Séminaire P.~LELONG - H.~SKODA
(Analyse)
20e et 21e année, 1980-1981
LNM n° 919, pages 77-107


SCINDAGE HOLOMORPHE D'UN MORPHISME DE FIBRÉS VECTORIELS SEMI-POSITIFS AVEC
ESTIMATIONS $L^2$

par J.-P. DEMAILLY

Table des matières.

0. Introduction et notations.
1. Rappel sur les différentes notions de positivité.
2. Estimations a priori et inégalités $L^2$.
3. Calcul de courbure.
4. Construction de rétractions holomorphes.
5. Extension des fonctions holomorphes avec contrôle de la croissance.


0. Introduction et notations.

Le présent travail réétudie dans un cas particulier les techniques dëveVoppées par
H. _KODA [l l] , [ l 2] , [ 13] , [ l_] , [ ls] pour l'étude des morphismes surjectiEs de fi-
brés vectorieLs l_olom_7_.phes semi-positifs. On considère une suite exacte
(l) o_s_E_q_o
de fibrés vectoriels holomorphes, de ranSs respectifs s,p,q (avec s = p-q) , au-
dessus d'une variété analytique cornplexe x de dimension n . On dit qu'un rnorphisme
de Q dans E réaLise un scindage holDmorphe de la suite exacte (l) si
g o h ± Idq ,
de sorte qu'on a alors la décornposition
E ± s _ h(q) .
l'lll_ hT_Ll_r_l<IllL`LIL, _t_nt _unn_ Lln fi_r_ lin__irc N sur x , ct unE _c_L-ion f _u
fibr_ _lun(Q, _ _ Il) , on rechercl_e s'il cxiste unc scction l_ _u ri_r_ E*om(Q, E _ M)
L_>_ IL qu_
g o h ± f .
Pour obtenir de tels ré_uLtats, nous serons amenés à faire des hypothèses de convexité
sur la variété x , et de positivité sur les fibrés E et M . Nous supposerons, comme
H.SKODA [ 13] , [ l_] , [ IS] , q_le x es_ une variété kählériEnne., munie d'une métrique

-2-
de Kähler _ non nécessairement complète, ec que x est faiblement pseudoconvexe ,
c 'est-á-dire qu'il existe sur x une fonction de classe C' , plurisousharmonique
et exhaustive . Les variétés com_actes_ les variétés de Stein, l'espace tot<Tl d'un
fibré holomorphe semi-négatif an sens de Griffiths au-dessus d'une variété compacte ,
sont faiblement pseudoconvexes. On suppose de plus que les fibrés E , M sont munis
de métriques herrnitiennes> ec que les fibrés s , Q , Hom(Q, 4_N) , Hom(Q, E_M)
sonc munis des métriques naturelles déduites de celles de E et N .

Les hypothèses de positivité sont les suivantes (voir le paragraphe l p(>ur les défi-
nitions concernant la courbure et la positivité) : le fibré E est semi-posicif au
sens de Griffiths, et iL existe un réel k > Inf(n,q) + inf(n,s) tel que l'une des
conditions (2) ou (3) soit réaLisée :
(2) ic(N) - ik c(déc q) - ic(dét E) + i Ricci(_) >, o ;
(3) le rang s de s est égal à l , ou bien E est semi-positif au sens de Nakano>
et _n a
ic (N) - ikc(dét q) + i Ricci(w) >, o .
On a alors un théorème d'existence avec estirnations L' précises (on a noté dv ± _
n!
l'élément de volume canonique sur x ).
' ÈNE l. - Pour toute section globale f de Horn(4, Q _ N) celle que le second
rHEoR _
_lembre de (s) soit fini, il existe une section globale h de Horn(Q, E _ N) telLe que
-
(_) g o h ± f ,
(s) lhl ' dv ,< c | fl ' dv ,
x x
avec C = k - '"'("_q)
- k-Inf(n,s)-Inf(n,q) .
En p_atique, le théorème l s'appliquera surtouC au cas où la variété x est de Stein,
car les conditions de positivité et La convergence globale des intégrales semblent
supposer l'existence de fonctions d'exhaustion strictement plurisousharmoniques (du
moins lorsqu'on cherche à construire des scindages holomorphes).
La .démonstration repose sur l'inégalité de Kodaira-Nakano, et sur Le lien qui existe
entre les formes de courbure des fibrés Q, S et l'obstruction au scindage holomorphe

-3-
de la suite exacte (l). Les calculs sont directement inspirés de [l_ ] , mais utiLi-
senc de plus une relation entre les notions de positivité de P.A.GRIFFITH-S et de
S.NAKANO, récemment publiée par l'auteur dans [3] en collaboration avec H.SKODA ,
et dans [2].

Etant donné une sous-variété x de dimension n de Cp , le théorème l s'appli-
que en particulier á la suite exacte
O_TX_T_pl _NX_O
x
qu_. définit Ve fibré normal NX de x . Cecte idée , déj_ utilisée par C.A.BERENSTEIN
et B.A.TAVLOR [l] , nous permet de montrer L'existence d'un voisinage tubulaire u
se rétractant holomorphiquernent sur x , et d'estimer la taille de Uk. En a__li_uant
des.techni_±ues önaloR_es à celLes Ze S.JENNANE f__ , _ous obtenons ±u _er___r _z_agr__pñe
un théorème d'e_tension des _onctions holomorºhe__ zvec contrôle de lz croissancekk .
Je tiens à remercier Nnnsieur Henri SKODA pour ses nombreuses suggestions, qui ont
permis d'améliorer la rédaction initiale.

l. Rappel sur les différentes notions de posicivicé.

Si E est un fibré hermitien, on peut définir une connexion canonique D sur E ,
hermitienne et holomorphe (cf. A.DOUADV et J.-L.VERDIER [G] , P.A.GRIFFITHS [s] ) >
qui envoie l'espace C_ `
a,b(X,E) des formes de type (a,b) a vaLeurs dans E , dans
_ _
'a+l ,b'Xl') _ Ca,b+, (X,E) .
La forme de courbure c(E) du fibré E est alors définie par la propriété suivante :
D'u = c(E) .u
pour toute section C_ u de E , de sorce que ic(E) est une (l,l_-forme à
valeurs dans le fibré Herm(E,E) des endomorphismes hermitiens de E ; on identifiera
toujours ic(E) à la forme hermitieMe sur TX _ E qui lui est associée canoniquement.

DEFINITION l. - Soit O- ung forme hermicienne sur un produit tensoriel T _ E
d'espaces vectoriels complexes T _ E de dimensions respect_ves n _ p . On di-
_ O est semi-positive
'(cf. Q _, théorèmes G et s) .
kk,c,. coro,,aires 2,3,et G du théorème 6 ).

-_-

(6) au sens de GRIrrITHs si pour tout vecteur décomposable x = t _ e E T _ E ,
on a O(x,x) >, o ;

(7) au sens de NAKANO, si pour tout x E T _ E , on a O-(x,x) >, O .
-
Le fibré vectoriel hermitien E sur la variété x est dit serni-positif au sens de
GRIFFITHS (resp. au sens de NAKANO) si our tout oint zEX , la forrne hermitienne
ic(E) sur la fibre T x _ E est semi-positive dans ce sens.
z z
Nous noterons >,G la semi-positivité de GRIrFITHs, >,N celle de NAKANO. Il est
clair que la semi-positivité de NAKANO entra_ne celle de GRIrrITHs. De plus, les deux
notions coincident si n = l ou si p ± l , et sont reliées en général par Le
théorème s'_ivant.

