Séminaire d'Analyse P.~LELONG, H.~SKODA
(Analyse)
23e année, 1982/83

CONSTRUCTIBILITÉ DES FAISCEAUX DE SOLUTIONS DES
SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS HOLONOMES

d'après Masaki KASHIWARA
par Jean-Pierre DENAILLV

O. introduction.

Le présent travail est une version écrite détaillée d'un exposé oral sur
l'étude des opérateurs microdifférentiels analytiques, qui constituait le sujet
de deuxièrne thèse de l'auteur (rhése de Doctorat d'Etat soutenue le 19 Octobre
1982 à l'Université de Paris VI sous la direction de Henri SKODA , le sujet de
deuxième thèse ayant été posé par Louis BourEr de MONVEL).

Ce texte vise en principe un public de non-spécialistes, et se
présente comrne une introduction élémentaire à quelques idées de base
de la théorie algébri- que des systèmes d'équations aux dérivées
partieLles (cf. S-K-K [s]) . L'objectif .Frnal est la démonstration de
la constructibilité du faisceau des solutions d'un système holonôme,
due à N.KASHIWARA [ 3 ] , (197S) . NoUs nous sommes inspirés sans
vergogne de la littérature existante, en particulier du cours de
KASHIWARA [ _] à l'Université de Paris-Nord.

Le paragraphe l rappelle brièvement la construction des faisceaux gx et
bx des opérateurs différentiels et microdifférentiels sur une variété analytique
complexe X . Nous montrons ensuite le lien entre la notion classique de système
différentiel et la notion intrinsèque de _X-module cohérent 77b; par exemple, si _'
est un faisceau de ax-modules, le faisceau des so.Lutions à valeurs dans T' est
donné par Xom_ ('rn,_) . Après quelqueg rappels sur la géométrie symplectique du
fibré cotangentX "X ,nousdonnons au paragraphe 3 _a définition des systèmes holo-
T
ômes, appeLés aus i systèrnes surdéterminés maximaux. Le paragraphe G est consacré
n
` la démonstration d'un théorème de prolongement pour les solutions holomorphes
'un système diEférentiel sur un ouvert à frontiére non caractéristique. Ce dernier
théorème est l'outil essentiel pour la dérnonstration du théorème de KASHIWARA , moyen-
nant quelques résultats de H.WHITNEY [6] , [7] sur L'existence de "bonnes" stratifi-
cations d'un ensemble analytique. Pour rester accessible au Lecteur non spécialiste,
nous avons évité l'usage (non indispensable ici) du langage des catégories dérivées.
Conventions et notations.
rous les faisceaux (ou foncteurs à valeurs dans la catégorie des faisceaux)
seront désignés par des lettres rnajuscules cursives, leurs espaces de sections par
des lettres majuscules droites. Ainsi par exempte, si _'et --_ sont des faisceaux
de p-modules sur x _ on écrira Hom (x ;g, ) ± r (x ; Ibrn (_ )) .

-2-

uó faisceau 7 de p-modules est dit injectif si le foncteur exact à gauche
]bm ( . , 7) est aussi exact à droite. Etant donné des p-modules m>_'
et u_résolution cohomologique o j_'*_. de T' par des fáisceaux injectifs,
les faisceaux de cohornologie du complexe Xom (m_7.) ne dépendent pas (à iso-
rnorphisme prés) du choix de la résolution injective (cf. R.GODEMENT [2] ) ; on pose
alors :
bxtj(m,T') ± Ifi( xomp(m, 7.)) ,
Ex_( x ;m_) ± Hj(Hom (x ;m, 7.)) .
p
si de plus m possède une résolution homologique libre _ * m* o , on a un iso-

morphisme
bxtj(m,_ ± 7fj( _fom (SP , _')) .
_ _P .
Enfin, si z est une partie de x , _lz désigne la restriction à z du Eaisceau
_', _ le faisceau _es sections de _'à support dans z . .

