Bull.\ Sc.\ Math., 2e série, 103, 1979, p.\ 179-191. FONCTIONS HOLOMORPHES À CROISSANCE POLYNOMIALE SUR LA SURFACE D'ÉQUATION $e^x+e^y=1$ PAR JEAN-PIERRE DEMAILLY (*) [École normale supérieure(1), Paris, et C.N.R.S., L.A.\ 213 Analyse complexe et Géométrie] Résumé. - Dans cet article, nous démontrons un théorème d'extension très précis pour les fonctions holomorphes sur la surface $S$ de $\bC^2$ d'équation $e^x+e^y=1$. Nous en déduisons que les fonctions à croissance polynomiale sur S sont des restrictions de polynômes sur $\bC^2$ et que les fonctions méromorphes à fibres finies sont constantes. En particulier, les fonctions holomorphes bornées sur $S$ sont constantes. Abstract. - Holomorphic functions with polynomial growth on the curve defined by $e^x+e^y=l$. Io this paper, we prove a very precise extension theorcm for holomorphic functions on the curve $S$ defined by $e^x+e^y=l$ in $\bC^2$. Then we show that holomorphic functions with polynomial growth on $S$ are restrictions of polynomials on $\bC^2$, and that meromorphic functions with finite fibres are constant. Especially, we prove that bounded holomorphic functions on $S$ are constant. Introduction Dans uo article récent [2], L. A. RUBEL, W. A. S4NRES et B. A. TAYLOR ont démontré que sif,,f2, . . .,fn,n >, 3, sont des fonctio_s méromorpbes non constantes dans le plan, l'hypersurface S de C" d'équation fl(zl)+ . . . +f,(z,) = O est irréductible. U_ problème naturel, soulevé par les auteurs de [2], est de savoir si S est de Liouville, c'est-à-dire si toute fonction holomorphe bornée sur S est constante. (') Texte présenté par P. MALLIAVIN, reçu le 4 octobre 1978. Jeao-Pierre DEMAILLY, École oormale supérieure, 4S rue d'Ulm, 7S230 Paris Cedex 05. BULLPTIN DES SCIPNCES MATH_MATIqUES. 0007. 449_l1979/17q/_ 4.00 Oc Gauthier-V_lars 180 J.-P. DEMAILLY La réponse est positive, comme on le voit facilement, lorsque l'une desf, est rationnelle. Dan_ ce travail, nous mootrons que la répolIse est ellcore positive pour la surface régulière S d'équation e"+e' ± l (qui est connexe en tan[ que surface de Riemann de la fonctioo y ± Log (l-ew)), et plus précisément qu'u!le fonction à croissance polynorr_ale sur S est la restrictioo d'un polyôme de deux variables de degré correspondant. La déIooostratioo consiste, dans uo premiet. temps, à éteodre les fonctioos de S en des fooctions entières, do_t on contrôle la croissance grâce aux tecbniques d'HÖ_MANDPR [l]. Daos un deuxième temps, on utilise le fait que S est ({ voisine )} de la surface ew+e' = O, qui est réunioo de drnites complexes; le tbéorème de Liouville permet d'exploiter les propriétés de croissance précédemalent établies, et de mo_trer qu'uoe fonctioof sur S à croissance polynoIoiale est la restrictioo à S d'un polynôme sur C'. Ce résultat entraîne aisémeni qu'il n'existe pas sur S de fooctioo méro- morpbe à fibres