait intervenir une

généralisation des notions de mesure trace, mesure projective, et nombre de

Leiong d'un courant positif fermé ( $\phi$ P. LELONG [4]). Lorsque la fonction

d'exhaustion $\varphi$ de référence est approximée par une fonction {\it homogène} $\psi$,

l'utilisation de l'égalité $(i\partial\partial{\rm Log}\psi)^{n}\equiv 0$ fait disparaître le terme correctif de

convexité, et conduit à un lemme de Schwarz assez général dans $\mathbb{C}^{n}$. Le lemme

ainsi obtenu nous permet de retrouver le théorème de Bombieri avec une

majoration différente, optimale pour $n=2$, du degré des hypersurfaces.

Le demier paragraphe est consacré à l'étude des polynômes s'annulant sur

un sous-ensemble fini de $\mathbb{C}^{n} (\phi\ \mathrm{M}.\ \mathrm{Wa}\iota \mathrm{dSChmidt}[9]\ \mathrm{et}\ [10])$. Nous avons pu

prouver sous certaines hypothèses une conjecture de G. V. CHUDNOVSKY,

dont une démonstration partielle pour le cas $n=2$) a été annoncée dans [2\}. $\mathrm{A}$

nom re connaissance, aucune preuve écrte ne semble $\iota \mathrm{o}_{\vee}\mathrm{ut}d\mathrm{ois}$ avoir été publiée

à ce jour.

L'utilité des formules générales de type Poisson-Jensen $\mathrm{m}' \mathrm{a}$ été suggérée

par un cours de M. H. SKODA, professé à l'Université de Pierre-et-Marie-

Curie en 1979. Je remercie vivement MM. Henri SKODA et Michel

WALDSCHMIDT pour d'utiles remarques qui ont contrbué à améliorer la

rédaction du présent travail.

1. Formules générales de type Poisson-Jensen

Les résultats qui suivent sont classiques dans leur principe, et constituent

une généralisation naturelle de la méthode employée par P. LELONG [4] pour

prouver l'existence des nombres de LELONG d'un courant positiffermé. Nous

avons préféré cependant redémontrer tou $\mathrm{s}$ des formules pour en donner une

version adaptée aux applications envisagées.

Soit $X$ une varété analytique complexe de dimension $n \geq 1,\varphi$ une fonction

de classe $C^{2}$, à valeurs dans l'intervalle] $-\infty,\ R[$, et exhaustive sur $X$. Pour

tous réels $r<R$ et $r_{1}<r_{2}<R$, on pose:
$$
B(r)=\{z\in X;\varphi(z)<r\},\ S(r)=\{z\in X;\varphi(z)=r\},
$$
$$
B(r)=\{z\in X;\varphi(z)\leq r\},
$$
$$
B(r_{1},\ r_{2})=\{z\in X;r_{1}\leq\varphi(z)<r_{2}\}=B(r_{2})\backslash B(r_{1}),
$$
\begin{center}
{\it Ê} $(r_{1},\ r_{2})=\{z\in X;r_{\iota}<\varphi(z)\leq r2\}=${\it Ê} ($r$2)$\backslash ${\it Ê} $(r_{1})$.
\end{center}
$\mathrm{TC})\mathrm{MI}:| |0-|982 -\backslash ^{0}|$

77

Par hypothèse, tous ces ensembles {\it sont} relativement compacts dans $X$.

Lorsque $r$ est une {\it valeur} régulière de $\varphi$, l'ensemble $S(r)$ est une hypersurface

compacte de classe $C^{2}$ de $X$, qui sera orentée canoniquement par la normale

extéreure $ d\varphi$. On note enfin:

$\alpha=${\it iô}$\partial$({\it Log}$\varphi$) sur Rouvert $\{\varphi>0\}$,
$$
\beta=i\partial\partial\varphi.
$$
ThéOrème 1. --{\it Soit} $T$ {\it uneforme} \& {\it classe} $C^{2}$ {\it et} $ d\ell$ {\it bidegré} $(n-p,n-p)$ {\it sur}

$X,\ 1\leq p\leq n$. {\it Si} $r_{1}$ {\it et} $r_{2},0<r_{1}<r_{2}<R$, {\it sont deux valeur régulières} $ de\varphi$, {\it on}

{\it a la formule}:

(1) $\displaystyle \int_{r_{1}}^{r_{2}}\frac{dt}{t^{p}}\int_{B\{t)}t\partial\partial T\wedge\beta^{p-1}$
$$
=\frac{1}{r_{2}^{p}}\int_{S(r_{2})}\tau_{\mathrm{A}\beta^{p-1_{\mathrm{A}}}t\partial\varphi}
$$
\begin{center}
$-\displaystyle \frac{1}{r_{1}^{p}}\int_{S(r_{1})}T\wedge\beta^{\mathrm{p}-1}$ A $t\displaystyle \partial\varphi-\int_{B(r_{1}.r_{1})}T$ A $\alpha^{p}$.
\end{center}
{\it Démonstration}. --On peut écrire:

$\displaystyle \varphi=\lim_{\mathrm{v}\rightarrow+\infty}\varphi_{\mathrm{v}}$ dans $C^{2}(X;\mathbb{R})$,

où $\varphi_{\mathrm{v}}$ est une suite décroissante de fonctions de classe $C^{\infty}$ dont les $\dot{\mathrm{p}}_{0}\mathrm{ts}$

critiques sont non dégénérés. Quitte à efectuer un passage à la limite, on peut

donc supposer que $\varphi$ est une fonction de {\it classe} $C^{\infty}$ {\it sans points critiques}

{\it dégénérés}, de sorte que la formule de Stokes s'applique au domaine {\it Ê} $(t)$ à

bord éventuellement singulier $\partial B(t)=S(t)$. Désignons par $j_{l}$ l'injection

$S(t)6 X$ (avec $t>0$ dans toute la suite). Il est clair que:
$$
j_{l}^{*}\partial\varphi+\dot{\int}^{*^{\neg}}c\varphi=j^{*}d\varphi=d(\varphi\circ\int,)=0.
$$
Un calcul immédiat foumit d'autre part:
$$
\alpha=\frac{i\partial\partial\varphi}{\varphi}-\frac{i\partial\varphi\wedge\partial\varphi}{\varphi^{2}},
$$
d'où $j_{\mathrm{t}}^{*}\alpha=j_{\mathrm{t}}^{*}\beta/t$; il en résulte d'après la formule de Stokes:

$\displaystyle \int_{B(l)}t\partial\partial T\wedge\beta^{p-1}=\int_{B(l)}-d(i\partial T\wedge\beta^{p-1})$
$$
=-\int_{S\{\mathrm{t})}i\partial T\wedge\beta^{p-1}=-t^{p-1}\int_{S(t)}i\partial T\wedge\alpha^{p-1}.
$$
$$
-
$$
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ $\mathrm{MATH}\dot{\mathrm{E}}$ MATIQUE DE FRANCE

78

On obtient donc:

$\displaystyle \int_{r_{1}}^{r_{*}}\frac{dt}{t^{p}}\int_{f(t)}i\partial\partial T\wedge\beta^{p-1}=-\int_{r_{1}}^{r_{*}}\frac{dt}{t}\int_{S(\prime)}i\partial T\mathrm{A}\propto\nu-1$

$=-\displaystyle \int_{l(r,,r_{l})}$ id ${\rm Log}\varphi_{\mathrm{A}}\partial T$ A $\alpha^{p-1}$.

Comme les formes de bidegré $(n+1,\ n-1)$ et $(n-1,\ n+1)$ sont nulles, il

vient:

id ${\rm Log}\varphi\wedge\partial T\wedge\alpha^{p-1}=\iota\partial{\rm Log}\varphi\wedge\partial T\wedge\alpha^{p-1}$
$$
=t\partial{\rm Log}\varphi\wedge dT_{\mathrm{A}}\alpha^{p-1}
$$
$$
=-d(T_{\mathrm{A}}\alpha^{p-1}\ \mathrm{A}\ i\partial{\rm Log}\varphi)+T_{\mathrm{A}}\alpha^{p}.
$$
En utilisant à nouveau la formule de Stokes, la demière intégrale s'écrit:
$$
\int_{\partial B\langle r,,r_{l})}\cdot\tau_{\wedge\alpha^{p-1}}\wedge t\partial{\rm Log}\varphi-\int_{f(r_{1}.r_{2})}T_{\mathrm{A}}\alpha^{\mathrm{p}},
$$
expression qui est égale précisément au second membre de la formule (1),

compte tenu de l'égalité {\it J}$*| \alpha=J_{\mathrm{t}}^{*}\beta/t.\ \blacksquare$

Les corollaires 1, 2, 3, 4 qui suivent sont des conséquences simples mais

fondamentales du théorème 1.

COROLLAIRE 1. --{\it Soit} $Tun$ {\it courantfermé} ({\it Tordre} $0$ {\it sur} $X (i.e. dT=0$ {\it et les}

{\it coefcients} \& $T$ {\it sont des mesures} \& {\it Radon}\}, de {\it bidegré} $(n-p,\ n-p)$. {\it Alors}

{\it pour tout} $r_{1},\ r_{2},0<r_{1}<r_{2}<R$, {\it on a les égalités}:
\begin{center}
(2)   $\displaystyle \frac{1}{r_{2}^{p}}\int_{S(r_{2})}T\wedge\beta^{p}-\frac{1}{r_{1}^{p}}\int_{S\mathrm{t}r_{\mathrm{t}})}T\wedge\beta^{p}=\int_{B(r,.r_{*})}T\wedge\alpha^{p}$.
\end{center}
$(\hat{2}) \displaystyle \frac{1}{r_{2}^{p}}\int_{l(r_{*})}T$ A $\displaystyle \beta^{p}-\frac{1}{r_{1}^{p}}\int_{l(r,)}T\wedge\beta^{p}=\int_{\ell_{(r_{1},r_{*})}}T_{\mathrm{A}}\alpha^{p}$,

{\it Démonstration}. -- La deuxième ligne se déduit de la première en

remplaçant $r_{1},\ r_{2}$ par $ r_{1}+\epsilon,\  r_{2}+\epsilon$ et en faisant tendre $\epsilon$ vers zéro. Comme

dans le théorème 1, on peut supposer que $\varphi$ est de classe $C^{\infty}$ et que $\varphi$ admet

$r_{1},\ r_{2}$ pour valeurs régulières (sinon écrre $\displaystyle \varphi=\lim\downarrow\varphi_{\mathrm{v}}$ et appliquer le

théorème de convergence dominée). Si $T$ est une $(n-p,\ n-p)$ forme de

TOhlE llO --1982 $-\mathrm{N}^{\mathrm{o}}$ [

79

classe $C^{2}$, le théorème 1 foumit, après application de la formule de Stokes :

(3) $\displaystyle \frac{1}{r_{2}^{p}}\int_{B\langle r_{2})}T\wedge\beta^{p}-\frac{1}{r_{1}^{p}}\int_{B(r_{1})}T\wedge\beta^{p}-\int_{B(r_{1},r_{2})}T\wedge\alpha^{p}$
$$
=\int_{r_{1}}^{r_{2}}\frac{dt}{t^{p}}\int_{B\{\iota)}i\partial\partial T\wedge\beta^{p-1}-\frac{1}{r_{2}^{p}}\int_{B(r_{2})}dT\wedge\beta^{p-1}\wedge i\partial\varphi
$$
$$
+\frac{1}{r_{1}^{p}}\int_{B(r_{1})}dT\wedge\beta^{-1}\wedge t\partial\varphi.
$$
La conclusion $\mathrm{r}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{s}u\mathrm{lte}\vee$ donc de l'affrmation suivante.

LEMME 1. - {\it L}'{\it égalité} (3) {\it est vraie pour tout courant} $T$ {\it de bidegré}

$(n-p.\ n-p)$ {\it qui est d}'{\it ordre} $0$ {\it ainsi que ses difféérentielles} $dT,\ i\partial\overline{\partial}T$.

