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\begin{document}

Ann. Inst. Fourier, Grenoble
32, 2 (1982), 37-66.
SUR LES NOMBRES DE LELONG ASSOCIÉS
A L'IMAGE DIRECTE
D UN COURANT POSITIF FERMÉ
par Jean-Pierre DEMAILLY
0. Introduction.
Soit $\mathrm{T}$ un courant positif fermé de bidimension $(p,p)$ sur un ouvert
$\Omega\subset$ C. On définit classiquement le nombre de Leiong v(T;x) du courant
$\mathrm{T}$ en un point $ x\in\Omega$ comme la limite quand $r$ tend vers $0$ du rapport
entre la masse du courant $\mathrm{T}$ sur la boule euclidienne de centre $x$ et de
rayon $r$ dans $\Omega$, et le volume $\displaystyle \frac{\pi^{p}}{p!}r^{2p}$ de la boule de rayon $r$ dans $\mathrm{C}^{p}$
(voir P. Leiong [6] pour de plus amples détails). Un théorème remarquable
de Y.-T. Siu [11], fondé sur les résultats de E. Bombieri [1], affirme que
pour tout $c>0$ l'ensemble $\mathrm{E}_{c}=\{x \in\Omega;\mathrm{v}(\mathrm{T};x)\geq c\}$ est un sous-
ensemble analytique de $\Omega$ de dimension $\leq p$.
Dans le présent travail, nous envisageons la généralisation suivante des
nombres de Leiong. $\mathrm{T}$ désignera un courant positif fermé de bidimension
$(p,p)$ sur un espace analytique X. On se donne une fonction $\varphi\geq 0$ de
classe $\mathrm{C}^{2}$, telle que $\log\varphi$ soit plurisousharmonique sur X, et telle que
pour $\mathrm{R}>0$ assez petit l'ensemble SuppT $\cap\varphi^{-1}$ ([ $0,\mathrm{R}$ [ $)$ soit
relativement compact dans X. Une formule de type Jensen, déjà utilisée
dans [3], permet alors de définir le nombre de Leiong du courant $\mathrm{T}$
relativement au poids $\varphi$ comme la limite
$$
\mathrm{v}(\mathrm{T};\varphi)=r>0,r\rightarrow 0\lim\uparrow\frac{1}{(2\pi r)^{p}}\int_{\varphi\langle z)<r}\mathrm{T}\wedge(i\partial\overline{\partial}\varphi)^{p}.
$$
Une propriété fondamentale, qui jouera un rôle central tout au long de

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JEAN-PIERRE DEMAILLY
ce travail, réside dans le fait que $\mathrm{v}(\mathrm{T};\varphi)$ dépend uniquement du
comportement asymptotique de $\log\varphi$ au voisinage de l'ensemble polaire
$\varphi^{-1}(0)$ (cf. \S 1, théorème 4). En particulier, si les fonctions $\log\varphi$ et $\log\psi$
ont mêmes pôles et sont équivalentes au voisinage de l'ensemble
$\varphi^{-1}(0)=\psi^{-1}(0)$, alors $\mathrm{v}(\mathrm{T};\varphi)=\mathrm{v}(\mathrm{T};\psi)$. On r{\it e} trouve ainsi l'invariance
des nombres de Leiong par isomorphisme analytique local. Ce résultat
avait été établi antérieurement par Y.-T. Siu [11] au moyen de la théorie du
slicing de H. Fédérer [4].
Considérons maintenant un morphisme $\mathrm{F}:\mathrm{X}\rightarrow \mathrm{Y}$ de l'espace X sur
un espace analytique $\mathrm{Y}$, dont la restriction au support de $\mathrm{T}$ soit {\it propre}.
On désigne par $\mathrm{F}_{*}\mathrm{T}$ le courant positif fermé sur $\mathrm{Y}$, image directe de T.
Nous étudions au \S 2 les relations qui existent entre les nombres de Leiong
de $\mathrm{F}_{*}\mathrm{T}$ et ceux de T.
ThéOrème 1. - {\it Soit} $y$ {\it un point de} Y. {\it On suppose que l}'{\it ensemble}
{\it compact} SuppT $\cap \mathrm{F}^{-1}(y)$, {\it intersection} $du$ {\it support de} $\mathrm{T}$ {\it et de la fibre}
$\mathrm{F}^{-1}(y)$, {\it est totalement discontinu. Alors}
$\displaystyle \mathrm{v}(\mathrm{F}_{*}\mathrm{T};y)\geq\sum_{x\in \mathrm{F}^{-1}\langle y)}$ v(T;x).
Le théorème 1 s'applique notamment lorsque $\mathrm{F}$ est un morphisme
{\it propre fini} de X dans $\mathrm{Y}$, sans autre hypothèse sur T. Il s'applique plus
généralement lorsque la restriction de $\mathrm{F}$ à SuppT est une application
propre à fibres finies ou dénombrables. Il est facile de voir d'autre part que
l'hypothèse de totale discontinuité de $1' \mathrm{ensemble}$ SuppT $\cap \mathrm{F}^{-1}(y)$ ne peut
être éliminée: sans cette hypothèse, il existe en effet des contre-exemples
triviaux (voir \S 2).
L'inégalité du théorème 1 sera affinée au \S 3 de manière à tenir compte
des multiplicités d'annulation des dérivées du morphisme F. Pour
simplifier, on supposera ici que $\mathrm{F}= (\mathrm{F}_{1},\mathrm{F}_{2^{ }},\ldots \mathrm{F}_{\mathrm{N}})$ est un morphisme de
X dans un sous-ensemble analytique $\mathrm{Y}$ d'un ouvert de $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$, tel que la
restriction de $\mathrm{F}$ à SuppT soit propre. Dans ces conditions, on a le
ThéOrème 2. --{\it Soit} $x \in \mathrm{X}$ {\it un point tel que} $\mathrm{v}(\mathrm{T};x)>0$ {\it et} $\mathrm{F}(x)=0$.
{\it On suppose que la composante connexe de} $x$ {\it dans} SuppT $\cap \mathrm{F}^{-1}(0)$ {\it est}
{\it réduite à} $\{\mathrm{x}\}$. {\it Si} $\mathrm{F}_{1},\mathrm{F}_{2},\ldots,\mathrm{F}_{\mathrm{N}}$ {\it s}'{\it annulent respectivement aux ordres}
$s_{1}\leq s_{2}\leq\cdots\leq s_{\mathrm{N}}$ {\it au point} $x$, {\it alors} $\mathrm{N}\geq p$ {\it et}
\begin{center}
v(F$*$T;0) $\geq s_{1}s_{2}\ldots s_{p}\mathrm{v}(\mathrm{T};x)$.
\end{center}


NOMBRES DES LELONG DES COURANTS
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Nous obtiendrons un énoncé plus géométrique en introduisant une
notion intrinsèque d{\it e} multiplicités pour le morphisme F.
Si les $\mu_{p}(\mathrm{F};x)$ sont ces multiplicités (définition 4), le théorème 5 affirme
que
$$
\mathrm{v}(\mathrm{F}_{*}\mathrm{T};y)\geq\sum\mu_{p}(\mathrm{F};\mathrm{x})\mathrm{v}(\mathrm{T} ;x)
$$
où la somme est étendue à tous les points $x \in$ SuppT $\cap \mathrm{F}^{-1}(y)$ qui
coïncident avec leur composante connexe dans SuppT $\cap \mathrm{F}^{-1}(y)$, et tels
que $\mathrm{v}(\mathrm{T};x)>0$.
Les minorations des nombres d{\it e} Leiong de $\mathrm{F}_{*}\mathrm{T}$ données par les
théorèmes 1, 2 {\it e}t 5 entraînent elles-mêmes une majoration des nombres
$\mathrm{v}(\mathrm{F}_{*}\mathrm{T};y)$ par les nombres v(T;x) aux points $\chi \in \mathrm{F}^{-1}(y)$, lorsque la fibre
$\mathrm{F}^{-1}(y)$ est fnie (théorème 6). Il faut naturellement faire intervenir encore
certaines multiplicités $\overline{\mu}_{p}(\mathrm{F};x)$ du morphisme $\mathrm{F}$ (cf. défnition 5). Nous
montrerons par un exemple qu il n'est pas possible d'améliorer
$1' e\mathrm{ncadr}e\mathrm{m}e\mathrm{nt}$ obtenu.
L{\it e} quatrième {\it e}t dernier paragraphe est consacré à l'étude du $\langle\langle$ degré $\rangle\rangle$
$\delta(\mathrm{T};\varphi)$ du courant T. De façon précise, on pose
$$
6(\mathrm{T};\varphi)=r\rightarrow+\infty\lim\uparrow\frac{1}{(2\pi r)^{p}}\int_{\varphi\langle z)<r}\mathrm{T}\wedge(i\partial\overline{\partial}\varphi)^{p},
$$
la fonction $\varphi$ étant supposée exhaustive sur le support d{\it e} T. La théorie
est tout à fait analogue à celle des nombres de Leiong.
En particulier, il est possible d'encadrer le degré de l'image directe $\mathrm{Q}_{*}\mathrm{T}$
d'un courant $\mathrm{T}$ par un morphisme algébrique $\mathrm{Q}$ au moyen du degré de
$\mathrm{T}$ {\it e}t de certaines multiplicités du morphisme Q.
Tous c{\it e} $\mathrm{s}$ résultats apparaissent comme d{\it e} $\mathrm{s}$ généralisations d'inégalités
obtenues dans [3], qui nous avaient permis d{\it e} retrouver le théorème de
E. Bombieri [1] sur les valeurs algébriques d{\it e} fonctions méromorphes. Les
démonstrations du présent travail sont assez notablement différentes de
celles d{\it e} [3], {\it e}t d'une certaine manière plus élémentaire $\mathrm{s}$; les raisonnements
reposent ici sur des arguments de théorie géométrique d{\it e} la mesure, mais
n'utilisent plus d{\it e} résultats fns sur la structure des ensembles analytiques
ou algébriques.
L'idée d'étudier ce problème $\mathrm{m}' \mathrm{a}$ été suggérée par M. Henri Skoda, queje
tiens à remercier ici pour ses nombreuses remarques.

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JEAN-PIERRE DEMAILLY
1. Formules de Jensen
et nombres de Leiong généralisés.
Nous commencerons par rappeler quelques défnitions qui nous seront
utiles, de manière à fxer simultanément les notations.
Si X est un espace analytique (réduit), nous désignerons par $\varphi_{p,q}(\mathrm{X})$
$1' \mathrm{espac}e$ des $(p,q)$-formes d{\it e} classe $\mathrm{C}^{k}$, défini d{\it e} la manière suivante : $k,\ p,\ q$
sont trois entiers $\geq 0,\ k$ pouvant éventuellement prendre la valeur
$+\infty$. Soit $\mathrm{U}$ un ouvert d{\it e} X plongé comme sous-ensemble analytique
d'un ouvert $\Omega$ de $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$. Si $\mathrm{U}'$ est l'ensemble des points réguliers d{\it e} $\mathrm{U}$, on
note $\mathcal{C}_{p,q}^{k}(\mathrm{U})$ l'image du morphisme d{\it e} r{\it e} striction
$$
j^{*}:\ \phi_{p,q}(\Omega)\rightarrow \mathcal{C}_{p,q}^{k}(\mathrm{U}')
$$
(où $j$ : $\mathrm{U}'\subset_{-\rangle}\Omega$ est l'inclusion), munie de la topologie-quotient; on peut
montrer que $\mathcal{C}_{p,\mathrm{q}}^{k}(\mathrm{U})$ est bien indépendant du plongement $j$ choisi. On
défnit $\Psi_{p,\mathrm{q}}(\mathrm{X})$ par recollement, {\it e}t $\mathcal{D}_{p,\mathrm{q}}^{k}(\mathrm{X})$ comme l'espace des $(p,q)-$
formes de classe $\mathrm{C}^{k}$ à support compact dans X, avec la topologie limite
inductive.
L'espace des courants de bidimension $(p,q)$ et d'ordre $k$ sur X sera
par défnition l'espace dual $[\mathcal{D}_{p,\mathrm{q}}^{k}(\mathrm{X})]'$. Les opérateurs $\mathrm{d},\ \partial,\overline{\partial}$ sont étendus
aux courants par dualité. Si l'on revoit le détail de la construction, on
s'aperçoit que pour tout courant $\mathrm{T}\in[\mathcal{D}_{p,\mathrm{q}}^{k}(\mathrm{X})]'$ et tout plongement
$j$ : $\mathrm{U}\rightarrow\Omega$ considéré plus haut, il existe un courant $\Theta \in[\mathcal{D}_{p,q}^{k}(\Omega)]'$ ayant la
propriété suivante:
\begin{center}
(1)   $\langle \mathrm{T},\  j^{*}v\rangle=\langle\Theta,v\rangle$
\end{center}
pour toute forme $v\in \mathcal{D}_{p,q}^{k}(\Omega).\ \Theta$ est unique, {\it e}t son support est contenu
dans $j(\mathrm{U})$.
On dira qu un courant $\mathrm{T}\in[\mathcal{D}_{p.p}^{\mathrm{o}}(\mathrm{X})]'$ est faiblement positif si tous les
courants $\Theta \in[\mathcal{D}_{p,p}^{\mathrm{o}}(\Omega)]'$ qui lui sont associés sont eux-mêmes faiblement
positifs. On rappelle qu un courant $\Theta \in[\mathcal{D}_{p,\mathrm{q}}^{\mathrm{o}}(\Omega)]'$ est dit (faiblement)
positif si quelles que soient les formes $u_{1},\ u_{2},\ \ldots$ , $u_{p}\in \mathcal{C}_{1,0}^{\mathrm{o}}(\Omega)$, le $(n,n)$
courant $\mathrm{T}\wedge(iu_{1}\wedge\overline{u}_{1})\wedge\ldots(iu_{p}\wedge\overline{u}_{p})$ est une mesure positive.
L{\it e} $\mathrm{s}$ résultats qui suivent reposent sur une formule d{\it e} Jensen   plusieurs
variables. Cette formule, déjà utilisée dans [3], est d'ailleurs parfaitement
classique dans son principe. La démonstration s'appuie sur la formule de