Snies. Oo eo déduit en particulier que S o'est pas isomorpbe à un ouvert d'une courbe algébrique, et plus généralement, que S ne peut s'obtenir à partir de la spbère de Riemano p' (C) par constructioos succes- sives de revêtemeots ramiSés à Sbres Snies (cf. paragrapbe 2). Je reIoercie vivernent M. Heori SKODA de Io'avoir soualis ce sujet de recbercbes, et d'avoir beaucoup cootribué par ses remarques à améliorer la clarté de l'exposé. Après avoir terminé ce travail, nous avoos appris récemmeot que I. WAKABAYASW (Tokyo Noko University) a égaleIoent déalontré que la surface S est de Liouville, par uoe métbode complètemeot diRéreote. l. Exteosioo des foochoos holoolorpaes sur S avec co_trôle de la croissaoce THÉORÈ_ l . - Soit p unefonction plurisousharmonique dans C' telle que (l) | p_z)-P(z')l < A si lz-z'l < l, z, z'EC'. Pour toute foNction holotNorphe f sur S yér_ant auec une constaNte C > O _J.(z)| <\ Ce_"', zES, _l eniste une foNction eNtière F, égale à f sur S, telle que IF_z)| <\ IO4Ce'A(l+lzl)'(l+_e"+e'|)e_"', °ú z = (_, y)EC', lzl' = lxl'+lyl'. 2' S_RIE - TOME 103 - 1979 - N° 2 FONCTIONS HOLOMORPHES 181 DéMonstration. - Le principe en est classique, mais la nécessité (pour _e paragrapbe 2) d'obteÑr très précisément le facteur l +| e_+e' | dans la majoratioo du théorème l rend la démonstration particulièrement technique. Pour la corrModité du lecteur, la démonstration a été découpée en quatre étapes. Etape l : e_tensiolI locale de f. Oo désigne par U,, U2 les ouverts de C' : u, ± (w, v); Rex < l et je"+e'-l i _ 7 - < u2 = (ñ, y); Re_ > o et lek+e'-l | < _lexl 2 _= (w, y); Rex > O et le-x-e!-x-l _ < _ . 2 fse prolonge en une fonctionf, holomorphe sur Uj,j = 1,2, de la ma_ère suivante (oo appelle Log la détermination du logarithme complexe sur C-]-_, O] telle que Logl = O) : f,(x, y) ± f(_-Log(ex+e'), y-Log(ek+e')) pour ix, yjEI/_l, (2) f2(_, y) = .f(x+Log(e-x-e'-x), y) pour (x, y)EU2. Il est immédiat que f, etf2 coïncident avecf sur S. Etape 2 : constructioN d'uNe partitioN de l'unité. Soit X une fonctio_ de classe C_ déh_ie sur R telle q_le O \< X <\ l, l X(t) = l pour t < -, l _ dx , 13 X(t) ± O pour t>-, ZL - \ . 3 dt | | | °° p°'e _,(z) = X(Re_).X(| ex+e'-l_), _2(z) = (l-x(Rex)).xil e-x-e'-"-L |). Les supports de _,, _2 soot respectivement contenus dans U, et U2, et °" a o <, _, _z)+_,_z) <, X(Rex)+l-X(Re_) <, l. De plus _,+_, = l sur le voisinage ouvert y= (n, yìEC'; lex+e'-ll < _ de s. 4 BULLETIN DES SCIENCES MATHÉMATIQUES 182 7.