{\it Démonstration}. --En utilisant une partition de l'unité, on se ramène

aussitôt au cas où le courant $T$ est à support dans une carte locale. Comme

tous les termes de l'égalité (3) sont continus   gauche par rapport à $r_{1},\ r_{2}$, il

suffit en fait de vérifierl égalité (3) pour un ensemble dense de valeurs de $r_{1},\ r_{2}$.

On observe que l'ensemble $D$ des réels $t>0$ tels que $S(t)$ ne soit pas

négligeable pour l'une des mesures coefficients de $T,\ dT$ {\it ou} $iddT$ {\it est} au plus

dénombrable. Soit alors $(\mathrm{p}^{\epsilon})$ une famille de noyaux de convolution dans la

carte locale considérée. Appliquons l'égalité (3) à la forme régularisée $T\star \mathrm{p}^{\epsilon}$;

il vient, en notant $\chi_{B\langle r,)}$ la fonction caractérstique de l'ensemble $B(r_{1})$:

$\displaystyle \int_{B|r_{1}|}(T\star \mathrm{p}^{\epsilon})\wedge\beta^{p}=\int T\wedge[\mathrm{p}^{\epsilon}\star(\chi_{B\langle r_{1})}\beta^{\mathrm{p}})]\rightarrow\int T\wedge\chi_{B(r_{1})\beta^{\nu}}$ si $r_{1}\not\in D$,

car $(\chi_{B(r_{1})}\beta^{p})\star \mathrm{p}^{\epsilon}$ converge simplement vers $\chi_{B\langle r_{1})}\beta^{p}$ sur le complémen-

taire de l'ensemble {\it T}-négligeable $S(r_{1})$.

On raisonne de même pour les autres termes $($avec $r_{2}\not\in D,\ t\not\in D).\ \blacksquare$

On rappelle qu un courant $T$ de bidegré $(n-p,\ n-p)$ est dit (faiblement)

positif si le $(n,\ n)$ courant:
$$
i^{p}T\wedge u_{1}\wedge\overline{\mathrm{u}}_{1}\wedge\ldots\wedge \mathrm{u}_{p}\wedge\overline{\mathrm{u}}_{p},
$$
est une mesure positive, pour tout système $(\mathrm{u}_{1},\ \mathrm{u}_{2^{\ }},\ldots,\ \mathrm{u}_{p})$ de $($1, $0)$ forme de

classe $C^{\infty}.\ T$ est alors un courant d'ordre nul. Le corollaire 1 entraîne

immédiatement le résultat suivant.

BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE

80

COROLLAIRE -{\it On suppose que lafonction} ${\rm Log}\varphi$ {\it est plurisousharmonique}

{\it sur l}'{\it ouvert} $\{\varphi>0\}$. {\it Alors, pour tout courant} positif fermé $ Td\ell$ {\it bidegré}

$(n-p,\ n-p)$ {\it sur} $X$, {\it fonction positive}:
$$
r\mapsto\frac{1}{r^{p}}\int_{\partial lr)}T_{\mathrm{A}}\beta^{p},
$$
{\it est croissante par rapport à} $r$. {\it En particulier, la limite}:
$$
\lim_{r>0.r\rightarrow 0^{\frac{1}{r^{p}}}}\int_{B(r)}T\wedge\beta^{p},
$$
{\it existe toujours}.

Le corollaire 2 est classique lorsque $X=\mathbb{C}$, et

$\varphi(z)=|z|^{2}=|z_{1}|^{2}+\ldots+|z_{n}|^{2}$ (P. LELONG [4]). On désigne alors par:

$\displaystyle \sigma_{r}=T\wedge\frac{\beta^{p}}{2^{\mathrm{p}}p!}$ , la $\langle\langle$ mesure trace $\rangle$ de $T$,

$\displaystyle \mathrm{v}_{r}=\frac{1}{(2\pi)^{p}}T\wedge\alpha^{p}$, la $\langle\langle$ mesure projective $\rangle\rangle$ de $T$,

de sore qu on a la formule:
$$
\frac{p!}{\pi^{p}rP}\int_{l\{r_{*})}d\sigma_{T}-\frac{p!}{\pi^{p}r_{1}^{2p}}\int_{f(r.)}d\sigma_{r}=\int_{S\langle r_{1}.r_{*})}d\mathrm{v}_{r},
$$
avec la notation usuelle $B(r)=\{z\in \mathbb{C}^{n};|z|<r\}$.

la limite $\displaystyle \mathrm{v}_{T}(0)=\lim_{r\rightarrow 0}\mathrm{p}!/\pi^{p}r^{2p}\int_{B(r1}d\sigma_{T}$ est appelée nombre de LELONG

du courant $T$ au point $0$.

Nous allons maintenant examiner le cas important $p=n$.

COROLLAIRE 3. --{\it Soit} $V$ {\it unefonction plurisousharmonique sur} $X,\ r_{1},\ r_{2}$ {\it deux}

{\it valeurs régulières} $ d\ell\varphi$. {\it On} $a$:

$\displaystyle \int_{r_{1}}^{r_{2}}\frac{dt}{t^{n}}\int_{p_{1\prime})}i\partial\partial V_{\mathrm{A}}\beta^{n-1}=\frac{1}{r_{2}^{n}}\int_{S(r_{2})}V\beta^{n-1}$ A $ i\partial\varphi$
$$
-\frac{1}{r_{1}^{n}}\int_{S(r_{1})}V\beta^{*-1}\wedge i\partial\varphi-\int_{f(r_{1}.r_{l})}V\alpha^{*}.
$$
TOME 110 $-1982 -\mathrm{N}^{\mathrm{o}}$]

81

{\it Démonstration}. --Soit $(U_{j})$ un recouvrement de $X$ par des domaines de

cartes $U_{j}\subset\subset X,\ (\psi_{j})$ une partition de l'unité subordonnée au recouvrement

$(U_{j}),\ (\mathrm{p}_{j}^{\epsilon})$ une famme de noyaux régularisants à symétre sphérique dans

l'ouvert $U_{j}$. On applique la formule (1) à la suite de fonctions $C^{\infty}$ :
$$
T_{\mathrm{v}}=\sum_{j}\psi_{j}.\  V\star\ \mathrm{p}_{j}^{1/\mathrm{v}},
$$
qui converge simplement vers $V$ en décroissant. On raisonne alors comme

dans le lemme 1, en utilisant le fait que Ket $dV$ sont dans $\mathrm{h}_{\infty}^{1}$, et que le co urant

positif $t\partial\partial V$ est d'ordreO. Les détails sont laissés au lecteur. $\blacksquare$

COROLLAIRE 4. --{\it On suppose que tou tes les valeurs critiques positives} de $\varphi$

{\it sont non dégénérées, que lafonction} ${\rm Log}\varphi$ {\it est} $\dot{p}${\it lurisousharmonique sur l}'{\it ouvert}

$\{\varphi>0\}$, {\it et que la forme} $a^{n}$ est identiquement nulle. {\it Alors on a la formule}:

$\displaystyle \int_{r_{1}}^{r_{2}}\frac{dt}{t^{n}}\int_{B(\iota)^{t\partial\partial V\wedge\beta^{n-1}}}=\frac{1}{r_{2}^{\mathrm{n}}}\int_{S(r_{2})}V\beta^{n-1}\wedge t\partial \displaystyle \varphi-\frac{1}{\mu_{1}}\int_{S(r_{1}\mathfrak{l}}V\beta^{n-1}\wedge i\partial\varphi$,

{\it et lafonction} $r\displaystyle \mapsto 1/r^{n}\int_{s(r)}V\beta^{n-1} \wedge l$ {\it ò}$\varphi$ {\it est croissante convexe par rapport à}

${\rm Log} r$.

{\it Démonstra tion}. --La dérivée à gauche:
$$
\frac{d^{-}}{d{\rm Log} r}(\frac{1}{r^{n}}\int_{S\langle r)}V\beta^{n-1}\wedge t_{0}^{\overline{\neg}}\varphi),
$$
existe, et elle est donnée par l'expression:
\begin{center}
$\displaystyle \frac{1}{r^{n-1}}\int_{B\{r)}i\partial\partial V$ A $\beta^{n-1}$,
\end{center}
qui est fonction croissante de ${\rm Log} r$ (corollaire 2). $\blacksquare$

Dans $\mathbb{C}^{n}$, si on choisit $\varphi(z)=|z|^{2}$, on vérifie que:
$$
\alpha^{n}\equiv 0,
$$
\begin{center}
$t\displaystyle \partial\partial V\wedge\beta^{n-1}=\frac{1}{4n}\Delta V.\beta^{n}=2^{n-2}(n-1)$ ! $\Delta V.d\lambda$,

$j^{*}(\beta^{n-1}\wedge i\partial\varphi)=2^{n-1}(n-1)$! $rdS$,
\end{center}
où A désigne la mesure de Lebesgue dans $\mathrm{C}^{n}$, et $dS$ la mesure superficielle de

la sphère $S(r)=\{z\in \mathbb{C}^{n};|z|=r\}$. L'égalité du corollaire 4 s{\it e} transcrit {\it donc}
$$
\leftarrow
$$
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE

--

82

sous la forme classique:
$$
\int_{r_{1}}^{r_{2}}\frac{dt}{\rho\cdot-1}\int_{f(1)}\Delta V.n=\frac{1}{r_{2}^{2^{\mathrm{n}-1}}}\int_{S(r_{l})}VB-\frac{1}{\prime_{1^{*-1}}}\int_{B(r_{1})}VdS.
$$
2. Estmation des nombres de Leiong

Dans les applications à la théorie des nombres, nous utiliserons les

formules précédentes pour des courants du type:
$$
T=\frac{i}{\pi}\partial\partial{\rm Log}|F|,
$$
où $F$ est une fonction entière. D'après l'équation de Lelong-Poincaré, $T$ est le

courant d'intégration sur le cycle analytique défini par $F;T$ est donc un

courant positif fermé de bidegré (1, 1).

Dans c{\it e} paragraphe, nous supposerons plus généralement que $F$ est $u\dot{\mathrm{n}}\mathrm{e}$

fonction analytique dans un ouvert $\Omega$ {\it d}e $\mathrm{C}^{\mathrm{n}}$;la fonction plurisousharmo nique

$V$ sera le potentiel $V={\rm Log}|F|$ du courant $T=(i/\pi)\partial\partial{\rm Log}|F|$, et on choisira

pour $\varphi$ une fonction du type:
$$
\varphi=\sum_{\mathrm{j}=1}^{N}|F_{j}|^{2},
$$
où les fonctions $F_{j}$ sont analytiques sur $\Omega$. Dans ces conditions, il est aisé de

minorer le $\langle\langle$ nombre de LELONG généralisé $\rangle)$, égal à la limite quand $r$ tend vers

zéro de la fonction:
$$
r\mapsto\frac{1}{(2\pi r)^{n-1}}\int_{B(r)}T_{\mathrm{A}}\beta^{n-1},
$$
(fonction qui est croissante d'après le corollaire 2).

