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\begin{document}

{\it Ann. scient. Éc. Norm. Sup}.,
4${}^{\text{e}}$ série, t. 20, 1987, p. 579 à 598.
FORMULES INTÉGRALES
POUR LES FORMES DIFFÉRENTIELLES
DE TYPE $(p, q)$
DANS LES VARIÉTÉS DE STEIN
Par Jean-Pierre DEMAILLY ET CHRISTINE LAURENT-THIEBAUT
Résumé. --On construit sur toute variété de Stein un noyau global permettant de démontrer des formules
de Koppelman et Koppelman-Leray pour des formes différentielles de type $(p, q)$ quelconque.
ABSTRACT. --We construct on every Stein manifold a global kemel which enables us to prove Koppelman
and Koppelman-Leray formulas for differential forms of arbitrary type $(p, q)$.
Introduction
Henkin et Leiterer ont construit dans [2] et ([3], chap. 4) des noyaux globaux sur une
variété de Stein grâce auxquels ils démontrent des formules intégrales pour les $(0, q)-$
formes différentielles. Dans cet article nous démontrons des formules intégrales du type
Koppelman et Koppelman-Leray pour les formes différentielles de type $(p, q)$ quelconque
sur une variété de Stein. Celles-ci généralisent à la fois les formules démontrées par
Henkin et Leiterer pour les $(0, q)$ formes différentielles ({\it cf}. [{\it 2}] et [3], chap. 4) et les
formules de Koppelman et Koppelman-Leray pour les $(p, q)$ formes différentielles dans
$\mathbb{C}^{n}$ ({\it cf}. [8], [7] et [1]); elles permettent sous certaines conditions de résoudre des problèmes
de $\overline{\partial}$ avec estimations de croissance ou de régularité.
Dans un premier paragraphe nous construisons des noyaux dont nous donnons une
expression globale sur la variété de Stein $\mathrm{M}$; ce sont des formes différentielles continues
sur $\mathrm{M}\times \mathrm{M}$ privé de sa diagonale. La nécessité d'avoir des formes différentielles invariantes
par changement de coordonnées permettant d'obtenir des formules intégrales pour les
$(p, q)$-îormes différentielles nous a amenés dans le cas $p\geqq 1$ à introduire la connexion de
Chem du fibre' tangent.
Aux paragraphes 2 et 3 nous nous intéressons principalement à un noyau du type
précédent qui généralise le noyau de Bochner-Martinelli. Il en résulte une formule de
Koppelman pour les $(p, q)$ formes différentielles sur une variété de Stein (théorème 2. 2),
et la transformée de Bochner-Martinelli se généralise également dans ce contexte
(théorème 3. 1).
Le paragraphe 4 est consacré à la démonstration de deux formules de Koppelman-
Leray dont on peut déduire des formules de résolution du $\overline{\partial}$ pour les $(p, q)$ formes
annales sclENTlFlQUES DE L'éCOle normale supérieure. --0012-9593/87/0457920/\$ 4.00/\copyright Gauthier-Villars

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J.-P. DEMAILLY ET C. LAURENT-THIEBAUT
différentielles dans un domaine strictement pseudoconvexe d'une variété de Stein. La
première généralise la formule intégrale donnée par Lieb [7] et $\varphi \mathrm{vrelid} [8]$ dans $\mathbb{C}^{n}$ et la
seconde la formule d{\it e} base de l'article [1] de Andersson et Bemdtsson.
Le dernier paragraphe donne une méthode, différente de celle utilisée par Henkin et
Leiterer ([3], \S 4. 12), pour obtenir des formules intégrales pour les formes différentielles
à valeurs dans un fibre' vectoriel holomorphe sur une variété de Stein.
1. Préliminaires
Soit X une variété analytique complexe; si $u$ et $v$ sont des {\it n}-uplets d{\it e} fonctions $\mathcal{C}^{1}$
définies sur un ouvert de $\mathrm{X}\times \mathrm{X}$, on pose
$$
n
$$
$$
0)_{z,\zeta}(u)=\wedge d_{z.\zeta}u_{j}j=1
$$
$$
\overline{\mathrm{e}\mathrm{o}}_{z,\zeta}'(v)=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{j-1}v_{J_{k\neq j}^{\wedge\overline{\partial}_{z,\zeta}v_{k}}}
$$
$$
\langle u,\ v\rangle=\sum_{j=1}^{n}u_{j}v_{j}
$$
[( $z,\ \zeta$) désignent les variables dans $\mathrm{X}\times \mathrm{X}$].
Le noyau de Bochner-Martinelli dans $\mathbb{C}^{n}\times \mathbb{C}^{n}$ est alors donné par les expressions
suivantes :
$\displaystyle \mathrm{K}_{\mathrm{B}\mathrm{M}}(z, \zeta)=\frac{(n-1)!}{(2i\pi)^{n}}\frac{(j)_{z,\zeta}'(\overline{z}-\overline{\zeta})\wedge 0)_{Z,\zeta}(z-\zeta)-}{|z-\zeta|^{2n}}$
$$
=\frac{(-1)^{n-1}}{(2\pi)^{n}}\frac{\langle\overline{z}-\overline{\zeta},d_{z,\zeta}(z-\zeta)\rangle\wedge(\langle\overline{\partial}_{z,\zeta}(\overline{z}-\overline{\zeta}),d_{z,\zeta}(z-\zeta)\rangle)^{n-1}}{|z-\zeta|^{2n}}.
$$
Il permet de démontrer des formules d{\it e} représentation intégrale pour les formes
différentielles d{\it e} bidegré $(p, q)$ quelconque dans $\mathbb{C}^{n}$.
Dans [2] et [3], chapitre 4, Henkin et Leiterer construisent des noyaux qui conduisent
à la représentation des formes différentielles de bidegré $(0, q)$ dans une variété de Stein.
Précisons maintenant la méthode de construction utilisée par Henkin et Leiterer.
On considère une variété de Stein $\mathrm{M}$ de dimension $n$ dont l'orientation est définie par
la condition suivante: si $(z_{1}, . . ., z_{n})$ sont des coordonnées holomorphes locales, la
forme différentielle
$(-i)^{n}d_{Z_{1}}^{-}\wedge\ldots\wedge d_{Z_{n}}^{-}\wedge dz_{1}\wedge\ldots\wedge dz_{n}=(-1)^{n\langle n-1)/2}i^{n}dz_{1}\wedge d_{Z_{1}}^{-}\wedge\ldots\wedge dz_{n}\wedge d\overline{z}_{n}$
est positive.
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FORMULES INTÉGRALES POUR LES FORMES DE TYPE $(p, q)$
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On notera $\mathrm{T}(\mathrm{M})$ et $\mathrm{T}^{*}(\mathrm{M})$ les fibrés tangent et cotangent de $\mathrm{M}$ et $\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$,
$\tilde{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$ leurs images réciproques respectives par la projection de $\mathrm{M}\times \mathrm{M}$ sur
$\mathrm{M},\ (z, \zeta)\mapsto z$.
Soit $s$ : $\mathrm{M}\times \mathrm{M}\rightarrow\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$ la section holomorphe d{\it e} $\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$ définie par Henkin
et Leiterer ([{\it 2}] et [3], lemme 4.2.4) qui vérifie:
$\bullet s(z, z)=0$ pour tout $z\in \mathrm{M}$
$\bullet s (z_{ }.)$ : $\mathrm{M}\rightarrow \mathrm{T}_{z}(\mathrm{M})$ est une application biholomorphe d'un voisinage de $z$ dans $\mathrm{M}$
sur un voisinage d{\it e} $0$ dans $\mathrm{T}_{z}(\mathrm{M})$.
Rappelons brièvement la construction de $s$. Soit $ f:\mathrm{M}\sigma \mathbb{C}^{\mathrm{N}}$ un plongement propre de
$\mathrm{M}$ dans $\mathbb{C}^{\mathrm{N}}$ et soit
$$
0\rightarrow \mathrm{T}(\mathrm{M})\rightarrow \mathrm{M}\times \mathbb{C}^{\mathrm{N}}\rightarrow \mathrm{N}(\mathrm{M})\rightarrow 0
$$
la suite exacte définissant le fibre' normal à $\mathrm{M}$, noté $\mathrm{N}(\mathrm{M})$.
D'après l{\it e} théorème $\mathrm{B}$ de Cartan on a $\mathrm{H}^{1} (\mathrm{M}, \mathrm{Hom} (\mathrm{N}(\mathrm{M}), \mathrm{T}(\mathrm{M})))=0$, donc la suite
exacte ci-dessus admet un scindage global $g:\mathrm{M}\times \mathbb{C}^{\mathrm{N}}\rightarrow \mathrm{T}(\mathrm{M})$ tel que $g\circ df=\mathrm{Id}_{\mathrm{T}\langle \mathrm{M})}$. La
section $s$ est alors définie par
$$
s(z, \zeta)=g(z, f(\zeta)-f(z)).
$$
Grâce au théorème $\mathrm{B}$ appliqué sur $\mathrm{M}\times \mathrm{M}$, on peut d'autre part construire une fonction
$\varphi$ holomorphe sur $\mathrm{M}\times \mathrm{M}$, égale à 1 sur la diagonal $e\Delta(\mathrm{M})$ de $\mathrm{M}\times \mathrm{M}$ et dont la restriction
à $\mathrm{M}\times \mathrm{M}\backslash \Delta(\mathrm{M})$ appartient au sous-faisceau de $\mathcal{O}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$ engendré par $s$. De plus il
existe un entier $\chi\geqq 0$ tel que la fonction $\varphi^{\chi}/|s|_{9}^{2}$ soit de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur $\mathrm{M}\times \mathrm{M}\backslash \Delta(\mathrm{M})$
({\it cf}. [2] et [3], lemme 4.2.4).
Si $\mathrm{D}$ est un ouvert relativement compact de $\mathrm{M}$ dont le bord $\partial \mathrm{D}$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ par
morceaux, on appellera section de Leray pour $(\mathrm{D}, s, \varphi)$ ({\it cf}. [3], \S 4.3.{\it 2}) un couple
$(s^{*}, \chi^{*})$ où $\mathrm{X}^{*}$ est un entier et $s^{*}$ une section de $\tilde{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$ définie sur $\mathrm{D}\times \mathrm{V}_{\partial \mathrm{D}},\ \mathrm{V}_{\partial \mathrm{D}}$
étant un voisinage d{\it e} $\partial \mathrm{D}$ dans $\mathrm{M}$, telle que
$\bullet \langle s^{*}(z, \zeta),\ s(z, \zeta)\rangle\neq 0$ pour $z\in \mathrm{D},\ \zeta\in\partial \mathrm{D}$ tels que $\varphi(z, \zeta)\neq 0(\langle, \rangle$ désigne le crochet
de dualité entre $\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$ et $\tilde{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))$.
$\bullet \varphi^{\mathrm{X}^{*}}(z, \zeta)/\langle s^{*}(z, \zeta),\  s(z, \zeta)\rangle$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur un voisinage de $\mathrm{D}\times\partial \mathrm{D}$ dans $\mathrm{D}\times$ M.
Si $\mathrm{U}$ est un ouvert d{\it e} carte d{\it e} $\mathrm{M}$ et $(e_{j})_{j=1}^{n}$ un repère trivialisant holomorphe d{\it e}
$\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$, nous noterons respectivement $u$ et $u^{*}$ les expressions de $s$ et $s^{*}$ dans c{\it e} repère
{\it e}t son dual. Henkin et Leiterer posent alors
$$
\mathrm{f}1^{0}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*}, s)=\frac{(n-1)!}{(2i\pi)^{n}}\varphi_{*}^{\mathrm{v}n}\frac{\overline{\mathfrak{c}0}_{z.\zeta}'(u^{*})\wedge(\mathrm{n}_{\zeta}(u)}{\langle u,u\rangle^{n}}
$$
ce qui définit une forme différentielle sur $\mathrm{D}\times\partial \mathrm{D}$.
Mais c{\it e} noyau n{\it e} contient que des termes de bidegré $(0, q)$ {\it e}n $z$.
Pour passer à la représentation des formes différentielles de type $(p, q)$ quelconque il
convient donc de compléter ce noyau. La première expression du noyau d{\it e} Bochner-
Martinelli conduirait à remplacer $0)_{\zeta}(u)$ par $\mathrm{Q})_{Z,\zeta}(u)$ dans la définition de $\mathrm{f}1^{0}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*}, s)$
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