-P. DEMAILLY Soit en eRe_ (l_, y)E y; si Rex < 1/4, 00 a _l = l, _2±O; si Rex > O, on a |e-_-e'-x-l | < ' | -xl ' - e <-, d7où 4 4 _l = _(Rew), E2 = l-X(Ren). Ol_ re_oarque également que _, , _2 sont de classe C_, et que les dRéreo- tielles d_,, d_2 sont boroées. Pour montrer ce dernier point, on utilise les majoratioos | exl < e, | eyl < _ +e sur U, 2 | e-xl < l, ley-xl < _ sur U2 On a ' d_, = X'(Rex)d(Re_).X(lex+e'-ll) +X(Rew)X'(le"+e'-ll)dle_+ey-ll, avec x dlex+e'-ll ±Re 'e +e'-"(exdx+e'dy) , dollc e_+e'-l | d_, | <, i X'(kex)|+| x'(| ex+e'-l |)|( | exl'+| e' |')"', en normes euclidiennes usuelles pour les formes. On a ainsi ld_ll <\ 13 l+ e'+ _ +e ' ,<70, 2 et on montrerait de même ld_2 | ,< 70. _ fortiori on a - (3) la_, | ,< 70, lá_2| <, 70. Etape 3 .. recherche de F et majorations. Cherchons la fonction entière _ sous la forme F = fl_l+_2_2-(e"+e'-l)u, avec UE (T_ (C'). 2e SÉRIE - TO,UE 103 - 1979 - N° 2 FONCTIONS HOLOMORPWS 183 F co_ncide par construction avec f sur S, et la conditioo d'bolomorpbie áF = o équivaut à du = h, où h est la forme de bidegré (o, l) : - (4) h _ f,d_,+f,á_2 - ex+e'- l . h est de classe C_ en debors de S, et sur le voisinage y de S, on a á_,+á_2 = o, d'où (5) h= "-" á_2 = "-." á_,, ex+e'- l ex+ e'- l avecf2-f, = O sur S n U, ^ U2, par suite h est de classe __ sur C' tout eotier. D'après (l) et (2), 00 a lfj(z)| <\ CeAe_'_' sur u,, compte teou de ce que 72lLog(ex+e')|<\ 72Log2 où C, est uoe coostaote à déterrr_oer. En dehors de yooa | ex+e'- l _ >, 1/4, et d'après (3), (4)i1vient sur C y : (6) | hl <, 4.70(lf, |+|.f2|) <, 5b0CeAe_"l. PourzE y, on peut supposer zçsupp_, ^ supp_,, donc 1/4 <\ Rew <\ 1/3, sinon h (z) = o d'après (5). x étant mé tel que 1/4 <\ Re _ <\ 1/3, la fonction f2 -fl e"+ey- l est bolomorpbe eo v pour , lex+ey-l_ < _. 2 Pour , p<, lek+e'-ll <-, 2 on a (7) '2 - fl _ Ae_(z) <, e . ex+e'- l p BULLETIN DU SCIENCN MATHÉMATIqUN 184 J.-P. DEMAILLY L'ensemble _yEC; lex+e'-ll <\ p}, pour p < | l-yxl, est uoe réuoion de translatées modulo 2 in Z de la partie compacte Kx = _yEC; |_x+e'-ll <, p, llmy-Arg(L-er)| <,n}, dont le diamètre est a_ajoré par 2Log, p,í x - l-e | (puisque y = Log(l_ew)+Log ,+ e"+e'-l l -ex Comme |ex l | > e'/4 l , l l g - ' - 4'32=32' le choix p = l/IO e_Iraîne dia_o_ ,,,Log45 ,, x 2ð i le priocipe du maximum doMe alors pourtoutytel que | _+_'-l | \< p : (_) f2 (') - fl (z) e.'+e'-l <, suPz,±,n y,, ,,, ,, ,, , e +ey, , , p f2(z')-f, (z') ' ' - ' x - ± e_+ey'__ _ Asup,z, z, ,,e_"" <, e - p ,< 20 Ce'Ae_(']. On a dooc (cf. (3), (5), (6), (7) et (8)) : (9) _ hl <, 140_Ce'Ae_('). Etape 4 .. résolution du á. LE_ l (HÖRMArvDPR [l], p. 94, tkéorèMe 4.4.2, et régulari_é du á en bidegyé (O, O)). - Soit p unefonction plurisoushartNonique dans un doMaine pseudo-conuel_e n, et h E C_,, (n) une forn_e de bidegré (O, l) telle que áh =o et lhl'e-_dn< _. n 2_ SÉRIE - TO,M 103 - 1979 - N° 2 FoNcrroNs HOLOMORPMS 185 _lors il e_iste uNefonctioN u E C_ (n) telle que _u = h, et Ll u |'e-_(l+| zl')-'dn <, _ | hl'e-_dh. n 2 n (h désignont _o mesure de Lebesgue). Appliquous le lemme l à ootre situatioo, avec n ± C', et où 2 p+3 Log (l+| z |') remplace p. D'après l9) on a Llhl2e-2_(,+lzl2,-3dh , (1400Ce'_)' dh cz ` 2 c2(l+lzj')'. Oo vériSe aisément que Ldh _ dn _ n' c2(l+lzl')' - |_| , O. _lors f est la restriction à S d'un polynôme p(_,y) de degré total ,< n. DéMonstratioN. - Le tbéorème l appliqué avec p(z) = nLog(l+lzl), A = nLog2, montre qu'il existe une fonction entière F prolongeantf telle que IF(z)_ \< lo4.8"c(l+| zl)"+'(l+lv_+e'|). Le tbéorème 2 résultera alors du lemme suivant. LE_ 2. - Soit F une fonction entière telle que (12) | F(z)| <\ c(l+lzl)"(l+lex+e'l), pour tout z ± (w,y)EC', où n >, O. Il e_iste deuw pol_NÔMes G (l_, y), N(l_, y) de degrés totaun <, n _els qwe _(n, _) = G(_, y)+(ex+ey) H(n, y). Démonstration du leMtNe 2. - Le développement eo >`érie eotière de F par rappor( aux variables n, V-n, peut s'écrire : F(_, y) = Ej,,oxjgj?y-x), où les gj ,sont des fonctions entières. 2' SÉRIP - TOMP 103 - 1979 - N° 2 FoNcTIorvs HoLoMo_Pm 187 Oo a gj_,) ± ± '(x_ y+_)dx e, 2in ,n, ±, wj+l l (13) lgj(y)| <, c,_l+lyl)_(l+| eyl). Oo remarque que la surface d'équatioo ex+e' = O est la réunion des droiteJ complexes y-_ = (2 k+l) in, k E Z, et la démoostration utilisera ce fait de maoière essentielle. Surlasurface_+e' = O,onad'après(l2) : _F(z)| ,< C(l+lzl)". La restriction de F à cbaque droite y-_ = (2k+1)in est donc un polyoôme de degré <, n, i.e. gj(_2k+l)in_ = o puur j> N, kEZ, et _j(y) est divisible par e'+l pourj > N; 00 pose gj(y) = (ey+l)Pj_). Pour | e'+l | >, 1/2, (13) implique Pj(y) <, c2 (l +ly | )_ (distinguer les _as Rey ,< l, Rey >, l). CoaMe l'eosemble dés_ú par | e'+l | <\ 1/2 estune réunioo de compacts disjoiots qui se déduisent les uns des autres par translations modulo 2 i n Z, la majoratioo IPj(y) | <, c2 (l +ly | )" s'étend à tout le plan complexe grâce au priocipe du max_mum. Pj esd donc un polyoôme de degré <, n, et 00 a F(x, y) = Eo,\j,\n_jgj(y-n)+(y'-x+ l_Ej,,xjPj_y-_), où les deux soo_mes sont des fonctioos eotières. Cette égalité peut se récrire : ilû) F(_, y) = Eo,\j,\n_jgj(y-x)+(e"+e')Eo,\j,\,(y-x)' hj(_), n .^ (14j = Eo,\j,\nyj¨j(y-n)+(ex+v')Eo,\j,\n(y-x)'hj(y), compte tenu de la symétrie des rôles de n et y; gj, ðj, hj, _j désigoent ici des fonctions entières. 11 vient (15) (e" + e') Eo ,\j,\n (_ -x)j [hj (_) - _j (y)] E= o<\j<\wyjðj(y-_)- Eo<\j\, l, la distance des points _, n+l, . . ., w+v, deux à deux étant elle- même >, l. De plus les déter_oioaots l X . . . _v ? _+l (x+ l)' _ x+v (x+v)' uù l'uoe des colonoes est remplacée par une colonne de doooées, soot majorés par c, (, + l _ | )v (v+ 1)l2 . sup | doonées |. Oo a doo_ lfj_y)| <\ c6(l+lzl)'+""+""'(l+le"|(l+le'|)); si Rey <\ O, cboisissoos n = O, et si Rey >, O cboisisso_s n ± -y; il vieot lfj(y)_ <\ c,(l+lyl)_"+" etf, est uo polynÔIoe de degré <\ n(v+2). BULLETIN DPS SC_NCN MATHÉMATIqUPS 190 J.-P. DEMAILLY L'égalité (19) s'écrit maintenant : F(_, y) ± G(ñ, y)+(ex+e':)H(x, y), où G et H sont deux polynômes, degG ,< n(v+2) +v <, n(N+3), degH ,< '_'+') N(n+3) < . 