\documentclass{eudml-infty} \usepackage{latexsym} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{bm} \pagestyle{empty} \begin{document} Ann. Inst. Fourier, Grenoble 30, 3 (1980), 219-236 CONSTRUCTION DWPERSURFACES IRRÉDUCTIBLES AVEC LIEU SINGULIER DONNÉ DANS $\mathrm{C}^{\mathrm{n}}$ par Jean-Pierre DEMAILLY 0. Introduction. M. Comalba et B. Shiffman [1] ont construit deux courbes d'ordre $0$ dans $\mathrm{C}^{n}$ qui se coupent en une suite discrète de points dont le cardinal croît aussi rapidement que $1' \mathrm{on}$ veut à l'infini (voir le \S 4), montrant ainsi que $1' \mathrm{analogue}$ transcendant du théorème de Bezout sur l'intersection des courbes algébriques n'est pas vrai en général. Il est bien connu d'autre part qu une courbe algébrique de degré $n$, qui admet plus de $\displaystyle \frac{(n-1)(n-2)}{2}$ points doubles, dégénère en deux ou plusieurs courbes de degré inférieur. On peut se demander si un analogue transcendant de ce demier théorème subsiste. L'objet du présent travail est de démontrer qu il n'en est rien; nous prouvons au \S 4, en nous appuyant sur $1' \mathrm{exemple}$ de Comalba-Shiffman, l'existence d'une courbe transcendante irréduc- tible dont la croissance à $1' \mathrm{infini}$ est arbitrairement lente, et dont cependant les points singuliers sont aussi nombreux que $1' \mathrm{on}$ veut. Nous déduisons cet exemple d'un théorème général permettant de construire, avec contrôle de la croissance, une hypersurface irréduc- tible de $\mathrm{C}^{n}$ dont le lieu singulier $\mathrm{S}$ est imposé (voir le \S 1 pour l'énoncé précis). La traduction en termes de distributions à support compact, obtenue au \S 5 par 1'intermédiaire du théorème de Paley- Wiener, nous permet de retrouver un résultat antérieur de L.A. Rubel, W.A. Squires et B.A. Taylor [3], complété par J. Dixmier, P. Malliavin [2], selon lequel $1' \mathrm{ensemble}$ des produits de convolution $\omega(\mathrm{R}^{n})*\omega(\mathrm{R}^{n})$ n'est pas égal à $\omega (\mathrm{R}^{n})$ pour $n\geq 2$. 220 J.P. DEMAILLY J'adre sse tous mes remerciements à Monsieur Henri Skoda, qui $\mathrm{m}' \mathrm{a}$ signalé ce problème, et qui porte un intérêt constant mes travaux. 1. Enoncé du théorème principal. ThéOrème. --{\it Soit} $\mathrm{S}$ {\it un ensemble analytique de} $\mathrm{C}^{n} (\mathrm{o}\text{ù} n\geq 2)$, {\it de codimension} $\geq 2$ {\it en tout point, défini par les équations} $$ f_{1}(z)=\ldots=f_{k}(z)=0. $$ {\it On se donne une fonction} $\varphi$ {\it de} $\mathrm{R}$ {\it dans} $\mathrm{R}$, {\it croissante et posi}- {\it tive, telle que}: (1) $\displaystyle \frac{\varphi(t)}{t}$ {\it tend vers} $+\infty$ {\it quand} $t$ {\it tend vers} $+\infty$. {\it Alors il existe des fonctions en tières} $g_{1},\ \ldots,\ g_{k}$ {\it telles que}; (2) {\it la fonction} $\displaystyle \mathrm{F}=\sum_{/^{=}1}^{k}f_{/}\cdot g_{j}$ {\it est irréductible}, (3) {\it l}'{\it hypersurface} X {\it définie par Véquation} $\mathrm{F}=0$ {\it a son lieu} {\it singulier contenu dans} $\mathrm{S}$, {\it et la majoration} (4) ${\rm Log}|g_{j}(z)|\leq\varphi({\rm Log}|z|)$ {\it a lieu pour tout} $f=1,\ \ldots,\ k$ {\it et tout} $z\in \mathrm{C}^{n}$ COROLLAIRE 1. --{\it Si} $f_{1},\ \ldots,\ f_{k}$ {\it s}'{\it annulent} $d$ {\it l}'{\it ordre 2 au moins} {\it sur} $\mathrm{S}$ ({\it sinon remplacer par exemple} $f_{1},\ \ldots,\ f_{k}$ {\it par leurs puissances}), {\it le lieu singulier de l}'{\it hypersurface irréductible} X $du$ {\it théorème est pré}- {\it cisément égal} $d$ S. Nous aurons besoin d'exprimer dans la démonstration qu une {\it hypersurface} dépend $\langle\langle$continûment $\rangle\rangle$ de son équation, propriété ex- plicitée dans les propositions 1 et 2. 2. Déformation des composantes irréductibles d'une {\it hypersurface} en fonction de l'équation. Les propositions 1 et 2 qui suivent sont probable ment clas- siques. Mais vu leur importance pour la démonstration du théorème, CONSTRUCTION D HYPERSURFACES IRREDUCTIBLES 221 il nous $a$ semblé $p$ référable d'en donner une preuve afm d'être complet. PROPOSITION 1. --{\it Soient} $\Omega$ {\it une variété analy tique complexe} {\it connexe de dimension} $n,\ \mathrm{H}(\Omega)$ {\it l}'{\it espace des fonctions holomorphes} {\it sur} $\Omega$, {\it et} $\mathrm{K}$ {\it une partie compacte de} $\Omega$. {\it A toute fonction} $f\in \mathrm{H}(\Omega)$ {\it non nulle, on associe l}'{\it entier} $\nu_{\mathrm{K}}(f)$, {\it somme des multiplicités de} $f$ {\it sur les composantes irréduc}- {\it tibles de} $\mathrm{Z}_{f}=\{z\in\Omega ; f(z)=0\}$ {\it qui rencontrent} $\mathrm{K}$, {\it et on pose} $\nu_{\mathrm{K}}(0)=\infty$. {\it Alors l}'{\it application} $f\rightarrow\nu_{\mathrm{K}}(f)$ {\it est semi-continue supé}- {\it rieurement sur} $\mathrm{H}(\Omega)$. {\it Démonstration}. --On prouve la semi-continuité en une fonction $f\neq 0$ fixée une fois pour toutes. On commencera par substituer à $\mathrm{K}$ des compacts $\mathrm{K}_{1},\ \mathrm{K}_{2}$ plus appro priés tels que $$ \nu_{\mathrm{K}}(f)=\nu_{\mathrm{K}_{1}}(f)=\nu_{\mathrm{K}_{2}}(f), $$ $\nu_{\mathrm{K}}(g)\leq\nu_{\mathrm{K}_{1}}(g)\leq\nu_{\mathrm{K}_{2}}(g)$ pour $g$ voisine $\mathrm{d}\dot{\mathrm{e}} f$. Le lieu singulier $\mathrm{S}$ de $\mathrm{Z}_{f}$ a en tout point une codimension $\geq 2$. Quel que soit $z_{0}\in \mathrm{S}\cap \mathrm{K}$, il existe donc des coordonnées locales $w_{1},\ \ldots$ , $w_{n}$ telles que $w_{I}(z_{0})=0,\ 1\leq f\leq n$, et telles que le point $z_{0}$ soit isolé dans l'ensemble $\mathrm{S}\cap\{w_{3}=\ldots=w_{n}=0\}$. On choisit $\epsilon>0$, puis $\eta>0$ assez petits de $so$ rte qu en notant $\mathrm{V}_{z_{0}}=\{z\in\Omega;|w_{1}(z)|^{2}+|w_{2}(z)|^{2}<\epsilon^{2}$ et $|w_{j}(z)|<\eta$ pour $j>2$\}, $\mathrm{B}_{z_{0}}=\{\mathrm{E}\in\Omega$; $|w_{1}(z)|^{2}+|w_{2}(z)|^{2}=\epsilon^{2}$, et $|w_{I}(z)|\leq\eta$ pour $f>2$\}, on ait $\mathrm{S}\cap \mathrm{B}_{z_{0}}=\emptyset$, et que les composantes irréductibles de $\mathrm{Z}_{f}$ n{\it e} rencontrant pas $\mathrm{K}$ n{\it e} rencontrent {\it pas} non plus $\overline{\mathrm{V}}_{z_{0}}$. Si $\mathrm{V}_{z_{1}},\ \ldots,\ \mathrm{V}_{z_{p}}$ recouvrent S H $\mathrm{K}$, on pose $$ \mathrm{K}_{1}=(\mathrm{K}\backslash \bigcup_{1\leq j\leq p}\mathrm{V}_{z_{f})}\cup 12\}$ 222 J.P. DEMAILLY serait un ensemble analytique compact de dimension 1 ou 2. Pour tout $g\in \mathrm{H}(\Omega)$ on a donc $\nu_{\mathrm{K}}(g)\leq\nu_{\mathrm{K}_{1}}(g)$. D{\it e} plus $p$ ar constru ction, $\nu_{\mathrm{K}}(f)\geq\nu_{\mathrm{K}_{1}}(f)$, et $\mathrm{S}\cap \mathrm{K}_{1}=\Phi$. Soient $\mathrm{X}_{1}',\ \ldots,\ \mathrm{X}_{k}'$ les compo- santes connexes de $\mathrm{Z}_{f}\backslash \mathrm{S}$ qui rencontrent $\mathrm{K}_{1}$, et $\mathrm{L}_{j},\ 1\leq f\leq k$, un voisinage compact de $\mathrm{X}_{j}'\cap \mathrm{K}_{1}$ dans $\Omega$ tel que $\mathrm{Z}_{f}\cap \mathrm{L}_{j}=\mathrm{X}_{j}'\cap \mathrm{L}_{j}$. On prend $$ \mathrm{K}_{2}=\bigcup_{1\leq\int\leq k}\mathrm{L}_{j}, $$ de sorte que $\displaystyle \nu_{\mathrm{K}_{2}}(f)=\sum_{1\leq j\leq k}\nu_{\mathrm{L}_{j}}(f)=\nu_{\mathrm{K}_{1}}(f)$. Comme $\mathrm{K}_{2}$ est un voisinage de $\mathrm{Z}_{f}\cap \mathrm{K}_{1}$, on a $z\in \mathrm{K}_{1}\backslash \mathrm{K}_{2}f_{\mathrm{o}}|f(z)|>0$, donc $\mathrm{Z}_{g}\cap \mathrm{K}_{\mathrm{I}}\subset \mathrm{Z}_{g}\cap \mathrm{K}_{2}\circ$ lorsque $g$ tend v{\it ers} $f$, ce qui en traîne $$ \nu_{\mathrm{K}_{1}}(g)\leq\nu_{\mathrm{K}_{2}}(g)\leq\sum_{1\leq/\leq k}\nu_{\mathrm{L}_{f}}(g); $$ on voit qu il su {\it f}fit de prouver la semi-continuité des $\nu_{\mathrm{L}_{f}}$ en $f$. Pour simpli fier les notations, {\it o}n supprime l'indice $f$, {\it e}t on considère un compact $\mathrm{L}$ de $\Omega$ tel que $\mathrm{Z}_{f}\cap \mathrm{L}=\mathrm{X}'\cap \mathrm{L}$, où X {\it est} $1' u\mathrm{ne}$ des composantes connexes de la sous-variété lisse $\mathrm{Z}_{f}\backslash \mathrm{S}$ de dimension $n-1$. Soit $\mathrm{P}=\{w\in \mathrm{C}^{n};|w_{f}|<1, 1\leq I\leq n\}$ le polydisque unité de $\mathrm{C}^{n}$ On peut, par compacité de X' $\cap \mathrm{L}$, trouver {\it u}n nombre fini de cartes $\theta_{q}$ : $\mathrm{U}_{q}\rightarrow \mathrm{P}$, définies par $\theta_{q}(z)=(w_{1}(z)_{ }\ldots, w_{n}(z))$, où les $\mathrm{U}_{q}$ sont des ouverts de $\Omega$ recouvrant X' $\cap \mathrm{L}$, et pour lesquelles X' $\cap \mathrm{U}_{q}$ admet l'équation $w_{1}(z)=0$. On suppose également que $\mathrm{Z}_{f}\cap \mathrm{U}_{q}=\mathrm{X}'\cap \mathrm{U}_{q}$, et on désigne par $\pi_{q}:\mathrm{U}_{q}\rightarrow \mathrm{X}'\cap \mathrm{U}_{q} 1' \mathrm{appli}c\mathrm{ation}$ qui en coordonnées lo cales {\it s}'écrt $(w_{1}, w_{2^{ }},\ldots, w_{n})\rightarrow(0, w_{2^{ }},\ldots, w_{n})$. Comme $\mathrm{X}'$ est connexe, on peut toujours faire en sorte que $\displaystyle \bigcup_{q}\pi_{q}(\mathrm{U}_{q})$ soit connexe. Pour chaque couple $(q_{1}, q_{2})$ d'indices distin cts tels que $\pi_{q_{1}}(\mathrm{U}_{q_{2}})\cap\pi_{q_{1}}(\mathrm{U}_{q_{2}})\neq\Phi$, on choisit un point $$ z_{q_{1}q_{2}}\in\pi_{q_{1}}(\mathrm{U}_{q_{1}})\cap\pi_{q_{2}}(\mathrm{U}_{q_{2}}). $$ On pose $$ \mathrm{A}_{q}^{\epsilon}=\{z\in \mathrm{U}_{q};|w_{j}(z)|\leq 1-\epsilon, 1 \leq j\leq n\}, $$ $$ \mathrm{B}_{q}^{\epsilon}=\{z\in \mathrm{U}_{q};|w_{1}(z)|<\epsilon, |w_{i}(z)|\leq 1-\epsilon, 1 0$ assez petit d{\it e} manière que les conditions suivantes soient réalisées {\it p}our tous les couples $(q_{1}, q_{2})$ précédents : (5) $z_{q_{1}q_{2}}\in\pi_{q_{1}}(\mathrm{A}_{q_{1}}^{\epsilon})\cap\pi_{q_{2}}(\mathrm{A}_{q_{2}}^{\epsilon})$, (6) $\pi_{q_{1}}^{-1}(z_{q_{1}q_{2}})\cap \mathrm{B}_{q_{1}}\subset \mathrm{A}_{q_{2}}$, (7) $\displaystyle \mathrm{A}^{\epsilon}=\bigcup_{q}\mathrm{A}_{q}^{\epsilon}$ est un voisinage de X' $\cap$ L. Grâce à la propriété (7) et au fait que $\mathrm{Z}_{f}\cap \mathrm{A}^{\epsilon}=\mathrm{X}'\cap \mathrm{A}^{\epsilon}$, on voit que $\nu_{\mathrm{L}}\leq\nu_{\mathrm{A}}$ a{\it u} voisinage d{\it e} $f$ dan $s\mathrm{H}(\Omega)$, et que $\nu_{\mathrm{L}}(f)=\nu_{\mathrm{A}^{\epsilon}}(f)=$ multiplicité $m$ de $f$ sur X La démonstration sera achevée si nous prouvons que $\nu_{\mathrm{A}^{\epsilon}}(g)\leq m$ lo rsque (8) $\displaystyle \sup_{\mathrm{A}^{\epsilon}}|g-f|<\inf_{\mathrm{c}^{\epsilon}}|f|$ où $\displaystyle \mathrm{C}^{\epsilon}=\bigcup_{q}\mathrm{C}_{q}^{\epsilon}$ (noter que $\mathrm{Z}_{f}\cap \mathrm{C}^{\epsilon}=\emptyset$, donc $\displaystyle \inf_{\mathrm{c}^{\epsilon}}|f|>0$). Soit $\mathrm{Y}$ une composante irréductible de $\mathrm{Z}_{g}$ rencontrant $\mathrm{A}^{\epsilon}$, avec $\mathrm{Y}\cap \mathrm{A}_{q_{1}}^{\epsilon}\neq\emptyset$ par exemple. L'inégalité (8) entraîne que Y H $\mathrm{A}_{q_{1}}^{\epsilon}=\mathrm{Y}\cap \mathrm{B}_{q_{1}}^{\epsilon}$, donc pour tout $z\in\pi_{q_{1}}(\mathrm{A}_{q_{1}}^{\epsilon})$, le sous-ensemble analytique $\mathrm{Y}\cap \mathrm{B}_{q_{1}}^{\epsilon}\cap\pi_{q_{1}}^{-1}(z)$ du disque $\mathrm{B}_{q_{1}}^{\epsilon}\cap\pi_{q_{1}}^{-1}(z)$ est compact. Il en résulte que les fibres $\mathrm{Y}\cap \mathrm{B}_{q_{1}}^{e}\cap\pi_{q_{1}}^{-1}(z)$ sont discrètes, et comme $\dim \mathrm{Y}=\dim \mathrm{X}'=n-1,\ \pi_{q_{1}}(\mathrm{Y}\cap \mathrm{B}_{q_{1}}^{\epsilon})$ est $0$ uvert dans $\pi_{q_{1}}(\mathrm{B}_{q_{1}}^{\epsilon})=\pi_{q_{1}}(\mathrm{A}_{q_{1}}^{\epsilon})$. Mais d'autre $p$ art, $\pi_{q_{1}}(\mathrm{Y}\cap \mathrm{B}_{q_{1}}^{\epsilon})=\pi_{\mathrm{q}_{1}}(\mathrm{Y}\cap \mathrm{A}_{q_{1}}^{\epsilon})$ est une partie compacte non vide, donc $\pi_{\mathrm{q}_{1}}(\mathrm{Y}\cap \mathrm{B}_{q_{1}}^{\epsilon})=\pi_{q_{1}}(\mathrm{A}_{q_{1}}^{\epsilon})$ par connexité de $\pi_{\mathrm{q}_{1}}(\mathrm{A}_{q_{1}}^{\epsilon})$. D'après (5) et (6), pour tout indice $q_{2}$ tel que $\pi_{q_{1}}(\mathrm{A}_{q_{1}}^{\epsilon})\cap\pi_{q_{2}}(\mathrm{A}_{q_{2}}^{\epsilon})\neq\Phi$, on a $\mathrm{Y}\cap \mathrm{A}_{q_{2}}^{\epsilon}\neq\Phi$, donc aussi $\pi_{q_{2}}(\mathrm{Y}\cap \mathrm{B}_{q_{2}}^{\epsilon})=\pi_{q_{2}}(\mathrm{A}_{q_{2}}^{\epsilon})$ en répétant le même raisonnement. Il en résulte par connexité d{\it e} $\displaystyle \bigcup_{q}\pi_{q}(\mathrm{A}_{q}^{\epsilon})$ (hypothè {\it se} (5)) que pour tout indice $q$ on a $\pi_{q}(\mathrm{Y}\cap \mathrm{B}_{q}^{\epsilon})=\pi_{q}(\mathrm{A}_{q}^{\epsilon})$. Choisissons arbitrairement un indice $q_{0}$ et un point $h_{0}\in\pi_{q_{0}}(\mathrm{A}_{q_{0}}^{\epsilon})$. D'après le théorème de Rou ché et la condition (8), la fonction $g$ possède exactement $m$ zéros (comptés avec multiplicités) dans le disque $\mathrm{B}_{q_{0}}^{\epsilon}\cap\pi_{q_{0}}^{-1}(h_{0})$. Si $\mathrm{Y}_{1},\ \ldots,\ \mathrm{Y}_{r}$ sont les composantes 224 J.P. DEMAILLY irréductibles de $\mathrm{Z}_{g}$ qui coupent $\mathrm{A}^{\epsilon}$ (donc aussi $\mathrm{B}_{q_{0}}^{\epsilon}\cap\pi_{q_{0}}^{-1}(h_{0})$ en vertu de {\it c}e qui précède) et $m_{1},\ \ldots,\ m_{r}$ les multiplicités respec- tives de $g$ sur ces composantes, chaque point de $\mathrm{Y}_{I}\cap \mathrm{B}_{q_{0}}^{\epsilon}\cap\pi_{q_{0}}^{-1}(h_{0})$, $1\leq f\leq r$, cont ribue pour au moins $m_{f}$ zéros. Il vient par conséquent $$ \nu_{\mathrm{A}^{\epsilon}}(g)=m_{1}+\ldots+m_{r}\leq m. $$ La preuve $e$ st complète. {\it Remarque} 1. --Continuité de $\nu_{\mathrm{K}}$ II est facile de voir que $\nu_{\mathrm{K}}$ est continue en $f$ sous les hypo- thèses: (9) toute composante de $\mathrm{Z}_{f}$ qui coupe $\mathrm{K}$, coupe également $\mathrm{K}\circ$ ; (10) $\mathrm{Z}_{f}\cap \mathrm{K}$ ne comport $e$ que des points o{\it ù} l{\it e} germe de $\mathrm{Z}_{f}\mathrm{e}$ {\it s}t irréductible, et en lesquels $f$ a la multiplicité 1. Lorsque $\Omega$ est une variété de Stein de dimension $n\geq 2$, la condition (10) $\mathrm{e}$ {\it s}t néce ssaire pour que $\nu_{\mathrm{K}}$ soit continue en $f$; dans le cas $n=1$, la condition (9) est {\it e}n fait nécessaire et suffisante. PROPOSITION 2. --{\it Soient} $\Omega,\ \mathrm{K}$ {\it et} $f$ {\it comme dans la proposition} {\it 1}, $f$ {\it étant non nulle, et} $\mathrm{X}_{1}=\overline{\mathrm{X}}_{1}',\ \ldots,\ \mathrm{X}_{k}=\overline{\mathrm{X}}_{k}'$ {\it les composantes} {\it irréductibles de} $\mathrm{Z}_{f}$ {\it qui rencontrent} K. {\it Alors, pour tout ouvert} $\omega$ {\it de} $\Omega$ {\it qui rencontre chaque} $\mathrm{X}_{/}$, {\it les composantes irréductibles} {\it de} $\mathrm{Z}_{g}$ {\it qui coupent} $\mathrm{K}$, {\it rencontrent} $\omega$ {\it dès que} $g$ {\it est suffisamment} {\it voisine de} $f$. {\it Démonstration}. --On revient aux considérations précédentes, en supposant dans $ce$ qui suit que $g$ est prise s{\it u} ffisamment proche de $f$. Alors toute composante $\mathrm{Y}$ de $\mathrm{Z}_{g}$ telle que $\mathrm{Y}\cap \mathrm{K}\neq\Phi$ rencontre $\mathrm{L}=\mathrm{L}_{j}$ pour $j=1$ ou 2, . . . ou $k$. On choisit ensuite les $\mathrm{U}_{q}$ de sorte que $\omega \displaystyle \cap\bigcup_{q}\pi_{q}(\mathrm{U}_{q})\neq\emptyset$, c{\it e} qui est toujours pos- sible puisque X' est connexe. On prend en fin $ h_{0}\in\omega$, et $\epsilon$ assez petit pour que $h_{0}$ appartienne à un certain pavé $\mathrm{B}_{q_{0}}^{\epsilon}$, avec $\pi_{q_{0}}^{-1}(h_{0})\cap \mathrm{B}_{q_{0}}^{\epsilon}\subset\omega$. 