RELATIONS ENTRE LES DIFFÉRENTES NOTIONS DE FIBRÉS ET DE COURANTS POSITIFS par J.P. DEMAILLY 0. INTRODUCTION Nous nous proposons de généraliser les résultats de l'article [2], consa- cré à l'étude des relations entre les notions de positivité de P.A. Griffiths et de S. Nakano pour les Eibrés vectoriels. Etant donné une forme hermitienne 8 sur un produit tensoriel T _ E , il y a trois manières natureLles de défi- nir la positivité de 8 , calquées sur les définitions usuelles concernant les courants positifs. Dans Le cas où 8 est la forIoe de courbure d'un fibré vec- toriel holomorphe hermitien E au dessus d'une variété anaLytique X , on re- trouve Les notions de positivité de P.A. GRIFFITHS [_] et de s. NAKANO [6] relatives aux fibrés, ainsi qu'une troisième notion de positivité plus restric- tive, appelée ici positivité forte. Notre objectif essentieL est la démonstra- tion du résultat suivant, contenu implicitement dans [2] : si le Eibré E est positif au sens de Griffiths, aLors le Eibré E _ dét E est positif fortement (donc aussi au sens de Nakano). Ce type de résuLtat est Lié étroitement aux calculs de courbure intervenant dans Va théorie des morphismes surjectifs de fibrés vectoriels semi-positifs de H. SKODA [8] (cf. zussi [l ]). Nous montrons dans le dernier paragraphe co_ent ces techniques peuvent s'appliquer aux formes et aux courznts pour étabLir des relations entre positivité faible et forte. - 2 - l. FOR#S #RNITIEWS POSITIWS SUR UN PRODUIT TENSORIEL. Soit 8 une forme hermitienne sur un produit tensoriel T _ E d'espaces vectoriels complexes. DErINITIoN l . 8 sera dite (l) semi-positive au sens de GriEfiths, si pour tout vecteur décomposable xE T _ E , x ± E _ u , avec E E T , u E E , on a 8(x,x) >, o ; (2) semi-positive au sens de Nakano, si elle est se_i-positive au sens usuel sur T _ E , c'est-à-dire si 8(x,x) >/ o pour tout x E r _ E ; (3) semi-positive fortement, si on peut écrire _ _ | k,x, |2 8(x,x) - x. j=l ' pour une famille finie F%},,,j,N de formes linéaires % décomposables J \ J _ - ,n n k n _ n sur T _ E , x. - . _ u. , avec E. E T , u. E E . J J J J On désignera par >/G , >/N , >/, les inégalités de semi-positivité de Griffiths, de Nakano, et de se_i-positivité forte. On dira que 8 est (strictement) positive_ et on éc_ira respect_vement 8 > o , 8 >N o , 8 }, o G si. toute petite perturbation de 8 est encore semi-pos.tive dans le sens considéré. Il est clair que 8 >/s o entra_ne 8 >/N o , et que 8 >,N o entra_ne 8 >/G o , mais les réciproques sont fausses en général co_e on le verra au é 2. Les trois notions co_ncident toutefois si l'un des espaces E ou r est de dimension l. On suppose maintenant que l'espace E est muni d'une forme hermitienne définie positive p ; on désigne par n la dimension de T , par r celle de E, et on définit TrE 8 co_e la _orme hermitienne sur T telle que r TrE a (E,E') ± l e(E _ e. , E' _ e.) j±l J J - - - - - - - - - - - 3 - pour toute base orthonormée (e.),_j,\r de E , et tout couple (E,E') E r' . J _ la forme TrE 8 est indépendante de La base orthonormée (e.) choisie, et J elle est semi-positive dès que 8 >,G o. Les semi-positivicés forte et de Griffiths sont reliées par Le théorème suivant. T#ORE# l. - Si la