Séminaire P.LELONG, H.SKODA (Analyse)
18e et 19e année, 1978/1979
pages 304--309

RELATIONS ENTRE LES NOTIONS DE POSITIVITÉS de P.A.GRIFFITHS et de S.NAKANO
POUR LES FIBRÉS VECTORIELS

par J.-P.DEMAILLY et H.SKODA


Introduction.
.
Ce travail a été motivé par les deux mémoires [3l et [_l du deuxiéme
auteur, dans lesquels on étudie le reléve_ent des sections holomorphes gLobales
de Eibrés vectoriels semi-positifs par un morphisme surjectif. Ces deux mémoires
sont cons_rui_s de manière parallèLe, le premier utilisant la notion de semi-
positivité au sens de S.NAKANO, le second la semi-posi_ivité au sens de P.CrifEiths
(cf. la proposition 2 pour les définitions précises) et le passage au fibré en es-
paces projectifs.
Ce double exposé , se justifiait par le fait que la positivité au sens de S.Nakano
était à priori la mieux adaptée au probléme posé (et à l'identité de Kodaíra pour
les fibrés de rang quelconque) _andis que la posit_vi_é au sens de P.Griffiths était
en revanche la notion la plus géométrique (el_e passe aux fibrés quotients) et cel-
le qu'on rencon_re le plus souvent dans les exemples concrets (un fibré engendré par
ses sections globales est semi-positif en ce sens).
L'objet de ce travail est de montrer qu'on peut, en un certain sens, passer aisé-
ment d'un _ype de posi_ivi_é à l'autre. Il résulte trivialement des définitions
que la semi-positivité de S.Nakano entra_ne celle de P.Griffiths. Inversemen_, on
montre que si E est se_i-positif au sens d_ P.Griffiths, alors E _dét E est semi-
positif au sens de S.Nakano.
La notion de semi-positivité de S.Nakano appara_t donc, en un certain sens, con_e
aussi générale et géométrique que celle de P.Griffiths, contrairement au sentiment
qui semblait prévaloir parmi les mathé_aticiens intéressés.
Il en résulte que le deuxiéme mémoire [_l peut se déduire entièrement du premier
et du présent résultat, avec mé_e une substantielle amélioration. Néanmoins, ce
second mémoire présen_e l'intérét de montrer que la technique de passage au fibré
en espaces projectifs de P.Griffiths est eEficace, y compris pour l'obtention
d'estimations L' simples. De _éme, le théoréme d'annulation de P.GriEfi_hs [l] pour
les fibrés positiEs devient un corollaire du théorème d'annulation de S.Nakano [2] .
Plus généralement, le présent résultat semble montrer que l'usage de l'identité de
K.Koda_ra pour les fibrés de rang quelconque peut dásormais concurrencer très ef-
ficacement la _éthode du passage au fibré canonique de rang l au-dessu_ du fibré en
espaces projectifs.

_ - -
l
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|
|
_ s'il est certain que ce travail a été for_ement influencé par Les travaux du deu-
xième auteur, le résultat essentiel est fondé sur une proprié_é simple des fornes
hermitiennes sur un produit _ensoriel, dont l'idée est due au premier auteur.
|
Après l'exposé du résultat principal, nous donnons des appLicat_ons aux théorémes
, d'annulation et aux problèmes de relévement de sections globales.

Ex osé du résuLtat rinci al.
|
_ \
T ORE# |. - Soit E_p au-dessus d'unevariété
| -
_ n. _E _>, o au se_s de Criffiths , et si on pose dét E ± E , _
E_dét E _>,o au sens de Nakano. _ ic(E) >, p au sens de Griffiths, oú c(E) _
_E_p _ (l,l)-forme sur n à valeurs dans le
' _ Herm(E)_E,_ ic(E_détE) >,p +TrEp_IdE
au sens de Nakano.

Démonstration. Il est classique que c(dét E) = TrE c(E), e_ que
c(E _dét E) = c(E) _Iddé, E + TrE c(E) _ IdE .
Il sufiit d'appliquer la proposition ci-dessous aux formes hermitiennes ic(E) et
ic(E) - p dans chaque fibre E _T n , zEn, du fibré E _ Tn .
z z
PROPOSITION 2. - _ E, T des es aces vectoriels de dimension res ectives p _ n,
E étant hermitien, O- une forme hermitienne sur E_T . _O- >, O au sens de
Griffiths, c'est-à-dire O-(b_c , b_c)>,O _ bEE et tout cET. Alors
O- + TrE O _IdE es_ >, o au sens de Nakano (i.e. >,o sur E_T).
| - _ -
La démonstration sera une conséquence aisée du lenune suivant.

