'. _ lnstitut Fourier
Univers[té de Grenoble |



SUR LES TRANSFORMEES OE FOURIER OE
FONCTIONS C.ONTINUES ET LE THEOREME DE
DE LEEUW - KATZNELSON - KAHAWE
par Jean-Pierre DEMAILLY


Given any locally compact abelian g_up Ð and any functian
p E L'(Ð) , we p_ove the existence of a function f E _'(G)
continuous and vanishing at rtinlty such that |_| _ lpl a.e.
on Ð . .
o. wTRoDucrroN
L'objet de ce travaLl est d'étendre au cas d'un groupe lacale-
ment compact abélien G quelconUue le théorèDe suivant, da á
de Ieeuw - Katznelaon - Kahane [8] dans le cag d'un g_upe G compact:
THEOREME LKK. - Pourtoute fonct_an p E L'(Ð) , _
exi&e une fonctian f E L'(G) continue et tenda_k vera o
á l'rtini dont la transformée de Fourier vérifie |_| _ l_|
_Ð.
Nous résolvons le problème en doMant des majorations e_ll-
cites de f en normes L' _ . . . .
(G) et L (G) (cf th 2 l) On montrera
en particulier que la norme _' de f peut étre choisie arbitrairement
p_che de celle de p , au détriment de la majoratian L si le g_upe
G est compact, tandis qu'on peut choisir de plus __f__ arbltralrement
petite lorsque G n'est pas _mpact.

lnatltut Fourler - 8. P. _4 - 38402 Salnt-Martln-d'Héraa C8d6x
Laboratolre de MBtheme_lqua8 Purea gaaocla 6u CNRS - Té_ . (76) 57-46-00

- . - 2 -

La démonrtration suit la mé e démarche que celle de [8], aux
modifications techniques près impos'es par le cadre plus général dans
lequel nous nous pla_ns. Dans une première étape, nous étendons aux
g_upes bcalement compacts les inégalités classigues de #intchine telles
qu'elles sont e_osées par exemple dans Edwards [4], vol. 2, é 14.2.1
p. 215.
De façon précise, nous mont_ns qu'on peut multiplier une fonc-
tion p ç L'TÐ) par des constantes aléatoires de module l (variables
de qeinhaus) sur une pakition du sup_k de p , de _rte que _ vé_
rifie des estimationa en norme Lq(G) pour tout q _ 2 . Ce résultat
est obtenu par un raisoMement probabilike classique, essentielle_lent
contenu dans Zy&nund [13], th. (8.16T. _R reste de la preuve constrte
en un ar&_ment général de sommatjDn utilisé implicitement dans [8l et
formalisé par Hru¨_ev ; volr pour cela l'article de K_slia_v [9] qui dé-
montre une intéressante généralisation du théorème LKK aux algèbres
A(D") , n = 1,2 du disque et du bidisque.

On montre enfin que le théorème d_Orlicz [LO], paley [lll,
Sidon _12l sous sa forme habituelle aussi bien que danE la versian gé-
néraligée doMée par J.J.F. rournier [5] et J.P. Bertrandias [l] est
une conséquence de LKK . Nous obtenonE en pakiculier l'énancé sui-
vant relatif aux espaceg amalgamés (voir é 3 pour les déflnttioos), qul
contient oPs et améliore le théorème 3.3' de [5].

COROL_AIRE. - pour toute fonctian p E e'(L_(Ð)) , 11 e_ste
une fonction continue f ç c (G) _
c
_ L<Z _ |_|#OL_lpl.

C'ert un problème ouvert de savoir si on peut obtenir exactement
|_| _ _pl , voir [5] .

Notations. G dési_era un groupe localement coDpact abélien quel-
_nque, Ð son dual de pontrjagin, m et _ les mesures de Haar

- 3 -

respectives sur G et Ð , C(G) resp. CO(G),C (G)) l'espace des
c
Fonctions continues sur G (resp. nulles à l'rt_li, à suppok compact).
On supposera toujours m et _ normalisées de sorte que la formule
de Plancherel ait lieu, avec m(G) = l si G est compact.



l. REARRANGEMENT EN PHASE DES TRANSF_RMEES DE
FOURIER DANS L'(Z) .

