\documentclass{eudml-infty} \usepackage{latexsym} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{bm} \pagestyle{empty} \begin{document} {\it Ann. scien} $t$. {\it É} $c$. {\it Norm. Sup}., 4${}^{\text{e}}$ série, $\mathrm{t}$, 15, 1982, p. 457 à 511. ESTIMATIONS $\mathrm{L}^{2}$ POUR L OPÉRATEUR $\partial$ D UN FIBRÉ VECTORIEL HOLOMORPHE SEMI-POSITIF AU-DESSUS D UNE VARIÉTÉ KAHLÉRIENNE COMPLÈTE PAR Jean-Pierre DEMAILLY TABLE DES MATIÈRES 0. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 1. Variétés kâhlériennes complètes et faiblement pseudoconvexes. . . 460 2. Rappels sur les notions de courbure et de positivité 465 3. Etude du terme de courbure dans l'identité de Kodaira. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468 4. Estimations $\mathrm{L}^{2}$ pour !'opérateur $\mathrm{D}''\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$. 471 5. Estimations avec métriques et poids plurisousharmoniques singuliers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 6. Théorème de relèvement des sections globales d'un $\mathrm{f}_{1}\mathrm{br}\acute{\mathrm{e}}$ semi-positif par un morphisme surjectif. Théorème d'extension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 7. Théorèmes d'annulation pour la cohomologie à valeurs dans un fibre positif de rang quelconque. . . 489 8. Régularisation des fonctions plurisousharmoniques sur une varété kàhlérienne. . . . . . . . . . . . . . . . 491 9. Théorèmes d'approximation pour les fonctions plurisousharmoniques.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503 0. Introduction L'objet de ce travail est d'étendre aux variétés kâhlériennes complètes les estimations $\mathrm{L}^{2}$ de Bochner-Kodaira-Kohn-Hôrmander-Nakano-Skoda pour 1'opérateur $\partial$. Nous étudie- rons de manière générale l'opérateur $\partial$ d'un fibre vectoriel holomorphe hermitien, en nous inspirant de H. Skoda dont les articles [22] à [26] sont à $1' \mathrm{origine}$ de la plupart de nos résultats. Dans ses travaux les plus récents sur la question ([24], [25] et [26]) H. Skoda se plaçait, comme S. Nakano [20], sur des variétés faiblement $\mathrm{C}^{2}$ pseudoconvexes. Par définition, une variété X estfaiblement $(\mathrm{C}^{k})$-pseudoconvexe s'il existe sur X une fonction plurisousharmoni- que exhaustive (de classe $\mathrm{C}^{k}$). Les variétés compactes et les variétés de Stein sont $\mathrm{d}^{\backslash }\mathrm{es}$ exemples de variétés faiblement $\mathrm{C}^{\infty}$-pseudoconvexes. D'autre part, on a ({\it cf}. \S 1) : ThéOrème 0.1. - {\it Toute variété kàhlérienne faiblement pseudoconvexe peut être munie} {\it d}'{\it une métrique kàhlérienne complète}. ANNALES SCIENTIFIQUHS DE L ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE. -- 0012-9593/1982/419/\$ 5.00 \copyright Gauthier-Villars 458 J.-P. DRMAILLY On généralise ainsi le résultat analogue de S. {\it Nakano} [20] pour les variétés faiblement $\mathrm{C}^{2}$-pseudoconvexes. Les variétés kàhlériennes complètes apparaissent en fait comme le cadre naturel de la méthode d'analyse fonctionnelle de L. Hôrmander [14] pour la résolution de l'ope'rateur $\overline{\partial}$, et certaines simplifications techniques sont possibles dans ce cadre. Un passage à la limite sur la métrique kâhlérienne permet notamment de s'affranchir de la technique des trois poids qui était utilisée antérieurement ([14], [24]). Une autre source d'intérêt des variétés kàhlériennes complètes, outre leur généralité plus grande, réside dans le résultat suivant (prop. 1.6). ThéOrème 0.2. --{\it Soit} X {\it une variété kâhlérienne compacte ou une variété de} $Stem$, {\it et} $\mathrm{Z}$ {\it un} {\it ensemble analytique dans} X. {\it Alors} $X\backslash \mathrm{Z}$ {\it possède une métrique kâhlérienne complè} $te$. Pour obtenir des théorèmes d'annulation optimaux, nous avons été amenés à introduire de nouvelles notions de positivité pour les $\mathrm{f}_{1}\mathrm{br}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{s}$, qui généralisent à la fois les notions de positivité de Ph. Griffiths [12] et de S. Nakano [20]. On dira que le $\mathrm{f}_{1}\mathrm{br}$ éE est {\it s}-positif (où $s$ est un entier $\geqq 1$) si la forme de courbure $c(\mathrm{E})$ est telle que $ic(\mathrm{E})(x, x)>0$ pour {\it tout} tenseur non nul $ x\in$ TX $\otimes \mathrm{E}$ de rang $\leqq s$ ({\it voir} définitions 2. 1 et 2.2). La positivité de Griffiths correspond à $s=1$, celle de Nakano à $s=n=\dim X$. On a dans ce contexte un théorème d'annulation (th. 7. 1), qui généralise le résultat de S. Nakano [20] dans le cas particulier des $(n, q)$-formes. ThéOrème 0.3. - {\it Soit} $\mathrm{E}$ {\it un fibre s-positif au-dessus d}'{\it une variét}$\mathcal{E}${\it X faiblement} {\it pseudoconvexe. Alors} $\mathrm{H}^{n,\mathrm{q}}(X, \mathrm{E})=0$ {\it pour} $q\displaystyle \geqq\sup(1, n-s+1)$. Ce théorème s'accompagne d'estimations $\mathrm{L}^{2}$ précises pour l'opérateur $\partial$, qui seront étudiées au paragraphe 4. Le paragraphe 2 contient une synthèse des résultats de [6] et [7] sur les relations entre les différentes notions de positivité ({\it cf}. th. 2.6), résultats que nous rappelons brièvement ici. ThéOrème 0.4. --{\it Soit} $\mathrm{E}$ {\it un fibre positif au sens de Grif} $ths$, {\it de rang} $r\geqq 2$. {\it Alors}: $(0.1)$ E$\otimes$dét $\mathrm{E}$ {\it est positif au sens de Nakano}', (0.2) E$*\otimes ($dét $\mathrm{E})^{s}$ {\it est s-positifpour tout} $s\geqq 1$. Les théorèmes 0.3 et 0.4 admettent la conséquence suivante (cor. 7.2 et 7.3). COROLLAIRE $0.5$. --{\it Soit} $\mathrm{E}$ {\it unfbré positifau sens de Griffi} $ths$, {\it de} $rang\geqq 2$, {\it au-dessus d}'{\it une} {\it variété faiblement pseudoconvexe} X. {\it Alors}: \begin{center} (0.3) $\mathrm{H}^{n,q}$( $X$; E$\otimes$dét $\mathrm{E}$) $=0$ {\it pour} $q\geqq 1$; (0.4) $\mathrm{H}^{n,\mathrm{q}}$ ( $X$; E$*\otimes$(dét E)) $=0$ \end{center} {\it pour} $q\displaystyle \geqq\sup(1, n-s+1)$ {\it et pour tout} $q\geqq 1$ {\it si} $s\geqq r$. La propriété $(0.3)$, qui est un théorème de Ph. Griffiths [12], devient ainsi un corollaire du théorème d'annulation de Nakano. Le résultat (0.4) est nouveau à notre connaissance lorsque $n-s+1\leqq q0$ {\it alors le morphisme cobord}: \begin{center} 6: $\mathrm{H}^{n,l}(X;\mathrm{Q}\otimes \mathrm{L})\rightarrow \mathrm{H}^{n,l+1}(\mathrm{X}; \mathrm{N}\otimes \mathrm{L})$ \end{center} {\it est nul pour} $l\geqq q$. {\it Sous chacune des deux hypo thèses} (0.6), (0.7), {\it le morphisme}: $$ g:\ \mathrm{H}^{n,l}\ (X; \mathrm{E}\otimes \mathrm{L})\rightarrow \mathrm{H}^{n,l}(\mathrm{X};\mathrm{Q}\otimes \mathrm{L}) $$ {\it est surjectif} Le cas particulier du théorème 0.6 correspondant à $q=0$ est dû à H. Skoda [25], Le cas $q=l=0$ est particulièrement intéressant, puisqu il donne des conditions suffisantes assurant la surjectivité du morphisme : $$ g:\ \mathrm{H}^{n,0}(X;\mathrm{E}\otimes \mathrm{L})\rightarrow \mathrm{H}^{n,0}(X;\mathrm{Q}\otimes \mathrm{L}), $$ opérant sur les sections holomorphes globales. La méthode de démonstration est essentiellement la même que celle suivie par H. Skoda [25], et repose sur les liens qui existent entre les formes de courbure $c(\mathrm{E}),\ c(\mathrm{N})$ et l'obstruction au scindage holomorphe de la suite exacte (0.5). Le théorème 0.6 admet lui aussi une version plus précise, avec estimations $\mathrm{L}^{2}$ (th. 6.2 et cor. 6. 10), permettant de traiter le cas où le morphisme $g$ dégénère en certains points. Si $\mathrm{Z}$ est l'ensemble des points où $g$ dégénère, on peut en effet appliquer le théorème existent à la variété $\mathrm{X}\backslash \mathrm{Z}$, car $\mathrm{X}\backslash \mathrm{Z}$ est réunion d'une suite croissante de variétés complètes. Les estimations $\mathrm{L}^{\angle}$ qui sont obtenues simultanément permettent de prolonger les solutions au travers de $1' \mathrm{ensemble}$ analytique $\mathrm{Z}$ ({\it cf}. lemme 7.5). Certàines hypothèses techniques superflues qui apparaissent dans [24], [25], [26], [5], [7] ont pu ainsi être éliminées. La section 6 s'achève par 1'énoncé d'un théorème d'extension pour les fonctions holomorphes. Ce théorème améliore les résultats de B. Jennane [16], et semble optimal. Soit $f$ une section holomorphe d'un $\mathrm{f}_{1}\mathrm{br}$ éE au-dessus de X, définie au voisinage d'un sous- ensemble analytique $\mathrm{Y}\subset X$. On donne une condition suffisante portant sur la courbure de $\mathrm{E}$, qui assure l'existence d'un prolongement $\mathrm{F}$ de $f$ à X. Dans le cas où $\mathrm{X}=\mathbb{C}^{n}$, on obtient ainsi ANNALES SCIENTIFIQUES DE L ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 460 J.-P. DEMAILLY un théorème de prolongement avec contrôle précis de la croissance ({\it cf}. aussi [5]). Le lecteur trouvera certaines applications à $1' \mathrm{analyse}$ harmonique dans l'article de C. A. Berenstein et B. A. Taylor [1]. Les sections 8 et 9 sont consacrées à l'étude d'un certain nombre de résultats concemant l'approximation des fonctions plurisousharmoniques sur des variétés kâhlériennes quelconques. L'étape technique cruciale consiste en un procédé de régularisation par des noyaux $\langle\langle$ symétriques $\rangle\rangle$ vis-à-vis de la métrique kâhlérienne. R. Greene et H. Wu [11] ont déjà utilisé des techniques similaires dans le cadre des variétés riemanniennes. Leurs résultats et ceux antérieurs de R. Richberg [21], résolvent de manière satisfaisante le cas des fonctions plurisousharmoniques continues (sur une variété analytique quelconque). Lorsque la variété est supposée de plus kâhlérienne, nous obtenons un théorème général d'approximation (th. 9.1), qui semble nouveau dans le cas des fonctions plurisousharmoniques semi- continues. Ce demier théorème permet l'introduction de poids singuliers dans les estimations $\mathrm{L}^{2}$ pour l'opérateur $\partial$ sur des variétés kâhlériennes complètes, non nécessairement de Stein ({\it cf}. \S 5). Citons quelques-uns des résultats obtenus ({\it cf}. cor. 9.3 et th. 9.4). ThéOrème 0.7. - {\it Soit} $\varphi$ {\it une fonc tion plurisousharmonique sur une varié té} {\it kâ hlérienne} (X, co). {\it Alors il exis} $te$ {\it une une suite décroissan} $te(\varphi_{\mathrm{v}})$ {\it defonctions de classe} $\mathrm{C}^{\infty}$ {\it sur} X {\it et une suite} $(\lambda_{\mathrm{v}})$ {\it de fonctions continues} $\geqq 0$ {\it telles que}: \begin{center} (0.8) $\displaystyle \lim_{\mathrm{v}\rightarrow+\infty}\downarrow\varphi_{\mathrm{v}}=\varphi$; (0.9) $id'd''\varphi_{\mathrm{v}}\geqq-\lambda_{\mathrm{v}^{0);}}$ \end{center} $(0.10) \lambda_{\mathrm{v}}$ {\it converge vers} $0$ {\it un formément sur tout compact de} X. L'énoncé qui suit est $1' \mathrm{une}$ des étapes essentielles d{\it e} la démonstration du théorème $0.1$. ThéOrème 0.8. --{\it Soit} ({\it X}, co) {\it une variété kâhlérienne faiblement pseudoconvexe. Alors il} {\it existe des fonctions continues} $m,\ \mathrm{M}$ exhaustives {\it sur} X, {\it telles que} $00$ {\it sur} $X$, {\it il existe une fonction} $\psi$ {\it de} {\it classe} $\mathrm{C}^{\infty}$ {\it sur} $X$ {\it telle que} : $m\leqq\psi\leqq \mathrm{M}$ {\it et} $id'd''\psi\geqq-\lambda \mathfrak{c}0$. J'adresse mes plus vifs remerciements à M. Henri Skoda, qui $\mathrm{m}' \mathrm{a}$ suggéré de nombreuses améliorations dans la rédaction de ce travail. 1. Variétés kâhlériennes complètes et faiblement pseudoconvexes Soit X une variété analytique complexe de dimension $n$. Pour pouvoir résoudre l'opérateur $d''$, nous serons amenés à faire sur X certaines hypothèses de pseudoconvexité. 4${}^{\text{e}}$ SÉRIE -- TOME 15 -- l982 -- N${}^{\text{o}}$ 3 FIBRÉS HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 461 Définition 1. 1. - {\it La variété} X {\it sera dite faiblemen} $t$ {\it pseudoconvexe} ({\it resp}. $\mathrm{C}^{k}-$ {\it pseudoconvexe}) {\it s}'{\it il existe sur} $X$ {\it une fonction} $\varphi$ {\it plurisousharmonique} ({\it resp. de classe} $\mathrm{C}^{k}$) {\it et} exhaustive, {\it c}'{\it est-à-dire que pour tout réel} $c$, {\it l}'{\it ouvert} $X(c)=\{z\in X;\varphi(z)0$ et une fonction exhaustive $\psi$ de classe $\mathrm{C}^{\infty}$ sur $X$ telles que: $0\leqq\psi\leqq \mathrm{M}$ et $id'd''\displaystyle \psi\geqq-\frac{1}{\mathrm{M}}\mathrm{eo}$. Posons $ 0^{\wedge}\mathrm{j}=3_{\mathrm{t},)}+i/'/''|\psi^{2})=3_{0)}+2i\psi d'd''\psi+2id'\psi\wedge d''\psi$. On obtient: (1. 4) $ 0)\geqq\circ)+2id'\psi\wedge d''\psi$, en particulier, Q) est une métrique kâhlérienne. Soient 6 et 8 les distances géodésiques associées respectivement à co et $\hat{\mathrm{e}\mathrm{o}}$, et soit $(z_{1}, z_{2})$ un couple de points de $X$. On a par définition : \begin{center} 6 $(z_{1}, z_{2})= \displaystyle \mathrm{inf}\int_{0}^{1}\sqrt{0)(\frac{du}{dt},i\frac{du}{dt})}dt$, \end{center} où la bome inférieure est étendue à tous les chemins $u$ : $[0, 1]\rightarrow X$ de classe $\mathrm{C}^{1}$ et d'extrémités $z_{1}$ et $z_{2}$. D'après (1.4), il vient : $$ \mathrm{t}\hat{0}\ (\frac{du}{dt},\ i\frac{du}{dt})\geqq 0)(\frac{du}{dt},\ i\frac{du}{dt})+4|d'\psi(\frac{du}{dt})|2\geqq \mathfrak{c}0(\frac{du}{dt},\ j\frac{du}{dt})+|\frac{d(\psi\circ u)}{dt}|^{2} $$ ANNALES SCIENTIFIQUES DE L ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 462 J.-P. DEMAILLY puisque : $$ \frac{d(\psi_{0}u)}{dt}=d\psi(\frac{du}{dt})=2{\rm Re} d'\psi(\frac{du}{dt}). $$ On en déduit aisément: (1. 5) $\displaystyle \hat{\delta}(z_{1}, z_{2})\geqq\sup(6(z_{1}, z_{2}), |\psi(z_{1})-\psi(z_{2})|)$ pour tout couple $(z_{1}, z_{2})$ de points de X. Comme $\psi$ est exhaustive, il e{\it n} résulte que l'hypot hèse (1.2) est vérifiée par 8. $\square $ Au paragraphe 6, nous serons amenés pour des raisons techniques {\it à} appliquer les estimations $\mathrm{L}^{2}$ sur des variétés de l{\it a forme} $\mathrm{X}\backslash \mathrm{Z}$, où $\mathrm{Z}$ est un ensemble an alytique dans $X$. Lorsque $X$ est une variété de Stein ou une variété projective, on résout l{\it a} difficulté en choisissant une hypersurface $\mathrm{H}$ contenant $\mathrm{Z}$ e{\it t} telle que $X*$ soit une variété de Stein. $\mathrm{D}$ ans le cas général, on a un théorème d'existence pour le $\overline{\partial}$ valable sur toute variété kâhlérienne complète. Il est donc intéressant de rechercher des conditions très générales assurant l'existence d'une métrique kâhlérienne complète sur $\mathrm{X}\backslash \mathrm{Z}$. La première étape consiste {\it à} construire une fonction $\psi$ singulière sur $\mathrm{Z}$, et qui soit $\langle\langle$ pres- que $\rangle\rangle$ plurisousharmonique sur $X$. La méthode standard, lorsque $\mathrm{Z}$ est u{\it n} ensemble analytique de codimension pure $p$ dans $\mathbb{C}^{n}$, utilise une convolution du courant d'intégration [Z] avec le noyau $-|z-x|^{-2p}/p$ ! $((i/2)d'd''|z|^{2})^{p}$ convenablement tronqué ({\it cf}. H. Skoda [28]). Cette méthode peut s'adapter {\it a}u cas où $X$ est kâhlérienne, {\it a}u prix de difficultés comparables à celles que nous rencontrerons au paragraphe 8. Néanmoins, comme aucune estimation précise {\it n}'est indispensable, on pourra se contenter ici d'une construction plus simple. PROPOSITION 1.4. --{\it Soit} $X$ {\it une variété analytique et} $\mathrm{Z}$ {\it un ensemble analytique dans X}. $Il$ {\it existe unefonction} $\psi<-1$, {\it de classe} $\mathrm{C}^{\infty}$ {\it sur} $\mathrm{X}\backslash \mathrm{Z}$, {\it convergeant vers} $-\infty$ {\it au voisinage de} $\mathrm{Z}$ {\it et} {\it localement sommable sur} X, {\it et une} (1, {\it l})-{\it forme réelle} $\gamma$ {\it continue sur} $X$ {\it ayant les proprié tés} {\it suivan tes} : (1.6) $ id'd''\psi\geqq\gamma$; (1.7) {\it si} $\alpha$ {\it est un} $r\text{{\it é}} el>0,\ e^{-\alpha\psi}$ {\it est non sommable au voisinage de tout point} $z \in \mathrm{Z}$ {\it en lequel la} {\it codimension} $du$ {\it germe} $\mathrm{Z}_{Z}$ {\it est au plus égale à} $\alpha$. {\it Démonstration}. --Soit $_{\mathrm{z}}$ le faisceau d'idéaux des germes d{\it e} fonctions holomorphes qui s'annulent sur Z. Puisque $J_{\mathrm{z}}$ est cohérent, il existe un recouvrement ouvert localement fini $(\mathrm{U}_{j})_{j\in \mathrm{J}}$ de X par des ouverts $\mathrm{U}_{j}$ relativement compacts, et pour tout $j$ des fonctions $f_{j,\mathrm{v}}$, $1\leqq \mathrm{v}\leqq \mathrm{v}(j)$, qui engendrent le faisceau $J_{\mathrm{z}}$ {\it a}u voisinage de $\overline{\mathrm{U}}_{j}$. On pose $f_{j}=(f_{j,\mathrm{v}})_{1\leqq \mathrm{v}\leqq \mathrm{v}(j)}$, $|f_{j}|^{2}=\displaystyle \sum_{\mathrm{v}}|f_{j,\mathrm{v}}|^{2}$ Comme les $f_{j,\mathrm{v}}$ s{\it ont} des générateurs, chaque quotient $|f_{j}|_{/}^{2'}\cdot|f_{k}|^{2}$ est bomé sur $\mathrm{U}_{j}\cap \mathrm{U}_{k}\backslash \mathrm{Z}$; seule cette propriété nous servira en fai $t$ par l{\it a} suite. $4^{\mathrm{e}}$ SÉRIE -- TOME l5 -- l982 -- N${}^{\text{o}}$ 3 FIBRÉS HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 463 Choisissons une famille $(\chi_{j})$ de fonctions d{\it e} cl asse $\mathrm{C}^{\infty}$ sur $X$, {\it à} support $\mathrm{Supp}\chi_{j}\subset \mathrm{U}_{j}$, telles que : $\displaystyle \sum_{j\in \mathrm{J}}\chi_{j}^{2}>0,\ \displaystyle \sum_{j\in \mathrm{J}}\chi_{j}^{2}|f_{j}|^{2}<\frac{1}{e}$ sur X. On définit : $$ \mathrm{p}=\sum_{j}\chi_{j}^{2}|f_{j}|^{2}=\sum_{j,\mathrm{v}}\chi_{j}^{2}|f_{j,\mathrm{v}}|^{2},\ \psi={\rm Log} \mathrm{p}. $$ En différentiant une première fois, o{\it n} trouve : $$ d''\psi=\frac{d''\mathrm{p}}{\mathrm{p}}=\frac{1}{\mathrm{p}}\sum_{j,\mathrm{v}}\chi_{j}f_{j,\mathrm{v}}\overline{u}_{j,\mathrm{v}},\ * $$ où $u_{j,\mathrm{v}}$ est la $($1, $0)$ forme sur $X$ : $$ u_{j,\mathrm{v}}=2f_{j,\mathrm{v}}d'\chi_{j}+\chi_{j}df_{j,\mathrm{v}}. $$ O{\it n} $a$ d'autre part $d'(\overline{u}_{j,\backslash })=2\overline{f}_{j,\mathrm{v}}d'd''\chi_{j}\wedge d_{\chi}^{\mathrm{o}},\ \overline{df}_{j,\mathrm{v}}$, d'où : $d'd''\displaystyle \psi=\frac{1}{\mathrm{p}}\sum_{j,\mathrm{v}}\chi_{j}f_{j,\mathrm{v}}(2\overline{f}_{j,\mathrm{v}}d'd''\chi_{j}+d'\chi_{j}\wedge\overline{d}f_{j,\mathrm{v}})$ $$ +\frac{1}{\mathrm{p}}\sum_{j,\mathrm{v}}(f_{j,\mathrm{v}}d'\chi_{j}+\chi_{j}df_{j,\mathrm{v}})\wedge\overline{u}_{j}-\frac{d'\mathrm{p}\wedge d''\mathrm{p}}{\mathrm{p}^{2}} $$ $$ =\frac{1}{\mathrm{p}}\sum_{j,\mathrm{v}}2|f_{j,\mathrm{v}}|^{2}(\chi_{j}d'd''\chi_{j}-d'\chi_{j}\wedge d''\chi_{j})+\frac{1}{\mathrm{p}}\sum_{j,\mathrm{v}}u_{j,\mathrm{v}}\wedge\overline{u}_{j,\mathrm{v}}-\frac{d'\mathrm{p}\wedge d''\mathrm{p}}{\mathrm{p}^{2}}. $$ Dans cette demière égalité, l{\it a} première sommation $a$ ses coefficients localement bomés sur $X$, {\it à} cause de 1'hypothèse que les quotients $|f_{j}|^{2}/|f_{k}|^{2}$ sont bomés. Il existe donc une $($1, $1)-$ forme réelle $\gamma$, continue sur $X$, telle que : $$ id'd''\psi\geqq\gamma+\frac{1}{\mathrm{p}}\sum_{j,\mathrm{v}}iu_{j,\mathrm{v}}\wedge\overline{u}_{j,\mathrm{v}}-\frac{id'\mathrm{p}\wedge d''\mathrm{p}}{\mathrm{p}^{2}}. $$ L{\it a} forme hermitienne correspondan $\mathrm{t}$ {\it à} la somme des deux demiers termes, calculée sur le vecteur $\mathrm{t}$ {\it a}ngent $\xi\in \mathrm{T}_{z}X$, est donnée par: $$ \frac{1}{\mathrm{p}}\sum|u_{j,\mathrm{v}}(\xi)|^{2}-\frac{|d'\mathrm{p}(\xi)|^{2}}{\mathrm{p}^{2}}, $$ quantité$\geqq$0 d'après 1'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée {\it à} l'identité : $$ d'\mathrm{p}(\xi)=\sum_{j,\mathrm{v}}\chi_{j}\overline{f}_{j,\mathrm{v}}u_{j,\mathrm{v}}(\xi). $$ ANNALES SCIENTIFIQUES DE L ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 464 J.-P. DEMAILLY L{\it a} minoration (1.6) est donc démontrée. L'affirmation (1.7) est facile {\it à} vérifier si $z$ est un point régulier de Z. Dans le cas général, il so it d'observer qu il $\mathrm{y} a$ toujours une $\mathrm{su}\dot{\mathrm{i}}t\mathrm{e}z_{k}$ de points réguliers converge {\it ant} vers $z$ {\it e}t tels que l{\it a} codimension de $\mathrm{Z}$ soit l{\it a} même aux points $z$ et $Z_{k}.\ \square $ II est maintenant facile de prouverl existence de métriques complètes sur des variétés de l{\it a} forme $\mathrm{X}\backslash \mathrm{Z}$. ThéOrème 1. 5. --{\it Soit} ({\it X}, (0) {\it une variété kàhlérienne}, $\mathrm{Z}$ {\it un ensemble analytique dans} X {\it et} $\hat{\mathrm{X}}$ {\it un ouvert relativement compact de} $X$ {\it possédant une métrique kàhlérienne complète} $(0\wedge$. {\it Alors} $\hat{X}\backslash \mathrm{Z}$ {\it est une variété kàhlérienne complè} $te$. {\it Remarque} 1.6. --Si de plus $X$ est faiblement pseudoconvexe, avec fonction d'exhaustion $\mathrm{p}$. s.h. $\varphi$, le théorème 1. 