forme hermitienne 8 sur I_ E est se_i-positive au sens de Griffiths, alors la Eorme 8 + Tr a_p E est semi-positive fortement ( onc aussi au sens de Nakano). La démonstration sera une conséquence aisée du le_e suivant. LE_ l. - Soient q un entier>/ 3 , u. et vk , l <\ j,k<\ r des nombres com- J plexes. a décrivant l'ensemble 3¬ des applications de {1,2,...,r} dans le groupe des racines q-ièmes de l unité, on pose . r r u' ± E uR _) , v_ = l v _) . _ R=l m=l m Alors pour tout couple (j,k) , l <, j,k <, r , on a l'identité -r l ' _o(j) _) ± u. _ si j _ k q u_ _ , oEr r L± , uR _ si j _ k . R=l . Dé_onstration. Le coefficient de uR _ dans La quantité m -' E u' _o(j) _) q o _ _Er est donné par -r l _(j) _) _) o(m) . q oEr Ce coefficient vaut l lorsque Les paires {j,m} et Fk,R} co_ncident (puis- qu'alors o(j) _) _) o(m) = l pour chacun des qr élë_ents o E_ . Il s'agit de montrer que l o(j) _) _) o(m) = o oEr\ lorsque Ves paires {j,m} > {k,R} sont distinctes. - _ - si {j,m} _ Fk,R} , l'un des éléments de l'une des paires n'appartient pas à l'autre paire. Co_e les quat_e indices j,k,R,m jouent le même rôle (quitte à changer éventuellement _ en ó) , on peut supposer par exemple que j n'appartient pas à {k>R} . Effectuons sur _ la substitution a~ T , où T est défini par 2iT T(j) ± _ o(j) , T(s) = o(s) pour s _ j . On obtient l _(j) _) _) a(m) ± E QEr TEr\ 2in ±_ E si j _m _E_ _in = _ E si j __ . _Er\ Co_e q>/ 3 par hypothèse, il en résulte _ien l o(j) _) _) _(m) ± o . _Er Dé_onstration du théorème l . Etant donné une base de T et une base orthonormée (e.) de E _ on dé- 7 J signe par (E_) , l 5 n <\ n , les coordonnées de E E _ , par (u.) , l E j \< r , J celles de uE E , et par (xnj ) celles de xE T _ E . si les no_bres complexes ahUjk sont les coefficients de 8 (avec ánvjk ± aynkj) , on a les formules 8(E _ u_E _ u) ± l _ujk Eh É uj _ _ n ,_ >j ,k ' 8(x_x) = l. _ujk hi _k l _ ,V ,J ,k TrE 8 _ p (x,x) ± l a . . h _,k n,_,j,k nyJJ k avec l , o . - S - o décrivant co_e dans Le le_e l l'ensemble _ des applications de Fl,...,r} dans le groupe des racines q-ièmes de L'unité, on pose r xño = E xnR_) . R±l D'après le VeImoe l , on a -' E E . ' __(j) _) q anU,k xno v_ _ E_ n_ulj_k E= . anUjk xnj _ + E. anV;j xnk _ n,U,J_k _,U,J,k _ = 8(x,x_ + TrE 8 _p(x_x' - l . an_jj xnj % . n,_,J " On obtient donc 8(x,x) + rrE 8 _ p(x,x) = -r l l . ' _o(j) _) + E anUjj xnj %>, o q anU,k xno uo n,_,j UJ o E_ h,y,j,k d'zprès l'hypothèse de positivité de GriEfiths de 8 . Il nous reste à vérifier que le second membre est so_e de car_és Ze Eormes linéaires décomposables sur T _ E . Par hypothèse, la forIoe her_itienne de coefEicients ( E anvjk _(j) _))h_u est semi-positive sur T , donc soo_e de carrés de j,k n r formes linéaires E E T , l \< v <\ n . De méme Va forme de coefficients vo (anv,,)n,v est so_e de carrés de formes ,inéaires ,n n , , ,, v ,\ n, , E , E r . . . E T . . vJ Pou_ tout vecteur décomposabLe x = E _ u E T _ E , on peut écrire, en r notant eo ± E _(j) e. : j±l J xñ ± Eh p(u,eo) , 8(x,x) + IrE a _ p(x,x) = q- E Ê " (E) _' IP(u,e ) |' r IEv_ o OE_ v±l í î " . (E) l' IP(u,e.) | ' , + . IEvJ . , _=l v=l - 6 - de sorte que - - î |_ _ p(_,e ) _' 8 + TrE 8 _p - q ' E v_ . o QEr v=l r î IE_j _ p (!,e.) |' . + ._, v , J J- _ La démonstation est achevée. Le co_ollaire qui suit est une généralisation du le_e fondamental (3,s) de H. SKODA [8], relatif au cas où -8 est la Eorme de courbure d'un sous-fibré E d'un fibré trivial. COROLLAIRE l. - si la forme hermitienne 8 est semi-positive au sens de Griffiths sur T _ E , où dim T = n , dim E ± r , alors 8 E, Inf(n,r) . Tr 8 _ p . E Démonstration. Nontrons tout d'abord le LE_ 2. - Tr 8 _p - a >, O E G . En effet, tout vecteur décomposable x E T _ E peut s'écrire x ± E _ u où llull' ± p(u,u) = l ; si L'on choisit une base orthonormée 'e.'l\, 8(x,x) , TrE8_ p(x,x) j=l J J grâce à l'hypothèse 8 >/ o. Le le_e 2 est démontré. . G D'après Le théorème l, on a donc rrE 8 _p - 8 + TrE(TrE 8 _p - 8)_ p = r TrE 8 _p - 8 >, o . s IL nous reste à _ontrer qu'on a également a \< n Tr 8 _p , s E ce qui est pVus dif_icile. Nunissons T de la forme hermitienne semi-positive _ = TrE 8 , que nous supposons pour l'instant non dégénérée. Soit _ = w _p - 8 >/ O _a forme con- G ^ sidérée dans le le_e 2. Les coefficients de 8, relative_ent à un couple de - 7 - bases orthonormées de T et E > sont donnés en fonction des coefficients qvjk de 8 et des symboles de Kronecker ón, , ójk _ par _ujk = ónu ójk - qujk . On applique le procédé de so_ation du le_e l, mais cette fois par rapport à l'espace T (indices _ et u). si _ est l'ensemble des appVications de Fl,...,n} dans le groupe des racines q-ièmes de l'unité, et si l <\ n,U <\ n , l \< j,k \< r , il vient d'après le le_e l : -" E E ^ . '. __(n) _) q a_,,k x_, _k o Er n,v,j,k ± '. ânvjk xnj _ + l. âh_jk x . _ n_V_J,k h,u,,,k UJ ± - '. anVjk xnj _ - E. annjk x . _ + n l lx ._' h_U,J ,k n,v ,J ,k VJ u,j UJ ' ce qui donne n E lx .|' - l ahUjk hj _ j,u " n ,u ,j ,k = -" ' '. qujk°'"' _' x'. _+ E. __jk x . _ . q _ E3_ n,V,J,k _J °k _#,,,k VJ Co_e dans la dé_onstration du théorème l, on voit donc que l 8 \< nw _p ± n TrE 8 _p . s . Lorsque w est dégénérée, de noyau K , il est facile de voir grâce au le_e 2 que 8 induit une forme hermitienne O- sur T/K_ E . En remplaçant e par 8 , et n par N = dim r/K<, n , on obtient _ <\ N . Tr _ _p , s E ce qui entra_ne e <\ N . rr 8 _P c n . Tr 8 _P . s E s E Nous alLons voir maintenant co_ent ces notions se iraduisent dans le cadre des fibrés vectoriels hermitiens. - e - 2. TIBRÉS PosIrIPs. si E est un fibré vectoriel holomorphe hermitien au dessus d'une variété analytique complexe x , on peut définir une connexion canonique D sur E , hermitienne et holomorphe (cf. A. DOUADY et J.L. VERDIER [3], P.A. GRIrFITHs [_]). D envoie l'espace c_ (X,E) des formes de type (p,q) à valeurs dans E , p_q dans l'espace c_ (X,E) _ c_ (X,E) ; la forme de courbure c(E) du fibré E p+l ,q p,q+l est aLors définie par la propriété suivante D'u = c(E).u pour toute section c_ u de E , de sorte que i c(E) est une (l,l) forme à vaVeurs dans le fibré Herm (E,E) des endomorphismes hermitiens de E . On identifiera i c(E) à la forme hermitienne 8 sur TX _ E qui lui est cano- niquement associée. DErIN_TIoN 2. - Le fibré E est dit semi-positif (respectivement positif) au sens de GriEfiths, au sens de Nakano, ou au sens fort, s'il en est ainsi pour La forme hermitienne 8 sur chaque fibre T x _ E , z E X . z z La forme de courbure c(E") du fibré dual E' ' est donnee par c(E") _ - `c(E) , ` `c(E) E Herm (E" ") désigne l'endoIoorphisme transposé de c(E). Le ou ,E lecteur en déduira aisément Va proposition suivante. PROPOSITION l. Le fibré E est (semi-) positif au sens de Griffiths (resp. au |sens fort) si et seulement si le fibré dual Eh .