TH_oRtM 2 - Soit O- >,G o une forme hermitienne sur _ _ E .
Si (e.),,, j ,,p est une base orthonormée quelconque de E (supposé hermitien) on
- J
définit TrE O- par
- p
rrE O(t,t) ± E O(t _ e. , t _ e.)
j±l J J
pour t E T . Alors on a
-
(8) O + TrE O- _ IdE >,N o ,
(9) o ,< Inf(n,p) TrEO _ IdE .
N
Soit E un fibré vectoriel hermitien sur x , serni-positif (resp. positif) au
sens de GRIFFITHS. Alors

(lo) E _ dét E >,N o (resp. E _ dét E > o) ,
N
E"_dét E" fN o (resp. E _ dét E < o) ,
N
(l l) E _ (dét E)-'"""'p' ,< o (resp. < o) ,
__ N
Ek_ (dét E)'"""'p' >, o (resp. > o) .
N N
REMARQUE l. Les deux assertions de (lo) (ou de (ll)) ne sonc pas équivalentes car la
positivité de E équivaut à la négativité de E" seulement au sens de GRIFFITHS
(mais pas au sens de NAKANO en général).

Les points (9) et (ll) sont en fait une généralisation du lernme fondamental (3,S)
de [l_] . Lorsque E est quotient d'un fibré trivial, la secunde asserti_n

-S-
de (ll) est d'ailleurs conséquence de ce lemme de [l_]
Démonstration. Nous renvoyons le lecteur à [2] , [3l pour une preuve de (8).
_reuve de (9) : montrons t_ut d'abord que
TrE O _ IdE - O >,G o .
En effet, tout vecteur décomposable xET _ E peut s'écrire x ± c _ e où
|lell ± l ; si L'on choisit une base orthonormée (e.), , j ,,p de E telle que
I \
e, = e ,il vient
O-(x,x) ± O(c _ e, , c _ e,) , et
TrE - _ IdE(x,x) ± _ o(t _ e. , t _ e.) lle_' >,O-(x,x) ,
o
i±l J J
grâce à l'hypothèse O >,G o . D'après (8) on a donc
TrE O- _ IdE - O- + TrE(TrE O _ IdE - O) _IdE ± p TrE O- _ IdE - O >,N o ,
ce qui démontre (9) lorsque p\<n. Lorsque n \< p , il est aisé de voir que
T_E± U T_F .
F<E, dim F = n
Appliquons le résultat déjà trouvé à la restriction O-r de O- à T _ r , pour tout
sous-espace F de dimension n de E . (9) se déduit des inégalités suivantes
O- \< n TrF O-F _ IdF ,< n TrEO- _ Idr ,
r N N
soit O ,< n Tr O _ Id sur T_F .
N E E
Preuve de (lo) et (l l).
Il est bien connu que la courbure du Eibré dét E ± np E est reliée à celle de E
par la formule
(12) c(dét E) = TrE c(E) = - TrE c(E") ,
et que pour deux fibrés vectorieLs hermitiens E,. et E, , on a
(13) c(E, _ E,) ± c(E,) _ Id _ IdE _ c(E,) .
'2 l
(lo) ec (l l) se déduisent alors de (8) et (9) en prenanC o- = ic(E) ou o ± -ic(E")
selon le cas.

-b-

2. Estimations a priori et inégalités L' .
On considère , avec les notations et hypochèses de l'introduction, la suite
exacte (l) :
o_s_E_q_o .
La connexion canonique D sur E se décompose suivant le scindage orchogonal _
l
E = S _ Q , de la manière suivante
(D, - Q_
(l_) D ± _
B Dq
où D, et pQ sont respectivement les connexions canoniques sur s et Q , et où
B E c, ,o(x, Horn(s,q)) .
Nous renvoyons à P.A.GRIrrITHs [s] pour La démonstration de (l_), et à H.SKODA [l_]
pour le détail des calculs qui vont suivre. On a classiquement
D2 - k n Q - D_"
c(E) ± D' = ' B
Dg D_ - g nBk
d'où par d_finition
_c(S) ± D_ ± c(E) | + Bkn B
s
(ls) 2 c,E, | + g ^ Bk
c(q) ± Dq = .

Soit K = n" Tk x le fibré canonique de La variéCé x et N un fibré en droites
sur x . Par application à (l) du foncteur Hom(Q, ?_K_N), on obtient la suite
exacte
(16) o _Hom(q, s_ K_N) _Hom(q, E_ K_ N) _Hom(4,q _ K _ M) _o ,
et la connexion DNom,Q, E_K_N, se décompose suivant le scindage orthogonal de
(16) , en
(DHom(q, S_K_N) - Qk
DHom(q, E_K_N) ± .
B DHom(q, q_K_M)
Posons R = Nom(Q, S_M) pour simplifier Les notations.
\
PRO&LEM. - Etant donné une seccion holomorphe f _ Hom(Q, Q_K_N), chercher un

-7-

relèvement h _ f dans Hom(Q, E _ K _ N) sous la forme
h = f + u ,
_ _
avec u E c (x, R _ K) ± Cn,O(X, R) .
On aura bien par construccion g o h ± f , et h sera holomorphe si ec seulement si
(17) D_ u = - D_ f = B" f .
om(q, E _ K _ N)
On résout cette équation par La méthode d'HÖRNAWDER [6] ec [7] , ce qui, modulo L'iné-
galité de KODAIRA-NAKANO (cf. [_] , exposé III, th. 3) , nécessite l'obtencion d'une
estimation a priori du type suivant (avec une conscance A >, O)
(18) | (B"flv) | ' ,< A(ic(R)n v | v)
_ \
pour coute (n,l) forme v à valeurs dans R , de cLasse C et a support compact.
Le produit scalaire ( | ) est défini à parcir du produit scalaire ponctuel < , >
des formes par la formule
(v | w) = <v, w> dv ,
x
_ \
pour deux formes v et w à valeurs dans R , de classe C , et a support cornpact.
n désigne d'autre parc l'opérateur de cype (-l,-l), adjoinc de l'opérateur L de
multiplication extérieure par w , pour le produit scaIaire ponctuel < , > .
Nous noug servirons de la proposicion suivante (cf. H.SKODA [l_] , lemme (3,1) ,
proposition 3. l . , et conclusion (_,17)) .
. - ` . . _(X, R _ K) vérifiant
PROPOSITION Sous l'hypothese (18), _l ex_sce une forme uEC
(17) : D_ u = BA f , et :
(19) lul ' dv ,c A .
x
Le relèvement h = f + u de f esc donc tel que
(20) | hl ' dv ,< A + . | fl ' dv ,
x x
car f et u sont orthogonaux.
Le théorème l sera démontré si nous établissons l'inégalicé (18) et déCerminons la
constante A .

-8-

3. Calcul de courbure.

Nous aurons besoin des notations et résultats suivants .

Le produit intérieur a _ b de deux formes à valeurs scaLaires est défini en
touc point z de x par dualité :
< a7b , c > = <b , á nc > ;
on étend le produit intérieur au cas où a, b sont des formes à valeurs dans des
fibrés vectorieLs E> F par bilinéarité (le résultat étanc à valeurs dans le fibré G
si on a un morphisme bilinéaire E x F _G).

LEEOIE l. - (H.SKODA Cl_] , lemmes (3,3) et (3,_)) .
-
_ _
Pour toute forme vECn,,(X, R) = co,,(x, Hom(Q, s _ K _ N)) à support compact, toute
(l,l)-forme réelle O >,N o à valeurs dans Herm(R, R) , et toute forme
B E c o(x, Hom(S, q)), on a
l -
(21) (o- n v | v) >, o
(22) (-igR n Q n v | v) = llg_vll'.

Démonstracion de (21). Soit

o = i E anUjk dz_n d¸ _ e_ _ ek ,
. U J
_,v,j ,k
± _ E vnj dz,n. .. ndz ^d¸n _ e. ,
v
n,j " '
l'écriture canonique de O- et de v relativement à une base orthonormée (dzn),\,n,\n

de Tk X , ec à une base orthonormée {e.} de la Eibre de R . On a en tout point
I
nv = E (-l)"-" v_j dz, n . . . n _n . . . n j >
n ndz _e
_,j
O- nv ± i E an,jk vhj dz, n . ..n dz nd¸ _ek ,
n,v,j ,k n v
< o-nv,v >= 2" E anujk vnj ú >, n >
_,v,j ,k 'k
d'après l'hypochèse de semi-positivicé de N_O de O- .