5 s'applique e{\it n} particulier aux ouverts $\hat{X}=X(c)=\{ \mathrm{ze} X;\varphi(z)0$ assez gr and : $$ \tilde{\mathfrak{c}0}=\hat{(j)}+\mathrm{C}\mathfrak{c}0+id'd''(-\sqrt{-\psi}). $$ En effet, un calcul immédiat donne : (1. 8) $id'd''(-\displaystyle \sqrt{-\psi})=\frac{id'd''\psi}{2\sqrt{-\psi}}+4id'(-\psi)^{1/4}\wedge d''(-\psi)^{1/4}$. D'après (1.6) et 1'inégalité $\psi<-1$, il existe $\mathrm{C}>0$ tel que : Cco $+\displaystyle \frac{id'd''\psi}{2\sqrt{-\psi}}\geqq 0$ sur $\hat{X}$, donc $(\mathrm{D}\geqq 00+4id'\sim\wedge(-\psi)^{1/4}\wedge d''(-\psi)^{1/4}$. Comme $\psi(z)$ {\it t}end vers $-\infty$ {\it a}u voisinage de $\mathrm{Z}$, le raisonnement utilisé e{\it n} (1.4) et (1.5) montre que $ 00\sim$ est complète sur $\hat{\mathrm{X}}\backslash \mathrm{Z}.\ \square $ Pour obtenir u{\it n} résultat plus global, il est nécessaire dé faire une hypothèse plus forte sur l{\it a} variété $X$, e{\it n} supposant par exemple $X$ compacte ou $X$ d{\it e} Stein. Le cas où X est une variété de Stein avait déjà été étudié par H. Grauert [10]. O{\it n} peut énoncer de manière générale : PROPOSITION 1.6. - {\it Soit} (X, co) {\it une variété kàhlérienne possédant une fonction} {\it d}'{\it exhaustion} $\varphi$ {\it p.s.h. sur} $X$ {\it et strictement p.s.h. en dehors dun compact de} X. {\it Alors pour tout} {\it ensemble analytique} $\mathrm{Z}$ {\it de} $X,\ \mathrm{X}\backslash \mathrm{Z}$ {\it est une variété kàhlérienne complète}. {\it Démonstration}. -- Rappelons qu une fonction $\mathrm{semi}-\mathrm{cont}^{*}1\mathrm{nue}$ supérieurement est dite strictement p.s. $\mathrm{h}$. si elle est localement somme d'une fonction p.s. $\mathrm{h}$. et d'u{\it n} $\mathrm{e}$ fonction strictement p.s. $\mathrm{h}$. de cl asse $\mathrm{C}^{2}$. Grâce {\it a}u corollaire 9.5, o{\it n} peut supposer $\varphi$ de classe $\mathrm{C}^{\infty}$. O{\it n} pose: $$ \hat{\mathfrak{c}0}=\mathrm{C}\mathfrak{c}0+id'd''(\chi\circ\varphi-\sqrt{-\psi}), $$ $4^{\mathrm{e}}$ SÉRIE -- TOME l5 -- 1982 -- N${}^{\text{o}}$ 3 FIBRÉS HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 465 où $\mathrm{C}$ est une constante $>0,\ \chi$ une fonction convexe croiss ante de classe $\mathrm{C}^{\infty}$ et $\psi 1a$ fonction de l{\it a} proposition 1.4. O{\it n} choisit $\mathrm{C}$ {\it et} X de sorte que : \begin{center} (C-l) $(0+\displaystyle \chi'0\varphi.id'd''\varphi+\frac{id'd''\psi}{2\sqrt{-\psi}}\geqq 0$ et $\chi''0\varphi\geqq 1$. \end{center} Il {\it vient} alors d'après (1.8) : $$ 0)\geqq \mathrm{eo}+id'\varphi\wedge d''\varphi+4id'(-\psi)^{1/4}\wedge d''(-\psi)^{1/4}; $$ $0^{\wedge})$ est donc complète sur $X\backslash \mathrm{Z}.\ \square $ 2. Rappels sur les notions de courbure et de positivité Soient $X$ une variété analytique complexe de dimension $n$, e{\it t} $\mathrm{E}$ u{\it n} fibré vectoriel holomorphe hermitien de rang $r$ {\it a}u-dessus de $X$, dont l{\it a} métrique est de classe $\mathrm{C}^{2}$. On désigne par $\mathrm{D}=\mathrm{D}'+\mathrm{D}''$ la connexion holomorphe hermitienne du $\mathrm{f}_{1}\mathrm{br}$ éE ({\it cf}. A. Douady e{\it t} J.-L. Verdier [9], exposé III), {\it e}t par $c(\mathrm{E})$ l{\it a} forme de courbure d{\it e} $\mathrm{E}$, qui est définie par : $$ c(\mathrm{E}).u=\mathrm{D}^{2}u=(\mathrm{D}'\mathrm{D}''+\mathrm{D}''\mathrm{D}')u $$ pour toute section $u$ de $\mathrm{C}^{\infty} (X; \mathrm{E})$; $ic(\mathrm{E})$ est donc une (1,1)-forme réelle {\it à} valeurs dans le $\mathrm{f}_{1}b\mathrm{r}\acute{\mathrm{e}}$ Herm $(\mathrm{E}, \mathrm{E})$ des endomorphismes hermitiens de E. $ic(\mathrm{E})$ sera identifiée {\it à} l{\it a} forme sesquilinéaire h{\it e} rmitienne sur $\mathrm{T}X\otimes \mathrm{E}$ qui lui correspond canoniquement par l{\it a} formule : $$ ic(\mathrm{E})(t\otimes e, t\otimes e)=(ic(\mathrm{E})(t, it). e|e) $$ e{\it n} tout point $z\in X$ et avec $t\in \mathrm{T}_{z}X,\ e\in \mathrm{E}_{z}$. Relativement {\it à} u{\it n} couple de bases $(dz_{1}, dz_{2},\ \ldots$, $dz_{n})$ d{\it e} $\mathrm{T}_{z}^{*}X$ {\it et} $(e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{r})$ d{\it e} $\mathrm{E}_{z}$ (cette demière étant orthonormée) on peut écrire : $$ jc(\mathrm{E})=\frac{i}{2}\sum c_{jk\mathrm{t}m}d_{Z_{j}}\wedge d_{Z_{k}}^{-}\otimes e_{l}^{*}\otimes e_{m}, $$ $$ ic(\mathrm{E})(x, x)=\sum c_{jklm}x_{j\mathrm{t}}x_{km}, $$ avec : $$ c_{jk1m}=\overline{c}_{kjml},\ 1\leqq j,\ k\leqq n,\ 1\leqq/,\ m\leqq r, $$ $$ x\in \mathrm{T}_{z}X\otimes \mathrm{E}_{z},\ x_{jl}=(dz_{j}\otimes e_{\iota}^{*})(x), $$ $(e_{1}^{*}, e_{2}^{*}, . , ., e_{r}^{*})$ {\it étant} l{\it a} base duale d{\it e} $(e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{r})$. Définition 12.1. - {\it Soient} $\mathrm{T}$ {\it et} $\mathrm{E}$ {\it deux espaces vectoriels complexes de dimensions} {\it respectives} $n$ {\it et} $r$. {\it Un tenseur} $x\in \mathrm{T}\otimes \mathrm{E}$ {\it sera} $dit$ {\it de rang} $s$ {\it si} $s$ {\it est le plus petit en} $tier\geqq 0$ {\it tel qu}'{\it on puisse écrire} : \begin{center} $x=\displaystyle \sum_{j=1}^{s}t_{j}\otimes e_{j},\ t_{j}\in \mathrm{T},\ e_{j}\in$ E. \end{center} ANNALES SCIENTIFIQUES DE L ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 466 J.-P. DEMAILLY {\it On dira qu}'{\it uneforme hermitienne} $\Theta$ {\it sur} $\mathrm{T}\otimes \mathrm{E}$ {\it est s-semi-positive} ({\it où} $s$ {\it est un en} $tier\geqq 1$), {\it et on} {\it écrira} $\Theta \geqq_{s}0$, {\it si} 6 $(x, x)\geqq 0$ {\it pour tout tenseur} $x\in \mathrm{T}\otimes \mathrm{E}$ {\it de} $rang\leqq s$. {\it La forme} $\Theta$ {\it sera s-positive} $(\Theta>_{s}0)$ {\it si} $0(x, \mathrm{x}) 0$ {\it pour tout tenseur} $\mathrm{x}\neq 0$ {\it de} $rang\leqq s$. Définition 2.2. - {\it On dira que le fbre}' {\it hermitien} $\mathrm{E}$ {\it est} $s-(semi-)$ {\it positif si sa forme de} {\it courbure} $\Theta =ic(\mathrm{E})$ {\it est} $s-(semi)$ {\it positive sur} $\mathrm{T}_{z}X\otimes \mathrm{E}_{z}$ {\it en tout} $pointz\in X$. Pour $s=1$, on retrouve l{\it a} notion de positivité de Ph. Griffiths [12] : $\Theta \geqq_{1}0$ si 6 $(t\otimes e, t\otimes e)\geqq 0$ pour tout $(t, e)\in$ TX $\otimes \mathrm{E}$, tandis que pour $\mathrm{s}\geqq \mathrm{Inf}(n, r)$ on obtient la positivi {\it t}é de S. Nakano [20] : $\Theta \geqq_{s}0$ si $0(\mathrm{x}, x)\geqq 0$ pour tout $x\in \mathrm{T}X\otimes \mathrm{E}$ [tout élément de TX $\otimes \mathrm{E}$ est de rang $\leqq Inf$ ( $n,\ r$)]. Toutes ces notions coïncident par ailleurs si $r=1$ ou si $n=1$, e{\it t} nous omettrons alors l'indice $s$. Les questions que nous allons maintenant aborder {\it n}e seront pas utilisées {\it avant} le paragraphe 7. Nous nous proposons d'étudier (comme d{\it ans} [7] e{\it t} [6]) différentes relations {\it e}xistant entre les notions d{\it e} positivité introduites plus h{\it aut}. Étant donné une forme hermitienne $\Theta$ sur $\mathrm{T}\otimes \mathrm{E}$, on désignera par $\mathrm{Tr}_{\mathrm{E}}\Theta$ l{\it a} trace de $\Theta$ par rapport {\it à} $\mathrm{E}$, c'est-à-dire l{\it a} forme hermitienne définie sur $\mathrm{T}$ par: $$ (\mathrm{Tr}_{\mathrm{E}}\Theta)(t, t)=\sum_{l=1}^{r}\Theta\ (t\otimes e_{\iota}, t\otimes e_{\iota}) $$ pour tout $t\in \mathrm{T}$ et toute {\it b}ase orthonormée $(e,)_{1\leqq/\leqq},$. de E. PROPOSITION 2.3. --{\it Soit} $\Theta \geqq_{1}0$ {\it une forme hermitienne semi-positive au sens de Griffi} $ths$. {\it Alors la forme} $\Theta +\mathrm{Tr}_{\mathrm{E}}\Theta\otimes \mathrm{Id}_{\mathrm{E}}$ {\it est semi-positive au sens de Nakano, c}'{\it est-à-dire} $\Theta+\mathrm{Tr}_{\mathrm{E}}\Theta\otimes \mathrm{Id}_{\mathrm{E}}\geqq_{r}$ O. Dans cet énoncé, o{\it n} identifie la métrique hermitienne d{\it e} $\mathrm{E}$ à $1' \mathrm{e}n\mathrm{domorphismeId}_{\mathrm{E}}$ qui lui corre spond. Le lecteur {\it est} invité {\it à} se reporter {\it à} [7] ou {\it à} [6] pour une démonstration. COROLLAIRE 2.4. --{\it Supposons} $\Theta \geqq_{1}0$. {\it Alors} $ s\mathrm{Tr}_{\mathrm{E}}\Theta\otimes \mathrm{Id}_{\mathrm{E}}-\Theta \geqq_{s}0$. {\it Démonstration}. --Nous établirons d'abord le cas $s=1$, le cas général résultant de l{\it a} proposition 2.3. $(a)s=1$. Soit $\mathrm{x}\in \mathrm{T}\otimes \mathrm{E}$ un tenseur de r{\it ang} $\leqq 1$. On peut écrire $x=t\otimes e$ avec $t\in \mathrm{T}$ et $e\in \mathrm{E},\ |e|=1$. Complétons $[e]$ en une {\it b}ase orthonormée $(e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{r})$ de $\mathrm{E}$ telle que $e_{1}=e$. Il vient : $$ \Theta(x, x)=\Theta(t\otimes e_{1}, t\otimes e_{1}), $$ $$ (\mathrm{Tr}_{\mathrm{E}}\Theta\otimes \mathrm{Id}_{\mathrm{E}})(x, \mathrm{x})=\mathrm{Tr}_{\mathrm{E}}\ \Theta(t, t)=\sum_{l=1}^{r}\Theta(t\otimes e_{l}, t\otimes e_{l})\geqq\Theta(x, x) $$ car par hypothèse 9 $(t\otimes e_{\iota}, i\otimes e_{\iota})\geqq 0$. $4^{\mathrm{e}}$ SÉRIE -- TOME 15 -- 1982 -- N${}^{\text{o}}$ 3 FIBRÉS HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 467 $(b)$ {\it Cas général}. Tout tenseur $\mathrm{x}\in \mathrm{T}\otimes \mathrm{E}$ de rang $\leqq s$ peut s'écrire : $$ x=\sum_{\iota=1}^{\mathrm{q}}t_{j}\otimes e_{j} $$ avec $q=\displaystyle \inf(n, r, s),\ t_{j}\in \mathrm{T}$, et où $(e_{j})_{1\leqq j\leqq r}$ est une base orthonormée de E. Notons $\mathrm{F}$ le sous- espace d{\it e} dimension $q$ de $\mathrm{E}$ engendré par $e_{1},\ e_{2},\ \ldots,\ e_{q}$ e{\it t} $\Theta_{\mathrm{F}}$ l{\it a} restriction de $\Theta$ à $\mathrm{T}\otimes \mathrm{F}$ (de sorte que $\Theta_{\mathrm{F}}\geqq_{1}0$). L{\it a} partie $(a)$ montre que : \begin{center} $\Theta=\mathrm{Tr}_{\mathrm{F}}\Theta_{\mathrm{F}}\otimes \mathrm{Id}_{\mathrm{F}}-\Theta_{\mathrm{F}}\geqq_{1}$ O. \end{center} D'après la proposition 2.3, on obtient : $$ \Theta+\mathrm{Tr}_{\mathrm{F}}\Theta\otimes \mathrm{Id}_{\mathrm{F}}=q\mathrm{Tr}_{\mathrm{F}}\Theta_{\mathrm{F}}\otimes \mathrm{Id}_{\mathrm{F}}-\Theta_{\mathrm{F}}\geqq_{q}0, $$ 8 $(x, x)=\displaystyle \Theta_{\mathrm{F}}(x, x)\leqq q(\mathrm{Tr}_{\mathrm{F}}\Theta_{\mathrm{F}}\otimes \mathrm{Id}_{\mathrm{F}})(x, x)=q\sum_{1\leqq j,l\leqq q}\Theta(t_{j}\otimes e_{\iota}, t_{j}\otimes e_{\iota})$ $$ \leqq s_{1}\text{ . }\square $$ Les principales conséquences de l{\it a} proposition 2. 3 seront obtenue $\mathrm{s}$ en choisissant pour $01a$ forme de courbure $ic(\mathrm{E})$ d'un fibre hermitien. Nous aurons besoin du lemme classique suivant, qui relie l{\it a} courbure des fibres dét $\mathrm{E}$ et $\mathrm{E}^{*}$ {\it à} celle de $\iota$ E. lemme 2. 5. --{\it Soient} $\mathrm{E},\ \mathrm{F}$ {\it desfbre}'{\it s hermitiens au-dessus de X. On note} dét $\mathrm{E}=\Lambda^{r}\mathrm{E}$ {\it où} $r$ {\it est} {\it le rang de} E. {\it Alors lesformes de courbure desfibres} dét $\mathrm{E},\ \mathrm{E}*$ ({\it dual de} E) {\it et} $\mathrm{E}\otimes \mathrm{F}$ {\it sont données} {\it par} {\it c}(dét $\mathrm{E}$) $=\mathrm{Tr}_{\mathrm{E}}c(\mathrm{E})$, $$ c(\mathrm{E}^{*})=-\mathrm{r}C(\mathrm{E}), $$ $$ c(\mathrm{E}\otimes \mathrm{F})=c(\mathrm{E})\otimes \mathrm{Id}_{\mathrm{F}}+\mathrm{Id}_{\mathrm{E}}\otimes c(\mathrm{F}), $$ {\it où la trace} $\mathrm{Tr}_{\mathrm{E}}$ {\it est celle de} $\mathrm{Hom}(\mathrm{E}, \mathrm{E})$ {\it et} $\mathrm{t}$ ? {\it l}'{\it opérateur de transposition} $\mathrm{Hom}(\mathrm{E}, \mathrm{E})\rightarrow \mathrm{Hom}(\mathrm{E}^{*}, \mathrm{E}^{*})$. ThéOrème 2.6. --{\it Soit} $\mathrm{E}$ {\it un fbre}' {\it semi-positf} ({\it resp. positif}) {\it au sens de Grjfi} $ths$. {\it Alors}: (2. 1) E$\otimes$dét $\mathrm{E}$ {\it est semi-positif} ({\it resp. positif}) {\it au sens de Nakano}. (2.2) {\it Pour tout en tier} $s\geqq 1$, {\it le fbre}' $\mathrm{E}^{*}\otimes ($dét $\mathrm{E})^{s}$ {\it est s-semi-positif} (2.3) $\mathrm{E}^{*}\otimes ($dét $\mathrm{E})^{s}$ {\it est s-positif si} $\mathrm{E}>10$ {\it et si} $rs>1$ ( $r$ {\it désignant le rang de} E). {\it Démonstra tion}. $-(2.1)$ résulte aisément d{\it e} l{\it a} proposition 2. 3 et du lemme 2. 5. Lorsque $\mathrm{E}$ est semi-positif au sens de Griffiths, il est cl assique que $\mathrm{E}^{*}$ est semi-négatif e{\it n} c{\it e} sens $(\mathrm{i}.e$. $\mathrm{E}^{*}\leqq 10)$. L{\it a} conclusion (2.2) résulte donc du corollaire 2.4 appliqué à $\Theta =-ic\cdot(\mathrm{E}^{*})$, compte tenu de l'égalité : $ic$ (E$*\otimes$(dét E)) $=ic(\mathrm{E}^{*})-s\mathrm{Tr}_{\mathrm{E}^{*}}ic(\mathrm{E}^{*})$. ANNALES SCIENTIFIQUES DE L ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 468 J.-P. DEMAILLY Si d{\it e} plus $\mathrm{E}>10$, il existe une formé hermitienne positive Q) $\mathrm{sUr}$ TX telle que $ic(\mathrm{E})\geqq 1^{\mathrm{Q})}\otimes \mathrm{Id}_{\mathrm{f}}$, d'où : $$ \Theta\ =-ic(\mathrm{E}^{*})-\mathfrak{c}0\ \otimes \mathrm{Id}_{\mathrm{E}^{*}}\geqq_{1}\ \mathrm{O}. $$ Le corollaire 2.4 entraîne que : $-s$ Tr $ic(\mathrm{E}^{*})+ic(\mathrm{E}^{*})+(1-rs)$ eo $\otimes \mathrm{Id}_{\mathrm{E}^{*}}\geqq_{s}0$, soit {\it jc}(E$*\otimes$(dét E)) $\geqq_{s}(\mathrm{rs}-1)0) \otimes \mathrm{Id}_{\mathrm{E}^{*}}>_{s}0.\ \square $ 3. Etude du terme de courbure dans l'identité de Kodaira Soit X {\it une} variété analytique complexe de dimension $n$, muni d'une métrique hermitienne co. On rappelle que l'algèbre $\Lambda \mathrm{Hom}_{\mathrm{R}}$ (TX, $\mathbb{C}$) des {\it formes} différentielles sur $X$ admet l{\it a} décomposition en somme directe orthogonale : A $\mathrm{Hom}_{\mathrm{R}}$ JTX, $\mathbb{C}$) $=\displaystyle \bigoplus_{p+q\leqq n}\Lambda^{p,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}$, oùl espace $\Lambda^{p,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}$ des {\it formes} de bidegré $(p, q)$ est muni de la métrique naturelle déduite de celle d{\it e} TX (conventions de A. Weil [29]). On {\it n}ote $d\mathrm{V}=\mathfrak{c}0^{n}/n$ ! 1'élément de volume euclidien de $X,\ \Lambda 1' a\mathrm{djoi}nt$ d{\it e} l'opérateur $\mathrm{L}$ d{\it e} multiplication extérieure par co, de sorte que: $\mathrm{L}$ oc $=$ co $\wedge\alpha,\ (\Lambda\alpha|\beta)=(\alpha| \mathrm{co}\wedge\beta)$ pour toutes formes $\alpha,\ \beta\in\Lambda \mathrm{Hom}_{\mathrm{R}}$ (TX, C). Soit {\it m}aintenant $\mathrm{E}$ un fibre vectoriel holomorphe hermitien de rang $r$ {\it a}u-dessus de $X$, dont la métrique est de classe $\mathrm{C}^{2}$. Les opérateurs $\mathrm{L}$ {\it e}t $\Lambda$ sont étendus aux espaces d{\it e} formes $\Lambda^{p,q}\mathrm{T}^{*}X\otimes \mathrm{E}$ {\it à} valeurs dans $\mathrm{E}$ en tensorisant par $\mathrm{Id}_{\mathrm{E}}$. L'inégalité d{\it e} Kodaira-Nak {\it ano} ({\it cf}. lemme 4.4) fera intervenir un terme de courbure du type $(ic(\mathrm{E})\Lambda\alpha|\alpha)$. C'est 1'étude de ce terme que nous allons entreprendre. Si $\Theta$ est une (1, laforme réelle à valeurs dans Herm $(\mathrm{E}, \mathrm{E})$, o{\it n} définit pour {\it t}out entier $q=1$, 2, $\ldots,\ n$ une forme sesquilinéaire $\Theta_{q}$ sur les fibre de $\Lambda^{n,q}\mathrm{T}^{*}X\otimes \mathrm{E}$ en posant en chaque point $z\in \mathrm{X}$: $$ \Theta_{\mathrm{q}}(\alpha, \beta)=(\Theta\Lambda\alpha|\beta) $$ pour toutes les formes $\alpha,\ \beta\in\Lambda^{n,q}\mathrm{T}_{z}^{*}X\otimes \mathrm{E}_{z}$. Les deux lemmes suivants, que nous démontrons simultanément, seront utiles par l{\it a} suite. lemme 3. 1. --{\it Lesformes} $\Theta_{q}$ {\it sont hermitiennes. Si la forme} $\Theta$ {\it est} $(n-q+1)-(semi-)$ {\it positive}, {\it alors} $\Theta_{q}$ {\it es} $t$ ({\it semi}-) {\it posi tive}. O{\it n} suppose désormais que $\Theta \geqq_{n-q+1}0$. Si $\alpha \in\Lambda^{n,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes \mathrm{E}$, on note $|\alpha |_{8}$ le plus petit nombre $\geqq 0$, éventuellement infini, tel que : (3. 1) $|(\alpha|\beta)|^{2}\leqq|\alpha |\mathcal{K}(\Theta\Lambda\beta|\beta)$ 4${}^{\text{e}}$ SÉRIE -- TOME 15 -- 1982 -- N${}^{\text{o}}$ 3 $\mathrm{FIBR}\acute{\mathrm{F}}\mathrm{S}$ HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 469 pour {\it t}out $\beta\in\Lambda^{n,q}\mathrm{T}^{*}X\otimes$ E. LEMME 3.2. --{\it La} $(n, n)$-{\it forme} $|\alpha |_{9}^{2}d\mathrm{V}$: (3.2) {\it est indépendante de} o) {\it si} $q=1$, (3.3) {\it décroît lorsque} 00 {\it croît si} $q\geqq 1$. {\it D}'{\it au} $tre$ {\it part, pour tout nombre réel} $\lambda\geqq 0$ {\it tel que} $\Theta \geqq_{n-q+1}\lambda_{0}$) $\otimes \mathrm{Id}_{\mathrm{E}}$ {\it et tout} $\alpha\in\Lambda^{n,q}\mathrm{T}^{*}X\otimes \mathrm{E}$ {\it on a} : \begin{center} (3.4) $|\alpha |_{\Theta}^{2}\displaystyle \leqq\frac{1}{q\lambda}|\alpha|^{2}$. \end{center} {\it Enfin, soit} $\eta$ {\it une} $(0, 1)Informe$ {\it sur X. On} $a$ {\it alors}: (3. 5) $|\eta\wedge\alpha|_{6}\leqq|\eta|.\ |\alpha |_{\Theta}$. {\it Démonstra tion} $du$ {\it lemme} 3. 1. --Relativement {\it à} un couple de {\it bases} orthonormées $(dz_{1},dz_{2}$, . . ., $dz_{n})$ de $\mathrm{T}_{z}^{*}X$ et $(e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{r})$ de $\mathrm{E}_{z}$, o{\it n} p{\it eut} écrire: $$ \circ)=\frac{i}{2}\sum_{j=1}^{n}dz_{j}\wedge d_{Z_{j}}^{-}, $$ $$ \Theta=\frac{i}{2}\ 1\leqq,m\leqq r\sum_{1\leqq jk\leqq n},c_{jklm}dz_{j}\wedge d\overline{z}_{k}\otimes e_{\iota}^{*}\otimes e_{m} $$ avec $c_{jklm}=c_{kjml}$ et pour $\beta\in\Lambda^{n,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes \mathrm{E}$ : $$ \beta=\sum_{|\mathrm{J}|=q}'\sum_{\iota=1}^{r}\beta_{\mathrm{J},l}dz_{1}\wedge\ldots\wedge dz_{n}\wedge d_{Z_{\mathrm{J}}}^{-}\otimes e_{l}, $$ où l{\it a} notation $\displaystyle \sum'$ signifie que l{\it a} sommation est étendue {\it à} tous les multi-indices $\mathrm{J}$ {\it croissan} $ts$. On vérifie que : $$ \Lambda\beta=2\sum_{|\mathrm{J}|=q-1}\sum_{1\leqq j\leqq n}(-1)^{n-j}\beta_{j\mathrm{J},l}dz_{1}\wedge\ldots\wedge\hat{dz}_{j}\wedge\ldots\wedge dz_{n}\wedge d_{Z_{\mathrm{J}}}^{-}\otimes e_{\iota} $$ $$ 1\leqq l\leqq r $$ (l{\it a} notation $\hat{dz}_{j}$ rappelant que le terme $dz_{j}$ est omis), et que : \begin{center} (3.6) $\displaystyle \Theta_{\mathrm{q}}(\beta, \beta)=(\Theta\Lambda\beta|\beta)=2^{n+q}\sum_{|\mathrm{J}|=q-1}'1\leqq l,m\leqq r\sum_{1\leqq j,k\leqq n}c_{jk1m}\beta_{J^{\mathrm{J},l}}\overline{\beta_{k\mathrm{J},m}}$. \end{center} Le multi-indice $\mathrm{J}$ étant fixé, $|\mathrm{J}|=q-1$, l{\it a} matrice $(\beta_{j\mathrm{J},1})_{j,l}$ est de r{\it ang} $n-(q-1)$ au plus, puisque $\beta_{j\mathrm{J},l}=0$ si $ j\in$ J. Si $\Theta \geqq_{n-q+1}0$, on a donc pour tout $\mathrm{J}$ : $$ \sum c_{jklm}\beta_{j\mathrm{J},l}\overline{\beta}_{k\mathrm{J},m}\geqq 0.\ \square $$ ANNALES SCIENTIFIQUES DE $\mathrm{L}'\acute{\mathrm{E}}$ COLE NORMALE SUPÉRIEURE 470 J.-P. DEMAILLY {\it Démonstration} $du$ {\it lemme} 3.2. --Soit co une deuxième métrique h{\it e} rmitienne sur $\mathrm{T}_{z}$ X. On choisit {\it une b}ase $(dz_{1}, \ldots, dz_{n})$ de $\mathrm{T}_{z}^{*}\mathrm{X}$, orthonormée relativement {\it à} $\mathfrak{c}0$ e{\it t} orthogonale relativement à œ . On peut donc écrire : $'$ \begin{center} $\displaystyle \mathfrak{c}0'=\frac{i}{2}\sum_{j=1}^{n}a_{j}dz_{j}\wedge d_{Z_{j}}^{-}$ où $a_{j}>0$. \end{center} L'isométrie $a^{1/2}$ : $(\mathrm{T}_{z}\mathrm{X}, \mathfrak{c}0')\rightarrow(\mathrm{T}_{z}\mathrm{X}$, co $)$ qui {\it à} tout $(t_{j})_{1\leqq j\leqq n}$ associe $(a_{j}^{1/2}t_{j})_{1\leqq j\leqq n}$ induit u{\it n} isomorphisme métrique : $$ (\Lambda \mathrm{T}_{z}^{*}X, \mathrm{rD})\ \rightarrow(\Lambda \mathrm{T}_{z}^{*}X, \mathrm{eo}'). $$ Si $(|)$', $| |',\ \Lambda',\ d\mathrm{V}'$ sont respectivement associés {\it à} co , o{\it n} $a$ donc: $$ \Lambda'=a^{1/2}\Lambda a^{-1/2}, $$ $$ (\alpha|\beta)'=(a^{-1/2}\alpha|a^{-1/2}\beta)=(\alpha|a^{-1}\beta) $$ pour toutes formes oc, $\beta\in\Lambda^{n,q}\mathrm{T}_{z}^{*}X\otimes \mathrm{E}_{z}$. Par conséquent: $|\alpha |_{9}^{\prime 2}=\displaystyle \sup_{\beta}\frac{|(\alpha|\beta)'|^{2}}{(\Theta\Lambda'\beta|\beta)'}=\sup_{\beta}\frac{|(\alpha|a^{-1}\beta)|^{2}}{(\Theta a^{1/2}\Lambda a^{-1/2}\beta|a^{-1}\beta)}=\sup_{\beta}\frac{|(\alpha|\beta)|^{2}}{(\Theta a^{1/2}\Lambda a^{1/2}\beta|\beta)}$. Il est facile d{\it e} vérifier que : \begin{center} $(\Theta a^{1/2}\Lambda a^{1/2}\beta|\beta)=2^{n+q} a$ 1 $a_{n}\displaystyle \sum_{|\mathrm{J}|=q-1}'a_{\mathrm{J}} 1\displaystyle \leqq lm\leqq r\sum_{1\leqq jk\leqq n},c_{jklm}\beta_{j\mathrm{J},l}\overline{\beta_{k\mathrm{J}},m}$, \end{center} où $a_{\mathrm{J}}=\displaystyle \prod_{j\in \mathrm{J}}a_{j}$, et où l{\it a} somme qui suit $a_{\mathrm{J}}$ est $\geqq 0$ quel que soit J. Si $\mathfrak{c}0'\geqq 0$) (c'est-à-dire si $a_{j}\geqq 1,1\leqq j\leqq n)$ on obtient donc: $$ (\Theta a^{1/2}\wedge a^{1/2}\beta|\beta)\geqq a_{1}\ldots a_{n}(\Theta\wedge\beta|\beta), $$ $$ |\alpha|_{\mathfrak{g}^{2}}'\leqq\frac{|\alpha.