\input accents \magnification=1200 \vsize=20cm\hsize=13.5cm \parindent=0mm \parskip=8pt plus 2pt minus 2pt \footline{\hfill\rm -- \folio\ --\hfill} \font\hugebf=cmbx10 at 14.4pt \font\hugebbb=msbm10 at 14.4pt \font\bigbf=cmbx10 at 12pt \font\petcap=cmcsc10 \font\tenCal=eusm10 \font\sevenCal=eusm7 \font\fiveCal=eusm5 \newfam\Calfam \textfont\Calfam=\tenCal \scriptfont\Calfam=\sevenCal \scriptscriptfont\Calfam=\fiveCal \def\Cal{\fam\Calfam\tenCal} \font\tenmsa=msam10 \font\sevenmsa=msam7 \font\fivemsa=msam5 \newfam\msafam \textfont\msafam=\tenmsa \scriptfont\msafam=\sevenmsa \scriptscriptfont\msafam=\fivemsa \def\msa{\fam\msafam\tenmsa} \font\tenBbb=msbm10 \font\sevenBbb=msbm7 \font\fiveBbb=msbm5 \newfam\Bbbfam \textfont\Bbbfam=\tenBbb \scriptfont\Bbbfam=\sevenBbb \scriptscriptfont\Bbbfam=\fiveBbb \def\Bbb{\fam\Bbbfam\tenBbb} % Usual sets of numbers \def\bC{{\Bbb C}} \def\bN{{\Bbb N}} \def\bP{{\Bbb P}} \def\bQ{{\Bbb Q}} \def\bR{{\Bbb R}} \def\bZ{{\Bbb Z}} \def\cD{{\Cal D}} \def\cE{{\Cal E}} \def\hexnbr#1{\ifnum#1<10 \number#1\else \ifnum#1=10 A\else\ifnum#1=11 B\else\ifnum#1=12 C\else \ifnum#1=13 D\else\ifnum#1=14 E\else\ifnum#1=15 F\fi\fi\fi\fi\fi\fi\fi} \def\msatype{\hexnbr\msafam} \def\msbtype{\hexnbr\Bbbfam} \mathchardef\leqslant="3\msatype36 \let\le\leqslant \mathchardef\geqslant="3\msatype3E \let\ge\geqslant \mathchardef\compact="3\msatype62 \mathchardef\smallsetminus="2\msbtype72 \let\ssm\smallsetminus \def\bu{\scriptstyle\bullet} \def\\{\hfil\break} \def\lra{\longrightarrow} \def\build#1|#2|#3|{\mathrel{\mathop{\null#1}\limits^{#2}_{#3}}} \def\codim{\mathop{\rm codim}\nolimits} \def\Hom{\mathop{\rm Hom}\nolimits} \def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits} \def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits} \def\Supp{\mathop{\rm Supp}\nolimits} \def\square{{\hfill \hbox{ \vrule height 1.453ex width 0.093ex depth 0ex \vrule height 1.5ex width 1.3ex depth -1.407ex\kern-0.1ex \vrule height 1.453ex width 0.093ex depth 0ex\kern-1.35ex \vrule height 0.093ex width 1.3ex depth 0ex}}} \def\qed{\phantom{$\quad$}\hfill$\square$\medskip} {\sevenrm\baselineskip=8pt Séminaire P.~LELONG, P.~DOLBEAULT, H.~SKODA\\ (Analyse)\\ 25e année, 1984/85\vskip1.5cm} \centerline{\hugebf Une preuve simple de la} \medskip \centerline{\hugebf conjecture de Grauert-Riemenschneider} \bigskip {\leftskip=9mm par Jean-Pierre Demailly\vskip0pt {\it Université de Grenoble I, Institut Fourier\\ Laboratoire de Mathématiques associé au C.N.R.S.\ n° 188\\ BP 74, F-38402 Saint-Martin d'Hères, France\bigskip}} {\bf Résumé.} Soit $E$ un fibré hermitien holomorphe en droites au-dessus d'une variété analytique complexe compacte $X$. Nous démontrons une majoration asymptotique pour la dimension des groupes de cohomologie des puissances tensorielles $E^k$ assez élevées. Le majorant obtenu s'exprime de manière intrinsèque à l'aide d'une intégrale de la forme de courbure de $E$. Comme application, nous obtenons une preuve simple de la conjecture de Grauert-Riemenschneider, résolue récemment par Siu : si $X$ possède un fibré en droites $E$ quasi-positif, alors $X$ est de Moishezon ; de plus, l'hypothèse de quasi-positivité a pu être affaiblie ici en une condition intégrale qui n'exige pas la semi-positivité ponctuelle de $E$. \bigskip \centerline{\bf A simple proof of the Grauert-Riemenschneider conjecture} \medskip {\bf Abstract.} Let $E$ be a hermitian holomorphic line bundle over a compact complex manifold $X$. We give an asymptotic upper bound for the dimension of cohomology groups of high tensor powers $E^k$. This bound is invariantly expressed in terms of an integral of the bundle curvature form. As an application, we find a simple proof of the Grauert-Riemenschneider conjecture, recently solved by Siu : if $X$ possesses a quasi-positive line bundle $E$, then $X$ is a Moishezon space ; furthermore the quasi-positivity hypothesis has been weakened here in an integral condition which does not require the bundle $E$ to be pointwise semi-positive. \end 0. INTRODUCTION ET NOTATIONS Soient $X$ une variété analytique complexe compacte de dimension n , F un fibré vectoriel holomorphe de rang r et _ un fibré holomorphe en droites hermitien _ au-dessus de X . _ient o ± o' + o" la connexion canonigue de E de classe c et c(E) = o' ± 'o" +o"o' la forme de courbure de L¬ . _si&_ons par x(q) , o o _q sn , l'ouvert de $X$ sur lequel la (l,l)-forme de courbure ic(E) possède exactement q valeurs propres O . Nous démontrons alors l'estimation asymptotique suivante, qui _rne la dimension de l'espace de cohomologie Hq(X,Ek_F) en fonction d'une intégrale de courbure de E sur x(q) . ÈME 0.1. - Pour tout q = O,l,...,n on a l'estimation TNEOR dim Nq(X,Ek_F) s c(n)rk"f lc(E)"l +o(k") . x(q) _ r±rang(r) _ C(n)>O _ n. La conrtante optimale dans l'inégalité du théorème 0.1 est C(n) ± (2rr)-"/n! , mais la preuve de ce résultat requiert une analyse beaucoup _lus détaillée que celle élémentaire que nous e_osons ici (cf. [D2l, [D3]). La constante optimale précédente