NOMBRES DES LELONG DES COURANTS
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Stokes et constitue une généralisation naturelle de la méthode suivie par
P. Leiong [6] pour établir l'existence des nombres de Leiong d'un courant
positif fermé.
Soit $\varphi$ une fonction réelle de classe $\mathrm{C}^{2}$ sur X. On pose
$$
\beta=i\partial\overline{\partial}\varphi,
$$
$\alpha=i\text{{\it ô}} d (\log\varphi)$ sur l'ouvert $\varphi>0$,
et pour tous réels $r>0,\ r_{2}>r_{1}>0$:
$$
\mathrm{B}(r)=\{z\in \mathrm{X};\varphi(z)<r\},
$$
$$
\mathrm{S}(r)=\{z\in \mathrm{X};\varphi(z)=r\},
$$
$$
\mathrm{B}(r_{1},r_{2})=\{z\in \mathrm{X};r_{1}\leq\varphi(z)<r_{1}\}=\mathrm{B}(r_{2})\backslash \mathrm{B}(r_{1}).
$$
PROPOSITION 1. --{\it Soit} $\mathrm{T}$ {\it un courant de bidimension} $(p,p)$ {\it sur} X, $d$ '{\it ordre}
$0$ {\it ainsi que ses différentielles} $\mathrm{dT},\ i\partial\overline{\partial}\mathrm{T}$. {\it Soient} $r_{2}>r_{1}>0$. {\it On suppose que}
{\it l}'{\it ensemble} SuppT $\cap \mathrm{B}(r_{2})$ {\it est relativement compact dans} X. {\it Alors}
(2) $\left\{\begin{array}{l}
\int_{r_{1}}^{r_{2}}\frac{dt}{t^{p}}\int_{\mathrm{B}(\mathrm{t})}i\partial\overline{\partial}\mathrm{T}\wedge\beta^{p-1}\\
=\frac{1}{r_{2}^{p}}\int_{\mathrm{S}\langle r_{2})}\mathrm{T}\wedge\beta^{p-1}\wedge i\overline{\partial}\varphi-\frac{1}{r_{1}^{p}}\int_{\mathrm{S}(r_{1})}\mathrm{T}\wedge\beta^{p-1}\wedge i\overline{\partial}\varphi-\int_{\mathrm{B}(r_{1},r_{2})}\mathrm{T}\wedge\alpha^{p},
\end{array}\right.$
{\it où Vintégrale} $\displaystyle \int_{\mathrm{S}\langle r)}\mathrm{T}\wedge\beta^{p-1}\wedge i\overline{\partial}\varphi(r=r_{1},r_{2})$ {\it est définie par la formule de}
{\it Stokes} :
\begin{center}
$\displaystyle \int_{\mathrm{S}\langle r)}\mathrm{T}\wedge\beta^{\mathrm{p}-1}\wedge i\overline{\partial}\varphi=\int_{\mathrm{B}\langle r)}\mathrm{T}$ a $\displaystyle \beta^{p}+\int_{\mathrm{B}\langle r)}d\mathrm{T}\wedge\beta^{p-1}\wedge i\overline{\partial}\varphi$.
\end{center}
La démonstration est assez technique, mais sa compréhension n'est pas
indispensable pour la suite. Il est donc possible d{\it e} la sauter {\it e}n première
lecture. Pour la commodité du lecteur, nous procéderons en trois étapes.
$a)$ {\it Réduction au cas où} $\mathrm{T}$ {\it est un courant à support compact dans un}
{\it ouvert de} $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$.
En remplaçant $\mathrm{T}$ par $\Sigma\chi_{\mathrm{v}}\mathrm{T}$, où $(\chi_{\mathrm{v}})$ est une partition de l'unité, on
voit que l{\it e} problème est local. Pour tout point $\chi \in \mathrm{X}$, il existe un voisinage
ouvert $\mathrm{U}$ de $x$ dans X, un plongement $ j:\mathrm{U}\rightarrow\Omega$ dans un ouvert de
$\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$, une fonction $\psi\in \mathcal{C}^{2}(\Omega,\mathrm{R})$ telle que $\varphi|_{\mathrm{U}}=\psi\circ j$.

42
JEAN-PIERRE DEMAILLY
On a donc $\beta=j^{*}(i\partial\overline{\partial}\varphi)$, oc $=j^{*}(i\partial\overline{\partial}\log\psi)$. Au courant $\mathrm{T}$ (supposé à
support compact dans U) est associé par (1) un courant 9 à support
compact dans $\Omega$, vérifiant les mêmes propriétés que T. En utilisant (1),
on est donc ramené   démontrer la proposition 1 lorsque X $=\Omega\subset \mathrm{C}^{\mathrm{N}}$,
$\varphi\in \mathcal{C}^{2}(\Omega)$, {\it e}t $\mathrm{T}$ courant à support compact dans $\Omega$.
$\mathrm{b})$ {\it Régularisation de} T.
Puisque les deux membres d{\it e} (2) sont des fonctions continues à gauche
{\it e}n $r_{1}$ et $r_{2}$, il suffit d{\it e} démontrer (2) pour les valeurs $r_{1},\ r_{2}$ d{\it e} $r$ tels que
la $\langle\langle$ sphère $\rangle\rangle \mathrm{S}(r)$ soit négligeable pour la mesure $|\mathrm{T}|+|d\mathrm{T}|+|i\partial\partial \mathrm{T}|$ (les
valeurs exceptionnelles formant un ensemble dénombrable D).
Soit $(\mathrm{p}_{\epsilon})_{\epsilon>0}$ une famille de noyaux régularisants dans $C^{\mathrm{N}}$. Remplaçons
$\mathrm{T}$ par $\mathrm{T}*\mathrm{p}_{\epsilon}$ dans la formule (2); tous les termes de (2) passent alors à la
limite quand $\epsilon$ tend vers $0$, dès que $r_{1}\not\in \mathrm{D},\  r_{2}\not\in$ D. Raisonnons par
exemple pour le premier terme, en notant $\chi_{\mathrm{B}(\mathrm{t})}$ la fonction caractéristique
d{\it e} l'ensemble $\mathrm{B}(t)$ :
$\displaystyle \int_{\mathrm{B}(\mathrm{t})}i\partial\overline{\partial}(\mathrm{T}*\mathrm{p}_{\epsilon})\wedge\beta^{p}=\int i\partial\overline{\partial}\mathrm{T}\wedge[\mathrm{p}_{\epsilon^{*}}(\chi_{\mathrm{B}(t)}\beta^{p})]\rightarrow\int i\partial\overline{\partial}\mathrm{T}\wedge\chi_{\mathrm{B}\langle \mathrm{t})}\beta^{p}$ si $t\not\in \mathrm{D}$
car $\mathrm{p}_{\epsilon}*(\chi_{\mathrm{B}(\mathrm{t})}\beta^{p})$ reste bomé {\it e}t converge simplement vers - XB $(,)\beta^{p}$ sur le
complémentaire de l'ensemble $|i\partial\overline{\partial}\mathrm{T}|$-négligeable $\mathrm{S}(t)$. Les autres termes se
traitent de même.
$\mathrm{c})$ {\it Démonstration de la formule} (2) {\it pour} $\mathrm{T}\in \mathcal{D}_{\mathrm{N}-\rho,\mathrm{N}-p}^{\infty}(\Omega)$.
On peut également supposer que $\varphi$ est une fonction d{\it e} classe $\mathrm{C}^{\infty}$ {\it sans}
{\it points critiques dégénérés} (sinon écrire $\displaystyle \varphi=\mathrm{v}\rightarrow+\infty\lim\downarrow\varphi_{\mathrm{v}}$ où $\varphi_{\mathrm{v}}$ est une suite
décroissante d{\it e} telles fonctions, {\it e}t appliquer le théorème de convergence
dominée). Il {\it e}n résulte que la formule de Stokes s'applique au domaine à bord
éventuellement singulier $\mathrm{B}(t)$, le bord $\partial \mathrm{B}(t)=\mathrm{S}(t)$ étant orienté par la
normale extérieure $ d\varphi$. Désignons par $i_{\mathrm{t}}(t>0)$ l'injection $\mathrm{S}(t)\subset_{-\rangle}$ X. Il
est clair que
$$
i_{\mathrm{t}}^{*}\partial\varphi+i_{\mathrm{t}}^{*}\overline{\partial}\varphi=i_{\mathrm{t}}^{*}d\varphi=d(\varphi\circ i_{\mathrm{t}})=0.
$$
Un calcul immédiat fournit d'autre part
$$
\alpha=\frac{i\partial\overline{\partial}\varphi}{\varphi}-\frac{i\partial\varphi\wedge\overline{\partial}\varphi}{\varphi^{2}},
$$
NOMBRES DES LELONG DES COURANTS
43
d'où $i_{\mathrm{t}}^{*}\displaystyle \alpha=\frac{i_{\mathrm{t}}^{*}\beta}{t}$; on obtient donc d'après la formule d{\it e} Stokes :
$\displaystyle \int_{\mathrm{B}\langle \mathrm{t})}i\partial\overline{\partial}\mathrm{T}\wedge\beta^{p-1}=\int_{\mathrm{B}\langle \mathrm{t})}$ {\it d}({\it ïdT} $\wedge\beta^{p-1}$) $=\displaystyle \int_{\mathrm{S}\langle t)}i\overline{\partial}T\wedge\beta^{p-1}$
$$
=t^{p-1}\int_{\mathrm{S}\langle \mathrm{t})}i\partial T\ \wedge\alpha^{p-1}
$$
Le théorème d{\it e} Fubini montre que
\begin{center}
(3)   $\displaystyle \int_{r_{1}}^{r_{2}}\frac{dt}{t^{p}}\int_{\mathrm{B}\{\mathrm{t})}i\partial\overline{\partial}T\wedge\beta^{p-1}=\int_{r_{1}}^{r_{2}}\frac{dt}{t}\int_{\mathrm{S}\langle\iota)}i\overline{\partial}T\wedge\alpha^{p-1}$
$$
=\int_{\mathrm{B}(r_{1},r_{2})}d{\rm Log}\varphi\wedge i\overline{\partial}\mathrm{T}\wedge\alpha^{p-1}
$$
\end{center}
Comme les formes de bidegré $(n-1, n+1)$ {\it e}t $(n+1, n-1)$ sont nulles, on
a sur $\mathrm{B}(r_{1},r_{2})$:
$d{\rm Log}\varphi\wedge i\overline{\partial}T\wedge\alpha^{p-1}=\partial{\rm Log}\varphi\wedge i\overline{\partial}T\wedge\alpha^{p}$
$$
=\partial{\rm Log}\varphi\wedge idT\wedge\alpha^{p}
$$
$$
=-d(\mathrm{T}\wedge\alpha^{p-1}\wedge i\partial{\rm Log}\varphi)-\mathrm{T}\wedge\alpha^{p}.
$$
En utilisant à nouveau la formule d{\it e} Stokes {\it e}t les égalités
$$
i_{\mathrm{t}}^{*}\alpha=\frac{i_{\mathrm{t}}^{*}\beta}{t}\  i_{t}^{*}\partial\varphi=-i_{\mathrm{t}}^{*}\overline{\partial}\varphi,
$$
l'intégrale (3) devient :
$-\displaystyle \int_{\partial \mathrm{B}\langle r_{1},r_{2})}\mathrm{T}\wedge a^{p-1}\wedge i\partial\log\varphi-\int_{\mathrm{B}\{r_{1},r_{2})}\mathrm{T}\wedge\alpha^{p}$
$=\displaystyle \frac{1}{r_{2}^{p}}\int_{\mathrm{S}\langle r_{2})}\mathrm{T}\wedge\beta^{p-1}\wedge i\overline{\partial}\varphi-\frac{1}{r_{1}^{p}}\int_{\mathrm{S}\langle r_{1})}\mathrm{T}\wedge\beta^{p-1} \wedge$î$\partial\varphi -\displaystyle \int_{\mathrm{B}\langle r_{1},r_{2})}\mathrm{T}\wedge\alpha^{p}$.
On obtient précisément l{\it e} second membre de la formule (2). $\square $
Dans toute la suite d{\it e} ce paragraphe, on désignera par $\mathrm{T}$ un courant
faiblement positif, fermé $(\mathrm{i}.e. d\mathrm{T}=0)$, de bidimension $(p,p)$ sur X. Un cas
particulier fondamental sera l{\it e} cas où la fonction ${\rm Log}\varphi$ est
plurisousharmonique ({\it e}n abrégé p.s. $\mathrm{h}.$). D{\it e} façon précise, nous choisirons $\varphi$
dans la classe LP $(\mathrm{X}, \mathrm{SuppT})$ définie comme suit.

44
JEAN-PIERRE DEMAILLY
Définition 1. --{\it Soit} A {\it une partie de} X. {\it On dira qu}'{\it une fonction} $\varphi$ {\it de}
{\it classe} $\mathrm{C}^{2}$ {\it sur} X {\it est dans la classe} LP(X) [{\it resp}. LP(X,A)] {\it si}
(4) $\varphi$ {\it est logarithmiquement p.s.h. au sens suivant}: {\it pour tout point}
$x\in \mathrm{X}$, {\it il existe un voisinage} $\mathrm{U}$ {\it de} $x$ {\it dans} X, {\it un plongement}
$j$ : U$\rightarrow$û $\subset \mathrm{C}^{\mathrm{N}}$ {\it et une fonction} $\psi\geq 0$ {\it de classe} $\mathrm{C}^{2}$ {\it sur} $\Omega$, {\it prolongeant}
$\varphi (Le. \varphi|_{\mathrm{U}}=\psi\circ j)$, {\it dont le logarithme} ${\rm Log}\psi$ {\it est p.s.h}.
(5) {\it Il existe un nombre} $\mathrm{R}=\mathrm{R}(\varphi)>0$ {\it tel que l}'{\it ensemble} $\mathrm{B}(\mathrm{R})$ [{\it resp}.
$\mathrm{A}\cap \mathrm{B}(\mathrm{R})]$ {\it soit relativement compact dans} X.
On a dans ce contexte le théorème fondamental suivant, qui va nous
permettre d'introduire une définition généralisée des nombres de Leiong.
ThéOrème 3. --{\it Soient} $\varphi\in$ LP $(\mathrm{X}, \mathrm{SuppT}),\ \beta=i\partial\partial\varphi,\ \alpha=i\partial\overline{\partial}{\rm Log}\varphi$.
{\it Alors pour tous réels} $r_{1},\ r_{2}$ {\it tels que} $0<r_{1}<r_{2}\leq \mathrm{R}=\mathrm{R}(\varphi)$, {\it on a}
\begin{center}
(6)   $\displaystyle \frac{1}{r_{2}^{p}}\int_{\mathrm{B}\langle r_{2})}\mathrm{T}\wedge\beta^{p}-\frac{1}{r_{1}^{p}}\int_{\mathrm{B}\langle r_{1})}T\wedge\beta^{p}=\int_{\mathrm{B}\{r_{1},r_{2})}\mathrm{T}\wedge\alpha^{p}$.
\end{center}
{\it L}'{\it expression} $\displaystyle \frac{1}{r^{p}}\int_{\mathrm{B}\langle r)}\mathrm{T}\wedge\beta^{p}$ {\it est fonction croissante de} $r$ {\it sur l}'{\it intervalle}
$]0,\mathrm{R}]$.
Définition 2. - {\it On désignera par nombre de Leiong} $du$ {\it courant} $\mathrm{T}$
{\it relativement au poids} $\varphi$ {\it le réel positif ou nul}
$$
\mathrm{v}(\mathrm{T};\varphi)=\lim_{r>0,r\rightarrow 0}\frac{1}{(2\pi r)^{p}}\int_{\varphi\langle z)<r}T\wedge\beta^{p}.
$$
{\it Démonstration}. -- La formule (6) résulte aussitôt de la proposition 1
puisque $d\mathrm{T}=0$ et $i\partial\partial \mathrm{T}=i\partial dT=0$. D'autre part, comme ${\rm Log}\varphi$ est
p.s. $\mathrm{h}.,\ \varphi$ est aussi p.s. $\mathrm{h}.$, {\it donc} les (l,1)-formes $\alpha$ et $\beta$ sont positives.
L'hypothèse que $\mathrm{T}$ est un courant faiblement positif entraîne
$$
\int_{\mathrm{B}\langle r_{1},r_{2})}\mathrm{T}\wedge\alpha^{p}\geq 0,\ \frac{1}{r^{p}}\int_{\mathrm{B}\langle r)}\mathrm{T}\wedge\beta^{p}\geq 0,
$$
ce qui achève de prouver toutes nos affirmations. $\square $
Considérons le cas particulier où X est un voisinage de $0$ dans $\mathrm{C}^{n}$, et
posons $\varphi(z)=|z|^{2}=|z_{1}|^{2}+\cdots+|z_{n}|^{2}.\ \beta$ coïncide alors avec la
métrique hermitienne naturelle de $\mathrm{C}^{n}$ (multipliée par le facteur 2), de sorte