- ' . est (sem_ ) negat_f au sens de Griffiths (resp. au sens fort). Le résultac analogue pour la positivité de Nakano n'est pas vrai (voir l'exemple ci-dessous) . Il est classique d'autre part (P.A. GRIrFITHs [_]) qu'un fibré quotient d'un fibré E >G o est encore positif au sens de Griffiths.De _ême un sous-filbré d'un fibré E _ o est E _ u) ± î . -. ' > _ E u _ j±l J _ 8(x,x) = l xjk _ l l\ - | E. | , j=l J n n pour E = l E _. E T p _ u = l u. e. E q , j=, i J ' " j=l _ J z x = E xjk _j _ ek E T _ _ qz . l\= E xjk _+ xjk _ j,k ± 2 E lx. . |' + E _x. + hj l' . j JJ j/ 2 . IL n'existe donc pas de constante V < l telle que 8 + _ Trq _ Id >/ o , et en ce sens le résultat q .N du théorème l est le meilleur possible. En ce qui concerne le corollaire l, le lecteur pourra vérifier que l'inégalité Q" _ (dét q)" >/ o est opti_ale, mais N que dans cet exemple q _ (dét q)-' ñ o . Lorsque n >, 2 , il appara_t qu'on a q >/G O sans avoir q >/N O , et qu'on a q"<\N O (_uisque q' est un sous-fibré du fibré trivial v") sans avoir q" \< o (ce qui entra_nerait q >/ o ! ) . s s - l l - 3. co_s PosITIrs. SeuVes les propriétés ponctuelles des courants seront étudiées dans ce pa- ragraphe, de sorte qu'on se li_itera à la considération des formes différen- tielles. La première définition des formes et des courants positifs a été donnée par P. LELONG [s]. Soient T un espace vectoriel complexe de di_ension n , F = Ho_(T,_) le complexifié du _-dual de r , np'q r l'espace des formes de type (p,q) sur T. Pour tout entier p, on pose E ,ip _' - 2 p ± _) (-l) ' = 2 p iP . DEFINITION 3. - Une for_e _E np'q F est dite (l) positive, si elLe peut s'écrire N _ ± l E _. n % j±l p J J avec Zes éléments _. E np'° F ; J (2) Eortement positi e, si on a une écriture analogue avec des _ormes _. J décom osabLes ; (3) faiblement positive, si pour t9ute forme BE nk'k F forte_ent posi ive, où p+k = n , la . (n,n)-Eorme _ n B est pósitive. Nous noterons pp (resp. spp wpp) le cône des (p,p)-formes positives (resp. fortemenc, faiblement positives), et nous désignerons par >, (resp. >,S, >,W) l'inégalité de positivité (resp. de positivité forte, faible). On vérifie aisément à partir de cette définition qu'on a les inclusions spp c pp _ Npp > et que Les éléments de Npp sont réels. Si l'on a choisi une (n,n)-_orme T positive, non nulle, il y a une forme bilinéaire naturelle nPIP F x nk'k F* _ (avec p+k = n) qui à _ E np'p F , g E nk'k F associe l'unique nombre complexe Y - 12 - tel que _ n B _ Y . T . wpp s'identifie alors par définition au cône dual (spk)° de spk , et on peut montrer d'autre part que spp = (Npk)° , pP = ,pk,o . Enfin_ si p = 0,1 , n-l , ou n , toutes les formes de np'° T sont dé- co_posables, donc spp = pp wpp ± (spk)° _ (pk)° ± pp . , On suppose désor_ais que l'espace T est muni d'une métrique hermitieMe_ représentée par la (l,l)-forme positive . n [_ ± ± l dz. n d¸. ' j=l J J dans une base orthonor_ée (dz.),,,j\,n du dual É . , de E L'espace T = Ho_(T,_) et l'algèbre extérieure n r sont Iounis des métriques _suelles correspondantes. On désigne classiquement par L l'opérateur de multiplication extérieure par [_ dans l'espace hilbertien n F , et par n son adjoint ; on a donc : L_ ± w n a , (n_IB) = (_>LB) ± (_lw n B) pour toutes formes _,B E n F . On peut écrire en coordonnées, pour tout _ E np'p r , _ = E E' _,,K dz, n d¸K p J, | Lr ,' - _, _ ± Ep+r _,>K dzM n dz_ , . J,K,N l nr ,' - _, _ = E _W,PN dzN n dzp , . p-r N,N,p r où la notation E signifie que les so_es sont étendues à tous Ves muVti-indices croissants J,K,N,N,P _ avec ici IJl ± _Kl ± p , INl = r , INl = lpl ± p-r . On convient que les spboles _,,K , dz, , d¸K sont définis pour des muLti- - l3 - indices non nécessairement croissants J,K , de sorte que leurs signes soient alternés en J,K . On rappeLle enfin que l'opërateur n de Hodge-de Rham-Poincaré est défini sur n r par la relation n _ nn B _ (_|_) _ . ! Les propriétés des formes positives sont intimement liées aux opérateurs L_n et n ; la proposition 2 ci-dessous est classique, ec de démonstration aisée. PROPOSITION 2. - Soit _ E np'p T une forme positive (resp. fortement, faible- ment positive). Alors les formes Lr_ E np+"p+r r , nra E np-r'p-' F , n _ E n"-p'"-p T sont positives (resp. fortement, faiblement positives). Les mëthodes du _l conduisent d'autre part au rësultat suivant. PROPOSITION 3. - Soit _ une (p,p)-forme faiblement positive sur l'espace hilbertien (T,_). Alors la (p,p)-forme pí' _ _ rnr_ r=o p p!r! ` est fortement positive. Nous aurons besoin des notations suivantes : o décrivant l'ense_ble 3 r des applications de {1,2,...,n} dans le groupe des racines q-iè_es de l'unité (q á 3) , on pose n wo ± E _) dzR , R=l et pour tout _ ± (_,_...,o ) E_p , on pose p wo = w n ... n wo = l _) dzL _l q L où la so_e E est étendue à tous les multi-indices L = (A,,...,R ) , non L p nécessairement croissants, et où o(L) ± o, (R,) . . . o (R ) . p p - l_ - LE_ 3. - Pour tout couple de multi-indices (J,K) tels que IJl = IKl = p , on a l'ëgaVité -nP E o(J) _) w n _ = E dzL n d¸N q _Erp ° ° L,N où la soo_e E est étendue à tous les L,N tels que L_N {js,_ } ± Fk ,R } pour tout s , l <\ s <\ p . s s s Pour p = l , Le le_e 3 se réduit au le_e l , et on obtient aussitôt le cas général en observant que _ _ p = E . . . E . _ o, E_ o E_ p _. Ecrivons _ = ' _jKl_p , - _J K d'_ " dzK p IJ |- - E ± _2 ,,,E _, K dz, n d¸K = IKl=P ' Dire que _ E wpp équivaut par définition à dire que pour toute famille (x,) déco_posable, x, = x? ? . .. _ , on a x x Jl J2 Jp E__,K xJ h>' ° . ' J,K Poúr chaque élément _E_p-' , la (l,l)-forme _ . - _jJ,kK °(') _) dz. n d¸k ,,k> Jl-IKl±p-l ' est donc positive, ce qui entra_ne que la forme _(_) suivante appartient à spp : E B(_) = _,p ,, o _ p , aj, kK o(J) _)dz.nW nd¸kn_ . p!'q - _ - j>k, Jl_IKl=p-l _ _ _ _ D'après le le_e 3, iv vient E - B(_) = , f _j, kK dzjL dzkN _ ! j.,k, EJl=IKl±ILl±INl±p-l _ la so_e étant prise sur les J,K,L,N cels que - IS - la so_e étant prise sur les J,K,L,N tels que {js,m } = Fk ,R } pour tout s , l <\ s <\ p-l . s s s si Fjs,m } ± {k ,R } , on a