s'obtient en combinant les inégalités de N_orse de L¬. Witten [w] avec un théorème de [D3l, qui décrit de manière très précise le spectre de l'opérateur de 5hró.dinger associé au cham_ magnétique B ± kic(_) lorsque k tend vers +_ . ]IRs techniques du présent akicle sont en fait plus proches des techniques utilisées antérieurement par [Siu 1,2 ] pour prouver la conjecture de C'rauert-Wiemenschneider. Indiquons brièvement la méthode de démonstration. IIRs groupes de cohomologie Nq(X,Ek_F) peuvent être interprétés comme des espaces de formes harmoniUues à valeurs dans Ek_F , une fois qu'on a muni E et $X$ de métriques hermitieMes. On utilise alors l'identité de _chner-Kbdaira-N'dkano non ká.hlérieMe de P. lñriffiths [_l, relative à la connexion Dk ± D' +D_ de Ek_F` : k o_ ± o' + [ic(Ek_ F),n7 + [D_, e] - [D_,á] ; (0.2) k o_ , o" désignent ici les Laplaciens holomorphes et antiholomorphes sur ]¨k_ r , et k 8 est un opérateur d'ordre o et de bidegré (-l,o) qui dépend uniquement de la torsion de la métrique hermitieMe sur $X$. Il résulte de la présence du terme de courbure k[ic(E),n] dans (0.2) que toute (O,q)-forme harmonique h ÈL valeurs dans Ek_ F est nécessairement petite en dehors de l'ensemble _ . pour majorer h sur x(q) , on commence _ar démontrer un lemme de type Rellich pour opérateur D_ en bidegré (o,q) . Ce lemme repose sur l'ellipticité du á en degré o (cf. é 3, é4) ; la preuve nécessite l'utilisation d'un pavage de x(q) par des cubes de côté ~ l/_ de manière à pouvoir cont_ler les effets de la courbure (qui sont grosso modo propor- tioMels à k ) lorsque k tend vers +_ . La dimension de Hq(X,Ek_F) est donc majorée à une constante près par le nombre de cubes du pavage, soit k" Vol(X(q)) ; il reste alors seulement à choisir la métrique hermitienne sur $X$ de manière adéquate pour en déduir_ le théorème 0.1. La méthode de lsiu l] , rSiu 2l était assez différente, et consistait à utiliser l'isomor- phisme de _lbeault en we d'appliquer le ?emme de Shwarz à des cochaAes holomor- phes s'annulant en de nombreux _oints. L'utilisation dir.ecte du lemme de Rellich pour les formes harmoniques va entranler ici un gain de précision considérable dans les estimations recherchées. bit maintenant X(Ek ± Ê (-l)qdim Hq(X,Ek_F) la caractéristique d'Euler- _r) Poiflcaré du fibré Ek_F . La fg±° . - . - rmule de Nlrzebruch Rlemann Rach doMe x(_k__¬) ± r_ ¬ " + p (k) (0.3) n! 'l(" n-t où p E _[k] est un polynôme de degré sn-t , et où c,(_) est la _remière n-l classe de Chern de _ . La forme c,(_) est représentée en cohomologie de de Rham par la (l,l)-forme _ c(E) , de sorte que la formule précédente se récrit 2rr X(Ek_F) = r_l (_c(E))" + o(k") . (0.3l) n. X 2n En combinant (0.3) et le théorème 0.1 pour q z 2 , on en déduit la minoration suivante du H° . COl_OLIAIWEO.4.- _ c(L¬) _ l _ <° _x._: dim H°(X,ýk_F) _ X(_k_F) - o(k") kn ± r_ c (E)" - o(k") . . l I_ dernier paragraphe est consacré à l'étude des espaces de Moishezon. Wdppelons- en la définition. ÉrINITIoN 0.5. - _it Y un es ace anal i ue com act irréductible. On a elle D - _Y,_a(Y),___ _n,(Y) _ Y. D'après un théorème bien connu de Siegel ls] , on a toujours l'encadrement Osa(Y) _n , où n ± dim_ Y . D FINITIONO.6. - Y _ a(Y)=n. _n utilisant le raisonnement de Siegel [s], il n'est pas difficile d'obtenir d'autre part l'estimation suivante (cf. é 6 ; voir aussi [Siu l ]). _/ T ÉORÈMEO.T. - _ ]¨ au-dessusde x, H il existe une constante c >o _ im N°(X,Ek) s Cka"` , okz l . d IR fibré E est dit quasi-positif si la forme de courbure ic(E) est définie posi- tive sur un ouvert dense de $X$. La conjecture [G-Rl de Grauert et Riemenschneider peut alors s'énoncer comme suit. CONJECTUWE 0.8. - _ Y soit un es ace de Moishezon il faut et il _n:X/Y_Y_ endroites E_X _. _a condition est trivialement nécessaire, car si Y est de Moishezon on sait dlaprès [Moi] que Y possède une désin&_larisation _ $X$. Ile corollaire 0.4 et le théorème o. 7 permettent inversement de résoudre par l'affirmative la conjec- ture de Ðrauert et Riemenschneider. ]le corollaire 0.4 fournit en fait une condition suffisante plus générale, qui n'exige pas la semi-positivité ponctuelle de E . ÈME 0.9. - _it $X$ une variété anal i ue com acte connexe de dimension TNEOR - n._X_X_ en d_ites vérifiant l'une des h othèses suivantes : (a) c,(E)">O,_ ic(E) _ o presque partout, puis par [Siu 2] en général. C'ek ce ré- sultat qui a constitué la principale motivation de notre travail. Une fois que l'on sait que $X$ ert de Moishezon, iL n'ert pas difficile de démontrer un théorème d'annulation sous hypothèse de_ semi-positivité de E (cf. é7). T ÉORÈME 0.10. - _it $X$ une variété com lexe com acte et connexe de dimen- H - _ n , E un fibré hermitien en droites au-dessus de $X$. _ ic(E) _ zO _x_>o_ Hq(X,KX_E) ± o = rf-q(x,E-' ) _ q± l,...,n . 