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\begin{document}

Ànn. Inst. Fourier, Grenoble
35, 4 (1985), 189 à 229.
CHAMPS MAGNÉTIQUES
ET INÉGALITÉS DE MORSE
POUR LA {\it d}''-COHOMOLOGIE
par Jean-Pierre DEMAILLY
0. Introduction.
Soit X une variété C-analytique compacte de dimension $n,\ \mathrm{F}$ un
fibré vectoriel holomorphe de rang $r$ et $\mathrm{E}$ un fibre' holomorphe en droites
hermitien de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ au-dessus de X. Soit $\mathrm{D}=\mathrm{D}'+\mathrm{D}''$ la connexion
canonique de $\mathrm{E}$ et $c(\mathrm{E})=\mathrm{D}^{2}=\mathrm{D}'\mathrm{D}''+\mathrm{D}''\mathrm{D}'$ la forme de courbure de
cette connexion. Désignons par $\mathrm{X}(q),\ 0\leq q\leq n$, l'ouvert des points de
X d'indice $q$, i.e. l'ouvert des points $x \in \mathrm{X}$ en lesquels la forme de
courbure $ic(\mathrm{E})(x)$ a exactement $q$ valeurs propres $<0$ et $(n-q)$
valeurs propres $>0$. On pose également
$$
\mathrm{X}(\leq q)=\mathrm{X}(0)\cup \mathrm{X}(1)\cup\ldots\cup \mathrm{X}(q).
$$
Nous démontrons alors les inégalités de Morse suivantes, qui boment la
dimension des espaces de cohomologie $\mathrm{H}^{\mathrm{q}}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}\otimes \mathrm{F})$ en fonction
d'invariants intégraux de la courbure de E.
ThéOrème 0.1. - {\it Lorsque} $k$ {\it tend vers} $+\infty$ {\it on a pour tout}
$q=0,1,\ \ldots,\ n$ {\it les inégalités asymptotiques suivantes}.
$(a)$ {\it Inégalités de Morse}:
$$
\dim \mathrm{H}^{\mathrm{q}}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{\mathrm{k}}\otimes \mathrm{F})\ \leq r\frac{k^{n}}{n!}\int_{\mathrm{X}\langle q)}(-1)^{\mathrm{q}}(\frac{i}{2\pi}c(\mathrm{E}))^{n}+o(k^{n}).
$$
{\it Mots-clés}: Inégalités de Morse $-d''$ cohomologie-Fibre' linéaire hermitien-Forme de
courbure- Champ magnétique-Opérateur de Schrödinger- Identité de Bochner-Kodaira-
Nakano -Espace de MoiSezon.

190
JEAN-PIERRE DEMAILLY
$(b)$ {\it Inégalités de Morse fortes}:
$\displaystyle \sum_{j=0}^{\mathrm{q}}(-1)^{\mathrm{q}-j}\dim \mathrm{H}^{j}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}\otimes \mathrm{F})\leq r\frac{k^{n}}{n!}\int_{\mathrm{X}(\leq q)}(-1)^{\mathrm{q}}(\frac{i}{2\pi}c(\mathrm{E}))^{n}+o(k^{n})$.
$(c)$ {\it Formule de Riemann-Roch asymptotique}:
$$
\sum_{\mathrm{q}=0}^{n}(-1)^{\mathrm{q}}\dim \mathrm{H}^{\mathrm{q}}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{\mathrm{k}}\otimes \mathrm{F})=r\frac{k^{n}}{n!}\int_{\mathrm{x}}(\frac{i}{2\pi}c(\mathrm{E}))^{n}+o(k^{n}).
$$
Les estimations 0.1 $(a),\ (b)$ sont nouvelles à notre connaissance, même
dans le cas des variétés projectives. L'égalité asymptotique 0.1 $(c)$, quand à
elle, est une version affaiblie du théorème de Hirzebruch-Riemann-Roch,
qui est lui-même un cas particulier du théorème de $1' \mathrm{indice}$ d'Atiyah-
Singer [1]. Ce demier théorème permet en effet d'exprimer la caractéristique
d'Euler-Poincaré
$$
\chi(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}\otimes \mathrm{F})=\sum_{\mathrm{q}=0}^{n}(.-1)^{q}\dim \mathrm{H}^{\mathrm{q}}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}\otimes \mathrm{F})
$$
sous la forme
\begin{center}
(0.2)   X $(\displaystyle \mathrm{X},\mathrm{E}^{k}\otimes \mathrm{F})=r\frac{k^{n}}{n!}c_{1}(\mathrm{E})^{n}+\mathrm{P}_{n-1}(k)$;
\end{center}
$\mathrm{P}_{n-1}(k)\in \mathrm{Q}[k]$ désigne ici un polynôme de degré $\leq n-1$ et
$c_{1}(\mathrm{E})\in \mathrm{H}^{2}(\mathrm{X},\mathrm{Z})$ est la première classe de Chem de $\mathrm{E}$, représentée en
cohomologie de De Rham par la (l,1)-forme fermée $\displaystyle \frac{i}{2\pi}c(\mathrm{E})$ (cf. par
exemple [16] $)$. On observera que la constante numérque de 1'inégalité
0. 1 $(a)$ est optimale, comme le montre $1' \mathrm{exemple}$ du fibre' produit tensoriel
total $\mathrm{E}=\mathcal{O}(1)^{n-\mathrm{q}}$ El $\mathcal{O}(-1)^{\mathrm{q}}$ au-dessus de X $=(\mathrm{P}^{1}(\mathrm{C}))^{n}$ Pour ce fibre,
on a en effet $\mathrm{X}(q)=\mathrm{X}$ et
$$
\dim \mathrm{H}^{\mathrm{q}}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{\mathrm{k}})=(k+1)^{n-\mathrm{q}}(k-1)^{q},\ k\geq 1,
$$
\begin{center}
$\displaystyle \int_{\mathrm{x}}(\frac{i}{2\pi}c(\mathrm{E}))^{n}=(-1)^{q}n$ !.
\end{center}
L'existence d'une majoration du type 0.1 $(a)$ était conjecturée par
Y. T. Siu, qui a successivement démontré le cas particulier où $ic(\mathrm{E})$ est
$>0$ dans le complémentaire d'un ensemble de mesure nulle [16], puis le
cas où $ic(\mathrm{E})$ est $\geq 0$ sur X [17]. Nous avons d'ailleurs emprunté à Siu
une partie des techniques utilisées ici, notamment aux \S 3 et \S 5. La preuve

INÉGALITÉS DE MORSE EN $d''$-COHOMOLOGIE
191
du théorème 0.1 repose sur la méthode analytique introduite récemment
par E. Witten[18], [19]. Cette méthode permet (entre autres) de
redémontrer les inégalités de Morse classiques $b_{q}\leq m_{q}$ sur une variété
différentiable compacte $\mathrm{M}$, où $b_{\mathrm{q}}$ désigne le {\it q-ième} nombre $\dot{\mathrm{d}}e$ Betti et
$m_{\mathrm{q}}$ le nombre de points critiques d'indice $q$ d'une fonction de Morse
quelconque sur M. Dans notre situation, le rôle de la fonction de Morse
est tenu par le choix de la métrique hermitienne sur E. On munit d'autre
part X et $\mathrm{F}$ de métriques hermitiennes arbitraires, qui interviendront
seulement dans les termes $o(k^{n})$ des estimations finales. Étant donné un
réel $\lambda\geq 0$, on considère le sous-complexe $\mathcal{X}_{k}(\lambda)$ du complexe de
Dolbeault $\mathcal{C}_{0}^{\infty}.(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}\otimes \mathrm{F})$ des $(0,q)$-formes de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur X à valeurs
dans $\mathrm{E}^{k}\otimes \mathrm{F}$, engendré par les fonctions propres du Laplacien
antiholomorphe $\Delta''$ dont les valeurs propres sont $\leq k\lambda$. Les groupes de
cohomologie du complexe $\mathcal{X}_{k}(\lambda)$ sont alors isomorphes aux groupes
$\mathrm{H}^{q}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}\otimes \mathrm{F})$ (proposition 4.1), de sorte qu il suffit de savoir borner la
dimension des espaces $\mathcal{P}_{k}^{q}(\lambda)$. Pour cela, on utilise essentiellement deux
outils.
Le premier outil consiste en une formule de type Weitzenbôck
\begin{center}
(0.3) $\displaystyle \frac{2}{k}\int_{\mathrm{x}}\langle\Delta''u,u\rangle=\int_{\mathrm{x}}\frac{1}{k}|\nabla_{k}u+\mathrm{S}u|^{2}-\langle \mathrm{V}u,u\rangle+\frac{1}{k}\langle\Theta u,u\rangle$
\end{center}
démontrée au \S 3, et dérivée de l'identité de Bochner-Kodaira-Nakano non
kâhlérienne [6]. $\nabla_{k}$ désigne ici la connexion hermitienne naturelle sur le
fibré $\Lambda^{0.\mathrm{q}}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes \mathrm{E}^{k}\otimes \mathrm{F},\ \mathrm{V}$ est un potentiel linéaire d'ordrç$\grave{} 0$ lié à la
courbure du fibre $\mathrm{E}$, enfin $\mathrm{S}$ et $\Theta$ sont des opérateurs d'ordre $0$
provenant de la torsion de la métrique hermitienne sur X et de la courbure
de F. L'étude du spectre de $\Delta''$ se trouve donc ramenée à l'étude du
spectre de l'opérateur autoadjoint $\nabla_{k}^{*}\nabla_{k}$ associé à la connexion réelle $\nabla_{k}$.
Le deuxième outil fondamental consiste précisément en un théorème
spectral très général relatif aux opérateurs du type $\nabla^{*}\nabla$. Soit $(\mathrm{M},g)$ une
variété riemannienne $\mathcal{C}^{\infty}$ de dimension réelle $n,\ \mathrm{E}$ un fibré en droites
complexes au-dessus de X, muni d'une connexion hermitienne $\nabla$. Si $\nabla_{k}$
désigne la connexion induite par $\nabla$ sur $\mathrm{E}^{k}$, on étudie alors le spectre de la
forme quadratique
\begin{center}
(0.4)   $\displaystyle \mathrm{Q}_{k}(u)=\int_{\Omega}(\frac{1}{k}|\nabla_{k}\mathrm{u}|^{2}-\mathrm{V}|u|^{2}) d\mathrm{o},\ u\in \mathrm{L}^{2}(\Omega,\mathrm{E}^{\mathrm{k}})$
\end{center}


192
JEAN-PIERRE DEMAILLY
pour le problème d{\it e} Dirichlet, où $\Omega$ est un ouvert relativement compact
dans $\mathrm{M}$, {\it e}t où V est un potentiel scalaire continu sur M. D'un point d{\it e}
vue physique, ceci revient à étudier l{\it e} spectre d{\it e} 1'opérateur d{\it e} Schrôdinge $\mathrm{r}$
$\displaystyle \frac{1}{k}(\nabla_{k}^{*}\nabla_{k}-k\mathrm{V})$ associé au champ électrique $k\mathrm{V}$ {\it e}t au champ magnétique
$k\mathrm{B}$, où $\mathrm{B}=-i\nabla^{2}$ n'est autre que la 2-forme de courbure d{\it e} la
connexion V. C'est dans la présence d{\it e} c{\it e} champ magnétique que réside
notre contribution principale par rapport à la méthode d{\it e} E. Witten [18],
[19] (dans l{\it e} cas de la cohomologie de D{\it e} Rham le champ magnétique est
toujours nul puisque $d^{2}=0$).
En tout point $\chi \in \mathrm{X}$, soit $2s=2s(x)\leq n$ l{\it e} rang d{\it e} $\mathrm{B}(\mathrm{x})$ {\it e}t
$\mathrm{B}_{1}(x) \geq\ldots\geq \mathrm{B}_{s}(x) >0$ les modules des valeurs propres non nulles d{\it e}
l'endomorphisme antisymétrique associé. On définit une fonction $\mathrm{v}_{\mathrm{B}(x)}(\lambda)$
du couple $(x,\lambda)\in \mathrm{M}\times \mathrm{R}$, continue à gauche en $\lambda$, {\it e}n posant
(0.5) $\displaystyle \mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\lambda)=\frac{2^{s-n}\pi^{-\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}-s+1)}\mathrm{B}_{1}\ldots \mathrm{B}_{s}\sum_{(p_{1},\ldots,p_{s})\epsilon \mathrm{N}^{s}}[\lambda-\Sigma(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}]^{\frac{n}{2+}-s}$
avec la convention $0^{\mathrm{o}}=0$. Enfin, si $\lambda_{1}\leq\lambda_{2}\leq\ldots$ désignent l{\it e} $\mathrm{s}$ vale urs
propres d{\it e} $\mathrm{Q}_{k}$ (comptées avec multiplicité), on considère la fonction de
dénombrement
$\mathrm{N}_{k}(\lambda)=$ card $\{j;\lambda_{j}\leq\lambda\},\ \lambda\in$ R.
ThéOrème 0.6. - {\it Si} $\partial\Omega$ {\it est de mesure nulle, il existe un ensemble}
{\it dénombrable} $\mathcal{D}\subset \mathrm{R}$ {\it tel que}
$$
\lim_{k\rightarrow+\infty}k^{-\frac{n}{2}}\mathrm{N}_{k}(\lambda)=\int_{\Omega}\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V}+\lambda)d\sigma
$$
{\it pour tout} $\lambda\in \mathrm{R}\backslash \mathcal{D}$.
Pour démontrer le théorème 0.6, on commence par étudier l{\it e} cas simple
où $\mathrm{M}=\mathrm{R}^{n}$ avec un champ magnétique constant $\mathrm{B}$ {\it e}t avec $\mathrm{V}=0$.
Lorsque $\Omega$ est un cube, on sait alors expliciter les fonctions propres par
une transformation d{\it e} Fourier partielle qui ramène l{\it e} problème à celui
classique d{\it e} $1' \mathrm{oscillat}e\mathrm{ur}$ harmonique {\it e}n une variable. L'idée d{\it e} ce calcul
nous a été fortement inspirée par les articles [3] [4] de Y. Colin d{\it e} Verdière.
L'extension du résultat au cas d'un champ magnétique quelconque reprend

INÉGALITÉS DE MORSE EN $d''$-COHOMOLOGIE
193
une idée d{\it e} [16], consistant à utiliser un pavage d{\it e} $\Omega$ par des cubes assez
petits. Notre méthode est néanmoins très différente d{\it e} celle d{\it e} Siu, puisque
nous travaillons directement sur les formes harmoniques alors que Siu s{\it e}
ramenait aux cochaînes holomorphes via l'isomorphisme d{\it e} Dolbeault. On
gagne ainsi beaucoup {\it e}n précision sur les estimations cherchées. L{\it e} côté des
cubes doit être ici choisi d'un ordre de grandeur inte rmédiaire entre $k^{-\frac{1}{2}}$ {\it e}t
$k^{-\frac{1}{4}}$, par exemple $k^{-\frac{1}{3}}$ : $k^{-\frac{1}{2}}$ est {\it e}n effet la longue ur d'onde d{\it e} $\mathrm{s}$ première $\mathrm{s}$
fonctions propres, d{\it e} sorte que l'action du champ magnétique $\mathrm{B}$ n'est pas
perceptible à une échelle inférieure; au-dessus de $k^{-\frac{1}{4}}$, l'oscillation d{\it e} $\mathrm{B}$ est
au contraire trop forte. On utilise finalement l{\it e} principe du minimax pour
comparer les valeurs propres sur $\Omega$ aux valeurs propres sur les cubes.
Dans la méthode antérieure de [16] (telle qu {\it e}lle est reprise dans [7]), la
taille des cubes était choisie égale à $k^{-\frac{1}{2}}$; on peut voir aisément que ce
choix était critique pour permettre de bomer les effets du champ
magnétique indépendamment d{\it e} $k$, mais la détermination exacte du
spectre devenait alors impossible.
L{\it e} demier paragraphe est consacré à l'étude d{\it e} caractérisations
géométrque $\mathrm{s}$ des espaces d{\it e} MoiSezon [13]. Rappelons qu un espace
analytique compact irréductible X est appelé espace d{\it e} MoiSezon si l{\it e}
corps $\mathrm{K}(\mathrm{X})$ des fonctions méromorphes sur X est de degré d{\it e}
transcendance $=n=\dim_{\mathrm{c}}\mathrm{X}$. La conjecture de Grauert-Riemenschneider
[10] affirme que X est d{\it e} MoiSezon si et seulement si il existe un faisceau
quasi-positif 8 de rang 1 sans torsion au-dessus d{\it e} X. Par
désingularisation, on s{\it e} ramène au cas où X est lisse et où $g$ est l{\it e}
faisceau localement libre des sections d'un fibre' {\it e}n droites $\mathrm{E}$ strictement
positif sur un ouvert dense d{\it e} X. Y. T. Siu [17] a résolu récemment la
conjecture {\it e}t l'a renforcée {\it e}n supposant seulement $ic(\mathrm{E})$ semi-positive {\it e}t
$>0$ {\it e}n au moins un point. L'utilisation du théorème 0.1 $(b)$ permet de
trouver des conditions géométrques plus faibles encore, qui n'exigent pas
la semi-positivité ponctuelle d{\it e} $ic(\mathrm{E})$, mais s{\it e} ulement la positivité d'une
certaine intégrale de courbure. Pour $q=1$, l'inégalité 0.1 $(b)$ implique {\it e}n
effet une minoration du nombre d{\it e} sections holomorphes de $\mathrm{E}^{k}$, à savoir:
\begin{center}
(0.7)   $\displaystyle \dim \mathrm{H}^{0}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k})\geq\frac{k^{n}}{n!}\int_{\mathrm{X}\langle\leq 1)}(\frac{i}{2\pi}c(\mathrm{E}))^{n}-o(k^{n})$.
\end{center}
On p{\it e} ut nombrer d'autre part, {\it e}n utilisant un raisonnement classique d{\it e}
Siegel [15] mis {\it e}n forme par [16] que $\dim \mathrm{H}^{0}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k})\leq \mathrm{ct}e.k^{n-1}$ si X n'est

194
JEAN-PIERRE DEMAILLY
pas d{\it e} MoiSezon (cf. théorème 5.1). D{\it e} là il résulte l{\it e}
ThéOrème 0.8. --{\it Soit} X {\it une variété C-analytique compacte connexe de}
{\it dimension} $n$. {\it Pour que} X {\it soit de Moisezon, il suffit que} X {\it possède un fibré}
{\it holomorphe en droites hermitien vérifiant l}'{\it une des hypothèses} (a), (b), (c) {\it ci}-
{\it dessous}.
$(\displaystyle \mathrm{a})\int_{\mathrm{X}(\leq 1)}(ic(\mathrm{E}))^{n}>0$.
(b) $c_{1}(\mathrm{E})^{n}>0$, {\it et la forme de courbure} $ic(\mathrm{E})$ {\it ne possède aucun point}
{\it d}'{\it indice pair} $\neq 0$.
(c) $\mathfrak{X}(\mathrm{E})$ {\it est semi-positive en tout point de} $\mathrm{X}$ {\it et définie positive en au}
{\it moins un point de} X.
C{\it e} travail a fait l'objet d'une note [8] du même titre, publiée aux
Comptes Rendus. L{\it e} présent article est une version améliorée d'un
mémoire antére ur [7], qui était plus proche des techniques initiales d{\it e} Siu,
et qui démontrait seulement l'inégalité 0.1 (a) à la constante numérique
près; d{\it e} c{\it e} fait, les estimations 0.1 (b) {\it e}t (c) restaient inaccessibles.
L'auteur remercie vivement MM. Gérard Besson, Alain Dufresnoy,
Sylvçstre Gallot et tout particulièrement Yves Colin d{\it e} Verdière, pour d{\it e}
stimulantes conversations qui ont beaucoup contribué à la mise {\it e}n forme
définitive des idées de c{\it e} travail, notamment dans l{\it e} \S 1.
1. Spectre de l'opérateur de Schrôdinger associé
à un champ magnétique constant.
Soit $(\mathrm{M},g)$ une variété riemannienne d{\it e} classe $\mathcal{C}^{\infty}$, d{\it e} dimension
réelle $n$, {\it e}t $\mathrm{E}\rightarrow \mathrm{M}$ un fibre {\it e}n droites complexes au-dessus d{\it e} $\mathrm{M}$, muni
d'une métrique hermitienne $\mathcal{C}^{\infty}$ Notons $\mathcal{C}_{\mathrm{q}}^{\infty}$ (M,E) l'espace des sections
d{\it e} classe $\mathcal{C}^{\infty}$ du fibré $\Lambda^{q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{M}\otimes \mathrm{E}$, {\it e}t $(?|?)$ l'accouplement
sesquilinéaire canonique
$$
\mathcal{C}_{\mathrm{q}}^{\infty}(\mathrm{M},\mathrm{E})\times \mathcal{C}_{\mathrm{q}}^{\infty}(\mathrm{M},\mathrm{E})\rightarrow \mathcal{C}_{p+q}^{\infty}(\mathrm{M},\mathrm{C}).
$$
On suppose donnée une connexion h{\it e} rmitienne $\mathrm{D}$ sur $\mathrm{E}$, c'est-à-dire un
opérateur différentiel d'ordre un
$\mathrm{D}:\wp_{\mathrm{q}}^{\infty}(\mathrm{M},\mathrm{E})\rightarrow \mathcal{C}_{\mathrm{q}+1}^{\infty}$ (M,E), $0\leq q<n$,

