\input accents
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\footline{\hfill\rm  -- \folio\ --\hfill}

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% Usual sets of numbers  
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\def\bP{{\Bbb P}}
\def\bQ{{\Bbb Q}}
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\def\hexnbr#1{\ifnum#1<10 \number#1\else
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\def\qed{\phantom{$\quad$}\hfill$\square$\medskip}


{\sevenrm\baselineskip=8pt
Séminaire P.~LELONG, P.~DOLBEAULT, H.~SKODA\\
(Analyse)\\
24e année, 1983/84\vskip1.5cm}

\centerline{\hugebf Sur l'identité de Kodaira-Nakano}
\medskip
\centerline{\hugebf en géométrie hermitienne}
\bigskip

{\leftskip=9mm
par Jean-Pierre Demailly\vskip0pt
{\it Université de Grenoble I, Institut Fourier\\
Laboratoire de Mathématiques associé au C.N.R.S.\ n° 188\\
BP 74, F-38402 Saint-Martin d'Hères, France\bigskip}}


{\bf Résumé.} Nous démontrons une identité de Kodaira-Nakano généralisée,
reliant les laplaciens de Beltrami holomorphes et anti-holomorphes
d'un fibré vectoriel hermitíen au-dessus d'une variété complexe
hermitienne, avec calcul explicite des termes de torsion.
\bigskip

\centerline{\bf On the Kodaira-Nakano identity in hermitian geometry}
\medskip

{\bf Abstract.} We prove a generalized Kodaira-Nakano identity relating 
holomorphic and anti-holomorphic Laplace-Beltrami operators of a hermitian
vector bundle over a hermitian complex manifold, with explicit
computations of torsion terms.

\end


i o. - INTRODUCTION ET NOTATIONS.

5it E un fibré v_ctoriel halomorphe __ermitien de rang r
all-dess_s _'une variété anal_ique c_mplexe X de dimension n . On
dési_e par D ± D' +D" la coMexion canoniUue de E , et par
c(E) ± o' = D'D" + D"D' la forme de courbure ass_ciée. On s`hp_ose
donnée une métrique hermitienne
w .= i E _jkdz. n _¸k
l±i k<_ J
J l -
de classe c sur x . _e module bigradNé o+ B (X,E) des
p,q _lq
formes différentielles C_ '` `
a sNpport compact dans x et a valeurs
dans E s_ trouve alors _ouni du produit scalaire
(ulv) ± f {u,v)dV , dv = ± " ,
. X n! _'
o_ le produit scalaire p_nctuel {_,v) est défini à l'aide de w _t de
la métrique sur les fibres de E . On dési&_e par b' b" les adjoints
l _
(_ormels) de D' et D" opérant sur B (I_,E) , par L l'opérateur
. _ .
h = _),_u et par __ l'adjoint de L . On note enfin





.

-

- _ -

[A,B] ± AB - (-l)deghdeg_ BA
le c_ochet de l'algèbre de Iie gradNée des endomorphismes de B (x,_) ,
.
et
O' = [D ' , b'] , Orr = [a tr , b_|]
les opérateurs de Laplace-Beltrami holomorphe et anti-holomorphe. On
a alors l'identité classique suivante, attribNée à Bochner-Calabi-Ibdaira-
Nakano .

THEOREME. - _ _ est ká._léyienne (i.e. d_±o)
on a l'é alité :
Otl ± Or + [ic(E),n] .

Ies démonstrations usuelles de ceEte identité reposent sur la re-
lation de commNCaCion [__,D'] = ib" (voir aussi P. _riffiths [l] pour
Nne a_tre méthode). Oans le cas où _ n'est pas kählérieMe apparan
_ Nn terme de torsion s_pplémentaire que nous nous proposons d'ez_liciter
complètement. De telles formules avaient déjà été étudiées dans la
thèse de J. _e potier [2] et l'article de T. Ohsawa [3] pour déMontrey
des théorèmes d'aMulation de la cohomologie. Comme la thèse de
_e Potier n'est pas aisément accessible, noNs avons jugé utile de
yefaiye une partie des calculs en détail, par Nne méthode d'ailleurs
plus éléalentaire qui n'utilise pas les formes primitives et la décompo-
sition de _epage. Nous avons d'aNtre part poussé les calculs plus loin
de manière à simplifier l'écriture des opérateurs d'ordre un "parasites"
dus à la torsion dans l'identité de _bdaira-Nakano (cf. théorème 2.12).


|. - RELATIONS DE COMMUTATION .
si a ek un élément de l'algèbre e_érieure nHoma(Tx,ol)
on Aote encore a l'opérateur de multiplication ez_érieure u_ anu .
_e p_duit intérieur par á ert par définition l'opérateNr adjoint a" :

-


- -

(á_ u,v} ± {a"u,v) ± {u, anv} .
Nous allons démontrer les relations de commutation Mivantes.

