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GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. - Champs magnétiques et inégalités de Morse pour
la d"-cohomologie. Note de Jean-Pierre Demailly, présentée par Rerre Lelong.

En utilisant la méthode de E. Witten, nous démontrons des inégalités de Morse asymptotiques pour la
d"-cohomologie des puissances tensorielles d'un fibré hermitien en droites au-dessus d'une variété complexe
compacte : la dimension du Hq est majoTée par une intégrale de la (l, l)-forme de courbure, étendue á l'ensemble
des points d'indice q. La preuve repose sur un théoréme spectral qui décrit la distribution asymptotique du
spectre de l'opérateur de Schrödinger associé á un grand champ magnétique. Comme application, nous obtenons
de nouvelles caractérisations géométriques des espaces de Moi¨ezon, qui améliorent la solution récente donnée
par Y. T. Siu de la conjecture de Grauert-Riemenschneider.

ANALyTIC GEOMETRy. - Magnetic fields and Morse inequalities for d"-cohomology.
Using E. Witten's method, we proue asymptotic Morse inPqualities for [he d"-cohomoEogy of tensor powers of
a hPrmitiaN liNe bundle ouer o compact complex manifold: the H4-dimension is bounded abouP bv an integral of
the (l, l)-curuature form, extended to the sPt of points of indPx q. The proof rests upon o spectra_ theorem
which deJcribes the as_mptotic distributioN of the spectrum of the Schrödinger operator ossociated to a lorge
mogne[ic fIeld. As an applica[ion, we _nd new geometric characterizotions of Moi¨ezon spaces, which improue
y. T. Siu's recent solution of the GrauPrt-Riemenschneider conjecture.

l. INÉGALITÉS DE MORSE. - Soit X une variété 41-ana1ytique compacte de dimension N,
F en fibré vectoriel holomorphe de rang r et E un fibré holomorphe en droite hermitien
de classe p_ au-dessus de X. Soit D=D'+D" la connexion canonique de E et c(E)±D'
la forme de courbure de cette connexion. Désignons par X(q), O_q_n, l'ouvert des
points de X d'indice q, i.e. l'ouvert des points xçX en lesquels la forme de courbure
ic(E)(x) a exactement 4 valeurs propres <O et (n-4) valeurs propres >O. On pose
enfin x(_q)± u x(j).
j_q
THÉORÉME l. - Lors4ue k tend uers +_ ON a pour tout q±O, l, . . ., n les inégaEités
asymptotiques suiuaNtes :
(a) rNégalités de Morse :

dim Hq(X, EkxO F)_r_ (-l)4 i c(E) "+o(k_).
n! x(4) 2n
(b) rnégalités de Morse fortes :

_ (_l)4-jdimHj(X, E OxF)±r_ (-l)4 ±c(E) "+o(k").
k
j±o - N! x(_q) 2n
(c) Formule de RiemanN-Roch asymptoti4ue :

Ê (-l)4dimHq(X, E"OxF)±r_ i c(E) "+o(k").
q±o n! x 2n
Les estimations l(a), (b) sont nouvelles à notre connaissance, même dans le cas des
variétés projectives. L'égalité asymptotique l (c), quant à elle, est une version affaiblie
du théorème de Hirzebruch-Riemann-Roch, qui est lui-même un cas particulier du
théorème de l'indice d'Atiyah-Singer.
L'existence d'une majoration du type l (a) était conjecturée par Y. T. Siu ([7], [8]), à
qui nous avons d'ailleurs emprunté une partie des techniques utilisées ici. La preuve du
théorème l repose sur la méthode analytique introduite récemment par E. Witten
([9], [lo]) pour redémontrer les inégalités de Morse classiques sur une variété différentiable
compacte. Dans notre situation, le rôle de la fonction de Morse est tenu par le choix de

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la métrique hermitienne sur E. On munit d'autre part X et F de métriques hermitiennes
arbitraires, qui interviendront seulement dans les termes o (k"). Étant donné un réel n_o,
on considère le sous-complexe __(n) du complexe de Dolbeault p_ .(x, E" Ox F) des
(O, 4)-formes de classe p_ sur X à valeurs dans EkOx F, engendré par les fonctions
propres du laplacien antiholomorphe ó" dont les valeurs propres sont _ k n. Les groupes
de cohomologie du complexe _;(n) sont alors isomorphes aux groupes H4(X, Ek Ox F),
de sorte qu'il suffit de savoir borner la dimension h_(n)=dim __(n). On utilise pour
cela une formule de type Weitzenböck :