|_{9}^{2}}{a_{1}..a_{n}}, $$ $$ |\alpha|_{\mathrm{t})}^{\prime 2}\frac{\mathrm{t}0^{\prime n}}{n!}\leqq|\alpha\ |_{9\overline{n!}}^{2^{\circ)^{n}}}, $$ avec égalité si $q=1$. Les conclusions (3.2) et (3.3) s{\it ont} donc bien vraies. Si $\Theta\geqq_{n-q+1}\lambda \mathfrak{c}0 \otimes \mathrm{Id}_{\mathrm{E}}$, l{\it e} lemme 3. 1 et l'égalité 3.6 montrent que : $$ (\Theta\Lambda\beta|\beta)\geqq 2^{n+q}\sum_{|\mathrm{J}|=q-1}\sum_{j,l}\lambda|\beta_{j\mathrm{J},l}|^{2}=q\lambda|\beta|^{2}, $$ d'où par du alité : $$ |\alpha\ |_{\Theta}^{2}\leqq\frac{1}{q\lambda}|\alpha\ |^{2}. $$ 4${}^{\text{e}}$ SÉRIE -- TOME l5 -- 1982 -- N${}^{\text{o}}$ 3 FIBRÉS HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 471 D'autre p{\it art}, comme $\Theta \geqq_{n-q+1}0$, e{\it t afortiori} $\Theta\geqq_{n-\mathrm{q}}0$, les formes hermitiennes $\Theta_{q}$ et $\Theta_{q+1}$ sont semi-positives. Pour tout $\eta\in\Lambda^{0,1}\mathrm{T}^{*}X,\ \alpha\in\Lambda^{n,\mathrm{q}}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X},\ \beta\in\Lambda^{n,\mathrm{q}+1}\mathrm{T}^{*}X$ o{\it n} $a$: $$ |\ (\eta\wedge\alpha |\beta)|^{2^{-}}=|(\alpha|\overline{\eta}\lrcorner\beta)|^{2}\leqq|\alpha|_{\mathfrak{g}}^{2}\Theta_{q}(\overline{\eta}^{\lrcorner\beta}, _{\overline{\eta}}\lrcorner\beta), $$ - où $\eta\lrcorner\beta$ désigne le produit intérieur de $\beta$ par $\eta$. Pour démontrer (3.5), il suffit donc de vérifier : \begin{center} (3.7) $\Theta_{q}(\overline{\eta}\lrcorner\beta, \overline{\eta}\lrcorner\beta)\leqq|\eta|^{2}\Theta_{\mathrm{q}+1}(\beta, \beta)$, \end{center} e{\it t} pour cela, on peut supposer que $\eta=d_{Z_{s}}^{-}$. Il vient $|\eta|^{2}=2$: $$ \eta\lrcorner\beta=2\sum_{|\mathrm{J}|=q}'\sum_{\iota=1}\beta_{s\mathrm{J},l}dz_{1}\wedge.\text{ . . }\wedge dz_{n}\wedge d_{Z_{\mathrm{J}}}^{-}\otimes e_{l}, $$ $$ \Theta_{q}(\overline{\eta}^{\lrcorner}\beta,\overline{\eta}\lrcorner\beta)=2^{n+q+2}\sum_{|\mathrm{J}|=q-1}\sum_{1\leqq j,k\leqq n}c_{jklm}\beta_{sj\mathrm{J},l}\overline{\beta_{sk\mathrm{J},m}}. $$ $$ 1\leqq l,\ m\leqq r $$ Si $1' \mathrm{o}n$ compare {\it cette} inégalité {\it à} l'égalité (3. 6) où $q+1$ est substitué {\it à} $q$, l{\it a} ligne (3. 7) devient évidente. $\square $ Nous aurons besoin aussi du résultat simple qui suit. LEMME 3.3. --{\it Soit} ($\mathrm{D}$ {\it et} ($\mathrm{D}'$ {\it deux formes hermitiennes sur} TX {\it telles que} $(\mathrm{D}\leqq \mathrm{t}0'$. {\it Pour tout} $\alpha\in\Lambda^{n,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes \mathrm{E},\ q=0,1,\ \ldots,\ n$, {\it on a} $|\alpha |^{\prime 2}d\mathrm{V}'\leqq|\alpha |^{2}d\mathrm{V}$. {\it Démonstration}. -- Posons oc $=\displaystyle \sum_{|\mathrm{J}|=q}'\sum_{\iota=1}^{r}\alpha_{\mathrm{J},l}dz_{1}\wedge\ldots\wedge dz_{n}\wedge d\overline{z_{\mathrm{J}}}\otimes e_{\iota}$, avec les mêmes notations que dans le lemme 3.2. Il vient: $d\mathrm{V}'=a_{1}a_{2}\ldots a_{n}d\mathrm{V}$ avec $a_{j}\geqq 1$, $$ |\alpha\ |^{2}=2^{n+q}\sum_{\mathrm{J},l}|\alpha_{\mathrm{J},l}|^{2}, $$ $$ |\alpha|^{\prime 2}d\mathrm{V}'=2^{n+q}\sum_{\mathrm{J},l}\frac{|\alpha_{\mathrm{J},l}|^{2}}{a_{\mathrm{J}}}d\mathrm{V}.\ \square $$ 4. Estimations $\mathrm{L}^{2}$ pour l'opérateur $\mathrm{D}''$ Dan $\mathrm{s}$ ce paragraphe, nous étendrons les estimations d{\it e} L. Hôrmander [13] et [14] {\it a}u cas des $(n, q)$ formes {\it à} valeurs dans un fibre vectoriel holomorphe semi-positif. Il s'agi $t$ en fait d'une généralisation immédiate des estimations de H. Skoda [24], qui étaient relatives {\it a}u cas des variétés faiblement $\mathrm{C}^{2}$-pseudoconvexes. Nous obtiendrons un théorème d'existence valable pour toute variété kâhlérienne complète, {\it a}vec des hypothèses de positivité plus faibles. U{\it n} passage à l{\it a} limite sur l{\it a} métrique kâhlérienne nous permettra de court-circuiter l{\it a} $\langle\langle$ méthode des trois poids $\rangle\rangle$ utilisée antérieurement par L. Hôrm ander [14] e{\it t} H. Skoda [24]. ANNALES SCIENTIFIQUES DE L ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 472 J.-P. DEMAILLY ThéOrème 4.1. --{\it Soit} X {\it une variété} kàhlérienne complète {\it de dimension} $n$, {\it munie d}'{\it une} {\it métrique kàhlérienne} eo non nécessairement complète. {\it Soit} $\mathrm{E}$ {\it un} $fbr\mathcal{E}$ {\it vectoriel hermitien de} {\it classe} $\mathrm{C}^{2}$ {\it sur} X. {\it On suppose que} $\mathrm{E}$ {\it est} $(n-q+1)$-{\it semi-positif. On se donne une} $(n, q)forme g$ {\it à} {\it coef cien} $ts\mathrm{L}_{1\mathrm{o}\mathrm{c}}^{2}$ {\it et à valeurs dans} $\mathrm{E}$, {\it telle que} $\mathrm{D}''g=0|$: \begin{center} $\displaystyle \int_{\mathrm{x}}|g|^{2}d\mathrm{V}<+\infty$ et $ v\mathrm{X}[|g|_{c\langle \mathrm{E})}^{2}d\mathrm{V}<+\infty$ \end{center} [cf. (3. 1); {\it pour simplf er récriture, on a noté} $|g|_{c(\mathrm{E})}=|g|_{ic\langle \mathrm{E})}$]. {\it Alors il existe une} $(n, q-1)-$ forme $f$ {\it à coefficien} $ts\mathrm{L}_{1\mathrm{o}\mathrm{c}}^{2}$ {\it àvaleurs dans} $\mathrm{E}$, {\it telle que}: $$ \mathrm{D}''f=g, $$ e{\it t} : $$ \int_{\mathrm{X}}|f|^{2}d\mathrm{V}\leqq\int_{\mathrm{X}}|g|_{c(\mathrm{E})}^{2}d\mathrm{V}. $$ {\it Remarque} 4.2. --D'après le lemme 3.2 (3.4), si on dispose d'une minoration d{\it e} la forme d{\it e} courbure du {\it t}ype : $$ ic(\mathrm{E})\geqq_{n-q+1}\lambda_{0)}\ \otimes \mathrm{Id}_{\mathrm{E}}, $$ où $\lambda$ {\it est} une fonction m{\it e} surable $\geqq 0$ sur X, $et$ si la forme $g$ {\it est} telle que : $$ \int_{\mathrm{x}}|g|^{2}d\mathrm{V}<+\infty,\ \int_{\mathrm{X},g\neq 0}\lambda^{-1}|g|^{2}d\mathrm{V}<+\infty, $$ alors il existe une $(n, q-1)$ forme $f$ vériflant $\mathrm{D}''f=g$ et : $$ \int_{\mathrm{x}}|f|^{2}d\mathrm{V}\leqq\int_{\mathrm{x}}\frac{1}{q\lambda}|g|^{2}d\mathrm{V}.\ \square $$ Le théorème 4. 1 sera {\it une} conséquence {\it simple} de l'inégalité de Kodaira-Nakano, moyenn {\it an} $\mathrm{t}$ l'utilisation de la méthode d'analyse fonctionnelle de L. Hôrmande $\mathrm{r}[14]$. O{\it n} désigne par $\mathcal{D}_{p,\mathrm{q}}(\mathrm{X};\mathrm{E})$ l'espace des $(p, q)$-formes de classe $\mathrm{C}^{\infty}$ {\it à} support compact {\it dan} $\mathrm{s}$ $X$ et {\it à} valeurs dans $\mathrm{E}$, e{\it t} par $\mathrm{L}_{p,q}^{2}(X;\mathrm{E})$ l'espace de Hilbert des $(p, q)$-{\it f}orm es à co efficients $\mathrm{L}_{1_{0}\mathfrak{c}}^{2}$, muni d{\it e} l{\it a} norme: $$ ||u||^{2}=\int_{\mathrm{X}}.|u|^{2}d\mathrm{V}. $$ On définit deux opérateurs non bomés : $$ \mathrm{T} $$ $$ \mathrm{s} $$ $$ \mathrm{L}_{p,\mathrm{q}-1}^{2}\rightarrow \mathrm{L}_{p,q}^{2}\rightarrow \mathrm{L}_{p,q+1}^{2} $$ {\it à} domaines denses Dom $\mathrm{T}$, Dom $\mathrm{S}$, e{\it n} considérant l'opérateur $\mathrm{D}''$ calculé {\it a}u {\it sen} $\mathrm{s}$ des distributions. Soient $\mathrm{T}^{*}$ : $\mathrm{L}_{p,q}^{2}\rightarrow \mathrm{L}_{p,q-1}^{2}$ et $\mathrm{S}^{*}$ : $\mathrm{L}_{p,q+1}^{2}\rightarrow \mathrm{L}_{p,q}^{2}$ les adjoints r{\it e} spectifs d{\it e} $\mathrm{T}$ {\it et} S. $4^{\mathrm{e}}$ SÉRIE -- TOME 15 $\rightarrow$ 1982 -- N${}^{\text{o}}$ 3 $\mathrm{FIBR}\acute{\mathrm{F}}\mathrm{S}$ HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 473 D'après L. Hôrmander [14], lemme 5.2.1, o{\it n} $a$ le résultat suivant: lemme 4. 3. --{\it Si la métrique} eo {\it est complè} $te$ [{\it hypo thèse} (1. 3) {\it vérifiée}] $\mathcal{D}_{p,q}(X; \mathrm{E})$ {\it est dense} {\it dans} Dom $\mathrm{T}^{*}\cap$ Dom $\mathrm{S}$ {\it pour la norme} $du$ {\it graphe}: $$ u\rightarrow||u||+\Vert \mathrm{T}^{*}u||+\Vert \mathrm{S}u||. $$ Soit maintenant 8'' $1' \mathrm{adjoint}$ formel de l'opérateur $\mathrm{D}''$, défini {\it par}: $$ \mathrm{JXr}(\delta''u|v)d\mathrm{V}=\int_{\mathrm{X}}(u|d''v)d\mathrm{V} $$ pour toutes formes $u\in \mathcal{D}_{p,q}(\mathrm{X};\mathrm{E}),\ v\in \mathcal{D}_{p,q-1}(X; \mathrm{E})$. Le lemme 4. 3 montre que $\mathrm{T}^{*}$ coïncide avecl'opérateur 8'' calculé {\it a}u sens des distributions. Les opérateurs $\mathrm{D}''$ et 8'' vérifient par ailleurs l'inégalité fond {\it a}mentale suivante ({\it cf}. $\mathrm{A}$, Douady {\it e}t J.-L. Verdier [9], exposé III, th. 3). lemme 4.4 (Inégalité de Kodaira-N{\it akano}). $\tau$ {\it Pour toute forme} $u\in \mathcal{D}_{n,q}(X;\mathrm{E})$, {\it on} $a$: $$ ||\mathrm{D}''u||^{2}+\Vert 6'u\Vert^{2}\geqq\int_{\mathrm{x}}(ic(\mathrm{E})\Lambda u|u)d\mathrm{V}. $$ {\it Démonstration} $du$ {\it théorème} 4. 1. --Nous supposerons provisoirement que l{\it a} métrique 00 est complète. Considérons les deux opérateurs $\mathrm{D}''$ décrits plus haut, avec $p=n$ : $$ \mathrm{T} $$ $$ \mathrm{s} $$ $$ \mathrm{L}_{n,q-1}^{2}\rightarrow \mathrm{L}_{n,q}^{2}\rightarrow \mathrm{L}_{n,\mathrm{q}+1}^{2}. $$ Les lemmes 4.3 et 4.4 montrent que: $$ \Vert \mathrm{T}^{*}u\Vert^{2}+||\mathrm{S}u\Vert^{2}\geqq\int_{\mathrm{X}}(ic(\mathrm{E}) \mathrm{A} u|u)d\mathrm{V} $$ pour toute forme $ u\in$ Dom $\mathrm{S}\cap \mathrm{DomT}^{*}$ [on notera que $(ic(\mathrm{E})\Lambda\iota\iota|u)\geqq 0$ d'après le lemme 3. 1 {\it e}t 1'hypothèse $ic(\mathrm{E})\geqq_{n-q+1}0]$. L'inégalité (3. 1) e{\it t} 1'inégalité d{\it e} Cauchy-Schwarz impliquent: $|(g|u)|^{2}\displaystyle \leqq \mathrm{r}_{\mathrm{x}}|g|_{(\mathrm{E})}^{2}d\mathrm{V}.\int_{\mathrm{X}}(ic(\mathrm{E})\Lambda u|u)d\mathrm{V}\leqq\int_{\mathrm{X}}|g|_{c(\mathrm{E})}^{2}d\mathrm{V}.(\Vert \mathrm{T}^{*}u\Vert^{2}+||\mathrm{S}u\Vert^{2})$. $$ \mathrm{m} $$ Par décomposition orthogonale de toute forme $ u\in$ Dom $\mathrm{T}^{*}$ en $u=u_{1}+u_{2}$ avec $u_{1}\in \mathrm{KerS}$, $u_{2}\in(\mathrm{KerS})^{\perp}\subset({\rm Im} \mathrm{T})^{\perp}=\mathrm{KerT}^{*}$, o{\it n} en déduit comme dans [14], lemme 4.4.1 : $$ |(g|u)|^{2}=|(g|u_{1})|^{2}\leqq\int_{\mathrm{x}}|g|_{c\langle \mathrm{E})}^{2}d\mathrm{V}.||\mathrm{T}^{*}u_{1}\Vert^{2}\leqq_{1}(_{\mathrm{X}}|g|_{c(\mathrm{E})}^{2}d\mathrm{V}.||\mathrm{T}^{*}u||^{2}, $$ ANNALES SCIENTIFIQUES DE $\mathrm{L}'\acute{\mathrm{E}}$ COLE NORMALE SUPÉRIEURE 474 J.-P. DEMAILLY car $g\in \mathrm{Ker}$ S. Le théorème de Hahn-B anach implique l'existence d'une forme $f\in \mathrm{L}_{n,q-1}^{2}$ telle que : $$ ||f||^{2}\leqq\int_{\mathrm{x}}|g|_{c(\mathrm{E})}^{2}d\mathrm{V}, $$ et $(g|u)=(f|\mathrm{T}^{*}u)$ pour {\it t}out $ u\in$ Dom $\mathrm{T}^{*}$, ce qui signifie précisément que $g=\mathrm{T}f=\mathrm{D}''f$ Il ne nous reste plus qu {\it à} éliminer $1' \mathrm{hy}p$ othèse de complétude de l{\it a} métrique oo. Il existe par hypothèse une métrique kâhlérienne complète $(\mathrm{D}$ sur X. O{\it n} définit d{\it e} nouvelles métriques complètes e{\it n p}osant: $$ 0)_{\mathrm{V}}=\mathfrak{c}0\ +\frac{1}{\mathrm{v}}0^{\wedge}),\ \mathrm{v}=1,2,\ \ldots $$ Si $| |_{\mathrm{v}}$ et $| |_{\mathrm{v},c(\mathrm{E})}$ désignent les normes associées {\it à} $0)_{\mathrm{v}}$, {\it e}t si $d\mathrm{V}_{\mathrm{v}}=\mathfrak{c}0_{\mathrm{v}}^{n}/n$ !, on {\it obtient} d'après les lemmes 3.2 (3.3) e{\it t} 3.3 : $$ \int_{\mathrm{x}}|g|_{\mathrm{v},c(\mathrm{E})}^{2}d\mathrm{V}_{\mathrm{v}}\leqq\int_{\mathrm{x}}|g|_{c(\mathrm{E})}^{2}d\mathrm{V}<+\infty, $$ $$ \mathrm{Jr}_{\mathrm{x}}|g|_{\mathrm{v}}^{2}d\mathrm{V}_{\mathrm{v}}\leqq\int_{\mathrm{x}}\}^{g|^{2}d\mathrm{V}<+\infty}. $$ Les résultats déjà établis montrent qu il existe des formes $f_{\mathrm{v}}\in \mathrm{L}_{n,q-1}^{2}$ telles que $\mathrm{D}''f_{\mathrm{v}}=g$ et : $$ ||f_{\mathrm{v}}||_{\mathrm{v}}^{2}\leqq\int|g|_{\mathrm{v},c\langle \mathrm{E})}^{2}d\mathrm{V}_{\mathrm{v}}\leqq\int|g|_{c(\mathrm{E})}^{2}d\mathrm{V}. $$ Soit $\mu$ un entier fixé et $\mathrm{K}$ une partie compacte de X. Pour tout $\mathrm{v}\geqq\mu$ o{\it n} a: $$ \int_{\mathrm{K}}|f_{\mathrm{v}}|_{\mu}^{2}d\mathrm{V}_{\mu}\leqq||f_{\mathrm{v}}\Vert_{\mu}^{2}\leqq||f_{\mathrm{v}}||_{\mathrm{v}}^{2}\leqq\int_{\mathrm{X}}|g|_{c(\mathrm{E})}^{2}d\mathrm{V} $$ d'aprè $s$ le lemme 3.3. On peut donc extraire d{\it e} l{\it a} suite $(f_{\mathrm{v}})$ une sous-suite f{\it aiblement} convergente {\it dan} $\mathrm{sL}_{n,\mathrm{q}-1}^{2}$ ( $\mathrm{X};\mathrm{E}$; loc). L{\it a} limite faible $f$ est telle que : \begin{center} $\mathrm{D}''f=g$ et $\displaystyle \int_{\mathrm{K}}|f|_{\mu}^{2}d\mathrm{V}_{\mu}\leqq\int_{\mathrm{X}}|g|_{c(\mathrm{E})}^{2}d\mathrm{V}$ \end{center} pour tout compact $\mathrm{K}$ d{\it e} $X$ e{\it t} tout entier $\mu$. L'estimation du théorème 4. 1 s'obtient par convergence monotone en faisant tendre $\mu$ vers $+\infty.\ \square $ Remarque 4. 5. --Pour toute $(n, 0)$-forme $f$, on vérifie aisément que : $$ |f|^{2}d\mathrm{V}=\iota^{n^{2}}f\wedge\overline{f}, $$ 4${}^{\text{e}}$ SÉRIE -- TOME 15 -- l982 -- N${}^{\text{o}}$ 3 FIBRÉS HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 475 le produit extérieur étant combiné avec l{\it a forme} bilinéaire $\mathrm{E}\otimes\overline{\mathrm{E}}\rightarrow \mathbb{C}$ définie par le produit scalaire. Cette observation, jointe au lemme 3.2 (3.2), montre que $1' \mathrm{estim}a\mathrm{tio}n$ du théorème 4. 1 est indépendante $\mathrm{d}_{\sim}e$ l{\it a} métrique kâhlérienne si $q=1$ [ceci {\it n}'est plus vrai pour estimation de l{\it a} remarque 4.2]. {\it Remarque} 4.6. --L{\it a} condition $\displaystyle \int_{\mathrm{x}}|g|^{2}d\mathrm{V}<+\infty$ est {\it en} fait superflue, et sera levée {\it a}u paragraphe suivant. Si la variété X est faiblement pseudoconvexe, on peut se débarrasser de cette hypothèse en appliquant le théorème 4. 1 {\it à} ch {\it a}que ouvert faiblement pseudoconvexe $X(c)$, et en faisant tendre $c$ vers $+\infty$. 5. Estimations avec métriques et poids plurisousharmoniques singuliers O{\it n} considère comme $p$ récédemment {\it une} variété {\it kâhlérienne complè} $te \mathrm{X}$, un fibre vectoriel holomorphe h{\it e} rmitien $\mathrm{E}$ de rang $r$ e{\it t} d{\it e} cl asse $\mathrm{C}^{2}$ {\it a}u-dessus de X. Soit $\varphi$ une fonction semi- continue supérieurement sur X, telle que $\varphi$ soit localement somme d'une fonction de classe $\mathrm{C}^{2}$ et d'une fonction plurisousha rmonique. L{\it a} décomposition de Lebesgue du courant d'ordre $0$ $ id'd''\varphi$ est donc de l{\it a} forme : $$ id'd''\varphi=i(d'd''\varphi)_{c}+i(d'd''\varphi)_{s}, $$ où l{\it a} partie singulière $i(d'd''\varphi)_{s}$ est un courant $\geqq 0$ de bidegré (1, 1), et où l{\it a} partie absolument continue $i(d'd''\varphi)_{c}$ est une (1, 1)-forme localement minorée à coefficients $\mathrm{L}_{1\mathrm{o}\mathrm{c}}^{1}$. On multiplie la métrique de $\mathrm{E}$ par l{\it e} poids $e^{-\varphi}$. Il sera commode de poser : $$ c(\mathrm{E}, \varphi)=c(\mathrm{E})+(d'd''\varphi)_{c}. $$ Nous nous proposons d{\it e} démontrer dans c{\it e} paragraphe le résultat suivant, qui est seulement une amélioration technique du théorème 4.1. ThéOrème 5.1. - {\it On suppose} $ic(\mathrm{E}, \varphi)\geqq_{n-q+1}0$. {\it Alors pour toute forme} $g\in \mathrm{L}_{n,\mathrm{q}}^{2}$ (X; $\mathrm{E}$; loc) {\it telle que}: $$ \mathrm{D}''g=0\ et\ \int_{\mathrm{x}}|g|_{c(\mathrm{E},\varphi)}^{2}e^{-\varphi}d\mathrm{V}<+\infty, $$ {\it il existe une} $(n, q-1)forme f\in \mathrm{L}_{n,q-1}^{2}$ ( $X;\mathrm{E}$; loc) {\it telle que}: $$ \mathrm{D}''f=g\ et\ \int_{\mathrm{x}}|f|^{2}e^{-\varphi}d\mathrm{V}\leqq\int_{\mathrm{x}}|g|_{c(\mathrm{E},\varphi)}^{2}e^{-\varphi}d\mathrm{V}. $$ Si $\varphi$ est de classe $\mathrm{C}^{2}$, le théorème 5. 1 s{\it e} réduit {\it a}u théorème 4. 1. Lorsque $\varphi$ {\it n}'est plus de classe $\mathrm{C}^{2}$, l{\it a} démonstration est techniquement plus délicate, et repose sur u{\it n} théorème d'approximation des fonctions plurisousharmoniques exposé dan $\mathrm{s}$ les deux demières sections. Pour simplifier les notations, nous nous placerons sous d{\it e} $\mathrm{s}$ hypothèses u{\it n peu} plus générales. ANNALES SCIENTIFIQUES DE L ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 476 J.-P. DEMAILLY HypothèSes. --On suppose que $\mathrm{E}$ est muni d'une métrique hermitienne $| |$ positive, non néce ssairement continue. O{\it n} dira que cette métrique est $\langle\langle$ {\it s}-approximable $\rangle\rangle$ s'il existe une suite $| |_{\mu}$ de structures hermitiennes de classe $\mathrm{C}^{2}$ sur $\mathrm{E}$ et une (1, )-forme réelle $ic(\mathrm{E})\geqq_{s}0$ {\it à} $\mathrm{v}$ aleurs dans Herm $(\mathrm{E}, \mathrm{E})$, {\it à} coefficients mesurables, telles que les propriétés (5. 1) à (5.6) ci- dessous soient vérifiées. (5. 1) pour tout indice $\mu=1$, 2, $\ldots$ et tout élément $e\in \mathrm{E},\ |e|_{\mu}\leqq|e|_{\mu+1}$; (5.2) {\it e}n presque {\it t}out point $z\in \mathrm{X}$, l{\it a} métrique $| |_{\mu}$ tend vers $| |$ sur l{\it a} fibre $\mathrm{E}_{z}$; (5.3) $ic(\mathrm{E})_{\mu}\geqq_{s}\Theta_{\mu}-\lambda_{\mu}\mathfrak{c}0\otimes \mathrm{Id}_{\mathrm{E}}$, où $c(\mathrm{E})_{\mu}$ est l{\it a} forme de courbure du fibre hermitien $(\mathrm{E}$, $| |_{\mu});\Theta_{\mu}$ {\it une} (1, 1)-forme hermitienne $\geqq_{s}0$ e{\it t} continue; $\lambda_{\mu}$ une fonction continue telles que : (5.4) $\Theta_{\mu}$ tend vers $ic(\mathrm{E})$ presque partout sur X; (5.5) $\lambda_{\mu}$ tend vers zéro presque partout sur $X$; (5.6) il existe u{\it n} $\mathrm{e}$ fonction continue $\lambda$ sur X telle que $ 0\leqq\lambda_{\mu}\leqq\lambda$ pour tout $\mu.\ \square $ Le théorème 9. 1 e{\it t} l{\it a} remarque 9.2 montrent que si la métrique $| |$ est de cl asse $\mathrm{C}^{2}$ et si $ic(\mathrm{E}, \varphi)\geqq_{n-q+1}0$, alors la métrique $| |e^{-\varphi/2}$ est $(n-q+1)$-approximable [avec précisément $ic(\mathrm{E}, \varphi)$ comme forme de courbure]. {\it Démonstration}. --Nous supposons donc $\varphi=0$ et $\mathrm{E}$ muni d'une métrique $| |(n-q+1)-$ approximable par d{\it e} $\mathrm{s}$ métriques $| |_{\mu}$ de cl asse $\mathrm{C}^{2}$. On se $\mathrm{r}$ amène d'abord {\it a}u cas où l{\it a} métrique kâhlérienne Q) est {\it complè} $te$ par un passage {\it à} l{\it a} limite analogue {\it à} celui du paragraphe 4. Nous indexerons par $\mu$ tous les opérateurs {\it e}t toutes les normes associées {\it à} l{\it a} métrique $| |_{\mu}$. On notera ainsi $||u\displaystyle \Vert_{\mu}^{2}=\int_{\mathrm{x}}|u|_{\mu}^{2}d\mathrm{V}$, e{\it t} $\mathrm{L}_{n,q}^{2}(X;\mathrm{E})_{\mu}$ [resp. $\mathrm{L}_{n,q}^{2}(X; \mathrm{E})$] l'esp ace d{\it e} Hilbert des $(n, q)$-formes $u$ telles $\mathrm{qu}e||u||_{\mu}<+\infty$ [resp. $||u||<+\infty)$; on désigne {\it par} $\mathrm{T}_{\mu},\ \mathrm{S}_{\mu}$ les extensions fermées de l'opérateur $\mathrm{D}''$, calculées {\it a}u sens des distributions: $$ \mathrm{L}_{n,\mathrm{q}-1}^{2}(X;\mathrm{E})_{\mu}\rightarrow \mathrm{L}_{n,q}^{2}(X;\mathrm{E})_{\mu}\mathrm{T}_{\mu}\rightarrow \mathrm{L}_{n,q+1}^{2}\mathrm{s}_{\mu}(X; \mathrm{E})_{\mu}. $$ Si $(\chi_{\mathrm{v}})$ est l{\it a} famille de fonctions tronquantes de la définition 1.2 (1.3) et si $u\in \mathrm{L}_{n.q}^{2}$ ( $\mathrm{X};\mathrm{E}$; loc), 1'inégalité de Cauchy-Schwarz donne: $$ |(\chi_{\mathrm{v}}g|u)_{\mu}|^{2}\leqq\int_{\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi_{\mathrm{v}}}|g|_{\mu,\Theta}^{2}d\mathrm{V}.(\Theta\wedge\chi_{\mathrm{v}}u|\mathrm{X}_{\mathrm{V}}^{u)_{\mu}} $$ où l'o{\it n} pose : \begin{center} (5.7) $\displaystyle \Theta=\Theta_{|1,\mathrm{V}}=\Theta_{\mu}+\frac{1}{q\mathrm{v}}0)\otimes \mathrm{Id}_{\mathrm{F}}$. \end{center} D'autre {\it part}, pour {\it t}out $\mathrm{u}\in$ Dom $\mathrm{T}_{\mu}^{*}\cap$ Dom $\mathrm{S}_{\mu}$, les lemmes 4.3 e{\it t} 4.4 montrent que : $$ ||\mathrm{T}_{\mu}^{*}(\chi_{\mathrm{v}}u)||_{\mu}^{2}+\Vert \mathrm{S}_{\mu}^{*}(\chi_{\mathrm{v}}u)\Vert_{\mu}^{2}\geqq(ic(\mathrm{E})_{\mu}\Lambda\chi_{\mathrm{v}}u|\chi_{\mathrm{v}}u)_{\mu}. $$ $4^{\mathrm{e}}$ SÉRIE -- TOME 15 -- l982 -- N${}^{\text{o}}$ 3 FIBRÉS HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 477 D'après (4.3), (4.7) e{\it t} le lemme 3.2, il vient : $(\displaystyle \Theta\Lambda\chi_{\mathrm{v}}u|\chi_{\mathrm{v}}u)_{\mu}\leqq(ic(\mathrm{E})_{\mu}\Lambda\chi_{\mathrm{v}}u|\chi_{\mathrm{v}}u)_{\mu}+((\lambda_{\mu}+\frac{1}{q\mathrm{v}})$ eo $\Lambda\chi_{\mathrm{v}}u|\chi_{\mathrm{v}}u)_{\mu}$ $$ \leqq||\mathrm{T}_{\mu}^{*}(\chi_{\mathrm{v}}u)||_{\mu}^{2}+||\mathrm{S}_{\mu}(\chi_{\mathrm{v}}u)||_{\mu}^{2}+q||\lambda_{\mu}^{1/2}\chi_{\mathrm{v}}u\Vert_{\mu}^{2}+\frac{1}{\mathrm{v}}||u\Vert_{\mu}^{2}. $$ Comme $\mathrm{T}_{\mu}^{*}(\chi_{\mathrm{v}}u)=\chi_{\mathrm{v}}\mathrm{T}_{\mu}^{*}u-d'\chi_{\mathrm{v}}\lrcorner u$ et $\mathrm{S}_{\mu}(\chi_{\mathrm{v}}, u)=\chi_{\mathrm{v}}\mathrm{S}_{\mu}u+d''\chi_{\mathrm{v}}\wedge u$, on voit aisément {\it e}n utilisant (1. 