INÉGALITÉS DE MORSE EN $d''$-COHOMOLOGIE
195
vérifiant les identités
$(\mathrm{i}.\mathrm{i}) \mathrm{D}(f\wedge u)=df\wedge u+(-1)^{m}f\wedge \mathrm{D}u$,
\begin{center}
(1.2)   $d(u|v)=(\mathrm{D}u|v)+(-1)^{p}(u|\mathrm{D}v)$,
\end{center}
pour toutes sections $f\in \mathcal{C}_{m}^{\infty}(\mathrm{M},C),\ u\in \mathcal{C}_{p}^{\infty}(\mathrm{M},\mathrm{E}),\ v\in \mathcal{C}_{q}^{\infty}(\mathrm{M},\mathrm{E})$. Soit
$\Theta$ : $\mathrm{E}|_{\mathrm{W}}\rightarrow \mathrm{W}\times C$ une trivialisation isométrque d{\it e} $\mathrm{E}$ au-d{\it e} ssus d'un
ouvert $\mathrm{W}\subset$ M. Les connexions hermitiennes d{\it e} $\mathrm{E}|_{\mathrm{W}}$ sont alors toutes
données par la formule suivante:
D{\it u} $=du+i\mathrm{A}\wedge \mathrm{u}$,
où $u\in \mathcal{C}_{\mathrm{q}}^{\infty}$ (W,E) $\simeq \mathcal{C}_{\mathrm{q}}^{\infty}(\mathrm{W},C)$ {\it e}t où $\mathrm{A}\in \mathcal{C}_{1}^{\infty}$ (W,R) est une 1-forme {\it réelle}
arbitraire.
L{\it e champ magnétique} (ou forme de courbure) associé à la connexion $\mathrm{D}$
est la 2-forme réelle fermée $\mathrm{B}=d\mathrm{A}$ telle que
$$
\mathrm{D}^{2}u=i\mathrm{B}\wedge u
$$
pour tout $u\in \mathcal{C}_{q}^{\infty}$ (M,E). $\mathrm{B}$ n{\it e} dépend donc que d{\it e} la connexion $\mathrm{D}$, mais
pas de la trivialisation $\Theta$ choisie. Un changement d{\it e} phase $u=ve^{i\varphi}$ dans
9 conduit à remplacer A par $\mathrm{A}+d\varphi$. L{\it e} choix d'une trivialisation d{\it e} $\mathrm{E}$
{\it e}t d{\it e} la 1-forme A correspondante s'interprète physiquement comme l{\it e}
choix d'un potentiel vecteur particulier du champ magnétique B.
Désignons par $|u|$ la norme ponctuelle d'un élément $u\in\Lambda^{\mathrm{q}}\mathrm{T}^{*}\mathrm{M}\otimes \mathrm{E}$
pour la métrque produit tensoriel des métriques d{\it e} $\mathrm{M}$ {\it e}t E. Si $\Omega$ est un
ouvert d{\it e} $\mathrm{M}$, on note $\mathrm{L}^{2}(\Omega,\mathrm{E})$ (resp. $\mathrm{L}_{q}^{2}(\Omega,\mathrm{E})$) $1' e\mathrm{spac}e\mathrm{L}^{2}$ d{\it e} $\mathrm{s}$ sections
d{\it e} $\mathrm{E}$ (resp. d{\it e} $\Lambda^{\mathrm{q}}\mathrm{T}^{*}\mathrm{M}\otimes \mathrm{E}$) au-dessus de $\Omega$, muni de la norme
$||u||_{\Omega}^{2}=\displaystyle \int_{\Omega}|u|^{2}$ {\it do},
où $ d\sigma$ est la densité de volume riemannien sur M.
Soit $\mathrm{D}_{k}$ la connexion induite par $\mathrm{D}$ sur la puissance tensorielle {\it k}-
ième $\mathrm{E}^{\mathrm{k}}$, {\it e}t V un potentiel scalaire sur $\mathrm{M}$, i.{\it e}. une fonction réelle
continue. Étant donné un ouvert relativement compact $\Omega\subset \mathrm{M}$, nous
nous proposons de déterminer asymptotiquement lorsque $k$ tend vers
$+\infty$ l{\it e} spectre d{\it e} la forme quadratique
\begin{center}
(1.3)   $\displaystyle \mathrm{Q}_{\Omega,k}(u)=\int_{\Omega}(\frac{1}{k}|\mathrm{D}_{k}u|^{2}-\mathrm{V}|u|^{2})d\sigma$
\end{center}


196
JEAN-PIERRE DEMAILLY
où $u\in \mathrm{L}^{2}(\Omega,\mathrm{E}^{k})$, avec condition d{\it e} Dirichlet $u|_{\partial\Omega}=0$. L{\it e} domaine d{\it e}
$\mathrm{Q}_{\Omega,k}$ est donc $1' \mathrm{espac}e$ de Sobolev $\mathrm{W}_{\mathrm{o}}^{1}(\Omega,\mathrm{E}^{k})=$ adhérence de $1' \mathrm{espac}e$
$\mathcal{D}(\Omega,\mathrm{E}^{k})$ des sections $\mathrm{C}^{\infty}$ de $\mathrm{E}^{k}$ à support compact dans $\Omega$ dans
l'espace $\mathrm{W}^{1}(\mathrm{M},\mathrm{E}^{k})$. D'un point d{\it e} vue physique, ceci revient à étudier l{\it e}
spectre d{\it e} 1'opérateur d{\it e} Schrôdinger $\displaystyle \frac{1}{k}(\mathrm{D}_{k}^{*}\mathrm{D}_{k}-k\mathrm{V})$ associé au champ
magnétique $k\mathrm{B}$ et au champ électrique $k\mathrm{V}$, lorsque $k$ tend vers $+\infty$.
Nous renvoyons le lecteur à l'article classique [2] pour une étude générale
du spectre de l'opérateur de Schrôdinge $\mathrm{r}$, et aux travaux [3], [4], [5], [9], [12]
pour 1'étude de problèmes asymptotiques voisins du précédent.
Définition 1.4. - {\it On désignera par} $\mathrm{N}_{\Omega,k}(\lambda)$ {\it le nombre de valeurs}
{\it propres} $\leq\lambda$ {\it de la forme quadratique} $\mathrm{Q}_{\Omega,k}$.
Nous allons d'abord étudier un cas simple qui servira d{\it e} modèle pour l{\it e}
cas général au \S 2. On se place dans la situation suivante: $\mathrm{M}=\mathrm{R}^{n}$ avec la
métrique constante $g=\displaystyle \sum_{j=1}^{n}dx_{j}^{2},\ \Omega$ est l{\it e} dube d{\it e} côté $r$:
$$
\Omega=\{(x_{1},\ldots,x_{n})\in \mathrm{R}^{n};|x_{j}|<\frac{r}{2'}1\leq j\leq n\},
$$
V $=0$, {\it e}t enfin l{\it e} champ magnétique $\mathrm{B}$ est constant, égal à la 2-forme
altemée d{\it e} rang $2s$ donnée par
$$
\mathrm{B}=\sum_{j=1}^{s}\mathrm{B}_{j}dx_{j}\wedge dx_{j+s},
$$
avec $\mathrm{B}_{1}\geq \mathrm{B}_{2}\geq\cdots\geq \mathrm{B}_{s}>0,\ s\displaystyle \leq\frac{n}{2}$. On peut alors choisir une
trivialisation d{\it e} $\mathrm{E}$ dont l{\it e} potentiel vecteur associé est
$$
\mathrm{A}=\sum_{j=1}^{s}\mathrm{B}_{j}x_{j}dx_{j+\mathrm{s}}.
$$
La connexion de $\mathrm{E}^{k}$ s'écrt donc
$$
\mathrm{D}_{k}u=du+ik\mathrm{A}\wedge u,
$$
et la forme quadratique $\mathrm{Q}_{\Omega,k}$ est donnée par
$\displaystyle \mathrm{Q}_{\Omega,k}(u)=\frac{1}{k}\int_{\Omega}[_{1_{\backslash }}\sum_{<j\leq s}(|\frac{\partial u}{\partial x_{j}}\left|2 & +\right|\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x_{j+s}}+ik\mathrm{B}_{j}x_{J}u|^{2})+\sum_{j>2s}|\frac{\partial u}{\partial x_{j}}|^{2}]d\mu$

INÉGALITÉS DE MORSE EN $d''$-COHOMOLOGIE
197
où $ d\mu$ désigne la mesure d{\it e} Lebesgue sur $\mathrm{R}^{n}$. Si on effectue l'homothétie
$\mathrm{X}_{j}=\sqrt{k}x_{j}$, on est ramené à étudier les valeurs propres d{\it e} la forme
quadratique
$$
\int_{\sqrt{k}\mathrm{f}1}[_{1_{\sim}}\sum_{<j\leq s}\ (|\frac{\partial u}{\partial \mathrm{X}_{j}}\left|2 & +\right|\frac{\partial u}{\partial \mathrm{X}_{j+s}}+i\mathrm{B}_{j}\mathrm{X}_{J}u|^{2})+\sum_{j>2s}|\frac{\partial u}{\partial \mathrm{X}_{j}}|^{2}]d\mu
$$
sur les cubes $\sqrt{k}\Omega$ d{\it e} côté $\sqrt{k}r$. Au champ $\mathrm{B}$, nous associons la
fonction d{\it e} la variable réelle $\lambda$ définie par
\begin{center}
(1.5)   $\displaystyle \mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\lambda)=\frac{2^{s-n}\pi^{-\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}-s+1)}\mathrm{B}_{1}\ldots \mathrm{B}_{\mathrm{s}}\sum_{(p_{1},\ldots,p_{s})\in \mathrm{N}^{S}}[\lambda-\Sigma(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}]^{\frac{n}{2+}-s}$
\end{center}
où l'on pose par convention $\lambda_{+}^{0}=0$ si $\lambda\leq 0$ {\it e}t $\lambda_{+}^{0}=1$ si $\lambda>0$. La
fonction $\mathrm{v}_{\mathrm{B}}$ est donc croissante {\it e}t continue à gauche sur $\mathrm{R}$; on observera
que $\mathrm{v}_{\mathrm{B}}$ est {\it e}n fait continue si $s<\displaystyle \frac{n}{2}$. L{\it e} spectre d{\it e} $\mathrm{Q}_{\Omega,k}$ est alors décrit
asymptotiquement par l{\it e} théorème suivant, dont 1'idée nous a été suggérée
par Y. Colin de Verdière [4].
ThéOrème 1.6. - {\it Soit} $\mathrm{R}$ {\it un réel} $>0$,
$$
\mathrm{P}(\mathrm{R})=\{x\in \mathrm{R}^{n};|x_{j}|<\frac{\mathrm{R}}{2}\}
$$
{\it le pavé de côté} $\mathrm{R}$, QR {\it la forme quadratique}
$\displaystyle \mathrm{Q}_{\mathrm{R}}(\mathrm{u})=\int_{\mathrm{P}(\mathrm{R})}[_{1_{\backslash }}\sum_{<j\leq s}(|\frac{\partial u}{\partial x_{j}}\left|2 & +\right|\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x_{j+s}}+i\mathrm{B}_{j}x_{J}u|^{2})+\sum_{j>2s}|\frac{\partial u}{\partial x_{j}}|^{2}]d\mu$,
{\it et} $\mathrm{N}_{\mathrm{R}}(\lambda)$ {\it le nombre de valeurs propres} $\leq\lambda$ {\it de} QR {\it pour le problème de}
{\it Dirichlet. Alors pour tout} $\lambda\in \mathrm{R}$ {\it on a}
$$
\lim_{\mathrm{R}\rightarrow+\infty}\mathrm{R}^{-n}\mathrm{N}_{\mathrm{R}}(\lambda)=\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\lambda).
$$
Lorsque $s=\displaystyle \frac{n}{2},\ \mathrm{v}_{\mathrm{B}}$ est une fonction {\it e}n escalier. Les valeurs propres d{\it e}
QR s{\it e} regroupent donc par paquets autour des valeurs $\Sigma(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}$, avec
multiplicité approximative $(2\pi)^{-s}\mathrm{B}_{1}\ldots \mathrm{B}_{s}\mathrm{R}^{n}$. Ceci p{\it e} ut s'interpréter
physiquement comme un phénomène d{\it e} quantification des états propres.

198
JEAN-PIERRE DEMAILLY
En revenant au problème initial relatif à la forme quadratique $\mathrm{Q}_{\Omega,k}$, nous
obtenons l{\it e}
COROLLAIRE 1.7. $-\displaystyle \lim_{k\rightarrow+\infty}k^{-\frac{n}{2}}\mathrm{N}_{\Omega,k}(\lambda)=r^{n}\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\lambda).\ \square $
{\it Démonstration} $du$ {\it théorème} 1.6. - On cherche d'abord à majorer
$\mathrm{N}_{\mathrm{R}}(\lambda)$. Dans c{\it e} but, étant donné $u\in \mathrm{W}_{0}^{1}(\mathrm{P}(\mathrm{R}))$, on exprime $u$ sous
forme d{\it e} série de Fourier partielle par rapport aux variable $\mathrm{s}x_{s+1},\ \ldots,\ x_{n}$ :
$u(x) =\displaystyle \mathrm{R}^{-\frac{1}{2}\langle n-s)}\sum_{\ell\in \mathrm{Z}^{n-s}}u_{t}(x')$ exp $(\displaystyle \frac{2\pi i}{\mathrm{R}}l. x'')$
où $u_{1}\in \mathrm{W}_{0}^{1}(\mathrm{R}^{s}\cap \mathrm{P}(\mathrm{R}))$, avec les notations
$$
x'=(x_{1^{ }},\ldots,\mathrm{x}_{s}),\ x''=(x_{s+1^{ }},\ldots,x_{n}),
$$
$$
l.\ x''=l_{\iota^{X_{s+1}}}+\ \cdots\ +l_{n-s^{X_{\hslash}}}.
$$
L'hypothèse $u\in \mathrm{W}_{0}^{1}(\mathrm{P}(\mathrm{R}))$ entraîne que la série
$$
\Sigma|l|^{2}|u_{t}(x')|^{2}
$$
est dans $\mathrm{L}^{2}(\mathrm{R}^{s})$. Posons $l'=(l_{1^{ }},\ldots,l_{s}),\ l''=(l_{s+1}, \ldots,l_{n-s})$. La
norme $||u||_{\mathrm{P}(\mathrm{R})}$ et la forme quadratique QR sont données par
$$
||u||_{\mathrm{P}(\mathrm{R})}^{2}=\sum_{t\in \mathrm{Z}^{n-s}}\int_{\mathrm{R}^{s}}|u_{t}(x')|^{2}d\mu(x'),
$$
$\displaystyle \mathrm{Q}_{\mathrm{R}}(u)=\sum_{t\in \mathrm{Z}^{n-s}}\int_{\mathrm{R}^{s}}[\sum_{1\leq j\leq s}(|\frac{\partial u}{\partial \mathrm{x}_{j}}|^{2}+(\frac{2\pi}{\mathrm{R}}l_{j}+\mathrm{B}_{j}x_{j})^{2}|u_{t}|^{2})$
$$
+\frac{4\pi^{2}}{\mathrm{R}^{2}}|l''|^{2}|u_{f}|^{2}]d\mu(x').
$$
On obtient par conséquent un problème de Dirichlet à $\langle\langle$ variables
séparées $\rangle\rangle$ sur l{\it e} cube $\mathrm{R}^{s}\cap \mathrm{P}(\mathrm{R})$. En posant $t=x_{j}+\displaystyle \frac{2\pi l_{j}}{\mathrm{R}\mathrm{B}_{j}}$, on est
ramené à étudier l{\it e} spectre d{\it e} la forme quadratique d'une variable
$$
q(f)=\int_{\mathrm{R}}(|\frac{df}{dt}|^{2}+\mathrm{B}_{\mathrm{j}}^{2}t^{2}|f|^{2})dt,
$$
avec $f\displaystyle \in \mathrm{W}_{0}^{1}(]-\frac{\mathrm{R}}{2}\frac{\mathrm{R}}{2}[+\frac{2\pi l_{j}}{\mathrm{R}\mathrm{B}_{j}})$. On retombe donc sur l{\it e} problème

