lnvent. mldth. b9, _47_!74 (19w2) ZNveNtioNes mat_ematicae '_; Springer-Vcrlag 198_ Courants positifs extrêmaux et conjecture de Hodge Jean-Pierre Demailly Univer_ilé Paris Vl, An'dly_e Complexe eI Gé_m¿lri_. L;lb_rd_oire A_socié _u C.N.R.S. IL.A. 21_), 4, Pl_ce Jussieu, _-7S230 Pdris-Cedex 05. rrance Table des matiéres | . lnlro_uclinn el énmI_é des l.ésull_ts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . !47 2. Un Ihé__réme de _upport _our les cnurant_ pn_itifs fermé_ . . . . . . . . . . . . . . . 351 _. Exemple de cour'dnt ex_r_mal sur _' qui n'est phs un cycle dnalylique. . . . . . . . . . 3S4 4. Cnn_re-cxem_les ddns p_ el _" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 5. EUuivalellce entre le_ énollcés _(X ; _) et _(k_;ll) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 6. Lien 'dvec l_ conjeclure de Hndge el nbslruL'llon_ lnpologiqLle_ . . . . . . . . . . . . . ?63 7. Ap_roximdtinn d'ul_ courhn_ dc bidegré (l, l) p'dr de_ diviscurs irréductible_ . . . . . . . _67 l. Introduction et énoncé des résulta_s Le présent trav_il d pour objet princip_l de construirc d_ns _' ou _' un exemple de (l, l)-cour'dnt positif fermé extrêmal, qui n'e_t pas ul_ cycle hnalyti- quc. L'd preuve de l'extrém'dlité utili_e un théorémc génér'dl de support pour les courants positifs fermés, qui sera élabli au ,42. Nou,s étudions ensuite les rel'dtions entre le problème des courhnts extrémaux et la conjecture de Hodge. Av_nt de donner des én_ncés plus précis, r_ppelons quelques défilIitiolIs et résultats classique_ (cf. _. Lelong [7], [8], R. Harvey [5]). Soit X une variété analytique complexe de dimension N; d_ns toute la suite, X sera soit une variété de Stein, soit une variété projcctive. Si k,p,4 sont des entiers _O, avec éventue]lement k= _, nn désigne par p_,q(X) (resp. sa_ q(X)) |'espace des formes de bidegré (_,v) et de classe (Tk _ur x (resp. á support compact). L'esprdce des courantJ` d'ordre k et de bidimension (p,q), ou de bidegré (N-p, tl-4), est par définition l'esp'hce du'dl [sa_,,(x)]', __,q(X) étant muni de la topologie limite inductive usuelle. Pour simplifier les notations, on écrira aussi óa,.q(x)=sá_'q(x), __.4(x) = [_,,4(x)]'. Défini_ion 1.1. UN_._urm_ _EP__(X) est dit_: 0020-99 l 0/82/0069/0347/s05.60 348 J.-P. Dem_illy (l.l) fortement positiue (ouJÓrteMeNt _O) _si eN tout _oiNt zEX, _(z) e_st duN_s le cñNe coNue_e eNgeNdré par les (p, p)-formes du type (iu, ^ ú,) ^ ... ^(iup ^ ú,) oú UjE ^"°T'X; z (1.2) faiblemen[ _O si pour tout zçX et tout _-plan F de l'espace [NNgeNt TzX, IA restrictioN W(Z)IF est uNe (p, p)-forme fortemeNt positiue; (1.3) positiue défiNie (resp. fortemeNt >O, JÁiblemeNt >O) au poiNt zEX, si tuute petite perturbatioN de _(z) re_te _O dans le seNs considéré. UN couraNt TEa_ p(X) est ditfaiblement (resp. fortemeNt) posit_.si {T, _} _o pour toute forme _Esap,p(x)fortemeNt (resp. faiblemeNt) _ositiue. Il résulte aisément de cette définition qu'un courant ou une forme fortement _O sont aussi faiblement _O; on montre de plus que les notions de posiLivité relatives aux courants sont bien cohérentes avec celles relatives aux formes. Rappelons aussi que les notions de positivité forte et faible co_ncident pour p =O, l,n-l ou N et diffèrent dans tous les cautres cas (cf. [6]). Un courant faiblement _ O est nécessairement d'ordre O, i.c. ses coefficients sont des mesu- res de Radon. Définition 1.2. ON Notera SPCp(X) (resp. WPCp(X)) l'_N_seFNbl_ rtes (p,p)-_ournNt_ TfortemeN[ (resp. faiblemeNt) posit_s et fermés, L.'est-á-dir_ tels 4ue dT = O. On vérifie facilement que SPCp(X)c WPCp(X) sont des cônes convexes sail- lants, fermés pour la topologie faible de sa_,,(x). Définition 1.3. UN couraNt Test dit extrêmal daNs SPCp(X) _si TESPITp(X) et ni cha4uefois que l'on a uNe déco_NpositioN T= T, + T, auec T,, T,çSPCp(X), alnrs T, T,, T, SONt proportioNNels. L'ensemble des couraNts extrêlNaux de SPCp(X) sera noté (pp(X); on défiNit de même l'eNsemb_e __(x) de_s cnuyaNts extrêmAux de WPITp(X). L'intérêt des courants extr_maux est dû en partie au résultat suivant, qui est une conséquence simple du théoréme de Krein-Milman. ^ ^ Proposition 1.4. ON a SPCp(X)±__(X), WPCp(X)=__(X) oú le syMbole ^ désigNe l'eNueloUpe conuexe fermée daNs l'espace a_ p(X) muNi de la topologi_ faible. ' A la suite de l'introduction des courants positifs par P. Lelong [7], différents auteurs ont posé le probléme de l'étude des éléments extrêmaux de SPCp(X) et WPCp(X). Il est classique que le courant d'intégration [Z] sur un ensemble analytique irréductible Z de dimension p, est un élément extrêmal de chacun des cônes SPCp(X) et WPCp(X)(cf. [9], [5]). Définition 1.5. On désigNera par pp(X) l'eNsemble rtes couraNts rt'iNtégratioN h[z]Ea_,o(x), où z est UN eNsemble QNalytique irréductihle et h_o. D'aprés ce qui précède, on a donc pp(X)c_p(X), p_(x)<__(x). On considère dans la suite le probléme réciproque, soulevé not'dmment par P. Couran_s posi(if5' extrémdux et conjecture de Hodge 349 Lelong [9] et R. Narvey [5] dans le cas des variétés de Stein: (_(x;p)) _p(X)cpp(X). . On notera que le probléme andlogue __(X)cpp(X) ne se pose pas, puisque ^ pp(X)cSPGp(X), alors que ' =WPCp(X) n'est pas contenu dans SPGp(X) pour p_O,l, N-l,N. La réponse au problème _(x;p) est clairement affirmative si _=O ou p=N. Nous allons voir que la réponse est négative en général dés que l _p_N-l. Soit _=_(OI"+')l'espace projectif complexe de dimension N, zo,z,, ...,Zn les coordonnées homogénes sur _"+'. . Théorème 1.6. Soit rdc_' la courbe d'équatioN %+z_ +P,=O. Alors _a suite de (l, l)-couraNts _[rd] coNuyrgv faihlemeNt uers UN couraNt extrêMal Tç_'(_') qui n'est pus dNN5. p'(_'). EN particu_íer, l'_NoNL'é _(_'; l) estfaux. La démonstration s'appuie sur un théoréme général de support pour les (p,p)-courants positifs fermés (théorème 2.1), et sera détaillée au é 3. Soit T un (p,p)-courant positif fermé dont le support est contenu dans une sous-variété réelle S de classe C'. On suppose que S est fibrée en variétés analytique de dimension complexe p, et totalement réelle dans les directions transverses aux fibres. Alors grossiérement parlant, le courant T est somme de courants d'intégration sur les fibres. Des résultats analogues ont sans doute déjà été discutés d_ns la littérature, mais pour la commodité du lecteur nous avons préféré donner des démonstrations compléIes. Une fois qu'on dispose d`un contre-exemp]e dans _', il suffit d'appliquer formellement le résultat suivant pour obtenir des contre-exemples dans _ et 4", lorsque l _p_n-l (voir é4). Proposition 1.7. Soit y uNe sous-uariété QNalVti4ue fermée de X. On a IEs implicat_oNs (1.4) _(x;p)__(y;p); (1_5) _(X\Y;p) et SP(Y;p)__(X;p); (1.6) _(OIn;_)_ sw(_' ; p); (1.7) _(_"+k;p+k)__(_";p) pour tout entier k_l. Le démonstration des points (1.5), (1.6), (1.7) fait us'dge d'un théoréme de prolongement pour les courants positifs fermés de masse finie, dû à N. Skoda [l]. L'idée de la démonstration de (1.6) m'O été suggérée par M.M. Jean- Baptiste Poly et Gilles Raby. On noter'd qu'en général ni _'lx), ni 0p(X) ne sont faiblement fermés dans SPGp(X), comme le montre dans _' l'exemple de la famille de coniques non dégénérées EzÓ+z_+z_=O qui dégénérent en une 3S0 J.-_. Demililly réunion de 2 droites pour F,=O. Le contre-exemple du théorème 1.6 est obtenu précisément en choisiss'dnt une suite de p'[_') qui converge ddns p'(_'), m'dis pas dans p'(_'). Il semble donc raisonnable de substituer á _(X;p) l'énoncé 'dffhibli suivant: (_(x;p)) _p(X) c pp(x), oú _p(X) est l'adhérence de pp(X) pour l'd topologie f'dible de saó p(X). Le théorème de Krein-Milman permet de transformer cet énoncé en une propriété plus parlante (cf. é S). Proposition 1.8 s_(x; _)_st équi[7aleN[ á l'éNoNcý _(x;p): ^ pp(X)= SP(Tp(X), ^ uú rtésigNe l'yNu_lo_py c[)Nuexe f_l.mée de ,pp(X) dalls sa_ p(X). La propriété _(x;p) est démontrée par P.Lelong [9] lórsque p=N-l et lorsque X est une variété de Stein telle que N'(X,_)=O. Et'dnt donné un courant quelconque TESPC"- '(X), la méthode consiste à approximer le poten- tiel de T (qui est une fonctjon plurisousharmonique) par des logarithmes de fonctions holomorphes. On en déduit dlors quc T est limite faible des diviseurs associés. Pour des variétés de Stein ou projectives quelconques, l'énoncé _(x; _) n'est pas adéquat, car il f'dut tenir compte de certaine_ obstructions de nature topologique. Il est facile de voir (prop. 6.3.) que _c p(Tg(x), oú sPcg(x) s est l'ensemble des courants de SPCp(X) dont la clhsse de cohomologie hppar- tient à A'q(X)±adhérence d'dns H'q(X;_) de (Hq_q(x)^H'q(x;a))og_, 4=N-p. L'existence de ces obstructions permet de donner de nouveaux contreexemples au problème W(X; l) sur des surfaces 'dlgébriques affines, et également au probléme _(x;p), lorsque X est une variété de Stein 'dy'dnt une cohomologie entiére ((pathologique)). On est donc amené _ faire l'd conjec- ture suivante: _ ^ (_a(X; _)) _l'(X) = SPITá(X). L'énoncé _a(X;p) est vr'di en codimension l (_=N-l), et s'obtient par des arguments 'dnalogues à ceux de [9], á condition de remplaccr les fonctions plurisous harmonique_ par des métriques hermitienneJ` de fibrés linéaires posi- tifs. Comme l'avait conjecturé P. Lelong [9], on a en fait un résult'dt un peu plus précis (voir é 7). Théorème 1.9. Soit X uNe uariété projectiue nu rfe SteiN, coNNex_ _t cle rfimeNsioN N>2 Alors Sp(Tn-l(X)=p"-l(X) ±iorsque x _t une variété projective, l'énoncé _a(X;p) appar'dît comme une formulation explicite forte de l'd conjecture de Hodge (cf. th. 6.4). Théorème 1.10. Sur uNe uariété projectiue X, l'hypothése _a(X;p) eNtra_Ne lw coNjecture de Hodge en degré 24(p+q =dim x), á sauoir lu prnpriété w'(x;v): Nq_q(X)^H'q(X; _) est eNgeNdré par les clas_se_s des cycles algébri4ues de dimeNsioN p. Courants pusilifs cxlrêm_ux ct conjecturc de Hodge 351 Signalons que R. Harvey et A.W. Knapp [6] onI également rarnené la conjecture de Hodge á un probléme de Plateau homologique pour les cour'dnts. 2. Un théorème de support pour les courants posi_ifs fermés Soient X une vrdriété 'dnalytique complexe de dimension n, S une sous-v'driété fermée de classe C' et de dimension réelle 2p+k, qui est fibrée en variétés _n'dlytiques de dimension complexe p. De façon précise, on suppose qu'il existe une v'driété M, dim_M=k, et une submersion de clas_e G' _:S_M dont les fibres o-'([), tEM, sont des sous-variétés analytiques complexes. Si U est une mesure de Radon sur M, on considére le (p, p)-courant _± _ [_-'(t)]du(t) défini par [EM {o, w)= l du(t) r y. (2.1) [EM n - ' ([l pour touIe forme ,xES_p p(X). Le courant _ est fermé, á suppor( dans S, et il est fortement _O si ___O. ' Inversement, nous 'dll_ns voir que (2.1) donne bien tous les (_,_)-courants fermés d'ordre O á support d'dns S, sous des hypothéses assez générales sur S. Théorème 2.1. ON _su_po_s_ que les _ibres o-'(t) SONt coNNexes, _t que S e__t totalem_Nt r_yll_ [lut_s ILs rtireL_tinNs tl'NN_L'er_es uux fibres, L"e_st-á-rtir_ c_u'eN tout _oiNt zES nN a TzS^iTzS=TzFz, (2.2) uú Fz=_- '(_(z)) est la _fibre rtu poiNt z, yt TzS, __ les _spAL'es taNg_Nt_ respect_s Ñ S et _. Alor_s puur tnut cout_aNt .f_rm_ _ de bidimeNsinN (p,_) et rf'nrdre O ú sup_ort daN__ S, il exist_ UN_ uNiUu_ mesure d_ Radon __ sur M telle 4ue _ = _ [_- '(t)] rtU(_). (2.!) [EM Si le cnuraNt Ow ystfuiblelN_l]t _O, c_lurs la mesure U y_t po,sitiL'y. Notons d'abord que l'hypothèse (2.2) limite la dimension de s: en effet _S/_Fz est un sous-espace totalement réel de TzX/TzFz, on a donc néccss'direment k_N -p, soit dim_s_N+r. L'hypothése (2.2) est d'autre part autom'dtiquement vérifiée si k = l. DémoNstratioN. Puisque _ est un cour'dnt fermé d'ordre O (donc localement p]'dt) à support dans S, il existe un courant Oh d'ordre O sur S tel que _=i_8, oú i': S_X est l'inclusion (voir H. Federer [3] ou R. Harvey [5], théoréme 1.7 (b)). 