\documentclass[a4paper,12pt]{article} \usepackage{latexsym} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{graphicx} \usepackage{wrapfig} \pagestyle{plain} \usepackage{fancybox} \usepackage{bm} %\setlength{\parindent}{0em} \def\mathscr{\mathcal} \begin{document} Invent. math. 69, 347-374 (1982) \begin{center} \includegraphics[width=33.44mm,height=10.08mm]{./courant_extremal_images/image001.eps} \end{center}\begin{flushright} $|\acute{(\backslash }\lrcorner$. Springer-Verlag 1982 \end{flushright} Courants positifs extremaux et $\mathrm{coniectu}^{-}\overline{\Gamma}\mathrm{e}$ de Hodge Jean-Pierre Demailly $\mathrm{Universit}\dot{\mathrm{e}}$ Paris Vl, Analyse Complexe et $\mathrm{G}\text{\'{e}} \mathrm{o}\mathrm{m}\dot{\mathrm{c}}$ tric. Eaboratoire Associ6 au C.N.R.S. 1.1. 213), 4, Place Jussieu, F-75230 Paris-Cedex 05. France Table des matieres 1. Introduction et enonce des l$\cdot$\'{e}sultats 347 2 Un theoreme de support pour les courants positifs ferm\'{e} $\mathrm{s}$ 351 3 Exemple de courant $\mathrm{extr}6\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{l}$ sur $\mathrm{P}^{2}$ qui n'est pas un cycle analytique . 354 4. Contre-exemples dans $\mathrm{P}^{n}$ et $\mathrm{q};n$ . 357 5. Equivalence entre les $6\mathrm{nonc}6\mathrm{S} \ovalbox{\tt\small REJECT}^{-}(X;p)$ et $y\hat{\nearrow}(x;/\mathrm{J})$ . 360 6Lien avec la conjecture de Hodge et obstructions topologiques 363 7. Approximation d'un courant de bidegre (IJ) par des diviseurs $\mathrm{irr}6\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{s}$ 367 1. Introduction et 6nonc6 des r6su1tats Le pr\'{e}sent travail a pour objet principal de construire dans $\mathrm{P}^{2}$ ou $\mathbb{C}^{2}$ un exemple de $(1, 1)$-courant positif $\mathrm{ferm}6$ extremal, qru n'est pas un cycle analyti- que. La preuve de l'extremalite utilise un theoreme g\'{e}n\'{e}ral de support pour les courants positifs fermes, qui sera etabli au \S 2. Nous etudions ensuite les relations entre le probl\`{e}me des courants extremaux et la conjecture de Hodge. Avant de donner des \'{e}nonc\'{e}s plus precis, rappelons quelques d\'{e}finitions et $\mathrm{r}6\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{s}$ classiques (cf. P. Lelong [7], [8], R. Harvey [5]). Soit $X$ une varie't\'{e} analytique complexe de dimension $n$; dans toute la suite, $X$ sera soit une vari\'{e}t\'{e} de Stein, soit une varie't\'{e} projective. Si $k,\ p,\ q$ sont des entiers $\geqq 0$, avec \'{e}ventuellement $k=\alpha 3$, onn designe par $\varphi_{p,q}k(X)$ (resp. $\ovalbox{\tt\small REJECT}_{p,q}^{k}(X)$) l'espace des formes de bidegr6 $(p, q)$ et de classe $C^{k}$ sur $X$ (resp. \`{a} support compact). L'espace des courants d'ordre $k$ et de bidimension $(p, q)$, ou de bidegr\'{e} $(n-p, n-q)$, est par $\mathrm{d}6\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$ l'espace dual $[\ovalbox{\tt\small REJECT}_{p,q}^{k}(X)]^{\prime},\ \ovalbox{\tt\small REJECT}_{p,q}^{k}(X)$ \'{e}tant muni de la topologie limite inductive usuelle. Pour simplifier les notations, on $6\mathrm{crira}$ aussi \begin{center} $\ovalbox{\tt\small REJECT}_{p.q}(X)=\ovalbox{\tt\small REJECT}_{p,q}^{\kappa\backslash }(X),\ \ovalbox{\tt\small REJECT}_{p.q}^{\prime}(X)=[\ovalbox{\tt\small REJECT}_{p,q}(X)]^{\prime}$. \end{center} D\'{e}finition 1.1. {\it Une.forme} $\alpha\in\prime g_{p,p}^{0}(X)$ {\it est dite}: \begin{flushright} 0020-9910/82/0069/0347/\$ 05.60 \vspace{1em} \end{flushright} 348 J-P Demailly (1.1) {\it fortement positive} ({\it ou fortement} $\geqq 0$) {\it si en tout point} $z\in X,\ \alpha(z)$ {\it est dans le} {\it cone convexe engendre par les} $(p, p)$-{\it formes du type} \[ (iu_{1}\wedge\overline{u}_{1})\wedge\ldots\wedge(iu_{p}\wedge\overline{u}_{p}) \] {\it ou} $u_{j}\in\wedge^{1,0}T_{\mathrm{z}}^{*}X$; (1.2) {\it faiblement} $\geqq 0$ {\it si pour tout} $z\in X$ {\it et tout} $p$-{\it plan} $F$ {\it de l}'{\it espace tangent} $T_{Z}X$, {\it la restriction} 2 $(z)|_{F}$ {\it est une} $(p, p)$-{\it forme fortement positive}; (1.3) {\it positive d\'{e}finie} ({\it resp. fortement} $>0$, {\it faiblement} $>0$) {\it au point} $z\in X$, {\it si toute} {\it petite perturbation de} $\alpha(z)$ {\it reste} $\geqq 0$ {\it dans le sens consid\'{e}r\'{e}}. {\it Un courant} $T\in\ovalbox{\tt\small REJECT}_{p,p}^{\prime}(X)$ {\it est} $dit$ {\it faiblement} ({\it resp. fortement}) {\it positif si} $\langle T, \alpha\rangle\geqq 0$ {\it pour toute forme} $\alpha\in\ovalbox{\tt\small REJECT}_{p,p}(X)$ {\it fortement} ({\it resp. faiblement}) {\it positive}. Il resulte aisement de cette $\mathrm{d}6\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$ qu'un courant ou une forme fortement $\geqq 0$ sont aussi faiblement $\geqq 0$; on montre de {\it plus} que les notions de positivite relatives aux courants sont bien $\mathrm{coh}6\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{s}$ {\it avec} celles relatives aux formes. Rappelons aussi que les notions de positivit6 forte et faible coincident pour $p$ $=0,1,\ n-1$ ou $n$ et diff\`{e}rent dans tout les cautres cas (cf. [6]). Un courant faiblement $\geqq 0$ est $\mathrm{n}6\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$ d'ordre 0, i.e. ses coefficients sont des mesu- res de Radon. D\'{e}finition 1.2. {\it On notera} $SPC^{p}(X)$ ({\it resp}. $WPC^{p}(X)$) {\it l}'{\it ensemble des} ({\it p}, {\it p}) {\it courants} {\it Tfortement} ({\it resp. faiblement}) {\it positifs et fermes, c}'{\it est-\`{a}-dire tels que} $dT=0$. On verifie facilement que $SPC^{p}(X)\subset WPC^{p}(X)$ sont des cones convexes sail- lants, fermes pour la topologie faible de $\ovalbox{\tt\small REJECT}_{p,p}^{\prime}(X)$. D\'{e}f]nition 1.3. {\it Un courant} $T$ {\it est} $dit$ {\it extrczmal dans} $SPC^{p}(X)$ {\it si} $T\in SPC^{p}(X)$ {\it et si} {\it chaque fois que} $\Gamma on$ {\it a une d\'{e}composition} $T=T_{1}+T_{2}$ {\it avec} $T_{1},\ T_{2}\in SPC^{p}(X)$, {\it alors} $T,\ T_{1}$ , $T_{2}$ {\it sont proportionnels. L}'{\it ensemble des courants extremaux de} $SPC^{p}(X)$ {\it sera note} $\mathscr{E}^{p}(X)$; {\it on d\'{e}fini}\ddagger {\it de m\^{e}me l}'{\it ensemble} $\mathscr{E}_{W}^{p}(X)$ {\it des courants extremaux de} $WPC^{p}(X)$. L'interet des courants extremaux est dtz en partie au $\mathrm{r}6\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}$ suivant, qui est une cons\'{e}quence simple du theoreme de Krein-Milman. Proposition 1.4. {\it On a} $ SPC^{p}(X)=\mathscr{E}\mathscr{E}^{p}(X)\leftrightarrow,\ WPC^{p}(X)=d_{W}^{p}(X)\infty$ {\it ou le symbole} $\wedge$ {\it dczsigne} $\Gamma enveloppe$ {\it convexe fermee dans l}'{\it espace} $\ovalbox{\tt\small REJECT}_{p,p}^{\prime}(X)$ {\it muni de la topologie} {\it faible}. A la suite de l'introduction des courants positifs par P. Lelong [7], differents auteurs ont pos6 le probleme de l'etude des elements extremaux de $SPC^{p}(X)$ et $WPC^{p}(X)$. Il est classique que le courant d'integration [Z] sur un ensemble analytique irreductible $Z$ de dimension $p$, est un element extremal de chacun des c\^{o} $\mathrm{nes} SPC^{p}(X)$ et $WPC^{p}(X)$ (cf. [9], [5]). Definition 1.5. {\it On designera par} $J^{p}(X)$ {\it l}'{\it ensemble des courants d}'{\it integration} 2 $[Z]\in\ovalbox{\tt\small REJECT}_{p,p}^{\prime}(X)$, {\it ou Z est un ensemble analytique irreductible et} $\lambda \geqq 0$. D'apres ce qui pre'c\`{e}de, on a donc $f^{p}(X)\subset \mathscr{E}^{p}(X),\ J^{p}(X)\subset \mathscr{E}_{W}^{p}(X)$. On considere dans la suite le probleme reciproque, souleve notamment par P. \vspace{1em} Courants positifs extr\^{e}maux et conjecture de Hodge 349 Lelong [9] et R. Harvey [5] dans le cas des varietes de Stein: \begin{center} $(\mathscr{L}(X;p))\mathscr{E}^{p}(X)\subset J^{p}.(X)$. \end{center} On notera que le probleme analogue $\mathscr{E}_{W}^{p}(X)\subset$``({\it X}) ne se pose pas, puisque $f^{p}(X)\subset SPC^{p}(X)$, alors que $ d_{W}^{p}\mathrm{l}(X)=\mathrm{P}\mathfrak{p}P\infty C^{p}(X)$ n'est pas contenu dans $SPC^{p}(X)$ pour $p\neq 0,1,\ n-1,\ n$. La reponse au probleme $\mathscr{L}(X;p)$ est clairement affirmative si $p=0$ ou $p=n$. Nous allons voir que la $\mathrm{r}6\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{e}$ est n\'{e}gative en g\'{e}ne'ral d\`{e}s que $1\leqq p\leqq n-1$. Soit $\mathbb{P} =\mathrm{P}(\mathbb{C}^{n+1})$ l'espace projectif complexe de dimension $n,\ z_{0},\ z_{1}$, ..., $z_{n}$ les coordonnees homogenes sur $\mathrm{qj}^{n+1}$. Theoreme 1.6. {\it Soit} $\Gamma_{d}\subset \mathrm{P}^{2}$ {\it la courbe d}'{\it \'{e}quation} $z_{0}^{d}+z_{1}^{d}+z_{2}^{d}=0$. {\it Alors la suite de} $(1, 1)$-{\it courants} $d1 [\Gamma_{d}]$ {\it converge faiblement vers un courant extremal} $T\in \mathscr{E}^{1}(\mathrm{P}^{2})$ {\it qui} {\it n}'{\it est pas dans} $J^{1}(1\mathrm{P}^{2})$. {\it En particulier, l}'{\it \'{e}nonc\'{e}} $\mathscr{L}(\mathrm{P}^{2}$ ; 1 $)$ {\it est faux}. La d\'{e}monstration s'appuie sur un theoreme g\'{e}n\'{e}ral de support pour les $(p, p)$-courants positifs fermes (theoreme 2.1), et sera detaillee au \S 3. Soit $T$ ra $(p, p)$-courant positif ferm6 dont le support est contenu dans une sous-varie't\'{e} reelle $S$ de classe $C^{1}$. On suppose que $S$ est fibree en varietes analytique de dimension complexe $p$, et totalement reelle dans les directions transverses aux fibres. Alors $\mathrm{grossi}6\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$ parlant, le courant $T$ est somme de courants d'integration sur les fibres. Des resultats analogues ont sans doute deji ete discutes dans la litterature, mats pour la commodit\'{e} du lecteur nous avons pre'f\'{e}r\'{e} donner des d\'{e}monstrations $\mathrm{compt}6\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{s}$. Une fois qu'on dispose d'un contre-exemple dans $\mathrm{IP}^{2}$, il suffit d'appliquer formellement le resultat suivant pour obtenir des contre-exemples dans $\mathrm{P}^{n}$ et $\mathbb{C}^{n}$, lorsque $1\leqq p\leqq n-1$ (voir \S 4). Proposition 1.7. {\it Soit} Y {\it une sous-vari\'{e}t\'{e} analytique fermee de X. On a les} {\it implications} \begin{center} (1.4) $\mathscr{L}(X;p)\Rightarrow \mathscr{L}(Y;p)$; \end{center} (1.5) $\mathscr{L}(X\backslash Y;p)$ et $\mathscr{L}(Y\cdot,p)\Rightarrow \mathscr{L}(X;p)$; \begin{center} (1.6) $\mathscr{L}(\mathbb{C}^{n};p)\Rightarrow \mathscr{L}(\mathrm{P}^{1} ; p)$; \end{center} (1.7) $\mathscr{L}(\mathrm{P}^{n+k} ; p+k)\Rightarrow \mathscr{L}(\mathrm{P}^{n} ; p)$ pour tout entier $k\geqq 1$. Le d\'{e}monstration des points (1.5), (1.6), (1.7) fait usage d'un theoreme de prolongement pour les courants positifs fermes de masse finie, dtz a H. Skoda [1]. L'id\'{e}e de la d\'{e}monstration de (1.6) $\mathrm{m}' \mathrm{p}$ \'{e}t\'{e} $\mathrm{sugg}6\mathrm{r}6\mathrm{e}$ par $\mathrm{M}.