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J.-P. DEMAILLY ET C. LAURENT-THIEBAUT
mais cela ne permet plus d{\it e} définir une forme différentielle invariante par changement
de coordonnées car $s$ est une section du fibre' vectoriel $\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$. Nous devons donc, pour
obtenir un noyau défini globalement sur $\mathrm{D}\times\partial \mathrm{D}$, utiliser une connexion de $\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$.
Soit 9 une métrique hermitienne $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathrm{T}(\mathrm{M})$, elle induit une métrique hermitienne,
notée encore $\Theta$ sur $\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$ et une application antilinéaire $0$ : $\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})\rightarrow\tilde{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$,
$\xi\mapsto\langle.,\ \xi\rangle_{6}$. On appellera $\mathrm{D}$ la connexion de Chern de $\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$ relative à $\Theta$ et $\nabla$ la
connexion de Chem de $\tilde{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$ associée à la métrique $\Theta^{*}$ induite par 6 sur $\tilde{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$.
On notera $\hat{s}$ la section $\mathcal{C}^{\infty},\ \mathrm{M}\times \mathrm{M}\rightarrow\tilde{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$ définie par $\hat{s}=\sigma \circ s$, il est facile de
voir que $(\hat{s}, \chi)$ est une section de Leray pour $(\mathrm{D}, s, \varphi),\ \mathrm{D}$ étant n'importe quel ouvert
relativement compact à bord $\mathcal{C}^{1}$ par morceaux de M. Remarquons que si 9 est la
métrique hermitie nne construite par Henkin et Leiterer à l'aide d'une partition de 1'unité
subordonnée à un recouvrement trivialisant de $\mathrm{T}(\mathrm{M})\wedge$, alors $\hat{s}$ coïncide avec la section $\overline{s}$
qu ils ont définie dans [{\it 2}] et [3], \S 4. 3. 1. De plus $s$ et {\it s}-possèdent les mêmes propriétés.
On peut alors définir la forme différentielle $\tilde{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*}, s)$ par
$$
\S(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*}, s)=\frac{(-1)^{n-1}}{(2\pi)^{n}}\varphi^{\mathrm{v}n}\frac{\langle s^{*},\mathrm{D}s\rangle\wedge(\langle\nabla''s^{*},\mathrm{D}s\rangle)^{n-1}}{\langle s^{*},s\rangle^{n}}.
$$
C'est une forme différentielle continue sur un voisinage d{\it e} $\mathrm{D}\times\partial \mathrm{D}$ dans $\mathrm{D}\times \mathrm{M}$ si $(s^{*}, \chi^{*})$
est une section de Leray associée à $(\mathrm{D}, s, \varphi)$ et $\mathrm{v}\geqq\chi^{*}$. Si de plus $s^{*}=\hat{s}$, la forme
différentielle $\tilde{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathrm{M}\times \mathrm{M}\backslash \Delta(\mathrm{M})$ si $\mathrm{v}\geqq\chi$ et admet une
singularité d'ordre $2n-1$ en $ z=\zeta$.
Étudions $1' e\mathrm{xpression}$ de la forme différentielle $\tilde{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*}, s)$ dans des coordonnées
locales.
Soient $\mathrm{U}$ un ouvert de carte de $\mathrm{M}$ et $(e_{j})_{j=1}^{n}$ un repère trivialisant holomorphe de
$\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$. La métrique 9 est donnée dans ce repère par une matrice hermitienne définie
positive $\mathrm{H},\ \mathcal{C}^{\infty}$, n{\it e} dépendant que d{\it e} la variable $z$ et la métrique induite par $\Theta$ sur
$\tilde{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$ est donnée dans le repère dual par la matrice $\overline{\mathrm{H}}^{-1}$.
Soient $u,\ u^{*},\hat{u}$ les expressions respectives de $s,\ s^{*}$ et $\hat{s}$ dans les repères choisis; alors
les expressions d{\it e} D{\it s}, $\nabla s^{*}$ et $\nabla\hat{s}$ dans ces repères sont données classiquement par
$du+(\mathrm{H}^{-1}\partial \mathrm{H})\wedge u,\ du^{*}+(\overline{\mathrm{H}}\partial\overline{\mathrm{H}}^{-1})\wedge u^{*}$ et $d\hat{u}+(\overline{\mathrm{H}}\partial\overline{\mathrm{H}}^{-1})\wedge\hat{u}$, et par définition de $\hat{s}$
on a : $\hat{u}=\overline{\mathrm{H}}\overline{u.}$
On en déduit que:
$$
\langle\nabla''s^{*},\ \mathrm{D}s\rangle=\sum_{j=1}^{n}\overline{\partial}u_{j}^{*}\wedge(du_{j}+((\mathrm{H}^{-1}\partial \mathrm{H})\wedge u)_{j})
$$
$$
\langle s^{*},\ \mathrm{D}s\rangle=\sum_{j=1}^{n}u_{j}^{*}(du_{j}+((\mathrm{H}^{-1}\partial \mathrm{H})\wedge u)_{j}).
$$
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FORMULES INTÉGRALES POUR LES FORMES DE TYPE $(p, q)$
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Un calcul analogue à celui du lemme 3 de [1] montre que
$\langle s^{*},\ \displaystyle \mathrm{D}s\rangle\wedge(\langle\nabla''s^{*}, \mathrm{D}s\rangle)^{n-1}=(-1)^{n\langle n-1)/2}(n-1)![\sum_{j=1}^{n}(-1)^{j-1}u_{j_{k\neq j}}^{*}\wedge\partial u_{k}^{*}]$
$$
n
$$
$$
\wedge\bigwedge_{p=1}(du_{p}+((\mathrm{H}^{-1}\partial \mathrm{H})\wedge u)_{p}).
$$
On a donc pour $z$ et $\zeta$ dans des compacts
$\langle s^{*},\ \mathrm{D}s\rangle\wedge(\langle\nabla''\mathrm{s}^{*}, \mathrm{D}s\rangle)^{n-1}=(-1)^{n\langle n-1)/2}(n-1)$! $[\overline{\mathrm{e}\mathrm{o}}_{z,\zeta}'(u^{*})\wedge(\mathrm{D}_{z,\zeta}(u)+O(|u|_{9})]$.
Dans le cas particulier où l'on prend comme section $s^{*}$ la section $\overline{s}$ de [3] {\it e}t pour 6 la
métrique intervenant dans la définition d{\it e} $\overline{s}$ on obtient sur $\mathrm{U}\times \mathrm{V}\backslash \Delta(\mathrm{U})$
$$
\tilde{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}},\overline{s,}s)=\tilde{\mathrm{K}}+O(\frac{1}{|u|_{9}^{2n-2}})
$$
(si $z$ {\it e}t $\zeta$ varient dans des compacts d{\it e} M).
$\tilde{\mathrm{K}}$ étant le noyau défini localement dans [5] et qui est une solution fondamentale locale
du $\overline{\partial}$ ([5], \S 2).
Remarquons d'autre part que si $\mathrm{M}=\mathbb{C}^{n}$ et si la métrique 9 est la métrique habituelle
d{\it e} $\mathbb{C}^{n}$ alors les conne alors $\mathrm{D}$ et $\nabla$ coïncident avec la différentielle ordinaire {\it e}t si on
prend :
\begin{center}
$\varphi(z, \zeta)=1$, V $(z, \zeta)\in \mathbb{C}^{n}\times \mathbb{C}^{n}$
\end{center}
$ s(z, \zeta)=z-\zeta$ et $s^{*}(z, \zeta)=\overline{z}-\overline{\zeta}$
le noyau fl $(\varphi^{\mathrm{v}},\overline{s,}s)$ n'est autre que l{\it e} noyau de Bochner-Martinelli dans $\mathbb{C}^{n}\times \mathbb{C}^{n}$.
2. Formule de Koppelman
pour les $(p, q)$-formes différentielles
Dans c{\it e} paragraphe nous allons étendre au cas des $(p, q)$-formes différentielles, $0\leqq p$,
$q\leqq n$ la formule de Koppelman donnée dans les variétés de Stein par Henkin {\it e}t Leiterer
pour les $(0, q)$-formes différentielles ([5], théorème 4. 5. 2).
Considérons le noyau $\tilde{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)$ défini au paragraphe précédent. Remarquons tout
d'abord que $s$ étant holomorphe on a Ds $=\mathrm{D}'s$; les connexions $\mathrm{D}$ et $\nabla$ sont d'autre part
liées par la relation naturelle $\nabla\hat{s}=\nabla(\sigma\circ s)=\sigma \circ \mathrm{D}s$ où a est antilinéaire; par suite $\nabla\hat{s}=\nabla''\hat{s}$
et
$$
\Omega(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)=\frac{(-1)^{n-1}}{(2\pi)^{n}}\varphi^{\mathrm{v}n}\frac{\langle\hat{s},\mathrm{D}s\rangle\wedge(\langle\nabla\hat{s},\mathrm{D}s\rangle)^{n-1}}{|s|_{9}^{2n}}.
$$
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

