Published in Arkiv för Matematik Vol.\ 23 (1985) No 1 Propagation des singularités des courants positifs fermés Jean-Pierre Demailly Abstract Given a closed positive current T on a bounded Runge open subset $\Omega$ of $\bC^n$, we study sufficient conditions for the existence of a global extension of $T$ to $\bC^n$. When $T$ has a sufficiently low density, we show that the extension is possible and that there is no propagation of singularities, i.e.\ $T$ may be extended by a closed positive $C^\infty$-form outside $\Omega$. Conversely, using recent results of H.~Skoda and H.~El~Mir, we give examples of non extendable currents showing that the above sufficient conditions are optimal in bidegree~$(1,1)$. O. Introduction Dans ce travail, nous nous intéressons au problème de l'existence de prolongements globaux d'un courant positif fermé défini sur un ouvert relativement compact de $\bC^n$. Soit T un courant positif fermé de bidimension (p,p) (i.e. de bidegré (q, q) avec p+q=N) sur un ouvert ncc". D'après un théorème de y-T SIU [5], les en- sembles Ec= {zEn; v(T,z)_c>O) associés aux nombres de Lelong v(T; z) sont des sous-ensembles analytiques de n. Les ensembles Ec propagent donc les ({ singu- larités )} de T, et apparaissent comme une obstruction au prolongement global du courant T (du moins lorsque les Ec ne s'étendent pas eux-mêmes à _" tout entier). Nous cherchons ici des conditions suR_santes simples, exprimant que la densité de T n'est pas trop grande, pour que le prolongement soit possible. On mesure pour cel_ la densité des masses de T en posant p ± _ ddlzl', _ = mesure trace de T = ±pp^T, p! _(z, r) = o(B(_, r)), 36 Je_n-Pierre Demailly avec B(z,r)={_EC"; |_-z_T.}. Nous démon- tl.on,s alors les résultats suivants: Théorème I. Soit nccc" UN ouvert de Runge, et TUN couraNtpositiffermé sur _ dont la classe de cohoN_ologie est Nulle. On suppose que les INajses a(z, y) vér_ent Uour tout E>O et tou_ co_Npact ncnE la conditioN suivante: (l) supf' _"' " dr < +_ si Test de bidegré (l, l); _,W o r`"-' ,,, fE o (z, r)"' . r sup n dr < +_ eN bIdegre (q_q), l < q < N. ° zEK r _loT's, poL_T. tous T_éels d>TT>O, il elsiste UN courant __O fel_n__ sur C" qui coiNcide nuec T sur nd et de clQsse IT_ eN dehors de ñ_. Un résultat classique de P. LELONG [4] a_rme que a(z, r)r-'p est fonction croissante de r lorsque T est de bidimension (p,p). On a donc toujours une estima- tion de la forme suPz,w _(z, r)=O(l_'p), qui correspond typiquement au cas d'un courant d'intégration sur un sous-ensemble analy_ique de dimc±p. Un tel courant est bien sûr en pénéral non prolongeable. Les conditions (l) et (2) irnposent aux masses o(z, l.) une croissance beaucoup plus restrictive, cornme le montrent les impli- cations évidentes sup_(z,T_) = O(r2"-2+') _ (2) _(l) _ (_zEn)o(z r) ± o(r2n-2). zE_ ' Du théorème l découle l'existence de rnajorants globaux pour un courant défini sur un ouvert d'une variété de Stein et ayant une densité su_samment faible. Corollaire 2. Soit T UN courQN_ positiffet.mé dé_ni sur un ouvert n d'une vaPiété de SteiN x. Ol_ suppose que Tuér_e la coNdition (l) (resp. (2)) relativemeNt _ des ouuerts de cQrtes nj T.ecouurQNt n. _lorspour tout ouvert wccn il el_iste un courant O _O fertNé sur X, de clQsse C_ au uoisiNage de x-n et telque T_ON sur w. Pour démontrer ces résultats dans le cas général (2), on construit à l'aide d'un noyau un potentiel y tel que iddy±T modulo __(ñd). On vérifie alors que y peut se prolonger de sorte que la partie _O de iddy reste bornée. Dans le cas élémen- t__irc où T est de bidegré (l, l), la condition (l) signifie sin_plement que y est une fonction plurisousharmonique localement bornée. Le théorème 3 ci-dessous montre que la condition (l) est déjà optimale pour assurer la validité du corollaire 2. Théorème 3. SoieNt wccn deul_ boules coNceNtriques daNs C". Si p±N-l, ON se doNNe uNe foFIction _Nesurable y>O dé_Nie sur ]O, l] tel_e que _3) fl y(') dr = +_ o r et uér_aNt l'h}'pothèse technique suivaNte.. (4) 3_> l telque sup_<_. tO, tout cotNpact _cnE et tout rE]O,E[ l'es_i- n_a_ioN .. (5) sup_(z,r) = (Ty(r_)T.'"-' si p ± n- l, zE_ (6) sup_(z,r) _ _r"+p-' si O

O, et aJ]ant de p_us _es propriétés ci-dessous.. (7) T est de mQsse euclidieNne iN_Nie daNs n; (a) toutcourant positif ferMé Ow déJlni sur n et tel que O_T sur w vér_e O_T sur n (eN par_iculier Oh Ne se proloNge _ QUCUN LoisinQge de ñ). L'estimation (5) est valable en particulier avec les poids . _(r) = ' , y(r) = ' , .., Log± . Log±LogLog± r r r pour lesquels les condilions (3) et (4) sont trivialement vérifiées. Le courant T du théorème 3 est obtenu en sommant les courants d'intégrELtion sur les fibres d'un morphisme analytique G: n_c"-p le long d'un ensemble plu- ripolaire complet contenu dans une sous-variété totalement réelle McC"-p. On vérifie alors que le courant ON doit nécessairement se propager de w à n le long des fibres de G, ce qui donne (8). La démonstration utilise essentiellement trois ingrédi- ents: les deux premiers sont des théorèmes de structure pour les courants positifs fermés, démontrés respectivement dans la Thèse d'EL MIR [3] et dans [l]; le troisième est l'existence de sous-variétés totalement réelles de dimensíon n-l dans C" qui soient des ensen_bles pluripolaires complets (DIEDERICH-_ORNAESS [2]; voir aussi é5). ' . ' . ' Les conditions su_*sante (2) et non su_*sante (6) restent neanmoIns elolgnees l'une de l'autre. Ainsi l'hypothèse (2), qui est indépendante de p, devrait logiquemen_ pouvoir être remplacée par une hypothèse d'autant plus faible que la dimen,sion p du courant est plus petite. Compte tenu de (l), (5) et (6), il paraît raisonnable de conjec- turer qu'une condition suR*sante d'existence de prolongements globaux du courant T soit la condition de finitude (2') sup_' _'z' " dt. <+_. z,X o rn+p L'estimation (6) montre en tout cas que l'exposant n +p ne peut être choisi plus petit. 38 Iean-Pierre Demaill_ l. Proloogement des courants de bidegré (l, l) Il s'agit de prouver la partie (l) du théorème l. Soit Tun courant _o fermé de bidegré (l, l) sur n. D'après les hypothèses, T possède un potentiel y qui est une fonction plurisousharmonique (en abrépé p.s.h.) dans n; on a donc iddy= T. La formule de Lelong-Jensen s'écrit pour tout point zE nE: F' _"' " rtr ± (T[h(y, z,E)-y(z)] O r2" -l avec une constante C>O; ici __(y,z, E) désipne la moyenne de y sur la sphère de centre z et de rayon E. Il est bien connu que la fonction