\documentclass[a4paper,12pt]{article} \usepackage{latexsym} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{graphicx} \usepackage{wrapfig} \pagestyle{plain} \usepackage{fancybox} \usepackage{bm} %\setlength{\parindent}{0em} \begin{document} Inventiones Math. 48, 293-302 (1978) \begin{flushright} ($\iota_{J}^{\neg}\sim^{J}$ by Springer-Verlag 1978 \end{flushright} Un exemple de fibre holomorphe non de Stein a fibre $\mathrm{C}^{2}$ ayant pour base le disque ou le plan Jean-Pierre Demailly Ecole Normale $\mathrm{Sup}_{érieure}$, 45 rue d'Ulm, F-75230 Paris Cedex 05 France, et $\mathrm{L}.\mathrm{A}$. au C.N.R.S. $\mathrm{n}^{\mathrm{o}}213_{\backslash }$ Université de Paris Vl. $\mathrm{D}é\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$ de $\mathrm{Math}_{ématique}$ Introduction Dans le présent travail, nous construisons un fibré holomorphe non de Stein au dessus d'un ouvert connexe non vide quelconque de $\mathrm{C}$, ayant pour fibre $\mathrm{C}^{2}$, et dont les automorphismes de transition sont de type exponentiel. La premiare reponse négative au probleme posé en 1953 par J.-P. Serre [4] de savoir si un espace fibré à base et à fibre de Stein est lui-même de Stein, a été donnee recemment par H. Skoda dans [5] et [6], ou le lecteur trouvera une bibliographie complete sur le sujet. Dans le contre-exemple de H. Skoda, la base est un ouvert multiplement connexe, et les automorphismes de transition sont localement constants et a croissance exponentielle. En reponse a une question soulevee par H. Skoda, nous avons donne dans [1] un contre-exemple ou la base est une couronne, ou les automorphismes de transition sont polynomiaux, et nous avons montre qu'alors le groupe de Dolbeault $H^{0,1}$ de l'espace total du fibré est muni de la topologie grossiere, L'outil principal pour la construction de tels fibrés est une inégalité due a P. Lelong [3], qui permet de contrôler precisement la croissance des fonctions plurisousharmoniques sur les fibres. On prouve 1C1, par un calcul d'enveloppe pseudo-convexe utilisant le principe du disque, que les fonctions plurisoushar- moniques continues sont constantes sur certaines fibres particulibres, achevant ainsi la construction du fibré. On montre de plus (cf. la remarque 3) que les fonctions holomorphes du fibré sont triviales, c'est-à-dire constantes sur toutes les fibres. 1. L'inegalite de P. Lelong Nous nous contenterons $\mathrm{d}' é\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{r}$ le $\mathrm{r}é\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}$, et renvoyons le lecteur a [3], \S 1, [3] p. 193 th. 6.5.2 et p. 194, th. 6.5.4, ou [6], \S 9, pour un exposé complet. Soient $\Omega$ une variété analytique {\it connexe} de dimension $p,\ V$ une fonction plurisousharmonique sur $\Omega \mathrm{x} \mathrm{C}^{n},\ \omega$ un ouvert relativement compact de $\Omega$. \begin{flushright} 0020-9910/78/0048/0293/\$ 02.00 \vspace{1em} \end{flushright} 294 J.