ou bien (js,k ) ± (Rs,_ ) , ou bien s s s s s j = k _ R = m , les deux cas s'excluant mutueLLement. On obtient donc s s s s ± _ p-' (p-') E _,N a dz,p n d¸Kp , B (_) 2 E r | Jl | Kl __ p rl ' p! r=o = - | Nl ±| pl ± r où Va so_e est restreinte aux multi-indices N,P tels que n _ ps pour tout s s E { l_...,r} . Le coefficient binomial (p-') appara_t parce qu'il faut choi- r sir r indices s E F l,...,p-l} pour lesquels on aura j ± k _ R ± m . s s s s Pour tout muVti-indice N de longueur IMl ± m , définissons la "contraction" _ [N] E Wpp-m de _ par : E _ [N] =_ E _M _ dz, nd¸K , p! IJ |= IKl±p-_ ' et considérons la forme = _ p-' (p-') E _JN,a d'JP " d__ ' Y(_) 2 E r IJl-IKl p r p! r=o - = - INl =lpl= r dans laquelle la so_ation esc prise sans restriction sur les multi-indices N et p . Pour chaque couple (N_P) , on peut écr_re N ± N'N , p = p'N où les _ulti-indices N' p' ont la propriété que n' _ p¨ pour tout s; on observera qe . > s dans cette notation, N n'est pas nécessairement constitué des 10 = INl derniers indices de N et p , mais de _ queVconques des r indices possibles. si on réordonne en écrivant N à la fin, chaque couple (N'N,P'N) proviendra d'exac- tement (_) couples (N,P) , obtenus après avoir "mélangé" N à N' , N à p' . De l'égalité (p-') (_) = (p-') (p-m-') résulte alors r m r-m - 16 - E Y(_) ± , l (p-') (_) E __NIN _tM d'MIN n d__'N ! _r\ qui prouve la proposition 3 : p-' p-l,_ _(_) = E ( r ,, Lr n' 7. r=o p. OI_ peut démontrer de _ême un résultat analogue au corollaire l. PROPOSITION _. - si _ est une (p,p)-forme faiblement positive (p >, 2) _ on a _l'inégalité forte \ pí' ,n(p-2) - (p-2),_ _K 'i ' = _'ip_ K = K'k et j = k , ,=l _ . p p p = - _J,K si j _ k . p p °n prendra garde au fait que _,,K _ alterné en J et K (_ais - 17 - seulement par rapport aux p-l premiers indices de J et K). Il est clair que l'expression E _ x, h J_K '_K est >/ o pour toute fa_ille (x,) décomposable (cf. le_e 2) ; il en résulte co_e précéde_ent que Spp contient la forme ^ E B(_) = _p-l) a__,p-, E _j, kK o(_) _) dzjnW nd¸rf_ p!'q j ,k, | Jl ±_Kl _p-l > o o = ' 2 l _j,,kK dzj_ n d¸kN p! les so_ations sur J,K,L,N étant prises pour | Jl = IKl ± ILl = INl ± p-l , {j ,m } ± {k ,Rs} si s E Fl , . . . ,P-l } ; s s s par conséquent ^ E B(_) = - _, l _. dziLR n d¸k,m p! j,k,R_m JJR,kKol E + (n-l) ± l _j,R,kxR dzjLm n d¸k_ , p!' j ,k,R,m avec IJl ± IKl = _Ll = INl = p-2 , {j ,_ } = Fk _R } si s E Fl , . . . ,p-2} . s s s s Définissons la for_e _(_) E spp par _(_) = _(_) + E B(_[R]) n _ dz n d¸ R _m m m ' ^ E = B(_) + , E _j,R kK_ dzjL_ n d¸kNo, ! j,k,R_m ' E = - _2 . E _jJR,k_o d'jLR " d_kNm p JlklRlm E + "_ E _jJR,k_p d'jIm n d¸kWo p!' j ,k,R>_ On vérifie co_e dans la démonstration de la _roposition 3 qu'on a l'égalité p-' (p-') E ð(_[N]) n E dh n d¸N _ m INl_ m m o p-' ,p-2, _ E= - r ,, L_ ' n _ r±o p. pí' ,p-2, _ r+l r+l . + " r p,2 ' n _ r=o - 18 - Comme le premier membre est une (p, p)- forme fortement positive, la proposi- tio_ _ esc dém_ntrée. Nous pouvons maintenant énoncer le résultat essentiel de ce paragraphe. T#ORE# 3. - Soit _ une (p,p)-forme faiblement positive (l <\ p E n). On a les inégalités fortes - C'(n_p) _Lp-' np-' _ _ _ _ C(n,p) _Lp-' np-' p!2 p!2 _, où les