z~h(y,z, E) est continue sur nE (ceci resulte de la formule de Stokes et du fait que dy est à coeR_cients L_oc). L'hypothèse (l) équivaut donc à dire que y est localement bornée sur n. Chaque ouvert nd est de Runge dans n, donc aussi dans C". Par suite, il existe unefonction p.s.h. _E__(C") telleque __ -l sur ñd, __l sur Cn,. Puisque v est loc'dlement bornée, on peut choisir _ln entiet. N>O tel que {N__y sur ñd, N_>y sur ñ7-n_. On pose alors: {U=y sur nd, U=sup(y,N_) sur n_-nd, u= N_ sur Cn_. Dans ces conditions, il est clair que U est p.s.h. dans C" et que le courant ON =iddU répond à la question. 2. Construction de potentiels globaux dans C", N_2 Soit Tun courant de bideeré (q, q), q_l, dans un ouvert ncIIIc". Pourtous d>IT>O més, on choisit une fonction XE__(C"), O_X_l, x=l au voisinage de ñd, x à support dans n_. On associe à Tle potentiel y(z) = _,,cnX(_)T(_)^_(z, _), zEC", où n(z,_)= -c p"-"'-" , et où (avec un léger abus de notation) " IZ-_|'n-2 p(z-_) ± ±ddlz-_|'. Le noyau _ est donc de bidegré total (N-l, n-l) en (z, _), et y est de bidegré (q-l,q-l) en z. La constante cn>O est choisie ici de sorte que idh_±[d]=courant d'intépration sur la diaðonale de C"XC". Plus généralement, etant donné une fonction pEIT_(C") à support dans n_, o_p_l, et une fonction _: ]O, +_[_[O, l] croissante de classe C_, on associe à T la (q-l,q-l)-forme définie sur C": ye,p(z) ± f p'(_)T(_) ^ _e(z, _), avec _e(z, _) ± -ê(lz-_|')p"-'(z-_), et ê(,) = l+_ e(u)du t U" Lemme 2.1. Le Noyau _e est à coeficieNts L_oc(C"XC") et iddK ± e'°+' [d]+ e"''-'_" idlz-_|'^dlz-_|'^p"-'. e (N - l_c,, lz-_|' EN PQrticulier id__e est UN (N, n)-couraNt positif sur C"XC". DémonstrQtioN. Les coeR_cients de ne sont des multiples constant_ de ê(lz - _|'), et par hypothèse o ± ê(,) ,f+_ du _ l - = t _- (n-l)t"-l donc _eEL_oc(C"XC") ^ __(C"XC"\d). si e± e(o+) est une constante on obtient _ = e'°+' n, par suite e (N- l)cn idd_ ± e'°+' [d]. e (n-l)cn En général, quitte à rernplacer e par e - e(o+) et après translation et répularisation. on peut supposer que e±o au voisinage de O. Calculons alors le idd par rapporL à la variable x±z-_. Il vient: idd(_(ll_|')p"-'(_)) = 2ê'(ll_|')p" + ê"(|_|')idl_|' ^ dll_|' ^ p"-' (± _ ê'(|_|')+ ë"(|_|')) idll_|'^_lnl'^ p"-' | _ e'(|_|') idl,Kl2^_|_|2^pn-l - |_|'" ' où dans la deuxième ligne on a utilisé l'égalité idlxl2^dll_|'^p"-' ± ± |_|'P", N PJt dans la troisième la définition explicite de ê. | Une dérivation sous le signe f rnontre que iddy(z) ± f_(_)T(_) ^ idz_n(z, _). Les dérivations partielles dz, d,, dz, d, sont reliées aux opérateurs d, d sur C"XC" par les formules évidentes dz=d-d,, dz±d-d,. Par suite idzdz_ ± iddK- id,d_- i_,_ + id,h,_. Compte tenu de l'hypothèse dT=O et de la formule iddn=[d], on obtient après intégration par parties: iddy = xT+fidx(_)^ T(_)^hn(z, _)-f _z(_) ^ T(_)^dn(z, _) +f iddz(_) ^ T(_) ^ _(z, _). On a de même: iddVe,p = f p'(_)T(_) ^ i__e(z, _)+f2ipdp(_) ^ T(_) ^dne(z, _) -f 2ipdP(_) ^ T(_) ^ dne(z, _) +f iddp'(_) ^ T(_) ^ ne(z, _). Comme on le verra au é3, l'existence d'un prolongement global du courant T résulte du fait que, sous l'hypothèse (2) et avec un choix convenable de e, le (q, q)-courant ihd(y+ Ve,p)-XT est _O modulo des formes à coeR_cients