PROPOSInoN 1. --{\it Soit} $z_{0}$ {\it un point de} $\Omega,\ \omega$ {\it un voisinage ouvert de} $z_{0}$

{\it relativement compact dans} $\Omega$. {\it On suppose que lesfonctions} $F,\ F_{1},\ F_{2},\ \ldots,\ F_{N}$

{\it s}'{\it annulent en} $z_{\mathrm{o}}$ {\it aux ordres} $s,\ s_{1}\leq s_{2}\leq\ldots\leq s_{N}$ et que le nombre:
$$
R=\inf_{z\epsilon\partial\omega}\varphi(z),
$$
$est>0$. {\it Alors pour tou} $ tr\in$]$0,\ R[$, {\it on} $a$:
$$
\frac{1}{(2\pi r)^{n-1}}\int_{B(r)\cap\omega}\tau_{\mathrm{A}\beta^{n-1}\geq s}s_{1}\text{ . . . }s_{n-1}\ \mathrm{t}^{1}).
$$
$1^{1})$ Ces estimations sont en fait valables dans une situation beaucoup plus générale, et nous ont

permis d'encadrer les nombres de LELONG associés à l'image directe d'un courant positiffermé

({\it voir} [{\it 3}]).
$$
-
$$
tout 1 lO --1982 $-\mathrm{N}^{\mathrm{o}}1$

83

{\it Démonstration}. -- Notons que d'après les hypothèses, l'ensemble

analytique $\{z\in\tau 0;F_{1}(z)=\ldots=F_{N}(z)=0\}$ est compact, donc fini, .ce qui

entraîne $N\geq n$. Le résultat est clair pour $n=1$. Dans le cas général $n\geq 2$,

nous procéderons d'abord à quelques réductions, et nous poserons $z_{0}=0$

pour simplifier.

{\it É tape} 1. --Soient $P_{1},\ \ldots,\ P_{N}$ les polynômes homogènes {\it d}e degré $s_{1},\ \ldots$,

$s_{N}$ égaux aux parties principales des développements de Taylor de $\mathrm{F}_{1},\ \ldots,\ F_{N}$

au point $0$. Il n'est pas restrictif de supposer que les polynômes $P_{1},\ \ldots,\ P_{n}$

s'annulent simultanément {\it au seul point} $0$.

En effet, les polynômes homogènes $P_{1},\ \ldots,\ P_{n}$ de degré $s_{1},\ \ldots,\ \mathrm{s}_{n}$ qui ne

vérifient pas cette condition, constituent un ensemble algébrque $A$ dans

l'espace $\mathbb{C}^{t}$ des familles de coeficients. Il suffit donc de substituer à

$F_{1},\ \ldots,\ F_{n}$ des fonctions $F:,\ \ldots,\ F_{n}^{*}$, telles $\mathrm{q}u\epsilon|F_{j}^{\epsilon}-F_{j}|\leq\epsilon$ sur $\overline{\mathrm{t}\mathrm{o}}$, obten ues

en approchant les parties principales de $F_{1},\ \ldots,\ F_{n}$ par des polynômes

$P_{1}^{\epsilon},\ \ldots,\ P_{n}^{\epsilon}$ dont le point représentatif est situé dans {\it C}$\nwarrow${\it Â}.

On remplace $\varphi$ par la fonction {\it d}e classe $C^{2}$ :
$$
\varphi_{\epsilon}(z)=\sum_{j=1}^{n}|F_{j}^{\mathrm{g}}(z)|^{2}+(C|z|)^{*}\sum_{j-n+1}^{N}|F_{j}(z)|^{2},
$$
et on choisit les constantes:
$$
C=\sup_{\infty\backslash f(r)^{\frac{1}{|z|}}},\ r_{\mathrm{g}}=(\sqrt{r}-\epsilon\sqrt{n})^{2},\ \epsilon<\sqrt{\frac{r}{n}}
$$
de sorte que les conditions $z\in(0, \varphi_{\epsilon}(z)<r_{\epsilon}$ entraînent $\varphi(z)<r$. Si l'on pose

$\beta_{\epsilon}=i\partial\overline{\partial}\varphi_{*}$, et si l'on fait tendre $\epsilon$ vers zéro, le théorème de convergence

dominée montre que:

$\displaystyle \frac{1}{(2\pi r_{\epsilon})^{n-1}}\int_{\{z\epsilon\circ:\varphi.(z)<r.\}}T_{\mathrm{A}}\beta_{\mathrm{g}}^{\mathrm{r}-1}\rightarrow\frac{1}{(2\pi r)^{n-1}}\int_{f(r)\cap\Phi}T\wedge\beta^{n-1}$,

donc il suffit de démontrer l'inégalité pour le membre de gauche.

{\it Étape} 2. - Nous allons maintenant nous débarrasser des fonctions

$F_{n+1},\ \ldots,\ F_{N}$.

Posons $R_{\epsilon}=\displaystyle \inf_{z\mathrm{e}h}\varphi.(z)$, de sorte que $R_{*}\geq(\sqrt{R}-\epsilon\sqrt{n})^{2}>r..\mathrm{D}' \mathrm{apr}\grave{\mathrm{c}}\mathrm{s}$ le

corollaire 2, appliqué à la varété :
$$
X=\{z\in cn;\ \varphi.(z)<R_{\epsilon}\},
$$
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE

l'expression :
$$
\frac{1}{(2\pi \mathrm{p})^{n-1}}\int_{z\epsilon 0!;\mathrm{p}.\langle z)<\mathrm{p}^{\mathrm{I}}},\ T\wedge\beta_{\epsilon}^{n-1},
$$
est fonction croissante d{\it e} $\mathrm{p}$ {\it dans} l'intervall $e$] $0,\ R_{*}[$, car la fonction ${\rm Log}\varphi_{*}$ est

plurisoushamonique. Vu {\it les} hypothèses sur les parties principales des

fonctions $F_{1}^{*},\ \ldots,\ F_{n}^{*},\ F_{n+1},\ \ldots,\ F_{N}$, il est clair que :
$$
\sum_{j=1}^{n}|\mathrm{F}_{j}^{*}(z)|^{2}\geq C_{1}|z|^{u}\cdot,
$$
$$
(C|z|)^{\epsilon}\sum_{j=n+1}^{N}|F_{j}(z)|^{2}\leq C_{2}|z|^{2s_{*1^{+\epsilon}}}\cdot\leq C_{3}|z|^{2s.+\epsilon},
$$
avec des constantes $C_{1},\ C_{2},\ C_{3}>0$. Par suite, la fonction $\varphi_{\epsilon}$ est équivalente à

la fonction :
$$
\psi_{*}(z)=\sum_{j=1}^{\mathrm{n}}|F_{j}^{*}(z)|^{2},
$$
$\mathrm{lorsqu}e|z|\mathrm{t}e\mathrm{nd}$ vers zéro. Comme $\beta_{*}\geq\gamma_{\epsilon}=i\partial\overline{\partial}\psi_{\epsilon}$ et comme le courant $T$ est

positif, il en résulte:

$\displaystyle \lim_{\mathfrak{p}\rightarrow 0}\frac{1}{(2\pi \mathrm{p})^{n-1}}\int_{z\epsilon\omega;\varphi.\{z\rangle<\mathrm{p}\}}T\wedge\beta_{\epsilon}^{*-1}$
$$
=\lim_{\mathrm{p}\rightarrow 0}\frac{1}{(2\pi \mathrm{p})^{n-1}}\int_{-\epsilon\omega.\psi_{r}1^{-)<\mathrm{p}}}.|\ T_{\mathrm{A}}\beta_{\epsilon}^{n-1}
$$
$$
\geq\lim_{\rho\rightarrow 0}\frac{1}{(2\pi \mathrm{p})^{n-1}}\int_{\{z\mathrm{e}(0.\psi.(z|<\rho\}}T\wedge\gamma_{\epsilon}^{n-1}.
$$
{\it É tape} 3. --En défmitive, on peut supposer que $N=n$, {\it e}t que les parties

principales $P_{1},\ \ldots,\ P_{n}$ des fonctions $F_{1},\ \ldots,\ F_{n}$ n'ont pas d'autre zéro

commun que $0$. Dans ces conditions, on a l{\it e} lemme suivant, qui est le point

crucial d{\it e} la démonstration.

lemme 2. --{\it Il existe un voisinage} $U$ {\it de} $0$ {\it dans} $\mathrm{co}$, {\it une boule eu clidienne} $D$ {\it de}

$centre  0e\iota$ {\it de rayon} $\sqrt{R'}<\sqrt{R}$ {\it dans} $\mathbb{C}^{n}$, {\it et un ensemble analytiqu} $e\mathrm{Y}\subset D$ {\it tels}

$\mathrm{T}()\mathrm{MF}1 |0-1982-\mathrm{N}^{\mathrm{o}}1$

85

{\it que l}'{\it application} $f=(F_{1},\ \ldots,\ F_{n})$ {\it soit un revêtement}:
$$
U\backslash r^{-1}(\mathrm{Y})\rightarrow D\backslash \mathrm{Y},
$$
{\it à} $ s_{1}s_{2}\ldots s_{n}$ {\it feuillets}.

{\it Esquisse de démonstration} $du$ {\it lemme} 2. --Les hypothèses entraînent que le

point $0$ est isolé dans la fibre $f^{-1}(0)$;l'{\it e}xis lemme du revêtement ramifié décrit

dans l'énoncé {\it e}n découl $e$ ({\it cf}. par exemple R. NARASIMHAN [7]).

Il reste à montrer que l{\it e} nombre de feuillets $\mathrm{v}$ vaut $ s_{1}s_{2}\ldots s_{n}$ (on notera

que $\mathrm{v}$ est constant au-dessus de la base $D\backslash \mathrm{Y}$ par connexité d{\it e} celle-ci).

Hfectuons à cet efet {\it u}n $\langle\langle$ changement d'échelle $\rangle\rangle$, {\it e}n remplaçant les

fonctions $F_{1},\ \ldots,\ F_{n}$ {\it e}t l'application $f$ par :

$F_{j.\mathrm{O}}(z)=P_{j}(z),\ F_{j},\ (z)=\lambda^{-s},F_{j}(\lambda z)$ si $0<|\lambda|\leq 1$,
$$
f_{1}=(F_{1,1^{\ }},\ldots,\ F_{n.1}),
$$
o{\it ù} le nombre complexe $\lambda$ tend vers zéro. Le théorème des fonctions implicites

montre que $\mathrm{v}=\mathrm{v}(\lambda)$ est localement constant au voisinage de $\lambda=0$, donc

indépendant de $\lambda$. On est donc ramené à montrer que l'application :
$$
p=(P_{1^{\ }},\ldots,\ P_{n}):\mathbb{C}^{n}\rightarrow C^{n},
$$
est un revêtement ramifié $ s_{1}\mathrm{s}_{2}\ldots s_{n}$ feuillets, lorsque le point $(P_{1^{\ }},\ldots,\ P_{n})$

est dans le complémentaire $\mathbb{C}^{d}\backslash A$ d{\it e} l'ensemble algébrique $A$ (pour la

défmition de $A$, {\it voir} l{\it e} début de l'étape 1). Il suffit d'observer comme ci-

dessus que lorsque $(P_{1^{\ }},\ldots,\ P_{n})$ décrt $\mathbb{C}^{t}\backslash A$, l{\it e} nombre de feuillets $\mathrm{v}$ reste

localement constant; $\mathrm{v}$ est donc constant par connexité d{\it e} $\mathbb{C}^{d}\backslash A$. Comme

l'égalité :
$$
\mathrm{v}=s_{1}s_{2}\ldots s_{n},
$$
est montre part évidente si l'on choisit $P_{j}(z)=z_{J^{f}}^{s}$, la conclusion s'ensuit. $\blacksquare$

Achevons maintenant la preuve de la proposition 1. On p{\it eut} supposer que

l'ensemble $f^{-1}(\mathrm{Y})$ du lemme 2 n{\it e} contient aucune composante irréductible

{\it d}e l'hypersurface $U\cap F^{-1}(0)$ : sinon modifier les fonctions $F_{1},\ \ldots,\ F_{n}$ en

appliquant une $\langle\langle$ petite $\rangle\rangle$ rotation dans l'espace des variables $(z_{1^{\ }},\ldots,\ z_{n})$ et

raisonner comme à] étape 1. Lorsque $r<R'1\sqrt{R'}=$ rayon de la boule $D$ du

lemme 2), on peut effectuer le changement {\it d}e variable :
$$
w=(w_{1},\ \ldots,\ w_{n})=(F_{1}(z)_{\ }\ldots,\ F_{n}(z));
$$
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE

86

on obtient:

$\displaystyle \frac{1}{(2\pi r)^{n-1}}\int_{B\{r)\cap\omega}T\wedge\beta^{n-1}=\frac{1}{(2\pi r)^{n-1}}\int_{z\epsilon U\backslash r^{-(Y);\varphi\{z)r\}}}.\frac{i}{\pi}\partial\overline{\partial}{\rm Log}|F|\wedge\beta^{n-1}$
\begin{center}
$=\displaystyle \frac{1}{(2\pi r)^{n-1}}\int_{w\epsilon D\backslash Y|v|^{*}<r\}}:\frac{i}{\pi}\partial\overline{\partial}{\rm Log}|G|$ A $\eta.-1$
$$
=\overline{(2\pi}\frac{1}{r)^{n-1}}\int_{|\cdot|<r}\frac{i}{\pi}\partial\overline{\partial}{\rm Log}|G|_{\mathrm{A}}\eta^{*-1},
$$
\end{center}
avec $\eta=i\partial\overline{\partial}|w|^{2},\ G(w)=\displaystyle \prod_{z\in\Gamma^{1}(v)}F(z)$. La fonction $G$, qui est défnie

{\it a priori} sur $D\backslash Y$, est localement bomée a{\it u} voisinage de $\mathrm{Y}$, donc s{\it e} prolonge

en une fonction analytique dans la boule $D$. On va minorer l'ordre

d'annulation $q$ {\it d}e $G$ a{\it u} point $0$. On a vu plus haut (étape 2) q{\it u} on avait :
$$
|w|^{2}=\sum_{j-1}^{\mathrm{R}}|F_{j}(z)|^{2}\geq C_{4}|z|^{2s}\cdot,
$$
lorsque $|z|$ est assez petit; par suite $|z| \leq C_{\mathrm{s}}|w|^{1h}$. et :
$$
|G(w)\ |\leq C(|w|^{sls}\cdot)^{*_{1}\ldots s}\cdot=C_{6}|w|^{u_{1}\ldots s_{-1}}\cdot,
$$
d'où $ q\geq ss_{1}\ldots s_{n-1}$. La proposition 1 résulte de l'égalité classique :
$$
1\dot{\mathrm{m}}_{r\rightarrow 0}\frac{1}{(2\pi r)^{n-1}}\int_{w|^{1}<r}\frac{i}{\pi}\partial\overline{\partial}{\rm Log}|G|\wedge\eta^{\mathrm{n}-1}=q.\ \blacksquare
$$
Nous aurons besoin également du résultat suivant, qui se démontre de

manière analogue.

PROPOSmoN 2. --{\it Soient} $P,\ P_{1},\ P_{2},\ \ldots,\ P_{N}$ {\it des polynômes} \& {\it degrés}

{\it respect} $fs6,\  6_{1}\geq 6_{2}\geq$. . . $\geq 6_{N}$ \&{\it ns} $\mathrm{C}^{*}$, {\it tels que la fonction}:
$$
\varphi(z)=\sum_{j-1}^{N}|P_{j}(z)|^{2},
$$
{\it soit exhaustive, et doit} $T=i/\pi\partial\overline{\partial}{\rm Log}|P|,\ \beta=i\partial\overline{\partial}\varphi$. {\it Alors}:
$$
\lim_{\mathrm{r}\rightarrow+\infty}\uparrow\frac{1}{(2\pi r)^{n-1}}\int_{f(r)}T\wedge\beta^{n-1}\leq\delta\delta_{1}\ldots 6_{n-1}.
$$
$\mathrm{Tt})\mathrm{MF} |10 -1982 -\mathrm{N}^{\mathrm{Q}}1$

87

{\it Démonstration}. --Les hypothèses entraînent que $N\geq n$. Posons:
$$
w=(w_{1^{\ }},\ldots,\ w_{n})=(P_{1}(z),\ \ldots,\ P_{n}(z)),
$$
$$
\varphi_{\epsilon}(z)=|w|^{2}+(\epsilon+\sum_{j=n+1}^{N}|P_{j}(z)|^{2})^{1-\epsilon},
$$
$$
\beta_{\epsilon}=i\partial\overline{\partial}\varphi_{\epsilon},\ \eta=i\partial\overline{\partial}|w|^{2}.
$$
Il vient:
\begin{center}
(4)   $\displaystyle \frac{1}{(2\pi r)^{n-1}}\int_{B\langle r)}T\wedge\beta^{n-1}=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{1}{(2\pi r_{\epsilon})^{n-1}}\int_{\varphi.\{z)<r}.T\wedge\beta^{n-1}$,
\end{center}
où $r_{\epsilon}=\displaystyle \inf\{z)=r\varphi_{\epsilon}$ tend vers $r$ quand $\epsilon$ tend vers zéro.

D'autre part, le corollaire 2 montre que :

(5) $\displaystyle \frac{1}{(2\pi r_{\epsilon})^{n-1}}\int_{\varphi.\langle z)<r}.T\wedge\beta_{\epsilon}^{n-1}\leq\lim_{\rho\rightarrow+\infty}\uparrow\frac{1}{(2\pi \mathrm{p})^{\prime\prime-1}}\int_{\varphi.(z)<\mathrm{p}}$ {\it T}A $\beta_{\epsilon}^{n-1}$.

Soient maintenant $u_{1},\ u_{2},\ \ldots,\ \mathrm{u}_{f}$ des formes linéaires en $z_{1},\ \ldots,\ z_{n}$ telles

que le sy stème de (1, 1) formes positives :
$$
idu_{j}\wedge d\overline{u}_{j},\ 1\sim<j\leq n^{2},
$$
constitue une base de l'espace vectoriel des (1, 1)-formes. Si l'on procède

comme dans la démonstration précédente, on est amené à faire les hypothèses

supplémentaires (6), (7) qui suivent:

(6) Les parties homogènes de plus haut degré de $n$ quelconques des

$1+n+n^{2}$ polynômes :
$$
P,\ P_{1},\ \ldots,\ P_{n},\ \mathrm{u}_{1},\ \ldots,\ u_{n^{1}},
$$
n'ont pas d'autre zéro commun $\mathrm{q}$ {\it u}e le point $0$ (sinon modifier légèrement

$P_{1},\ \ldots,\ P_{n},\ \mathrm{u}_{1},\ \ldots,\ u_{n^{2}})$.

(7) Il existe une petite constante $c>0$ telle que:
$$
\sum_{j=n+1}^{N}|P_{j}(z)|^{2}\geq c|z|^{2b}\cdot,
$$
(augmente $\mathrm{r}$ au besoin $N$, et introduire des polynômes de degré $6_{n}$ ayant de

petits coefficients).

Il est clair qu on a des égalité $s$ de la forme :
$$
\beta_{\epsilon}=\eta+\sum_{j=1}^{n^{2}}a_{j}(z)du_{j}\wedge d\overline{u}_{j}.
$$
\begin{center}
(8)   $\displaystyle \beta_{\epsilon}^{n-1}=\eta^{n-1}+\sum_{|\mathfrak{l}|+|/|\approx n-1,|/|\geq 1}a_{l.J}(z)dw, \wedge d\overline{w}, \wedge d\mathrm{u}_{J}\wedge d\overline{u}_{J}$,
\end{center}
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE

88

où la somme est étendue aux multi-indices croissants :

$I=\{i_{1^{\ }},\ldots,\ i_{l}\}\subset\{1,2_{\ }\ldots,\ n\},\ J=\{j_{1^{\ }},\ldots,j_{l}\}\subset\{1,2_{\ }\ldots,\ n^{2}\}$,

et o{\it ù} :
$$
|I\ |=k,\ |J|=l,\ dw_{I}=dw_{i_{1}}\wedge\ldots\wedge dw_{i_{\iota}},
$$
$$
 h_{J}=d\ell_{j_{1}}\wedge\text{ . . . }\wedge h_{j_{\mathrm{I}}}.
$$
L'inégaliU (7) entraîne :

(9) $\left\{\begin{array}{l}
|a_{j}(z)|\leq C_{1}(1\ +|z|^{2})^{\delta.(1-\cdot)-1},\\
|a_{l.J}(z)|^{\iota/|J|}\leq C_{2}(1+|z|^{2}f^{(1-\cdot)-1}.
\end{array}\right.$

En vertu de la condition (6), on a de p{\it lus} :
\begin{center}
(10)   $1+|z|^{2}\leq C_{3}(1+|w|^{2})^{1/\delta}$.
\end{center}
et l'inégalité $|w|^{2}<\mathrm{p}$ implique :
\begin{center}
(12)   $\displaystyle \mathrm{u}^{2}=\sum_{j=1}'|\mathrm{u}_{j}|^{2}\leq C_{4}(1+\mathrm{p})^{1/\delta}\cdot$.
\end{center}
D'aplès le lemme 2, l'application :
$$
p:\ z=(z_{1^{\ }},\ldots,\ z_{n})\mapsto w=(P_{1}(z)_{\ }\ldots,\ P_{\mathrm{n}}(z)),
$$
réali {\it s}e un revêtement ramifié d{\it e} $\mathbb{C}^{n}$ à $ 6_{1}\delta_{2}\ldots 6_{n}$ feuillets. De même, pour

tout couple de multi-indices $I\subset\{1,2_{\ }\ldots,\ n\},\ J\subset\{1,\ 2_{\ }\ldots,\ n^{2}\}$ tels que

$|I|+|J|=n-1$, l'application :
\begin{center}
(12)   $(z_{1^{\ }},\ldots,\ z_{n})\mapsto(P(z),\ (w_{j})_{j\epsilon\prime},\ (\mathrm{u}_{j}(z))_{j\mathrm{e}J})$,
\end{center}
est {\it u}n revêtement ramifié de $\mathbb{C}^{n}$ (à, disons, $\mathrm{v}_{l,J}$ feuillets). On obtient comme à

l'étape 3 de la proposition 1 :

(13) $\displaystyle \lim\sup_{\rho\rightarrow+\infty}\frac{1}{(2\pi \mathrm{p})^{n-1}}\int_{\varphi.\{z)<\rho}T\wedge\eta^{n-1}$
$$
\leq\lim_{\mathrm{p}\rightarrow+\infty}\frac{1}{(2\pi \mathrm{p})^{n-1}}\int_{w|<\rho}\frac{i}{\pi}\partial\overline{\partial}{\rm Log}|Q|\wedge\eta^{n-1},
$$
où :
$$
Q(w)=\prod_{*ep^{-1}}{}_{\{v\mathrm{I}}P(z).
$$
$1\mathrm{t} \mathrm{MI};110 -1982 -\mathrm{N}^{\mathrm{o}}1$

89

Comme $|Q(w)|\leq[C_{5}(1+|w\ |)^{1/8}\cdot]^{u_{1}}\ldots \epsilon,Q$ s{\it e} prolonge {\it e}n un polynôme de

degré $ q\leq\delta 6_{1}\ldots \delta_{n-1}$, {\it e}t on a donc classiquement :

(14) $\displaystyle \lim_{\rho\rightarrow+\infty}\frac{1}{(2\pi \mathrm{p})^{n-1}}\int_{w|^{2}<\rho}\frac{i}{\pi}\partial\overline{\partial}{\rm Log}|Q|\wedge\eta^{n-1}=q\leq\delta\delta_{1}\ldots 6_{*-1}$.

