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\begin{document}
\begin{center}
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\end{center}
J.-P. DEMAILLY

Formules de Jensen en plusieurs variables et
applications arithmetiques

{\it Bulletin de la S. M. F}., tome 110 (1982), p. 75-102.

$<\mathrm{http}://\mathrm{w}\mathrm{w}\mathrm{w}.\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{m}.\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{g}_{---}/\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{m}?\mathrm{i}\mathrm{d}=\mathrm{B}\mathrm{S}\mathrm{M}\mathrm{F}198211075 -0>$

$[eggc]$ Bulletin de la S. M. F., 1982, tous droits r\'{e}serv\'{e}s.

L'acces aux archives de la revue $\langle\langle$ Bulletin de la S. M. F. $\rangle\rangle (\mathrm{http}://\mathrm{s}\mathrm{m}\mathrm{f}$.

$\mathrm{emath}.\mathrm{f}\mathrm{r}/\mathrm{P}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}/\mathrm{B}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}/\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$.html), implique l'accord avec

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\[
N\mathrm{UMDAM}
\]

  {\it Article numerise dans le cadre du programme}

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            http://www.numdam.org/

\vspace{1em}
{\it Bull. Soc. ma th. France}.

I11. I $\iota$) $\aleph_{-}^{\urcorner}.\ \mathrm{r} \mathit{7}\mathit{5}- \mathit{1}\mathit{0}\mathit{2}$

\begin{center}
FOR[ DE JENSEN

EN PLUSIEURS VARIABLES

ET $\mathrm{APPIJCA}\Pi \mathrm{O}\mathrm{N}\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{R}_{-}\ovalbox{\tt\small REJECT}\Pi \mathrm{Q}\mathrm{U}\mathrm{E}\mathrm{S}$

PAR

J.-P. DEMAILLY (')

\end{center}
  {\it Rbuyrt}. - En utilisant une g6n\'{e}rah.sacion $b$ plusicws variables $\mathrm{d}\epsilon$ la formula di Jcnsen, nous
d\'{e}moncrons \& nouvcaux lcmmcs dc Schwarz dans (M. La $\mathrm{m}\epsilon \mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}$ repose sur unc minoration
des nombres de LELONG d'un courant positif ferm6. Nous en $\mathrm{d}6\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}$ le th\'{e}ortme de
E. BOMBIERI sur les valeurs $\mathrm{a}6\mathrm{b}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{q}\mathrm{u}\epsilon \mathrm{s}$ da fonctions $\mathrm{m}\dot{\mathrm{e}}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{h}\epsilon \mathrm{s}$, ainsi que quelques riultats
nouvcaux sur lcs $*\mathrm{os}$ da {\it \mu}lyn\^{o}m{\it \alpha} dams C..

ABsrRAcr. -- Using a gencralzation in several variables {\it of} $\mathrm{J}\cdot \mathrm{n}\mathrm{s}\epsilon \mathrm{n}^{\prime}\mathrm{s}$ formula, we prove new
Schwarz' Lemmas in C.. The method rests upon a lower bound for LELONG numbers of closcd
$\mathrm{po}\epsilon \mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}$ currents. As a consequence, we find another procf of E. BOMBIERI'S Theorem on
algebraic values of $\mathrm{meromor}\dot{\mathrm{p}}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{c}.\mathrm{m}\mathrm{a}\triangleright$ togcther with some new rcsults conocrning zcro scts of
polynomials in $\mathrm{c}\cdot$.

0. Introduction.

  \'{E}tant donne' un syst\'{e}me de $n+1$ fonctions m\'{e}romorphes $\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{r}\mathrm{e}$ fini
$f=\zeta f_{1}, \ldots,f_{n+1})$ dans $\mathbb{C}^{n},$ alg\'{e}briquement ind\'{e}pendantes et v\'{e}ffi. ant des
\'{e}quations diff\'{e}rentielles, les points alg\'{e}briques dc $f$ sont situ\'{e}s sur unc
hypersurface alg\'{e}brique de $\mathbb{C}^{n}$. Ce r\'{e}sultat, d'abord d\'{e}montr\'{e} par
T. Schneider et S. Lang dans le cas $n=1$, a\'{e}t\'{e} \'{e}tendu an plusieurs variables
par E. BOMBIERI [1] au moyen des estimations $L^{2}$ de L. H\"{o}rmander pour
l'op\'{e}rateur $\overline{\partial.}$ La m\'{e}thode de E. Bombicri, qui a \'{e}t\'{e} rcprise et am\'{e}lior\'{e}e
ensuite par H. SKODA [8], fournit simultan\'{e}ment une majoration pour le
degre' de l'hypersurfaoe. Le lectcur pourra consulter l'article r\'{e}oent de
P. LELONG [5] pour quelques compl\'{e}ments sur le sujet.

(') Textc rcgu le 9 $\mathrm{f}\dot{\mathrm{e}}\mathrm{v}\dot{\mathrm{n}}\mathrm{e}\mathrm{r}$ 1981, $\mathrm{r}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{s}\acute{\epsilon}$ lc 23 mai 1981.

J.-P. DEMAILLY, Univcrsitt de Paris-VI, Laboratoire $\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{a}1\mathrm{y}\mathrm{s}\epsilon$ complcxc et G\'{e}om\'{e}trie,
$\mathrm{D}\mathit{6}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathfrak{n}\epsilon \mathrm{m}\epsilon \mathrm{n}\mathrm{t}$ dc $\mathrm{Math}\epsilon \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{s}$, Tour $46\cdot 0,4$, place Jussicu, 75230 Paris Cedcx 05.

BULLETIN DE LA $\mathrm{SOC}\Phi.\mathrm{I}\not\in \mathrm{W}\mathrm{A}\mathrm{n}aeu\Lambda \mathfrak{n}\mathrm{Q}\mathrm{U}\mathrm{B}$ DE $\mathrm{FRA}\aleph \mathrm{C}\mathrm{B} -$ 0037-9484/1982/ $ 75/\  $ s.\alpha$)

\copyright Gauthier-Villars

\vspace{1em}
76

J.-P. DEMAILLY

  Le present travail a pour but de d\'{e}montrer le th\'{e}or\`{e}me de Bombieri sans
utiliser les estimations $L^{2},$ gr\^{a}oe a une extension convenablc de la formule de
Jensen en plusieurs variables. Cette extension $(\phi. \S 1)$ fait intervenir ext
g\'{e}n\'{e}ralisation des notions de mesure traoe, mesure projective, et nombre de
Lelong d'un courant positif ferme' ( $\phi$. P. LELONG [4]). Lorsque la fonctico
d'exhaustion $\varphi$ de rff\'{e}rence est approximi par une fonction {\it homogine} $\psi$,
l'utilisation de l'\'{e}galit\'{e} $(\mathrm{i}\partial\partial{\rm Log}\psi)^{n}\equiv 0$ fait disparaitre le terme correctif de
convexite', et conduit \'{a} un lemme de Schwarz assez g\'{e}n\'{e}ral dams $\mathbb{C}$''. Le lemme
ainsi obtenu nous permct de rctrouver le th\'{e}or\`{e}me de Bombieri avec une
majoration differente, optimale pour $n=2$, du degr\'{e} des hypersurfaces.

  Le dernier paragraphe est consacre' a l'\'{e}tude des polyn\^{o}mes s'annulant sur
un sous-ensemble fini de $\mathbb{C}^{n}$ ($\phi$. M. WALDSCHMIDT [{\it 9}] et [10]). Nous avons pu
prouver sous certaines hypoth\`{e}ses une conjecture de G. V. CHUDNOVSKY,
dont une de'monstration partielle (pour le cas $n=2$) a\'{e}t\'{e} annonc\'{e}e dans [2]. A
notre connaissance, aucune preuve irite me semble $\mathrm{to}_{\veeut}d\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}$ avoir \'{e}t\'{e} publii
\`{a} ce jour.

  L'utilite des formules g\'{e}n\'{e}rales de type Poisson-Jensen $\mathrm{m}^{\prime}\mathrm{a}$ \'{e}t\'{e} sugg\'{e}r\'{e}e
par un cours de M. H. SKODA, profess\'{e} \`{a} l'Universit\'{e} de Pierre-et-Marie-
Curie en 1979. Je remercie vivement $\mathrm{MM}$. Henri SKODA et Michel
WALDSCHMIDT pour d'utiles remarques qui out contribu\'{e} a am\'{e}liorer la
redaction du pr\'{e}sent travail.

1. Formules $\mathrm{g}\acute{\epsilon}\mathrm{n}\acute{\epsilon}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{e}$ de type $\mathrm{Po}\dot{\mathrm{r}}\mathrm{n}- \mathrm{J}\mathrm{e}oe\epsilon \mathrm{n}$

Les r\'{e}sultats qui suivent soot classiques dans leur principe, et constituent
une g\'{e}n\'{e}ralisation naturelle de la m\'{e}thode employi par P. LELONG [4] pour
prouver l'existence des nombres de LELONG d'un courant positifferm\'{e}. Nous
avons pr\`{e}f\'{e}r\'{e} cependant red\'{e}montrer toutes les formules, pour en donner ure
version adapti aux applications envisagis.

  Soit $X$ une vari\'{e}t\'{e} analytique complexe de dimension $ n\geq 1,\varphi$ une fonctiet
de classe $C^{2}$, a valeurs dans l'intervale ] $-\infty, R$[, et exhaustive sur X. Pour
tous rils $r<R$ et $r_{1}<r_{2}<R$, on pose :

\begin{center}
$B(r)=\{z\in X;\varphi(z)<r\},\ S(r)=\{z\in X;\varphi(z)=r\}$,

$B(r)=\{z\in X;\varphi(z)\leq r\}$,

$B(r_{1}, r_{2})=\{z\in X; r_{1}\leq\varphi(z)<r_{2}\}=B(r_{2})\backslash B(r_{1} )$,

$B(r_{1}, r_{2})=\{z\in X;r_{1}<\varphi(z)\leq r_{2}\}=B(r_{2})\backslash B(r_{1})$.

\end{center}
TOMI 11 $()$ -- 1982 --$. \backslash ^{\cup} [$

\vspace{1em}
FORMULES DE JENSEN EN PLUSIEURS VARIABLES

77

  Par hypoth\`{e}se, tous ces ensembles soot relativement compacts dans $X$.
Lorsque $r$ est une valeur r\'{e}guli\`{e}re de $\varphi$, l'ensemble $S(r)$ est une hypersuffaoe
compacte de classe $C^{2}$ de $X$, qui sera orient\'{e}e canoniquement par la normale
ext\'{e}rieure $ d\varphi$. On note enfin :

\begin{center}
$\alpha=\mathrm{i}\partial\partial$ (\&{\it g} $\varphi$) sur l'ouvert $\{\varphi>0\}$,

$\beta=\mathrm{i}\partial\partial\varphi$.