Démonscration de (22). Ecrivons en tout point de x

Q = E BnRj dzn_ E? _ _R l
n,j ,R '
= _ E v_j dz, n . . . ^dz nd¸n _ EL ,
v
h,j ,m " '

-9-

avec vnj EQ" _ _ , l,<n,<n > l ,< j ,< s , l ,< R ,< q , dans des bases orthonormées
".'l ,<j <, s ' ' _R'l ,< R,< q de' 'ibre' de s et q . On vérifie que
J
-iB"n B = i E B_Rj QVRk dz_^d¸ _ E? _ Ek ,
_,Y,j ,k,R ' '
de sorte que les coefficients de O ± -iBwnBE Herm(S,S) sont donnés par

a_Vjk ± _ Q_Rj BURk .
D'après la première partie de la démonstration, on a
< -igkn g n v,v >= <O _ Idqk_N n v,v >

= 2" E QnRj _<vnj _ vVk_
h,v , j ,k,R
± 2" E | E anRj vhj |' .
R _,j
(22) résulte donc de l'inégalité
B _ v ± (-l)" i E BhRj vn_ dz, ^ . . . ndz _ _ . .
_,j ,R " R
Nous disposons maintenant des moyens techniques nécessaires pour effectuer le calcul
de courbure.
Puisque R ± Qk _ s _ N , on a d'après la formule (13)
(23) c(R) = c(qk) _ Id + c(') _ 'dq" + '(N' _ 'dq" _ s .
S_N _M
Supposons le fibré E semi-positif au sens de GRIFFITHS.
Alors il en est de même pour le fibré Q . D'après le théorème 2 (ll) on a
(2_) ic(qk) + Inf(n,q) ic(dét q) _ Id4_ >,N o .
Puisque -iBk^B >,G o (en fait on a rnême -i B"nB >,N o) , (9) et (IS) entra_nent succes-
s ivement
(2s) i(c(E) _, - c(S)) ± -iBknB \<N Inf(n,s)i Tr(-B"n B) _Id,
.
± Inf(n,s) i TrBnBk _ Id, ,
(26) i(c(E) |, - c(S)) ,< Inf(n,s) i(c(dét q) - Tr c(E)| q) _ Id, ,
N
d'où , après substitution de (2_) et (2b) dans (23) :
ic(R) >,N iIC(N) - (Inf(n,q) + Inf(n,s))c(dét q) + Inf(nls) ." '(') ld_'d +i'(')ls_'dqk___.
R

si (hypothèse (3)) s est de rang l , ou si E >,N o , on a ic(E) | >,N o ; de
s

-10-
faSon générale, (8) implique
ic(E)_ + i Tr c(E) |, _ Id, >, o .
s N
En substituant à nouveau dans (27) , il vient
ic (R) >, i[c(N) - (Inf(n,q) + Inf(n,s)c(dét q) + Inf(n,s)Tr c(E) lq - Tr c(E) | ,] _IdR .
N
Posons E ± k - Inf(n,q) - Inf(n,s) > o ; comme Tr pnQk = c(dét Q) - Tr c(E) lq
d'après (ls), on obtient
(28) ic(R) - i ETr B _B" _ Id >,
R N
i(c(M) - k c(dét q) + (k - Inf(n,q))Tr c(E) |4 - Tr c(E) |,) _IdR ;
le cerme Tr c(E) |, peut même être omis sous l'hypothèse (3) .
RemplaSons N par M _ Kk ± N _dét TX ; compte tenu de ce que Ricci(_) ± c(dét TX)
et E >,G O, le premier me_bre de (28) est semi-positif sous les hypothèses (2) ou (3) .
La Dr_priété (21) entra_né doñc l'inégglité suivante :
(2_) (ic(R) nvlv)>, F(i Tr B n a"nv | v) .
Pour obtenir l'estimacion a priori (18) , il nous reste à majorer | (Bk flv) |'
en
Eonction de (i Tr Q_ B"nvlv) .
Pour obtenir (18), il nous reste à majorer | (Bk f | v) |' en fonction de (_ rr BnBkn vlv).
Par définition du produit intérieur, et d'après (22), on a
-
(30) | (gkflv) | ' = | (fl g _v) | ',< T_ fll' _ Q _vll' ± __f__ ' (-iQR_g nvlv) .
Une nouvelle application de (21) fournit à partir de (2s) :
(31) (-i_"n B n vlv) \<Inf(n,s) (i Tr BnBk n vlv) ,
d'où en combinant avec (29) :
LEla_E 2. - L'estimation (18) | (Bkflv) |'\< A(i c(R) nvlv) est satisfaite , et on peut
choisir la conscante A égale à
Inf(n,s_n, n s | fl ' dv .
k-Inf(n,q) - ( ,_ ) x
Le théorème l résulte maintenant de la proposition (cf. (20)) et du lernme 2.
RENARQW 2. Les caLculs précédents montrent en fait que le théorèrne est vrai si V'on
suppose seulement
(32) i(c(N)-kc(dét q)+(k-Inf(n,q))Tr c(E) _q-Tr c(E) | ,+kicci _) >, o ,
le terme Tr c(E) |, étant superflu si s = l , ou si E >,N o.

-l l-


Nais nous avons préféré énoncer le théorème l avPc des hypothèses géométriques

qui ne supposent pas une connaissance approfondie de c(E) .

_. Lorsque la section f du fibré Hom(Q, Q _ M) est de la forrne f ± Idq_ u

pour une section u de M , on va montrer que

| (Bk flv) | ',< Inf(±,s) II fll' (i Tr BnB" n vlv) ,
q
de sorte qu'on peut dans le lemme 2 prendre

Inf(_ s) | | ' dv ,
A±_x
k Inf n,q) Inf(n,s) '

et remplacer la constante c du théorème l par
Inf(± s)
Cl ± l + q'
k - Inf(n,q) - Inf(n,s) .

Ecrivons en effet en chaque point z EX la section

_ _
v E Cn,, (X,R) = c (x, Hom(Q,S _ K _ M)) sous la forme v ± w _ e , où e est

un vecteur unitaire de la fibre K _ N , et où w est une (O,l)-forme à valeurs
z z
dans Hom (q,s) . On a
z
(33) clB'qf, v> ± < Bk o IdQ_u, w _ e > = <B_ w> <u, e >.
l

Dans une base orthonormée (dz.) de Tk x , les formes B et w s'écrivent
n J '
B ± E B. dz. , B. <- Hom (s,q) ,
, n j±l J J I z
w ± _ E w. d_. , w. E Hom (q,S) .
j±l J I J '
Il vient donc
n
<B" N> ± E <B? w.> ,
' j=, J ' J
(3_) |<B" |' _ | g. ' lv. | ' avec v. ± w. _ e .
_ w' \' " | J ' J J
j±l J
Si d'autre part, on a choisi la base (dz.) de sorte que les éléments B. soient
J J
orthogonaux (ce qui est toujours possible, car toute matrice _ x n , B peut s'écrire

B = U D V , où D rnatrice ''diagonale" r x n U et v matrices unicaires r x r
l
et n x n ) on obtient successivement :

B nQk = E aj Q_ dz. ^ d¸k ,
l \<j,k\< n '
. - . " - - . " 2 dz n d¸ >
L Tr _ ^ Qk - _ E Tr(Bj B?) dz. n dz. - _ E IB. | j j
j±l J J J j±l J

-12-

i r n v, v > = _ | g . | ' | v. | ' .
(3s) < T B gk n
j± l J I
pour établir l'égaLité (3s), on se reportera à la démonstration de (21). En combi-
nant (33), (3G) et (3s), on voit que
|< B" f, v >|' ,<n <i Tr p ^_ | |'
nv, v> u
± ± lfl' < i Tr g n gk nv, v> .
q
Après intégration sur x , l'inégalité de Cauchy-Schwarz implique
| ( B_ f lv) | ' \ ±( lfl ' dv) . (i Tr B n B _ n vlv) ,
<
q
x
et (30) , (31) montrent qu'on peut remplacer ± par Inf(_,s) . .
q
On va maintenant énoncer les résultats du théorème l en fonction d'une rnétrique
donnée a priori sur Q , de manière à pouvoir traiter conune H.SKODA [IG] le cas
où le rnorphisme g dégénère.