THEOREMEl.l. - _ T _ (_,o) défini
_ c ± [__, d'_] . Alors :
(a) [ b", L] ± i(Dt +T)
(b) [ bt , L] ± -i(D"+_)
(c) [n , D"] ± - i(b'+TH)
(d) [n , D'] = i(b''+ TN) .
d'g_T_.

Les relations (c) et (d) résultent de (a) et (b) par adjonction.
Grâce au lemme ci-dessous, on peNt supposer en fait que E ert le
fibyé trivial Xx _ avec métrique constante, et que D ± d ± d'+d" .

LEMME_.2. - Pourtout xOEX,_
_(e),,hsr_E_xO_
h -
{e (z),e (z)} ± b + O(lzl '
h u hu ' _
relativement à un s stème de '°°'d°""ée' '°'a'e' ".'Lsjsn
J
centré en xO .

L¬n effet, si (h ) est un repère holomo_phe de E orthonormé
n
au point xO , et si
{h (z), h (z)} = b + E (c .z. + c' .¸.) + o(lzl' ,
h u hu j hUJ J hUJ J '
iL suffit de poser
e (z) = _ (z) - E c .z.h (z) . _
h h u,j hUJ ] u
Etant donné une section s ± Es _ e de c_
_ h h h p,q'x " °" a alors
DEs - Eds _ e + O(lzl) ,
h h
b_s ± E b"s _ e + O(lz |) , . . . ,
h n

|


- 4 -

ce qui ramène la preuve du théorème 1.1 au cas du fibré trivial
Xx_ .

_it maintenant (z.) . un système de coordonnées locales
J lsJsn
centré en un point xO Q X , tel que dz.(xO) soit une base orthonor-
J
mée de l'espace cotangent pour la métrique w(xO) . Posons
wO ± i _ dz. n d¸. ,
lsjs_ J J
w = a + v avec v ± O(lzl) .
o
Désignons par ( , }o , LO , no , bó , b_ le produit scalaire et
les opérateurs associés à la métrique wo , et soit dv = ± " . _es
o n!@O
relations de commutation de la géométrie kählérieMe dans ol" impli-
quent
[b_ , LO] = id' .
La démonstration des relations L.l (a-d) se fait maintenant grâce à un
déveloPFement limité des opérateurs L , __ , b' , b" en fonction de ces
mêmes opérateuys "figés'' au point xO .

LEMME 1.3. - _ u,v _ (p,q)-formes C _ x.
Alors
{u,v}dV = (u- [_,no]N,v}odv + O(_zl'
o )
au voisina e de xO .

Démonrtration. - _it
-
v ± i ? YjS.n5j l v ± v, s ... ± Vn
lsJsn ] l
une diagonalisation de la (_,l)-forme Y(z) dans Nne base (5j) de
T"X , orthonormée relativement à QO(z) . On a donc
z
_ = w +v ± iEh.S. n¨j
o J J
avec h. ± l + y. et _. ± o(lzl) . Posons
J J ]
J ± lj,7...ljp) 7 SJ = 5. n...n S. l hJ = nj,... h. ,
Jl Jp Jp
u ± 'uJ,K'J"_K ' v ± 'vJ_K'J"_K

- 5 -

où la somme est étendue aux multi. dices J,K c_oissants tels que
|Jl ± p , IKl ± q . _elativement à _ on a {Sj,Sj) ± h?' , d'où
J
{u,v}dV = E,h-' -'u, Kú, Kh,...n dvo
J hK , , n
± E l- E v.- E v. + E v. u, Kú, KdV + o(lzl' .
J,K jGJ J jçK ' lsjsn J 7 7 ° '

Le lemme 1.3 est alors conséqNence dN lemme suivant :

LEMME 1.4. -
L[_,no]u = E E v. + _ _. - _ ? v.`___ K5J"'K '
J,K jeJ J jEK J _sJsn ] l

lequel résulte à son tour des formules
nou ± i(-l)p E ujL jMSLn5M , IL_ ± p-l , IMl = q-l ,
j_WM
VnN ± i(-l)p E Vk_J K5kJ"¨kK '
__JUK ' _ _
[,,no]u ± SI VkujL jMgkLn_W - , _,UK VkuJ K'J"_K
j,k_LUM _ .= l
- . ' . VkujL jMSkL"¨kM
J,k_LUM,J_k

± E E vj - ,_ K_. u, K5,n5K . .
J,K jEJnK . U J ,

p_OPOSITION 1.5. - b" = b'r + [no,[b_,v] ] _ xO ,
o
i.e. en ce oint les deux o érateurs ont méme écritNre formelle.