LE_ 3. - Soien__un entier>,3, u. et vk , |\<j,k\< p _ _.
- J-
_o décrivant l'ensemble des a lications de {|| 2| ..._ p} _
racines a_
p _ p
u' o E u_ _(_) , v' _ E v _ .
° h_| ° V_| u
_i>k | l\<jlk_p, ona l'identité

_-p E o(j) _ u' v¬ = u. úk si j _ k ,
a _ o J .
± E un ún si j ± k.
Démonstration. Le coefficient de un ú dans la so_e
u
_-p _ o(j) _) u' v¬
_ _ _
est donné par
_-p E o(j) _) _) o(v) .
o
Il s'agit de montrer que ce coefficient vaut l si {j,u}=Fn,k} , et qu'il est nul si
{j ,v}_ Fn,k} .





|

.
306

si {j,v}= {n, k} , on a o(j) _ _) o(v) = l pour Cout o , d'oú le résultat.
si {j,u} _ {n,k} , l'un des éléments de l'une des paires n'appartient pas à
l'autre paire. Co_oe les quatre indices j,k, _ ,V jouenC le méme tôle, qui_te
à changer évenCuellement o en ó, on peut supposer par exemple que j & {n, k} .
Effectuons sur o la substitution a ~T , oú T est défini par
2in
o(j) = e _T(j) , o(v) ± T(V) pourv_ j .
On obtient 2in
E _ e_ E si j _ u ,
_ _in T
E _ e_ E si j _ v. i
o T , -P , o(j) __) o(v) o
co_e _ >,3 et E ° E , on a par consequent _ _
o T _
dans le cas considéré {j ,v} _ {_ , k} . .

Démonstration de la ro osition.
Ayant choisi une base orthonormée de E et une base de T, on désigne par
(b.) , l \< j \<p, les coordonnées de bE E, pat (cR ) , | 5 R \< n, celles de cE T ,
J
et par (xjR ) celles de xE E_T.
si les nombres complexes ajkRm sont les coefficients de O- _avec ajkRm _ ákjmR)
on a les Eormules :
O-(b_t , b_c) = E ajkR_ b. bk cR _ ,
j ,k,R, m ' m
O-(x,x) _ E ajkRm xjR _km
j ,k,R,_
TrE O-_IdE(x, x) = E ajj Rm xkR _k_ '
j ,klRlm
avec | S j, k <p, l\< R, _ \< n .
Par hypothèse, O(b _c, b _c) est >, o.
o décrivant co_e dans le le_e l'ensemble des applications de {| , ..., p} dang
le groupe des racines _-ièmes de l'unité , on pose :
x' _ E xnR _ .
_R n
D'après l'hypothése de semi-positivité e_ d'après le lé_e il vient :
o \< o-p E E ajkRm o(j) _) x' XT
o j,k,R ,m oR o m

_ E ajkRm xjR _ + E ajjRm xkR _km
j_k, R,m k'm j,k,R,m

307

On obtient donc :
(o- + TrE O-_IdE) (x,x) _ E ajkRm x.R _ + .' ajjRm hR _
j,kl R lm J J ,k,R,m
>, E ajjRm xjR _. _ ° .
j ,R,m 'm
A lications.
Il résulte aussitôt du théorème | , que tout énoncé concernant le9 fibrég posi-
tifs ou semi-positifs au sens de S.Nakano se traduit en un énoncé correspondant
concerngnt leg fibrés semi-positifs au sens de P.Griffiths.
Pour la co_oodité du lecteur, nouB explicitons certains de ces résultats.
n désignera désormais une variété kählérienne, faiblement pseudoconvexe (il exigte
une fonction d'exhaustion de classe c' plurisousharmonique), _ le fibré canonique
des n formes holomorphes sur n.
On a le résultat classique suivant [2] .
T_doRÈNE _ (S.Nakano). - _ E est 09itif au sens de S.Nakano, on a :
Hq( n, __E) _ o ,
_q>,l.
COROLLAIRE s (P.A.Griffiths [|]) . - _ E est positif au 9ens de Griffiths, on a :
Hq(n , K_E _dét E) _ o.
si E est seulement semi- ositif au sens de Griffiths on a :
-
Hq(n , K_E _dét E _N) ± o
_ q_l et tout fibré en droites N>O.
Remar ue.
si la forme i_(E) définie par :
_(E) _ (p + l)c(E) - Tr c(E) _ IdE
est >,o au sens de GriEfiths, l'application de la proposition 2 montre que ic(E)
est semi-positive au sens de S.Nakano, c.e qui répond à la question posée par le
second auteur dans [3] , page 608. De plus, si i_(E) est supposée positive au
sens de Griffiths, le théorème de Nakano s'applique à E, ce qui redonne le théorè-
me correspondant de P.Criffiths [l] , p. 2|?.
On traduit maintenant les résul_ats du second auteur [3] , relatifs à la se_i-
positivité au sens de S.Nakano, en termes de semi-positivité au sens de GrifEiths.