_it p une fonction dans L'(Ð) . On va conrtruire une parti-
tion dénombrable du support de p puis, modifiant l'argument de p
par des constantes aléatoires de module l sur chaque sous-ensemble
de la partition, on montrera que _ vérifie en moyeMe des ekimations
dans Lq(G) , q E [2,+_[ .

La somrrlabilité de _pl' entrame que le support de p est
réunion dénombrable de compacts ; _pp p peut donc étre recouvek
par une suite (K.)j,a, de translatés d'un voisinage compact K de
J ^
l'élément neutre e G . On a alors une partition
RPPp = E.
jç_ J
avec EO ± Kon AtPPp , E. ± (K.n _ppp)\(KOU...UKj ,l , j_l .
n J J -
si G ert discret, on choisit les E. égaux aux différents points du
J
support de p (de sorte que Iñ(E.) ±l ), sinon pour tout E > o on
J
peut choisir K de mesure s E . On aura donc
_(E.) _ E , oj E _ ,
J
avec la co vention que E = l lorsque G ert compact. pour tout élé-
ment t ± t.) E (_/_)_ on considère le "réarrangement en phase"
p, E _' ^ ' / . .
(G) def_m par
p,(_) ± E p,,,,e2rritj
jE_ . '
o_ Pj(_) = p(_) si _ E E. , Pj(_) ± o si _ _ E. .
J J
|
|
|
|


|

- 4 - - -


THEOREME 1.1. - pour to t entier p_ l il exirte t E (_/_)_
tel ue
l__ ___ = fGl_,(x)|'pdx _ Fp-'p! __p___p .
t ,

p euve. - pour éviter les difficultés de convergence dans les
calculs q i suivent, on t,onque p, en posan, p,n = o_ pe2rritj
_ ._n j .
Appliquons alors la formule du p-nôme à l'égalité
_t,n'x' = ? _j(x)e'"i'j . Ceci doMe
OsJ_n
_t n'x)p = E ___ '"it. _
_, p. (x)e
' |_|=p
où la _mmation est étendue à l'ensemble des multi-indices
_ = (_.) ç _+' tels que |_| ± E _. ± p , avec les notatlons
J Osjsn J
_! = _Ol _ ! ..._ ! , __ = "_°....^a" , t._ = Et._. . Si dt ek la
l n . po pn J J
mesure de p_obabilité naturelle sur (_/_)_ on obtient pour chaque
x ç G fixé :

.'(_/P)_ '__ 'x"'d' = ' _|^_(x)_' .
_" |_|=p _!' p.

On intègre maintenant par rapport à x en utilisant le théorème de
nbini. O vient
(l) r _|__,,n_|'pdt ± E _ _^__|_ .
. (_/_) 'p _ _± 2 'p.
_ p _!
D'après la formule de Plancherel et l'inégalité de Young
_lf**g__, _ __f__, llg__, appliquée (p-l) fois on a
*+_O N_, **_
|_____ , = __p up . . . _+ p "__
. L (G) ° ' " L'(Ð)
_O _, _ -l
s __po__l __pl__l . . . |_p __ " __pn__, .
n l
L'_légalité de Cauchy-khwarz doMe d'autre part
__Pj__, _ m(E.)'llPj__, _ _ __Pj__, ,
J



|

- 5 -

dlo_ ____|__ p-l '_o 2_n
_ E __po__, . . . __pn ,

Majo_ns p'' p! . , . ,
_ par p! - dans l'Lnegallte (l). On obtient alors
_ !

. f ___, n____dt _ Ep-'pl E _ '_ .. '_
_ (_/p)_ ' . |__ p _! __po__ ° . __pn__, "
= 2

= Fp-'P! ( __po___ +...+__P ___ p .
)
Après passage á la limite quand n _ +_ ceci doMe
(2) F _ ___,__'pdt _ Ep-'p!__P___p ;
(_/P) 2p
l'ensemble des t E (_/a)_ tels que ___,__'p _ Ep-'p!_lp___p ert donc
2p
de p_babilité non nulle, ce qul achève la preuve du théorème 1.1. .