Démonrtration. - D'après le lemme 1.3, b" coiñcide en xO
avec l'adjoint de d" pour la métrique
(ulv), = T {N- [v,__o] ulv}odvo .
x
PoNr tous u E B (I_ et v E B, q ,(x) on a par définition
_lq , -
(uld"v), = _ {u- [ v,no]u , d''v)OdVO
x
± l {b_u - b_([v,no]u),v)odvo .
x

- 6 -

Comme w et @o coiñcident au point xO et comme _(xO) ± o , on
obtient en ce po_lt :
b''u ± bÖu - b_([_,no]u) = b_u - [ b" , [_,no_ ]u ,
o
b" ± b_ - [ b_ , [v,no] ] .
On NtiLise maintenant l'identité de Jacobi
(l. 6) (-l)'a[A, [B, c] ] + (-_)ab[B, [C,A] ] + (-l)b'[c, [A,B] ] ± o ,
où a,b,c sont les degrés respectifs de A,B,C . Il vient
[no, bö] = [dtt, LO]H ± o ,
par suite
[ b_| , [,, no] ] + [no , [ b_ , v] ] ± o
o
ce qui démontre 1.5. .

Démonstration du théorème 1.1. - Il suffit de prouver (a), la
propriété (b) s'en dáduit par conjugaison. L'égalité L = L +v et la
o
p_position 1.5 entraªent au poÉnt xO la reLation
(l. T) [ L, btt] = [ LO, bö] + [ LO, [no, [ b_ , v] ] ] + [Y, b_ ] ,
car le crochet triple où Y fi&hre 2 fois ek nul en x . D'après
o
l'identité (L. 6) appliquée avec c = [ b_ ,_] on obtient
_[LO , [no, c]] = - [no , [_,LO]] - "7 "o'"o" '
(l. 8)
[c, LO] = [ LO , [ b_ ,v] ] ± [_, [ LO , b_]] .
Ia relation classique [I_O, b_] = - id' donne donc
(l. 9) [c, LO] ± - [_,id'] = idt_ ± idt_ .
D'autre pak, Le lemme t.q montre que
(l.lo) [LO ,._o]_ ± (p+q-n)u
si u est de bidegré (p,q) i comme c est de type (v,o) il vient



-
-

- 7 -

(l. ll) [c, [ LO ,no] 7 ± - c ± - [ bö ,v] .
O'après (l. 8), (_. 9), (l.l_) il en résNlte la relation
[ LO, [n , [ b_ ,v]] ] = - [no , idl_] + [ bö , v] .
o
On obtient en éfinitive d'après (_.7) l'égalité :
[ L, btr] ± [ LO , bö] - [no , id'_] ± - i(d'+T)
au point xO , ce qui achève la vérification de (a). o
|
|
|
par une méthode entièrement différente, J. Ie Potier [2l a étabLi
des formules analogNes et a obtenu la relation essentiellement équivalen-
te TH ± _[n, [n,d'_]_ , cf. lemme 2.2 (b).
2


z. - ID NTITE DE KODAIRA-NAKANO _
I_ relations de commutation du é t vont nous permettre d'ezpri-
mey o" en fonction de O' comme dans le cas kählérien, modulo des
teymes de torsion supplémentaires.
PROPO_TION 2. _. - O" = o' + [ic(_),n] + [D',T"] - [D",T"] .
_monrtyation. - L'égalité 1.1 (d) fournit b" ± -i[n,D'] - _H ,
d_où
O_| = [Dtl, b_t] = - i[Drl, [n, Dt]] - [D't, _H] .
L'identité de Jacobi entra_le d'autre part
[D", [n, D']] ± E__ , [ D' , D "] ] + [ D ' , [ D ", nl ]
= [n ,c(_)] + i[D' , b' +TN]
compte-tenu de _.l (c), ce qui démontre la relation (2.t). _

Nous allons a_aintenant transformer l'égalité (2. l) de manière à
absorber les opérateurs différentiels d'ordre un [D',c"] et [D",-"]
T
dans l'écriture de O' .

