Séminaire P.~LELONG, H.~SKODA (Analyse) 17e année, 1976/77 . DIFFÉRENTS EXEMPLES DE FIBRÉS HOLOMORPHES NON DE STEIN par J.-P.~DEMAILLY Introduction. Le présent travail se rattache au problème posé en 1953 par J.-P.SERRE (cf. L3l ) de savoir si un espace fibré analytique dont la base et la fibre sont des variétés de Stein est _ui-_ê_e une variété de Stein. Depuis lors de nombreux résultats avaient été obtenus,appor- tant tous des réponses partielles positives . En l977 , H.SKODA mon- trait néanmoins par un contre-exemple que la rëponse générale était négative ; nous renvoyons à I_] et ls] pour le contre-exe_ple ainsi que pour une liste complète de références. Dans ce contre-exemple, la fibre est E' la base est un ouvert de _, les automorphismes de transition sont localement constants et à croissance exponentielle. La démonstration repose essentiellement sur l ' inégalité de P.LE- LONG relative à la croissance des fonctions plurisousharmoniques sur leg fibres, que nous rappelons en préli_inaires . Il en résulte que s ' il existe une fonction holomorphe non triviale sur le fibré> les automor- phismes de transition ne peuvent pas être trop déformants et doivent vérifier des conditions assez restrictives à l ' infini. Nous reprenons les argu_ents de H.SKODA [s] dans la deuxiè_e partie. Une question naturelle posée dans Is] ëtait de savoir si le type exponentiel des auto_orphismes jouait un rôle fondamental. Nous mon- trons au paragraphe 3 qu' il suffit en fait de prendre des automorphis- mes de transition polyno_iaux,de degré 2 lorsque la base est bien choisie, le problème se ramenant à un calcul d'enveloppe pseudo-convexe. - - 16 Dans la quatriè_e partie nous examinons par Les _êmes méthodes le cas où la base est un ouvert simple_ent connexe de _, et donnons un exemple de fibré non de Stein ä fibre _' au dessus d'une telle base. Les automorphismes de transition sont dans ce cas de type exponentiel, et il nous semble que la croissance polynomiale soit insuffisante pour obtenir le même phénomène. Je suis heureux de remercier ici le professeur H.SKODA pour la générosité avec laquelle il m'a accordé son temps. Je lui dois eo par- ticulier plusieurs a_éliorations dans La rédaction du manuEcrit origi- na_, et je lui en suis très reconnaissant . l . PréLiminaires : l ' iné alité de P.LELONG. Soit n une variété analytique connexe de dimension p, v une fonction plurisousharmonique (en abrégé p.s.h.) surnn_" l w un ouvert relativement compact den. On _esure la croissance de V sur les fibres en posant : N(V, w ,r) = sup V(x, z) ( l ) xccú ,lz_ _r où r c_ et où lzl = sup _z . _ . + . J l \r) C N(V, w, ,r_) + y[M(v, w,, l) - N(V, w, ,r_)] - `°g e3 /_l , - , | - '°g P2/Pl "' ave' _ - log p,/p, - - _ - '°g e3/pl . Démonstration. Supposons LU, , w,, w, centrés en O _-N(- e , r) est une fonction convexe __s variables u = Log e , v ± Log r (cf . par exemp_e [2] , prop . 2 . 3 . 3 . e t b . 2 . l . ) . On considère dans le plan des (u,v) les trois points A, ,A, ,A, déEinis par : | | | Al : u, = log e, v, = log r A2 : u, ± log p, v, = hlog r A3 : u3 ± L°g e3 v, = o . On choisit le para_ètre hde sorte que A, = _A + (l- n )A, l '°g e2 - `°g p3 '°g p3/p2 soit h = ± . '°g el - l°g p3 log p,/p, On en dëduit par convexité de (u,v) ~ N,eu v, t e : N(e, ,rh) _ hN( p, ,r) + ( l - h )M(e, , l ) soit avec _= _ r ± l -h et après re_placeToent de r par r_: N( p,,r) \c N( p , ,r_) + r [N( e,> l ) - N(p, ,r_] ce qui est bien la relation (2) . COROLLAIRE | . - Si v est non constante sur au moins une fibre au- dessus de w,, il existe r > o tel que : o M(V>w,,r) \C N(V, w, ,r_) pour r >,r o En effet N(V, w,,r) est convexe croissante en log r, et non constante pour r assez grand, donc N(V, w,, r) tend vers +_quand r tend vers + _ . . D'après (2) N(V, rf, ,r) tend égale_ent vers +_, d'où la conclusion. COROLLAIRE 2 (inégalité de P.LELONG). - soit.n_ _P,v_n__" . constante sur au moins une fibre, et w, w, deux ouverts relativement _n. Il existe une constante__w,,w,,n et une ! _8 constante r dépendant en outre de v telles que o (_) N v, w,, r) {M(V,UJ, , r _) pour r >, r . ` _ O Démonstration: immédiate grâce au Corollai e l en utilisant la connexité denet des arguments de compacité. 