3) que : $||\mathrm{T}_{\mu}^{*}(\chi_{\mathrm{v}}u)||_{\mu}^{2}+||\mathrm{S}_{\mu}(\chi_{\mathrm{v}}u)||_{\mu}^{2}$ $$ \leqq(1+\frac{1}{\mathrm{v}})(||\mathrm{T}_{\mu}^{*}u||_{\mu}^{2}+||\mathrm{S}_{\mu}u||_{\mu}^{2})+(1+\mathrm{v})(||d'\chi_{\mathrm{v}}\lrcorner u\Vert_{\mu}^{2}+||d''\chi_{\mathrm{v}}\wedge u||_{\mu}^{2}) $$ $$ \leqq(1+\frac{1}{\mathrm{v}})(||\mathrm{T}_{\mu}^{*}u||_{\mu}^{2}+\Vert \mathrm{S}_{\mu}u\Vert_{\mu}^{2}+\frac{1}{\mathrm{v}}\Vert u\Vert_{\mu}^{2}). $$ Pour tout $ u\in$ Dom $\mathrm{T}_{\mu}^{*}\cap$ Dom $\mathrm{S}_{\mu}$, on obtient finalement l'estimation : (5. 8) $|(\displaystyle \chi_{\mathrm{v}}g|\mathrm{u})_{\mu}|^{2}\leqq \mathrm{A}(||\mathrm{T}_{\mu}^{*}u||_{\mu}^{2}+||\mathrm{S}_{\mu}u||_{\mu}^{2}+q||\lambda_{\mu}^{1/2}\chi_{\mathrm{v}}u||_{\mu}^{2}+\frac{2}{\mathrm{v}}||u||_{\mu}^{2})$, avec : $$ \mathrm{A}=\mathrm{A}_{\mu,\mathrm{v}}=(1+\frac{1}{\mathrm{v}})\int_{\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi_{\mathrm{v}}}|g|_{\mu,\Theta}^{2}d\mathrm{V}. $$ Cette estimation v{\it a} nous permettre d{\it e} démontrer le théorème 5. 1 par {\it récurrence sur} $n-q$. $(a)$ Le cas $q=n$ est particulièrement simple; (5.8) s'écrit en effet dans ce cas : $$ |(\chi_{\mathrm{v}}g|lt)_{\mu}|^{2}\leqq \mathrm{A}(||\mathrm{T}_{\mu}^{*}u||_{\mu}^{2}+q||\lambda_{\mu}^{1/2}\chi_{\mathrm{v}}u||_{\mu}^{2}+\frac{2}{\mathrm{v}}||u||_{\mu}^{2}), $$ pour {\it t}out $ u\in$ Dom $\mathrm{T}_{\mu}^{*}$. D'après le théorème de H{\it ahn}-Banach appliqué pour chaque $\mu$ et chaque $\mathrm{v}$ fixés, il existe $f_{\mu},\ v_{\mu},\ w_{\mu}$ dans $\mathrm{L}_{n,n-1}^{2}(X;\mathrm{E})_{\mu}$ tels que: \begin{center} (5.9) $\displaystyle \int_{\mathrm{x}}(|f_{\mu}|_{\mu}^{2}+|.v_{\mu}|_{\mu}^{2}+|w_{\mu}|_{\mu}^{2})\mathrm{dV}\leqq \mathrm{A}$, \end{center} $et$: $$ (\chi_{\mathrm{v}}g|u)_{\mu}=(f_{\mu}|\mathrm{T}_{\mu}^{*}u)_{\mu}+(v_{\mu}|q^{1/2}\lambda_{\mu}^{1/2}\chi_{\mathrm{v}}u)_{\mu}+(w_{\mu}(\frac{2}{\mathrm{v}})^{1/2}u)_{\mu} $$ pour tout $ u\in$ Dom $\mathrm{T}_{\mu}^{*}$; ceci entraîne que: $$ \chi_{\mathrm{v}}g=\mathrm{D}''f_{\mu}+q^{1/2}\lambda_{\mu}^{1/2}\chi_{\mathrm{v}}v_{|1}+(\frac{2}{\mathrm{v}})^{1/2}w_{\mu}. $$ ANNALES SCIENTIFIQUES DE 1 $\acute{\mathrm{F}}$ COLE NORMALE SUPÉRIFURE 478 J.-P. DEMAILLY Faisons tendre $\mu$ vers $+\infty,\ \mathrm{v}$ {\it étant} fixé. O{\it n} peut extraire de $(f_{\mu})$ et $(w_{\mu})$ des sous-suites qui conve rgent faiblement vers d{\it e} $\mathrm{s}$ limite $f^{\mathrm{v}}$ et $w^{\mathrm{v}}$ dans $\mathrm{L}_{1\mathrm{o}\mathrm{c}}^{2}$. Comme $q^{1/2}\lambda_{\mu}^{1/2}\chi_{\mathrm{v}}v_{\mu}$ tend vers zéro dans $\mathrm{L}_{1\mathrm{o}\mathrm{c}}^{1}$ (pour la topologie forte) d'après (5.5), (5.6) et (5.9), on obtient : $$ \chi_{\mathrm{v}}g=\mathrm{D}''f^{\mathrm{v}}+(\frac{2}{\mathrm{v}})^{1/2}w^{\mathrm{v}}, $$ où : \begin{center} $\displaystyle \int_{\mathrm{x}}(|f^{\mathrm{v}}|^{2}+|w^{\mathrm{v}}|^{2})d\mathrm{V}\leqq\lim_{|\mathrm{J}^{\wedge}}\sup_{+}$ A. \end{center} (5.3) e{\it t} (5.7) montrent que $\Theta\geqq_{n-q+1}(1/q\mathrm{v})0)\otimes \mathrm{Id}_{\mathrm{E}}$; le $|\mathrm{emme}3.2(3.4)$ fournit donc $|g|_{\square ^{\iota\Theta}}^{2}\leqq \mathrm{v}|g|_{\mu}^{2}\leqq \mathrm{v}|g|^{2}$. Le théorème de convergence dominée implique d'après (5.4) : $$ \lim_{|1^{\rightarrow}}\sup_{\infty}\mathrm{A}\leqq(1+\frac{1}{\mathrm{v}})\int_{\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi_{\mathrm{v}}}|g|_{ic(\mathrm{E})+(1/q\mathrm{v})(0\otimes \mathrm{I}\mathrm{d}_{\mathrm{E}}}^{2}d\mathrm{V}\leqq(1+\frac{1}{\mathrm{v}})\int_{\mathrm{x}}|g|_{c(\mathrm{E})}^{2}d\mathrm{V}. $$ Un nouveau passage {\it à} l{\it a} limite $\mathrm{v}\rightarrow+\infty$ permet de conclure. $(b)$ On suppose maintenant que le théorème 5. 1 a été démontré pour toute $\mathrm{s}$ les forme $g$ de bidegré $(n, q+1)$ avec $1\leqq q\leqq n$ [on notera que $ic(\mathrm{E})\geqq_{n-q+1}0$ implique $ic(\mathrm{E})\geqq_{n-\mathrm{q}}0$]. Il existe donc une forme $g_{\mathrm{v}}\in \mathrm{L}_{n,\mathrm{q}}^{2} (X; \mathrm{E})$ {\it telle} que : $$ \mathrm{D}''g_{\mathrm{v}}=\mathrm{D}''(\mathrm{X}_{\mathrm{V}}g)=d''\chi_{\mathrm{v}}\wedge g, $$ {\it a}vec [{\it cf}. lemme 3.2 (3.5)] : $$ \int_{\mathrm{x}}|g_{\mathrm{v}}|^{2}d\mathrm{V}\leqq\frac{1}{\mathrm{v}^{2}}\int_{\mathrm{x}}|g|_{c(\mathrm{E})}^{2}e^{-\varphi}d\mathrm{V}<+\infty. $$ M{\it oralement}, $\chi_{\mathrm{v}}g$ est $\langle\langle$ proche $\rangle\rangle$ d{\it e} Ker $\mathrm{S}$, ce qui se traduit par le fait que l{\it a} norme $||g_{\mathrm{v}}\Vert$ est $\langle\langle$ petite $\rangle\rangle$. Toute forme $\mathrm{u}\in$ Dom $\mathrm{T}_{\mu}^{*}$ peut s'écrire $u=u_{1}+u_{2}$, avec $u_{1}\in \mathrm{K}e\mathrm{rS}_{\mu}$, $u_{2}\in(\mathrm{KerS}_{\mu})^{\perp}\subset(\mathrm{I}m\mathrm{T}_{\mu})^{\perp}=\mathrm{KerT}_{\mu}^{*}$. O{\it n} observe que $g_{\mathrm{v}}\in \mathrm{L}_{n,\mathrm{q}}^{2}(X;\mathrm{E})_{\mu}$ et que $\chi_{\mathrm{v}}g-g_{\mathrm{v}}\in \mathrm{KerS}_{\mu}$, d'où : $$ (\mathrm{X}_{\mathrm{v}}g-g_{\mathrm{v}}|u)_{|1}=(\chi_{\mathrm{v}}g-g_{\mathrm{v}}|u_{1})_{\mu}, $$ $$ (\chi_{\mathrm{v}}g|u)_{\mu}=(\chi_{\mathrm{v}}g|u_{1})_{\mu}+(g_{\mathrm{v}}|u_{2})_{\mu}, $$ $|(\displaystyle \chi_{\mathrm{v}}g|u)_{\mu}|^{2}\leqq(1+\frac{1}{\mathrm{v}})[|(\chi_{\mathrm{v}}g|u_{1})_{\mu}|^{2}+\mathrm{v}||g_{\mathrm{v}}||_{\mu}^{2}||u_{2}||_{|1}^{2}]$ $$ \leqq(1+\frac{1}{\mathrm{v}})[|(\chi_{\mathrm{v}}g|u_{1})_{\mu}|^{2}+\frac{1}{\mathrm{v}}||u\Vert_{\mu}^{2}\int_{\mathrm{X}}|g|_{c(\mathrm{E})}^{2}d\mathrm{V}]. $$ En combinant cette estimation avec l'inégalité (5.8) appliquée {\it à} $ u_{1}\in$ Dom $\mathrm{T}_{\mu}^{*}\cap \mathrm{KerS}_{\mu}$ on obtient : $$ |(\chi_{\mathrm{v}}g|u)_{\mu}|^{2}\leqq(1+\frac{1}{\mathrm{v}})\mathrm{A}(\Vert \mathrm{T}_{\mu}^{*}u\Vert_{\mu}^{2}+q\Vert\lambda_{\mu}^{1/2}\chi_{\mathrm{v}}u_{1}||_{\mu}^{2})+\frac{\mathrm{B}}{\mathrm{v}}||u||_{\mu}^{2}, $$ 4${}^{\text{e}}$ SÉRIE -- TOME l5 -- l982 -- $\mathrm{N}^{\mathrm{o}}3$ FIBRÉS HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 479 avec : $$ \mathrm{B}=(1+\frac{1}{\mathrm{v}})(2\mathrm{A}+\int_{\mathrm{x}}|g|_{(\mathrm{E})}^{2}d\mathrm{V}). $$ Notons $\mathrm{P}_{\mu}:\mathrm{L}_{n,\mathrm{q}}^{2} (X; \mathrm{E})_{\mu}\rightarrow \mathrm{KerS}_{\mu}$ la projection orthogonale sur $\mathrm{KerS}_{\mu}$. D'après le théorème de Hahn-Banach, il existe des formes $f_{\mu},\ v_{\mu},\ w_{\mu}$ dans $\mathrm{L}_{n,q}^{2}(X;\mathrm{E})_{\mu}$ telles que: (5. 10) $\left\{\begin{array}{l} ||f_{\mu}||_{|\mathrm{l}}^{2}+||.v_{\mu}||_{\mu}^{2}\leqq \mathrm{A},||w_{\mu}||_{\mu}^{2}\leqq\frac{\mathrm{B}}{\mathrm{v}}\\ (\chi_{\mathrm{v}}g|u)_{\mu}=(f_{\mu}|\mathrm{T}_{\mu}^{*}u)_{\mu}+(v|q^{1/2}\lambda_{\}\downarrow}^{1/2}\chi_{\mathrm{v}}\mathrm{P}_{\mu}u)_{[\mathrm{l}}+(w_{\}1}|u)_{\mu} \end{array}\right.$ pour tout $ u\in$ Dom $\mathrm{T}_{\mu}^{*}$, c'est-à-dire : $$ \chi_{\mathrm{v}}g=\mathrm{D}''f_{\mu}+q^{1/2}\mathrm{P}_{\mu}(\lambda_{\mu}^{1/2}\chi_{\mathrm{v}}v_{\mu})+w_{\mu}. $$ $(c)$ L{\it a} seule difficulté nouvelle {\it par} rapport {\it à} la partie $(a)$ du raisonnement est d{\it e} montrer que le terme $a_{\mu}=\mathrm{P}_{\mu}(\lambda_{\mu}^{1/2}\chi_{\mathrm{v}}v_{\mu})$ tend faiblement vers zéro dans $\mathrm{L}_{1\mathrm{o}\mathrm{c}}^{2}$ quand $\mu \rightarrow+\infty$. D'après (5.6), (5.10) e{\it t} l{\it a} définition de $\mathrm{P}_{\mu}$ o{\it n} voit que: (5. 11) $\displaystyle \int_{\mathrm{x}}|a_{\mu}|_{\mu}^{2}d\mathrm{V}\leqq\int_{\mathrm{x}}\lambda_{\mu}|\chi_{\mathrm{v}}v_{\mu}|_{\mu}^{2}d\mathrm{V}\leqq\sup(\lambda\chi_{\mathrm{v}}^{2}).||.v_{\mu}||_{\mu}^{2}\leqq \mathrm{C}_{\mathrm{v}}$, où $\mathrm{C}_{\mathrm{v}}$ est une constante. Notons $\mathrm{H}_{\mu}$ (resp. H) l'unique opérateur hermitien positif sur les fibres de $(\mathrm{E}, | |_{1})$ tel que pour tout $e\in \mathrm{E}$ on ait : $$ |e|_{\mu}=|\mathrm{H}_{\mu}e|_{1}\ (\mathrm{res}p. |e|=|\mathrm{H}e|_{1}). $$ On $a$ donc pour tout $\mu$ : $\mathrm{Id}_{\mathrm{E}}\leqq \mathrm{H}_{\mu}\leqq \mathrm{H}_{\mu+1}$, e{\it t} $\mathrm{H}_{\mu}$ {\it t}end vers $\mathrm{H}$ presque partout sur $X$. Comme l{\it a} boule uni {\it t}é d{\it e} $\mathrm{L}_{n.q}^{2}(\mathrm{X};\mathrm{E})_{1}$ est compacte e{\it t} métrisable pour l{\it a} topologie faible, il suffit de vérifier que l{\it a} limi {\it t}e f{\it aible} de toute suite extrai {\it t}e d{\it e} l{\it a} suite $\mathrm{H}_{\mu}a_{\mu}$ est nulle. Si la sous- suite $b_{\mu}=\mathrm{H}_{\mu}a_{\mu}$ {\it tend} faiblement vers é$\in$L2, $\mathrm{q}(X;\mathrm{E})_{1}$, alors pour toute forme $u\in \mathrm{L}_{n,\mathrm{q}}^{2}(X;\mathrm{E})_{1}$ {\it à} support compact, il vient: $$ \lim_{\mu\rightarrow+\infty}\int_{\mathrm{x}}(a_{\mu}|u)_{1}d\mathrm{V}=\lim_{\mu\rightarrow+\infty}\int_{\mathrm{X}}(b_{\mu}|\mathrm{H}_{\mu}^{-1}u)_{1}d\mathrm{V}=\int_{\mathrm{x}}(b|\mathrm{H}^{-1}u)_{1}d\mathrm{V}, $$ car d'après l'inégalité d{\it e} Cauchy-Schwarz : $$ |\int_{\mathrm{x}}(b_{\mu}|(\mathrm{H}^{-1}-\mathrm{H}_{\mu}^{-1})u)_{1}d\mathrm{V}|\leqq||b_{\mu}||_{1}\Vert(\mathrm{H}^{-1}-\mathrm{H}_{\mu}^{-1})u||_{1} $$ où $\Vert b_{\mu}\Vert_{1}^{2}=\Vert a_{\mu}||_{\mu}^{2}\leqq \mathrm{C}_{\mathrm{v}}$ [{\it cf}. (5. 11)], et où $\Vert(\mathrm{H}^{-1}-\mathrm{H}_{\mu}^{-1})u\Vert_{1}\rightarrow 0$ par convergence dominée. L{\it a} suite $a_{|1}$ corre spondan t{\it e} converge donc faiblement dans $\mathrm{L}_{1\mathrm{o}\mathrm{c}}^{2}$ vers $a=\mathrm{H}^{-1}b\in \mathrm{L}_{n,\mathrm{q}}^{2} (X; \mathrm{E})$. ANNALES SCIENTIFIQUES DE $\mathrm{L}'\acute{\mathrm{E}}$ COLE NORMALE SUPÉRIEURE 480 J.-P. DEMAILLY Puisque $\mathrm{D}''a_{\mu}=0$, on $a$ aussi $\mathrm{D}''a=0$. Il s'ensuit que: $\displaystyle \int_{\mathrm{X}}|a|^{2}d\mathrm{V}=\int_{\mathrm{x}}|b|_{1}^{2}d\mathrm{V}=1^{\backslash }1\mathrm{m}\mu\rightarrow+\infty|\int_{\mathrm{x}}(\mathrm{H}a|\mathrm{H}_{\mu}a_{\mu})_{1}d\mathrm{V}=\lim_{\mu\rightarrow+\infty}\int_{\mathrm{x}}(\mathrm{H}_{\mu}a|\mathrm{H}_{\mu}a_{\mu})_{1}d\mathrm{V}$, car d'après l'inégalité d{\it e} Cauchy-Schwarz : $$ |\int_{\mathrm{x}}((\mathrm{H}-\mathrm{H}_{\mu})a|\mathrm{H}_{\mu}a_{\mu})_{1}d\mathrm{V}|\leqq||(\mathrm{H}-\mathrm{H}_{\mu})a||_{1}.\Vert a_{|1}\Vert_{\mu}, $$ où $||(\mathrm{H}-\mathrm{H}_{\mu})a\Vert_{1}\rightarrow 0$ {\it par} convergence dominée. On obtient donc: $$ \int_{\mathrm{x}}|a|^{2}d\mathrm{V}=\lim_{\mu\rightarrow+\infty}\int_{\mathrm{x}}(a|a_{\mu})_{\mu}d\mathrm{V}. $$ On remarque que $(a|a_{\mu})_{\}1}=(a|\lambda_{\mu}^{1/2}\chi_{\mathrm{v}}v_{\mu})_{\mu}$, puisque $a\in \mathrm{K}e\mathrm{rS}_{|1}$ e{\it t} $a_{\mu}=\mathrm{P}_{\mu}(\lambda_{\mu}^{1/2}\chi_{\mathrm{v}}v_{\mu})$. D{\it e} plus : $$ |\int_{\mathrm{x}}(a|\lambda_{\mu}^{1/2}\chi_{\mathrm{v}}v_{\mu})_{\mu}d\mathrm{V}|\leqq||v_{\mu}||_{\mu}||\lambda_{\mu}^{1/2}\chi_{\mathrm{v}}a||_{\mu}\leqq||v_{\mu}||_{\mu}||\lambda_{\mu}^{1/2}\chi_{\mathrm{v}}a||; $$ $\chi_{\mathrm{v}}$ {\it est à} support compact, e{\it t} d'après les hypothèses (5. 5), (5. 6) $\lambda_{\mu}$ tend vers $0$ presque partout sur $X$, avec $ 0\leqq\lambda_{\mu}\leqq\lambda$. Grâce {\it a}u théorème de convergence dominée, o{\it n} voit que $||\lambda_{\mu}^{1/2}\chi_{\mathrm{v}}a||\rightarrow 0$. On $a$ donc $\displaystyle \int_{\mathrm{x}}|a|^{2}d\mathrm{V}=0$, d{\it e} sorte que $a=0$ presque partout sur {\it X}. $\square $ 6. Théorème de relèvement des sections globales d'un fibre semi-positif par un morphisme surjectif. Théorème d'extension Le théorème 5. 1 v{\it a} nous permettre d{\it e} retrouver directement les résultats de H. Skoda [25] sous des hypothèses un {\it peu} plus générales. Soit $g$ : $\mathrm{E}\rightarrow \mathrm{Q}$ un morphisme de fibres vectoriels holomorphes hermitiens d{\it e} cl {\it a}sse $\mathrm{C}^{2}$ au-dessus d'une variété kâhlérienne $(X, 0))$ de dimension $n$. On suppose que l{\it e} morphisme $g$ est surjectif en dehors d'un ensemble analytique $\mathrm{Z}$ r{\it are} dans $X$. O{\it n} cherche des conditions géométriques simples portant sur les courbures des $\mathrm{f}_{1}\mathrm{br}$ és $\mathrm{E},\ \mathrm{Q}$ pour obtenir u{\it n} théorème de relèvement des sections globales de Q. Pour pouvoir donner un énoncé intrinsèque, nous serons amenés {\it à} introduire l{\it a} définition suivante. Définition 6.1. - {\it Soient} $\gamma$ {\it et} $\gamma'$ {\it des} (1, {\it l})-{\it formes réelles semi-positives sur Vespace} {\it tangent} $\mathrm{T}_{z}$ X. {\it On note} $[\gamma' : \gamma]$ {\it le plus petit réel} $\lambda\geqq 0$ {\it tel que} $\lambda\gamma-\gamma'\geqq 0$ {\it si ce réel existe}, $et$ $[\gamma' : \gamma]=+\infty$ {\it sinon}. Lorsque $\gamma$ est défnie positive, $[\gamma': \gamma]$ est l{\it a} plus g{\it rande} des valeurs {\it p}ropre $\mathrm{s}$ de l{\it a} forme $\gamma'$, calculées dans une {\it base} y-orthonormée. En particulier on voit que $[\gamma' : \gamma]\leqq$ Tr $\gamma\gamma'$, où Tr $\gamma\gamma'$ 4${}^{\text{e}}$ SÉRIE -- TOME l5 -- l982 -- N${}^{\text{o}}$ 3 FIBRÉS HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 481 est l{\it a} trace de $\gamma'$ {\it dans} une base y-orthonormée. On $a$ alors le résultat suivant dans lequel $g^{*}:\mathrm{Q}\rightarrow \mathrm{E}$ désigne $1' a\mathrm{djoint}$ d{\it e} $g,\ g\tilde{g}^{*}1' \mathrm{endomor}p\mathrm{hisme}$ cotransposé de $gg^{*}$, $ic'$ (dét $\mathrm{Q}$) $=ic$ (dét $\mathrm{Q}$) $+id'd''{\rm Log}$ (dét $gg^{*}$) $\geqq 0$ la {\it forme} de courbure du {\it fibre} dét $\mathrm{Q}$ lorsque $\mathrm{Q}$ est muni de l{\it a} métrique quotient [{\it cf}. ligne (6. 13)$]$. ThéOrème 6.2. --{\it Soient} $r$ {\it le rang de} $\mathrm{E},\ k$ {\it le rang de} $\mathrm{Q},\ q$ u{\it n} entier tel {\it que} $0\leqq q\leqq n$ {\it et} $s=\displaystyle \inf^{\backslash }(n-q, r-k)$. {\it Si} $s\geqq 1$, {\it on suppose que lefbre}' $\mathrm{E}$ {\it est s}-semi-positif {\it et que la variété} $X$ {\it est} kàhlérienne complète. {\it Si le morphisme} $g$ {\it n}'{\it est pas surjectif on suppose de plus} $X$ faiblement pseudoconvexe. {\it On se donne sur} $X$ {\it une fonction} $\varphi$ {\it localement plurisousharmonique} {\it modulo} $\varphi^{2}(X)$, {\it une} (1, {\it l})-{\it forme réelle} $\gamma\geqq 0$ {\it à coefficien} $ts\mathrm{L}_{1\mathrm{o}\mathrm{c}}^{1}$, {\it unfibré linéaire} $\mathrm{M}$ {\it tels que} ({\it au} {\it sens des couran} $ts$) : (6. 1) $ic(\mathrm{M})+id'd''\varphi-sic$ (dét $\mathrm{Q}$) $\geqq\gamma$. {\it Alors pour toute} $(n, q)forme$ {\it D}''-{\it fermée} $f$ {\it àvaleurs dans} $\mathrm{Q}\otimes \mathrm{M}$, {\it telle que l}'{\it in tégrale}: $\displaystyle \mathrm{A}=\int_{\mathrm{x}\backslash \mathrm{z}} (1+s[ic' (\mathrm{d}\text{é} \mathrm{t} \mathrm{Q}) : \gamma]) (\tilde{gg}^{*}f|f) (${\it dét} $gg^{*})^{-s}e^{-\varphi}dV$ {\it soitfinie, il exis} $te$ {\it une} $(n, q)$ {\it forme} $\mathrm{D}''$-{\it fermée} $h$ {\it à valeurs dans} $\mathrm{E}\otimes \mathrm{M}$, {\it telle} $quef=g.h$, {\it vérifian} $t$ {\it la maiora tion} : $\displaystyle \int_{\mathrm{x}\backslash \mathrm{z}}|h|^{2} ($dét $ gg^{*})^{-s}e^{-\varphi}d\mathrm{V}\leqq$ A. {\it Remarque} 6.3. --Le théorème 6.2 {\it est} vrai sous l'hypothèse de positivité suivante, plus générale mais moins manipul able : \begin{center} (6.2) $ic(\mathrm{E})+(ic(\mathrm{M})+id'd''\varphi-isc$ ({\it dét} $\mathrm{Q})-\gamma)\otimes \mathrm{Id}_{\mathrm{E}}\geqq_{s}0$. \end{center} {\it Remarque} 6.4. --Si $\mathrm{Q}$ {\it est} de rang 1, on $a$ simplement $\tilde{gg}^{*}=\mathrm{Id}_{\mathrm{Q}}$ e{\it t} dét $gg^{*}=|g|^{2}$ est le rapport de l'homothétie défmie {\it par} $gg^{*}$. {\it Remarque} 6. 5. --Comme dans l{\it a} remarque 4. 5, on vérifie que : $$ |h|^{2}d\mathrm{V}=i^{n^{2}}h\wedge\overline{h}, $$ $$ (\tilde{gg}^{*}f|f)d\mathrm{V}=i^{n^{2}}\tilde{gg}^{*}f\wedge\overline{f} $$ $$ \backslash \mathrm{L} $$ pour toute $(n, 0)$ forme $h$ (r{\it esp}. $f$) à valeurs dan $\mathrm{sE}$ (r{\it e} sp. Q). Lorsque $q=0$, les estimations du théorème 6.2 ne dépendent donc {\it pas} de l{\it a} métrique kàhlérienne $\mathfrak{c}0$, mais seulement d{\it e} $\mathrm{s}$ métriques hermitiennes sur $\mathrm{E}$ {\it et} Q. {\it Démonstration}. --Nous renvoyons {\it à} H. Skoda [25] pour un $e$ x{\it p} osé détaillé d{\it e} $\mathrm{s}$ idées e{\it t} des calculs qui vont suivre. ANNALES SCIENTIFIQUES DE L ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 482 J.-P. DEMAILLY On suppose d'abord que $g:\mathrm{E}\rightarrow \mathrm{Q}$ est {\it surjectif}, et on considère l{\it a} suite exacte de fibres holomorphes {\it a}u-dessus de $X$: (6. 3) $0\rightarrow \mathrm{N}\rightarrow \mathrm{E}\rightarrow g\mathrm{Q}\rightarrow 0$, où $\mathrm{N}$ est le fibre noyau de $g$. Les fibres $\mathrm{N},\ \mathrm{Q}$ seront provisoirement munis des métriques i{\it n} duites {\it par} celle d{\it e} E. L{\it a} connexion hermitienne canonique $\mathrm{D}_{\mathrm{E}}$ d{\it e} $\mathrm{E}$ se décompose suivant le scindage orthogonal $\mathrm{E}=\mathrm{N}\oplus \mathrm{Q}$ d{\it e} la manière suivante : $$ \mathrm{D}_{\mathrm{E}}=\left(\begin{array}{ll} \mathrm{D}_{\mathrm{N}} & -\beta^{*}\\ \beta & \mathrm{D}_{\mathrm{Q}} \end{array}\right), $$ où $\mathrm{D}_{\mathrm{N}}$ et $D_{\mathrm{Q}}$ sont les connexions hermitiennes sur $\mathrm{N}$ et $\mathrm{Q}$, où $\beta\in \mathcal{C}_{1,0}^{\infty}(X, \mathrm{Hom}(\mathrm{N}, \mathrm{Q}))$, et où $\beta^{*}\in \mathcal{C}_{0,1}^{\infty}(X, \mathrm{Hom}(\mathrm{Q}, \mathrm{N}))$ est l'adjoint de $\beta$. Il est classique que l{\it a} forme {\it D}''-fermée $-\beta^{*}$ représente l'obstruction {\it a}u scindage holomorphe de l{\it a} suite exacte (6.3). Considérons l{\it a} sui {\it t}e exacte (6.3) tensorisée {\it par} $\mathrm{M}$ : \begin{center} (6.4) $0\rightarrow \mathrm{N}\otimes \mathrm{M}\rightarrow \mathrm{E}\otimes \mathrm{M}\rightarrow g\mathrm{Q}\otimes \mathrm{M}\rightarrow 0$. \end{center} $\backslash $ Le théorème 6.2 est trivial si $s=0$. Si $s\geqq 1$, on cherche un relèvement $h$ de l{\it a} section $f\in \mathrm{L}_{n,q}^{2} (X; \mathrm{Q}\otimes \mathrm{M};\varphi)$ en écrivant: $$ h=f+u $$ où $u$ est une $(n, q)$ forme {\it à} val eurs dans le $\mathrm{f}_{1}\mathrm{br}\acute{e}$ noyau $\mathrm{N}\otimes$ M. $h$ sera une forme $\mathrm{D}''$-fermée si et seulement si : (6. 5) $D_{\mathrm{N}}''u=-\mathrm{D}_{\mathrm{E}}''f=\beta^{*}f$ On est donc ramené {\it à} résoudre u{\it n} $\mathrm{D}''$ {\it à} valeurs {\it dan} $\mathrm{sN}\otimes$ M. L{\it a} résolution {\it est} possible grâce {\it a}u théorème 5.1 et grâce {\it a}u f{\it ait} que l{\it a} forme de courbure $c(\mathrm{N})$ du fib re' noyau s'exp rime {\it à} $1' a\mathrm{id}e$ de $\beta^{*}$. Un calcul classique montre que : $$ c(\mathrm{E})=D_{\mathrm{E}}^{2}=\left(\begin{array}{ll} \mathrm{D}_{\mathrm{N}}^{2}-\beta^{*}\wedge\beta & -D\beta^{*}\\ \mathrm{D}\beta & D_{\mathrm{Q}}^{2}-\beta\wedge\beta^{*} \end{array}\right). $$ O{\it n} en déduit les courbures de $\mathrm{N}$ et $\mathrm{Q}$ : \begin{center} (6.6) $ c(\mathrm{N})=c(\mathrm{E})_{|\mathrm{N}}+\beta^{*}\wedge\beta$, (6.7) $c(\mathrm{Q})=c(\mathrm{E})_{1\mathrm{Q}}+\beta\wedge\beta^{*}$. \end{center} L'idée du lemme 6. 6 ci-dessous est déjà essentiellement c{\it ontenue} dans [22]. L{\it e} corollaire 2. 4 nous permettra d'obtenir un énoncé plus général e{\it t} une démonstration plus courte. $4^{\iota}$ SÉRIE -- TOME l5 -- 1982 -- N${}^{\text{o}}$ 3 FIBRÉS HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 483 LEMME 6.6. --{\it On a les inégalités de semi-positivité} : (6. 8) $i\beta\wedge\beta^{*}\geqq_{1}0,\ i\beta^{*}\wedge\beta\leqq_{1}0$; \begin{center} (6.9) $-i\beta^{*}\wedge\beta\leqq_{s}s\mathrm{Tr}_{\mathrm{Q}}(i\beta\wedge\beta^{*})\otimes \mathrm{Id}_{\mathrm{N}}$; \end{center} {\it et sous Vhypo} $th_{i}$ {\it se} $\mathrm{E}\geqq_{s}0$ : (6. 10) $ic$ (dét $\mathrm{Q}$) $\geqq \mathrm{Tr}_{\mathrm{Q}}(i\beta\wedge\beta^{*})$; (6. 