- - 8 -

LEMME 2.2. -
(a) [ L,T] ± 3d'_ ,
(b) [n,T] = - 2i_H .
_monstration. -
(a) Comme [L,d'_] ± o , l'identité de Jacobi entra_le
[L,T] ± [ _, [n ,dtw]] ± - [dt_ , [L,n]] = 3dt_
compte-tenu de (l. _o) et du degré de d'_ , qui est égal à 3 .
(b) On a T = - i[b", L] - D' grâce à t. l (a), d'où
[n, T_ = - i[__, [ b", L] ] - [n, Dt] ± - i([n, [ brr, L] ] + blT + _N) .
En utilisant de nouveau (_.6) et (_. _o) il vient
En, [ b", Il] ] ± - [ E, [n, b"] l - [ b", [ L, __] ]
± - [ [dtr, L] ,__]H - blT
= - ldtt_, __IN - blT = _H - blr ,
d'où [n,T] = - 2i_H . .

L_NIME 2.3. - .
(a) [D' , -N] ± - [Dt , b'r7 = [T, brT]
T ,
(b) - [Drt,__] = [T, b' + TN] + [__, [n , _ d'd"_] ] - [d'_, (d'w)H] .
Démonstration. - L'identité de Jacobi implique
- [Dl , [n , Dr] ] + [Dl , [Dt ,__] ] + [n, IDt, Dt]] = o ,
d'où [D' , [__,D']] ± o et de même [b'', [b", L]] = O .
L'égalité (a) résulte alors de 1.1 (a) et (d). Pour vérifier (b) on pak
de l'égalité TH ± _[n ,T] fournie par 2.2 (b). Il s'ensuit
(2. 4) [Dlt, _H] ± _ [Dlr, [n, T] ] .
On utilise maintenant l'identité de Jacobi à répétition :

.

- 9 -

(2. 5) [D", [n, T] ] = [._ , [T, D"] ] + [c, [D", n] ] ;
(2. 6) [T, D''] = [D", T] = [D", [n,d'_] ]
± [n, [d'_, D"] ] + [d'_, [D", n] ]
± [n,d"d'w] + [d'_ , A]
avec la notation _ = [D",n] ± i(b'+TH) . D'apyès (2.6) il vient
(2. 7) En , [T, Dlr] ] = [n, [n ,d"d'_] ] + [__ , [d'_, A] ] .
Calculons maintenant le dernier crochet dans (2.T) :
En , [dt_, A]] = [A, [n ,dl_]] - [dt_ , IA,n] l ,
(2.8) [n , ldl_ ,A]] ± [T,A] + [dl_ , [n, A] ] ;
(2. 9) [__ ,A] = _[n, bl+TH] = i[dl+T, L]H
où [d', L] = d'w et [T, _] = - 3d'_ d'après 2.2 (a). Ies égalités
(2. 9) et (2.8l fournissent donc respectivement
[n,A] = - 2i(d'(_)H ,
(2. _o) [n, [d'w , h] ] ± [E, [D", n] ] - 2i[d'w , (d'_)"] .
_es formNles (2.5), (2.7), (2.10) doMent par conséquent
(2. ll) [D", [n, T] ] ± [n, ln,d"d'_] ] + 2[T, [D", __] ] - 2i[d'w, Td'_)N] .
L'identité 2.3 (b) yésulte aloys de (2.4) et (2.1_), compte-tenu que
[Dtt,n] ± i(b'+TH) . .

Ie lemme 2.3 (b) montre maintenant que
ol + [Dr,TH] - [D'r,-H] = [D'+T , b'+TH] + [n, [n ,_ d'd"w]]
T
- [dtw , (dl_)H] .
Posons O' = [D' +T , b'+TH] . Comme b' +TH ert l'adjoint de
T
D' +T , O' est un opérateur autoadjoint ± o . La proposition 2.1
T
peNt donc se récrire

-


- IO -

TNEO_EME 2.12. - Or' ± o_ + [ic(_),n] + T
T _
avec O' = [D'+T , b'+TH] , T = [n,d'w] ,
- C
T ± [n, [n , _ d'd"_] ] - [d'w , (d'_)H] . .