3. Démonstration d{\it u} théorème. Soit $\mathrm{E}$ l'espace de Fréchet des fonAlors entières $g$ telles que les semi-normes CONSTRUCTION D HYPERSURFACES IRREDUCTIBLES 225 (11) $p_{j}(g)=\displaystyle \sup_{z\in \mathrm{C}^{n}}|g(z)|e^{-\frac{1}{j}\varphi({\rm Log}|z|)},\ j=1$, 2, $\ldots$ soient fnies. Notons $\mathrm{B}_{p}$ la boule fermée de centre $0$ et de rayon $p,\ (\mathrm{K}_{p})_{p\in \mathrm{N}}$ une suite exhaustive d{\it e} compacts de $\mathrm{C}^{n}\backslash \mathrm{S}$, et $\mathrm{U}_{p}$ (resp. $\mathrm{V}_{p}$) l'ensemble d{\it e} fc-uplets $g=(g_{1}, \ldots, g_{k})\in \mathrm{E}^{k}$ tels que, si $\displaystyle \mathrm{F}=\sum_{l=1}^{k}f_{j}g_{j}$, tous les points de $\mathrm{Z}_{\mathrm{F}}\cap \mathrm{K}_{p}$ soient réguliers pour $\mathrm{F}$ (r{\it e} s{\it p}. $\nu_{\mathrm{B}_{p}}(\mathrm{F})\leq 1,\ c' e$ st-à-dire q{\it u} une composante irréductible au plus de $\mathrm{Z}_{\mathrm{F}}$ rencontre $\mathrm{B}_{p}$, composante sur laquelle $\mathrm{F}$ a la mul- tiplicité 1). D'après la proposition 1, $\mathrm{V}_{p} \mathrm{e}$ {\it s}t ouvert, et il en est de même trivialement pour $\mathrm{U}_{p}$. Si l'on montre que $\mathrm{U}_{p}$ et $\mathrm{V}_{p}$ sont denses dans $\mathrm{E}^{k}$, le théorème de Baire entraînera que $\cap (\mathrm{U}_{p}\cap \mathrm{V}_{p})$ est $$ p\in \mathrm{N} $$ dense, d'où la conclusion. {\it Densité de} $\mathrm{U}_{p}$ Il suffit de prouver que $1' \mathrm{ens}e\mathrm{mble}$ fermé des $a= (a_{1^{ }},\ldots, a_{k})\in \mathrm{C}^{k}$ tels que $(g_{1}+a_{1^{ }},\ldots, g_{k}+a_{k})$ n'appartie nne pas à $\mathrm{U}_{p}$ est négli- geable, {\it e}t pour cela, que l'ensemble des $a$ tels que la fonction $$ \mathrm{F}_{a}=\sum_{/=1}^{k}f_{j}(g_{j}+a_{;}) $$ ait un point critique sur $\mathrm{Z}_{\mathrm{F}_{a}}\backslash \mathrm{Z}_{f_{j}}$, est négligeable quel que soit $j,\ 1\leq f\leq k$: {\it e}n effet $\displaystyle \mathrm{Z}_{f_{a}}\cap \mathrm{K}_{p}\subset\bigcup_{11$, sont deux à deux dis- tin cts, et non contenus dans YU $\mathrm{Z}_{\mathrm{F}_{2}}$. Pour chaque $j>1$, on séle ctionne un point $\chi_{f}\in \mathrm{H}_{1}\cap \mathrm{H}_{j}$ tel que (16) $x_{j}\displaystyle \not\in \mathrm{Y}\cup \mathrm{Z}_{\mathrm{r}_{2}}\cup\bigcup_{11$, on peut grâce à (16) trouver des coordonnées locales $(w_{1^{ }},\ldots , w_{n})$ telles que $\prime w_{1}=\displaystyle \frac{1}{2}\frac{\mathrm{F}_{1}+\alpha \mathrm{F}}{\mathrm{F}_{2}}2\prod_{11)$ un voisinage ouvert de $z_{f}$ (resp. $x_{f}$), tel que les coordonnées $(w_{1^{ }},\ldots, w_{n})$ réalisent un isomorphisme d{\it e} $\omega_{z_{j}}$ ({\it r}esp. $\omega_{x_{f}}$) sur l{\it e} polydisque $\mathrm{P}_{\delta}=\{w\in \mathrm{C}^{n} ; |w_{j}|<\delta, 1\leq f\leq n\}$ d{\it e} $\mathrm{C}^{n}$ Dans les ouverts $\omega_{z_{f}}$ et $\omega_{x_{f}},\ \mathrm{Z}_{\mathrm{G}_{\epsilon}}$ admet l'équation $w_{1}w_{2}+\epsilon=0$, donc pour $0<|\epsilon|<\delta^{2},\ \mathrm{Z}_{\mathrm{G}_{\epsilon}}\cap\omega_{z_{f}}$ et $\mathrm{Z}_{\mathrm{G}_{\epsilon}}\cap\omega_{x_{f}}$ sont irréductibles. Par ailleurs $\mathrm{Z}_{\mathrm{G}_{0}}$ admet l'équation $w_{1}w_{2}=0$, où $w_{1}=0$ représente Phy perplan $\mathrm{H}_{j}$, et $w_{2}=0 1' \mathrm{hypersurface}$ $\mathrm{Y}$ (d{\it ans} $\omega_{z_{f}}$), ou $1' hyper\mathrm{planH}_{1}$ (dans $\omega_{x_{f}}$). On {\it p}eut donc choisir des compacts $\mathrm{L}_{/}$. de $\omega_{z_{f}}$ et $\mathrm{M}_{j}$ de $\omega_{x_{j}},\ f>1$, t{\it els} que $\mathrm{Z}_{\mathrm{G}_{0}}\cap \mathrm{L}_{j}=\mathrm{H}_{j}\cap \mathrm{L}_{j}$ et $\mathrm{H}_{j}\cap \mathrm{L}_{j}\circ\neq\emptyset$, $\mathrm{Z}_{\mathrm{G}_{0}}\cap \mathrm{M}_{j}=\mathrm{H}_{1}\cap \mathrm{M}_{/}$ et $\mathrm{H}_{1}\cap \mathrm{M}_{j}\circ\neq\emptyset$, et il est clair que l'hyperbole $w_{1}w_{2}+\epsilon=0$ rencontre $\mathrm{L}_{j}$, ou $\mathrm{M}_{j}$ selon le cas, dès que $\epsilon$ est assez petit. On applique maintenant trois fois consé cutives la proposition 2 avec $\Omega=\mathrm{C}^{n},\ f=\mathrm{G}_{0},\ g=\mathrm{G}_{\epsilon}$, où $\mathrm{K},\ \{\mathrm{X}_{1^{ }},\ldots, \mathrm{X}_{k}\}$ {\it e}t $\omega$ sont r{\it e} mplacés par $$ \mathrm{B}_{p},\ \{\mathrm{Y}_{1^{ }},\ldots, \mathrm{Y}_{r}\},\bigcup_{1\leq f\leq r}\omega_{z_{f}}; $$ $\mathrm{L}_{j}$ , $\{\mathrm{H}_{j}\}$ , $\omega_{x_{f}}$ pour $j>1$; $\mathrm{M}_{j}$ , $\{\mathrm{H}_{1}\}$ , $\omega_{z_{1}}$ pour $f>1$. Si $\epsilon\neq 0$ est assez petit, {\it e}t si $\mathrm{T}$ est une composante irréduc tible de $\mathrm{Z}_{\mathrm{c}_{\epsilon}}$ qui rencontre $\mathrm{B}_{p}$, on obtiendra su ccessivement {\it les} consé$\sim$ qu {\it e}n ces (16), (18), (19) ci-d essous : 228 J.P. DEMAILLY (17) $\mathrm{T}$ rencontre $\displaystyle \bigcup_{1\leq j\leq},.\ \omega_{z_{j}}$; supposons que $\mathrm{T}\cap\omega_{z_{f}}\neq\Phi$ pour $f>1$ ; alors $$ \mathrm{T}\cap \mathrm{L}_{j}=\{w_{1}w_{2}+\epsilon=0\}\cap \mathrm{L}_{j}\neq\Phi; $$ (18) $\mathrm{T}\cap\omega_{x_{j}}\neq\Phi$, donc $\mathrm{T}\cap \mathrm{M}_{j}=\{w_{1}w_{2}+\epsilon\}\cap \mathrm{M}_{j}\neq\Phi$ ; \begin{center} (19) $\mathrm{T}\cap\omega_{z_{1}}\neq\emptyset$. \end{center} Dans tous les cas, on voit que $\mathrm{T}\cap\omega_{z_{1}}\neq\emptyset$ ; comme $\mathrm{Z}_{\mathrm{G}_{\epsilon}}\cap\omega_{z_{1}}=\{w_{1}w_{2}+\epsilon=0\}\cap\omega_{z_{1}}$ est irréductible et que $\mathrm{G}_{\epsilon}=(w_{1}w_{2}+\epsilon)\mathrm{F}_{2}y$ a la multiplicité 1, $\mathrm{Z}_{\mathrm{c}_{\epsilon}}$ possède au plus une composante $\mathrm{T}$ rencontrant $\mathrm{B}_{p}$, sur laquelle $\mathrm{G}_{\epsilon}$ a nécessai- rement la multiplicité 1 ; par définition $\mathrm{G}_{\epsilon}$ appartient à $\mathrm{V}_{p}$. Ecrivons maintenant $\displaystyle \mathrm{G}_{\epsilon}=\sum_{j^{=}1}^{k}f_{j}g_{j.\epsilon}$ avec $g_{j.\epsilon}=\displaystyle \frac{1}{2}((g_{j}+a_{j}^{1})+\alpha(g_{j}+a_{j}^{2}))\prod_{\mathrm{s}=1}^{k}(1-\frac{\langle zu_{s}\rangle}{\mathrm{t}z_{s}',u_{s}\rangle})+\epsilon(g_{j}+a_{j}^{2})$; on fait tendre {\it a et} $a^{2}$ vers $0,\ \alpha$ vers 1, $z_{s}$ vers $\infty$, {\it e}t $e$ vers $0$. Il résulte de (1) et de la défnition de $\mathrm{E}(c\mathrm{f}.