1. IDENTITÉ DE BOCHNER-KODAIRA-NAKANO EN GÉOMÉTRIE HERMITIENNE L'outil essentiel pour la démonstration du théorème o. l consiste en une ekimation a priori pour les formes harmoniques à valeurs dans le fibré Ek_ F , dérivée de l'identité de Bochner-Kbdrdira-Nakano. pour obtenir cette ertimation, on munit la variété $X$ d'une métrique hermitieMe . . _ , et on introduit de méme une métrique arbltralre (_ de type (_,l) et de classe c . . _ . . _ (X,T) des (p,q)-formes de hermltleMe (p sur les flbres de F L'es_ace (p Plq cL'dsse e_ à valeurs dans F se C_ouve alors muni d'une rtructure préhilbertienne naturelle. On note D = D' + o" la connexion hermitieMe canonique (i.e. telle que D" ±á ) de r , b ± b' + b" L'adjoint formel de D considéré comme opérateur dif- ' . _ (X,F) , et n l'adjoint de l'opérateur de multiplication extérieure ferentlel sur (p . l . par LU . si A, sont des opérateurs différentiels sur e (x,r) de degrés respec- . l . tifs _,b , on définit leur anti-commutateur [_,Bl par la formule [w,B] = AB - (-l)abBA . pour un troisième opérateur c de degré c , l'identité de Jacobi s'écrit alors : (-l)'afA, [B, c] _ + (-l)ab[B, [c,h ] ] + (-L)b'[C, [A,B T7 = o . (l. l) wvec ces notations, les opéraCeurs de Laplace-Beltrdmi O' , O" du fibré F sont dé- finis p'dr Ol ± EDt, bl] = Dlbl + blDl , O_l = [Dll, blr] . LEMME 1.2. - On a les relations de commutation ln , D'] = i(blr +á) , [n , Dll_ ± - i(bl+a) , _ 8(resp.á) _ o _ (-l,O)(resp. (o,-l)) ne dé endant ue de la torsion de la métri ue w _ $X$. _monrtration. - ]les relations sont vraies dans _" pour la métrique canonique (et plus généralement pour toute métrique kählérieMe) : on a alors 8 = o . Pour une métrique hermitienne w quelconque, l'égalité a donc bien lieu au niveau des sym_les princip'dux. On peut montrer que 8" ± [n,d'_J] (cf. [Dl]), mais nous aurons besoin ici seulement de savoir que 8 ert indépendant de F ; or, ceci est évident, car pour tout x E $X$ le fibré F admet localement une trivialisation par un repère holoalorphe qui ert orthonormé et D-parallèle au point x .. 29 L'utilisation du lemme I.2 et de l'identité (l.l) donne Orl = [Dll -i[n ,Dr] -é] l = - i([Dl , [D_|,n] ] + [n , EDr, D_l] ]) - _D'',8] = Ot + [Dt , a] + [i[Dr D"] ,n] - [D",é] , l ce qui implique la formule suivante, connue sous le nom d'identité de Bochner-_bdaira- Nakano . COROLWIWE 1.3. - o" = o' + [ic(F),n] + [u',8] - [D'',é_ .. g (x,r) on note lu(x) l la norme de N en chaque point x E $X$ et Pour u E e ,q __u_! la norme L2 globale : __u__' = S lul'dv , dv = _ " . x 2"n ! Par adjonction, on obtient les égalités (O'u,u} = __D'u__' + __b'u__' , (O"u,u) = __D''u__' + __bllu__' , | ([D', 8]u,u} ± (8u, b'u} + {D'u, 8"u} , {[D",_]u,u} = l_u , b"u} + (D"u,8"ul . Gráce à l'inégalité _ (8u, blu) _ _ _ (__b'u__' + _l8u__') et ses 3 analogues, on déduit alors du corollaire 1.3 l'es_imation _(O"u,u) _ _(O'u,u} + l[ic(_¬),n]u,u} - co?_u_l' , (1.4) où co est une constante ± o dépendant de d'u) , mais pas de F . _it maintenant o la connexion de E , Dk = D_+D_ celle de Ek_r , bk l'adjoint de Dk , et o_, o_ les laplaciens associés. La courbure de Ek_r se calcule par la formule c(Ek_F) ± kc(E) _ Id + c(F) . T _ (X,_k_F) , l'estimation (1.4) implique Pour tout u E e p,q 3(__D_u__' + __b_u__') z l_D_u__' + __b_u__' + 2k{[ic(E),n]u,u) - c,__u_l' (l. 5) où C,z o dépend de d'(_ et de F , mais pas de k . Nous aurons donc besoin d'évaluer le terme en courbure [ic(E),__] . En tout point x E $X$ , notons _,(x) _ _,(x) _...s _ (x) n les valeurs propres de la (l,l)-forme réelle ic(E)(x) , et pour tout multi-indice I c ll,...,nl notons _, ± E _. . jEI J ]les _. sont donc des fonctions cont_lues sur X . , l,OT#X qui diagonalise ic(E)(x) ' Choisissons une base orthonormée (g.) . de n J lsJ_n x _us la forme n ic(E)(x) = i E _. (x) _. n_j j±l J J et une base orthonormée (f,,...,f ) de la fibre (Ek_F) . Alors pour toute forme m x u E np'qTNx telLe que x u = Eu,,, m_,n_,_f , m o_ _Il =p , IJl ± q , l_m_ r , on a _'égalité classique (cf. par exemple _Dl]) : (. = - Ê_ ) u ' . (l. 6) {[lc(E)ln_ulul E _ + _J j , j | I,J,ml I,J,m I ± 2. ESTIMATIONS A PRIORI POUR LES FORMES HARMONIQUES D'aprés la théorie de Hodge, l'espace de cohomologie Hq(X,Ek_F) est isomorphe á l'espace __ des (O,q)-formes o" -harmoniques à valeurs dans Ek_F . Toute k forme u E eg,q(x,Ek_r) peut égal ment étre interprétée comDe une (n,q)-forme û á valeurs dans le fibré Ek_F , _ F ± F_n"Tx ; de plus, l'isoDorphisme u~ û ert une isométrie g q(X,Ek ~ _ (X,Ek__) . e _F)_e , n,q si on écrit u = Eu, mð,_e , l'égalité (1.6) doMe , m ([ic(E),nlu,u} ± E - _ ,_u, ml' z -(_ +...+_ ) lul' , (2.1) J,m l , q+t n {[ic(E),nlû,û) ± E _,_u, ml' _ (_ +...+ _ )lul' . (2. î) J,m l ' q . . . . . . ' g q(X,Ek_F) et _'ertlmatDn a prLorl (l 5) appLlquee aux formes u E (p ~ _ (X,Ek_F) entrame alors les t_ois inégalités súivantes : u E e ,q _ __D_u_l' - 2B_lu__' _ Ek(u) , (2.2) 2l - (_ +...+ _ )lul'dV _ Ek(u) , (2.3) x q+l n 31 2F (_ +...+_ )_ul'dV _ Ek(u) , (2._) x l q avec B = Dax (_q+,(x) +...+_ (x)) , (2.4) xEX .n Ek(u) = _(__D_u__' + _lb_u__' + C,__u__') , c ±o . (2. 5) 2 _it maintenant h une (O,q)-forme harmonique à valeurs dans Ek_F et soit _ une . _ arbitraire sur $X$. On a D'' h = b_h = O , donc fonctlan c k D_(Wh) = drl_nh , b_(_h) = - dr__ _ (2. 