c. R. Acad. Sc. Paris, t. 288 (8 jañvier 1979) Série A - 39


GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. - FoNctioNs holomol_phes borlIées ou á cl_oissance
polynoMiale sur la courbe ex + e"= l. Note (_) de Jean-Pierre Demailly, transmise _ar Paul
Malliavin.

Nous démontrons un théoréme d'extension trés précis pour les fonctions holomorphes de deux variables
complexes sur la courbe ex + e' = l, et en déduisons que les fonctions holomorphes bornées sont constantes,
ou plus généralement, que toute fonction á croissance polynomiale s'étend en un polynôme sur C'. Outre
l'application immédiate aux fonctions méromorphes, ce résultat permet d'étudier certaines hypersurfaces
de C".
We Jhow a _ery precise extensiolI theoremfor holomorphicfullctiolTs OtI the _urue e" + e'.= l , and deducefl_om
it that bounded holomorphicfunctions are constaNt, or More generarly, tha[ euery holomorphicfunction with
polyn_mial grouith ex[PNds to a polynomial in C'. This result immediatPl}| Applies t_ meromorphicfuNc[ioNs,
and can also be used to _sturf!_ some hypersurfaces of C".
l. EXTENSION DES FONCTIONS HOLOMORPHES. - Nous noterons S la courbe d'équation
ex+e'=l dans C'.
THÉORÉME l. - SoieNt p uNefonctioN plul.isous_IarmoNique daNs C' uér_aNt la coNditioN de
Lipschitz lp(z)-p(z')| _A pour tous points z, z' tels que |_-z'| <l, etJ` uNe fonctiofl
holomorphe sL_r la courbe S telle que lf(z)| _ep'z' pour z apparteNant à S. Alors il existe une
foNction entière F proloNgeaNtf telle que
| F(z)| _ lo4 e'A(l + | z | )' (l + | ex+eyl )ep(z),
auec les Notations z±(x, y)EC', lzl'± lxl'+ lyl'.
La démonstration, trés technique, est néanmoins classique dans son princi_e, et fait appel
aux estimations d'Hörmander ('). Nous renvoyons le lecteur à (') _our le détail.

2. _ONCTIONSACROISSANCE POLYNOMIALE SUR S. - Le principal résultat, déjà démontré par
I. Wakabayashi (4) pour les fonctions bornées (par une méthode différente), est le suivant :

THÉORÉME 2. - Soit f uNe foNction holomorphe sul. s telle que lf(z)| _G(l+ lzl)"
pour zES, où C est uNe constaNte pcsitiue, et N UN réel. Alorsfest la restrictioN à S d'uN
polynôme sur C' de degl_é au plus égal à n.
Nous démontrons le théoréme 2 en considérant l'extension F de f fournie _ar le
théorème l. L'argument essentiel consiste á remarquer que F est _olynomiale sur chacune
des droites y±x+(2k+l)in, kEZ, de la courbe ex+e'±O, et permet d'obtenir le :

LEMME. - (i)Soit FuNefoNctioNeNtiéresur c' tellequelF(z)| _c(l + lzl)"(l + lex+eyl)
pour tout z dans C'. Alol.s il existe des po?yNÔmes G et H de degré au plus égal à N tels 4ue
F(z) = G (z) +(ex + e') H (z).
(ii) Soit p uN polyNÔme sur c' tel que IP(z)| _c(l+ lzl)" sur s. Alors le degré de p ne
dépasse pas n.
Tl en résulte très facilement les corollaires suivants :

COROLLAIRE l (analogue pour S du théorèMe de Picard). - uNefonction méromorphe noN
constaNte sur S prend toute ualeur une in_Nité def_is, sau_éueNtuelleFNent un enselNble maigre
de L.aleurs.

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COROLLAIRE 2. - soitfuNefoNctinN mél'otNorphe Non nulle (resp. et d'ordre_Ni) daNs C".
_lors toutefoNction ho_omorphe borNée (resp. á croissaNce polyNomiale par rapport à x, y, w)
sur l'hypersurface de G"+ ' d'équation ex + e" =f(w), est constaNte (resp. polynoMiale).
Le corollaire 2 résout un cas particulier d'une conjecture de L. A. Rubel, W. A. Squires et
B. A. Taylor :
CONJECTURE. - sif,, . . . , fn, n_ 3,sontrtesfonctions N_éromorphes Non coNstantes danLs le
plaN, toutefoNctioN holoNIorphe bornée sur l'_Iypersurfacef, (z,)+ . . . +fn (Zn)± O[irréductible
d'après (')] est c_Nstante.
3. APPLICATIONS. - Soient En(N_l) l'hypersurface de C"+' d'équation
e='+ . . . +e±"_'±l, égale à S pour N±l, et Pn l'aPtlication de En dans C_ qui au _oint
(z,, . . . , Zn+ ,) fait correspondre (e_', . . . , e'").
Pn est un revêtement d'es_ace total E_, et de base l'es_ace Xn=P" _rivé des
(N+2) hy_erplans w, ±O, . . . , wn±O, w, + . . . +w`n-l =O, et de l'hy_er_lan à l'inflni (en
coordonnées non homogènes w,, . . . , L_n). Le grou_e des automorphismes du revêtement
estle groupe,isomorphe à Z"+',des transformations(zj),_j±,,+,_* (zj+ 2 ikjrr),,j,n+, oùles kj
sont des entiers. Comme x,=P' - {O, l, _ _ admet póur grou_e fondameñtál un groute
libre à deux générateurs, et que le groupe d'automor_hismes du revêtement E, _ Xl est
isomor_he á Z', E,±S est le revêtement homologique de X, (i.e. le plus ({ grand ))
revêtement abélien de X,). Pour n_2, En s'identifle au revêtement universel de Xn (ce qui
signifle encore que En est simplement connexe).
Le corollaire 2 nous permet donc de retrouver le résultat suivant de I. Wakabayashi (4) :
COROLLAIRE 3. - Pour n _ 2, toutefonctioN holomorphe borNée sul. le yeuête_Nent uNiuersel de
l'espace project_P" pl.iué de (N + 2) hyperplaNs eN positioN générale est coNstaNte.

(') Séance du 11 décembre 1978.
(') J.-P. DEM_ILLY, Fonctions holomorphes á croissance polynomiale sur la surface d'é4uatioN p_ + e'.= l [Bull. Sc.
Ma[h. (á _araître)].
(') L. HÖRMANDER, An INtroduction to Complex Analysis in Seueral Variables, North-Holland Publishing
Company, 1973.
(') L. A. RUBEL, W. A. SQUIRES et B. A. TAYLOR, rrrPducibi_ity ofGertain Entire Functions with Applicati_ns to
Harmonic Analysis (preprint).
(4) I. WAKABAYASHI, Comptes rendLls, 285, série A, 1977, p. 373.
École normalP supél.ieure, 45, rue d'Ulm, 7S00S Plll.i.\
et L. A. au C.N.R.S., N° 213, (( ANalysP complexe e[ Géométl_ie )),
Uniuersité PariJ- vr, 7S00S Paris.