$ (11) $)$ que dans $\mathrm{E}$ la multiplication par un polynôme $e$ st continue. On vérifie enfin, en utilisant la relation (12) $|u_{s}-z_{s}|\leq 1$, que $g_{j,\epsilon}$ tend vers $g_{j}$, d'où la densité de $\mathrm{V}_{p}$. {\it Remarque 2}. --La démonstration révèle en fait que les {\it k}-u plets d{\it e} fonctions $(g_{1}, \ldots, g_{k})\in \mathrm{E}^{k}$ satisfaisant aux conclusions (2) {\it e}t (3) du théorème constituent un $\mathrm{G}_{\delta}$ dense dans $\mathrm{E}^{k}$ Le quatrième paragraphe est consacré à $1' \mathrm{appli}c\mathrm{ation}$ du théo- rème au contre-exemple annoncé dans l'introduction. 4. Exem ple de courbe irréduc tible d'ordre $0$, ayant {\it u}n lieu singulier d'ordre infni. Rappelons d'abord brèvement l'exemple de Comalba-Shiffman [1]. On choisit une suite de nombres complexes distincts non nuls, $a_{n}$, tendant très vite v{\it ers} $\infty$, et on pose CONSTRUCTION D HYPERSURFACES IRREDUCTIBLES 229 $$ f_{1}(z_{1})=\frac{1}{2}\prod_{n=0}^{\infty}(1-\frac{z_{1}}{a_{n}}),\ h_{n}(z_{1})=\frac{f_{1}(z}{1-\frac{1z_{1})}{a_{n}}}; $$ on détermine ensuite, étant donné une suit $e$ quelconque $(k_{n})$ d'entie {\it r}s, une suite $(\epsilon_{n})$ d{\it e} complexes non nuls, tels qu en dé finissant l{\it e} poly- nôme $\mathrm{P}_{k}$ par $$ \mathrm{P}_{k}(z_{2})=\prod_{f=1}^{k}\ \left(\begin{array}{ll} & 1\\ & --\\ z_{2} & j \end{array}\right), $$ la série $f_{2}(z_{1}, z_{2})=\displaystyle \sum^{\infty} \epsilon_{n}h_{n}(z_{1})\mathrm{P}_{k_{n}}(z_{2})$ soit convergente. L'{\it e}n- semble analytique $$ n\ =0 $$ $$ \mathrm{S}=\{(z_{1}, z_{2})\in \mathrm{C}^{2} ;f_{1}(z_{1})=f_{2}(z_{1}, z_{2})=0\} $$ est l'ensemble des points de coordonnées $$ z_{1}=a_{n},\ n\in \mathrm{N},\ z_{2}\in\{1,\ \frac{1}{2},\ \ldots,\frac{1}{k_{n}}\}. $$ La croissance d{\it e} $f_{1}$ est aussi lente qu on v{\it eut}, pourvu que la suite $(a_{n})$ tende vers $\infty$ asse $\mathrm{z}$ vite; on choisit alors $k_{n}$ très grand {\it e}t $\epsilon_{n}$ très petit d{\it e} sorte que $f_{2}$ soit à croissan $ce$ lente {\it e}t $\mathrm{S}$ à crois- {\it sance} très rapide. D{\it e} façon {\it pré c}ise, on obtient la $\mathrm{PROK})\mathrm{SITION} 3$ (Comalba-Shi ffman [1]). --{\it Pour toute fonc}- {\it tion croissante positive} $\varphi$ {\it vérifiant} ({\it 1}), {\it et toute fonction} $\psi$ : $\mathrm{R}\rightarrow[0, +\infty 1$ {\it croissante, on peut trouver} $f_{1}$ {\it et} $f_{2}$ {\it telles que} $$ {\rm Log}|f_{1}(z_{1})|\leq\varphi({\rm Log}|z_{1}|), $$ $$ {\rm Log}|f_{2}(z_{1}, z_{2})|\leq\varphi({\rm Log}|z|), $$ $et$ Card $\{w \mathrm{GS}; |w|\leq r\}\geq\psi(r)$, {\it quels que soient} $z=(z_{1}, z_{2})\in \mathrm{C}^{2}$ {\it e}t $r\geq 0$. On remarquera que par construction, l{\it e} jacobien d{\it e} $(f_{1}, f_{2})$ est non nul aux points d{\it e} S. D'après l{\it e} théorème, on p{\it eut} trouver $\mathrm{d}$ {\it e}s fonc tions $g_{1}$ {\it e}t $g_{2}$ telles que $f=f_{1}^{P_{1}}g_{1}+f_{2}^{p_{2}}g_{2}$ soit irré- ductible $(\mathrm{o}\text{ù} 2 \leq p_{1}\leq p_{2})$, telles que $\mathrm{S}$ soit l'{\it e}nse mble des points singuliers d{\it e} $\mathrm{Z}_{f}$, et telles que $$ {\rm Log}(|g_{1}(z)|+|g_{2}(z)|)\leq\varphi({\rm Log}|z|). $$ 1 230 J.P. DEMAILLY La r{\it e} marque 2 montre qu on peut même imposer $g_{1}\neq 0$, $g_{2}\neq 0$ aux $p$ oints d{\it e} S. Il vient ${\rm Log}|f(z)|\leq(1+p_{2})\varphi({\rm Log}|z|)$, et $\mathrm{Z}_{f}$ admet {\it e}n tout {\it point} de $\mathrm{S}$ l'équation lo {\it c}ale \begin{center} (20) $w_{1}^{p_{1}}+w_{2}^{p_{2}}=0$ \end{center} $(_{\mathrm{a}\mathrm{v}ec}$ les coordonnées $w_{1}=f_{1}g^{\frac{1}{p_{1}1}},\ w_{2}=f_{2}g_{2}^{\frac{1}{p_{2}}})$, équation irré- ductible ou non suivant que les entiers $p_{1},\ p_{2}$ sont $\mathrm{pr}e$ miers entre {\it eux} ou non. On voit {\it e}n particulier que la {\it c}ourbe irréductible $\mathrm{Z}_{f}$ {\it d}'{\it ordre} $0$ peut avoir tous s{\it e} $\mathrm{s}$ points singuliers multiple $\mathrm{s}$. Quitte remplacer $\varphi p$ ar $\displaystyle \frac{\varphi}{1+p_{2}}$, on obtient la Proposition 4. --{\it Si} $\varphi,\ \psi$ {\it sont les poids de la proposition 3}, {\it il existe une fonction entière irréductible} $f$ {\it dans} $\mathrm{C}^{2}$ {\it telle que} (21) ${\rm Log}|f(z)|\leq\varphi({\rm Log}|z|)$, (22) {\it l}'{\it ensemble} $\mathrm{S}$ {\it des poin} $ts$ {\it singuliers de} $\mathrm{Z}_{f}$ {\it vérifie la mino}- {\it ration} Card $\{z\in \mathrm{S};|z|\leq r\}\geq\psi(r)$, (23) $\mathrm{Z}_{f} a$ {\it au voisinage des points singuliers Véquation} (20) $$ w_{1}^{p_{1}}+w_{2}^{p_{2}}=0. $$ {\it Remarque 3}. --Des modifications évid entes dans la constru {\it c}- tion d{\it e} $f_{1}$ {\it e}t $f_{2}$ permettraient de faire varier $(p_{1}, p_{2})$ à volonté. 