2 . Construction du fibré x . Restrictions sur la croissance d 'une fonction plurisousharmonique non triviale (H.SKODA Is] ) . On considère maintenant des ouverts no, n, , . . . , nN de _ , connexes, tels que n _ n. , | \c j CN ait deux co_posantes connexes n! n'! _ et ° J ` . J J tels que n._fl = 0 pour | c j , k CN. _ \ \ W . On prend pour base B du fibré l'ouvert B ± .U n. . On définit le fibré x en recollant les carte¨=° ' . . . : locales tr_v_al_santes r. : x n _n. rt_" et r : x n _n w _' J j J o o o par les automorphismes de transition r. ± _. o r-' . : su_vants o J o _o (x>z) = (x,gj (z) ) si x E n! z E _" J | (s) = (x,z) si x E n'! z E_" J où les g. sont des automorphismes analytiques de _" (l Cj _N) . J _ Une fonction p.s.h. v sur x est définie par la donnée de fonctions p. s.h. V. = V o _-' sur n rt _" , j j pour o \c J S N telles que pour l c j CN, on ait : \ \ v (x,z) = v. (x,gj (z) ) quand x En! (b) ° J _ v (x,z) = v . (x,z) quand xsn'! . ° J J . Si h est un automorphis_e de _" ' . . , nous ecr_rons abus_vement v o h(x, z) = V(x, h(z) ) . Etant donné. deux fonctions _, W sur _ nous noterons p rf Wla rela- + tion d'équivalence : "il existe des congtantes _>O et r > O telles que o p(r) SW(r_) W(r) cp(r_) pour r >,r ". _ o R19 On se donne alors des ouverts v , _! , w'! (l Cj dN) relativement o _ _ ` co_pacts respectivement dans n , n! n'! . o J ' J . Appliquons troia fois la relation (G) du corollaire 2 dans les carteg, en supposant que V est non constante sur une fibre : . à la Eonction V. o g. o h et au couple d'ouverts n! , n'! Ln. J J J J J M(V . o g . o h , w! r) r\7N(V. o g . o h , w'! , r) soit d ' après (6) J J J ' J J J M(V o h, w! , r) N N(V o g . o h, v'!, r) o J o J J .ä la fonction v o h et au couple w > w! L n : o o J o N(V o h, w , r) N M(V o h , w! , r) o o o J . à la fonction V o g. o h et au couple w , w'! c no : o J o J N(V o g . o h, w , r) rvM(V o g. o h , w'! > r) (7) o J o o J J Il vient pgr transitivité de rf : N(V o g. o h, w , r) rfN.(V o h, w , r) . o J o o o Prenons pour h un éléloent du groupe d'au.tomorphis_es G engendré par les gj ; en raisonnant par récurrence sur la longueur de L'écriture formelLe de h, on obtient à partir de (7) : PROPOSITION ] . - Soit h, , . . . , h des automorphismes de _" a par q _ G engendré par les .. Il existe une constante _ne J - dépendant que de w et de l 'écriture ormelle des h. dans Gt et une o J- constante r dépendant en outre de V et des h. telles que : o J (8) N(V o h. , w , r) CM(V , w , r_) pour r _, r o J o \ o o - o Désignons maintenant par D le polydisque lzl = sup z . Cr de _". ' ldj,n J ` \ L' inégaLité (8) s ' écrit encore : sup v (x,z) { N(V ,w ,r_ pou r _r xE_ , z E U h. (D ) ° ` ° ° o . ° l cj fq J r Notons K l ' envelo_ pseu o-convexe U . c est aussi enve- r pe d h (D ( ' l ' j J ' lopp.e polynomialement convexe d'après HÖRNANDER Ll] , p . 91 , th. _.3 ._ . ) . -_ - | 20 ^ = _(h, , . . . ,h ) le rayon du plus grand polydisque Dp inclus et r | q | dans K . r Comme est plurisousharmonique en z, on a par définition de K : ° r sup v (x, z) ± sup v (x, z) XEú_ ,ZE U h. (D ) ° _ ° xEcu , z EK ° j J r o r et a fortiori M(V , _ , _) c M(V , w , r_) pour r >,r o o \ o o o Si v est non tr_viale, _l(v , _ ,r) est strictement croissante pour r o assez grand, et on en dédu. t aussitôt : PROPOSITION 2. - si l fibrë x possède une fonction p.s.h. non | _ constante sur au moins une fibre , il existe des constantes __O et i - i _ . r >, O telles que : | ° _ (h, , . . . , h ) c r_ pour r > r (9) q \ - / O . Com_e l 'a souligné H.SKODA dans son article Ls_ , il est possible de donner une construction plus algébrique du fibré x . Une autre construction du fibré X : On choisit la base B de sorte que le groupe fondamental G de B soit un groupe libre à N