INÉGALITÉS DE MORSE EN $d''$-COHOMOLOGIE
199
classique d{\it e} l'oscillateur harmonique (cf. par exemple [14], Vol. I, p. 142).
Sur $\mathrm{R}$, i.{\it e}. sans condition d{\it e} support pour $f$, la suite des valeurs propres
d{\it e} $q$ est la suite $(2m+1)\mathrm{B}_{j},\ m\in \mathrm{N}$, {\it e}t les fonctions propres associées sont
données par $\Phi_{m}(\sqrt{\mathrm{B}_{j}}t)$ où $\Phi_{0},\ \Phi_{1},\ \ldots$ sont les fonctions d'Hermite:
$$
\Phi_{m}(t)=e^{\iota^{2}/2}\frac{d^{m}}{dt^{m}}(e^{-\mathrm{t}^{2}}).
$$
Pour tout $p_{j}\in \mathrm{N}$, notons $\Psi_{p_{j},l_{j}}(x_{j})$ la {\it p}$\Gamma${\it ième} fonction propre d{\it e} la forme
quadratique
\begin{center}
(1.8)   $qU) =\displaystyle \int_{\mathrm{R}}(|\frac{df}{dx_{j}}|^{2}+(\frac{2\pi}{\mathrm{R}}l_{j}+\mathrm{B}_{j}x_{j})^{2}|f|^{2})d\mathrm{x}_{j}$
\end{center}
pour $f\displaystyle \in \mathrm{W}_{0}^{1}(]-\frac{\mathrm{R}}{2}\frac{\mathrm{R}}{2}[)$, {\it e}t $\lambda_{p_{j},t_{j}}$ la valeur propre correspondante. On
peut alors décomposer chaque fonction $\mathrm{u}_{t}$ {\it e}n série d{\it e} fonctions propres, c{\it e}
qui conduit à écrire $\mathrm{u}$ sous la forme
\begin{center}
(1.9)   $u(\mathrm{x}) =\displaystyle \mathrm{R}^{-\frac{1}{2}\langle n-s)}\sum_{(p,')\in \mathrm{N}^{s}\mathrm{x}\mathrm{Z}^{n-s}}u_{p,\parallel}\Psi_{pl}(\mathrm{x}')$ exp $(\displaystyle \frac{2\pi i}{\mathrm{R}}l. \mathrm{x}'')$
\end{center}
avec $u_{p.\swarrow}\in C,\ \displaystyle \Psi_{p\swarrow l}(x')=\prod_{1<_{\backslash }j\leq \mathrm{s}}\Psi_{p_{j},\swarrow \mathrm{j}}(x_{\mathrm{j}})$.
On prendra garde au fait que $\Psi_{p,t'}(x')$ exp $(\displaystyle \frac{2\pi i}{\mathrm{R}}l. \mathrm{x}'')$ {\it n}'{\it est pas} une vraie
fonction propre pour l{\it e} problème d{\it e} Dirichlet, car l{\it e} terme exponentiel
prend des valeurs non nulles aux points du bord $\displaystyle \chi_{j}=\pm\frac{\mathrm{R}}{2} j>s$. Par
conséquent, les coefficients $(u_{p,t})$ ne sont pas arbitraires si $u\in \mathrm{W}_{0}^{1}(\mathrm{P}(\mathrm{R}))$;
ils doivent vérifier les conditions d'annulation au bord:
\begin{center}
(1.10)   $\displaystyle \sum_{t_{j}\in \mathrm{Z}}(-1)^{t_{j}}\mathrm{u}_{p,\swarrow}=0$
\end{center}
pour tout $j=1,\ \ldots,\ n-s$ {\it e}t tous les indices autres que $l_{j}$ fixés:
\begin{center}
$p\in \mathrm{N}^{s},\ l_{1},\ \ldots,\ l_{j-1},\ l_{j+1},\ \cdots,\  l_{n-s}\in$ Z.
\end{center}
Avec récriture (1.9), la norme $\mathrm{L}^{2}$ {\it e}t la forme quadratique $\mathrm{Q}_{\mathrm{R}}$ s'expriment
sous la forme
$$
||u||_{\mathrm{P}(\mathrm{R})}^{2}=\Sigma|u_{p,J}|^{2},\ \mathrm{Q}_{\mathrm{R}}(u)=\Sigma(\lambda_{p,t'}+\frac{4\pi^{2}}{\mathrm{R}^{2}}|l''|^{2})|u_{p,t}|^{2},
$$
200
JEAN-PIERRE DEMAILLY
où $\displaystyle \lambda_{p,1'}=\sum_{1\sim<j\leq s}\lambda_{p_{j},\swarrow j}$. L{\it e} principe du minimax 1.20 $(b)$ rappelé plus loin
montre que
\begin{center}
(1.11)   $\mathrm{N}_{\mathrm{R}}(\lambda)\leq$ card $\{(p,l)\in \mathrm{N}^{s}\mathrm{x} \displaystyle \mathrm{Z}^{n-s};\lambda_{p,t'}+\frac{4\pi^{2}}{\mathrm{R}^{2}}|l''|^{2}\leq\lambda\}$.
\end{center}
Il suffit donc d'obtenir une minoration adéquate de $\lambda_{p_{j^{\gamma}j}},\cdot$
LEMME 1.12. - {\it On a l}'{\it inégalité}
$\displaystyle \lambda_{p_{j},t_{j}}\geq\max ((2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j},\ \displaystyle \frac{4\pi^{2}}{\mathrm{R}^{2}}[(\frac{p_{j}+1}{2})^{2}+(|l_{j}|-\frac{\mathrm{B}_{j}\mathrm{R}^{2}}{4\pi})_{+}^{2}])$,
{\it et celle-ci est stricte si} $l_{j}\neq 0$ {\it ou si} $\Phi_{p_{j}}(\mathrm{R}\sqrt{\mathrm{B}_{j}}/2)\neq 0$.
La minoration $\lambda_{\mathrm{p}_{j},t_{j}}\geq(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}$ résulte {\it e}n effet du minimax {\it e}t du fait
que les valeurs propres d{\it e} $q(f)$ sur $\mathrm{R}$ valent $(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}$. Pour obtenir
l'autre inégalité, on minore (1.8) par la forme quadratique
$$
\hat{q}U)\ =\int_{|\mathrm{x}_{J}|<\mathrm{R}/2}(|\frac{df}{dx_{\mathrm{j}}}|^{2}+(\frac{2\pi}{\mathrm{R}}|l_{j}|-\mathrm{B}_{j}\frac{\mathrm{R}}{2})_{+}^{2}|f|^{2})d\mathrm{x}_{j}.
$$
Les fonctions propres d{\it e} $\hat{q}$ sont les fonctions
$$
\sin\frac{\pi}{\mathrm{R}}(p_{j}+1)(x_{j}+\frac{\mathrm{R}}{2}),\ p_{j}\in \mathrm{N};
$$
$\lambda_{p_{jj}},$' est donc minorée par la valeur propre correspondante:
$$
\frac{4\pi^{2}}{\mathrm{R}^{2}}[(\frac{p_{j}+1}{2})^{2}+(|l_{j}|-\frac{\mathrm{B}_{j}\mathrm{R}^{2}}{4\pi})_{+}^{2}].
$$
Les inégalités sont strictes parce que d'une part $ q\omega >\hat{q}(f)$ pour tout
$f\neq 0$, {\it e}t d'autre part $\Phi_{p_{j}}(\sqrt{\mathrm{B}_{j}}t)$ n{\it e} peut être fonction propre d{\it e} $q$ sur
$]-\mathrm{R}/2,\ \mathrm{R}/2[+2\pi l_{j}/\mathrm{RB}_{j}$ que si
$$
\Phi_{p_{j}}(\pm \mathrm{R}\sqrt{\mathrm{B}_{j}}/2+2\pi l_{j}/\mathrm{R}\sqrt{\mathrm{B}_{j}})=0.
$$
Comme les zéros d{\it e} $\Phi_{p_{j}}$ sont algébrques {\it e}t que $\pi$ est transcendant, ceci
n'est possible que si
$l_{j}=0$ {\it e}t $\Phi_{p_{j}}(\mathrm{R}\sqrt{\mathrm{B}_{\mathrm{J}}}/2)=0$.
$$
\square 
$$
INÉGALITÉS DE MORSE EN $d''$-COHOMOLOGIE
201
LEMME 1.13. --{\it Soit} $\tau_{n}(\mathrm{p})$ {\it le nombre de points de} $Z^{n}$ {\it situés dans la}
{\it boule fermée} $\overline{\mathrm{B}}(0,\mathrm{p})\subset \mathrm{R}^{n}$. {\it Alors}
$$
\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}(\mathrm{p}-\frac{\sqrt{n}}{2})_{+}^{n}\leq\tau_{n}(\mathrm{p})\leq\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}(\mathrm{p}+\frac{\sqrt{n}}{2})^{n}
$$
En effet, la réunion des cubes d{\it e} côté 1 centrés aux points $\chi \in \mathrm{Z}^{n}$ tels
que $|x|\leq \mathrm{p}$ est contenue dans la boule $\displaystyle \overline{\mathrm{B}}(0,\mathrm{p}+\frac{\sqrt{n}}{2})$, {\it e}t contient la
boule $\displaystyle \overline{\mathrm{B}}(0,\mathrm{p}-\frac{\sqrt{n}}{2})$ si $\displaystyle \mathrm{p}\geq\frac{\sqrt{n}}{2}$, car $\displaystyle \frac{\sqrt{n}}{2}$ est la demi-diagonale du cube;
l'entier $\tau_{n}(\mathrm{p})$ est donc encadré par l{\it e} volume des boules $\displaystyle \overline{\mathrm{B}}(0,\mathrm{p}\pm\frac{\sqrt{n}}{2})\square $.
Nous majorons maintenant $\displaystyle \lim\sup \mathrm{R}^{-n}\mathrm{N}_{\mathrm{R}}(\lambda)$ {\it e}n utilisant (1.11) {\it e}t les
lemmes 1.12, 1.13. Pour $p\in \mathrm{N}^{s}$ fixé, l'inégalité $\displaystyle \lambda_{p,t'}+\frac{4\pi^{2}}{\mathrm{R}^{2}}|l''|^{2}\leq\lambda$
implique
\begin{center}
(1.14)   $|l''|\displaystyle \leq\frac{\mathrm{R}}{2\pi}(\lambda-\Sigma(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j})^{\frac{1}{2+}}$,
\end{center}
{\it e}t 1'inégalité est stricte pour $\mathrm{R}>\mathrm{R}_{0}(p)$ assez grand. Lorsque $s<n/2$ le
nombre d{\it e} multi-indices $t''\in \mathrm{Z}^{n-2s}$ correspondants est donc au plus
\begin{center}
(1.11)   $\displaystyle \frac{\pi^{\frac{n}{2}-s}}{\Gamma(\frac{n}{2}-s+1)}[\frac{\mathrm{R}}{2\pi}(\lambda-\Sigma(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j})^{\frac{1}{2+}}+\frac{\sqrt{n}}{2}]^{n-2s}$
$$
\mathrm{R}\rightarrow+\infty\sim\frac{2^{2s-n}\pi^{s-\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}-s+1)}\mathrm{R}^{n-2s}(\lambda-\Sigma(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j})^{\frac{n}{2+}-s}
$$
\end{center}
Lorsque $s=\displaystyle \frac{n}{2}$, c{\it e} nombre doit être compté comme valant 1 si
$\lambda-\Sigma(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}>0$ {\it e}t $0$ sinon, c{\it e} qui est bien conforme à la convention
que nous avons adoptée pour la notation $\lambda_{+}^{\mathrm{o}}$. L'inégalité $\lambda_{p,t'}\leq\lambda$

202
JEAN-PIERRE DEMAILLY
implique d'autre part
\begin{center}
(1.16)   $|l_{j}|\displaystyle \leq\frac{\mathrm{R}}{2\pi}\sqrt{\lambda_{+}}+\frac{\mathrm{B}_{j}\mathrm{R}^{2}}{4\pi} 1\leq j\leq s$,
\end{center}
c{\it e} qui correspond asymptotiquement à un nombre d{\it e} multi-indices
$l'=(l_{1^{ }},\ldots,l_{s})\in \mathrm{Z}^{s}$ équivalent à
\begin{center}
(1.17)   $\displaystyle \prod_{j=1}^{s}\frac{\mathrm{B}_{j}\mathrm{R}^{2}}{2\pi}=2^{-s}\pi^{-s}\mathrm{B}_{1}\ldots \mathrm{B}_{s}\mathrm{R}^{2s}$.
\end{center}
La majoration $\displaystyle \lim\sup \mathrm{R}^{-n}\mathrm{N}_{\mathrm{R}}(\lambda)\leq \mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\lambda)$ s'obtient alors {\it e}n effectuant le
produit de (1.15) par (1.17), {\it e}t en sommant pour tout $p\in \mathrm{N}^{s}$ (la somme est
finie). $\square $
Pour des questions d{\it e} convergence qui interviendront au \S 2, nous
aurons besoin également d{\it e} connaître une majoration d{\it e} $\mathrm{N}_{\mathrm{R}}(\lambda)$
indépendante du champ magnétique B. Une telle estimation uniforme est
foumie par la proposition suivante.
PROPOSITION 1.18. $-\mathrm{N}_{\mathrm{R}}(\lambda)\leq(\mathrm{R}\sqrt{\lambda_{+}}+1)^{n}$.
{\it Démonstration}. --On majore pour chaque indice $j$ l{\it e} nombre d'entiers
$p_{j}$ {\it e}t $l_{j}$ tels que 1'inégalité
$$
\lambda_{p,J'}+\frac{4\pi^{2}}{\mathrm{R}^{2}}|l''|^{2}\leq\lambda
$$
ait lieu. L{\it e} lemme 1.12 implique
card $\displaystyle \{p_{j}\}\leq\max(p_{j}+1)\leq\min(\frac{\lambda_{+}}{\mathrm{B}_{j}}\frac{\mathrm{R}}{\pi}\sqrt{\lambda_{+}}),\ 1\leq j\leq s$,
tandis que (1.16) entraîne
card $\displaystyle \{l_{j}\}\leq\frac{\mathrm{R}}{\pi}\sqrt{\lambda_{+}}+\frac{\mathrm{B}_{j}\mathrm{R}^{2}}{2\pi}+1,\ 1\leq j\leq s$.
On {\it e}n déduit par conséquent pour $1\leq j\leq s$:
card $\displaystyle \{(p_{j},l_{j})\}\leq(\frac{\mathrm{R}}{\pi}\sqrt{\lambda_{+}})^{2}+\frac{\lambda_{+}}{\mathrm{B}_{j}}\cdot\frac{\mathrm{B}_{j}\mathrm{R}^{2}}{2\pi}+\frac{\mathrm{R}}{\pi}\sqrt{\lambda_{+}}.1$
$$
\leq(\mathrm{R}\sqrt{\lambda_{+}}+1)^{2}.
$$
INÉGALITÉS DE MORSE EN $d''$-COHOMOLOGIE
203
Pour $s<j\leq n-s$, l'inégalité (1.14) donne d'autre part
$$
|l_{j}|<\frac{\mathrm{R}}{2\pi}\sqrt{\lambda_{+}},
$$
d'où card $\displaystyle \{l_{j}\}\leq\frac{\mathrm{R}}{\pi}\sqrt{\lambda_{+}}+1$. La proposition 1.18 s'ensuit. $\square $
{\it Fin de la démonstration} $du$ {\it théorème} 1.6 (minoration d{\it e} $\mathrm{N}_{\mathrm{R}}(\lambda)$).
Pour minorer $\mathrm{N}_{\mathrm{R}}(\lambda)$, il suffit d'après 1.20 $(a)$ de construire un espace
vectoriel d{\it e} dimension finie sur lequel $\mathrm{Q}_{\mathrm{R}}(u)\leq\lambda||u||_{\mathrm{P}(\mathrm{R})}^{2}$. On considère
pour cela l'espace vectoriel $F_{\iota}$ des combinaisons linéaires d{\it e} $\langle\langle$ fonctions
propres $\rangle\rangle$ du type (1.9), assujetties aux conditions d'annulation au bord
(1.10), {\it e}t sommées sur les indices $(p,\swarrow)\in \mathrm{N}^{s}\times \mathrm{Z}^{n-s}$ tels que
$$
\lambda_{p,t'}+\frac{4\pi^{2}}{\mathrm{R}^{2}}|l''|^{2}\leq\lambda.
$$
D'après l{\it e} raisonnement d{\it e} la proposition 1.18, le nombre d{\it e} conditions
(1.10) à réaliser est majoré par
$\displaystyle \sum_{j=1}^{s}[\mathrm{card}\{p_{j}\}\times\prod_{1\leq i\leq si\neq j}$, card $\displaystyle \{(p_{i},l_{i})\}\times\prod_{s<i\leq n-s}$ card $\{l_{i}\}]$
$+\displaystyle \sum_{s<j\leq n-s}[\prod_{1\leq i\leq s}$ card $\displaystyle \{(p_{i},l_{i})\}\times\prod_{s<i\neq j}$ card $\{t_{i}\}]\leq n(\mathrm{R}\sqrt{\lambda_{+}}+1)^{n-1}$.
L'entier $\mathrm{N}_{\mathrm{R}}(\lambda)$ est donc majoré par
$\dim F_{\iota}\geq$ card $\{(p,\parallel)\in \mathrm{N}^{s}\mathrm{x} \displaystyle \mathrm{Z}^{n-s};\lambda_{p,t'}+\frac{4\pi^{2}}{\mathrm{R}^{2}}|l^{n}|^{2}\leq\lambda\}-\mathrm{O}(\mathrm{R}^{n-1})$.
En combinant la minoration du lemme 1.13 avec l{\it e} lemme ci-dessous,
1'inégalité $\displaystyle \lim \mathrm{infR}^{-n}\mathrm{N}_{\mathrm{R}}(\lambda)\geq \mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\lambda)$ résulte alors d{\it e} calculs analogues à
ceux que nous avons explicités pour obtenir la majoration de $\mathrm{N}_{\mathrm{R}}(\lambda)$.
lemme 1.19. - {\it Soit} $p\in \mathrm{N}^{s}$ {\it un multi-indice fixé. Alors il existe une}
{\it constante} $\mathrm{C}=\mathrm{C}(p,\mathrm{B})\geq 0$ {\it telle que}
$$
\lambda_{p,J'}\leq(1+\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{R}})\sum_{j=1}^{s}(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}
$$
{\it lorsque} $|t_{j}|\displaystyle \leq\frac{\mathrm{B}_{j}\mathrm{R}^{2}}{4\pi}(1-\mathrm{R}^{-1}2),\ 1\leq j\leq s$.

204
JEAN-PIERRE DEMAILLY
{\it Démonstration}. --On utilise à nouveau l{\it e} minimax et l{\it e} fait que les
fonctions d'Hermite $\Phi_{p}(\sqrt{\mathrm{B}_{j}}t)$ sont une bonne approximation des
fonctions propres de $q$ sur tout intervalle assez grand d{\it e} centre $0$.
Lorsque $|l_{j}|\displaystyle \leq\frac{\mathrm{B}_{j}\mathrm{R}^{2}}{4\pi}(1-\mathrm{R}^{-\frac{1}{2}})$ {\it e}t $x_{j}\displaystyle \in]-\frac{\mathrm{R}}{2}\frac{\mathrm{R}}{2}[$, la variable
$t=x_{j}+\displaystyle \frac{2\pi l_{j}}{\mathrm{B}_{j}\mathrm{R}}$ qui apparaît dans (1.8) décrit {\it e}n effet un intervalle
contenant $]-\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{R}}}{2}\frac{\sqrt{\mathrm{R}}}{2}[$. On a donc $\lambda_{p_{j},t_{j}}\leq 1_{p_{j}}$ où $(\lambda_{m})_{m\in \mathrm{N}}$ est la
suite des valeurs propres d{\it e} la forme quadratique
$\displaystyle \tilde{q}(f)=\int[|\frac{df}{dt}|^{2}+(\mathrm{B}_{j}t)^{2}|f|^{2}]dt,\ f\displaystyle \in \mathrm{W}_{0}^{1}(]-\frac{\sqrt{\mathrm{R}}}{2},\ \displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{R}}}{2}[)$.
Soit $\chi_{\mathrm{R}}$ une fonction plateau à support dans $[-\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{R}}}{2}\frac{\sqrt{\mathrm{R}}}{2}]$, égale à 1
sur $[-\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{R}}}{4}\frac{\sqrt{\mathrm{R}}}{4}]$, dont la dérivée est majorée par $5/\sqrt{\mathrm{R}}$. Pour toute
combinaison linéaire
$$
f=\sum_{m\leq \mathrm{p}_{j}}c_{m}\Phi_{m}(\sqrt{\mathrm{B}_{j}}t),
$$
la décroissance exponentielle des fonctions $\Phi_{m}$ à $1' \mathrm{infini}$ implique pour $\mathrm{R}$
assez grand 1'inégalité
$$
||f||\leq(1+C_{1}\exp(-\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{C}_{1}}))||\chi_{\mathrm{R}}f||
$$
où $\mathrm{C}_{1}=\mathrm{C}_{1}(p_{j}, \mathrm{B}_{j})>0$. On {\it e}n déduit par conséquent:
$$
\tilde{q}(\mathrm{x}\Phi\leq\tilde{q}0+\int_{|\mathrm{t}|>\sqrt{\mathrm{R}}/4}(\frac{10}{\sqrt{\mathrm{R}}}|f\frac{df}{dt}|+\frac{25}{\mathrm{R}}|f|^{2})dt
$$
$$
\leq\tilde{q}\omega+\int_{\mathrm{t}|>\sqrt{\mathrm{R}}/4}(\frac{1}{\mathrm{R}}|\frac{d}{dt}|^{2}+25(1+\frac{1}{\mathrm{R}})|f|^{2})dt
$$
$$
\leq(1+\frac{C_{2}}{\mathrm{R}})\tilde{q}\omega\leq(1+\frac{\mathrm{C}_{2}}{\mathrm{R}})(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{\mathrm{J}}\{|f||^{2}
$$
$$
\leq(1+\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{R}})(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}||\chi_{\mathrm{R}}f||^{2}.
$$
Ceci donne bien $\displaystyle \lambda_{p_{j},\swarrow j}\leq\lambda_{p_{j}}\leq(1+\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{R}})(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}.\ \square $