3S2 ].-P. Demailly Démontrer (2.3) revient donc à construire une mesure u sur M telle que (8,N)± r du(t) _ _ (2.4) [EM _ - 'l_) pour toute 2p-forme _ continue à support compact sur S. On voit qu'il suffit en fait de construire, relativement à un recouvrement ouvert _ de M, des mesures locales Uu définies sur chaque UEW et vérifiant (2.4) pour les formes _ à support dans o-'(U). La propriété d'unicité montrera que Uu=Uv sur Un y, donc les mesures Uu pourront se recoller en une unique mesure U sur M qui répondra à la question. Soit U un ouvert de carte, muni de coordonnées locales x,,x,, ...,_h de classe C'. On désigne par dMu la forme volume dMu=dx, ^dx,... ndxk sur U. Lemme 2.2. Sous les hypothéses du théoréme 2.1, il existe un couraNt Ru d'ordre O et de degré O sur _- '(u) tel que _=8u._'(dMu). DéMonstratioN. Soit zE_-'(U)cS. Il existe un voisinage Wde z dans X et des coordonnées locales W,,N',, ...,W2n de classe C' sur Wtelles que (2.5) Wj=X.oO surS^W l = = ' (2.6) s^ W={_EW;wj(_)=O pour k+l_j_2n-2p}; (2.7) les wj, j>2N-2p, définissent des coordonnées locale_ sur les fibres F,nW,_ESnW. Puisque _ est d'ordre O á support dans S, on a sur Wles re]ations wj._=O, k+l_j_2N-2p, d'où après différentiation dw.^_=O. Comme _ est de bidegr_ pur, on en déduit d'wj^_=O, avec la ñotation usuelle d'=i(h-_). Calculons en tout point S*S^W l'intersection des noyaux des l-formes dwj, d'wj pour k+l_j_2n-2p: n Kerdwjn n Kerd' wj= T, Sn iT,S= T,F, d'aprés l'hypothése (2.2). Les formes dw,, l ___k, sont nulles sur l'espace T,r, tangent aux fibres. Il existe donc des fonctions réelles aj,, a_, continues sur Wet telles que dw,=E(aj,dwj+a_,d'wj) en tout point de S^W. On a par j conséquent pour 1=1,2, ...,k: dw, ^ Oh =E(aj,dwj ^ Ow +a_,d'wj ^ O)±O. j Le courant 8 étant de degré k, on peut écrire sur S 8= E 8w_wdww lnl =k Cour'dnt5` posiLifs extrêmdux el cunjeclure dc Hodge ]53 oú K décrit l'ensemble des multi-indices de longueur k á valeurs dans {1,2, ...,k} U_2N-2_+ l, ..., 2N_ et oú _K,W est un cour'dnt d'ordre O et de degré O sur S^W. Les conditions dw,^_=O montrent que _ se réduit á un seul terme: h = U, ,. ,, ....k,, w dw', n . . . ^ dw'k, (2.8) soit encore O=O,,.,. ....h,,w_'(dMu) d'aprés (2.5). Il est cl'dir que les différents courants R,,,2,...,k,.w J`C reL`ollent en un courant hu sur _- '(U) qui satisfait aux concluLsions du lemma 2.2. O Lemme 2.3. Auec l_s Nota[ioN_s précédeNtes, il Pxiste UN couraN[ vu d'nrdre O et de degré O _sur U tel 4ue 8L_=O'(VU), i.e. 8=_'(vlu.dMu). DémoN_strNtioN. En effet d'après (2.8), l'hypothése que U est fermé entraîne "'=O sur S^W pour 2N-2p+1±j±2N (_Wj - - ' c'est-_-dire que les dérivées partielles de Uu dans la direction des fibres sont nulles (cf. (2.7)). Cumme les fibres sont supposées connexeJ`, le lemme 2.3 s'ensuit aisément. O Le lemme 2.3 montre que pour toute forme w continue á support compaL`t dans _- '(U) on 'd les égalités {H, K)=(vlu.dMu,__w}= l L'u.dMu(t) _ x; [EM _ - '([l la relation (2.4) est donc bien démontrée avec la rnesure Uu=_lu. dM,_ á l'd pl'dce de u. 11 nous reste á vérifier que UL, est _O si le cour'dnt _ est faible- ment _O. Ceci démontrer'd simultanément l`unicité des mesures U,,, en prendnt O =O. Lemme 2.4. ON suppose 4ue le _ouraNt _ e_st _Niblem_Nt _O. Alul.s la mesur_ repr_seNtatiu_ u est _O. Démon_stl.atioN. Soient _ une fonction continue _O á support compact d'dns M, L une partie compacte de S telle que _(L)>SuPPr't, pE_p,p(x) une forme fortement _O et >O sur L, x, la fonction continue sur M définie par x,(t) =x(')[ l _]-'. Appliquons (2.1) á la forme fortement positive w=_, o _.U; il _ - _ (I l `ie"' o_(_,_)= F x,(t)du(t) _ _= r rrt(t)dU(t). o IEM n - '([) _EM Nous aurons besoin également du résultat simple et plus ou moin_ classi- que suivant: lorsque le _upport d'un (p,p)-courant lncalement norm'dl Ow ne c_ntient pas ((suffisamment}) de directions complexes, alors Ow est nécessairement nul. On rappelle qu'un courant O est dit localement normal si _ et d_ sont d'ordre O. Proposition 2.5. Soit _ UN _ouran[ lo_al_m_Nt Normal rfe bidimeNsiuN (_,_) sur X, á support daNs UN_ \sous-uariýt_ E de cla_ss_ C' telle 4uy dim_(TzE^iT E)<_ yN z tout _uint zçE. Alor5' Ow=O. 3S4 J.-P. l>em_illS' L'd démnnstration est analogue à celle du lemme 2.2. Soient W,,N'_, ...,W,n des coordnnnées locales sur un voi_inage Wd'un p_int ZEE telles que E^ W={SEW;_L_j(_)=O, l _j_N}. Puisque les courants ON et rfOw sont d'ordre O, on a wj._=N7j.rtO=O sur W, l_j_N, donc rf_Ll. ^ _ =d(wj. _)-wj.rf_ =O. 7 Le courant _ étant de bidegré pur, on en déduit d'IL'j^ _±O, et l'd conditiun dim_(_E^iTzEl

2lT-2_. Soit ([_,, u,, ..., U,n) un rep_re loc'dl de l-formes réelles continues au voisinage de z, tel que u,, u,, ..., tr2,, _ ,,+ , _oient extl.'diles de la famille dwj, rf'w'j, l _j_N. On peut écrirc _=E_KL_K avec E_K K =u_, ^ ... ^uk_ ._p, et u, ^ _ =O, l _1_2lI-2p+1, d'oú l'on conclut que les coefficients O'K"sónt nuls. O 3. Exemple de courant extrêmal sur _' qui n'est pas un cycle analytique On munit _' de la métrique de Fubini-Study w définie par n' = i __ log(lzol' +lz,|' + lz,|') _J 2n oú n: OI'\ {O}__', n(zo,z,,_2)=[zo,_,,z,] est l'd projection canonique. Le coefficient _ñ est choisi dc m_ni_re que la classe de cohomologie de ([] co_ncide avec le génér'dteur positif de H'(_',a). Comme la courbe r,: z_+z_ +_=O est de dcgré d, la masse tot_le du courant d'intégration [Td] est donnée par l[r_] ^w± l w=__. (3.1) _2 rd La première étape en vue de montrer la cnnvergence fhiblc dc la suite _ [rd] cst de préciser le support des éventucls couranls