\mathrm{M}$. Jean- Baptiste Poly et Gilles Raby. On notera qu'en g\'{e}n\'{e}ral ni $\mathscr{E}^{p}(X)$, ni $J^{p}(X)$ ne sont faiblement ferm\'{e}s dans $SPC^{p}(X)$, comme le montre dans $\mathrm{P}^{2}$ l'exemple de la famille de coniques non degenerees $\epsilon z_{0}^{2}+z_{1}^{2}+z_{2}^{2}=0$ qui degenerent en une \vspace{1em} 350 J-P. Demailly r\'{e}union de 2 droites pour $\epsilon=0$. Le contre-exemple du theoreme 1.6 est obtenu precisement en choisissant une suite de $J^{1}(\mathrm{P}^{2})$ qui converge dans $\mathscr{E}^{1}(\mathrm{P}^{2})$, mais pas dans $J^{1}(\mathrm{P}^{2})$. Il semble donc raisonnable de substituer a $\mathscr{L}(X;p)$ l'e'nonce' affaibli suivant: \begin{center} $(\overline{\mathscr{L}}(X;p)) \mathscr{E}^{p}(X)\subset\overline{J^{p}(x)}$, \end{center} o\`{u} $\overline{J^{p}(X)}$ est l'adherence de $J^{p}(X)$ pour la topologie faible de $\ovalbox{\tt\small REJECT}_{p,p}^{\prime}(X)$. Le theoreme de Krein-Milman permet de transformer cet enonce en une proprie't\'{e} plus parlante (cf. \S 5). Proposition 1.8 $\overline{\mathscr{L}}(X;${\it p}) {\it est equivalent \`{a} l}'{\it \'{e}nonc\'{e}} $\hat{\mathscr{L}}$({\it X};{\it p}): \begin{center} $ J^{p}(X)=SPC^{p}(X)\infty$, \end{center} {\it o\`{u}} $\infty J^{p}(X)$ {\it designe l}'{\it enveloppe convexe fermee de} $J^{p}(X)$ {\it dans} $\ovalbox{\tt\small REJECT}_{p,p}^{\prime}(X)$. La propri\'{e}t\'{e} $\hat{\mathscr{L}}(X;p)$ est demontree par P. Lelong [9] lorsque $p=n-1$ {\it et} lorsque $X$ est une vari\'{e}t\'{e} de Stein telle que $H^{2}(X, \mathrm{R}) =0$. Etant do nc un courant quelconque $T\in SPC^{n-1}(X)$, la methode consiste a approximer le poten- tiel de $T$ (qui est une fonction plurisousharmonique) par des logarithmes de fonctions holomorphes. On en deduit alors que $T$ est limite faible des diviseurs associes. Pour des varietes de Stein ou projectives quelconques, l'\'{e}nonc\'{e} $\hat{\mathscr{L}}(X;p)$ n'est pas adequat, car il faut tenir compte de certaines obstructions de nature topologique. Il est facile de voir (prop. 6.3.) que $\mathrm{r}tF^{p}(X)\subset SPC_{\mathrm{Z}}^{p}(X)$, o\`{u} $SPC_{\mathrm{Z}}^{p}(X)$ est l'ensemble des courants de $SPC^{p}(X)$ dont la classe de cohomologie appar- tient a $A^{2q}(X)=\mathrm{adherence}$ dans $H^{2q}(X;\mathrm{R})$ de $(H^{q,q}(X)\cap H^{2q}(X;\mathbb{Z}))[eggx]_{\mathrm{Z}}\mathrm{R}$, $q=n-p$. L'existence de ces obstructions permet de donner de nouveaux contreexemples au probleme $\mathscr{L}(X$ ; 1 $)$ sur des surfaces algebriques affines, et $6\mathrm{galement}$ au probleme $\hat{\mathscr{L}}(X;p)$, lorsque $X$ est une vari\'{e}t\'{e} de Stein ayant une cohomologie entiere $\langle\langle$pathologique\}\}. On est donc amene a faire la conjec- ture suivante : \begin{center} $(\hat{\mathscr{L}}_{\mathrm{Z}}(X;p)) J^{p}(X)=SPC_{\mathrm{Z}}^{p}(X)\infty$. \end{center} L'\'{e}nonc\'{e} $\hat{\mathscr{L}}_{\mathrm{Z}}(X;p)$ est vrai en codimension 1 $(p=n-1)$, et s'obtient par des arguments analogues a ceux de [9], a condition de remplacer les fonctions plurisous harmoniques par des metriques hermitiennes de fibr\'{e}s lineaires posi- tifs. Comme l'avait conjectur6 P. Lelong [9], on a en fait un resultat un peu plus precis (voir \S 7). Th\'{e}or\`{e}me 1.9. {\it Soit X une vari\'{e}t\'{e} projective ou de Stein, connexe et de dimension} $n\geqq 2$. {\it Alors} $SPC_{\mathrm{Z}}^{n-1}(X)=\overline{J^{n-1}(X)}$. Lorsque $X$ est une variete projective, l'enonce $\hat{\mathscr{L}}_{\mathrm{Z}}(X;p)$ apparait comme une formulation explicite forte de la conjecture de Hodge (cf. th. 6.4). Th\'{e}or\`{e}me 1.10. {\it Sur une vari\'{e}t\'{e} projective} $X$, {\it l}'{\it hypothese} $\hat{\mathscr{L}}_{\mathrm{Z}}(X;p)$ {\it entrafne la} {\it conjecture de Hodge en degre} $2q(p+q=\dim X)$, {\it \`{a} savoir la propriete} $\ovalbox{\tt\small REJECT}^{j}(X;q)$: \[ H^{q,q}(X)\cap H^{2q}(X;\mathrm{Q}) \] {\it est engertdre par les classes des cycles algebriques de dimension} $p$. \vspace{1em} Courants positifs extremaux et conjecture de Hodge 351 Signalons que R. Harvey et $\mathrm{A}.\mathrm{W}$. Knapp [6] ont $6\mathrm{galement}$ ramene la conjecture de Hodge a un probleme de Plateau homologique pour les courants. 2. Un theoreme de support pour les courants positifs ferm\'{e}s Soient $X$ une vari\'{e}t\'{e} analytique complexe de dimension $n,\ S$ une sous-varie't\'{e} fermee de classe $C^{1}$ et de dimension reelle $2p+k$, qui est fibree en varietes analytiques de dimension complexe $p$. De faqon pre'cise, on suppose qu'il existe une varietes $M,\ \dim_{1\mathrm{R}}M=k$, et une submersion de classe $C^{1}$ \[ \sigma:S\rightarrow M \] dont les fibres $\sigma^{-1}(t),\ t\in M$, sont des sous-varietes analytiques complexes. Si $\mu$ est une mesure de Radon sur $M$, on considere le $(p, p)$ courant $\displaystyle \Theta=,\int_{\in M} [\sigma^{-1}(t)]d\mu(t)$ defini par \begin{center} $\displaystyle \langle\Theta, \alpha\rangle=\int_{\iota\in M}d\mu(t)\int\alpha\sigma^{-1}(t)$ (2.1) \end{center} pour toute forme $\alpha\in\ovalbox{\tt\small REJECT}_{p_{\backslash }p}(X)$. Le courant $\Theta$ est ferme, a support dans $S$, et il est fortement $\geqq 0$ si $\mu\geqq 0$. Inversement, nous allons voir que (2.1) donne bien tous les $(p, p)$-courants ferme' $\mathrm{s}$ d'ordre 0\`{a} support dans $S$, sous des bypoth\`{e}ses assez generales sur $S$. theoreme 2.1. {\it On suppose que les fibres} $\sigma^{-1}(t)$ {\it sont connexes, et que} $S$ {\it est} {\it totalement reelle dens les directions} $trans\iota^{\prime}erses$ {\it aux fibres, c}'{\it est-\`{a}-dire qu}'{\it en} {\it tout point} $z\in S$ {\it on} $a$ $T_{Z}S\cap iT_{z}S=T_{z}F_{z}$, (2.2) {\it o\`{u}} $F_{z}=\sigma^{-1}(\sigma(z))$ {\it est la fibre du point} $z$, {\it et} $T_{\mathrm{z}}S,\ T_{=}F\overline{\angle}$ {\it les espaces tangents} {\it respectifs \`{a}} $S$ {\it et F. Alors pour tout courant ferme} $\Theta$ {\it de bidimension} $(p, p)$ {\it et} {\it d}'{\it ordre} 0 {\it \`{a} support dans} $S$, {\it il existe une unique mesure de Radon} $\mu$ {\it sur} $M$ {\it telle} {\it que} $\displaystyle \Theta=\int_{t\in M}[\sigma^{-1}(t)]d\mu(\mathit{1})$. (2.3) {\it Si le courant} $\Theta$ {\it est faiblement} gO, {\it alors la mesure} $\mu$ {\it est positive}. Notons d'abord que l'hypothese (2.2) limite la dimension de $S$: en effet $ T_{\overline{L}}S/T_{\mathrm{A}}F_{z}\neg$ est un sous-espace totalement r\'{e}el de $T_{z}X/T_{z}F_{z}$, on a donc ndcessairement $k\leqq n-p$, soit $\dim_{\mathrm{IR}}S\leqq n +p$. L'hypothese (2.2) est d'autre part automatiquement varifiee si $k=1$. {\it D\'{e}monstration}. Puisque $\Theta$ est un courant ferm6 d'ordre 0 (donc localement plat) \`{a} support dans $S$, il existe un courant $\Theta$ d'ordre 0 {\it sur} $S$ tel que $\Theta=i_{*}^{\mathrm{s}}\theta$, ou $i^{s}$ : $S\rightarrow X$ est l'inclusion (voir {\it 11}. Federer [3] ou R. Harvey [5], the'or\`{e}me 1.7 (b) $)$. \vspace{1em} 352 J-P. Demailly $\mathrm{D}6\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{r} (2.3)$ revient donc a construire une mesure $\mu$ sur $M$ telle que \begin{center} $\displaystyle \langle\theta, \alpha\rangle=\int_{t\in M}d\mu(t)\rfloor_{\mathrm{t}\iota)}\alpha\sigma$ (2.4) \end{center} pour toute $2p$-{\it forrnc} $\alpha$ continue a support compact sur $S$. On volt qu'il suffit en fait de construire, relativement a un recouvrement ouvert $U\ovalbox{\tt\small REJECT}$ de $M$, des mesures locales $\mu_{U}$ definies sur chaque {\it U}\in\% et $\mathrm{v}6\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t} (2.4)$ pour les formes cc a support dans $\sigma^{-1}(U)$. La propri\'{e}t\'{e} d'unicit6 montrera que $\mu_{U}=\mu_{V}$ sur $U\cap V$, donc les mesures $\mu_{U}$ pourront se recoller en une unique mesure $\mu$ sur $M$ qui repondra a la question. Soit $U$ un ouvert de carte, muni de coordonn\'{e}es locales $x_{1},\ x_{2}$, ..., $x_{k}$ de classe $C^{1}$. On designe par $dM_{U}$ la forme volume $dM_{U}=dx_{1} \wedge dx_{2} ...\wedge dx_{k}$ sur $U$. Lemme {\it 2}.2. {\it Sous les hypotheses du th\'{e}or\'{e}me} 2.1, {\it il existe un courant} $\theta_{U}$ {\it d}'{\it ordre} 0 {\it et de degre} 0 {\it sur} $\sigma^{-1}(U)$ {\it tel que} \begin{center} $\mathit{0}=\theta_{U}$ . $\sigma^{*}(dM_{U})$. \end{center} {\it Dcimonstration}. Soit $z\in\sigma^{-1}$ (\&)\subset{\it S}. Il existe un voisinage $W$ de $z$ dans $X$ et des coordonnees locales $w_{1}$ ' $w_{2}$, ... , $w_{2n}$ de classe $C^{1}$ sur $W$ telles que (2.3) $ w_{j}=x_{j}\circ\sigma$ {\it sur} $S\cap W,\ 1\leqq j\leqq k$; (2.6) $S\cap W=$\{ $\zeta\in W,\cdot w_{j}(\zeta)=0$ pour $k+1 \leqq j\leqq 2n-2p$\}; (2.7) les $w_{j},\ j>2n-2p$, definissent des $\mathrm{coordonn}6\mathrm{e}\mathrm{s}$ locales sur les fibres $F_{\zeta}\cap W,\ \zeta$ ei $\cap W$. Puisque $\Theta$ est d'ordre 0 a support dans $S$, on a sur $W$ les relations \begin{center} $w_{j}\cdot\Theta=0,\ k+1 \leqq j\leqq 2n -2p$, \end{center} d'oti apres diff\'{e}rentiation $dw_{j}\wedge\Theta=0$. Comme $\Theta$ est de bidegre $\mathrm{pur}$, on en deduit $d^{c}w_{j}\wedge\Theta=0$, avec la notation usuelle $d^{c}=i(\overline{\partial}-2)$. Calculons en tout point $\zeta\in S\cap W$ l'intersection des noyaux des 1-formes $dw_{j},\ d^{c}w_{j}$ pour $k+1 \leqq j\leqq 2n-2p$: \[ \cap \mathrm{Ker}dw_{j}\cap\cap \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}d^{c}w_{j}=T_{\zeta}S\cap iT_{\zeta}S=T_{\zeta}F_{\zeta} \] d'apres l'hypothese (2.2). Les formes $dw_{l},\ 1\leqq l \leqq k$, sont nulles sur l'espace $T_{\zeta}F_{\zeta}$ tangent aux fibres. Il existe donc des fonctions $\mathrm{r}6\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{s} a_{j1},\ a_{jl}^{\prime}$ continues sur $W$ et telles que $dw_{l}=\displaystyle \sum(a_{j\mathrm{I}}dw_{j}+a_{j1}^{\prime}d^{c}w_{j})$ en tout point de $S\cap W$ On a par \[ j \] cons\'{e}quent pour $l=1$, 2, $\ldots,\ k$: \begin{center} $dw_{l}\displaystyle \wedge\Theta=\sum_{j}(a_{j1}dw_{j}\wedge\Theta+a_{jl}^{\prime}d^{c}w_{j}\wedge\Theta)=0$. \end{center} Le courant 0 etant de degr6 $k$, on peut ecrire sur $S$ \[ \theta=\sum_{|K|=k}\theta_{K.W}dw_{K} \] \vspace{1em} Courants positi[s extramaux et conjecture de Hodge 353 o\`{u} $K \mathrm{d}6\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{t}$ l'ensemble des multi-indices de longueur $k$ a valeurs dans $\{1,2, \ldots, k\}\cup\{2n-2p+1, \ldots, 2n\}$ et o\`{u} $\theta_{\mathrm{K},W}$ est un courant d'ordre 0 et de degr6 0sur $S \cap W$. Les conditions $dw_{\iota}\wedge\Theta=0$ montrent que 0 se $\mathrm{r}6\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{i}\mathrm{t}$ a un seul terme: $\theta=\theta_{(1.2}$, . $k$\}, $ w^{dw_{\mathfrak{j}}}\wedge$. . . $\wedge dw_{k}$, (2.8) soit encore $\mathit{0}=\mathit{0}_{(1.2} k$), $W\sigma^{*}(dM_{U})$ d'apres (2.5). Il est clair que les differents courants $\theta_{(1,2}$, , $k$). $W$ se recollent en un courant $\mathit{0}_{U}$ sur $\sigma^{-1}(U)$ qui satisfait aux conclusions du lemma 2.2. $\square $ Lemme 2.3. {\it Avec les notations precedentes, il existe un courant} $v_{U}$ {\it d}'{\it ordre} 0 {\it et} {\it de degre} 0 {\it sur U tel que} $\theta_{U}=\sigma^{*}(v_{U})$, i.e. $\theta=\sigma^{*}(\uparrow_{U}^{\prime}\cdot dM_{U})$. {\it Demonstration}. En effet $\mathrm{d}' \mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{r}6\mathrm{S} (2.8),\ 1' \mathrm{hypoth}6\mathrm{s}\mathrm{e}$ que {\it 0} est ferm6 entraine \begin{center} $\displaystyle \frac{\partial \mathit{0}_{U}}{\partial w_{j}}=0$ sur $S\cap W$ pour $2n-2p+1 \leqq j\leqq 2n$, \end{center} c'est-\`{a}-dire que les derivees partielles de $\mathit{0}_{U}$ dans la direction des fibres sont nulles (cf. (2.7)). Comme les fibres sont $\mathrm{suppos}6\mathrm{e}\mathrm{s}$ connexes, le lemme 2.3 s'ensuit $\mathrm{ais}6\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$. II Le lemme 2.3 montre que pour toute forme $\alpha$ continue \`{a} support compact dans $\sigma^{-1}(U)$ on a les egalites \begin{center} $\displaystyle \langle\theta, \alpha\rangle=\langle\}' U^{\cdot}dM_{U}, \sigma_{*}\alpha\rangle=\int_{\prime\in M}v_{U}.