INÉGALITÉS DE MORSE EN $d''$-COHOMOLOGIE
205
Pour faciliter la tâche du lecteur, nous énonçons maintenant l{\it e} principe
du minimax sous la forme où il nous a servi.
PROPOSITION 1.20 (principe du minimax, cf. [14], Vol. IV, p. 76 {\it e}t 78). -
{\it Soit} $\mathrm{Q}$ {\it une forme quadratique à domaine dense} $\mathrm{D}(\mathrm{Q})$ {\it dans un espace de}
{\it Hilbert} $\mathcal{X}$. {\it On suppose que} $\mathrm{Q}$ {\it est bornée inférieurement}, i.e.
$\mathrm{Q}\omega \geq-\mathrm{C}||f||^{2}$ {\it si} $f\in \mathrm{D}(\mathrm{Q})$, {\it que} $\mathrm{D}(\mathrm{Q})$ {\it est complet pour la norme}
$||f||_{\mathrm{Q}}=[\mathrm{Q}(f)+(\mathrm{C}+1)||f||^{2}]^{\frac{1}{2}}$, {\it et enfin que} $!' injection$
$(\mathrm{D}(\mathrm{Q}), \Vert||_{\mathrm{Q}})\subset_{-\rangle}(\mathcal{P},\Vert||)$ {\it est compacte. Alors} $\mathrm{Q}$ {\it a un spectre discret}
$\lambda_{1}\leq\lambda_{2}\leq\ldots$ , {\it et on a les égalités}:
(a) $\displaystyle \lambda_{p}=\min_{\mathrm{F}\subset \mathrm{D}(\mathrm{Q})f\in}\max_{\mathrm{F},||f||=1}\mathrm{Q}(f)$,
{\it où} $\mathrm{F}$ {\it décrit l}'{\it ensemble des sous-espaces de dimension} $p$ {\it de} $\mathrm{D}(\mathrm{Q})$;
(b) $\displaystyle \lambda_{p+1}=\max_{\mathrm{F}\subset \mathrm{D}(}\min_{\mathrm{Q})f\in \mathrm{F},||f||=1}\mathrm{Q}(\int)$,
{\it où} $\mathrm{F}$ {\it décrit l}'{\it ensemble des sous-espaces} $||||_{\mathrm{Q}}$-{\it fermés de codimension} $p$ {\it de}
$\mathrm{D}(\mathrm{Q})$.
2. Distribution asymptotique du spectre
(cas d'un champ variable).
Nous nous plaçons à nouveau dans l{\it e} cadre général décrit au début du
\S 1. Notre objectif est d'étudier l{\it e} spectre d{\it e} la forme quadratique $\mathrm{Q}_{\Omega,k}$
(cf. (1.3)) dans l{\it e} cas d'un champ magnétique $\mathrm{B}$ {\it e}t d'un champ électrique
V quelconques. Pour tout point $a\in \mathrm{M}$, soit
\begin{center}
(2.1)   $\displaystyle \mathrm{B}(a)=\sum_{j=1}^{s}\mathrm{B}_{j}(a)dx_{j}\wedge dx_{j+s}$
\end{center}
1'écriture réduite d{\it e} $\mathrm{B}(a)$ dans une base orthonormée convenable
$(dx_{1^{ }},\ldots,dx_{n})$ d{\it e} $\mathrm{T}_{a}^{*}\mathrm{M}$, où $2s=2s(a)\leq n$ est l{\it e} rang d{\it e} $\mathrm{B}(a)$, et où
$\mathrm{B}_{1}(a)\geq \mathrm{B}_{2}(a)\geq\ldots\geq \mathrm{B}_{s}(a)>0$ sont les modules des valeurs propres
non nulles d{\it e} l'endomorphisme antisymétrique associé. L'égalité de
définition 1.5 permet de regarder $\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\lambda)$ comme une fonction du couple
$(a,\lambda)\in \mathrm{M}\times$ R. Nous aurons besoin également d{\it e} considérer la fonction
$\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\lambda)$, continue à droite {\it e}n $\lambda$, définie par:
\begin{center}
(2.2)   $\displaystyle \overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\lambda)=\lim_{0<\epsilon\rightarrow 0}\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\lambda+\epsilon)$.
\end{center}
Nous démontrons alors la généralisation suivante du corollaire 1.7.

206
JEAN-PIERRE DEMAILLY
ThéOrème 2.3. --{\it Lorsque} $k$ {\it tend vers} $+\infty$, {\it le nombre} $\mathrm{N}_{\Omega,k}(\lambda)$ {\it de}
{\it valeurs propres} $\leq\lambda$ {\it de} $\mathrm{Q}_{\Omega,k}$ {\it vérifie l}'{\it encadrement asymptotique}
$$
\int_{\Omega}\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V}+\lambda)d\sigma\ \leq\lim\inf k^{-\frac{n}{2}}\mathrm{N}_{\Omega,k}(\lambda)
$$
$$
\leq\lim\sup k^{-\frac{n}{2}}\mathrm{N}_{\Omega,k}(\lambda)\leq\int_{\Omega}\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V}+\lambda)d\sigma.
$$
La fonction $\displaystyle \lambda\mapsto\int_{\Omega}\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V}+\lambda)d\sigma$ est croissante {\it e}t continue à gauche;
elle n'a donc au plus qu un ensembl $e\mathcal{D}$ dénombrable d{\it e} points d{\it e}
discontinuité. L'ensemble $\mathcal{D}$ est d'aille urs vide si $n$ est impair, car $\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\lambda)$
est alors continue. D{\it e} là, on déduit aussitôt le
COROLLAIRE 2.4. - {\it On suppose que} $\partial\Omega$ {\it est de mesure nulle. Alors}
$$
\lim_{k\rightarrow+\infty}k^{-\frac{n}{2}}\mathrm{N}_{\Omega,k}(\lambda)=\int_{\Omega}\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V}+\lambda)d\sigma
$$
{\it pour tout} $\lambda\in \mathrm{R}\backslash \mathcal{D}$, {\it et la mesure de densité spectrale} $k^{-\frac{n}{2}}\displaystyle \frac{d}{d\lambda}\mathrm{N}_{\Omega,k}(\lambda)$
{\it converge faiblement sur} $\mathrm{R}$ {\it vers} $\displaystyle \frac{d}{d\lambda}\int_{\Omega}\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V}+\lambda)$ {\it d}o. {\it S}ï $n$ {\it est impair}, $la$
{\it mesure limite est diffuse}. $\square $
Le lemme suivant montre que les intégrales du théorème 2.3 ont bien un
sens.
lemme 2.5.
(a) {\it On a les inégalités} $\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\lambda)\leq\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\lambda)\leq\lambda_{+}^{n/2}$.
(b) $\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})$ (resp. $\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})$) {\it est semi-continue inférieurement} (resp.
supéreurement) {\it sur} M.
(c) {\it En tout point} $\chi \in \mathrm{M}$ {\it où} $s(x) <\displaystyle \frac{n}{2}$ {\it on a} $\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})(x)=\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})(x)$ {\it et}
$\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V}),\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})$ {\it sont continues en} $\chi$.
(d) {\it Si} $n$ {\it est impair}, $\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})=\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})$ {\it est continue sur} M.
{\it Démonstration}. $-(a)$ On a toujours $(\lambda-\Sigma(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j})^{\frac{n}{2+}-s}\leq\lambda^{\frac{n}{2+}-s}$, {\it e}t
le nombre d'entiers $p_{j}$ tels que $\lambda-(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}$ soit $\geq 0$ est majoré par

INÉGALITÉS DE MORSE EN $d''$-COHOMOLOGIE
207
$\displaystyle \frac{\lambda_{+}}{\mathrm{B}_{j}}$ Comme la quantité numérque figurant dans (1.5) est majorée par 1,
1'inégalité $(a)$ s'ensuit.
$(b, c)$ L{\it e} rang $s=s\{x)$ est une fonction semi-continue inférieurement
sur $\mathrm{M}$, {\it e}t les valeurs propres $\mathrm{B}_{1},\ \mathrm{B}_{2},\ \ldots$, prolongées par $\mathrm{B}_{j}(x) =0$
pour $j>s(x)$, sont continues sur M. Comme la fonction $\mathrm{t}\mapsto t_{+}^{\mathrm{o}}$
$($resp. $t\mapsto(t+0)_{+}^{0})$ est semi-continue inféreurement (resp. supéreure-
ment), la semi-continuité d{\it e} $\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})$ {\it e}t $\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})$ pose un problème uniquement
aux points $a\in \mathrm{M}$ au voisinage desquels $s(\mathrm{x})$ n'est pas localement
constant. En un tel point $a\in \mathrm{M}$, on a nécessairement $s(a)<\displaystyle \frac{n}{2}$, donc
$\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})(a)=\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})(a)$; on va alors montrer que $\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})$ {\it e}t $\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})$ sont
continues {\it e}n $a$. La continuité des $\mathrm{B}_{j}$ donne $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\mathrm{B}_{j}(x) =0$ pour
$j>s(a)$. Si les entiers $p_{1},\ \ldots,\ p_{\mathrm{s}\langle a)}$ sont fixés, la sommation figurant
dans (1.5) peut s'interpréter comme une somme d{\it e} Riemann d'une intégrale
sur $\mathrm{R}^{s\langle x)-s(a)}$, {\it e}t on a donc l'équivalent:
$\displaystyle \sum_{(p_{j};s(a)<j\leq s(x))}(\mathrm{V}(x)-\Sigma(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}(x))^{\frac{n}{2}-s\langle x)}$
$$
\sim\int_{\mathrm{e}\mathrm{R}^{s(x)-s(a)}}[\mathrm{V}(a)-\sum_{j=1}^{s\langle a)}(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}(a)-\sum_{j=s\langle a)+1}^{s\langle x)}2t_{j}\mathrm{B}_{j}(x)]^{\frac{n}{2+}-s(x)}dt
$$
$$
=\frac{2^{s\langle a)-s\langle x)}(\mathrm{V}(a)-\Sigma(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}(a))^{\frac{n}{2+}.-.s(a)}}{(\frac{n}{2}-s(x)+1)\cdots(\frac{n}{2}-s(a))\mathrm{B}_{s\langle a)+1}(x).\mathrm{B}_{s\langle x)}(x)}.
$$
On obtient bien par conséquent:
$$
\lim_{x\rightarrow a}\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})(x)=\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})(a)=\lim_{x\rightarrow a}\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})(x).
$$
$(d)$ Est un cas particulier d{\it e} $(c)$.
$$
\square 
$$
La démonstration du théorème 2.3 repose essentiellement sur deux
ingrédients: tout d'abord un principe d{\it e} localisation asymptotique des
fonctions propre $\mathrm{s}$, qui s'obtient par application directe du minimax
(proposition 2.6); d'autre part, la connaissance explicite du spectre d{\it e}
l'opérateur d{\it e} Schrôdinger associé à un champ magnétique constant
(cf. \S 1). L{\it e} principe d{\it e} localisation permet {\it e}n effet de s{\it e} ramener au cas
d'un champ constant {\it e}n utilisant un pavage d{\it e} $\Omega$ par des cube $\mathrm{s}$ assez
petits.

208
JEAN-PIERRE DEMAILLY
PROPOSITION 2.6. $-(\mathrm{a})$ {\it Si} $\Omega_{1},\ \cdots,\ \Omega_{\mathrm{N}}\subset\Omega$ {\it sont des ouverts} 2 {\it à} 2
{\it disjoints, alors}
$$
\mathrm{N}_{\Omega,k}(\lambda)\geq\sum_{j=1}^{\mathrm{N}}\mathrm{N}_{\Omega_{j},k}(\lambda).
$$
(b) {\it Soit} $(\Omega_{j}')_{1\leq j\leq \mathrm{N}}$ {\it un recouvrement ouvert de} $\Omega$ {\it et} $(\psi_{j})_{1\leq j\leq \mathrm{N}}$ {\it un}
{\it système de fonctions} $\psi_{j}\in \mathcal{C}^{\infty}(\mathrm{R}^{n})$ {\it à support dans} $\Omega_{j}'$ , {\it telles que} $\Sigma\psi_{j}^{2}=1$
{\it sur} $\Omega$. {\it On pose}
$$
\mathrm{C}(\psi)=\sup_{\Omega}\sum_{j=1}^{\mathrm{N}}|d\psi_{j}|^{2}.
$$
{\it Alors}
$$
\mathrm{N}_{\Omega,k}(\lambda)\leq\sum_{j=1}^{\mathrm{N}}\mathrm{N}_{\alpha_{j^{k}}},(\lambda+\frac{1}{k}\mathrm{C}(\psi)).
$$
{\it Démonstration}. $-(a)$ {\it Soit} $F$ l{\it e C}-espace vectoriel engendré par la
collection de toutes les fonctions propres des formes quadratiques $\mathrm{Q}_{\Omega_{j},k}$,
$1\leq j\leq \mathrm{N}$, correspondant à des valeurs propres $\leq\lambda.\ \swarrow \mathcal{J}^{\cdot}$ est d{\it e}
dimension
$$
\dim\ovalbox{\tt\small REJECT}=\sum_{j=1}^{\mathrm{N}}\mathrm{N}_{\Omega_{j},k}(\lambda)
$$
{\it e}t pour tout $u\in \mathcal{P}$, on a
$$
\mathrm{Q}_{\Omega,k}(\mathrm{u})=\sum_{j=1}^{\mathrm{N}}\mathrm{Q}_{\Omega_{j},k}(\mathrm{u})\leq\sum_{\mathrm{j}=1}^{\mathrm{N}}\lambda||u||_{\Omega_{j}}^{2}=\lambda||u||_{\Omega}^{2}.
$$
Le principe du minimax montre donc que les valeurs propres d{\it e} $\mathrm{Q}_{\Omega.k}$
d'indice $\leq\dim\swarrow 0^{-}$ sont $\leq\lambda$, d'où 1'inégalité $(a)$.
$(b)$ Pour tout $u\in \mathrm{W}_{0}^{1}(\Omega,\mathrm{E}^{k})$ il vient
$$
\sum_{j}|\mathrm{D}_{k}(\psi_{J}\mathrm{u})|^{2}=\sum_{j}|\psi_{j}\mathrm{D}_{k}\mathrm{u}+(d\psi_{j})\mathrm{u}|^{2}=|\mathrm{D}_{k}u|^{2}+\sum_{j}|d\psi_{j}|^{2}|\mathrm{u}|^{2}
$$
car $2\Sigma\psi_{j}d\psi_{j}=d(\Sigma\psi_{j}^{2})=0$. On obtient donc
$$
\sum_{j=1}^{\mathrm{N}}\mathrm{Q}_{\Omega_{j}',k}(\psi \mathrm{u})=\mathrm{Q}_{\Omega,k}(\mathrm{u})+\int_{\Omega}\frac{1}{k}\sum_{j=1}^{\mathrm{N}}|d\psi_{j}|^{2}|u|^{2}d\sigma
$$
$$
\leq \mathrm{Q}_{\Omega,k}(u)+\frac{1}{k}\mathrm{C}(\psi)||u||_{\Omega}^{2}.
$$
Si chaque fonction $\psi_{J}\mathrm{u}\in \mathrm{W}_{0}^{1}(\Omega_{j}, \mathrm{E}^{k})$ est orthogonale aux fonctions