NOMBRES DES LELONG DES COURANTS
45
qu on retrouve la défnition classique, après remplacement de $r$ par $r^{2}$ :
$$
\mathrm{v}(T;\varphi)=\lim_{r\rightarrow 0}\frac{1}{(2\pi)^{p}r^{2p}}\int_{|z|<r}\mathrm{T}\wedge\beta^{p}=\lim_{r\rightarrow 0}\frac{o(r)}{\pi^{p}2p}=\mathrm{v}(\mathrm{T};0),
$$
$$
-r
$$
$$
p!
$$
où $\sigma =T\displaystyle \wedge\frac{\beta^{p}}{2^{p}p!}$ est la mesure trace de $\mathrm{T}$, {\it e}t où \fbox{}$(r)=\displaystyle \int_{|z|<r}$ {\it do} $(z)$.
Nous allons maintenant examiner quelques propriétés générales simples
des nombres de Leiong $\mathrm{v}(\mathrm{T};\varphi)$.
PROPOSITION 2. --{\it Soit} $\varphi\in$ LP $(\mathrm{X}; \mathrm{SuppT})$ {\it et} $k$ {\it un réel} $>0$ {\it tel que}
$\psi=\varphi^{k}$ {\it soit de classe} $\mathrm{C}^{2}$ \{{\it ce qui a lieu dès que} $k\geq 2$). {\it On pose}
$\beta=$ î$\partial\partial\varphi,\ \gamma=i\partial\overline{\partial}\psi$. {\it Alors} $\psi\in$ LP $(\mathrm{X}, \mathrm{Supp}T)$ {\it et pour tout} $ r\in$] $0,\mathrm{R}(\varphi)]$
{\it on} $0$:
(7) $\displaystyle \frac{1}{r^{kp}}\int_{\psi\langle z)<r^{k}}T$ {\it a} $\displaystyle \gamma^{p}=\frac{k^{p}}{r^{p}}\int_{\varphi(z)<r}T$ {\it a} $\beta^{p}$.
{\it De plus}
\begin{center}
(8)   $\mathrm{v}(\mathrm{T};\varphi^{k})=k^{p}\mathrm{v}(T;\varphi)$.
\end{center}
{\it Démonstration}. --II suffit évidemment d'établir l'égalité (7), et ce, pour
$k\geq 2$. En effet si $k <2$, on pourra appliquer deux fois la formule (7) {\it e}n
substituant à $(\varphi,\psi)$ les couples $(\varphi,\varphi^{4})$ et $(\varphi^{k},\varphi^{4})$.
Remplaçons maintenant $\varphi$ par $\varphi_{\epsilon}=\varphi +\epsilon,\ \psi$ par $\psi_{\epsilon}=(\varphi+\epsilon)^{k}$, où
$k\geq 2$. Il vient
$$
i\partial\overline{\partial}\psi_{\epsilon}=ik(\varphi+\epsilon)^{k-2}[\varphi+\epsilon)\partial\overline{\partial}\varphi+(k-1)\partial\varphi\wedge\overline{\partial}\varphi],
$$
et ï$\partial\partial\psi\epsilon$ converge uniformément vers $\gamma$ sur $\mathrm{B}(r)$ quand $\epsilon\rightarrow 0,\ \epsilon>0$.
Le théorème de convergence dominée montre que l'égalité (7) passe à la
limite. On peut donc finalement supposer que $\displaystyle \inf\varphi(z)>0$. Appliquons
$$
z\in \mathrm{X}
$$
alors la formule (6) du théorème 3 avec $r_{2}=r,\ r_{1}<\displaystyle \inf\varphi(z)$. On obtient
$$
z\in \mathrm{X}
$$
$$
\frac{1}{r^{p}}\int_{\varphi\langle z)<r}\mathrm{T}\wedge\beta^{p}=\int_{\varphi\langle z)<r}\mathrm{T}\wedge\alpha^{p},
$$
$$
\frac{1}{r^{kp}}\int_{\psi\langle z)<r^{k}}\mathrm{T}\wedge\gamma^{p}=\int_{\psi\langle z)<r^{k}}\mathrm{T}\wedge\ (\text{î} 3\partial {\rm Log}\psi)^{p}.
$$
L'égalité (7) résulte de c{\it e} que $ i\partial\overline{\partial}{\rm Log}\psi=k\alpha.\ \square $

46
JEAN-PIERRE DEMAILLY
Il nous est maintenant facile de prouver l'invariance des nombres
$\mathrm{v}(\mathrm{T};\varphi)$ annoncée dans l'introduction.
ThéOrème 4. --{\it Soient} $\varphi,\ \psi$ {\it deux fonctions de} LP $(\mathrm{X}, \mathrm{Supp}T)$, {\it et} $l$ {\it un}
{\it réel} $\geq 0$ {\it tels que}
$$
\lim_{z\in \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{T}},\inf_{\varphi(z)\rightarrow 0}\frac{{\rm Log}\psi(z)}{{\rm Log}\varphi(z)}\geq l.
$$
{\it Alors} $\mathrm{v}(T;\psi)\geq l^{p}v(T ;\varphi)$.
{\it En particulier si} $\mathrm{Supp}T\cap\psi^{-1}(0)=\mathrm{Supp}T\cap\varphi^{-1}(0)$ {\it et si} ${\rm Log}\psi(z)$
{\it est équivalent à} $l {\rm Log}\varphi(z)$ {\it lorsque} $ z\in$ SuppT {\it et} $\varphi(z)\rightarrow 0$, {\it alors}
$$
\mathrm{v}(T;\psi)=l^{p}\mathrm{v}(\mathrm{T},\varphi).
$$
{\it Démonstration}. --Quitte à remplacer $\psi$ par $\psi^{k}$ et $l$ par $(k-1)^{-}l$ où $k$
est un réel $\geq 2$ assez grand, la proposition 2 permet de supposer que
$$
\lim\inf\frac{{\rm Log}\psi}{{\rm Log}\varphi}>l\ \geq 2.
$$
On a donc $\displaystyle \lim\frac{\psi(z)}{\varphi(z)^{t}}=0$ quand $\mathrm{z}\in$ SuppT et $\varphi(z)\rightarrow 0$, de sorte que la
fonction $\psi_{\epsilon}=\psi+\epsilon\varphi^{l}$ est équivalente à $\epsilon\varphi^{t}$ pour tout $\epsilon>0$. Puisque
$l \geq 2,\ \psi_{\epsilon}$ est de classe $\mathrm{C}^{2}$ et appartient à LP $(\mathrm{X}; \mathrm{SuppT})$ comme
somme d{\it e} fonctions dont le logarithme est p.s. $\mathrm{h}$. Posons $\beta=id\text{{\it ô}}(\varphi\iota )$,
$\gamma=i\partial\partial\psi,\ \gamma_{\epsilon}=i\partial\partial\psi_{\epsilon}$ et soit $r$ tel que $0<r<\mathrm{R}=\mathrm{R}(\psi)$. L{\it e} théorème
de convergence dominée montre que
$$
\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{1}{(2\pi r)^{p}}\int_{\psi_{\epsilon^{\langle z)<r}}}\mathrm{T}\wedge\gamma_{\epsilon}^{p}=\frac{1}{(2\pi r)^{p}}\int_{\psi\langle z)<r}\mathrm{T}\wedge\gamma^{p}.
$$
Il suft donc de vérifier que pour tout $r<\mathrm{R}$ {\it e}t tout $\epsilon>0$ on a
\begin{center}
(9)   $\displaystyle \frac{1}{(2\pi r)^{p}}\int_{\psi_{\epsilon^{\{z)<r}}}\mathrm{T}\wedge\gamma_{\epsilon}^{p}\geq l^{p}\mathrm{v}(\mathrm{T};\varphi)=\mathrm{v}(\mathrm{T};\varphi^{\parallel})$;
\end{center}
la dernière égalité résulte ici de la prop. 2. Comme $\psi_{\epsilon}\in$ LP $(\mathrm{X};\mathrm{Supp}T)$ et
comme $\psi_{\epsilon}\sim\epsilon\varphi^{\iota}$, le théorème 3 entraîne
$\displaystyle \frac{1}{(2\pi r)^{p}}\int_{\psi_{\epsilon^{\langle z)<r}}}\mathrm{T}\wedge\gamma_{\epsilon}^{p}\geq\lim_{\mathrm{p}\rightarrow 0}\frac{1}{(2\pi \mathrm{p})^{p}}\int_{z\in \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{T},\psi_{\epsilon^{\langle z)<\mathrm{p}}}}\mathrm{T}\wedge\gamma_{\epsilon}^{p}$
$$
=\lim_{\mathrm{p}\rightarrow 0}\frac{]}{(2\pi \mathrm{p})^{p}}\int_{z\in \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{T},\varphi^{1}\langle z)<\mathrm{p}/\epsilon}T\wedge\gamma_{\epsilon}^{p}.
$$
NOMBRES DES LELONG DES COURANTS
47
Mais $\psi$ est p.s. $\mathrm{h}.$, donc on a $\gamma_{\epsilon}\geq\epsilon\beta$ et
$$
T\wedge\gamma_{\epsilon}\geq\epsilon^{p}\mathrm{T}\wedge\beta^{p}
$$
puisque $\mathrm{T}$ est positif. On obtient bien finalement la conclusion désirée (9)
{\it e}n substituant $\epsilon \mathrm{p}$ à $\mathrm{p}$ dans la limite. $\square $
Le théorème 1, qui fait l'objet du prochain paragraphe, sera une
conséquence simple du théorème 4.
2. Nombres de Leiong de l'image directe
d'un courant positif fermé.
Soient X {\it e}t $\mathrm{Y}$ deux espaces analytiques, $\mathrm{F}$ : $\mathrm{X}\rightarrow \mathrm{Y}$ un morphisme
de X dans Y. Soit $\mathrm{Y}$ un courant faiblement positif fermé de bidimension
$(p,p)$ sur X, tel que la restriction à SuppT du morphisme $\mathrm{F}$ soit {\it propre}.
On définit alors l{\it e} courant image directe $\mathrm{F}_{*}\mathrm{T}$ par
\begin{center}
(10)   $\langle \mathrm{F}_{*}\mathrm{T},v\rangle=\langle T,\mathrm{F}^{*}v\rangle$
\end{center}
pour toute forme $v\in \mathcal{D}_{p,p}^{\infty}(\mathrm{Y})$. Le support de $\mathrm{F}_{*}\mathrm{T}$ est contenu dans
$\mathrm{F}(\mathrm{SuppT})$, {\it e}t on démontre que $\mathrm{F}_{*}\mathrm{T}$ est un courant faiblement positif
fermé de bidimension $(p,p)$ sur Y.
Il existe entre les nombres de Leiong généralisés de $\mathrm{T}$ et d{\it e} $\mathrm{F}_{*}\mathrm{T}$ un
lien direct, exprimé par la proposition suivante.
PROPOSITION 3. --{\it Étant donné une fonction} $\psi\in$ LP $(\mathrm{Y},\mathrm{F}(\mathrm{suppT}))$, {\it on}
{\it pose} $\varphi=\psi\circ \mathrm{F},\ \beta=i\partial\overline{\partial}\varphi,\ \gamma=i\partial\partial\psi$. {\it Alors} $\varphi\in$ LP $(\mathrm{X}, \mathrm{Supp}T)$ {\it et pour}
{\it tout} $r<\mathrm{R}(\psi)$ {\it on a}
\begin{center}
(11)   $\displaystyle \int_{\varphi\langle z)<r}z\in \mathrm{X}T\wedge\beta^{p}=\int_{\psi w)<r}w\in \mathrm{YF}_{*}\mathrm{T}\wedge\gamma^{p}$;
\end{center}
{\it de plus} $\mathrm{v}(\mathrm{F}_{*}\mathrm{T};\psi)=\mathrm{v}(T;\psi\circ \mathrm{F})$.
{\it Démonstration}. --Le fait que $\varphi\in$ LP $(\mathrm{X};\mathrm{SuppT})$ résulte de l'hypothèse
que la restriction à $\mathrm{Supp}T$ du morphisme $\mathrm{F}$ est propre. Pour établir (11),
il suffit d'appliquer la relation (10) à une suite $v_{\mathrm{v}}\in \mathcal{D}_{p,p}^{\infty}(\psi^{-1}([0,r[))$
convergeant ponctuellement vers $\gamma^{p}$ dans $\psi^{-1}([0,r[). \square $