$\mathrm{n}$ nous reste à majorer les termes correctifs issus {\it d}e I identité (8). On $\mathrm{a}$, en

posant $m=|I |^{2}+|J|^{2}$ :

$|(_{(=1<\mathrm{p}}T\wedge a_{l,J}(z)4v_{J}\wedge d\overline{w}_{\mathrm{J}}\wedge h_{J^{\mathrm{A}}}d\overline{u}_{J}|$
$$
\leq\sup_{\varphi.(z)<\rho}|a_{l,J}(z)|.\ \int_{\varphi.(z)<\rho}\frac{i^{n+1}}{\pi}\partial\overline{\partial}{\rm Log}|P|
$$
$$
\wedge dw_{l}\wedge d\overline{w}_{l}\wedge h_{J}\wedge d\overline{\ell}_{J},
$$
car les courants $(i/\pi)\partial\overline{\partial}{\rm Log}|P|$ et $\iota^{n}[Reject]_{1}\wedge[Reject]_{l}^{-}\wedge h_{J}\wedge\overline{h}_{\mathrm{J}}$ sont positifs;

l'utilisation du changement de variable (12), combinée à l'inégalité (11),

foumit:

$\displaystyle \int_{\varphi.(z)<\mathrm{p}}\frac{i^{m+1}}{\pi}\partial\overline{\partial}{\rm Log}|P|\wedge dw_{l}\wedge d\overline{w}_{\iota^{\mathrm{A}}}h_{J^{\mathrm{A}}}\overline{h}_{J}$
$$
\leq \mathrm{v}_{1.J}\int_{P-0.|w|^{2}<\mathrm{p}.|u|^{2}<C.(1+\rho)^{1}}..\iota^{\tau n}dw_{\mathrm{J}}\wedge d\overline{w}_{I}\wedge h_{J}\wedge\overline{h}_{J}
$$
$$
\leq \mathrm{v}_{\mathrm{J}.J}(2\pi \mathrm{p})^{|\mathrm{J}|}(2\pi C_{4}(1+\mathrm{p})^{1/\delta}\cdot)^{|J|}.
$$
Les inégalités (9), (10) {\it e}t (11) entraînent d'autre part:
$$
\sup_{\varphi.(z)<\mathrm{p}}|a_{l.J}(z)|\leq[C_{2}(C_{3}(1+\mathrm{p})^{1/\delta}\cdot)^{\delta.\{1-\epsilon)-1}]^{|J|},
$$
on obtient donc (compte tenu de {\it ce} $\mathrm{q}$ {\it u}e $|I |+|J|=n-1$) :

(15) $\displaystyle \int_{\varphi.(z)<\rho}T\wedge a_{l.J}(z)dw_{\iota^{\mathrm{A}}}d\overline{w}, \wedge d\mathrm{u}, \wedge d\overline{u},\ |\leq C_{6}$ tl $+\mathrm{p})^{n-1-\epsilon|J|}$.

La conclusion se déduit des lignes (4), (5), (8), (13), (14), (15). $\blacksquare$

Les propositions 1 {\it e}t 2 admettent les conséquences suivantes (corollaires 5

et 6), qui nous seront utiles ultér eurement.

COROLLAIRE 5. --{\it Soient} $F_{1},\ \ldots,\ F_{N}$ {\it des fonctions holomorphes dans un}

{\it ouvert} $\Omega$ {\it de} $\mathbb{C}^{n}$, {\it qui s}'{\it annulen} $\mathrm{t}$ {\it respectivement aux ordres} $s_{1}\leq s_{2}\leq\ldots\leq s_{N}$ {\it en}

{\it un point} $ z_{\mathrm{o}}\in\Omega$.

BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE

90

{\it On pose} $\displaystyle \varphi(z)=\sum_{j=1}^{N}|F_{j}(z)|^{2},\ \beta=i\partial\overline{\partial}\varphi$, {\it et on suppose donné un voisinage}

{\it ouvert} $\omega\subset \mathrm{c}\Omega$ {\it de} $z_{0}$ {\it tel que le nombre}:
$$
R=\inf_{z\epsilon h}\varphi(z),
$$
$soit>0$. {\it Alors pour tou} $ tr\in$] $0,\ R[ona$:
$$
\frac{1}{(2\pi r)^{n}}\int_{l(r)\mathrm{n}\omega}\beta^{*}\geq s_{1}\mathrm{s}_{2}\ldots s_{n}.
$$
On voit que la quantité $\displaystyle \lim_{r\rightarrow 0}\uparrow 1/(2\pi r)^{n}\int_{s1r)\cap\Phi}\backslash \beta^{\mathrm{n}}$ doit être considérée

comme une $(\langle$ multiplicité d'intersection $\rangle\rangle$ a{\it u} point $z_{0}$ des cycles analytiques

défnis par les fonctions $F_{j}$; il resterait à en trouver une interprétation

géométrque précise.

{\it Démonstration}. --On identifie $\mathbb{C}^{n}$ à l'hyperplan $z_{n+1}=0$ de $\mathbb{C}^{n+1}$. On

pose :
$$
F(z_{1^{\ }},\ldots,\ z_{n+1})=z_{n+1},\ T=\frac{i}{\pi}\partial\overline{\partial}{\rm Log}|F|,
$$
$F_{N+1} (z_{1^{\ }},\ldots,\ z_{n+1})=z_{n+1}^{N+1}$, avec $s_{N+1}\geq s_{N}$,
$$
\psi(z)=\sum_{j=1}^{N+1}|F_{j}(z)|^{2},\ \gamma=i\partial\overline{\partial}\psi.
$$
Comme $T$ est l{\it e} courant d'intégration sur l'hyperplan $\mathbb{C}^{n}$, il est clair que :
$$
\frac{1}{(2\pi r)^{n}}\int_{B\langle r)\cap 0!}\beta^{n}=\frac{1}{(2\pi r)^{n}}\int_{\phi\langle z)<r,(z_{1}\ldots..z.)\mathrm{e}\mathrm{o}!}T\wedge\gamma^{n},
$$
et il $\mathrm{sufl}5\mathrm{t}$ donc d'appliquer la proposition 1, avec $s=1.\ \blacksquare$

En plongeant d{\it e} même $\mathbb{C}^{n}$ dans $\mathbb{C}^{n+1}$, la proposition 2 entraîne :

COROLLAIRE 6. --{\it Soient} $P_{1},\ \ldots,\ P_{N}$ {\it des polynômes de degrés respectfs}

$6_{1}\geq 6_{2}\geq\ldots\geq\delta_{N}$ {\it dans} $\mathbb{C}^{n}$ {\it tels que la fonction}:
$$
\varphi(z)=\sum_{j=1}^{N}|P_{j}(z)|^{2},
$$
{\it soit exhaustive et soit} $\beta=i\partial\overline{\partial}\varphi$. {\it Alors}:
$$
\lim_{r\rightarrow+\infty}\uparrow\frac{1}{(2\pi r)^{n}}\int_{(z)<r}\beta^{n}\leq 6_{1}\delta_{2}\ldots\delta_{n}.
$$
$7\mathrm{OME} 110-1982 -\mathrm{N}^{\Phi}1$

91

3. Un lemme de Schwarz dans $\mathbb{C}^{n}$

On considère comme précédemment une fonction entière $F$ dans $\mathbb{C}^{n}$, et des

polynômes $P_{1},\ P_{2},\ \ldots,\ P_{N}$ {\it de} degré 8, dont les parties homogènes d{\it e} plus

haut degré $Q_{1},\ Q_{2},\ \ldots,\ Q_{N}$ admettent pour {\it unique zéro commun le point} $0$. On

pose :
$$
\varphi(z)=\sum_{j=1}^{N}|P_{j}(z)\ |^{2},\ \beta=i\partial\overline{\partial}\varphi,
$$
$$
T=\frac{i}{\pi}\partial\overline{\partial}{\rm Log}|F|,\ |F|_{r}=\sup_{|z|\leq r}|F(z)|.
$$
Les formules d{\it e} Jensen du paragraphe 1 permettent de minorer la quantité

${\rm Log}|F|_{R}/|F|_{r}$ par la masse moyenne du co urant $T$ relativement à la forme $\beta$.

ThéOrème 2. --{\it II existe une constante} $ C\in$]$0,1]$ {\it ne dépendant que des}

{\it polynômes} $P_{1},\ \ldots,\ P_{N}$ {\it telle que pour tout} $R\geq r\geq 1$ {\it on ait}:
$$
\int_{\iota}^{CR^{1\iota}}\frac{dt}{t^{n}}\int_{\varphi\{z)<\iota}T\wedge\beta^{n-1}\leq(26)^{n}\pi^{\prime\prime-1}{\rm Log}\frac{|F|_{R}}{|F|_{\mathrm{r}}}.
$$
{\it Démons tration}. --Procédons d'abord à une première réduction. D'après le

$\mathrm{p}\mathrm{nci}_{\mathfrak{X}}$ du maximum on a $|F|_{r}=|F(a)|$ avec $|a|=r$; effectuons une

dilatation d{\it e} l'espace de manière   nous ramener à la situation dans laquelle

$r=1,\ a=0$.

Posons :
$$
\varphi_{a}(z)=\frac{1}{r^{28}}\varphi(rz+a),\ \psi(z)=\sum_{j=1}^{N}|Q_{j}(z)|^{2},
$$
$$
\beta_{a}=i\partial\overline{\partial}\varphi_{a},\ \gamma=l\partial\overline{\partial}\psi,
$$
$$
i-
$$
$$
F_{a}(z)=F(rz+a),\ T_{a}=\partial\partial{\rm Log}|F_{a}|\overline{\pi}.
$$
Pour tout $R\geq r$, l'inégalité du théorème 2 résultera d{\it e} l'inégalité :
$$
\int_{1}^{C(R/r)^{1}}.\ \frac{dt}{t^{n}}\int_{\varphi.(z)<\iota}T_{a}\wedge\beta_{a}^{n-1}\leq(2\delta)^{n}\pi^{n-1}{\rm Log}\frac{|F_{a}|_{(R-|a|)/r}}{|F_{a}(0)|},
$$
soit, quitte à remplacer $(F_{a},\ T_{a})$ par $(F,\ T)$ et $R$ par $rRC^{-1/2\delta}$:
\begin{center}
(16)   $\displaystyle \int_{1} \displaystyle \frac{dt}{t^{n}}\int_{\varphi.(z)<\iota}T\wedge\beta_{a}^{n-1}\leq(2\delta)^{n}\pi^{n-1}{\rm Log}\frac{|F|_{CR}}{|F(0)|}$,
\end{center}
pour tout $R\geq 1; 0\underline{\mathrm{n}}\underline{\mathrm{c}}$oisira- alors $C^{-1/2\delta}=1 +C_{1}$.

BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE

92

{\it Étape} 2. --Pour établir (16), nous écrrons $\beta_{l}^{\pi-1}$ sous la forme:

$\beta_{a}^{n-1}=\gamma^{n-1}+$ temes de degré inféreur

{\it e}t nous décomposerons le premier membre de (16) {\it e}n la somme de la partie

principale $\displaystyle \int_{1}^{R}\frac{` lt}{t^{n}}\int_{\psi(z)<t}T\wedge\gamma^{n-1}$, {\it e}t d'un certain nombre d{\it e} termes

correctifs. Il est clair qu il existe des constantes $C_{2},\ \ldots,\ C_{7}$ telles que :
\begin{center}
(17)   $|z|\leq C_{2}(1+\varphi_{a}(z))^{1/2\delta}$,

(18)   $C_{3}^{-1}|z|^{28}\leq\psi(z)\leq C_{3}|z |^{2\delta}$,

(19)   $\psi(z)\leq\varphi_{a}(z)+C_{4}(1+|z|)^{2\delta-1}$,

$\beta_{a}\leq\gamma+C_{5}(1+|z|)^{2\delta-3}\eta$, o{\it ù} $\eta=i\partial\overline{\partial}|z|^{2}$,

(20)   $\beta_{a}^{n-1}\leq\gamma^{n-1}+C_{6}(1+|z|)^{2(n-1)\{\delta-1)-1}\eta^{n-1}$,

(21)   $\beta_{\mathrm{n}}^{n-1}\leq C_{7}(1+|z|\ )^{2\{n-1)\{\delta-1)}\eta^{n-1}$.
\end{center}
D'après (17) et (19), on a :

$\displaystyle \sup_{\varphi.(z)<t}\psi(z)\leq\sup_{\mathrm{t}ll=1=\prime}\psi \mathrm{t}_{\sim})$
$$
\leq t+C_{4}\ (\ [\ +C_{2}\ (1\ +t)^{112\delta})^{2\delta-1}<t+C_{8}t^{1-1/2\delta},
$$
ce qui donne :

$\displaystyle \int_{1}^{R^{l}}.\frac{dt}{t^{n}}\int_{\varphi.\{z)<\mathrm{t}}T\wedge\beta_{a}^{n-1}$
$$
\leq\int
$$
$$
1^{\frac{dt}{t^{n}}}R^{2*}\int_{\phi(z)<l11+C.l^{-1l2})}T\wedge\beta_{a}^{n-1}
$$
$$
\leq\rfloor_{1}^{C.R^{f.)}}\frac{d\mathrm{u}}{u^{n}}(1+C_{10}u^{-1/2\delta})\int_{\psi(z)<\mathrm{u}}T\wedge\beta_{a}^{n-1},
$$
avec le changement de variable $\mathrm{u}=t(1+C_{8}t^{-1/2\delta})$.