11) $ic(\mathrm{N})\geqq_{s}ic(\mathrm{E})_{|\mathrm{N}}-sic$ (dét $\mathrm{Q}$) $\otimes$ Id $\ltimes \geqq_{s}-sic$ ({\it dét} $\mathrm{Q}$) $\otimes \mathrm{Id}_{\mathrm{N}}$. {\it Démonstration}. --Pour obtenir (6. 8), il suffit d'observer que quels que soient les éléments $ t\in$ TX, $e\in \mathrm{Q}$ (resp. $e\in \mathrm{N}$) on $a$ : $$ (i\beta\wedge\beta^{*} (t, it). e|e)=(\beta(t)\beta(t)^{*}.e|e)=|\beta(t)^{*}.e|^{2} $$ $[\mathrm{res}p. (i\beta^{*}\wedge\beta (t, it). e|e)=(-\beta(t)^{*}\beta(t).e|e)=-|\beta(t).e|^{2}]$. (6.9) résulte de (6.8) e{\it t} de l'égalité $\mathrm{Tr}_{\mathrm{N}}(-i\beta^{*}\wedge\beta)=\mathrm{Tr}_{\mathrm{Q}}(i\beta\wedge\beta^{*})$, e{\it n} appliquant le corollaire 2.4 {\it à} $|a$ forme $\Theta =-i\beta^{*}\wedge\beta$. Lorsque $\mathrm{E}\geqq_{s}0$, o{\it n} $a$ en particulier $\mathrm{E}\geqq 10$, et (6.7) implique: $ic$ (dét $\mathrm{Q}$) $=\mathrm{Tr}_{\mathrm{Q}}(ic(\mathrm{E})_{1\mathrm{Q}})+\mathrm{Tr}_{\mathrm{Q}}(i\beta\wedge\beta^{*})\geqq \mathrm{Tr}_{\mathrm{Q}}(i\beta\wedge\beta^{*})$, d'où (6. 10). Enfin (6.11) est conséquence immédiate de (6.6), (6.9) et (6. 10). $\square $ Nous admettrons d'autre part le résultat élémentaire suivant : LEMME {\it 6.1} ({\it cf}. H. Skoda [25], lemmes (3.2) e{\it t} (3.4)). --{\it Pour toute} $(n, q+1)forme v$ {\it à} {\it valeurs dans} $\mathrm{M}\otimes \mathrm{N}$, {\it on} $a$: $$ (i\beta^{*}\wedge\beta\Lambda v|v)=-|\beta\lrcorner v|^{2}. $$ Conformément aux notations introduites au début du paragraphe 5, {\it p}osons : $$ c(\mathrm{N}\otimes \mathrm{M}, \varphi)=c(\mathrm{N}\otimes \mathrm{M})+(d'd''\varphi)_{c}. $$ LEMME 6. 8. --{\it Sous les hypo thèses de semi-positivité} (6. 1) {\it ou} (6.2) {\it la} $(n, q+1)forme \beta^{*}f$ {\it vérifie la majora tion} : $|\beta^{*}f|_{c(\mathrm{N}\otimes \mathrm{M},\varphi)}^{2}\leqq s$ [ $ic$ (dét Q) : $\gamma$] $|f|^{2}$. {\it Démons tration}. --Pour toute $(n, q+1)$ forme $v$ à valeurs dans les fibres de $\mathrm{N}\otimes \mathrm{M}$, on $a$ : $$ |\ (\beta^{*}f.| v)|^{2}=|(.f\cdot| \beta\lrcorner v)\ |^{2}\leqq|.f\cdot|^{2}|\beta\lrcorner_{\mathrm{t})}|^{2}. $$ L{\it e} $\mathrm{s}$ hyp othè {\it ses} (6. 1) ou (6.2) e{\it t} les lemme $\mathrm{s}2.5$, 6.6 (6. 11) impliquent : $$ ic(\mathrm{N}\otimes \mathrm{M}, \varphi)\geqq_{s}\gamma\otimes \mathrm{Id}_{\mathrm{N}\otimes \mathrm{M}}. $$ ANNALES SCIENTIFIQUES DE L ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 484 J.-P. DEMAILLY D'{\it aut} re part le lemme 6.6 (6.9), (6. 10) e{\it t} l{\it a} définition 6. 1 montrent que : $-i\beta^{*}\wedge\beta\leqq_{s}sic$ (dét $\mathrm{Q}$) $\otimes \mathrm{Id}_{\mathrm{N}}\leqq_{s}s$ [ $ic$ (dét Q) : $\gamma$] $\gamma\otimes \mathrm{I}d_{\mathrm{N}}$. Puisque $\mathrm{s}=$ irf $(n-q, r-k)$ e{\it t} que $\mathrm{N}\otimes \mathrm{M}$ est de rang $r-k$, o{\it n} e{\it n} conclut : $(-i\beta^{*}\wedge\beta)\otimes \mathrm{Id}_{\mathrm{M}}\leqq_{n-q}s$ [ $ic$ (dét Q) : $\gamma$] $ic(\mathrm{N}\otimes \mathrm{M}, \varphi)$. En combinant les lemmes 6.7 et 2. 1 o{\it n} voit que : $|\beta\lrcorner v|^{2}=(-i\beta^{*}\wedge\beta\Lambda v|v)\leqq s$ [ $ic$ (dét Q) : $\gamma$] $(ic(\mathrm{N}\otimes \mathrm{M}, \varphi)\Lambda v|v)$. Le lemme 6. 8 résulte par définition de l'inégalité : $|(\beta^{*}f|v)|^{2}\leqq s$ [ $ic$ ({\it dét} Q) : $\gamma$] $(ic(\mathrm{N}\otimes \mathrm{M}, \varphi)\Lambda v|v)|f|^{2}.\ \square $ Revenons {\it maintenant à} l{\it a} démonstration du théorème principal6.2. Grâce {\it a}u théorème 5. 1, l'équation (6.5) admet {\it une} solution $u\in \mathrm{L}_{n,q}^{2}(X;\mathrm{N}\otimes \mathrm{M};\varphi)$ telle que : $\displaystyle \int_{\mathrm{x}}|u|^{2}e^{-\varphi}d\mathrm{V}\leqq\int_{\mathrm{x}}s$ [ $ic$ ({\it dét} Q) : $\gamma$] $|f|^{2}e^{-\varphi}d\mathrm{V}$, pourvu que le second membre soit fini. Puisque $h$ est somme orthogonale {\it d}e $f$ et $u$, o{\it n} a bien $f=g.h$ {\it et} : ({\it 6}. 12) $\displaystyle \int_{\mathrm{x}}|h|^{2}e^{-\varphi}d\mathrm{V}\leqq\int_{\mathrm{x}}(1+s[ic \{\mathrm{d}\text{{\it é}} t \mathrm{Q}) : \gamma])|f|^{2}e^{-\varphi}d\mathrm{V}$. Pour pouvoir traiter le cas où le morphisme $g$ dégénère, nous allons m{\it aintenant} démontrer des estimations faisant intervenir la métrique donnée {\it a priori} sur $\mathrm{Q}$, plutôt que l{\it a} métrique quotient. On raisonne comme d{\it ans} [25]. L{\it e} morphisme $g^{*}(gg^{*})^{-1}:\mathrm{Q}\rightarrow \mathrm{E}$ réalise le scindage orthogonal de l{\it a} suite exacte (6.3). L{\it a} métrique quotient $| |'$ sur $\mathrm{Q}$ s'exprime donc $en$ fonction d{\it e} l{\it a} métrique initiale $| |$ par : $$ |f|^{\prime 2}=|g^{*}(gg^{*})^{-1}f|^{2}=((gg^{*})^{-1}f|f)=\frac{(g\tilde{g}^{*},f1f)}{de\mathrm{t}(gg^{*})}, $$ où $\tilde{g}g^{*}$ est l'endomorphisme cotransposé d{\it e} $gg^{*}$. Les métrique $\mathrm{s}$ correspondantes sur dét $\mathrm{Q}$ sont reliées par: $|v|^{\prime 2}=\displaystyle \frac{|v|^{2}}{\mathrm{d}et(gg^{*})}$, {\it v}$\in$dét $\mathrm{Q}$; si $c'$ (dét Q) désigne l{\it a} forme d{\it e} courbure de dét $\mathrm{Q}$ relativement {\it à} l{\it a} métrique quotient, on a donc : (6. 13) $c'$ (dét $\mathrm{Q}$) $=c$ (dét $\mathrm{Q}$) $+d'd''{\rm Log}$ dét $(gg^{*})$. 4${}^{\text{e}}$ SÉRIE -- TOME l5 -- 1982 -- N${}^{\text{o}}$ 3 FIBRÉS HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 485 La condition (6.1) impo {\it sée à} l{\it a} métrique {\it d}e $\mathrm{M}$ devient {\it donc}: (6. 14) $ic(\mathrm{M})+id'd''\varphi-sic (${\it dé} $\mathrm{tQ})-sid'd''{\rm Log}$ {\it dét} $(gg^{*})\geqq\gamma$. En remplaçant $\varphi$ par $\varphi+s{\rm Log}$ dét $(gg^{*})$, (6. 14) se réduit {\it à} l{\it a} condition (6. 1), {\it t}andis que $1' es\mathrm{tim}at\mathrm{io}n(6.12)$ devient : $\displaystyle \int_{\mathrm{x}}|h|^{2} (d\displaystyle \text{{\it é}} \mathrm{t}gg^{*})^{-s}e^{-\varphi}d\mathrm{V}\leqq\int_{\mathrm{x}}(1+s[ic'(\mathrm{d}\acute{\mathrm{e}}\overline{t}\mathrm{Q}) : \gamma])|f|^{\prime 2} ($dét $gg^{*})^{-s}e^{-\varphi}dV$ $=\displaystyle \int_{\mathrm{x}} (1+s[ic' (d\text{{\it é}} t \mathrm{Q}) : \gamma])(\overline{gg}^{*}f|f) (${\it dég} $gg^{*})^{-s-1}e^{-\varphi}d\mathrm{V}$. O{\it n} suppose mainten {\it an} $\mathrm{t}$ que l'ensemble $\mathrm{Z}$ {\it de} $\mathrm{s}$ points $z\in X$ {\it en} lesquels $g$ est {\it non} surjectif {\it n}'est {\it pas} vide. Soit $\varphi$ une fonction d'exhaustion p.s. $\mathrm{h}$. sur X et pour tout $c$, X $(c)=\{z\in X;\varphi(z)0$, {\it unefonction} $\varphi$ {\it localement plurisousharmonique module} $\mathcal{C}^{2}(X)$, {\it un fbre}' {\it linéaire} $\mathrm{M}$ {\it sur} $X$ {\it tels que}: $ic(\mathrm{M})+id'd''\varphi-(s+\epsilon)$ {\it ic}(dét $\mathrm{Q}$) $\geqq 0$. {\it Alors pour toute} $(n, q)$-{\it forme} D''-{\it fermée} $f$ {\it àvaleurs dans} $\mathrm{Q}\otimes \mathrm{M}$, {\it telle que l}'{\it in tégrale}: $\displaystyle \mathrm{A}=\int_{\mathrm{x}\backslash \mathrm{z}}(\tilde{gg}^{*}g|f) (${\it dét} $gg^{*})^{-s-1-\epsilon}e^{-\varphi}d\mathrm{V}$ {\it soit finie, il existe une} $(n, q)$-{\it forme} $\mathrm{D}''$ {\it fermée} $h$ {\it àvaleurs dans} $\mathrm{E}\otimes \mathrm{M}$, {\it telle que} $f=g.h$, {\it vérifian} $t l$ {\it es tima tion} : $\displaystyle \int_{\mathrm{x}\backslash \mathrm{z}}|h|^{2} (${\it dét} $gg^{*})^{-s-\epsilon}e^{-\varphi}d\displaystyle \mathrm{V}\leqq(1+\frac{s}{\epsilon})$ A. Chronologiquement, l{\it e} théorème 6.2 e{\it t} le corollaire 6. 11 ont trouvé leur origine dans 1'étude des idéaux des algèbres {\it d}e fonctions holomorphes avec poids. Les articles initiaux de L. Hôrmander [15] et {\it d}e J. J. Kelleher-B. A. Taylor [17] utilisaient le double complexe de 4${}^{\text{e}}$ SÉRIE -- TOME 15 -- 1982 -- N${}^{\text{o}}$ 3 $\mathrm{FIBR}\acute{\mathrm{F}}\mathrm{S}$ HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 487 Koszul. H. Skoda [22], [23] $a$ montré ensuite comment on pouvait obtenir des résultats optimaux e{\it n adaptant} convenablement l{\it a} méthode {\it d}'{\it analyse} fonctionnelle {\it d}e L. Hôrmander. Les théorèmes énoncés alors correspondaient {\it a}u cas très particulier o{\it ù} $\mathrm{E},\ \mathrm{Q}$ s{\it ont} des fibres triviaux {\it au}-dessus {\it d}'u{\it n} $0$ uvert pseudocon vexe {\it d}e $\mathbb{C}^{n}$ (et $au$ cas $q=0$ des {\it n}- formes holomorphes, i.e. des fonctions holomorphes). J. Briançon {\it e}t H. Skoda [3], [4] ont {\it d}éduit d{\it e} ces résultats certaines propriétés fines {\it d}'algèbre locale, {\it p}rouvant ainsi que les théorèmes en question sont déjà localemem non triviaux. Enfin, H. Skoda [24], [25] et [26] $a$ étudié les morphisme $\mathrm{s}$ surjectifs {\it d}e $\mathrm{f}_{1}\mathrm{br}$ és semi-positifs {\it d}ans une situation générale qui a été essentiellement reproduite ici. K. Diederich et P. Pflug [8] ont récemment démontré le corollaire 6. 11 {\it dans} le cas particulier où $g$ est $un$ morphisme surjectif {\it d}e fibrés triviaux {\it au}-dessus $d' u\mathrm{n}$ domaine kâhlérien complet Qc $\mathbb{C}^{n}$. Ce résultat est $un$ outil très utile pour {\it étudier} l{\it a} structure {\it d}e tels domaines ({\it cf}. [8], [10]). COROLLAIRE 6.12. --{\it Soit} $\Omega$ {\it un ouvert kâhlérien complet de} $\mathbb{C}^{n}$ {\it tel} $ que ^{\frac{\mathrm{o}}{\Omega}}=\Omega$. {\it Alors} $\Omega$ {\it est un} {\it ouvert diholomorphie}. On notera {\it que} le corollaire 6. 12 est faux si o{\it n} retire $ 1' \mathrm{hy}p\mathrm{oth}\grave{\mathrm{e}}\mathrm{s}e ^{\frac{\mathrm{o}}{\Omega}}=\Omega$, comme le montre l{\it a} proposition 1.6. {\it Démonstration}. -- Soit $a= (a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n})\not\in\overline{\Omega}$. O{\it n} considère le morphisme surjectif $g$ : $\Omega\times \mathbb{C}^{n}\rightarrow\Omega\times \mathbb{C}$ d{\it e} $\mathrm{f}_{\mathrm{i}}b\mathrm{r}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{s}$ triviaux défini par $g_{z}(\displaystyle \zeta)=\sum_{j=1}^{n}(z_{j}-a_{j})\zeta_{j},\ (z, \zeta)\in\Omega\times \mathbb{C}^{n}$. Le corollaire 6.11, avec $\varphi(z)=(n+1){\rm Log}(1+|\mathrm{z}|^{2})$, implique l'existence {\it d}e fonctions holomorphes $h_{1},\ h_{2},\ \ldots,\ h_{n}$ sur $\Omega$ telles que : $$ \sum_{j=1}^{n}(z_{j}-a_{j})h_{j}(z)=1. $$ L'une des fonctions $h_{j}$ ne se prolonge donc {\it à aucun} voisinage {\it d}u point $a$. L'hyp othèse $=\Omega$ équivaut {\it à} dire que les frontières des ensembles $\Omega e\mathrm{t}\overline{\Omega}$ coïncident. Il e{\it n} résulte {\it par} définition {\it que} $\Omega$ est u{\it n} ouvert d'holomorphie. $\square $ On considère mainten a{\it n} $\mathrm{t}$ l{\it e} problème d{\it e} l'extension des fonctions holomorphes définies sur {\it une} sous-variété fermée. Comme {\it d}ans notre article $p$ récédent [5], {\it n}ous envisageons aussi le prolongement {\it de} sections {\it à} valeurs {\it dans} un fibre holomorphe (avec hypothèse {\it d}e semi- positivité), généralisant ainsi les résultats de B. Jennane [16]. Le point $de$ vue adop té {\it a} permis {\it d}'obtenir {\it un} énoncé plus géométrique et {\it p}lus précis. Le lecteur trouvera {\it des} résultats connexes, avec application {\it à} l'analyse harmonique, dans l'article {\it d}e C. A. Berenstein et B. A. Taylor [1]. Soit $\mathrm{Y}$ une sous-variété fermée $de$ X. On suppose que $\mathrm{Y}$ est le lieu des zéros {\it d}'{\it une} section a {\it d}'{\it un} fibre hermitien $\mathrm{S}$ {\it d}e r{\it ang} $s$ et {\it d}e classe $\mathrm{C}^{2}$ {\it au}-dessus {\it d}e $X$. Soit {\it d}'autre {\it p}art $\mathrm{E}$ u{\it n} fibre hermitien {\it d}e classe $\mathrm{C}^{2}$ e{\it t} $f$ une section holomorphe {\it d}e $\mathrm{E}$ {\it au}- dessus {\it d}e Y. Alors, si l'extension est possible sur $un$ voisina g{\it e} conven able {\it de} $\mathrm{Y}$ et si $\mathrm{E}$ vérifie ANNALES SCIENTIFIQUES DE L ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 488 J.-P. DEMAILLY certaines hyp oth'èses {\it d}e positivité, il existe une section holomorp h{\it e} $\mathrm{F}$ {\it de} $\mathrm{E}$ au-{\it de} sous {\it de} $\mathrm{X}$ qui prolonge $f$ O{\it n} supposera ici {\it que} $X$ est {\it une} variété {\it kâhlérienne complète}. ThéOrème 6.13. --{\it On se donne des réels} $\epsilon>0,\ k>0$ {\it tels que la fonction} $|\sigma |^{-2k}$ {\it soit non} {\it sommable au voisinage de tout point de} Y. {\it On fait l}'{\it hypothèse de semi-positivité suivante}: (6. 15) $ic(\displaystyle \mathrm{E})\geqq_{n}(\epsilon\frac{(ic(\mathrm{S})_{0}|0)}{1+|\sigma|^{2}}+k\frac{(\mathrm{i}\mathrm{c}(\mathrm{S})_{0}|0)}{|\sigma|^{2}})\otimes \mathrm{I}d_{\mathrm{E}}$ \{{\it au sens de Nakano}). {\it Soient} $\varphi,\ \psi$ {\it deux fonctions} $plurisousharmoniques|$ {\it sur} $X$ {\it et} $f$ {\it une section} {\it holomorphe de} $\mathrm{E}$ {\it au-dessus de l}'{\it ouvert} $\mathrm{U}= \{ \mathrm{ze} X;|\sigma |^{2}0$, {\it il existe une} $f_{CJ}nc$ {\it tion holomorphe} $\mathrm{F}$ {\it sur} $\Omega$ {\it telle que} $\mathrm{F}(z_{0})=1$ {\it et}: $$ \int_{\Omega}\frac{|\mathrm{F}|^{2}e^{-\varphi}}{(1+|z|^{2})^{n+\epsilon}}d\mathrm{V}<+\infty. $$ 7. Théorème d'annulation pour la cohomologie à valeur dans un fibre positif de rang quelconque Nous allons {\it t}raduire les théorèmes d'existence obtenus {\it d}ans les paragraphes précédents en des théorèmes {\it d}'{\it annul} ation {\it d}e la cohomologie. On suppose désorm {\it ais} que $X$ est une variété (kâhlérienne) {\it faiblement pseudoconvexe}, c'est-à-dire qu il existe une fonction plurisoushar- monique et exhaustive sur $X.\ \mathrm{E}$ désignera u{\it n} $\mathrm{f}_{1}b\mathrm{r}\acute{\mathrm{e}}$ hermitien de classe $\mathrm{C}^{2}$ {\it e}t $\mathrm{K}=\Lambda^{n}\mathrm{T}^{*}X$ le fibre canonique des {\it n}-formes holomorphes sur $X$. L{\it e} théorème suivant généralise un résultat classique {\it d}e S. N{\it akano} [20]. ThéOrème 7. 1. --{\it Soit} $\mathrm{E}>_{s}0$ {\it unfbre}' {\it s-positifau-dessus de X. Alors} $\mathrm{H}^{q}(\mathrm{X};\mathrm{K}\otimes \mathrm{E})=0$ {\it pour} $q\geqq \mathrm{S}u\mathrm{p}(1, n-s+1)$. {\it Démonstration}. --D'après $1' \mathrm{isomorphisme}$ de Dolbeault, le groupe $\backslash \mathrm{H}^{q}(X;\mathrm{K}\otimes \mathrm{E})$ est isomorphe {\it a}u groupe {\it de} $\mathrm{D}$ -cohomologie des $(n, q)$ forme {\it à} valeurs d{\it ans} E. Soit $g$ une $(n, q)$ forme fermée {\it à} valeurs dans $\mathrm{E}$ et {\it à} coefficients $\mathrm{L}_{1\mathrm{o}\mathrm{c}}^{2}$, avec $n-q+1\leqq s$. L'existence {\it d}'{\it une} solution $\mathrm{L}_{1\mathrm{o}\mathrm{c}}^{2}$ {\it à} 1'équation $\mathrm{D}''f=g$ résulte du théorème 5. 1 (o{\it n} remplace $\varphi$ {\it par} $\mathrm{P}^{\mathrm{o}}\varphi$ o{\it ù} $\mathrm{p}$ est une fonction convexe croissante choisie de telle manière que l'intégrale $\displaystyle \int_{\mathrm{x}}|g|_{c(\mathrm{E})}^{2}e^{-\mathrm{p}\mathrm{o}\varphi}d\mathrm{V}$ converge). $\square $ $\mathrm{Le}*$ théorème 2.6 (2. 1) p{\it e} r{\it met d}'{\it en} déduire : COROLLAIRE 7.2 (P. Griffiths [12]). --{\it Si} $\mathrm{E}>10$ {\it est unfibré positifau sens de Grijfi} $ths$, {\it on a} : $\mathrm{H}^{q}$ ( $X$; K$\otimes$E$\otimes$dét $\mathrm{E}$) $=0$ {\it pour tout} $q\geqq 1$. ANNALES SCIENTIFIQUES DE L ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 490 J.-P. DEMAILLY {\it Si} $\mathrm{E}$ {\it est seulement semi-positif au sens de Grjfi} $ths$, {\it on} $a$: $\mathrm{H}^{\mathrm{q}}$ ( $X$; K$\otimes$E$\otimes$dét $\mathrm{E}\otimes \mathrm{M}$) $=0$ {\it pour tout} $q\geqq 1$ {\it et tout fbre}' {\it en droites} $\mathrm{M}>0$. Le théorème 2.6 (2.2) e{\it t} (2.3) entr aîne {\it d}'{\it autre} part le : COROLLAIRE 7.3. --{\it Soit} $\mathrm{E}>10$ {\it unfbre}' {\it hermitien de rang} $r$, {\it positif au sens de Grijfi} $ths$. {\it Si} $rs>1$, {\it on} $a$ {\it alors}: $\mathrm{H}^{\mathrm{q}}$ ( $X$; K$\otimes$E$*\otimes$(dét E)) $=0$ {\it dans les deux cas suivan} $ts$: (7. 1) $q\displaystyle \geqq\sup(1, n-s+1)$; \begin{center} (7.2) $q\geqq 1$ et $s\geqq r$. \end{center} {\it Si} $\mathrm{E}$ {\it est seulement semi-positif au sens de Griffi} $ths$, {\it chacune des hypothèses} (7.1) {\it ou} (7.2) {\it en traîne} : $\mathrm{H}^{\mathrm{q}}$ ( $X$; K$\otimes$E$*\otimes$(dét $\mathrm{E})^{s}\otimes \mathrm{M}$) $=0$ {\it pour tout fbre}' {\it en droites} $\mathrm{M}>0$. L{\it e} résultat (7.1) est nouve a{\it u} à notre connaissance. La {\it p}artie (7.2) résulte aussi {\it d}u théorème {\it d}e Griffiths appliqué au $\mathrm{f}_{1}\mathrm{br} \acute{\mathrm{e}}\Lambda^{r-1}$ E$\simeq$E$*\otimes$dét E. Examinons maintenant dans ce contexte les résultats {\it d}u paragraphe 6. Soit: \begin{center} (7.3) $0\rightarrow \mathrm{N}\rightarrow \mathrm{E}\rightarrow g\mathrm{Q}\rightarrow 0$ \end{center} {\it une} suite exacte de fibrés vectoriels holomorphes {\it au}-dessus {\it d}e $X.\ \mathrm{E}$ étant supposé hermitien, o{\it n} munit $\mathrm{N}$ et $\mathrm{Q}$ des métriques hermitiennes induites par celle de E. Le théorème 6.2 {\it p}eut se {\it traduire e}n $un$ théorème d'annulation, avec hypothèse {\it d}e positivité stricte. Soient $r$ le rang {\it d}e $\mathrm{E},\ k$ le rang {\it de} $\mathrm{Q},\ q$ un entier tel {\it que} $0\leqq q\leqq n$, et $s=\displaystyle \inf(n-q, r-k)$. On se donne d'autre part u{\it n} fibre' linéaire hermitien $\mathrm{M}$ sur $X$, et on désigne {\it par} $\mathrm{L}$ le fibre en droites $\mathrm{K}\otimes ($dét $\mathrm{Q})^{s}\otimes$ M. Considérons l{\it a} suite exacte longue de cohomologie associée {\it à} l{\it a} suite exacte (7.3), après tensorisation par $\mathrm{L}$ : $$ .\text{ . . }\mathrm{H}^{\iota}(X;\mathrm{N}\otimes \mathrm{L})\rightarrow \mathrm{H}^{\iota}(X;\mathrm{E}\otimes \mathrm{L})\rightarrow g\mathrm{H}^{\iota}(X;\mathrm{Q}\otimes \mathrm{L})\rightarrow\delta \mathrm{H}^{\iota+1}(X; \mathrm{N}\otimes \mathrm{L})\ldots $$ Nous démontrons le théorème suivant: ThéOrème7.4. --{\it Supposons} $\mathrm{E}\geqq_{s}0,\ \mathrm{M}\geqq 0$, {\it Vune de ces inégalités étant stricte. Alors pour} {\it tout entier} $l\geqq q$, {\it on a} $\mathrm{H}^{\iota+1}(X;\mathrm{N}\otimes \mathrm{L})=0$, {\it donc le morphisme}: $$ g:\ \mathrm{H}^{l}(X;\mathrm{E}\otimes \mathrm{L})\rightarrow \mathrm{H}^{l}(X; \mathrm{Q}\otimes \mathrm{L}) $$ {\it est} $su\prime\cdot/ec\cdot t\iota f$. 4${}^{\text{e}}$ série -- tome 15 - 1982 --N${}^{\text{o}}$ 3 $\mathrm{FIBR}\acute{\mathrm{F}}\mathrm{S}$ HOI OMORPHFS SF MI-P $()$SITIFS 491 {\it Démonstra tion}. --Le lemme 6. 6 (6. 11) implique $\mathrm{N}\otimes ($dét $\mathrm{Q})^{s}\otimes \mathrm{M}>_{n-q}0$ (car le rang {\it d}e $\mathrm{N}\otimes ($dét $\mathrm{Q})^{s}\otimes \mathrm{M}$ est $r-k$). Le théorème 7.4 est {\it d}onc conséquence d{\it u} théorème 7.1. $\square $ On {\it a d}'autre part u{\it n} théorème d'annulation partielle pourl image d{\it u} morphisme cobord 8, moyennant une hypothèse de semi-positivité convenable sur M. ThéOrème 7.5. - {\it On suppose qu}'{\it il existe une fonction} $\epsilon>0$ {\it continue sur} $X$ {\it telle que} $ ic(\mathrm{M})\geqq\epsilon$ {\it j}('(dét Q), $\mathrm{E}$ {\it étant toujours s-semi-positif}. {\it Alors le morphisme cobord} 6 : $\mathrm{H}^{\iota} (X; \mathrm{Q}\otimes \mathrm{L})\rightarrow \mathrm{H}^{\iota+1}(\mathrm{X}; \mathrm{N}\otimes \mathrm{L})$ {\it est nulpour} $l\geqq q$, {\it c}'{\it est-à}- {\it dire que le morphisme}: $$ g:\ \mathrm{H}^{\iota}(X;\mathrm{E}\otimes \mathrm{L})\rightarrow \mathrm{H}^{\iota}(X;\mathrm{Q}\otimes \mathrm{L}) $$ {\it est surjectif}. {\it Démonstration}. --Conséquence immédiate $du$ théorème 6.2, en choisissant $\varphi$ pour faire converger les intégrales. $\square $ Pour $q=0$, les théorèmes 7.4 et 7.5 sont dus {\it à} H. Skoda [25]. Le cas $q=l=0$ est particulièrement intéressant puisqu'on obtient alors {\it u}n théorème {\it d}e relèvement pour les sections holomorphes $du$ fibré $\mathrm{Q}\otimes$ L. Ces résultats sont {\it à} rapprocher $du$ théorème de Le Potier [19] : si $\mathrm{E}$ est {\it un} fibre de rang $r$ {\it au}- dessus d'{\it une} variété comp acte $X$, et si $\mathrm{E}$ est positif a{\it u} sens de Griffiths, alors : $\mathrm{H}^{p,q} (\mathrm{X}; \mathrm{E})=\mathrm{H}^{q}(X;\Lambda^{p}\mathrm{T}^{*}X\otimes \mathrm{E})=0$ pour $p+q\geqq n+r$. Ce théorème semble toutefois malaisé {\it à} démontrer par {\it u}n usage direct {\it de} 1'identité de Kodaira lorsque $r>1$. 