Soit gk le morphisme C_ ' ' . '
, transpose de g , pour les metr_ques donnees sur
E et q :
k
o_qg_E.

Le morphisme gk(ggk)-' : . _ . .
Q _ E , est le sc_ndage c de la su_te exacte (l)
qui envoie Q dans (Ker g)_= sL. la _étrique quotient | | ' sur Q est donc
l
donnée en fonct_on de la métrique initiale | | par

(36) lu |'' = | gk(gg")-' u |' ± <(gg")-' u,u> , u E q .

Désignons par c'(dét Q) la forme de courbure de dét Q relative à la métrique
quotient sur Q . Il résulce aussitôt de (36) que pour tout v E dét Q :
lv | '2 = dét (gg")-' lv |' .
On a donc
c' (dét q) = c(dét q) + d'd" Log dét(ðgk) .
si l'on veut conserver telles quelles Ves hypothèses de positivité (2) et (3), on
est amené à multiplier la métrique de N par le poids [dét (gg")] k de sorte
l
que l'estimation (s) du théorème l devient
(37) lh |'2 (dét gg")-k dv,< c lf | '' (dét gg")-k dv .
x x
Pour tout élément hEHom(Q, E) , la norme lhl' est donnée en fonction de la

_13-
norme naturelle lhl par
lh | '' = lh o g |' = <h o gg" h> >
l
et d'après (3b) , on a pour tout fE Hom(q, q) :

lfl '2 ± <(ggk)-' o f o ggk f >
l
= (dét ggk)-' _Jko f ogg_ f > 7
< gg
_'" désigne l'endomorphisme cotransposé de ggk .
ou gg
L'estimation (37) s'écric donc
/< h o gg" h > (dét gg_)-k dv,<c < _R o f ogg" f > (dét ggR)-k-' dv .
_ l
x x
Si maintenant g n'est surjeccif qu'au dessus de x privé d'un ensemble analyti-
que Z , on suppose que Z est X-négligeable au sens suivant.

ÉFINITION 2. - Nous dirons qu'un ensemble zcx est X-négVigeable, s'il existe
D
-
un sous-ensemble fermé V de X , contenant Z , de mesure nulLe, tel que L'ou-
_ x \v soit fhiblement pseudoconvexe, et tel que toute fonction de carré som-
mable sur un ouvert U de X , holomorphe dans U \V , se prolonge en une fonc-
tion holomorphe sur u .

Lorsque la variété x est de Stein ou projective, z est toujours X-négligeable :
il suffit de prendre pour Y une hyDersurface quelconque de x contenant z .

si z est X-négligeable, le théorème l s'applique à x \Y . Comme k >, _ , La
finitude de l'intégrale
/<ll o ggR h> (dét gg")-k dv
l
X\Y
entra_ne que h est localement L' donL` que h se proLonge à X . D'oú le
>

È# 2. - Etant donné un morphisme g : E _Q > on suppose que l'ensemble
THEOR
analytique z ± Fz EXlg(E ) _ qz} est X-négl igeabl_ . ' . ' .
, et que le f_bre l_nea_re N
Z -
vérifie l'une des conditions de positivité (2), (3) ou (32) .
Alors, pour toute section f _ Hom(q, Q _ N) teLLe que le second membre de (38)
soit fini, il existe une section h _ Hom(Q, E _ N) celle que g o h = f _

(38) 'h o ggk h > (dét gg")-k \ ^'R f o gg" f> (dét gg_)-k-' dv ,
, dv <c < gg
x\z x\z
avec c = k - `"'(___
_ _Inf(n_s).

k On peut démontrer que cette hypothèse est superflue.

-l_-

G. Construction de rétractions holomor hes.

Soit X une sous-variété fermée de dimension n d'un ouvert pseudoconvexe n
de _p . On s'intéresse à la suite exacte
o_Tx_Tnlx_Nx_o
où NX est le fibré normal à x . Tous ces objets sont munis des métriques indui-
tes par La métrique de _p . Avec les notations de l'introduction , on a
E ± T nlX , S ± TX , Q = W , s ± n _ q ± p - n .
De plus, dét Q ± dét NX ± (dét TX)-' rnétriquement, donc
c(dét q ) ± - Ricci(X) .
Choisissons pour M un fibré trivial, dont ].a métrique est donnée par le poids e_
|
de telle sorte que c(N) = d'd" p .
Comme le fibré E = T n lx est plat, les conditions (2) et (3) s'écrivent :
id'd"p + i(k+l)Ricci(X) >, o ;
en appliquant le théorème l à f = IdQ , dont la norme en tant que section de
Hom(Q, Q _ N) vaut qe_ , et compte-tenu de la remarque 3, on _btient Le
7 \
THEORE_IE 3. - Pour toute fonction p plurisousharmonique sur x , et tout réel
k > Inf(2n,p) tels que
id'd"P + i(k+l)Ricci(X) >, o ,
il existe une section h : NX _Tn | telle que
- - - X
g °h = 'dNX '
(39) lhl' -p dv ,< (p-n + " ) e-p dv .
e II - Inf(2n,p) x
x
RENARQUE _. Le résultat a été démontré seulement lorsque p est de classe c_
mais il est immédiat de se débarrasser de cette hypothèse par un passage à la limite.
On notera que la condition de courbure ne peut être vérifiée que si p est plurisous-
harmonique , car i Ricci(X) \< o .
si rrX : NX _ x est la projection du fibré NX , on définic une application
a : NX __p par
_( s ) = nx(S) + h.s , s E NX .
Il est cLair, d'après le théorème des fonctions implicites, que o est un

-IS-

isomorphisme d'un voisinage v de la section nulle dans NX , sur un voisinage V'
de x dans n .
On construit donc une rétraction holomorphe r : V' _h' (c'est-à-d_re une appli-
cation holomorphe r : v' _x telle que r(z) ± z pour tout z ?x) en posanc
-l
r = nX o O _

Il ne nous reste plus qu'à préciser v et V' .
On se donne une fonction p> O sur x telle que pour tout zEX , il existe un
poLydisque D(z, p(z)) de centre z , de rayon p(z) , dans lequel x est un
graphe. De faSon précise, on suppose :
(Go) D(z, p(z)) est le produit des deux disques D' cr x, D"C (r X)L
de centre z
z z
et de rayun p(z) .
(_l) x ^D(z, p_z)) est le graphe d'une application holomorphe
u : Dl _D'' .
z
si on pose Pp(z) = sup p(S) , on obcient le résultat général suivant , qui
SEXnD(_p(z))
ne fait intervenir que des données géométriques de x .

ÉOR_M G. - Soit p une fonction plurisousharmonique sur x telle que
M
-
id'd"p + i( E+ l + Inf(2n,p))Ricci(X) >,o (E > o),

/-p dV < +_
e ,
x
p une fonction vérifiant les hypothèses (GO) , (_l) , _ h le scindage holomor-
phe du théorème 3.