En combinant avec (20) on obtient le majorant:
\begin{center}
(20)   $\displaystyle \int_{\mathrm{o}}^{C_{9}R^{2\iota}}\frac{d\mathrm{u}}{ll^{n}}\int_{\phi(z)<u}T_{\mathrm{A}}\gamma^{\prime \mathrm{I}^{-1}}+I_{1}+I_{2}$,
\end{center}
avec :
\begin{center}
(23)   $I_{1}=C_{10}\displaystyle \int:^{R-0}\frac{d\mathrm{u}}{u^{n+1/2\delta}}\int_{*(z)<\mathrm{u}}T\wedge\beta_{l}^{n-1}$,
\end{center}
tome l10 --1982 $-\mathrm{N}^{\mathrm{o}}1$

93
\begin{center}
(24)   $I_{2}=C_{6}\displaystyle \int_{1}^{C_{0}R^{2}}.\ \displaystyle \frac{l\mathrm{u}}{u^{n}}\int_{\mathrm{V}\langle z)<\mathrm{u}}(1+|z|)^{2\{n-1)(\delta-1)-1}T\wedge\eta^{*-1}$.
\end{center}
{\it Étape} 3. --La partie principale (premier terme de (25) sera estimée à l'aide

du corollaire 4 et d{\it u} lemme élémentaire qui suit.

lemme 3. $-\gamma^{n}=(i\partial\overline{\partial}{\rm Log}\psi)^{n}\equiv 0$ sur $\mathbb{C}^{\hslash}\backslash \{0\}$.

En efet, la fonction $\psi$ est homogène de degré 28; la forme $\gamma=i\partial\overline{\partial}{\rm Log}\psi$

provient donc par passage au quotient d'une (1, 1)-forme sur l'espace

projectif $\mathbb{P}_{n-1}=\mathbb{C}^{n}\backslash (0\})/\mathbb{C}^{*}$.

L{\it e} lemme 3 s'ensuit par raison de dimension. $\blacksquare$

D'après le corollaire 4, il vient :

$\mathrm{j}_{\iota}^{C,R^{20}}0d_{\frac{u}{\iota^{n}}\int_{\psi(\mathrm{z}\rangle<u}T\wedge \mathrm{Y}^{n-1}}$
$$
=\frac{1}{\pi(C_{9}R^{2t})^{n}}\int_{\phi\langle z)-C,R^{*}}.{\rm Log}|F|\gamma^{n-1}\wedge i\overline{\partial}\psi
$$
$$
-\lim_{\rho\wedge 0^{\frac{1}{\pi \mathrm{p}^{n}}}}\int_{*(\mathrm{z})=\rho}{\rm Log}|F|\gamma^{n-1}\wedge i\overline{\partial}\psi.
$$
L'homogénéité des polynômes $Q_{j}$ et les corollaires 5 et 6 entraînent que :
$$
\frac{1}{(2\pi t)^{n}}\int_{*\langle z)-t}\gamma^{n-1_{\mathrm{A}}}i\overline{\partial}\psi=\frac{1}{(2\pi t)^{n}}\int_{\phi(z)<\iota}\gamma^{n}=6^{\mathrm{n}},
$$
où, sur l'hypersurface orentée $\{\psi(z)=t\}$, la forme volume $\gamma^{n-1}\wedge i\overline{\partial}\psi$ est

positive. En vertu de (18) on en déduit:
\begin{center}
(25)   $\displaystyle \int_{0}^{C,R^{\mathrm{z}\iota}}\frac{d\mathrm{u}}{u^{n}}\int_{\psi(z)<\mathrm{u}}T_{\mathrm{A}}\gamma^{n-1}\leq(2\delta)^{\mathrm{n}}\pi^{n-1}{\rm Log}\tilde{|F(0)|}|F|_{CR}$.
\end{center}
{\it É tape} 4. --{\it Estimation d}u {\it terme correctif} $I_{1}+I_{2}$.

Comme pour (25), on montre que:
\begin{center}
(26)   $\displaystyle \int_{0}^{\rho^{2}}\frac{dt}{t^{n}}\int_{z\mathrm{P}<\mathrm{t}}T\wedge\eta^{n-1}\leq 2^{\prime 1}\pi^{n-1}{\rm Log}\frac{|F|_{\rho}}{|F(0)|}$.
\end{center}
BULLETIN DE LA $\infty \mathrm{CI}\dot{\mathrm{E}}$ TÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE

94

On vérifie aisément $[\phi(18),$ (21) , (23) , (24)$]$ qu on a la majoration:

(27) $I_{1}+I_{2}\displaystyle \leq C_{12}\int_{1}^{c\mu^{u}}\frac{\mathrm{u}^{(*-\iota)(1-1/l)}}{u^{n+1/2\delta}}d\ell\int_{|z|\mathrm{C}..P^{\hslash l}}$ {\it T}A $\eta^{n-1}$

$\displaystyle \leq C_{14}\int_{1}^{c_{1}.-*}\frac{dt}{t^{*+(1l2)}}\int_{\mathrm{z}|^{*}<\iota}$ {\it T}A $\eta^{*-1}$,

[efectuer le changement de variable $u=(t/C_{13}^{2})^{\epsilon}$].

D'autre part, on peut écrire :

(28) $\displaystyle \int_{1}^{\rho^{2}}\frac{dt}{t^{n+(1/2)}}\int_{z|^{2}<\ell}T\wedge\eta^{\mathrm{r}-1}\leq\int_{1}^{\rho}\frac{dt}{t^{n+(1/2)}}\int_{z|^{l}<}$, {\it T}A $\eta^{\mathrm{r}-1}$

$+\displaystyle \mathrm{p}^{-1/2}\int_{\mathrm{p}}^{\rho^{*}}\frac{dt}{t^{*}}\int_{z|^{1}<\prime}$ {\it T}A $\eta.-1$,

où pour tout couple $(t,\ \mathrm{u})$ tel que $t\leq \mathrm{p}\leq \mathrm{u}_{*}$ on a ($\phi$ corollaire 2) :
$$
\frac{1}{t^{\mathrm{n}-1}}\int_{z|^{*}<\iota}\mathrm{r}_{\mathrm{A}}\eta^{n-1}\leq\frac{1^{\sim}}{\mathrm{u}^{n-1}}\int_{z|^{l}<\mathrm{u}}\ T\mathrm{A}\ \eta'-1.
$$
Intégrons les deux membres

$1/{\rm Log} \displaystyle \mathrm{p}\int_{\mathrm{p}}^{\rho^{l}}(dt/u) \mathrm{x}?$:

de l'inégalité avec le poids
$$
\frac{1}{t^{\mathrm{n}-1}}\int_{z|^{1}<\iota}\ T\mathrm{A}\ \eta^{*-1}\leq\frac{1}{{\rm Log} \mathrm{p}}\int_{\rho}^{\mathrm{p}^{2}}\frac{h}{u^{n}}\int_{|z|^{2}}\mathrm{u}\ T\mathrm{A}\ \eta^{*-1}.
$$
$\mathrm{n}$ vient donc $(\phi(26),$ (27) $)$ :

(29) $\displaystyle \int_{1}^{\rho^{2}}\frac{dt}{t^{n+(1/2)}}\int_{z|^{3}<t}T\wedge\eta^{\mathrm{n}-1}$
$$
\leq(\frac{2}{{\rm Log} \mathrm{p}}+\mathrm{p}^{-1/2})\int_{\rho}^{\rho^{3}}\frac{dt}{t^{n}}\int_{\mathrm{z}|^{2}<l}T\wedge\eta^{n-1}
$$
$$
\leq\frac{C_{16}}{{\rm Log} \mathrm{p}}{\rm Log}\frac{|F|_{\rho}}{|F(0)|},
$$
d'où finalement $(\phi(22)$, (27), (27), (29) $)$ :
\begin{center}
(30)   $\displaystyle \int^{R^{2}}.\frac{dt}{t^{n}}\int_{-}T_{\mathrm{A}}\beta_{a}^{*-1}\leq(1-+\frac{C_{17}}{{\rm Log} R})(2\delta)^{n}\pi^{*-1}{\rm Log}^{[Reject]}|F(0)||F|_{CR}$.
\end{center}
{\it TOME}] lO --1982 $-\mathrm{N}^{\Phi}1$

95

{\it É tape S}. --Il ne reste plus q{\it u}'à faire disparaître lc facteur $(1\ +(C_{17}/{\rm Log} R))$

pour rendre la formule (30) plus esthétique.

Comme la fonction $t\displaystyle \mapsto 1/t^{n-1}\int_{\varphi.(z)<t}T\wedge\beta:^{-1}$ est croissante, l'expression

$\displaystyle \int_{1}^{R^{2}}dt/t^{n}\int_{\varphi.\{z\rangle<}$, {\it T}A $\beta_{a}^{*-1}$ est fonction convexe {\it d}e la variable ${\rm Log}$ R.