48
JEAN-PIERRE DEMAILLY
Si $x\in \mathrm{X}$, on désigne par $\mathcal{O}$ X,x l'anneau local des germes d{\it e} fonctions
analytiques sur X au point $x$, {\it e}t par $\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{X},x}$ l'idéal maximal de $\mathcal{O}_{\mathrm{X},x}$. Soit
$g_{1},\ g_{2},\ \ldots,\ g_{\mathrm{N}}$ un système générateur de $\mathcal{M}_{\mathrm{X},\mathrm{x}}$. Posons
$$
\varphi=\sum_{\lambda=1}^{\mathrm{N}}|g_{\lambda}|^{2}
$$
Il existe un voisinage ouvert $\mathrm{U}$ de $x$ tel que $\varphi\in$ LP(U) (cf. définition 1)
et tel que $\mathrm{U}\cap\varphi^{-1}(0)=\{x\}$.
Définition 3. --{\it On appelle nombre de Leiong} $du$ {\it courant} $T$ {\it au point} $x$
{\it le réel} $\geq 0$
$$
\mathrm{v}(\mathrm{T};x)=\mathrm{v}(\mathrm{T}|_{\mathrm{U}};\varphi)
$$
{\it où} $\mathrm{T}|_{\mathrm{U}}$ {\it est la restriction de} $\mathrm{T}$ {\it à} U.
Cette défnition est cohérente, car le théorème 4 montre que $\mathrm{v}(\mathrm{T};\varphi)$ n{\it e}
dépend pas du choix des générateurs $g_{1},\ g_{2},\ \ldots,\ g_{\mathrm{N}}$ de $\mathcal{M}_{\mathrm{X},x}$. D'autre
part, on retrouve bien la défnition classique lorsque $\chi$ est un point régulier
d{\it e} X (voir les remarques qui suivent la défnition 2).
PROPOSITION 4. --{\it Supposons que} X {\it soit un sous-espace fermé de} $\mathrm{Y}$, {\it et}
{\it soit} $j$ : X $\subset_{\rightarrow}\mathrm{Y}$ {\it l}'{\it inclusion. Alors pour tout} $x \in \mathrm{X}$, {\it on a}
$$
\mathrm{v}(\mathrm{T};x)=\mathrm{v}(i_{*}\mathrm{T}i(x)).
$$
{\it Démonstration}. -- Immédiate grâce au théorème 4: soient $g_{1}$,
$g_{2},\ \ldots,\ g_{\mathrm{N}}$ des générateurs de $\mathcal{M}_{\mathrm{v}i\langle x)},\ \displaystyle \psi=\sum_{\lambda=1}^{\mathrm{N}}|g_{\lambda}|^{2}\in$ LP(V) où V $\subset \mathrm{Y}$
est un voisinage de $j(x)$ tel que $\psi^{-1}(0)=\{j(x)\}$, et soit $\mathrm{U}=\mathrm{X}\cap$ V.
Alors
$$
\mathrm{v}(i_{*}\mathrm{T};i(x))=\mathrm{v}(i_{*}\mathrm{T}|_{\mathrm{V}};\psi)=\mathrm{v}(\mathrm{T}|_{\mathrm{U}};\psi\circ j)=\mathrm{v}(\mathrm{T};x),
$$
car les germes $g_{\lambda}\circ j$ engendrent $\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{X},\mathrm{x}}.\ \square $
En particulier, les nombres de L{\it e} long sont invariants par isomorphisme
analytique local. D{\it e} plus, si $j$ : $\mathrm{U}\rightarrow\Omega$ est un plongement d'un voisinage
$\mathrm{U}$ de $\chi$ dans un ouvert $\Omega$ de $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$, et si $8=j_{*}\mathrm{T}$ est le courant défini par
(1), on obtient
$$
\mathrm{v}(\mathrm{T};\mathrm{x})\ =\mathrm{v}(9i(\mathrm{x}));
$$
NOMBRES DES LELONG DES COURANTS
49
on peut donc aussi défnir les nombres de Leiong d{\it e} $\mathrm{T}$ comme étant ceux
de 9 dans l'ouvert $\Omega\subset \mathrm{C}^{\mathrm{N}}$.
Ces préliminaires étant établis, nous sommes maintenant prêts pour
démontrer le théorème 1.
{\it Démonstration} $du$ {\it théorème} 1. --On se donne un point $y\in \mathrm{Y}$ tel que
l'ensemble $\mathrm{A}=$ SuppT $\cap \mathrm{F}^{-1}(y)$ soit totalement discontinu. Cela signifie
par défnition que tout point $\chi \in \mathrm{A}$ possède dans A un système
fondamental de voisinages ouverts et fermés. Soient $h_{1},\ h_{2},\ \ldots,\ h_{\mathrm{N}}$ des
générateurs de l'idéal $\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{Y},y}$ et V un voisinage de $y$ dans $\mathrm{Y}$ tel que la
fonction
$$
\psi=\sum_{\lambda=1}^{\mathrm{N}}|h_{\lambda}|^{2}
$$
appartienne à LP(V) et tel que V $\cap\psi^{-1}(0)=\{y\}$. D'après la
proposition 3, on a pour tout $r<\mathrm{R}(\psi)$
\begin{center}
(12)   $\displaystyle \int_{\psi\langle w)<r}\mathrm{F}_{*}\mathrm{T}\wedge\gamma^{p}=\int_{\varphi(z)<r}\mathrm{T}\wedge\beta^{p}$
\end{center}
où $\varphi=\psi\circ \mathrm{F},\ \beta=i\partial\overline{\partial}\varphi$ {\it e}t $\gamma=i\partial\overline{\partial}\psi$. Le théorème 1 sera prouvé si l'on
montre que pour toute partie fnie $\{x_{1^{ }},\ldots, x_{m}\}$ de A {\it e}t tout $r$ assez
petit, on a
\begin{center}
(13)   $\displaystyle \frac{1}{(2\pi r)^{p}}\int_{\varphi\langle z)<r}T\wedge\beta^{p}\geq\sum_{\mathrm{q}=1}^{m}\mathrm{v}(\mathrm{T};\mathrm{x}_{\mathrm{q}})$.
\end{center}
Soit $(g_{q,\lambda})\lambda=1,2,\ \ldots,\ \mathrm{N}_{q}$, un système de générateurs de l'idéal $\mathcal{M}_{\mathrm{X},x_{q}}$.
Comme A est totalement discontinu, il existe des voisinages ouverts $\mathrm{U}_{q}$ d{\it e}
$x_{q}$ dans X, deux à deux disjoints, tels que $\mathrm{A}\cap \mathrm{U}_{\mathrm{q}}=\mathrm{A}\cap\overline{\mathrm{U}}_{q}$. On choisit
de plus $\overline{\mathrm{U}}_{q}$ compact et $\mathrm{U}_{\mathrm{q}}$ assez petit pour que $(g_{\mathrm{q},\lambda})$ défnisse un
plongement d{\it e} $\mathrm{U}_{\mathrm{q}}$; la fonction $\displaystyle \sum_{\lambda}|g_{\mathrm{q},\lambda}|^{2}$ appartient donc à LP $(\mathrm{U}_{q})$. D{\it e}
plus, la famille de parties compactes $\mathrm{Supp}T\cap\varphi^{-1}([0,r])\cap\overline{\mathrm{U}}_{q}$ est crois-
sante {\it e}n $r$, {\it e}t admet pour intersection
$\mathrm{Supp}T\cap\varphi^{-1}(0)\cap\overline{\mathrm{U}}_{q}=$ SuppT $\cap \mathrm{F}^{-1}(y)\cap\overline{\mathrm{U}}_{\mathrm{q}}=\mathrm{A}\cap\overline{\mathrm{U}}_{\mathrm{q}}\subset \mathrm{U}_{\mathrm{q}}$.
Il existe donc $r_{0}>0$ tel que
SuppT $\cap\varphi^{-1}([0,r_{0}])\cap\overline{\mathrm{U}}_{\mathrm{q}}\subset \mathrm{U}_{q},\ q=1,2$, . . ., $m$,

50
JEAN-PIERRE DEMAILLY
par conséquent $\varphi \in$ LP $(\mathrm{U}_{\mathrm{q}}$, Supp T $|_{\mathrm{U}}\mathrm{J}$. Pour tout $r\leq r_{0}$ on obtient
\begin{center}
(14)   $\displaystyle \int_{z\epsilon \mathrm{X},\varphi(z)<r}\mathrm{T}\wedge\beta^{p}\geq\sum_{q=1}^{m}\int_{z\in \mathrm{U}_{q},\varphi(z)<r}T\wedge\beta^{p}$.
\end{center}
Comme $\displaystyle \varphi=\sum_{\lambda=1}^{\mathrm{N}}|h_{\lambda}\circ \mathrm{F}|^{2}$ où $h_{\lambda}\circ \mathrm{F}\in\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{X},x_{q}}$, on a
$$
\lim_{z\rightarrow x}\inf_{q}\frac{{\rm Log}\varphi(z)}{{\rm Log}\Sigma|g_{q,1}(z)|^{2}}\geq 1,
$$
{\it e}t les théorèmes 3 et 4 montrent que
\begin{center}
(15)   $\displaystyle \frac{1}{(2\pi r)^{p}}\int_{z\epsilon \mathrm{U}_{q},\varphi(z)<r}\mathrm{T}\wedge\beta^{p}\geq \mathrm{v}(\mathrm{T}|_{\mathrm{U}_{q}};\varphi)\geq \mathrm{v}(\mathrm{T};x_{\mathrm{q}})$;
\end{center}
(13) résulte donc de (14) et (15). $\square $
Lorsque l'hypothèse de totale discontinuité de l'ensemble
SuppT $\cap \mathrm{F}^{-1}(y)$ est supprimée, le théorème 1 devient trivialement faux.
{\it Contre-exemple}. -- {\it Soit} $\mathrm{F}:\mathrm{X}\rightarrow \mathrm{Y}$ un morphisme ayant une fibre
$\mathrm{F}^{-1}(y)$ compacte et non discrète. Soit $\mathrm{Z}$ une composante irréductible de
$\mathrm{F}^{-1}(y)$ de dimension $>0$. On choisit pour $T$ l{\it e} courant d'intégration
[Z] sur l'ensemble analytique Z. {\it Alors} $\mathrm{F}_{*}\mathrm{T}=\mathrm{F}_{*}[\mathrm{Z}]=0$ par raison de
dimension, bien que $\mathrm{v}(\mathrm{T};x) \geq 1$ en tout point $x \in$ Z. $\square $
Nous allons maintenant décrire une situation naturelle dans laquelle les
nombres de Leiong généralisés seront des entiers.
PROPOSITION 5. --{\it Soit} $(\mathrm{Z}_{\mathrm{q}})$ {\it une famille localement finie de sous-variétés}
{\it irréductibles de dimension} $p$ {\it de} X, {\it et soit} $T=\Sigma n_{q}[\mathrm{Z}_{q}]$ {\it un cycle}
{\it analytique à coefcients entiers positifs. On se donne des applications}
{\it holomorphes} $\mathrm{F}_{1},\ \mathrm{F}_{2},\ \ldots,\ \mathrm{F}_{\mathrm{N}}$ sur X {\it telles que}
$$
\varphi=\sum_{\lambda=1}^{\mathrm{N}}|\mathrm{F}_{\lambda}|^{2}\in\ \mathrm{LP}\ (\mathrm{X};\mathrm{SuppT}).
$$
{\it Alors} $\mathrm{v}(\mathrm{T};\varphi)$ {\it est entier}.
{\it Démonstration}. --On peut s{\it e} bomer àconsidérer le cas $\mathrm{T}=[\mathrm{Z}]$, où $\mathrm{Z}$ est
irréductible. Puisque $\varphi\in$ LP $(\mathrm{X};\mathrm{SuppT})$, il existe un réel $\mathrm{R}>0$ tel que
$\mathrm{Z}_{\mathrm{R}}=\{z\in \mathrm{Z};\varphi(z)<\mathrm{R}\}\subset\subset$ X. Soit $\mathrm{F}_{\mathrm{R}}:\mathrm{Z}_{\mathrm{R}}\rightarrow \mathrm{B}$ la restriction à $\mathrm{Z}_{\mathrm{R}}$ du

NOMBRES DES LELONG DES COURANTS
51
morphisme $(\mathrm{F}_{1},\mathrm{F}_{2},\ldots,\mathrm{F}_{\mathrm{N}})$, à valeurs dans la boule $\mathrm{B}=\{w\in \mathrm{C}^{\mathrm{N}}$,
$|w|^{2}<\mathrm{R}\}.\ \mathrm{F}_{\mathrm{R}}$ est donc une application propre, et on a
$$
\mathrm{v}(\mathrm{T};\varphi)=\mathrm{v}(\mathrm{F}_{\mathrm{R}^{*}}[\mathrm{Z}_{\mathrm{R}}] ;0)
$$
d'après la proposition 3. Quitte à décomposer encore $\mathrm{Z}_{\mathrm{R}}$, on peut
supposer $\mathrm{Z}_{\mathrm{R}}$ irréductible. Deux cas peuvent alors se présenter.
$a) \mathrm{F}_{\mathrm{R}}$ {\it est de rang} $<p$ {\it en tout point régulier de} $\mathrm{Z}_{\mathrm{R}}$.
Dans ce cas la mesure d{\it e} Hausdorff $\mathrm{H}_{2p}(\mathrm{F}_{\mathrm{R}}(\mathrm{Z}_{\mathrm{R}}))$ est nulle (théorème d{\it e}
Sard). Comme $\mathrm{Supp}(\mathrm{F}_{\mathrm{R}^{*}}[\mathrm{Z}_{\mathrm{R}}])\subset \mathrm{F}_{\mathrm{R}}(\mathrm{Z}_{\mathrm{R}})$, l{\it e} théorème du support pour les
courants localement plats entraîne que
$$
\mathrm{F}_{\mathrm{R}^{*}}[\mathrm{Z}_{\mathrm{R}}]=0
$$
(cf. H. Fédérer [4], 4.1.15.).
$\mathrm{b}) \mathrm{F}_{\mathrm{R}}$ {\it est de rang maximum} $p$.
Puisque l{\it e} morphisme $\mathrm{F}_{\mathrm{R}}$ est propre, $1' \mathrm{imageF}_{\mathrm{R}}(\mathrm{Z}_{\mathrm{R}})$ est une sous-
variété irréductible $\mathrm{W}$ d{\it e} dimension $p$ d{\it e} $\mathrm{B}$ (théorème d{\it e} R. Remmert
[9], [10] $)$; en outre $\mathrm{F}_{\mathrm{R}}:\mathrm{Z}_{\mathrm{R}}\rightarrow \mathrm{W}$ est un revêtement ramifé à un nombre
fini $s$ de feuillets (voir par exemple R. Narasimhan [8]). $\mathrm{I}\grave{1}$ en résulte que
$\mathrm{F}_{\mathrm{R}^{*}}[\mathrm{Z}_{\mathrm{R}}]=s[\mathrm{W}]$, par suite
$$
\mathrm{v}(\mathrm{F}_{\mathrm{R}^{*}}[\mathrm{Z}_{\mathrm{R}}] ;0)=s\mathrm{v}([\mathrm{W}];0),
$$
et on sait que $\mathrm{v}([\mathrm{W}];0)$ est un entier (cf. R. Harvey [5]). $\square $
3. Rôle des multiplicités du morphisme F.
On considère ici encore un morphisme $\mathrm{F}$ : $\mathrm{X}\rightarrow \mathrm{Y}$ et un $(p,p)$-courant
positif fermé $\mathrm{T}$ sur X tel que la restriction de $\mathrm{F}$ au support de $\mathrm{T}$ soit
propre.
Le théorème 5 ci-dessous généralise à la fois les théorèmes 1 et 2. Pour
pouvoir donner un énoncé simple {\it e}t intrinsèque, nous aurons besoin
d'introduire la notion de {\it p}-multiplicité du morphisme $\mathrm{F}$ en un point
$ x\in$ X.
Définition 4. - {\it Soient} $x\in \mathrm{X},\ y=\mathrm{F}(x)$, {\it et} $j=(i_{1}i_{2^{ }},\ldots j_{\mathrm{N}})$ {\it un}
{\it système de générateurs de Vidéal} $\mathcal{M}_{\mathrm{Y},y}$; {\it posons} $\mathrm{F}_{\lambda}=j_{\lambda}\circ$ F. {\it On dira que}