\end{center}
  THEORBME 1. -- {\it Soit} $T$ {\it uneforme de classe} $C^{2}$ {\it et de bidegr\'{e}} $(n-p, n-p)$ {\it sur}
$X, 1\leq p\leq n$. {\it Si} $r_{1}$ {\it et} $r_{2},0<r_{1}<r_{2}<R$,{\it sont} \&{\it ux valeurs riggtliires de} $\varphi$,{\it on}
{\it a la formule} :

(1) $\displaystyle \int_{1}^{\prime_{2}},\frac{dt}{t^{p}}\int_{B(t)}\mathrm{i}\partial\partial T$ A $\beta^{p-1}$

\begin{center}
$=\displaystyle \frac{1}{r_{2}^{p}}\int_{S(\prime_{*})}T$ A $\beta^{p-1}$ A $\mathrm{i}\partial\varphi$

\end{center}
                           $-\displaystyle \frac{1}{r_{1}^{p}}\int_{S(\prime_{1})}T$ A $\beta^{p-1}$ A $\displaystyle \mathrm{i}\partial\varphi-\int_{B\prime}\mathrm{t}^{\gamma_{1\cdot 2}}$) $T$ A $\alpha^{p}$.

  {\it Dimonstration}. -- On peut ecrire :

\begin{center}
$\displaystyle \varphi=\lim_{\mathrm{v}\rightarrow+\infty}\varphi_{\mathrm{V}}$ dans $C^{2}$({\it X}; $\mathbb{R})$,

\end{center}
ou $\varphi_{\mathrm{v}}$ est une suite d\'{e}croissante de fonctions de classe $C^{\infty}$ dont les points
critiques sont non d\'{e}g\'{e}n\'{e}r\'{e} $\mathrm{s}$. Quitte \`{a} $\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{ectuer}$ un passage a la limite, on peut
donc supposer que $\varphi$ est une fonction de {\it dasse} $C^{\infty}$ {\it sans points critiques}
{\it d\'{e}g\'{e}n\'{e}r\'{e}s}, de sorte que la formule de Stokes s'applique au domaine $B(t)$ a
bord \'{e}ventuellement singulier $\partial B(t)=S(t)$. De'signons par $j_{l}$ l'injection
$S(t)\sigma X$ (avec $t>0$ dans toute la suite). II est clair que :

\begin{center}
$\mathrm{i}^{*}, \partial\varphi+l^{s}, c\varphi=j^{*}\neg, d\varphi=d(\varphi\circ\dot{|},)=0$.

\end{center}
  Un calcul immediat fournit d'autre part :

\begin{center}
$\displaystyle \alpha=\frac{i\partial\partial\varphi}{\varphi}-\frac{i\partial\varphi\wedge\partial\varphi}{\varphi^{2}}$,

\end{center}
d'o\`{u} $j^{*}, \alpha=j_{t}^{*}\beta/t$; il en r\'{e}sulte d'apr\`{e}s la formule de Stokes :
$\displaystyle \int_{B(l)}\mathrm{i}\partial\partial T\wedge\beta^{p-1}=\int_{B\mathrm{t}\prime)}-d$( $\mathrm{i}\partial T$ A $\beta^{p-1}$)

                         $=-\displaystyle \int_{S(\prime)}\mathrm{i}\partial T$ A $\displaystyle \beta^{p-1}=-t^{p-1}\int_{S(t)}\mathrm{i}\partial T$ A $\alpha^{p-1}$.

BULLETIN DE LA X)CI\'{E}T\'{E} $\mathrm{MATH}\dot{\mathrm{E}}\mathrm{M}\mathrm{A}\mathrm{T}\prime \mathrm{Q}\mathrm{U}\mathrm{E}$ DE FRANCE

\vspace{1em}
78

J.-P. DEMAILLY

On obtient donc :

$\displaystyle \int_{1}^{\prime_{*}},\frac{dt}{t^{p}}\int_{f(l)}i\partial\partial T$ A $\displaystyle \beta^{p-1}=-\int_{1}^{\prime_{*}},\frac{dt}{t}\int_{s_{\mathrm{t}\prime})}i\partial T$ A $\alpha^{p-1}$

\begin{flushright}
$=-\displaystyle \int_{f()}\prime\prime\wedge 1' l\mathrm{id}{\rm Log}\varphi\partial T$ A $\alpha^{p-1}$.

\end{flushright}
Comme les formcs de bidegre' $(n+1, ${\it n}-l) at ({\it n}-l,$ n+1)$ sont nulles, il
vient :

$\mathrm{id}{\rm Log}\varphi \mathrm{A}\partial T\wedge\alpha^{p-1}=\mathrm{i}\partial Lo\mathrm{g}\varphi \wedge\partial T\wedge\alpha^{p-1}$

\begin{center}
$=\mathrm{i}$ a ${\rm Log}\varphi\wedge dT_{\mathrm{A}}\alpha^{p-1}$

\end{center}
                              $=-d$( $T_{\mathrm{A}}\alpha^{p-1}$ A $ i\partial{\rm Log}\varphi$) $+T$ A $\alpha^{\iota}$.

En utilisant A nouvcau la formule de Stokes, la dcrniere $\mathrm{int}\acute{\epsilon}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{e}$ s'\'{e}crit :

\begin{center}
$\displaystyle \int_{\partial B(\prime\prime}1'*\mathrm{I}T\backslash $ A $\alpha^{p-1}$ A $\displaystyle \mathrm{i}\partial{\rm Log}\varphi-\int_{f()}\prime\prime T_{\mathrm{A}}\alpha^{p}\iota\cdot \mathrm{z}$'

\end{center}
expression qui cst \'{e}gale $\mathrm{pr}\acute{\mathrm{e}}\dot{\alpha}\mathrm{s}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$ au second membre de la formule (1),
compte tenu de l'\'{e}galit\'{e} $j_{1}^{*}\alpha=j_{l}^{*}\beta/t$. @

  Les corollaires 1, 2, 3, 4 qui suivcnt sont des \infty ns\'{e}quenoes simplcs mais
fondamcntales du th\'{e}or\`{e}me 1.

  COROLLAIRE 1. -- {\it Soit} $Tun$ {\it coursrtfenrsi Iordre} 0 {\it sur} $X(\mathrm{i}.e.\ dT=0$ {\it et les}
$co\phi c\mathrm{i}ents$ {\it de} $T$ {\it sont des rrsesures de Radon}), {\it de bi}\&{\it gre}\acute $(n- p, n-p)$. {\it Alors}
{\it pour tout} $r_{1}, r_{2},0<r_{1}<r_{2}<R$, {\it on a les igalitk} :

\begin{center}
(2)   $\displaystyle \frac{1}{r_{2}^{p}}\int_{B(r_{3})}T_{\mathrm{A}}\beta^{p}-\frac{1}{r_{1}^{p}}\int_{B(r_{\mathrm{t}})}T_{\mathrm{A}}\beta^{p}=\int_{l(\prime\prime)}1\cdot*T\wedge\alpha^{p}$.

(2)   $\displaystyle \frac{1}{r_{2}^{p}}\int_{\ell_{1\prime})}*T$ A $\displaystyle \beta^{p}-\frac{1}{r_{1}^{p}}\int_{\iota_{1\prime_{1}})}T\wedge\beta^{p}=\int_{\ell_{\mathrm{t}\prime,,\prime_{*}})}T_{\mathrm{A}}\alpha^{p}$,

\end{center}
{\it Dimorgstration}. -- La deuxihe ligne se $\mathrm{d}6\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{i}\mathrm{t}$ de la premi\& re en
remplapnt $r_{1}, r_{2}$ par $r_{1}+\epsilon,  r_{2}+\epsilon$ at en faisant tcndre $\epsilon$ vers z\'{e}ro. Comme
dans le th\'{e}or\`{e}me 1, on peut supposcr que $\varphi$ est de classe $C^{\infty}$ et quc $\varphi$ admct
$r_{1}, r_{2}$ pour valeurs r\'{e}guli\`{e}res (sinon \'{e}crire $\displaystyle \varphi=\lim\downarrow\varphi_{\mathrm{V}}$ et appliquer lc
thcorhe de convergence domini). Si $T$ est une $(n-p, n-p)$ forme de

TOME 110 --I982 $-\mathrm{N}^{\mathrm{o}} [$

\vspace{1em}
FORMULES DE JENSEN EN PLUSIEURS VARIABLES

79

classe $C^{2}$, le th\'{e}or\`{e}me 1 fournit, apr\`{e}s application de la formule de Stokes :

(3) $\displaystyle \frac{1}{r_{2}^{p}}\int_{B(\prime_{2})}T$ A $\displaystyle \beta^{p}-\frac{1}{r_{1}^{p}}\int_{B(\prime_{1})}T\wedge\beta^{p}-\int_{\iota_{1\prime\prime})}1' 2T$ A $\alpha^{p}$

\begin{center}
$=\displaystyle \int^{\prime_{2}},_{1}\frac{dt}{t^{p}}\int_{B(1)}\mathrm{i}\partial\partial T$ A $\displaystyle \beta^{p-1}-\frac{1}{r_{2}^{p}}\int_{B(\prime_{2})}dT_{\mathrm{A}}\beta^{p-1}$ A $ i\partial\varphi$

\end{center}\begin{flushright}
$+\displaystyle \frac{1}{r_{1}^{p}}\int_{B(r_{1})}dT$ A $\beta^{p-1}\wedge \mathrm{i}\partial\varphi$.

\end{flushright}
La conclusion r\'{e}sulte donc de l'affirmation suivante.

  LEMME 1. -- {\it L}'{\it igaliti} (3) {\it est vraie pour tout courant T de bidegri}
({\it n-p}. {\it n-p}) {\it qui est Iordre} 0 {\it ainsi que ses d}$\cdot${\it ff \'{e}rentielles dT}, $\mathrm{i}\partial\overline{\partial}T$.

{\it Dimonstration}. -- En utilisant une partition de l'unit\'{e}, on se ram\`{e}ne
aussit\^{o} $\mathrm{t}$ au cas o\`{u} le courant $T$ est A support dans une carte locale. Comme
tous les termes de l'\'{e}galit\'{e} (3) sont continus a gauche par rapport \`{a} $r_{1}, r_{2}$, il
suffit en fait de v\'{e}rifier l'e'galit\'{e} (3 )pour un ensemble dense de valeurs de $r_{1}, r_{2}$.
On observe que l'ensemble $D$ des r\'{e}els $t>0$ tels que $S(t)$ ne soit pas
negligeable pour l'une des mesures coefficients de $T, dT$ ou $\mathrm{i}\partial\partial T$ est au plus
d\'{e}nombrable. Soit alors $(\mathrm{p}^{\epsilon})$ une famille de noyaux de convolution dans la
carte locale consid\'{e}r\'{e}e. Appliquons l'\'{e}galit\'{e} (3) a la forme r\'{e}gularis\'{e}e $T\star \mathrm{p}^{\epsilon}$;
il vient, en notant $\mathrm{X}_{B(')}$: la fonction caract\'{e}ristique de l'ensemble $B(r_{1})$:

\begin{center}
$\displaystyle \int_{B1\prime|},(T\star \mathrm{p}^{\epsilon})\wedge\beta^{p}=\int T\wedge[\mathrm{p}^{\epsilon}\star(_{\mathrm{X}_{B1\prime_{1}})}\beta^{p})]\rightarrow\int T\wedge\chi_{B1\iota}')\beta^{p}$ si $r_{1}\not\in D$,

\end{center}
car $(\chi_{B(')}|\beta^{p})\star \mathrm{p}^{\epsilon}$ converge simplement vers $\chi_{B(')}|\beta^{p}$ sur le complemen-
taire de l'ensemble $T$-n\'{e}gligeable $S (r_{1} )$.