-P. Demailly On mesure la croissance de $V$ sur les fibres en posant $M(V, \omega, r)=\mathrm{upx}\in\omega^{\frac{\mathrm{s}}{}},|z| \leqq rV(x, z)$, ou $r\geqq 0$ et $|z| =\displaystyle \sup|z_{j}|$. \[ 1\leqq j\leqq n \] $\mathrm{D}' \mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{r}é\mathrm{S}$ P. Lelong [3], $M(V, \omega, r)$ est une fonction convexe croissante de ${\rm Log} r$, strictement croissante pour $r$ assez grand si $V$ est non constante sur au moins une fibre au dessus de $\omega$. Lemme. {\it Si} $\Omega$ {\it est un ouvert de} $\mathrm{C}^{p},\ \omega_{1}\subset\omega_{2}\subset\omega_{3}$ {\it trois polydisques concentriques de} {\it rayons} $\rho_{1}<\rho_{2}<\rho_{3}$, {\it relativement compacts dans} $\Omega$, {\it et} $V$ {\it une fonction plurisoushar}- {\it monique sur} $\Omega\times \mathrm{C}^{n}$, {\it alors} $M(V, \omega_{2}, r)\leqq M(V, \omega_{1}, r^{\sigma})+\mu[M(V, \omega_{3},1) -M(V, \omega_{1}, r^{\sigma})]$, (1) {\it avec} $\displaystyle \sigma=\frac{{\rm Log}\rho_{3}/\rho_{1}}{{\rm Log}\rho_{3}/\rho_{2}},\ \mu=1 -\displaystyle \frac{1}{\sigma}=\frac{{\rm Log}\rho_{2}/\rho_{1}}{{\rm Log}\rho_{3}/\rho_{1}}$. (2) Corollaire (inegalite de P. Lelong). {\it Soient} $\Omega$ {\it une variété analytique connexe de} {\it dimension} $\mathrm{P},\ V$ {\it une function plurisousharmonique sur} $\Omega\times \mathrm{C}^{n}$ {\it non constante sur au} {\it moins une fibre, et} $\omega_{1},\ \omega_{2}$ {\it deux ouverts relativement compacts de Q}. $II$ {\it existe une} {\it constante} $\sigma>1$ {\it ne dependant que de} $\omega_{1},\ \omega_{2},\ \Omega$, {\it et une constante} $ R\rangle \mathrm{O}$ {\it dependant en} {\it outre de} $V$ {\it telles que} $M(V, \omega_{2}, r)\leqq M(V, \omega_{1}, r^{\sigma})$ {\it pour} $r\geqq R$. (3) 2. Construction du fibré $X$ La base du fibré sera un ouvert connexe non vide $\Omega$ de C. Nous nous $\mathrm{int}é\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}$ surtout au cas où $\Omega$ est un disque ou le plan, car si $\Omega$ n'est pas simplement connexe, on peut donner une construction plus simple avec des automorphismes polynomiaux localement constants (cf. [1] \S 2, 3). Soient $a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\ a_{4},\ a_{5},\ a_{é}$, six points distincts de $\Omega$, et posons $\Omega_{0}=\Omega-\{a_{1}, a_{2},a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{é}\}$, $\Omega_{k}=\Omega_{0}\cup\{a_{k}\},\ 1\leqq k\leqq é$. On definit un fibre' $X$ a fibre $\mathrm{C}^{2}$ au dessus de $\Omega$ par les cartes locales trivialisantes $\tau_{k}$ : $X|_{\Omega_{k}}\rightarrow\Omega_{k}\mathrm{x} \mathrm{C}^{2}$ au dessus de $\Omega_{k},\ 0\leqq k\leqq é$, avec les automorphismes de transition $\tau_{kl}=\tau_{k}\circ\tau_{l}^{-1}.