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Le noyau $\mathrm{B} (\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)$ admet la décomposition suivante:
$$
\tilde{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)=\ 1\leqq \mathrm{q}\leqq n-1\sum_{1\leqq p\leqq n},\Omega_{q}^{p}(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)
$$
où $\Omega_{q}^{p}(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)$ est de type $(p, q)$ en $z$ et $(n-p, n-q-1)$ en $\zeta$. On peut remarquer que si
$\hat{s}$ coïncide avec la section $\overline{s}$ de Henkin et Leiterer, $\displaystyle \sum_{1\leqq \mathrm{q}\leqq n-1}\Omega_{q}^{0}(\varphi^{\mathrm{v}},\overline{s,}s)$ n'est autre que l{\it e}
noyau $\Omega^{\mathrm{o}}$ défini par Henkin {\it e}t Leiterer ([2], \S 2.4 et [3], \S 4. 5) pour démontrer la
formule de Koppelman pour les $(0, q)$ formes différentielles: ceci résulte du fait que la
forme de connexion $\mathrm{H}^{-1}\partial \mathrm{H}$ qui intervient dans la définition de $\circ(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)$ n{\it e} dépend
que de la variable $z$. On pose $\Omega_{-1}^{0}=\Omega_{n}^{0}=0$.
Pour simplifier les expressions ultérieures, nous noterons $\tilde{\Omega}$ {\it e}t $\Omega_{q}^{p}$ les noyaux
6 $(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)$ et $\Omega_{\mathrm{q}}^{p}(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)$ lorsqu il ne risque pas d'y avoir de confusion.
Désignons par $c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))=\mathrm{D}^{2}$ {\it e}t $c(\tilde{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))=\nabla^{2}$ les formes d{\it e} courbure des
fibre's $\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$ et $\tilde{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$ pour les connexions $\mathrm{D}$ et V; elles sont de bidegré (1, 1)
et n{\it e} dépendent que de la variable $z$.
LEMME {\it 2}. 1. --{\it On a sur} $\mathrm{M}\times \mathrm{M}\backslash \Delta(\mathrm{M})$.
$\displaystyle \overline{\partial}\mathrm{fi}=\frac{(-1)^{n-1}}{(2\pi)^{n}}\frac{\varphi^{\mathrm{v}n}}{\langle\hat{s},s\rangle^{n}}[\langle\hat{s}, c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})\wedge s\rangle\wedge(\langle\nabla\hat{s}, \mathrm{D}s\rangle)^{n-1}$
$$
+(n-1)\langle\hat{s},\ \mathrm{D}s\rangle\wedge\langle\nabla\hat{s},\ c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))\wedge s\rangle\wedge(\langle\nabla\hat{s}, \mathrm{D}s\rangle)^{n-2}].
$$
{\it et donc} $\partial\Omega$ {\it a une singularité d}'{\it ordre 2} $n-2$ {\it sur la diagonale}.
{\it Si de plus} $c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))=0$ {\it on a} $\overline{\partial}\tilde{\Omega}=0$.
{\it Démonstration}. --Calculons tout d'abord
$$
d[\frac{\langle\hat{s},\mathrm{D}s\rangle\wedge(\langle\nabla\hat{s},\mathrm{D}s\rangle)^{n-1}}{\langle\hat{s},s\rangle^{n}}].
$$
On a
$$
d\langle\hat{s},\ s\rangle=\langle\nabla\hat{s},\ s\rangle+\langle\hat{s},\ \mathrm{D}s\rangle
$$
$$
d\langle\hat{s},\ \mathrm{D}s\rangle=\langle\nabla\hat{s},\ \mathrm{D}s\rangle+\langle\hat{s},\  c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))\wedge s\rangle
$$
$d(\langle\nabla\hat{s}, \mathrm{D}s\rangle)^{n-1}=(n-1)[\langle c(\tilde{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})\wedge\hat{s}, \mathrm{D}s\rangle$
$$
-\langle\nabla\hat{s},\ c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))\wedge s\rangle]\wedge(\langle\nabla\hat{s}, \mathrm{D}s\rangle)^{n-2}.
$$
D'où
$d[\displaystyle \frac{\langle\hat{s},\mathrm{D}s\rangle\wedge(\langle\nabla\hat{s},\mathrm{D}s\rangle)^{n-1}}{\langle\hat{s},s\rangle^{n}}]=\frac{1}{(\langle\hat{s},s\rangle)^{n+1}}[\langle\hat{s}, s\rangle(\langle\nabla\hat{s}, \mathrm{D}s\rangle)^{n}$
$$
+\langle\hat{s},\ s\rangle\langle\hat{s},\ c\ (\text{î} (\mathrm{M}\times \mathrm{M}))\wedge s\rangle\wedge(\langle\nabla\hat{s}, \mathrm{D}s\rangle)^{n-1}
$$
$$
-(n-1)\langle\hat{s},\ s\rangle\langle\hat{s},\ \mathrm{D}s\rangle\wedge(\langle c(\tilde{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))\wedge\hat{s},\ \mathrm{D}s\rangle
$$
$$
-\langle \mathrm{V}\hat{s},\ c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))\wedge s\rangle)\wedge(\langle\nabla\hat{s}, \mathrm{D}s\rangle)^{n-2}
$$
$$
-n(\langle\nabla\hat{s}, s\rangle+\langle\hat{s}, \mathrm{D}s\rangle)\wedge\langle\hat{s},\ \mathrm{D}s\rangle\wedge(\langle\nabla\hat{s}, \mathrm{D}s\rangle)^{n-1}]
$$
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FORMULES INTÉGRALES POUR LES FORMES DE TYPE $(p, q)$
585
or
$\langle\hat{s},\ \mathrm{D}s\rangle\wedge\langle\hat{s}$, D{\it s} $\rangle=0$
$$
\langle\hat{s},\ s\rangle(\langle\nabla\hat{s}, \mathrm{D}s\rangle)^{n}=n\langle\nabla\hat{s},\ s\rangle\wedge\langle\hat{s},\ \mathrm{D}s\rangle\wedge(\langle\nabla\hat{s}, \mathrm{D}s\rangle)^{n-1}
$$
(il suffit de reprendre les calculs du lemme 3 de [1]).
Revenons au noyau $\tilde{\Omega}$, comme $\varphi$ est holomorphe {\it e}t $\nabla\hat{s}=\nabla''\hat{s}$, on a pour des raisons
de degré
$\displaystyle \overline{\partial}\tilde{\Omega}=\frac{(-1)^{n-1}}{(2\pi)^{n}}\varphi^{\mathrm{v}n}$
$$
\times\frac{\left\{\begin{array}{llllll}
\langle\hat{s} & c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))\wedge & s\rangle\wedge(\langle\nabla\hat{s} & \mathrm{D}s\rangle)^{n-1} &  & \\
+(n-1)\langle\hat{s} &  & \mathrm{D}s\rangle\wedge\langle\nabla\hat{s},c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))\wedge &  & s\rangle\wedge(\langle\nabla\hat{s} & \mathrm{D}s\rangle)^{n-2}
\end{array}\right\}}{\langle\hat{s}}\ ,
$$
Étudions maintenant la singularité d{\it e} $\partial${\it Ù e}n $ z=\zeta$. Par définition de $\hat{s}$, on a $\langle\hat{s},\ s\rangle=|s|_{9}$
et si $z$ et $\zeta$ varient dans des compacts de $\mathrm{M}$, les formes différentielles $c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}), \nabla\hat{s}$ {\it e}t
D{\it s} sont bomées donc: $\overline{\partial}\tilde{\Omega}=O(|s|_{\Theta}^{-2n+2})$ car $|\hat{s}|=|\sigma s|=O(|s|_{9})$.
ThéOrème {\it 2}.2. --{\it Soient} $\mathrm{D}$ {\it un domaine relativement compact à bord} $\mathcal{C}^{1}$ {\it par morceaux}
{\it de la variété de} $Stem \mathrm{M}$ {\it et} $\mathrm{v}\geqq 2\chi$. {\it Si} $f$ {\it est une} $(p, q)$ {\it forme différentielle continue sur} $\overline{\mathrm{D}}$,
{\it telle que} $\overline{\partial}f$ {\it soit aussi continue sur} $\overline{\mathrm{D}},\ 0\leqq p,\ q\leqq n$, {\it on a pour} $z\in \mathrm{D}$
(2. 1) $f(z)=(-1)^{p+q}[\displaystyle \int_{\zeta\in\partial \mathrm{D}}f(\zeta)\wedge\Omega_{\mathrm{q}}^{p}(z, \zeta)-\int_{\zeta\in \mathrm{D}}\overline{\partial}_{\zeta}f(\zeta)\wedge\Omega_{q}^{p}(z, \zeta)$
$$
+\overline{\partial}_{z}\int_{\zeta\in \mathrm{D}}f(\zeta)\wedge\Omega_{\mathrm{q}-1}^{p}(z, \zeta)+(-1)^{p+q+1}\int_{\zeta\in \mathrm{D}}f(\zeta)\wedge \mathrm{P}_{q}^{p}(z, \zeta)]
$$
{\it où} $\Omega_{q}^{p}(z, \zeta)=\Omega_{q}^{p}(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)(z, \zeta)$ {\it et} $\mathrm{P}_{q}^{p}(z, \zeta)$ {\it est la partie de bidegré} $(p, q)$ {\it en} $z$ {\it de dÙ}.
{\it Remarque} 1. --Si $p=0,\ \mathrm{P}_{q}^{p}=0$ car $c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))$ est de bidegré (1, 1) en $z$, on retrouve
donc la formule ({\it 2}.4. 6) de [{\it 2}].
{\it Remarque} 2. --Si la métrique $\Theta$ est telle que $c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))=0$, on obtient la formule
d{\it e} Koppelman classique pour les $(p, q)$ formes différentielles.
{\it Démonstration}. --La méthode utilisée ici est la même que celle de la démonstration
du théorème 4. 5. 2 de [3]. Il nous a semblé plus clair d'en rappeler ici les principales
étapes.
Il suffit d{\it e} prouver pour toute {\it forme} différentielle $g$ d{\it e} bidegré $(n-p, n-q),\ \mathcal{C}^{\infty}$ à
support compact dans $\mathrm{D}$, que
$\displaystyle \int_{z\in \mathrm{D}}f(z)\wedge g(z)=(-1)^{p+\mathrm{q}}[\int_{z,\zeta)\in \mathrm{D}\times\partial \mathrm{D}}f(\zeta)\wedge\Omega_{q}^{p}(z, \zeta)\wedge g(z)$
$$
-\int_{z,\zeta)\in \mathrm{D}\mathrm{x}\mathrm{D}}\overline{\partial}_{\zeta}f(\zeta)\wedge\Omega_{q}^{p}(z, \zeta)\wedge g(z)]
$$
$$
+\int_{z,\zeta)\in \mathrm{D}\mathrm{x}\mathrm{D}}f(\zeta)\wedge\Omega_{q-1}^{p}(z, \zeta)\wedge\overline{\partial}_{z}g(z)-\int_{z,\zeta)\in \mathrm{D}\mathrm{x}\mathrm{D}}f(\zeta)\wedge \mathrm{P}_{q}^{p}(z, \zeta)\wedge g(z).
$$
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