limites. L'ensemble des ll, l)- cour'dnts _O de masse l sur _' est comp'dct pour la topologie f_ible de _', ,(_'); il suffira donc de montrer que tous les courants Tqui son_ v'dleLlrs d'adhérence de la suite _[r,] sont ég'dux. Lemme 3.1. Soit TESPC'(_') ulIe _ale__r rt'arth_reN_e faihle rf_ IN __uity _ . [r,] Alors _ T^w=l et le support rte T e_st L'ON_yN[l daNs l'_Nsembl_ S dy__ _()iNts _z [zo, z,, z,]ç_' t_ls VL_'il _xiste utle p_rmutNtioN (j, k, l) dL (O, l, 2) t_ll_ 4uy lzjl _ lzkl = lz,|. [3.2) Couran(_ positif5 exlrên]_ux et c_IIjcclure de H()dSc _SS D_tNnNstrntioll. Soit S±[zn,z,,z,]&S. Aprés permutation éventuellc des coordonnées, on peut supposer lzol_lz,| O tel _ue lz,|<(| -n)lz,| ct soit v lc voisin'dge de _ défini p'dr _'= {t_ = [N.n, _', , w,] ; sup(|_uul, lw, |) <(l -É) |__,|}. Si _Ey^rd, il vient IW2ld_llL'Ol'+ILL',ld <2(1 -F,)dl__',ld, ce qui est impossible pour d _s_ez grand. Pal. conséquent V ne rencontre qu'un nombre fini de courbes rd et le point _ ne peut app'drtcnir au support de T. O Les inform'dtions contel_ue_ dans le lemme 3.1 sLlffisent pour déterminer T. Le tl_éoréme 2.1 et la proposition 2.5 permettent en f'dit de décrire complétement |'d structure dc,s (l, l)-courants fermé_ d'ordre O dont le support est contenu d_ns S. Pour chi_que indice j=O, 1,2 et k, l tels que k l (et un point á l'infini) (3.6) d , (t): _, =e'_i', |_,| < l d ,(t): S, = e'"i', IS,| < l. Lemme 3.4. SoiI p uNe l-forme de clas_e C_ sur _' Yt plE=Pl(tl, t2)dt, +O2(t,, tz)rtt2, (t,, _,)E__/a)', sa restrictiun á E. A_orLs les couraNts rtOhi .SONt doNnés _Nr {dOho, p} ±ll[o,(t,, t, +[)+p,(t,, t, +t)] dt, dUo(t), (dOw,, p) = -f_p,(t,, _)dt, du,(t), (do,, p) = -frP2(t, t,)dt, du2(t). En pNrticulier _j est NorMu_ sur _' (i.e. Owj et d_j SONt d`nrdre O). _e CUul'NNt _ =OwO+ _,+ Ow, estferMé si et seulemyNt si il _xiste uNe L.o__staNte hEOI terl_ que dUo=dU, =du, ±hrtt. Oémo_stra_iuN. Par défiflition du bord d'ul_ courTdnt, on a {doj,U)_ -(Oj,d_}, donc d'aprés (3.S) (dONj,_}= - f duj(t) f dp= - f duj(t) _ p _/& ni([] _l_ adjl_l oú le bord hdj(t) est orienté par la normale extérieure. D'après (3.b), _dj(t) est défini et orienté comme suit: _l)_o(I): S, ±e'"i'', S2 =e'"i"'+", orienté par -dt, r'd ,(t): _, =e'"i", S, =_'"i', orienté par dt, ('d,(t): _, =e'"i', S, _e'"i" orienté p'dr dt2. 7 Les formules du lemme 3.4 en résultent immédiatement. Si dUo=d_[, =dU2=hrtt, il est alors trivial de vérifier que dOw=O. lnversement supposons d_=O et choisissons p telle que _,=O, U,(t,,t_) Couran_s positifs exlrém_ux el conjecture de Hudge 357 =u(t,)u(t2), avec u, uEpK(_/a). Il vient {d_, p) =_u(t,)dt, l[L_([, +t)rtUo(t)-u(t)dU,(t)] =o, ce qui équivaut, Dour tout uEP_(_/a) et tout t,E_/a, à lu(t, +t)duo(t)=ru(t)du,(t). Choisissons en p'drticulier u(t)=e'"i"', Nça; on obtient lduo(t)± fdu, (t)= constante _EOl Le'"i"'dUo(t)=_e'"i"'dU,(t)=O pour N _O. On a donc dUo=dU,=hdt. L'égalité dUo=dU, se démontre de même en prenant Pl =°, P2(t,, t2)±u(tl) u(t,). O La conjonction des lemmes 3.2, 3.3 et 3.4 entraîne finalement le résultat suivant. Théorème 3.5. Soit Tle couraNt _ofertNé dé_Ni par {T,w}= E f dt r _ j± o, l,2 [__ d,([) pour _Esa, ,(_'). Alors tnut couraNtfermé Ow de bidimeNsioN (l, l) et d'ordre O Ñ support daÑs S est d_ INforme _=_T, ñE_. EN pNrticulier Test e_tr_mal daNs SPC'(_')± wPc'(_'). Le lemme 3.1 et les remarques qui précèdent montrent alors que la suite _[Td] converge vers h,T, oú h, est l'unique réel >O tel que la masse du courant h,T soit égale á l. Ceci démontre le théoréme 1.6. Un calcul facile permet de vérifier que la masse l T^w est précisément égale à l, donc que __, = l . _' 4. Contre-exemples dans _ et OT_ Nous allons montrer que le probléme _(X;p) a en général une réponse négative. Théorème 4.1. LPs assertioNs _(_; p) et _(OI"; p) sontfausses pour O

_(4"-';_)_sP(_"-';p). La propriété sP(_";p) est alors conséquence de (1.5), avec X=_", y±_"-', X\y=OT". O DémoNstrntioN de (1.7). Il n'est pas restrictif de suppnser p_ l, k_l. Soit _:_n+k,_k-l__n l'application dér7nie en coordonnées homogénes par _= [zo7 zl _ ... _ Zn+k]7 _(_) = r-zn, zl , ..., z_], avec _k-' ={_E_"+k; zo±... =z =O}. n L'_pplication _ est submersive, donc on a un morphi_me image réciproque _': SPCp(_")_SPC°+k(_"+k\ _k-'). On v'd encore utiliser le théoréme de pr_lungement de N.Skoda [||] poLlr envoyer SPC°(_") dans SPCp__(_"+_). Nous aurons besoin pour cel'd du résultat élémentaire suivant. L`_ur_nts posilifs cxlrémilux el cunjcclurc __ Hodgc _S9 Lemme 4.2. Soit Wn la métri4uE7 kiihl_ricNN_ __[fr _" iNduite par laforme = L__ log(lznl' + lz,|' + ... +IZnl') 2n __ur _"+ '. A_ors l'image direL'ty _w(w___) <.ulculée _wr iNtégratioN sur lesfibre_s d_ _ _xi_ste, et ON u _w(wp_k_=w_. _+h D_moNstratioN. On se pl'dce dans l'ouvert OT"+k<_"+k défini par zo=l. Drdns OT"+h les coefficients de Wn+k sont O((| +lzl') - ') avec lzl' =lz,|'+ ... +IZN+kl', d'u_| wp+?=O((l +lzl')-p-k). n+h _'intégrale de w'_k sur les fibres de _, i.e. p'dr rapport aux coordonnées n+k Zn , ,, ..., Zn_ k, est donc convergente. On sail que Wn+k est inv'dri'dnte sous l'hction du groupe unitaire U(II+k+ l) opérant sur _"+k. En considérhnt l'hcti_n du sous-groupe U(IT+l) sur ]es coordonnées (_u, ...,Zn), on v_it que l_L forme _*w'__ est invTariante p'dr n+k U(tl+ l). 11 existe donc une con_t'dlIte <._O telle que _wwp+k=_'w_. Une re- n+k m_rque simple montrera ultérieurement que (.