\Omega_{\mathrm{O}}\mathrm{x} \mathrm{C}^{2}\rightarrow\Omega_{\mathrm{O}}\mathrm{x} \mathrm{C}^{2}$, (si $k\neq l,\ \Omega_{k}\mathrm{n}\Omega_{l}=\Omega_{0}$) definis par: \vspace{1em} Un exemple de fibré holomorphe non de Stein 295 $\tau_{kl}=\tau_{0k}^{-1}\circ\tau_{01}$ pour tous $k,\ l =1,\ \ldots$, é, $\tau_{0k}(x, z)=(x, w),\ x\in\Omega_{0},\ z=(z_{1}, z_{2}),\ w =(\mathrm{tt}_{\mathfrak{j}}^{\prime}, \iota v_{2})$, ou $w_{1}=z_{1},\ w_{2}=z_{2}\exp(z_{1}j^{k-1}\varphi(x))$, si $k=1,2,3$, $w_{1}=z_{1}\exp(z_{2}i^{k-4}\varphi(x)),\ w_{2}=z_{2}$, si $k=4,5,é$, avec $z_{1},\ z_{2},\ w_{1},\ w_{2}\in \mathrm{C},\ j=-\displaystyle \frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$, et $\displaystyle \varphi(\mathrm{x})=\exp(\sum_{\mathrm{I}\leqq k\leqq é}\frac{\beta_{k}}{x-a_{k}})$, $/\mathit{1}_{k},\ k=1,\ \ldots$, é, $é\mathrm{tant}$ un nombre complexe non nul. {\it Remarque 1}. Pour definir $X$, la carte $\Omega_{0}\times \mathrm{C}^{2}$ est en principe superflue, mais sa $\mathrm{consid}é\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$ introduit des automorphismes $\tau_{0k}$ plus simples que les automor- phismes $\tau_{kl},\ k,\ l\neq 0$. 3. Restrictions sur la croissance d'une fonction plurisousharmonique non constante sur une fibre $\{a_{k}\}\mathrm{x} \mathrm{C}^{2}$ Soit $V$ une fonction plurisousharmonique {\it continue} sur $X$, representee dans la carte $\Omega_{k}\rangle\langle \mathrm{C}^{2}$ par la fonction du meme type $V_{k}=V\circ\tau_{k}^{-\mathrm{I}}$. On a dans sur $\Omega_{0}\mathrm{x} \mathrm{C}^{2}$ $V_{k}\circ\tau_{kl}=V_{\downarrow},\ k,\ l =0,\ \ldots$, é. L'idee est la suivante: la croissance de $V_{k}=V_{0}\circ\tau_{0l\mathrm{t}}$ au dessus d'un ouvert $\omega_{0}$ relativement compact dans $\Omega_{0}$ est comparable a la croissance de $V_{k}$ au dessus d'un petit disque voisin de $a_{k}$ (inegalite de P. Lelong). Ce petit disque peut être choisi de sorte que $\varphi \mathrm{y}$ prenne des valeurs trè $\mathrm{s}$ petites, et que $\tau_{0k}\mathrm{y}$ soit proche de l'application identique. Revenant a l'ouvert initial $\omega_{0}$, on voit que le croissance de $V_{k}$ va etre contrôlée par celle de $V_{0}$, comme l'exprime de faqon précise la proposition ci-dessous. Proposition. {\it Soient} $\omega_{0}$ {\it un ouvert relativement compact dans} $\Omega_{0},\ V$ {\it une fonction} {\it plurisousharmonique continue sur X. Si pour un certain} $k=1$, ..., {\it ou} é, $V_{k}=V\circ\tau_{k}^{-1}$ {\it est non constante sur la fibre} $\{a_{k}\}\rangle\langle \mathrm{C}^{2}$, {\it il existe une constante} $R>1$ {\it telle que pour} $r\geqq R$ {\it on air}: $M(V_{0}\circ\tau_{0k}, \omega_{0}, r)\leqq M(V_{0}, \omega_{0}, \exp({\rm Log}^{4}r))$. {\it Démonstrati} $()n$. Designons par $\omega(a, \rho)$ le disque ouvert de centre {\it act}, et de rayon $\rho>0$. \vspace{1em} 29é J.