5. Applications à l'analyse $\mathrm{h}$ armoniq {\it u}e. $\Phi(\mathrm{R}^{n})$ (r{\it e} s{\it p}. @ $(\mathrm{R}^{n})$) désignera comme $\mathrm{d}' h$ abitude l'algèbre d{\it e} convolution des fonctions indéfniment différentiables ({\it r}esp. {\it des} distributions) à support compact. A toute distribution $u\in@'(\mathrm{R}^{n})$, on associe sa transformée d{\it e} Fourier-Laplace {\it û}$\in$H(C{\it n}) dé finie par $\text{{\it û}}(z)=u_{X}(e^{-i\langle x,z\rangle})$. La classe des transformées d{\it e} Fourier-La place des éléments d{\it e} $\Phi(\mathrm{R}^{n})$ {\it e}t d{\it e} $@'(\mathrm{R}^{n})$ est caractérisée par l{\it e} théorème bien connu d{\it e} Paley-Wien {\it e}r : {\it Une fonction entière} $f$ {\it est transformée de Fourier-Laplace} {\it d}'{\it une fonction de} $\Phi (\mathrm{R}^{n})$ ({\it resp. d}'{\it une distribution de} @ $(\mathrm{R}^{n})$) {\it à} CONSTRUCTION D'HYPERSURFACES IRREDUCTIBLES 231 {\it support dans la boule fermée de centre} $0$ {\it et de rayon} $\mathrm{A}$, {\it si et seu}- {\it lement si pour tout entier} $\mathrm{N}\geq 0$, {\it il existe une constante} $\mathrm{C}_{\mathrm{N}}$ {\it telle} {\it que} (24) $|f(z)|\leq \mathrm{C}_{\mathrm{N}}(1+|z|)^{-\mathrm{N}}$ {\it exp} $(\mathrm{A}| \mathrm{I}m z|)$, {\it respectivement, s}'{\it il existe un entier} $\mathrm{N}$ {\it et une constante} $\mathrm{C}$ {\it tels que} (25) $|f(z)|\leq \mathrm{C}(1+|z|)^{\mathrm{N}}$ exp $(\mathrm{A}| \mathrm{I}m z|)$. L{\it e} théorème du \S 1 admet dans {\it c}e contexte la traduction partielle suivante. Proposition 5. --{\it Soient} $u_{1},\ \ldots$ , $u_{k}$ {\it des distributions à support} {\it compact dans} $\mathrm{R}^{n} (o\text{{\it ù}} n\geq 2)$, {\it telles que les tmnsformées de Laplace} $\hat{u}_{1},\ \ldots,\ \hat{u}_{k}$ {\it aient un ensemble de zéros communs de codimension} $\geq 2$ {\it en tout poin} $t$. {\it Alors il existe des fonctions} $v_{1},\ \ldots$ , $v_{k}$ {\it dans} $\Phi(\mathrm{R}^{n})$ {\it telles que la fonction} $\displaystyle \mathrm{V}=\sum_{j=1}^{k}u_{I}*v_{f}$ {\it soit irréductible dans} {\it Vanneau} $8'(\mathrm{R}^{n})$. {\it Pour tout compact} $\mathrm{K}_{j}$ {\it de} $\mathrm{R}^{n}$ {\it d}'{\it in térieur non vide}, $1\leq I\leq k$, {\it l}'{\it ensemble des solutions} $(v_{1^{ }},\ldots , v_{k})\in\omega(\mathrm{K}_{1})\times\ldots\times$ CD $(\mathrm{K}_{k})$, {\it où} $v_{I}$ {\it est à support dans} $\mathrm{K}_{f}$, {\it est de seconde catégorie}. Comme les seuls éléments inversible $\mathrm{s}$ de $@'(\mathrm{R}^{n})$ sont les m{\it e} s{\it ure} $\mathrm{s}$ d{\it e} Dirac $\delta_{a},\ a\in \mathrm{R}^{n}$, {\it e}t leurs multiples scalaire $\mathrm{s}$, lesquels n'appar- tiennent pas à $\omega(\mathrm{R}^{n})$, on retrouve l{\it e} COROLLAIRE 2 (Rubel -- Squire $\mathrm{s}-$ Taylor [3] pour $n\geq 3$, Dixmier -- Malliavin [2] pour $n=2$). $-\Phi(\mathrm{R}^{n})*\omega(\mathrm{R}^{n})\neq\omega(\mathrm{R}^{n})$ {\it pour} $n\geq 2$. {\it Démonstration de la proposition 5}. --Soient $w_{1},\ \ldots,\ w_{k}$ des fonctions non nulles d{\it e} $\varpi(\mathrm{B})$, où $\mathrm{B}$ est la boule d{\it e c}entre $0$ et de ray on A. On peut supposer que (26) les fonctions {\it û}l $\hat{w}_{1},\ \ldots$, {\it ûk} $\hat{w}k$ ont un ensemble de zéros communs d{\it e} codimension $\geq 2$ en tout {\it point}. Si (26) {\it n}'{\it est pas} vrai, on remplace $w_{j}$ par $w_{j}'(x)=w_{j}(x)$ exp $(i\langle a_{j}, x \rangle),\ a_{j}\in \mathrm{C}^{n}$, de sorte que $\hat{w}_{j}'(z)=\hat{w}_{f}(z-a_{j})$. L'{\it hypothèse} (26) relative aux {\it f}onc Alors $w_{j}'$ signifie que pour tout $j\neq s$ on a 232 J.P. DEMAILLY (26') codim $(a_{j}+\mathrm{Z}_{\hat{w}_{j}})\cap \mathrm{Z}_{\hat{\mathrm{u}}_{S}}=$ codim $(a_{j}+\mathrm{Z}_{\hat{w}_{f}})\cap(a_{s}+\mathrm{Z}_{\hat{w}_{s}})=2$. Choisissons sur chaque composante irréductible de $\mathrm{Z}_{\hat{w}_{f}}$ un point $q_{j,p} (\mathrm{o}\text{ù} p\in \mathrm{N})$. Il est clair que $(26') \mathrm{e}$ st réalisé dès que $(a_{1^{ }},\ldots, a_{k})$ est en dehors d{\it e} la réunion (dénombrable) des {\it e}n- sembles analytiques dans $(\mathrm{C}^{n})^{k}$ dé finis par l'une des conditions $a_{j}+q_{j,p}\in \mathrm{Z}_{\hat{\mathrm{u}}_{S}}$ , $a_{j}-a_{s}+q_{j,p}\in \mathrm{Z}_{\hat{w}_{s}}$ , $f\neq s,\ p\in$ N. Par conséquent (26') {\it est} vrai pour un ensemble dense de $(a_{1^{ }},\ldots, a_{k})\in(\mathrm{C}^{n})^{k}$ D`après (24), il existe pour tout entier $\mathrm{N}$ une constante $\mathrm{C}_{\mathrm{N}}$ telle que (en revenant à la notation $w_{f}$) (27) $|\hat{w}_{f}(z)|\leq \mathrm{C}_{\mathrm{N}}(1+|z|)^{-\mathrm{N}}\exp(\mathrm{A}| \mathrm{I}m z|),\ f=1,\ \ldots$ , $k$. On peut naturellement supposer en outre que $\displaystyle \lim_{\mathrm{N}\rightarrow+\infty}\frac{{\rm Log} \mathrm{C}_{\mathrm{N}}}{\mathrm{N}}=+\infty$, {\it ce} qui permet de définir une application croissante positive $\varphi$ : $\mathrm{R}\rightarrow$ Rp {\it a}r (28) $\displaystyle \varphi(t)=\frac{1}{2}\mathrm{N}\in \mathrm{suR}(\mathrm{N}t -{\rm Log}\displaystyle \frac{\mathrm{C}_{\mathrm{N}}}{\mathrm{C}_{0}})$. On a $\displaystyle \lim_{\rightarrow t+}\inf_{\infty}\frac{\varphi(t)}{t}\geq\sup_{\mathrm{N}\in \mathrm{N}}\frac{\mathrm{N}}{2}=+\infty$ donc la condition (1) {\it est} satisfaite. D'après le théorème du \S 1, il existe des fonctions entières $g_{1},\ \ldots,\ g_{k}$ telles que la fonction $\displaystyle \mathrm{F}=\sum_{j=1}^{k}\hat{u}_{f}\hat{w}_{f}g_{j}$ soit irréductible, {\it e}t qui satisfont {\it à} la majoration (29) ${\rm Log}|g_{j}(z)|\leq\varphi({\rm Log}|z|)$. Il résulte aisément d{\it e} (27), (28) {\it e}t (29) que \begin{center} ${\rm Log}|\hat{w}_{f}(z)|\leq{\rm Log} \mathrm{C}_{0}-2\varphi ({\rm