Il ert clair qu'on peut améliorer le résultat du théorème 1.1
de manière á obtenir un réarrangement p, E n Eq(G) .
qE[2,+_[
Il suffit pour cela de sommer les différentes inégalités (2) pour

p ± 1,2,... , après multiplication _ar ±_ , .
p! __p_|_p h < '

CORO_LAIRE 1.2. - _ pE L'(Ð) , p_o , _
_h<l_p,_
[h __,(x) |'
Te , -l dx s _ .
G E__p__, '-h

Choisissons en particulier n = _ . Il vient pour tout q E [2,+_[ :

Tl_,,x,lqdx _ l q u' -' - º-' _
- sup u ezP -l - E' A _p___
G ' u>° 2E__p___ q
avec A ± sup uq e_(_ - -' .
q u,O 2 ' '
Mais pour q _ 2 , on a q q
e_,u' u' _ u' '
_)-l _ exP(_)-L z (_)
q
d'où A s _ . On obtient donc le résultat suivant.
q

-

|
- 6 -

COROLWIRE 1.3. - pour out p E L'(Ð) il existe un réar-
_[__
±-l
_|_,__ _ E' ú___p__, , __ E [2,+_[ .
Lq(Ð)
Ia démonrtration du théorème LKK repose essentiellement sur
le théorè_le 1.1 et sur le lemme technique suivant qui en découle.

LEMME 1.4. - pour tovt p E _'(Ð) et tout entier p_2
_p,_
(a) ___t__2 = __p__2
(b) [r (__,(x) _ -_)' dx_' _ c _'-pl_P___ l __ _ ° _
c + p
aveG c = (Ep-'p,)_ TP-l)p-'
- p . pp
preuve. - L'égalité (a) provient de la for_lule de Plancherel.
D'autre part, si p, est la fonction doMée par le théorème 1.1, l'in-
tégrale de gauche dans l'inégalité (b) est majorée par
Ep-'ptl_p___p sup _ ,
uz_ u'p
et un calcul élémentaire donne
u-_ (p-l)p-' l-p .
'up_ = pp _ .
uz_ u


2. DEMONSTRATION DU THEOREME LKK .
Nous allons démontrer la version suivante du théorème, qui
donne des ertimations précises en normes L' et L_ .

THEOREME2.l. - _ M unréel _IT.__
p E L'(Ð) il existe une fonction f E L'(G) n CO(G) _

_- 7 -

(a) |__ _ lpl res ue art ut sur Ð ,
(b) |_f__, _ (l+_)llpl_, ,
M
(c) __f__ s (l+_)__p__, ,
ou bien res ectivealent au lieu de b et c :
(b') __f_ , _ l, 186 _lp__, ,
(c') |_f__ _ 3, 685 |_p__, .

L'idée d base pour la conkruction de f ert de partir de la
transformée de rourier inverse _ (x) = _,(-x) daMée par le théorème
t
1.1, de rétracter cette fonction su un disque _rné, de corriger par
addltlon d'une petite fonction dans L'(G) , et enfin d'itérer ces opéra-
tions de manière convergente.

Preuve. - Remarquons d'abord qu'il suffit de répondre á la
question avec f E L' _ . .
(G) n L (G) au lleu de f E CO(G) En effet,
quand p E L'(Ð) est donnée, il exirte p E L'(G) de norme l telle
que p ± W._ avec _ E L'(Ð) de norme arbitrairement voisine de celle
de p (lemme 2.3 ci-dessousT ; si on peut trouver f E L'(G) n L_
(G)
telle que __| _ lwl alors fNO E L'(G) n CO(G) (lemme 2.4) et
|_| = |_| __| z |*| |_| ± IPl . _es inégalités (b) et (c) restent
valables avec les mémes conrtantes, celles-ci n'étant pas optimales.