= l. O rour tout courant TESPC'(_"), l_ formule ow wp+k = _w_ donne n+k F_'T^w'+k= _ T^__wp+k n _h n+k __+k,_k- _ p__ ±<. _ T^w_; (4.1) __| |_ premiére égalité se justifie en tl.onqu_nt |_ forme w___ pour la rendre _ support comp'dct dans _"+k\_h-', ct en p'dss'dnt á la limite. Le cour'dnt _'T cst donc de m'dsse finie au voisin_g_ de _k-' et d'aprés [ll] _'Tse prol_ngc en Lln courant _'Tsur _"+h. nn _ dnnc bien défini un morphisme _': SP(Tp(_")_SpO). Nous allons voir, grâce au raisonnement du théoréme 2.1 et á la positivité de Ow, que O ne dépend que des variables z,,z,, ...,z,. Ecrivons _|_n__ = i'"-p" E _, Kdz, ^ d¸K, IJl± IKl±n- p ' avec J,Kc{l,2, ...,N+k} et _, K de degré O. Si J n'est pas contenu d'dns {1,2, ...,N} ]a propriété (4.2) ent_aîne _, ,=O. Si l'un des multi-indices J, K (disons J) n'est pas contenu dans {l, 2, ...', N}, la positivité forte de O donne l'd majoration suivante pour les mesures coefficients: l 2|°NJ,Kl _- _7,J +E_K,_ =C_K,_ pour tout E>O, et on obtient encore _,,K±O. Gomme de plus O est fermé, il d_J,K d_J,K_O pour J Kc{l 2 ...,N} et j>tI. Il existe donc un cou- vlent _,, = d_j - ' ' ' . rant TESP(Tp(4") tel que _|_n+_ =(Ol__+k)' T. L'égallté FT^w_= f Ow^Wp+h<+_ n+k _n _n_k analogue á (4.1), entraîne que l'extension simple _de T á _" est fermée. Par suite _=__% O FiN de la démoNstratinN de (1.7). Il est immédjat de vérifier à l'aide du lemme 4.3 que le morphisme injectif _' envoie _p(_") d'dns _p_k(_"_k). Soit TE_p(_"); l'hypothése _(_"+k; p + k) montre l'existence d'un ensemble an'dlyti- que z de dimension p+k dans _"+k tel que _' T±h[Z], hç_+. Lorsque ñ_O, cette dernière égalité implique que Z^(_+k\ _-') est réunion de fibres de _. On en déduit qu'il existe un ensemble 'dnalytique y de dimen- sion p dans _" tel que Z=_-'(y). Par suite [Z]=ó'[Y] et T=h[y]. O Bien entendu, ces démonstrations ((abstraites)> permettent aussi de donner des contre-exemples explicites aux problémes _(_";p) et _(OT";_). Nous laissons au lecteur le soin de le faire. 5. Équivalence entre les énoncés _(x; p) et _(x; p) Nous allons maintenant démontrer l'équivalence des deux énoncés (_(x;p)) _p(X) c p_(x) ^ ^ (_(x;p)) SPCp(X)= CouranlJ' p__itif_ cxlrém_ux el cnnje_lure d_ Hodpe 361 où _-_) et __ sont respectivement l'adhérence faible et l'enveloppe convexe fermée de pp(X)=(_[Z];ñ_O} d'dns __ _(x) (z parcourant tous les ensembles _n'dlytiques irréductibles de dimension. p de X). Cette équivalence logique est en f'dit une conséquence de résultats généraux d'analyse fonction- ncllc, tels que le théorème de Krein-Milman (cf. N. Bourbaki [l], chap. II, é4, th. l) et le théoréme de Choquet (cf. Phelps [lo]). Lemme 5.1 (th. de Krein-h_illn'dn). Soit K ul__ parti_ coNuex_ L_nmpacte rf'ulT __spuL'e u_ctol'iel tllpolugiqu_ loL.wlemelTt L'uNuexe sépul'é E. ON désigNe par _(K) l'v_lsylNblL7 rf__s puilTts exrr_mau_ rfe K (±c7lT_sYmbl_ rte_s puiNts XEK tel_s qu_ K N_ ('ul_Ii_IItI_ UUL'UII itIt_rL_alle uuuert rty c_ll[re x). Al()r5` ^ K -± _(K)= LNL_elopp_ cuNL`ex_.fyrméy dY _(K). L`implication _(x;p)__(x;p) résulte de l'd proposition 1.4, qui est elle- même une conséquence simple du lemme 5.1. Proposition 1.4. SPITp(X)=_, WPGp(X)=_. O_m_)Nstrati()l_. Les deux égalités se démontrent exactement de la même maniére, donc nous étudier_ns seulement la première. Par définition de _p(X), ^ on _ _p(XlcSPO sur x telle qLle fT^__l. x On peut toujours construire une telle forme 7 á l'aide d'une partition de l'unit_ sur X, li_ scule condition étant que les coefficients de }' tendent asscz rhpide- ment vers O _ l'infini. Soit 'dlors L, l'ensemble des courants _ESPCp(X) tels que r_^v_l. On x vérifie _isément que L_, est une partie convexe faiblement compacte de óa_,p(x) et que l'ensemble _(L,) des points extrêmaux de L,, est la réunion de {O} et des cour_nt_ _ç_p(X) tels que f_^y= l. x U'_prés le th_oréme de Krein-Mi]m'dn on 'd donc ^^ TEL,=_(L,)c_p(X). O Pour hchever la preuve de l'd pr_position 1.8, il suffit maintenant d'établir l'implic'dtion réciproq Lle: Proposition 5.2. _(x; p)_>rt_(X; _). Uémntl_stratiuN. Obscrvons tout d"dbord que l'd topologie fhible est métrisable sur SPCp(X) (bien qu'elle ne le soit p'ds sur sa_,p(x)); elle peut être définie par les semi-normes __|(_,_,,}|+|{o,Pv}| si les suites _v, PvE_,.p(x) ont les propriétés suiv_ntes: (5.1) _v est f'diblement _O; _62 J.-P. Dcm_lllly (5.2) pour tout __int zEX, il existe )l tel que _v>U _u voisin_ISe de z; (5.3) l_ suite p,. est (fortement) dense dans _,,p(X). Soit alurs TESPCp(X). L'hypothése _(x;p) et le fhit que la t_pologie de SPCp(X) soit métris'dble m_ntrent que T= lim T,, v_+_ oú T, est L_mbinais_n liné'dire convexe de courants d'intégration: Tv ± E ñj,, [Zj,,], v= l, 2, ..., ñ.v±O. (S.4) J - l _j_j(v) Comme la suite T est faiblemelIt colIvergente, on peut toujours L`hoisir unc v (_,p)-forrne _ f'diblelnent >O sur X telle que TEL,,, T,,EL, pour tout u, L_. désign_nt commc ci-dessus l'd partie convexe faiblement comp_cte L_={_EsPITp(x);foy^,±l}. X - Le restc du rrdisonnement repr_duit essentiellement l_ démonstr_tion _u théorème _e Choquct. S_it M la p_rtie compacte M = L,,^_pp(_. D'aprés (_.4) il existe une mesure Uv de m'dsse l sur M telle que T,.= f adu,,(u); 8E N il suffit en effet de prendrc pour Uv un barycentre á cocfficients _O dcs mesure_ de Dirac aux points O et _,_v[Zjv] de M, _LVCC _,_vf[zjv] ^7± l. I] cst _lassiqu_ x que l'ensemble des mesures de probabilité sur un e_pace comp'dct métris'dble est une partie v'dguement comp'dcte métris'dble de |'espace des mesures dL` Radon. On peuL donc extraire de la suite Uv une sous-suite qui converge v'dguement vers une mesure de probabilité u sur M. Par définition de l_l topologie de M, l'hpplication 8_{R,_), _E_p ,(X) esL L`ontinue sur M. On a d_nc {T,,_}= _ (8,_}dUv(8) 8E N (T,w)± lim (Tv,_}= F {(_,_)du(()), v_+_ nEN L`e que nous écrir<)ns T= _ RrtU(U). Si le cour_nt T initi'hlemen_ choisi es_ 8E N extrêmal, lc lemn_e 5.3 _i-dessous montre que le support de l'd mesure u e_t contenu d'dns une ((génér'dtrice)) {7L0;0_ñ_1} cM. On a donc T±[f7_rfu(7,_)]._EMcpp(x). O Lemme 5.3. Soit M uNe pc_rtie faiblelNeFlt L'u_NpaL't_ rfv SP_'(X),U L_IIY IN_sLrl_(7 ±O sur M _t Tl_ _uul_aNt - T= f _)du(a). 