(2) _ (ó"u, u}± _lqu+sul'-lvu, u}+ _ N , ,
x xk k{°u u}

dérivée de l'identité de Bochner-Kodaira-Nakano non kählérienne [3]. q désigne ici la
connexion hermitienne naturelle sur le fibré n°' 4T' X Ox Ek Ox F (qui n'est pas en général
un fibré holomorphe) et S, ON sont des opérateurs linéaires d'ordre O provenant de la
torsion de la métrique hermitienne sur x et de la courbure du fibré F. S et ON n'opèrent
que sur la composante n°' 4T'X Ox F et sont indépendants de k. Enfin, si :

ic(E)= _ Ê . . -.
_,dz, ^ dz,
i±l
est l'écriture de la forme de courbure de E dans une base orthonormée (d/az,, . . ., d/dz_)
de TX, et si :
u± E u,, ,d¸, oxe,En°' 4T'X OxE"Ox F,
| ] | ±4, l _l_r
V est l'endomorphisme hermitien défini relativement à un repère orthonormé (e,, . . . , er)
de E"OxF par :
(3) {Vu, ul=24E (_,,-_,) lu, ,r,
J, l '
avec _,± E _j. L'étude des valeurs propres de ó" se trouve donc ramenée à l'étude du
jEJ
spectre de l'opérateur autoadjoint q' q associé à une connexion hermitienne réelle q.
2. DISTRIBUTION AsYMPToTIquE DU SPECTRE DE L'OPiRATEuR DE SCHRÖDINGER. - Soit
(M, g) une variété riemannienne p_ de dimension réelle n, E, F des fibrés vectoriels
hermitiens de rangs respectifs l, r au-dessus de X. Soit q une connexion hermitienne sur
E (resp. sur F) et qn la connexion induite sur E" Ox F. On étudie alors le spectre de la
forme quadratique :

(4) qk(u)= n _lqnul'-(Vu, u} d_, uEL'(n, Ek Ox F),

pour le problème de Dirichlet, où n est un ouvert relativement compact de M et où v
est un endomorphisme hermitien continu de F. D'un point de vue physique, ceci revient
à étudier le spectre de l'opérateur de Schrödinger (l/k) (q_ qn-k v) associé au <( champ
électrique }l kV et au champ magnétique kB, où B±iO' n'est autre que la forme de
courbure de la connexion sur E. C'est dans la présencé de ce champ magnétique que
réside notre apport principal vis-à-vis de la méthode de E. Witten ([9], [lo]) (dans le cas
de la cohomologie de De Rham la courbure est toujours nulle puisque d'=O). En tout
point _çX, soient V,(x)_V,(x)_ . . . _Vr(X) les valeurs propres de V, soit
2s±2s(x)_n le rang de B(x) et B,(x)_ . . . _Bs(x)>O les modules des valeurs propres

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non nulles de l'endomorphisme antisymétrique associé. On définit une fonction vB,x,(n)
du couple (x, h)EM x _, continue à droite en n, en posant :
(5) vB(n) _ "-""-"" _ . . _ -s
_ B, . . .Bs E [h E(2p,+ l) B,]' "' ,
+
r((N/2)-s+ l) ,p,, . . . , Ps,E #5
avec la convention h_=O si n<o, h_±l si n_o. Enfin, si n,_n2_ . . . désignent les
valeurs propres de Qk (comptées avec multiplicité), on considère la fonction de
dénombrement :
Nk(n)±card {j; h.±n_, nE_.
J-
THÉORiME 6. - Si dn est de mesure Nulle, il existe un ensemble dénombrable óac_,
constitué des points de discoNtiNuité de la foNction de répartitioN spectrale, tel que :
r
lim k-_"Nn(n)= E vB (Vj+ n) d a,
k_+_ j±l n
pour tout nç _\s_.
Pour démontrer le théorème 6, on commence par étudier le cas simple où M ± _" avec
un champ magnétique constant B et avec V±O. Lorsque n est un cube, on sait alors
expliciter les fonctions propres par une transformation de Fourier partielle qui ramène le
problème à celui classique de l'oscillateur harmonique en une variable. L'idée de ce calcul
nous a été fortement inspirée par les articles [l] et [2] de Y. Colin de Verdière. L'extension
du résultat au cas d'un champ magnétique quelconque reprend une idée de Siu [7],
consistant à utiliser un pavage de n par des cubes assez petits. Notre méthode est
néanmoins très différente de celle de Siu, puisque nous travaillons directement sLlr les
formes harmoniques alors que Siu se raméne aux cochaînes holomorphes via l'isomor-
phisme de Dolbeault. On gagne ainsi beaucoup en précision sur les estimations cherchées.
La taille des cubes doit être ici choisie d'un ordre de grandeur intermédiaire entre h.- '''
e, k -1/4, par exemple k-l/3 : k -1/2 est en effet la longueur d'onde des premières foncti(lrl_
propres, et en dessous de cette longueur l'action du champ magnétique B n'est p'ds
perceptible; au-dessus de k-"4, l'oscillation de B est au contraire trop forte. On utilisl_
finalement le principe du minimax pour comparer les valeurs propres sur n aux valeur__
propres sur les cubes.
DéMonstration du théorème l. - Si on pose h_±dimH4(X, EkO F), alors il est cldir
que h__h_ (h)± dim __(h) pour tout n_o, et un résultat élémentaire classique d'algébre
homologique donne de même l'inégalité de Morse forte :
(7) h_-hq-'+ . . . +(-l)4h_±h_(n)-h_-'(n)+ . . . +(-l)qh_(h).
n -
Le théorème 6 entraîne alors d'après (2) et (3) l'estimation :