\ dM_{U}(t)\displaystyle \int\alpha;\sigma^{-1}\langle t)$ \end{center} la relation (2.4) est donc bien demontree avec la mesure $\mu_{U}=\iota_{U}^{\prime}\cdot dM_{U}$ \`{a} la place de $\mu$. Il nous reste \`{a} verifier que $\mu_{U}$ est $\geqq 0$ si le courant $\Theta$ est faible- ment $\geqq 0$. Ceci $\mathrm{d}_{6}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}$ simultanement l'unicit6 des mesures $\mu_{U}$, en prenant $\Theta=0$. Lemme 2.4. {\it On suppose que le courant} $\Theta$ {\it est faiblement} $\geqq 0$. {\it Alors la mesure} {\it representative} $\mu$ {\it est} $\geqq 0$. {\it Demonstrarion}. Soient $\chi$ une fonction continue $\geqq 0$ a support compact dans $M$, $L$ une partie compacte de $S$ telle que $\sigma(L)\supset \mathrm{Supp} \chi,\ \beta\in\xi \mathcal{D}_{p.p}(X)$ une forme fortement $\geqq 0$ et $>0$ sur $L,\ \chi_{1}$ la fonction continue sur $M$ definie par $\chi_{1}(t)$ $=\displaystyle \chi(t)[\int,\beta]^{-1}\sigma^{-}(t)$. Appliquons (2.1) a la forme fortement positive $\alpha=\chi_{1}\circ\sigma\cdot\beta$; il vient \begin{center} $\displaystyle \mathit{0}\leqq\langle\Theta, \alpha\rangle=\int_{t\in M}\chi_{1}(t)d\mu(t)\int\beta=\int_{t\sigma^{-1}(t\rangle\in M}\chi(t)d\mu(t).\ \square $ \end{center} Nous aurons besoin egalement du resultat simple et plus ou moins classi- que suivant: lorsque le support d'un $(p, p)$-courant localement normal $\Theta$ ne contient pas $\langle\langle$suffisamment\}$\rangle$ de directions complexes, alors $\Theta$ est necessairement nul. On rappelle qu'un courant {\it O}. est dit localement normal si $\Theta$ et $ d\Theta$ sont d'ordre 0. Proposition 2.5. {\it Soit} $\Theta$ {\it un courant localement normal de bidimension} $(p, p)$ {\it sur} $X$, {\it \`{a} support dans une sous-variete} $\Sigma$ {\it de classe} $C^{1}$ {\it telle que} $\dim_{\mathbb{C}}(T_{z}\Sigma\cap iT_{z}\Sigma)2n-2p$. Soit $(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{2n})$ un $\mathrm{rep}6\mathrm{r}\mathrm{e}$ local de l-formes reelles continues au voisinage de $z$, tel que $u_{1},\ u_{2},\ \ldots,\ u_{2n-2p+1}$ soient extraites de la famille $dw_{j},\ d^{c}n_{j}$'' $1\leqq j\leqq N$. On peut ecrire $\displaystyle \Theta=\sum_{K}\Theta_{K}u_{K}$ avec $u_{K}$ $=u_{k_{1}}\wedge\ldots\wedge u_{k_{2n}}2p$' et $u_{\iota}\wedge\Theta=0,1 \leqq l \leqq 2n-2p+1$, d'ofi l'on conclut que les coefficients $\Theta_{K}$ sont nuls. $[]$ 3. Exemple de courant extremal sur $\mathrm{P}^{2}$ qui n'est pas un cycle analytique On munit $\mathrm{P}^{2}$ de la metrique de Fubini-Study $\omega$ definie par \[ \pi^{*}c'=\frac{i}{2\pi}\mathrm{r}^{1}\overline{\partial}\neg\log(|z_{0}|^{2}+|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}) \] ou $\pi:\mathbb{C}^{3}\backslash \{\mathit{0}\}\rightarrow \mathrm{P}^{2},\ \pi(z_{0}, z_{1' 2}\sim)7=[z_{0}, z_{1}, z_{2}]$ est la projection canonique. Le coefficient $\displaystyle \frac{i}{2\pi}$ est choisi de maniere que la classe de cohomologie de $`\prime j$ coincide avec le generateur positif de $H^{2}(\mathrm{P}^{2}, \mathbb{Z})$. Comme la courbe $\Gamma_{cl}$ : $z_{0}^{d}+Z_{1}^{d}$ $+z_{2}^{d}=0$ est de degr6 $d$, la masse totale du courant d'integration $[\Gamma_{d}]$ est donnee par $\displaystyle \int_{1\mathrm{P}^{2}}$[ $\left\{\begin{array}{l} \urcorner\\ d \end{array}\right\}\wedge\omega =\displaystyle \int_{\Gamma_{d}}\omega =d$. (3. 1) La premiere $6\mathrm{tape}$ en rue de montrer la convergence faible de la suite $d1 [\Gamma_{d}]$ cst de pr\'{e}ciser le support des $6\mathrm{ventuels}$ courants limites. L'ensemble des $(1, 1)-$ courants $\geqq 0$ de masse 1 sur $\mathrm{P}^{2}$ est compact pour la topologie faible de $\ovalbox{\tt\small REJECT}_{1,1}^{\prime}(\mathrm{P}^{2})$; il suffira donc de montrer que tous les courants $T$ qui sont valeurs d'adherence de la suite $\displaystyle \frac{]}{d}[\Gamma_{d}]$ sont $6\mathrm{gaux}$. Lemme 3.1. {\it Soit} $T\in SPC^{1}(\mathrm{P}^{2})$ {\it une valeur d}'{\it adh\'{e}rence faible de la suite} $\displaystyle \frac{1}{d}[\Gamma_{d}]$. {\it Alors} $\displaystyle \int_{1\mathrm{P}^{2}}T\wedge\omega =1$ {\it et le support de} $T$ {\it est contenu dans l}'{\it ensemble} $S$ {\it des points} $[z_{0}, z_{1}, z_{2}]\in \mathrm{P}^{2}$ {\it tels qu}'{\it il existe une permutation} 0, $k,\ l$) {\it de} ({\it 0}, 1, 2) {\it telle que} \begin{center} $|z_{j}|\leqq|z_{k}|=|z_{l}|$. (3.2) \vspace{1em} \end{center} Courants positifs extr6maux et conjecture de Hodge 355 {\it D\'{e}monstration}. Soit $\zeta=[z_{0}, z_{1}, z_{2}]\not\in S$. Apr\`{e} $\mathrm{s}$ permutation eventuelle des coordonnees, on peut supposer $|z_{0}|\leqq|z_{1}|<|z_{2}|$. Choisissons $\epsilon >0$ tel que $|z_{1}|< (1 -\epsilon)|z_{2}|$ et soit $V$ lc voisinage de $\zeta$ defini par \begin{center} $1^{f}=\displaystyle \{\eta=[\mathrm{tt}\cdot \mathrm{w}' w_{2}]0'\iota ,;\sup(|w_{0}|, |w_{1}|)<(1 -\epsilon)|w_{2}|\}$. \end{center} Si $\eta\in V\cap\Gamma_{d}$, it vient $|w_{2}|^{d}\leqq|w_{0}|^{d}+|w_{1}|^{d}<2(1-\epsilon)^{d}|w_{2}|^{d}$. ce qui est impossible pour $d$ assez grand. Par cons\'{e}quent $V$ ne rencontre qu'un nombre fini de conrbes $\Gamma_{d}$ et le point $\zeta$ ne peut appartenir au support de {\it T}. $\square $ Les informations contenues dans le lemme 3.1 suffisent pour $\mathrm{d}6\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{r} T$. Le $\mathrm{th}6\mathrm{o}\mathrm{r}6\mathrm{m}\mathrm{e}$ 2.1 et la proposition 2.5 permettent en fait de $\mathrm{d}6\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{e}$ compl\& ement la structure des $(1, 1)$-courants fermes d'ordre 0 dont le support est contenu dans $S$. Pour chaque indice $j=0,1$, 2 et $k,\ l$ tels que $k1$ (et un point al'infini) \begin{center} $\Delta_{1}(t):\zeta_{2}=e^{2\pi it},\ |\zeta_{1}|<1$ $\Delta_{2}(\mathrm{f}):\zeta_{1}=e^{2\pi it},\ |\zeta_{2}|<1$. \end{center} Lemme 3.4. {\it Soit} $\beta$ {\it une} 1-{\it forme de ctasse} $C^{\alpha \mathrm{J}}$ {\it sur} $\mathrm{P}^{2}$ {\it et} \begin{center} $\beta|_{\Sigma}=\beta_{1}(t_{1}, t_{2})dt_{1}+\beta_{2}(t_{1}, t_{2})dt_{2}$, \end{center} $(t_{1}, t_{2})\in(^{\prime}\mathrm{R}/\mathbb{Z})^{\mathit{2}}$, {\it sa restriction \`{a}} $\Sigma$. {\it Alors les courants} $d\Theta_{j}$ {\it sont do ne par} \begin{center} $\displaystyle \langle d\Theta_{0}, \beta\rangle=\int\int[\beta_{1}(t_{1}, t_{1}+t)+\beta_{2}(t_{1}, t_{1}+t)]dt_{1}d\mu_{0}(t)$, $\displaystyle \langle d\Theta_{1}, \beta\rangle=-\int\int\beta_{1}(\iota_{1}, \iota)d\mathrm{r}_{1}d\mu_{1}(t)$, $\displaystyle \langle d\Theta_{2}, \beta\rangle=-\int\int\beta_{2}(t, t_{2})dt_{2}d\mu_{2}(t)$. \end{center} {\it En particulier} $\Theta_{j}$ {\it est normal sur} $\mathrm{P}^{2}$ (i.e. $\Theta_{j}$ {\it et} $d\Theta_{j}$ {\it sont d}'{\it ordre} 0). {\it Le courant} $\Theta$ $=\Theta_{0}+\Theta_{1}+\Theta_{2}$ {\it est ferme si et seulement si il existe une constante} $\lambda\in \mathbb{C}$ {\it telle que} $d\mu_{0}=d\mu_{1}=d\mu_{2}=\lambda dt$. {\it D\'{e}monstration}. Par d\'{e}finition du bord d'un courant, on a $\langle d\Theta_{\mathrm{j}}, \beta\rangle---$ $-\langle\Theta_{j}, d\beta\rangle$, donc d'apres (3.5) \[ \langle d\Theta_{j}, \beta\rangle=-\int_{\mathrm{R}/\mathrm{Z}}d\mu_{j}(t)\int_{\Lambda_{j}(t\}}d\beta=-\int_{\mathrm{I}\mathrm{R}/\mathrm{Z}}d\mu_{j}(t)\int_{\partial\Delta_{j}(\mathrm{t})}\beta \] ou le bord $\partial\Delta_{j}(t)$ est oriente par la normale exterieure. D'apr\`{e}s (3.6), $\partial\Delta,(t)$ est $\mathrm{d}6\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}$ et orient6 comme suit: \[ \{ \] \begin{center} $\partial\Delta_{0}(t):\zeta_{1}=e^{2\pi it_{1}},\ \zeta_{2}=e^{2\pi i(\iota_{\mathrm{t}}+t|}$, orient\'{e} par $-dr_{1}$ \end{center} $\iota^{\gamma}\Delta_{1}(r):\zeta_{1}=e^{2\pi it_{1}},\ \zeta_{2}=e^{2\pi it}$, oriente par $dt_{1}$ t7 $\Lambda_{2}(t)$ : $\zeta_{1}=e^{2\pi i\prime}$ , $\zeta_{2}=e^{2}$ ' $it_{2}$, oriente par $dt_{2}$. Les formules du lemme 3.4 en $\mathrm{r}6\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t} \mathrm{imm}6\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$. Si $d\mu_{0}=d\mu_{1}=d\mu_{2}=\lambda dt$, il est alors trivial de verifier que $d\Theta=\mathit{0}$. Inversement supposons $d\Theta=0$ et choisissons $\beta$ telle que $\beta_{2}=0,\ \beta_{1}(t_{1}, t_{2})$ \vspace{1em} Courants positifs extr\^{e}maux et conjecture de Hodge 357 $=u(t_{1})v(t_{2})$, avec $u,\ v\in\%^{7\propto}(\mathrm{R}/\mathbb{Z})$. II vient \begin{center} $\displaystyle \langle d\Theta, \beta\rangle=\int u(t_{1})dt_{1}\int[\mathrm{L}](t_{1}+t)d\mu_{0}(t)-v(t) d\mu_{1}(t)]=0$, \end{center} ce qui $6\mathrm{quivaut}$, {\it pour} tout $v\in\varphi^{\alpha \mathrm{l}}(\mathrm{R}/\mathbb{Z})$ et tout $t_{1}\in \mathrm{R}/\mathbb{Z}$, \`{a} \begin{center} $\displaystyle \int v(t_{1}+t)d\mu_{0}(t) =\displaystyle \int v(t)d\mu_{1}(t)$. \end{center} Choisissons en particulier $v(t) =e^{2\pi \mathrm{i}nt},\ n\in \mathbb{Z}$; on obtient \begin{center} $\displaystyle \int d\mu_{0}(t)=\int d\mu_{1}(t) =$ constante $\hat{\Lambda}\in\oplus$ $\displaystyle \int e^{2\pi int}d\mu_{0}(t)=\int e^{2\pi int}d\mu_{1}(t)=0$ pour $n\neq 0$. \end{center} On a donc $d\mu_{0}=d\mu_{1}=\lambda dt$. L'egalite $d\mu_{0}=d\mu_{2}$ se demontre de meme en prenant \begin{center} $\beta_{1}=0,\ \beta_{2}(t_{1}, t_{2})=u(t_{1})v(t_{2}).\ \square $ \end{center} La conjonction des lemmes 3.2, 3.3 et 3.4 entraine finalement le resultat suivant. Theoreme 3.5. {\it Soit T le courant} $\geqq 0$ {\it ferme d\'{e}fmi par} \[ \langle\overline{\mathit{1},}\alpha\rangle=\sum_{j=0,1,2}\int_{\prime\in \mathrm{R}/\mathrm{Z}}dt,\int_{\Delta(t)}\mathrm{C}\mathrm{t} \] {\it pour} $\alpha\in\ovalbox{\tt\small REJECT}_{1,1}(\mathrm{P}^{2})$. {\it Alors tout courant ferm\'{e}} $\Theta$ {\it de bidimension} $(1, 1)$ {\it et d}'{\it ordre} 0 {\it \`{a}} {\it support dans} $S$ {\it est de la forme} \begin{center} $\Theta=\lambda T,\ \hat{\Lambda}\in \mathbb{C}$. \end{center} {\it En particulier} $T$ {\it est extremal dans} $SPC^{1}(\mathrm{P}^{2})=7WC^{1}(\mathrm{P}^{2})$. Le lemme 3.1 et les remarques qui pre'c\`{e}dent montrent alors que la suite $\displaystyle \frac{1}{d}[T_{d}]$ converge vers $\lambda_{1}T$, o\`{u} $\lambda_{1}$ est l'unique r\'{e}el $>0$ tel que la masse du courant $\lambda_{1}T$ soit egale a 1. Ceci demontre le theoreme 1.6. Un calcul facile permet de verifier que la masse $\displaystyle \int_{\mathrm{P}^{2}}T\wedge\omega$ est precisement egale a1 donc que $i_{1}.=1$. 