2 2 Mootrons qu'en fait deg G ,< n, deg H \< n. Sur la surface So d'équatioo ex+e' ± a, F co_ncide avec le polynôme p = G+aH. Il su&t de prouver que pour tout QEC, degP ,< n. Sinoo, soient IN = deg p > N, pmla partie bomogène de degré m de p, et (no, yo) un poi_t Sxé de So. Pour tous les entiers j et k, le point (_o+2_n,Vo+2ikn) appartieot à So, et d'après (12) on a lp(wo+2ijn, yo+2ikn)| <\ Ca(L+ljl+lkl)". Prenonsj = [tS], k = [t_], où t, S, _ ER, et où [ ] désigne la partie entière. p(_o+2ijn, yo+2ikn) (2 in t)" tend vers pm (S, _) quaod | t | tend vers +_, tandis que c8(l+lj |+| hl)_ | 2 in _ lm teod vers zéro, puisque tN > N. Oo a donc pm(S, _) = O pour tous S, _ E R, et pm = O contrairement à l'bypotbèse. La démoostratioo du lemme 2 est achzv¸e, et avec elle, celle dv tbéo- rème 2 (l'assertion deS p ,< n s'obticnt en rai___nant sur Scomme ci-dessus). Eo particulier, s est de Liouv_lle, ce _ui si_nific par définitioo que les fonctions bolomorphes barnée_ sur S _ont ccn_tantes. Signaloos qu'étant doooé une variété de Liouvil]e x, il esL possible _e construire des variétés de même oature par les procédés suivants : (a) ôter de X une partie fermée 11 suR_samment petite 11 (par exemple uoe partie fermée polaire); (b) construire au-dessus de x uo revêtement connexe (ramihé ou oon) à Sbres finies. Ainsi, de même que c" les variétés algébriques irréductibles 7 de _ime_sion n sont de LiouÑlle. 2' sÉRn - Ton_ 103 - 1979 - N° 2 FONCTIONS HOLOMORPWS 191 Le corollaire ci-dessous montre que la surface S ne peut se déduire de la spbère p' (c) par applicatio_ répétée des procédés (a) et (b). CORO_L_. - soitf : S_ p' (C) une foNctioN tNéromorphe sur S. On suppose qu'il eniste un ouyert non vide U de p' (C) tel que pour tout a ç U la _bre f-' (a) soit _Nie. _lors f est coNstaNte. Démonstration. - Comme la fonction U_ N, a_ cardf-'(a) est sen_i-cootinue inférieurement, le tbéorème de Baire montre qu'il exis_e un ouvert noo vide y c U et un entier p, tels que pour tout QE y, cardf-' (a) <,p. Choisissons aoE y tel que p = cardf-' (ao) soit maxiloal, et notons ,-l ,aoj ± _z, ,z2, . . ., zp}. Il existe des voisinages W c V de ao dans p' (C), et W,, . . ., Wp de z,, . . ., zp, disjoints, re]ativement compacts dans S, tels que f applique isomorphiquement W,, . . ., Wp sur W (sinon cardf-' (oo) ne serai_ pas maxialal). Si ao ± _ posons g =f, sinon posons l . g=_-ao' 00 af-'(w) = R', u ... u Wp, par suite g est bornée en dehors de W,, . . ., Wp, et possède des pôles sialples aux points de S. 