  On raisonne de meme pour les autres termes (avec $r_{2}\not\in D,$ {\it t\'{e}D}). $\blacksquare$

  On rappelle $\mathrm{qu}^{\prime}\mathrm{u}\mathrm{n}$ courant $T$ de bidegre' $(n-p, n-p)$ est dit (faiblement)
positif si le $(n, n)$-courant :

\begin{center}
$\mathrm{i}^{p}T\wedge u_{1}\wedge\overline{u}_{1}\wedge$ . . . A $u_{p}\wedge\overline{u}_{p}$,

\end{center}
est une mesure positive, pour tout systeme $(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{p})$ de $(1, 0)$-formes de
classe $C^{\infty}$. Test alors un courant $\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{r}\mathrm{e}$ nul. Le corollaire 1 entraine
immediatement le resultat suivant.

BULLETIN DE LA S$\propto$IET\'{E} $\mathrm{bIATH}\dot{\mathrm{E}}\mathrm{M}\mathrm{A}\mathrm{T}1\mathrm{Q}\mathrm{U}\mathrm{E}$ DE FRANCE

\vspace{1em}
80

J.-P. DEMAILLY

  COROLLAIRE 2. - {\it On suppose que lafonction} ${\rm Log}\varphi$ {\it est plurisousharmonique}
{\it sur} $\Gamma ouvert\{\varphi>0\}$. {\it Alors, pour tout courant} positif ferm\'{e} $T$ {\it de bi}\&{\it gre}'
$(n-p, n-p)$ {\it sur} $X,$ {\it la.ronction positive} :

\begin{center}
$r\displaystyle \mapsto\frac{1}{r^{p}}\int_{B\mathrm{t}\prime 1}T_{\mathrm{A}}\beta^{p}$,

\end{center}
{\it est croissante par rapport \`{a}} $r$. {\it En particulier, la limite} :

\begin{center}
$\displaystyle \lim,\frac{1}{r^{p}}>0.'\rightarrow 0\int_{B(\prime)}T\wedge\beta^{p}$,

\end{center}
{\it existe toujours}.

ul corollaire 2 est classique lorsque $X=\mathbb{C}.$, at
$\varphi(z)=|z|^{2}=|z_{1}|^{2}+\ldots+|z_{n}|^{2}$ (P. LBLONG [4]). On $\mathrm{d}6\mathrm{s}\mathrm{i}y\mathrm{e}$ alors par:

\begin{center}
$\displaystyle \sigma_{T}=T\wedge\frac{\beta^{p}}{2^{p}p!}$, la cc mcsure traoe \rangle\rangle de {\it T},

$\displaystyle \mathrm{v}_{T}=\frac{1}{(2\pi)^{p}}T\wedge\alpha^{p}$, la \langle\langle mcsurc projective \rangle\rangle de {\it T},

\end{center}
de sorte qu'on a la formule :

\begin{center}
$\displaystyle \frac{p!}{\pi^{p}rP}\int_{B(\prime)}*d\sigma_{T}-\frac{p!}{\pi^{p}r_{1}^{2p}}\int_{B(\prime.)}d\sigma_{T}=\int_{B(\prime_{1}.r.)}d\mathrm{v}_{T}$,

\end{center}
avec la notation usuelle $B(r)=\{z\in \mathbb{C}^{n};|z|<r\}$.

  La limite $\displaystyle \mathrm{v}_{\mathrm{r}}(0)=\lim,\rightarrow 0p!/\pi^{p}r^{2p}\int_{B(r\mathrm{I}}d\sigma_{T}$ est $\mathrm{appe}1^{\prime}\mathrm{o}\mathrm{e}$ nombre de LELONG
du courant $T$ au point 0.

  Nous allons maintenant examiner le cas important $p=n$.

COROLLAIRE 3. - {\it Soit V unefonction plurisousharmoniqste sur X} , $r_{1}$ , $r_{2}$ {\it deux}
{\it valeurs riggtliires de} $\varphi$. {\it On a}:

$\displaystyle \int^{\prime_{2}},_{1}\frac{dt}{t^{n}}\int_{\iota_{\mathrm{t}\prime})}i\partial\partial V$ A $\displaystyle \beta^{n-1}=\frac{1}{r_{2}^{n}}\int_{S(\prime_{2})}V\beta^{n-1}$ A $\mathrm{i}\partial\varphi$

                              $-\displaystyle \frac{1}{r_{1}^{n}}\int_{s\mathrm{t}\prime_{1)}}V\beta\cdot-1$ A $\displaystyle \mathrm{i}\partial\varphi-\int_{\epsilon_{\mathrm{t}\prime\prime_{l}})}`.V\alpha^{*}$.

TOME 110 -- 1982 -- $\mathrm{N}^{\mathrm{o}}$]

\vspace{1em}
FORMULES DE {\it JENSEN} EN PLUSIEURS VARIABLES

81

{\it Dimonstration}. -- Soit $(U_{j})$ un recouvrement de $X$ par des domaines de
cartes $U_{j}\subset\subset X, (\psi_{j})$ une pantition de l'unite' $\mathrm{subordonn}^{\prime}\mathrm{a}\mathrm{e}$ au recouvremrrt
$(U_{j}), (\mathrm{p}_{j}^{\epsilon})$ une famille de noyaux r\'{e}gularisants \`{a} sym\'{e}trie sph\'{e}rique dune
l'ouvert $U_{j}$. On applique la formule (1) \`{a} la suite de fonctions $C^{\infty}$ :

\begin{center}
$T_{\mathrm{v}}=\displaystyle \sum_{j}\psi_{j}.\ V\star \mathrm{p}_{j}^{1/\mathrm{v}}$,

\end{center}
qui converge simplement vers $V$ en diroissant. On raisonne alors comme
dams le lemme 1, en utilisant le fait que Pet $dV$ soot dans $\mathrm{L}_{1\propto}^{1}$, et que le courent
positif $\mathrm{i}\partial\partial V$ est d'ordre 0. Les d\'{e}tails sont laiss\'{e}s au lecteur. $\blacksquare$

  COROLLAIRE 4. -- {\it On suppose que toutes les valeurs critiques positives de} $\varphi$
{\it son} $t$ {\it non diginiries, que lafonction} ${\rm Log}\varphi$ {\it est plurisousharmonique sur} $l^{\prime}ouvert$
$\{\varphi>0\}$, {\it et que la forme} $\alpha^{n}$ est identiquement nulle. {\it Alors on a la formule} :

\begin{center}
$\displaystyle \int_{1}^{\prime_{2}},\frac{dt}{t^{n}}\int_{B(\prime)}\mathrm{i}\partial\partial V$ A $\displaystyle \beta^{n-1}=\frac{\mathrm{l}}{r_{2}^{\mathrm{n}}}\int_{s_{\mathrm{t}\prime_{2}})}V\beta^{n-1}\wedge \mathrm{i}\partial\varphi-\frac{1}{f_{1}}\int_{s_{\mathrm{I}\prime_{1}}\downarrow}V\beta^{n-1}$ A $ i\partial\varphi$,

\end{center}
{\it et lafonction} $r\displaystyle \mapsto 1/r^{n}\int_{S(,)}V\beta^{n-1}$ A i{\it \`{o}\varphi est croissante convexe par rapport \`{a}}
${\rm Log} r$.

{\it Demonstration}. -- La d\'{e}riv\'{e}e \`{a} gauche :

\begin{center}
$\displaystyle \frac{d^{-}}{d{\rm Log} r}(\frac{1}{r^{n}}\int_{S(r)}V\beta^{\mathrm{I}}'-1\wedge io\varphi)\overline{\neg}$,

\end{center}
existe, et elle est donni par l'expression :

\begin{center}
$\displaystyle \frac{1}{r^{n-1}}\int_{B(\prime)}\mathrm{i}$ a $\partial V$ A $\beta^{n-1}$,

\end{center}
qui est fonction croissante de ${\rm Log} r$ (corollaire 2). $\blacksquare$

  Dans $\mathbb{C}^{n}$, si on choisit $\varphi(z)=|z|^{2}$, on v\'{e}rifle que :

\begin{center}
$\alpha^{n}\equiv 0$,

$\displaystyle \mathrm{i}\partial\partial V\wedge\beta^{n-1}=\frac{1}{4n}\Delta V.\beta^{n}=2^{n-2}(n-1)$ ! {\it lSV}.\&,

$j^{*}, (\beta^{n-1}\wedge \mathrm{i}\partial\varphi)=2^{n-1}(n- $1) ! {\it rdS},

\end{center}
ou A d\'{e}signe la mesure de Lebesgue dans $\mathbb{C}^{n}$, et {\it dS} la mesure $\mathrm{supeff}\iota \mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}$ de
la sphere $S(r)=\{z\in \mathbb{C}^{n};|z|=r\}.$ L'\'{e}galit\'{e} du corollaire 4se transcrit donc

$\mathrm{BU}$ LLETI $\mathrm{N}$ DL LA $\mathrm{SOC}1\dot{\mathrm{E}}$ T\'{E} MATH\'{E}MATIQUE DE FRA JJCE

\vspace{1em}
82

J.-P. DEMAnLY

sous la forme classique :

\begin{center}
$\displaystyle \int_{r_{1}}^{\prime_{l}}\frac{dt}{\rho\cdot-1}\int_{f(1)}\Delta V.\lambda=\frac{1}{r_{2}^{2^{n-1}}}\int_{S(\prime)}*VB-\frac{1}{\acute{1}--1}\int_{l(\prime_{1})}VdS$.

\end{center}
2. Estimation des nombres de Lelong

  Dans les applications A la th\'{e}orie des nombres, nous utiliserons les
formules $\mathrm{pr}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{o}\mathrm{e}^{\prime}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{s}$ pour des courants du type :

\begin{center}
$T=\displaystyle \frac{i}{\pi}\partial\partial{\rm Log}|F|$,

\end{center}
{\it ou} $F$ est une fonction entiere. $\mathrm{D}' \mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathit{6}\mathrm{s}1$ '\'{e}quation de Lclong-Poincar\'{e}, Tcst lc
courant.d'int\'{e}gration sur le cycle analytiquc dffini par $FjT$ cst donc on
courant positif ferme' de bidegre' $(1, 1)$.

  Dams ce paragraphe, nous supposcrons plus g\'{e}n\'{e}ralement que $F$ est unc
fonction analytique dams un ouvert 0 de $\mathbb{C}^{*}$; la fonction plurisousharmoniquc
Fsera le potentiel $V={\rm Log}|F|\mathrm{du}$ courant $T=(\mathrm{i}/\pi)\partial\partial{\rm Log}|F|$, et on choisira
pour $\varphi$ une fonction du type :

\begin{center}
$\displaystyle \varphi=\sum_{j=1}^{N}|F_{\mathrm{J}}|^{2}$,

\end{center}
ou les fonctions $F_{j}$ soot analytiqucs sur O. Dans ces conditions, il est aise' de
minorer le ce nombre de LELONG g\'{e}n\'{e}ralis\`{e} $\rangle$), \'{e}gal A la limite quand $r$ tend vers
z\'{e}ro de la fonction :

\begin{center}
$r\displaystyle \mapsto\frac{1}{(2\pi r)^{n-1}}\int_{B(\prime)}T$ A $\beta^{n-1}$,

\end{center}
(fonction qui est croissante d'apres le corollaire 2).