586
J.-P. DEMAILLY ET C. LAURENT-THIEBAUT
Par des considérations de bidegré on peut remplacer $\Omega_{q}^{p}$ {\it e}t $\Omega_{\mathrm{q}-1}^{p}$ par $\tilde{\Omega},\ \mathrm{P}_{q}^{p}$ par dfl
ainsi que $\partial f$ et $\partial g$ par $df$ et $dg$. On doit donc démontrer 1'égalité
$(2'.2) \displaystyle \int_{z\in \mathrm{D}}f(z)\wedge g(z)$
$=(-1)^{p+q}[\displaystyle \int_{z,\zeta)\in \mathrm{D}\mathrm{x}}$ {\it ô}D $f(\displaystyle \zeta)\wedge\tilde{\Omega}(z, \zeta)\wedge g(z)-\int_{z,\zeta)\in \mathrm{D}\mathrm{x}\mathrm{D}}d_{\zeta}f(\zeta)\wedge\tilde{\Omega}(z, \zeta)\wedge g(z)]$
$$
+\int_{z,\zeta)\mathrm{e}\mathrm{D}\mathrm{x}\mathrm{D}}f(\zeta)\wedge \mathrm{fi}\ (Z, \zeta)\wedge d_{z}g(z)-\int_{z,\zeta)\in \mathrm{D}\mathrm{x}\mathrm{D}}f(\zeta)\wedge\overline{\partial}_{z,\zeta}\ \S\ (z, \zeta)\wedge g(z).
$$
Grâce aux propriétés de $s$, on peut trouver un voisinage $\mathrm{U}_{\Delta}\subset \mathrm{M}\times \mathrm{M}$ d{\it e} la diagonale
$\Delta=\{(z, z)|z\in \mathrm{M}\}$ tel que pour tout $z$ fixé dans $\mathrm{M},\ s(z, \zeta)$ soit biholomorphe pour tout
$\zeta\in \mathrm{M}$ tel que $(z, \zeta)\in \mathrm{U}_{\Delta}$. On considère les ouverts
$$
\mathrm{U}_{\epsilon}=\{(z, \zeta)\in \mathrm{U}_{\Delta}\times \mathrm{U}_{\Delta}||s|_{9}<\epsilon\},\ \epsilon>0.
$$
Comme Dcc $\mathrm{M}$, pour $\epsilon$ assez petit, $\partial \mathrm{U}_{\epsilon}\cap(\mathrm{D}\times \mathrm{D})$ est lisse.
Nous allons appliquer la form ule de Stokes à la forme différentielle
$f(\zeta)\wedge\tilde{\Omega}(z, \zeta)\wedge g(z)$ sur Rouvert $\mathrm{D}_{\epsilon}=\mathrm{D}\times \mathrm{D}\backslash \mathrm{U}_{\epsilon}$.
Nous choisissons $\epsilon$ pour que
$$
\partial \mathrm{D}_{\epsilon}\cap(\mathrm{supp}g\times \mathrm{M})=(\mathrm{D}\times\partial \mathrm{D}\cup\partial \mathrm{U}_{\epsilon})\cap(\mathrm{supp}g\times \mathrm{M}),
$$
alors
$\displaystyle \int_{z,\zeta)\in \mathrm{D}\times\partial \mathrm{D}}f(\zeta)\wedge\tilde{\Omega}(z, \zeta)\wedge g(z)-\int_{z,\zeta)\in\partial \mathrm{U}_{\epsilon}}f(\zeta)\wedge\tilde{\Omega}(z, \zeta)\wedge g(z)$
$$
=\int_{z.\zeta)\in \mathrm{D}_{\epsilon}}d_{z,\zeta}(f(\zeta)\wedge\tilde{\Omega}(z, \zeta)\wedge g(z)).
$$
Or
$d_{z,\zeta}(f(\zeta)\wedge\tilde{\Omega}(z, \zeta)\wedge g(z))=d_{\zeta}f(\zeta)\wedge\tilde{\Omega}(z, \zeta)\wedge g(z)$
$$
+(-1)^{p+\mathrm{q}}f(\zeta)\wedge d_{z,\zeta}\tilde{\Omega}(z, \zeta)\wedge g(z)+(-1)^{p+q+1}f(\zeta)\wedge\S\ (z, \zeta)\wedge d_{z}g(z)
$$
et pour des raisons de bidegré on peut remplacer $d_{z,\zeta}\tilde{\Omega}$ par $\overline{\partial}_{z,\zeta}\tilde{\Omega}$, on {\it e}n déduit donc
que
(2. 3) $\displaystyle \int_{z,\zeta)\in \mathrm{D}\mathrm{x}\partial \mathrm{D}}f(\zeta)\wedge\tilde{\Omega}(z, \zeta)\wedge g(z)-\int_{z,\zeta)\in\partial \mathrm{U}_{\epsilon}}f(\zeta)\wedge\tilde{\Omega}(z, \zeta)\wedge g(z)$
$=\displaystyle \int_{z,\zeta)\in \mathrm{D}_{\epsilon}}d_{\zeta}f(\zeta)\wedge\tilde{\Omega}(z, \zeta)\wedge g(z)+(-1)^{p+q}\int_{z,\zeta)\in \mathrm{D}_{\epsilon}}f(\zeta)\wedge\overline{\partial}_{z,\zeta}\tilde{\Omega}(z, \zeta)\wedge g(z)$
$$
+(-1)^{p+q+1}\int_{z,\zeta)\in \mathrm{D}_{\epsilon}}f(\zeta)\wedge\Omega(z, \zeta)\wedge d_{z}g(z).
$$
4${}^{\text{e}}$ SÉRIE --TOME 20 -- 1987 $-\mathrm{N}^{\circ}4$

FORMULES INTÉGRALES POUR LES FORMES DE TYPE $(p, q)$
587
Il est clair que $\tilde{\Omega}$ ayant une singularité d'ordre $2n-1$ au voisinage de la diagonale et
$\overline{\partial}_{z,\zeta}\tilde{\Omega}$ une singularité d'ordre 2 $n-2$, ces deux formes différentielles sont localement
intégrables sur $\mathrm{D}\times\overline{\mathrm{D}}$ et par conséquent les intégrales du second membre de (2. 3) tendent
vers les intégrales correspondantes de ({\it 2}.2) quand $\epsilon\rightarrow 0$. Il reste donc à montrer que
({\it 2}. 4) $\displaystyle \lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{z,\zeta)\in\partial \mathrm{U}_{\epsilon}}f(\zeta)\wedge\tilde{\Omega}(z, \zeta)\wedge g(z)=(-1)^{p+q}\int_{z\in \mathrm{D}}f(z)\wedge g(z)$.
Après usage d'une partition de l'unité sur l{\it e} support d{\it e} $g$, on peut supposer que le
support d{\it e} $g$ est contenu dans un ouvert de carte $\mathrm{U}$ d{\it e} M. Soit V un ouvert tel que
$\mathrm{suppg}\subset \mathrm{V}\subset\subset$ U.
Si $\epsilon$ est assez petit, les conditions $z\in \mathrm{V}$ et $(z, \zeta)\in \mathrm{U}_{\epsilon}$ impliquent $\zeta\in$ U. Avec les notations
du paragraphe 1, le noyau $\tilde{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*}, s)$ admet pour $(z, \zeta)\in \mathrm{V}\times \mathrm{U}$ l'expression en coordon-
nées locales
$$
\tilde{\Omega}(z, \zeta)=\frac{(n-1)!}{(2i\pi)^{n}}\varphi^{\mathrm{v}n}\frac{\overline{\mathrm{e}\mathrm{o}}_{z,\zeta}'(\hat{u})\wedge 0)_{Z,\zeta}(u)}{|u|_{9}^{2n}}+O(|u|_{9}^{-2n+2}).
$$
En particulier sur $\partial \mathrm{U}_{\epsilon}\cap(\mathrm{V}\times(\mathrm{U}\cap\overline{\mathrm{D}}))$
\begin{center}
fl $(z, \displaystyle \zeta)=\frac{(n-1)!}{(2i\pi)^{n}}\varphi^{\mathrm{v}n}\frac{\mathrm{Q})_{Z,\zeta}'(\hat{u})\wedge C\mathrm{D}_{z,\zeta}(u)}{\epsilon^{2n}}+O(\epsilon^{-2n+2})$.
\end{center}
Or la mesure de l'ensemble $\partial \mathrm{U}_{\epsilon}\cap(\mathrm{V}\times \mathrm{U})$ est un $O(\epsilon^{2n-1})$, il en résulte que (2.4) s{\it e}
déduira de
(2. 5) $\displaystyle \lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{z.\zeta)\mathrm{e}\partial \mathrm{U}_{\epsilon}\cap\langle \mathrm{V}\mathrm{x}\mathrm{U})}f(\zeta)\wedge \mathrm{K}(z, \zeta)\wedge g(z)=(-1)^{p+q}\int_{z\in \mathrm{V}}f(z)\wedge g(z)$
Où
$$
\mathrm{K}(z, \zeta)=\frac{(n-1)!}{(2i\pi)^{n}}\varphi^{\mathrm{v}n}\frac{\overline{0})_{z,\zeta}'(\hat{u})\wedge 0)_{z,\zeta}(u)}{\epsilon^{2n}}.
$$
Or ce résultat est démontré dans ([3], p. 176-177) pour la section $\overline{s}$ et donc pour $\hat{s}$ car
ces deux sections ont les mêmes propriétés ({\it cf}. [3], \S 4. 3. 1).
Le théorème est ainsi démontré.
COROLLAIRE {\it 2}.3. --{\it Le noyau} $\Omega(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)$ {\it défnit un courant sur} $\mathrm{M}\times \mathrm{M}$ {\it qui vérife}
$$
\overline{\partial}\tilde{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)=[\Delta]+\mathrm{P}
$$
{\it où} $[\Delta]$ {\it est le courant d}'{\it intégration sur la diagonale} $\Delta$ {\it de} $\mathrm{M}\times \mathrm{M}$ {\it et} $\mathrm{P}$ {\it la forme différentielle}
{\it localement intégrable qui coïncide avec} $\partial\tilde{\Omega}$ {\it sur} $\mathrm{M}\times \mathrm{M}\backslash \Delta(\mathrm{M})$. {\it En particulier si}
$c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))=0$, {\it alors} $\overline{\partial}\beta(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)=[\Delta]$.
Ce résultat n'est autre que l'interprétation {\it e}n terme de courants de la form ule (2. 1); il
montre que le courant d'intégration $[\Delta]$ n'est autre $\mathrm{qu}e\wedge$ le résidu au sens d{\it e} Griffiths et
Harris ([10], p. 369) de la forme différentielle $\S(\varphi^{\mathrm{v}}, s, s)$.
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