Alors l'application n(z, E) ± z + h(z) . E , définie sur NX , est injective
-
sur un "vuisinage" V de la section nulle dans NX de la forme
-Pp(`) 2n+1,
v ± {(z, E) ENX ; IE | < c, e p(z)

Il existe une con__tante. C,> O et une rétraction holomorphe r : U _ X
sur l'ouvert
u ± {s E _p ; (3zEX) ls - zl < c, éPp"' '"+'}
p(z)

Les constantes C, >O > C,_O , sont le roduit de constantes universelles (ne dé-
pendant que de la dimension p ) et de
[(l + ±) e_ dv] -' .
E

-lb-

Démonstration. Dans toute la suite, on désignera par _. les constantes ne dépen-
J
dant que de la dimension p , et on posera

c = (l + ±) e¬p dv.
F
x
On considère en tout point zE x un système de coúrdonnées linéaires (S,, . . ., S )
p
tel que ± ... ± soit une base orthonormée de T x , et a ... ±
as ' ' as z as ' ' asp
l n n+l
une base orthonormée de (T x)_ . a ... ± définissent un
Les vecteurs a, , l a,p
z
n+l
repère local de NX au-dessus de XnD ; on note En+,, .. ., E les coordonnées
z p
correspondantes dans les fibres de NX . La section h E Hom(NX, TnlX) est donc

définie dans X^D par une matrice
z
H (S, , . . . , Sn) = [hj k(S , , . . . ,Sn)] ,
' l ,< j \< p
n+l\<k\< p

avec hjk(z) = Sjk , n+l ,<j,k \<p .

Soit o Le poLydisque de centre z et de rayon _ p(z) , contenu dans D(z, p(z)) .
z
Dans O , lhl' est équivalent à une constante universelle près à
z
IH | ' ± E lhjkl '
j ,k
(noter que l'application u de (Gl) a ses dérivées bornées dans O ) , et on
z z
tire de (39), grâce aux inégalités de Cauchy, que pour tout S E O ,
_IH (s) _ ,<_, c'" '"Pp"' - '
e p(z) "
z
(_2) aHz ,,, ,_,c,,, 1/2P (z) -n-,
s p l _ | , e p p(z)
l,<j,<n j
a/ Injectivité de _ sur v c NX .

De (G2) il résulte en particulier pour S ± z :
(_3) c'" '"Pp"' -" >, a, ,
e p(z)

et si (z, E) appartienc au "v isinage" V > on a
o

(__) lo(z E) - zl - lh,z, , , , _,c,cl/, -1/2Pp(z) n+,
, - . \\ e p(z)

Suppo sons _(z, E) = O(z' , E') pour deux points distincts (z, E ) , (z' , E') de v ,

ce qui ne peut se produire que si z _ z' . on a par exemple

-l /2P (z') p,z,,n+, -1/2Pp(z) n+l
e p ,c e p(z)

-17-

(_3) et (G_) entra_nent donc
(_s) lz' - zl ,< 2_, c, c"' -'"p 'z' "+' \< _, c, c p(z) ,
e p p(z)

et z' E O dès que C, C est assez petit .
z

On montre aisément à partir de (_l) , (GS) que
angle(T x ; z_-z, ,, _bc,cl/, -1/2Pp(z) n
e p(z) ,
z
car les dérivées secondes de u sont bornées par _, D(z)-' dans O . Ecrivons
z z
maintenant

o = _(z' , E') - _(z, E) ± z' - z + H (z') .E' - H (z) .E
z z
± z' - z + (H (z') - N (z)) . E' + H (z) . (E' - E) .
z z z
-p (z) 2n+1 , on obt_ent ,
D'après (G2) et l'inégalité IE' | \< c, e p p(z)

si c,c est assez petit :
| (H (z ' ) - H (z)) .E | | ,< _Bc, c' /' -'"Pp"' " lz | - z |
e p(z) .
2 z
,< _gc, c lz ' - z | < | z ' - z | ,

angle (zl - z ; zl - z + ,H ,z,, H ,z,, ,,, ,_,oc,cl/, -1/2P (z) n
- . , e p p(z)
z z
D'autre part, comme le vecteur non nul H (z) . (E' - E) se projette sur le vecteur
z
de coordonnées E' - E dans N x , (G2) i_plique
z
angle(T x ; H (z) . (E' - E) )>,IE' - E | . IH (z) . (E' - E) | -'
z z ' -1/2p (z) n
>, _, ,c-'" p p(z)
e
Les trois évaluations d'angle qui précèdent sont contradictoires dès que c,c

est assez petit; on a donc démontré l'injeccivité de a sur V .

b/ Existence de l'ouvert U .

Cornme nous n'avons fait aucune hypothèse de régularité sur la fonction p ,

l'ensemble V n'est pas nécessairement un véritabLe voisinage de la section nulle

dans NX .

Il nous faut cornmencer par "régulariser" p .
On remarque qu'il existe une constante _ E]O,l [ telLe que pour tout
l 2
S E o = D(z _ p(z)), x soit un graphe dans le polydisque D( s ,_,, O(z))
z l
(c'est-à-dire que les hypothèses (Go) , (Gl) relatives à S , D( S , _,,p(z)) sont
vérifiées) .

-18-

On peut donc remplacer p par la fonction
p' (s) ± s_R _,,(P(z) - 2 | s - zl ) , SE x .
z
p' est lipschitzienne de rapport 2 _ ,, , à moins que p' _ + _ auquel cas x
est le graphe d'une application _" _ _p-" , et l'ouvert u = _p convient !
Posons pour tout zEX et O < t \< p' (z) :
p,(z) = Sup p (s) .
SEX ^D(z,t)
La plurisousharmonicité de p entra_ne que p,(z) est continue par rapport
à (t,z) dans le dornaine o <t,< p' (z) .
D'autre part, on a la majoration évidente
-.pt 'z' " 2n c e_ dV
n
e . _ t \ .
. X

-pt ") 2n+1 tE]O, pl,z,] , at,ein, son maximum en un
de s_rte que l'expression e . t ,
point t = _(z) E ]o, p' (z)] , et que la fonction
-p_(') _(z)2n+l
e
est continue sur x . Il résulte du l emme de Schwarz que les conditions (GO), (Gl)
(Gl) sont bien satisfaites pour les polydisques D(z, _(z)) .
^
L'ensemble v associé à _ comme dans l'énoncé du th. _ est donc ouvert, et
^ ^
l'appLication holomorphe _ , qui est injective sur v , est un isomorphisme de v
^
sur l'ouvert _(v) c _p (on pourrait aussi de façon pLus élérnentaire utiliser le
théorèrne des fonctions imDlicices) .

L'inégalité évidente qui suit, valable pour ls - zl <_ p(z) :

_p(z)
p' (s) >, ,
entra_ne par définition de _
- p^ (s) ,n+, [_12 p,z,] 2n+1
(_b) e p _(s) >,exp(-P (s)) . _
_p(z)
_n+l -Pp(') 2n+1
_12 , e D(z) l
_(_

_12 p,z,, c D(z, p(z))
car D( S, _ .

rixons z EX ; d'après (Gb) l'ensemble û concient l'adhérence w de l'ouvert

__ = F( s, E ) EW ; ls - zl < _ p(z) et IEl < c, e-pe"' '""}
p (z)

dès que c3 ' _13 'l .

-19-
-p (z) ,n+l
On va montrer que _(w) contient la boule de centre z et de rayon c, e p p(z)
lorsque C, C est assez petit, ce qui achèvera la démonstration. Il est clair que
le rayon de la plus grande boule incluse dans o(w) est égal à la distance de z
au bord ao(w) ± _(aw) de o(w) .