4. Contre-exemples dans $\mathbb{P}$ et $\mathbb{C}^{n}$ Nous allons montrer que le probleme $\mathscr{L}(X;p)$ a en g\'{e}n\'{e}ral une reponse $\mathrm{n}6\mathrm{g}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}$. Theoreme 4.1. {\it Les assertions} $\mathscr{L}(\mathrm{P}^{n}; ${\it p}) {\it et} $\mathscr{L}(\mathbb{C}^{n} $; {\it p}) {\it sont fausses pour} $00$ telle que $\sigma_{*}\omega_{n+k}^{p+k}=c\omega_{n}^{p}$. One re- marque simple montrera ulterieurement que $c.=1.\ \square $ Pour tout courant $T\in SPC^{p}(\mathrm{P}^{n})$, la formule $\sigma_{*}\omega_{n+k}^{p+k}=c\omega_{n}^{p}$ donne \begin{center} $\displaystyle \int_{\mathrm{P}^{n+\mathrm{k}}\backslash \mathrm{I}\mathrm{P}^{k-}},\ \displaystyle \sigma^{*}T\wedge\omega_{n\vdash k}^{p+k}=\int_{1\mathrm{P}1},T\wedge\sigma_{*}\omega_{n+k}^{p+k}$ $=c\displaystyle \int_{\mathrm{IP}^{\mathcal{V}\mathrm{I}}}T\wedge\omega_{n}^{p}$ ; (4.1) \end{center} la premiere egalite se justifie en tronquant la forme $\omega_{n+k}^{p+k}$ pour la rendre a support compact dans $\mathrm{P}^{n+k}\backslash \mathrm{P}^{\lambda-1}$, et en passant a la limite. Le courant $\sigma^{*}T$ est donc de masse finie au voisinage de $\mathrm{P}^{k-1}$ et d'apres [11] $\sigma^{*}T$ se prolonge en un courant $\tilde{\sigma}^{*}T$ sur $\mathrm{P}^{n+k}$. On a donc bien defini un morphisme \begin{center} $\tilde{\sigma}^{*}: SPC^{p}(\mathrm{P}^{n})\rightarrow SPC^{p+k}(\mathrm{P}^{n+k})$. \end{center} L'egalite (4.1) donne alors \begin{center} $\displaystyle \int_{1\mathrm{P}^{n+k}}\tilde{\sigma}^{*}T\wedge\omega_{n+k}^{p+k}=c\int_{1\mathrm{P}^{n}}T\wedge\omega$';. \end{center} Si l'on choisit en particulier $T=[\mathrm{P}^{p}]$, on voit que $\tilde{\sigma}^{*}T=[\mathrm{P}^{p+k}]$ et que les deux integrales precedentes sont egales a 1. On a donc bien $c=1$. Lemme 4.3. {\it Eimage de} $\tilde{\sigma}^{*}$ {\it est l}' $`\prime\prime\iota se\dagger nble$ {\it des conra}\prime{\it tls} $\Theta\in SPC^{p+k}(\mathrm{P}^{n+k})$ {\it tels que} $\Theta\wedge\sigma^{*}\omega_{n}^{p+1}=0$ {\it sur} $\mathrm{P}^{n+k}\backslash \mathrm{P}^{h-}\downarrow$. {\it Demonstration}. Si $\Theta =\tilde{\sigma}^{*}7,\cdot$ alors $\sigma^{*^{r}}\Gamma\wedge\sigma^{*}\omega_{n}^{p+1}=\sigma^{*}(T\wedge\omega_{n}^{p+1})=0$. ln- versement soit $\Theta\in SPC^{p+k}(\mathrm{P}^{\prime\iota+k})$ tel que $\Theta\wedge\sigma^{*}\mathrm{r}\prime J_{l}^{p+1},=0$ sur $\mathrm{P}^{n+k}\backslash \mathrm{P}^{k-1}$. On peut toujours choisir les coordonnces --o'' $\underline{r}_{1},\ \ldots,\ z_{n}$ de sorte que l'hyperplan $\{_{\leftrightarrow 0}7=0\}\subset \mathrm{P}^{n+k}$ soit de masse nulle pour $\Theta$ (c'est possible car $\mathrm{P}^{k-1}$ est dc masse nulle). On peut alors travailler dans les coordonnees $(z_{1}, \ldots, z_{n+k})$ avec $z_{0}=1$. L'application $\sigma$ s'identifie a la projection $\mathrm{T}^{n+k}\rightarrow \mathbb{C}^{n},\ \mathrm{e}$ ( la condition \vspace{1em} 360 J-P Demailly $\Theta\wedge\sigma^{*}\omega_{n}^{p+1}=0$ entraine que \begin{center} $\Theta|_{q:}n+\mathrm{k}\wedge dz_{I}\wedge d\overline{z}_{I}=0$ (4.2) \end{center} pour tout multi-indice $7\subset\{1,2, \ldots, n\}$ de longueur $|I| =p+1$ (en effet $\Theta|_{\mathbb{C}^{n+k}}\geqq 0$ et $\omega_{n|\mathbb{C}^{n}}>0$). Nous allons voir, gr\^{a}ce au raisonnement du theoreme 2.1 et a la positivite de $\Theta$, que 6) ne d\'{e}pend que des variables $z_{1},\ z_{2},\ \ldots,\ z_{n}$. Ecrivons \begin{center} $\displaystyle \Theta|_{\mathbb{C}^{n+k}}=i^{(n-p)^{2}}\sum_{|J|=|K|=n-p}\Theta_{J,K}dz_{J}\wedge d\overline{z}_{K}$, \end{center} avec $J,\ K\subset \{$ 1, 2, . . . , $n+k\}$ et $\Theta_{J,K}$ de degre 0. Si $J$ n'est pas contenu dans $\{$1, 2, ..., $n\}$ la proprie't\'{e} (4.2) entraine $\Theta_{J,J}=0$. Si l'un des multi-indices $J,\ K$ (disons $J$) n'est pas contenu dans $\{$1, 2, .. . , $n\}$, la positivite forte de $\Theta$ donne la majoration suivante pour les mesures coefficients: \[ 2|\Theta_{J.K}|\leqq\frac{1}{\epsilon}\Theta_{J,J}+\epsilon\Theta_{K,K}=\epsilon\Theta_{K,K} \] pour tout $\epsilon >0$, et on obtient encore $\Theta_{J,K}=\mathit{0}$. Comme de plus $\Theta$ est ferme, it vient $\displaystyle \frac{\partial\Theta_{J.K}}{\partial z_{j}}=\frac{\partial\Theta_{J,K}}{\partial\overline{z}_{j}}=0$ pour $J,\ K\subset\{1, 2, \ldots, n\}$ et $j>n$. Il existe donc un cou- rant $T\in SPC^{p}(\mathbb{C}^{n})$ tel que $\Theta|_{\mathbb{C}^{n+k}}=(\sigma|_{\mathrm{C}^{n+k}})^{*}T$. L'egalite \[ \int_{4:n}T\wedge\omega_{n}^{p}=\int_{\mathbb{C}^{n+1\sigma}}\Theta\wedge\omega_{n+k}^{p+k}<+\alpha \mathrm{J} \] analogue a (4.1), entraine que l'extension simple $\overline{T}$ de $T$ a $\mathrm{P}^{n}$ est fermee. Par suite $\Theta=\tilde{\sigma}^{*}\tilde{T}.\ []$ {\it Fin de la demonstration de} (1.7). Il est immediat de verifier \`{a} l'aide du lemme 4.3 que le morphisme injectif $\tilde{\sigma}^{*}$ envoie $\mathscr{E}^{p}(\mathrm{P}^{n})$ dans $\mathscr{E}^{p+k}(\mathrm{P}^{n+\mathrm{k}})$. Soit $T\in \mathscr{E}^{p}(\mathrm{P}^{n})$; l'hypoth\`{e}se $\mathscr{L}(\mathrm{P}^{n+k} ; p+k)$ montre l'existence d'un ensemble analyti- que $Z$ de dimension $p+k$ dans $\mathrm{P}^{n+k}$ tel que \begin{center} $\tilde{\sigma}^{*}T=\lambda[Z],\ \lambda\in \mathrm{R}_{+}$. \end{center} Lorsque $\lambda\neq 0$, cette derniere egalite implique que $Z\cap(\mathrm{P}^{n+k}\backslash \mathbb{P}^{-1})$ est r\'{e}union de fibres de $\sigma$. On en deduit qu'il existe un ensemble analytique $\mathrm{Y}$ de dimen- sion $p$ dans $\mathrm{P}^{n}$ tel que $Z=\overline{\sigma^{-1}(\mathrm{Y})}$. Par suite $[Z] =\tilde{\sigma}^{*}[\mathrm{Y}]$ et $T=\lambda[\mathrm{Y}].\ []$ Bien entendu, ces d\'{e}monstrations $\langle\langle$abstraites $\rangle\rangle$ permettent aussi de donner des contre-exemples explicites aux problemes $\mathscr{L}(\mathrm{P}^{n} ; p)$ et $\mathscr{L}(\mathbb{C}^{n} ; p)$. Nous laissons au lecteur le soin de le faire. 5. \'{E}quivalence entre les enonces $\overline{\mathscr{L}}$ ( {\it X} ; p) et $\overline{\mathscr{L}}$( {\it X} ; p) Nous allons maintenant d\'{e}montrer l'equivalence des deux enonces \begin{center} $(\overline{\mathscr{L}}(X;p)) d^{\prime p}(X)\subset\overline{J^{p}(X)}$ $(\hat{\mathscr{L}}(X;p)) SPC^{p}(X)=J^{p}(X)\infty$ \vspace{1em} \end{center} Courants positifs cxtremaux et conjecture de Hodge 361 \[ /\sim \] o\`{u} $\overline{.ff^{p}(X)}$ et $J^{p}(x)$ sont respectivement l'adharence faible et {\it l}'{\it enveloppe} convexe $\mathrm{ferm}6\mathrm{e}$ de $J^{p}(X)=\{\hat{\Lambda}[Z];\hat{\Lambda}\geqq \mathit{0}\}$ dans $\mathit{1}_{p.p}^{\prime}\sigma(X)(Z$ parcourant tous les ensembles analytiques irreductibles de dimension $p$ de $X$). Cette equivalence logique est en fait une cons\'{e}quence de resultats generaux d'analyse fonction- nelle, tels que le theoreme de Krein-Milman (cf. N. Bourbaki [1], chap. $\mathrm{II}$, \S 4, th. 1) et le theoreme de Choquet (cf. Phelps [10]). Lemme 5.1 (th. de Krein-Milman). {\it Soit} $K$ {\it une partie convexe compacte d}'{\it un} {\it espace vectoriel topologique localement convexe s\'{e}par\'{e} E. On designe par} $\mathscr{E}(K)$ {\it l}'{\it ensemble des points extremaux de} $K$ ( $=$ {\it ensemble des points} $x\in K$ {\it tels que} $K$ {\it ne} {\it contienne aucun intervalle ouvert de centre} $x$). {\it Alors} \begin{center} $K=\hat{d(K})=$ {\it enveloppe convexe fermee de} $\#(K)$. \end{center} L'implication $\overline{\mathscr{L}}(X;p)\Rightarrow\overline{\mathscr{L}}(X;p)$ resulte de la proposition 1.4, qui est elle- meme une cons\'{e}quence simple du lemme 5.1. Proposition 1.4. $ SPC^{p}(X)=d^{p}(X)\infty,\ ?\mathrm{f}\varphi C^{p}(X)=d_{W}^{p}\rfloor(X)\infty$. {\it Demonstrarion}. Les deux $6\mathrm{galit}6\mathrm{S}$ se $\mathrm{d}6\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$ exactement de la $\mathrm{m}6\mathrm{m}\mathrm{e}$ maniere, donc nous etudierons seulement la premiere. Par $\mathrm{d}6\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$ de $\mathscr{E}^{p}(X)$, on a $\mathit{8}^{p}(X)\subset SPC^{p}(X)$, donc $\infty \mathscr{E}^{p}(X)\subset SPC^{p}(X)$. Inversement, soit $T\in SPC^{p}(X)$ et soit $\gamma$ une $(p, p)$-forme faiblement $>0$ sur $X$ telle que \begin{center} $\displaystyle \int_{X}T\wedge\gamma\leqq 1$. \end{center} On peut toujours construire une telle forme $\gamma$ a l'aide d'une partition de l'unit6 sur $X$, la seule condition etant que les coefficients de $\gamma$ tendent assez rapide- ment vers 0 a l'intini. Soit alors $L_{\gamma}$ l'ensemble des courants $\Theta\in SPC^{p}(X)$ tels que $\displaystyle \int_{X}\Theta\wedge\gamma\leqq 1$. On $\mathrm{V}6\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{e}$ aisement que $L$, est une partie convexe faiblement compacte de $\ovalbox{\tt\small REJECT}_{p,p}^{\prime}(X)$ et que l'ensemble $F\circ(L_{\gamma})$ des points extremaux de $L_{\gamma}$ est la r\'{e}union de \{0\} et des courants $\Theta\in F^{p}(X)$ tels que $\displaystyle \int_{X}\Theta\wedge\gamma=1$. D'apr\`{e}s le the'or\`{e}me de Krein-Milman on a doric \begin{center} $ T\in L_{\gamma}=\mathit{8}\infty(L_{\gamma})\subset d^{p}(X)\infty.\ \square $ \end{center} Pour achever la preuve de la proposition 1.8, il suffit maintenant d'etablir l'implication reciproque: Proposition {\it 5.2}. $\hat{\mathscr{L}}(X;p)\Rightarrow\overline{\mathscr{L}}(X;p)$. {\it Demonstrarion}. Observons tout d'abord que la topologie faible est m\& risable sur $SPC^{p}(X)$ (bien qu'elle ne le soit pas sur $\xi\not\supset_{p,p}'(X)$); elle peut \^{e}tre $\mathrm{d}_{4}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{e}$ par les semi-normes \[ \Theta\rightarrow|\langle\Theta, \alpha_{\mathrm{t}}\rangle|+|\langle\Theta, \beta_{v}\rangle| \] si les suites $\alpha_{\mathrm{v}},\ \beta_{v}\in \mathrm{r}\Delta_{p.p}(X)$ ont les proprie't\'{e}s suivantes: (5.1) $\alpha_{v}$ est faiblement $\geqq 0$; \vspace{1em} 362 J -P Demailly (5.2) pour tout point $z\in X$, il existe $v$ tel que $\alpha_{\mathrm{v}}>\mathit{0}$ au voisinage de $z$; (5.3) la suite $\beta_{\iota}$ est (fortement) dense dans $\mathit{9}_{p,p}(X)$. Soit alors $T\in SPC^{p}(X)$. L'hypothese $\hat{\mathscr{L}}(X;p)$ et le fait que la topologie de $SPC^{p}(X)$ soit metrisable montrent que \[ T=\lim_{v\rightarrow+\infty}T_{\mathrm{Y}} \] o\`{u} $T_{\mathrm{v}}$ est combinaison lineaire convexe de courants d'integration : \begin{center} $T_{v}=\displaystyle \sum_{1\leqq j\leqq j(v)}\bigwedge_{j\backslash }[\neg Z_{j\mathrm{v}}],\ v=1,2,\ \ldots$ , $\dot{\Lambda}_{jv}\geqq 0$. (5.4) \end{center} Comme la suite $T_{v}$ est faiblement convergente, on peut toujours choisir une $(p, p)$ Comme 7 faiblement $>\mathit{0}$ sur $X$ telle que $T\in L_{!},,\ T_{v}\in L_{\gamma}$ pour tout $v,\ L_{J}$ designant comme ci-dessus la partie convexe faiblement compacte \begin{center} $L_{7}=\displaystyle \{\Theta\in SPC^{p}(X);\int_{X}\Theta\wedge\gamma\leqq 1\}$. \end{center} Le reste du raisonnement reproduit essentiellement la d\'{e}monstration du theoreme de Choquet. Soit $M$ la partie compacte $M=L,.