h_(h)=rk" E vB(2h+_,,-_,)da+o(k"),
| J | =4 x
pour tout nE_\sa, avec B±ic(E)±E _jdxj ^ dyj. Faisons tendre nE_\sa vers O par
valeurs >O. L'inégalité (7) nous donne :
(8) h_-h_-'+ . . . +(-l)qh__k"(I4-I4-'+ . . . +(-l)4I°)+o(k"),
où Iq désigne l'intégrale de courbure :

I4=r E vB(_,,-_,)do.
| ! | ± _ x

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Par substitution dans (5), on voit que pour tout ñEX on a vB(_,,-_,)±O sauf si xEX(q)
et J±7(x)±{j; _j(x)<O_, auquel cas :
vB(_,,-_,) =(2n)-"| _, . . . _n |.
Le théorème l résulte maintenant de l'égalité :

(9) Iq=r (2rr)-"(-1)4_,. . ._4do= ± (-l)4 i c(E) _.
x (q) " ! x[4) '"
Les calculs ci-dessus signifient intuitivement que les formes harmoniques de
H4(X, Ek Ox F) se concentrent asymptotiquement sur x (4), et qu'en chaque point x çx(4)
leur direction tend á s'aligner sur le q-sous-espace de Tx_ correspondant à la partie
négative de ic(E) (x).
3. CARACTÉRISATION GÉoMiTRIquE DES VARIÉTÉS DE MOI¨EZON. - Soit X un espace
analytique irréductible compact de dimension N. On sait d'aprés Siegel [6] que le degré
de transcendance a(X) du corps des fonctions méromorphes de x vérifie O_a(X)_n.
Lorsque a(X)±n, on dit que X est un espace de Moi¨ezon. La conjecture de
Grauert-Riemenschneider [5] affirme que x est de Moi¨ezon si et seulement si il existe
un faisceau _ quasi-positif de rang l sans torsion au-dessus de X. Par désingularisation,
on se ramène au cas où X est lisse et oú _ est le faisceau des sections d'un fibré en
droites E semi-positif, de courbure ic(E)>O sur un ouvert dense de x. Siu ([7], [8]) a
résolu récemment la conjecture, et l'a renforcée en supposant seulement ic (E) semi-positive
et >O en au moins un point. Le théoréme l permet de trouver une condition géométrique
plus faible encore.
THioRÉME 10. - Pour 4u'une uariété 41-aNa1Vtique compacte connexe X soit de Moi¨ezon,

il suf_t 4ue x possède UN _bré en droites hermitieN E tel que (ic (E))_ > o.
x (_ l)
Pour q±l, l'inégalité l (b) implique en effet :

dim H°(X, Ek)> _ i "_
± c(E) o (k_).
n! x(_l) 2TT
Un résultat élémentaire de Siu [7] reposant sur les méthodes de Siegel donne d'autre part
dim H°(X, Ek)_Cte.k°'x', d'où a(X)=N.
Remise le 13 mai 1985.
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et les Alloues, 17, rue Saint-ExupérV,
38400 SaiNt-Martin-d'Héres.