bornés. Lemme 2.2. ON suppose _ue lesfoNctioNs x, p et e vér_eNt les hypothèses techni- ques suiuantes.. (2.1) x est à support daNj n,,, x ± l au voisiNage de ñó; (2.2) p est à support daNs n_-ñd, p = l au voisinage du support de dx; l (2.3) o _ e(t) _ l et o< e'(t) _- pour tout t>o. t _ _lors il e_iste uNe (l, l)-fortNe __O de classe C_ à support daNs n_-ña telle que idd(y+ ye,p) _ X(z)T(z)- I(z) auec I(z) ± f_(_) ^ T(z) ^ p"-'(z-_) lz-_|'"e'(lz-_|') . DémoNstration. On utilise l'inépalité de Cauchy-Schwarz pour minorer les ter- mes croisés dans l'expression de iddye,p (deuxième et troisième intégrales, qui sont conjuguées). On a par définition de _e et _: 2ipdP(_)^ T(_)^dK = e"'-'__' 2ipdP(_) ndlz-_|'^P"-'^ T(_), e lz-_|2 d'où Re 2ipdp(_) ^ T(_) ^d_e (2 4) > i 2 e'(|'-_|')dlz-__`ndlz-_|' n . ± -_p IZ_,|_n ^P -'^T(_) - 4idp(_) ^ dp (_) ^ _'_ "- . lz-_|"'e p ' ^ T(_) Le lemme 2.1 montre que le terme (2.4) est minoré par -± '(_)T(_)^iddn_. 4p Ceci entraine (2.5) id_y _ ±_ 2(_)T(_)^id__e e,P 2 p +f id_p'._e-8idp ^dp ^ e'_ "- . .` . r lz-_|'"e p ' ^T(_) La dermere lntegrale admet bien une minoration du type I(z) puisque e'_l et (l ) ( I ) ne= O ±O , d'après l'hypothèse (2.3). Il en est vi- lz- _|'"-' lz-_|'"_ (lz- _|') siblement de même pour l'intégrale f iddx(_) ^ T(_) ^ _(z, _) dans le développe- ment de iddy. Il nous reste maintenant à estimer les termes ,,croisés". iddy. D'après l'hypothèse (2 2) légali,é __ ,N ,,c _lz-_|' n . , ' = - n ^p -' etle lemme 2.1 il _z - _|'" vient (2.6) Re [d_(_) ^ T(_) ^ _n(z, _)] ± -± 2(_)T(_)^id__ - z _-idx(_)^dx(_)^T(_)^P"-'. 4 p e | _ |2lle' Le lemme 2.2 s'obtient alors en combinant la formule développée de iddy et les iné- galités (2.5), (2.6). | Le lemme suivant va nous permettre de choisir la fonction e de manière à mini- miser le terme d'erreur I(z) dans le lemme 2.2. Lemme 2.3. SoLrs l'hypo_hèse (2) du théorètNe l, on peut trouL'er ufle fonctioN eE__(]o, + _[) _ér_aNt la coNditioN (2.3) et telle que l'iNtégrale I(z) soit uneforMe _ coeficien_s bornés. DétNoNstration. I(z) est de classe C_ pour z8Supp _I_cn_. Il suR_t donc de majorer I(z) lorsque z décrit un cornpact Wc n7. Un calcul de I(z) en coordonnées polaires d'origine z montre que (2._) llI(z)ll ± IT(l+f_ rt_"' " ) - o e'(r')r'" où dans le membre de droite fieure l'intégrale de Stieltjes de la fonction continue à gauche rr*_(z, r). Posons _(r)=suPz,w o(z, r), O q)> lE>V>_, où nv est un voisinage de ñdsurlequel x_l et p_O. Par con- struction y et ye,p sont de classe C_ au voisinage de c"\n_ et idd(y+ye,p) = T modulo IT_(nv). De plus, la classe de cohornologie de T sur n est supposée nulle. Il existe donc une (q-l, q-l)-forme wEp_(nv) telle que T= idd(y+ye,p+W) sur nv. Soit h une fonction de classe C_ à suPport dans nv, _L_l sur nE. Le courant o, = idd(y+ye,p+_,W) coïncide avec T sur nE, Oh, est de classe C_ au voisinage de c"\n_, et d'après les lemmes 2.2 et 2.3, NO,_XT rnodulo des forrnes bornées sur n_\ñd. Comme nE est un ouvert de Runge dans C", il existe une fonction p.s.h. __O de classe C_, exhaustive, __O sur nd, _ strictement p.s.h. cn tout point de c"\nE. On peut a_ors choisir une fonction convexe croissante UEP_(R) telle que le courant _ = _,+(iddUo_)4 soit _O sur C" tout entier. O coïncide avec T sur nd et répond donc à la ques- Eion. | Le co_ollaire 2 est une conséquence presque imrnédiate du théorème l. Supposons en eRet T défini sur un ouvert n d'une variété de Stein X, et soit wccn. Il existe un recouvrement fini de cü par des ouverts nl, n,, ..., nNccn et des applications _j: X_C" telles que Fj soit un isomorphisme de nj sur la boule uni_é BcC". Soit Tj l'unique courant sur B défini par T=_? Tj sur nj. Ghoisissons des réels J d>IT>O tels que _)c U _?'((L-d)a)^nj. J l_j_N Le théorème l nous donne des courants iddW._O définis sur C", qui co_ncident J avec Tj sur (l-d)a, et dont le potentiel Wj est de classe C_ en dehors de (l-_)a. Soit Pj une fonction de classe C_ sur X, à support dans nj, telle que Pj_ l au voisi- nape de _?'((l-_)a)nnj. Le courant idd(PjF?Wj) coïncide avec T sur J J - F?'((l -d)a)^ nj et il est positif modulo des formes de classe __. On peut donc J trouver une fonction _ strictement p.s.h. de classe C_ telle que le courant o = (idd_)4+L_ id_(PjF?Wj) =l J soit _o sur Xet __T sur w. On observe enfin que o coïncide avec (i'dd_)4 au voisinage de X- n. Le corollaire 2 est donc démontré | La démonstration du théorème l s'applique aussl au cas des variétés de _tein, à condition de remplacer les noyaux _ et _e de C" par des noyaux analogues ayant les mêmes types de singularités. On obtient alors l'énoncé général suivant: Théorème 3.1. Soit n un ouL`er_ de RuNge daNs une vaT.iété de S_eiN X, et T UN courant positiffern_é sut. n. OII suppose que la classe de cohotNologie de T est la restric- tioN à n d'une classe de cohotNologie de x et que T vér_e la coNditioN (l) (resp. (2)) daNs _oute carte locale sur n. _lors pouT_ tout couple d'ouuerts de RuNge n,cc n,cc n il e__iste UN COUT_QNt O _O fertNé sur X qui coi'Ncide auec T sur n, et de clQsse C_ sur n-ñ,. 4. Construction de courants non prolongeables de faible densité La démonstration du théorème 3 que nous allons donner fait appel à deux théo- rèmes de structure pour les courants positifs fermés, obtenus récemment par H. EL MIR [3] et 7. P. DEMAILLY [l]. Soient X une variété analytique complexe de dimension n, ON un courant positif fermé de bidimension (p,p) sur x. Rappelons qu'un ensemble _ cX est dit pluri- polaire (resp. pluripo_aiT.e cotNplet) s'il existe une fonction u p.s.h. sur X telle que Qcu-'(-_) (resp. _±u-'(-_)). Si r est un sous-ensemble analytique fermé de dimension pure de X, nous désipnons par [y] le courant d'intégration sur y. Théorèlne 4.1. ([3] ; cf. aussi SKODA [6]). Soit a uN eNse_Nblefer_Né pluripolaire co_Nple_ dans X, IA safoNctioN caractéristique. _lors le couraNt positif IA . ON estfertNé. Théorème 4.2. [l]. Soit S uNe sous-uari_té t'éelle_feT.tNée de classe C' de X, n_unie d'uNe strbtNersion _: S_M JUt. uNe uaT.iété C' doNt les _bres _,±_-'(t), tEW, > SoNt des sous-uariétés cotNple_es coNt_e_es de dimeNsion p. ON suppose que l'espace tangent TS est totalement réel daNs les directioNs Normales auxJFbres [i.e. (TS ^ iTS),_t ± T_,]. _lors si le support de ON est coNteNu dQl_s S, il existe uNe uNique tNesure _ sur W, positiue, telle que o =f [F,] du(t) tEM [i.e. {°_ v}=ftEM du(t) fF v pour toute (p,p)-for_Ne v coNtiNue _ support compact