générateurs 4, , . . . , _N, opér_nt sur le re- ^ N vetement universel de B . ' . On fait alors opére G à gauche sur _ _ _" proprement et librement en posant : _j (x, z) ± ( D(. (x) , g . (z) ) où | _ j _ N x E _ " . , , et z E _ | L'espace quotient (_ W _")/G est alors un fibré au-dessus de B,à fibre _" , et on note p : _ " -_ x la projection. rt _ La donnée d'une fonction p.s.h. V sur X équivaut à la donnée d'une fonc- . . . . r_ = rf " invariante par L 'action de G : t_on p s h v v o p sur B w _ (lo) û = _ . r' n (x, z) v(_ (x) , gj (z) ) pour x EB et z E q . J - 21 On retrouve les résultats de la proposition l en considérant pour tout élément (d, h) du groupe libre engendré par les ( d . , gj) le J couple ( w , d(w )) d'ouverts de _. o o _ _l D ' après ( l o) on a N(V, w , r) = M(V o h ,4(w ) ,r) , et d ' après (G) , o o rf B étant connexe : _ rf N(V, w. , r) rfM(V o h, u , r) o o pour tout h dans Le. groupe engendré par les gj , c 'est-à-dire l 'équi- valent de (8) . 3 . Esti_ation de _, et contre-exempLe . On prend n ± 2, N = l , autrement dit la fibre est _', et la base B réunion de deux ouverts n , n, . o Définissons g = g, par g(z , , z,) ± (z_ - z, , z , ) k E _ ( l | ) g est évidemment un automorphis_e de a' -'(z, , z,) = (z, , z_ - z , ) . , et g Il est clair que g(D ) (z , z,) E ,2 _ k _ _± > i z, _ _r et z, - z , 5 r . r \ - ' (D ) ± ( z , , z,) s _' ; _ z , l {r et _z_ - l _ . g , z, \C r r Soit vd la surface de _' définie par l' équation : p"l ' '2' = "_ - '2) (z_ - z , ) = 4 , 4 E _ . L'ensemble des valeurs 4 pour lesquelles v_ possède des singularités ( _ valeurs critiques de p *) esc fini : cela résu_te du fait général qu'un poLynôme n'a qu'un no_bre fini de valeurs critiques, _ais nous le vérifierons de fajon élémentaire par des caVculs explicites. Soit Ld la partie compacte de vd définie par : l k z , l, l l' _z , _,{_r _ \_r . Supposons d'abord que vd est lisse Le bord aLd de Lddans v_ est l 'ensemble des points tels que : _z _ = ± k _z,_ J_ k l 2' ' ou lz , l , l k | k \ _' _'2_ = _' . - - - - - -- - -- - - -- 22 ( aL_ fait évidemment partie de cet ense_ble, et lui est précisëment ëgal car les coordonnées z, _z, définissent des applications ouvertes `4 __' 2 , k l k2 | k k l k - _r }, _ r pourvu que pour lz, l ± _r 'l - '2 _-k' 2 , 2 k-l , 2 r _ . Cette condition sera assurée si k >, 2, r _ 2, ce qu' on suppose désormais . Sur la partie de aLd définie par _z _ = ± k on a donc : | 2' l __-z,_sLd ' 2/ k+, k 2 ' '+l k z, r et comme c ' k k Prenons _| ,c ' . al°rs z2 - \c _z,|, _r on a , + l ' _z,_ cr (sinon _zk - | = k_r) d 'où (z , , z,) _ g(D ) \ 2 ' l > 2r r Par conséquent aL_c g(D ) Ug-' (D ) et le principe du maximum appliqué r r sur v4 donne : Ld c K ± (g(D ) U g-' (D ) )". r r r . Cherchons maintenant les valeurs de 4 pour lesquelles v_ est singu- lière ; elles sont obtenues pour dP = O : p zk k k+l k+l + z, z, - _ ( l 2) _± l '2 - ' l - '2 aP/ a z , = k zk-' k - (k+l )zk + z, ± o ( | 3) l '2 l aP/ az, = k zk k-' - (k+l )z_ + z , = o ( l_) . l '2 En multipliant _' équation ( 13) par z, et ( | _) par z, on voit que : k+| k+l . z_ ± _ avec ,k+l , z , ± z , so_t = . z = t Re_plaSons dans ( | 2) et ( l 3) : (,k 2k 2tk+' + _t' - 4 t - - k S t'k-' - (k+l ) tk + _t = o . Ces équations se résolvent explicitement ; on trouve : t = O , 4 ± O , z, = O z, ± O t = _ , _ = o , z, = _ z, = _k - ± l l t - _/k ' a- _k+' k k-' (l _)2 z, - ,k-_ k k- _ - l - - - l - '2 ± _ . _- - ---_. 23 k'-| , k-l 8vec _ > l , ± _ . En particulier le9 valeurs critiques sont de _odule C | \c r' Or pour l4_\c r' et (z, ,z,) E Ld , on a |k _ j k _ z, - z, \Cr ou z, - z, _ r l conditions qui impliquent l'une et l'auCre (z, ,z,) E K , co__e vu au r point précédent. k'+l Dans tous les cas , on a L cK pour ld _ ' (ls) 4 r ,k+l RENARQUE l .- En fait le rinci e du maximum est vrai même sur une surface à sin ularités . nous aurions donc u nous dis enser des catculs précédents mais il nous a aru intéressant d 'étudier les sin ularités | _ vd . D'après ( l S) K contient l 'ensemble : r 2+, _' ( z , , z, ) E _ ; _ z , __ _ k , _ z, _,, | k _ k _ _ k _ rk -r _r > z l - '2 '2 - 'l \' k+l . 