E_licitons maintenant le procédé de construction itératif de f ;
on supposera |_p__, ± l pour simplifier. si _ ert un réel > o , on
_ note r : _ _ llz_ ___ la rétraction définie par
(z) = z si lzl s _ , r (z) = _± si lz_ _ _ .
, _ _ lz |
|
_ient b. ,_j , 8. , j E _ trois suites positives sommables qui se_nt
, . , ' , . ' . . . 2,G,
preclsees ulterLeurement. On conkrult une sulte de fonctlons p; ç L
ayant les p_priétés suivantes :

R- 8 -

(3) si f. ± r,,O(gO) +...+ r (g. ,) + g. alors
J _j-l - J
__. | _ _pl [(l+bo)....(l+ bj ,)l -' ,
J -

(4) __ j __2 _ 8. ,
J
_5) _ITlgj_-_j +__, _ c _?-p_ (cf. lemme 1.4).
p J J

On pose go ± p, o_ p, ert la fonction doMée par le le_lme 1.4.
°" a d°"' _o ± ðo ± pt e` (')l (4)_ (5) sont vériftés si ao = __p__, = l .
R_pposons conkruit g. et soit h. = r,,O(gO) +...+ r,, (gj) . Abrs
J J j
__f.-h.__, ± __g.-r,, (gj)__, ± __ (lgj _-_j)+__, _ c _?-p_ .
J J J j p J J
On définit maintenant une fonction _ E L'(Ð) de manière á corriger
_. là o_ _. ne vérifie pas l'inégalité (3) à l'ordre j+L . A cet
J J
effet, on pose
(6) _(_) ± o si (cas favorable) |_.(_) | _ lp(_)| [(l+boT...(l+b.)]-'
J J
(7) _(_) ± 2lp(_) _ [ (l+ bo)...(l+ b.)] -' . .
slnon
J

Dans ce dernier cas, on a _
|_ (_) | < lp(_) | [ ,,+ bo, ,, b ,, -l lf.(g) |
j ... j l+ bj
d'après (3.T , ce qui entranle
J
o _(g) s _ |_.(_) -_.(_T | ,
j J J
_____, _ ___F.-h.__, s 2c b?' ?-p_ .
_ J J p J "J J
v
On pose alors gj+, ± , o_ _, ert la fonction associée á W par le
lemme 1.4. _ette fon ion satisfera les ertimations (4) et (5) á l'ordre
j+l si l'on définit la suite 8. par la relation de récurrence
J
(8) B ± 2c b-l l-paP
j +l p j '`j j .

Vérifions enfin l'itlégalité (3) pour fj+, ± h. + gj+, : par construction
J



|

-


- 9 -

_j+, ± _. ' _, et |_,_ = W , donc
J
|_+,(_) l = |_.(_) _ _ _p(_) | [(l+bo)...(l+ b.)l -'
J J
dans le cas favorable (6),
|_j+,(_) | _ _(_) - |_.(_) | > lp(_) | [ (l+ bo)...(l+ b.)] -'
J . J
dans le cas (7).

D'après (3) et (4) la suite f. converge dans L'(G) vers
_ J
f ± E r (gj) ; de plus f vérifie les inégalités
j=o _j
__f__2 _ _ a. , __f__ s _ _ . et
j±o J _ j=o J
|_| _ lpl _(l+b.) -' .
j=o J

Ceci démontre le théorème 2.1 avec les constantes
A ± _ a. ._(l+b.) au lieu de l+±
j±o J j=o ] M

B ± _ ,,j._(l+b.) au lieu de l+_ ,
j±o j±o J

les suites b. , _. , 8. étant liées par l'unique relation
J J J
(8) 8j+, ± 2c b?' ?-p a_ , ao ± L .
p J "J J

Il nous reste à précisér le choix des Mites b. , _. , 8. de manière
J J J
que celles-ci soient sommables. Dans ce but, on cherche à optimiser
la conrtante B par un calcul de variations. On observe que
bj dloù
l+ b. < e
J
(_ _ _
B < B ± E, _. . e_ b. .
j=o J j±o J
Rpposons d'abord la suite (8.) fixée, et faisons varier bk , n ,
J
k étant un indice doMé. _ elation (8) impose

dbk . d_k o ,and,s ue dB d"k _ ert donc
-+(p-l)- = . _ =db +- .
bk _k B k E_j
minimum si b ±±_ , ce qui entraAe _k± hbk où n ± Cte et
k p-l E_j



|

- 10 -



(9) _ b. = ± .
j±o J p-l

On obtient alors _ = ±e_(±) , et la relation de récurrence
8J +l 2C h'-pb-pBP .p-' p-l
. = . . lmplique
p J J -l l l .
ao ± l = (2C h'-p _-p_...-d bObp-' p-"' -j
p ) l ... bj-l _ .