-P. Demailly Soit $b$ un point de $\Omega_{0}$ tel que $\displaystyle \frac{\beta_{k}}{b-a_{k}}$ soit réel négatif, et assez voisin de $a_{k}$ pour que le disque $\omega(b,4\rho),\ \rho=|b-a_{k}|$, soit contenu et relativement compact dans $\Omega_{k}$. Nous poserons: $b, =a_{k}+t(b-a_{k}),\ \displaystyle \rho_{t}=\frac{1}{2}\rho\ddagger$, avec $01$ et $\omega(b_{t}, 3\rho)\subset\omega(b,4\rho)$, $M(V_{k}, \omega(b_{t}, 2\rho), r)\leqq M(V_{k}, \omega(b,,\rho_{\mathrm{r}}), r^{C_{2}{\rm Log}^{\underline{1}}}')$ $+\mu_{t}[M(V_{k}, \omega(b, 4\rho), 1) -M(V_{k},\omega(b,,\rho_{t}), r)]$. (é) $V_{k} é\mathrm{tant}$ non constante par hypothese sur la fibre $\{a_{k}\}\mathrm{x} \displaystyle \mathrm{C}^{2},\sup_{|z|\leqq r}V_{k}(a_{k}, z)$ tend vers $\infty$ quand $r$ tend vers $\infty$. $é\mathrm{tant}$ a la continuité de $V_{k}$, il existe pour tout nombre $A$ une constante $r_{A}$ et un voisinage $U_{A}$ de $a_{k}$ tels que $\displaystyle \sup_{|z|\leqq r_{A}}V_{k}(x, z)\geqq A$ pour tout $\mathrm{x}\in U_{A}$. (7) Prenons $A=M(V_{k},\omega(b,4\rho), 1)$. Pour $0C_{2}/C_{5}$ et $r\geqq R_{3}$ assez grand: $\displaystyle \frac{1}{t}\geqq C_{é}{\rm Log} r\cdot{\rm Log}{\rm Log} r$ (12) Avec le choix (10) de $t$, l'image par $\tau_{0k}$ du polydisque $|z| \leqq r^{C_{2}{\rm Log}\frac{1}{t}}$ est incluse dans le polydisque $|w| \leqq er^{C_{2}{\rm Log}^{\underline{1}}}$' . On a donc d'apres (9) et (12) $M(V_{k}, \omega_{0}, r)\leqq M(V_{0}\circ\tau_{0k},\omega(b_{t}, \rho_{\mathrm{r}}), r^{C_{2}{\rm Log}\frac{1}{t}})$ , $M(V_{k}, \omega_{0}, r)\leqq M(V_{0}, \omega(b_{t}, \rho_{t}), er^{C_{2}{\rm Log}\frac{1}{t}})$, $M(V_{k}, \omega_{0}, r)\leqq M(V_{0}, \omega(b_{\mathrm{r}}, \rho_{t}), r^{C_{7}{\rm Log}{\rm Log} r})$ (13) \vspace{1em} 298 J-P. Demailly en prenant $C_{é}{\rm Log} r{\rm Log}{\rm Log} r\displaystyle \leqq\frac{1}{t}\leqq\frac{3}{2}C_{é}{\rm Log} r\cdot{\rm Log}{\rm Log} r$ $r\displaystyle \geqq R_{4}=\sup(R_{2},R_{3})$. (14) Il nous reste à revenir du disque $\omega(b_{t}, \rho_{t})$ a l'ouvert $\omega_{0}$. Considerons à cet effet une suite de disques concentriques $\omega_{1}^{n}\subset\omega_{2}^{n}\subset\omega_{3}^{n}$ de centre $b_{r_{n}}$, de rayons $\displaystyle \frac{1}{4}\rho t_{n},\frac{1}{2}\rho t_{n},\ \displaystyle \frac{3}{4}\rho t_{n}$ (cf. (4)). La condition $\omega_{1}^{n}\subset\omega_{2}^{n-1}$ equivaut à $t_{n}\displaystyle \geqq\frac{2}{3}t_{n-1},\ t_{n}\displaystyle \leqq\frac{é}{5}t_{n-1}$ par un calcul facile. Nous prendrons $t_{n}=\displaystyle \frac{2}{3}t_{n-1}=(\frac{2}{3})^{n}$. Pour $n=n(r)$ de'terminé de fagon unique, on a $C_{é}{\rm Log} r.\ {\rm Log}{\rm Log} r\displaystyle \leqq\frac{1}{t_{n}}<\frac{3}{2}C_{é}{\rm Log} r\cdot{\rm Log}{\rm Log} r$, et d'apres (13), (14) il vient pour $r\geqq R_{4}$ $M(V_{k}, \omega_{0}, r)\leqq M(V_{0}, \omega_{2}^{n(r)}, r^{C_{7}\mathrm{LogLog}\prime})$ (15) (Noter que $\omega_{2}^{n}=\omega(b_{1_{n}}, \rho_{\iota_{n}}).