  PROPOSITION 1. -- {\it Soit} $z_{0}$ {\it un point de} 0, $\omega$ {\it un voisinage ouvert de} $z_{0}$
{\it relativement compact dans} $\Omega$. {\it On suppose que lesfonctions F}, $F_{1}, F_{2},$ \ldots, $F_{N}$

{\it s}'{\it annulent en} $z_{\mathrm{O}}$ {\it aux ordres} $s, s_{1}\leq s_{2}\leq.$ . . $\leq s_{N}$ et que le nombrc :

\begin{center}
$R=\displaystyle \inf_{z\epsilon\partial\infty}\varphi(z)$,

\end{center}
$est>0$. {\it Alors pour tour} $ r\in$]$\mathrm{O}, R$[, {\it on} $a$ ;

\begin{center}
$\displaystyle \frac{1}{(2\pi r)^{n-1}}\int_{B(\prime)\cap\omega}T$ A $\beta^{n-1}\geq ss_{1}$. . . $s_{n-1} \mathrm{t}^{1}$).

\end{center}
  (') Ccs estimations sont en fait valablcs dams unc situation bcaucoup plus g\'{e}n\'{e}rale, ct nous ont
permis d'encadrer les nombres da LELONG $\mathrm{ass}\propto \mathrm{i}6\mathrm{s}$ A $ 1^{\cdot}\mathrm{imag}\epsilon$ directe d'un courant positif fcrm6
({\it voir} [3]).

TOWE 110 --1982 $-\mathrm{N}^{\mathrm{o}}1$

\vspace{1em}
$\mathrm{FO}\ovalbox{\tt\small REJECT}$ DE {\it JENSEN} EN PLUSIEURS VARIABLES

83

{\it Dimonstration}. -- Notons que d'apr\`{e}$\mathrm{s}$ les hypoth\`{e}ses, l'ensemble
analytique $\{z\in\omega;F_{1}(z)=. . . =F_{N}(z)=0\}$ est compact, donc fini, $\backslash \mathrm{ce}$ qui
entraine $N\geq n$. Le r\'{e}sultat est clair pour $n=1$. Dams le cas g\'{e}n\'{e}ral $n\geq 2$,
nous proc\'{e}derons d'abord A quelqucs r\'{e}ductions, et nous poserons $z_{\mathrm{O}}=0$
pour simplifier.

  {\it \'{E}tape} 1. -- Soient $P_{1}, \ldots, P_{N}$ les polyn\^{o}mes homog\`{e}nes de degr\'{e} $s_{1}, \ldots$,
$s_{N}$ \'{e}gaux aux parties principales dcs d\'{e}veloppements de Taylor de $\mathrm{F}_{1}, \ldots, F_{N}$
au point 0. II n'est pas restrictif de supposer que lcs polyn\^{o}mes $P_{1}, \ldots, P_{n}$
s'annulent simultan\'{e}ment {\it au seul point} 0.

  En effet, les polyn\^{o}mes homogenes $P_{1}, \ldots, P_{\hslash}$ de degr\'{e} $s_{1}$, . . . , $s_{n}$ qui ne
v\'{e}rifient pas cette condition, constituent un ensemble alg\'{e}brique $A$ dams
l'espace $\mathbb{C}^{d}$ dcs families de coefficients. II suffit donc de substituer a
$F_{1}, \ldots, F_{n}$ des fonctions $F\mathrm{i}, \ldots, F_{n}^{*}$,telles $\mathrm{que}|F_{j}^{\epsilon}-F_{j}|\leq\epsilon$ {\it sur} $\overline{\omega}$,{\it obtcnues}
en approchant les parties principales de $F_{1}, \ldots, F_{n}$ par des polyn\^{o}mes
$P_{1}^{\epsilon}, \ldots, P_{n}^{\epsilon}$ dont le point repr\'{e}sentatif est situc dams $\mathbb{C}\nwarrow A$.

  On remplace $\varphi$ par la fonction da classe $C^{2}$ :

\begin{center}
$\displaystyle \varphi_{\epsilon}(z)=\sum_{\overline{j}\approx 1}|F_{j}^{*}(z)|^{2}+(C|z|)^{*}\sum_{j-n\star 1}^{N}|F_{j}(z)|^{2}$,

\end{center}
et on choisit les consaantes :

\begin{center}
$C=\displaystyle \sup_{\omega\backslash B1\prime)}\frac{1}{|z|},\ r_{\mathrm{g}}=(\sqrt{r}-\epsilon\sqrt{n})^{2},\ \epsilon<\sqrt{\frac{r}{n}}$,

\end{center}
de sorte que les conditions $z\in\omega, \varphi_{*}(z)<r_{\epsilon}$ entrainent $\varphi(z)<r$. Si l'on pose
$\beta_{\epsilon}=\mathrm{i}\partial\overline{\partial}\varphi_{\epsilon}$, et si l'on fait tendre $\epsilon$ vers z\'{e}ro, le th\'{e}or\`{e}me de convergence
dominee montre que :

\begin{center}
$\displaystyle \frac{1}{(2\pi r_{\epsilon})^{n-1}}\int_{\{z\epsilon\alpha\varphi.(z)<r.\}}T$ A $\displaystyle \beta_{\epsilon}^{n-1}\rightarrow\frac{1}{(2\pi r)^{n-1}}\int_{B(\prime)\cap\Phi}T$ A $\beta^{n-1}$,

\end{center}
donc il suffit de d\'{e}mon{\it \iota}trer l'in\'{e}galit\'{e} pour le membre de gauche.

{\it \'{E}tape} 2. -- Nous allons maintenant nous d\'{e}barrasser des fonctions
$F_{n+1}, \ldots, F_{N}$.

  Posons $R_{\epsilon}=\displaystyle \inf_{z\epsilon h}\varphi.(z)$, de sorte que $R_{*}\geq(\sqrt{R}-\epsilon\sqrt{n})^{2}>r..$ D'aPr\`{e}s le
corollaire 2, appliqu\'{e} a la vari\'{e}t\'{e} :

\begin{center}
$X=\{z\in\omega;\varphi.(z)<R_{*}\}$,

\end{center}
BULLETIN DE LA SOCIffi $\mathrm{MAn}aeu\wedge\Pi \mathrm{Q}\mathrm{U}\mathrm{E}$ DE FRANCE

\vspace{1em}
84

J.-P. DEMAILLY

l'expression :

\begin{center}
$\displaystyle \frac{1}{(2\pi \mathrm{p})^{n-1}}\int_{\{z\epsilon 0\mathrm{l};\varphi.(z)<\rho^{1}}, T_{\mathrm{A}}\beta_{\epsilon}^{n-1}$,

\end{center}
est fonction croissante de $\mathrm{p}$ dans l'intervalle ] $0, R.$[, car la fonction ${\rm Log}\varphi_{\epsilon}$ est
plurisousharmonique. Vu les hypoth\`{e}ses sur les parties principales des

fonctions $F_{1}^{*}, \ldots, F_{n}^{*}, F_{n+1}, \ldots, F_{N}$, il est clair que:

\begin{center}
$\displaystyle \sum_{j=1}^{n}|\mathrm{F}_{\mathrm{J}}^{\epsilon}(z)|^{2}\geq C_{1}|z|^{2s}\cdot$,

$(C|z|)^{\epsilon}\displaystyle \sum_{j=n+1}^{N}|F_{j}(z)|^{2}\leq C_{2}|z|^{2}'\cdot*1+\epsilon\leq C_{3}$ I $z|^{2s.+\epsilon}$,

\end{center}
avec des constantes $C_{1}, C_{2}, C_{3}>0$. Par suite, la fonction $\varphi$` est \'{e}quivalente a
la fonction :

\begin{center}
$\displaystyle \psi.(z)=\sum_{j=1}^{n}|F_{j}^{*}(z)|^{2}$,

\end{center}
lorsque |{\it z}| tend vers z\'{e}ro. Comme $\beta_{\iota}\geq\gamma_{*}=\mathrm{i}\partial\overline{\partial}\psi_{\epsilon}$ et comme le courant {\it T} est
positif, il en r\'{e}sulte :

$\displaystyle \lim_{\rho}\rightarrow 0^{\frac{1}{(2\pi \mathrm{p})^{n-1}}}\int_{\{z\epsilon\omega;\varphi.(z)<\rho^{1}},T\wedge\beta_{\epsilon}^{*-1}$

\[
=\lim_{\rho}\rightarrow 0\frac{1}{(2\pi \mathrm{p})^{n-1}}\int_{\mathrm{t}-\epsilon\omega.\psi_{r}(^{-})<\rho^{\mathrm{t}}}\iota\cdot.,T_{\mathrm{A}}\beta_{\epsilon}^{n-1}
\]

\begin{center}
$\displaystyle \geq\lim_{\rho}\rightarrow 0\frac{1}{(2\pi \mathrm{p})^{n-1}}l_{1}{}^{\mathrm{t}}z\mathrm{e}\omega.\psi.(z|<\rho^{1},T_{\mathrm{A}}\gamma_{\epsilon}^{n-1}$.

\end{center}
  {\it \'{E}tape} 3. -- En ddtnitive, on peut supposer que $N=n$, et que les parties
principales $P_{1}, \ldots, P_{n}$ des fonctions $F_{1}, \ldots, F_{n}$ n'ont pas d'autre z\'{e}ro
commun que 0. Dans ces conditions, on a le lemme suivant, qui est le point
crucial de la dimonstration.

  LEMME 2. - {\it Il existe un voisinage U de} 0{\it dans} co, {\it une boule euclidienne D de}
{\it centre} 0 {\it et de rayon} $\sqrt{R^{\prime}}<\sqrt{R}$ {\it dans} $\mathbb{C}^{n}$, {\it et un ensemble analytique} $\mathrm{Y}\subset D$ {\it tels}

TOMF 110 -- 1982 -- $\mathrm{N}^{\mathrm{o}}1$

\vspace{1em}
fORMULES DE JENSEN EN PLUSIEURS VRRIABLES

85

{\it que} $\Gamma appl\mathrm{i}cationf=(F_{1}$, . . ., $F_{n})$ {\it soil un revelement} :

\begin{center}
$U\backslash [^{-1}(\mathrm{Y})\rightarrow D\backslash \mathrm{Y}$,

\end{center}
{\it \'{a}} $s_{1}s_{2}$ . . . $s_{n}$ {\it feuillets}.

  {\it Esquisse de dimonstration du lemme} 2. -- Les hypoth\`{e}ses entrainent que le
point 0 est isol\'{e} dans la fibre $f^{-1}(0)$;l'existenoe du rev\^{e}tement ramifi\'{e} d\'{e}crit
dans l'enonci en d\'{e}coule ({\it cf}. par exemple R. NARASIMHAN [7]).