Comme b. < l et 8. < l pour j assez grand, on voit que le pro-
J -j J -j
duit infini des _ converge nécessairement et que _ a une li-
J J
mite e E ]o,l] . ]la valeur minimale de h sera obtenue dans le cas
o_ lim_-j = l ; on aura alors
J l
_ l
(lo) (2c _'-p "-_ ± _ -' =_ bp-j
p ) (2c ) n . .
p j=o J

Fi_ns tous les éléments b. sauf bk et bk+, . par différentiation
J
(9) et (lo) doMent

db +dbk+,= o -_ ± -k_ -k-l _
k ' h p + p bk+l
bk

h sera donc minimal si b = ±bk ; compte-tenu de (9) et (lo) on
k+l p
obtient ,
l . -_
bk p_k-l ,,c ,_ -l _ p-_+l)p-' (P-l)'
= , h = = p .
p j±o
Il en résulte en définitive les valeurs suivantes :
p' ± __,
b - p-j-' ,, - nb h ± .2C p_ p-' - p-'
. - , . - . , , 8. - p ,
J J J p J

A±A =__(L+±)
p ,-__ j±l p'
l
(___ ,
B± _B , B = 2p!' p-' II l+_ .
p p p . j
J=l p

Un calcul numérique permet de vérifier que la conrtante B optimale
p
est obtenue pour p ± 11 et que B < 3,685 , A,, < 1,186 ; les
11



|

- 11 -

ertimations (b'), (c') du théorème 2.1. en résultent. D'autre part, on
peut montrer par des calculs élémentaires que nous n'e_licite_ns pas
(formule de qirling !) que
A =l+± +o`°_ B ±_ l+o(_)
p p p2 ' p e p '
avec les majorations effectives
A < l + ± pour p_l8 , B < l+_ pour pz35 .
p p p e
Ceci doMe les inégalités (b), (c) du théorème pour tout réel M _ 17 ,
en prenant p tel que p-l _ 2M <p . .

Iarsque G n'ert pas compact, choisissons p _ ± o_ _>O
ert doMé, et E assez petit (i.e. _B __ ). On obtie t abrs le
p
résultat suivanto

THEOREME 2.2. - _ G un ou e non com act. pour tout
p ç L'(Ð) et tout _ > o , il exike une fonction f E L'(G) n CO(G)
telle ue
(a) |_| _ lpl _ _ '
(b) __fl_, s (l+_l__p__, ,
(c) _l f__ _ _ llp__, .
' _

Nous all ns maintenant compléter la démonkration des théorè-
mes 2.1 et 2.2 en prouvant les deux lemmes invoqués au cours de
celle-ci.

LEMME 2.3. - pour toute fonction f E L'(G) _p
p = _E L'(Ð)l et tout E > o , il exirte une fonct_n g ç L'(G)
_. Wç L'(Ð)) etunefonction pE L'(G) _
f±g**p _p p= w_) _
(a) p _ o , __p__, = l
(b) __g__, s (l+E)__f__, _p __w'__, _ (l+E)__P_|,) .

' ` - 12 -


Il Mffit de démontrer les assertions relatives à p et W . D_ns
ce cas, on peut trouver une suite croissante de compacts K c Ð tels
n
que
RPPpc U K
nE_ "
et l IP(_) |'d_ _ 4-"El_pll_ , .
_n z l
K \Kn ,
n -
L'ensembl v = (xçG ; |_(x)-ll±E , _gEK _ ert un voisinage fermé
n n
de l'unité dans G . _it p une fonction continue _ o , d'intégrale l ,
n
de sup_rt c v . On a
n
|_n(g)-l = llGpn(x)_-l)dxl _ E si g E K ,
n
donc l_n(g)| _ l-E sur K . Définissons
n
- _ ,-n-l _ ~ -
p - p Np , avec pn(x) - pn(-x) .
n=O n n
Alors
= _ 2-"-'__pn___ =
__pll, l
n±O