l. Construction des faisceaux Dx et b .
- X

Soit X une variété analytique complexe de dimension n , n c X un ouvert de

carte , x ± (x, , . . . ,x ) des coordonnées locales sur n , et E ± (E, , . . . ,E ) les
n n
. n .
coordonnées correspondantes sur les fibres du fibré cotangent T X . Le fa_sceau
i
i _ des opérateurs différentiels sur x est défini comme suit.
x
É INITION l. l. - Pour tout ouvert u c n , r( u , _x) est l'ensemble des opérateurs
D
i férentiels de la forme
p(x,D ) ± E a (x)D_
x _ x '
|_|,<m
avec _ E_" m E_ , a E r ( u , ax) .
_ _ _
n . .
La fonction sur T xln déf_n_e par
p(x, E) = E a (x)E_
|_
_ ,<m
est appelée symbole total de p (dans l s coordonnées x, ,.. . ,x ) .
n
Un calcul aisé montre que le sy_bole total du composé p o Q e t donné par
(l . l) (P o q) (x, E) ± E ± a_ p a_ q .
_E_,n _! x

Si U n'est plus contenu dans un ouvert de carte, T (U__X) est défini par recol-
lement au moyen des forrnules de changement de variable. _x devient ainsi un faisceau

d'anneaux sur X .

-3-


Le faisceau ó des opérateurs microdifférentiels sara quant à lui un fais-
x
n
ceau d'anneaux sur T X . .

ÉFINIrIoN 1.2. - Soit mEQ un entier fixé , u c_ | .
D X n un ouverC Le module

r(u, óX(m)) est l'ensembl.e des séries formelles E P.(x,E) _:
_<j,<m '
(1.2) P. E r(u, Bn ) est homogène de degré j en E ;
J T X -

(1.3)_ KC<U ,ilexiste E>O _

E '?j sup IP. (x,E) | < +_ .
j ,,o (-J) ! I
K
La loi produit de l'anneau filtré b ± _ óX(m) est déduite de la formule (l.l) :
x m E_
étant donné p ET(U, SX(m)) et q E r(u, ó (R)) , R ± p o q E T(u, b (m + R)) est
x x
l'opérateur dont les cornposantes homogènes R sont les somrnes (finies)
s

= EII ± a_ P. a_ qk .
Rs _ ! J x
_E_"
j+k=s+|_|
La condition de convergence (l .3) relative à R résulte d'une inégalité dérnontrée

par BOUTET e N EL et ÉE [ l ] .
d NO v KR

si p E óX(m) , le symbole principal de p est défini par o (P) ± p . On
m m
n
vérifie aisérnent que o (P) est défini intrinsèquement sur T x .
m

ProÚriétés du symbole principal. Soit Q E óX(R) . On a :
|
|
(l.G) p o q E 4(m + R) et Orn+R(p o q) ± p qR ;
m
(l .s) [ p,q ] ± _4 - qP E b (m + R- l) et a +R , ([ p,q] ) ± {P , qR } ,
X - m
\ _ af aR af ag
ou {f,g} ± _ _- _ aE.
j±l J j I _
n
est le crochet de Poisson des fonctions f,g définies sur T X.

. = " X * X la projection sur la base. Comme l s seules fanctions entière.'
Soát rr T

homogènes de degré j sont les polyômes de degré j si j >, o et o si j < o ,

on voit que

n s ± _x ;
n x

-'_ ± -' nr bX est donc un faisceau de sous-anneaux de bX . La proposition sui-
n x n

vante montre que bX va jouer le rôle de "localisé" de TT-'_ .
x

-G-

PROPOSITION 1.3. - _ pE T(U, óX(m)) un opérateur dont le symbole principal

p (x,E) ne s'annule pas sur u . Alors p est inversible, i.e. il existe
m
q E r(u, óX(-m)) tel que p o q ± q o p ± l .

Démonstration. On pose Q ± ± > de sorte que
-m p
m
q o p = l - R , où R E r(u, s (-l)) .
-m X
On vérifie alors que la série (l - R)-' ± l + R + R' . . .
+ est convergente , par

iL sufEit de poser

q = (l - R)-' q-m .

2. Systèmes différentiels.

On peut dérnontrer que ax , b sonC des faisceaux d'anneaux cohérents; il en ré-
x
sulte qu'on a une bonne théorie des modules sur ces anneaux.