Supposons qu'un point (S, E) EW soit tel que
-Pp(') 2n+1
(G7) lo(S, E) - zl = ls - z + h(s) .El ± c, e p(z)

Alors d'après (_2)> (G3) :
'' - " `'_IG '3 "" -''` Pp"' "+' -Pp"' 2n+1
e p(z) + c, e p(z)
`' _ls" + '3)c"' -'"p "' n+l
, e p p(z)

On en déduit comme dans la première partie :
angle (s - z . T x, , _,b,c, + c,,cl/, -1/2 Pp(z) n
, , e p(z)
s -1/2 Pp(z)
angle (h(s) .E ; T, x)>,IEl . lh(s) .çl-"/ _17 ' p"'" '

et lorsque (c, + c,)c est assez petit :
angle (s - z, -h(s) . E ) >, _ IEl . lh(s) .E |-' ,

| s - z + h(s) .E |>,[sin(_| E | . lh(s) .E | -' )] . [ ls -zl + | h(s) .E |]
_ _ | El + _,B c-"' -'" Pp"' " |, - z |
e p(z) >

ce qui est vrai méme si IEl ± o .

Il résulte alors de (_7) :
-p (') 2n+1
IEl ,< 8 c, e p p(z) ,
ls - zl \< _-_ c, c'" -'"p "' "+' ,< _,g c, c p(z) ;
, e p D(z)
lorsque C, c est assez petit, on voit que ( S , E ) ne peut appartenir à Va
fronc ière aw de w , donc la distance de z à o( a w) est bien minorée
-Pp (') 2n+1 .
par c, e p(z)

Nous allons maintenant transcrire le thé_rème G sous une forme plus exploitable
dans la pratique. On suppose que la variété x est définie par des équations

F, ± r, ± . . . ± rN = ° _
te_les que le rang du système (dF.),,j,N soit égal à codim x = p - n en
J \ \
touc point de x . Calculons la courbure de Ricci de x en un point z E x où

-20-

les formes (dF.)j E, sont indépendantes, J < Fl , . . .,N} , IJ | = p - n
J o o .
o
si l'on considère dF. cornme une section de NkX , ^ dr. définit une
' j EJ J
section de dét N"X ± dét TX ; par conséquent °

Ricci(X) ± c(dét TX) ± -d'd'' Log | ^ dF. |'
j E J J '
ce qui entra_ne °

i hicci(X) + id'd" Log E | _ dF. |'
J J
n dFj 2
± id'd" Log E J E' >, O .
J n dF.
j EJ J
o
D'auCre Fart , par définition de La métrique de nTk _p on a
l
| ^ dr.|' ± E IO,,Kl' ,
j EJ ' K
aF.
où o, , K= dét [_ ljEJ, kEK ,
_ k
J cF l , . . . ,.N } , K l_ F l , . . . , p} , | J | ± | Kl ± p - n.

On a donc

i Ricci(X) + id.'d" Log E lo | ' >, o ,
J,K 'IK
et on voit qu'on peut prendre pour poids p toute fonction

(_8) p = 2R Log o + p, ,

avec les notations

R ± E + l + Inf(2n, p) , o' ± E lo | '
_,K 'IK
et o_ p, est une fonction plurisousharmonique sur x telle que
/0-2R -pl dV < + _ .
e
x
Nous pouvons maintenant montrer de façon très précise l'existence de rétractions ho-

lomorphes, déja discutée par C.A.BERENSTEIN et B.A.TAVLOR [ll dans un cadre analogue.

_ \ .
_HEORENE S. - _ p,, p,, X des fonctions lurisousharmoni ues sur l'ouvert
_nc_p_
l

(_9) O-'R _' dv < + _ , R ± E + l + Inf(2n , p) ,
e
x N 2, 1/2 p2
(so) IF | ± ( E | r . | ,< e ,
j±l J

-21-
(sl) z E n _ _s - zl <e-X"' im_li_uent :

s En , p, (s) <P, (z) + A , p,( s ) \<P,(z) + A, et x(s) __ X(z) + A.
Alors il exi_te une rétraction holomorphe r : u _ x définie sur l'ouvert
u ± {z E n ; IF(z, |,e- _ (z) , ,

_ _ est la fonction lurisousharrnoni ue
(s2) _ = p + c, p, + c, x + c, log o + c, ,
l
_ c, ± (2n+2)(p-n)-1, c, = (2n+2)(p-n)+2n, c, ± 2( R-n-l) ,
c, = log( O-'R -p' dv) + Vog ± + _ (l+ E +A) ,
e
x E
_ _ > o une constante ne dépendant que de N _ p .

Démonstration. On désignera par g les conscances du type _l+ E+A
j l et
c ± (l + ±) O-'R _' dv .
e
E
a/ Montrons que la fonction
-(p-n)P, - (p-n+l)X
(s3) p = Q, o e
vérifie Les hypothèses (_o) , (_l) .

D'après (so), (sl) et les inégalités de Cauchy, les dérivées premières des r.
p, (z)+X(z) '
sont majorées par B, e sur la boule de centre z et de rayon ± -X"'
p, (z)+2X (z) ' e '
les dérivées secondes par B, e .

On a donc lol ,< B, e'p-"''p2+X' ce qui permet de choisir Q, tel que
(S_) p ,< e-X .

Fixons un point zEX , que nous prendrons comme origine des coordonnées pour
simplifier ; quittP- à effectuer une transfor_ation unitaire sur (F,, . . .,FN) ,
on peuc supposer que les différentielles d r, , ...,d F sont orthogonales,
z z p-n
et que d rp n+, ± .. . ± d rN ± O .
Z - Z .
On choisit un systèrne de coordonnées (S,> . . . ,Sp) tel que
d F, (S) = a,S, , . . . , d r (S) ± a Sp n .
z z p-n p-n -
On a alors
p, (z)+X (z)
O(z) ± | a, | . . . | a | , et | a. | ± | d F . | ,< g,e ,
p-n _ z _
ce qui entra_ne
-(p-n-l) (P, (z)+X(z))
(ss) la. | >, B, O(z) e .
I

-22-


On peut écrire

?' (F. (S) - F. (z)) ± S. + G. (S) , l \< j \< p-n , avec
a
J J J J J

ldG. (s) | ,< Bb b(z)-' exp((p-n-l) (P,(z)+ X(z)) + p,(z) + 2 x (z)) ls |
J
sur La boule |,| , l -X(z)
\ _ e .
nn en déduit que l'application G ± (G,,. . . ,G ) est _lipschitzienne sur une cer-
p-n
taine boule de centre z et de rayon B,O(z) exp(-(p-n) p ,(z) - (p-n+l)X(z)) ;

l'assertion relative à p résulte alors du théorème des fonctions implicites.

Si B, est assez petic, on aura de plus dans cette boule

(s6) o(s) >, ± O(z) .
2

b/ D'après (_8) , (sl) , (s_) , (s6) , on a ep"' ,< gge_"' pour ls - zl < p(z) , donc

Pp"' p"' . Le théorème _ implique que l'application o est injective sur
e ,< BBe

le voisinage

v ± F (z, E) ENX ; IE | < _g c-' -p(') p(z)'"+'} ,
e
avec (cf. (_3)) Bgc-' -p"' p(z)'"+' ,<p(z) .
e

p_açuns-nous en un point z E X . Pour tout point ( S , E ) E av , avec
o
IS -z |<B,Op(z ) et IEl = Bgc-' _'`' p(S)'"+' le raisonnement de a/ montre que
e ,
o o

IF( _ ( s , E ))| >, Inf _a. | x distance ( _ (s,E) ,x) .
j J
La partie b/ de la démonstration du théorèrne _ entra_ne dans les mêmes con-

ditions (Bg et B,o assez pecits) :

distance(o(S,E) ,x) = inf , distance(a(S,E) ,z)
zEX,lz-z _,<_P(z )
. ° ° -l _(z)p,z,2n+l
>, Lnf l B, ,c e
zEX,lz-z |,<_(z )
l_ 2 o
" Ql2'-' -p"°' p(z )'""
e ,
o

et comme |_ - _(S,E)| _ p(_ (s, E )) , on a d'après (sl) , (s3), (s_) :
o
_(' ) p(z )'"" >, Q,,e_'_""" p(_(s, E ))'"+' .
e o
o

On obtient donc au point _ = a(S,E) E a_(v) :

IF(o) | > Q,,c-'o(_) exp(-(p-n-l) (p,(_) +X(o),,e-p(_)p(_,2n+l - -Ú(_)p,_,2n+l
, - e

(cf. (_8) > (s2) > (s3) , (ss) ,s6)) .