et _ = 2-"-'|_nl' _ E 2-"-'(1-ET' = 2-p(1-E)' sur K .
n=O n_p p
po_ns enfin _ = p/ð sur SuPPp , W=o sur Ð\q_PPp ; il vient

f_|_(g)|'d_ __[_ IPl'd_+ E2pf lpl'd_]
` G (l-E)2 KO _zl . K \Kp ,
p -
__p___ -
_- (l+ É 2p ) ± ___Pll_ _
(l-E)' p_l '
(l-E)

dlo_ . ____|, _ _ __Pl_, ± (l+Fl)__p__, . .
l-E

LEMME 2.4. - _it f ç L'(G) n L_ '(G) .
_ (G) _ pE L
_ f#p E COTG) .

En effet p est limite dans L'(G) de la suite

pn = p.inf l,± E L'(G) n L_(G) c L'(G) .
| p |



|

- 13 -

Comme f E L'(G) on a donc fNpn E CO(G) , et
__f# p - fN p __ ± __f__ __p- pn __, _ o . .
n _ _
Une conséquence immédiate du théorème LKK ert le th_rème
d'Orlicz-paley-Sidon [lo, 11, 12] ci-dessous.

COROL_AIRE 2.5. - _ _ une fonctíon mesurable wr Ð
_ __çL'(Ð) _ fEL'(G)nco(G)._
_ ç L'(Ð) .

_e théorème oPs apparan en fait nettement plus faible que
LKK , puisqu'il n'e_rime qu'une propriété de "denslté" de
(L'(G)nco(G))" dans L'(Ð) , à savoir que ces espaces ont mémes
multiplicateurs á valeurs dans L'(Ð) .


3. TRANSFORMEES DE FOURIER DE FONCTIONS CONTINUES
A SUPPORT COMPACT.
_es résultats précédents permettent également d'étudier les
/_
multiplicateurs ponctuels de l'espace ) des transformées de
Fourier de fonctions continues á Mppo mpact, dans L'(Ð) ou dans
_TÐ) (e_pace des mesures _rnées sur Ð ).

A cet effet, rappelons d'abord la définition des espaces amal-
gamés ep(LqlG)) et ep(M(G)) , ci. [2] et [Tl. bit E un voisilage
compact de l'élément neutre de G et f une fonction meMrable sur
G . On pose
l
__f__ = T |_ Ox+Ef__p dx si p < _ ,
ep(Lq) G Lq(G)
__'__ = 'up __ °x+E'__Lq,Ð, l
e_(Lq) xEG

_ - 14 -

o_ OA désigne la fonction caractérirtique d'une partie A de G .
m u ert une mesure sur _ , on définit de manière analo&_e
±
__ull = T __ °x+Eull_b,G,drt
ep(M) G
On vérifie aisément que les normes aiIlsi obtenueE ne dépendent pas a
équivalence près du voisiIlage E choisi.

La transformation de Fourier _ouit de propriétés naturelleE via -
á-vig de ces espaces (voir J.P. Bertrandias - C. _puls [3]) ; en par-
ticulier, elle envoie e'(L'(G)) dans e'(L_ _ . ' _
(G)) Ee theoreme LKK
permet d'établlr inversement que l'image de ce morphisme dans
e2 _ ^
(L (G)) est "assez grosse".

THEOREME3.l. - _ K _
videdans G._ LcÐ etune_ns-
tante c>o a ant la ro riété auivante : our toute fonctiDn
'(L_ _
pEe (G))_fECK(G)_
okdans K _
(a) |_ | # OL _ lpl ,
(b) __fl_ _ cl_P__ 2,L_, .
_ e

Ainsi |_| majore lpl en moyeMe sur les translatés d'un
compact. w notre coMaissance, c'est un problème ouvert de savoir
s'il existe f E c (G) telle que |_| _ lpl en tout point de Ð , cf.
c
J.J. F. Fournier 5_ , th. 3.3'.

Dé_lonstra ion. - Il n'est pas rertrictif de supposer que K est
un voisinage compact de l'élément neutre de G .

ª±º--__±º_ºªº. On va d'abord réduire le problème au cas où le
groupe G est engendré par _ .