DÉFINITION 2.1. - Un système différentiel sur x est la donnée d'une _X-rnodule cohé-

renc _ sur X .
-

Pour justifier cette définition, nous allons montrer le lien avec la notion usueLle

de système différentiel. Etant donné un faisceau _de _X-modules (par exemple

_± 6X , _ ± _, _'± distributions, hyperfonctions,.. .) et une matrice

p = (P. .) , l ,<i ,<N, , l <, j \< N d'opérateurs différentiels, on considère le système
_J
N
(2. l ) E P. . (x,D)u . ± O , i ± l , . . . , N, ,
j±l 'J J
dont les inconnues sont les sections u, ,. . . ,u E _' . Soit p' l ' upérateur
N
_X-linéaire à gauche : R ± (R,,.. .,RN ) ~ RP .
, l
Soit m le conoyau de p' :
' o _ nb+_N p' Nl
_ _x
| x
_ Si à cette suite exacte on applique le foncteur exact à gauche Xom ( . , _) , il
_x
vient la suite exacte :
_N p Nl
o _ xom_('rn, ) _ _ _ _
l
x
donc xoma (m,_ s'identifie au faisceau des so utions de p dans le faisceau _'.
x
Le n yau Ker p' étant un faisceaú cohérent, il existe d'autre part une

suite exac e (localement sur x ) :
(2.2) _N p' _Nl q' N2
_ _x
x x

-

-S-

..' e.t en appliquant à nouveau le foncteur Xom_ ( . , _ on obtienc la suite
N p N _
l _2
__ _ J .

Puisque (2.2) est le début d'une résolution libre du module _l , on a d'après
l'introduction :

Sxt_ (m,_) = Ker q/Im p .
x
Si l'on considère le système différentiel non homogène Pu ± v , on voit donc

que _ ' (m,_ représente le groupe des données v ± (v,,.. .,vN ) co_pa-
x'_X ,
t.ibles (i.e. Qv ± O) modulo celles qui sont représentables par p .

ÉFINITION 2.2. - soitmun _X-module cohérent. Le support singulier de m,
D

noté ss(m) , est le sous-ensernble de _ ' . .
x def_n_ par
ss(_L) = Supp(b _ , n-'M) .
x n- _x
Exemple. Considérons Le cas d'un système_=_X/_ p à une seule équation d'or-
x
dre m : Pu ± O . On a alors
ó _ , rr-'m± b /s p ,
x n- _ x x
_ ss(m) = {points de _ `x . .
x ou p non _nvers_ble}
|
± {P (x, E ) ± o_ .
rn

3. Rappels de géométrie gymplectique.
. +
Sur le f_brë cotangent T x habite naturellement une l-for_e w , dite l-forrne
canonique, et définie par :

_(x,,, (s)= <E , rrn s>
n n n
pour (x, E) Er x , S E T,x,,, (T x) , n : T x _ x .
n
En coordonnées locales, on voit aussitôt que _ = E. dx. ; par suite la
j=l _ J
forme _ ± dw , dite 2-forme canonique, s'écrit
n
O ± dE. ^ dx_ .
j±l J J
Les énoncés qui suivent sont relatifs à la géométrie symplectique définie par _
n
sur T X .

É - . . n .
D FINITION 3.1. _ n un sous-ensemble anal t_ ue de T x . n est d_t

_nvoLutif la ran ien si et seulement si en tout oint ré_

-b-

de ^ on a !
-
T ^ c rn)' , resp. r n I¨ (rn)' Tn ± (Tn)' .
( l

La propositioh qui suit caractérise une im_ortante classe de sous-variétés iso-
tropes.

PROPOSITION 3.2. - Soic ^ un sous-ensemble anal ti ue _onioue irréductible de
" x _ v ± n(n) soit une sous-variété lisse de x . Alors :
T
n . ,
(3.1)n _ ^cTvx °ù T x estlef_brec°n°r-
l_
mal à v . Dans ce cas _IReg n ± ° .
n
(3.2) n est lagrangien si et seulement si ^ ± T x .