t daNs X]. Nous aurons besoin également du lemme élémentaire qui suit: Lemme 4.3. SoieNt w I_C n deur_ boules coNceNtriques dat_s C". Pour tout entier p±l,2, ...,N-l il existe uNe subn_ersioN holomorphe G: n_c"-p et UN ouvert yI_C"-p tels que _es propriétés suiuantes soient _ér_Ées quel que soit tE y.. (4.1) la JEbre G-'(t) est uNe sous-uariét_ conNe_e de dimp; (4.2) G-'(t) nw_0; (4.3) G-'(t) est de uolun_e euclidien in_ni. Le lemme est vrai pour des ouverts beaucoup plus généraux que des boules (par exernple pour un ouvert borné n de classe _' avec wccn), mais nous avons opté > ici pour _a simplicité technique. D_MoNstrwtioN. On peut supposer que n est la boule de centre a=(l, O, ..., O) et de rayon l. On définit alors G(z) = zp+,exp_ ... _ z_ ' ' "| exp __ _l où _ dési_ne un réel >l assez prand et z_ la détermination principale de la fonction exp (_ Log z,) (noter que Rez,>O dans n). Pour t=(tp+,, ..., tn)EC"-p, la fibre G-'(t) est l'ensemble défini par les équations _l zj=tjexp -_ , p+l _j_N, l lz,-ll'+_z,|'+ ... + lzpl'+ _tl2 -± ' < . exp _ l zl Les coupes de G-'(t) suivant les hyperplans z,±constante sont donc des boules, par suite G-'(t) est connexe si et seulement si l'ensemble plan E_ ± lzl-ll2+T2 __ '< _ exp _ l , _ - ltl, zl est lui-même connexe. Quand _ décroít vers O, l'ensemble Ez croît -vers le disque D± {lz,-ll'O est la plus petite valeur critique sur D de la fonction r(z,)±(l -lz,-ll')'/' _ . . . . exp _es condltlons (4 l) z_ et (4.2) sont alors réalisées dès que _t_ est assez petit. On va maintenant montrer que le volume euclidien de G-'(t) est infini si _ est assez grand et si ltl est >o assez petit. D'après la remarque ci-dessus l'ensemble G-'(t) est un fibré en boules, ce qui donne vol(G-l(t)) = f (L+L_ __') f ' rfh (z,) dh(z,, ..., 2 ) zl, Et ±p+l dz, lz,|2+...+lzpl± O}. zl PaLssons en coordonnées polaires z,=rei8. Il vient Vol(G-'(t)) = "p-' f _ -' '°' _8 Rr(yei8)p-'rdl_d8, (p l)r E l+ ,_+2 exp , - . T l_ ._ R_(rei8) - l_(2 co, g r) _, 2 cos _8 _ - - exP - r_ On restreint l'intégration au domaine d défini par: _lol,_ ± _ 2y > ' < 'o '°' 2_ _ (2cos_8 ,,r 2r] exP - ,__ > . . l n . . . d est blen contenu dans ET quand z'<-cos -. De plus, l'amplltude angulalre du 4 2_ . domaine d sur le cerc]e lz,|±r est _'°g' _ tandis que pour rei8Ed on a: r , 2_ l+_ -"°'_8 _ _'_'r-2"-' r +2exp r_ _ r(2cos 8_r)__2 2cos_8 ,,,r exP - r_ ± > rdvec une constante _>O. On obtient alors pour ltl assez petit: Vol(G-'(_)) ± (T'T2f'or-_+p-l rtr - O . La condition (4.3) est donc réalisée dès que _>p (ou même _=p si p_2), en choi- sissant pour y une boule épointée de centre O et de rayon assez petit dans C"-p. | Nous sommes maintenant prêts pour démontrer le théorème 3. Avec les nota- tions du lemme 4.3, soit Mc y une sous-variété totalement réelle fermée et PcM . un ensemble pluripolaire cornplet fermé. On choisit une mesure u_o non nulle à 5'upp0rt compact dans p, et on lui associe le cou_ant de bidimension (p,p): T=l [G-l(t)] d_(t). tEP Lemme 4.4. Ze couraNt T uér_e les hypothèses (7) et (8) du _héorème 3. DéN_onstratioN. Puisque les fibres G-'(t) sont de volume infini, T a bien une masse infinie dans n en vertu du théorème de Fubini. Soit de plus O un courant _O fermé