$) $\mathrm{D}' \mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{r}é\mathrm{S}$ le lemme, formules (1) et (2), on a pour $r\geqq 1$ et pour tout entier $n$ $M(V_{0}, \omega_{2}^{n}, r)\leqq M(V_{0}, \omega;, r^{\sigma})+\mu[M(V_{0}, \omega_{3}^{n},1) -M(V_{0}, \omega \mathrm{j}, r)]$, (14) avec $\displaystyle \sigma=\frac{{\rm Log} 3}{{\rm Log} 3/2},\ \displaystyle \mu=\frac{{\rm Log} 2}{{\rm Log} 3}$ . Or $M(V_{0}, \omega_{3}^{n},1)=M(\nabla_{k}\circ\tau_{0k}^{1}, \omega_{3}^{n},1)$ \[ \leqq M(V_{k}, \omega_{3}^{n}, C_{8}) \] \begin{center} $\leqq M(V_{k}, \omega(b, 3\rho), C_{8})$, (17) \end{center} avec $C_{8}= x\displaystyle \epsilon\omega\{b,3\rho\},\mathrm{e}\frac{\beta_{k}}{\mathrm{x}-a_{\mathrm{k}}},<0\sup_{|z|_{\frac{\leq}{\mathrm{R}}}1},|\tau_{0k}^{1}(x, z)|$, et compte tenu de l'inclusion $\omega_{3}^{n}\subset\omega(b, 3\rho)$ (cf. (11) ainsi que la $\mathrm{d}é\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$ de $\tau_{0k}$ au paragraphe 2). Choisissons maintenant pour $A=M(V_{k}, \omega(b, 3\rho), C_{8})$ une constante $r_{A}$ et un voisinage $U_{A}$ tels que la condition (7) soit satisfaite. On a pour $r\geqq 1$ $M(V_{\mathrm{O}}, \omega:, r)=M(V_{k}\circ\tau_{0k}^{-1}, \omega_{1}^{n}, r)\geqq M(V_{k},\omega;, C_{9}{\rm Log} r$\}, (18) où $C_{9}$ est une constante positive assez petite, En effet pour $x\in\omega_{1}^{n}$ , on a a la lois {\it xcco}({\it b}, $ 4\rho$) et ${\rm Re}\displaystyle \frac{\beta_{k}}{x-a_{k}}\leqq 0$, ce qui entraine $|\varphi(x)|\leqq C_{4}$ grâce a(11). Darts ces conditions, si $|z|\leqq C_{9}{\rm Log} r$, l'image $w=\tau_{0k}(x, z)$ \vspace{1em} Un exemple de fibré holomorphe non de Stein 299 $\mathrm{V}é\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{e}$ $|w| \displaystyle \leqq\sup(C_{9}{\rm Log} r, C_{9}{\rm Log} r\exp(C_{4}C_{9}{\rm Log} r))$, d'ou $|w| \leqq r$ si $C_{9}$ est assez petit. Si $n$ est plus grand qu'un certain entier $n_{0},\ \omega_{1}^{n}$ rencontre $U_{A}$, et d'apras (7) on a $M(V_{k}, \omega_{1}^{n}, C_{9}{\rm Log} r)\geqq A$ pour $C_{9}{\rm Log} r\geqq r_{A}$. (19) En prenant $n\geqq n_{0},\ r\geqq\exp(r_{A}/C_{9})$, (1é), (7), (18), (19) donnent $M(V_{0}, \omega_{2}^{n}, r)\leqq M(V_{0}, \omega_{1}^{n}, r^{\sigma})\leqq M(V_{0}, \omega_{2}^{n-1}, r^{\sigma})$, puisque $\omega_{1}^{n}\subset\omega_{2}^{n-1}$. De proche en proche on obtient $M$ ( $V_{0},\ \omega_{2}^{n}$ , r) $\leqq M(V_{0}, co_{2}^{n_{\zeta)}}, r^{\sigma^{n-}}'')$, (20) avec \begin{center} $n\geqq n_{0},\ r\displaystyle \geqq\exp(\frac{r_{A}}{C_{9}})$. \end{center} Darts l'ouvert connexe $\Omega_{\mathrm{O}}$, (3) implique pour $r\geqq R_{5}$ $M(V_{0}, \omega_{2}^{n_{0}}, r)\leqq M(V_{0}, \omega_{0}, r^{\mathrm{C}_{1(\rangle}})$. (21) Enfin (15), (20), (21) fournissent $M(V_{k}, \omega_{0}, r)\leqq M(V_{0}, \omega_{0}, r^{C_{7}C_{10}\sigma^{\mathfrak{n}(r)-{\rm Log}{\rm Log}_{\Gamma}}}'')$, (22) pour $r\displaystyle \geqq R_{é}=\sup(R_{4}, R_{5}, \exp(r_{A}/C_{9}))$. Mais $\displaystyle \sigma=\frac{{\rm Log} 3}{{\rm Log} 3/2}= \left(\begin{array}{l} 3\alpha\\ -2 \end{array}\right)$ avec $\mathrm{a}=2,458\ldots<3$, d'ou $\displaystyle \sigma^{n1r\}}=\frac{1}{t_{n(r)}^{\alpha}}\leqq(\frac{3C_{é}}{2})^{\alpha}({\rm Log} r\cdot {\rm Log} \mathrm{L}o\mathrm{g}r)^{\alpha}$ d'apres (14), et $C_{7}C_{10}\sigma^{n(r)-n_{\mathrm{O}}}{\rm Log}{\rm Log} r\leqq({\rm Log} r)^{3}$ pour $r\geqq R_{7}$ assez grand. \begin{center} L'inegalite de la proposition resulte de (22) en posant $R=\displaystyle \sup(R_{é}, R_{7})$. \end{center} 4. Calcul d'enveloppe pseudo-convexe Théorème. {\it Le fibre X construit au paragraphe} 2 {\it au moyen des} 7 {\it cartes} $\Omega_{\mathrm{k}}$x $\mathrm{C}^{2}$ {\it et} {\it des automorphismes de transition} $\tau_{kl}$ {\it a la propriete suivante}: {\it il existe une fibre} \vspace{1em} 300 J.