  II reste a montrer que le nombre de feuillets $\mathrm{v}$ vaut $s_{1}s_{2}$ . . . $s_{n}$ (on noteex
que $\mathrm{v}$ est constant au-dessus de la base $D\backslash \mathrm{Y}$ par connexite' de celle-ci).
Effectuons \`{a} cet ffiet un $\langle\langle$ changement d'\'{e}chelle $\rangle\rangle$, en $\mathrm{rempla}\sigma \mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}$ les
fonctions $F_{1}$, . . . , $F_{n}$ et l'application $f$ par :

\begin{center}
$F_{j.\mathrm{O}}(z)=P_{j}(z),\ F_{j,\lambda}(z)=\lambda^{-s,}F_{j}(\lambda z)$ si $0<|\lambda|\leq 1$,

$f_{\lambda}=(F_{1,1}, \ldots, F_{n,1})$,

\end{center}
o\`{u} le nombre complexe $\lambda$ tend vers z\'{e} $\mathrm{ro}$. Le the'or\'{e}me des fonctions implicites
montre que $\mathrm{v}=\mathrm{v}(\lambda)$ est localement constant au voisinage de $\lambda=0$, donc
ind\'{e}pendant de X. On est donc ramen\'{e} \`{a} montrer que l'application :

\begin{center}
$p=(P_{1}$, . . ., $P_{n})$ : $\mathbb{C}^{n}\rightarrow C^{n}$,

\end{center}
est un revetement ramifl\'{e} \`{a} $s_{1}s_{2}$ . . . $s_{n}$ feuillets, lorsque le point $(P_{1}$, . . ., $P_{n})$
est dans le compl\'{e}mentaire $\mathbb{C}^{d}\backslash A$ de l'ensemble alg\'{e}brique $A$ (pour la
ddtnition de $A$, {\it voir} le d\'{e}but de $1^{\prime}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{e}1$). II sufflt $\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}$ comme ci-
dessus que lorsque $(P_{1}$, . . ., $P_{n})$ d\'{e}crit $\mathbb{C}^{d}\backslash A$, le nombre de feuillets $\mathrm{v}$ reste
localement constant; $\mathrm{v}$ est donc constant par connexit\'{e} de $\mathbb{C}^{d}\backslash A$. Comme
l'egalite :

\begin{center}
$\mathrm{v}=s_{1}s_{2}$ . . . $s_{n}$,

\end{center}
est d'autre part \'{e}vidente si l'on choisit A $j(z)=z_{J}^{s_{j}}$, la conclusion $\mathrm{s}^{\prime}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{i}\mathrm{t}.\ \blacksquare$

  Achevons maintenant la preuve de la proposition 1. On peut supposer que
l'ensemble $f^{-1}(\mathrm{Y})$ du lemme 2 ne contient aucune composante irreductible
de l'hypersurface $U\cap F^{-1}(0)$ : sinon modifier les fonctions $F_{1}, \ldots, F_{n}$ te
appliquant une $\langle\langle$ petite $\rangle\rangle$ rotation dans l'espace des variables $(z_{1}, \ldots, z_{n})$ et
raisonner comme \`{a} l'\'{e}tape 1. Lorsque $r<R^{\prime}(\sqrt{R^{\prime}}=$ rayon de la boule $D$ du
lemme 2), on peut effectuer le changement de variable :

\begin{center}
$w=(w_{1}$, . . ., $w_{n})=(F_{1}(z), . . ., F_{n}(z))$;

\end{center}
nurrrns DE LA S$\propto$'\'{E}T\'{E} $\mathrm{hIATH}\dot{\mathrm{E}}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{A}\mathrm{T}\mathrm{l}\mathrm{Q}\mathrm{U}\mathrm{E}$ DE FRANCE

\vspace{1em}
86

J.-P. DEMALLY

on obtient :

\[
\frac{1}{(2\pi r)^{n-1}}\int_{B(\prime)\cap\infty}T_{\mathrm{A}}\beta^{n-1}=\frac{1}{(2\pi r)^{n-1}}\int_{\{z\epsilon U^{-}(Y);\varphi(z)<\prime\}}.\frac{i}{\pi}\partial\overline{\partial}{\rm Log}|F|\wedge\beta^{n-1}
\]

\begin{center}
$=\displaystyle \frac{1}{(2\pi r)^{n-1}}\int_{\{v\epsilon D\backslash Y_{j}|v|^{*}<\prime\}}\frac{\mathrm{i}}{\pi}\partial\overline{\partial}{\rm Log}|G$ I A $\eta.-1$

$=\displaystyle \overline{(2\pi}\frac{1}{r)^{n-1}}\int_{|v|<\prime}.\frac{\mathrm{i}}{\pi}\partial\overline{\partial}{\rm Log}|G|\mathrm{A}\eta.-1$,

\end{center}
avcc $\eta=\mathrm{i}\partial\overline{\partial}|w|^{2}, G(w)=\displaystyle \prod_{z\epsilon\Gamma^{1}1\cdot)}F(z)$. La fonction $G$, qui cst dffinie
{\it a priori sur} $D\backslash Y$, est localemcnt born\& au voisinage de $\mathrm{Y}$, donc sc prolonge
an une fonction analytiquc dans la boule $D$. On va minorer l'ordre
d'annulation $q$ de $G$ au point 0. On avu plus haut (\'{e}tape 2) qu'on avait :

\begin{center}
$|w|^{2}=\displaystyle \sum_{j-1}^{n}$ I $ F_{j}(z)|^{2}>C_{4}'|z|^{2l}\cdot$,

\end{center}
lorsque |{\it z}| est asscz petit; par suite $|z|\leq C_{5}$ I $w|^{1l*}$. et :

\begin{center}
I $G(w)|\leq C_{6}(|w|^{rJs}\cdot)^{s_{1}\ldots e}\cdot=C_{6}|w|^{\iota\ldots s}' 1\cdot-1$,

\end{center}
d'o\`{u} $q\geq ss_{1}$ . . . $s_{n-1}$. La proposition 1 $\displaystyle \frac{\prime}{15}\mathrm{su}1\mathrm{t}\mathrm{e}$ dc 1'$6\mathrm{gaiit}6$ classique :

\begin{center}
$1\displaystyle \dot{\mathrm{m}}_{r}\rightarrow 0\frac{1}{(2\pi r)^{n-1}}\int_{|w|^{1}<\prime}\frac{\mathrm{i}}{\pi}\partial\overline{\partial}{\rm Log}|G|\wedge\eta^{n-1}=q.\ \blacksquare$

\end{center}
  Nous aurons bcsoin \'{e}galement du r\'{e}sultat suivant, qui se d\'{e}montre de
$\mathrm{mani}6\mathrm{r}\mathrm{e}$ analogue.

  Ptoxsmos 2. -- {\it Soient} $P, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{N}$ \&{\it s polynymes de degris}
{\it respect.fs} 6, $6_{1}\geq\delta_{2}\geq\ldots\geq\delta_{N}$ \&{\it ns} $\mathbb{C}^{*}$, {\it tels que la fonction} :

\begin{center}
$\displaystyle \varphi(z)=\sum_{j-1}^{N}|P_{j}(z)|^{2}$,

\end{center}
{\it soil exhaustive, et doit} $T=i/\pi\partial\overline{\partial}{\rm Log}|P|, \beta=\mathrm{i}\partial\overline{\partial}\varphi$. {\it Alors} :

\begin{center}
$\displaystyle \lim, \displaystyle \rightarrow\star\infty\uparrow\frac{1}{\mathrm{t}2\pi r)^{n-1}}\int_{f(\prime)}T$ A $\beta^{n-1}\leq 66_{1}$ . . . $\delta_{n-1}$.

\end{center}
TOMF 110 -- 1982 -- $\mathrm{N}^{\mathrm{o}}1$

\vspace{1em}
FORMULES DE JENSEN EN PLUSIEURS VARIABLES

87

  {\it Dimonstration}. -- Les hypoth\`{e}ses entrainent que $N\geq n$. Posons :

\begin{center}
$w=(w_{1}$, . . ., $w_{n})=(P_{1}(z), . . ., P_{n}(z))$,

$\displaystyle \varphi_{\epsilon}(z)=|w|^{2}+(\epsilon+\sum_{j=n+1}^{N}|P_{j}(z)|^{2})^{1-\epsilon}$,

$\beta_{\epsilon}=\mathrm{i}\partial\overline{\partial}\varphi_{\epsilon},\ \eta=i\partial\overline{\partial}|w|^{2}$.

\end{center}
  II vient :
(4)   $\displaystyle \frac{1}{(2\pi r)^{n-1}}\int_{B(\prime)}T_{\mathrm{A}}\beta^{n-1}=\lim_{\epsilon}\rightarrow 0\frac{1}{(2\pi r_{\epsilon})^{n-1}}\int_{\varphi.(z)<r}.T_{\mathrm{A}}\beta^{n-1}$,
ou $r_{\epsilon}=\displaystyle \inf_{\mathrm{p}(z)=}, \varphi_{\epsilon}$ tend vers $r$ quand $\epsilon$ tend vers z\'{e}ro.

  D'autre part, le corollaire 2 montre que :
(5)   $\displaystyle \frac{1}{(2\pi r_{\epsilon})^{n-1}}\int_{\varphi.(z)<\prime}.T$ A $\displaystyle \beta_{\epsilon}^{n-1}\leq\lim_{\rho}\rightarrow+\infty\uparrow\frac{1}{(2\pi \mathrm{p})^{n-1}}\int_{\varphi.(z)<\rho}T_{\mathrm{A}}\beta_{\epsilon}^{n-1}$.

  Soient maintenant $u_{1}$ , $u_{2}$, . . . , $u_{f}$ des formes lineaires en $z_{1}$, . . ., $z_{n}$ telles
que le systeme de $(1, 1)$ formes positives :

\begin{center}
$idu_{j}\wedge d\overline{u}_{j},\ 1\sim<j\leq n^{2}$,

\end{center}
constitue une base de l'espace vectoriel des (1, $1\succ \mathrm{formes}$. Si l'on procede
comme dans la d\'{e}monstration pre'c\'{e}dente, on est amen\'{e} a faire les hypoth\`{e}ses
supplementaires (6), (7) qui suivent :
(6) Les parties homog\'{e}nes de plus haut degr\'{e} de $n$ quelconques des
$1+n+n^{2}\mathrm{po}1_{\veevn}\hat{\mathrm{o}}$ mes :

\begin{center}
$P, P_{1}, \ldots, P_{n}, u_{1}, \ldots, u_{n^{2}}$,

\end{center}
n'ont pas $\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{e}$ zero commun que le point 0 (sinon modifier l\'{e}g\`{e}rement
$P_{1}, \ldots, P_{n}, u_{1}, \ldots, u_{n^{2}})$.

(7) II existe une petite constante $c>0$ telle que :

\begin{center}
$\displaystyle \sum_{j=n+1}^{N}|P_{j}(z)|^{2}\geq c$ I $ z|^{2b}\cdot$,

\end{center}
(augmenter au besoin $N$, et introduire des polyn\^{o}mes de degre $\delta_{n}$ ayant de
petits coefficients).

  II est clair qu'on a des \'{e}galit\'{e} $\mathrm{s}$ de la forme :

\begin{center}
$\displaystyle \beta_{\epsilon}=\eta+\sum_{j=1}^{n^{2}}a_{j}(z)du_{j}$ A $d\overline{u}_{j}$.

(8)   $\displaystyle \beta_{\epsilon}^{n-1}=\eta^{n-1}+\sum_{|J|+|J|\leftarrow n-1,|J|\geq 1}a_{l.J}(z)dw,$ A $d\overline{w}, \wedge du_{J}$ A $d\overline{u},$,

\end{center}
BULLETIN DB LA $\mathrm{SC}$) $\mathrm{CI}\dot{\mathrm{E}}$T\'{E} $\mathrm{MATH}\dot{\mathrm{E}}$ MATIQUE DE FRANCE

\vspace{1em}
88

J.-P. DEuAILLY

ou la somme est ctendue aux multi-indices croissants :

\begin{center}
$I=\{\mathrm{i}_{1}, \ldots, \mathrm{i}_{l}\}\subset\{1,2, \ldots, n\},\ J=\{j_{1}, \ldots,j_{l}\}\subset\{1,2, \ldots, n^{2}\}$,

\end{center}
et oU :

\begin{center}
1 $I|=k,\ |J|=l,\  dw_{I}=dw_{i_{1}}\wedge$ . . . $\wedge dw_{i}.$,

$h_{J}=h_{J_{1}^{\mathrm{A}}}$ . . . $\mathrm{A}\&_{j_{\mathrm{I}}}$.