sur n qui majore Tsur w. Le courant Test à support dans l'ouvert X=G-'(y), et c'est sur cet ouvert que nous allons appli- quer les théorèmes 4.1 et 4.2. L'ensemble a =G-'(P) est pluripolaire cornplet dans x (ceci résulte immédia- tement des définitions) donc IA. _ est _O fermé dans X. Par ailleurs, le courant IA . ON est à support dans la sousvariété S±G-'(M) qui vérifie toutes les hypothèses du théorème 4.2, d'après la condition (4.1) et l'hypothèse que W est totalement réelle. Il existe donc une mesure v sur W telle que IA.O ±f [G-'(t)]dv(t) sur x. tEM Comme les fibres G-'(t) rencontrent l'ouvert w et comme IA.ON_IA. T=T sur w> on en déduit que v_U. Par conséquent O _IA._ _T sur n . et la condition (8) est s'dtisfaite. | Il nous reste à obtenir les estirnations annoncées pour les masses de T. Dans le cas pO, tout compact ncnE et tO_It rE]O, F[ une estimation du type: sup _(z, r) _ _r'"-'sup U(]t-_r, t+(TrU zEK tER avec une constante _±c(n, E)>O. _'inégalité (5) s'obtient alors grâce au résultat _uivant, plus ou moins classique en théorie du potentiel. - 48 7ean-Pierre Demailly Lemme 4.5. Soit y : ]O, l]_R unefonctioN tNesuyable >O vér_ant les hypothèses (3) f'_dr=+_, et o r (4) sup_<_, a>l. tO. DémoNstrktioN. Nous procédons en plusieurs étapes simples. a) RéductioN des hypo_héses. Si infr,,o,l,y(r)>O, l'ensemble p± {O} et la mesure de Dirac u en O convien- nent. On supposera donc inf_(r)±O (=lirnr_o _(r) grâce à (4)). Quitte à remplacer Q par le nombre entier Q'±[ak]-2 avec kEN assez grand, on peut remplacer l'hypothèse (4) par (4.4) sup "" < _, _ entier ±2 __(A+l)r y (r) - . Posons alors en supposant pour simplifier _ _ ± : l rk = inf{rE]O, l]; y(l_) _ _-k}, kEN. . l Il vlent ro_- et (4.5) rk+l _ ' rk pour tout kEN. _+l Sinon il existerait en eRet E_O tel que ' (rk+E) 'ko+l c) La n_esure u vér_e l'estin_atioN dL_ leMme. L'inégalité (4.7) montre que si ko est le plus petit entier pour lequel il existe x±Lnk(l_)rk, y=Lnk(y)rk dans ]t-r, t+r[ avec l_ko(x) y-_ > rko+l, ce qui implique rko+l+E_(_+l)r et y(l.) > ±y(rko+l+E) _ _-ko-2 a pour E_O bien choisi. Le choix de ko montre d'autre part que Pn]t-r, t+r[ c {L Nkr.k; Nk = N_(_), O _ k < ko}, d'où U(]t-l., t+y[)_a-ko_a2_(r). d? p est polnire complet. On associe à u la fonction sous-harmonique u(z) ± _ Log lz-t_ du(t), tEP qui est harmonique sur C-P. Il s'agit de montrer que u(z)= -_ pour zEP. On utilise pour cela l'égalité u(z) ± -fó U(]z-r, z+t.[)_, zE[O, l]. r si z=Z__ Nn(z)rkEP l'ensemble =O E ± {Zk°-'Nn(z)rk+L__ Nkrk; Nk=O, l, ...,_-L si k ± ko} k±O ±ko - a pour mesure Q-ko et la formule (4.ó) montre de plus que Ec]z-r, z+r[ dès que r__rk . En choisissant ko tel que rk __ _ . _ Q ce qui implique u(z)= -_ d'après (3). | 5. Existeoce de sous-variétés totalement réelles et pluripolaires complètes L'objet de ce parapraphe est de démontrer le résultat suivant: Théorème 5.1. Il existe daNs C" uNe sous-variété W de classe C_, de diMeNsion réelle N - l, _otaletNel_t l.