ANALYSE _TlhTH_MATId.UE.- _lr les transformées de Fourier de fonc- tions continues et le théorème de de Iee_w - Kátznelson - Kahane. Note de Jean-Pierre DEMAILLY, présentée par _l. Paul M____VIN. Given any locally compact abelian groNp G and any function , p E L'(Ð) , we prove the exirtence of a function f E L' (G) contlnuous and vanishing at rtinity such that |__ ± _pl a.e. on Ð . | Etant doMé un groupe localement compact abélien G quelconque et une fonction p G L'(Ð) , nous rnontrons l'exirtence d'une fonction ' f E L'(G) continue nulle à l'_lfini telle que !_| ± _pl p.p. sur Ð . INTRODUCTION. L'objet de la présente note est d'étendre au cas d'un groupe loca- leMent compact abélien G quelconque le théorème ci-dessNs démontré par de Ieeuw - Katznelson - Kahane [4] dans le cas d'Nn gro_pe G compact. Une rédaction plus détaillée de ce travail parakra dans [2]. _a démarche, analogNe à celle de [4], consirte dans un premier temps à généyaliser les inégalités de #intchine poNr les transformées de rourier aléatoires sur un groupe non compact. l. INEGALITES DE KMNTCHINE GENERAI_SEES. _it p e L'(Ð) . si Ð n'est pas discret, il exirte poNr tout E > o une pakition dénombrable du support _hPPp = U E. j__ ] ^ avec m(E.) s E . Si C est discret (i.e. G compact) on choisit sim- ] _ plement m(E.) ± E ± l . Etant doMé une suite aléatoire t = (t.) E (_/á) J J on considère la fonction | ' - 2 - (l.l) p,(g) = E Pj(_)e'"i`j où p. ± OE p . jE_ J j _it dt la mesure de p_obabilité naturelle sur (_/__ . Un calcul classique ([3l , p. 215), utilisant la formule de Plancherel sur Le tore, foNrnit pour tout entier p ± l l'estirnation en norme L'p (1.2) f a,___,||__dt = E _ %____ , (_/_) |__=p _!' '" où la somme est étendue aux suites presque nulles (_O,_,,...) de ` . '__ dési_e le produit de convolution modul_ p et ou la notatlon p | . ___o _*_, , _es ,nega,,,es de Hausdor,, Young et de Ca_chy pO *_ p, _ ... . . ' . ' - - Shwarz entraAent les majorations _o-l _ _ (l. 3) _lp"__|, , |_po__2 __po__, __p,ll l 2 _o _l . - , ... s E ll_0__2 __p, __, ... . l D'après (1.2), (1.3) et l'inégalité _ . _ . . _,, s p_ ll s'ensuLt donc _! '(_/a,_''_tll'pdt s plEp-_,E,,p ,,2 p p ,,,p,,_ 2P . j ,) ± p!E - , _ - Ilexirte tE(_/ä_ tel ue 1 (1.4) ___,__,p ± (p!Ep-')_llp_|, . L'_légalité élémentaire (|_,|-_) s (p-,,p-l -P l-pl_,IP + p _ l _ > o , fouynit alors Le LEMME. - _ p, satisfait l'iné alité de #intchine on a __>o (l. 5) __(lû, |-_)+|_ , ± c _'-p__P___ L (G) P7' avec G - (Ep-' _(p ,,p-l -P _ p,E - p!) - p . / - 3 - 2. DEMONSTRATION DU TNEO EME LKK . NONS démontrons la version uivante du théorème, qui donne des ekimations précises en normes L et L_ . THEOREME LKK. - _ M un réel ± 17 _ E > o . Alors _ _ E L'(_) il existe une fonction f a L'(G)n CO(G) vérifiant les ro riétés (2.1) |_lzlpl _ Ð, (2. 2) __f__2 s (l+±)__p__, M (2.3) _lf__ _ _( +7_)llpll, _E=l_G_ (2. 2|) __f__ s l , 186 __p_|, (2. 3t) llf__ s 3, 685 7É- llP__2 . Ie héorème LKK résNlte du lemme (L.5) gráce à Nn procédé de constru tion itératif général, implicitement contenu dans [4] et foy- malisé par s.v. Nru¨_ev (voir Kisliakav [5]). Comme dans [4] il sNffit en fait de vérifier l'exirtence de f E L' _ . (G) n L (G) _ient b. , _. , 8. trois suites positives sommables qui seront J J J précisées ultérieurement et r.(z) ± z min(l,_./lzl) , z _ 01 . On J , J conrtruit une s_ite de fonctions g. C L (G) ayant les p_opriétés sNivan- J tes : (2.4) si f. = rO(gO) +...+ r (gj ,) + g. alors ] j-l - J |_. | ± lpl [(l+bO)..o (l+ bj ,)] -' , J - (2. 5) __gj ll, s 8. , J (2. 6) __(lg, _-_,)+|| s c _l-P aP . . 2 p, E j j . - 4 - On suppose __p__2 = l poNr simplif.er, et on choisit = _,(x) = _,(-x) où p, est d nnée par le lemme (1.5). On a gO(x) donc _o = ðo = v, et les propriétés (L.4,5,6) sont vérifiées avec 80 = _lp__, = l . _hpposons construites go,...,g. et soit . ] h. = rO(gO) +...+ r.(g.) . Alors ] J J __f.- h. __2 ± __g.- r (g,)__, = ||, lg, l-_,,+ __ , c _ l-P aP ] J J j . . . 2 - p, E j j . On définit alors W a L'(Ð) par (2. 7) W(_) = o si (cas favorable) |_.(_) | _ lp(_) l [(l+ bo)...(l+b )] -' J j (2.8) _(_) = 2 lp(_) | l(l+ bo)...(l+ b.)] -' . . slnon J Dans ce derniey cas, on a __.(R) | s |_.(S)|(l+b.)-' d'après (2.4l, ce J ' J J qNi entraAe o s w( _) ± _ __.(_)-_.(s) l , __w_|2 s 2 j ' J ___f.-h __2 s 2c b-l l-paP j J j p, E j _j j . v On définit alors gj+, ± , où W, ert associée à * par (1.5). Cette fonction satisfait (2. 5) et (2. 6) si l'on pose (2 9) g ± 2c b-' l-pB-P j+l p, E j _j j ° ^ ^ Comme fj+, = h. +gj+, , on a d'aNtre part f_+, = h. + W, avec ] J |w,l ± W , donc (2.4) est vérifié à l'ordre j +l par construction de W . _es pyopriétés (2.4,5,6) montrent que la suite f. converge vers une +_ J fonction f ± E r.(g.) qui vérifie les inégalités j±o J J +_ +_ +_ (2. lo) __f__, _ E a. , __f__ s E _j , |_| ± __l II (l+ b.)-` . j=o ] _ j=o j=o J Ie choix b ± p-j-' B ± p-pj/(P-l) _ _ hb j ' j ' j - j ' h 2c _2/p , l/p-, (= - satisfait la relation de yécurrence (2.9) et p, E conduit aux estimations (2.2) et (2.3) avec les conrtantes respectives - 5 - E8.n(l+b.) = Ap = _p _ l+± J J -p-l j±l p' l-p l (± ± _pp-' ) II l+± . E_.n(l+b.) _B pE 2p! J J p . j=, pJ On véyifie enfin par un calcul numérique que A < 1,186 , B < 3,685 11 11 _ B < l +7'2M/e pour p-l ± 2M