lnvent,one, math. 4_ 2g3_302 llg7g) INveNtioNes mat_ematicae l_ by Springer-Verlag 1978 Un exemple de fibré holomorphe non de Stein a fibre C' ayant pour base le disque ou le plan Jean-Pierre Demailly Ecole _ormale Supérieure, 45, rue d'Ulm, F-_523O Paris Cedex 05, _rance, et L.A. au C.N.R.S. n° 213, Université de Paris Vl. Département de Mathématique Introduction Dans le présent travail, nous construisons un fibré holomorphe non de Stein au dessus d'un ouvert connexe non vide quelconque de C, ayant pour fibre C', et dont les automorphismes de transition sont de type exponentiel. La premiére réponse négative au problème posé en 1953 par J.-P. Serre [4] de savoir si un espace fibré á b_se et á fibre de Stein est lui-mêrne de Stein, a été donnéc récemmenE par H. Skoda dans [5] et [6], oú le lecteur trouvera une bibliographie compléte sur le sujet. Dans le contre-exemple de H. Skoda, la base est un ouvert multiplement connexe, et les automorphismes de transition sont localement constants et á croissance exponentielle. En réponse à une question soulevée par H. Skoda, nous avons donné dans [l] un contre-exemple où la base est une couronne, où les autornorphismes de transition sont polynomiaux, et nous avons montré qu'alofs le groupe de Dolbeault H°'' de l`espace total du fibré est muni dc la topologie grossiére_ L'outil princip'dl pour la construction de tels fibrés est une inéga_ité due à P. Lelong [3], qui permet de contrôler précisément la croissance des fonctions plurisousharmoniques sur les fibres. On prouve ici, par un calcul d'enveloppe pseudo-convexe utilisant le principe du disque, que les fonctions plurisoushar- moniques continues sont constantes sur certaines fibres particuliéres, achev'dnt ainsi la construction du fibré. On montre de plus (cf. la remarque 3) que les fonctions holomorphes du fibré sont triviales, c'est-á-dire constantes sur toutes les fibres. l. L'inégalité de P. Lelong Nous nous contenterons d'énoncer le résultat, et renvoyons le lecteur á [l], é` l, [3] p. 193 th. 6.5.2 et p_ 194, th. 6.S.4, ou [6], é9, pour un exposé complet. Soient n une variété 'dnalytique conNexe de dimension _, v une fonction plurisousharmonique sur n x C", w un ouvert reldtivement compact de n. 0020-991 0/78/0048/0293/a02.00 294 J.-P. Demailly On mesure la croissance de v sur les fibres en posant M(V,w,r)= sup V(x,z), XE_, |_| _r oú r_O et lzl= sup lzjl. D'après P. ____ñg [3], M(V,w,r) est une fonction convexe croissante de Logr, strictement croissante pour r assez grand si V est non constante sur au moins une fibre au dessus de w. Lemme. Si n Pst UN ouL`ert de Cp, w, c(y, cw, trois polydisques coNL`_Ntri4ue_ rt_ rayoNs p, l Ne dépeNdaNt que de w,, w,, n, _t UN_ constaNte R)O dépeNdNNt eN outre d_ V tell__s qu_ M(y,_)2,r)_M(V,w,,r°) pour r_R. (3) 2. Construction du fibré X La base du fibré sera un ouvert connexe non vide n de C. Nous nous intéresserons surtout au cas oú n est un disque ou le plan, c'dr si n n'est pas simplement connexe, on peut donner une construction plus simple avec des automorphismes polynomiaux localement constants (cf. [l] é 2,3). Soient a,,a2,a,,u4,a,,a6, six points distincts de n, et posons no=n-{a,,N2,a3,N4,u5,a6}, n_=nou_ak}, l_k_6. On définit un fibré x á fibre c' au dessus de n par lcs cartes locales trivialisantes Tk:xlnk_nnxc' au dessus de nn, O_k_6, avec les automorphismes de transition Tn,=Tkoz-' :noxc' _noxc' l ) (si k_l, nh^n,=no) définis par: _Tn ex_mple de fibré holornorphe non de SLein 295 'kl='- ' ° zn_ p°ur tous k, l = l, ..., 6, o_ To_(X,z)_(x,w), xEno, z=(z,,z,), W=(N7 w,), l _ oú w, =z,, w,=z, exp(z,jk- ' p(x)), si k= 1,2,3, w, =z, exp(z2jk-4p(x)), w,=z,, si k=4,S,6, 'dvec z, z, w, w,EC j l ._- _ 7 _ l = -_"-__ et p(x)=exp E _k - , l ±k±6 X-Uk - - /_k, k= l, ...,6, étant un nombrc complexe non nul. R_marUu_ l. Pour définir X, l'd carte nu