6) où _ dési_e le produit intérieur. Considérons le recouvrement de $X$ par les inté- rieurs des compacts K ± lxEx ; _,(x) +...+_ x) z_} l + q' K = FxEX ; _q+,(x)+...+_ (x) _ -_ l l - n K = {xEX ; _,(x) +...+_ (x) _ l et _q+,(x)+...+_ (x) _ -l_ , q n et soit (_+,W ,_) une partition de l'unité subordoMée à ce recouvre_lent, telle que 2 2 2 - , ,es ertima,ions ,, 3, (2 _) (2 5) (2 6) appliquées à u = _ h _ + W + _ = . . l . _ . l . _ + - fournissent alors ll_ h__' _ _lh__' , s k de soke qu'il suffit de savoir cont_kler _h . Ceci sera possibLe grgce á l'inégalité (2.2), moyeMant un lemme de Rellich convenable pour l'opérateur D_ . 3. UN LEMME DE RELLICH POUR L'OPÉRATEUR $\overline\partial$ dans $\bC^n$ . . _ à valeurs réelles dans _ (p de classe (P' _lt p une fonctDn de classe e suffirait). On dasigne par h la mesure de Iebesgue sur _ et par __w__kp la nor- me L' d'une fonction mesurable complexe w , avec poids e_(-kp) : l_w__rp = l_n _w!'e_(-kpTdn . _it N(P) le nombre de points du raseau Q[i]" = (_+i_)" situés dans la boule ferDée de centre o et de rayon p . Nous démontrons alors le lemme de Rellich e_licite suivant pour l'opérateur á . ' ÈME3l-_itK__"etA>O_ THEOR . . _ _ _K_p,_ ___k_ _ Al__' , xEK , _E _" . IE g - . z.aze J J _ _ unréel >o _ k>o ilexirtealorsunentier v(k) = N(7_)_"k"n(_ + o(k") (3.2) / et desfonctions fj,kE(P°(_") , l_j_v(k) , _ toutefonctian wEe_(_") _ Kl _ _lw___ _ __äwl__p + .E !(wl'j klkpl' . ('.') s lsJsY(k) _monkration. - Observons d'a_rd que le problème ek, en un certain sens, local o sur K . _ient en effet K,,...,K des compacts dont les intérieurs K recouvrent ' e 2 , . . ' _ à suppok dans Ke , telles que E_e ± K et soPnt _ des fonctDns reelles e e sur K . L'égalité 2E_eá_ = o donne - - e - _ - ' - ' lwl' (3.4) É a(_ w) ' ± É. _ea +wa_ ' - _awl' + F lawel _ e | e_, | w e _ . e=l. . e±t - Rpposons (3.3) vraie sur chdque K ; il suffira alors de sommer _es inégalités (3.3) e relatives aux fonctions _ w pour obtenir celle relative à w , car la constdnte E _ á , l' . e . . ' _ . fl&hrant dans (3.4) se t_uve multlpl_ee pdr le facteur l/k tendant vers o e Pour démontrer l'_légalité (3.3) on va utiliser un pavage de K par des cubes de caté assez petit. On considère pour cela le pavé "modèle" p de cSté 2 déf_li par p = _z=(x.+iyj),_jsn ; _x. l _l , lyj l sl_ . (3.5) J J ' . . . °(_") , à support dans p , en posant On def_lt une fonctlon _ E e _(z) ± _ cos± . . ±y. , zEP , (3. 6) l_j_n 2 x cos 2 , J de soke que la fonctiDn _ s'annule sur ap . _s relations cos' . ' = l et +sln _(cos± . . _yj) = - _(sin± . ±y. + icos± . . ±yj) , on tire aussitSt : az, 2 x cos , x cos , , , x sln2 . J J J E W(z-v)' ± l , (3.T) vE _[i7" v,_,, láw(z-v)|' = _ . . n B (3 8) . n L'inégalité (3.3) va alors se déduire du lemme crucial suivant par un ar&hment de pakition de l'unité. . 33 LEMME 3.9. - _ p un réel > o _ v,X des fonctions com lexes de _ . . . _(P) , _ sur p , avec v ap - O . Alors ll exlrte des fonctlons f. E _ classe e _ _ | , l_j_N = N(2p/n) ,_ lplv_'e_(-wex)dh _ _l (_ávl' ±láx_'lvl')e_(-ylex)dn + Ê , . ' . + _ {v f }xl p p 4 . j±l ' Démonrtration. - Posons g = ve_(-X/2) . On a alors - = - -_váX)eI_(-X/2) , ag (av et l'inégalité de Cauchy-Shwarz entrame _àgl' _ 2(_ávl'+_láxl'lvl')e_(-Rex) . L'inégalité du lemme 3.9 ek donc une conséquence de l'inégalité Sp_gl'dh _ ± l l- _'dh + E l{g,f.e_(-x/2)}|' . (3. lo) p2 ag . J . . p ' , ' '" et considérons les coefficients IdentlfDns l'espace _nesure (P dn) au tore (_/2a) de Fourier de g définis par ð(v) = _ g(z)e_(-irrRe(v,z})dh(z) , v E _[i]" . p Comme g s'annule sur ap , on obtient après _lt_gration par parties l'égalité _ ±_vðv) . az (v) 2 j ( j Ia formule de Parseval-Plancherel doMe alors les identités lplgl'dh = 2-'" E lð(v)_' , 7EQ[i]" fplágl'dn ± 2-'"_ E lvl'lð(v)l' . ` 4 _EQ[i]" pour assurer la validité de (3.10), il suffit donc de prendre pour fonctions f. les fonctions z ~ 2-"e_(irrRe{v,z} +x/2) avec _vl <_ . emme es ó '. Ie l t dém ntre . rr On consid_re Daintenant le recouvrement du compact K par la faDille de pavas p = _ (P+v) , vE _[il" (3. ll) v 7Ák de cSté 2/_ et de centre a = v/7Ak . Posons v W (z) = _(_z -v) ('. ") v de sorte que Supp Wv c pv . D'après (3.7), (3.8) et (3.4), il vient __w___p = _ ___ w_l_p ". "' v . F, __á(_ w)___p = _láw___p _ ' . (3. 14) + n B Ak__w_lkp v v On va maintenant appliquer le lemme 3.9 aux fonctions W w sur chaque cube p . v v On cherche pour cela un poids X = X tel que ReX ± p , qui Dinimise áX sur v v p . _ns toute la Mite, nous conviend_ns de noter C,,C,,... des conkantes dépen- V _ dant éventuellement de K et de p , mais indépendantes de k,E,v . pour tout z Ep v la formule de Taylor donne 2 p(z) ± ReF (5) + E a ª (h )5j5 + _(5) ` l_j,e_n az. ze v e J o_ 5 = z -a , _(5) _ c,|5_' , et où Fv ek le polynôme holomorphe défini par v 2 F (5T ± p(a T + 2E _(a )5. + E a p (a )5j5e . v v j az. v J j e az.aze v J l J On pose alors x (z) ± p(z) +iImF (5) , v v de soke que _ = _(a )5. +_(5) , |_(5)| _ c,_5_' . v E a a_e lsj_n a'.a' v J a_e ze J e pulsque les valeurs propres de iaäp sont majorées par A et puisque _5.