'l = ("l _ yl)_ . . ._ 'P = (_pl yp) La fooctioo p (_,y) = g(w, y)n,,\j\,p (n-nj) est holomorpbe sur Sr à croissaoce polynomiale de degré p; donc p est la restriction à S d'u_ polynôme de degré total \< p, de même que la fonction e(x, y) = g(_, y)nl<\j<\p(y-yj). On a sur S, P.n,,\j,\p(,_,j)=p.n,,\j,\p(_-l_j), et cette égalité est vraie formellement (c_ démonstration du lemme 2; S n'est pas algébrique). Par conséquent n,,\j\,p (n-nj) divise p, g est holomorphe bornée sur S, et p = O. Il en résulte que g etfsont coostaotes. BIBLIOGRAPHIE [l] HöRMANDPR (L.). - An IntrodNcrion to ComplP_ AnalVsis in Seyeral yariables, North Hollaod Publishiog Compaoy, 1973. [2] RUBEL (L. A.), Squ_N (W. A.) et TAYLOR (B. A.). - rrredNcibility of certain Pn_irP functions witk applications to karmonic analysis (prepriot). BuLLPnN DU SC_NCN MATH_MATIqWS A1 ADDENDUM (tiré de la Thèse de 3e Cycle) COROLLAIRE (anaLogue pour s du chéorème de Picard dans le plan) . - Soit f une fonction méromorphe non constante sur S, considérée comme _S__'_._aE_'__ la fibre f-' (a) soit finie est maigre. Démonstration. Il suffit de montrer que pour tout entier p l 'ensemble fermé _a EP'_ ; Card f-' (a) ,c p est d 'intérieur vide. Supposons au contraire qu'il existe un ouvert U non vide de p'_ tel que pour tout a E u on ait Card f-' (a) \cp . Choisissons a E u tel que o p ± Card f-' (a ) soit maximal , et notons f-' (a ) ± fz , ,z,, . . . ,z _ . o o p Il existe des voisinages V c U de a dans p'_ , et V, , . . . ,V de z , , . . . ,z , o p p di_joints, relativement compacts dans S, tels que f applique isomorphi- quemenc V, , . . . ,V sur V (sinon Card f-' (a ) ne serait pas maximal) . p o Si a ± _ posons g = f , sinon posons g = ' ; on a f-' (V) ± V,U. . .UV , o f - a p o par suite g est bornée en dehors de V, , . . . ,V , et possède des pôles sim- p ples _ux points z, = (z , _y, ) , . . . , z = (z ,y ) de S . p p p La fonction p(x,y) = g(x,y) _ (x - x. ) est hoLo_orphe sur s, à crois- l ,{ j _ p ' sance polynomiale de degré p ; donc p est la restriction à S d'un polV- nôme de degré cotal jp, de loêloe que La fonction \ 4(x,y) = g(x,y) n- (y-y.) . l \cj,cp ' On a sur s, p . rr (y - yj) = q. l_ (x - x.), I \cj \cp l _ j _ p ' par conséquenc cette égal_té est vraie formellement (cf. démonstration du lemToe 2; S n'est pas algébrique) . Par _uite (x - x. ) divise p,et g esc holomorphe bornée sur ] _ j _ p ' S (i.e. p ± O) _ Il en résulte que g et f sont conscantes, contrairement à l'hypothèse. 3. Lien avec les fonctions automorphes. Considérons l 'application p de s dans _ - _o, |_ qui à (x,y) E s . X assoc_e e . p est un revêtement , et le groupe d 'autoloorphismes de S A2 (x,y) ~(x + 2ijrr , y+2ikrr ) , j ,kE o , opère transitivement sur les fibres de p. Ce groupe est donc le groupe Aut(p) de tous les automorphismes du revê- tement p. D'autre part, il est bien connu que le revêtement universel de Q - O, l s'idenltiEie au demi-plan supérieurrl+, avec pour groupe d'automorphismes le groupe ¬ des ho_ographies az + b ' ~ cz + d ' a,d entiers impairs, b,c pairs, ad - bc ± l (RUDIN [3l , section l 6.20) . r est un groupe libre à deux générateurs _(z) ± _ , , t(z) = z + 2 7 2z correspondant (avec des conventions adéquates de p_int-bases) aux