. -

.
308

t \
THEORE#b.-_g:E_q_O_
holomor hes, herrnitiens, de ran_res eccifs p _ q, au-dessus de n. _ E _
semi- ositif au sens de P.Griffiths et si N est un fibré en droites herrnitien,
_ : ic(N_(dét E)-') > ikc(dét q) pour un réel k >Inf(n, p - q), alors le
mor hisme g :

H°( n, __E_N) _H°(n, K_q_M)
_._k>Inf(n,p-q)_g:
H°(n , K_E_dét E _(dét q)k) _ H°(n , IK_q_déc E _(dét Q)k)
est sur.ectif.

Rernar ue. .
D'aprés [3] , la tensorisation par dét E est inutile si p - q _ | .
Si le morphisme g dégénére en certains points, on pose :
z = {xEn | g(E ) _ q } .
x
On suppose que z est n-négligeable au sens suivant : il existe un ensemble fermé V,
de mesure nulle, contenan_ z, tel que n\Y soit faiblement pseudoconvexe et tel
que Y soic un ensemble singuliet, impropre, pour les fonctions holomorphes locale-
ment de carré so_able (en pra__que Y est une hypersurface conoenable et la con-
dition est toujours réalisée si n est de Stein ou projective).
On a alors l'énoncé précis suivant, avec estimations L' pour les solutions, dans
lequel g" est l'adjoint de g pour les métriques hermitiennes dé E et Q.

ÉOR___ 7. - Soit g : E _Q un mor hisme de Eibrés vectorieLs, holomor hes hermi-
TH _
tiens, au-dessus de n. _z est distin't de "_"-_. _
_' _. _M un fibré en droites hermitien
_ : ic(M)>,ic(dét E) + ikc(dét q), _k>r _ Inf(n, p - q) _
_ _ une fonction Lurisousharmonique de classe c' _ n .
_fEH°(n,q_w_N)_:
_r`'" flf) (dét gg")-?-' -p dT <+_ ,
(gg e
n
il existe hEH°(n E___N) telle que :
f = gh
/lhl ' (dét gg")-k -p ± _'n fl,) ,dé, ggn,-k-| -pdT ,
e dTC k-r (gg e
_ _" ' . '"de l'o érateur gg".
_gg_
(le cotransposé _ d'un ho_omorphisme u d'un espace de dimension q est déEini
: û(x,) nx, n . . . n x = x, n u(x,) n . . . n u(x ) , pour tout x, ,x,, . . . _ x de
par
q q q
l 'espace) .
En faisant une hypothése de sCricte positivité sur M, on peut Eaire
k = r ± Inf(n, p - q) dans le théorème 6, et on obtient, :

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' RÈ# 8. - Soit o _s _E _Q _o une suite exacte de fibrés vectoriels,
TWO _
_n. _E est semi- ositif au sens de Criffiths et si
M est un fib_é en droites >o, _ :
H' ( n, __s_dét E _(dét q)'_N) ± o ,
et en articulier le mor hisme g :
H°(n , __E_dét E _(dét q)'_N) _H°( n, __q _dét E _(dét q)'_M)
est sur.ectif.
Le théorème 8 admet une version plus précise, avec estimations L' pour Le relèvement
des sections_ valable lorsque le morphisme g dégénère, que nous ne reproduisons pas
ici pour ne pas allourdir cet exposé. Le lecteur intéressé pourra se reporter à [3] ,
p. 60_ et 606.
Leg théorèmes 6,7 et 8 sont démontrés dans [_] par une méthode différente, inspi-
rée de P.Griffiths [l] , mais avec l'entier r = p - q au Lieu de r = Inf(n, p - q) .

B I B L I o c R A p H I E
[l] GRIFFITHS (P.A.) . - Hermitian differential geometry, Chern classes and posi-
tive vector bundles, Global analysis, Princeton University Press, p. |8S-
2sl , l 969.
[2] N_O (s.). - Vanishing theorems Eor weakly |-complete manifolds II, Publ.
RIMS, Kyoto University, vol. 10, p. 101 , 197_.
[3] SKODA (H.). - NoTphismes surjectiEs de fibrés vectoriels se_i-positifs, Ann.
Scient. Ec. Norm. Sup. , _e série, t. l l , p. S77-61 l , l 978.
T
[_] SKODA (H.). - Relèvement des sections globales dans les fibrés semi-positifs,
Sé_inaire P.LELONG,H.SKODA, 1978-1979.
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