\end{center}
L'in\'{e}galit6 (7) entraine :

\begin{center}
(9)   $\{$

I $a_{\mathrm{J}}(z)|\leq C_{1}(1+|z|^{2})^{\delta.(1-\cdot)-1}$,

$|a_{l.J}(z)|^{1/|J|}\leq C_{2}(1+ \mathrm{I}z|^{2})^{\mathrm{t}.(1-\cdot)-1}$.

\end{center}
En vertu de la condition (6), on a de plus :

\begin{center}
(10)   $1+|z|^{2}\leq C_{3}(1+|w|^{2})^{1\mathit{1}\delta}$.

\end{center}
et l'in\'{e}galit\'{e} $|w|^{2}<\mathrm{p}$ implique :

\begin{center}
(11)   $ u^{2}=\displaystyle \sum_{j=1}^{\prime}'|u_{j}|^{2}\leq C_{4}(1+\mathrm{p})^{1/\delta}\cdot$.

\end{center}
D'apres le lrmme 2, l'application :

\begin{center}
$p$ : $z=(z_{1}$, . . ., $z_{n})\mapsto w=(P_{1}(z), . . ., P_{*}(z))$,

\end{center}
r\'{e}alise un rev\^{e}tement ramifii de $\mathbb{C}^{n}$ \`{a} $6_{1}\delta_{2}$ . . . 6* feuillets. De meme, pour
tout couple dc multi-indices $I\subset\{1,2, . . ., n\}, J\subset\{1,2, \ldots, n^{2}\}$ tels que
$|I|+\S J|\ovalbox{\tt\small REJECT} n-1$, l'application :

\begin{center}
(12)   $(z_{1}$, . . . , $z_{n})\mapsto(P(z), (w_{j})_{j\epsilon},, (u_{j}(z))_{j\mathrm{e}J})$,

\end{center}
est un rev\^{e}tement ramifi\'{e} de $\mathbb{C}^{n}$ (\`{a}, disons, $\mathrm{v}_{l.J}$ feuillets). On obtient comme a
l'\'{e}tape 3 de la proposition 1:

(13) Jim $\displaystyle \sup_{\rho}\rightarrow+\infty\frac{1}{(2\pi \mathrm{p})^{n-1}}\int_{\mathrm{p}.(z)<\rho}T\wedge\eta.-1$

\begin{center}
$\displaystyle \leq\lim_{\mathrm{p}}\rightarrow\star\infty\frac{1}{(2\pi \mathrm{p})^{n-1}}\int_{|\mathrm{r}|<\rho}.\frac{\mathrm{i}}{\pi}\partial\overline{\partial}{\rm Log}|Q|\wedge\eta^{n-1}$,

\end{center}
ou :

\begin{center}
$Q(w)=\displaystyle \prod_{*\cdot p^{-1}}{}_{\mathrm{I}}P(z)$.

\end{center}
IOMI 110 -- 1982 -- $\mathrm{N}^{0}1$

\vspace{1em}
$\mathrm{FO}\ovalbox{\tt\small REJECT}$ DE JENSEN EN PLUSIEURS VARIAJLES

89

Comme $|Q(w)|\leq[C_{5}(1+|w|)^{1/8}\cdot]^{\mathrm{W}_{1}\ldots\delta}\cdot,Q$ se prolonge en un polyn\^{o}me de
degr\'{e} $q\leq 66_{1}$ . . . $\delta_{n-1}$, et on a donc classiquemcnt :

\begin{center}
(14)   $\displaystyle \lim_{\rho}\rightarrow+\infty\frac{1}{(2\pi \mathrm{p})^{n-1}}\int_{|w\downarrow^{*}<\rho}\frac{\mathrm{i}}{\pi}\partial\overline{\partial}{\rm Log}|Q|\wedge\eta^{n-1}=q\leq 66_{1}\ldots\delta_{-1}.$.

\end{center}
n nous reste a majorer les tcrmes correctifs issus de I'identit\'{e} (8). On a, en
posant $m=|I|^{2}+|J|^{2}$ :

$|.\mathrm{r}$

\[
T\wedge a_{l,J}(z)\mathit{4}v_{l}\wedge d\overline{w}_{I}\wedge h_{J}\wedge\overline{h}_{J}|
\]

$\backslash ' \mathrm{t}=1<\rho$

\begin{center}
$\displaystyle \leq\sup_{\varphi.(z)<\rho}|a_{l,J}(z)|$ . $\displaystyle \int_{\varphi.(z)<\rho}\frac{i^{n1+1}}{\pi}\partial\overline{\partial}{\rm Log}$ I $P$ I

\end{center}\begin{flushright}
A $dw_{I}\wedge\ovalbox{\tt\small REJECT}_{l}^{-}$ A $h_{J}$ A $\overline{h}_{J}$,

\end{flushright}
car les courants $(i/\pi)\partial\overline{\partial}{\rm Log}|P|$ et $r\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathit{1}}\wedge\ovalbox{\tt\small REJECT}_{l}^{-}\wedge h_{J}\wedge\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{J}}^{-}$ soot positifs;
l'utilisation du changement de variable (12), combin\& a l'intgalitc (11),
fournit :

$\displaystyle \int_{\varphi.(z)<\rho}\frac{i^{m+1}}{\pi}\partial\overline{\partial}{\rm Log}|P|\mathrm{A}dw_{l}$ A $d\overline{w}_{l}$ A $h_{J^{\mathrm{A}}}\&_{J}^{-}$

\begin{center}
$\displaystyle \leq \mathrm{v}_{\mathit{1}.J}\int_{P-0.|v|^{2}<\rho,|u|^{*}<\mathrm{C}.(1+\rho)^{1:}}.i\cdot dw_{l}$ A $d\overline{w}_{I}\wedge h_{J}\wedge\overline{h}_{J}$

$\leq \mathrm{v}_{I.J}(2\pi \mathrm{p})^{|l|}(2\pi C_{4}(1+\mathrm{p})^{1/\delta}\cdot)^{|J|}$.

\end{center}
  Les $\mathrm{in}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{g}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{t}\acute{\mathrm{c}}\mathrm{s}(9),$ (10) et (11) entrainent d'autre part :

\begin{center}
$\displaystyle \sup_{\varphi.(z)<\rho}|a_{l.J}(z)|\leq[C_{2}(C_{3}(1+\mathrm{p})^{1/\delta}\cdot)^{6.(1-\epsilon)-1}]^{|J|}$,

\end{center}
on obtient donc (compte tenu de ce que $|I|+|J|=n-1$) :
(15)   $|\displaystyle \int_{\varphi.(z)<\rho}T\wedge a_{l.J}(z)dw_{l}\wedge d\overline{w}, \wedge du, \wedge d\overline{u}, |\leq C_{6}\mathrm{t}1$ \dagger $\mathrm{p})^{n-\mathfrak{l}-\epsilon|J|}$.

  La conclusion se d\'{e}duit des lignes (4), (5), (8), (13), (14), (15). $\blacksquare$

  Les propositions 1et 2 admettent les cons\'{e}quenoes suivantes (corollaires 5
et 6), qui nous seront utiles ult\'{e}rieurement.

  COROLLAIRE 5. -- {\it Soient} $F_{1}, \ldots, F_{N}$ {\it des fonctions holomorphes dans un}
{\it ouvert} $\Omega$ {\it de} $\mathbb{C}^{n}$, {\it qui s}'{\it annulent respec tivement aux ordres} $s_{1}\leq s_{2}\leq.$ . . $\leq s_{N}$ {\it en}
{\it un point} $ z_{\mathrm{O}}\in\Omega$.

aurrrns DE LA {\it soc}]{\it g\tau g} UATH\'{E}MA\Pi Q{\it \iota}JE DE $\mathrm{FRA}\aleph \mathrm{C}\mathrm{E}$

\vspace{1em}
90

J.-P. DEMALLY

  {\it On pose} $\displaystyle \varphi(z)=\sum_{j=1}^{N}|F_{j}(z)|^{2}, \beta=\mathrm{i}\partial\overline{\partial}\varphi$, {\it et on suppose dormi un voisirgage}
{\it ouvert} $0$)$\subset \mathrm{c}\Omega$ {\it de} $z_{\mathrm{O}}$ {\it tel que le nombre} :

\begin{center}
$R=\displaystyle \inf_{z\mathrm{s}h}\varphi(z)$,

\end{center}
$soit>0$. {\it Alors pour tout} $ r\in$] $\mathrm{O}, R$[ {\it on} $a$:

\begin{center}
$\displaystyle \frac{1}{(2\pi r)^{n}}\int_{B(\prime)\cap\infty}\beta^{*}\geq s_{1}s_{2}\ldots s_{n}$.

\end{center}
  On voit que la quantite' Jim, $\displaystyle \rightarrow 0\uparrow 1/(2\pi r)^{n}\int_{B(')\cap\alpha}\backslash \beta^{*}$ doit \^{e}tre consid\'{e}r\'{e}e
comme une $\langle\langle$ multiplicit\'{e} d'intersection $\rangle$' au point $z_{0}$ des cydes analytiques
dffinis par les fonctions $F_{j}$;il resterait a en trouver une interpr\'{e}tation
g\'{e}om\'{e}trique priise.

  {\it Dimonstration}. -- On identifie $\mathbb{C}^{n}$ a l'hyfflrplan $z_{n+1}=0$ de $\mathbb{C}^{n+1}$. On
pose :

\[
\mathrm{i}-
\]

\begin{center}
$F(z_{1}$, . . ., $z_{n+1})=z_{n+1},\ T=\partial\partial{\rm Log}|F|\overline{\pi}$,

$F_{N+1}(z_{1}, \ldots, z_{n+1})=z_{n+1}^{N+1}.$, {\it avec} $s_{N+1}\geq s_{N}$,

$\displaystyle \psi(z)=\sum_{j=1}^{N+1}|F_{j}(z)|^{2},\ \gamma=i\partial\overline{\partial}\psi$.

\end{center}
  Comme $T$ est le courant d'int\'{e}gration sur l'hyperplan $\mathbb{C}^{n}$, il est clair que :

\begin{center}
$\displaystyle \frac{1}{(2\pi r)^{n}}\int_{B(r)\cap\infty}\beta^{n}=\frac{1}{(2\pi r)^{n}}\int_{\phi(z)<\prime.(z_{1}\ldots..z.)\epsilon \mathrm{n}}, T\wedge\gamma^{n}$,

\end{center}
et il suffit donc d'appliquer la proposition 1, avec $s=1$. @

En plongeant de m\^{e}me $\mathbb{C}^{n}$ dans $\mathbb{C}^{*+1}$, la proposition 2 entraine :

  COROLLAIRE 6. -- {\it Soient} $P_{1}$, . . ., $P_{N}$ {\it des polyn\^{o}mes de degr\'{e}s respect.f s}
$6_{1}\geq\delta_{2}\geq.$ . . $\geq 6_{N}$ {\it dans} $\mathbb{C}^{n}$ {\it eels que lafonction} :

\begin{center}
$\displaystyle \varphi(z)=\sum_{j\Leftarrow 1}^{N}|P_{j}(z)|^{2}$,

\end{center}
{\it soit exhaustive et soit} $\beta=\mathrm{i}\partial\overline{\partial}\varphi$. {\it Alors} :

\begin{center}
$\displaystyle \lim_{r}\rightarrow+\infty\uparrow\frac{1}{(2\pi r)^{n}}\mathrm{I},\mathrm{t}z)<r\beta^{n}\leq\delta_{1}\delta_{2}\ldots\delta_{n}$.