|' _ 2/Ak sur p , nous obtenons : J v láxvl' _ A't5_' + c,|5|' _ 2nA/k + c4k-"' . (3. 15) AppliUuona maintenant le leDme 3.9 au poids X(z) ± kXv((z+v)/7_) et à la fonction v(z) = WTz)w((z+v)/_k) = (_ w)((z+v)/_) , z Ep . v L'ertimatlon (3. 15) entrame läxl' s 2n + c,k-8 , d'où ___ wl__p _ L±__á(_ w)___p _ + c,k-é)__w w__' l + _ , . ' . (3. 16) _ ' ( v 4p j ,_{w w ' )kp_ v 2 Ak v = vJ pour achever la démonstration, iL ne rerte plus qu'à sommer les inégali_és (3.16) sur les cubes p qui rencontrent K . En utilisant (3.13) et (3.14) on obtient alors v __w_l_p _ [_ __áwl__p ( (_ _) ')llw___p] _ + n + + c,k 8 + E |{w,fj k)kpl' (3 17) l_js v(k) o_ lea fonctbns (fj,k) ne sont autres que les fonctions _ f. après réindexation. vJ 2 du membre de L'inagalita (3.1T) implique (3.3) en faisant passer le terme __w__kp d_lte dans le membre de gauche ; il suffit pour cela que 35 l - (l+ n'/4)n/p' ' l rr' ° < ,,p2 = _ - _+_ " ' ce qui egt réalisé par exemple pour p = _ _ . L'entier v(k) ek alors doMé par Y(k) = Ncardlv ; p nK__l v avec N = N _ = N(_) . Comme la maille du réseau des translations définissant n les cubes p a pour volume (_k)-" il vient l v cardlv ; p nK __l ± A"k"h(K) + o(k") , v et l'estimdtion (3.2) s'ensuit. . 4. LEMME DE RELLICH POUR L'OPÉRATEUR $D'_k$ Comme l'ekimation (3.3) est _, elle peut s'étendre sans difficulté au cas de ' . . g q(x,y¬k_r) . Pour cela, il suffit l'operateur D_ ag_ssant sur une sectlon u E e d'appliquer le théorème 3.1 'dux composantes de ú dans des coordoMées locales convenable s . ÉORÈME4.l. -_it K _ x et Vol(_ sonvolume TH _ _ __.__unréel>O_ suR Dax l_.(x)_ s A , xE l_j_n . J où _,s_,s...s_ _ ic(ý),_ _ unréel >° - n _ k>o , il existe alors un entier v(k) = (")rN(_)A"k"Vol(_ + o(k") (4.3) q ° (X,Ek_F) , lsjsv(k) ,_ et des formes vj k E eo,q g,q(x,L¬k_F)' _ K _ u E (P __u__' _ __Dju__' + E l(u,vj k)l' . (4.4) s a l_jsv(k) _monkration. - _it E E lo,L[ un réel fixé. On va d'abord démontrer que l'inégalité (4.4) a lieu a un facteur multiplicat_ l+E près dès que K est assez petit. On suppose que K est contenu dans un ouvert de carte SlcX qui triviali_e les fibrés E et F . Pour simplifier les notdtions, on identifiera E_n au fibré trivlal nx_ ; la métrique de E est alors doMée _ar un poids e-p , et la courbure de E est telle que ic(E) ± iaáp sur n . (4. 5) _it d'autre part (f,,...,f ) un repère orthonormé e de F_n . _uitte à rétrécir m ' n , on peut supposer que n est muni de coordonnées locales holomorphes (z,,...,z ) n approximativement orthonormées, telles que -l n - n - (l+E) i E dz.ndz. _ u),n _ (l+E)i E dz.ndz. . (4. 6) j=l J J j±L J J Via l'identification E_n_ nx_ , toute forme u E (Pg,q(x,Ek_F) peut s'écrire u ± _ u,,md¸,_f , _Jl =q , l_m_r . J,m m LEMME4._.- _ D_ _ D_u = E E ekp±(e-kpu, m)dz nd¸,_F J,m l_esn aze , e m + (-l)q _ u,,md¸, _ Dlf . J,m ' m Démonstration. - En utilisant la forrrlule de différentiation d'un produit tensoriel, on se r'dmène au cas où le fibré F est trivial (la métrique de F étant elle aussi triviale). _it . _. : g (X,L¬k) x e_ ,(X,Ek) _ _+, q+s(X,_) ( )k e , q , l l'accou_lement sesUuilinéaire induit par la métrique de Ek . Relativement à la trivia- lis_tion Ek _ n $X$ _ , cet accouplement est défini _ar _n (vlw)k ± vn_e-kp . _omnle La connexion Dk est hermitienne et holorrlor_he, on a la formule a(vlw)k = (D_vlw) + (-l)degv(vláw)k . k ceci i_FliUue D' = kpa(e_kp.) , d'où le lemme. . k e Posons w,,m = u,,me-kp . D'après (4.6) on a l'iIlégalité _lu_|' s (l+El"+q E fK_w, ml' kpd_ (4.8) e J,m l car Suppu c K c n ; le coefficient (l+E)" provient de l'inégalité dv _ (l+E)"dh , le coefficient (l+E)q de la métrique du fibré n°'qTwx . Ie lemme 4.7 peut se récrire par ailleurs . 37 kp/2 E a,w, m,nd¸,_, = e-kP/'[D_u-(-l)q E u, ,od¸,_Dlf .] . e , m J m , m J,m , Grâce à l'inégalité (a+b)' _ (l+E)(a' -'b') , il vient : +E E fKlaw, ml' kp "+q+' l__D_u__' _ __ul_' ] (4. 9) e dh _ (l+E) + E l J,m ' 7 . où c, est un majorant de (ID'f,_+...+ID'f l)' sur K . r Les valeurs propres de ic(E) = iaáp sont d'autre part majorées sur K par (t+E)A . Appliquons alors le tbéorème 3.1 aux fonctions w,,m , o_ p est remplacé par -p et A par (l+E)'"+'q+'A . Il vient -'"-'q-' ' + E l{w, m ,fj k} kpl' . (4. lo) __w, m__' "+" "awJlm`' kp lj _ _(k) ' ' - l _kp oAk En combinant (4.8), (4.9) et (4.t0) on obtient après sommation sur J,m : ,,u,,2 (_+E)-' [ , 2 'l ,,u,,2 ] + E | ,u v, kl _' (4. ll) _ _ |_Dku__ +- , . , E t_j sv(k) et comme h(_ s (l+E)"Vol(K) il vient v(k) ± " rV(k) _ " - "A"k"Vol(K) + o(k") . (4. 12) r N(7_ +2n)(_+E) q q Ceci suppose que Suppu _ K et que le compact K soit assez petit. _ns le cas o général, soient K,,...,K des compacts dont les intérieurs K recouvrent K , tels s e que (4.11) et (4.L2) soient réalisés sur chaque K et tels que e Vol(K,) +...+ Vol(K ) < Vol(_ +E . s . . ' _ à support dans K vérifiant E_' ± l sur K . _lent _ des fonctlons reelles e e e e On a alors l'estimation suiv'dnte, analogue à (3.4) : E __D_(_ u)_l' _ __D_u__' + c3|_u_l' , (4. 