52
JEAN-PIERRE DEMAILLY
$\mathrm{F}_{\lambda}$ {\it s}'{\it annule au point} $x$ {\it à l}'{\it ordre} $s_{1}$ ( $s_{\lambda}$ {\it entier} $\geq 1$) {\it si le germe} $\mathrm{F}_{\lambda,\mathrm{x}}$
{\it appartient à} $\mathcal{M}_{\mathrm{x}^{\lambda_{\chi}}}^{s},\backslash \mathcal{M}_{\mathrm{X},x}^{s_{\lambda}+1}$, {\it et à l}'{\it ordre} $ s_{\lambda}=\infty$ {\it si} $\mathrm{F}_{\lambda.x}=0$. {\it On note alors}
$\mu_{p}(\mathrm{F};x)$ {\it la borne supérieure} ({\it éventuellement infinie}) {\it des entiers} $ s_{1}s_{2}\ldots s_{p}$
{\it pour tout système} $j=(i_{\lambda})_{1\leq\lambda\leq \mathrm{N}}$ {\it de générateurs de} $\mathcal{M}_{\mathrm{Y},y}$, {\it tel que} $\mathrm{N}\geq p$ {\it et}
$ s_{1}\leq s_{2}\leq\ldots\leq s_{\mathrm{N}}<\infty$.
Il est clair que $\mu_{p}(\mathrm{F};x)=\infty$ dès qu il existe un plongement
$j=(i_{1},i_{2^{ }},\ldots i_{\mathrm{N}})$ d'un voisinage V du point $y=\mathrm{F}(x)\in \mathrm{Y}$ dans $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$, tel
que $\mathrm{N}<p$, autrement dit si la dimension de Zariski de $\mathrm{Y}$ au point
$y=\mathrm{F}(x)$ est $<p$.
ThéOrème 5. - {\it Soit} $ y\in$ Y. {\it On note} $\mathrm{Z}(y)$ {\it l}'{\it ensemble des points}
$x\in \mathrm{F}^{-1}(y)$ {\it tels que} $\mathrm{v}(\mathrm{T};x) >0$ {\it et tels que la composante connexe de} $x$ {\it dans}
SuppT $\cap \mathrm{F}^{-1}(y)$ {\it soit réduite à} $\{\mathrm{x}\}$. {\it Alors pour tout point} $x \in \mathrm{Z}(y)$ {\it on a}
$\mu_{p}(\mathrm{F};\mathrm{x}) <\infty$ {\it et}
$$
\mathrm{v}(\mathrm{F}_{*}T;y)\geq\sum_{x\in \mathrm{Z}\langle y)}\mu_{p}(\mathrm{F};\mathrm{x})\mathrm{v}(\mathrm{T} ;x).
$$
{\it Démonstration}. -- Il suffit de démontrer que pour toute partie finie
$\{x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}\}$ de $\mathrm{Z}(y)$ on a
$$
\mathrm{v}(\mathrm{F}_{*}\mathrm{T};y)\geq\sum_{\mathrm{q}=1}^{m}\mu_{p}(\mathrm{F};x_{q})v(T ;x_{\mathrm{q}}).
$$
Comme SuppT $\cap \mathrm{F}^{-1}(y)$ est compact, les hypothèses entraînent que
chaque point $x_{q}$ admet dans SuppT $\cap \mathrm{F}^{-1}(y)$ un système fondamental
de voisinages à la fois ouverts et fermés (cf. Bourbaki [2], chap. 2, \S 4, $\mathrm{n}^{0}4$,
prop. 6). On peut alors répéter la démonstration du théorème 1 (cf. (12) et
(12)$)$ pour voir que
$$
\int_{\psi\langle w)<r}\mathrm{F}_{*}\mathrm{T}\wedge\gamma^{p}=\int_{\varphi(z)<r}\mathrm{T}\wedge\beta^{p}\geq\sum_{q=1}^{m}\int_{\varphi\langle z)<r}z\in \mathrm{U}_{q}\mathrm{T}\wedge\beta^{p}
$$
(avec les mêmes notations). Il sufit donc d{\it e} montrer que
$$
\lim_{r\rightarrow 0}\frac{1}{(2\pi r)^{p}}\int_{\varphi(z)<r}z\in \mathrm{U}_{\mathrm{q}}\mathrm{T}\wedge\beta^{p}\geq\mu_{p}(\mathrm{F};x_{q})\mathrm{v}(\mathrm{T};x_{\mathrm{q}}),
$$
ou encore ({\it e}n supprimant l'indice $q$ pour simplifier) :
\begin{center}
(16)   $\displaystyle \lim_{r\rightarrow 0}\frac{1}{(2\pi r)^{p}}\int_{\varphi(z)<r}z\in \mathrm{U}T\wedge\beta\geq s_{1}s_{2}\ldots s_{p}\mathrm{v}(\mathrm{T};x)$
\end{center}


NOMBRES DES LELONG DES COURANTS
53
pour tout système $j= (i_{1}j_{2^{ }},\ldots j_{\mathrm{N}})$ de générateurs d{\it e} $\mathcal{M}_{\mathrm{Y},y}$ vérifiant les
hypothèses de la défmition 4 $(\mathrm{N}\geq p \mathrm{et} s_{1}\leq s_{2}\leq\ldots\leq s_{\mathrm{N}}<\infty)$. Comme la
limite (16) ne dépend que de la classe d'équivalence de $\varphi=\psi\circ \mathrm{F}$
(théorème 4), on peut remplacer les générateurs $(h_{\lambda})$ d{\it e} $\mathcal{M}_{\mathrm{Y},y}$ par
$(i_{\lambda})_{1\leq\lambda\leq \mathrm{N}}$, de sorte qu on a maintenant
$$
\psi=\sum_{\lambda=1}^{\mathrm{N}}\int_{\lambda}|^{2},\ \varphi=\sum_{\lambda=1}^{\mathrm{N}}|\mathrm{F}_{\lambda}|^{2}.
$$
La famille croissante de compacts SuppT $\cap\varphi^{-1}([0,r]) \cap$Û a pour
intersection $\mathrm{Supp}T\cap \mathrm{F}^{-1}(0) \cap$Û $\subset \mathrm{U}$, donc il existe $r_{0}>0$ tel que
SuppT $\cap\varphi^{-1}([0,r_{0}]) \cap$Û $\subset$ U.
Si $1' \mathrm{on}$ pose $\mathrm{U}_{0}=\mathrm{U}\cap\varphi^{-1}([0,r_{0}[)$ et $\mathrm{B}(r_{0})=\{z\mathrm{eC}^{\mathrm{N}};|z|^{2}<r_{0}\}$, on
voit que $1' \mathrm{application}$
$$
\Phi=j\circ \mathrm{F}=(\mathrm{F}_{1},\mathrm{F}_{2^{ }},\ldots,\mathrm{F}_{\mathrm{N}})\ :\ \mathrm{U}_{0}\rightarrow \mathrm{B}(r_{0})
$$
a une restriction au support de $T$ qui est propre. En vertu de la
proposition 3, l'inégalité (16) équivaut à
$$
\mathrm{v}(\Phi_{*}\mathrm{T};0)\geq s_{1}s_{2}\ldots\ s_{p}\mathrm{v}(\mathrm{T};x).
$$
Posons $ s=s_{1}s_{2}\ldots s_{\mathrm{N}},\ 0_{\lambda}=\displaystyle \frac{s}{s_{\lambda}}$ pour $1\leq\lambda\leq \mathrm{N}$, et soit
$$
\mathrm{G}\ :\ \mathrm{B}(r_{0})\rightarrow \mathrm{G}(\mathrm{B}(r_{0}))
$$
l'application propre qui à $z=(z_{1},z_{2^{ }},\ldots,z_{\mathrm{N}})$ fait correspondre
$\mathrm{G}(z)=(z_{1}^{\sigma_{1}},z_{2}^{\sigma_{2}}\ldots,z_{\mathrm{N}}^{\sigma_{\mathrm{N}}})$. On observe que
$$
\mathrm{G}\circ\Phi=(\mathrm{F}_{1}^{\sigma_{1}}, \mathrm{F}_{2}^{\sigma_{2}},\ldots,\mathrm{F}_{\mathrm{N}}^{\mathrm{o}_{\mathrm{N}}})
$$
{\it e}t que $\mathrm{F}_{\lambda}^{\sigma_{\lambda}}\in \mathcal{M}_{\mathrm{X},x}^{s_{\lambda^{\circ}\lambda}}=\mathcal{M}_{\mathrm{X},\mathrm{x}}^{s}$; le théorème 4 et la proposition 3 montrent
aussitôt que
$$
\mathrm{v}(\mathrm{G}_{*}\Phi_{*}\mathrm{T};0)\geq s^{p}\mathrm{v}(\mathrm{T};x).
$$
Il nous sufra donc de montrer l'inégalité
$$
\mathrm{v}(\mathrm{G}_{*}\Phi_{*}T;0)\leq 0_{1}0_{2}\ldots\ \sigma_{p}\mathrm{v}(\Phi_{*}\mathrm{T};0).
$$
Cette inégalité résultera de la proposition 6 ci-dessous, qui est intéressante
par elle-même (poser $\Theta =\Phi_{*}\mathrm{T}$).

54
JEAN-PIERRE DEMAILLY
PROPOSITION 6. --{\it Soit} $\mathrm{B}\subset \mathrm{C}^{\mathrm{N}}$ {\it une boule ouverte de centre} $\mathrm{O}$, {\it et} $\Theta$ {\it un}
{\it courant positif fermé de bidimension} $(p,p)$ {\it sur} B. {\it Soit}
$$
\mathrm{G}:\mathrm{B}\rightarrow \mathrm{G}(\mathrm{B})
$$
{\it l}'{\it application holomorphe} ({\it et propre}) {\it qui à tout} $z=(z_{1},z_{2}, \ldots,z_{\mathrm{N}})$ {\it associe}
$$
\mathrm{G}(z)=(z_{1}^{\circ 1}, z_{2}^{\sigma_{2}}\ldots, z_{\mathrm{N}}^{\sigma_{\mathrm{N}}}),
$$
{\it où} $0_{1},\ \sigma_{2},\ \ldots,\ \sigma_{\mathrm{N}}$ {\it sont des entiers tels que} $\sigma_{1}\geq 0_{2}\geq\ldots\geq\sigma_{\mathrm{N}}\geq 1$.
{\it Alors}
$$
\mathrm{v}(\mathrm{G}_{*}\Theta;0)\leq\sigma_{1}\sigma_{2}\ldots\sigma_{p}\mathrm{v}(\Theta;0).
$$
Avant de donner une preuve de la proposition 6, nous aurons besoin
d'établir quelques résultats préliminaires. Si $a=(a_{1},a_{2^{ }},\ldots,a_{\mathrm{N}})$ est un N-
uplet de nombres réels $>0$, on note $a^{-1}1' \mathrm{application}$ d{\it e} $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$ dans $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$
qui à $z=(z_{1},z_{2}, \ldots,z_{\mathrm{N}})$ associe $(\displaystyle \frac{z_{1}}{a_{1}}$ , $\displaystyle \frac{z_{2}}{a_{2}}$ , . . ., $\displaystyle \frac{z_{\mathrm{N}}}{a_{\mathrm{N}}})$.
L'idée directrice de la démonstration est $\langle\langle$ d'aplatir $\rangle\rangle$ l{\it e} courant $\Theta$ le
long des sous-espaces vectoriels de $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$ qui {\it sont} somme de $p$ facteurs C.
Dans ce but, on remplacera $\Theta$ par $ a_{*}^{-1}\Theta$ et on passera à la limite faible en
faisant tendre convenablement $a$ vers $0$.
LEMME 1. --{\it Soit} $\mathrm{T}_{k}$ {\it une suite de} $(p,p)$-{\it courant} ({\it faiblement}) {\it positifs et}
{\it fermés sur un espace analytique} X, {\it convergeant faiblement vers un courant}
$\mathrm{T}_{\infty}$ {\it au sens de la dualité entre} $\mathcal{D}_{p,p}^{\mathrm{o}}(\mathrm{X})$ {\it et} $(\mathcal{D}_{p,p}^{\mathrm{o}}(\mathrm{X}))'$. {\it Ators} $\mathrm{T}_{\infty}$ {\it est un}
$(p,p)$-{\it courant faiblement positif fermé. Soient} $\varphi\in$ LP(X) {\it et} $\beta=i\partial\overline{\partial}\varphi$. {\it On}
{\it a quel que soit} $ r\in$] $0,\ \mathrm{R}(\varphi)[$
$$
\int_{\varphi\langle z)<r}T_{\infty}\wedge\beta^{p}\leq\lim_{k\rightarrow+}\inf_{\infty}\int_{\varphi(z)<r}\mathrm{T}_{k}.\wedge\beta^{p}
$$
$$
\backslash \nabla\lim_{k\rightarrow+}\sup_{\infty}\int_{\varphi\{z)<r}\mathrm{T}_{k}\wedge\beta^{p}\leq\int_{\varphi\langle z)\leq r}\mathrm{T}_{\infty}\wedge\beta^{p}.
$$
{\it De plus} $\displaystyle \mathrm{v}(\mathrm{T}_{\infty};\varphi)\geq\lim_{k\rightarrow+}\sup_{\infty}(\mathrm{T}_{k};\varphi)$.
{\it Démonstration}. --Les premières inégalités s'obtiennent en approximant
la fonction caractéristique $\chi_{\mathrm{B}\langle r)}$ d{\it e} l'ensemble $\mathrm{B}(r)=\{z\in \mathrm{X}$;
$\varphi(z)<r\}\subset\subset \mathrm{X}$ par des fonctions continues $\geq 0$ à support compact qui

