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ANALYSE HARMONIQUE. - Sur les transformées de Fourier de fonctions conti-
nues et le théorème de de Leeuw-Katznelson-Kahane.
Note de Jean-Pierre Demailly, présentée par Paul Malliavin.
Reçue le 23 juillet 1984.
Étant donné un groupe localement coolpact abélien G quelconque et une fonction p E L'(Ð), nous montrons
l'existence d'une fonctionfEL'(G) continue nulle á |'infini telle que |_| _ lpl p. p. sur Ð.
HARMoNrc ANALySIS. - On _ourier TransforIos of Continuous Functions and a Theorem of de
Leeuw-Katznelson-Kahane.
Giuen any localry compoct obelion group G and any unctjon p EL'(Ðl_ we proue the existence o_ a function
fEL'(G) continuous ond uanishing at in_nity such thot _| _ lpl o.e. on G.

INTRODUCTION. - L'objet de la présente Note est d'étendre au cas d'un groupe
localement compact abélien G quelconque le théorème ci-dessus démontré par de
Leeuw-Katznelson-Kahane [4] dans le cas d'un groupe G compact. Une rédaction plus
détaillée de ce travail paraîtra dans [2]. La démarche, analogue à celle de [4], consiste
dans un premier temps à généraliser les inégalités de Khintchine pour les transformées
de Fourier aléatoires sur un groupe non compact.
l. INÉGALITÉS DE KHINTCHINE GÉNÉRALIsiEs. - Soit p ç L'(Ð). Si Ð n'est pas discret, il
existe pour tout E> O une partition dénombrable du support :
Suppp= U Ej,
jE #
avec m(Ej)_E. Si Ð est discret (i.e. G compact) on choisit simplement m (Ej)±F±l.
Étant donné une suite aléatoire t± (tj) E(_/a)# on considère la fonction :
(l . l) p, (_)= E Pj (E) e'"j'j où Pj± IEj p.
jF #
Soit dt la mesure de probabilité naturelle sur (_/a)#. Un calcul classique ([3], p. 215)
utilisant la formule de Plancherel sur le tore, fournit pour tout entier p ± l l'estimation
en norme L'p : -

(l . 2) l II p,ll__dt± E p!' _
,_,a,# ,_,=p _ !2 II p? ||_,

où la somme est étendue aux suites presque nulles (_o,_,, . . .) de module p et où la
notation p?_ désigne le produit de convolution p__o _ p__l _ . . . Les inégalités de
Hausdorff-Young et de Cauchy-Schwarz entraînent les majorations :
(l . 3) II p?_ ||2 _ II Po ll2 II Po ll_o- ' II p, ||_l . . . _ETp- ')/' II Po ll_o II p, ||_l . . .
D'après (l .2), (l . 3) et l'inégalité p!'/_!' _p!p!/_! il s'ensuit donc :

LII _, ||__ dt_P ! Ep- ' (E II Pj ll_)p±P ! Fp-' II p ll_p.
(_/a)#
0249-6321/84/0299043s & 2.00 Oc Académie des Sriences

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rnégQlité de W_intchine. - rl existe tE(_/a)# tel que :
(l . 4) II _, ||2p_(p! Ep- ')'/'p II p ll2.
L'inégalité élémentaire ( | _, | -_)+ _(p- l)p-' p-p _'-p | _, lp, _>o, fournit alors le :
LEMME. - Si p, satisfait l'inégalité de K_intchiNe, on a pour tout _ >O :
(l . 5) II (| _, | -_)+ llL2 ,G,_Cp, E _' -p II p ll_,
auec Cp, E=(Ep-' p!)"' (p- l)p-' p-p.
2. DÉMONSTRATION DU THiORiME LKK. - Nous démontrons la version suivante du
théorème, qui donne des estimations précises en normes L' et L_.
THioRÉME LKK. - Soit M un réel _17 et E>O. AEors pour tout pçL'(Ð) il existe
une fonction fE L' (G) ^ Co (G) uérifIant les propriétés :
(2. l) |_| _ | p | pres4ue partout sur Ð,
(2. 2) II fll2_ (l + ' ) _| p ll,,
M
(2.3) llfll__TE(l+_llpll2,
auec E± l si G est compact, ou bien respectiuement :
(2. 2') II f ll2 _ 1,186 II p ll2,
(2. 3') II fll__3,685 TF II p ll2.
Le théorème LKK résulte du lemme (l . 5) grâce à un procédé de construction itératif
général, implicitement contenu dans [4] et formalisé par s. v. Hru¨_ev (uoir Kisliakov [s]).
Comme dans [4] il suffit en fait de vérifier l'existence de fç L'(G) ^ L_(G).
Soient Sj, _j, 8j trois suites positives sommables qui seront précisées ultérieurement et
rj(z)±z.min(l,_j/lzl), zE4l, la rétraction sur le disque de rayon _j. On construit une
suite de fonctions gjE L' (G) ayant les propriétés suivantes : si
f,=ro (go)+ . . . +rj_, (gj_,)+gj,
alors :
(2. 4) | _ | _ | p | [(l +So) . . . (l +Sj_,)]-',
(2 . 5) II gj ll2 _8j,
(2. 6) II ( | gj |-_j)+ ||2_Cp, E __-p 8_.
On suppose llpll2± l pour simplifier, et on choisit go(n)±_,(x)=_,(-x) où p, est
donnée par le lemme (l.s). On a donc _o=ðo=p, et les propriétés (2.4, s, 6) sont
vérifiées avec 8o= llpll2=l. Supposons construites go, . . ., gj et soit
hj±ro(go)+ . . . +rj(gj). Alors :
II f,-hj ll2± II gj-rj (gj) ||2±|| ( | gj | -_j)+ ||2_Cp,E __-p 8_.
On définit alors _EL'(Ð) par :
(2. 7) _ (E)=o si (cas favorable) | _j(_) | _ | p (E) | [(l +So). . .(l+Sj)]-',