588
J.-P. DEMAILLY ET C. LAURENT-THIEBAUT
3. Transformée de Bochner-Martinelli
On considère une hypersurface réelle V fermée, orientée de classe $\mathcal{C}^{1+\alpha},\ \alpha>0$, dans un
ouvert $\mathrm{U}$ de la variété de Stein $\mathrm{M}$, telle que $\mathrm{U}\backslash \mathrm{V}$ ait exactement deux composantes
connexes $\mathrm{U}^{+}$ et $\mathrm{U}^{-}$
On suppose que l'orientation sur V est celle obtenue lorsque l'on considère que V est
la frontière de $\mathrm{U}^{+}$.
Si $f$ est une $(p, q)$ forme différentielle de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur V, à support compact on appelle
transformée de Bochner-Martinelli de $f$ la forme différentielle $\mathrm{F}$ définie sur $\mathrm{U}\backslash \mathrm{V}$ par
$$
\mathrm{F}(z)=\int_{\zeta\in \mathrm{V}}f(\zeta)\wedge\Omega_{q}^{p}(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)(z, \zeta).
$$
Dans [6] nous avons déjà étudié les propriétés de $\mathrm{F}$, lorsque $f$ est une $(0, q)$ forme
différentielle, les résultats obtenus s'étendent au cas des $(p, q)$-formes différentielles.
Les notations sont celles de [6], \S 3. On suppose que
$$
\mathrm{V}=\{z\in \mathrm{M}/\mathrm{p}(z)=0\},\ \mathrm{p}\in \mathcal{C}^{1+\alpha}(\mathrm{M}).
$$
Si $f\in \mathcal{C}_{p,,q}(\mathrm{V})$ on notera $f_{\mathrm{t}}$ sa projection sur l'espace quotient d{\it e} $\mathcal{C}_{p,q}(\mathrm{V})$ par les formes
différentielles normales complexes. Si $\mathrm{F}$ est une $(p, q)-\mathrm{fo}rme$ différentielle continue sur
$\mathrm{U}^{+}$ ou $\mathrm{U}^{-}$ nous dirons qu elle se prolonge continûment à $\mathrm{U}^{\pm}\cup \mathrm{V}$ modulo $\overline{\partial}\mathrm{p}$ s'il existe
une $(p, q)$ forme différentielle $\tilde{\mathrm{F}}$ continue sur $\mathrm{U}^{\pm}\cup \mathrm{V}$ telle que $\tilde{\mathrm{F}}-\mathrm{F}=\overline{\partial}\mathrm{p}\wedge \mathrm{G}$ sur $\mathrm{U}^{\pm}$,
$\mathrm{G}$ étant une forme différentielle continue sur $\mathrm{U}^{\pm}$ d{\it e} bidegré $(p, q-1)$.
ThéOrème 3.1. --{\it Soit} $f$ {\it une} $(p, q)$ {\it forme différentielle}, $\mathcal{C}^{1}$ {\it sur} V, {\it à support compact}.
{\it La transformée de Bochner-Martinelli de} $f$
$$
\mathrm{F}(z)=\int_{\zeta\in \mathrm{V}}f(\zeta)\wedge\Omega_{q}^{p}(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)(z, \zeta)
$$
{\it admet, modulo} $\overline{\partial}\mathrm{p}$, {\it des prolongements continus à} $\mathrm{U}^{+}\cup \mathrm{V}$ {\it et} $\mathrm{U}^{-}\cup \mathrm{V}$ {\it notés} $\mathrm{F}^{+}$ {\it et} $\mathrm{F}^{-}$ {\it et}
{\it on a}
$$
\mathrm{F}_{\mathrm{t}}^{+}-\mathrm{F}_{\mathrm{t}}^{-}=(-1)^{p+q}f_{\mathrm{t}}.
$$
{\it Démonstration}. --Il s'agit d'un problème local, on peut donc supposer que $\mathrm{U}$ est un
domaine de carte de M.
Choisissons des coordonnées et un repère trivialisant de $\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$ sur cet ouvert, on
a alors d'après le paragraphe 1
(3. 1) fl $(\displaystyle \varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)=\frac{(n-1)!}{(2i\pi)^{n}}\varphi^{\mathrm{v}n}\frac{\overline{T\mathrm{D}}_{z,\zeta}'(\hat{u})\wedge \mathfrak{c}0_{z,\zeta}(u)}{|u|_{6}^{2n}}+O(|u|^{-2n+2})$
si $(z, \zeta)\in \mathrm{U}\times \mathrm{U}\backslash \Delta(\mathrm{U}),\ z$ et $\zeta$ variant dans des compacts de M.
4${}^{\text{e}}$ SÉRIE --TOME 20 -- 1987 $-\mathrm{N}^{\circ}4$

FORMULES INTÉGRALES POUR LES FORMES DE TYPE $(p, q)$
589
Pour des raisons de degré
$$
\mathrm{F}(z)=\int_{\zeta\in \mathrm{V}}f(\zeta)\wedge\Omega(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)
$$
et par conséquent grâce à (3. 1) la fo rme $\mathrm{F}$ est somme d'un terme continu au voisinage
de V et de la forme
$$
\mathrm{F}_{0}(z)=\frac{(n-1)!}{(2i\pi)^{n}}\int_{\zeta\in \mathrm{V}}f(\zeta)\wedge\varphi^{\mathrm{v}n}(z, \zeta)\frac{\overline{\mathfrak{c}0}_{z,\zeta}'(\hat{u})\wedge \mathfrak{c}0_{z,\zeta}(u)}{|u|_{9}^{2n}}.
$$
Le théorème résulte donc du théorème analogue montré pour $\mathrm{F}_{0}$ dans [6] (prop. {\it 2}. 3. 1).
{\it Remarque}. -- Dans [6] nous avions étudié lorsque $f$ est une $(n, n-q-1)$ forme
différentielle
$$
\mathrm{G}(\zeta)=\int_{z\in \mathrm{V}}f(z)\wedge\Omega_{q}^{0}(\varphi^{\mathrm{v}},\overline{s,}s)(z, \zeta)=\int_{z\in \mathrm{V}}f(z)\wedge O^{0}(\varphi^{\mathrm{v}},\overline{s,}s)(z, \zeta)
$$
où $\displaystyle \Omega^{0}=\sum_{0\leqq \mathrm{q}\leqq n-1}\Omega_{q}^{0}$.
II n'est pas surprenant que $\mathrm{F}$ et $\mathrm{G}$ possèdent les {\it mêmes} proprétés au voisinage de V.
En effet d'après (3. 1) et le {\it lemme 2}. 3. 5 de [6], si $6^{n}=\displaystyle \sum_{0\leqq q\leqq n-1}\Omega_{q}^{n}$,
$$
\mathrm{fi}^{n}(\varphi^{\mathrm{v}},\overline{s}, s)(z, \zeta)-\mathfrak{H}^{0}(\varphi^{\mathrm{v}},\overline{s}, s)(\zeta, z)
$$
possède une singularité d'ordre {\it 2} $n-2$ en $ z=\zeta$.
4. Formule de Koppelman-Leray
Sur $\mathrm{M}\times \mathrm{M}\times[0,1]$ on désigne par $\overline{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}\times[0,1])$ le fibre' vectoriel image réciproque
d{\it e} $\mathrm{T}^{*}(\mathrm{M})$ par l'application $(z, \zeta, \lambda)\mapsto z$.
On notera $\overline{\Theta}^{*}$ la métrique induite par la métrique $\Theta$ de $\mathrm{T}(\mathrm{M})$ sur c{\it e} fibré.
Soit $\Delta$ la connexion hermitienne sur $\overline{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}\times[0,1])$ relative à la métrique $\mathrm{a}*$,
holomorphe en les variables $(z, \zeta)$ et invariante par translation dans la direction $\lambda$.
Si $\mathcal{C}_{k}^{\infty} (\mathrm{M}\times \mathrm{M}\times[0,1], \text{Ë}*)$ désigne l'espace des formes différentielles $\mathcal{C}^{\infty}$ de degré $k$ sur
$\mathrm{M}\times \mathrm{M}\times[0,1]$ à valeurs dans Ë$*=$T-$*$(M$\times$M$\times$[0, 1]), on a la décomposition suivante
$$
\mathcal{C}_{k}^{\infty}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}\times[0,1],\overline{\mathrm{E}}^{*})=\bigoplus_{p+q+r=k}\mathcal{C}_{p,q,r}^{\infty}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}\times[0,1], \text{Ë}*)
$$
où $\mathcal{C}_{p,q,r}^{\infty}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}\times[0,1], \text{Ë}*)$ désigne l'espace des formes différentielles de bidegré $(p, q)$
en $(z, \zeta)$ et de degré $r$ en $\lambda$.
La connexion $\Delta$ se décompose en $\Delta'+\Delta''$ où
$$
\Delta'\ :\ \mathcal{C}_{p,q,r}^{\infty}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}\times[0,1],\overline{\mathrm{E}}^{*})\rightarrow \mathcal{C}_{p+1,q}^{\infty},\text{ , }(\mathrm{M}\times \mathrm{M}\times[0,1], \text{Ë}*)
$$
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

590
J.-P. DEMAILLY ET C. LAURENT-THIEBAUT
$\Delta''$: $\mathcal{C}_{p,q,r}^{\infty}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}\times[0,1],\overline{\mathrm{E}}^{*})$
$$
\rightarrow \mathcal{C}_{p,\mathrm{q}+1,r}^{\infty}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}\times[0,1],\overline{\mathrm{E}}^{*})\oplus \mathcal{C}_{p,q,r+1}^{\infty}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}\times[0,1],\overline{\mathrm{E}}^{*}).
$$
Étudions l'expression de $\Delta$ en coordonnées locales. Choisissons une trivialisation d{\it e}
$\overline{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}\times[0,1])$ et notons $v^{*}$ l'expression d'une section $t^{*}$ de $\overline{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}\times[0,1])$ alors
$$
\Delta't^{*}=\overline{\mathrm{H}}(\partial_{z,\zeta}(\overline{\mathrm{H}}^{-1}v^{*}))
$$
où $\mathrm{H}$ est la matrice de la métrique $\Theta$ dans la trivialisation correspondante de $\mathrm{T}(\mathrm{M})$
$$
\Delta''t^{*}=(\overline{\partial}_{z,\zeta}+d_{\lambda})v^{*}.
$$
Soit $\mathrm{D}$ un ouvert relativement compact, à bord $\mathcal{C}^{1}$ par morceau d{\it e} $\mathrm{M}$ {\it e}t $(s^{*_{ \prime}},\chi^{*})$ une
section de Leray pour $(\mathrm{D}, s, \varphi)$ ({\it cf}. \S 1).
Comme Henkin et Leiterer ([3], \S 4.5), on pose pour tout $\lambda\in[0,1]$, ze $\mathrm{D}$ {\it e}t $\zeta\in$VôD tel
que $\langle s^{*}(z, \zeta),\ s(z, \zeta)\rangle\neq 0$
\begin{center}
(4.1)   $t^{*}(z, \displaystyle \zeta, \lambda)=(1-\lambda)_{*}\frac{s^{*}(z,\zeta)}{\langle s(z,\zeta),s(z,\zeta)\rangle}+\lambda\frac{\hat{s}(z,\zeta)}{|s(z,\zeta)|_{6}^{2}}$.
\end{center}
D'après les propriétés de $\varphi,\ s$ et $s^{*}$ l'application
$$
(z, \zeta, \lambda)\mapsto\varphi^{\max\langle\chi,\chi^{*})}(z, \zeta)t^{*}(z, \zeta, \lambda)
$$
définit une section $\mathcal{C}^{1}$ de $\overline{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}\times[0,1])$ sur un voisinage d{\it e} $\mathrm{D}\times\partial \mathrm{D}\times[0,1]$ dans
$\mathrm{D}\times \mathrm{M}\times[0,1]$. On {\it e}n déduit que pour tout entier $\displaystyle \mathrm{v}\geqq\max(\chi, \chi^{*})$ la forme différentielle
$\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)=(-1)^{n-1}/(2\pi)^{n}\varphi^{\mathrm{v}n}\langle t^{*},\ \mathrm{D}s\rangle\wedge(\langle\Delta''t^{*}, \mathrm{D}s\rangle)^{n-1}$ est continue sur un
voisinage de $\mathrm{D}\times\partial \mathrm{D}\times[0,1]$ dans $\mathrm{D}\times \mathrm{M}\times[0,1]$.
LEMME 4. 1. --{\it On a les égalités suivantes}
$$
\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)|_{\lambda=0}=\tilde{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*}, s)
$$
$$
\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)|_{\mathrm{A}=1}\prime=\tilde{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s).
$$
{\it Démonstration}. --D'après l'expression (4. 1) d{\it e} $t^{*}$ il suffit d{\it e} montrer que pour toute
fonction $\mu$ de classe $\mathcal{C}^{1}$, définie sur un ouvert d{\it e} $\mathrm{M}\times \mathrm{M}$ contenant le domaine d{\it e}
définition d'une section $s^{*}$ de $\tilde{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$ on a
$$
\langle\mu\ s^{*},\ \mathrm{D}s\rangle\wedge(\langle\Delta''(\mu s^{*}), \mathrm{D}s\rangle)^{n-1}=\mu^{n}\langle s^{*},\ \mathrm{D}s\rangle\wedge(\langle\Delta''s^{*}, \mathrm{D}s\rangle)^{n-1};
$$
on appliquera cette formule successivement avec $\mu=\langle s^{*},\ s\rangle^{-1}$ pour $\lambda=0$ et
$\mu=\langle\hat{s},\ s\rangle^{-1}=|s|_{6}^{-2},\ s^{*}=\hat{s}$ pour $\lambda=1$.
La formule résulte elle-même immédiatement du fait que
$$
\langle \mathrm{jx}\ s^{*},\ \mathrm{D}s\rangle\wedge\langle d''\mu\ \wedge s^{*},\ \mathrm{D}s\rangle=-\mu d''\mu\ \wedge\langle s^{*},\ \mathrm{D}s\rangle\wedge\langle s^{*},\ \mathrm{D}s\rangle=0.
$$
4${}^{\text{e}}$ SÉRIE --TOME 20 -- 1987 --N${}^{\text{o}}$ 4