On a donc:

$\displaystyle \frac{{\rm Log}({\rm Re}^{c_{1}})}{{\rm Log} R}\int_{1}^{R^{*}}.\frac{dt}{t^{n}}\int_{\varphi.\langle z)<\iota}$ {\it T}A $\displaystyle \beta_{a}^{\mathrm{n}-1}\leq\int_{1}^{({\rm Re}^{C_{1}},)^{2\delta}}\frac{dt}{t^{*}}\int_{\varphi.(z)<\ell}\mathrm{r}_{\mathrm{A}}\beta:^{-1}$
$$
\leq\ (1+\frac{C_{17}}{C_{17}+{\rm Log} R})(2\delta)^{n}\pi^{n-1}{\rm Log}\frac{|F|_{CR}}{|F(0)|},
$$
d'après (30), avec $C_{1}=C_{18}e^{c_{11}}$. L'inégalité (1{\it 6}) en résulte. $\blacksquare$

Le lemme de Schwarz précédent est {\it d}'autant plus utile que les fonction $F$,

$P_{1},\ \ldots,\ P_{N}$ ont de nombreux zéros communs. En combinant le théorème 2

avec la proposition 1, on obtient ainsi la :

PROPOSmoN 3. - {\it Soient} $P_{1},\ \ldots,\ P_{N}$ \&{\it s polynômes} \& {\it degré} 8 $ d\ell$

$\mathbb{C} [z_{1^{\ }},\ldots,\ z_{n}]$, {\it dont les parties homogènes} $ d\ell$ {\it plus hau} $t$ {\it degré admettent pour}

{\it unique zéro commun t}'{\it origine. Il existe une constante} $C_{1}\geq 1$ {\it ayant les}

{\it propriétés suivantes. Soit} $F$ {\it une fonction entière dans} $\mathrm{C}^{n}$. {\it Soit} $R\geq r\geq 1$ {\it et}

$u_{1},\ \ldots,\ w_{m}$ {\it des zéros deux à deux distincts de} $F,\ P_{1},\ \ldots,\ P_{N}$ {\it fordre} $\geq s$,

$s_{1},\ \ldots,\ s_{\backslash }$ {\it respectiv emen} $t$, {\it avec} $s_{1}\leq s_{2}\leq\ldots\leq s_{N}$. {\it A lors} :
$$
{\rm Log}|F|_{r}\leq{\rm Log}|F|_{R}-m\frac{s\mathrm{s}_{1}...\cdot \mathrm{s}_{\mathrm{n}-1}}{\delta_{\backslash }^{n-\mathrm{l}}}{\rm Log}\frac{R}{C_{1}r}.
$$
{\it Démonstration}. --Les zéros communs aux polynômes $P_{1},\ P_{2},\ \ldots,\ P_{N}$

sont isolés. $\mathrm{n}$ existe par conséquent des voisinages ouverts disjoints $\{0_{1}$,

$\omega_{2},\ \ldots,\ \mathrm{t}|)_{m}$ des points $w_{1},\ w_{2},\ \ldots,\ w_{n}$ tels que $\displaystyle \sup_{z\epsilon\partial_{\Phi}},\varphi(z)>0$, o{\it ù} les

notations $\varphi,\ \beta,\ T$ conservent la même signification {\it que} dans l{\it e} théorème 2.

Lorsque $r$ est assez petit, la proposition 1 montre que :

$\displaystyle \frac{1}{(2\pi r)^{n-1}}\int_{\varphi(z)<r}T\wedge\beta^{*-1}$
$$
\geq\sum_{j\Leftrightarrow 1}^{n}\frac{1}{(2\pi r)^{n-1}}\int_{z\epsilon\omega}i\bullet(l)<r\}T\wedge\beta^{n-1}\geq mss_{1}\ldots s_{*-1}.
$$
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE

96

La minoration est donc vraie quel que soit $r>0$, ce qui entraîne :
$$
\int_{\rho}^{CR^{*}}.\frac{dt}{t^{*}}\int_{\varphi(z)<\iota}T\wedge\beta^{*-1}\geq(2\pi)^{n-1}mss_{1}\ldots s_{n-1}{\rm Log}\frac{CR^{2\delta}}{r^{2\delta}}.
$$
La proposition 3 résulte alors $du$ théorbne 2 (avec $C_{1}=C^{-1/2\delta}$). $\blacksquare$

Soit maintenant $S$ une partie quelconque d{\it e} $\mathbb{C}^{n}$. On note $01_{1}(S)$ le degré

minimal des hypersurfaces algébrques qui contiennent $S$ (s'il n'existe pas de

telles hypersuffaces, on pose $\mathrm{m}_{1}(\mathrm{S})=+\infty)$. Nous énoncerons un lemme de

Schwarz relatif aux fonctions qui s'annulent sur $S$.

COROLLAIRE 7. --{\it Soit} $S$ {\it une partie} de $\mathbb{C}^{\mathrm{n}}$ {\it et} 6 {\it un entier tel que} $6\leq\omega_{1}(S)$. {\it Il}

{\it existe une constante} $C_{2}\geq 1$ {\it telle que si} $F$ {\it est une fonction entière ayant en}

{\it chaque point de} $S$ {\it un zéro} ({\it Tordre} $\geq t$, {\it on ait pour tou} $tR\geq r\geq 1$ :
$$
{\rm Log}|F|_{r}\leq{\rm Log}|F|_{R}-t\frac{\delta(\delta+1)\ldots(\delta+n-1)}{n!\delta^{n-1}}{\rm Log}\frac{R}{C_{2}r}.
$$
{\it Démonstra tion}. --Notons :
$$
m(\delta)=\left(6+ & nn & -1\right)\ =\frac{(\delta+1)\ldots(\delta+n-1)}{n!},
$$
la dimension d{\it e} l'espace vectoriel $\mathbb{C}[z]_{\delta}$ des polynômes de degré $<\delta$ dans $\mathbb{C}^{n}$.

Un raisonnement élémentaire d'algèbre linéaire conduit au résultat suivant.

lemme 4. --{\it On peut trouver} $m=m(\delta)$ {\it poin} $ts w_{1},\ w_{2},\ \ldots,\ w_{\mathrm{r}}\in S$ {\it q}u $i$ {\it ne son} $t$

{\it situés sur au cune hypersurface} $ d\ell$ {\it degré} $<\delta$. {\it Il existe alors un unique polynôme}

{\it de degré} $<6$ {\it prenant des valeurs données aux points} $w_{1},\ w_{2},\ \ldots,\ w_{m}$.

En effet les différentes formes linéaires sur $\mathbb{C}[z]_{f}$ définies par $P\mapsto P(w)$,

$w\in S$, s'annulent simultanément pour l{\it e} seul polynôme $P=0$ (par hypothèse

$\omega_{1}(S)\geq\delta)$. On peut donc trouver $m=m(5)$ formes (correspondant à des

points $w_{1},\ \ldots,\ w_{n}\in S$) qui constituent une b{\it ase} de l'espace dual $\mathbb{C}[z]_{l}^{*}$. Les

affirmations du lemme 4 ne sont qu une autre formulation de cette

propriété. $\blacksquare$

En particulier, il existe des polynômes $P_{1},\ \ldots,\ P_{N}$ de degré 8, {\it s}'annulant

aux points $w_{1},\ \ldots,\ w_{m}$, et dont les parties homogènes de plus haut degré

forment une base de l'espace des polynômes homogènes de degré 6. L{\it e}

corollaire 7 est donc conséquence de la proposition 3 en prenant $m=m(\delta)$,

$s=t,\ \mathrm{s}_{1}=\mathrm{s}_{2_{-}^{=}}\ldots=\mathrm{s}_{N}=1.\ --$

TOME 110 $-|982-\mathrm{N}^{0}$ [

97

Nous pouvons améliorer l'inégalité du corollaire 7 moyennant des

renseignements supplémentaires sur la répartition des points de $S$. Si $S$ est {\it u}n

produit cartésien $S=S_{1}\mathrm{x}S_{2} \mathrm{x}$. . . $\mathrm{x} S_{n}$ suivant les directions d'une base de

$\mathbb{C}^{n}$, il est facile {\it de} montrer qu on peut remplacer l{\it e} nombre :
$$
\frac{\delta(6+1)\ldots(\delta+n-1)}{n!\delta^{n-1}}
$$
par tout entier $\delta$ tel que :

$6\displaystyle \leq\omega_{1}(S)=\min_{1gj\leq n}$ card $S_{i}$.

Nous supposerons ici que $S$ contient un polytope $\infty \mathrm{mpl}e\mathrm{t}  $

$m(\delta)=\left(\begin{array}{ll}
\delta+n & -1\\
n & 
\end{array}\right)$ sommets: autrement dit, il existe $\delta+n.-1$ hyperplans

afnes $H_{j}\subset \mathbb{C}^{n}$, conco urants $n$ à $n$, d'intersections vides $n+1$ à $n+1$, et tels

que $S\infty \mathrm{nti}e\mathrm{nne}$ les sommets $w_{J}$ d{\it u} polytope (intersections des familles de $n$

hyperplans $(H_{j})_{j\epsilon J},\ J\subset\{1,2_{\ }\ldots,\ \delta+n-1\},\ |J|=n)$. Cette hypothèse est

vérfiée notamment dans l{\it e} cas $\omega_{1}(S)\geq 2$, avec $8=2,\ m(2)=n+1$.

Soit $A_{j}$ une forme affine défmissant $H_{j}$, et posons :
$$
\text{Â}_{I}=\mathcal{M}_{\ell J}^{A_{j}}
$$
pour toute partie $I$ de $\{1,\ 2,\ \ldots,\ 6+n-1\}$. Il est clair que :

$\hat{A}_{l}(w_{J})=0$, si $|I|=n,\ I\neq J$,
$$
\hat{A}_{J}(w_{J})\neq 0.
$$
Les polynômes $(_{\lrcorner}\mathrm{i}_{i})_{|i|-n}$ forment donc {\it une} base de l'espace des polynômes

de degré $<8$, d{\it e} sorte que :
$$
\mathrm{co}_{1}(\{w_{J};|J|=n\})=\delta.
$$
On observe que le polynôme $P_{k}=\displaystyle \sum_{l|-n-k}$ {\it Âl}, $1\leq k\leq n$, a pour degré

$\delta+k-1$ et que $P_{\mathrm{k}}$ s'annule à l'ordre $k$ en chaque point $w_{J}$; il est aisé de vérifier

d'autre part que les parties homogènes de plus haut degré des polynômes

$P_{1},\ \ldots,\ P_{n}$ n'ont pas d'autre zéro commun que le point $0$. Posons

$\tau =6(6+1)\ldots (6+n-1)$; si $1' \mathrm{on}$ applique la proposition 3 aux polynômes d{\it e}

degré $\tau$ :
$$
P_{1}^{\prime\delta},\ P_{2}^{l/\delta+1},\ \ldots,\ P_{\mathrm{n}}^{\mathrm{s}/b+n-1},
$$
$$
\leftarrow
$$
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ $\mathrm{MATHgMA}\Pi \mathrm{Q}\dot{\mathrm{U}}\mathrm{E}$ DE FRANCE

98

avec $m=m(\delta),\ s=t,\ s_{\iota}=k\tau/\delta+k-1$, il vient :

COROLLAIRE 8. --{\it Soit} $S$ {\it une partie} $d\ell \mathrm{C}^{n}$ {\it contenant un polytope complet à}

$\left(\begin{array}{ll}
\delta+n & -1\\
n & 
\end{array}\right)$ {\it sommets. Il existe une constante} $C_{3}\geq 1$, {\it telle que si} $F$ {\it est une}

{\it fonction entière ayant en chaque point de} $S$ {\it un zéro} ({\it Tordre} $\geq t$. {\it on air pour tout}

$R\geq r\geq 1$:
$$
{\rm Log}|F|_{r}\leq{\rm Log}|F|_{R}-t\frac{6+n\simeq 1}{n}{\rm Log}\frac{R}{C_{3}r}.
$$
4. Nouvelle démmnstration du théorème de Bombieri

Nous allons établir le théorème de BOMBIERI a{\it u} moyen des lemmes de

Schwarz énoncés au paragraphe 3. {\it Soit} $K$ {\it u}n corps d{\it e} nombres. On note

$[K;\mathbb{Q}]$ son degré, et on pose :

$[[K:\displaystyle \mathbb{O}\prod=[K;\mathbb{Q}]$ si $K\subset \mathbb{R}$,

$[[K;\displaystyle \mathbb{Q}]]=\frac{1}{2}[K;\mathbb{Q}]$ sinon.