-23-

Il en résulte que l'ouvert V contient toutes les cornposantes connexes de U
qui rencontrent la sous-variété x . On définit la rétraction r par r= rr o _'
x
sur ces compusantes, et r = point constant de X sur les autres composantes de U .
RENARQUE S. On a de plus par construction
lr(S) - Sl<e-X(S)
pour tout point S de l'une des composantes connexes de U rencontrant X .
_. Dans les applicacions , on aura intérét à remplacer (G9) par une con-
dition plus maniable. si _ est la réunion des b_ules ouv_rtes de centre zEX et
de rayon p(z) , on a
/O-' -p' dv ,< g,, O-'R _' -' (p-")
e e p
x _
`' Blb °-"R+p-"' -p' ' 'p-"' `'p-"' p2+ 'p-"+' 'x]
e e
w
compte-tenu de la définition (S3) de p .
Supposons maintenant que les conditions suivantes soient réalisées (avec des
fonctions plur.isousharmoniques p,, p,, X ) :
-p3
(s7) o >, e ,
p2
(s8) IF |_e ,
(s9) z E n et ls - zl < e-X"' impliquent
s E n , p,(s) ,<P,(z) + A, p,(s) ,<P,(z) + A, x(s) \< X(z) + A .

Alors on peut choisir
p, = 2(p-n) [(p-n)P, + (p-n+l)X] + 2( R +p-n) p, + (p+E)Log(l + lzl') ,
_ = ci p, + cj p, + cj x + cj + (P+F)Log(l +lzl') ,
(p-n) (P,+x)
avec R± E ,* l + Inf(2n,p) , et (compte-tenu de ce que lbl \< B, e ) :

ci = 2( R+p-n)(p-n) - l , cj ± 2(R+p-n) ,
cj = 2(R+p-n+1)(p-n) + 2n, cj = 2 Log ± + _(l +E + A) .
E
Ces derniéres estimations précisent et généralisent les résultats antérieurs de
C.A.BERENSTEIN et B.A.IAVLOR [l] . Ainsi, soit X une fonction plurisous-

-'L_-

harmonique sur n vérifiant les conditions suivantes :
(60) x >, o , et Log(l + | zl ) = o( x (z)) ;
(b]) il existe une constante A telle que
z E n et | z - sl < exp(- X(z)) implique que
x(s) \< X(z) + A .
On définit l'algèbre q(n) conone L'ensemble des fonctions holomorphes f sur _
teLles qu'iL existe des const_ntes A, , A >rO telles que
2
(b2) | f(z) | ,< A, exp(A, X(z)) .
L'hypothèse (bl) est généralement exprimée sous une forme un peu plus généraLe dans la
littérature (voir par exemple [8l), mais tous les p_ids usuels satisfont la condition
plus restrictive que nous avons donnéek.
COROLLAIRE l. -_ x une sous-variété de dimension n _
n < _p _ F, ±F,± ... ±rN±o, avec r,,...,F EA (n) .
' - N X
On su ose ue la uantité
(aF. 2 l /2
b ± ' - - - dé` _ E, kEK
| Jl - | Kl - p n
J >
est non nulle et vérifie une minoration du ty e
O >, exp(- A, X(z) - A,) , pour tout zEX .
Alors il existe des constantes A,,A, >O et une rétraction holomorphe r : u _x
définie sur l'ouvert
u ± {zEn ; lr(z) |<exp(- A,X (z) - A,)} .

S. Extension des fonctions holomor hes avec contrôle de la croissance.

On se replace tout d'abord dans la situation générale des Daragraphes 0,1 et 2 :
x désigne une variété kählérienne faiblement pseudoconvexe de dimension n , E, M des
des fibrés hermitiens au-dessus de X , M étant de rang N . On considére un sous-
ensemble analytique Y = F-' (o) de x , lieu des zéros d'une section holomorphe F
de N , et on pose
u ± {z E x ; | F(z) | < l } .
k On peut démontrer en outre que les clasaes d'algébres A (n) correspond__ntes sont les
mêm_s . X

-2S-

On a dans ce cadre un _héorème d'extension , qui généralise le théorème de
B._ENNANE [9] .

ÉOR_M 6. - Soient _ , q deux réels > o _ IFl-'q ne soit localement
TH
_ v (engénéral q seraunentier >, l , parexemple
q ± SUD codim v , ou q ± Inf(n,N)) .
_V -z
_ v est X-_(cf. 43, définition2)k
_ _ ,et que la forme de cour
bured_ E _
(b3) ic(E) >,N ( _ + ± ) <ic(M) .r,r> -i Ricci(X) .
l + | r | ' IF | '
|
_ g de E a-dessusde u , telleque lgl'dv<+_
_ l
u
il existe une section G _ E au-dessus __ R,co_ncidant avec g _ Y, _
RG ' dv , c(q _) lgl' dv
x (l + IFl 2,q+_ ` _ u ,
avec c(q,_) ± l + 'q+`'` . ± ± (q+')'
s_ q _ l , + s_ o <q < l .
_ _ - 2q-1 _ -
Démonstratio_. On cherclle l'extension G sous la forme
G = n( IF | ')g - u l

oú _ est une Eonction _-éelle de classe C à support dans ]-_ l , telle que
n = l au voisinage de o, et uEC (X,E) , u ± O sur v .
L'analyticité _e c équivaut á
(6_) D''u = v ,
avec v ± D''( h ( IF |')g) = _' ( IF |') < F , D'r > g .
Comme toute solution de l'équation (b_) est de classe C_ il suffit d'imposer que
||' IFl-'q soit locale_ent sommabLe pour assurer l'annulation de u sur Y .
u
Soit z une partie fermée de X contenant v , telle que x _ Z satisfasse les
hypothèses de la définition 2. On résout l'équation (b_) dans xl z , aprés avoir
multiplié la métrique de E par (l + IFl')-_lrl-'q .
Pour cette nouvelle métrique, la forme de courbure c'(E) du fibré E est donnée par

c'(E) ±c(E)+_'D'"D'" _ _ <c(M).F,F>
, , + | F | ,2 ' | | ') ' | | '
' (l + F l + F

C_ <c(N).F,F>
+ q G - lrl 2 .
| F |
k Comme pour Le théorème 2, cette hypochèse est en fait superElue.

-2b-

Soit K = dét(Th) le fibré canonique de x . Coo_ne la (l,l)-forme
i( IFl' <D'r , D'F> - <D'F,F> n <r, D'r>) est >, o , iL résulte de L'hypothèse
(63) que
ic' (Kk _ E) >,N _.i 'D'" D'" _ IdE .
( l + IF | 2, 2
| _ ± _ k _ E) vérifie clairement les inégalités
La forme vECO, , (X,E) Cn, , (x, K
| v | ' \< _ ' 2 . | F | ' | D r F | ' | g | '
,< l /_ _' ' . IF | ' ( l + IF | ')' | gl ' <ic' (Kk_ E) n v, v> ,
grâce au len_ne l, é 3, Ligne (21) . D'a_rés H.SKODA [13] , théoréme 2 et remarques
consécutives (cooparer aussi avec la proposition du _ 2), il existe une solution
u E c_ (x_ z, Kk _ E) ± c_(x_ z, E) de l'équation (b_) , telle que
n,o
/_/_
x l z ( l + lrl ')_lr |2q d'`' ' g dv
x _ z , , + lr | ')_ IF | 'q

(6s) ± ± , 'h' ' ' "" ')`-_lgl' dv ;
_ u IF | 'q-2 ( ' + IF |

comme la fonction _ | |')'-_ est bornée, La derniére intégrale du
F 2q-2 (l + F
second membre est bieri iinie.