INÉGALITÉS DE MORSE EN $d''$-COHOMOLOGIE
209
propres de $\mathrm{Q}_{\Omega_{j}',k}$ de valeurs propres $\displaystyle \leq\lambda+\frac{1}{k}C(\psi)$, on {\it e}n déduit
suitessivement
\begin{center}
$\displaystyle \mathrm{Q}_{\alpha_{j^{k}}},(\psi_{J}u)>(\lambda+\frac{1}{k}C(\psi))||\psi_{J}u||_{\Omega_{j}}^{2}$, si $\psi_{J}u\neq 0$,
\end{center}
$\mathrm{Q}_{\Omega,k}(u)>\lambda||u||_{\Omega}^{2}$, si $u\neq 0$.
L{\it e} principe du minimax 1.20 $(b)$ entraîne alors que $\mathrm{N}_{\Omega,k}(\lambda)$ est majoré par
l{\it e} nombre d'équations linéaire $\mathrm{s}$ imposées à $u$, {\it soit} au plus
$$
\sum_{j=1}^{\mathrm{N}}\mathrm{N}_{\alpha_{j^{k}}},(\lambda+\frac{1}{k}\mathrm{C}(\psi)).\ \square 
$$
Soit $\mathrm{W}_{1},\ \ldots,\ \mathrm{W}_{\mathrm{N}}$ un recouvrement d{\it e} $\Omega$ par des ouvert $\mathrm{s}$ d{\it e} carte d{\it e}
la varété M. Pour tout $\epsilon>0$, on peut trouver des ouverts $\Omega_{j}\subset\Omega_{j}'$
relativement compacts dans $\mathrm{W}_{j},\ 1\leq j\leq \mathrm{N}$, tels que
\begin{center}
(2.7)   $\Omega=\cup\Omega_{j}$ (disjointe), {\it e}t $\mathrm{Vol}(\Omega)=\Sigma$ Vo $1(\Omega_{j})$,
(2.8)   $\Omega\subset\cup\Omega_{j}'$, {\it et} Vol $(\Omega)\leq\Sigma$ Vol $(\Omega_{j}')+\epsilon$.
\end{center}
La proposition 2.6 ramène alors la preuve du théorème 2.3 au cas des
ouverts $\Omega_{j}$ {\it e}t $\Omega_{j}'$ (on observera pour cela que la fonction $\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V}+\lambda)$ {\it est}
bomée {\it e}t que la constante $\mathrm{C}(\psi)$ est indépendante d{\it e} $k$).
En définitive, on peut supposer que $\mathrm{M}=\mathrm{R}^{n}$, avec une métrque
riemannienne $g$ quelconque. Comme $\mathrm{M}=\mathrm{R}^{n}$ est contractile, l{\it e} fibre' $\mathrm{E}$
est alors trivial; soit A un potentiel vecteur d{\it e} la connexion $\mathrm{D}$ et
$\mathrm{B}=d\mathrm{A}$ le champ magnétique correspondant. Nous démontrons d'abord
la version locale suivante du théorème 2.3.
PROPOSITION 2.9. --{\it Soit} $a\in \mathrm{R}^{n}$ {\it un point fixé, et} $\mathrm{P}_{k}$ {\it une suite de pavés}
{\it cubiques ouverts tels que} $\mathrm{P}_{k}\ni a$. {\it On note} $r_{k}$ {\it la longueur} $du$ {\it côté de} $\mathrm{P}_{k}$, {\it et}
{\it on suppose que}
$$
r_{k}\leq 1,\ \lim k^{\frac{1}{2}}r_{k}=+\infty,\ \lim k^{\frac{1}{4}}r_{k}=0.
$$
{\it Alors quand} $k$ {\it tend vers} $+\infty$, {\it on a}
$$
\lim\inf\frac{k^{-\frac{n}{2}}}{\mathrm{V}\mathrm{o}1(\mathrm{P}_{k})}\mathrm{N}_{\mathrm{P}_{k},k}(\lambda)\geq \mathrm{v}_{\mathrm{B}(a)}(\mathrm{V}(a)+\lambda),
$$
$$
\lim\sup\frac{k^{-\frac{n}{2}}}{\mathrm{V}\mathrm{o}1(\mathrm{P}_{k})}\mathrm{N}_{\mathrm{P}_{k},k}(\lambda)\leq\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}\langle a)}(\mathrm{V}(a)+\lambda),
$$
210
JEAN-PIERRE DEMAILLY
{\it et pour tout compact} $\mathrm{K}\subset \mathrm{R}^{n},\ \mathrm{N}_{\mathrm{P}_{k},k}(\lambda)$ {\it admet la majoration}
$$
\mathrm{N}_{\mathrm{P}_{k},k}(\lambda)\leq \mathrm{C}_{\mathrm{K}}(1+r_{k}\sqrt{k(\lambda_{+}\neq\max_{\mathrm{K}}\mathrm{V}_{+})})^{n}
$$
{\it uniforme par rapport à} $a$, {\it dès fors que} $\mathrm{P}_{k}\subset$ K.
{\it Démonstration}. --On va se ramener au théorème 1.6 {\it e}n effectuant une
homothé {\it tie} d{\it e} rapport $\sqrt{k}$ sur $\mathrm{P}_{k}$ (c'est pourquoi nous avons dû
supposer $\displaystyle \lim k^{\frac{1}{2}}r_{k}=+\infty$).
L{\it e} lemme suivant mesure combien l{\it e} champ magnétique $\mathrm{B}$ dévie du
champ constant $\mathrm{B}(a)$ sur chaque $\mathrm{P}_{\mathrm{k}}$.
lemme 2.10. --{\it Sur chaque pavé} $\mathrm{F}_{k}$, {\it on peut choisir un potentiel} Â{\it k} $du$
{\it champ constant} $\mathrm{B}(a)$ {\it tel que pour tout} $\chi \in\overline{\mathrm{P}}_{k}$ {\it on ait}
$|$Â{\it k}(x) $-\mathrm{A}(x)|\leq C_{1}r_{k}^{2}$,
{\it où} $\mathrm{C}_{1}$ {\it est une constante} $\geq 0$ {\it indépendante de} $k$ ({\it et indépendante de a si a}
{\it décrit un compact} $\mathrm{K}\subset \mathrm{R}^{n}$).
La régularté $C^{\infty}$ d{\it e} $\mathrm{B}$ entraîne en {\it effet} une majoration
$$
|\mathrm{B}(a)-\mathrm{B}(x)|\leq \mathrm{C}_{2}r_{\mathrm{k}},\ x\in \mathrm{P}_{k}.
$$
Soit $\mathrm{A}_{k}'$ un potentiel du champ $\mathrm{B}(a)-\mathrm{B}(x)$ sur l{\it e} cube $\mathrm{P}_{k}$, calculé au
moyen d{\it e} la formule d'homotopie usuelle pour les ouverts étoiles. On a
alors
$$
|\mathrm{A}_{k}'(x)|\leq \mathrm{C}_{3}r_{k}^{2},
$$
et il suffit d{\it e} poser Â{\it k} $=\mathrm{A}+\mathrm{A}_{k}'.\ \square $
Notons $(x_{1},\ldots,x_{n})$ les coordonnées standard d{\it e} $\mathrm{R}^{n}$ Soit $(y_{1}\ldots,y_{n})$
un système de coordonnées linéaires {\it e}n $x_{1},\ \ldots,\ x_{n}$ tel que $(dy_{1},\ldots,dy_{n})$
soit une base orthonormée au point $a$ pour la métrique $g$, {\it e}t tel que dans
cette base $\mathrm{B}(a)$ s'écrve sous la forme diagonale (2.1):
$$
\mathrm{B}(a)=\sum_{j=1}^{s}\mathrm{B}_{j}(a)dy_{j}\wedge dy_{j+s}.
$$
Soit $\tilde{g}$ la métrque constante
$$
\tilde{g}\equiv g(a)=\sum_{j=1}^{n}dy_{j}^{2}.
$$
INÉGALITÉS DE MORSE EN $d''$-COHOMOLOGIE
211
Désignons par $\mathrm{D}_{k}=d+ik\mathrm{A}\wedge?,\ \text{{\it {\bf Û}}} k=d+ik\mathrm{A}_{k}\wedge$? les connexions
sur $\mathrm{E}^{k}|\mathrm{P}_{k}$ associées aux potentiels $\mathrm{A}$, Â{\it k}, et par $\mathrm{Q}_{k}=\mathrm{Q}_{\mathrm{P}_{k},k},\ \mathrm{Q}_{k}$ les
formes quadratiques associées respectivement aux connexions $\mathrm{D}_{k},\ \mathrm{D}_{k}$,
aux métriques $g,\tilde{g}$, et aux potentiels scalaires V, $\tilde{\mathrm{V}}\equiv \mathrm{V}(a)$ (formule
(1.3) $)$.
lemme 2.11. --{\it Il existe une suite} $\epsilon_{k}$ {\it tendant vers} $0$ ({\it dépendant des} $r_{k}$,
{\it mais indépendante de a si a décrit un compact} $\mathrm{K}\subset \mathrm{R}^{n}$) {\it telle que si} $\Vert\Vert_{g}$
{\it et} $||\Vert_{\xi}$ {\it désignent les normes} $\mathrm{L}^{2}$ {\it globales associées aux métriques} $g$ {\it et} $\tilde{g}$,
{\it on ait}
$$
(1-\epsilon_{k})||u||_{3}^{2}\leq||u||_{g}^{2}\leq(1+\epsilon_{k})||u||_{\tilde{g}}^{2},
$$
$$
(1-\epsilon_{k})\mathrm{Q}_{k}(u)-\epsilon_{k}||u||_{E}^{2}\leq \mathrm{Q}_{k}(u)\leq(1+\epsilon_{k})\mathrm{Q}_{k}(u)+\epsilon_{k}\Vert u||_{g}^{2}
$$
{\it pour tout} $u\in \mathrm{W}_{0}^{1}(\mathrm{P}_{k})$.
Sur $\mathrm{P}_{k}$, on a {\it e}n effet un encadrement:
$$
(1-\mathrm{C}_{4}r_{k})\tilde{g}\leq g\leq(1+\mathrm{C}_{4}r_{k})\tilde{g},
$$
et ceci donne la première inégalité double dans 2.11. Avec la notation
$\mathrm{A}_{k}'=$ Â{\it k} --$\mathrm{A}$, on {\it e}n déduit
$\displaystyle \mathrm{Q}_{k}(u)=\int_{\mathrm{P}_{k}}(\frac{1}{k}|\mathrm{D}_{k}u-tk\mathrm{A}_{k}'\wedge u|_{g}^{2}-\mathrm{V}|u|^{2})$ {\it do}
$$
\leq(1+\mathrm{C}_{5}r_{k})\int_{\mathrm{P}_{k}}(\frac{1}{k}|\mathrm{D}_{k}u-ik\mathrm{A}_{k}'\wedge u|\frac{2}{g}-\mathrm{V}(a)|u|^{2})d\tilde{\sigma}+\eta_{k}||u||\frac{2}{g}
$$
avec $\displaystyle \eta_{k}=\sup_{\mathrm{P}_{k}}|\mathrm{V}-\mathrm{V}(a)|+\mathrm{C}_{6}r_{k}$, quantité qui tend vers $0$ lorsque $k$
{\it t}end vers $+\infty$. En utilisant l'inégalité $(a+b)^{2}\leq(1+a)(a^{2}+\alpha^{-1}b^{2})$, l{\it e}
lemme 2.10 implique d'autre part
$$
|\mathrm{D}_{k}u-tk\mathrm{A}_{k}'\wedge \mathrm{u}|\frac{2}{g}\leq(1+\alpha)[|\mathrm{D}_{k}\mathrm{u}|\frac{2}{g}+\alpha^{-1}\mathrm{C}_{1}^{2}k^{2}r_{\mathrm{k}}^{4}|\mathrm{u}|^{2}].
$$
Choisissons $\alpha=\alpha_{k}=\mathrm{C}_{1}\sqrt{k}r_{k}^{2}$. La suite $\alpha_{k}$ tend v{\it e} rs $0$ d'après
l'hypothèse lim $k^{\frac{1}{4}}r_{k}=0$, {\it e}t il vient
$$
\frac{1}{k}|\mathrm{D}_{k}u-ik\mathrm{A}_{k}'\wedge u|\frac{2}{g}\leq(1+\alpha_{k})[\frac{1}{k}|\mathrm{D}_{\mathrm{k}}u|_{\tilde{g}}^{2}+\alpha_{k}|u|^{2}].
$$
La majoration de $\mathrm{Q}_{k}$ s'ensuit. La minoration s'obtient d{\it e} même grâce à
1'inégalité $(a+b)^{2}\geq(1-\alpha)(a^{2}-\alpha^{-1}b^{2}).\ \square $

212
JEAN-PIERRE DEMAILLY
L{\it e} lemme 2.11 ramène la preuve d{\it e} la proposition 2.9 au cas où la
métrique $g$ e{\it t} l{\it e} champ magnétique $\mathrm{B}$ sont constants:
$$
g=\sum_{j=1}^{n}dy_{j}^{2},\ \mathrm{B}=\sum_{j=1}^{n}\mathrm{B}_{j}dy_{j}\wedge dy_{j+\mathrm{s}}.
$$
On peut supposer de plus V $\equiv 0$ {\it e}n effectuant la translation
$\lambda\mapsto\lambda+\mathrm{V}(a)$. La seule difficulté qui subsiste pour appliquer directement
le théorème 1.6 vient du fait que les cubes $\mathrm{P}_{k}$ deviennent {\it e}n général des
parallélépipèdes obliques dans les coordonnées $(y_{1^{ }},\ldots,y_{n})$; les angles
entre les différentes arêtes d{\it e} chaque $\mathrm{P}_{k}$ e{\it t} les rapports d{\it e} leurs longueurs
restent toutefois encadrés par des constantes $>0$. Pour résoudre cette
difficulté, il suffit de paver chaque parallélépipède $\mathrm{P}_{k}$ par des cubes $\mathrm{P}_{k,\alpha}$
dont les arêtes sont parallèles aux axes des coordonnées $(y_{1^{ }},\ldots,y_{n})$.
Choisissons $\epsilon\in$] $0,1$ [. Pour tout oc $\in \mathrm{Z}^{n}$, soient $(\mathrm{P}_{k,\alpha}),\ (\mathrm{P}_{k,\alpha}')$ les cubes
ouverts d{\it e} côtés respectifs $\epsilon r_{k},\ \epsilon(1+\epsilon)r_{k}$, {\it e}t d{\it e} centre commun $\epsilon r_{k}\alpha$. On
s{\it e} bomera à considére $\mathrm{r}$ les cubes $\mathrm{P}_{k,\alpha}$ contenus dans $\mathrm{P}_{k}$ {\it e}t les cubes $\mathrm{P}_{k,\alpha}'$
rencontrant $\mathrm{P}_{k}$. On a alors
$$
\sum \mathrm{Vol}(\mathrm{P}_{k,\alpha})
$$
\begin{center}
(2.12)   $\displaystyle \mathrm{P}_{k}\supset\bigcup_{\alpha}\mathrm{P}_{k,\alpha}$ (disjointe), et $\displaystyle \frac{\alpha}{\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}(\mathrm{P}_{k})}\geq 1-\mathrm{C}_{7}\epsilon$,
$$
\sum \mathrm{Vol}(\mathrm{P}_{k,\alpha}')
$$
(2.13)   $\displaystyle \mathrm{P}_{k}\subset\bigcup_{\alpha}\mathrm{P}_{k.\alpha}',\ e\mathrm{t} \displaystyle \frac{\alpha}{\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}(\mathrm{P}_{k})}\leq 1+\mathrm{C}_{7}\epsilon$,
\end{center}
où $\mathrm{C}_{7}$ est une constante indépendante d{\it e} $k$ (et aussi de $a$, si $a$ décrit un
compact). L{\it e} nombre de cube $\mathrm{sP}_{k,\alpha}\mathrm{P}_{k,\alpha}'$ qui figurent dans (2.12) ou (2.13)
est majoré par $\mathrm{C}_{8}\epsilon^{-n}$. Comme les cubes $\mathrm{P}_{k,\alpha}'$ s{\it e} recouvrent deux à deux
sur une longueur $\epsilon^{2}r_{k}$ lorsqu ils sont contigus, {\it o}n peut construire une
partition de l'unité $\Sigma\psi_{k,\alpha}^{2}=1$ sur $\mathrm{P}_{k}$, avec $\mathrm{Supp}\psi_{k,\alpha}\subset \mathrm{P}_{k,\alpha}'$ {\it e}t
$$
\sup_{\mathrm{P}_{k}}\sum_{\alpha}|d\psi_{k,\alpha}|^{2}=\mathrm{C}(\psi_{k})\leq \mathrm{C}_{9}(\epsilon^{2}r_{k})^{-2}
$$
L'hypothèse lim $ k^{\frac{1}{2}}r_{k}=+\infty$ entraîne bien $\displaystyle \lim\frac{1}{k}\mathrm{C}(\psi_{k})=0$, ce qui
permet d'applique $\mathrm{r}2.6(b)$. Sur les cubes $\mathrm{P}_{k\alpha},\ \mathrm{P}_{k,\alpha}'$ nous sommes
:
maintenant dans la situation du théorème 1.6: apres homothétie d{\it e} rapport
$\sqrt{k}$, le côté du cube homothétique $\sqrt{k}\mathrm{P}_{k,\alpha}$ vaut $\mathrm{R}_{k}=\epsilon r_{k}\sqrt{k}$ {\it e}t tend
bien vers $+\infty$ par hypothèse. La majoration uniforme d{\it e} $\mathrm{N}_{\mathrm{P}_{k},k}(\lambda)$
résulte d{\it e} la proposition 1.18 {\it e}t du fait que toutes nos constantes
$\mathrm{C}_{1},\ \ldots,\ \mathrm{C}_{9}$ étaient uniformes. La proposition 2.9 est démontrée. $\square $

INÉGALITÉS DE MORSE EN $d''$-COHOMOLOGIE
213
{\it Démonstration} $du$ {\it théorème} 2.3. - D'après la remarque précédant la
proposition 2.9, nous pouvons supposer que $\mathrm{M}=\mathrm{R}^{n}$ {\it et} que $\Omega$ est un
ouvert bomé de $\mathrm{R}^{n}$. L'idée du raisonnement {\it est} d{\it e} combiner les
propositions 2.6 {\it et} 2.9 {\it e}n utilisant un pavage de $\Omega$ par des cubes d{\it e} côté
$r_{k}=k^{-\frac{1}{3}}$. La mise en œuvre effective réclame néanmoins un peu d{\it e} soin à
cause des difficultés liée $\mathrm{s}$ à la non-uniformité évent uelle des $\displaystyle \lim \displaystyle \sup$ et
$\displaystyle \lim \displaystyle \inf$.
Désignons par $\Pi_{k,\alpha},\ \Pi_{k,\alpha}',\ \alpha\in \mathrm{Z}^{n}$, les cubes ouverts d{\it e} côtés respectifs
$$
k^{-\frac{1}{3}},\ k^{-\frac{1}{3}}(1+k^{-\frac{1}{8}})=k^{-\frac{1}{3}}+k^{-\frac{11}{24}}
$$
{\it e}t d{\it e} centre commun $ k^{-\frac{1}{3}}\alpha$. Soit I $(k)$ (resp. $\mathrm{I}'(k)$) l'ensemble des indice $\mathrm{s}$
$\mathrm{a}\in \mathrm{Z}^{n}$ tels que $\Pi_{k,\alpha}\subset\Omega ($resp. $\coprod_{k,\alpha}'\cap\Omega\neq\emptyset)$. Comme dans l{\it e}
raisonnement d{\it e} la proposition 2.9, il existe une partition d{\it e} 1'unité
$\displaystyle \sum_{\alpha\in \mathrm{I}'(k)}\psi_{k,\alpha}^{2}=1$ sur $\Omega$, avec $\mathrm{Supp}\psi_{k,\alpha}\subset\Pi_{k,\alpha}'$ et
$$
\mathrm{C}(\psi_{k})=\sup_{\mathrm{q}}\sum_{\alpha\in \mathrm{I}'(k)}|d\psi_{k,\alpha}|^{2}\leq \mathrm{C}_{10}k^{\frac{11}{12}},
$$
d'où $\displaystyle \lim\frac{1}{k}\mathrm{C}(\psi_{k})=0$. On pose
$$
\Omega_{k}=\bigcup_{\alpha\in \mathrm{I}(k)}\Pi_{k,\alpha},\ \Omega_{k}'=.\bigcup_{\alpha\in \mathrm{I}'(k)}\Pi_{k,\alpha}'
$$
et on considère pour tout $\lambda\in \mathrm{R}$ fixé, les fonctions sur $\mathrm{R}^{n}$ définies par
$$
f_{k}=k^{-\frac{n}{2}}\sum_{\alpha\in \mathrm{I}(k)}\mathrm{N}_{\Pi k}k,\alpha'(\lambda)\frac{1}{\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}(\Pi_{k,\alpha})}l_{\mathrm{n}_{k,\alpha}},
$$
$$
f_{k}'=k^{-\frac{n}{2}}\sum_{\alpha\in\Gamma(k)}\mathrm{N}_{\mathrm{n}_{k,\alpha}',k}(\lambda+\frac{1}{k}\mathrm{C}(\psi_{k}))\frac{1}{\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}(\Pi_{k,\alpha})}\eta_{\mathrm{n}_{k,\alpha}},
$$
où $\eta_{\Pi}k,\alpha$ désigne la fonction caractéristique d{\it e} $\Pi_{k,\alpha}$. La proposition 2.6
implique l'encadrement
\begin{center}
(2.14)   $\displaystyle \int_{\mathrm{R}}.f_{\mathrm{k}}d\sigma \displaystyle \leq k^{-\frac{n}{2}}\mathrm{N}_{\Omega,k}(\lambda)\leq\int_{\mathrm{n}*}f_{k}'d\sigma$.
\end{center}
Soit $\chi \in \mathrm{R}^{n}$ un point fixé n'appartenant pas à l'ensemble négligeable
$$
\mathrm{Z}\ =\bigcup_{k\in \mathrm{N}\alpha\in \mathrm{Z}^{*}}\partial\prod_{k,\alpha}.
$$
214
JEAN-PIERRE DEMAILLY
Il existe alors une suite d'indices $\alpha(k)\in \mathrm{Z}^{n}$ unique telle que $\chi \in\Pi_{k,\alpha\langle k)}$. La
proposition 2.9 appliquée à la suite des cubes $\mathrm{P}_{k}=\Pi_{k,\alpha\langle k)}$ (resp.
$\mathrm{P}_{k}'=\Pi_{k,\alpha\langle k)}')$ avec $\mathrm{Vol}(\mathrm{P}_{k})\sim \mathrm{VolP}_{k}'$ montre que les suites ponct telles
$f_{k}(x)=\displaystyle \frac{k^{-\frac{n}{2}}}{\mathrm{V}\mathrm{o}1(\mathrm{P}_{k})}\mathrm{N}_{\mathrm{P}_{k},k}(\lambda)1_{\Omega_{k}}(x),\ f_{k}'(x)=\displaystyle \frac{k^{-\frac{n}{2}}}{\mathrm{V}\mathrm{o}1(\mathrm{P}_{k})}\mathrm{N}_{\mathrm{P}_{k}',k}(\lambda)^{\eta_{\Omega_{k}'}}(x)$,
sont {\it t}elles que
(2.15) $\left\{\begin{array}{l}
\lim in\int f_{k}(x) \geq \mathrm{v}_{\mathrm{B}(x)}(\mathrm{V}(x)+\lambda)0_{\Omega}(x)\\
\lim \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}f_{k}'(x) \leq\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}(x)}(\mathrm{V}(x)+\lambda)\mathrm{t}_{\Omega}(\mathrm{x}).
\end{array}\right.$
La majoration uniforme d{\it e} la proposition 2.9 entraîne d'autre part
l'existence de constantes $\mathrm{C}_{11},\ \mathrm{C}_{12}$ indépendantes d{\it e} $k,\ x$ {\it et} $\lambda$ telles que
$$
f_{k}(x)\ \leq f_{k}'(x)\ \leq \mathrm{C}_{11}(1+\sqrt{\lambda_{+}+\mathrm{C}_{12}})^{n}
$$
L{\it e} théorème 2.3 résulte alors d{\it e} (2.14), (2.15) {\it e}t du lemme d{\it e} Fatou.
$$
\square 
$$
En vue des applications à la géométrie complexe, nous aurons besoin
d'une légère généralisation du théorème 2.3. On s{\it e} donne un fibré hermitien
$\mathrm{F}$ d{\it e} rang $r$ {\it e}t d{\it e} classe $\mathcal{C}^{\infty}$ au-dessus de $\mathrm{M}$, muni d'une connexion
hermitienne $\nabla$, {\it et} des sections continues $\mathrm{S}$ du fibré
$\Lambda_{\mathrm{R}}^{1}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes {}_{\mathrm{R}}\mathrm{H}\mathrm{om}_{\mathrm{c}}(\mathrm{F},\mathrm{F})$ {\it e}t V du fibre' Herm(F) des endomorphismes
hermitiens d{\it e} F. Soit $\nabla_{k}$ la connexion hermitienne sur $\mathrm{E}^{k}\otimes \mathrm{F}$ induite
par les connexions $\mathrm{D}$ et V. Pour abréger les notations, on désignera
encore par $\mathrm{S}$ {\it et} V les endomorphismes $\mathrm{Id}_{\mathrm{E}^{k}}\otimes \mathrm{S}$ {\it e}t $\mathrm{Id}_{\mathrm{E}^{k}}\otimes \mathrm{V}$ opérant
sur $\mathrm{E}^{k}\otimes$ F. Étant donné un ouvert $\Omega$ relativement compact dans $\mathrm{M}$,
on considère la forme quadratique
$$
\Omega_{\eta,k}(\mathrm{u})=\int_{\Omega}(\frac{1}{k}|\nabla_{k}u+\mathrm{S}u|^{2}-\langle \mathrm{V}u,u\rangle)\ d\mathrm{o},
$$
où $u\in \mathrm{W}_{0}^{1}(\Omega,\mathrm{E}^{k}\otimes \mathrm{F})$. Soient $\mathrm{V}_{1}(\mathrm{x}) \leq \mathrm{V}_{2}(x)\leq\cdots\leq \mathrm{V}_{r}(x)$ les valeurs
propres d{\it e} $\mathrm{V}(x)$ {\it e}n tout point $ x\in$ M. On a alors le résultat suivant.
ThéOrème 2.16. --{\it La fonction de dénombrement} $\mathrm{N}_{\Omega.k}(\lambda)$. {\it des valeurs}
{\it propres de} $\mathrm{Q}_{\Omega,k}$ {\it admet pour tout} $\lambda\in \mathrm{R}$ {\it les estimations asymptotiques}
$$
\lim_{k\rightarrow+}\inf_{\infty}k^{-\frac{n}{2}}\mathrm{N}_{\Omega.k}(\lambda)\geq\sum_{j=1}^{r}\int_{\Omega}\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V}_{j}+\lambda)d\sigma,
$$
$$
\lim_{k\rightarrow+}\sup_{\infty}k^{-\frac{n}{2}}\mathrm{N}_{\Omega.k}(\lambda)\leq\sum_{j=1}^{r}\int_{\Omega}\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V}_{j}+\lambda)\ do,
$$
{\it où} $\mathrm{B}$ {\it est le champ magnétique associé à la connexion} $\mathrm{D}$ {\it sur} E.