-P. Demailly $\tau_{\kappa}^{-1},(\{a_{k}\}\mathrm{x} \mathrm{C}^{2}),\ k=1$, ..., é {\it où toutes les fonctions plurisousharmoniques continues} {\it sur} $X$ {\it sont constantes}; {\it en particulier} $X$ {\it n}'{\it est pas de Stein, et n}'{\it est pas isomorphe} {\it au fibrk trivial} $\Omega \mathrm{x} \mathrm{C}^{2}$ . {\it Demonstration}. Supposons que pour tout $k=1,\ \ldots$, é il existe une fonction $V_{(k)}$ plurisousharmonique et continue sur $X$ non constante sur la fibre $\tau_{k}^{-1} (\{a_{k}\}\mathrm{x} \mathrm{C}^{2})$. Posons $V=\displaystyle \sum_{k=1}^{é}\lambda_{k}V_{(k)}$ ou les $\lambda_{k}$ sont des scalaires réels $>0$. Lorsque les $ f_{k}\vee$ sont bien choisis, $V$ est non constante sur les six fibres $\{a_{k}\}\mathrm{x} \mathrm{C}^{2}$, car il $\mathrm{y}$ a au plus un hyperplan de $(\lambda_{1}$ , ..., $\hat{\lambda}_{é})\in \mathrm{R}^{é}$ pour lesquels $V$ soit constante sur l'une des six fibres. On peut alors appliquer la proposition a chacune des fibres $\{a_{k}\}\mathrm{x} \mathrm{C}^{\gamma}*$, $k=1$, ... é: $M(V_{0}\circ\tau_{0k},\omega_{0}, r)\leqq M(V_{\mathrm{O}},\omega_{0}, \exp({\rm Log}^{4}r))$ pour $r\geqq R$, ce qul $\mathrm{S}' é\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{t}$ encore $\displaystyle \sup_{X\in\overline{\omega}_{0},z\in K_{x.r}}V_{0}(x, z)\leqq M(V_{0}, \omega_{0}, \exp({\rm Log}^{4}r))$, (23) avec $K_{x,r}=\cup\tau_{0k}(\{x\}\mathrm{x}1\leqq k\leqq é D_{r})$. Comme $V_{0}$ est plurisousharmonique en $z$, on a $\displaystyle \sup_{\mathrm{x}\in\omega_{\mathrm{O}},z\in K_{x,r}}V_{0}(\mathrm{x}, z) =\displaystyle \sup_{\mathrm{x}\in\overline{\omega}_{1\mathrm{J}},z\in\hat{K_{\mathrm{x}r}}}V_{0}(x, z)$, (24) ou, $\mathrm{pard}é\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\wedge$ meme de celle-ci, $\hat{K_{x,r}}$ est l'enveloppe pseudo-convexe de $K_{x,r}$. $K_{x,r}$ coincide d'ailleurs avec l'enveloppe polynomialement convexe de $K_{\mathrm{x},r}$ d'apres Hörmander [2] p. 91, th. 4.3.4. Il nous reste a evaluer $\hat{K_{x.r}}$. La forme de $\tau_{0k}$ montre que pour $k=1,2,3,\ \tau_{0k}(\{x\}\mathrm{x} D_{r})$ contient l'ensemble \begin{center} $\{(w_{1}, w_{2})\in \mathrm{C}^{2}$ ; $|w_{1}|\leqq r,\ |w_{2}|\displaystyle \leqq r\exp(\frac{r}{2}|\varphi(x)|)$, et $|\displaystyle \mathrm{Arg}w_{1}j^{k-1}\varphi(x)|\leqq\frac{\pi}{3}\}$, \end{center} donc $\displaystyle \bigcup_{k=1,2,3}\tau_{0k}(\{x\}\mathrm{x} D_{r})$ contient le polydisque $|w_{1}|\leqq r,\ |w_{2}|\displaystyle \leqq r\exp(\frac{r}{2}|\varphi(x)|)$; de meme $\displaystyle \bigcup_{k=4,5,é}\tau_{0k}(\{x\}\mathrm{x} D_{r})$ contient le polydisque $|w_{1}|\displaystyle \leqq r\exp(\frac{r}{2}|\varphi(x)|),\ |w_{2}|\leqq r$. L $\mathrm{e}$ principe du disque (cf. par exemple Hörmander [2], p. 34, th. 2.4.3.) montre que $K_{x,r}$ contient le polydisque de rayon moyenne geometrique $r\displaystyle \exp(\frac{r}{4}|\varphi(x)|)$. (25) Mais pour 0, et d'apres (23), (24), (25), la majoration $M$ ($V_{0},\omega_{\mathrm{O}},\ r\displaystyle \exp(\frac{Cr}{4}))\leqq M(V_{0}, \omega_{0}, \exp({\rm Log}^{4}r))$ est verifiee pour $r\geqq R$. \vspace{1em} Un exemple de fibré holomorphe non de Stein 301 Comme $V$ est non constante sur au moins une fibre de $X$ , $M(V_{0}, \omega_{0}, r)$ est strictement croissante pour $r$ assez grand; on en conclut $r\displaystyle \exp(\frac{Cr}{4}) \leqq\exp({\rm Log}^{4}r)$ pour tout $r$ assez grand, ce qui est contradictoire. 5. Compliments et bibliographie {\it Remarque} 2. La dhmonstration ci-dessus ne permet pas de prdciser la fibre $\langle\langle$exceptionnelle$\rangle\rangle \tau_{k}^{-1}(\{a_{k}\}\mathrm{x} \mathrm{C}^{2})$ du theoreme. Supposons neanmoins qu'il existe un groupe d'automorphismes de $X$ permutant transitivement les fibres $\tau_{k}^{-1} (\{a_{\mathrm{k}}\}\mathrm{x} \mathrm{C}^{2}),\ k=1$, ..., é: toutes les fonctions plurisousharmoniques continues sur $X$ sont alors constantes sur chacune des six fibres. Un exemple de cette situation est obtenu avec les donnees suivantes: $\Omega$ est un disque de centre 0et de rayon $\rho,\ 0<\rho\leqq\alpha$), $a_{k}=aj^{k-1}$ pour $k=1$, 2, 3, $a_{k}=-aj^{k-5}$ pour $k=4,5,é$, avec $ 0<|a|<\rho$, $\displaystyle \varphi(\mathrm{x})=\exp(_{k=}\sum_{0,1,2}\frac{\beta}{a^{2}-j^{k}x^{2}}),\ \beta\neq 0$; le groupe d'automorphismes de $X$ est le groupe d'ordre é engendre par l'auto- morphisme 0 tel que $\theta_{kl}=\tau_{k}\circ\theta\circ\tau_{\mathrm{I}}^{-1}$ : $\Omega_{\iota}\mathrm{x} \mathrm{C}^{2}\rightarrow\Omega_{k}\mathrm{x} \mathrm{C}^{2}$ \[ (x, z_{1}, z_{2})\mapsto(-jx, z_{2},jz_{1}) \] oú $k$ et $l$ sont liés par la relation $\Omega_{k}=-j\Omega_{l}$ . (Les conditions de recollement des $\mathit{0}_{kl}$ se verifient facilement sachant que $\varphi(-jx) =\varphi(x).)$ {\it Remarque 3}. Il est aise de voir, de fa\c{a}on generale, que les fonctions holomorphes sur $X$ sont constantes sur toutes les fibres. Soit en effet $f$ une fonction holomorphe sur $X$, representee dans la carte $\Omega_{k}\mathrm{x} \mathrm{C}^{2}$ par la fonction $f_{k}=f\circ\tau_{k}^{-1}$. Au dessus d'un disque de centre $a_{k}$ contenu dans $\Omega_{k}$, on peut ecrire $f_{k}(x, z)=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(x-a_{k})^{n}g_{n}(z)$, ou les $g_{n}$ sont des fonctions entieres de 2 variables, $g_{0}(z)=f_{k}(a_{k}, z)$ est une constante $\alpha_{0}$ d'aprds le théorème; par récurrence sur $n$, on voit que chaque $g_{n}$ het une constante $\alpha_{n}$ en considerant la fonction holomorphe sur $X$ $h_{n}=\displaystyle \frac{f-\sum_{m