' . . . ' . _ X est une variété lagrangienne, de sorte
Dernonstrat_on Il est aLse de voEr que T
que les conditions (3. l) ec (3.2) sont suffisantes. Inversement la condition n
isotrope signifie que olReg n ± o . Soic n' l'ensemble (dense) des points réguliers
de n où n : n * v est subrnersive, et (y,E) E^' . La conicité de ^ implique
que le vecteur vertical (o, E) est tangent à ^' . On a donc
o = _((o, E) , T,y,,, n') ± <E,nn r,y,,, n'> ± <E, I v> , d'où wln, ± o et
y
" . . ± _ + X . n est lagrangien si et seulement si n
(y, E) Erv x Par su_te n n' c Ty
. . . . . ± . _ X , d'où la conclusion (3.2) . °
est _sotrope de dLmens_on maxLrnale dLm X dLm T

Il se trouve que le support singulier d'un système différenciel vérifie toujours
la propriété d'involutivité.

ÉOR_NE 3.3. - soit'mun _X-module cohérent. Alors ss(m) _
IH _ _
tique involutif.

Indications sur la démonsCration. Pour toute suite exacte O *m'+M*ñ," * O
on a ss(m) ± ss(m') u ss(m") . Il suffic donc de considérer le cas a,'.un module
gn ± _x/7 où 7 est un idéal à gauche. Soit 7 l'idéal gradué de n x eAgen-
r
dré par lgs symboles principaux des éléments de 7 . Puisque (P,4) 'E7 7_ [P,_]E7,
on a aussi l'implication (f,g) E7x7_ {f,g} E 7 . Cette condition tr duic l'invo-
lutivité de ss(m), du rnoins lorsque 7 = _; en effet ss(_) est l'ensemble
des zéros de 7 , donc 7,,,m, ± _ d'après le Chéorème des zéros de Hilbert. o

-7 -

ÉFINITION 3._. - Un s stème différentiel est dit holonôme si ss(n est une sous-
D
variété la ran ienne autrement dit si dim ss_ ± dim x _.

_._.

Le résulcat qui suit donne en particulier une condiCion suffisante pour que le

morphisme de restriction
Hom_x(n;m 8x) _ Hom_X(n' ;m, ex) , n' < n c x ,

soic surjectif, autrement dit pour que les solutions holomorphes dePnsur l'l' se

prolongent à n .

' ÈNE _.l. - Soit m un ax-module cohérent , n , (n ) des ouverts de x ayant
'H'°R - - ' cE_ _
les propriétés suivantes :

(G. l) c' \< c _ n , c n ;
c c
(_.2) n = U n , n = LJ n , ;
cE _ ' ' | < c c
c

(_.3) c'_c _ n - n , _ ;
c c
(_._) Soit z ± n n - n . Alors z c n si c > co i
_ 'o c > c ' ' c c_
o o
o
(_.s) Pour tout cE_ , lafrontière rdn ±ñ -n _ z
.- C C C C
une sous-vari_té de classe c' non c_raccéristique par rapport àm [ i.e. _

an ± {f ± o} au voisinage de z EZ ,alors (z,af ) & ss(n) ] .
c c z
Alors pour tout j E_ et tout c E_ _
Ex_ ( n;nb, 8x) ± Extj (n ;m, 6x) .
x _x '
Démonstration. Posons Ej = Extj (n ;gn, 8x) , de sorte que pour c' ,< c on a
c X c
un morphisme de restriction
Ej _ Ei
C C ' .

Pour montrer qu'il s'agit d'un isomorphisme queLs que soieni c, c' il suffit de

prouver les deux propriétés :
(_.6) Lirn Ej _ Ej
_ c c '
c>c °
(_. 7) Ej ° . .
_ l_m E'
c + c
° c <c
o

-8-

Commençons par démontrer (_.b) . Soit o + B *7. une résolution DX-injecCive
X .
de ex > ' . ± Xom (m, 7.) et
_x
r ± ^ n .
c> c '
o
Tout ouvert qui contient r contient un n , c > c , à cause des conditions (_.3)
c o
et (_._) . On obtient par conséquent

lim Ej ± lim Hj ( T (n , ))
* c * c
c_co . .
= H' (lim T(n ,&_)) ± H' (r(r,_-)) ,
+ c
et il s'agit de vérifier que