INÉGALITÉS DE MORSE EN $d''$-COHOMOLOGIE
215
{\it Démonstration}. -- L{\it e} principe d{\it e} localisation 2.6 est encore valable
dans la présente situation. Il suffit donc d{\it e} démontrer les inégalités 2.16
lorsque $\Omega$ est assez petit. Soit $a\in \mathrm{M}$ un point fixé {\it e}t $(e_{1}, \ldots,e_{r})$ un
repère orthonormé $\mathcal{C}^{\infty}$ d{\it e} $\mathrm{F}$ au-d{\it e} sous d'un voisinage $\mathrm{W}$ d{\it e} $a$, tel que
$(e_{1}(a),\ldots,e_{r}(a))$ soit une base propre pour $\mathrm{V}(a)$. Écrivons $u$ sous la
forme
$$
u=\sum_{j=1}^{r}u_{j}\otimes e_{j}
$$
où $u_{j}$ {\it est} une section d{\it e} $\mathrm{E}^{k}$. Pour tout $\epsilon>0$, il {\it e}xiste un voisinage
$\mathrm{W}_{\epsilon}'\subset \mathrm{W}$ de $a$ sur lequel
$$
\sum_{j=1}^{r}(\mathrm{V}_{j}(a)-\epsilon)|u_{j}|^{2}\leq\langle \mathrm{V}u,u\rangle\leq\sum_{j=1}^{r}(\mathrm{V}_{j}(a)+\epsilon)|u_{j}|^{2}
$$
On a d'autre part
$$
\nabla_{k}u=\sum_{j=1}^{r}\mathrm{D}_{k}u_{j}\otimes e_{j}+u_{j}\otimes\nabla e_{j},
$$
{\it e}t l{\it e} terme $u_{j}\otimes\nabla e_{j}$ peut ê{\it tre} absorbé dans S{\it u} (c{\it e} qui nous ramène {\it e}n
fait au cas où la connexion $\nabla$ {\it est} plate). L'encadrement
$(1-k^{-\frac{1}{2}})|\nabla_{k}u|^{2}+(1-k^{1}5|\mathrm{S}u|^{2}\leq|\nabla_{k}u+\mathrm{S}u|^{2}$
$$
\leq(1+k^{-\frac{1}{2}})|\nabla_{k}u|^{2}+(1+k^{1}2\gamma|\mathrm{S}u|^{2}
$$
montre que l{\it e terme} S{\it u} n{\it e} modifie $\mathrm{Q}_{\Omega,k}$ que par un facteur multiplicatif
1 $\pm\epsilon$ {\it et} par un facteur additif $\pm\epsilon||u||^{2}$ Pour tout $\epsilon>0$, Il {\it e}xiste
donc un voisinage $\mathrm{W}_{\epsilon}$ d{\it e} $a$ {\it e}t un entier $k_{0}(\epsilon)$ tels que
$$
(1-\epsilon)\mathrm{Q}_{\Omega.k}(u)-\epsilon||u||^{2}\leq \mathrm{Q}_{\Omega,k}(u)\leq(1+\epsilon)\mathrm{Q}_{\Omega,k}(u)+\epsilon||u||^{2}
$$
dès que $k\geq k_{0}(\epsilon)$ {\it e}t $\Omega\subset \mathrm{W}_{\epsilon}$, où $\mathrm{Q}_{\Omega,k}$ désigne la forme quadratique
$$
\mathrm{Q}_{\Omega,k}(u)=\sum_{j=1}^{r}\int_{\Omega}(\frac{1}{k}|\mathrm{D}_{k}u_{j}|^{2}-\mathrm{V}_{j}(a)|u_{j}|^{2})\ d\mathrm{o}.
$$
Comme $\mathrm{Q}_{\Omega,k}$ {\it est} une somme directe d{\it e} $r$ formes quadratiques, l{\it e} spectre
de $\mathrm{Q}_{\Omega.k}$ est la réunion (comptée avec multiplicités) des spectres d{\it e} chacun
des termes d{\it e} la somme. L{\it e} théorème 2.16 s'ensuit.
$$
\square 
$$
216
JEAN-PIERRE DEMAILLY
3. Identité de Bochner-Kodaira-Nakano
en géométrie hermitienne.
L'objet des paragraphes qui suivent est d{\it e} tirer les conséquences du
thé$\grave{}$orème d{\it e} répartition spectrale 2.16 pour 1'étude de la {\it d}''-cohomologie
des fibre's vectoriels holomorphes hermitiens. Dans c{\it e} but, nous aurons
besoin de relier l{\it e} laplacien antiholomorphe $\Delta''$ à l'opérateur d{\it e}
Schrôdinger d'une conne xion réelle adéquate. Ceci s{\it e} fait au moyen d'une
formule particulière d{\it e} type Weitzenbôck, connue {\it e}n géométrie complexe
sous le nom d'identité d{\it e} Bochner-Kodaira-Nakano.
Soit X une variété analytique complexe compacte de dimension $n$ et
$\mathrm{F}$ un fibré vectoriel holomorphe h{\it e} rmitien d{\it e} rang $r$ au-dessus d{\it e} X. On
sait qu il existe une unique connexion hermitienne $\mathrm{D}=\mathrm{D}'+\mathrm{D}''$ sur $\mathrm{F}$
dont la composante $\mathrm{D}''$ d{\it e} type (0,1) coïncide avec 1'opérateur $\partial$ du fibre'
(une telle connexion {\it est} dite holomorphe). Soit
$c(\mathrm{F})=\mathrm{D}^{2}=\mathrm{D}'\mathrm{D}''+\mathrm{D}''\mathrm{D}'$ la forme d{\it e} courbure d{\it e} F. Munissons X
d'une métrique hermitienne arbitraire to d{\it e} type (1,1) {\it e}t de classe $\varphi\infty$
L'espace $\mathcal{C}_{p,\mathrm{q}}^{\infty}$ (X,F) des sections d{\it e} classe $\mathcal{C}^{\infty}$ du $\mathrm{f}_{1}\mathrm{br} \acute{\mathrm{e}}\Lambda^{p,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes \mathrm{F}$ s{\it e}
trouve alors muni d'une s{\it t} ructure préhilbe rtienne naturelle. On note
$6=6'+6''$ l'adjoint formel de $\mathrm{D}$ considéré comme opérateur différentiel
sur $\mathcal{C}^{\infty}(\mathrm{X},\mathrm{F})$, {\it e}t $\Lambda$ l'adjoint d{\it e} l'opérateur $\mathrm{L}:u\mapsto(0 \wedge u$.
Nous utiliserons l'identité d{\it e} Bochner-Kodaira-Nakano sous la forme
générale démontrée dans [6], bien qu on puisse en fait se contenter, comme
l{\it e} fait Y. T. Siu [16], [17], d{\it e} la formule moins précise donnée par P.
Griffiths. Si $\mathrm{A},\ \mathrm{B}$ sont des opérateurs différentiels sur $\mathcal{C}^{\infty}(\mathrm{X},\mathrm{F})$, on
définit leur $\mathrm{anti}-\mathrm{c}\dot{\mathrm{o}}\mathrm{mmutat}e\mathrm{ur}$ [A,B] par la formule
[A,B] $=\mathrm{AB}-(-1)^{ab}\mathrm{BA}$
où $a,\ b$ sont les degrés respectifs de A {\it e}t B. Les opérateurs d{\it e} Laplace-
Beltrami $\Delta'$ {\it e}t $\Delta''$ sont alors donnés classiquement par
$$
\Delta'=[\mathrm{D}',\delta']=\mathrm{D}'\delta'+\delta'\mathrm{D}',\ \Delta''=[\mathrm{D}'', 6''].
$$
A la forme de torsion $d'\mathrm{o}$), nous associons l'opérate ur d{\it e} multiplication
extérieure $u\mapsto d'\mathrm{o}$) $\wedge u$ sur $\mathcal{C}^{\infty}(\mathrm{X},\mathrm{F})$, d{\it e} type (2,1), noté simplement
{\it d}'eo, {\it e}t 1'opérateur $\tau$ d{\it e} type (1,0) défini par $\tau =[\Lambda,d'\mathrm{o})]$. Nous posons
enfin
$$
\mathrm{D}_{\tau}'=\mathrm{D}'+\tau,\ ô,\ =(\mathrm{D}_{\tau}')^{*}=6'+\tau^{*},\ \Delta_{\tau}'=[\mathrm{D}_{\tau}',6_{\iota}'].
$$
INÉGALITÉS DE MORSE EN $d''$-COHOMOLOGIE
217
On a alors l'identité suivante, pour une démonstration d{\it e} laquelle l{\it e} lecteur
se reportera à [6].
PROPOSITION 3.1. $-\Delta''=\Delta_{\tau}'+[ic(\mathrm{F}),\Lambda]+\mathrm{T}_{\mathrm{m}}$ {\it où} $\mathrm{T}_{\omega}$ {\it est l}'{\it opérateur}
{\it d}'{\it ordre} $0$ {\it et de type} (0,0) {\it défini par}
$$
\mathrm{T}_{\mathrm{t}0}=[\Lambda,[\Lambda,\frac{i}{2}d'd''(\mathrm{D}]]-[d'\mathfrak{c}0,(d'\mathrm{o}))^{*}].
$$
D'après la théorie d{\it e} Hodge-D{\it e} Rham, l{\it e} groupe d{\it e} cohomologie
$\mathrm{H}^{\mathrm{q}}(\mathrm{X},\mathrm{F})$ s'identifie à l'espace des $(0,q)$ donne $\Delta''$-harmoniques à valeurs
dans F. Soit $u\in \mathcal{C}_{p.q}^{\infty}(\mathrm{X},\mathrm{F})$. La proposition 3.1 nous donne l'égalité
\begin{center}
(3.2)   $\displaystyle \int_{\mathrm{x}}'|\mathrm{D}''\mathrm{u}|^{2}+|\delta''u|^{2}=\int_{\mathrm{x}}\langle\Delta''u,u\rangle$
\end{center}
$=\displaystyle \int_{\mathrm{x}}|\mathrm{D}_{\tau}'u|^{2}+|\delta_{\tau}'u|^{2} + \langle$[î{\it c}(F),$\Lambda$]{\it u,u} $\rangle +\langle \mathrm{T}_{0)}\mathrm{u},u\rangle$,
où les intégrales sont calculées relativement à l'élément d{\it e} volume
$ d\sigma =\displaystyle \frac{(\mathrm{D}^{n}}{n!}$. En particulier, si $u$ {\it est} de bidegré $(0,q)$, on a $6_{\tau}'u=0$ par
raison de bidegré, d'où
\begin{center}
(3.3)   $\displaystyle \int_{\mathrm{x}}\langle\Delta''u,u\rangle=\int_{\mathrm{x}}|\mathrm{D}_{\tau}'u|^{2}+\langle[ic(\mathrm{F}),\Lambda]u,u\rangle+\langle \mathrm{T}_{\omega}u,u\rangle$.
\end{center}
On p{\it eut} également considérer $u$ comme une $(n,q)$ donne à valeurs dans l{\it e}
fibre $\mathrm{F}=$ F$\otimes$ÄTX; on notera $0 =\mathrm{D}'+\mathrm{D}''$ la connexion h{\it e} rmitienne
holomorphe d{\it e} $\mathrm{F}$ {\it et} $\tilde{u}$ l'image canonique d{\it e} $u$ dans $\mathcal{C}_{n,q}^{\infty}(\mathrm{x},\mathrm{F})$.
LEMME 3.4. - {\it On a des diagrammes commutatifs}
$\mathcal{C}_{0.q}^{\infty}(\mathrm{F}) \rightarrow^{\mathrm{D}''}\mathcal{C}_{0,q+1}^{\infty}(\mathrm{F})$,
$\downarrow\sim \downarrow\sim$
$$
\mathrm{D}''
$$
$\mathcal{C}_{n,\mathrm{q}}^{\infty}(\mathrm{F}) \rightarrow \mathcal{C}_{n.\mathrm{q}+1}^{\infty}(\mathrm{F})$,
$$
\rightarrow^{\Delta''}
$$
$\mathcal{C}_{\mathrm{O},\mathrm{q}}^{\infty}(\mathrm{F}) \mathcal{C}_{0,q}^{\infty}(\mathrm{F})$
$\downarrow\sim \downarrow\sim$
$$
\rightarrow^{\Delta''}
$$
$\mathcal{C}_{n,\mathrm{q}}^{\infty}(\mathrm{F}) \mathcal{C}_{n.\mathrm{q}}^{\infty}(\mathrm{F})$
{\it où les flèches verticales sont les isométries} $\mathrm{u}\mapsto\tilde{u}$.

218
JEAN-PIERRE DEMAILLY
{\it Démonstration}. --La commutativité du diagramme d{\it e} gauche résulte
du fait que ÄTX est un fibre' holomorphe (on prendra garde au fait que l{\it e}
résultat correspondan $t$ pour $\mathrm{D}'$ {\it et} $\mathrm{D}'$ est faux). On a donc un diagramme
commutatif analogue pour les adjoints $\delta'',\ 8''$ e{\it t} pour $\Delta'',\ \Delta''.\ \square $
L{\it e} lemme 3.4 et l'identité (3.2) nous donnent
\begin{center}
(3.5)   $\displaystyle \int_{\mathrm{x}}\langle\Delta''\mathrm{u},u\rangle=\int_{\mathrm{x}} \langle$Â''u$\tilde{}$,u$\tilde{} \rangle$
$$
=\int_{\mathrm{x}}|\mathrm{S}_{c}'\tilde{u}|^{2}+\langle[ic(\mathrm{F}),\Lambda]\tilde{u},\tilde{u}\rangle+\langle \mathrm{T}_{i0}\tilde{u},\tilde{u}\rangle.
$$
\end{center}
Nous allons maintenant transformer légèrement l'écriture d{\it e} (3.3) {\it e}t (3.5).
La connexion hermitienne holomorphe du fibre' $\Lambda^{q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}$ induit sur le fibré
conjugué $\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}$ une connexion dont la composante de {\it t}ype (1,0)
coïncide avec l'opérateur $d'$. On {\it e}n déduit alors une connexion
hermitienne naturelle $\nabla$ sur le fibre' produit tensoriel $\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes \mathrm{F}$ (on
observera que c{\it e} fibré vectoriel {\it n}'{\it est pas} holomorphe {\it e}n général si $q\neq 0$).
Soient V e{\it t} $\nabla''$ les composantes d{\it e} $\nabla$ d{\it e} type (1,0) {\it e}t (0,1).
PROPOSITION 3.6. - {\it On a}
$$
\nabla'=\mathrm{D}'\ :\ \mathcal{C}^{\infty}(\Lambda^{0,\mathrm{q}}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes \mathrm{F})\rightarrow \mathcal{C}_{1,0}^{\infty}(\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes \mathrm{F}),
$$
{\it et il existe un diagramme commutatif}
$$
\mathcal{C}^{\infty}(\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes \mathrm{F})\rightarrow^{\nabla''}\ \mathcal{C}_{0.1}^{\infty}(\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes \mathrm{F})
$$
$$
\downarrow\sim\ \downarrow\Psi
$$
$$
\rightarrow^{\mathrm{S}'}
$$
$$
\varphi_{n,q}^{\infty}(\mathrm{F})\ \mathcal{C}_{n-1,\mathrm{q}}^{\infty}(\mathrm{F})
$$
O{\it ù les flèches verticales sont des isométries, celle de gauche étant donnée par}
$u\mapsto\tilde{u}$.
{\it Démonstration}. -- L'égalité V $=\mathrm{D}'$ provient du fait que la
composante de type (1,0) d{\it e} la connexion de $\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}$ coïncide avec $d'$.
Pour le diagramme, on commence par définir la flèche verticale $\Psi$. Soit
$$
(?|?)\ :\ (\Lambda^{p_{\mathrm{i}},q_{1}}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes \mathrm{F})\times(\Lambda^{p_{2},q_{2}}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes \mathrm{F})\rightarrow\Lambda^{p_{1}+q_{2},q_{1}+p_{2}}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}
$$
INÉGALITÉS DE MORSE EN $d''$-COHOMOLOGIE
219
$1' \mathrm{accoupl}e\mathrm{m}e\mathrm{nt}$ sesquilinéaire canonique induit par la métrique sur les fibre $\mathrm{s}$
de $\mathrm{p}$, {\it et}
$$
*:\ \Lambda^{p,\mathrm{q}}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes \mathrm{F}\rightarrow\Lambda^{n-q,n-p}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes \mathrm{F}
$$
l'opérateur d{\it e} Hodge-De Rham-Poincaré défini par
$(v|*w)=\langle v,w\rangle$ {\it d}o, $v,\  w\in\Lambda^{p,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes$ F.
On {\it e}n déduit par composition une isométrie
$$
\Psi_{0}:\Lambda^{0,1}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes \mathrm{F}\rightarrow^{\sim}\Lambda^{n,1}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes \mathrm{F}\rightarrow^{*}\Lambda^{n-1,0}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes \mathrm{F}
$$
{\it e}t la flèche $\Psi$ s'obtient par définition {\it e}n tensorisant $-i^{-n^{2}}\Psi_{0}$ par
$\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}$. Pour démontrer la commutativité, on suppose d'abord $q=0$.
Soit $u\in \mathcal{C}^{\infty}(\mathrm{F})$. On a classiquement
$$
\mathrm{S}'\tilde{u}=-*\mathrm{D}''*\tilde{u},
$$
{\it e}t comme $\tilde{u}\in \mathcal{C}_{n,0}^{\infty}(\mathrm{F})$, il vient $*\tilde{u}=i^{-n^{2}}\tilde{u}$, d'où
$\mathrm{S}'\tilde{u}=-i^{-n^{2}}*\mathrm{D}''\tilde{u}=-i^{-n^{2}}*\sim \mathrm{D}''u=-i^{-n^{2}}\Psi_{0}(\mathrm{D}''u)=\Psi(\nabla''u)$.
Dans l{\it e} cas où $q$ est quelconque, il suffit d{\it e} trivialiser $\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}$ au
voisinage d'un point $x$ arbitraire, en choisissant un repère orthonormé
$(e_{1}, \ldots,e_{\mathrm{N}})$ d{\it e} c{\it e} fibre' tel que $\nabla e_{1}(x)=\cdots=\nabla e_{\mathrm{N}}(x)=0.\ \square $
On considère maintenant les morphismes d{\it e} fibre
$$
\mathrm{S}'\ :\ \Lambda^{0,\mathrm{q}}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes \mathrm{F}\rightarrow\Lambda^{1,\mathrm{O}}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes\Lambda^{0,\mathrm{q}}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes \mathrm{F}
$$
$$
\mathrm{S}''\ :\ \Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes \mathrm{F}\rightarrow\Lambda^{0,1}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes \mathrm{F}
$$
où $\mathrm{S}'=\tau=[\Lambda,d'\omega]$, {\it et} où $\mathrm{S}''$ est l{\it e} relevé par les isométries $\sim$ {\it e}t $\Psi$ du
morphisme
\begin{center}
$\tau^{*}=[(d'\mathrm{co})^{*},\mathrm{L}]:\Lambda^{n,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes \mathrm{F} \rightarrow\Lambda^{n-1,\mathrm{q}}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes$ F.
\end{center}
D'après la proposition 3.6, on a
$$
|\mathrm{D}_{\tau}'u|=|\nabla'u+\mathrm{S}'u|,\ |\mathrm{S}_{\tau}'\tilde{u}|=|\nabla''u+\mathrm{S}''u|.
$$
Si on pose $\mathrm{S}=\mathrm{S}'\oplus \mathrm{S}''$, l{\it e} $\mathrm{s}$ identités (3.3) {\it e}t (3.5) impliquent par addition
\begin{center}
(3.7)   2 $\displaystyle \int_{\mathrm{x}}\langle\Delta''u,u\rangle=\int_{\mathrm{x}}|\nabla u+Su|^{2}+\int_{\mathrm{x}}\langle[ic(\mathrm{F}),\Lambda]u,u\rangle$
$$
+\int_{\mathrm{x}}\langle[ic(\mathrm{F}),\Lambda]\tilde{u},\tilde{u}\rangle+\langle \mathrm{T}_{\omega}u,u\rangle+\langle \mathrm{T}_{\omega}\tilde{u},\tilde{u}\rangle
$$
\end{center}
pour tout $u\in \mathcal{C}_{0,\mathrm{q}}^{\infty}(\mathrm{X},\mathrm{F})$.