La section G ± _( IFl')g - u est donc holomorphe dans x\ 2 et localement L' dans x ,
par conséquent G se prolonge en une section hoLomorphe de E sur X (hypothése
de la définition 2) ; on voit que u est de classe c_ ±
dans X , et que u O sur V
d'après (bs) . On obtient :

IGl' ,< (l + ' -) h' lgl' + (l + _ )q lul' ,
( l + l / lr | ')q - l lr | '
__+ú
, g u
( ] + IF | ')q ` ( l + IF | ')q - IF | 'q IF | 'q '
/_G_,/ ±' [ _' l_l
x (l + IF | ')q+_ ` ( l + IFl ')_ ( l + IF | ')_ - IP | '_ + - - .
_ IF | 2q 2
u

On fait tendre convenablement _ vers la fonction _ définie par
o
_ (t) ± l - tq+'" pour ,< t ,< l ,
o
o
± O pour t >, l ;
le prolongement G de g va tendre vers une section enoore notëe G

-27-

telle que
7_,/ B'f _' _''. (l +ITl')'
o ± o
x (l + IF | ')q+_ ` u ( l + IF | ')_ ( l + IF | ')q- IF |'q + - '
_ IF | 2q 2

[_ ' ( IF T ')] 2, , + IF , 2, 2
o ,q+l , 2 , , + IFl 2,2 , (q+l)' dans u et
avec ,q , ± _ \ l
| F | -
( l +IFl')q - IFl'q > Inf(l , 2q-1) dans u , car la fonction (l + x)q - xq est mo-
/
notone sur Lo, l] .
On peut donc prendre c(q,_) - ,up,, l , + (q+l)'
- . . .
' q , _
2 -
On ±emplace désormais x par un ouvert pseudoconvexe n de _p et on sup_ose que
l
E ± _ , M ± _N sont des fibrés triviaux , dont les métriques sont données respec-

tivement par Les poids e'q' - p " (p , _ fonctions plurisousharmoniques de
, e
classe C ) . On a donc

Ricci(n) ± o, c(E) ± d'd''p - 2q d'd"_ , c(M) ± - 2d'd'' _ _ IdM , de sorte que la

condition (b3) est vérifiée.

COROLLAIRE 2. - Soient g une fonction holomorphe dans l'ouvert
u ± Fz E n ; IF(z)| , e-W(z), ,

telle que lgl' 'q' -p <+ _ , et _ un réeV > o .
e
U -
Alors il existe une fonction holomorphe C qui co_ncide avec g sur l'ensemble ana-

_ x = F-'(O)> et telLe que

/V_,<c(q,_) _ lgl' 'q_-p dv .
G e
n (l + IFl ' 2_, q+_ e
e u

Pat un passage à la limite évident, le corollaire l s'ét_nd au cas où p est pluri-

sousharmonique quelconque, et W localement minorée.k

Reprenons maintenant les notations et les hypothèses du théoré_e S : x est la sous-

kOn améliore ainsi les estimations de B.JENNANE [9] , gráce au choix de poids pLus natu-
rellement adap_és au _robléme posé.
Il peut para_tre surprenant que le corollaire l fasse intervenir un poids non plurisous-
harmonique 2qW - p, mais cette situation s'explique par le fait qu'on a ''récupéré de la
plurisousharmonicité" en jouant sur La négativité du fibré M . Lorsque
F(z) ± z = (z, , . . . ,z ) , q ± p , et _ ± constante, le corollaire l redonne le théorème
d'HÖ_DER-BUl_IERIp sous une forme optimale, utile pour la théorie des nornbres
(cf. H.SKODA [lb] ) .

-28-

variécé lisse de l'ouvert n c_p définie par les équations F, = ... ± FN = O .

On pose n = dim x, o' = _ | ' L_l |' , r ± (F,,...,rN),
| |=| |= - de' azk j EJ, kEK n
| F | ' | r | ' | _ 2 ' K p "
= , +. . .+ FN , et on désigne par _V' ± -± l'élérnent de volurne
x n! R
canonique de X ; on su_pcse que _ e__t la fonction plurisousharmonique donnée
par le Chéorèrne S ou la remarque 6, ec que l'inégalité IS - zl <e-X"' encra_ne
de plus p(s) ,< p(z) + A .

COROLLAIRE 3. - Pour toute fonccion holomorphe g sur x ± F-'(O) et tout réel
_.,> o, il existe une fonction holomorphe c dans n _ui prolonge g , telle que

/_ '+A ±) lgl2o-' -vdvx,
e -2W, p-n+_\'_ ('+ e
n , IT , 2 _ x
+ e

_ _ est une constante ne dé endant ue de p _ N .

Démonstra_ion. On choisit q ± codim x ± p-n ; si r : U _x est la rétraction du
théorème S , on étend g à U en posant ð = g o r sur les composantes de u
qui rencontrent X , et ð = O sur les autres <o_posantes.
Réexaminons maintenant les arguments utilisés dans la démons_ration du théorérne S,
en conservant les mên,es notations.
Les coa_osantes connexes de U qui rencontrent X forment un voisinage tubulaire
L
de x , dont la coupe suivant le plan normaL (T x) constitue approximativernent
z
un polydisque de multirayon ( la |-l -w | |-l -_ ,
, e l . . . > a e .
p-n
Un tel polydisque est contenu par construction dans la boule de centre z et de
rayon p(z) ,<e-X"' et son volume est donné par :
l
.
np-" la, |-2 la |-2 -2(p-n)_ rrq 0-2 -2q_
. . . e ± e .
p-n
On en déduit visiblernent d'aprés la rernarque S que
_,ð,2 2q* - pdv ,_l+A IKl' b-' -p dv
e , e ,
u x
et la conclusion résuLte du corollaire 2.

Le corollaire 3 para_t pratiquement optimal, en dehors du fait que l'on soullaiterait

pouvoir prendre _ = O .
On observera que les constantes C,,C,,C,,C, qui interviennent dans la définition
de _ , et qui ne sont probablement pas les rneilleures possibles, n'auront en général
aucune importance dans les appLications du corollaire 3, puisqu'on peut les ''tuer"
en choisissant _ assez petit, et qu'elI pratique _ sera >, O .

-29-

P.ENARQUE 7. Explicitons le corollaire 3 en termes plus familiers, sous les hypothèses
suivantes :
lg | ,< e` IF | ,e p2 - p ,
_ , , O _ e ,
dans lesquelles on suppose que V, p,, p,, X sont des fonctions plurisousharmoniques
vérifiant toutes L'analogue de (Sl) ; dans ces conditions, on peut choisir comme
fonction p (cf. (_o) , (_l) et le .théorëme s) la fonction
-(_-n)P,-(p-n+l)X
p ± B, Oe
On obtient alors, en posant _ ± z_X D(z, p(z)) et en remplaçant p par 2p :

_,g,2 0-2 -2P '` + 'p ' - 'p -"p-"' dv ;
e dvx ,< B,, e p
x w
on choisit donc

p = 7+ (p-n+l) p + (p-n) C(p-n)P, + (p-n+l)X]+ (p+_)Log(l +lzl) ,
3
ce qui donne
_IGl' e-' p -'_' 1,2
n 2P d' \' Blg(l + - ,
,e 2 -2W,P-n+_ _
+e
d'oú IGl ,< B,g(l + ±)ep+_W + Px p' -'_) p-"+_
_ . (e + e .

coRaLLAIRE G. - Sous les hypothèses du corollaire l [ voir (bo) , (bl), (b2) ; x _

_ F,,F,,...,F E A (n), _O_exp(-A,_-A,)] , une fonc-
N x
tion holomorphe g sur x se _rolonge en une fonction GEA (n) si et seulement si
- X
g vérifie la condition :

lg(z) | \< exp(A,X(z) + A,) , pour tout z EX .

-30-

B I B L I o G R A p H I E

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