2 si _aintenant _z, _ et z, ,<± k"+' "k , on a, par des c lculs faciles : 2' _ k2+, 1/2 _k l 2 ± k ' dès que r >,_ . z, - z, __r + ' \' k+l k l 2 ' 2 LENME 2 - si k ,,2, r ,,G _,g,g-l, ,, _ 2 + _ . _ -r . si k est assez grand (par exemple k _, 2_av c la constante_de la proposition 2) , on obtient la contradictio désirée. ÉOR_NE l . - Le fibré x construit au ara raphe 2 à l'aide de TH l'automorphisme de _' défini par (l l ) et avec k l, 2_ ne possède aucune fonction plurisousharmonique et áucune fonction holomorphe non constante sur les fibres ; en particulier x n'est pas une variété de Stein. Remarquons que si k ± O (resp . k ± l ) x est un fibré affine (resp . vectoriel) au-dessus d 'un ouvert B de Stein (car B ca) donc x est lui- même une variété de Stein. Nous allons maintenant donner un contre-exemple précis pour lequel on pourra prendre k _ 2 . . | - . - - ---- - - - - - - | 24 Choisissons B ± _ \ to_ n = _\I-_, o} o n, ± _ \ [o, +_ L n' =_x E _ ; Im x c o F ] n'' = x E 6 ; Im x _ O l (l ' automorphisme g étant toujours défini par ( l l ) ) . Explicitons la construction de x comme espace quotient indiquée au paragraphe l . Soit _ : _ x _' _ x L'application définie par : _ (x, z) ± r-' (ex, -m(z) ) pour (2m-1 )n_Im x C(2m+ | )rr o g - l _ ,ex -m,z,, pour 2_ n ,Im x { (2m+2) rr ± l g l (on vérifie aisément que les conditions de compatibilité sont satisfai- tes) . x s' identifie donc à travers p au quotient de _ x _' par le groupe d'automorphismes G ± _m ; m E Q où 4(x, z) ± (x + 2in , g(z) ) . Une fonction v sur x est caractérisée par la donnëe de û = V o p sur _ rt _' vërifiant . û . , = û (x , z) . ( l b) (x+2_ rr g(z) ) Notons w,a,p) ± x _ c ; lx - a_(e_ , où aE_ et p > o D' après ( | 6) N(Ú o gl w(o, l) l ') = M(__w(-2irr, IS' " û . = _ -` cu,O, ,., , _) . N( , LU,,lrr, ,,, r) N(V o g , En vertu du corollaire l , avec p, ± l , p, = 1+2 n , e, grand, il existe pour tout _>| une constante r (_) telle que o rf _ ^, N(V, w, ,irr, ,, l r) { N(V lw(O, |+2m l ." \< M"' w(O,l)' r_' - \ _ . ` r' _''u(O,|)''_' p°u' ' >/' (_ ) pourvu N(v,tu,,ln, ,) l ' ) _ N(`lw(O, 1+2n) '" N' \ o _ . que so_t non constante sur au moins une fibre; en posant _ c w,O, , , _ _+ il vient M(V o g, w , r) , M(V, w , r _) \ . N(_ -' (u ,r) d M(Û, w , ra_ pour r _r (_). o e l o . - 25 En répétant le raisonnement précédant la proposition 2t on obtient : LENME 3. - si le fibré x possède une fonction plurisousharmonique non constante sur au moins une fibre, il existe _our tout_> l un no_bre r (_) _ o tel que : o _(g,g-' ) C r_ pour r >,r (_) . \ . O Lo?sque k >, 2 leg _emmes 2 et 3 _ontrent que x n'a pas de fonction pluri- sousharoonique non constante sur les _ibres (prendre l{_<_) . _. Exemple de fibré holomorphe non de Stein à fibre _' au-dessus d'un ouvert simplement connexe de _. Soit B un ouvert simplement connexe de _ (cette hypothèse n'étant d 'ailleurs pas nécessaire dans ce qui suit) contenant les six points : a , ± | , a, ± l +2i , a, = l -2i , a, = -| , a, = -l +2i , a6 ± -l -2i On note n = B\ a , ,a,,a,>a,_a, lab o nk ± n U _ak_ pour | _k _ 6 . O ` ` On construit un fibré X à fibre _' au-dessus de B par les cartes loca- les trivialisantes : Tk : x _h _ _' au-dessus denk (o \ck \c6) avec les auto_orphismes de transition zke ± Z o _-' k p rkp:n k _' _n rt_' (si k _p h_ne = n ) définis par : o o o _o , (x, z) ± (x>w) w, = z , w,= z, exP(z ,p(x) ) to, (x, z) = (x>w) w, = z , w, ± z,exP (z l j (p (x) ) _o, (x , z) = (x ,w) w, ± z , . w, = z,exP (z , j 'p(x) ) ro,(x, z) ± (xlw) wl ± ' l exp ('2q(x' ' > w2 ± '2 _o, (x, z) ± (x,w) wl = ' l exp ('2jP(x' ' ' w2 = '2 _o6 (x, z) ± (x,w) wl = ' l exp('2j 'p(x' ' ' w2 ± '2 avec x.çn z,w É4' . ± -± . _ J 2 + _ 2 o _(x) = exp ( ' ' ' ) + + 2 , ' - l (x-2i) '- l (x+2i) - x . 