220
JEAN-PIERRE DEMAILLY
Soit maintenant $\mathrm{E}$ un fibre' holomorphe h{\it e} rmitien de rang 1 au-dessus
d{\it e} X. Pour tout entier $k$, on note $\mathrm{D}_{k}$ {\it e}t $\nabla_{k}$ les connexions hermitiennes
naturelles sur les fibrés $\mathrm{F}_{k}=\mathrm{E}^{k}\otimes \mathrm{F}$ {\it e}t $\Lambda^{0,\mathrm{q}}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes \mathrm{F}_{k}$, {\it et} on pose
$\Delta_{k}''=[\mathrm{D}_{k}'',6_{k}'']$. La courbure d{\it e} $\mathrm{F}_{k}$ (resp. $\mathrm{F}_{k}$) est donnée par
\begin{center}
(3.8)   $c(\mathrm{F}_{k})=c(\mathrm{F})+kc(\mathrm{E})\otimes \mathrm{Id}_{\mathrm{F}}$,
\end{center}
$($resp. $c(\mathrm{F}_{k})=c(\mathrm{F}) +kc(\mathrm{E})\otimes \mathrm{Id}_{\mathrm{F}})$.
Rappelons, bien que c{\it e} soit inutile pour la suite, que
$c(\mathrm{F}) =c(\mathrm{F})+c(\Lambda^{n}\mathrm{TX})\otimes \mathrm{Id}_{\mathrm{F}}=c(\mathrm{F})+$ Ricci(cn) $\otimes \mathrm{Id}_{\mathrm{F}}$.
Nous aurons donc besoin d'évaluer les termes $[ic(\mathrm{E}),\Lambda]$. Pour tout point
$\chi \in \mathrm{X}$, soient $\alpha_{1}(x)$ , $\alpha_{2}(x),\ \ldots,\ \alpha_{n}(x)$ les valeurs propres d{\it e} $ic(\mathrm{E})(x)$
relativement à la métrique hermitienne ro sur X. Il existe donc un
système d{\it e} coordonnées locales $(z_{1^{ }},\ldots,z_{n})$ centré en $\chi$ {\it tel} que
$(\displaystyle \frac{\partial}{\partial z_{1}'}\cdots'\frac{\partial}{\partial z_{n}})$ solt une base orthonormée de $\mathrm{T}_{X}\mathrm{X}$, {\it e}t tel que
$$
\omega(x)=\frac{i}{2}\sum_{j=1}^{n}dz_{j}\wedge d\overline{z}_{j},
$$
$$
ic(\mathrm{E})(x)=\frac{i}{2}\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}(x)\ dz_{j}\wedge d\overline{z}_{j}.
$$
Soit $(e_{1^{ }},\ldots,e_{r})$ un repère orthonormé de la fibre $\mathrm{E}_{x}^{k}\otimes \mathrm{F}_{\mathrm{x}}$. Pour
$v\in\Lambda^{p,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes \mathrm{F}_{k}$, on peut écrire
$$
v=\sum_{|\mathrm{I}|=p,|\mathrm{J}|=qf}v_{\mathrm{I},\mathrm{J},t}dz_{\mathrm{I}}\wedge d\overline{z}_{\mathrm{J}}\otimes e_{t},\ |v|^{2}=2^{p+q}\sum_{\mathrm{I}\mathrm{J},t}|v_{\mathrm{I}\mathrm{J},t}|^{2}
$$
Un calcul élémentaire, explicité par exemple dans [6], donne la formule
\begin{center}
(3.9)   $\displaystyle \langle[ic(\mathrm{E}),\Lambda]v,v\rangle=2^{p+\mathrm{q}}\sum_{\mathrm{I},\mathrm{J},t}(\alpha_{\mathrm{I}}+\alpha_{\mathrm{J}}-\sum_{\mathrm{j}=1}^{n}\alpha_{j})|v_{\mathrm{I},\mathrm{J},\dot{\swarrow}}|^{2}$
\end{center}
avec $\displaystyle \alpha_{\mathrm{I}}=\sum_{j\epsilon \mathrm{I}}\alpha_{j}$. Soit $u\in\Lambda^{0,\mathrm{q}}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes \mathrm{F}_{k}$. Posons
$$
u=\sum_{\mathrm{J},\prime}u_{\mathrm{J},t}d\overline{z}_{\mathrm{J}}\otimes e_{1}.
$$
D'après (3.9), il vient
$$
\langle[ic(\mathrm{E}),\Lambda]u,\mathrm{u}\rangle=2^{q}\sum_{\mathrm{J},t}-\alpha_{\mathrm{t}\mathrm{J}}|u_{\mathrm{J},t'}|^{2},
$$
$\langle$[ic(E),A]{\it u}$\tilde{}$,û $\displaystyle \rangle=2^{q}\sum_{\mathrm{J},t}\alpha_{\mathrm{J}}|U_{\mathrm{J},J}|^{2}$

INÉGALITÉS DE MORSE EN $d''$-COHOMOLOGIE
221
Soit V Fendomorphisme hermitien d{\it e} $\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes \mathrm{F}_{k}$ défini par
\begin{center}
(3.10)   $\langle \mathrm{V}u,u\rangle=-\langle[ic(\mathrm{E}),\Lambda]u,u\rangle-\langle$[i$c$(E),$\Lambda$]û,$u\tilde{} \rangle$
$$
=2^{q}\sum_{\mathrm{J},t}(\alpha_{\mathrm{t}^{\mathrm{J}}}-\alpha_{\mathrm{J}})|u_{\mathrm{J},t}|^{2}
$$
\end{center}
Les valeurs propres de V sont donc les coefficients $\alpha_{1^{\mathrm{J}}}-\alpha_{\mathrm{J}}$, comptés
avec multiplicité $r=$ rang (F). Soit enfin $\Theta$ l'endomorphisme hermitien
défini par
\begin{center}
(3.11)   $\langle\Theta \mathrm{u},u\rangle=\langle[ic(\mathrm{F}),\Lambda]u,u\rangle+\langle[ic(\mathrm{F}),\Lambda]\tilde{u},\tilde{u}\rangle$
$$
+\langle \mathrm{T}_{\omega}u,u\rangle+\langle \mathrm{T}_{\omega}\tilde{u},\tilde{u}\rangle.
$$
\end{center}
Les identités (3.7-11) impliquent alors
\begin{center}
(3.12)   $\displaystyle \frac{2}{k}\int_{\mathrm{x}}\langle\Delta_{k}''u,u\rangle=\int_{\mathrm{x}}\frac{1}{k}|\nabla_{k}u+\mathrm{S}u|^{2}-\langle \mathrm{V}u,u\rangle+\frac{1}{k}\langle\Theta \mathrm{u},u\rangle$
\end{center}
où les opérate urs $\mathrm{S},\ \mathrm{V},\ \Theta$ n'agissent que sur la composante $\Lambda^{0,\mathrm{q}}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes \mathrm{F}$
d{\it e} $\Lambda^{0,\mathrm{q}}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes \mathrm{F}_{k}$. On va donc pouvoir utiliser le théorème 2.16 pour
déterminer la distribution spectrale asymptotique d{\it e} $\Delta_{k}''$, car l{\it e} terme
$\displaystyle \frac{1}{k}\langle\Theta u,u\rangle$ tend vers $0$ {\it e}n norme.
Soit $h_{k}^{q}(\lambda)$ l{\it e} nombre de valeurs propres $\leq k\lambda$ d{\it e} $\Delta_{k}''$ opérant sur
$\mathcal{C}_{0,\mathrm{q}}^{\infty}(\mathrm{E}^{k}\otimes \mathrm{F})$. L{\it e} champ magnétique $\mathrm{B}$ est ici donné par
(3.13) $\displaystyle \mathrm{B}=-ic(\mathrm{E})=-\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}d\mathrm{x}_{j}\wedge dy_{j},\ z_{j}=x_{j}+iy_{j}$.
Compte-tenu que $\dim_{\mathrm{R}}\mathrm{X}=2n$, l{\it e} théorème 2.16 s{\it e} transcrit comme suit.
ThéOrème 3.14. --{\it Il existe un ensemble dénombrable} $\mathcal{D}$ {\it tel que pour}
{\it tout} $q=0,1,\ \ldots,\ n$ {\it et tout} $\lambda\in \mathrm{R}\backslash \mathcal{D}$ {\it on ait}
$$
h_{k}^{\mathrm{q}}(\lambda)=rk^{n}\sum_{|\mathrm{J}|=q}\int_{\mathrm{x}}\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(2\lambda+a_{1^{\mathrm{J}}}-\alpha_{\mathrm{J}})\ d\mathrm{o}\ +o(k^{n})
$$
{\it lorsque} $k$ {\it tend vers} $+\infty$.

222
JEAN-PIERRE DEMAILLY
4. Complexe de Witten et inégalités de Morse.
E. Witten[18], [19] a introduit récemment une nouvelle méthode
analytique pour démontrer les inégalités de Morse en cohomologie d{\it e}
d{\it e} Rham. Nous adaptons ici sa méthode pour 1'étude d{\it e} la
$d''$ cohomologie. La principale différenoe réside dans le fait que l{\it e} champ
magnétique est toujours nul dans l{\it e} cas d{\it e} la cohomologie de d{\it e} Rham (on
a {\it e}n effet $d^{2}=0$!), $et$ c'est le champ électrique qui intervient seul dans ce
cas.
Avec les notations du \S 3, soit $\mathcal{P}_{k}^{q}(\lambda)\subset \mathcal{C}_{0,\mathrm{q}}^{\infty}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}\otimes \mathrm{F})$ la somme
directe des sous-espaces propres d{\it e} $\Delta_{k}''$ attachés aux valeurs propres
$\leq k\lambda.\ \mathcal{X}_{k}^{\mathrm{q}}(\lambda)$ est donc un espace vectoriel d{\it e} dimension finie
$$
h_{k}^{q}(\lambda)=\dim_{\mathrm{c}}\ovalbox{\tt\small REJECT}_{k}^{q}(\lambda).
$$
La théorie d{\it e} Hodge donne un isomorphisme
$$
\mathrm{H}^{\mathrm{q}}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}\otimes \mathrm{F})\simeq \mathcal{X}_{k}^{q}(0).
$$
On posera pour abréger
$$
h_{k}^{q}=\dim \mathrm{H}^{q}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}\otimes \mathrm{F})=h_{k}^{q}(0).
$$
PROPOSITION 4.1. $-\mathcal{X}_{\dot{k}}(\lambda)$ {\it est un sous-complexe} $du$ {\it complexe de}
{\it Do lbeault}
$$
\mathrm{D}_{k}'':\mathcal{C}_{0}^{\infty}.(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}\otimes \mathrm{F}).
$$
{\it De plus, l}'{\it inclusion} $\mathcal{X}_{\dot{k}}(\lambda)\subset\varphi_{0}^{\infty}.(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}\otimes \mathrm{F})$ {\it et la projection orthogonale}
$$
\mathrm{P}_{\lambda}:\mathcal{C}_{0}^{\infty}.(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}\otimes \mathrm{F})\rightarrow \mathcal{X}_{\dot{k}}(\lambda)
$$
{\it induisent en cohomologie des isomorphismes inverses l}'{\it un de l}'{\it autre}.
{\it Démonstration}. -- L{\it e} fait que $\mathcal{X}_{\dot{k}}(\lambda)$ soit un sous-complexe d{\it e}
$\varphi_{0}^{\infty}.(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}\otimes \mathrm{F})$ provient d{\it e} la propriété de commutation des opérateurs $\mathrm{D}_{k}''$
et $\Delta_{k}''$. Soit maintenant
$$
\mathrm{G}=\int_{\lambda>0}\frac{1}{\lambda}d\mathrm{P}_{\lambda}
$$
INÉGALITÉS DE MORSE EN $d''$-COHOMOLOGIE
223
l'opérateur d{\it e} Green du laplacien $\Delta_{k}''$. Comme $[\mathrm{P}_{\lambda},\Delta_{k}'']=0$, on a les
relations $[\mathrm{G},\Delta_{k}'']=0$ et
$\Delta_{k}''\mathrm{G}+\mathrm{P}_{0}=$ Id.
D{\it e} plus, $[\mathrm{P}_{\iota},\mathrm{D}_{k}'']=[\mathrm{G},\mathrm{D}_{k}'']=0$. On {\it e}n déduit donc
Id $-\mathrm{P}_{\lambda}=\Delta_{k}''\mathrm{G}(\mathrm{Id}-\mathrm{P}_{\lambda})+$ Po $(\mathrm{Id}-\mathrm{P},) =\Delta_{k}''\mathrm{G}(\mathrm{Id}-\mathrm{P}_{\lambda})$
$$
=\mathrm{D}_{k}''(\delta_{k}''\mathrm{G}(\mathrm{Id}-\mathrm{P}_{\lambda}))+(6_{k}''\mathrm{G}(\mathrm{Id}-\mathrm{P}_{1}))\mathrm{D}_{k}'',
$$
d{\it e} sorte que 1'opérateur $6_{k}''\mathrm{G}(\mathrm{Id}-\mathrm{P}_{\lambda})$ est une homotopie entre Id {\it e}t $\mathrm{P}_{\lambda}$.
$$
\square 
$$
On utilise maintenant un lemme classique simple d'algèbre
homologique.
lemme 4.2. - {\it Soit}
$$
0\rightarrow \mathrm{C}^{0}\rightarrow^{d^{0}}\mathrm{C}^{1}\rightarrow^{d^{1}}.\text{ . . }\rightarrow \mathrm{C}^{n}\rightarrow 0
$$
{\it un complexe d}'{\it espaces vectoriels de dimensions finies} $c^{0},\ c^{1},\ \ldots,\ c^{n}$ {\it sur un}
{\it corps} K. {\it Soit} $h^{\mathrm{q}}=\dim_{\mathrm{K}}\mathrm{H}^{q}(\mathrm{C}^{\cdot})$. {\it Alors, on a les inégalités suivantes}:
$(a)$ {\it Inégalités de Morse}: $h^{q}\leq c^{q},\ 0\leq q\leq n$.
$(b)$ {\it Égalité des caractéristiques d}'{\it Euler-Poincaré} $\chi(\mathrm{H}^{\cdot}(\mathrm{C}^{\cdot}))=\chi(\mathrm{C}^{\cdot})$:
$$
h^{0}-h^{1}+\cdots+(-1)^{n}h^{n}=c^{0}-c^{1}+\cdots+(-1)^{n}c^{n}
$$
{\it c}$)$ {\it Inégalités de Morse fortes}: {\it pour tout} $q,\ 0\leq q\leq n$,
$$
h^{q}-h^{q-1}+\cdots+(-1)^{q}h^{0}\leq c^{q}-c^{q-1}+\cdots+(-1)^{q}c^{\mathrm{o}}.
$$
{\it Démonstration}. -- Si $\mathrm{Z}^{q}=\mathrm{K}e\mathrm{r}d^{\mathrm{q}}$ {\it e}t $\mathrm{B}^{q}=$ I{\it m} $d^{\mathrm{q}-1}$ ont pour
dimensions $z^{q}$ {\it e}t $b^{q}$, 1'égalité $(b)$ résulte {\it e}n effet des formules
$$
c^{\mathrm{q}}=z^{\mathrm{q}}+b^{\mathrm{q}+1},\ h^{\mathrm{q}}=z^{q}-b^{\mathrm{q}},
$$
tandis que $(c)$ résulte d{\it e} $(b)$ appliqué au complexe
$$
 0\rightarrow \mathrm{C}^{0}\rightarrow \mathrm{C}^{1}\rightarrow\ \rightarrow \mathrm{C}^{q-1}\rightarrow \mathrm{Z}^{\mathrm{q}}\rightarrow 0.\ \square 
$$
-Si $\mathrm{F}$ est un fibre' vectoriel holomorphe sur X, on définit sa
caractéristique d'Euler-Poincaré par
$\displaystyle \chi(\mathrm{X},\mathrm{F})=\sum_{\mathrm{q}=0}^{n}(-1)^{\mathrm{q}}\dim \mathrm{H}^{\mathrm{q}}$ (X,F).