Log}|z|)+\mathrm{A}|$ I$m z|$, $$ {\rm Log}|\hat{w}_{f}(z)g_{j}(z)|\leq{\rm Log} \mathrm{C}_{0}-\varphi({\rm Log}|z|)+\mathrm{A}|\mathrm{I}mz|. $$ \end{center} L{\it e} théorème d{\it e} Pal {\it ey}-Wi {\it e}ner montre qu il existe une fonction $v_{f}\in\omega(\mathrm{B})$ telle que $\hat{v}_{f}=\hat{w}_{f}g_{j}$. Si l'on dé finit $\displaystyle \mathrm{V}=\sum_{j=1}^{k}u_{f}*v_{j}$, alors $\hat{\mathrm{V}}=\mathrm{F}$ est irréductible dans $\mathrm{H}(\mathrm{C}^{n})$, par conséquent V est irréductible dans $\mathrm{g}'(\mathrm{R}^{n})$, car les seule $\mathrm{s}$ fonctions entières inver- sibles vérifiant (25) sont les exponentielles $\lambda \exp(-i\langle a, z\rangle)$, CONSTRUCTION D'HYPERSURFACES IRREDUCTIBLES 233 $a\in \mathrm{R}^{n}$, correspondant $\mathrm{p}$ {\it a}r la transformation d{\it e} Fourier-Laplace aux m{\it e} sures d{\it e} Dirac $\lambda\delta_{a}$. Faisons maintenant tendre $a_{j}$ vers $0$ dans $\mathrm{C}^{n}$, {\it e}t $g_{j}$ vers 1, $g_{j}$ satisfaisant de plus à (29) ({\it cf}. remarque 2); on obtient l{\it a} densité des $(v_{1^{ }},\ldots, v_{k})$ dans $\omega(\mathrm{B})^{k}$ Si $\mathrm{K}_{1},\ \ldots,\ \mathrm{K}_{k}$ sont des parties compactes de $\mathrm{H}^{n},\ \mathrm{K}_{j}\circ\neq\emptyset$, l'{\it e}nse mble des {\it k}-uplets $$ (v_{1^{ }},\ldots, v_{k})\in\omega(\mathrm{K}_{1})\mathrm{x}\ldots\times\omega(\mathrm{K}_{k}) $$ tels que la fonction V $=\displaystyle \sum_{j=1}^{k}u_{j}*v_{f}$ ait une transformée $\hat{\mathrm{V}}$ irréduc- tible dans $\mathrm{H}(\mathrm{C}^{n})$, {\it est} un $\mathrm{G}_{\delta}$ (utiliser la proposition 1 et la conti- nuité d{\it e} la transformation d{\it e} Laplace). Vérifions brèvement que {\it ce} $\mathrm{G}_{\delta}$ est dense. Pour tout $\epsilon>0$, désignons par $(\mathrm{K}_{j})_{\epsilon}$ la partie compacte $\{x\in \mathrm{K}_{j} ; d(x, \mathrm{C} \mathrm{K}_{j})\geq\epsilon\}\subset \mathrm{K}_{j}\circ$ ; soit $\rho\in\Phi(\mathrm{R}^{n})$ une fonction positive d'intégrale 1, à su pport dans la boule de centre $0$ {\it e}t d{\it e} rayon $\displaystyle \frac{1}{3}$, {\it e}t posons $\displaystyle \rho_{j,\epsilon}(x)=\int_{y\in(\mathrm{K}_{j})_{\frac{2\epsilon}{3}}} \displaystyle \rho(\frac{y-x}{\epsilon})\frac{dy}{\epsilon^{n}}$ La fonction $\rho_{f.\epsilon}\in\Phi(\mathrm{R}^{n})$ a les propriétés suivantes: (30) $\rho_{j,\epsilon}=1$ sur $(\mathrm{K}_{j})_{\epsilon}$ , {\it Supp} $(\rho_{j.\epsilon})\subset(\mathrm{K}_{j})_{\frac{\epsilon}{3}}$; (31) pour tout multi-indice $\alpha\in \mathrm{N}^{n}$, il existe une constante $\mathrm{C}_{\alpha}$ indépendante de $\epsilon$ telle que $$ |\mathrm{D}^{\alpha}\rho_{j,\epsilon}(x)|\leq \mathrm{C}_{\alpha}d(x, \mathrm{C} \mathrm{K}_{f})^{-|\alpha|} $$ Il résulte {\it fac} ilement d{\it e} $(30_{\circ})$, (31) qu étant donné $v_{f}\in\Phi(\mathrm{K}_{f})$ la fonction $v_{f,\epsilon}=v_{f}\rho_{f,\epsilon}\in\omega(\mathrm{K}_{f})$ tend v{\it ers} $v_{f}$ dans $\omega(\mathrm{K}_{f})$ quand $\epsilon\rightarrow 0$. On peut comme {\it c}i-dessus remplacer $v_{j,\epsilon}$ par une {\it f}onc- tion voisine $v_{i\epsilon}'$. telle que $\hat{u}_{1}\hat{v}_{1,\epsilon}',\ \ldots,\ \hat{u}_{k}\hat{v}_{k,\epsilon}'$ aient un ensemble de zéros communs d{\it e} codim ension $\geq 2$. D'après {\it c}e que nous avons déjà démontré, il existe des approximations $w_{1},\ \ldots,\ w_{k}$ d{\it e} $\delta_{0}$ dans $\Phi(\mathrm{R}^{n})$ telles que la fonction V $=\displaystyle \sum_{j=1}^{k}\mathcal{U}_{f}*v_{j,\epsilon}'*\mathcal{W}_{f}$ soit irré- ductible. La preuve s'achève en faisant tendre $v_{j,\epsilon}'$ vers $v_{f}$, et $w_{l}$ v{\it e} rs $\delta_{0}$. {\it Remarque 4}. --Dans le cas $n=1$, la situation est tout à fait différente. Il est {\it a}isé d{\it e} voir, {\it e}n utilisant la factorisation canonique d{\it e} Weierstrass-Hadamard des fonctions entières (29), que tout élé- ment d{\it e} $\omega(\mathrm{R})$ est {\it réductible} dans @ (R). Par contre, le problème 234 J.P. DEMAILLY d{\it e} savoir si $\omega$ ({\it R})$*$6Ê)(R) $=$6É)(R) semble non résolu à c{\it e} jour $(c\mathrm{f}$. [2], [3] pour plus de détails). {\it Remarque 5}. --La proposition 5 repose sur le fait que pour toute distribution V $\in$ ê'({\it Rn}), 1'irréductibilité de $\hat{\mathrm{V}}$ dans $\mathrm{H}(\mathrm{C}^{n})$ entraîne 1'irréduc tibilité de V dans $@^{i}(\mathrm{R}^{n})$. Il {\it est} nature 1 de se demander {\it s}i $1' \mathrm{implication}$ réciproque $e$ st vraie. La réponse est affir- mative si $n=1$, négative si $n\geq 2$. PROPOSITION 6.-{\it Il existe une famille} $(\mathrm{V}_{\lambda})_{\lambda\in C}$, {\it dépendant} {\it analytiquement de} X, {\it de fonctions irréductibles dans l}'{\it anneau} $@'(R^{n})$, {\it premières entre elles deux à deux, telles que les transfor}- {\it mées de Laplace} $\hat{\mathrm{V}}_{\lambda}$ {\it aient un facteur commun} H G $\mathrm{H}(\mathrm{C}^{n})$ {\it non} {\it inversible. De plus}, (32) {\it la décomposition en facteurs irréductibles}, $lorsquelle$ {\it existe}, {\it n}'{\it est pas unique en général dans} @ $(R^{n})$. {\it Démonstration}. --On considère la fonction d'une variable $$ g(z_{1})=\frac{1}{\Gamma(z_{1})}=z_{1}e^{\mathrm{C}z_{1}}\prod_{s=1}^{\infty}(1+\frac{z_{1}}{s})e^{-\frac{z_{1}}{s}} $$ II est classique que $g$ est une fonction entière d'ordre 1 qui n'est pas d{\it e} type exponentiel, et d'après la formule de Stirling $g$ possède la majoration (33) $|g(z_{1})|\displaystyle \leq \mathrm{Ct}e.