8. Régularisation des fonctions plurisousharmoniques sur une variété kàhlérienne Soit $(X, \mathfrak{c}0)$ {\it une} variété kàhlérienne, $\varphi$ {\it une} fonction mesurable sur $X$. On {\it suppose} que $\varphi$ est, $au$ voisinage {\it de tout} point ze $X$, somme {\it d}'une fonction {\it d}e classe $\mathrm{C}^{2}$ et {\it d}'une fonction plurisousharmonique. L{\it a} décomposition {\it d}e Lebesgue de $ id'd''\varphi$ est donc de l{\it a} forme : $$ id'd''\varphi=(id'd''\varphi)_{s}+(id'd''\varphi)_{c}, $$ o{\it ù} l{\it a} partie singulière $(id'd''\varphi)_{s}$ est un courant positif, {\it e}t o{\it ù} l{\it a} partie absolument continue $(id'd''\varphi)_{c}$ est minorée {\it par} une (1, 1)-forme réelle {\it continue}. Le premier procédé d{\it e} régularisation qui vient {\it à} l'esprit est le {\it suivant} : on se ramène {\it dans} une carte locale e{\it n} tronquant n{\it t} $\varphi$ {\it à} $1' a\mathrm{ide}$ {\it d}'une partition de l'unité, puis o{\it n} approxime par convolution avec les {\it n}oyaux standards. Cette méthode {\it n}e donne pas de bons résultats, car elle ne respecte pas les symétries {\it d}u problème. C'est pourquoi {\it n}ous serons amenés {\it à} travailler {\it p}lutôt avec u{\it n} noyau $\langle\langle$ symétrique $\rangle\rangle$ vis-à-vis d{\it e} l{\it a} métrique kàhlérienne co. R. Greene et H. W{\it u} [11] ont déjà utilisé des techniques semblables pour démontrer des théorèmes d'approximation {\it d}e fonctions convexes, {\it d}e fonctions plurisousharmoniques {\it continues}, etc., ANNALES SCIENTIFIQUES DE L ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 492 J.-P. DEMAILLY sur les variétés riem {\it anniennes}. L{\it a non}-continuité de la fonction $\varphi$ v{\it a} entraîner ici {\it quelques} difficultés techniques supplémentaires. Notons $\exp$ : $\mathrm{T}X\rightarrow \mathrm{X}1' \mathrm{a}p\mathrm{plic}at\mathrm{io}n$ exponentielle, qui envoie le vecteur {\it tan} gent $\zeta\in \mathrm{T}_{z}X$, $z\in X$, sur le point corre {\it spondant} $\exp_{z}(\zeta)$ de l{\it a} géodésique issue d{\it e} $z$ {\it et de} vecteur {\it tan} gent $\mathrm{ini}t\mathrm{i}a1\zeta$. Si l{\it a} variété $(X, \mathrm{tD})$ n'est pas complète, exp est définie seulement sur $un$ voisinage {\it d}e l{\it a} section nulle $du$ fibre' $\mathrm{t}$ {\it an} gent $\mathrm{T}X$. Soit $\chi$ : $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ l{\it a} fonction {\it d}e classe $\mathrm{C}^{\infty}$ définie {\it par} : (8. 1) $\left\{\begin{array}{l} \chi (t)=-\mathrm{e}\mathrm{x}p(\frac{1}{t-1}) \mathrm{s}\mathrm{i} t<1,\\ \chi(t)=0 \mathrm{s}\mathrm{i} t\geqq], \end{array}\right.$ d{\it e} sorte que: $\displaystyle \chi'(t)=\frac{1}{(t-1)^{2}}$ exp $(\displaystyle \frac{1}{t-1})$ si $t<1$. Pour t{\it out} réel $\epsilon\in$] $0$, 1 $]$, on {\it p}ose: \begin{center} (8.2) $\displaystyle \varphi_{\epsilon}(z)=\frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n}}\int_{\zeta\in \mathrm{T}_{z}\mathrm{X}}\varphi(\mathrm{ex}p_{z}(\zeta))\chi'(\frac{|\zeta|^{2}}{\epsilon^{2}})d\lambda(\zeta)$, \end{center} {\it où} $C=\displaystyle \int_{\zeta\in \mathbb{C}^{n}}\chi'(|\zeta|^{2})m(\zeta)$, et o{\it ù} $ d\lambda$ désigne l{\it a} mesure $de$ Lebesgue sur l'espace h{\it e} rmitien $\mathrm{T}_{z}X$ (r{\it e} sp. $\mathbb{C}^{n}$). L{\it a} fonction $\varphi_{\epsilon}$ est définie sur {\it t}out compact KcX dès que $\epsilon$ est assez {\it petit}. Notre objectif est {\it d}e montrer l{\it a} convergence de $\varphi_{\epsilon}$ vers $\varphi$, e{\it t d}'étudier le comportement local d{\it u} Hessien $id'd''\varphi_{\epsilon}$. Nous aurons besoin pour cela {\it d}'{\it u}n développement limité {\it à} l'ordre 3 {\it d}e $\exp_{z}(\zeta)$. Désign ons {\it par} $n$ l{\it a} dimension {\it de} $X$. A{\it u} voisinage d'un point fixé $0\in \mathrm{X}$, o{\it n} pose : $$ \mathrm{eo}=\frac{i}{2}\sum_{1\leqq j,k\leqq n}(\mathrm{o}_{jk}dz_{j}\wedge d\overline{z}_{k}, $$ relativement {\it à} un sys tème de coordonnées locales $(z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n})$ en $0$; désormais, tous les indices {\it notésj}, $k,\ l,\ m,p,\ q\ldots$ seront supposés implicitement comp ris entre 1 {\it e}t $n$. Comme l{\it a} métrique ro est kâhlérienne {\it par} hypothèse, l'équation différentielle des géodésiques v{\it a} se simplifier. $)((),|(/(),(/,(\mathrm{L}_{\mathrm{E}\mathrm{M}\mathrm{M}\mathrm{E}}.8.\cdot,1$. --{\it La géodésique} $t\rightarrow u(t)=\exp_{\mathrm{z}}(\mathrm{t}\zeta)$ {\it est la solution} $du$ {\it système différentiel} $du$ $$ \sum_{j}\mathfrak{c}0_{jk}(u)\frac{d^{2}u_{j}}{dt^{2}}+\sum_{j,l}\frac{\partial \mathfrak{c}0_{jk}}{\partial u_{l}}\frac{du_{\mathrm{j}}}{dt}\frac{du_{l}}{dt}=0,\ 1\leqq k\leqq n, $$ {\it avec conditions initiales}: $$ u_{k}(0)=z_{k},\ \frac{du_{k}}{dt}(0)=\zeta_{k}. $$ $4^{\mathrm{e}}$ SÉRIE -- TOME l5 -- l982 -- N${}^{\text{o}}$ 3 $\mathrm{FIBR}\acute{\mathrm{F}}\mathrm{S}$ HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 493 Bien {\it que} le lemme 8. 1 {\it soit} tout {\it à} f{\it ait} cl assique, nous expliciteront brièvement les $\mathrm{c}$ alculs pour montrer o{\it ù} intervient le caractère kàhlérien de l{\it a} métrique. {\it Démonstration}. -- Comme le problème est local, o{\it n p}eut supposer $X\subset \mathbb{C}^{n}$. Soit $u$ : $[0,1]\rightarrow X$ {\it un} chemin de classe $\mathrm{C}^{1}$. On défmit 1'énergie de $u$ par : $$ \mathrm{E}(u)=\int_{0}^{1}|\frac{du}{dt}|^{2}dt=\int_{0}^{1}\sum_{j,k}0)_{jk}(u(t))\frac{du_{j}}{dt}\frac{d\overline{u}_{k}}{dt}dt. $$ $D$ ans $1' en\mathrm{sem}b1\mathrm{eP}(z_{1}, z_{2})$ {\it des} chemins de cl asse $\mathrm{C}^{1}$ ayant {\it p}our origine $z_{1}$ et pour extrémi {\it t}é $z_{2}$, les géodésique $\mathrm{s}$ sont les chemins qui ré alisent {\it u}n minimum loc {\it a}l {\it d}e 1'énergie. O{\it n} v{\it a} donc utiliser le calcul des variations pour déterminer 1'équation des géodésiques. Soit $u\in \mathrm{P}(z_{1}, z_{2})$ e{\it t} $s$ : $[0, 1]\rightarrow \mathrm{T}X$ {\it une} section d{\it e} cl asse $\mathrm{C}^{1}$ d{\it e} $\mathrm{T}X$ {\it au-d}essus {\it de} $\mathrm{u}$, tangente {\it à} $\mathrm{P}(z_{1}, z_{2})$, i.e. $s(0)=s(1)=0$. L{\it a} différentielle {\it d}e l'énergie est donnée {\it par} : \begin{center} $\mathrm{D}_{\mathrm{u}}$ E. $s=2$ R$e \displaystyle \int_{0}^{1}(\sum_{j,k}(\mathrm{D}_{jk}(u)\frac{du_{j}}{dt}\frac{d\overline{s}_{k}}{dt}+\sum_{j,kl},\frac{\partial_{0\mathrm{J}_{jk}}}{\partial u_{l}}\frac{du_{j}}{dt}\frac{d\overline{u}_{k}}{dt}\overline{s_{l}(t)})dt$. \end{center} Intégrons l{\it a} première sommation par {\it parties e}t p{\it e} rmutons les indice $\mathrm{s}k$ et $l$ dans l{\it a} deuxième. Il vient : $\mathrm{D}_{\mathrm{u}}$ E. $s=2{\rm Re}\displaystyle \int_{0}^{1}[-\sum_{j,k}\mathrm{eo}_{jk}(u)\frac{d^{2}u_{j}}{dt^{2}}\overline{s_{k}(t)}-\sum_{j,kl},\frac{\partial \mathrm{t}\mathrm{D}_{jk}}{\partial u_{\iota}}\frac{du_{j}}{dt}\frac{du_{\iota}}{dt}\overline{s_{k}(t)}$ $$ -\sum_{j,kl},\frac{\partial \mathfrak{c}\mathrm{D}_{jk}}{\partial\overline{u}_{l}}\frac{du_{j}}{dt}\frac{d\overline{u}_{l}}{dt}\overline{s_{k}(t)}+\sum_{j,kl},\frac{\partial \mathrm{e}\mathrm{o}_{jl}}{\partial\overline{u}_{k}}\frac{du_{j}}{dt}\frac{d\overline{u}_{l}}{dt}\overline{s_{k}(t)}]dt. $$ L{\it a} métrique $(j)$ étant kâhlérienne par hypothèse, l{\it a} condition $\overline{\partial}0$) $=0$ se traduit {\it par} les relations $\partial ci\mathrm{J}_{jk}/\partial\overline{u}_{l}=\partial \mathfrak{c}0_{jl}/\partial\overline{u}_{k}$. On obtient par conséquent : \begin{center} $D_{\mathrm{u}}$ E. $s=-2{\rm Re}\displaystyle \int_{0}^{1}\sum_{k}(\sum_{j}0)_{jk}(u)\frac{d^{2}u_{j}}{dt}+\sum_{j,l}\frac{\partial(\mathrm{D}_{jk}}{\partial u_{l}}\frac{du_{j}}{dt}\frac{du_{l}}{dt})\overline{s_{k}(t)}dt$. \end{center} L{\it a} différentielle $\mathrm{D}_{\mathrm{u}}\mathrm{E}$ est {\it d}onc nulle si e{\it t seulement} si $u$ vérifie le système différentiel {\it d}u lemme 8. 1. $\square $ Pour simplffier les calculs ultérieurs, o{\it n s}e placera d{\it ans un} système de coordonnées géodésiques. L'existence de ces coordonnées est assurée par le lemme suivant : lemme 8.2. --{\it Soit} V {\it un voisinage assez petit} $du$ {\it point} $a^{0}\in X$. {\it Il existe une application}: $$ u=(u_{1}, u_{2^{ }},\ldots, u_{n})\ :\ \mathrm{V}\times \mathrm{V}\rightarrow \mathbb{C}^{n} $$ {\it de classe} $\mathrm{C}^{\infty}$, {\it telle que pour tout point} $z^{0}\in \mathrm{V}$ {\it fixé, l}'{\it application} $u(?, z^{0})$ : $\mathrm{V}\rightarrow \mathbb{C}^{n}$ {\it soit un} {\it système de coordonnées analytiques locales, vérifiant les propriétés}: (8.3) $\left\{\begin{array}{l} u_{k}(z^{0}, z^{0})=0;\\ (\mathrm{o}_{jk}(u)=6_{jk}-\sum_{l,m}c_{jklm}u_{\iota}\overline{u}_{m}+\mathrm{O}(|u|^{3}), \end{array}\right.$ ANNALES SCIENTIFIQUES DE L ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 494 J.-P. DEMAILLY {\it dans les coordonnées} $\mathrm{u}_{k}(?, z^{0})$, {\it où} $(c_{jklm})$ {\it est la matrice de courbure de Levi-Civita de} ( $X$, co), {\it représen tant le tenseur} $ic(\mathrm{T}X)$ {\it au point} $z^{0}$, {\it et où} $6_{jk}$ {\it est le symbole de Kronecker} $(6_{jj}=1, 6_{jk}=0$ $sij\neq k)$. {\it Les coefficien} $tsc_{jklm}$ {\it vér} $fent$ {\it les relations}: \begin{center} (8.4) $c_{jklm}=\overline{c}_{kjml}=c_{lkjm}=c_{jmlk}$. \end{center} {\it Les coordonnées géodésiques} $u_{k}=u_{k}(\exp_{z}(\zeta), \mathrm{z}^{0})$ {\it de} $\mathrm{ex}p_{z}(\zeta)$ {\it admettent alors en fonction de} $ z_{k}=u_{k}(z, z^{0})et\zeta_{k}=d_{z}u_{k}(z, z^{0}).\zeta$ {\it le développemen} $t$ {\it limi té} : (8. 5) $u_{k}=z_{k}+\displaystyle \zeta_{k}+\frac{1}{2}\sum_{j,l,m}c_{jk1m}(\overline{z}_{m}+\frac{\overline{\zeta}_{m}}{3})\zeta_{j}\zeta_{j}+\mathrm{O}(|z|^{2}+|\zeta|^{2})|\zeta|^{2}$. {\it Les majorations} $\mathrm{O} ($? $)$ {\it sont uniformes pour} $ z^{0}\in$ V. {\it Démonstration}. --Soit $(v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n})$ {\it une} carte locale de $X$ définie sur V. O{\it n} commen ce {\it par} centrer cette carte en {\it u}n point quelconque $z^{0}\in \mathrm{V}$ e{\it n} posant: $$ v_{k}'(z, z^{0})=v_{k}(z)-v_{k}(z^{0}). $$ Grâce $au$ procé {\it d}é d'orthogonalisation {\it d}e Schmidt, on obtient {\it u}n système d{\it e} coordonnées $w(z, z^{0})=(w_{1}, \ldots, w_{n})$ tel {\it que}: $$ \mathfrak{c}0=\frac{i}{2}\sum_{k}dw_{k}\wedge d\overline{w}_{k} $$ {\it au point} $z^{0}$. Les {\it coefficients} $\mathfrak{c}0_{jk}$ {\it de} o) relativement {\it à} $(w_{1}, w_{2}, . . ., w_{n})$ admettent {\it u}n développement limité d{\it u} type: \begin{center} (8.6) $\circ)_{jk^{=6_{jk}+\sum_{l}a_{jkl}w_{\iota}+\sum_{l}a_{jkl}'\overline{w}_{\iota}}}$ $$ +\sum_{l,m}a_{jklm}w_{\iota}\overline{w}_{m}+\sum_{l,m}b_{jklm}w_{\iota}w_{m}+\sum_{l,m}b_{jklm}'\overline{w}_{\iota}\overline{w}_{m}+\mathrm{O}(|w|^{3}), $$ \end{center} o{\it ù} les coefficients $a_{jk1},\ a_{jkl}',\ a_{jklm},\ b_{jklm},\ b_{jklm}'$ sont des fonctions d{\it e} cl asse $\mathrm{C}^{\infty}$ de $z^{0}$. On peut imposer de plus : \begin{center} (8.7) $b_{jklm}=b_{jkml},\ b_{jklm}'=b_{jkml}'$. \end{center} L{\it a} métrique eo {\it étant} hermitienne, les relations $0)_{jk^{=}}(0_{kj}$ impliquent : \begin{center} (8.8) $a_{jkl}'=\overline{a}_{kjl},\ a_{jklm}=\overline{a}_{kjml},\ b_{jklm}'=\overline{b}_{kjlm}$. \end{center} L{\it e} caractère kâhlérien {\it d}e ($\mathrm{D}$ se {\it traduit} par l{\it a} condition $\partial_{0)}=0$ (soit $\partial_{0})_{jk}/\partial w$ {\it l}$=\partial$0)$\iota${\it k}/{\it ôwj}), qui e{\it ntraîne} les relations supplémentaires : \begin{center} (8.9) $a_{jkl}=a_{1kj},\ a_{jklm}=a_{\mathrm{I}kjm},\ b_{jklm}=b_{lkjm}-\cdot$ \end{center} Posons : $$ u_{k}=w_{k}+\frac{1}{2}\sum_{j,l}a_{jkl}w_{j}w_{\iota}+\frac{1}{3}\sum_{j,l,m}b_{jklm}w_{j}w_{l}w_{m}; $$ $4^{\mathrm{e}}$ SÉRIE -- TOME 15 -- l982 -- N${}^{\text{o}}$ 3 FIBRÉS HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 495 si o{\it n} utilise (8.7), (8.8) e{\it t} (8.9), un calcul immédiat montre {\it que} : $$ du_{k}=dw_{k}+\sum_{j,l}a_{jkl}w_{l}dw_{j}+\sum_{j,l,m}b_{jklm}w_{\iota}w_{m}dw_{j}. $$ E{\it n} comparant avec (8.6), o{\it n} voit {\it qu}'il existe d{\it e} $\mathrm{s}$ nombres complexes $c_{jklm}$ tels que : $\displaystyle \frac{i}{2}\sum_{k}du_{k}\wedge d\overline{u}_{k^{=}}0)+\frac{i}{2}\sum_{j,k,lm},c_{jklm}w_{\iota}\overline{w}_{m}dw_{j}\wedge d\overline{w}_{k}+\mathrm{O}(|w|^{3})$ $$ =00+\frac{i}{2}\sum_{j,k,lm},c_{jklm}u_{l}\overline{u}_{m}du_{j}\wedge d\overline{u}_{k}+\mathrm{O}(|u|^{3}). $$ L'écri {\it t}ure (8.3) {\it en} résulte. Les relations (8.4) s{\it ont} des cas particuliers de (8.8), (8.9) avec $a_{jk\mathrm{I}}=b_{jklm}=0,\ a_{jklm}=-c_{jklm}$. L'inte r{\it p} rétation de l{\it a} matrice $(c_{jklm})$ comme tenseur d{\it e} courbure ne sera {\it pas} utilisée de manière essentielle par l{\it a} suite, $et$ sera donc laissée $au$ lecteur. Soit maintenant $u_{k}(t)$ les coordonnées locales {\it de} $exp_{z}(t\zeta)$. L{\it e} développement limité {\it à} $1' \mathrm{or}d\mathrm{re}1$ de $u_{k}(t)$ est donné par : $u_{k}(t)=z_{k}+t\zeta_{k}+\mathrm{O}(t^{2})$ pour $|t|\leqq 1,\ |\zeta|\leqq 1$, {\it d}'o{\it ù par} homogénéité, e{\it n} écrivant $\mathrm{ex}p_{z}(t\zeta)=e\mathrm{x}p_{z}(t'\zeta'),\ t'=t|\zeta|,\ |\zeta'|=1$ : $u_{k}(t)=z_{k}+t\zeta_{k}+\mathrm{O}(t^{2}|\zeta|^{2})$ pour $t|\zeta|\leqq 1$, et : $\displaystyle \frac{du_{k}}{dt}=\zeta_{k}+\mathrm{O}(|\zeta|^{2})$ pour $t\leqq 1,\ |\zeta|\leqq 1$. Après {\it substitution dans} le système différentiel d{\it u} lemme 8. 1, on obtient : $\displaystyle \frac{d^{2}u_{k}}{dt^{2}}=\sum_{j.l.m}c_{jklm}\overline{u}_{m}\zeta_{j}\zeta_{\mathrm{I}}+\mathrm{O}(|u|^{2}|\zeta|^{2}1 =\displaystyle \sum_{j,l,m}c_{jklm}(\overline{z}_{m}+t\overline{\zeta}_{m})\zeta_{j}\zeta_{l}+\mathrm{O}(|z |^{2}+|\zeta|^{2})|\zeta|^{2}$, les majorations étant uniformes pour $t\leqq 1,\ |\zeta|\leqq 1;(8.5)$ s'en déduit après deux intégrations successives, en {\it faisant} $t=1.\ \square $ Désorm ais, tous les calculs seront exprimés d{\it ans} le système de coordonnées $(u_{k})$ centré e{\it n} {\it u}n point $ a\in$ V. Les majorations qui seront démontrées {\it au} point $a$ seront vraies uniformément sur V. Effectuons le ch angement de vari {\it a}ble $u=\exp_{-}\sim(\zeta)$ dans l'intégrale (8.2) et posons $v_{k}=\iota r_{\kappa^{-}\sim\kappa}^{-;}(8.5)$ entraîne : (8. 10) $\displaystyle \zeta_{k}=v_{k}-\frac{1}{2}\sum_{j,l,m}c_{jklm}(\overline{z}_{m}+\frac{\overline{v}_{m}}{3})v_{j}v_{\iota}+\mathrm{O}(|u|+|z|)^{4}$. D'après (8.3), o{\it n peut} écrre $de$ plus : $$ |\zeta|^{2}=0)(\zeta, i\zeta)=|\eta_{1}|^{2}+\ldots+|\eta_{n}|^{2}, $$ ANNAL ES SCIENTIFIQUES DE L ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 496 J.-P. DEMAILLY o{\it ú} $\eta=(\eta_{1}, \ldots, \eta_{n})$ est {\it un} système {\it d}e coordonnées orthonormées sur les fibres de $\mathrm{T}X$, linéaire en $\zeta$, {\it d}e classe $\mathrm{C}^{\infty}$ en $z$, tel que : (8. 11) $\displaystyle \eta_{k}=\zeta_{k}-\frac{1}{2}\sum_{j,l,m}c_{jklm}z_{l}\overline{z}_{m}\zeta_{j}+\mathrm{O}(|z|^{3}).\zeta$. Substituons $dan\mathrm{s}(8.11)1' \mathrm{ex}p\mathrm{ression}$ {\it d}e $\zeta_{k}$ {\it d}onnée par (8.10): (8. 12) $\displaystyle \eta_{k}=v_{k}-\frac{1}{2}\sum_{j,l,m}c_{jklm}(\overline{z}_{m}v_{j}u_{l}+\frac{1}{3}\overline{v}_{m}v_{j}v_{l})+\mathrm{O}(|u|+|z|)^{4}$. Comme l'application $\zeta\rightarrow\eta$ est (à $z$ fixé) une isométrie {\it d}e $(\mathrm{T}_{z}X, \mathrm{eo})$ sur $\mathbb{C}^{n}$, il vient : (8. 13) $\displaystyle \varphi_{\epsilon}(z)=\frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n}}\int_{u=(u_{k})\in \mathrm{C}^{n}}\varphi(u)\chi'(\frac{|\eta(z,u)|^{2}}{\epsilon^{2}})d\lambda(\eta)$. $|\eta|^{2}=|\eta(z, u)|^{2}$ {\it étant} de cl asse $\mathrm{C}^{\infty}$ par rapport à $(z, u)$, o{\it n} voit {\it que} $\varphi_{\epsilon}$ est {\it d}e cl asse $\mathrm{C}^{\infty}$ sur tout compact, dès que 8 est assez {\it petit}. Nous aurons besoin $de$ l'estimation {\it s}uivante {\it des} valeurs moyennes {\it d}e $\varphi$. LEMME 8.3. --{\it Il existe une constan} $te\mathrm{C}_{1}$ {\it telle que pour tout} $z$ {\it voisin de} $0$ {\it et tout} $\epsilon$ {\it assez} {\it petit, on ait}: $$ \epsilon^{-2n}\int_{u-z|<\epsilon}|\varphi(u)|d\lambda(u)\leqq \mathrm{C}_{1}{\rm Log}\frac{1}{\epsilon}. $$ {\it Démonstration}. --Soit $\mathrm{B}$ une boule $\{|u|\leqq 2\alpha \}$ contenue dans V ({\it cf}. lemme 8.2). Quitte {\it à} ajouter une fonction de classe $\mathrm{C}^{2}$ convenable {\it à} $\varphi$, o{\it n} peut supposer $\varphi$ plurisousharmo- nique $\leqq 0$ sur B. La valeur moyenne : $$ \mu(\epsilon)=\epsilon^{-2n}\int_{u-z|<\epsilon}\varphi(u)d\lambda(u) $$ est alors pour $\epsilon\leqq\alpha,\ |z|\leqq\alpha$ fonction convexe croissante et négative {\it d}e ${\rm Log}\epsilon$ ({\it voir} P. Lelong [18] $)$. On obtient donc {\it p}our $\epsilon \leqq\alpha/e$: (8. 14) $\displaystyle \frac{\mu(\alpha)-\mu(\epsilon)}{{\rm Log}\alpha-{\rm Log}\epsilon}\leqq\mu(\alpha)-\mu (\displaystyle \frac{\alpha}{e})\leqq-\mu (\displaystyle \frac{\alpha}{e})$, avec : $$ -\mu(\frac{\alpha}{e})=(\frac{e}{\alpha})^{2n}\int_{u-z|<\alpha/e}-\varphi(u)h\ (u)\leqq(\frac{e}{\alpha})^{2n}\int_{\mathrm{B}}-\varphi(\mathrm{u})\iota\hslash(u)=\mathrm{C}_{1}'. $$ (8.14) implique {\it p}our $\epsilon \leqq\alpha/e,\ |z|\leqq\alpha$ : $$ \epsilon^{-2n}\int_{u-z|<\epsilon}|\varphi(u)|d\lambda(u)=-\mu(\epsilon)\leqq-\mu(\frac{\alpha}{e})^{\vee}{\rm Log}\frac{\alpha}{\epsilon}-\mu(\alpha)\leqq \mathrm{C}_{1}'{\rm Log}\frac{e\alpha}{\epsilon}, $$ ce qui achève l{\it a} preuve {\it d}u lemme 8.3. $\square $ 4${}^{\text{e}}$ SÉRIE --TOME l5 --1982 --N${}^{\text{o}}$ 3 FIBRÉS HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 497 LEMME 8.4 (minoration {\it d}e $\varphi_{\epsilon}(z)$ et de $d/d\epsilon[\varphi_{\epsilon}(z)]$). --{\it Il existe des constan tes} $\mathrm{C}_{2}\geqq 0$, $\mathrm{C}_{3}\geqq 0t$ {\it elles} $p/tl J$ (8. 15) $\displaystyle \varphi_{\epsilon}(z)\geqq\varphi(z)-\mathrm{C}_{2}\epsilon^{2}{\rm Log}\frac{1}{\epsilon}$, (8. 16) $\displaystyle \frac{d}{d\epsilon}[\varphi_{\epsilon}(z)]\geqq-\mathrm{C}_{3}\epsilon {\rm Log}\displaystyle \frac{1}{\epsilon}$ {\it pour tout} $z$ {\it voisin de} $0$ {\it et tout} $\epsilon$ {\it assez petit}. {\it Démonstration}. --Le développement limité (8.12) foumit: $$ |\eta(z, u)|^{2}=|z-u|^{2}+\mathrm{O}(|u|+|z|)^{4}, $$ {\it e}t : $$ d\lambda\ (\eta)=(1+\mathrm{O}(|u|+|z|)^{2})\iota \mathrm{A}(u) $$ [ $u$ {\it étant} l{\it a} variable; {\it cf}. (8. 19)]. Fixons $z=0$. Comme $|\eta(0, u)|^{2}\geqq(|u|/2)^{2}$ {\it pour} $u$ assez {\it petit}, e{\it t} comme $\chi'(t)=0$ pour $t\geqq 1$, on obtient: $\displaystyle \chi'(\frac{|\eta(0,u)|^{2}}{\epsilon^{2}})d\lambda(\eta)=(\mathrm{X}'(\frac{|u|^{2}}{\epsilon^{2}})+\mathrm{O}(\frac{|u|^{4}}{\epsilon^{2}})+\mathrm{O}(|u|^{2}))d\lambda(u)$ $$ =(\chi'(\frac{|u|^{2}}{\epsilon^{2}})+\mathrm{O}(\epsilon^{2}))d\lambda(u), $$ $$ \frac{d}{d\epsilon}[\chi'(\frac{|\eta(0,u)|^{2}}{\epsilon^{2}})]\theta_{\vee}(\eta)=\{\frac{d}{d\epsilon}[\chi'(\frac{|u|^{2}}{\epsilon^{2}})]+\mathrm{O}(\epsilon)\}d\lambda(u). $$ Substituons ces estimations $dan\mathrm{s}$ 1'intégrale (8.13). 11 vient: $$ \varphi_{\epsilon}(0)=\frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n}}\int_{ll\in \mathbb{C}^{n}}\varphi(u)\chi'(\frac{|u|^{2}}{\epsilon^{2}})m(u)+\mathrm{O}[\epsilon^{2-2n}\int_{u|<2\epsilon}|\varphi\ (u)|d\lambda(u)], $$ $\displaystyle \frac{d}{d\epsilon}[\varphi_{\epsilon}(0)]=\frac{d}{d\epsilon}[\frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n}}\int_{u\in \mathbb{C}^{n}}\varphi(u)\chi'(\frac{|u|^{2}}{\epsilon^{2}})c\lambda(u)] +\displaystyle \mathrm{O}[\epsilon^{1-2n}\int_{u|<2\epsilon}|\varphi(u)|\theta_{\backslash }(u)]$. Compte tenu $du$ lemme 8.3 et {\it d}e 1'uniformité des estimations $\mathrm{O} ($? $)$ ({\it cf}. lemme 8.2), il suffira {\it d}e prouver les inégalités : $$ \frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n}}\int\varphi(u)\chi'(\frac{|u|^{2}}{\epsilon^{2}})\iota\lambda(u)\geqq\varphi(0)-\mathrm{C}_{2}'\epsilon^{2}, $$ (8. 17) $$ (\frac{d}{d\epsilon}[\frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n}}\int\varphi(u)\chi'(\frac{|u|^{2}}{\epsilon^{2}})m(u)]\geqq-\mathrm{C}_{3}'\epsilon. $$ ANNALES SCIENTIFIQUES DE L ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 498 J.