\ \displaystyle \bigcap_{\mathrm{L}}\overline{F^{p}(X)}$. D'apr\`{e}s (5.4) il existe une mesure $\mu_{v}$ de masse 1 sur $M$ telle que \begin{center} $T_{v}=\displaystyle \int_{\theta\in N}\theta d\mu_{\mathrm{Y}}(\mathit{0})$; \end{center} il suffit en effet de prendre pour $\mu_{v}$ un barycentre a coefficients $\geqq 0$ des mesures de Dirac aux points 0 et $/_{jv}\mathrm{b}[\wedge;Z_{jv}]$ de $M$, avec $\displaystyle \lambda_{jv}^{\prime}\int_{X}[Z_{jv}] \wedge\gamma=1$. Il est classique que l'ensemble des mesures de probabilit6 sur un espace compact metrisable est une partie vaguement compacte m\& risable de l'espace des mesures de Radon. On peut donc extraire de la suite $\mu_{v}$ une sous-suite qui converge vaguement vers une mesure de probabilit6 $\mu$ sur $M$. Par d\'{e}finition de Lt topologie de $M$, l'application $\theta\rightarrow\langle\theta, \alpha\rangle,\ \alpha\in\subset\Lambda_{p,p}\tau(X)$ est continue sur $M$. On a donc \[ \langle T_{\iota}, \alpha\rangle=\int_{\theta\in N}\langle\theta, \alpha\rangle d\mu_{\mathrm{v}}(\theta) \] \begin{center} $\displaystyle \langle T, \alpha\rangle=\lim_{v\rightarrow+\alpha\}} \displaystyle \langle T_{v}, \alpha\rangle=\int_{\theta\in N}\langle(?, \alpha\rangle d\mu(t3)$, \end{center} ce que nous ecrirons $T=\displaystyle \int_{\theta\in N}\theta d\mu(\theta)$. Si Ic courant $T$ initialement choisi est extr\^{e}mal, le lemme 5.3 ci-dessous montre que le support de la mesure $\mu$ est contenu dans une $\langle\langle$g\'{e}ne' $\mathrm{ratrice}\rangle\} \{\lambda\Theta;0\leqq\lambda\leqq 1\} \subset M$. On a donc \begin{center} $T=[\displaystyle \int\lambda d\mu(\lambda\Theta)]\cdot\Theta\in M\subset\overline{J^{p}(X)}.\ \square $ \end{center} Lemme 5.3. {\it Soit} $M$ {\it une partie faiblement compacte de} $SPC^{p}(X),\ \mu$ {\it une mesure} $\geqq 0$ {\it sur} $M$ {\it et} $T$ {\it le courant} \begin{center} $T=\displaystyle \int_{\theta\in N}\mathit{0}d\mu(\theta)$. \vspace{1em} \end{center} Courants positifs extremaux et conjecture de Hodge 363 {\it Si le courant} $T$ {\it est exrr\^{e}mal, le support de} $\mu$ {\it est contenu dans un segment} \{ $\lambda\Theta;\mathit{0}$ i\% $\leqq 1$\} {\it ou} $\Theta\in M$. La $\mathrm{d}6\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$ est pratiquement evidente: si le support de $\mu$ contient deux courants $\theta_{1},\mathit{0}_{2}$ non proportionnels, on peut ecrire $T=T_{1}+T_{2}+T_{3}$ o\`{u} $T_{1},\ T_{2}$ sont obtenus par int\'{e}gration de $\mathrm{O}d\mu(\mathit{0})$ sur des petits voisinages disjoints de $\theta_{1},\mathit{0}_{2}.\ T_{1}$ et $T_{2}$ sont alors non proportionnels (car cette condition est ouverte pour la topologie faible), donc $T$ n'est pas extremal. Si 6. Lien avec la conjecture de Hodge et obstructions topologiques Soit $X$ une vari\'{e}t\'{e} analytique complexe de dimension 11. Nous serons amen\'{e}s a considerer certains groupes de cohomologie de $X$, definis comme suit. Notations 6.1 (6.1) $H^{k}(X;\mathbb{C})=k$-{\it czme groupe de cohomologie de de Rham de} $X$; (6.2) $\check{H}^{k}(X;\mathscr{F})=c()homologie$ {\it de Cech ci valeurs dans un faisceau} $\mathscr{F}$ {\it de groupes} {\it abeliens} ; (6.3) $H^{k}(X;\mathbb{Z})=image$ {\it du morphisme naturel} \begin{center} $\check{H}^{k}(X, \mathbb{Z})\rightarrow H^{k}(X, \mathrm{R}) \simeq\check{H}^{k}(X, \mathrm{R})$; \end{center} (6.1) $H^{p.q}(X)=$ {\it ensernble des classes de cohomologie de} $H^{p+q}(X;\mathbb{C})$ {\it contenant} {\it une} $(p, q)$-{\it forme fer}\}?]{\it \'{e}e}. Soit $\displaystyle \ovalbox{\tt\small REJECT}_{k}^{\prime}(X)=\bigoplus_{p+q=\lambda}cJ_{p.q}^{\prime}(X)$ et $\displaystyle \varphi_{k}^{\alpha}(X)=\bigoplus_{p+q=k}q_{p.q}^{x}(X)$. Le theoreme de de Rham donne des isomorphismes \begin{center} $\check{H}^{k}(X;\mathbb{C})\simeq H^{k}(^{\mathrm{r}}f_{J}^{\mathrm{X}}.(X))=H^{k}(X;\mathbb{C})$, \[ \check{H}^{k}(X;\mathbb{C})\simeq H^{2n-k}(^{r}J^{\prime}.(X)) \] \end{center} entre la cohomologie de Cech et la cohomologie des complexes $\varphi^{\mathrm{C}L}.(X),c\mathrm{J}^{\prime}.(X)$. Ces isomorphismes sont en fait des isomorphismes topologiques lorsque $\check{H}^{k}(X;\oplus),\ \varphi^{\omega}.(_{\backslash }X),\ H^{k}(X;\oplus)$ sont munis de leurs topologies naturelles d'espaces de Frechet et $\Lambda\Gamma y .'(X)$ de la topologie faible. On a donc un morphisme {\it continu} \begin{center} $\mathrm{C}^{j}\mathit{1}_{k}^{\prime}(X)\supset \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}d\rightarrow H^{2n-k}(X$ ; (I) \end{center} $\Theta\mapsto$ ci $(\Theta)$ (6.3) qui a un courant ferm\'{e} $\Theta\in\ovalbox{\tt\small REJECT}_{k}^{\prime}(X)$ de degre $2n-k$ associe sa classe de cohomo- logie de de Rham. Si $\Theta\in\ovalbox{\tt\small REJECT}_{p.p}^{\prime}(X),\ d\Theta=0$, on a donc cl $(\Theta)\in H^{2q}(X$ ; (I) avec $q$ $=n -p$. Dans le cas ou $X$ est une varie't\'{e} algebrique projective, la theorie de Hodge donne la $\mathrm{d}6\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$: \begin{center} $H^{k}(X;\displaystyle \mathbb{C})=\bigoplus_{a+b=k}H^{a,b}(X)$. \end{center} On verifie alors par dualite que $\mathrm{c}1(\Theta)\in H^{q,q}(X)$. \vspace{1em} 364 J-P Demailly $\mathrm{D}6\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n} 6.2$. {\it Si} $X$ {\it est une variete projective, on designera par A}$(X)\subset H^{q,q}(X)$ {\it le} $\mathrm{R}$-{\it module engendre par} $H^{q,q}(X$ ; {\it 71} $)=H^{q,q}(X)\cap H^{2q}(X;\mathbb{Z})$. {\it Si} $X$ {\it est une vari\'{e}t\'{e}} {\it de Stein on d\'{e}finir} $A^{k}(X)$ {\it comme l}'{\it adherence de} $H^{k}(X;\mathbb{Z})[eggx]_{\mathrm{Z}}\mathrm{R}$ {\it dans} $H^{k}(X;\mathrm{R})$. {\it Dans les deux cas, on designe par} $SPC_{\mathrm{Z}}^{p}(X)$ {\it l}'{\it ensemble des courants} $\Theta\in SPC^{p}(X)$ {\it de bidegre} $(q, q),\ q=n-p$, {\it dont la classe} $\mathrm{c}1(\Theta)$ {\it est dans A}$(X)$. Pour tout ensemble analytique $Z\subset X$ de dimension pure $p$, on sait que le courant d'integration [Z] definit une classe de cohomologie entiere $\mathrm{c}1[Z] \in H^{2q}(X;\mathbb{Z})$. On a par cons\'{e}quent $J^{p}(X)\subset SPC_{\mathrm{Z}}^{p}(X)$, et la continuit6 du morphisme $\Theta\mapsto \mathrm{c}1(\Theta)$ implique: Proposition 6.3. $\iota f^{\mathrm{p}}\mathrm{r}(X) \subset SPC_{\mathrm{Z}}^{p}(X)$. Il semble donc naturel de faire la conjecture suivante: \begin{center} $(\hat{\mathscr{L}}_{\mathrm{Z}}(X;p)) J^{p}(X)=SPC_{\mathrm{Z}}^{p}(X)\infty$. \end{center} Cette conjecture sera $\mathrm{d}6\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{r}6\mathrm{e}$ en codimension 1 $(p=n-1)$ au paragraphe 7. Dans le cas ou $X$ est une vari\'{e}t\'{e} projective, $\mathscr{L}\wedge \mathrm{Z}(X;p)$ apparait comme une formulation forte de la conjecture de Hodge. Theoreme 6.4. {\it Soit X une variete projective. Alors} \begin{center} (6.6) $A^{2q}(X) =\mathrm{c}1(0)C_{\mathrm{Z}}^{p}(X)-SPC_{\mathrm{Z}}^{p}(X))$. \end{center} (6.7) {\it L}'{\it hypoth\`{e}se} $\hat{\mathscr{L}}_{\mathrm{Z}}(X;p)$ {\it entraine la propri}\&{\it d} $\ovalbox{\tt\small REJECT}(X;q)$, {\it \`{a} savoir que} $H^{q,q}(X)\cap H^{2q}$( $X$ ; Q) {\it est engendre par les cycles algebriques de dimension} $p=n-q$. (6.8) {\it L}'{\it hypoth\epsilon\`{i}se} $\hat{\mathscr{L}}(X;p)$ {\it implique la condition cohomologique} \begin{center} $rg_{\mathrm{Z}}H^{q,q}(X;\mathbb{Z})=\dim_{\mathbb{C}}H^{q,q}(X)$. \end{center} {\it Preuve de} (6.6). Soit $\omega$ une metrique de Hodge sur $X$ (i.e. une metrique k\"{a}hl\'{e}rienne dont la classe de cohomologie est entiere) et $\eta$ une classe dans \begin{center} {\it A}$(X)\subset H^{q,q}(X)\cap H^{2q}(X;\mathrm{R})$. \end{center} D'apr\`{e}s la theorie de Hodge, $\eta$ peut \^{e}tre representee par une $(q, q)$-forme harmonique reelle $h$. Pour $N$ entier $>0$ assez grand, la forme $h+N\omega^{q}$ est {\it dans} $SPC_{\mathrm{Z}}^{p}(X)$, de mame que $N\omega^{q}$. Par suite $\eta=\mathrm{c}1 (h)$ est Ia diff\'{e}rence de deux classes associees a des elements de $SPC_{\mathrm{Z}}^{p}(X)$. {\it Preuve de} (6.7). L'hypothese $SPC_{\mathrm{Z}}^{p}(X)=\acute{f^{p}\prime(\tilde{X}}) \mathrm{combin}6\mathrm{e}$ a (6.6) implique que $\mathrm{A}^{2q}(X)$ est engendre par cl $(J^{p}(X))\infty$. Puisque le morphisme cl est continu et qix $A^{2q}(X)$ est un espace vectoriel de dimension finie, on voit que A$(X)$ est le R- module engendre par les classes des cycles algebriques. Par cons\'{e}quent $H^{q,q}(X)\cap H^{2q}$( $X$ ; Q) est l'ensemble des combinaisons lineaires rationnelles des classes cl [Y], $\mathrm{Y}\subset X,\ \mathrm{co}\dim Y=q$. {\it Preuve de} (6.8). Un raisonnement analogue a (6.6) montre que $H^{q,q}(X)$ est le $\mathbb{C}-$ module engendre par cl $(SPC^{p}(X))$, soit encore par cl $(J^{p}(X))$ sous l'hypothese \vspace{1em} Courants positifs extremaux et conjecture de Hodge 365 $\hat{\mathscr{L}}(X;p)$. Les entiers $\dim_{\mathbb{C}}H^{q,q}(X)$ et $rg_{\mathrm{Z}}H^{q,q}(X;\mathbb{Z})=\dim_{1\mathrm{R}}A^{2q}(X)$ sont alors tous deux $6\mathrm{gaux}$ au nombre maximum de cycles $\mathrm{a}6\mathrm{b}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{s}$ de codimension $q$ dont les classes de cohomologie sont lineairement independantes. El La conjecture $ J^{p}(X)=SPC_{\mathrm{Z}}^{p}(X)\infty$ nous parait en fait beaucoup plus forte que la conjecture de Hodge. En effet, cette $\mathrm{derni}6\mathrm{r}\mathrm{e}$ donne seulement une repr\'{e}sentation des classes de cohomologie par des cycles alg\'{e}briques, tandis que l'assertion $J^{p}(X)=SP\infty C_{\mathrm{Z}}^{p}(X)$ affirme grosso modo que n'importe quel cou- rant de $SPC_{\mathrm{Z}}^{p}(X)$ est {\it egal} (et pas seulement cohomologue) a une somme integrale de cycles analytiques. R. Harvey et $\mathrm{A}.\mathrm{W}$. Knapp [6] ont \'{e}nonce' des conjectures qui semblent logiquement plus proches de la conjecture de Hodge, et qui ramenent celle-ci a un probleme de Plateau homologique pour les courants. Soit maintenant $X$ une surface algebrique projective {\it telle} que $rg_{\mathrm{Z}}H^{1,1}(X;\mathbb{Z})<\dim_{\mathbb{C}}H^{1,1}(X)$. M. Jean-Louis Verdier $\mathrm{m}' \mathrm{a}$ communique un exemple simple de telles surfaces. On choisit $X=\Gamma_{1}\mathrm{x} \Gamma_{\underline{\gamma}}$ o\`{u} $\Gamma_{1},\ \Gamma_{2}$ sont Soi courbes de genres $g_{1},\ g_{2}$. La formule de Ktinneth donne $\dim_{\mathbb{C}}H^{1,1}(X)=2$ $+2g_{1}g_{2}$, tandis que le $\langle\langle$nombre de Picard$\rangle\rangle \rho=rg_{\mathrm{Z}}H^{1.1}(X;\mathbb{Z})$ verifie l'encadrement \[ 2\leqq\rho\leqq 2+r \] o\`{u} $r=rg_{\mathrm{Z}}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(J_{1}, J_{2})$ est le rang du groupe des homomorphismes de la jacobienne de $\Gamma_{1}$ dans la jacobienne de $\Gamma_{2}$. Si l'on choisit en particulier des courbes elliptiques $\Gamma_{1}=\mathbb{C}/P_{1}$ , $\Gamma_{2}=\mathbb{C}/P_{2}$ {\it non isogenes} (c'est-5.-dire ayant des grou- pes de periodes $P_{1},\ P_{2}$ tels que $\{/^{\eta}.