FORMULES INTÉGRALES POUR LES FORMES DE TYPE $(p, q)$
591
LEMME 4.{\it 2}. --{\it Soit} $\mathrm{W}\times[0,1]$ {\it le domaine de défnition de} $\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s),\ \mathrm{W}\subset \mathrm{D}\times$ M.
{\it Pour tout} $(z, \zeta, \lambda)\in \mathrm{W}\times[0,1]$, {\it on a}
$(\displaystyle \overline{\partial}_{z,\zeta}+d_{\lambda})\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)=\frac{(-1)^{n-1}}{(2\pi)^{n}}\varphi^{\mathrm{v}n}[\langle t^{*},\ c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))\wedge s\rangle\wedge(\langle\Delta''t^{*}, \mathrm{D}s\rangle)^{n-1}$
$$
+(n-1)\langle t^{*},\ \mathrm{D}s\rangle\wedge\langle\Delta''t^{*},\ c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))\wedge s\rangle\wedge(\langle\Delta''t^{*}, \mathrm{D}s\rangle)^{n-2}].
$$
{\it Si de plus} $c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))=0$, {\it on a} $(\overline{\partial}_{z,\zeta}+d_{\iota})\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)=0$.
{\it Démonstration} :
$(\overline{\partial}_{z,\zeta}+d_{\lambda})$ {\it Ù} $(\displaystyle \varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)=\frac{(-1)^{n}}{(2\pi)^{n}}\varphi^{\mathrm{v}n}[(\langle\Delta''t^{*}, \mathrm{D}s\rangle)^{n}+\langle t^{*}, \mathrm{D}^{2}s\rangle\wedge(\langle\Delta''t^{*}$
$$
-(n-1)\langle t^{*},\ \mathrm{D}s\rangle(\langle\Delta^{\prime\prime 2}t^{*}, \mathrm{D}s -\langle\Delta''t^{*}, \mathrm{D}^{2}s\rangle)
$$
$$
\wedge(\langle\Delta''t^{*}, \mathrm{D}s\rangle)^{n-2}]
$$
or $\Delta^{\prime\prime 2}=0,\ \mathrm{D}^{2}s=c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))\wedge s$.
Considérons une trivialisation de $\overline{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}\times[0,1])$, soit $v^{*}1' e\mathrm{xpression}$ d{\it e} $t^{*}$ dans
c{\it e} tte trivialisation et $u$ l'expre ssion de $s$ dans la trivialisation correspondante d{\it e} $\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$
$\varphi^{\mathrm{v}n}(\langle\Delta''t^{*}, \mathrm{D}s\rangle)^{n}$
\begin{center}
$=(-1)^{n\langle n-1)/2}n$! $(_{j}\displaystyle \bigwedge_{=}n_{1}(\overline{\partial}_{z,\zeta}+d_{\lambda})(\varphi^{\mathrm{v}}v_{j}^{*}))\wedge(_{k}\bigwedge_{=1}n_{du_{k}}+((\mathrm{H}^{-1}\partial \mathrm{H}) a u)_{k})$.
\end{center}
On reprend alors la démonstration du {\it lemme} 4.5.4 d{\it e} [3]: on a $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\varphi^{\mathrm{v}}v_{k}^{*}u_{k}=\varphi^{\mathrm{v}}$ par
définition d{\it e} $t^{*}$ les fonctions $\varphi$ et $u_{k}$ étant holomorphes en $(z, \zeta)$ et indépendantes de $\lambda$,
on en déduit
$$
\sum_{k=1}^{n}u_{k}(\overline{\partial}_{z,\zeta}+d_{\lambda})(\varphi^{\mathrm{v}}v_{k}^{*})=0
$$
$$
n
$$
d'où $k1\displaystyle \bigwedge_{=}(\overline{\partial}_{z.\zeta}+d_{\lambda})(\varphi^{\mathrm{v}}v_{k}^{*})=0$ car le membre de gauche est continu d'après les propriétés
des sections de Leray {\it e}t l'ensemble $\{(z, \zeta, \lambda)\in \mathrm{W}\times[0,1]|s(z, \zeta)\neq 0\}$ est dense dans
$\mathrm{W}\times[0, 1]$. On a {\it donc}: $\varphi^{\mathrm{v}n}(\langle\Delta''t^{*}, \mathrm{D}s\rangle)^{n}=0$ et le lemme est démontré.
Nous allons maintenant pouvoir généraliser au cas des $(p, q)$-îormes différentielles la
formule de Koppelman-Leray donnée par Henkin {\it e}t Leiterer ([3], théorème 4. 5. 3).
ThéOrème 4.3. --{\it Soient} $\mathrm{D}$ {\it un domaine relativement compact à bord} $\mathcal{C}^{1}$ {\it par morceaux}
{\it de la variété de Stein} $\mathrm{M},\ (s^{*}, \chi^{*})$ {\it une section de Leray pour} $(\mathrm{D}, s, \varphi)$ {\it et} $\mathrm{v}$ {\it un entier plus}
{\it grand que} max $(2 \chi, \chi^{*})$. {\it On suppose de plus que toutes les dérivées de} $(\varphi^{\mathrm{v}}s^{*}/\langle s^{*}, s\rangle)(z, \zeta)$
{\it qui sont d}'{\it ordre} $\leqq 2$ {\it en} $z$ {\it et d}'{\it ordre} $\leqq 1$ {\it en} $\zeta$ {\it sont continues pour tout} $(z, \zeta)$ {\it dans un}
{\it voisinage} $\mathrm{W}$ {\it de} $\mathrm{D}\times\partial \mathrm{D}$ {\it dans} $\mathrm{D}\times$ M. {\it Alors pour toute} $(p, q)$-{\it forme différentielle} $f$ {\it continue}
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

592
J.-P. DEMAILLY ET C. LAURENT-THIEBAUT
{\it sur} $\overline{\mathrm{D}}$ {\it telle que} $\overline{\partial}f$ {\it soit aussi continue sur} $\overline{\mathrm{D}},\ 0\leqq p,\ q\leqq n$, {\it on a}
$(-1)^{p+q}f(z)=\displaystyle \int_{\zeta\in\partial \mathrm{D}}f(\zeta)\wedge\Omega_{q}^{p}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*}, s) (z, \displaystyle \zeta)-\int_{\zeta\in \mathrm{D}}\overline{\partial}_{\zeta}\mathrm{f}(\zeta)\wedge\Omega_{\mathrm{q}}^{\mathrm{p}}(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)(z, \zeta)$
$$
-\int_{\zeta,\lambda\in\partial \mathrm{D}10.1\mathrm{I}})\mathrm{x}\overline{\partial}_{\zeta}f(\zeta)\wedge\overline{\Omega}_{q}^{p}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)\ (z, \zeta, \lambda)
$$
$$
+\overline{\partial}_{z}(\int_{\zeta\in \mathrm{D}}f(\zeta)\wedge\Omega_{q-1}^{p}(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)(z, \zeta)
$$
$$
+\int_{\zeta,\lambda)\in\partial \mathrm{D}\mathrm{x}}10,11\ f(\zeta)\wedge\overline{\Omega}_{q-1}^{p}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)(z, \zeta, \lambda))
$$
$$
+(-1)^{p+q+1}[\int_{\zeta\in \mathrm{D}}f(\zeta)\wedge \mathrm{P}_{q}^{p}(z, \zeta)-\int_{\zeta,\lambda)\in\partial \mathrm{D}\mathrm{x}[0,1]}f(\zeta)\wedge \mathfrak{B}\ (z, \zeta, \lambda)],\ z\in \mathrm{D},
$$
{\it où} $\Omega_{\mathrm{q}}^{p}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*}, s),\ \Omega_{\mathrm{q}}^{p}(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s),\overline{\Omega}_{q}^{p}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s),\ \mathrm{P}_{q}^{p} e\mathrm{t}_{\wedge}\mathrm{Q}_{\mathrm{q}}^{p}$ {\it désignent} $ respectivement\wedge$ {\it les parties}
{\it de type} $(p, q)$ {\it en} $z$ {\it de} $\tilde{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*}, s),\ \tilde{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s, s),\ \overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*}, s, s),\ \overline{\partial}_{z,\zeta}\tilde{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)$,
$(\overline{\partial}_{z.\zeta}+d_{\lambda})\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)$.
{\it Remarque} 1. --Si $p=0,\ \mathrm{P}_{q}^{p}=\mathrm{Q}\mathcal{K}=0$ car $c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))$ est de bidegré (1, 1) en $z$, on
retrouve donc la formule (4. 5. 3{\it 2}) de [3].
{\it Remarque 2}. --Si la métrique 9 est telle que $c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))=0$ alors $\mathrm{P}_{q}^{p}=x=0$ et on
obtient la généralisation aux variétés de Stein de la formule d{\it e} Koppelman-Leray pour
les $(p, q)$-îormes différentielles d{\it e} $\mathbb{C}^{n}$.
En suivant la méthode utilisée par Henkin {\it e}t Leiterer dans la démonstration du
théorème 4. 5. 3 de [3], il suffit, pour prouver le théorème 4. 3, d'appliquer la formule de
Stokes à la {\it forme} différentielle $f(\zeta)\wedge\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)$.
COROLLAIRE 4.4. --{\it Sous les hypothèses} $du$ {\it théorème} 4. 3, {\it si de plus} $s^{*}(z, \zeta)$ {\it dépend}
{\it holomorphiquement de} $z\in \mathrm{D},\ q\geqq 1$ {\it et} $c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))=0$, {\it alors}
$f(z)=(-1)^{p+q}[\displaystyle \overline{\partial}_{z}(\int_{\zeta\in \mathrm{D}}f(\zeta)\wedge\Omega_{q-1}^{p}(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)(z, \zeta)$
$+\displaystyle \int_{\zeta,\lambda)\in\partial \mathrm{D}\mathrm{x}[0,1]}f(\zeta)\wedge\overline{\Omega}_{q-1}^{p}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)(z, \zeta, \lambda))-(\int_{\zeta\in \mathrm{D}}\overline{\partial}_{\zeta}f(\zeta)\wedge\Omega_{\mathrm{q}}^{p}(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)(z, \zeta)$
$$
+\int_{\zeta,\lambda)\in\partial \mathrm{D}\mathrm{x}[0.1]}\overline{\partial}_{\zeta}f(\zeta)\wedge\overline{\Omega}_{q}^{p}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)(z, \zeta, \lambda))].
$$
{\it En particulier pour toute} $(p, q)$ {\it forme différentielle continue sur} $\overline{\mathrm{D}}$ {\it telle que} $\overline{\partial}f=0$ {\it sur} $\mathrm{D}$
$g(z)=(-1)^{p+\mathrm{q}}(\displaystyle \int_{\zeta\in \mathrm{D}}f(\zeta)\wedge\Omega_{q-1}^{p}(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)(z, \zeta)$
$$
+\int_{\zeta,\lambda)\in\partial \mathrm{D}\mathrm{x}[0,1]}f(\zeta)\wedge\overline{\Omega}_{q}^{p}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)(z, \zeta, \lambda))
$$
4${}^{\text{e}}$ SÉRIE --TOME 20 -- 1987 $-\mathrm{N}^{\circ}4$