-P. DEMAILLY O{\it n} observe q{\it u} il existe une constante $\mathrm{C}_{2}''$ telle que l{\it a} fonction $\psi(u)=\varphi(u)+\mathrm{C}_{2}''|u|^{2}$ soit plurisousharmonique ( $\mathrm{C}_{2}''$ pouvant être choisie indépendante {\it d}e $a\in \mathrm{V}$). O{\it n a d}onc: $$ \frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n}}\int\varphi(u)\chi'(\frac{|u|^{2}}{\epsilon^{2}}).d\lambda(u)=\frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n}}\int\psi(u)\chi'(\frac{|u|^{2}}{\epsilon^{2}})h\ (u)-\mathrm{C}_{2}'\epsilon^{2}, $$ avec : $$ \mathrm{C}_{2}'=\frac{\mathrm{C}_{2}''}{\mathrm{C}}\int|u|^{2}\chi'(|u|^{2})\iota h(u). $$ {\it D}'après P. Leiong [18], l{\it a} valeur moyenne: $$ \psi_{\epsilon}(0)=\frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n}}\int\psi(u)\chi'(\frac{|u|^{2}}{\epsilon^{2}})\theta_{\mathrm{v}}(u)=\frac{1}{\mathrm{C}}\int\psi(\epsilon u)\chi'(|u|^{2})\iota\lambda(u), $$ {\it d}e l{\it a} fonction $\mathrm{p}$.s.h. $\psi$ est fonction croissante d{\it e} $\epsilon$, et on a $\psi_{\epsilon}(0)\geqq\psi(0)=\varphi(0)$. Les {\it d}eux inégalités (8.17) e{\it n} découlent $($avec $\mathrm{C}_{3}'=2\mathrm{C}_{2}')$. Le lemme 8.4 est démontré. $\square $ Nous arrivons m{\it aintenant à} 1'étape essentielle $du$ raisonnement, qui est d'estimer le Hessien de $\varphi_{\epsilon}$. Le problème revient {\it à} commuter les dérivations {\it par rapport à} $z$ e{\it t} $u$ dans l'intégrale (8. 13), e{\it n faisant apparaître} les termes correctifs dus {\it à} l{\it a} courbure. PROPOSITION 8.5 (calcul {\it d}e $id'd''\varphi_{\epsilon}$). --{\it Soit} $s=(s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{n})$ {\it un vecteur de} $\mathbb{C}^{n}$. {\it Le} {\it Hessien de} $\varphi_{\epsilon}$ {\it au point} $a\in \mathrm{V}$ {\it est donné par} : $\displaystyle \sum_{l,m}\frac{\partial^{2}\varphi_{\epsilon}}{\partial z_{\iota}\partial_{Z_{m}}^{-}}(0)s_{\iota}\overline{s}_{m}=\frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n}}\int\sum_{l,m}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial u_{l}\partial\overline{u}_{m}}(u)$ {\it sí} $\displaystyle \overline{s}_{m}'\chi'(\frac{|\eta(0,u)|^{2}}{\epsilon^{2}})m(u)$ $$ -\frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n-2}}\int\sum_{j,k,lm},\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial\overline{u}_{j}\partial u_{k}}c_{jklm}s_{\iota}\overline{s}_{m}\chi(\frac{|u|^{2}}{\epsilon^{2}})d\lambda(u)+\mathrm{O}(\epsilon{\rm Log}\frac{1}{\xi \mathrm{i}}).\ |s|^{2} $$ avec : (8. 18) $s_{l}'(u)=s_{l}+\displaystyle \frac{1}{2}\sum_{j,k,p}c_{jkpl}u_{j}\overline{u}_{k}s_{p}-\frac{\epsilon^{2}}{2}(1-\frac{|u|^{2}}{\epsilon^{2}})^{2}\sum_{k,p}c_{kkpl}s_{p}$, {\it la majoration} $\mathrm{O} ($? $)$ {\it étant uniforme localement par rapport à} $ a\in$ V. {\it Démonstration}. --Nous raisonnerons en trois étapes. {\it É tape} 1. --{\it Évaluation de la mesure} $d\lambda(\eta)$. Différentions {\it par} rapport {\it à} $u$ l'expression {\it d}e $\eta_{k}$ donnée {\it par} (8.12) ( $z$ étant fixé). En s{\it e} {\it rappelant} que $v_{k}=u_{k}-z_{k}$ et en faisant usage des relations (8.4), on obtient : $d\displaystyle \eta_{k}=du_{k}-\frac{1}{2}\sum_{j,l,m}c_{jklm}(\overline{z}_{m}v_{j}du_{1}+\overline{z}_{m}u_{\iota}du_{j}+\frac{1}{3}\overline{v}_{m}v_{j}du_{l}+\frac{1}{3}\overline{v}_{m}v_{\iota}du_{j})$ $$ -\frac{1}{6}\sum c_{jklm}v_{j}v_{l}d\overline{u}_{m}+\mathrm{O}(|u|+|z|)^{3} $$ $$ j,\ l,\ m $$ 4${}^{\text{e}}$ SÉRIE -- TOME 15 -- 1982 -- N${}^{\text{o}}$ 3 FIBRÉS HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 499 $$ =du_{k}-\frac{1}{2}\sum_{j,l,m}c_{jklm}(\overline{z}_{m}v_{\iota}+\overline{z}_{m}u_{l}+\frac{2}{3}\overline{v}_{m}v_{\iota})du_{j} $$ $$ -\frac{1}{6}\sum_{j,l,m}c_{jklm}v_{j}v_{\iota}d\overline{u}_{m}+\mathrm{O}(|u|+|z|)^{3} $$ $$ =du_{k}-\frac{1}{2}\sum_{j,l,m}c_{jklm}(u_{\iota}\overline{u}_{m}-\frac{1}{3}v_{\iota}\overline{v}_{m})du_{j} $$ $$ -\frac{1}{2}\sum_{j,l,m}c_{jklm}(v_{l}\overline{u}_{m}-u_{\iota}\overline{v}_{m})du_{j} $$ $$ -\frac{1}{6}\sum_{j,l,m}c_{jklm}v_{j}v_{\iota}d\overline{u}_{m}+\mathrm{O}(|u|+|z|)^{3}. $$ $Dan\mathrm{s}$ le développement limité {\it à} l'ordre 2 de l{\it a} $(n, n)-\mathrm{fo}$ {\it rme} : $$ d\Lambda(\eta)=(\frac{i}{2})^{n}d\eta_{1}\wedge d\overline{\eta}_{1}\wedge\ldots\wedge l\eta_{n}\wedge d\overline{\eta}_{n}, $$ les {\it d}eux demières sommations apportent une contribution nulle. On t{\it rouve} donc: (8. 19) $m(\displaystyle \eta)=d\lambda(u)[1-\sum_{k,l,m}c_{kklm}(u_{l}\overline{u}_{m}-\frac{1}{3}v_{\iota}\overline{v}_{m})+\mathrm{O}(|u|+|z|)^{3}]$. {\it Étape} 2. --{\it Dérivation sous le signe} $\displaystyle \int et$ {\it commu tation des dérivées}. Calculons sur le vecteur $s= (s_{1}, s_{2^{ }},\ldots, s_{n})\in \mathbb{C}^{n}$ le Hessien de $\varphi_{\epsilon}$ {\it au} point $a$. En dérivant , il vient : (8. 13) sous le signe $\displaystyle \int$ $$ \sum_{l,m}\frac{\partial^{2}\varphi_{\epsilon}}{\partial z_{l}\partial_{Z_{m}}^{-}}(0)s_{\iota}\overline{s}_{m}=\frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n}}\int_{l1\in \mathrm{C}^{n}}\varphi(u)\sum_{l,m}\frac{\partial^{2}}{\partial z_{l}\partial_{Z_{m}}^{-}}[\chi'(\frac{|\eta|^{2}}{\epsilon^{2}})d\lambda(\eta)]s_{\iota}\overline{s}_{m}. $$ Pour simplifier, on é{\it crira} désorm ais $\chi$ a{\it u} lieu de $\chi(|\eta(z, u)|^{2}/\epsilon^{2})$, et {\it d}e même les notations $\chi',\ \chi'',\ \chi'''$ désigneront les valeurs {\it d}e ces $\mathrm{fo}n\mathrm{c}t\mathrm{i}\tilde{\mathrm{o}}\mathrm{ns}$ {\it au} point $|\eta(z, u)|^{2}/\epsilon^{2}$. Comme l{\it a} $(n, n)-\mathrm{fo}r\mathrm{m}e\chi'c\hslash(\eta)$ est réelle, o{\it n} $a$: \begin{center} (8.20) $\displaystyle \sum_{l,m}(\frac{\partial^{2}}{\partial z_{l}\partial_{Z_{m}}^{-}}-\frac{\partial^{2}}{\partial u_{l}\partial\overline{u}_{m}})(\chi'd\lambda(\eta))s_{\iota}\overline{s}_{m} \backslash $ $$ ={\rm Re}\sum_{l,m}(\frac{\partial}{\partial_{Z_{m}}^{-}}-\frac{\partial}{\partial\overline{u}_{m}})(\frac{\partial}{\partial z_{l}}+\frac{\partial}{\partial \mathrm{u}_{l}})(\chi'\mathrm{cA} (\eta))s_{\iota}\overline{s}_{m}. $$ \end{center} Après permutation {\it des} indice $\mathrm{s}$, l'égalité (8.12) s'écrit [{\it cf}. (8.4)] : $$ \left\{\begin{array}{l} \eta_{k}=v_{k}-\frac{1}{2}\sum_{j,l,p}c_{jklp}(v_{j}u_{l}\overline{z}_{p}+\frac{1}{3}v_{j}v_{l}\overline{v}_{p})+\mathrm{O}(|u|+|z|)^{4}\\ \overline{\eta}_{j}=\overline{v}_{j}-\frac{1}{2}\sum_{k,l,p}c_{jklp}(\overline{v}_{k}\overline{u}_{p}z_{l}+\frac{1}{3}\overline{v}_{k}\overline{v}_{p}v_{l})+\mathrm{O}(|u|+|z|)^{4} \end{array}\right. $$ ANNALES SCIENTIFIQUES DE $\mathrm{L}'\acute{\mathrm{E}}$ COLE NORMALE SUPÉRIEURE 500 J.-P. DEMAILLY L'opérateur $\nabla_{l}=(\partial/\partial z_{\iota})+(\partial/\partial u_{\iota})$ {\it a}nnule les coordonnées $v_{k}=u_{k}-z_{k}$ e{\it t} $\overline{v}_{k}$ : $\nabla_{\iota}v_{k}=\nabla_{l}\overline{v}_{k}=0$. On obtient donc: $$ \nabla_{\iota}\eta_{k}=-\frac{1}{2}\sum_{j,p}c_{jklp}v_{j}\overline{z}_{p}+\mathrm{O}(|u|+|z|)^{3}, $$ $$ \nabla_{l}\overline{\eta}_{j}=-\frac{1}{2}\sum_{k,p}c_{jklp}\overline{v}_{\mathrm{k}}\overline{u}_{p}+\mathrm{O}\ (|u|+|z |)^{3}, $$ $\displaystyle \nabla_{\iota}[\chi'(\frac{|\eta|^{2}}{\epsilon^{2}})m(\eta)]=\frac{\chi''}{\epsilon^{2}}(\sum_{k}\overline{\eta}_{k}\nabla_{\iota}\eta_{k}+\sum_{j}\eta_{j}\nabla_{l}\overline{\eta}_{j})d\lambda(\eta)+\chi'\nabla_{l}(d\lambda(\eta))$ $$ =-d\lambda(u)[\frac{\chi''}{\epsilon^{2}}\text{ . }\frac{1}{2}\sum_{j,k.p}c_{jklp}v_{j}\overline{v}_{k}(\overline{z}_{p}+\overline{u}_{p})+\frac{\chi''}{\epsilon^{2}}\text{ . }\mathrm{o}(|u|+|z |)^{4} $$ $$ +\chi'\ \sum_{k,p}c_{kklp}\overline{u}_{p}+\chi'.\mathrm{O}(|u|+|z|)^{2}]. $$ Comme : $$ (\frac{\partial}{\partial_{Z_{m}}^{-}}-\frac{\partial}{\partial\overline{u}_{m}})|\eta|^{2}=-2v_{m}+\mathrm{O}(|u|+|z |)^{3}, $$ il vient: $(\displaystyle \frac{\partial}{\partial_{Z_{m}}^{-}}-\frac{\partial}{\partial\overline{u}_{m}})(\frac{\partial}{\partial z_{l}}+\frac{\partial}{\partial u_{l}})[\chi'(\frac{|\eta|^{2}}{\epsilon^{2}})m(\eta)]$ $$ =\theta_{\backslash }(u)[\frac{\chi'''}{\epsilon^{4}}\sum_{j.k,p}c_{jklp}v_{j}\overline{v}_{k}v_{m}(\overline{z}_{p}+\overline{u}_{p})+\frac{\chi'''}{\epsilon^{4}}.\ \mathrm{O}(|u|+|z |)^{5} $$ $$ +\frac{\chi''}{\epsilon^{2}}\sum_{j,p}c_{jmlp}v_{j}(\overline{z}_{p}+\overline{u}_{p})+2\frac{\chi''}{\epsilon^{2}}\sum_{k,p}c_{kklp}v_{m}\overline{u}_{p}+\frac{\chi''}{\epsilon^{2}}.\ \mathrm{O}(|u|+|z|)^{3} $$ $$ +\chi'\sum_{k}c_{kk\mathrm{I}m}+\chi'.\mathrm{O}(|u|+|z|)]. $$ A{\it u} point $z=0$ (c'est-à-dire {\it a}u point $a$), cette demière exp ression est égale {\it à} : $d\displaystyle \lambda(u)[\frac{\mathrm{X}'''}{\epsilon^{4}}\sum_{j,k,p}c_{jklp}u_{j}\overline{u}_{k}u_{m}\overline{u}_{p}+\frac{\mathrm{X}''}{\epsilon^{2}}\sum_{j,p}c_{jmlp}u_{j}\overline{u}_{p}$ $$ +2\frac{\underline{}\chi''\gamma}{\epsilon}\sum_{k,p}c_{kklp}u_{m}\overline{u}_{p}+\chi'\sum_{k}c_{kklm}+\mathrm{O}(\epsilon)], $$ soit encore, {\it par u}n calcul aisé : $d\displaystyle \lambda(u)\sum_{p}\frac{\partial^{2}}{\partial u_{p}\partial\overline{u}_{m}}[\chi'\sum_{j,k}c_{jklp}u_{j}\overline{u}_{k}+\epsilon^{2}\chi \sum_{k}c_{kk1p}]-\phi_{\wedge}(u)\sum_{j,k}\frac{\partial^{2}}{\partial\overline{u}_{j}\partial u_{k}}(\epsilon^{2}\chi c_{jklm})+\mathrm{O}(\epsilon)m(u)$. $4^{\mathrm{e}}$ SÉRIE -- TOME 15 -- l982 -- N${}^{\text{o}}$ 3 $\mathrm{FIBR}\acute{\mathrm{F}}\mathrm{S}$ HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 501 L'égalité (8. 20) nous {\it donne} e{\it n} définitive $\mathrm{au}\lrcorner)\mathrm{oint} z=0$: $\displaystyle \sum_{l,m}(\frac{\partial^{2}}{\partial z_{l}\partial_{Z_{m}}^{-}}-\frac{\partial^{2}}{\partial u_{\iota}\partial\overline{u}_{m}})(\chi'd\lambda(\eta))s_{\iota}\overline{s}_{m}$ $$ =d\lambda(u){\rm Re}\sum_{l,m,p}\frac{\partial^{2}}{\partial u_{p}\partial\overline{u}_{m}}[\chi'\sum_{j,k}c_{jklp}u_{j}\overline{u}_{k}+\epsilon^{2}\chi\sum_{k}c_{kk\mathrm{I}p}]s_{\iota}\overline{s}_{m} $$ $$ -d\lambda(u)\sum_{j,k.lm}.\frac{\partial^{2}}{\partial\overline{u}_{j}\partial u_{k}}(\epsilon^{2}\chi c_{jklm})s_{\iota}\overline{s}_{m}+\mathrm{O}(\epsilon)|s|^{2}d\lambda(\downarrow(). $$ {\it É tape} 3. --{\it In tégra tion par par} $fc$. L{\it a} demière égalité obtenue {\it à} 1'étape 2 entraîne après intégration {\it par} parties : (8.21) $\left\{\begin{array}{l} \sum_{l.m}\frac{\partial^{2}\varphi_{\epsilon}}{\partial z_{l}\partial_{Z_{m}}^{-}}(0)s_{\iota}\overline{s}_{m}\\ =\frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n}}{\rm Re}\int\chi'(\sum_{l,m}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial u_{\iota}\partial\overline{u}_{m}}s_{l}\overline{s}_{m}\\ +\sum_{j.k,l,m.p}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial u_{p}\partial\overline{u}_{m}}c_{jklp}u_{j}\overline{u}_{k}s_{l}\overline{s}_{m})d\lambda(u)\\ +\frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n}}{\rm Re}_{\mathrm{J}}\mathrm{r}_{\epsilon^{2}\chi\sum_{k.l,m,p}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial u_{p}\partial\overline{u}_{m}}c_{kklp}s_{l}\overline{s}_{m}d\lambda(\mathcal{U})} \end{array}\right.$ \begin{center} (8.22) $-\displaystyle \frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n-2}}\int\chi\sum_{j.k.lm}.\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial\overline{u}_{j}\partial u_{k}}c_{jklm}s_{\iota}\overline{s}_{m}d\lambda(u)$ (8.23) $+\mathrm{O}(\epsilon^{1-2n})|s|^{2}.\ \displaystyle \int_{u|<2}|\varphi(u)|\theta_{\backslash }(u)$. \end{center} {\it D}'{\it a}p rès le lemme 8. 3, l{\it e} terme (8. 23) est majoré par $0$ (elog $(1/\mathrm{s})|s|^{2}$. La fonction $\chi$ définie en (8.1) est telle que $\chi (t)=-(1-t)^{2}\mathrm{X}'(t)$; le terme (8.21) {\it peut} donc s'écrire : $\displaystyle \frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n}}$ R{\it e} $\displaystyle \mathrm{Jr}_{\chi'\sum_{l.m}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial u_{\iota}\partial\overline{u}_{m}}[s_{\iota}\overline{s}_{m}+\sum_{j,k.p}c_{jkpl}u_{j}\overline{u}_{k}s_{p}\overline{s}_{m}-\epsilon^{2}}(1-\frac{|\eta|^{2}}{\epsilon^{2}})^{2}\sum_{k,p}c_{kkpl}s_{p}\overline{s}_{m}]d\lambda(u)$, soit, en introduisant le ch {\it amp} de vecteurs $s_{l}'$ défini par (8.18): $$ \frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n}}\int\chi'\sum_{l,m}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial u_{l}\partial\overline{u}_{m}}(s\text{{\it í}} \overline{s}_{m}'+\mathrm{O}(\epsilon^{2}+|u|^{2})^{2})d\lambda(u). $$ Une nouvelle intégration {\it par} parties {\it montre} que l{\it e} terme {\it d}'erreur est de l{\it a} forme : $$ \frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n}}\int_{u|<2\epsilon}\varphi(u)\mathrm{O}(\epsilon^{2}+|u|^{2})|s|^{2}d\lambda(u), $$ ANNALES SCIENTIFIQUES DE L ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE \begin{center} \includegraphics[width=46.02mm,height=24.21mm]{./ASENS_1982_4_15_3_457_0_images/image001.eps} \end{center} 502 J.-P. DEMAILLY donc ce te rme est majoré {\it par} $\mathrm{O}(\epsilon^{2}{\rm Log}(1/\mathrm{s})|s|^{2}$ e{\it n} vertu $du$ lemme 8. 3. $\mathrm{E}$ nfin si o{\it n} remplace $\chi(|\eta|^{2}/\epsilon^{2})$ {\it par} $\chi(|u|^{2}/\epsilon^{2})$ {\it dans} l'intégr ale (8.22), o{\it n} introduit {\it u}n nouveau terme {\it d}'{\it erreur} qui est majoré par $\mathrm{O}(\epsilon^{2}{\rm Log}(1/\epsilon)|s|^{2}$. Le lemme 8.5 est démontré. $\square $ Nous allons maintenant estimer les différents termes qui apparaissent dans $1' \mathrm{ex}pr\mathrm{essio}n$ de $id'd''\varphi_{\epsilon}$ telle q{\it u} elle est {\it d}onnée d{\it ans} le lemme 8. 5. Nous commencerons {\it par} l'étude d{\it u} terme de courbure. O{\it n} désigne {\it par} $\mathrm{x}(a)$ l{\it a} plus $\mathrm{petite}^{1}\langle\langle$ v{\it aleur p}ropre $\rangle\rangle$ du tenseur {\it d}e courbure $(i/2\pi)c$ (TX) {\it au} point $a$, définie {\it par}: \begin{center} $\displaystyle \tau(a)=\frac{1}{2\pi}\inf_{|\zeta|=|\zeta|=1}c_{jklm}\zeta_{j}\overline{\zeta}_{k}\xi_{l}\overline{\xi}_{m}=\inf_{|\zeta|=|\xi|=1}\frac{i}{2\pi}c$ (TX) $(\zeta\otimes\xi, \zeta\otimes\xi)$. \end{center} O{\it n} pose $\displaystyle \tau_{-}(a)=\sup(0, -\tau(a))$. Comme $\varphi$ est localement somme {\it d}'une fonction de classe $\mathrm{C}^{2}$ et {\it d}'une fonction plurisousharmonique, on {\it peut d}'autre part considérer le nombre $de$ Leiong : $$ \mathrm{v}(\varphi;a)=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{(n-1)!}{2\pi^{n-1}\epsilon^{2n-2}}\int_{u|<\epsilon}\Delta\varphi(u)d\lambda(u), $$ de $\varphi$ {\it au} point $a$. Il est classi {\it que} que $\mathrm{v}(\varphi;a)$ est {\it une} fonction $\geqq 0$ e{\it t} semi-continue supérieurement {\it d}e l{\it a} v{\it ariable} $a$. lemme 8.6. --{\it Il existe une constan} $te\mathrm{C}_{4}$ {\it ayant les propriétés suivan tes. On pose} : \begin{center} (8.24) $\displaystyle \lambda_{\epsilon}(a)=-\frac{\pi\tau_{-}(a)}{2\mathrm{C}\epsilon^{2n-2}}\int\Delta\varphi(u)\chi(\frac{|u|^{2}}{\epsilon^{2}})m(u)+\mathrm{c}_{4}\epsilon^{2}$. \end{center} {\it Alors pour tout} $\epsilon$ {\it assez petit et tout} $a\in \mathrm{V}$, {\it on} $a$: \begin{center} (8.25) $\displaystyle \frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n-2}}\int,\sum_{jk,/,m}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial\overline{\mathrm{u}}_{j}\partial u_{k}}c_{jklm}s_{\iota}\overline{s}_{m}\chi(\frac{|u|^{2}}{\epsilon^{2}})d\lambda(u)\leqq\lambda_{\epsilon}(a)|s|^{2}$, \end{center} (8.26) $\lambda_{\epsilon}(a)$ {\it est fonction continue} $\geqq 0$ {\it de} $a$, {\it fonction croissan} $te$ {\it de} $\epsilon$, {\it et}: $$ \lim_{\epsilon\rightarrow 0}\lambda_{\epsilon}(a)=\tau_{-}(a)\mathrm{v}(\varphi;a). $$ {\it Démonstration}. --E{\it n r}emplaçant éventuellement $\varphi(u)$ par $\psi(u)+\mathrm{C}_{2}''|u|^{2}$ comme {\it dan} $\mathrm{s}$ le lemme 8.4, on p{\it eut} supposer $\varphi$ {\it plurisousharmonique}, O{\it n} v{\it a} alors démontrer le lemme 8. 6, avec $\mathrm{C}_{4}=0$. Pour chaque $s\in \mathbb{C}^{n}$ fixé, o{\it n peut} écri $re$ d{\it ans} une base orthono rmée convenable {\it d}e $\mathrm{T}_{a}\mathrm{X}$ : $$ \sum_{l,m}c_{jk1m}s_{\iota}\overline{s}_{m}=6_{jk}\tau_{j}|s|^{2},\ 1\leqq j,\ k\leqq n, $$ 4${}^{\text{e}}$ SÉRIE -- TOME 15 -- 1982 -- N${}^{\text{o}}$ 3 FIBRÉS HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 503 en diagonalisant {\it par} rapport {\it aux} indices $j,\ k$. Les valeurs propres $\tau_{j}$ sont minorées {\it par} $-2\pi\tau_{-}(a)$. O{\it n} obtient {\it d}onc: $\displaystyle \frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n-2}}\int\sum_{j,k,lm},\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial\overline{u}_{j}\partial u_{k}}c_{jklm}s_{\iota}\overline{s}_{m}\chi(\frac{|u|^{2}}{\epsilon^{2}})M (u)$ $$ =\frac{|s|^{2}}{\mathrm{C}\epsilon^{2n-2}}\int\sum_{j}\tau_{j}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial u_{j}\partial\overline{u}_{j}}\prime\chi(\frac{|u|^{2}}{\epsilon^{2}})d\lambda(u) $$ $$ \leqq-\frac{\pi\tau_{-}(a)}{\mathrm{C}\epsilon^{2n-2}}\int\Delta\varphi\chi(\frac{|u|^{2}}{\epsilon^{2}})\lambda(u)=\lambda_{\epsilon}(a)|s|^{2} $$ $\mathrm{c}ar\chi<0,\ \displaystyle \frac{\partial^{2}\varphi}{\partial u_{j}\partial\overline{u}_{j}}\geqq 0$ et $\displaystyle \sum_{j}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial u_{j}\partial\overline{u}_{j}}=\frac{1}{4}\Delta\varphi$. Posons : \begin{center} (8.27) $\displaystyle \mathrm{v}(\varphi;a;8)=\frac{(n-1)!}{2\pi^{n-1}8^{2n-2}}\int_{u|<\epsilon}\Delta\varphi(u)d\lambda(u)$. \end{center} Des calculs élémentaires montrent que: \begin{center} (8.28) $-\displaystyle \int\Delta\varphi(u)\chi(\frac{|u|^{2}}{8^{2}})d\lambda(u)=\int\Delta\varphi(u)d\mathrm{A} (u)\displaystyle \int_{t>|u|/\epsilon}2t\chi'(t^{2})dt$ $$ =\int_{0}^{1}2t\chi'(t^{2})dt\int_{u|<\epsilon t}\Delta\varphi(u)\theta_{\backslash }(u). $$ \end{center} O{\it n} obtient {\it par} conséquent {\it d}'après (8.24), (8.27) et (8.28) : \begin{center} (8.29) $\displaystyle \lambda_{\epsilon}(a)=\frac{2\pi^{n}\tau_{-}(a)}{\mathrm{C}(n-1)!}\int_{0}^{1}t^{2n-1}\chi'(t^{2})\mathrm{v}(\varphi;a;\epsilon t)dt$ \end{center} avec par définition {\it d}e $\mathrm{C}$ : $$ \mathrm{C}=\int_{u\in \mathbb{C}^{n}}\prime\chi_{\backslash }'(|u|^{2})d\lambda(u)=\frac{2\pi^{n}}{(n-1)!}\int_{0}^{1}t^{2n-1}\chi'(t^{2})dt. $$ L{\it a} q{\it uantité} $\mathrm{v} (\varphi;a; \epsilon)$ définie {\it par} (8.27) est fonction croissante {\it d}e 8 et tend vers $\mathrm{v}(\varphi;a)$ quand 8 tend vers zéro ({\it cf}. P. Lelong [18]). L'assertion (8.26) résulte donc {\it d}e (8.29) [l{\it a} continues {\it t}é {\it d}e $\lambda_{\epsilon}$ {\it est} évidente {\it sur} l'égalité {\it d}e définition (8.24) $].\ \square $ 9. Théorèmes d'approximation pour les fonctions plurisousharmoniques R. Richberg [21], {\it d}ans {\it u}n travail déjà assez $an$ cien, {\it a} résolu le cas des fonctions strictement $p$. s.h. {\it continues} sur un {\it e}space analytique quelconque. Grâce aux outils techniques établis a{\it u} paragraphe 8, {\it n}ous pouvons {\it maintenant} énoncer différents théorèmes d'approximation ANNALES SCIENTIFIQUES DE L ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 504 J.-P. DEMAILLY p{\it our} des fonctions non nécessairement continues, résultats qui {\it avaient} été utilisés à plusieurs reprises {\it d}ans les sections {\it antérieures}. O{\it n} s{\it e} dorîne comme précédemment {\it une} variété analytique $X$ {\it d}e dimension $n$, munie d'une métrique kâhlérienne $\mathrm{tD}$. ThéOrème 9.1. --{\it Soit} $\varphi$ {\it une fonction défnie sur} X {\it et localement plurisousharmonique} {\it modulo} $c\mathcal{C}^{2}(X)$. {\it On suppose données une} (1, {\it Informe réelle} continue6 {\it telle que} $ id'd''\varphi \geqq\Theta$. {\it Alors il existe une famille} croissante $(\hat{\varphi}_{\epsilon})_{\epsilon\in:0,1\mathrm{j}}$ {\it de fonctions de classe} $\mathrm{C}^{\infty}$ {\it sur} X, {\it une famille de} (1, {\it Informes réelles continues} $(\gamma_{\epsilon})$ {\it et une famille} croissante $(\lambda_{\epsilon})$ {\it de fonctions continues} $surX$ {\it ayan} $t$ {\it les proprié tés suivan tes} : (9.1) $\displaystyle \lim_{\epsilon\rightarrow 0}\hat{\varphi}_{\epsilon}(a)=\varphi(a)$ {\it pour tout} $a\in X$; \begin{center} (9.2) $id'd''\hat{\varphi}_{\epsilon}\geqq\gamma_{\epsilon}-\lambda_{\epsilon^{0);}}$ \end{center} (9. 3) $\gamma_{\epsilon}\geqq\Theta$; (9.4) $\gamma_{\epsilon}$ {\it tend vers} $(id'd''\varphi)_{c}$ {\it presque partout sur} $X$ {\it quand} 8 {\it tend vers zéro}; (9. 