8E N L'_urhnl% posilif_ Prxlr_m_lux _t conjeclure dL' HndEc 3b3 Si IE_ c_)uraNt T L7__t _xtl__mNl, le 5u__u1.t rt_ U est L._)IIt_NU dnNs UtT s_Rm_llt {__o\;n_h_l} uú _EM. Lh démonstr'dtion est pratiquement évidente: si le support de u cuntient deux courants O,,U, non proportionnels, on peut écrire T=T,+T,+T, oú T,, T, sont obtenus p'dr intégration _e OrfU(O) sur des petits vuisinages _isjoints de 8,,U,. T, et T, 5`0nt 'dlors non proportionnels (car cette condition cst ouverte pour la topologie faible), donc Tn'est pas extrêmhl. O 6. Lien avec la conjecture de Hodge et obstructions topologiques Soit X une v'driété 'hn'dlytique complexe de dimension 11. Nous serons amenés á considérer certdins groupes de cohomologic de X, définis L`omme suit. Notations 6.1 (k.l) Nk(X; OT)= k-_m<7 Rroupe d_ c()h()IN()lr)gie de de R_Iam de X; (k.2) Ñ_(X; _)= c_l__ulll[)logi_ (l_ _y_IT ú L`uleur_ dNlls ulT.fui___eau _ _l_ gl_l]u_Ls ubélielT_s; (6.3) Nk(X; Q)= i_NugET rfu mur_llistN_7 tlNtul_el Ñ"(x,a)_N_(x,_)±_k(x,_); (h.4) Np.4(X)±_lll__[7lNhlL rf_s clussE_s ll_ _nhomolugie _ly Np+q(X; OT) cnll[_ITNITt [_IT_ (l), u)-f(]rmy _il_llIEíF. Soit __(x)= O+ __,(x) et __(x)= O+ p_q(X). Le théorème _+__ê Rh'dm donne des i¨__±ôrphismes Ñk(X; OI)± H_(__`.' (x))= Hh(X; _), Ñ_(x; OT)±N'"-h(l_(X)) entre la cohomol_Sie de _ech et l_ coh()ln_logie _es c_mplexes p._(x),__(x). _es isomorphismes sont en fait _cs isnmorphismcs topologiques lorsquc Ñk(X; OT), p.__x), Hk(X; Ol) sont mulIis de leurs topo]ogies n_turellcs d'csp_ces de Fréchet et __(X) de l'd topologie f_iblc. On a donc un murphisme L`[)tltilTI_ __(x)> Kcrll_ _r'"-k(x; OT) _hc_(O) (6.5) qLli á un coLlrant fermé _Esa_(x) de degré 2N-k assNcie s'd cl'dsse de cohomo- loSic de de Rham. si _ESa_,p(x), rt_=O, on _ donc cl(Oh)EH'q(X;OI) _vec v =l_-_. Dans le c_s oú X est une v_riété 'dlgébrique projectivc, la théorie de Ho_ge donne l'd décnmposition: Hk(X;Ol)± O+ N°_b(X). o+b±k On vérifie alors p_r du_lité que cl(Ow)EH4'q(X). 364 J.-P. Dem_illy Définition 6.2. Si X est ull_ uariété projectiu_, [)N désigll_ra par A'q(X)c N4'q(X) le _-INndul_ cNgytlrtré pal_ Hq'q(X; Q)= Hq'q(X)^H'q(X; Q). Si X y_st UN_ _Nriété de SteiN ON défil_it Ak(X) L.umtN_ l'adhéreNL'e rf_ H"(X; Q)Ox__ daNs H_(X;_). DaNs les deux cc_s, ON désiglI_ pur sPcg(x) l'eN_semble d_s coul.wllts OwESP(Tp(X) rte bidegré (q,v), q=N-p, rfoNt la cla_sse cl(_) YSt dalTs A'q(X). Pour tout ensemble analytique ZcX de dimension pure p, _n sait que le courant d'intégration [z] définit une classe de cohomologie entière cl[Z]EH'q(X; a). On a p'dr conséquent pp(x)csPcg(x), et |_ continuité du morphisme Owhcl(_) implique: ^ Proposition 6.3. ,pp(X)c sPcg(x). Il semble donc naturel de faire la conjecture suivante: n ^ (_&(x; p)) = sPcg(x). Cette conjecture serd démontrée en codimension l (p=ll-l) hu paragraphe 7. Dans le cas oú X est une variété projective, _g(X;p) 'dppar'dît comme une formulation fnrte de la conjecture de Hodge. Théorème 6.4. S[)it X ulle _ariété projectiu_. Alnr_s (6.6) A'q(X) = cl (sPcg(x) - sPcg(x)). (_.7) L'hypo[hésY _a(X; p) vN[rNîNe la _rupriété _(x; v), á suuuir 4u_ Hq'q(X)^H'q(X;_) ___t eNgeNrfré par ly.*` (.}7L.les __lgébriVLl__s de rtimyN_*'iol[ p=N-q. (b.8) L'hypoth_se _(x; p) impliVue la coNditiulT coholNnlugiVuy rg_N4'q(X; Q)=dim_H4'q(x). Preuuy d_ (6.6). Sojt w une métrique de Hodge sur X (i.e. une métrique kählérienne dont l'd cl'dsse de cohomologie est entiére) et _ une L`|'dsse dans A'4(X)c Hq_4(X)^H'q(X; _). D'après la théorie de Nodge, _ peut être représentée p_r une (4,q)-forme harmonique réelle h. Pour N entier >O assez grdnd, l'd forme h+Nw` est d_ns sPcg(x), de même que Nw4. Par suite _=cl(h) est |_ différence de deux clhsscs 'dssociées à des éléments de sPcg(x). /'`\\ Preuue de (6.7). L'hypothése sPITg(x)=, ) combinée á (6.fi) implique que m'4(x) est engendré pdr cl(_. Puisque le morphisme c est Lontinu et que ) l A'q(X) est un espace vectoriel de dimension finie, on voit que A'q(X) e_t le _- module engendré p'dr les classes des cycles algébriques. Par conséquent Hq'q(X)nH'q(X;_) est l'ensemble des combin'disons linéaires rationnelles des classes cl[y], yc X, codim y±4. Preuue de (6.8). Un r'disonnement 'dnalogue á (6.6) montre que Hq'q(X) est le OT- module engendré par cl(SPCp(X)), _oit encore par cl(pD(X)) sous l'hypothèse CE)ur'dntJ' posi_ifs extrém;lux el conjeclure _c Hndge _65 _(x;p). Les entiers dim_Hq'q(X) ct rRaNq'q(x;a)=dim_A'q(x) sont alors tous deux égaux au nombre maximum de cycles algébriques de codimensi_n v dont les classes de cohomologie sont liné'direment indépendantes. O ^ La conjecture , =sP(Tg(x) nous p'dr'dit en fait beaucoup plus forte que la conjecture de Hodge. En effet, cette dernière donne seulement une représentation des cldsses de cuhomologie par des cycles algébriques, tandis ^ que l"dssertion _ =sPcg(x) affirme grosso modo que n'importe quel cou- r_nt de sP(Tg(x) est égal (et p'ds seulement cohomologue) á une somme intégrale de cycles 'dn'dlytiques. R. Narvey et A.W. Knapp [6] ont énoncé des conjectures qui semblent logiquement plus proches de l_ conjecture de Hodge, et qui r'dménent celle-ci à un probléme de Platehu homologique pour les cour'dnts. Soit maintenant x une surface _Llgébrique projective telle que rgaH"'(x;a)`uile: Lemme 6.7. Si X __st _ILl StE7ilt, l'(l_Uli('N[ i[)IT cl: SPCp(X)_N'`(X; _) [7sr sLll:jc'<.tiuE'. Appliquons le lemme b.7 ct |_ _ro_()sitimI 6._ _v'ec X=X__, _=k+ l, (l=_- |. On uhtie.nt __lnr_ des contre-exemples 'du pr()hléme _'(X; _). /\ Corollaire 6.8. ,pk'- ' (X ,_)c SPC_+ ' (X,h) __P(Th+ '(X,_) _SLll_ IE___ L_al.iétý__ rf[7 SrE7irl L Q X,k, k_2. x,±n se pl_nge d_ns _' d'_prés un théorémc cl_ssique de R. Nar'dsin_h_n. L¿l vill.iét_ x,h=n x E,__, _dlnet donc un plongement d_lns QT' x QT'k-'±_'k'!. L_ propnsition 1.7 (1.4) noLls permet p'dr cnnséquent _e retruuver que |'énoncé sy'(aT'k+.'; k+ l) est f_ux si k_2. 