\end{center}
TOME 110 -- 1982 --$\mathrm{N}^{0}$]

\vspace{1em}
FORMULES DE JENSEN EN PLUSIEURS VARIABLES

91

3. Un lemme de Schwarz dams $\mathbb{C}^{n}$

On considere comme $\mathrm{pr}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{c}\acute{\epsilon}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$ une fonction enti\`{e}re $F$ dans $\mathbb{C}^{n}$, et des
polyn\^{o}mes $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{N}$ de degr\'{e} $\delta$, dont les parties homog\'{e}nes de plus
haut degr\'{e} $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{N}$ admettent pour {\it unique zero commun le point} 0. On
pose :

\begin{center}
$\displaystyle \varphi(z)=\sum_{j=1}^{N}|P_{j}(z)|^{2},\ \beta=\mathrm{i}\partial\overline{\partial}\varphi$,

$T=\displaystyle \frac{\mathrm{i}}{\pi}\partial\overline{\partial}{\rm Log}|F|,\ |F|,=\displaystyle \sup_{|z\}\mathrm{S}},|F(z)|$.

\end{center}
  Les formules de Jensen du paragraphe 1 permettent de minorer la quantite'
${\rm Log}|F|_{R}/|F|$, par la masse moyenne du courant $T$ relativement a la forme $\beta$.

  TH\'{E}ORBME 2. --{\it Il existe une constante} $ C\in$]$\mathrm{O}, 1$] {\it ne d\'{e}pendant que des}
{\it polynomes} $P_{1}, \ldots, P_{N}$ {\it telle qgte pour tout} $R\geq r\geq 1$ {\it on ait} :

\begin{center}
$\displaystyle \int_{2}^{CR^{2}},.\cdot\frac{dt}{t^{n}}\int_{\varphi(z)<\iota}T\wedge\beta^{n-1}\leq(2\delta)^{n}\pi^{n-1}{\rm Log}\frac{|F|_{R}}{|F|_{\mathrm{r}}}$.

\end{center}
  {\it Dimonstration}. - Procidons d'abord \`{a} unc premiere r\'{e}duction. $\mathrm{D}' \mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathit{6}\mathrm{s}$ le
principe du maximum on a $|F|,=|F(a)|$ avec $|a|=r;\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{ectuons}$ une
dilatation de l'espace de mani\`{e}re \`{a} nous ramener a la situation dams laquelle
$r=1, a=0$.

  Posons :

\begin{center}
$\displaystyle \varphi_{a}(z)=\frac{1}{r^{2\S}}\varphi(rz+a),\ \displaystyle \psi(z)=\sum_{j=1}^{N}|Q_{j}(z)|^{2}$,

$\beta_{a}=i\partial\overline{\partial}\varphi_{a},\ \gamma=i\partial\overline{\partial}\psi$,

\[
i-
\]

$F_{a}(z)=F(rz+a),\ T_{a}=\partial\partial{\rm Log}|F_{a}|\overline{\pi}$.

\end{center}
Pour tout $R\geq r,$ l'in\'{e}galit\'{e} du th\'{e}or\`{e}me 2 r\'{e}sultera de l'in\'{e}galit\'{e} :

\begin{center}
$\mathrm{J}^{\cdot}.\ \displaystyle \frac{dt}{t^{n}}C(R/')^{2}1\int_{\varphi.(z)<\prime}T_{a}\wedge\beta_{a}^{n-1}\leq(2\delta)^{n}\pi^{n-1}{\rm Log}\frac{|F_{a}|_{(R-|a|)/\prime}}{|F_{a}(0)|}$,

\end{center}
soit, quitte a remplacer $(F_{a}, T_{a})$ par $(F, T)$ et $R$ par $r$ RC-1/28 :
(16)   $l_{1} \displaystyle \frac{dt}{t^{n}}\int_{\varphi.(z)<\prime}T\wedge\beta_{a}^{n-1}\leq(2\delta)^{n}\pi^{n-1}{\rm Log}\frac{|F|_{CR}}{|F(0)|}$,
pour tout $R\geq 1$; $0\underline{\mathrm{n}}$ choisira alors $C^{-1/2\delta}=1+C_{1}$.

BULLETIN DE LA $\mathrm{S}\propto 1\dot{\mathrm{E}}$T\'{E} $\mathrm{MATH}\dot{\mathrm{E}}\mathrm{M}\mathrm{A}\Pi \mathrm{Q}\mathrm{U}\mathrm{E}$ DE FRANCE

\vspace{1em}
92

J.-P. DEMAILLY

  {\it \'{E}tape} 2. -- Pour \'{e}tablir (16), nous irirons $\beta_{a}^{n-1}$ sous la forme :

\begin{center}
$\beta_{a}^{n-1}=\gamma^{n-1}+\mathrm{termes}$ de degre' inf\'{e}rieur

\end{center}
et nous d\'{e}composerons le premier membre de (16) en la somme de la partie
principale $\displaystyle \int_{1}^{R}..`\frac{tlt}{t^{n}}\int_{\mathrm{V}(z)<t}T\wedge\gamma^{n-1}$, et d'un certain nombre de termes
correctifs. II est clair qu'il existe des constantes $C_{2}$, . . ., $C_{7}$ telles que :
(17)   $|z|\leq C_{2}(1+\varphi_{a}(z))^{1/2\delta}.$'
(1i) $C_{3}^{-1}|z|^{28}\leq\psi(z)\leq C_{3}|z|^{28}$,
(19)   $\psi(z)\leq\varphi_{a}(z)+C_{4}(1+|z|)^{26-1}$,

\begin{center}
$\beta_{a}\leq\gamma+C_{5}(1+|z|)^{2\delta-3}\eta$, o\`{u} $\eta=i\partial\overline{\partial}|z|^{2}$,

(20)   $\beta_{a}^{n-1}\leq\gamma^{n-1}+C_{6}(1+|z|)^{2(n-1)(\delta-1)-1}\eta^{*-1}$,
(21)   $\beta_{a}^{n-1}\leq C_{7}(1+|z|)^{2(n-1)(\delta-1)}\eta^{*-1}$.

\end{center}
  $\mathrm{D}' \mathrm{a}\mathrm{p}\hslash \mathrm{s}(17)$ et (19), on a :
$\displaystyle \sup_{\varphi.(z)<t}\psi(z)\leq\sup_{\mathrm{V}_{l}^{\prime}=)=\prime}`\psi(_{\sim}')$

\begin{center}
$\leq t+C_{4}\mathrm{t}1+C_{2}(1+t)^{1/28})^{2\delta-1}<t+C_{8}t^{1-1/2\delta}$,

\end{center}
ce qui donne :
$\displaystyle \int_{1}^{R^{l}}.\frac{dt}{t^{n}}\int_{\varphi.(z)<\iota}T\wedge\beta_{a}^{n-1}$

\[
\leq\int_{1}^{R^{2*}}\frac{dt}{t^{n}}\int_{\phi(z)<\prime\prime 1+C_{*})}\prime^{-1\prime 2}.T_{\mathrm{A}}\beta_{a}^{n-1}
\]

\begin{center}
$\displaystyle \leq \mathrm{J}^{\cdot}1\frac{du}{u^{n}}(1+C_{10}u^{-1/2\delta})\int_{\mathrm{V}1z)<u}C.R^{f.\backslash }T\wedge\beta_{a}^{n-1}$,

\end{center}
avec le changement de variable $u=t(1+C_{8}t^{-1/2\delta})$.

  En combinant avec (20) on obtient le majorant :
(22)   $\displaystyle \int_{\mathrm{o}}^{C_{9}R^{2}}.\ \displaystyle \frac{du}{\iota\iota^{n}}\int_{\phi(z)<u}T_{\mathrm{A}}\gamma^{n-1}+I_{1}+I_{2}$,
avec :
(23)   $I_{1}=C_{10}\displaystyle \int_{1}^{C.R^{-0}}'\frac{du}{u^{n+1/2\delta}}\int_{\phi(z)<u}T_{\mathrm{A}}\beta_{l}^{n-1}$,

TOME 110 -- 1982 -- $\mathrm{N}^{\mathrm{o}}1$

\vspace{1em}
FORMULES DE JENSEN EN PLUSIEURS VARIABLES

93

\begin{center}
(24)   $I_{2}=C_{6}\displaystyle \int_{1}^{C_{0}R^{2}}.`\frac{lu}{u^{n}}\int_{*(z)<u}(1+|z|)^{2(n-1)(\delta-1)-1}T\wedge\eta^{*-1}$.

\end{center}
{\it \'{E} tape} 3. - La partie principale (premier terme de (22)) sera estimi \`{a} l'aide
du corollaire 4 et du lemme \'{e}l\'{e}mentaire qui suit.

LEMME 3. $-\gamma^{n}=(i\partial\overline{\partial}{\rm Log}\psi)^{n}\equiv 0$ sur $\mathbb{C}^{n}\backslash \{0\}$.

  En effet, la fonction $\psi$ est $\mathrm{homog}6\mathrm{n}\mathrm{e}$ de degre' 26; la forme $\gamma =\mathrm{i}\partial\overline{\partial}{\rm Log}\psi$
provient donc par passage au quotient $\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{e}(1,1)$-forme sur $ 1^{\prime}\mathrm{espa}\propto$
projectif $\mathbb{P}_{n-1}=\mathbb{C}^{n}\backslash (0\})/\mathbb{C}^{*}$.

Le lemme 3 s'ensuit par raison de dimension. @

  D'apr\`{e}s le corollaire 4, il vient :

$\dot{1^{C,R^{20}}0}d_{\frac{u}{l^{\hslash}}\int_{\psi(z\rangle<u}T\wedge \mathrm{Y}^{n-1}}\iota$

\[
=\frac{1}{\pi(C_{9}R^{2\delta})^{n}}\int_{*(z)-C,R^{*}}.{\rm Log}|F|\gamma^{*-1}\wedge \mathrm{i}\overline{\partial}\psi
\]

\begin{center}
$-\displaystyle \lim_{\rho}\rightarrow 0\frac{1}{\pi \mathrm{p}^{n}}\int_{\phi(z)=\rho}{\rm Log}|F|\gamma^{n-1}\wedge i\overline{\partial}\psi$.