5) $\lambda_{\epsilon}$ {\it tend vers zéro presque partout sur} $X$ ({\it plus précisément en tout point} $a\in X$ {\it où le nombre} {\it de Leiong} $\mathrm{v}(\varphi;a)$ {\it est nul}); (9.6) {\it Si} $\mathrm{v}(\varphi;a)=0$ {\it pour tout} $a\in \mathrm{X}$ ({\it en particulier si} $\varphi$ {\it est localement bornée}) $\lambda_{\epsilon}$ {\it converge} {\it uniformément vers zéro sur tout compact de} $X$. {\it Démonstration}. -- Soit $\psi$ une fonction exhaustive $de$ classe $\mathrm{C}^{\infty}$ sur X, {\it à} croissance suffis amment {\it rapide p}our que l{\it a} fonction $\varphi_{\epsilon}$ définie {\it par} (8.2) soit {\it d}e classe $\mathrm{C}^{\infty}$ {\it au} voisinage $du$ compact $\{z \in X;\psi(z)\leqq 1/\epsilon\}$. Soit $\mathrm{p}$ {\it une} fonction numérique {\it d}e cl asse $\mathrm{C}^{\infty}$, telle que $0\leqq \mathrm{p}\leqq 1$, avec $\mathrm{p}(t)=1$ si $t\leqq 1/2$ et $\mathrm{p}(t)=0$ si $t\geqq 1$. Lafonction $\varphi_{\epsilon}(z)\mathrm{p}(\epsilon\psi(z))$ est donc définie et de cl asse $\mathrm{C}^{\infty}$ sur $X$ tout entier. Le lemme 8.4 montre de plus q{\it u} il existe des fonctions continues $\mathrm{C}_{2}>0,\ \mathrm{C}_{3}>0$ sur $X$ telles que pour tout 8 on ait: \begin{center} (9.7) $\left\{\begin{array}{l} \varphi_{\epsilon}(z)\mathrm{p}(\epsilon\psi(z))\geqq\varphi(z)-\mathrm{C}_{2}(z)\epsilon^{2}\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}\frac{1}{\epsilon}\\ \frac{d}{d\epsilon}[\varphi_{\epsilon}(z)\mathrm{p}(\epsilon\psi(z))]\geqq-\mathrm{C}_{3}(z)\epsilon \mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}\frac{1}{\epsilon} \end{array}\right.$ \end{center} Soit $\mathrm{C}_{5}$ une fonction {\it d}e classe $\mathrm{C}^{\infty}$ {\it sur} $X$, telle que $\displaystyle \mathrm{C}_{5}>\sup(\mathrm{C}_{2}, \mathrm{C}_{3})$. O{\it n} pose: (9. 8) $\displaystyle \hat{\varphi}_{\epsilon}(z)=\varphi_{\epsilon}(z)\mathrm{p}(\epsilon\psi(z))+\mathrm{C}_{5}(z)\epsilon^{2}({\rm Log}\frac{1}{\epsilon}+\frac{1}{2})$. Les inégalités (9.7) entraînent que: \begin{center} $\hat{\varphi}_{\epsilon}(z)>\varphi(z)$ e$t \displaystyle \frac{d\hat{\varphi}_{\epsilon}(z)}{d\epsilon}>0$. \end{center} {\it D}'{\it autre} p{\it art}, l{\it a} semi-continuité supérieure de $\varphi$ implique : $$ \lim_{\epsilon\rightarrow}\sup_{0}\hat{\varphi}_{\epsilon}(z)=\lim_{\epsilon\rightarrow}\sup_{0}\varphi_{\epsilon}(z)\leqq\varphi(z), $$ c{\it e} qui démontre (9.1). 4${}^{\text{e}}$ SÉRIE -- TOME 15 -- 1982 -- N${}^{\text{o}}$ 3 FIBRÉS HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 505 Il {\it n}ous reste {\it à} démontrer les propriétés (9.2) {\it à} (9.6) e{\it n} construisant les formes $\gamma_{\epsilon}$ {\it e}t les fonctions $\lambda_{\epsilon},\ \lambda$. {\it D}'{\it après} (9.8) il suffit {\it d}e raisonner pour $\varphi_{\epsilon}$. On observe aussi q{\it u} il suffit de construire $\gamma_{\epsilon},\ \lambda_{\epsilon}$, localement, sur {\it un} voisinage V d'un point quelconque $a^{0}\in X$. On recollera ensuite les différentes formes et fonctions {\it a}u moyen d'une partition {\it d}e 1'unité. D'après l{\it a} proposition 8. 5 et le lemme 8. $61a$ fonction (8.24) : $$ \lambda_{\epsilon}(a)=-\frac{\pi\tau(a)}{2\mathrm{C}\epsilon^{2n-2}}\int\Delta\varphi\chi(\frac{|u|^{2}}{\epsilon^{2}})m(u)+\mathrm{C}_{6}\epsilon\ {\rm Log}\frac{1}{\epsilon} $$ sera croissante en 8 et aura l{\it e} $\mathrm{s}$ propriétés (9. 2), (9. 5) requises {\it pourvu} que l{\it a constante} $\mathrm{C}_{6}$ soit assez grande. L'affirmation (9.6) résulte tout simplement $du$ théorème {\it d}e {\it D}ini. Quant {\it à} l{\it a} forme $\gamma_{\epsilon}$, elle {\it p}roviendra d{\it u} premier terme {\it dans} l{\it e} second m{\it embre} de 1'égalité d{\it e} l{\it a} proposition 8.5. Soit en effet : $$ id'd''\varphi=\gamma+\gamma', $$ l{\it a} décomposition {\it d}e Lebesgue $du(1,1)$-courant {\it d}'ordreO $ id'd''\varphi$. L{\it a} partie singulière $\gamma'$ est $un$ courant $\geqq 0,\ \mathrm{t}$ {\it andis} que l{\it a} partie absolument continue $\gamma$ vérifie {\it par} hypothèse l'inégalité $\gamma\geqq\Theta$. On pose : $$ \gamma_{\epsilon}(s, s)=\frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n}}\int\sum_{l,m}\gamma_{\mathrm{t}m}(u)\ s{\it í}\ \overline{s}_{m}'\chi'(\frac{|\eta(0,u)|^{2}}{\epsilon^{2}})d\lambda(u) $$ $(\displaystyle \mathrm{o}\text{ù} \gamma=i\sum\gamma_{lm}du_{\iota}d\overline{u}_{m})$, de {\it sorte que} (9. 2) est {\it b}ien vérifié. Puisque $\gamma$ est {\it à} coefficients $\gamma_{lm}\in \mathrm{L}_{1\mathrm{o}\mathrm{c}}^{1}$, le théorème de Lebesgue montre {\it que} $\gamma_{\epsilon}$ tend vers $\gamma$ {\it p}res {\it que} part {\it u}t sur $X$. Ceci {\it pro} uve (9.4). L'hyp othèse $\gamma\geqq\Theta$ implique {\it d}'autre p{\it art} : $$ \gamma_{\epsilon}(s, s)\geqq\frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n}}\int\sum_{l,m}\Theta_{lm}(u)\ s{\it í}\ \overline{s}_{m}'\chi'(\frac{|\eta(0,u)|^{2}}{\epsilon^{2}})d\lambda(u). $$ Grâce {\it à} l{\it a} continuité {\it d}e $\Theta$, le second membre converge $un$ iformément vers $0(s, s)$ lorsque $\epsilon$ tend vers zéro. $\mathrm{Q}$ uitte {\it à} remplacer $\gamma_{\epsilon}$ {\it par} $\gamma_{\epsilon}+\alpha(\epsilon)0)$ e{\it t} $\lambda_{\epsilon}$ par $\lambda_{\epsilon}+\alpha(\epsilon) [$avec $\displaystyle \lim_{\epsilon\rightarrow 0}\uparrow\alpha (\epsilon)=0]$, toutes les propriétés (9. 1) {\it à} (9.6) sont vérifiées, $\mathrm{y}$ compris (9.3). $\square $ {\it Remarque} 9.2. --Plus généralement, soit $\Theta$ une $($1, $1)-\mathrm{fo}$ rme continue valeurs {\it d}ans le fibre Herm $(\mathrm{E}, \mathrm{E})$ des endomo rphismes hermitiens $d' u\mathrm{n}$ fibre hermitien E. On suppose $ id'd''\varphi\otimes \mathrm{Id}_{\mathrm{E}}\geqq_{s}\Theta$. Alors le théorème 9. 1 est v{\it rai} en remplaçant (9.3) {\it par} : \begin{center} (9.9) $\gamma_{\epsilon}\otimes \mathrm{Id}_{\mathrm{E}}\geqq_{s}\Theta$. \end{center} Pour établir les propriétés (5. 1) {\it à} (5.6) relatives à l'approximation de $$ ic(\mathrm{E}, \varphi)=ic(\mathrm{E})+i(d'd''\varphi)_{c}, $$ o{\it n} choisira $\Theta =-ic(\mathrm{E}).\ \square $ Lorsque $\varphi$ est plurisousharmonique, il est possible de donner un énoncé plus simple. ANNALES SCIENTIFIQUES DE L ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 506 J.-P. DEMAILLY COROLLAIRE 9.3. --{\it Soit} $\varphi$ {\it une fonction plurisousharmonique sur X. Il existe une suite} {\it décroissan} $te(\varphi_{\mathrm{v}})$ {\it de fonctions de classe} $\mathrm{C}^{\infty}$ {\it et une suite} $(\lambda_{\mathrm{v}})$ {\it de fonctions continues} $\geqq 0$ {\it sur} $X$ {\it telles que} : (9. 10) $\displaystyle \mathrm{v}\rightarrow+\infty\lim\downarrow\varphi_{\mathrm{v}}=\varphi$, (9. 11) $id'd''\varphi_{\mathrm{v}}\geqq-\lambda_{\mathrm{v}}\mathfrak{c}0$, (9.12) $\lambda_{\mathrm{v}}$ {\it converge uniformément vers zéro sur tout compact de} $X$. {\it Démonstra tion}. --On applique le théorème 9. 1 avec $0=0$. L{\it a} convergence uniforme {\it d}e $\lambda_{\mathrm{v}}$ {\it n}'est {\it obtenue a priori} que si $\varphi$ est localement bomée. On {\it rempl} ace donc $\varphi$ {\it par} sup $(\varphi, -\mathrm{v})$ et on prend p{\it our} $\varphi_{\mathrm{v}}$ {\it une} fonction {\it d}e classe $\mathrm{C}^{\infty}$ qui approche {\it sup} $(\varphi, -\mathrm{v})$. Il est clair q{\it u} o{\it n} peut s'arranger {\it pour que} l{\it a} suite $\varphi_{\mathrm{v}}$ soit décroissante e{\it t pour} que les conditions (9. 10), (9. 11), (9.12) soient réalisées. $\square $ Le résultat {\it suivant} est relatif {\it à} l'approximation des fonctions plurisousharmoniques exhaustives, e{\it t} constitue $un$ maillon essentiel {\it dan} $\mathrm{s}$ l{\it a} preuve {\it d}e l{\it a} proposition 1.3. ThéOrème 9.4. --{\it Soit} $(X, \mathfrak{c}0)$ {\it une variété kàhlérienne faiblement pseudoconvexe et} $\varphi$ {\it une} {\it fonction plurisousharmonique} exhaustive {\it sur X. Il existe des fonctions continues} $m,\ \mathrm{M}$ {\it exhaustives sur} $X$, {\it telles que} $00$ {\it sur} $X$, {\it on peut trouver unefonction} $\psi$ {\it de classe} $\mathrm{C}^{\infty}$ {\it sur} $X$, {\it telle que} $m\leqq\psi\leqq \mathrm{M}$ {\it et} $ id'd''\psi\geqq-\lambda\omega$. {\it Démonstration}. --Nous supposerons $\varphi\geqq 1$ [sinon il suffit {\it d}e remplacer $\varphi$ {\it par} sup ( $\varphi$, 1)]. P{\it our} t{\it out} réel $c\geqq 0$, on désigne {\it par} $X(c)$ l'ouvert $\{\mathrm{ze} X; \varphi(z)-\frac{1}{2}\lambda_{0})$ e{\it n t}out point ze $X(c_{3\mathrm{v}+5})$, (9. 15) $\left\{\begin{array}{l} \varphi_{\mathrm{v}}(z)\leqq\psi_{\mathrm{v}}(z)<\alpha_{\mathrm{v}}(c_{3\mathrm{v}+6}-c_{3\mathrm{v}}) \mathrm{e}\mathrm{n} \mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t} \mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t} \mathrm{z}\mathrm{e} X(c_{3\mathrm{v}+5}),\\ \psi_{\mathrm{v}}(z)<0 \mathrm{e}n \mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t} \mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t} z\in\overline{X(c_{3\mathrm{v}-1})}, \mathrm{v}\geqq 1. \end{array}\right.$ 4${}^{\text{e}}$ SÉRIE -- TOME 15 -- 1982 -- N${}^{\text{o}}$ 3 FIBRÉS HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 507 Des inégalités (9.15) o{\it n} déduit pour ze $\overline{X(c_{3\mathrm{v}+2})}\backslash X(c_{3\mathrm{v}+1})$: (9. 16) $\left\{\begin{array}{l} \psi_{\mathrm{v}}(z)\geqq\varphi_{\mathrm{v}}(z)\geqq\alpha_{\mathrm{v}}(c_{3\mathrm{v}+1}-c_{3\mathrm{v}}),\\ \psi_{\mathrm{v}-1}(z)<\alpha_{\mathrm{v}-1}(c_{3\mathrm{v}+3}-c_{3\mathrm{v}-3}) \mathrm{s}\mathrm{i} \mathrm{v}\geqq 1, \end{array}\right.$ tandis que {\it pour} $z \in\overline{\mathrm{X}(c_{3\mathrm{v}-1})}\backslash X(c_{3\mathrm{v}-2}),\ \mathrm{v}\geqq 1$, on obtient: (9. 17) $\psi_{\mathrm{v}-1}(z)\geqq\varphi_{\mathrm{v}-1}(z)\geqq\alpha_{\mathrm{v}-1}(c_{3\mathrm{v}-2}-c_{3\mathrm{v}-3})>0>\psi_{\mathrm{v}}(z)\vee$. P{\it our} pouvoir exploiter (9.16), nous définirons $\alpha_{\mathrm{v}}$ par récurrence en posant: (9. 18) $\alpha_{\mathrm{v}}(c_{3\mathrm{v}+1}-c_{3\mathrm{v}})=2\alpha_{\mathrm{v}-1}(c_{3\mathrm{v}+3}-c_{3\mathrm{v}-3})$ {\it d}e so {\it rte} que: (9. 19) $\alpha_{\mathrm{v}}(c_{3\mathrm{v}+1}-c_{3\mathrm{v}})>2\alpha_{\mathrm{v}-1}(c_{3\mathrm{v}-2}-c_{3\mathrm{v}-3})>\ldots>2^{\mathrm{v}}\alpha_{0}(c_{1}-c_{0})>2^{\mathrm{v}}$. L'idée est {\it d}e recoller les fonctions $\psi_{\mathrm{v}}$ {\it pour} obtenir une fonction $\psi$ qui satisfasse {\it aux} exigences d{\it u} théorème 9.4. Soit $\chi_{1}$ une fonction $\geqq 0$ {\it d}e classe $\mathrm{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$, {\it à} $\mathrm{s}$ {\it upport} dans l'i{\it nte r}v alle $[0, 2]$, telle que $\chi_{1} (2- 0=\chi_{1}(t)$ e{\it t} $\displaystyle \int_{0}^{2}\chi_{1}(t)dt=1$. Il vient: \begin{center} (9.20) $\displaystyle \int_{0}^{2}t\chi_{1}(t)dt=\int_{0}^{2}(2-t)\chi_{1}(t)dt=\int_{0}^{2}\chi_{1}(t)dt=1$. \end{center} On $\langle\langle$ {\it interp} ole $\rangle\rangle$ entre $\psi_{\mathrm{v}-1}$ et $\psi_{\mathrm{v}}$ e{\it n p}osant: \begin{center} (9.21) $\displaystyle \psi_{\mathrm{v}}'(z)=\int_{0}^{2}$ sup $(t\psi_{\mathrm{v}-1}(z), \psi_{\mathrm{v}}(z))\chi_{1}(t)dt$. \end{center} Les inégalités (9.16) e{\it t} 1'égalité (9.18) entraînent: $\psi_{\mathrm{v}}'=\psi_{\mathrm{v}}$ {\it au} voisinage {\it d}e $X(c_{3\mathrm{v}+2})\backslash X(c_{3\mathrm{v}+1})$, tandis que (9.17) e{\it t} (9.20) impliquent: $\psi_{\mathrm{v}}'=\psi_{\mathrm{v}-1}$ {\it au} voisinage {\it de} $\overline{\mathrm{X}(c_{3\mathrm{v}-1})}\backslash \mathrm{X}(c_{3\mathrm{v}-2})$. Il est donc légitime de poser: \begin{center} (9.22) $\left\{\psi=\psi_{\mathrm{v}}\psi=\psi_{\mathrm{v}}\mathrm{s}\mathrm{u}r^{\frac{\psi=\psi}{X(c_{3\mathrm{v}+2})}}\backslash X(c_{3\mathrm{v}+1})\mathrm{s}ur\mathrm{X}(c_{3\mathrm{v}+1})\backslash \overline{\mathrm{X}(c_{3\mathrm{v}-1})}0\mathrm{s}\mathrm{u}rX(c_{2})\right. \mathrm{v}\geqq 1\mathrm{v}\geqq 1$. \end{center} Le changement d{\it e variable} $u=t\psi_{\mathrm{v}_{l}^{-}1}(z)-\psi_{\mathrm{v}}(z)$ {\it dan} $\mathrm{s}$ l'intégrale (9.11) {\it donne}: $$ \psi_{\mathrm{v}}'(z)=\psi_{\mathrm{v}}(z)+\int_{0}^{+\infty}u\chi_{1}(\frac{u+\psi_{\mathrm{v}}(z)}{\psi_{\mathrm{v}-1}(z)})\frac{du}{\psi_{\mathrm{v}-1}(z)}; $$ ANNALES SCIENTIFIQUES DE L ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 508 J.-P. DEMAILLY $\psi_{\mathrm{v}}'$ est donc de classe $\mathrm{C}^{\infty}$ {\it sur} l'ouvert X $(c_{3\mathrm{v}+1})\backslash \overline{X(c_{3\mathrm{v}-1})}$, car {\it sur} cet ouvert on $a$ d'après ({\it 9}. 16) et (9. 19) : \begin{center} (9.23) $\psi_{\mathrm{v}-1}\geqq\varphi_{\mathrm{v}-1}\geqq\alpha_{\mathrm{v}-1}(c_{3\mathrm{v}-2}-c_{3\mathrm{v}-3})>2^{\mathrm{v}-1}$. \end{center} {\it Par} conséquent $\psi$ est {\it d}e classe $\mathrm{C}^{\infty}$ sur $X$. Les lignes ({\it 9}. 15) et ({\it 9}. 22) montrent l'existence {\it d}e l{\it a} fonction continue M. {\it D}e {\it plus}: $\psi=\psi_{0}\geqq\varphi_{0}=\varphi \geqq 1$ sur $\overline{\mathrm{X}(c_{2})}$, $\psi=\psi_{\mathrm{v}}>2^{\mathrm{v}}$ sur $X(c_{3\mathrm{v}+2})\backslash X(c_{3\mathrm{v}+1}) [\phi(9.16), (9.19)]$, $\psi=\psi_{\mathrm{v}}'\geqq\psi_{\mathrm{v}}1>2^{\mathrm{v}-1}$ {\it sur} $X(c_{3\mathrm{v}+1})\backslash \overline{\mathrm{X}(c_{3\mathrm{v}-1})}$ [{\it cf}. (9.20), (9.21) et (9.23)]. Il en résulte $1' e\mathrm{xiste}n\mathrm{ce}$ {\it d}'{\it une} fonction continue exhaustive $m$ ayant les propriétés annoncées. Il {\it n}ous reste seulement {\it à} montrer que $id'd''\psi\geqq-\lambda \mathrm{tiJ}$. D'{\it après} ({\it 9}. 14) et (9.22), il suffira d'étudier le cas {\it d}e l{\it a} fonction $\psi_{\mathrm{v}}'$. Soit $z_{0}\in X(c_{3\mathrm{v}+5})$ {\it un} point fixé {\it d}e $X$ et $\mu$ {\it une} fonction {\it de} classe $\mathrm{C}^{2}$ {\it a}u voisinage {\it d}e $z_{0}$ telle que $id'd''\mu=\lambda(z_{0})0)$ {\it a}u point $z_{0}$. ({\it 9}. 14) montre {\it que} $\psi_{\mathrm{v}}+\mu$ et $ t\psi_{\mathrm{v}-1}+\mu,\ 0\leqq_{l}t\leqq 2$ sont $\mathrm{p}$.s.h. {\it sur un} voisinage {\it d}e $z_{0}$ indépendant {\it d}e $t$. {\it Par} conséquent: $\displaystyle \psi_{\mathrm{v}}'+\mu=\int_{0}^{2}$ sup $(t\psi_{\mathrm{v}-1}+\mu, \psi_{\mathrm{v}}+\mu)\chi_{1}(t)dt$ est {\it p}.s. $\mathrm{h}$. {\it au} voisinage de $z_{0}$, et $id'd''\psi_{\mathrm{v}}'\geqq-\lambda_{0}$) e{\it n} $z_{0}.\ \square $ Le prochain énoncé fait intervenir l{\it a} notion {\it d}e stricte plurisousharmonicité {\it p}our {\it une} fonction non nécessairement {\it d}e classe $\mathrm{C}^{2}$. {\it Par} définition, une fonction plurisousharmonique $\varphi$ s{\it era} dite strictement $p$.s.h. si le courant $ id'd''\varphi$ est minoré par {\it une} $($1, $1)-\mathrm{fo}$ rme continue $0>0$, ce qui {\it revient à} dire que $\varphi$ est localement somme d'une fonction $\mathrm{p}$.s.h. et {\it d}'une fonction strictement $p$. {\it s}.h. {\it d}e classe $\mathrm{C}^{2}$. COROLLAIRE 9.5. --{\it Dans le théorème 9}. 4, {\it on suppose dé plus que} $\varphi$ {\it est strictement p.s.h}. $en$ {\it dehors d}'{\it un compact} $\mathrm{K}$ {\it de X. Alors il exis} $te$ {\it unefonction} $p.sh.\ \psi$ {\it de classe} $\mathrm{C}^{\infty}$, {\it exhaus tive sur} $X$ {\it et strictement p.s.h. en dehors d}'{\it un compact de} $X$. {\it Démonstration}. --Reprenons en dét ail l{\it a} construction $du$ théorème 9.4. O{\it n} peut trouver $un$ compact $\mathrm{K}_{1}$ et des fonctions $\psi_{\mathrm{v}}$ {\it d}e classe $\mathrm{C}^{\infty}$ vérifiant ({\it 9}. 14), ({\it 9}. 15) ainsi {\it que} l{\it a} condition : $id'd''\psi_{\mathrm{v}}>0$ en {\it t}out point $z\in X(c_{3\mathrm{v}+5})\backslash \mathrm{K}_{1}$. Le reste d{\it u} raisonnement montre alors que $\psi$ est strictement $\mathrm{p}$.s.h. en dehors {\it d}e $\mathrm{K}_{1}$. P{\it our} {\it r}endre $\psi$ {\it p}.s.h. sur $X$ t{\it out} entier on choisit réel $c>\displaystyle \backslash \sup\psi(\mathrm{K}_{1})$ et o{\it n r}emplace $\psi$ {\it par} l{\it a} fonction $\mathrm{C}^{\infty}$ : $\displaystyle \hat{\psi}(z)=\int_{0}^{2}$ {\it sup} $(c+t, \displaystyle \psi(z))\chi_{1}(t)dt=\psi(z)+\int_{0}^{+\infty}u\chi_{1}(u+\psi(z)-c)du$. 4${}^{\text{e}}$ SÉRIE -- TOME 15 --l982 -- $\mathrm{N}^{\mathrm{o}}3$ FIBRÉS HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 509 II est clair que $\psi$ est {\it p}.s. $\mathrm{h}$. {\it sur} X, et égale {\it à} $\psi$ {\it d}onc strictement {\it p}.s. $\mathrm{h}$. en dehors d{\it e} $\mathrm{K}_{2}=\psi^{-1}(]-\infty, c+2]).\ \square $ Le théo rème {\it 9}. 1 {\it p}e rmet aussi de retrouver {\it d}ans le cas particulier des variétés kâhlériennes les résultats {\it d}e R. Greene e{\it t} H. W{\it u} sur $1' ap\mathrm{p}r\mathrm{oxim}a\mathrm{tion}$ des fonctions plurisousharmoniques continues. COROLLAIRE 9.6 (R. Greene et H. W{\it u} [11]). --{\it Soit} $\Theta$ {\it une} (1, 1)-{\it forme réelle} $con$ {\it tinue et} $\varphi$ {\it une} {\it fonction continue sur} $X$ {\it telle que} $ id'd''\varphi\geqq\Theta$. {\it Alors pour toute fonction continue} $\lambda>0$ {\it sur} X, $il$ {\it existe une fonction} $\varphi$ {\it de classe} $\mathrm{C}^{\infty}$ {\it sur} $X$ {\it telle que} : $\varphi<\psi<\varphi+\lambda$ {\it et} $id'd''\psi\geqq\Theta-\lambda_{0)}$. {\it Démonstration}. -- Grâce $au$ théorème {\it 9}.1, on s{\it ait} construire $\psi$ {\it sur t}out ouvert relativement compact dans $X$. L{\it a} seule difficulté est de construire une fonction $\psi$ globale. Soit $\mathrm{p}$ : $X\rightarrow[0, +\infty[un\mathrm{e}$ fonction exhaustive d{\it e} classe $\mathrm{C}^{\infty}$ sur X; o{\it n} pose $X(c)=\{z\in X$; $\mathrm{p}(z)\psi_{\mathrm{v},1}(z)$ lorsque $\mathrm{p}(z) =\mathrm{v}-1,\ t\in \mathrm{S}u\mathrm{pp}\chi_{2}\subset[1/2, 3/2]$, {\it car} $(1/2)\epsilon_{\mathrm{v}-1}>\epsilon_{\mathrm{v}}>\epsilon_{\mathrm{v}+1}$, Il en résulte que: $\psi_{\mathrm{v}}=\psi_{\mathrm{v},1}$ {\it au} voisinage $du$ compact $\{\mathrm{p}=\mathrm{v}\}$, $\displaystyle \psi_{\mathrm{v}}=\int_{0}^{+\infty}\psi_{\mathrm{v}-1,\mathrm{t}}\chi_{2}(t)dt=\psi_{\mathrm{v}-1,1}$ {\it au} voisinage de $\{\mathrm{p}=\mathrm{v}-1\}$. On définit donc {\it une} fonction {\it d}e cl asse $\mathrm{C}^{\infty}$ {\it sur} X e{\it n p}osant : \begin{center} (9.27) $\psi(z) =\psi_{\mathrm{v}}(z)$ pour v-l $\leqq \mathrm{p}(\mathrm{z}) \mathrm{v},\ \mathrm{v}\geqq 1$. \end{center} Lorsque v-l $\leqq \mathrm{p}(z) <\mathrm{v}$, les relations (9.24) et (9.25) montrent que : $$ \varphi(z)<\psi_{\mathrm{v}.1}(z)\leqq\varphi_{\mathrm{v}+1}(z)+\epsilon_{\mathrm{v}}<\varphi(z)+2\epsilon_{\mathrm{v}}, $$ e{\it t} : $\displaystyle \varphi(z)<\psi_{\mathrm{v}-1,\mathrm{t}}(z)\leqq\varphi_{\mathrm{v}}(z)+\frac{3}{2}\epsilon_{\mathrm{v}-1}<\varphi(z)+2\epsilon_{\mathrm{v}-1}$ pour $t\displaystyle \in[\frac{1}{2}, \displaystyle \frac{3}{2}]$, {\it par} suite $\varphi(z)<\psi(z)=\psi_{\mathrm{v}}(z)<\varphi(z)+2\epsilon_{\mathrm{v}-1}$. L{\it a} condition $\varphi<\psi<\varphi+\lambda$ sera {\it d}onc réalisée dès que les réels $\epsilon_{\mathrm{v}}$ sont choisis assez petits. {\it D}e plus, il est clair d'{\it après} (9. 24), ({\it 9}. 25) et (9.26) qu on peut faire en sorte que $ id'd''\psi\geqq\Theta -\lambda \mathrm{eo}.\ \square $ {\it Remarque} 9.7. - N. Sibony $\mathrm{m}' a$ communiqué $u\tilde{n}$ exemple simple m{\it ontrant} que le corollaire {\it 9}.6 $n' a$ pas {\it d}'{\it analogue} si l'on {\it n}e $\mathrm{s}$ {\it u}ppose pas que $\varphi$ est continue. Ainsi, soit a {\it une} fonction sousharmonique {\it d}ans $\mathbb{C}$ telle que a $(z_{\mathrm{v}})=-\infty$ {\it p}our {\it une} suite dense $\{z_{\mathrm{v}}\}\subset$ C. O{\it n} considère dans $\mathbb{C}^{2}$ l{\it a} fonction strictement $\mathrm{p}$.s.h. : $$ \varphi(z, w)=0\ (z)+\log|w|+|z|^{2}+|w|^{2}, $$ e{\it t} l'{\it ouvert} de Stein $\mathrm{X}=\{(z, w)\in \mathbb{C}^{2};\varphi(z, w)<0\}$. Alors il {\it est} impossible de tro {\it u}ver {\it une} fonction {\it p.s}.h. $\psi$ continue sur X telle que $\varphi<\psi<0$. Une telle fonction $\psi$ serait en effet const {\it a}nte {\it sur} chacune des droites $\{z_{\mathrm{v}}\}\times \mathbb{C}$ et $\mathbb{C}\times\{0\}$ contenues dans {\it X. D}'après l{\it a} continuité {\it d}e $\psi$ et l{\it a} densité d{\it e} l{\it a} suite $\{z_{\mathrm{v}}\},\ \psi$ serait une constante C. O{\it n aurait} donc $\varphi