Hj (T(F,g.)) _ Hj(T(n ,__)) .
c
o
Cornme . est un complexe de faisceaux flasques (cf. CODENENT [ 2] , lemme 7.3.2) on

a une suite exacte

o + Tz(r,_.) + T(F,_.) * r(n ,g.) * o
c
o
avec Z ± Z ± F - n . Il s_ffit donc de monCrer que
c c
° Hj ( rz_r,g.)) ± Hj ( r (r, d7')) ± o ,
z
ou encore que le complexe flasque i est lui-même exact au-dessus de F . Or il est

clair que la fibre de i en tout point x E r est donnée par

Di,x ± dñ-n ± _'°m 'm''ñ-n 'x
c ,x _x c
o o
Soit _. * M+ o une résolution libre de gn au voisinage de x . Comme le double

complexe

Xo_ (_. l7ñ-n '
. X c x
o
est exact en degré _ o par rapporc à la différ ntielle de _ , sa cohomologie totaLe

est isomorphe à celle de ; .
,x
Oo va montrer que le terme E, de la suice spectrale associée à la première filtration

est nul. Il ,vient successivement :

xi(yñ-n ) ± x_ n (e) >
C - C
Ei'j ± Xom_ (_, x_ ° (8))x ,
l x - n
c
Ei'j ± Sxt_ (_ , x_ n °(6)x) .
' X,x - c

-9-


si x & an , on a w_ (8) = o , tandis qu'au voisinage d'un point
c - n x
o c
o
x E F n an c z , n - n est d'après l'hypothèse (_.S) un domaine à bord
c c c
o o o
n - n ± Ff >, o} , avec E ± af _ o et (x, E) & ss(n) .
c x
o
Nous admettrons le lemme suivant, élémentaire mais de démonstration laborieuse.

LEIOIE G.2. - Xj (g) a une structure de SX,,x, ,,-module prolongeant la
n - n x
c
_ - _lle.
X,x structure natur

Comme s ,x, ,, est un a -module plat, il vient
x

óxci (n _ x_-n (e)x) ± bxt_ (n__ b,x, ,, , _f_ (a) ) ,
_x c (w, E) x -" x
c
O . O
et _ _ ó ± o puisque (x, E) & ss(m) .
_ (x, E )
x
Preuve de (_.7) . La difficulté essentiel_e est ici de commuCer la lim avec les
+
foncteurs Hj . Ceci est possible en raisonnant par récurrence sur j et en utilisant

le lemme algébrique qui suit.

LE_ G.3. - Soit (r.) un système projectif de complexes (avec des morphismes
- v,__
de complexes F. * F.) .
v+l v

On a alors un morphisme naturel

_i : Hj(lim r.) _ lim Hj(F.) . .
+ v + v

(_.8) On suppose que pour tous i, u fixés la suite des images Im(F_ _ ri) ,
u v
. U >, v , est stationnaire. '

Alors _j est surjectif.

(_.9) On sup ose de lus ue la suite des ima es

Im(Hj-'(F.) _ Hj-'(T.)) est scaiionnaire pour tout v . Alors _j
v v
est un isomorphisme.

Posons F. ± Hom_ (n ; m, .7.) = r( n , Xom_ (m, 7.)) .
c X c c x
Il est clair que lim r. ± r. , et la condition (G.8) est évidente puisque les
c,c c '
faisceaux Xom (m, _. ° .
) sont flasques D'autre part ,

la condition _.9) résulte de L'hypothèse de récurrence. Le lemme _.3

|
-10-
i
implique alors

Ej ± Hj(F. ) _ lim Hj(F.) = lim Ej . ,
c c _ C + C '
O O |
|
|
La conclusion du théorème s'ubtient en vérifiant de même que

Extj (n;Rli 8x) _ lim Ex_ (n ;'m, gx) . _
_r X c ,
cER

S. Constructibilité des solutions d'un s stème holonôme.

La démonscracion s'effectuera en plusieurs étapes.
|
|
TH_OR_M sil. - _ m _ _X-module holonôme. Alors pour tout jEIN _ |

x E x ,_m bx_ (m, ox) < + _ . _
_ x x
i
Démonstration. La question est locale, donc on peut supposer x ouvert dans _" et _
n
x ± O . Par hypothèse ^ ± ss(m) est une sous-variété lagrangienne de T X .

Un raisonnernent géornétrique simple va nous montrer que la sphère s ± Fx ; __ ± r }
r
est non car_ctéristique par rapport à qTL dès que r est > o assez petit.