FORMULES INTÉGRALES POUR LES FORMES DE TYPE $(\mathrm{p}, q)$
593
{\it est une solution continue de Yéquation} $dg=f$ {\it dans} D.
{\it Démonstration}. --Cela se déduit immédiatement du théorème 4.3 car si $s^{*}(z, \zeta)$ est
holomorphe en $z,\ \Omega_{q}^{p}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*}, s)=0$ dès que $q\geqq 1$ {\it e}t comme $c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))=0\mathrm{P}_{q}^{p}=\mathrm{Q}\mathcal{K}=0$
d'après les lemmes 2. 1 et 4. 2.
{\it Nous} allons maintenant prouver une autre formule d{\it e} Leray-Koppelman, analogue à
celle du théorème 1 de [1]. Une telle formule pourrait permettre d'aborder des problèmes
de division dans les ouverts des variétés de Stein comme l'a fait Bemdtsson [9] pour les
ouverts d{\it e} $\mathbb{C}^{n}$.
Dans toute la suite du paragraphe, on considérera un domaine $\mathrm{D}$ relativement compact
à bord $\mathcal{C}^{1}$ par morceaux de la variété d{\it e} Stein $\mathrm{M},\ (s^{*}, \chi^{*})$ une section d{\it e} Leray pour
$(\mathrm{D}, s, \varphi)$ vérifiant:
$\bullet s^{*}$ est une section de classe $\varphi^{2}$ de $\tilde{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$ définie sur $\overline{\mathrm{D}}\times\overline{\mathrm{D}}$.
$\bullet$ Pour tout compact $\mathrm{L}$ de $\mathrm{D}$, il existe des constantes positives $c_{1}(\mathrm{L}),\ c_{2}(\mathrm{L})$ et $\eta(\mathrm{L})$
telles que si $d(z, \zeta)$ désigne la distance entre $z,\ \zeta$ on ait
$$
|s^{*}(z, \zeta)|_{\Theta^{*}}\leqq c_{1}(\mathrm{L})d(z, \zeta)
$$
$$
|\langle s^{*}(z, \zeta),\ s(z, \zeta)\rangle|\geqq c_{2}(\mathrm{L})(d(z, \zeta))^{2}
$$
si $d(z, \zeta)<\eta(\mathrm{L})$ pour $\zeta\in\overline{\mathrm{D}}$ et $ z\in$ L.
Remarquons que de telles sections existent: par exemple $\hat{s}$.
On désignera par $\mathrm{K}$ une {\it forme} différentielle de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\overline{\mathrm{D}}\times\overline{\mathrm{D}}\backslash \Delta(\overline{\mathrm{D}})$ de degré
2 $n-1$ telle que:
1. $d\mathrm{K}=\mathrm{R}$ sur $\overline{\mathrm{D}}\times\overline{\mathrm{D}}\backslash \Delta(\overline{\mathrm{D}})$, où $\mathrm{R}$ est une forme différentielle localement intégrable
sur $\overline{\mathrm{D}}\times\overline{\mathrm{D}}$.
2. Pour tout compact $\mathrm{L}$ de $\mathrm{D}$ il existe une constante $c_{3}(\mathrm{L})$ telle que
\begin{center}
$|\mathrm{K}-\tilde{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*}, s)|\leqq c_{3}(\mathrm{L})(d(z, \zeta))^{-2n+2}$ si $\zeta\in\overline{\mathrm{D}}$ et $z\in \mathrm{L}$.
\end{center}
3. $\mathrm{K}$ est de bidegré $(n, n-1)$.
ThéOrème 4.5. --{\it Nous les hypothèses ci-dessus, si} $f$ {\it est une} $(p, q)$ {\it forme différentielle}
{\it continue sur} $\overline{\mathrm{D}}$ {\it telle que} $\overline{\partial}f$ {\it soit aussi continue sur} $\overline{\mathrm{D}},\ 0\leqq p,\ q\leqq n$, {\it on a pour tout} $z\in \mathrm{D}$
$(-1)^{p+\mathrm{q}}f(z)=\displaystyle \int_{\zeta\in\partial \mathrm{D}}f(\zeta)\wedge \mathrm{K}_{q}^{p}(z, \zeta)-\int_{\zeta\in \mathrm{D}}\overline{\partial}_{\zeta}f(\zeta)\wedge \mathrm{K}_{\mathrm{q}}^{p}(z, \zeta)$
\begin{center}
$+\displaystyle \overline{\partial}_{z}[\int_{\zeta\in \mathrm{D}}f(\zeta)\wedge \mathrm{K}_{q-1}^{p}(z, \zeta)]+(-1)^{p+q-1}\int_{\zeta\in \mathrm{D}}f(\zeta)\wedge \mathrm{R}_{q}^{p}(z$, Q.
\end{center}
$\mathrm{K}_{q}^{p},\ \mathrm{R}_{q}^{p}$ {\it désignant les composantes de bidegré} $(p, q)$ {\it en} $z$ {\it et} $(n-p, n-q-1)$ {\it en} $\zeta$ {\it de} $\mathrm{K}$ {\it et} $\mathrm{R}$,
{\it auec la convention} $\mathrm{K}_{p,-1}=0$.
{\it Démonstration}. --La démonstration est analogue à celle d{\it e} la formule de Koppelman
(théorème {\it 2}.2) ({\it voir} aussi [1] démonstration du théorème 1).
Grâce aux propriétés 1 et 3 du noyau $\mathrm{K}$ en appliquant la méthode utilisée au début
d{\it e} la démonstration du théorème 2.{\it 2} on s{\it e} ramène à démontrer la formule {\it 2}.4 où
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594
J.-P. DEMAILLY ET C. LAURENT-THIEBAUT
$\tilde{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)$ est remplacé par $\mathrm{K}$, soit en gardant les mêmes notations
$$
\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{z,\zeta)\in\partial \mathrm{U}_{\epsilon}\cap\langle \mathrm{V}\times \mathrm{U})}f(\zeta)\wedge \mathrm{K}(z, \zeta)\wedge g(z)=(-1)^{p+q}\int_{z\in \mathrm{V}}f(z)\wedge g(z).
$$
De plus d'après la propriété {\it 2} de $\mathrm{K}$, il suffit de démontrer ce résultat pour $\tilde{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*}, s)$.
Puisque nous Pavons déjà démontré lorsque $s^{*}=\hat{s}$ il suffit d{\it e} prouver que si
$\displaystyle \mathrm{I}_{\epsilon}=\int_{z,\zeta)\in\partial \mathrm{U}_{\epsilon}\cap\langle \mathrm{V}\times \mathrm{U})}f(\zeta)\wedge \mathrm{o}_{(\varphi^{\mathrm{v}}},\ s^{*}$, {\it s} $) (z, \zeta)\wedge g(z)$
$$
-\int_{z,\zeta)\in\partial \mathrm{U}_{\epsilon}\cap\langle \mathrm{V}\times \mathrm{U})}f(\zeta)\wedge\tilde{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)(z, \zeta)\wedge g(z)
$$
on a $\displaystyle \lim_{\epsilon\rightarrow 0}\mathrm{I}_{\epsilon}=0$.
Dans $\mathrm{V}\times \mathrm{U}\times[0,1]$ on considère la variété à bord
$$
\mathrm{X}_{\epsilon}=\{(z, \zeta)\in \mathrm{V}\times \mathrm{U}|d(z, \zeta)=\epsilon\}\times[0,1]
$$
on a
$$
\partial \mathrm{X}_{\epsilon}=\{d(z, \zeta)=\epsilon\}\times\{1\}\cup\{d(z, \zeta)=\epsilon\}\times\{0\}.
$$
On va appliquer la formule de Stokes à la forme différentielle
$$
f(\zeta)\wedge \mathrm{O}\ (\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)\wedge g(z)
$$
et à la variété   bord $\mathrm{X}_{\epsilon}$ :
$\displaystyle \int_{\partial \mathrm{X}_{\epsilon}}f(\zeta)\wedge\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)(z, \zeta)\wedge g(z)=\int_{\mathrm{x}_{\epsilon}}d_{z,\zeta,\lambda}(f(\zeta)\wedge\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)(z, \zeta)\wedge g(z))$.
Grâce au lemme 4. 1 on a par définition de $\partial \mathrm{X}_{\epsilon}$
$$
\mathrm{I}_{\epsilon}=-\int_{\partial \mathrm{X}_{\epsilon}}f(\zeta)\wedge\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)(z, \zeta)\wedge g(z).
$$
Par des considérations d{\it e} degré on voit que
$d_{z,\zeta,\lambda}(f(\zeta)\wedge\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)(z, \zeta)\wedge g(z))$
$$
=(\overline{\partial}_{z.\zeta}+d_{\lambda})(f(\zeta)\wedge\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)(z, \zeta)\wedge g(z))
$$
$$
=\partial_{\zeta}f(\zeta)\wedge\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)\wedge g(z)+(-1)^{p+q+1}f(\zeta)\wedge\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)\wedge\partial_{z}g(z)
$$
$$
+(-1)^{p+q}f(\zeta)\wedge(\overline{\partial}_{z,\zeta}+d_{\lambda})\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)\wedge g(z).
$$
Évaluons $\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)$ et $(\overline{\partial}_{z,\zeta}+d_{\lambda})\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)$ sur $\mathrm{X}_{\epsilon}$.
Puisque nous sommes sur V $\times \mathrm{U}$ nous pouvons exprimer $\Omega(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)$ en coordonnées
locales; si $u,\ v$, {\it û}, $u^{*}$ sont les expressions d{\it e} $s,\ t^{*},\hat{s},\ s^{*}$ dans les coordonnées choisies
4${}^{\text{e}}$ SÉRIE --TOME 20 -- 1987 --N${}^{\text{o}}$ 4