13) e=l e où c, est un majorant pour E_awel' . ]les inégalités (4.11) et (4.12) relatives aux formes _ u impliquent e ,,u,,2 (l+F)-' [ , 2 ('l +c,)__u__'] + E | {u v, kl _' _ aAk __Dku__ ' - , . . E lj_v(k) ' dvec v(k) = " rN(_)(l+E)" A"k"(Vol(K)+E) + o(k") . q Ie théorème 4.1 s'ensuit si l'on fait tendre F vers o .. . 5. MAJORATION ASYMPTOTIQUE DE LA DIMENSION DES GROUPES DE COHOMOLOGIE Pour illustrer la méthode, nous commencerons d'abord par étudier le cas parti- culièrement simple où ic(_) z o . THEOREME 5.1. - _ ic(L¬)_O _ x. Alors dim Nq(X,Ek_F) ± o(k") _ q_ l . Ce résultat est do à Y.T. Siu rSiu 2] (avec une preuve différente) ; gráce à la formule de Riemann-Roch (0.3), on en déduit la minoration suivante du N° : dim H°(X,Ék_F) _ r_ - . . n! c,(E)" o (k") (5 2) . _n utilisant le théorème 0.7 on voit que la _ro_osition 5.1 entraAe déjà la conjecture de Grauert-Riemenschneider dans sa formulation o. 9 (b). _monstration du théorème 5.1. - _it n l'ouvert des points de $X$ où ic(E) + est définie > o (c'est-à-dire o_ (ic(E))" >o ), et K un voisinage compact de x\n . pour tout E >o , on peut choisir K tel que + S(ic(_))" < F K si K+c n+ est un voisinage compact de _ , il existe des fonctions _,W+ E (p_(x,_) à surport dans K, K respectivement, telles que W' +W' = l + + sur X . _it (û une métrique hermitieMe arbitraire sur $X$ , _ un réel > o et (u ± ic(E) + __ . PuisUue K+c n+ , ic(E) ert définie > o sur K . Ies valeurs + propres _. de ic(E) relativement à la métrique w vérifient donc _, s...s _ s l J n sur X , et sur K on aura + ± s _, s . . ._ _ _ l (5.3) 2 n dès que _ ert assez petit ; pour _ < _o suffisamment petit, on aura de plus Vol(K) =_ _ < E . K 2nn! bit alors h une (O,q)-forme harmonique à valeurs dans Ek_F , qzl . Iles erti- mations (2._), (2.5), (2.6) pour u ± _ h donnent + _IW+h__' _ 2 (5.4) s k __h__ , 39 ta?dis que les inégalités (2.2), (2.4) pour u ± Wh impliquent _ __ D_(_h)_l' - (2n-2)_|_h__' _ __h__' . (5. 5) _ k Utilisons ma_ltenant le théorème 4.1 avec u ± _h , A ± l , _ = 2n-1 . Il vient (2n-L)___h__' - ___D_(_h)__' '_' _ {h, _vj k) _' . (5. 6) j±l ' Par addition de (5.4), (5.5), (5.6), on en déduit __h_l' - ___hl_' + l__ hll' _ __h__' ' '_' 2 - s + E _ {h,Wvj kl_ , + k j=L l ce qui entraOle h± o dès lors que k> c5 et {h,_vj k} = o , Lsjsv(k) . Il vient donc dim Hq(x,Ek_r) s v(k) s " rN(_l)k"E + o(k" ) q pour k assez grand, et le théorème 5.1 est démontré. . 4'monstration du théorème 0.1. - L'idée ert analogue est celle du théorème 5.1 : elle consiste à combiner l'estimation a priori du o" avec le lemme de Rellich pour k l'opérateur D_ . Nous aurons besoin pour cela de conkruire une métrique hermitien- ne adëquate sur $X$. _si_Ions par S l'ensemble des points x E $X$ en lesquels La forDe de cour- bure ic(E)(x) ek dégénérée. Avec les notations de l'int_duction, posons n = x(o) U. . .u x(q-l) , n = x(q+l) U. . .U x(q) . + - On a alors une partition de $X$ : x ± su x(q) u n+u n- . L'enseDble s U x(q) est coDpact, et c(E)" = o sur s . pour tout E > o , il exirte donc un voisinage compact K de su xTq) tel que . 'K\X(q)'"""' < "'"" . (5.7T On choisit d'autre part des compacts K c n , K c n tels que + + - _ o o o x= KUK UK . + - On va maintenant construire une métrique her_nitienne (u sur $X$ qui sera intialement reliée à la forme de courbure ic(E) . _it _ une métrique hermitieMe fixée une fois pour toutes et _, s _, _ i..S_ les valeurs propres de ic(E) reLativement à _ . n On définit trois formes hermitieMes L_ , w+ , w semi-positives en tout point _ - x ç $X$ en posant _±.Ê_5.n_j , _>o w L '_ , _ j±l J w ± i E n__.(x) _5.n5. + i E _.(x)S.n¨j (5.8) ' _jo J J w = i E l_.(x)_s.n5. + i E n_.(x)5.n_j - _.O J J J J relativement à une base (5j),sj_n de T'_X , orthonormée pour _ et ortho_nale x pour ic(El , telle que n - ic(E) = i E _.(x)5.n5j . (5. 9) j±l J J LEMME 5._0. - w (resp. _+ ,(u ) est définie > o de classe _ sur x _ - - (resp. sur x\s) . _monstration. - _it M la matrice de ic(E) dans un repère _ -orthonormé de classe (p_ de rx et _Ml = _ la valeur absolue de M . Ies matrices de w , w+ , PJ sont doMées par _ - M =_ , M ___Ml -_Ní, M =_INl_ +_M. +_ + _ . 2 - 2 2 _ sur $X$ , et M+ , M le _nt sur x\s .. M est donc de classe e _ - En recollant (u , w+ , w à l'aide d'une partition de l'unité, on peut constMire _ _ _ une métrique e définie Fositive (u sur $X$ telLe que _a = [u sur su x(q) , w ± (u sur K , (5.11) + w = u] sur K . Comme les 3 métriques (u , w+ , _ majorent _ic(É)l et comme @ SOLU _ - _ _ on a l'encadrement _ic(E) | s w s nE_ . (5. 12) puisque w converge vers _ic(E)| quand _ tend vers o , (5. 7), (5.11), (5. 12) entraAent pour _ < _o assez petit : 41 T " < E/2 , l w" < lx,q,tc(E)"l + E/2 , a K\X(q) x(q) d'où l'inégalité f _ < lx,q,_c(E)"l + E . (5. 13) K si _, s _2 s ... _ _ sont les valeurs propres de ic(_) relativement à w , (5.1'L) n implique l_. _ s l sur $X$ , tandis que (5.8), (5. 