(\frac{|z_{1}|}{e})^{\frac{1}{2}-\mathrm{R}ez_{1}}e^{\frac{\pi}{2}}$ 11 $mz_{1}|$ On déduit aisément d{\it e} (33) que pour tout $\lambda \in \mathrm{C}$ la fonction $z_{1}\rightarrow g(z_{1})g(\lambda-z_{1}) e$ st dans l'{\it e}space $\hat{@'(R)}$ des transformées d{\it e} La place. Un raisonnement analogue à celui de la proposition 5 fournit, pour toute boule fermée $\mathrm{B}$ de centre $0$, des éléments $u,\ u'$ de $\omega(\mathrm{B})$ tels que la fonction $\mathrm{H}$ ($z_{1},\ \ldots$, {\it zn})$=${\it û} $(z_{1^{ }},\ldots, z_{n})g(z_{1}) +${\it û}' $(z_{1}, \ldots, z_{n})g\left(\begin{array}{l} 1\\ z_{1}+-2 \end{array}\right)$ soit irréduc tible dans $\mathrm{H}(\mathrm{C}^{n})$. Montrons tout d'abord {\it que} $\mathrm{H}$ n'est pas de t{\it ype} exponentiel. Fixons $(z_{2}^{0_{ }},\ldots , z_{n}^{0})\in \mathrm{C}^{n-1}$ d{\it e} manière CONSTRUCTION D'HYPERSURFACES IRREDUCTIBLES 235 que la fonction $h(z_{1})=\mathrm{H}(z_{1}, z_{2}^{0}, \ldots, z_{n}^{0})$ ne soit pas identique- ment nulle. De (33) on tire la majoration $|h(z_{1})|\leq$ Cte. $(\displaystyle \frac{|z_{1}|}{e})-\mathrm{R}ez_{1} \mathrm{exp}.\ ((\displaystyle \frac{\pi}{2}+\mathrm{A})|$ I{\it m} $z_{1}|)$ (où A désigne le ray on de la boule B), montrant ain {\it s}i que $|h(z_{1})|$ tend vers $0$ très rapidement lorsque $z_{1}$ tend vers $\infty$ dans le se {\it cteur} angulaire $|\mathrm{Arg}z_{1}|\leq\pi/4$. Si $h$ était d{\it e} t{\it y} pe exponentiel, on en déduirait $\displaystyle \lim_{r\rightarrow+\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{\rm Log}|h(re^{i\theta})|d\theta=-\infty$, {\it c}e qui est absurd $e$. Il est clair que la fonction entière $$ \mathrm{F}_{\lambda}(z_{1^{ }},\ldots, z_{n})=\mathrm{H}(z_{1}, z_{2^{ }},\ldots, z_{n})\mathrm{H}(\lambda-z_{1}, z_{2^{ }},\ldots, z_{n}) $$ appartient à $\hat{\omega(R^{n}}$), que $\mathrm{F}_{\lambda}$ est irréductible dans $1' \mathrm{ann}e\mathrm{au}$ des fonctions de type exponentiel, mais réductible dans $\mathrm{H}(\mathrm{C}^{n})$. {\it Les} fonctions $\mathrm{V}_{\lambda}\in\omega(R^{n})$ dé finies par $\hat{\mathrm{V}}_{\lambda}=\mathrm{F}_{\lambda}$ répondent la ques- tion d'après l{\it e} lemme {\it c}i-dessous, et $1' \mathrm{ass}e\mathrm{rtion}(32)$ résulte d{\it e} même d{\it e} 1'égalité $\mathrm{F}_{0}(z_{1^{ }},\ldots)\mathrm{F}_{0}(z_{1}+\lambda_{ }\ldots)=\mathrm{F}_{-\lambda}(z_{1^{ }},\ldots)\mathrm{F}_{\lambda}(z_{1}+\lambda_{ }\ldots)$ $$ =\mathrm{H}(z_{1^{ }},\ldots)\mathrm{H}(-z_{1^{ }},\ldots)\mathrm{H}(z_{1}+\lambda_{ }\ldots)\mathrm{H}(-\lambda -z_{1^{ }},\ldots). $$ LEMME. --{\it L}'{\it hypersurface irréductible} $\mathrm{Z}_{\mathrm{H}}=\{z\in \mathrm{C}^{n} ; \mathrm{H}(z)=0\}$ {\it n}'{\it est invariante par aucune transformation} $ z_{1}\mapsto\lambda -z_{1}$, {\it ou} $ z_{1}\leftrightarrow z_{1}+\lambda,\ \lambda \neq 0$, {\it portant sur la première variable}. {\it Démonstration}. --L'invariance d{\it e} $\mathrm{Z}_{\mathrm{H}}$ équivaut à $1' \mathrm{existen}c\mathrm{e}$ d'une fonction P E $\mathrm{H}(\mathrm{C}^{n})$ telle que $\mathrm{H}(\epsilon z_{1}+\lambda, z_{2^{ }},\ldots, z_{n})=e^{\mathrm{P}(z_{1},\ldots,z_{n})}\mathrm{H}(z_{1^{ }},\ldots, z_{n}),\ \epsilon=\pm 1$. La fonction $e^{\mathrm{P}}$ est d'ordre 1, comme quotient d{\it e} fonctions d'ordre 1, par conséquent $\mathrm{P}$ est un {\it p}oly nôme de degré $\leq 1$. Si $\epsilon=-1$, on obtient $\mathrm{H}(z)^{2}=\mathrm{H}(z)\mathrm{H}(\lambda-z_{1}, z_{2^{ }},\ldots, z_{n})e^{-\mathrm{P}(z)}=\mathrm{F}_{\lambda}(z)e^{-\mathrm{P}\langle z)}$, donc $\mathrm{H}$ serait une fonction d{\it e} ty $pe$ exponentiel, contraire ment à {\it c}e que nous savons déjà. Supposons désormais $\epsilon=1,\ \lambda \neq 0$, et considérons une fonction partielle $h(z_{1})=\mathrm{H}(z_{1}, z_{2^{ }}^{0},\ldots, z_{n}^{0})$ non nulle. Par hypothèse, $h$ est une fonction entière d'o rdre 1, dont 236 J.P. DEMAILLY le diviseur $\mathrm{div}(h)$ est une somme de classes modulo $\lambda \mathrm{Z}$; comme la fonction $z_{1}\rightarrow h(z_{1})h(-z_{1})$ est de t{\it ype} exponentiel, le nombre $\mathrm{N}$ d{\it e} ces classes est nécessairement fini (examiner la croissance du nomb $re$ de zéros), {\it e}t $h$ est de la fo rme $$ h(z_{1})=e^{az_{1}+b}\prod_{s=1}^{\mathrm{N}}\sin\frac{\pi}{\lambda}(z_{1}-c_{s}) $$ avec des constantes complexes $a,\ b,\ c_{s}$; $h$ serait donc encore d{\it e} type exponentiel : contradiction. BIBLIOGRAPHIE [1] M. CORNALBA, B. SHIFFMAN, A counterexample to {\it the} ''trans- cendental Bezout problem'', {\it Ann. of Math}. (2) 96 (1972), 402- 406. [2] J. DIXMIER, P. MALUAVIN, Factorisations d{\it e} fonctions et de vec- teurs indéfiniment di fférentiables, {\it Bull. des Se. Math}., tome 102, fasc. n${}^{\text{o}}$4 (1978), 305-330. [3] L.A. RUBEL, W.A. SQUIRES, B.A. TAYLOR, Irreducibility of certain entire functions with applications to harmonie analysis, {\it Annals} {\it ofMath}., vol. 108, n${}^{\text{o}}$3 (1978), 553-567. Manuscrit reçu l{\it e} 12 février 1980. Jean-Pi erre DEMAILLY, L.A. au C.N.R.S. n${}^{\text{o}}$213 Analyse Com {\it place} et Géométre Université de Paris VI 4 {\it place} Jussieu 75230 Paris Cedex 05. \end{document}