Sinon il exijte une suice x E _" - {o} tendant vers o teLle que
v
(xv, _ ) E ^[noter que _v = a(lxl' - ')x x ] ; il existe donc en fait une courbe
r
V ± V
analytique réelle t rf v(t) ± (x(t), _) contenue dans n , telle que x(O) ± o
|
j ec x(c) _ o si o <t < E. Comme ^ est isotrope et conique, on a wln ± o (cf.
|
proposition 3.2 ), donc vl ±_,dx(t)>± o et dlx(t)|' ± o , ce qui est conCradictoirç.
v

Appliquons le théorème de roLongement aux boules n ± {x ; lxl <r } .
r

On obtient pour o < r' < r < E :

Ex_ (n ;m, ax) ± Ext_ (n , ;m, ex)
X ' .X r

± lim ± Sxt_ (m, 8X)o .
r _ x
' o

Soit __ M7 _o une résolution libre de m au voisinage de o . Le morphisme de

restriction

p : Hom_ (n ; _, ex) + Hom_ (n , ; _ , 8 ) N
. X r . X r . X .
_J
induit alors un isomorphisme en cohomologie. Si l'on pose j ±_x ,' i'l vient
N . '
Hom_X( n; _ , ex) = r( n, Bx) ' , par suite _ est un rnorphisme compact entre com-

plexes de Fréchet .

-l l-

D'après un théorème de L.SCHWARTZ, Les espaces de cohomologie sont de dimension finie.

M_ORÈ# s.2. -_ m un syscème holonôme , n ± ss(g_) _ v une sous-variété

lissede x.._ v estplateparrapportàm7 _ Y

vérifie les conditions suivantes :
(s l ) n-' " ;
(v) ^ n c TV x

(s.2) c , (v) (n) < { s E T (T" x) ; <w _ s> = o } ,
n_ p p p

où l'ensemble de auche est le cône norrnal à n-'(v) _ n , défini comme

l'ensemble des limites de suites a (_ - _v) , a E_ , et où n E ^ , _ E n-'(v)
v v v v v
+
tendent vers un point p E TV x fixé .

_ j l Sxt_ (m> 8X)IY est un faisceau l°calernent c°nstant de ran fini_
x
Démonstration. Fixons y E v et choisissons une carte locale en y de sorce que v
o o
s'identifie à un sous-espace linéaire de _" avec y ± O . Alors pour O < r < E
_ o
ec pour y E v , lyl < E ( E assez petit) , la sphère {x ; lx - yl = r} est non

caractériscique par rapport à gb . Sinon iL exisce des suites {x }vc_cx
v
-
{yv} _ v convergeant vers o celles que (x , x - yv ) E n , x _ yv .
gN v v v

4uitce à extraire une sous-suite, nous pouvons choisir c > O de sorte que
v
lim c (x - yv) ± E existe et soiC non nul. Alors _ ± (o, É) E n ^ n-' " .
(v) < TV x
v v v

' - - - _ - - - -` (V) et
On a donc h - (x , c (x - yv)) E n, _ - (yv , c (x yv)) L n
v v v v v v

lim c (h - _v) ± ( E , o) E c , ( n) . L'hypothèse (s.2) implique
. v v v n- (v) p
<_ ,(E ,o)> ± < É , E>= o , ce qui est contradictoire.
p
Dans ces conditions> le théorème de prolongement s'applique avec

n ± { lxl _ E } , n ± {x ; lx - (l - c)yl < c E } , o < c < l ,
c
yEY^ n étanc fixé. par hypothèse an est non caractéristique et les conditions (_.l) -
c
(_._) sont clairement vérifiées.

Il vienc donc :

Ex_ ( n; m, 6 ) ± lim Ext_X(n ;_c, ex)
x x * c
c*o
± bxtj (rn, 6x)y
_x

-12-

Ceci montre que Sxtj (rn, ex) lynn est le faisceau des applications localement cons-
X .
tantes à valeurs dans Ext' (n ; _, 8x) , espace dont la dimension est finie d'a_rès
x
le théorèrne S. l . o

Le reste de la démonstration n'ucilise plus les propriéCés spécifiques des
_-_odules, mais simplement l'existence de "bonnes" stratifications d'un ensernble ana-
x
lytique.