9) et (5. ll) doMent J = ... ± . ± - ± ' _j+l = ... = _ = ' 'u' K n X(j) l j q . _, - ... - _. ' l _j +l _ - J n n _n particulier, on en déduit __ +...+ _ > l - _ _ ± sur K , > l q - n n ' (5. 14) "- -' ± sur K - (_ +...+ _ ) _ I - z . q+l n n n - . , _(X,IR) des fonctions à support dans K , K+ , K respec- blent W W+ , W- E (P - tive_oent, telles que _' + _' + _' ± l sur $X$. Pour toute (O,q)-forDe harmonique + - h à valeurs dans Ek_F , les estimations (2.2) pour u ± _h , (2.3) pour u ± W-h , (2._) pour u = _ h entranIent resFectivement + _ __D_(_h)__' 2n___h__' '6 __h__' ,, ,,, - - S _ l . ___ h__' _ _jh_|' . (5. 16) , _ k , Utilisons maintenant le théorème 4.1 avec u = _h , A.= l , _ = 2n+1 . Il vient (2n+1)___h_l' - ___D_(_h)__' _ E l(h, _vj k) _' . (5. VT) lsj s v(k) ' Par addition de (5. 15), (5. 16), (5. 17) on en déduit __h__' = ___h__' + ___ h__' + |_w h__' (5. 18) + - ___h__' + E _{h,_vj k} _' ' k l_jsv(k) 7 ce qui entra_le h± o dès lors que k > cg et {h,Wvj k) ± o , lsjsv(k) . Pour k> cB il vient dim Hq(X,_k_F) s v(k) s " rN(_)k"Vol(K) + o(k") . q D'après (5.13) on a vol(K) = _T @" _(F _c(_)"l+E) . < 2"n! K 2 n[ x(q) Comme " s 2" il s'ensuit dimH_ ,¬k_F) _ _N(_)rk" _ lclE)"_+E + o(k") , (x L " x(q) et l'ertimation asymptotique o. l est donc démontrée avec c(n) ± _N(7_) .. nl Ie théorème 0.1 entraAe une minoration du nombre de sections holomorphes de IIk_ _' ; plus précisément, on a l'énoncé suivant Uui généralise le coroLlaire 0.4. COROLL_IR_ 5.19. -_ c(E) _ _ _O.Alors dim N°(X,_"_F) z r_ ¬ - . n! c,(E)" o (k") _monrtrdtion. - Par hypothèse x(2) ± X(4) ± ... = _ , donc le théorème 0.1 donne H'q(X,Ék__) = o(k") . p'dr suite X(X,E"_F) ± dim N° - (diD N'+dimN'+...) + o(k") , et le corollaire résulte de la formule de Riemann-Roch (0.3).. 6. MAJORATION DU NOMBRE DE SECTIONS HOLOMORPHES ET DIMENSION DE KODAIRA Tous les résultats de ce _aragraphe sont archi-classiques. Nous les rappelons simplement afin de donner un eI*osé complet et autonome. si E est un fibré en d_oites au-dessus de la variété $X$ (supposée connexe), on notera vk ± H°(X,__ et hk ± dim vk . si hk est > o , les sections globales s E vk détinissent une appLication holomorphe naturelle _k x\zk__,v*+ hk-l : k) _ _ où zk c $X$ est le sous-ensemble analytique de leurs zé_os communs : pour tout xE x\zk , llimage _k(x) est définie comme droite épo_Itée de v_ par _k(x) = _(Vk3sl__.s(x)) ; g E E-k , p_o_ E _(v_) . x . 43 _it pk le rang maximum de _k sur w\zk . . ÉrINITIoN 6.1. -_ E l'entier D w(ET ± maxtpk ; k±l et hk_ol _ hk_o _ kzl,_ w(E)=-_ _. On a alors la majoration suivante pour les dimensions hk . ÈME 6.2. -Ilexisteune constante Cz o _ THEOR k _ l on ait hk = dim N°(X,Ek) s Ckw"' . Démonrtration. - Nous reprenons pour l'essentiel les arguments de Siegel [s] tels qu'ils sont e_osés dans [Siu l]. _it lslel un recouvrement de $X$ par des ouverts de coordoMées n CI _" et B. = B(a. ,R.) , l_jsm , une famillede boules e J J J relative_nent compactes dans les ouverts ne , telles que les _ules concentriUues B! ± B(a. , _R.) recouvrent $X$. Munissons E d'une métrique hermitieMe, et soit J J J e_T-Pj) le poids représentant cette métrique dans une trivialisation de E au voisi- nage de B. . J bit alors s E H°(X,_k) une section holomorphe qui s'annule à l'ordre p en un _oint x. E B! . I_s inclusions J J B! c B(x. , _R.) c B(x. ,_R.) < B. J J J J J J et le leDme de Shwarz appliqué aux deux boules intermédiaires entraAent l'inégalit_ supB,ls_ s e_(Ak)3-p supB lsl (6.3) j j où A ± max,_jsm diamPj(B.) ert l'oscillation maximale des poids p. sur les J J _ules B. . J Cela étant, on peut supposer hk> O . Choisissons pour tout j = l,...,m un point x. E B_\¸k tel que d_k soit de rang maximum = pk en x. , et soit J J sO E H°(X,Ek) une section qui ne s'annule en aucun point x. . pour tout J s E H°(X,Ek) le quotient s/sO est bien défini en tant que fonction méromorphe sur X , et de plus s/sO est une fonction holomorphe au voisinrdge de x. , conrtante le J long des fibres de _k . Comme _k est une subimmersion au voisinage de chaque point x. (théorème du rang), on peut choisir localement unv sous-variété complexe ' . . ` . -'(_k(x.)) . _a M. de dlmenslon pk passant par x. et transverse a la flbre _k , J ] section s s'annulera à l'ordre p en chaque point x. , t_j_m , si et seulement J si les dérivées partielles d'ordre < p de s/sO le long de M. s'annulent en x. . Ceci correspond au total à l'annulation d'au Flus mppk . ' '. . . . ' dérLvees Sl nous cholslssons p ± ([Al +l)k , alors ll_lég_lité (6.3) entra_le supx_sl _ (e/3)psupx_sl d'o_ s± o . Comme pk s K(E) , nous obtenons par conséquent dim N°(X,Ek) s mppk _ Ckx(E) ., Pour achever la preuve du théorème o._ et donc de la conjecture de Grauert- kiemenschneider, il suffit maintenant de corrlbiner Le théorème 6.2 avec le résultat élémentaire (6. 