lacecs autour des points o et l dans le groupe fondamental de q - Lo,l_ . Notons h : rl _ _ -Lo_l_ _ ll+ rLa projection. + Il existe une flèche q :._¬ _S qui re_d le diagram_e suivant coomu- + tatif : l¬+qs _. p '- _o, l q est un revêtement> ec puisque p est gaLoisien, Aut(q) est un sous- groupe distingué de r tel que r/Auc(q) ±Aut(p) _ _'. Par conséquent Aut(q) est le groupe r`' des commucateurs de _, de sorte que la surface s est définie explicitement comme quotientrl+ _' du demi-plan supérieur. Une fonction holomorphe sur s s'identifie à une Eonction automorphe invariante par _' . La proposition suivante précise cette question. PROPOSITION. - Soit G un rou e d'automor hismes du disque unité D o érant roprement et librement sur D, X = D/G l'espace quotient. A3 (i) s'il existe une fonction holomor he bornée non constante sur X, on a la condition de Blaschke uniforole _l - _g(z)_ _c _ _ _ z ED . g EG (ii) s'il existe z L D tel ue (ou de fa on é uivalente si our tout o z E D, on a ) O _ _l - _g(z )_ < _ , o g EG __ r__g(z)| ' est convergent_ ' . . gc-_ion sousiharmoni ue bornée non constante p-analyti- et def_n_t une fonc __ _x. ,i B est Ve facteur de Blaschke. associé au oint aED , _ _ a . ,(z) = _¬ Bg,z , (z) définit une fonction automor he bornée invariante gEG odes commu,a,eurs de G ,i e une fonction holomo_he _g_._.__ G ' . . _- -__ -_- bornée non constante sur le revêtement homolo i ue x' ± D/G' _ x) . (iii)_e_X> il existe une fonction holomorphe bornée non constante sur X' . . kem_rque. - Pour le demi-plan supérieur, la condition de Blaschke (ii) s ' écrit _? ,+b,' ' _ 2+d2 g EG a +c avec g(z) = a' + b ad - bc = l . cz + d ' Pour montrer que la surface s est de Liouville, il suffirait donc de vérifier que La série ci-dessus est divergente lorsque G = r' . NaLheureusement, nous n'y sommes pas parvenus, car les éléloents de F' . n'ont pas une expression simple. Démonstration. (i) Soit f une fonccion automorphe non constante invariante par G, _un aucomorphisme de D. La fonction F(w) ± f o a(w) - f(z) admet les points a-'g(z) pour zéros . On déduit aisément de la formule de Jensen que A4 F(_) _ ,' ,ÜF__ c2__f__d'où _ Log ' _¬. || . gEG lo - g(z)l ` _` _ gaG _a-l g,z,_2`" `°g f o S(o) f(z) D'autre part, un calcul facile montre que - ' , _l -__'g(z)_' _ (l -_g(z)| ') . '°g _ lg,z, 2 / >' l +ld(o)| s Choisissons deux points a, et a, tels que f (a, ) _ f (a,) , _a,_\cLa,l , et deux automorphismes _ , _, tels que a, (o) ± a, , a,(o) = a,. Alors L l - _g(z)_<_ l - _g(z)_ ' . ' + `a. ' ' _`"'_ _2 _nf - ' L°g _f (a. ) - f(z)l g*G `geG j± l > 2 ' _aj | J l + la, _ G llfll_ \{'_`°gl_ 2 (ii) La convergence des produits infinis est bien connue (sous l'hypothè- se _ l - lg(z )_ < _; cf . RUDIN [3] , section l s.2l) , et il est clair gEG ° _l l' est invariant par G. que g(z) ge Par ailleurs , posant B (z) = '±' a - ± pour o