- 15 -

_it en effet u le sous-groupe ouvert de c engendré par _.
si u' est l'ortha_nal de u dans Ð , le dual de u peut s'identi-
fier à û _ Ð/u' , et la transformée de Fourier de tout élément
f E L'(G) á support dans u est conrtante sur les clasges modulo U' .
par ailleurs G/U ert discret, donc U'L _ est compact. Rem-
pla_ns alors p par
_(_) = suplpl(_+U'
) l
il est clair que _ f e' _(Ð/u')) et on voit qu'il suffit de démontrer
(L
le théorème pour le groupe u à la place de G .

ªº__ __º _tºªº±
On supposera donc que _ engendre le groupe Ð . Dans ce cas,
on montre que le théorème 3.1 se ramène au théorème LKK appliqué
á un groupe-quotient compact de Ð . Ie théorème de rtructure _ur
les groupes localement compacts abéliens (Hewitt and Rosg [6_, vol. I,
th. (9.3) p. 86) implique l'exikence d'un sous-groupe discret de type fini
Dc G tel que D+_ = G , en pakiculier G/D est compact. L'ort_-
_nal D' ert un sous-groupe discret de _ á quotient compact, D'
admet donc un domaine fondamental E relativement compact dans Ð .
pour tout b E D' posons W(b) = sup IPl . Alors W E e'(D_) et
b+L¬
|_W__ ,,D_ ~ __P__ ,,L_ _ . D'après le théorème LKK appliqué aux
e ) e (G)_
g_upes duaux G/D et D' il exirte une fonct_n g ç C(G/D) telle
l
que
_ð(b)| z _(b) pour tou b E D_ .
Dans la suite g sera identifiée à une fonction continue sur G , pér_-
dique modulo D .

_-ª_____º-_±±ª±.: conkruction de f _ g .
Comme D+_ ± G , il exirte une fonction u E CK(G) dont
les translatées modulo D constituent une pakition de l'unité sur G ,
i. e.

` - 16 -

(ll) E u(x+y) = l pour tout y E G .
xED
bit a E c (Ð) , __a__ = l , une fonction dont la transformée de
C _
Fourier inv rse é ne s'aMule pas Mr K . Posons alors
(12) f = _ au voisinage de K , f=o sur G\K .
Compte-tenu de (ll) et (12), on obtient pour tout b E D' :
_N a(b) = f^_(g)a(b-_)d_ = _ f(x)'(x)_dx
G G
= f g(x)u(x)_dx = f g(_)_d_ = ð(b) .
G G/D
Il s'ensuit par construction de g (cf. deuxième étape) :
sup IPl = W(b) _ lð(b) | _ |_ | N _ al(b) .
b+E
Ceci entrame lpl _ |_|**OL dès lors que L _ E + _pp 8 , et le
théorème 3.1 est démontré. .

Nous pouvons alors redémontrer le théorème d'Orlicz-paley- Sidon
dans la version généralisée obtenue indépendamment par J.J. F. F`ournier
[5] et J.P. Bertrandias El].

COROLLAIRE3.2. - _ K _
nonvidedans G _ _ _
_ Ð _ __EL'(Ð) _. W_EMb(Ð)) _
_ f E CK(G) . Alors _ ç e'(L'(Ð)) _. _ E e2(M(Ð))).

Démonrtration. - I_ théorème du graphe fer_lé entrame l'exis-
tence d'une constante C > o telle que
llw___ ^ s C__f__L_ , _f E CK(G) .
L'(G) (G)
Etant doMé _ E Ð , il vient, après substitution de f_ á f :
f^ _ _(_) | |_(_-_) ld_ _ c_lf__ _,,,, .
' C L `

_- 17 -

_ltég_ons ma_ltenant cette inégalité lorsque -_ décrit une partie
compacte L_ Ð ; on obtient
f^|_(g)| |_| #°L(_)d_ _ '_'`""'`L_G) .
' G
_e théor`ale 3.1 entra_le alors que f^.lw(_)| lp(_)ld_ < +_ pour tout
p E e' _ . ' ' '(L'(Ð)) . Méme démons-
(L (G)) , et par duallte on a donc W E e
tration dans le cas o_ f ert une mesure. .




BIBLIOGR_PHIE

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(juillet 84)
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