7. Approximation d'un courant de bidegré (l, l) par des diviseurs irréductibles L'objet _c cc p_r'dgr__phe est de _émnntrer lh c_njccture __(X; p) en Lodimen- sion |. Théorème 7.1. S(lit X ullc' __rri_r_ clE' StyitI (l[_ UIT_' L`c_riét_ pl'uj_'ctiu_ L'()IItl_,_[' rfE' _ _ rfimLlll_si[)l7 t]_2. Al()r_* SPC"- ' (X)±.P"- ' (X). _ B 3b8 .l.-_. Dem_ilLy On observera que dans ce théoréme il n'est pas nécessaire dc prendre l'enveloppe convexe de ,P"-'(X), |'ensemble d'éléments extrêm'dux ,P"-'(X) étant déjá dense dhns SP_"-'(X). La démonstr'dtion repose sur une série de lemmes. Lemme 7.2. Tout coural]t TESP(T"-'(X) est _itNitE) _áible rf'uNe suit_ TvESP(T"-'(X) [yllE7 4ue (7.1) cl(T,,)EN'(X; a)Ox_ __i x cst rf_ St_ill; (7.2) cl(Tv)EH"'(X)^N'(X; _) si x e_st _rnj_ctiu_; (7.3) Tv>O, i.e. il exi_ste UtlE7 (l, l)-f(lrme }lv>O tYll_ Vu_ T ±7,. V- | DémoN_trNIioN. Soit 8 une (l, l)-forme fermée de classe C_ telle que cl(O) =cl(T). On a donc T=O+ To aveL` cl(To)=O, et cl(8)EA'(X) par hypothése. Pl.euue d_ (7.1). H'(x;a)Ox_ est dense d'dns l'espace H'(X; Q)ox_, dont l'adhérence est A'(X) (cf. définition 6.2). Il exi_te donL une suite (.,,EH'(X; Q)O_ telle que cl(8)= lim c,,. y_+x Soit Oy une 2-forme réelle ferrnée représent'dnt l'd classe <`v. Par définition de l'd topologie de H'(X; _), on peut _hoisir des représent'dnts tels que la suite 8v converge vers 8 dans '__'(X;_). La compo- sante de bidegré (0,2) de Ov est _-fermée et tend vers n. Le théoréme de l'application ouverte de Ban'dch montre que l'équ'dtion ¸Uv= R°'' se résout avec v une suite u _O; quitte á remplacer 8v par (),-d(u +Úv) nn peut supposer dc v v \| plus que Rv est de bideyré (l, l). Puisque Uv_(), il existe une suite p,. de fonctions plurisoush'drmoniques converge'dnt vers O d'dns '__(X) telles que U,,+ic__c_,.>R. 11 vient donc T= lim T,, avec v_+_ Tv=Ov+id_Pv+ To>h+ To= T_O et cl(T,,)=cl(U,,)=c,.çH'(X; Q)ox_. Pt.euue rf_ (7.2). cl(U)çA'(X)=H'''(X; Q)ox_, donc il existe des (l, l)-formc_ réelles fermées _j et des sc'dlaires __jE_, L _.j_ N, tels que N cl(_j)EH'''(X)nH'(X; a) et u= E ñj_j. j± l Soit w une métrique de Hodge sur X et hj,.ç_ tel que lhj-_L_vl_ pour v _ssez gr'dnd. On pose alors _,=_v+TO. O Cnur_ntJ poJiliU_ [_xlrêln_lux cl _nnje_lurc LIL` H(\_ye ?bV D"dprés le lemme 7.2, il suffit de montrer que tout L`ourant T>O de bidegré (l, l) et de cl_sJ'e L`|(T) yl_tiýt__ est limite f'dible d'élément_ _e ,P"- ' (X). Nous 'duron5` bc_oin du lemmc L`l'dssique suiv_nt. Lemme 7.3. Si _|(T)EH'(X, Q), il El__i_*ty UIE fibré lilT_NirL7 L _íur X d[7 L`lu,¨,sE7 d[7 (Thyt'N c,(L)=cl(T). . La J'uite cxponentielle o_a_(__L'_l d_nne en effet un di'dgr_mme commut_tif Ñ'(X; (/,'') - _Ñ'(X; Q)- --._Ñ'(X; (',) \ | _ \ / \ / \ \ / n,, , _\ ,' _ / H'(X;__ Si X e_t _c Stein lz grou_c Ñ_(x; (' ) eJ't nul; si X e_l prnjcctiv_. n,,., _`identifie á ld projcction N'(X;_)_N°.'(X) d_ns l'd décompositiol] de Hodge. D'dns le5' deux c'ds on _ no ,(cl(T))=U, donc L`l(T) provient d'une cl_ls_e d'isomorphisme de fibrés liné_ires'd'dns Ñ'(X; L''l. O On munit le fibré L d'une métriUuc hermitienne _e cl_sse Cy_. La cl_s_e L_, (L) cst 'dlors éfini_ p'dr l_ fol.me de cuurbLlrc i . , ' ` _ <(L) d ou . . 2n cl T--± ` ± . - _- C'(L)E__ , ,(X), il existc pE_ñ n(X) tel L(L) O (lornme T , n 2n 2n -- . - ' que T± ' (L.(L)+__p). (7.3) 2n Puisque T>O et que L'(L) cst une furme Cy, l_ distribution y peut être représentée p_r une fonction (encnrc n_tée y), qui cst lo__llement snmme d`une fonction plurisoush_rmonique _t d'une fnlIctinn C_. Lemme 7.4. S[lil _' IE7fihr_ llulll rf_ L [7t _: L' _X l(_ _l_F]jE7c'ti[)ll. Lll__i)ll_tiulI _(_) = Log |_|' + p(_(_)) ___t pluri__()u_hclrlTI[)IEiUu_ _ítlr l'E___Uu<_Ll t[)rcll L', _l ull N . l - -- (_T`_ _ [X] +u'rr_ 2n oú [X] c7__t IL7 _uurNl[t rf'illtýkt_ati()N __[ll. ILl _sEl(.ti[)ll 17L_llE7 (l_ L'. D_IN[)ll__tl_Nri()II. L'_ppliL`_ltiun ___ _éfiniL une seL`tiun holomurphc _u fibr_ im_ge réciproque _'Lw, section dont le lieu _es zéru_ est X. L'éqLl_Ltion dc LelonS-Poin__ré ilnplique -_- __ Log ISl'± [x] - i - l.(_'L')= [X] +---i- '(<`(L)), ' 2n 2n_ 2n d'oú le résult_lt d"dprés (7.3). O _70 J.-P. I>emililly La démonstr_Ltion du théorème 7.1 suit maintenant de prés l'd méthode de P. Lelon_ [9], qui correspond au c'ds oú lc fibré L est trivi'dl. L'idée (due á K. Oka) consiste á utiliser Lll_e fonctiun holomorphe dont le dom'dine d'existence est un ((ouvert de H'drtogs)) dans L'. Lemme 7.5. Soit n le rt()muill_ d_ Hl_rtnR_s n={_EL+; _(_)=Logl_|_ +p(_(_)) ll'exi__rE7l_L`_ d`L[Ny._ÓIIL'tioll IIol()m(lrpllL F, ú L'uNditioN (lz rylN_lkc'E)r é_vnt_l_lleNleNt L', T, p _ar L-k, kT, kp uú k ___r __N _Nri_r >O ws__z RrnNd. 11 suffit de considérer le cas oú x est pr_jective. p_r construction de L et y on a ic(L)+iL'_p±2nT>O, donc le fibré L est ample. Quitte á rempl'dcer L p_r une puissance Lk, il cxiste un système _=(__,_,, ...,__,.) de sections de L sans zéros communs tel que le di_gr_mme commutatif L*__OI_`.+ l >4"'_' \ _"} | ,,' p ' ' q , /'4 / X_____ définisse un plongement j de x dans _N. L'imagc _(L')±[l-'(j(X)) est une v'driété _lgébrique _lffine homogène dans _N+', et _ eJ't l'application qui écr'dse la section nulle de L' sur O. Comme __ -I_I _ur X=_-'(O), _ se f_ctorise en une fonction plurisuusharmonique __ sur _(L') telle que _7 =_o _. L'imhge a(n) ={ZE_(L'); _(z)O yt UITy __ui_y (l_ _*.yL'tinN_s Gv rfy r_`' tyllL7s quy p= lim _ LoglGvl' __aNs L_oc(X). L._ +_ k,. L_our_nls pu_ilif_ L'_lr_m'dux cl conjLclurc __ H_dge _71 Dým()N_*'rl.u[i_)l_. _o_nns cummc l'. LelnnbF [9] = _ Lug lr,|± = ' sup LoglF'!/"|2 Pr,_ suP , , ,, . r < v < J l_ __ . r < ,. i.\ ± ± ± = _ famille _- LoglF,.|' est |_c_lement unif_rmément m'djorée. et l'égalité (7.4) L L' mnntre Uue y= lim _( lim _yr ,)'. r_+_ S__X ._ L_ fonction p est donc limite d_ns L_,,L(X) de fonctions du type pr _. 