5) ci-dessous. ÉORÈME 6.4. - _it d(Is)=deg.tr_m(Is) _ x- TH _ Alors : .K(_)sa(2_ _ E _ x; (6.5) _Osa(I_sn,_D_X_ (6.6) _(_(D)) = a(_ . _. - Avec les notations du début, soit x E x\zk un point où le rang de d_k ert égal à pk . Pour tout voisinage u de $X$ assez petit, _k(u) est une sous-variété analytique de dimension pk de _(v_) . Il existe donc + "" " telles que des coordoMées homogenes sO,s,,...,s E Vk _ Vk sur Vk pk _ ... _ forment un syst_me de coordoMées locales sur _k(u) . Ceci entraOle l s ' ' '°. 'l _ ,x, où x , u décr.it un ouvert de _pk , et donc que q e le po_lt -(x)'...' sO s, spk son, a,gebr,quemen, indépendantes sur x sO les fonctions mé_molTphes - ,...l_ ' . . sO par conséguent pk s a(IS) et _(E) _ a(IS) . 45 _. - _ient f,,...,fN des fonctions méromorphes algébrique- ment indépenddntes sur $X$ et soit D la borne supérieure (ou la somme) des divi- seurs polaires des f. . Wappelons que _(D) désigne le faisceau inversible des fonc- J tions méromorphes dont le diviseur des Fôles ert _ D . pour tout polynôme p E _[z,,...,zN] de degré s k , p(f,,...,fN) est une section de _(kD) ± _(D)k l e, i, y a k+N kN N z _ telles sections linéairement indépendantes. D'après le théo- rème 6.2, on a donc _ K'_'D" , ce qui entrame N _ N(_(D)) et en parti- N! s ck culier N _ n . si on choisit N maximal, i.e. N ± a(IS) , il vient _(_(D)) = a(_ grácé à (6.5). . 7. THÉORÈME D'ANNULATION SOUS HYPOTHÈSE DE SEMI-POSITIVITÉ Nous démontrons ici le théorème d'annulation 0.10, qui est dû à [Siu 2l ; la preuve en ert indirecte, et utilise la solution de la conjecture de Grauert- lkiemenschneider. .' ÈME _.l. - _it $X$ une variété complexe compacte et connexe de dimen- THEOk - _ n , E un fibré hermitien en droites au-dessus de $X$. _ ic(E) _ ±o_x_>o_ Nq(X,KX__) ± o ± rf-q(x,E-') _ q± l,...,n . Démonkration. - _ns le cas où X est k_hlérienne, on raisoMe comme O. Wiemenschneider [R]. _it h une forme harmonique dans rt-q(x,E-') . _'iden- tité L.3 pour F = E-' doMe __Drh_!' + |_blh__' - ([ic(lí),nlh,h) ± o , et la formule (2.1) entrame que h s''dnnule sur l'ouvek de $X$ où ic(E) > o . _e résultat de Aronszajn EAr7 sur les zéros des solutions d'équations elLiptiques impli- que alors que h ert identiUuement nulle sur $X$. _ns le cas général, le théorème 0.9 (b) montre que $X$ est de Moishezon. Il exirte donc d'après [Moi] une modification propre rr : x / x telle Uue $X$ soit une variété projective. Ie fibré Ê = rrNE est lui aussi semi-positif et > o en au | moins un Foint de $X$ , car c(Ê) = rr_'(c(ý)) . prdr suite rf-q(z¨,Ê-') = o . Or le _norphisme naturel ** . rf_(x E-') _ rf-q(Is,_-') rr . , ek clairement injectif : on a en effet rr,,on" = id où rr désigne le mo]Tphisme ** image directe n . rt-q(I¨ _-') _ rf_(x,E-' *, . l ) c'dlculé au sens des courants (on utilise ici le fait Uue la cohomologie peut étre calculée . . ' _ ou au moyen des courants). lndlfferemment au moyen des formes e ]la démonstration de la nullité de Hq(X,KX_L¬) est 'dnalogue, si on ident_ie cet espace à l'espace des (n,q)-formes harmoniques à valeurs dans E . On peut aussi se ramener au cas précédent en invoquant la dualité de Serre : Nq(X,KX_E)" _ rf-q(x,3¨-' . ) BIBLIOGRAPHIE [Ar] N.\ ARONSZAJN, A unique continuation theorem for solutions of elliptic partial differential equations or inequalities of second order, J.\ Math.\ Pures Appl.\ 36 (1957) 235-249. [A-S] M.F.\ ATIYAH and I.M.\ SINGER, The index of elliptic operators III, Ann.\ of Math.\ 87 (1978), 546-604. [D1] J.-P.\ DEMAILLY, Sur l'identité de Bochner-Kodaira-Nakano en géométrie hermitienne; Séminaire P. Lelong, P. Dolbeault, H. Skoda (Analyse), 1983-84, Lecture Notes in Math. n° 1198, Springer-Verlag. [D2] J.-P.\ DEMAILLY, Champs magnétiques et inégalités de Morse pour la $d''$-cohomologie; C.R.\ Acad.\ Sc.\ Paris, Série I, 301 (1985) 119-122. [D3] J.-P.\ DEMAILLY, Champs magnétiques et inégalités de Morse pour la $d''$-cohomologie. Ann.\ Inst.\ Fourier, 35 (1985) 189-229. [G-R] H.\ GRAUERT und 0.\ RIEMENSCHNEIDER, Verschwindungssätze für analytische Kohomologiegruppen auf Komplexen Raüme, Invent.\ Math.\ 11 (1970), 263-292. [Gri] Ph.\ GRIFFITHS, The extension problem in complex analysis II : embedding with positive normal bundle, Amer.\ J.\ of Math.\ 88 (1966), 366-446. [Moi] B.\ MOISHEZON, On $n$-dimensional compact varieties with $n$ algebraicailly independant meromorphic functions. Amer.\ Math.\ Soc.\ Transl.\ 63 (1967), 51-177. [R] O.\ RIEMENSCHNEIDER, Characterizing Moishezon spaces by almost positive coherent analytic sheaves, Math.\ Zeit.\ 123 (1971) 263-284. [S] C.L.\ SIEGEL, Meromorphe Funktionen auf kompakten Mannigfaltigkeiten, Nachr.\ Akad.\ Wiss.\ Göttingen Math.\ Phys.\ Kl.\ n° 4 (1955) 71-77. [Siu1] Y.T.\ SIU, A vanishing theorem for semipositive line bundies over non-Kähler manifolds, J.\ Diff. Geom., 19 (1984), 431-452. [Siu2] Y.T.\ SIU, Some recent results in complex manifold theory related to vanishing theorems for the semi-positive case, Survey article in the Proceedings of the Mathematisches Arbeitstagung held in Bonn (June 1984), Max Planck Inst.\ für Math., Lecture Notes in Math. n° 1111, Springer-Verlag. [W] E.\ WITTEN, Supersymmetry and Morse theory, J.\ Diff.\ Geom.\ 17 (1982) 661-692.