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(2. 8) _ (_) =2 | p (_) | [(l +So) . . . (l +Sj)]-' sinon.

Dans ce dernier cas, on a |_j(E)| _ |_(E)|(l +Sj)-' d'après (2.4), ce qui entraîne :

o__(_)_ _|_(_)-_j(_) |,
Sj
II _ ||2_ _ llf,-hjll2_2 Cp E s?' __-p 8_.
S _ J
j
On définit alors gj+,=f, où _, est associée à _ par (1.5). Cette fonction satisfait
(2. 5) et (2. 6) si l'on pose :
(2.9) 8j+,±2 Cp F S?' __-p 8?p.
, J J
Comme f,+,±hj+gj+,, on a d'autre part_+,=_j+_, avec |_,| ±_, donc (2.4) est
vérifié à l'ordre j+l par construction de _. Les propriétés (2.4,s,6) montrent que la
+_
suite f, converge vers une fonction f± E rj (gj) qui vérifie les inégalités :
j±o
+_ +_ +_
(2. lo) llfll2_ E 8j, llfll__ E ,,j, |_| _ | p | n (l +Sj)-l.
j=o j=o j±o
Le choix :
Sj±p-j- ', 8j±p-pj/[p- '), _j = nsj, h±(2 Cp, EpP'/P-l)l/P-l,

satisfait la relation de récurrence (2. 9) et conduit aux estimations (2. 2) et (2. 3) avec les
constantes respectives :

E8jn(l+sj)=A ± 'p,,D ,, n l+ ± ,
p l-p- - j±, p'

E_jn(l+sj)±TEBp=TE(2p!"'pp"p-")"'p-" n l+ ± .
j±l p'
On vérifie enfin par un calcul numérique que A,, < 1,186, B,, <3,685 et Ap< l + (l/M),
Bp<l+_pourp-l_2M<p,M_l7. .
3. APPLICATION AU THÉORÉME D'ORLIcz-PALEY-SIDoN. - Le théorème LKK apparaît
comme une version forte du théorème OPS. En appliquant LKK à un groupe quotient
U/D compact (U c G ouvert, D c u discret) on peut déduire la conséquence suivante
relative aux espaces amalgames lp(Lq(G)) (cf. [2]). L'espace rp (Lq(G)) est par définition
l'ensemble des fmesurables sur G telles que :
[l/P
II fll,p ,L4,= II lx+Efll_ dx < +_,
G
où E est un voisinage compact de l'unité de G (cf. [l]). La transformation de Fourier
envoie l' (L' (G)) dans l' (L_(Ð)). Inversement :

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COROLLAIRE. - Soit K une partie compacte de G d'intérieur non vide. Il existe un
compact L c Ð et une constante C>O tels 4ue pour toute fonction pEl'(L_(Ð)) il existe
une fonction fE CK(G) à support dans K telle que :
| _| _ IL_ | p |, II fll_ _c II p ll,2 ,L_,.

Par dualité ce corollaire entraîne un théorème de type OPS, à savoir que l'espace des
^ _
multiplicateurs ponctuels de CK(G) dans L' (G) est l'(L' (Ð)).

R¿Fi_ENcEs BIBLIOGRAPHIquEs
[l] J.-P. BERTRANDIAS et C. D_UIS, Transformation de Fourier sur les espaces _p(L°'), Ann. rnst. Fourier,
29, n° l, 1979, p. 189-206.
[2] 7.-P. DEMAILLY. - Sur les transformées de Fourier de fonctions continues et le théoréme de de
Leeuw-Katznelson-Kahane, á paraître dans le fasricule 1983/1984 du groupe de travail d'Analyse harmonique
de Grenoble.
[3] R. E. EDWARDS, Fourier series, A modern introduction, II; Holt, Rinehart and Winston (1967), 2' édition,
Springer, 1982.
[4] K. DE LEEUW, Y. KATZMLSON et 7.-P. KAHANE, Sur les coeffirients de Fourier des fonctions continues,
Comptes rendus, 28S, série A, 1977, p. 1001-1003.
[S] S. B. KISLIAKOV, Fourier Coeffirients of Analytic Functioos Defined up to the Boundary, preprint Univ.
de Leningrad 19_8, c_ aussi Théorie spectrale des fonctions et des opérateurs, Trudy Lenin. Mat. lnsti[ut.,
Acad. Nouk S.S.S.R., 1981, ISS, p. 77-94 (en russe).

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