ÉFINITI'ON s.3. - Soit (x )_EA une farnille de sous-ensembles de x . _
D _ _
(x )_EA est une stratification de x si
_ -
(s.3) x ± IJ x et x ^ xB = _ _ _ _ Q i
_EA _ - _
(s._) la famille (x )_ cA est localement finie ;

(s_s)_ et_-X _;
_ - _ _
(s.b) _ n xQ _ _ _ x >xQ .
_ _
(x )_ E A est a elée une stratification de Whitne si les strates x sonc lisses
_ _
et si les deux conditions supplémentaires (S.7) , (S.8) _ _IQ :
(s.7) _ x n n-' " .
(xQ) < _x x ,
_ Q
. " x) CFvET(_r x) ; _ w ,v > ± o} .
(s 8) c , (TXB
n- (x )
PROPOSITION S.G (WHITNEY [b] , [ 7] ) . Toute statification x ± U x peut se raffine_
_EA _ -
en une stratification de Whitney x = x_ . (i.e.pour tout B,il existe _ tel que x_c s_
Q B
Le lemme suivant caractérise la structure des sous-variétés lagrangiennes coniques.

- . - .' ' . . " X . Alors il existe
LE_E S.S. _ n une sous var_ete la rang_enne conEque de T
une famille localemenC finie (v )_EA de sous-variétés lisses telles ue les ensernble_

ú - V soient des ensembles ana ytiques, et Celles que
_ _
^± U_.
_EA _

Démonstration. On peut suppoger n irréductible. La projection n(n) esc un ensemble

analytique d'après le théorème de REWERT. Posons v, ± Reg rr(n) . La proposition 3.2
implique n n n-' ± " x . Le raisonnernent se poursuic par récurrence sur dim n(n)
('l) 'v,

en considérant n, = n - _ (qui est encore un sous-ensemble analytique laRrangien).
l

-13-

Nous pouvons enfin énoncer Le résultat que nous avions en vue.
r ÉOR_NE s.b (N.KASHIWARA [3 ] ). - Soit _N un ax-module holonome. Alors pour cout
H _ _
j E_ , Sxt_ (m, _x) est un faisceau constructible , i.e. il exisce une stratific_
X .
tion x± U x telle que b_It_ (rn, e ) | x soit localement constant de ran fini
_ _EA _-_ X X
_x_.
Démonstration. D'après le lemme S.S on peut construire une stracification x ± U x
_EA _
telle que
^±ss(M) c U _ .
_ _
Quitte à raffiner , on peut supposer qu'il s'agic d'une stratification de Whitney.
D'après la condition (s.7) il vient
n
^ c U T x
_ _
de sorce que les hypothèses (S.l) et (S.2) sont sacisfaites pour chaque strate v ± x .
Le théorème S.2 perrnet de conclure.







|
|
|
i

.


.

r _



B I B L I o G R A p H I E

l BOUTET e NONVEL L. , ÉE (P.). - Pseudo-differential operators and Gevrey classes ;
[ ] d ( ) KR
Ann. Inst. rourier, 17, 19b7, p. 29S-323.
[2] GODE#NT (R.). - Topologie algébrique et théorie des faisceaux ; Paris, Hermann, 19S7.
[3] KASHIWARA (N.). - On the maximally overdetermined sysCems of linear differential equa-
tions I ; Publ. R.I.M.S. , Kyoto Univ. , vol. 10, n° 2, 197S, p. S63-S79.
[_] KASHIWARA (N.). - Sysc_rnes d'équations micro-différencielles ; Cours polycopié à
l'Université de Paris-Nord, rédigé par T.NonCeiro-Fernandes, 1976-1977.
[s] SATO (N.), KAWAI (_.) and KASHIWARA (N.). - Microfunctions and pseudo-differential
equations ; in Lecture Notes in Math. , n° 287, Springer, Berlin-Heidelberg-New York,
p. 26S-S29, 19_3.
[6] wHIrNEY (H.) . - Tangents to an analytic variety ; Ann. of Nach. 81, p. _96-SG9> 196_.
[7] WITNEV (H.). - Local properties of analytic sets ; Differential and Combinatorial
Topology, Princeton Univ. Press, p. 20s-2G_, 196S.

' L.A. n° 213 au C.N.R.S.
Analyse cornplexe et Géornétrie
Université de Paris VI, tour _S-_6, Se étage
_, Place Jussieu
| .
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7s230 - PARIS CEDEX os