NOMBRES DES LELONG DES COURANTS
55
encadrent $\chi_{\mathrm{B}(r)}$. D'autre part, il est clair que
$\displaystyle \mathrm{v}(\mathrm{T}_{\infty};\varphi)=\lim_{r\rightarrow 0}\frac{1}{(2\pi r)^{p}}\int_{\varphi(z)\leq r}T_{\infty}\wedge\beta^{p}$, et que
$$
\frac{1}{(2\pi r)^{p}}\int_{\varphi\langle z)\leq r}\mathrm{T}_{\infty}\wedge\beta^{p}\geq\lim_{k\rightarrow+}\sup_{\infty}\frac{1}{(2\pi r)^{p}}\int_{\varphi(z)<r}\mathrm{T}_{k}\wedge\beta^{p}
$$
$$
\geq\lim_{k\rightarrow+}\sup_{\infty}\mathrm{v}(\mathrm{T}_{k};\varphi).\ \square 
$$
Soit maintenant $\Theta$ un $(p,p)$-courant positif fermé défini sur un voisinage de
$0$ dans $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$.
LEMME 2. --{\it On suppose que pour une suite} $a_{\mathrm{k}}\rightarrow 0$ {\it les courants} $a_{k*}^{-1}0$
{\it convergent faiblement vers un courant} $\Theta_{0}$ {\it sur} $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$. {\it Alors} $\Theta_{0}$ {\it est tel que}
$$
\mathrm{v}(\mathrm{G}_{*}\Theta;0)\leq \mathrm{v}(\mathrm{G}_{*}\Theta_{0};0).
$$
{\it Démonstration}. --L'énoncé a bien un sens puisque les courants $ a_{k^{*}}^{-1}\Theta$
sont définis sur toute boule d{\it e} $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$ dès que $k$ est assez grand. D'après la
proposition 3 et le lemme 1 on a
$$
\mathrm{v}(\mathrm{G}_{*}\Theta_{0},0)=\mathrm{v}(\Theta_{0};|\mathrm{G}|^{2})\geq\lim_{k\rightarrow+}\sup_{\infty}\mathrm{v}(a_{k}^{-}*^{1}\Theta ;|\mathrm{G}|^{2}).
$$
Comme la fonction ${\rm Log}|\mathrm{G}\circ a_{k}^{-1}(z)|^{2}$ est équivalente à ${\rm Log}|\mathrm{G}(z)|^{2}$ quand
$z\rightarrow 0$, les théorèmes 3 et 4 montrent que
$$
\mathrm{v}(a_{k^{*}}^{-1}\Theta ;|\mathrm{G}|^{2})=\mathrm{v}(6;|\mathrm{G}\circ a_{k}^{-1}|^{2})=\mathrm{v}(\Theta;|\mathrm{G}|^{2})=\mathrm{v}(\mathrm{G}_{*}\Theta;0)
$$
pour tout indice $k$.
La première étape consistera
tangent $\rangle\rangle 9_{0}$.
$$
\square 
$$
à remplacer $\Theta$ par son $\langle\langle$ cône
LEMME 3. --{\it II existe une suite} $(\mathrm{p}_{k})$ {\it de nombres réels tendant vers} $0$ {\it telle}
{\it que la suite} $\mathrm{p}_{k}^{-}*^{1}\Theta$ {\it converge faiblement vers un courant} $\Theta_{0}$ {\it sur} $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}(\mathrm{p}_{k}^{-1}$ {\it étant}
{\it Vhomothétie de rapport} $1/\mathrm{p}_{k}$ {\it dans} $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$). {\it De plus, chacune des limites faibles}
$\Theta_{0}$ {\it vérifie les conditions}
$$
\mathrm{v}(\mathrm{e}_{0};0)=\mathrm{v}(\mathrm{e};0),
$$
$\Theta_{0}\wedge\alpha^{p}\equiv 0$ sur $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}\backslash \{0\}$,
$ 0\alpha =${\it iôd} $({\rm Log}|z|^{2})$.

56
JEAN-PIERRE DEMAILLY
{\it Démonstration}. -- Étant donné deux rée ls positifs $r$ et $\mathrm{p} (\mathrm{p}$
suffisamment petit) et $\beta=i\partial\partial|z|^{2}$, on a
\begin{center}
(17)   $\displaystyle \frac{1}{(2\pi r)^{p}}\int_{|z|^{2}<r}\mathrm{p}_{*}^{-1}9 \displaystyle \wedge\beta^{p}=\frac{1}{(2\pi r\mathrm{p})^{p}}\int_{|z|^{2}<r\mathrm{p}}\Theta \wedge\beta^{p}$.
\end{center}
Le théorème 3 montre que la famille $\mathrm{p}_{*}^{-1}\Theta$ est uniformément bomée sur
tout compact pour la norme de la masse (lorsque $\mathrm{p}$ tend vers $0$); on peut
donc bien en extraire une limite faible $\displaystyle \Theta_{0}=\lim_{\mathrm{p}_{k}\rightarrow 0}\mathrm{p}_{k^{*}}^{-1}\Theta$. Il découle du
lemme 1 et de (17) que pour tout $r>0$
$$
\frac{1}{(2\pi r)^{p}}\int_{|z|^{2}<r}6_{0}\wedge\beta^{p}=\mathrm{v}(\Theta;0).
$$
On a donc $\mathrm{v}(\Theta_{0};0)=\mathrm{v}(\Theta;0)$ et comme $\Theta_{0}$ est faiblement positif sur $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$,
la relation (6) du théorème 3 montre que
$\Theta_{0}\wedge\alpha^{p}\equiv 0$ sur $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}\backslash \{0\}.\ \square $
Pour établir la proposition 6, nous sommes donc ramenés à prouver que
$$
\mathrm{v}(\mathrm{G}_{*}\Theta_{0};0)\leq 0_{1}\sigma_{2}\ldots \mathrm{o}_{p}\mathrm{v}(\Theta_{0};0),
$$
ce qui se fera en $\langle\langle$ aplatissant $\rangle\rangle 9_{0}$.
lemme 4. --{\it Soit} $\Theta_{0}$ {\it un courant positiffermé sur} $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$ {\it tel que} $6_{0}\wedge\alpha^{p}\equiv 0$
{\it sur} $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}\backslash \{0\}$, {\it Alors pour toute suite} $a_{k}\rightarrow 0$, {\it on peut extraire de la suite des}
{\it courants} $a_{k}^{-}*^{1}\Theta_{\mathrm{o}}$ {\it une sous-suite convergeant faiblement. La limite} $\Theta_{1}$ {\it vérifie}
$\mathrm{v}(\Theta_{1};0)=\mathrm{v}(\Theta_{\mathrm{o}};0)$ et $9_{1}\wedge\alpha^{p}\equiv 0$ sur $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}\backslash \{0\}$.
{\it Démonstration}. -- II est clair qu il existe pour tout N-uplet
$a=(a_{1},a_{2^{ }},\ldots,a_{\mathrm{N}})$ de réels $>0$ une constante $\mathrm{C}=\mathrm{C}(a)\geq 1$ telle que
$$
\frac{1}{\mathrm{C}}a\ \leq a^{-1*}\alpha\ \leq \mathrm{Ca};
$$
{\it e}n effet, la forme $\alpha =i\partial\overline{\partial}{\rm Log}|z|^{2}$ est issue d'une forme définie $>0$ sur
$\mathrm{P}_{\mathrm{N}-1}$ (qui est précisément la métrique kâhlérienne standard de $\mathrm{P}_{\mathrm{N}-1}$).
Comme $\Theta_{0}\geq 0$ il vient
\begin{center}
(18)   $\left\{\begin{array}{l}
\Theta_{0}\wedge a^{-1*}\alpha^{p}\equiv 0s\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{C}^{\mathrm{N}}\backslash \{0\}\\
a_{*}^{-1}6_{0}\wedge\alpha^{p}=a_{*}^{-1}(\Theta_{0}\wedge a^{-1*}\alpha^{p})\equiv 0
\end{array}\right.$
\end{center}


NOMBRES DES LELONG DES COURANTS
57
D'après les théorèmes 3 et 4, on en déduit quel que soit $r>0$ :
$$
\frac{1}{(2\pi r)^{p}}\int_{|z|^{2}<r}a_{*}^{-1}\Theta_{0}\wedge\beta^{p}=\mathrm{v}(a_{*}^{-1}\Theta_{0};0)=\mathrm{v}(9_{0};0),
$$
d'où la conclusion grâce au lemme 1. $\square $
{\it Démonstration de la proposition} 6. - Pour tout N-uplet
$\sigma =(\sigma_{1},\sigma_{2},\ldots,\sigma_{\mathrm{N}})$ d'entiers positifs, et tout réel $\mathrm{p}>0$, soit $\mathrm{p}^{-1/0}$
$1' \mathrm{application}$ de $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$ dans $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$ qui à $z=(z_{1},z_{2}, \ldots,z_{\mathrm{N}})$ associe
$(\mathrm{p}^{-1/0}1z_{1}, \mathrm{p}^{-\iota/0}2z_{2},\ldots,\mathrm{p}^{-1/0_{N}}z_{\mathrm{N}})$.
On ordonne les éléments de $(\mathrm{N}^{*})^{\mathrm{N}}$ en une suite $\sigma^{1},\ \sigma^{2},\ \sigma^{3},\ \ldots$, et on
extrait $s$ uccessivement des suites faiblement convergentes
$$
\Theta_{1}=\lim_{\infty k\rightarrow+}(\mathrm{p}_{k}^{-1/0})_{*}9_{0}1,9_{2}=\lim_{k\rightarrow+\infty}(\mathrm{p}_{k}^{-1/\sigma^{2}})_{*}8_{1},\ \ldots,
$$
$$
\Theta_{\infty}=\lim_{k\rightarrow+\infty}\Theta_{\mathrm{v}_{k}}.
$$
Les lemmes 2 et 4 montrent que
(19) $\left\{\begin{array}{ll}
\mathrm{v}(\mathrm{G}_{*}6_{0};0)\leq \mathrm{v}(\mathrm{G}_{*}6_{k};0), & \\
\mathrm{v}(\Theta_{k};0)=\mathrm{v}(6_{0};0) \mathrm{e}\mathrm{t} & \Theta_{k}\wedge\alpha^{p}\equiv 0.
\end{array}\right.$
De plus
$$
\mathrm{G}_{\mathrm{v}^{*}}\Theta_{\mathrm{v}}=\lim_{k\rightarrow+\infty}(\mathrm{G}_{\mathrm{v}}\circ \mathrm{p}_{k}^{-1/0^{\mathrm{V}}})_{*}6_{\mathrm{v}-1}
$$
$$
=\lim_{k\rightarrow+\infty}\mathrm{p}_{k^{*}}^{-1}(\mathrm{G}_{\mathrm{v}^{*}}\Theta_{\mathrm{v}-1}),
$$
où $\mathrm{G}_{\mathrm{v}}$ est l'application $\mathrm{G}$ associée à a $=0^{\mathrm{v}}$. Le lemme 3 entraîne que
$(\mathrm{G}_{\mathrm{v}^{*}}\Theta_{\mathrm{v}})\wedge\alpha^{p}=\mathrm{G}_{\mathrm{v}^{*}}(9_{\mathrm{v}}\wedge \mathrm{G}_{\mathrm{v}}^{*}\alpha^{p})\equiv 0$ sur $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}\backslash \{0\}$ et donc la mesure
po sitive $\Theta_{\mathrm{v}}\wedge \mathrm{G}_{\mathrm{v}}^{*}\alpha^{p}$ est nulle elle aussi. En raisonnant comme pour (18) on
en déduit que $a_{*}^{-1}\Theta_{\mathrm{v}}\wedge \mathrm{G}_{\mathrm{v}}^{*}\alpha^{p}\equiv 0$ pour tout N-uplet $a$, d'où
$\Theta_{\mathrm{v}+1}\wedge \mathrm{G}_{\mathrm{v}}^{*}\alpha^{p}\equiv 0$, et plus généralement $\Theta_{k}\wedge \mathrm{G}_{\mathrm{v}}^{*}\alpha^{p}\equiv 0$ lorsque $k\geq \mathrm{v}$.
Un demier passage à la limite foumit (cf. 19)$)$
\begin{center}
(20)   $\{_{\mathrm{v}}^{\mathrm{v}}1_{\Theta_{\infty};0)=}^{\mathrm{G}_{*}9_{0};0)}\mathrm{v}(\Theta_{0};0)\leq \mathrm{v}(\mathrm{G}_{*}\Theta_{\infty};0)$,
(21)   $\Theta_{\infty}\wedge \mathrm{G}^{*}\alpha^{p}\equiv 0$ sur $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}\backslash \{0\}$,
\end{center}