26 et rkp = _-' o Zo p pour tout k,P ± l t . . . b. ok REMARQUE 2. - Pour définir x, il n'est pas indispensable d'utiliser la carte n rt _' ; nous la conserverons néan_oins par souci de symétrie, o et pour simplifier les calculs . LEMME G. - _ -l CRe x _ l , on a l_(x)_ c l . Démonstration. En effet ' ± - ± ( ± _ ) et ± i 2 , 2 l +x + - ' l -x | x l +x X - ont tous deux une partie réelle positive donc Re ' c o et de même Re ' ' l ,x ,_, 2 c o , X - - . - | Re ' C o pour -l < Re x C | . (x+2i) '-l Soit maintenant V une fonction plurisoushar_onique continue sur X re- présentée dans la carte nk _ _' par la fonction plurisoushar_onique con- tinue Vk = V o _-' . . k On a donc vk o _kp = vp sur n x _' k,e _ l , . . . 6 . o Dësignons par w,a, e , le disque ouvert de centre a et de rayon p (a E _, e >o) et par bk l C k Sb la projection orthogonale i I_ ak de ak \ sur l 'axe imaginaire. Nous supposerons de plus que B contient le disque ouvert de centre O et de rayon _ aEin que tous les disques considérés dans la démonstration du lem_e S soient contenus et relativement compacts dans B. LENNE S. - _ v est non constante sur la fibre ak___' , il existe des constantes C, r > O telles que pour r >, r : o o M(V o _ok, w,b _, , r) _ N(V , w,b _, , exp (C(log r)') ) . ° k>- ` o k>- Dé_onstration. Pour simplifier les notations, on suppose par exemple k ± l , ak = l , bk = O. v, étant non constante par hypothèse sur la fi_re tl_ _ _' sup v, (l ,z) tend vers +_quand r tend vers +_. Lz_ 5r - - -- - - - 27 Grâce à la continuité de V, , il existe pour tout no_bre A >O une cons- tante rA et un voisinage UA de l tels que : sup v, (x,z) _, A pour tout xEUA . lzl _rA \ Prenons A = N('| l w( l , 7/_) ' ' ' . D'après la reLation (2) , si w, _w,c w, sont trois disques concentri- ques contenus dans L_,, ,,,,, , de rayon e, ce,cp, , LU, rencontrant UA , alors avec la constante_précisée dans le lemme l (3) : N(V, , W,,r) CM(V, , ll), , r _) pour r _rA ( l _) \ (utiliser le fait que _ _l ) . Sur n , v, ± v o _o, , donc o o N(V o _o, , w , , r) = N(V, , w , , r) ° (o,_) (o,_) _N(V, _ w , ,r) ( l 8) ` ( l -t,_-t) puisque w , _ w 3 t, . (o , _) ( l -tl _- (t est un nombre réel co_pris entre O et l) . Choisissons t assez petit pour que l - t E UA et appLiquons ( l 7) à : w = w ' w2 = _, , 3 ' w3 ± _, ,,_ cw 7, ' ( | -t, _) - ,_-t) - --t) ( l ,_ Il vient pour r _,rA : M(V, , w , , r) CN(V, , w , , r_) ( l 9) ( l -t ,_-t) ` ( l -t ,_) _ `°g '/' . _ c, log _ ave'_ _ . log r étant fixé >,rA choisissons t pou.r que r_ . sup (p(x) c l . \ x'w t, ( l -t ,_ Le transformé de w , par l'homographie x ~ ' est le disque ( l -t ,_) ' -x de diamètre : (, + _)-l = _ ,, - _,-l - 2 3t ' - - _ | | 28 de sorte que pour XEW on a Re _ ± ,x, ,exp , , (| -t ,_) l -x '/ 3t e` _p , - _, ) (voir la démonstration du lemme _) . Il suffi, de prendre exp , l c, log_ _) }/r . ' , >, 3c , log r so_t ` log _ _ _ c, log r. log log r ou encore , avec C, constante _ 3 C, et r assez grand. Avec ce choix de t l' image réciproque par _o, du polydisque : c, log _ 'l`"g_ ,orsque xEw ,, Lw, _ , lw, |_er contient le polydisque: _z,l , _z,ICr ` (l-t,_ °" a d°"' : l c, ,og_ c , log_, , N,V, o r-' , w( l t , _) 'e' ' M(V, , w , r \ ol - _ , ( l -t ,_) C,log_ , =N(V , w ,er ° ( l -t ,_) C,log log r c N(V , w , , r ) (20) ` ° ( l -t ,_) en prenant c, log r . log log r c _ cc, log r. Log log r (2 l ) \ C,,C, sont des constantes, avec C, > c, à préciser par la suite . En combinant ( l 8) , ( l 9) et (20) , il vient : C,Log log r (22) N(V o _o, > w , , r) c N(V , w , , r ) o , o ( | -t ,_) (o,_) pour r >, r et t vériEiant (2 l ) . o Définissons maincenant une suite de disques concentriques uF L[U" cw" de centre l-t (n e_) et de rayons l 2 3 n n l n l n 3 pl = Ð` ' p2 ± _` ' pJ = _` n n n On veut que w_ c w"-' . ' . ` , , ce qu_ equ_vaut a l l 2 tn-| - tn \C_tn , - _t ou encore t __tn , . - n n - On prendra tn = _tn , = (_)" et c = ±c, . - _ 2 Pour n = n(r) bien déter_iné on a alors : c, log r log tog r__ cc, log r.log log r \ n _- - . - - - - -- 29 - . - et d'après (22) N(V o _o, , w , , r, , N,V , u,n(r) C,log log r o ,o , ,, o 2 l r ) si r _ r (23) _ O Choisissons maintenant A = N(V, , w , , e) une constante A et un voi- ( l ,_) sinage UA correspondants (voir le début de la démonstration) . Pour tout n E_ ,w" . n U , cw , , et s_ n >,n , w, rencontre A. ( | ,_) ° D' après (2) , lemme l , on a : (2_) N(V ,_t r) CM(V , w_ r°_ + r N(V , w_, l) - N(V , w_ r_) o \ o ' o o ' log 3 avec _± ,og 3 2 . Or N(V , w_, l ) ± M(V, o r-' _, l) ó N(V, , w_,e) ,A car dans (u_ o O2l w on a \ _p(x)| < ' ('emme `) e' w_ , , ,,, , cw ± . de plus N(V ,_ r ) = M(V, o r-' " _) o l o l IWl t r l,N(V, , _" ª log r) l l 2 car si lz , | , lz, | \c_ log r l ' i_age (w, ,w,) par ro , vérifie |w, _,c_ log r _ r°" = exp( _ log r) c r_ (r _ l) \ _w, l,c_ log r. r°" grâce au lemm_ _ (_ c E _ ; -ICre x < l_ ) d 'où tx, |_r _. En prenant n _n et _ log r _,rA (2_) donne o M(V , w , r) < M(V , w_, r_) o \ o _N(V , w"-' , r_) puisque wn n-| \ o 2 l cw2 Pour r assez grand n(r) _n , donc de proche en proche o N(V , w""' "° _""'-"°) pour _ log r >,rA (2s) . o o ' " C N(' _ w2 l r \ O . Il ne reste qu'un nomtre fini d ' étapes à accomplir (n précisément) o pour obtenir n n (26) N(V , w ° , r) ( N(V , w° _ °) r >, r, o 2 \ o 2 ' ' (23) , (2j) et ('6) e"`'a_"e"` ' pui'que w_ = (o ,_) : W . | | | 30 n(r) c,_ ,log log r M(V o ro, , w , , r) C N(V , w , , r ) pourvu que o ` ° (o ,_) (o ,_) "A/_, r _ sup (r , r l , e . o Nais _± (± 4 avec ol± 2,GS8333 . . . < 3 d'où 2 ) ""' = ' { C_(log r)d (log log r)d ""' log log r _c, (log r)' _ et C,_ \ ,_ ` n (r) pour r assez grand On a donc pour r >, r, convenable : , c, (log r) N(V o Zo, , w , , r) < M(V , w , , r ) o ` ° (o,_) (ol_) et la dé_onstration du lem_e S est achevée. Nous pouvons enfin énoncer le résultat essentiel de ce paragraphe : _ÈME 2. - Le fibré x construit ci-dessus au mo en des 7 cartes TH OR n _ _' et des auto_orphismes de transition zkel_ k il exisce une fibre lakF _ _' , k ± l , . . . 6 où toutes les fonctions plu- risousharmoniques continues sur X sont constantes ; en articulier X _ as de Stein, et n'est pas isomor he au fibré trivial B __'. Démonstration. Supposons que pour tout k = l , ..-. . b il existe un fonction v,k, plurisousharmonique et continue sur x non constante sur la fibre _ak_x _' . 6 Posons v ± EI _k v,k, où les hk sont des scalaires réels _o. k=l Lorsque Ies hk sont bien choisis v est non constante sur les six fibres _ak_w c' ( il y a au plus un hyperplan de ( h, , h,, . . . h6) L_b pour lesquels v soit constante sur l 'une des six fibres) . On peut alors appliquer le lemme s à chacune des fibres Fak_x4' : . N(V o rok, w , , r) c N(V , u_ , , exp(C(log r)') pour r _,r o ` o (bk,_) ° (bk__) En appliquant aux deux membres le corollaire 2 dans n > on obtient pour o r >, r, assez grand et C, > O convenable N(V o _ok, ,w , , r) < N(V , w , , exp(C, (log r)') ) d 'où avec les ° (o,_) ` ° (o ,_) - - - 31 notations du é 3, et K = ( U _ok(fx_ _D ))" x,r ,,,k,6 ` sup v (x, z) _ N(V , w , , exp (c, (log r) ') ) _ ° ° (o,_) xEw , , z EK (o,_) x, r Or il est clair que r ( Fx_WD ) J _(w, ,w,) EC'; lw,_ _r, lw,_c\r exp(_ _p(x)_ ) et - __Arg w,px)__ _ o | r et de même pour ro,(Ex}_D ) _o,(_x__ D ) en re_plaSant la dernière condition par r r - _ CArg w, j p(x)c _ou - _ _ j c o | \< i < n ' ` \ Cherchons à quelle condition cette dernière série converge uniforméo_ent sur tout co_pact e ._ ")' . d ( __ Il existe une constante c >, l telle que l + _ g ( z ) _ _ c ( l + l z l ) k l + _g- ' ( z) _ \c c ( l + lz _ ) k d'où par récurrence , + _ gj , z, _ ,, c l +k+ . . . +k lj | - ' k l j l ( | + | z l ) et _ gj ( z) _ ,{ (c lj | ( l + lz _ ) ) k 'j ' = exp k lj _ ( lj l log c + log ( l + lz | ) ) ) ( 33 n(x+2ijrr) TTRe x ch n(I_ x + 2j_T) . . n Re x sh n(Im x + 2jn) cos = cos _ __ s_n a a e a a On a - _CRe x<_ donc cos "Re x , sur _ n(x + 2ijm a un O de sorte que cos a a argument en valeur absolue _ constante c _ orsque x écrit un compact e _. l d d Pour tout compact K c B, il existe donc une constante CK telle que : Re(x + 2ijrr)' ".