\in \mathbb{C};\lambda P_{1}\subset P_{2}\}=\{0\})$, il vient $J_{1}\simeq\Gamma_{1},\ J_{2}\simeq\Gamma_{2}$, $r=0,\ p=2,\ \dim_{\mathbb{C}}H^{1,1}(X)=4$. Le theoreme 6.4 (6.8) montre alors que $1' 6\mathrm{nonc}6 \hat{\mathscr{L}}(X$ ; 1 $)$ (et a fortiori $\mathscr{L}(X;1))$ est faux, ce qui donne de nouveaux contre-exemples au probleme de Lelong-Harvey. Corollaire 6.5. {\it Soit X une surface algebrique projective telle que} \begin{center} $rg_{\mathrm{Z}}H^{1,1} (X;\mathbb{Z})<\dim_{\mathrm{C}}H^{1,1}(X)$ \end{center} {\it et} $\mathrm{Y}$ {\it une section hyperplane de X. AIors la propriete} $\mathscr{L}(X\backslash Y\cdot,1)$ {\it tombe en d\'{e}faur} {\it sur la surface algebrique affine} $X\backslash Y$. Le corollaire 6.5 resulte de la proposition 1.7 (1.5), car l'enonce $\mathscr{L}(Y\cdot,1)$ o\`{u} $\dim \mathrm{Y}=1$ est trivialement vrai. Nous allons maintenant etudier les obstructions topologiques au probleme $\hat{\mathscr{L}}(X;p)$ lorsque $X$ est une varie't\'{e} de Stein. La condition $A^{2q}(X)=H^{2q}(X;\mathrm{R})$ est realisee d\`{e}s que $X$ a une $\langle\langle$bonne\}\} topologie, par exemple si $X$ a meme type d'homotopie qu un complexe cellulaire fini, et en particulier si $X\subset \mathbb{C}^{n}$ est un ouvert de Stein born\'{e} a frontiere de classe $C^{1}$, ou une varie't\'{e} algebrique affine. On a d'autre part le resultat suivant. Proposition 6.6. {\it Soit X une variete de Stein de dimension n. Alors on a} $A^{k}(X)$ $=H^{k}(X;\mathrm{R})$ {\it d\`{e}s que le groupe} $\check{H}^{k+1}$({\it X}; $\mathbb{Z})$ {\it est separe, en particulier si n} $\leqq k\leqq 2\prime 7$. \vspace{1em} 366 J-P Demailly {\it Demonstration}. A la suite exacte de faisceaux constants $\mathrm{O}\rightarrow \mathbb{Z}\rightarrow \mathrm{R}\rightarrow \mathrm{R}/\mathbb{Z}\rightarrow \mathrm{O}$ correspond une suite exacte de cohomologie \begin{center} $\check{H}^{k}$ ( $X$ ; Z) $\rightarrow\check{H}^{k}(X;\mathrm{R})j \rightarrow\check{H}^{k}(X;\mathrm{R}/\pi \mathbb{Z})-^{\delta}\rightarrow\check{H}^{k+}' (X;\mathbb{Z})$. \end{center} On munit les espaces de cochaines de la topologie produit deduite des topolo- gies usuelles de $\mathbb{Z},\ \mathrm{R},\ \mathrm{R}/\mathbb{Z}.\check{H}^{k}(X;\mathrm{R})$ devient alors un espace de Frechet et $\check{H}^{k}(X; \mathrm{R}^{\prime}/\mathbb{Z})$ un groupe topologique compact metrisable. De plus les fleches $j,\ \pi,\ \delta$ sont continues. L'hypoth\& e que $\check{H}^{k+1}(X;\mathbb{Z})$ est $\mathrm{S}6\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}6$ entraine que $\mathrm{Ker}\delta$ est ferme, par cons\'{e}quent l'application $\pi:\check{H}^{k}(X;\mathrm{R})\rightarrow \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\delta$ est ouverte d'apr\`{e}s le theoreme de Baire. Soit $\varphi$ une forme lineaire continue sur $\check{H}^{k}(X;\mathrm{R})$, s'annulant sur $j(\check{H}^{k}(X;\mathbb{Z}))$. D'apr\`{e}s ce qul pr\'{e} c\`{e}de, $\varphi$ se factorise en un homo- morphisme $\tilde{\varphi}$ continu a valeurs reelles sur le groupe compact $\mathrm{Ker}$ I. Par suite $\tilde{\varphi}=0$ et $\varphi=\tilde{\varphi}\circ\pi=\mathit{0}$. Le theoreme de Hahn-Banach implique que $j(\check{H}^{k}(X;\mathbb{Z}))[eggx] \mathrm{R}$ est dense dans $\check{H}^{k}(X; \mathrm{R})$, d'oti $A^{k}(X)=H^{k}(X; \mathrm{R})$. Cette situa- tion a lieu en particulier si $k\geqq n$, puisque $\check{H}^{k+1}(X;\mathbb{Z})=\check{H}^{k+1}(X;\mathrm{R}) =\mathit{0}$ d'apres la theorie de Morse. $\square $ La geometrie d'une varie't\'{e} de Stein peut neanmoins \^{e}tre tr\`{e}s pathologique. Ainsi, on va construire une vari\'{e}t\'{e} de Stein $\Omega$ de dimension 3 telle que {\it If} 1 $(\Omega;\mathrm{R}) \simeq \mathrm{IR}$ et $\check{H}^{1}(\Omega;\mathbb{Z})=\mathit{0}$. On considere l'espace topologique $K= (\mathrm{R}_{+}\mathrm{x} \mathrm{R})/-$ ou $\sim$ est la relation d'equivalence definie par $(x_{1}, y_{1})\sim(x_{2}, y_{2})$ s'il existe un entier $m\geqq \mathit{0}$ tel que $x_{1}$ $=x_{2}\geqq m$ et $y_{1}-y_{2}\in 2^{-m}\mathbb{Z}$. On peut concevoir $K$ comme un cylindre qui s'enroule 2 fois sur lui-meme chaque fois qu'on se deplace de +1 le long d'une $\mathrm{g}6\mathrm{n}6\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{e}$, On considere la filtration $K=\displaystyle \bigcup_{m\in \mathrm{N}}K_{m}$ avec $K_{m}=[\mathit{0}, m]\mathrm{x} \mathrm{R},/^{\prime}\sim$, $K_{m}\subset\subset K$. II est facile de voir que $K_{m}$ se retracte sur le cercle $\{m\}\mathrm{x} \mathrm{R}/\sim=\{m\}$ $\mathrm{x} (\mathrm{R}/2^{-m}\mathbb{Z})$, et que l'inclusion $K_{m}\subset K_{m+1}$ est de degre 2. Comme IR est un corps et $\mathrm{R}/\mathbb{Z}$ un groupe compact, la cohomologie de $K$ a valeurs dans $\mathrm{R}$ et $\mathrm{R}/\mathbb{Z}$ s'identifie a la limite projective $1-\mathrm{im}\check{H}\cdot(K_{m})$. Ceci peut se verifier $\langle$<\`{a} la main\}$\rangle$ en considerant les cochaines de $\check{\mathrm{C}}$ ech sur un recouvrement acyclique de $K$. On en deduit un diagramme commutatif \[ \check{H}^{1}(K;\mathrm{R})-\check{H}^{1}(K;\mathrm{R}/\mathbb{Z}) \] \begin{center} $\mathrm{R}1^{\sim} -\displaystyle \lim_{\leftarrow}\mathrm{R}/2^{m}\mathbb{Z}1^{\sim}$ \end{center} ou les fleches verticales sont des isomorphismes. De plus $\check{H}^{k}(K;\mathrm{R})$ $=\check{H}^{k}(K;\mathrm{R}/\mathbb{Z})=0$ pour $k\geqq 2$. On a donc la suite exacte de cohomologie \begin{center} $\mathit{0}\rightarrow\check{H}^{1}(K;\mathbb{Z})\rightarrow \mathrm{R}\rightarrow\varliminf^{\mathrm{R}}/2^{m}\mathbb{Z}\rightarrow\check{H}^{2}$ (A ; $\mathbb{Z}$) $\rightarrow \mathit{0}$ \end{center} et le morphisme IR $\rightarrow\varliminf \mathrm{R}/2^{m}\mathbb{Z}$ est injectif. Par cons\'{e}quent \begin{center} $\check{H}^{k}(K;\mathbb{Z})=\mathit{0}$ pour $k=1$ et $k\geqq 3$, \[ \check{H}^{2}(K;\mathbb{Z})\simeq(\varliminf^{\mathrm{R}}/2^{m}\mathbb{Z}),\mathbb{R}\simeq \mathbb{Z}_{2}/\mathbb{Z} \] \vspace{1em} \end{center} Courants positifs extremaux et conjecture de Hodge 367 o\`{u} $\mathbb{Z}_{2}=\varliminf \mathbb{Z}/2^{m}\mathbb{Z}$ est le groupe additif des entiers diadiques (dans cet exem- pie $\check{H}^{2}$ ( $K$ ; Z) it la topologie grossiere). II est aise de verifier que $K$ est isomor- phe \`{a} un polyedre localement fini de dimension 2. En $\langle\langle$\'{e}paississant\}$\rangle$ les faces de $K$, on construit une variete analytique $\mathrm{r}6\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e} M$ dc dimension 3 qui se r\& racte par d\'{e}formation sur $K.\ \mathrm{D}' \mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{r}6\mathrm{S}$ un theoreme de H. Grauert [4], il existe une vari\'{e}t\'{e} de {\it Stein} $\Omega,\ \mathrm{dim}_{q;}\Omega=3$, et un plongement R-analytique $ M\rightarrow\Omega,\ \Omega 6\mathrm{tant}$ un voisinage tubulaire de {\it M}. $\Omega$ a donc bien la topologie souhaitee. Pour obtenir le meme phenomene en degre $k\geqq 2$, il suffit de poser $X_{k+2}=\Omega \mathrm{x} \Sigma_{k-1}$ ou $\Sigma_{k-1}$ est une varie't\'{e} de Stein ayant $\mathrm{m}6\mathrm{m}\mathrm{e}$ type d'homoto- pie que la sph\`{e} $\mathrm{re} S^{k-1}$, par exemple \begin{center} $\Sigma_{k-1}=\{\Sigma\in \mathbb{C}^{k2}; \sim_{1}+\neg\ldots+z^{\frac{\gamma}{k}}=1\}$. \end{center} On a alors $\dim_{\mathbb{C}}X_{k+2}=k+2$, et la formule de Kiinneth donne $\check{H}^{k}$( $X_{k+2}$ ; R) $\simeq \mathrm{R}$, $\check{H}^{k}(X_{k+2} ; \mathbb{Z})=0$ si $k$ \$ 2, \begin{center} $\check{H}^{2}(X_{4} ; \mathbb{Z})\simeq H^{2}(\Omega;\mathbb{Z})[eggx] H^{0}(\Sigma_{\mathrm{t}} ; \mathbb{Z})\simeq \mathbb{Z}_{2}^{\prime}\mathbb{Z}$. \end{center} Posons $ X_{3}=\Omega$. On obtient dans tous les cas : \begin{center} $H^{k}$( $X_{k+2}$ ; R) $=\mathrm{R},\ H^{k}(X_{k+2} ; \mathbb{Z})=0$ pour A41. \end{center} Si $X$ est une variete de Stein, on salt que toute classe $\eta\in H^{\underline{?}q}(X;\mathrm{R})$ peut etre representee par unc $(q, q)$-forme $\mathrm{r}6\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e} \mathrm{ferm}6\mathrm{e} h;h$ etant donnee, il existe une fonction plurisousharmonique $\varphi\in\%^{J\mathrm{I}}(X)$ telle que $h+(c\mathit{1}ct^{\mathrm{t}}\varphi)^{q}\in SPC^{p}(X)$, $p+q=\dim X$. Par suite : lemme 6.7. {\it Si X est de Stein, l}'{\it application} cl: $SPC^{p}(X)\rightarrow H^{2q}$(X ;R) {\it est} {\it surjective}. Appliquons le lemme 6.7 et la proposition 6.3 avec $X=X_{2k},\ p=k+1$, $\zeta t^{=k-1}$. On obtient alors des contre-exemple $\mathrm{s}$ au probleme $\hat{t}^{\zeta J}(X;p)$. Corollaire 6.8. $\epsilon Y^{k\dashv 1}(X_{\rightarrow k}\urcorner)\subset SPC_{\mathrm{Z}}^{k+1}\leftrightarrow(X_{2k})\neq SPC^{k+1}(X_{2k})$ {\it sur les varietes de Stein} $X_{2k},\ k\geqq 2$. $ X_{3}=\Omega$ se plonge dans $\mathbb{C}^{7}$ d'apres un theoreme classique de R. Narasimhan. La varie't\'{e} $X_{2k}=\Omega \mathrm{x} \Sigma_{2k-3}$ admet doric un plongement dans $\mathbb{C}^{7}$ $\mathrm{x} \mathrm{T}^{2k-2}=\mathrm{r}^{2k+\overline{\tau}}\backslash $. La proposition 1.7 (1.4) nous permet par cons\'{e}quent de retrouver que l'enonce $g^{p}(\mathbb{C}^{2k+5} ; k+1)$ est faux si $k\geqq 2$. 7. Approximation d'un courant de bidegre (1, 1) par des diviseurs irreductibles L'objet de ce paragraphe est de demontrer la conjecture $\hat{\mathscr{L}}_{\mathrm{Z}}(X;${\it p}) en codimen- sion 1. The'or\`{e}me 7.1. {\it Soit X une variete de Stein} tart {\it une vc\iota ri\'{e}I\'{e} projective connexe, de} {\it dimension} $n\geqq 2$. {\it Alors} $SPC_{\mathrm{Z}}^{n-1}(X)=\overline{-t^{n-1}\wedge(X)}$. \vspace{1em} 368 J-P Demailly On observera que dans ce theoreme il n'est pas necessaire de prendre l'enveloppe convexe de $.f^{n-1}(X)$, l'ensemble $\mathrm{d}' 616\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{s}$ extremaux $eF^{n-1}(X)$ etant deja dense dans $SPC_{\mathrm{Z}}^{n-1}(X)$. La d\'{e}monstration repose sur une serie de lemmes. Lemme 7.2. {\it Tout courant} $T\in SPC_{\mathrm{Z}}^{n-1}(X)$ {\it est limite Jaible d}'{\it une suite} $T_{v}\in SPC^{n-1}(X)$ {\it telle que} (7.1) cl $(T_{v})\in H^{2}(X;\mathbb{Z})[eggx] \mathrm{Q}$ {\it si} $X$ {\it est de} $Stei_{l?