58
JEAN-PIERRE DEMAILLY
{\it pour} toute application $\mathrm{G}$ associée à un N-uplet a $=(\sigma_{1},\sigma_{2},\ldots,\sigma_{\mathrm{N}})$
quelconque. Il en résulte (lemme 5 ci-dessous) que $\Theta_{\infty}$ est une combinaison
linéaire des courants d'intégration sur les plans vectoriels
$$
\mathrm{C}_{\mathrm{L}}=\mathrm{C}_{\swarrow 1}\oplus \mathrm{C}_{t_{2}}\oplus\ldots\oplus \mathrm{C}_{\swarrow_{\mathrm{p}}}\subset \mathrm{C}^{\mathrm{N}}
$$
(somme des $p$ facteurs $\mathrm{C}$ d'indices respectifs $l_{1},\ l_{2},\ \ldots,\ l_{p}$) :
\begin{center}
(22)   $6_{\infty}=\displaystyle \sum_{\mathrm{L}}\epsilon_{\mathrm{L}}[\mathrm{CJ}$,
\end{center}
avec $\mathrm{L}=\{l_{1},l_{2},\ldots,l_{p}\}\subset\{1,2_{ }\ldots, \mathrm{N}\},\ \epsilon_{\mathrm{L}}\geq 0$. On a donc
$$
\mathrm{v}(\Theta_{\infty};0)=\sum_{\mathrm{L}}\epsilon_{\mathrm{L}},
$$
{\it e}t comme la restriction de $\mathrm{G}$ à $\mathrm{C}_{\mathrm{L}}$ est un revêtement ramifié de $\mathrm{C}_{\mathrm{L}}$
$\sigma_{1_{1}}0_{l_{2}}\ldots \sigma_{l_{p}}$ feuillets, on obtient
$$
\mathrm{G}_{*}[\mathrm{C}_{1}]=0_{J_{1}}\fbox{}\ldots 0_{l_{p}}[\mathrm{C}_{1}],
$$
$$
\mathrm{v}(\mathrm{G}_{*}6_{\infty};0)=\sum_{\mathrm{L}}\sigma_{J_{1}}0_{J_{2}}\ldots\fbox{}\epsilon_{\mathrm{L}}.
$$
Si l'on combine ces égalités avec (20), (21) et les lemmes 2-3, on trouve
l'estimation de la proposition 6. $\square $
Il ne nous reste plus qu à établir l'existence de la décomposition (22);
c'est $1' \mathrm{objet}$ du lemme 5 qui suit.
lemme 5. --{\it Soit} $\Theta$ {\it un} $(p,p)$-{\it courant faiblement positif et fermé dans} $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$.
{\it On suppose que} $\Theta \wedge \mathrm{G}^{*}\alpha^{p}\equiv 0$ {\it sur} $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}\backslash \{0\}$, {\it où} $\alpha =i\partial\overline{\partial}{\rm Log}|z|^{2}$, {\it pour}
{\it toute application} $\mathrm{G}(z)=(z_{1}^{\mathrm{o}_{1}}, z_{2}^{\sigma_{2}}\ldots, z_{\mathrm{N}}^{\sigma_{\mathrm{N}}})$ {\it associé à un N-uplet}
$0 =(0_{1},\sigma_{2}, \ldots,\sigma_{\mathrm{N}})\in(\mathrm{N}^{*})^{\mathrm{N}}$ {\it quelconque. Alors il existe des}
{\it constantes réelles} $\epsilon_{\mathrm{L}}\geq 0$ {\it telles que}
$$
\Theta\ =\sum_{|\mathrm{L}|=p}\epsilon_{\mathrm{L}}[\mathrm{CJ}.
$$
{\it Démonstration}. --Grâce au théorème du support (cf. H. Fédérer [4] ou
R. Harvey [5], théorème 1.7 {\it e}t lemme 1.9), on peut se contenter de vérifier
que
$$
\mathrm{Supp}9\ \subset\bigcup_{|\mathrm{L}|=p}\mathrm{C}_{\mathrm{L}}.
$$
NOMBRES DES LELONG DES COURANTS
59
Il suffira de montrer que le cône convexe engendré par les formes $\mathrm{G}^{*}\alpha^{p}$
contient une (p,p)-forme fortement $>0$ de $\Lambda^{p,p}\mathrm{T}_{z}^{*}\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$ (i.e. $\mathrm{u}$ {\it n}e forme
fortement minorée par $\mathrm{C}(i\partial\overline{\partial}|\zeta|^{2})^{p},\ \mathrm{C}>0)$ en tout point $z\displaystyle \not\in\bigcup_{\mathrm{L}}\mathrm{C}_{\mathrm{L}}$.
Quitte à permuter les coordonnées et à appliquer un automorphisme $a^{-1}$
(compte tenu que $\displaystyle \frac{1}{\mathrm{C}}\alpha \leq a^{-1*}\alpha\leq \mathrm{C}\alpha$), on peut supposer que
$z=(1,\ldots,1,0_{ }\ldots,0)$ est un {\it N}-uplet formé de $q$ fois Rentier 1 $(q>p)$ suivi
de {\it N-q} zéros. Prenons $0=(\sigma_{1},\sigma_{2},\ldots,\sigma_{\mathrm{q}},1, \ldots,1)$ et posons :
$$
\alpha_{\mathrm{q},\sigma}=i\sum_{\lambda=1}^{\mathrm{q}}\mathrm{o}_{\lambda}^{2}dz_{\lambda}\wedge d_{Z_{\lambda}}^{-}-\frac{i}{q}\sum_{\lambda=1}^{q}\mathrm{o}_{\lambda}dz_{\lambda}\wedge\sum_{\mu=1}^{\mathrm{q}}\sigma_{\mu}d_{Z_{\mu}}^{-}.
$$
Un calcul élémentaire montre qu on a au point $z$ :
\begin{center}
(23)   $\displaystyle \mathrm{G}^{*}\alpha=\frac{1}{q}(\alpha_{\mathrm{q},\sigma}+i\sum_{\lambda=q+1}^{\mathrm{N}}dz_{\lambda}\wedge d\overline{z}_{\iota})$.
\end{center}
En élevant (23) à la puissance $p$, o{\it n} voit que les formes $(\mathrm{G}^{*}\alpha)^{p}$
engendreront une $(p,p)$-forme fortement $>0$ {\it s}i et seulement {\it s}i les formes
$\alpha_{\mathrm{q},\sigma}^{m}$ engendrent elles-mêmes un élément fortement $>0$ d{\it e} $\Lambda^{m,m}\mathrm{T}^{*}\mathrm{C}^{\mathrm{q}}$
pour tout $m\leq p<q$. En approximant les réels par des rationnels, on
peut étendre l'ensemble {\it des} formes $\alpha_{\mathrm{q},\sigma}$ considérées à tous les g-uplets
$(\sigma_{1},\sigma_{2},\ldots,0_{q})$ de réels $\geq 0$. En choisissant certains $0_{\text{Â}}$ nuls et en
permutant les coordonnées on $se$ ramène au cas $q=m+1$ (car les
conditions $q>m$ et $0_{m+2}=\cdots=0_{q}=0$ entraînent $\alpha_{q,\sigma}\geq\alpha_{m+1,\sigma}$).
{\it N}ous sommes donc réduits à montrer que les éléments $\alpha_{m+1,\sigma}^{m}$ engendrent
une $(m,m)$-forme fortement $>0$. La formule de Lagrange permet d'écrire
$\alpha_{m+1,\sigma}=\underline{i}$
$$
m+1\sum_{1\leq\lambda<\mu\leq m+1}(\sigma_{\lambda}dz_{t_{4}}-0_{\mu}dz_{\mu})\wedge(\sigma_{\lambda}d\overline{z}_{\lambda}-\sigma_{\mu}d\overline{z}_{\mu}).
$$
Lorsque $\sigma_{1}\sigma_{2}\ldots 0_{m+1}>0$, on voit donc que la forme $\alpha_{m+1,\sigma}$,
considérée comme forme hermitienne sur $\mathrm{C}^{m+1}$, est positive de rang $m$,
et qu elle admet pour noyau la droite complexe engendrée par le vecteur
$1/\sigma=(1/\sigma_{1},1/\sigma_{2}, \ldots,1/\sigma_{m+1})$. Choisissons des $(m+1)$-uplets
$\sigma^{1},0^{2},\ \ldots,\ \sigma^{m+1}$ tels que les éléments $1/0^{1},1/0^{2},\ \ldots,\ 1/\sigma^{m}$ constituent
une base de $\mathrm{C}^{m+1}$ Il est clair que la $(m,m)$ forme
$$
\sum_{k=1}^{m+1}(\alpha_{m+1},0^{k})^{m}
$$
est un élément fortement $>0$ d{\it e} $\Lambda^{m,m}\mathrm{T}^{*}\mathrm{C}^{m+1}.\ \square $

60
JEAN-PIERRE DEMAILLY
La proposition 6 foumit dans u{\it n} cas particulier une minoration {\it des}
nombres de Leiong de $1' \mathrm{image}$ directe du courant $T$. Pour étendre cette
minoration à une situation plus générale (comprenant l{\it e} cas des
morphismes à fibres finies) nous poserons la définition suivante.
Soient $x \in \mathrm{X},\ y=\mathrm{F}(x)\in \mathrm{Y}$ tels que $x$ {\it soit} un point isolé de la fbre
$\mathrm{F}^{-1}(y)$. On {\it s}e fxe un système générateur $(g_{\lambda})$ d{\it e} $\mathcal{M}_{\mathrm{X},x}$ et on considère
une famille d'éléments quelcon ques $(h_{\lambda})_{1\leq\lambda\leq \mathrm{N}}$ d{\it e} $\mathcal{M}_{\mathrm{Y},y}$, telle que $N\geq p$.
Définition 5. --{\it La p-multiplicité supérieure} $du$ {\it morphisme} $\mathrm{F}$ {\it au point}
$\chi$, {\it notée} $\overline{\mu}_{p}(\mathrm{F};x)$, {\it est la borne inférieure des produits} $\sigma_{1}\sigma_{2}\ldots \sigma_{p}$ {\it étendue}
{\it aux familles} $(h_{\text{Â}})_{1\leq\lambda\leq \mathrm{N}}$ {\it d}'{\it e}$\acute{}${\it léments de} $\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{Y},y}$ {\it et aux famille} $(0_{\lambda})_{1\leq\lambda\leq \mathrm{N}}$ {\it de réels}
{\it tels que}
$$
\sigma_{1}\geq\sigma_{2}\geq\cdots\geq 0_{\mathrm{N}}>0,
$$
$$
{\rm Log}\sum^{\mathrm{N}}|h_{\lambda}\circ \mathrm{F}(z)|^{1/\sigma\lambda}
$$
\begin{center}
(24)   $\displaystyle \lim_{z\rightarrow}\sup_{x}\underline{\lambda=1}\leq 1$.
$$
{\rm Log}\sum_{\lambda}|g_{\lambda}(z)|
$$
\end{center}
Lorsque $(h_{1})_{1\leq\lambda\leq \mathrm{N}}$ est un système générateur de $\mathcal{M}_{\mathrm{Y},y}$, l'inégalité de
S. Lojasiewicz (voir B. Malgrange [7]) ou le théorème {\it des} zéros de Hilbert
montrent qu il {\it e}xiste une constante $\sigma >0$ telle que
$$
\sum_{\lambda=1}^{\mathrm{N}}|h_{\lambda}\circ \mathrm{F}(z)|^{2}\geq(\sum|g_{\lambda}(z)|^{2})^{\sigma}
$$
au voisinage de $\chi$ (en effet $x$ est isolé dans $\mathrm{F}^{-1}(\mathrm{F}(x))$). Il existe donc bien
{\it des} familles $(h_{\lambda})_{1\leq\lambda\leq \mathrm{N}},\ (0_{\lambda})_{1\leq\lambda\leq \mathrm{N}}$ vérifant les hypothèses d{\it e} la défmition 5,
de sorte que $\overline{\mu}_{p}(\mathrm{F};x) <\infty$, mai $s$ nous ignorons si $\overline{\mu}_{p}(\mathrm{F};x)$ est toujours u{\it n}
entier. D'autre part, on voit aisément que $\overline{\mu}_{p}(\mathrm{F};x) =0$ {\it s}i $p$ excède la
dimension du germe $\mathrm{X}_{X}-\cdot$
ThéOrème 6. --{\it Soit} $y$ {\it un point de} $\mathrm{Y}$ {\it tel que la fibre} $\mathrm{F}^{-1}(y)$ {\it soit finie}.
{\it Alors on a}
$$
\mathrm{v}(\mathrm{F}_{*}\mathrm{T};y)\leq\sum_{\mathrm{x}\in \mathrm{F}^{-1}\langle y)}\overline{\mu}_{p}(\mathrm{F};\mathrm{x})\mathrm{v}(\mathrm{T} ;x).
$$
{\it Démonstration}. -- En choisissant des voisinages 2 à 2 disjoints des
points de la fibre $\mathrm{F}^{-1}(y)$, et en tronquant X et $\mathrm{Y}$, on {\it s}e ramène au cas

NOMBRES DES LELONG DES COURANTS
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où $\mathrm{F}^{-1}(y)=\{x\}$. Soient $(h_{\lambda})_{1\leq\lambda\leq \mathrm{N}},\ (\sigma_{\lambda})_{1\leq\lambda\leq \mathrm{N}}$ deux familles vérifiant les
hypothèses de la défmition 5. On peut supposer (quitte à accroître $N$) que
$(h_{\lambda})_{1\leq\lambda\leq \mathrm{N}}$ {\it est} un système générateur d{\it e} $\mathcal{M}_{\mathrm{Y},y}$, d{\it e} sorte que
$h=(h_{1},h_{2},\ldots,h_{\mathrm{N}})$ est un plongement local de $\mathrm{Y}$ dans $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$. Soient
$$
s
$$
$$
s
$$
$$
s
$$
$$
-,
$$
$$
-,\cdots,\ --
$$
$$
s_{1}
$$
$$
s_{2}
$$
$$
s_{\mathrm{N}}
$$
des approximations rationnelles de $\sigma_{1},\ \sigma_{2},\ \ldots,\ \sigma_{\mathrm{N}}$ avec des entiers $s$,
$s_{1}\leq s_{2}\leq\ldots\leq s_{\mathrm{N}}$ t{\it els} que $\displaystyle \frac{s}{s_{\lambda}}\geq\sigma_{\lambda}$, et soit
$$
\mathrm{G}:\mathrm{Y}\rightarrow \mathrm{C}^{\mathrm{N}}
$$
$1' \mathrm{application}$ qui   tout $w\in \mathrm{Y}$ associe $(h_{\lambda}(w)^{s_{\lambda}})_{1\leq\lambda\leq \mathrm{N}}$. Le théorème 5
montre que
v(G$*$F$*$T;0) $\geq s_{1}s_{2}\ldots s_{p}\mathrm{v}(\mathrm{F}_{*}T;y)$.
Par ailleurs, le théorème 4 donne
$$
\mathrm{v}(T;x)=\mathrm{v}(T;\sum_{\lambda}|g_{\lambda}|^{2})\geq s^{-p}\mathrm{v}(\mathrm{G}_{*}\mathrm{F}_{*}T;0),
$$
car d'après l'hypothèse (24) on a
$$
\lim_{z\rightarrow}\inf_{x}\frac{{\rm Log}\sum_{\lambda}|g(z)|^{2}}{{\rm Log}|\mathrm{G}\circ \mathrm{F}(z)|^{2}}=\lim_{z\rightarrow}\inf_{X}\frac{{\rm Log}\sum_{\lambda}|g_{\text{Â}}(z)|^{2}}{{\rm Log}\sum_{\lambda}|h_{\lambda}\circ \mathrm{F}(z)|^{s_{\lambda}}}\geq\frac{1}{s}2^{\cdot}
$$
II vient donc:
$$
\mathrm{v}(\mathrm{F}_{*}T;y)\leq\frac{s}{s_{1}}\cdot\frac{s}{s_{2}}\cdots\frac{s}{s_{n}}\mathrm{v}(\mathrm{T};\mathrm{x}).
$$
Le théorème 6 {\it s}'obtient en passant à la limite d{\it ans les} approximations
rationnelles, puis en prenant la bome inférieure des produits $ o_{1}o_{2}\ldots 0_{p,\square }$.
Les théorèmes 5 et 6 entraînent la conséquence $s$ uivante, qui ne paraît
pas tout à fait claire {\it a priori}.