224
JEAN-PIERRE DEMAILLY
En combinant la proposition 4.1 {\it e}t le lemme 4.2, nous obtenons pour tout
$\lambda\geq 0$ et tout $q,\ 0\leq q\leq n$, l'inégalité
$h_{k}^{q}-h_{k}^{\mathrm{q}-1}+\cdots+(-1)^{\mathrm{q}}h_{\mathrm{k}}^{0}\leq h_{k}^{\mathrm{q}}(\lambda)-h_{k}^{\mathrm{q}-1}(\lambda)+\cdots+(-1)^{q}h_{k}^{0}(\lambda)$.
Évaluons maintenant $h_{k}^{q}(\lambda)$ au moyen du théorème 3.14 et faisons tendre
$\lambda\in \mathrm{R}\backslash \mathcal{D}$ vers $0$ par valeurs $>0$. Il s'ensuit:
COROLLAIRE 4.3. - {\it On a les inégalités asymptotiques}
$(a) h_{k}^{\mathrm{q}}\leq k^{n}\mathrm{I}^{\mathrm{q}}+o(k^{n})$
$(b) \chi(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}\otimes \mathrm{F})=k^{n}(\mathrm{I}^{0}-\mathrm{I}^{1}+\cdots+(-1)^{n}\mathrm{I}^{n})+o(k^{n})$,
$(c) h_{\mathrm{k}}^{\mathrm{q}}-h_{\mathrm{k}}^{\mathrm{q}-1}+\cdots+(-1)^{q}h_{\mathrm{k}}^{0}\leq \mathrm{k}^{\mathrm{n}}(\mathrm{I}^{\mathrm{q}}-\mathrm{I}^{\mathrm{q}-1} +\cdots+(-1)^{\mathrm{q}}\mathrm{I}^{\mathrm{o}})+o(k^{n})$,
o{\it ù} $\mathrm{I}^{q}$ {\it désigne l}'{\it intégrale de courbure}
$$
\mathrm{I}^{\mathrm{q}}=r\sum_{|\mathrm{J}|=q}\int_{\mathrm{x}}\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\alpha_{[\mathrm{J}}-\alpha_{\mathrm{J}})\ d\mathrm{o}.
$$
D'après (3.13), les modules des vale urs propres du champ magnétique $\mathrm{B}$
sont les $|\alpha_{j}|,\ 1\leq j\leq n$. Pour tout point $x \in \mathrm{X}$, rangeons ces valeurs
propres {\it e}n sorte que
$|\alpha_{\mathrm{L}}\llcorner\geq|\alpha_{2}|\geq$. . . $\geq|\alpha_{s}|>0=|\alpha_{\mathrm{s}+1}|=$. . . $=|\alpha_{n}|,\ s=s(x)$.
La formule (1.5) donne
$\displaystyle \overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\alpha_{|\mathrm{J}}-\alpha_{\mathrm{J}})=\frac{2^{s-2\prime\prime}\pi^{-n}}{\Gamma(n-s+1)}|\alpha_{1}\ldots\alpha_{s}|_{(p_{1},\ldots p_{S})}\sum,\{\alpha_{[\mathrm{J}}-\alpha_{\mathrm{J}}-\Sigma(2p_{j}+1)|\alpha_{j}|\}_{+}^{n-s}$
avec la notation $\{\lambda\}_{+}^{0}=0$ si $\lambda<0$ {\it et} $\{\lambda\}_{+}^{0}=1$ si $\lambda\geq 0$. Comme la
quantité $\alpha_{\mathrm{f}^{\mathrm{J}}}-\infty_{\mathrm{J}}-\Sigma(2p_{j}+1)|\alpha_{j}|$ est toujours $\leq 0,\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\alpha_{[\mathrm{J}}-\alpha_{\mathrm{J}})$ ne peut
être non nul que si $s=n$. Dans c{\it e} dernier cas
$\alpha_{\mathrm{t}^{\mathrm{J}}}-\alpha_{\mathrm{J}}-\Sigma(2p_{j}+1)|\alpha_{j}|=0$ si {\it e}t seulement si $p_{1}= =p_{n}=0$ {\it e}t
$\alpha_{j}<0$ pour $j\in \mathrm{J},\ \alpha_{j}>0$ pour $j\in[$ J. Ceci entraîne que la forme $ic(\mathrm{E})$
est non dégénérée d'indice $q$. Pour $x\in \mathrm{X}(q)$ (cf. notations d{\it e}
$1' \mathrm{introduction})$ {\it e}t $|\mathrm{J}|=q$, on a donc
$$
\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\alpha_{\mathrm{t}^{\mathrm{J}}}-\alpha_{\mathrm{J}})=(2\pi)^{-n}|a_{1}\ldots\alpha_{n}|>0
$$
si $\mathrm{J}$ est le multi-indice $\mathrm{J}(\mathrm{x})=\{j;\alpha_{j}(x)<0\}$ {\it e}t $\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\alpha_{\mathrm{t}^{\mathrm{J}}}-\alpha_{\mathrm{J}})=0$ si
$\mathrm{J}\neq \mathrm{J}(x)$. Il s'ensuit
$\displaystyle \mathrm{I}^{\mathrm{q}}=r\int_{\mathrm{X}\langle q)}(2\pi)^{-n}(-1)^{\mathrm{q}}\alpha_{1}\ldots \alpha_{n}d\sigma =\displaystyle \frac{r}{n!}\int_{\mathrm{X}(q)}(-1)^{q}(\frac{i}{2\pi}c(\mathrm{E}))^{n}$

INÉGALITÉS DE MORSE EN $d''$-COHOMOLOGIE
225
Le théorème fondamental 0.1 n'est alors qu une reformulation du
corollaire 4.3. L{\it e} raisonnement ci-dessus montre que les formes
harmoniques d{\it e} $\mathrm{H}^{\mathrm{q}}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{\mathrm{k}}\otimes \mathrm{F})$ s{\it e} concentrent asymptotiquement sur
$\mathrm{X}(q)$, {\it e}t qu {\it e}n chaque point d{\it e} X $(q)$ leur direction {\it t}end à s'aligner sur l{\it e}
{\it q}-sous-espace d{\it e} TX correspondant à la partie négative d{\it e} $ic(\mathrm{E})$. D{\it e}
plus, seule la valeur propre d'énergie minimale $p_{1}= =p_{n}=0$ d{\it e}
$1' \mathrm{oscillat}e\mathrm{ur}$ harmonique intervient pour c{\it e} $\mathrm{s}$ formes. Pour $q=1$,
l'inégalité d{\it e} Morse forte 4.3 $(c)$ s'écrit
$$
h_{k}^{1}-h_{k}^{0}\leq k^{n}(\mathrm{I}^{1}-\mathrm{I}^{0})+o(k^{n}),
$$
d'où {\it e}n particulier une minoration asymptotique du nombre d{\it e} sections
holomorphes du fibre' $\mathrm{E}^{k}\otimes$ F.
ThéOrème 4.4. -
$$
\dim \mathrm{H}^{0}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}\otimes \mathrm{F})\geq r\frac{k^{n}}{n!}\int_{\mathrm{X}(\leq 1)}(\frac{i}{2\pi}c(\mathrm{E}))^{n}-o(k^{n}).
$$
Plus généralement, l'addition des inégalités 4.3 $(c)$ pour les indices
$q+1$ {\it e}t $q-2$ entraîne
$$
h_{k}^{q+1}-h_{k}^{\mathrm{q}}+h_{k}^{\mathrm{q}-1}\leq k^{n}(\mathrm{I}^{\mathrm{q}+1}-\mathrm{I}^{\mathrm{q}}+\mathrm{I}^{q-1})+o(k^{n}),
$$
d'où la minoration
(4.5) $\displaystyle \dim \mathrm{H}^{q}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}\otimes \mathrm{F})\geq r\frac{k^{n}}{n!}\sum_{j=0,\pm 1}(-1)^{\mathrm{q}}\int_{\mathrm{X}(q+J)}(\frac{i}{2\pi}c(\mathrm{E}))^{n}-o(k^{n})$.
5. Caractérisation des variétés de MoiSezon.
Soit X une variété {\it C}-analytique compacte connexe d{\it e} dimension $n$.
On appelle dimension algébrique d{\it e} X, notée $\mathrm{a}(\mathrm{X})$, le degré de
transcendance sur $C$ du corps $\mathrm{K}(\mathrm{X})$ des fonctions méromorphes sur X.
D'après un théorème bien connu d{\it e} Siegel [15], la dimension algébrque de
X vérfie toujours l'inégalité $0\leq a(\mathrm{X})\leq n$. Lorsque $a(\mathrm{X})=n$, on dit
que X est un espace de MoiSezon. Comme on va le voir, la dimension
algébrque d{\it e} X impose asymptotiquement de fortes contraintes sur la
dimension des espaces d{\it e} sections d'un fibre' vectoriel holomorphe.
ThéOrème 5.1. --{\it Soit a la dimension algébrique de} $\mathrm{X},\ \mathrm{F}$ {\it un fibré}
{\it vectoriel} $ho$ {\it lomorphe de rang} $r$ {\it et} $\mathrm{E}$ {\it un fibré linéaire sur} X. {\it Alors, il existe}

226
JEAN-PIERRE DEMAILLY
{\it une constante} $\mathrm{C}_{\mathrm{E}}\geq 0$ {\it ne dépendant que de} $\mathrm{E}$ {\it telle que}
dim $\mathrm{H}^{0}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}\otimes \mathrm{F})\leq C_{E}rk^{a} +o(k^{a})$.
{\it Démonstration}. --Nous reprenons pour l'essentiel les arguments d{\it e}
Y. T. Siu [16]. Soit $\{\mathrm{W}_{1}\}$ un recouvrement d{\it e} X par des ouverts d{\it e}
coordonnées $\mathrm{W}_{f}\subset C^{n}$, {\it e}t $\mathrm{B}_{j}=\mathrm{B}(a_{j},\mathrm{R}_{j}),\ 1\leq j\leq m$, une famille d{\it e}
boules relativement compactes dans les ouverts $\mathrm{W}_{t}$, {\it t}elles que les boules
concentriques $\displaystyle \mathrm{B}_{j}'=\mathrm{B}(a_{j},\frac{1}{7}\mathrm{R}_{j})$ recouvrent X. Munissons $\mathrm{E},\ \mathrm{F}$ d{\it e}
métrques hermitiennes, {\it e}t soit exp $(-\varphi_{j})$ le poids représentant la
métrque d{\it e} $\mathrm{E}$ dans une trivialisation d{\it e} $\mathrm{E}$ au voisinage d{\it e} $\overline{\mathrm{B}}_{j}$.
Soit alors $s\in \mathrm{H}^{0}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}\otimes \mathrm{F})$ une section holomorphe qui s'annule à
$1' \mathrm{ordr}ep$ {\it e}n un point $x_{j}\in \mathrm{B}_{j}'$. Les inclusions
$$
\mathrm{B}_{j}'\subset \mathrm{B}(x_{j},\frac{2}{7}\mathrm{R}_{j})\subset \mathrm{B}(x_{j},\frac{6}{7}\mathrm{R}_{j})\subset \mathrm{B}_{j}
$$
et le lemme de Schwarz appliqué aux deux boules intermédiaires entraînent
1'inégalité
\begin{center}
(5.2)   $\displaystyle \sup_{\mathrm{B}_{j}'}|s|\leq e\mathrm{xp}(\mathrm{A}k+\mathrm{C}_{\mathrm{F}})3^{-p}\sup_{\mathrm{B}_{j}}|s|$,
\end{center}
où $\displaystyle \mathrm{A}=\max_{1\leq j\leq m}$ diam $\varphi_{j}(\mathrm{B}_{j})$ n{\it e} dépend que d{\it e} $\mathrm{E}$, {\it e}t où $\mathrm{C}_{\mathrm{F}}$ est une
constante $\geq 0$ qui dépend d{\it e} la métrque d{\it e} F.
Soit $\mathrm{p}\leq r=$ rang (F) l{\it e} maximum pour $\mathrm{x} \in \mathrm{X}$ d{\it e} la dimension du
sous-espace d{\it e} la fibre $\mathrm{F}_{\mathrm{x}}$ engendré par les vecteurs $s(x)$ lorsque $s$ décrit
$\displaystyle \bigcup_{k\in \mathrm{N}}\mathrm{H}^{0}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}\otimes \mathrm{F})$. Si $\mathrm{p}=0$, alors $\mathrm{H}^{0}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}\otimes \mathrm{F})=0$ pour tout $k$.
Distinguons maintenant deux cas suivant que $\mathrm{p}=1$ ou $\mathrm{p}>1$.
$(a)$ {\it Supposons} $\mathrm{p}=1$.
Soit $h_{\mathrm{k}}=\mathrm{di}m\mathrm{H}^{0}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}\otimes \mathrm{F})$, supposée $>0$. Sous l'hypothèse
$\mathrm{p}=1$, les sections globales de $\mathrm{E}^{k}\otimes \mathrm{F}$ définissent une application
holomorphe
$$
\Phi_{\mathrm{k}}:\mathrm{X}\backslash \mathrm{Z}_{\mathrm{k}}\rightarrow \mathrm{P}^{h_{k}-1}(C)
$$
où $\mathrm{Z}_{k}\subset \mathrm{X}$ est l{\it e} sous-ensemble analytique d{\it e} leurs zéros communs. Soit
$d$ l{\it e} rang maximum d{\it e} $\Phi_{\mathrm{k}}'$ sur $\mathrm{X}\backslash \mathrm{Z}_{\mathrm{k}}$. On a nécessairement $d\leq a$, sinon
l{\it e} corps des fractions rationnelles d{\it e} $\mathrm{P}^{h_{k}-1}(C)$ induirait un corps d{\it e}

INÉGALITÉS DE MORSE EN $d''$-COHOMOLOGIE
227
fonctions méromorphes sur X de degré d{\it e} transcendance $\geq d>a$, c{\it e}
qui est absurde. Choisissons pour tout $j=1,\ \ldots,\ m$ un point $\chi_{j}\in \mathrm{B}_{j}'\backslash \mathrm{Z}_{k}$
tel que $\Phi_{k}'$ soit d{\it e} rang maximum $=d$ {\it e}n $\chi_{j}$, {\it e}t soit $s_{0}\in \mathrm{H}^{0}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}\otimes \mathrm{F})$
une section qui n{\it e} s'annule en aucun point $x_{j}$. Pour tout
$s\in \mathrm{H}^{0}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}\otimes \mathrm{F})$, l{\it e} quotient $s/s_{\mathrm{o}}$ est bien défini {\it e}n tant que fonction
méromorphe sur X, {\it e}t d{\it e} plus $s/s_{\mathrm{o}}$ est une fonction holomorphe au
voisinage d{\it e} $x_{j}$, constante l{\it e} long des fibres d{\it e} $\Phi_{k}$. Comme $\Phi_{k}$ est une
subimmersion au voisinage d{\it e} chaque point $x_{j}$, on peut choisir une
sous-varété $\mathrm{M}_{j}$ d{\it e} dimension $d$ passant par $x_{j}$ {\it e}t transverse à la fibre
$\Phi_{k}^{-1}(\Phi_{\mathrm{k}}(x_{\mathrm{j}}))$. La section $s$ s'annulera à l'ordre $p$ {\it e}n chaque point $x_{j}$,
$1\leq j\leq m$, si {\it e}t seulement si les dérivées partielle $\mathrm{s}$ d'ordre $<p$ d{\it e} $s/s_{0}$ l{\it e}
long d{\it e} $\mathrm{M}_{j}$ s'annulent {\it e}n $\chi_{j}$. Ceci correspond au total à l'annulation d{\it e}
$$
m\left(\begin{array}{ll}
p+d & -1\\
d & 
\end{array}\right)
$$
dérivées. Si nous choisissons $p=[\mathrm{A}k+\mathrm{C}_{\mathrm{F}}]+1$, alors 1'inégalité (5.2)
entraîne
$$
\sup_{\mathrm{X}}|s|\leq(\frac{e}{3})^{p}\sup_{\mathrm{X}}|s|,
$$
d'où $s=0$. Comme $d\leq a$, nous obtenons par conséquent
$$
\dim \mathrm{H}^{0}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}\otimes \mathrm{F})\leq m\left(\begin{array}{ll}
p+a & -1\\
a & 
\end{array}\right)\leq \mathrm{C}_{\mathrm{E}}k^{a}+o(k^{a})
$$
avec $\mathrm{C}_{\mathrm{E}}=mA^{a}/a$ !.
$(b)$ {\it Supposons} $\mathrm{p}>1$.
Il existe alors des sections $s_{\mathrm{t}}\in \mathrm{H}^{0}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k_{\mathrm{t}}}\otimes \mathrm{F}),\ 1\leq t\leq \mathrm{p}$, {\it e}t un point
$\chi_{0}\in \mathrm{X}$ tels que les vecteurs $s_{1}(x_{0}),\ \ldots,\ s_{\mathrm{p}}(x_{0})$ soient linéairement
indépendants. Par construction, pour tout $k\in \mathrm{N}$ {\it e}t toute section
$s\in \mathrm{H}^{0}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}\otimes \mathrm{F})$, la droite $C.s(x)$ est contenue dans l{\it e} sous-espace
engendré par $(s_{1}(x)_{ }\ldots,s_{\rho}(x))$, sauf peut-être au-dessus du sous-ensemble
analytique $\{\mathrm{x} \in \mathrm{X};s_{1}\wedge\ldots\wedge s_{\mathrm{p}}(\mathrm{x})\}=0$. On a donc un morphisme injectif
$$
\mathrm{H}^{0}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}\otimes \mathrm{F})\rightarrow\bigoplus_{1\leq \mathrm{t}\leq \mathrm{p}}\mathrm{H}^{0}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k+k_{\downarrow}^{\wedge}}\otimes\Lambda^{\mathrm{p}}\mathrm{F})
$$
où $k_{\mathrm{t}}-=(k_{1}+\cdots+k_{\rho})-k_{\mathrm{t}}$, dont la composante d'indice $t$ est donnée
par $s\rightarrow s_{1}\wedge\cdots\wedge\hat{s}_{\mathrm{t}}\wedge\cdots\wedge s_{\mathrm{p}}\wedge s$. L'image d{\it e} $\mathrm{H}^{\mathrm{o}}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}\otimes \mathrm{F})$ sur
chaque composante est formée d{\it e} sections colinéaires {\it e}n presque tout point

228
JEAN-PIERRE DEMAILLY
à $s_{1}\wedge\cdots\wedge s_{\rho}$. On s{\it e} retrouve donc dans une situation analogue à celle
du $(a)$, où $\mathrm{F}$ est remplacé par $\mathrm{E}^{k_{\hat{t}}}\otimes\Lambda^{\rho}\mathrm{F}$; par suite:
$$
\dim \mathrm{H}^{0}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}\otimes \mathrm{F})\leq \mathrm{C}_{\mathrm{E}}\mathrm{pk}^{\mathrm{a}}\ +o(k^{a}),\ \mathrm{p}\leq r.\ \square 
$$
Choisissons en particulier pour $\mathrm{F}$ l{\it e} fibre $\mathrm{tr}_{\mathrm{v}}\mathrm{ia}1$ X $\times C$. En
comparant les théorèmes 4.4 et 5.1, nous obtenons la caractérisation
géométrque suivante des varétés d{\it e} MoiSezon.
ThéOrème 5.2. - {\it Pour qu}'{\it une variété C-analytique compacte connexe}
{\it Xde dimension} $n$ {\it soit de Moïsezon, il suffit qu}'{\it il existe un fibre en droites}
{\it holomorphe hermitien} $\mathrm{E}$ {\it au-dessus de} X {\it tel que} $\displaystyle \int_{\mathrm{X}(\leq 1)}(ic(\mathrm{E}))^{n}>0.\ \square $
Ce théorème entraîne à son tour l{\it e} théorème 0.8 puisque
0.8 $(c)\Rightarrow 0.8(b)\Rightarrow 0.8(a)$. On améliore ainsi les résultats d{\it e}
Y. T. Siu[17][18], {\it e}t on retrouve donc en particulier une nouvelle
démonstration d{\it e} la conjecture d{\it e} Grauert-Riemenschneider [10].
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INÉGALITÉS DE MORSE EN $d''$-COHOMOLOGIE
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Manuscrit reçu l{\it e} 30 mai 1985.
Jean-Pierre DEMAILLY,
Institut Fourier
Laboratoire d{\it e} Mathématiques
Université d{\it e} Grenoble 1
B.P. 74
38402 {\it S}t-Martin d'Hères {\it Cedex}.

\end{document}