}$ ; (7.2) cl $(T_{\mathrm{v}})\in H^{1,1}(X)\cap H^{2}(X;\mathrm{Q})$ {\it si} $X$ {\it est projective}; (7.3) $T_{\mathrm{v}}>0$, {\it i.e. il existe une} $(1, 1)$-{\it forme} $\}_{v}^{\mathrm{I}}>0$ {\it telle que} $T_{v}\geqq\gamma_{v}$. {\it Demonstration}. Soit 0 une $(1, 1)$-forme $\mathrm{ferm}6\mathrm{e}$ de classe $C^{\infty}$ {\it telle} que $\mathrm{c}1(\mathit{0})$ $=\mathrm{c}1 (T)$. On a donc $T=\theta+T_{0}$ avec cl $(T_{0})=0$, et $\mathrm{c}1(\theta)\in A^{2}(X)$ par hypothese. {\it Preuve de} (7.1). $H^{2}$( $X$ ; Z) $[eggx] \mathrm{Q}$ est dense dans l'espace $H^{2}$( $X$ ; Z) $[eggx] \mathrm{R}$, dont I'adherence est $A^{2}(X)$ (cf. $\mathrm{d}6\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}6.2$). Il existe donc une suite $c_{v}\in H^{2}$ ( $X$ ; Z) $[eggx] \mathrm{Q}$ {\it telle} que \begin{center} cl $(\displaystyle \theta)=\lim_{v\rightarrow+\infty}c_{v}$. \end{center} Soit $\theta_{v}$ une 2-forme reelle fermee representant la classe $c_{v}$. Par d\'{e}finition de la topologie de $H^{2}(X;\mathrm{R})$, on peut choisir des representants tels que la suite 0 converge vers 0 dans $\subset g_{2}^{\sigma)}(X;\mathrm{R})$. La compo- sante de bidegre $(\mathit{0},2)$ de 0 est $\overline{0^{\gamma}}$-fermee et tend vers 0. Le theoreme de l'application ouverte de Banach montre que l'equation $\overline{\partial}u_{v}=\theta_{v}^{0,2}$ se resout avec une suite $u_{\mathrm{v}}\rightarrow 0$; quitte a remplacer 0 par $\mathit{0}_{\iota}-d(u_{\backslash }+\overline{u}_{v})$ on peut supposer de plus que 0, est de bidegre $(1, 1)$. Puisque $\mathit{0}_{v}\rightarrow[j$, il existe une suite $\varphi_{\mathrm{v}}$ de fonctions plurisousharmoniques convergeant vers 0 dans $'.d^{\mathrm{m}}(X)$ telles que $\mathit{0}_{\mathrm{Y}}+i^{\gamma}c\overline{c^{\gamma}}c\rho_{\backslash }>\theta$. II vient donc $T=\displaystyle \lim_{\mathrm{v}\rightarrow+\mathrm{u}}T_{v}$ avec \[ T_{v}=\mathit{0}_{\mathrm{v}}+i\partial^{\overline{\gamma}}c\varphi_{\mathrm{v}}+T_{0}>\theta+T_{0}=T\geqq 0 \] et \begin{center} cl $(T_{\mathrm{t}})=\mathrm{c}1 (\mathit{0}_{\iota},)=c_{\mathrm{v}}\in H^{2}(X;\mathbb{Z})[eggx]$ Q. \end{center} {\it Preuve de} (7.2). cl $(\theta)\in A^{2}(X)=H^{1.1}$ ( $X$ ; Z) $[eggx] \mathrm{R}$, donc il existe des $(1, 1)$-formcs $\mathrm{t}$ elles fermees $\alpha_{j}$ et des scalaires $\hat{\Lambda}_{j}\vee\in \mathrm{R},\ 1\leqq j\leqq N$, tels que \begin{center} cl $(\alpha_{j})\in H^{\mathrm{I},1}(X)\cap H^{2}(X;\mathbb{Z})$ et $0=\displaystyle \sum_{j=1}^{N}\grave{\Lambda}_{j}\alpha_{j}$. \end{center} Soit $\omega$ une metrique de Hodge sur $X$ et $\lambda_{j\backslash }\in \mathrm{Q}$ tel que $|\lambda_{j}-\lambda_{jv}|<1/\mathrm{v}^{2},\ \mathrm{v}$ $=1$, 2, $\ldots$. On a: $\theta=$ Jim 0 avec \[ \mathrm{v}\rightarrow+\infty \] \begin{center} $\displaystyle \theta_{v}=-\frac{]}{v}\omega+\sum_{j=1}^{N}\hat{\Lambda}_{j\iota},\ \alpha_{j}$, \end{center} cl $(\theta_{\mathrm{v}})\in H^{1,1}(X)\cap H^{2}$ ( $X$ ; Q) et $\theta_{v}>\mathit{0}$ pour $v$ assez grand. On pose alors $T_{v}=\theta_{v}+T_{0}.\ \square $ \vspace{1em} Courants posit][\backslash cxtreinaux cl conjecture dr Hodge 369 D'apr\`{e}s le lemme 7.2, il suffit de montrer que tout courant $T>0$ de bidegre $(1, 1)$ et de classe cl ({\it T}) {\it el7ti\`{e}re} est limite faible $\mathrm{d}' 616\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{s}$ de $ef^{n-1}(X)$. Nous aurons besoin du lemme classique suivant. Lemme 7.3. {\it Si} cl $(T)\in H^{2}(X, \mathbb{Z})$, {\it il existe} $U\mathfrak{l}1$ {\it fibre lineaire L} $\llcorner\backslash ur$ {\it X de classe de} {\it Chern} $c_{1}(L)=\mathrm{c}1(T)$. La suite exponentielle $0\rightarrow \mathbb{Z}\rightarrow C^{\prime}\rightarrow \mathrm{C}^{\mathrm{r}*}\rightarrow 1$ donne en effet un diagramme commutatif \begin{center} $\check{H}^{1}$ ( $X$;{\it it} ,) $-^{\delta}\rightarrow\check{H}^{2}(X;\mathbb{Z})- \rightarrow\check{H}^{2}(X;\mathrm{C}^{\mathrm{r}})$ $\backslash _{\backslash }`\backslash \mathrm{J}\backslash _{\searrow} \downarrow /^{/_{\pi_{11_{-}^{\urcorner}}}^{\prime}}\nearrow$ \[ H^{2}(X_{\mathrm{i}}1\mathrm{R}] \] \end{center} Si $X$ est de Stein Is groupe $\check{H}^{2}(X_{\backslash }. l^{(})$ est nul: si $X$ est projective, $\pi_{\mathrm{t}1.2}$ s'identifie a la projection $H^{2}(X;\mathrm{R})\rightarrow H^{0_{\backslash }2}(X)$ dans la d\'{e}composition de Hodge. Dans les deux cas on a $\pi_{0,2}(\mathrm{c}1 (T))=0$, donc cl ({\it T}) provient d'une classe d'isomorphisme de fibrOs lineaires dans $\check{H}^{1}(X;C^{(}'').\ \square $ On munit le fibr6 $L$ d'une metriquc hermitienne de classe $C$'. La classe $c_{1}(L)$ cst alors definie par la forme de courbure $\displaystyle \frac{\mathrm{i}}{2\pi}c\cdot(L)$, d'ott cl $(T-\displaystyle \frac{i}{2\pi}c(L))=0$. Comme $T-\displaystyle \frac{\mathrm{i}}{\pi}c(L)\in rJ_{l--1.n-1}^{\prime}2'(X)$, il existe $\varphi\in J_{n_{\backslash }n}^{\prime}c(X)$ tel que $T=\displaystyle \frac{i}{2\pi}(c(L)+\partial\overline{\mathrm{c}^{\gamma}'}\varphi)$. (7.3) Puisque $T>\mathit{0}$ et que $c(L)$ est une forme {\it C}' la distribution $\varphi$ peut \^{e}tre $\mathrm{repr}6\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{e}$ par une fonction (encore $\mathrm{not}6\mathrm{e} \varphi$), qui est localement somme d'une fonction plurisousharmonique et d'une fonction $C$''. Lemme 7.4. {\it Soit} $L^{*}$ {\it le fibre dual de L et} $p:L^{*}\rightarrow X$ {\it la projection. La fonction} $\psi(\zeta)$ $={\rm Log}|\zeta|^{2}+\varphi(p(\zeta))$ {\it est plurisousha rmonique sur l}'{\it espace total} $L^{*}$, {\it et on} $a$ \[ i \] \begin{center} $\overline{2\pi}\mathrm{t}^{\gamma}\overline{c^{\gamma}}\psi=[X] +p^{*}T$ \end{center} o\`{u} $[X]$ {\it est le courant d}'{\it integration sur} $ln$ {\it section nulle de} $L^{*}$. {\it Demonstration}. L'application $\zeta^{\mapsto}\zeta\prime\prime$ definit une section holomorphe du fibr6 image $\mathrm{r}6\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{e} p^{*}L^{*}$, section dont le lieu des $\mathrm{Z}6\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{s}$ est $X.\ \mathrm{L}' 6\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$ dc Lelong-Poincare implique \begin{center} $\displaystyle \frac{\mathrm{i}}{2\pi}C^{\mathrm{T}_{(_{/}{\rm Log}|\zeta|^{2}=[X]-\frac{i}{2\pi}c(p^{*}L^{*})=[X]}^{\overline{\tau_{1}}}},\ +\displaystyle \frac{i}{2\pi}p^{*}(c(L))$, \end{center} d'ou le resultat d'apres (7.3). $\square $ \vspace{1em} 370 J -P $\mathrm{Dem}_{\mathrm{c}}\iota \mathrm{I}^{\cdot}11\mathrm{y}$ La ddmonstration du tbeoreme 7.1 suit maintenant de pr\`{e}s la methode de P. Lelong [9], qui correspond au cas ou le fibr\'{e} $L$ est trivial. L'id\'{e}c (due a K. Oka) consiste a utiliser une fonction holomorphe dont le domaine d'existence est un $\langle\langle$ouvert de Hartogs\}\} dans $L^{*}$. Lemme 7.5. {\it Soit} $\Omega$ {\it le domaine de Hartogs} \begin{center} $\Omega=\{_{\check{\zeta}}\in L^{*} ; \psi(_{\mathrm{L}}\mu)={\rm Log}|_{\check{\mathrm{L}}}|^{2}+\varphi(p(\zeta))<0\}$. \end{center} {\it Si} $X$ {\it est de Stein}, $L^{*}$ {\it et} $\Omega$ {\it sont egalement de Stein}. {\it Si} $X$ {\it est projective}, $\Omega$ {\it est domaine d}'{\it existence d}'{\it une} ]$onc$ {\it tion holomorphe} $F$, {\it \`{a}} {\it condition de remplacer} $4ventuellement L^{*},\ T,\ \varphi$ {\it par} $L^{-k},\ kT,\ k\varphi$ {\it ou} $k$ {\it est un entier} $>\mathit{0}$ {\it assez grand}. Il suffit de $\mathrm{consid}6\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{r}$ le cas ou $X$ est projective. Par construction de 1et $\varphi$ on a $ic(L)+ic^{\gamma}\overline{\partial}\varphi=2\pi T>\mathit{0}$, donc le fibr6 $L$ est ample. Quitte a remplacer $L$ par une puissance $L^{k}$, il existe un $\mathrm{syst}4\mathrm{m}\mathrm{e} \sigma= (\sigma_{\partial}, \sigma_{1}, \ldots, \sigma_{1})\backslash $ de sections de $L$ sans zeros communs tel que le diagramme commutatif \[ L^{*}-\mathbb{C}^{N+1}\supset \mathrm{T}^{N+1}\underline{\sigma}\backslash \{^{\mathit{0}}\}|,\nearrow/ \] \begin{center} $ p\rfloor \rfloor^{q} /^{/}q$ \[ X-^{j}\rightarrow \mathrm{P}^{\backslash }Y \] \end{center} definisse un plongement $j$ de $X$ dans $\mathrm{P}^{N}$. L'image a $(L^{*})=\overline{q^{-1}(j(X))}$ est une varie't\'{e} algebrique affine homogene dans $\mathbb{C}^{N+1}$, et a est l'application qui ecraom la section nulle de $L^{*}$ sur 0. Comme $\psi \equiv-\infty$ sur $X=\sigma^{-1}(0),\ \psi$ se factorise en une fonction plurisousharmonique $\tilde{\psi}$ sur $\sigma(L^{*})$ telle que $\psi =\tilde{\psi}\circ\sigma$. L'image $\sigma(\Omega)$ $=\{z\in\sigma(L^{*});\tilde{\psi}(z)<0\}$ est donc un espace de Stein avec singularit\'{e} isolee en 0. $\mathrm{II}$ existe par cons\'{e}quent une fonction holomorphe $\tilde{F}$ dont le domaine d'existence est $\sigma(\Omega)$. La fonction $ F=\tilde{F}\circ\sigma$ r\'{e}pond $\mathrm{a}\urcorner$ la question. $\square $ On se donne une fonction holomorphe $F$ dont le domaine d'existence est Q. $F$ peut s'\'{e}crire de maniere unique sous forme d'une serie entier $\mathrm{e}$ \begin{center} $F(\displaystyle \zeta)=\sum_{\mathrm{v}=0}^{\mathfrak{X}}F_{\mathrm{t}}(z).\ \zeta^{v},\ \zeta\in\Omega\subset L^{*},\ z=p(_{\check{\zeta}})\in X$, \end{center} o\`{u} $F_{v}$ est une section de $L^{v}$ au-dessus de $X$. La construction de $F$ et du domaine de Hartogs $\Omega$ montrent que $\varphi$ est la limite superieure regularisee \begin{center} $\displaystyle \varphi=(\lim_{\mathrm{v}\rightarrow+}\sup_{\mathrm{m}}\frac{1}{\mathrm{t}'}{\rm Log}|F_{v}|^{2})^{*}$ (7.4) \end{center} Le point crucial de la d\'{e}monstration est contenu dans le lemme suivant. Lemme 7.6. {\it Il existe une suite d}'{\it entiers} $k_{\mathrm{v}}>\mathit{0}$ {\it et une suite de sections} $G_{v}$ {\it de} $L^{k_{\backslash }}$ {\it relles que} \begin{center} $\displaystyle \varphi=\lim\underline{1}{\rm Log}|G_{v}|^{2}$ {\it dans} $L_{1\mathrm{oc}}^{1}(X)$. \[ \backslash \cdot\rightarrow+\infty k_{\mathrm{Y}} \] \vspace{1em} \end{center} Courants positi[,, exlramaux et conjecture de Hodge 371 {\it Demonstration}. Posons comme $\mathrm{I}$). Lelong [9] \begin{center} $\displaystyle \varphi_{r_{\mathrm{t}}\mathrm{s}}=\sup_{r\leqq v\leqq s}\frac{1}{\iota^{\tau}}{\rm Log}|F_{\iota}|^{\underline{\gamma}}=\frac{1}{\llcorner\backslash !}\sup_{\nwarrow r\leqq\backslash \backslash =}{\rm Log}|F_{\mathrm{v}}^{s^{1}/v}|^{2}$. \end{center} La famille $\{_{\iota'}^{1}--{\rm Log}|F_{\mathrm{t}}|^{2}\}$ est localement uniformement majoree. et l'egalite (7.4) montre que $\varphi=$ Jim $\displaystyle \downarrow(\lim\uparrow\varphi_{r.s})$'. \begin{center} $ r\rightarrow+\infty s\rightarrow+\mathrm{x}$ \end{center} La fonction $\varphi$ est donc limite dans $L_{1\mathrm{r}' \mathrm{c}}^{1}(X)$ de fonctions du type $\varphi_{r,\mathrm{s}}$. II suffit alors de demontrer le lemme 7.6 pour une fonction $\varphi_{\zeta)}$ de la forme \[ \varphi_{0}=-\iota 1\backslash \sup_{1\leqq\backslash \leqq N}{\rm Log}|H_{1}|^{\underline{\gamma}} \] ou les $H_{v},\ 1\leqq v \leqq N$, sont des sections de $L^{\mathrm{b}}$. On peut $6\mathrm{videmment}$ supposer que les quotients $H_{v}/H_{\mu}$ ne sont pas identiquement de module 1 sinon on suppri- me l'une des sections $H_{\backslash }$. Soit $E$ l'ensemble des points $\sim-\in X$ pour lesquels il existe un couple $(l^{l_{\backslash }1}')$. $\mu\neq\iota$'' tel que $|H_{\mu}(_{\Delta}^{\sigma})|^{2}=|H_{\mathrm{t}},(\Leftrightarrow)-|^{\underline{7}}$. L'ensemble $E$ est analytique r\'{e}el, car la m\'{e}trique $C$'' de $L^{s}$ se simplifie darts les equations $\mathrm{prdC}6\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{s}$; de plus $E$ est de mesure nulle par connexite de $X$. En tout point $:,\in X\backslash E$ on peut ecrire \begin{center} $\displaystyle \varphi_{0}(_{-}^{-})=\lim_{k\rightarrow+\backslash }\frac{1}{k\llcorner\backslash }{\rm Log}|\sum_{k=1}^{\backslash }' H_{\iota}^{k}|^{2}$. (7.5) \end{center} Pour montrer que la convergence a lieu dans $L_{\mathfrak{l}\mathrm{oc}}^{1}(X)$, it suffit de verifier que la suite $\displaystyle \varphi_{k}=\frac{1}{k\mathrm{ts}}{\rm Log}|\sum_{k=1}^{N}H_{\iota}^{k}|^{2}$ est localement equi-integrable sur $X$. Soit $\rho$ un repere local du fibr\'{e} $L$ au-dessus d'un ouvert $U\subset X$. Les fonctions $\varphi_{k}-{\rm Log}|p|^{2}$ sont plurisousharmoniques (car la metrique de $L$ se simplifie). localement $\mathrm{uniform}6\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t} \mathrm{major}6\mathrm{e}\mathrm{s}$ sur $[]$, et $\iota.