Dans le cas où la métrique _ ert käNérieMe, on a naturelle-
ment T = T = o . De plus, dans ce cas le lemme 2.3 (a) ialplique
[D' b''] _ o , d'où [D", b'] = o par adjonction, ce qui doMe
O = [D, b] = [D'+D" , b'+btt] = Ol + Otl .
Dans le cas non kählérien, le lemme 2.3 (a) s'écrit [D'+T, b"] = o et
on obtient la relation analogue plus générale
[D+T , b+T"] = [ (Dr+T) +DrT , (bt+TH) + btT] = Or + Olr .
T
PROPOSITION 2.13. - _it o ± [D+T , b+TH] . hlors
c
O ± O' + D" . .
E T


3. - THEOREME DIEXISTENCE EN BIDEGRE (n,q) ,
Pour toute forme u E B (x,_) le théorème 2.12 implique la
p,q
généralisation suivante de l'inégalité de Nakano classique :
(3. L) __ bttu__' + __Dttu__' ± ([ ic(_) , __.] u lu) + ( T u _u) .
w
Dans certains cas, le terme (T u_u) pourra se simplifier
grâce a_x yeMarques suivantes :
(3. 2) 'i p ± " °u " - ' l ('d'_ l (d'w)"]u lu) ± _|(d'_)"ul_'
si (p,q) = (n, l) , [n, [n,d'd"w] ] = o .
On suppose maintenant que le fibré E est semi-positif au sens de
Nakano. On sait alors que l'endomorphisme [ic(E),nl opéyant sNr
les (n,q)-formes est hermitien z o . Soit h une (n,q)-forme à coef-
ficients mesurables sur X . On note
llh__' = { [ic (E), n] -' , ,
h h)
c(E)

- - 11 -


i.e. __hllc,E, est le plus petit réel ± o (éventuellement +_ ) tel q_e
_ {h,u) _ s II ___c,E,(lic(E),n]u,u} poNr tout u .

TNEOhEME 3.3. - _:
(3. q) D"h ± o ;
(3. 5) f llh__' dv < +_ ;
x c(E)
(3.6) lamétriue _ _ d'_ _w-boynée
c'est tou.ours le cas si x _) i
(3.T) d'd"w ± o _ q>l .
Alors il existe une (n,q-_)-forme f et une (n-2,q-_)-forme g
_ x àvaleursdans E _
(3. 8) F (|_ f__' |_ |_')dv s r __ hll' dv ,
+ g x c(E)
x
(3. 9) h ± D"f + p(d'@ng) ,
o` p _ L' (X,E)_KerDrr.
- n,q

Démonrtration. - L'hypothèse de complétude (3.6) montye que
l'inégalité (3.1) est vraie pour tout u ç _m(b" ) n _m(D" ) , grâce
n,q n,q
au lemme de densité classique de Hó.rmandey. Ecrivons aLors
u = u + u,
l
avec u E KeyD'' , N, E (Ker D" _ ; il vient
_ n,q n,q
_ (h lu) | ' s | (h _u ) | ' s |_h___ ([ic(E) , n]u, lu,) .
t (E)
_us l'hypothèse (3. T), le terme (T u IN,) se réduit à -__(d'_)H _|'
_ l _ u
L
par la remarque (3.2). Comme
Ker b'' > Im b" ± (KerD'| )'
n,q n,q+t n,_ '
l'inégalité (3. l) implique donc
([ic(_),n]u_ lu_) s llbrtu,__' + _ID'ru,__' + __(d'w)Hu,_|'
= __ btTu_|" + ||(dl_)HPu__' .

- 12 - -

_es conclusions (3.8) et (3. 9) résultent alors de l'utilisation du théorè-
me de Ham-Banach. .
_e résultat est en fait surtout intéressant si q ± l puisqu'aNcune
hypothèse du tyFe a'd"@ ± o n'est abrs nécessaire.


BIBLIOGRAPHIE .
[l] P. cKIrrITNs, The extension problem in complex analysis II.
Amer. J. of Math. , Úol. 88, Fp. 366-446 (1966).
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Thèse d'Etat à l'Université de Poitiers (France) 1974.
[3] T. ONSAWA. , Isomo_phism theorerns for cohomology gyoNps of
weakly _-complete manifolds.
Publ. R.I.M.S. ; Kyoto Univ. , Vol. _8, n°l, pp. 19_-23'
(_982).

---

INSTITUT rouRIER
Laboratoire de Mathématiques associé au C.N.R.S.
B.P. T4
38402 ST MARTIN D'NERES Cedex