éelle et pluripolaire co_plète. Ce résultat a été obtenu par DIEDERICH-FORNAESS [2] en réponse à une question de T. OHSAWA. Comme la démonstration n'est explicitée dans [2] que pour tI=2 et comme IIOUS avons une méthode plus sirnple et plus constructive, nous l_edonnons ici la preuve détaillée. Théorème 5.2. Soit (Uk)k,N uNe sui_e de vecteurs de l'espace euclidieN R"-' telle _Lre (5.1) lukl _ luk+,| et (5.2) limsup(l_',uh) ±+_ pour tout O _ IK'ER"-'. k_+_ ON se doNNe uNe sL_i_e Qk >O telle que les corIditioNs suiuQntes soient réalisées: (5.3) lim'°g |'k_ = o _h ' _. _k_ukl _ O (5.4) 'lm _k+, - . _lors le graphe de la foNctioN f(l_'l ± L__ exP (-ak(l +i{_', uk})) o déJENi pat. M,± {z=(z' zn)EC". 'ER"-' et z,,=f(z')} est uNe sot_s-variété pluripo- > > Z lail.e cotNplète de classe C_. Plus précisémeNt, il e_iste uNe foNctioN p.s.h. u coNtiNue sur C"-W, telle _ue M,=u-'(-_). DétNoNstratiot_. Les hypothèses (5.1)-(5.4) impliquent _k+l + et IUklv o exp Qk lim lukl±+_, llm ± _ = - _k 2 quel que soit vEN. On a donc L__(_k_ukl)'exP (-_k) < +_ (_vEN), ce _Lli prouve que .f est de classe C_. Posons pour tout .jEN: Fj(z') = Lo uj(z) ± sup -l _Log_zn-Fj(z')| , z ± (z' zn)EC". ' _j+l ' La croissance rapide de la suite (ak) entra_ne l'existence d'une constante CT>O telle que lf(z')-Fj(z')| _ (Texp (-_j+,) pour z'ER"-' > donc (5.5) lim uj(z) =-l si zEM,. j_+_ D'autre part pour .j_.jo assez grand il vient: IFj(z')| _ _ exp (_jlvjl IIm z'|), (5.6) uj(z) _ _j''j' [IIm z'|+Log(_+lznl)]. _j+l Quel que soit vEN on peut choisir grâce à (5.4) un indice j(v)_jo tel que (5.7) __''j' _ 2-' pour j _j(v). _j+l Considérons dans C"-W, la suite exhaustive de compacts _v ± {z = (z', zn); lzl _ v et IIm z'|+lzn-f(Re z')| _ 2-'}. Etant donné un point ZE_v, Im z'3zsO, il existe un indice j>.j(v) tel que (Im z', uj}> '°g' (hypothèse (5.2)) d'où |_j(z')-Fj_,(z')_>2 et sup {uj(z), uj_,(z))>O. " aj Si ZEKv et Imz'±O, on a limj_+_ lzn-_j(z')|=lzn-f(z')|>o, par suite limj_ +_ uj(z)=O. Par compacité de _v on peut donctrouver unindice 7(v) tel que (5.8) sup {uj(z); j(v) _j _ J(v)} _ -2-' sur nv. Ceci nous permet de poser u(z) = L__ sup {uj(z); j(v) _j _ 7(u)}. o Les inégalités (5.6), (5.7) et (5.8) montrent que la série précédente est majorée (resp. minorée) sur tout compact de C" (resp. de C"-M,) par une série géométrique de raison _. u est donc une fonction plurisousharrnonique dans C" continue sur > > C"-W,. De plus (5.5) enraîne que z__-_ sur W,. | Bibliographie l. DEMAILLV, 7. P., Courants positifs extrêmaux et conjecture de Hodge; Inv. Math. 69, (1982), 347-374. 2. DIEDERICH, K. and FORNAESS, _. E., Smooth, but not complex analytic pluripolar sets; nrQnu- scripta Ma_h. 37, (1982), 121-12S. 3. EL MIR, H. ThéorèMes de prolongemeTIt des coul.ants positifs fet.m_s; Thèse dz Doctcrat d'Etat soutenue à l'Université de Paris VI, novemóre 1982; Acta Math. ls3 (1984). 4. LELorvG, P., Fonctions plurisousharmoniques etformes dinérentiel_es posi_iues; Gordon and Breach, New York, et Dunod, Paris (1967). S. SIU, Y. T., Analyticity of sets associated to Lelong numbers an(h the extension of closed positive currents; Inu. Mn_h. 27, pp. 53-1S6 (lg74). 6. SKODA, H., Prolongement des courants positifs fermés de masse finie; INU. Mnth. 66, pp. 361-376 ( 1982). Receiued 7u1y II, I983 J. P. Demailly Laboratoire de Mathématiques Pures - Institut Fourier dépendant de l'Université Scientifique e,t Médicale de Grenoble associé au C.W.R.S. B.P. 74 38402 st. Martin d'Hères (France) . . .