(x ' 'ijTT) , - CK j2 2 ljlrr' cos exp a a \ dioù __i o _i (x, z) |_ exp(k 'j' ( li r log c + Log ( l + _z_ ) ) - CK j' _ . exP a ) \ Les séries précédentes convergent donc uniformé_ent sur tout co_pact de _ _" _ pourvu que k , exp,2 n' \ a ) W définit alors une fonction continue holomorphe en (x,z) et antiholo- morphe en (x' ,z' ) de sorte que _ est analytique réelle. _n' est pas nécessairement propre à cause de la dépendance en x, mais tend unifor_ément vers +_ quand z tend vers +_, x décrivant un colopact de B. Soit pla fonction induite sur x par _, W: B _IR une fonction d'exhaus- tion strictement plurisoushar_onique sur B, et q : x -_B la projection sur la base. _± p+ W o q est alors une fonction d'exhaustion stricte_ent plu- risousharmonique sur X. Nontrons en effet que la forme de Levi _ (TX) de _ (i.e. la forme hermi- tienne associée à la ( l , l )-forme .réelle iáá_) est déEinie positive . Pour tout vecteu.r tangent ._ à X on a : _(_) ( _ ) ±Sg(p) ( _) +_(w) (dq( _ )) . Comme les deux termes du membre de droite sont >, o, _(TX ) ( _ ) est _ o / et ne peút s'annuler que si_( p) (_) =_( W) (dq( _ ) ) ± o d 'où dq( _ ) = o (West strictement plurisousharmonique sur la base) puis _± o (p est strictement plurisousharmonique sur les fibres) . _ - ' 34 2n' PROPOSITION 3. - Le Eibré x est de Stein pour k Cexp( p, ). _og /p, _g_a'_g(z,,z,)=(z_-z,>z,) _ si k}exp (_ . . . _ ,og , ) toutes les fonct_ons lur_soush_rmon_ ues sur X 'e' les fibres . sont constantes sur Démonstration. La première assertion vient d'être prouvée; pour ob- tenir la deuxième il suffit de réexaminer les argumenCs du para_ra_he 3. . Esti_ation de la constante de Lelong. 8: x |_tg rr± .est une application conforme de la bande 2a _ = . - ± CRe x C _ sur le disque unité. x E_ > , Soit w = x c_ ; jg(x)_ cth e p _o e Nontron que we + ib c we, bE_ _ e' = p + 2a Si xE w g(x + ib) = g'x' + g'i_' par suite 8( w,+ ib) est le trans- e l - g(x)g(_b) for_é du disque lxl c the par l 'ho_ographie _ x ~ x + i th 7b/2a l - ix th"b/2a Ce transfor_é est le disque de diamètre : _= ith(p+_) l + thp th '¬b/2a 'a _±-i th(e-_) l - thp th "b/2a et il est bien contenu dans le disque de centre O et de rayon th( e+ _) = th e' . 2_ _l Si v est une fonction plurisousharmonique non triviale sur x et son ` ` _ x _', on a, pour tout entier j _ l et r assez gr nd : releve_ent a _ _j , we , r) = M(Û - . . N(V o g ,wp + 2_J n , r) < N( , wp , r) \ j r' _j, CM(V,_, r 2 avec Pj = e+ j _ | - _ " _. arbitraire>_ = _ ' `°g ' /`h ej log co_h( e + j _ ) a (d'après le corollaire l appliqué sur le disque unité ; _. est donné J par La relation (3) avec p = th p p, = th ej , C l aI.bi- l traire) . Un calcul élé_entaire fournit : lim_ = exp('jrr'. p_+_ . rf a ' log c°tln(e + .J _' p2 . p2 c +_, et a arbi On peut donc énoncer , en prenant a ± log - s_ - - el pl trairement grand sinon : LENNE 6 Pour ,ou, _,exp, 2j n' . _ . - ,og p,,p, ) l " exLste un ouvert W_L _r dépendant de j, _ tels que o N(V o g'j , w, r) c N(Û _) pour tout r _ r . , l LUl r o En prenant j ± l , les résuttats du é 3 (lemme 2) _ontrent déja que x n' est pas de S._ein si : k + l ,exp ( 2n' _ 2k ,og p2/p, ' | . Calcul d'envelo pe pseudo-convexe. Il s' agit donc d' évaluer l 'enveloppe (gj (D ) U g-j (D ) ) " . r r | _ Soit p. : 4' _ _ i ± l ,2 les fonctions coordonnées, vd la surfa- (z,,z,) ~ z. L ce de _' définie par l 'équation p, o gj (z) . p, o g-j (z) = 4 4 E _ , . et Lo, la partie compacte de v4 définie par lzl ± sup ( l z , l , lz,_ ) c rk' \ Pour _z , _ = rkj _ j (z)_,, _ k'j et r assez grand p, o g r (p, o gj est un polynôme de degré kj admettant zkj ^ , comme seul monome de degré kj ) . On prend _dlc± k'j+' et on a donc p, o g-j (z) Cr , 2r \ Vérifions par récurrence sur j que les inégalités lz_ _ rkj _ -j(z) Cr et p, ° 8 _ \ . 