FORMULES INTÉGRALES POUR LES FORMES DE TYPE $(p, q)$
595
on a
$\displaystyle \Omega(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)=\frac{(n-1)!}{(2i\pi)^{n}}\varphi^{\mathrm{v}n}(\sum_{j=1}^{n}(-1)^{j-1}v_{j}\bigwedge_{k\neq j}(\overline{\partial}_{z,\zeta}+d_{\lambda})v_{k})\wedge(\bigwedge_{l=1}^{n}du_{\iota}+((\mathrm{H}^{-1}\partial \mathrm{H})\wedge u)_{l})$
En fait seule intervient la composante $\alpha$ d{\it e} $\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)$ de degré 1 en $ d\lambda$.
Puisque
$$
v_{k}=(1-\lambda)\frac{u_{k}^{*}}{\langle u^{*},u\rangle}+\lambda\frac{\hat{u}_{k}}{\langle\hat{u},u\rangle},
$$
car $t^{*}$ est définie par (4. 1)
$(\displaystyle \overline{\partial}_{z,\zeta}+d_{\lambda})v_{k}=d\lambda(\frac{\hat{u}_{k}}{\langle\hat{u},u\rangle}-\frac{u_{k}^{*}}{\langle u\mathrm{u}\rangle}*,)+(1-\lambda)\overline{\partial}_{z,\zeta}(*\frac{u_{k}^{*}}{\langle u,u\rangle})+\lambda\overline{\partial}_{z,\zeta}(\frac{\hat{u}_{k}}{\langle\hat{u},u\rangle})$
a vérifie alors d'après les estimations (4.2) {\it e}t la définition de $\hat{s}$
$$
|\alpha\ |<\mathrm{C}|v||\frac{\hat{u}_{k}}{\langle\hat{u},u\rangle}-\frac{u_{k}^{*}}{\langle u^{*},u\rangle}|(d(z, \zeta))^{-2n+4}\leqq \mathrm{C}'(d(z, \zeta))^{-2n+2}
$$
pour $\zeta\in \mathrm{U}$ et $z\in \mathrm{V}$ compact de D.
De {\it m}ême en utilisant l'expression de $(\overline{\partial}_{z,\zeta}+d_{\lambda})\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)$ donnée {\it dans} l{\it e} lemme
4.2 ainsi que la définition d{\it e} $\hat{s}$ et les estimations (4.2) vérifiées par 5$*$, on voit que la
composante $\beta$ de $(\overline{\partial}_{z,\zeta}+d_{\lambda})\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)$ de degré 1 en $ d\lambda$ vérifie $|\beta|=0(d(z, \zeta)^{-2n+3})$
sur $\mathrm{V}\times \mathrm{U}$ au voisinage d{\it e} la diagonale. Par conséquent
$$
d_{z,\zeta,\lambda}(f(\zeta)\wedge\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)(z, \zeta)\wedge g(z))
$$
est un $O(d(z, \zeta)^{-2\mathrm{n}+2})$ et {\it comme} la mesure de $\mathrm{X}_{\epsilon}$ est un $O(\epsilon^{2n-1})$, on obtient
$$
\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\mathrm{I}_{\epsilon}=0.
$$
On peut également déduire du théorème 4. 5le corollaire suivant relatif à la résolution
du $\overline{\partial}$.
COROLLAIRE 4.6. --{\it Sous les hypothèses} $du$ {\it théorème} 4.5, {\it si de plus} $s^{*}(z, \zeta)$ {\it dépend}
{\it holomorphiquement de} $z\in \mathrm{D}$ {\it et si} $d\mathrm{K}=0$, {\it pour toute} $(p, q)$-{\it forme différentielle} $f$ {\it continue}
{\it sur} $\overline{\mathrm{D}}$ {\it telle que} $\overline{\partial}f=0$ {\it sur} $\mathrm{D},\ 0\leqq p\leqq n,\ 1\leqq q\leqq n$,
$$
g(z)=(-1)^{p+q}(\int_{\zeta\in \mathrm{D}}f(\zeta)\wedge \mathrm{K}_{\mathrm{q}-1}^{p}(z, \zeta))
$$
{\it est une solution continue de} $\overline{\partial}g=f$ {\it dans} D.
{\it Remarque} 3. - Pour obtenir un noyau $\mathrm{K}$ vérifiant $d\mathrm{K}=0$, il suffit de prendre
$\mathrm{K}=\tilde{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*}, s)$ dans un cas où la métrique 9 p{\it e} ut-être choisie telle que $c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))=0$.
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

596
J.-P. DEMAILLY ET C. LAURENT-THIEBAUT
{\it Remarque} 4. --Henkin et Leiterer ont construit dans [3] une section {\it s}$*$vérifiant les
hypothèses du corollaire 4. 4lorsque le domaine $\mathrm{D}$ est supposé strictement pseudoconvexe
de classe $\mathcal{C}^{2}$.
On peut {\it e}n déduire par des méthodes analogues à celles de Kerzman [4] dans $\mathbb{C}^{n}$ une
section {\it s}$*$vérifiant les hypothèses du corollaire 4.6 et une solution du $\overline{\partial}$ vérifiant les
estimées $\mathrm{L}^{p}$.
{\it Remarque} 5. --Lorsque $f$ est une {\it p}-forme différentielle holomorphe le théorème 4. 5
nous donne si $d\mathrm{K}=0$ la représentation de Cauchy-Leray suivante de $f$
$$
f(z)=(-1)^{p}\int_{\partial \mathrm{D}}f(\zeta)\wedge \mathrm{K}_{0}^{p}(z, \zeta).
$$
5. Noyaux pour les formes différentielles
à valeurs dans un fibre vectoriel holomorphe
On considère un fibre' vectoriel holomorphe $\mathrm{F}$ sur $\mathrm{M}$, et si $\Pi_{1}$ {\it e}t $\Pi_{2}$ désignent les
projections de $\mathrm{M}\times \mathrm{M}$ sur $\mathrm{M},\ (z, \zeta)\mapsto z$ et $(z, \zeta)\mapsto\zeta$, on notera $\mathrm{G}=\mathrm{Ho}m(\Pi_{2}^{*}\mathrm{F}, \Pi_{1}^{*}\mathrm{F})$;
c'est un fibre' vectoriel holomorphe sur $\mathrm{M}\times \mathrm{M}$ dont les fibres sont données par
$\mathrm{G}_{\langle z,\zeta)}=\mathrm{Ho}m(\mathrm{F}_{\zeta}, \mathrm{F}_{z})$.
Nous allons construire un noyau $\Lambda$, c'est-à-dire une {\it forme} différentielle $\mathcal{C}^{1}$ sur
$\mathrm{M}\times \mathrm{M}\backslash \Delta(\mathrm{M})$ à valeurs dans le fibré vectoriel $\mathrm{G}$, qui nous permettra d'obtenir une
formule d{\it e} Koppelman pour les formes différentielles à valeurs dans l{\it e} fibre' F.
LEMME 5. 1. --{\it II existe une section holomorphe} $\psi$ {\it de} $\mathrm{G}$ {\it vérifiant}
(i) $\psi(z, z)=\mathrm{Id}_{\mathrm{F}_{z}}$ {\it pour tout} $ z\in$ M.
{\it Démonstration}. --Appliquons le théorème $\mathrm{B}$ de Cartan au faisceau $\mathrm{G}\otimes J_{\Delta}$ dans la
suite exacte
$$
0\rightarrow \mathrm{G}\otimes \mathcal{J}_{\Delta}\rightarrow \mathrm{G}\rightarrow \mathrm{G}|_{\Delta}\rightarrow 0,
$$
où $\mathcal{J}_{\Delta}$ désigne 1'idéal de la diagonale. Il {\it e}n résulte que le morphisme de r{\it e} striction
$\mathrm{H}^{0}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}, \mathrm{G})\rightarrow \mathrm{H}^{0}(\Delta, \mathrm{G}|_{\Delta})\simeq \mathrm{H}^{0}(\mathrm{M}$, Hom ( $\mathrm{F},\ \mathrm{F}$) $)$
est surjectif, d'où le {\it lemme}.
PROPOSITION {\it 5.2}. --{\it La forme différentielle} $\Lambda(z, \zeta)=\psi(z, \zeta)\tilde{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)(z, \zeta)$ {\it est de}
{\it classe} $\mathcal{C}^{1}$ {\it sur} $\mathrm{M}\times \mathrm{M}\backslash \Delta(\mathrm{M})$ {\it et à valeur dans} $\mathrm{G}$, {\it elle vérife}
\begin{center}
$\overline{\partial}\Lambda=[\Delta].\mathrm{Id}_{\mathrm{F}}+$ P. $\psi$
\end{center}
4${}^{\text{e}}$ SÉRIE --TOME 20 -- 1987 $-\mathrm{N}^{\mathrm{o}}4$

FORMULES INTÉGRALES POUR LES FORMES DE TYPE $(p, q)$
597
{\it où} $[\Delta]$ {\it est le courant d}'{\it intégration sur la diagonale} $\Delta$ {\it de} $\mathrm{M}\times \mathrm{M}$ {\it et} $\mathrm{P}$ {\it une forme différentielle}
{\it localement intégrable sur} $\mathrm{M}\times \mathrm{M}$ {\it proportionnelle à} $c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))$. {\it En particulier si}
$c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))=0$ {\it on a} $\overline{\partial}\Lambda=[\Delta].\mathrm{Id}_{\mathrm{F}}$.
{\it Démonstration}. --Il suffit d'appliquer le lemme 5. 1 et le corollaire {\it 2}. 3 pour obtenir
la proposition.
Le courant d'intégration sur la diagonale $[\Delta]$, apparaît donc ici également comme le
résidu de la forme différentielle A.
On {\it e}n déduit alors immédiatement la formule de Koppelman suivante pour les formes
différentielles à valeurs dans le fibre' vectoriel F.
COROLLAIRE 5.3. --{\it Soient} $\mathrm{D}$ {\it un domaine relativement compact à bord} $\mathcal{C}^{1}$ {\it par morceaux}
{\it de la variété de Stein} $\mathrm{M}$ {\it et} $\mathrm{v}\geqq 2\chi$. {\it Si} $f$ {\it est une} $(p, q)$ {\it forme différentielle continue sur} $\overline{\mathrm{D}}$, {\it à}
{\it valeurs dans} $\mathrm{F}$ {\it telle que} $\overline{\partial}f$ {\it soit aussi continue sur} $\overline{\mathrm{D}},\ 0\leqq p,\ q\leqq n$, {\it on a pour} $z\in \mathrm{D}$
$f(z)=[\displaystyle \int_{\zeta\in\partial \mathrm{D}}\Lambda(z, \zeta)\wedge f(\zeta)-\int_{\zeta\in \mathrm{D}}\Lambda(z, \zeta)\wedge\overline{\partial}_{\zeta}f(\zeta)$
$$
+\overline{\partial}_{z}\int_{\zeta\in \mathrm{D}}\Lambda(z, \zeta)\wedge f(\zeta)+(-1)^{p+q+1}\int_{\zeta\in \mathrm{D}}\mathrm{P}(z, \zeta)\psi(z, \zeta)\wedge f(\zeta)].
$$
{\it Remarque}. --L{\it e} noyau que nous venons d{\it e} construire pour les formes différentielles
à valeurs dans un fibre' vectoriel permet de ramener le cas des $(p, q)$-îormes différentielles
  celui des $(0, q)$ formes différentielles; en effet
$$
\mathcal{C}_{p,\mathrm{q}}^{\infty}(\mathrm{M}, \mathrm{F})\simeq \mathcal{C}_{0,\mathrm{q}}^{\infty}(\mathrm{M}, \Lambda^{p}\mathrm{T}^{*}\mathrm{M}\otimes \mathrm{F}).
$$
Ceci permet de faire disparaître l{\it e} terme {\it e}n courbure $\mathrm{P}_{q}^{p}$ dans toutes les formules d{\it e}
Koppelman.
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(Manuscrit reçu le 12 décembre 1986,
révisé le $1^{\mathrm{e}\mathrm{r}}$ juin 1987).
J.-P. Demailly
Université de Grenoble I,
Institut Fourier, B.P. 74,
L.A. au C.N.R.S. $\mathrm{n}^{\mathrm{O}}188$,
38400 Saint-Martin d'Hères
C. Laurent-Thiebaut
Université Paris-VI,
Analyse complexe et géométrie,
L.A. au C.N.R.S. n${}^{\text{o}}$213,
4, place Jussieu,
75252 Paris Cedex 05.
4${}^{\text{e}}$ série --tome 20 --1987 $-\mathrm{N}^{\circ}4$

\end{document}