x C_ est en principe superflue, mais sa considération introduit des automorphismes _ok plus simples que les 'dutomor- phismes zn,,k,l_O. 3. Restric_ions sur la croissance d'une fonction plurisousharmonique non constante sur une fibre {Qn} x C' Soit V une fonction plurisousharmonique L.olTtil_[le sur X, représentée dans la carte nk xC' par la fonctiolI du même type Vk= yo T-'. k On a donc sur noxc' yko Tn, = V,, k, l=O, ...,6. L'idée est _a suiv'dnte: ld croissance de Vh= VOoT_,; au dessus d`ulF ouvert wo relativement compact d'dns no e_t compar'dble á l_ croissance de Uk au dessus d'un pe_it disque voisin de ak (inég_lité de P. Lelong). L`e petit di_que peut être choisi de sorte que p y prenne des valeurs trés petites, et que To_ y soit proche de l'application identique. Revenant à l'ouvert initial wo, on voit que le croissancc de v_ va être contrôlée par celle de Vo, commc l'exprime dc f_Con précise l_ proposition ci-dessous. Proposition. SoieNt wo UN nuuel__ l"elatiuement l'on1pa_t daNs S2o, V un_ .ful_cril)N plurisoushNrmoniqu_ coNtiNu_ sur X. Si p()ut_ UN L'_rtuiN k± l, ..., uu 6, yk= Vor- ' h _st NON cons_aNte 5`ur la_bry {ak) x C', ir exi_te UN_ <.Ol__StNNtL' R > l telly _u_ puur r>R on ait: ± M(Vo o _nk, wo, r) _ M(Vo, wo, exp(Log4 r)). OýmoNstruti(IN. Désignons par w(a,p) le disque ouvert de centre uEn, et dc rayon U>O. 296 J.-P. Dcmailly Soit b un point de no tel que p" soit réel négatif, et assez voisin de an b-an pour que le disque w(b,4p), p=lb-akl, soit contenu et relativement comp'dct dans nn. Nous poserons: b, = an + [(b -an), p,=_pt, avec O l et w(b,,3p)cw(b,4p), C,Log_ M(Vk, w(b,, 2p), r) _ M(Vn, w(b,, p,), r ') + U,[M(Vk,w(b,4p), l)-M(Vk,w(b,,p,), r)]. (6) Vn étant non constante par hypothèse sur la fibre {ak} x C', sup _(Nk,Z) tend vers _ quand r tend vers _. '"_' Grâce á la continuité de Vk, il existe pour tout nombre A une constante rA et un voisinage UA de ak tels que sup _(x,z)_A pour tout xçUA. (_) lzl _rA Prenons A =M(yk,w(b,4p), l). Pour OC,/C! et r_R, assez Srdnd: _> (Tb Logr.LoSLogr 12) ,= ( Avec le choix (IO) de t l_image p,d, Tok du po,,di,que ,z,,rc,Log_ , _ r est lncluse dans le pol,di,que lwl ,erC_2Log_ - On a donc d'aprés _) ct (12)' . M(_ wo r)O. Lorsque les 7_k sont k± l bien choisis, v est non constante sur les six fibres {u_} x C', c'dr il y a au plus un hyperplan de (__,, ...,_6)ERb pour lesquels V soit constante sur l'une de_ six fibres. On peut alors appliquer la proposition à chacune des fibres {a_} x C_, k = l, ... , 6: M(Vo o TOk,Wo, r)_ M(Vo,wo, exp(Log4 r)) pour r_R, . 'écrit encore ce qul s sup Vo(x, z) _ M( Vo, wo, exp(Log4 r)), (23) xEwo,zEXx.r avec Kxr= U Tok({x) xDr). ' l _k±6 _ - Cornme Vo est plurisousharmonique en z, on 'd sup Vo(x, z)= sup^yo(x, z), (24) XEWO,ZEKx,r xEw(),zEW_,r ^ où, par définition même de celle-ci, Kx r est l'enveloppe pseudo-convexe de Kx r. ^ ' ' _xr co_ncide d'ailleurs avec l'enveloppe polynomialement convcxe dc Krr r ' n ' d'après Hörmander [2] p. 91, th. 4.3.4. Il nous reste á évaluer Kn.y. La formc dc zon montre que pour k=l,2,3, _ok({x} x Dr) contient l'ensemble _(w,,w2)EC'; lw,|±r, lw,| ±yexp _ lp(x)| , et IArgw,jk- ' p(x)| ±_- , - - -3 donc U zon({x} xDr) contient le polydisque lw,|_r, lw',|_r exp _lp(x)| ; k= l, 2,3 de même U Tok({x} xDr) contient le polydisque IN',|±rexp _ , ] _ . _ lp(x)| IN,| ±r k=4,5,6 Le principe du disque (cf. par exemple Hörmander [2], p. 34, th.2.4.3.) montre ^ que _x,r contient le polydisque de rayon moyenne géométriUue (_IP x) ). (25) r exp ( | Mais pour XECÚo, on a lp(x)|_ (T>O, et d'aprés (23), (24), (25), la mdjoration (, , " ± M(Vo,wo, exp(Log4r)) est vérifiée pour r±R. M Vo wo rexp 4 _ - Un excmple de fibré holomorphe non de Stein 301 Comme V est non constante sur au moins une fibre de X, M(Vo,wo,r) est strictement croissante pour r assez grand; on en conclut ("