11 s_lffit _lurs de démontrer le lemme 7.b pour _lne fonction p,, de l'd forme =_ sup LuylN,.|± _n ,_ l < _| < N - - uú les H,,, l _E'_N, sont des sectinns de L". On pe_lt évidemment supposer ULle les quotients Nv/Nu ne sont pas identiULlement de m_)dule l, sinon on sup_ri- me l`une des sections H,,. Soit E l'en_emble des puint_ _EX U()ul. le_qLlcls il existe un co_lple (__, _|). _l_ _', tel que IH,,(_)|' =IH,,(_)|_. L`el1semble E e_t 'dl1_lytique réel, car |'d métriUuc L¬` de L`' se simplifie d'dns les éUu_tions précédentes; de plus E est de mesurc |_ulle p'dr connexité de ,_. En tnut puint _EX\ E on peut écrire l _ 2 Pn(_)= lim . LL_g Sl H_ . (7.5) k_ + \ k__ _± l _'__lr montrer que lh cnnv.ergence _ liell d¿llI_ L_,,L(X), il suffit de vérifier que l_ l N 2 suite y_=k, LoS E N_ e_t loc_llement éUui-intégrable sur x. Soit _) un re_ére local'du fib__ 'L 'du-de_su_ d'_ln _]uvert U c x. Les fonctions Pk - Loel_)|_ _unt plurisousharmoniUuc_ (_;lr |_l métriUue de L se simplifie). loc'dlement Llniformément m'djorée_ _ul. (/, _t infyh> - _ presque partout sur U d'aprés (7.5). _ _a f'dmille {yk-Logl_)|'} e_t dunc hnrnée d_ns L_oL(U), et par suite éULli- intégrable en vertLl de_ prupriété_ classiq ues des functiol_s sousharmoniques. O Soit Zv le diviseur des zérn_ _e G,,, C',. ét_Lnt l'd suite de J'ections du lelnme 7.b. L`éq_l'dtion de Lelong- r()incal.é in__lique ± __ LoSIG |_=[_,,] -¸,. -i- . . ,, [ (L) 2n 2n D'_près le lemme 7.b et l`ég__lité (7._) on obticnt i _ . | i - _[`P= ll__ k--[_,,] ---- ('(L), 2n ,._ ,. 2n = i (,.(l_)+__p)± lim _ ,, ' 2n ,,_+m k,,[' ] 372 .|.-|'. l>em_illv _our la topologie f_ible de _ñ_, n_,(X). Comme ch_que divi_cur [z,,] _e décompose en une somme loc_lemént finie de diviseurs irréductibles, on a en fait démol_tré que SP_"-'(X)=_. Pour achev'er |'d preuve du théuréme 7.| il reste seulement á rendre les diviseurs Zv irréductibles, ce qui est possible grâce aux techniques de [2]. On étudiera séparément le cas des variétés projectives et des variétés _e Stein. Proposition 7.7. Snit X uNe uariété _rn_ectiu_ irl.édu_.tihly d_ dimE7N_sinN N_2, L UN _ibré liNéaire >O sI_r X et G uNe s_ctimT tIllN Null_ d_ L. Alol__*' il _xi_sl_ UN fi_ré liNéail.y _]_rtNitiEIN M _t UtT_ se_tioN _IUTT Nully H rt_ M Nl_aNt la _rn_rié[é sI_iuallte: _nur tout c7llti_r k_ku a_____z gruNd, il exi_st_ uNe _s_<'tioN H_ dL L_ Ox M et _(k)>O tels que IL_ diL7is_ur llE'_ z_r(l_)' dy GkH+_Hk ,snit irréductihl_ si ÉE_, OO, sa décompo_ition en diviseurs irréductibles. 11 est clá_r' qu`on peut trnuver une suite d'hypersurfaces irréductibles y,, l _l_N,, 2 á 2 distinctes, contenant la suite Zj (avec Y, =Z,, yÑ,=ZN) et ayant la propriété _uivante: p_ur tout indice l, l ±l O, il _xi__tL) uNy.fmT<.tioN l_olomorplIy N _*ur X _ér_iuNt (7.6) IH - ll emililly Si x est de dimension l, le corollaire 7._ signifie simplement Uue toutc mesure ±O sur X e_t limite faible de combinaisons liné'dire_ ±O de me5'ures de Dir'dc. _ x est non connexe de dimension n_2, il _u_t d'_ppliquer le théorème 7.1 á chaque composante connexe de X. D'aprés la propnsition b.6 et les remarUues qui précédent, on h d"dutre part le résulthl suiv'dnt. Corollaire 7.1n. Soit X llNe LNl_iýr_ rt_ SteiN l.oNNyxe cl_ dimyN_siul] l_±2. Alol.__ p"-'(X) =SPIT_-'(X) daN_s l_s <.a_s ,sui_aNt_: (7.9) l_ = 2; (7.10) X __st UN ouL'_rt borNé rfy QT" áfruNti_rE7 _'; (7.11) x _st uNe uNriété Algébriq[__ ?ffiNe. RemarVuy 7.11. Dans la situation du coroll'dire 6.5, choisissons TESP(T'(X), T&SPC_(X). Le corollaire 7.10 montre que Tlx, y est limite faible de courant_ d'intégr'dtion hv[Z,,] sur X\ y. 11 est facile de montrer que sur X\ Yle_ cycles algébriques sont denses dans les cycles analytiques. On peut donc choisir des courbes Zv dont les complétions ¸v sont des courbes algébriques de X. Wéanmoins, il n'est prds possible d'appr°ximer Tlx, y par une suite _v[Z,,] 'dvec un contrôle uniforme de la m'dsse des ñ,,[Zv] 'du voisinrdge de Y. En effet, si cela était vr_i, une sous-suite de h,,[¸v] convergerait vers T+7_[y], avec 7___, donc __=lim hv[¸v] -ñ[y] ser'dit d'dns sP__(x). v Bibliographie l. Bourbaki, N.: Espaces vecloriels topologiUues, chdp. l et 2, Paris: Hcrm_nn, |9b4 2. Demailly, J.-P.: Con_truction d'hy_ersurfaces irréductibles _vec lieu singulier dnllné dans OT". Ann. de L'ln_t. Fourier !O, (fasc. 3l 2|9-236 (|980l _. f¬ederer, N.: Geome_ric measure _heory, Band |5!. Rcrlin, Heidelberg, New Yol.k: Springer 1969 4. Grauert, H.: On Levi's prublem and the imbedding of re'dl _nalytic m_nifolds. Ann. of Mdth., 68, (n° 2) 46u-472 (|9s_) S. Harvey, R.: Holomorphic chains dnd their boul]daries. Prnceedings of Symp_si_ in purc M'dthemdlics of the Amer. Ma_h. Soc., held at Willidmsluwn, vol. 3_, Pdrt l, pp. _OV-?W2 (197?) b. H'drvey, R., Knapp, A.W.: Positive (_,_l forms, Wirtinger's inequdlity dnd _Llrrents. V_luc distribution theory. rar( A: Proc. TLll_ne Univ. Prugr_m on Vdlue Distribulinn Then_y in Complex Andlysis and Reldted Topics in Differential Geometry, |972-|97_; p_. 4!-62, New York: Dekker 1974 7. Lelong, P.: ln_égralion sur un ensemble analytique complexe. Bull. Soc. Math. f_ranLe 85, 239- 262 (|9s7) _. Lelong, P.: _onctions plurisousharmoniques et fnrme_ différenlielles pusitivcs. Wew Vork: Gordon _lnd Breach, p'dris: distribué par Dunod Editeur, 196R 9. Lelonp, _.: Eléments extrêmaux sur le cñnc des cuur_nts positifs fermés. Sémindil.e P. _elonS (Analyse), 12e hnnée, IY7l-|972, Lecture Notes in M_th., vnl. ?32. Berlin, HeidelberS, New Yo_k: SprinSer 1972 IO. Phelps, R.: Lectures on CIIoquet's theorcm. Plinceton, Wew .lersey: V'dn Nostrhnd, 19fi_ l l. Skod_, H.: _rolongement dcs cuur_nl_ positifs fermés de ma_se finie. lnvent. M_th. 6k, _61-?7(> (|9_2) Oblatum M'dy ls, IVR2