\mathrm{nf}\varphi_{k}k> -\mathrm{x}$ presque partout sur $U$ d'apres (7.5). La famille $\{\varphi_{k}-{\rm Log}|\rho|^{2}\}$ est donc bornee dans $L_{1\mathrm{oc}}^{1}(U)$, et par suite 6qui- {\it \iota}.nt\'{e}grable en vertu des propri\'{e}t\'{e}s classiques des fonctions sousharmoniques. $\square $ Soit $Z_{v}$ le diviseur des zeros de $G_{\backslash },\ G_{\mathrm{t}} 6\mathrm{tant}$ la suite de sections du lemme 7.6. $\mathrm{L}' 6\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$ de Lelong-Poincar6 implique \begin{center} $\displaystyle \frac{i}{2\pi}(({\rm Log}\wedge\overline{\gamma}|G_{\iota}|\gamma\leftarrow=[Z_{1}]-k_{1}\frac{\mathrm{i}}{2\pi}`\cdot(L)$. \end{center} D'apr\`{e} $\mathrm{s}$ le lemme 7.6 et l'\'{e}galit\'{e} (7.3) on obtient \begin{center} $\displaystyle \frac{i}{2\pi}`\hat'(-\wedge\varphi=\lim_{\backslash \rightarrow+\chi}k_{1}1[Z_{\iota}]-\frac{i}{2\pi}c\cdot(L)$, \[ T=\frac{i}{2\pi}((.(L)+(^{\hat{\tau}}\overline{(^{\gamma}}\varphi)=\lim_{v\rightarrow+\mathrm{m}}\frac{1}{k_{1^{1}}}[Z_{v}] \] \vspace{1em} \end{center} 372 J-P Demailly pour la topologie faible de $\Delta_{n-1.n-1}^{\prime}\mathrm{C}i(X)$. Comme chaque diviseur $[Z_{v}]$ se $\mathrm{d}6\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}$ en une somme localement finie de diviseurs $\mathrm{irr}6\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{s}$, on a en fait $\mathrm{d}6\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{r}6$ que \begin{center} $ SPC_{\mathrm{Z}}^{n-1}(X)=_{t}\beta^{\prime l-\iota_{(X)}}\leftrightarrow$. \end{center} Pour achever la preuve du theoreme 7.1 il reste seulement a rendre les diviseurs $Z_{v}$ irreductibles, ce qui est possible grace aux techniques de [2]. On etudiera separement le cas des varietes projectives et des varietes de Stein. Proposition {\it 7.7. Soit} $X$ {\it une variete projective irreductible de dimension} $n\geqq 2,\ L$ {\it un fibr\'{e} lin\'{e}aire} $>0$ {\it sur} $X$ {\it et} $G$ {\it une section non nulle de L. A lors il existe un} {\it fibre lin\'{e}aire hermitien} $M$ {\it et une section non nulle} $H$ {\it de} $M$ {\it ayant la propri\'{e}t\'{e}} {\it suivante}: {\it pour tout entier} $k\geqq k_{0}$ {\it assez grand, il existe une section} $H_{k}$ {\it de} $L^{k}[eggx] M$ {\it et} $\epsilon,(k)>0$ {\it tels que le diviseur des zeros de} $G^{k}H+\epsilon H_{k}$ {\it soit irreductible si} $\epsilon\in \mathbb{C}$, $0<|\epsilon|<\epsilon(k)$. On aura alors ${\rm Log}|G|^{2}=\displaystyle \lim_{k\rightarrow+\mathfrak{u}}\frac{1}{k}{\rm Log}|G^{k}H+\epsilon_{k}H_{k}|^{2}$ dans $L^{1}(X)$, a condition de choisir une suite $P_{k}$, tendant rapidement vers 0. Si l'on calcule le $\displaystyle \frac{i}{2\pi}c^{\tau}\overline{c^{\gamma}}$ en tenant compte de l'egalite $c(L^{k}[eggx]\rangle(M)=kc(L)+c(M)$, on voit que le diviseur de $G$ est limite faible de diviseurs irreductibles. {\it Demonstration}. Soit [Z] le diviseur de $G,\ [Z] =\displaystyle \sum_{j=1}^{N}a_{j}[Z_{j}],\ a_{j}\in \mathbb{Z},\ lil_{j}>0$, sa d\'{e}composition en diviseurs irreductibles. II est clair qu'on peut trouver une suite d'hypersurfaces irreductibles $\mathrm{Y}_{\downarrow},\ 1\leqq l \leqq N_{1}$, 2 a 2 distinctes, contenant la suite $Z_{j}$ (avec $\mathrm{Y}_{1}=Z_{1},\ \mathrm{Y}_{N_{1}}=Z_{N}$) et ayant la propri\'{e}t\'{e} suivante: pour {\it tout} indice $l,\ 1\leqq \mathit{1} \mathit{0}$, {\it il existe une fonctiort holom} $orpl?eH$ {\it sur} $X$ {\it v\'{e}rifiant} (7.6) $|H-1 |<\epsilon$ {\it sur} $K$ ; \begin{center} (7.7) $H(z) =H(\zeta)=0,\ dH_{-,\sim},\in U_{\tilde{\mathrm{A}}},\ dH_{\zeta}\in U_{\zeta}$ ; (7.8) {\it il existe des hypersurfaces irreductibles} $Y_{0},\ Y_{1}$, ..., $Y_{N}$ {\it contenues dans} $H^{-1}(0)$, {\it telles que} $z\in Y_{0},\ \zeta\vee\in Y_{N}$, {\it telles que} $Y_{j}$ {\it et} $Y_{j-1}$ {\it se coupent} $t/\cdot ans\iota.ersalement$ {\it en} $z_{j},\ 1\leqq j\leqq N$, {\it et telles que le germe du diviseur de} $H$ {\it en} $z_{j}$ {\it soit} $[Y_{j}]+[ Y_{j-1}]$. \end{center} {\it Demonstration}. $X \backslash K$ ne peut avoir de composante connexe relativement compacte dans $X$. Le theoreme de Hartogs affirme que toute fonction holo- morphe sur $X\backslash K$ se prolonge \`{a} $X$, par cons\'{e}quent $X\backslash K$ est connexe. On commence par $\mathrm{d}_{6}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{r}$ que tout point $-\sim 0\in X\backslash K$ a un voisinage $V$ tel que le lemme 7.9 soit vrai quand 7., $;\in V$ ( $\epsilon,\ U_{z},\ U_{r,\mathrm{b}}$, quelconques). On prend $V$ $\subset\subset B\subset\subset W\subset X\backslash K$, ou $(W;w_{1}, \ldots, w_{n})$ est une carte locale en $z_{0}$, et $B$ une boule de centre $z_{0}$ suffisamment petite pour que le compact $K\cup\overline{B}$ soit holomorphi- quement convexe. Pour chaque couple $(z, \zeta`)'\in V^{2},\ z \neq\zeta$, il existe un polyn\^{o}me $P\in \mathrm{CI}[w_{1}, \ldots, \mathrm{t}\mathrm{t}_{n}^{\backslash }]$ tel que $P(_{\sim}^{-})=P(\mathrm{cL})\wedge=0,\ dP_{-}\in U_{=}\sim$' $dP_{\mathrm{b}}r\in U_{\zeta}$, et tel que la vari\'{e}t\'{e} $B\cap P^{-}{}^{\mathrm{t}}(0)$ soit lisse et connexe. Soit \& , le faisceau des germes de fonctions holomorphes $\mathrm{q}\underline{\mathrm{u}}\mathrm{i}$ s'annulent aux points $\overline{\Delta}$ et :; soit $P$ la section de $\acute{J}_{-,\sim\tau\zeta}^{\overline{k}}$, au dessus de $K\cup B$ definie par $\tilde{P}=1$ au voisinage de $K$, et $\tilde{P}=P$ au voisinage de $\overline{B}.\ \llcorner \mathrm{e}$ theoreme d'approximation d'Oka-Weil donne une section globale $H_{\tilde{\Delta}\cdot\zeta}$ verifiant (7.6), (7.7). Lorsque $H_{-,\sim},$, , est assez voisin de $P$ sur $\overline{B}$, la composante irrdductible $Y_{0}$ de $H_{-,L'.\zeta}^{-1}(\mathit{0})\mathrm{q}$ ui $\mathrm{contient}\Leftrightarrow\pi$ contient aussi :, d'ou la propri\'{e}t\'{e} (7.8) avec $N=\mathit{0}$. Lorsque $z$ et ; sont quelconques, la connexit6 dc $X\backslash K$ permet de trouver des ouverts $V_{1},\ \ldots,\ V_{N+1}$ du type pre'c\'{e}dent\backslash tels que $\overline{L}\in V_{1},\ :\in V_{N+1}$, et $ V_{j}\cap V_{j+1}\neq\emptyset,\ V_{j}\cap V_{j+1}\cap V_{j+1}=\emptyset$. On pose $z_{0}=z,\ -\nabla N+1 =\zeta$, et on choisit $z_{j}\in V_{j}\cap V_{j+1}\cap D,\ 1\leqq j\leqq N$. On prend $H_{j}=H_{\underline{\tau}--\{1},,,,\ 0\leqq j\leqq N$, avec de plus $H_{j}(_{k}\underline{7})$ tr\`{e}s voisin de 1 pour $k\neq j,\ j+1$. La fonction $ H=H_{0}H_{1}\ldots H_{N}$ repond ala question. $[]$ {\it Indications sur la} $preu\iota^{1}e$ {\it de la proposition} 7.8 Soit $G$ une section de $L,\ K=\hat{K}\subset\subset X$, et $Z_{1},\ \ldots$ , $Z_{N}$ les hypersurfaces irreductibles contenues dans le diviseur de $G$ et qui rencontrent $K$. Le lemme 7.9 permet de trouver une hypersurface $H=0$ qui $\langle\langle$relie\}\} entre elles les hyper- surfaces $Z_{1},\ \ldots,\ Z_{N}$. On construit comme dans la proposition 7.7 une section $F$ de $L$ telle que l'hypersurface $GH+\epsilon F=\mathit{0}$ ait une seule branche irreductible rencontrant $K$ (pour tout $\epsilon\neq 0$ assez petit). On r\'{e}p\`{e}te ensuite le procede avec une suite exhaustive de compacts $K_{v}$ $=\hat{K}_{\mathrm{Y}}.\ \square $ Corollaire 7.9. {\it Soit X une variete} $projecti\mathrm{t}^{1}e$ ({\it resp. de Stein}) {\it de dimension n} $\geqq 1$. {\it Alors} $J^{n-1}(X)=SPC_{\mathrm{Z}}^{n-1}\infty(X)$. \vspace{1em} 374 J-P Demailly Si $X$ est de dimension 1, le corollaire 7.9 signifie simplement que toute mesure $\geqq 0$ sur $X$ est limite faible de combinaisons $\mathrm{lin}6\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s} \geqq 0$ de mesures de Dirac. Si $X$ est non connexe de dimension $n\geqq 2$, il suffit d'appliquer le theoreme 7.1 a chaque composante connexe de $X$. D'apres la proposition 6.6 et les {\it remarques} qui pre'c\`{e}dent, on a d'autre part le resultat suivant. Corollaire 7.10. {\it Soit X une variete de Stein} (.{\it onnexe de dimension n} $\geqq 2$. {\it Alors} $J^{n-1}(X)=SPC^{n-1}(X)$ {\it dans les cas suivants}: (7.9) tt $=2$; (7.10) $X$ {\it est un ouvert borne}' {\it de} $\mathbb{C}^{\mathrm{M}}$ {\it \`{o}} $fronti6re C^{1}$ : (7.11) $X$ {\it est une vari\'{e}r\'{e} algebrique qffine}. {\it Remarque 7.11}. Dans la situation du corollaire 6.5, choisissons $T\in SPC^{1}(X)$, $T\not\in SPC_{\mathrm{Z}}^{1}(X)$. Le corollaire 7.10 montre que $T|_{X\backslash Y}$ est limite faible de courants d'inthgration $\lambda_{v}[Z_{\iota},]$ sur $X\backslash Y$. Il est facile de montrer que sur $X\backslash Y$ les cycles algebrii ues sont denses dans les cycles analytiques. On peut donc choisir des courbes $Z_{v}$ dont les completions $\overline{Z}_{v}$ sont tio courbes algebriques de $X$. Neanmoins, il n'est pas possible d'approximer $T|_{X\backslash Y}$ par une suite $\Lambda_{v}^{\triangleleft}[Z_{\backslash \mathfrak{l}}]$ avec un contr\^{o}le uniforme de la masse des $\grave{\Lambda}_{\mathrm{h}}[Z_{v}]$ au voisinage de $Y$. En effet, si cela $6\mathrm{tait}$ vrai, une sous-suite de $\lambda_{\mathrm{Y}}[\overline{Z}_{v}]$ convergerait vers $T+\lambda[\mathrm{Y}]$, avec $]_{\vee}\geqq \mathit{0}$, donc $7^{\neg}=\displaystyle \lim\lambda_{v}[\overline{Z}_{v}]-\lambda[Y]$ serait dans $SPC_{\mathrm{Z}}^{1}(X)$. \[ \mathrm{v} \] Bibliographie 1 Bourbaki, N. Espaces vectoriels topologiques, chap. 1 et 2, Paris: Hermann, 1964 2. Demailly, J.-P.: Construction d'hypersurfaces irreductibles avec lieu singulier donne dans [' Ann. de l'Inst Fourier 30, (fasc. 3) 219-236 (1980) 3. Federer, H : Geometric measure theory, Band 153. Berlin, Heidelberg, New Yoxk. Springer 1969 4. Grauert, H.: On Levi's problem and the imbedding of real analytic manifolds Ann. of Math., 68, $(\mathrm{n}^{\mathrm{o}} $2) 460-472 (1958) 5. Harvey, R. Holomorphic chains and their boundaries. Proceedings of Symposia in pure Mathematics of the Amer Math. Soc, held at Williamstown, vol. 30, Part 1, pp 30\% 382 (1975) 6. Harvey, R., Knapp, A.W . Positive ({\it p}, {\it p}) forms, Wirtinger's inequality and currents Value distribution theory. Part A: Proc Tulane Univ. Program on Value Distribution Theory in Complex Analysis and Related Topics in Differential Geometry, 1972-1972 pp 43-62, New York: Dekker 1974 7. Lelong, P:lnt6gration sur un ensemble analytique complexe. Bull Soc Math. France 85, 239- 262 (1957) 8. Lelong, P.: Fonctions plurisousharmoniques et formes differentielles positives New York. Gordon and Breach, Paris: distribu6 par Dunod Editeur, 1968 9. Lelong, P. Elements extramaux sur le {\it c\^{o}}ne des courants positifs fermes. Seminaire P. Lelong (Analyse), 12e annee, 1971-1972, Lecture Notes in Math., vol. 332 Berlin, Heidelberg, New York: Springer 1972 t0. Phelps, R. : Lectures on Choquet's theorem. Princeton, New Jersey: Van Nostrand, 1966 11. Skoda, H Prolongement des courants positifs fermes de masse finie Invent. Math 66, 361 $37()$ (1982) \begin{center} Oblatum May 15, 1982 \vspace{1em} \end{center}\end{document}