constantes positives C(n,p) , C'(n,p) sont définies par C(n, l) = l , c' (n, |) ± o , C(n,2) ± n , c' (n,2) = l , C(n,p) + cl (n,p) - (n+l) ! - (n-p+2) ! ' et la relation de récurrence = pÉ' p-') C(n-r,p-r) c' (n_p) ( r . r-l Démonstration. On raisonne par récurrence sur p , en utilisant les propositions 3 et _. Lorsque p ± l , on peut choisir C(n,p) = l , c' (n,p) = o . On observe que, pour tout entier r >/ l , nr =_ ' _ 2 ,N,E _[N] , (p-r) ! ±r et que a[N] ne fait intervenir que les variables dont les indices appartien- nent au complémentaire CN de N . si L,N et n,N désignent les opérateurs L et n relatifs à ces variables, on obtient par hypothèse de récurrence _EN] <\ C(n-r,p-r) ' Lp-'-' np-r-' _[N] . s ,p-r, !2 CN CN Co_e np-'-' _[N]± np-'-' _EN] , il vient CN _[N] <\ C(n-r p-r) l LP-r-l np-r-l _,N, ' ' ,p-_, !2 CN <\ C(n-r,p-r) ' p-r-' np-'-' _[N] , ' (p-r) !' ' car la (l,l)-forme np-r-' _[N] est dans wP' = sP' ; en appliquant l'opéra~ - 19 - teur Lr . . ' . ' . . . \ qu_ conserve les _negaL_tes fortes (propos_t_on 2), on obt_ent apres sommation sur N : L'nr _) LP-l nP-l _ `/ O) et ± p-' (p-') C(n-r,p-r) . c' (n,p) l r r=l Grâce à la relation (p-') ± (p-') + (p-') , on voit que r r r-l = p-' [(n+l) (p-') - (p-')] C(n-r,p-r) C(n,p) l r-, r r=l = (n+l) (Ct (n-l ,p-l) + C(n-l _p-l)) - C'(n,p) . On en déduit aussitôt C(n,p) + C'(n>p) ± (n+l)...(n-p+3) _ _ . . (n-p+2) ! Nous avons maintenant besoin de la _ajoration suivante, dont La démonstra- tion est i_édiate (se ramener au cas d'une forme B = E dz, n d¸, , IJl = p). r p LE_aa _. - Pour toute forme B E Spp et tout entier k <, p , on a _B<\ _! knka s p!k! ' . En appliquant cette inégalité pou_ k = l à la forme B = np-' '= sp' _E wP , on obtient (la notation Tr _ désignant lg scalaire ± np_) : p! COROLLAIRE 2. - si _ E wpp > on a les inégalités Eortes - C'(n>p) Tr_ . _ _ <\ _ <\ C(n,p) Tr _ . w p! s s p! avec les constantes du théorème 3 , et C(n,O) = l , c' (n,O) = o . - 20 - Co_e l'opérateur n conse_ve la trace Tr _ et la positivité forte_ on peut d'ailleurs remplacer dans Ve corollaire 2 C(n,p) par Inf(C(n,p),C(n,n-p)) , c' (n_P) par Inf(C' (n,p) ,c' (n,n-p)) . Ces dernières constantes ne sont malheureusement pas optimales. Ainsi pour p = 2 : PROPOSITION s. - si _ E wP' alors _ <\s _ . Tr _ . _ . > 2 E2 - Démonstration. si _ = _ E _jR_km dz. n dz_ n d¸k n dz , nous savons (voir j,k,R,m ' J _ la démonstration de la proposition 3) que la fo_me F2 g(_) ± _ + _ E _jR,kR dz. n dz n d¸k n d¸ j,k,Rk_ J m m est Eortement positive. En utilisant le le_e _ avec p = k = 2 , on trouve 2 _ <\ B(_) <\ Tr(B(_)) . ± s s 2 l avec Tr(B(_)) = Tr _ + _ E _j ,j = _ . Tr _ . i _R_m_j R R =-=-=---=-±-=-_-=-=-=-±-=-- - - - 21 - B I B L I o G R A p H I E [l ] DENAILLV (J.P.). Scindage holomorphe d'un mo_phisme de Eibrés vectoriels semi- positifs avec esti_ations L' ` _ . , a para_tre E2l DENAILLV (J.P.) et SKODA (H.). Relations entre Les notions de positivités de P.A. GRIrrITHs et de s. NAKANO pour les Eibrés vectoriels, Sé_inaire P. LELONG-H. SKO_A. (Analyse)_ 19è_e année, 1978-79, Lecture Notes n° 822,1980,Springer-Ver1ag,Ber1in,Heide1berg,New York. [3] DOUADV (A.) et WRDIER (_.L.). 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