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JEAN-PIERRE DEMAILLY
COROLLAIRE. -- {\it Soit} $x\in \mathrm{X}$ {\it tel que} $x$ {\it soit un point isolé de la fibre}
$\mathrm{F}^{-1}(\mathrm{F}(x))$. {\it Alors pour tout} $p\leq\dim \mathrm{X}_{X}-$ {\it on a}
$$
\mu_{p}(\mathrm{F};x)\ \leq\overline{\mu}_{p}(\mathrm{F};x).
$$
{\it Démonstration}. --Il existe des voisinages $\mathrm{U}$ de $\chi$ dans X et V de $y$
dans $\mathrm{Y}$, arbitrairement petits, tels que $\mathrm{F}(\mathrm{U})\subset \mathrm{V},\ \mathrm{U} \cap \mathrm{F}^{-1}(y)=\{\mathrm{x}\}$,
et tels que la restriction $\mathrm{F}_{|\mathrm{U}}:\mathrm{U}\rightarrow \mathrm{V}$ soit propre (voir R. $N$ arasimhan [8]).
Soit $\mathrm{Z}$ un ensemble analytique de dimension $p$ dans $\mathrm{U}$, contenant le
point $x$, et soit $\mathrm{T}=[\mathrm{Z}]$ le courant d'mintégration sur Z. On sait que
$\mathrm{v}(T;x)\geq 1$, et on observe d'autre part que
\begin{center}
$\mu_{p}(\mathrm{F};x)\mathrm{v}(\mathrm{T};\mathrm{x}) \leq \mathrm{v}(\mathrm{F}_{*}\mathrm{T};y)\leq\overline{\mu}_{p}(\mathrm{F}; \mathrm{x})$v(T; x)
\end{center}
d'après les théorèmes 5 et 6. $\square $
Pour terminer ce paragraphe, nous allons montrer qu il n'est pas
possible d'améliorer l'encadrement de $\mathrm{v}(\mathrm{F}_{*}\mathrm{T};x)$ fourni par les théorèmes 5
et 6.
{\it Exemple}. -- Soit $\mathrm{F}$ : $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}\rightarrow \mathrm{C}^{\mathrm{N}}1' \mathrm{application}$ définie par
$$
\mathrm{F}(z_{1},z_{2},\ldots,z_{\mathrm{N}})=(z_{1}^{s_{1}},z_{2}^{s_{2}},\ldots,z_{\mathrm{N}}^{s_{\mathrm{N}}})
$$
avec des entiers $ s_{1}\leq s_{2}\leq$ . . . $\leq s_{\mathrm{N}}$. Pour tout multi-indice
$\mathrm{L}=\{l_{1},l_{2}, \ldots,l_{p}\}$, on a comme o{\it n} $1' \mathrm{a}$ vu
$$
\mathrm{v}\ (\ [\mathrm{CJ}\ ;0)=1,\ \mathrm{v}(\mathrm{F}_{*}[\mathrm{C}_{1}];0)\ =s_{t_{1}}s_{t_{2}}\ldots\ s_{t_{p}}.
$$
D'autre part, il est clair sur les défnitions que
$\mu_{p}(\mathrm{F};0)\geq s_{1}s_{2}\ldots s_{p},\ \overline{\mu}_{p}(\mathrm{F};0)\leq s_{\mathrm{N}}s_{\mathrm{N}-1}\ldots s_{\mathrm{N}-p+1}$ pour $p\leq N$,
$\mu_{p}(\mathrm{F};0)=+\infty,\ \overline{\mu}_{p}(\mathrm{F};0)=0$ pour $p>$ N.
On en déduit pour $p\leq N$:
$$
\mu_{p}(\mathrm{F};0)=\mathrm{v}(\mathrm{F}_{*}[\mathrm{C}_{1}\oplus \mathrm{C}_{2}\oplus\ldots\oplus \mathrm{C}_{p}] ; 0)=s_{1}s_{2}\ldots\ s_{p},
$$
$$
\overline{\mu}_{p}(\mathrm{F};0)=\mathrm{v}(\mathrm{F}_{*}[\mathrm{C}_{\mathrm{N}-p+1}\oplus\ldots\oplus \mathrm{C}_{\mathrm{N}}];0)=s_{\mathrm{N}}s_{\mathrm{N}-1}\ldots\ s_{\mathrm{N}-p+1}.
$$
En choisissant pour $T$ une combinaison linéaire des $[\mathrm{C}_{\mathrm{L}}]$, on voit que le
rapport $\displaystyle \frac{\mathrm{v}(\mathrm{F}_{*}T;0)}{\mathrm{v}(\mathrm{T};0)}$ est un réel quelconque compris entre $\mu_{p}(\mathrm{F};0)$ et
$\overline{\mu}_{p}(\mathrm{F};0)$.

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Enfin, même lorsque $T$ est l{\it e} courant d'intégration sur un germe
irréductible en $0$, le nombre rationnel $\displaystyle \frac{\mathrm{v}(\mathrm{F}_{*}\mathrm{T};0)}{\mathrm{v}(\mathrm{T};0)}$ n'est pas nécessairement
entier. Prenons par exemple $\mathrm{N}=2,\ s_{1}=1,\ s_{2}=2$, et soit $\mathrm{Z}$ la courbe
d'équation $z_{1}^{3}+z_{2}^{4}=0$. L'image $\mathrm{W}=\mathrm{F}(\mathrm{Z})$ a pour équation
$w_{1}^{3}+w_{2}^{2}=0$, d{\it e} sorte qu on a classiquement
$$
\mathrm{v}([\mathrm{Z}];0)\ =3,\ \mathrm{v}([\mathrm{W}];0)=2.
$$
Comme la restriction $\mathrm{F}$ : $\mathrm{Z}\rightarrow \mathrm{W}$ est un revêtement ramifié à 2 feuillets, on
obtie {\it n}t
$$
\mathrm{F}_{*}[\mathrm{Z}]=2[\mathrm{W}],\ \mathrm{v}(\mathrm{F}_{*}[\mathrm{Z}];0)=4,
$$
$$
\mu_{1}(\mathrm{F};0)=1<\frac{\mathrm{v}(\mathrm{F}_{*}[\mathrm{Z}];0)}{\mathrm{v}([\mathrm{Z}];0)}=\frac{4}{3}<\overline{\mu}_{1}(\mathrm{F};0)=2.
$$
4. Théorie $\langle\langle$ duale $\rangle\rangle$ : degré d'un courant positif fermé.
Jusqu à présent, {\it n}ous avons étudié le comportement du courant positif
fermé $\mathrm{T}$ au voisinage de tout point $x\in \mathrm{X}$ (ou plus généralement sur la
base de fltre des ensembles $\varphi^{-1}([0,r[), r$ tendant vers $0$). Il est possible
d{\it e} développer une théorie entièrement analogue pour étudier l{\it e}
comportement du courant $\mathrm{T}$ à $\langle\langle$ l'infni $\rangle\rangle,\ 1' e\mathrm{space}$ X étant supposé {\it non}
{\it compact}. La classe des poids $\varphi$ qui interviennent de manière naturelle est
la classe LP $\infty(\mathrm{X};\mathrm{SuppT})$ ainsi défnie.
Définition 6. --{\it Soit} A {\it une partie de} X. {\it On dira que} $\varphi\in$ LP $\infty(\mathrm{X};\mathrm{A})$
{\it si} $\varphi$ {\it est une fonction} $\geq 0$ {\it de classe} $\mathrm{C}^{2}$ {\it sur} X, {\it dont le logarithme est}
{\it p.s.h}., {\it et exhaustive sur} $\mathrm{A}$, {\it c}'{\it est-à-dire que pour tout réel} $r>0$,
À $\cap\varphi^{-1}([0,r[)$ {\it est relativement compact dans} X.
{\it Si} $\varphi\in$ LP $\infty$ ( $\mathrm{X}$; Supp T), {\it on définit le degré} $du(p,p)courant \mathrm{T}$,
{\it relativement à} $\varphi$, {\it comme la limite} ({\it finie ou infinie})
$$
\delta(\mathrm{T};\varphi)=r\rightarrow+\infty\lim\uparrow\frac{1}{(2\pi r)^{p}}\int_{\varphi\langle z)<r}\mathrm{T}\wedge(t\partial\partial\varphi)^{p}.
$$
Lorsque $\mathrm{T}$ est le courant d'intégration sur une hypersurface algébrique
A de $\mathrm{C}^{n}$, et lorsque $\varphi(z)=|z|^{2}$, on vérifie que $6(T;\varphi)$ coïncide avec le
degré de A.
Tous les principaux résultats des paragraphes 1, 2 et 3 (théorèmes 4, 5

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JEAN-PIERRE DEMAILLY
et 6) admettent des énoncés duaux dans la présente situation. Le théorème 4
devient ainsi le
ThéOrème 7. --{\it Soit} $\varphi,\psi$ {\it deux éléments de} LP $\infty(\mathrm{X};\mathrm{Supp}T)$, {\it tels que}
$$
\lim_{z\in \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}}\inf_{\mathrm{T},z\rightarrow\infty}\frac{{\rm Log}\psi(z)}{{\rm Log}\varphi(z)}\geq l\ \geq 0.
$$
{\it Alors} $\delta(\mathrm{T};\psi)\geq l^{p}6(T;\varphi)$.
{\it Démonstration}. --Tout à fait semblable à celle du théorème 4, en dehors
d'une modification technique dans la construction de la fonction
auxiliaire $\psi_{\epsilon}$.
Il est clair que $6(\mathrm{T};\varphi)=\delta(\mathrm{T};\varphi+1)$, donc on peut supposer $\varphi\geq 1$,
$\psi\geq 1$, et (d{\it e} même que dans le théorème 4)
\begin{center}
(25)   $\displaystyle \lim_{z\in \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{T}}\inf_{z\rightarrow\infty}\frac{{\rm Log}\psi(z)}{{\rm Log}\varphi(z)}>l \geq 2$.
\end{center}
Soit $\chi\geq 0$ une fonction de classe $\mathrm{C}^{\infty}$ sur $\mathrm{R}$, à support dans $1' \mathrm{intervalle}$
$[1,2]$, telle que $\displaystyle \int_{1}^{2}\mathrm{X}(t)$ d{\it t} $=1$. On p{\it ose}
$\displaystyle \psi_{\epsilon}(z)=\int_{1}^{2}$ sup $(\varphi^{t}(z), \epsilon t\psi(z))\chi(t)dt,\ \epsilon>0$.
Grâce au changement de variable $u=\varphi^{\swarrow}(z)-\epsilon t\psi(z)$ on voit que
$$
\psi_{\epsilon}(z)=\epsilon\psi(z)\int_{1}^{2}t\chi(t)dt+\int_{0}^{+\infty}u\chi\ (\frac{\varphi^{\swarrow}(z)-u}{\epsilon\psi(z)})\frac{du}{\epsilon\psi(z)},
$$
donc $\psi_{\epsilon}$ est de classe $\mathrm{C}^{2}$. Comme $\psi_{\epsilon}\geq\varphi^{t}$ o{\it n} en déduit que $\psi_{\epsilon}\in$ LP
$(\mathrm{X}; \mathrm{Supp}T)$. Soit $r>0$ quelconque; choisissons
$$
\epsilon<\frac{1}{2}\inf_{z\epsilon \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{T}\cap\varphi^{-1}\langle \mathfrak{c}0,r\mathfrak{c})}\frac{\varphi^{t}(z)}{\psi(z)}.
$$
On a alors $\psi_{\epsilon}(z)=\varphi^{t}(z)$ au voisinage de l'ensemble
SuppT $\cap\varphi^{-1}([0,r[)$, d'où (proposition 2)
$\displaystyle \frac{l^{p}}{(2\pi r)^{p}}\int_{\varphi\langle z)<r}T\wedge(i\partial\partial\varphi)^{p}=\frac{1}{(2\pi)^{p}r^{\swarrow p}}\int_{\psi_{\epsilon^{\langle z)<}}}\swarrow \mathrm{T}\wedge(t\partial\partial\psi_{\epsilon})^{p}\leq 6(\mathrm{T};\psi_{\epsilon})$.

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Mais $\psi_{\epsilon}(z)=\mathrm{C}\epsilon\psi(z) ($avec $\displaystyle \mathrm{C}=\int_{1}^{2}t\chi(t)dt)$ au voisinage de l'ensemble
$\{z\in$ SuppT; $\epsilon\psi(z)>\varphi^{\swarrow}(z)\}$. Le complémentaire de cet ensemble {\it dans}
$\mathrm{Supp}T$ est compact, {\it e}n vertu d{\it e} l'hypothèse (25), par suite
$\delta(T;\psi_{\epsilon})=\delta(\mathrm{T};\psi).\ \square $
On suppose désormais que $\mathrm{T}$ est un courant faiblement positif et fermé,
de bidimension $(p,p)$ sur $\mathrm{C}^{n}$. On défnit le degré de $\mathrm{T}$ par
$$
6(\mathrm{T})=6(\mathrm{T};|z|^{2})=r\rightarrow+\infty\lim\uparrow\frac{1}{(2\pi)^{p}r^{2p}}\int_{|z|<r}\mathrm{T}\wedge(i\partial\partial|z|^{2})^{p}.
$$
Grâce au théorème 7, le nombre 8(T) ne dépend que de la structure
d'espace affine d{\it e} $\mathrm{C}^{n}$ (mais pas de {\it s}a structure d'espace vectoriel
hermitien). On obtient alors le résultat suivant, {\it avec} une démonstration
presque identique à celle du théorème 5, mais plus simple techniquement.
ThéOrème 8. --{\it Soit} $\mathrm{Q}=(\mathrm{Q}_{1},\mathrm{Q}_{2^{ }},\ldots,\mathrm{Q}_{\mathrm{N}})$ {\it un morphisme de} $C^{n}$ {\it dans}
$\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$, {\it o}ù $\mathrm{Q}_{\lambda}$ {\it est un polynôme de degré} $ d_{\lambda}\prime$, {\it avec} $d_{1}\geq d_{2}\geq\ldots\geq d_{\mathrm{N}}$. {\it On}
{\it suppose que la restriction de} $\mathrm{Q}$ {\it à} SuppT {\it est propre. Alors si} $\mathrm{T}\neq 0$, {\it on a}
$N\geq p$ {\it et}
$$
 6(\mathrm{Q}_{*}\mathrm{T})\leq d_{1}d_{2}\ldots\ d_{p}6(\mathrm{T}).
$$
Il est possible de transcrire de même le théorème 6.
ThéOrème 9. --{\it Soit} $\mathrm{Q}=(\mathrm{Q}_{1},\mathrm{Q}_{2},\ldots,\mathrm{Q}_{\mathrm{N}})$ {\it un morphisme propre de} $C^{n}$
{\it dans} $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}(N\geq n)$. {\it On définit le réel} $\eta_{p}(\mathrm{Q})$ {\it comme la borne supérieure des}
{\it produits} $ 6_{1}\delta_{2}\ldots \delta_{p}$ {\it pour tous les N-uplets} $(\delta_{1},6_{2^{ }},\ldots,\delta_{\mathrm{N}})\in \mathrm{R}^{\mathrm{N}}$ {\it tels que}
$0<6_{1}\leq 6_{2}\leq\ldots\leq 6_{\mathrm{N}}$ et
{\it Alors} $6(\mathrm{Q}_{*}\mathrm{T})\geq\eta_{p}(\mathrm{Q})\delta(\mathrm{T})$.
$$
{\rm Log}\sum\ |\mathrm{Q}_{\lambda}(z)|^{1/\delta_{\lambda}}
$$
$\displaystyle \lim_{z\rightarrow}\inf_{\infty}\frac{\lambda=1}{{\rm Log}|z|}\geq 1$.
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of closed positive currents, {\it Inventiones Math}., t. 27 (1974), 53-156.
Manuscrit reçu le 2 juillet 1981.
Jean-Pierre DEMAILLY,
Université de Paris VI
Analyse Complexe {\it e}t Géométrie
4, place Jussieu
(Tour 45-46, 5${}^{\text{e}}$ étage)
75230 Paris Cedex 05.

\end{document}