ThéOrème 3. --{\it Soient} $f_{1},\ \ldots,\ f_{p}$ {\it des fonctions méromorphes dans} $\mathbb{C}^{n}$, {\it telles}

{\it que} $f_{1},\ \ldots,\ f_{d}(n<d\leq p)$ {\it soient algébriquement indépendantes sur} $\mathbb{Q}$ {\it et}

{\it ordres finis} $\mathrm{p}_{1},\ \ldots,\ \mathrm{p}_{t}$. {\it On suppose que les dérivations} $d/dz_{1},\ \ldots,\ d/dz_{n}$

{\it appliquent Panneau} $K[f_{1^{\ }},\ldots,\ f_{p}]$ {\it dans lui-même. Alors ensemble} $S$ {\it des}

{\it points} $z\in \mathbb{C}^{n}$, {\it distincts des pôles des} $f_{j}$, {\it tels que} $(f_{1}(z)_{\ }\ldots,\ f_{p}(z))\in K^{p}$, {\it est}

{\it contenu dans une hypersurface algébrique dont le degré} 8 {\it vérifi} $e$ {\it la majoration} :
$$
\frac{6(6+1)\ldots(6+n-1)}{n!\delta^{n-1}}\leq\frac{\mathrm{p}_{1}+\ldots+\mathrm{p}_{4}}{d-n}[[K:\mathbb{O}]].
$$
{\it Démonstration}. --Si l'{\it ensemble} $S$ n'est pas contenu dans une hypersurface

algébrque de degré $<6$, le raisonnement d'algèbre linéaire du lemme 4

montre qu on peut trouver $m=m(5)$ points $w_{1},\ w_{2},\ \ldots,\ w_{m}\in S$ qui n{\it e} sont

situés sur aucune hypersurface de degré $<5$. Quitte à remplacer $\mathrm{p}_{1},\ \ldots,\ \mathrm{p}_{d}$

par les nombres $\mathrm{p}_{1}+\epsilon,\ \ldots,\ \mathrm{p}_{t}+\epsilon$, on peut supposer $\mathrm{p}_{j}>0\mathrm{et}_{-}f_{j}=g_{j}/h_{j}$ avec :
$$
|g_{j}(z)|+|h_{j}(z)|\leq e\mathrm{xp}(B_{j}|z|^{\mathrm{p}_{j}}+C_{j}),\ 1\leq j\leq d,
$$
$$
h_{j}(w_{k})\neq 0,\ 1\leq j\leq d,\ 1\leq k\leq m.
$$
TOME $|10-|982-\mathrm{N}^{0}|$

99

Les méthodes arithmétiques classiques ({\it voir} par exemple

M. WALDSCHMIDT [10], \S 5.4) permettent alors d'obtenir le $\mathrm{r}\acute{\mathrm{e}}s\mathrm{ultat}_{\backslash }\mathrm{suivant}$.

LEMME 5. --{\it Il existe des constantes positives} $r,\ C_{1},\ C_{2}$ {\it et une suite} $(F_{t})d\ell$

{\it fonctions entières dans} $\mathbb{C}^{n}$ ({\it où} $t$ {\it décrit une partie} $ir\displaystyle \oint nie /a^{-}\& \mathbb{N}$) {\it telles que}:

(31) $F_{\mathrm{t}}$ {\it s}'{\it annule à Fordre} $t$ {\it aux points} $w_{1},\ w_{2},\ \ldots,\ w_{m}$;
\begin{center}
(32)   $|F_{\mathrm{t}}|_{r}\displaystyle \geq\int C_{1}t)^{-\mathrm{t}\Pi K:Q\mathrm{n}_{;}}$

(33)   $|F_{\mathrm{t}}|_{R(\mathrm{t})}\leq C_{2}^{t},\ o${\it ù} $R(t)=(\displaystyle \frac{t^{d-n}}{{\rm Log} t})^{\iota/(\mathrm{p}_{1}+\ldots+\rho_{*})}$
\end{center}
La majoration du théorème 3 résuite aisément du corollaire 7 appliqué à la

fonction $F=F_{\mathrm{t}}$ et à $R=R(t)$, quand $ t\rightarrow+\infty.\ \blacksquare$

Le théorème 3 entraîne en particulier l`inégalité:
$$
0)_{1}(S)+\frac{n(n-1)}{2}\leq n!\frac{\mathrm{p}_{1}+\ldots+\mathrm{p}_{t}}{d-n}[[K:\mathbb{O}]].
$$
Ici encore, il est possible de faire mieux si l'on connaît plus précisément

l'ensemble $S$. Dans une première tentative de démonstration en plusieurs

variables du théorème 3, $S$. Lang a montré que si $S$ contenait un produit

cartésien $S_{1}\mathrm{x} S_{2} \mathrm{x}$. . . $\mathrm{x} S_{n}$ alors on avait:

$\omega_{1} (S_{1}\displaystyle \ \mathrm{x}.\ .\ .\ \mathrm{x}S_{n})=\min_{1\leq j\leq n}$ card $S_{j}\displaystyle \leq\frac{\mathrm{p}_{1}+\ldots+\mathrm{p}_{d}}{d-n}[[K;\mathbb{O}]]$.

D'une manière analogue, les corollaires 7 et 8 foumissent l{\it e} résultat

suivant, qui semble ne pas avoir été établi à ce jour par la méthode des

estimations $\mathrm{L}^{2}$.

PROPOSITION 4. --{\it Si} $n=1,2$, {\it ou si} $S$ {\it contient un polytope complet à}

$(^{\mathrm{c}\mathrm{o}_{1}(S)_{n}+n-1})$ {\it sommets} ({\it en particulier si} $(|)_{1}(S)=1,2$) {\it alors}:
$$
\frac{0)_{1}(S)+n-1}{n}\leq\frac{\mathrm{p}_{1}+\ldots+\mathrm{p}_{d}}{d-n}[[K;\mathbb{Q}]].
$$
Il paraît naturel d{\it e} conjecture $\mathrm{rq}ue$ c{\it e} résultat reste vala {\it ble} dans tous les

cas. La méthode d{\it e} E. BOMBIERI, améliorée par H. SKODA [8], en donne une

bonne approche:
\begin{center}
(34)   $-\displaystyle \frac{\mathrm{t}0_{1}(S)}{n}\leq\frac{\mathrm{p}_{1}+\ldots+\mathrm{p}_{d}}{d_{\sim}-n}[[K:\mathbb{O}]]$.
\end{center}
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE

100 J.-P. DMAILLY

5. Polynômes s'annulant sur une partie finie de $\mathbb{C}^{n}$

Soit $S$ une partie {\it finie} de $\mathrm{C}^{n}$. Suivant M. WALDSCHMIDT [9], nous noterons,

pour tout entier $t>0,\ \omega$t({\it S})$=$degré minimum des polynômes $P$ qui

s'annulent à l'ordre $t$ sur $S$.

De la proprété de sous-additivité :
$$
\omega_{l_{1}+l_{2}}(S)\leq\omega_{i_{1}}(S)+\omega_{i_{2}}(S),
$$
résulte aisément l'égalité suivante, qui est une défnition d{\it u} nombre $\Omega(S)$

( $\langle\langle$ degré singulier $\rangle\rangle$ de $S$):
$$
\inf\frac{c\mathrm{o}_{t}(S)}{t}=\lim_{t\rightarrow+\infty}\frac{\omega_{l}(S)}{f}=\Omega(S).
$$
En utilisant l{\it e} théorème $\mathrm{d}' \mathrm{HoRMAN}$ 1) $\mathrm{ER}$-BOMBIERI-SKODA (H. SKODA [8])

M. WALDSCHMIDT [10] a démontré l'encadrement :
\begin{center}
(35)   $\leftrightarrow\leq\Omega(S)\leq t_{1}+n-1\tilde{t_{2}}\omega,(S)\mathrm{m}_{\iota}(S)$,
\end{center}
pour tout couple $(t_{1},\ t_{2})$ d'entiers positifs; il a prouvé aussi le lemme d{\it e}

Schwarz suivant.

PROPOSmoN 5. --{\it Soient} $S$ {\it une partie finie} $d\ell \mathbb{C}^{n}$ {\it et} $\epsilon$ {\it un nombre réel}, $\epsilon>0$. {\it Il}

{\it existe un nombre réel posit} $f r_{0}=r_{0}(S,\ \epsilon)$ {\it tel que pour tout en tier} $t>0$ {\it et pour}

{\it toute fonction entière} $F$ {\it dans} $\mathbb{C}^{n}$ {\it ayant en chaque point} \&{\it S un zéro} $dord,e \geq t$,

{\it on ait}:
$$
{\rm Log}|F|_{r}\leq{\rm Log}|F|_{R}-t(\Omega(S)-\epsilon){\rm Log}\frac{R}{4nr}
$$
{\it pour} $R\geq r\geq r_{0}-$.

J.-C. MOREAU [6] {\it e}n a déduit {\it u}n {\it lemme} de Schwarz analogue où le nombre

$t(\Omega(S)-\epsilon)$ est remplacé par $\omega_{t}(S)-t\epsilon$. Si $S$ est l'ensemble exceptionnel du

théorème 3, la proposition 5 montre que :
\begin{center}
(36)   $\displaystyle \Omega(S)\leq\frac{\mathrm{p}_{1}+\ldots+\mathrm{p}_{t}}{d-n}[[K:\mathbb{O}]]$.
\end{center}
En observant d'après (35) appliqué à $t_{1}=1$ que :
$$
\Omega(S)\geq\frac{\omega_{1}(S)}{n},
$$
TOME llO $-1982-\mathrm{N}^{\Phi}1$

--

101

on voit que (36) permet de retrouver la majoration (34).

G. V. CHUDNOVSKY [2] a conjecturé que l'on avait l'inégalité plus forte :
\begin{center}
(37)   $\displaystyle \Omega(S)\geq\frac{c\mathrm{o}_{1}(S)+n-1}{n}$,
\end{center}
{\it e}t {\it e}n a annoncé une démonstration dans le cas $n=2$, utilisant la théor $e$ des

intersections. {\it Les} corollaires 7 et 8 vont nous permettre d{\it e} démontrer c{\it e}

résultat sous les hypothèses plus générales d{\it e} la proposition 4. Choisissons

pour fonction entière $F$ un polynôme $P$ de degré $\omega_{\mathrm{t}}(S)$ qui s'annule à

l'ordre $t$ {\it e}n tout point de $S$. Fixons $r$ {\it e}t faisons tendre $R$ vers $+\infty$. Il vient,

avec $6=\mathrm{t}0_{1}(S)$ :
$$
\mathfrak{c}\mathrm{o}_{t}(S)\geq t\frac{\omega_{1}(S)(\omega_{1}(S)+1)\ldots(\omega_{1}(S)+n-1)}{n!\omega_{1}(S)^{n-1}},
$$
{\it e}t en faisant à nouveau tendre $t$ vers $+\infty$ :

PROPOSmoN 6. --{\it Pour toute partie finie} $Sd\ell \mathbb{C}^{*}$, {\it on} $a$:
$$
\Omega(S)\geq\frac{\omega_{1}(S)(\omega_{1})(S)+1)\ldots(\omega_{1}(S)+n-1)}{n!\omega_{1}(S)^{n-1}}.
$$
{\it Si} $n=1,2$, {\it ou si} $S$ {\it contient un polytope complet à} $\left(\begin{array}{ll}
\omega_{1}(S)+n & -1\\
n & 
\end{array}\right)$ {\it somme} $ts$ ({\it en}

{\it particulier si} $\mathrm{co}_{1}(S)=1,2)$ {\it alors}:
$$
\Omega(S)\geq\frac{0)_{1}(S)+n-1}{n}.
$$
Observons que l'inégalité (37) ne peut pas être améliorée. En effet, avec les

notations du corollaire 8, lorsque $S$ est un polytope complet à $\left(6+ & nn & -1\right)$

sommets, le polynôme :
$$
P=A_{1}A_{2}\ldots A_{\delta+n-1},
$$
est de degré $8+n-1$ et $\mathrm{s}' \mathrm{an}\dot{\mathrm{n}}$ ul $e$ à l'ordre $n$ en tous les points d{\it e} $S$.

On peut se demander si plus généralement on n'a pas :
$$
\Omega(S)\geq\frac{\omega_{\mathrm{t}}(S)+n-1}{t+n-1},
$$
pour tout entier $t>0$, mais c{\it e} résultat {\it sem ble} inaccessible par les méthodes

précédentes lorsque $\geq 2$.

BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE

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tome l10 --1982 $-\mathrm{N}^{\mathrm{o}}$ [

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