36 entra_nen_ p , o g-j (z) _ C . r oú C . est une cons_ante >, | assez grande . J _ Pour j = l zk - l | k par hypo_hése donc 2 ' l _' e` 'l _ r k k + r , ,rk e, z, , ,l /k |z , l ,< r | _ , r . \ si i > l _ p, o g-i ( z) _ L p, o g- (j - ' ) (N) |,, r , ,rk' -l , z, = avec N = e \ e _ lw | C2rkj + ' k' kj - ' < ( 2 r ) . \ Par hypo_hése de récurrence (appliquée en rempLaSant z, g-j , r par - (j - l ) , ,rk' w, g ) _p , o g-j ( z) | ± | p , o g- 'j -' ' (w) | c 2cj , rk' . . . ` - j k2 kj -l Mai s p , o g-' (z) = p, o g- " - ' ' ( z) e t lzl _rk c (2cj , r ) ` \ - donc | p , o g- (j - | ) ,t, | , ,c2 k' \ j-| ' (hyP°these de récurrence) . Or p, o g-i (z) = [p, o g-'j-' ' (z)]k - -'j-' ' (z) es_ de moduLe \c r p , ° g d ' oú _p, g-'i-' ' (z) | _ c' k oú c ' est une constan_e >, | . o r |p , o g-'j-' ' (z)l ,c ' c . rk (hypo_hése de récurre_ce) ` J-| |p , o g-i ( z) | ± | p, o g- 'j -' ' ( z) | < c . r c . q . F . D . ` J Par suite g-j [z) ,c C.r i.e. z Lgi (DC _) e_ le bord de Ld es_ con- . J . j tenu dans g' (DC r) U g-' 'DC . r' . j ] Des calcuLs anaLogues á ceu_ du 4 3 donnent aLors : LENNE 7. - Pour r_r et E. _ . - . ° - ' j /2 + l /2ki (g' (D ) Ug ' (D ) )" con_ient le ol dis ue de ra on E.rk r r 7 si k > exp( ' "' i , , exp, zin' ,og p ) , on a k , ,ogp,,e, ) pour _ assez grand , "P! , _ _ _ > exp(_) e_ les propositions | e_ 2 par consequen_ , + , ,og 2,e, 2k per_etten_ d 'achever la dénons_ration de la proposi_ion 3. b. _H'(X.8_. Soi_ x l'un des fibrés cons_ruits aux paragraphes 2,3,_ e_ S , _ le faisceau des _ermes de fo_c_ions analytiques sur X. Par l ' iso_orphisme de DoLbeault H' (x.6 s' iden_ifie au quotient z ' /B' ` ou 37 ' = formes diEféren_ieLles de bidegré o, l ) á -fermées sur R z ( B' = formes différentielLes de bidegré (o, |) á-exactes sur x . Z' es_ muni de la topologie de la convergence C_ sur tout compact, H' (x, a de La topoLogie quotien_ . Soit q : x _ B la projection sur La base , et x un poinc de B teL o que tou_e fonction holomorphe sur X soi_ cons_an_e sur la fibre q-' (x ) o (x peut être choisi arbitrairement dans les exempLes des é 3,S ) . o Soit U un ouvert de B contenant x , f une fon_tion holomorphe sur o -' (u) , p une fonc_ion de classe c_ sur B á support dans u, égaLe á | q au voisinage de x . o Cherchons une fonc_ion u de cLasse C_ sur x telle que h ± f . p ° q - (q - x )u soit hoLomorphe sur X. o h(x , z) = E(x , z) donc Le p robléme précédent n' a pas de soLution si f o o est non constante sur la fibre q- ' (x ) . o La condition áh = o équivaut á : - f qN- au = . a . q - _ o Lorsqu'on prend pour u u_ domaine de carte trivialisan_ et f du _ype f(x, z) = F(z) oú F est entiére , on obtient ainsi des formes á-fermées _ - f q a qui ne sontá -cohomologues que si Les F correspo_dan_es diffé- q - x o ren_ d ' une constante . Ceci montre déjá que Hl (x,_) est de dimension infinie ; plus précisé- _en_ il posséde un sous-espace isomorphe á _(4") /c (a(s") = fonc_ions entiéres de n variables) . Non sépara_ion de H' (x,a) . Nous aLLons voir de p Lus que B ' ' e st pas fermé dans z ' n , ce qu_ prouvera ' (x,a) n'est pas séparé . que H Soit en effe _ _, u_ poin_ fron_iére de B te l que d (x ,_ , ) = d (x . CB) o o (on prendra x , ± _ si B ± E) . 38 Le segmen_ x ,x, es_ donc inclus dans B. o Dans le cas des exemples des 4 2 et 3, iL existe un voisinage ouver_ u de Cx .x , [ dans B sur lequel le Eibré x es_ trivial . o [car les au_omorphismes de transition son_ locaLenen_ constan_s) . Dans L 'exe_ple du 4 _ , x appar_ient á une certaine carte o n. = B \ nombre Eini de points a. . _ L Si par rnalchance x ,x, passe par certains des a . , on peut trouver un o _ chemin S joignan_ x á x, dans n. en contournant Les a . par de petits o J _ demi-cer et un compact e _ ' de la forme L rt D oú L est un b o K d __ rectangLe de _ et D un bidisque . IL existe un entier j 6lN tel que L _(L + 2ij n ) ± 0 et un bidisque D' contenant D U gj (D) . Avec Les choix précédencs K < L _ D' dj (K) c (L + 2ijn) _ D' LU(L + 2ij TT ) ne sépaTe pas le plan, donc est polynomiaLement convexe , et il en esc de méme du produit LU(L + 2 ij n ) w D ' . .. D' ap rés HORNANDER [l] , _h. 2 . 7 . 7 . , p . SS , _ existe un p oLynóme Q teL que : |q - ul