\end{center}
L'homog\'{e}n\'{e}it\'{e} des polyn\^{o}mes $Q_{j}$ et les corollaires 5 et 6 entrainent que :

\begin{center}
$\displaystyle \frac{1}{(2\pi t)^{n}}l_{*(z)-t}^{\gamma^{n-1}}$ A $\displaystyle \mathrm{i}\overline{\partial}\psi=\frac{1}{(2\pi t)^{n}}\int_{\phi(z)<t}\gamma^{n}=\delta^{n}$,

\end{center}
ou, sur l'hypersurface orienti $\{\psi(z)=t\}$, la forme volume $\gamma^{*-1}\wedge \mathrm{i}\overline{\partial}\psi$ est
positive. En vertu de (18) on en diduit :

\begin{center}
(25)   $\displaystyle \int_{0}^{C,R^{*}}.\frac{du}{u^{n}}\int_{\phi(z)<u}T_{\mathrm{A}}\gamma^{n-1}\leq(2\delta)^{n}\pi^{n-1}{\rm Log}^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}|F(0)||F|_{CR}$ .

\end{center}
{\it \'{E}tape} 4. --{\it Estimation du terme correctif} $I_{1}+I_{2}$.

Comme pour (25), on montre que :

\begin{center}
(26)   $\displaystyle \int_{0}^{\rho^{2}}\frac{dt}{t^{*}}\int_{|z|^{1}<\iota}T\wedge\eta^{--1}\leq 2^{n}\pi^{n-1}{\rm Log}\frac{|F|_{\rho}}{|F(0)|}$.

\end{center}
BULLETIN DE LA $\mathrm{X}$)$\mathrm{CI}\dot{\mathrm{E}}$ T\'{E} btATH\'{E}MATIQUE DE FRANCE

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94

J.-P. DEMALLY

On v\'{e}ffi. e $\mathrm{ais}\acute{\epsilon}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}[\phi. $(18), (21), (23), (24)] qu'on a la majoration :

\begin{center}
(27)   $I_{1}+I_{2}\displaystyle \leq C_{12}\mathrm{f}_{1}^{\mathrm{C}\wedge^{*}}.\frac{u^{(--1)(1-1/l)}}{u^{*+1/2l}}\&\displaystyle \int_{|*\mathrm{I}\mathrm{C}}`\ldots.n\cdot T\wedge\eta^{n-1}$

$\displaystyle \leq C_{14}\int_{1}^{\mathrm{C}_{1}.-*}.\frac{dt}{t+(1/2)}\int_{|z|^{*}<\iota}T\wedge\eta.-1$.

\end{center}
[cffectuer le changemcnt de variable $u=(t/C_{13}^{2})^{\mathrm{S}}$].

  D'autre part, on peut $\propto \mathrm{ri}\prime \mathrm{r}\epsilon$ :
(28)   $\displaystyle \int_{1}^{\rho^{*}}\frac{dt}{t^{n+(1/2)}}\int_{|z|^{2}<\ell}T_{\mathrm{A}}\eta.-1\leq\int_{1}^{\rho}\frac{dt}{t^{*+(1/2)}}\int_{|z|^{*}<t}T\wedge\eta^{\mathrm{r}-1}$

\begin{center}
$+\displaystyle \mathrm{p}^{-1/2}\int_{\mathrm{p}}^{\rho^{*}}\frac{dt}{t^{-}}\int_{|z|^{1}<\prime}T\wedge\eta.-1$,

\end{center}
{\it ou} pour tout couple $(t, u)$ tel quc $t\leq \mathrm{p}\leq u$. on a ($\phi$. corollaire 2) :

\begin{center}
$\displaystyle \frac{1}{t^{n-1}}\int_{|z|<\iota}.T_{\mathrm{A}}\eta^{*-1}\leq\frac{1\sim}{u^{n-1}}\int_{|z1^{l}<u}T\wedge\eta'-1$.

\end{center}
  Int\'{e}yons les deux membres da $1' \mathrm{in}\mathit{6}\mathrm{g}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{t}6$ avec le poids
$1/{\rm Log} \displaystyle \mathrm{p}\int_{\rho}^{\rho^{l}}$ (\&/{\it u}) $\mathrm{x}?$:

\begin{center}
$.\displaystyle \frac{1}{t-1}\int_{|z|^{2}<t}$ {\it T}A $\displaystyle \eta.-1\leq\frac{1}{{\rm Log} \mathrm{p}}\mathfrak{l}_{\rho}^{\rho}.\frac{h}{u^{*}}\int_{|z\mathrm{I}^{1}<u}T\wedge\eta^{*-1}$.

\end{center}
  $\mathrm{n}$ vient donc $(\phi. $(26) ,\ (28) $)$ :
(29)   $\displaystyle \int_{1}^{\rho^{*}}\frac{dt}{t^{n+(1/2)}}\int_{|z|^{2}<\iota}T_{\mathrm{A}}\eta^{*-1}$

\[
\leq(\frac{2}{{\rm Log} \mathrm{p}}+\mathrm{p}^{-1/2})\int_{\rho}^{\rho^{*}}\frac{dt}{t^{*}}\int_{|z|^{2}<\prime}T\wedge\eta^{*-1}
\]

\begin{center}
$\displaystyle \leq\frac{C_{\mathrm{l}6}}{{\rm Log} \mathrm{p}}{\rm Log}\frac{|F|_{\rho}}{|F(0)|}$,

\end{center}
d'o\`{u} finalemcnt $(\phi. $(22) ,\ (25) ,\ (27) ,\ (29) $)$ :
(30)   $\displaystyle \mathrm{I}_{1}^{R^{2}}.\frac{dt}{t^{n}}\int_{-}\varphi.(z)<t<T\wedge\beta i^{-1}\sim(1+\frac{C_{17}}{{\rm Log} R}\mathrm{I}(2\delta)^{*}\pi^{*-1}\mathrm{L}^{1F|}\mathrm{o}\mathrm{g}^{\ovalbox{\tt\small REJECT}^{\mathrm{C}R}}\mathrm{I}F(0)|- \cdot$

T0WE 110 -- 1982 -- $\mathrm{N}^{\Phi}1$

\vspace{1em}
FORMULES DE JENSEN EN PLUSIEURS VARIABLES

95

{\it \'{E} tape} 5. - II ne reste plus qu'afaire disparaitre le facteur $(1+(C_{17}/{\rm Log} R))$
pour rendre la formule (30) plus esthctique.

Comme la fonction $t\displaystyle \mapsto 1/t^{n-1}\int_{\varphi.(z)<t}T\wedge\beta i^{-1}$ est croissantc, l'expression
$\displaystyle \int_{1}^{R^{2}}.dt/t^{n}\int_{\varphi.(z)<t}T\wedge\beta i^{-1}$ est fonction convexe de la variable ${\rm Log} R$.

  On a donc :

$\displaystyle \frac{{\rm Log}({\rm Re}^{c_{1}}')}{{\rm Log} R}\int_{1}^{R^{l}}.\frac{dt}{t^{n}}\int_{\varphi.(z)<\iota}T\wedge\beta_{a}^{n-1}\leq\int_{1}^{()}{\rm Re}^{C.,\mathfrak{B}}\frac{dt}{t'}\int_{r.1z)<t}T$ A $\beta$:

\begin{center}
$\displaystyle \leq(1+\frac{C_{17}}{C_{17}+{\rm Log} R})(2\delta)^{n}\pi^{*-1}{\rm Log}\frac{|F|_{CR}}{|F(0)|}$,

\end{center}
d'apr\`{e}s (30), avec $C_{1}=C_{18}e^{C_{11}}.$ L'in\'{e}galit\'{e} (1{\it 6}) en riulte. @

Le lemme de Schwarz $\mathrm{Pr}u\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$ est $\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}$ plus utic que les fonctions $F$,
$P_{1}, \ldots, P_{N}$ ont de nombreux zeros communs. Un combinant le th\'{e}or\`{e}me 2
avec la proposition 1, on obtient ainsi la :

  PROPOSmON 3. -- {\it Soient} $P_{1}, \ldots, P_{N}$ \&{\it s polyr \^{o}mes de degr\'{e}} $\delta$ {\it de}
$\mathbb{C}[z_{1}$, . . ., $z_{n}]$, {\it dont les parties honvgines de plus haut degr\'{e}} $a\delta nettent$ {\it pour}
{\it unique zero corrsmun} $\Gamma orig\mathrm{i}ne$. {\it Il existe une constante} $C_{1}\geq 1$ {\it aysrt les}
{\it propriitis suivantes. Soit} $F$ {\it une fonction entiire} $kns\mathbb{C}^{n}$. {\it Soit} $R\geq r\geq 1$ ie
$u_{1}$''$\ldots, w_{m}$ {\it des ziros deux \`{a} deux distincts de} $F, P_{1}, \ldots, P_{N}$ {\it dordre} $\geq s$,
$s_{1}, \ldots.s_{\backslash }$ {\it respectiv} .$`\prime m^{l}` nt,  a\iota\cdot ccs_{1}\leq s_{\mathit{2}}\leq$. . . $\leq s_{N}$. {\it Alors} :

\begin{center}
${\rm Log}|F|,\displaystyle \leq{\rm Log}|F|_{R}-m\frac{ss_{1}...s_{*-1}}{\delta_{\backslash }^{n-1}}.{\rm Log}\frac{R}{C_{1}r}$.

\end{center}
  {\it Dimonstration}. -- Les zeros communs aux polyn\^{o}mes $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{N}$
sont isol\'{e}s. $\mathrm{n}$ existe par cons\'{e}quent des voisinages ouverts disjoints $\omega_{1}$,
$\omega_{2}, \ldots, \mathrm{eo}_{m}$ des points $w_{1}, w_{2}, \ldots, w_{n}$ tels que $\displaystyle \sup_{z\epsilon \mathrm{h}},\varphi(z)>0,$ o\`{u} lee
notations $\varphi, \beta, T$ conservent la meme sir.ffi cation que dams le th\'{e}or\'{e}me 2.
Lorsque $r$ est assez petit, la proposition 1 montre que :

$\displaystyle \frac{1}{(2\pi r)^{n-1}}\int_{\partial(z)<\prime}T\wedge\beta^{*-1}$

\begin{center}
$\displaystyle \geq\sum_{j\approx 1}^{n}\frac{1}{(2\pi r)^{*-1}}\mathrm{I}_{1^{ze}\cdot i\bullet 1z)<\prime\}}T\wedge\beta^{n-1}>\prime mss_{1}\ldots s_{-1}.$.

\end{center}
BULLETIN DE LA $\mathrm{S}\propto \mathrm{I}ffi$ MAnaeuAWQUE DE FRANCE

\vspace{1em}
96

J..P. DEMALLY

La minoration est donc vraie quel que soit $r>0$, ce qui entraine :

\begin{center}
$\displaystyle \int^{CR^{*}},.\cdot\frac{dt}{t^{*}}\int_{\mathrm{p}(z)<t}$ {\it T}A $\beta^{n-1}\geq(2\pi)^{n-1}mss_{1}$ . . . $s_{n-1}{\rm Log}\displaystyle \frac{CR^{2\delta}}{\prime^{\delta}}$.

\end{center}
  La proposition 3riulte alors du th\'{e}oreme 2 (avcc $C_{1}=C^{-1/2\delta}$). $\blacksquare$

  Soit maintenant $S$ une partie quclconque de $\mathbb{C}^{*}$. On note $\omega_{1}(S)$ le degr6
minimal des hypersurfaces alg\'{e}briques qui conticnnent $S$ (s'il n'cxiste pas de
tellcs hypersurfaces, on pose $\omega_{1}(\mathrm{S})=+\infty)$. Nous \'{e}nonoerons un lemme ti
Schwarz relatif aux fonctions qui s'annulent sur $S$.

COROLLAIRE 7. -- {\it Soit} $S$ {\it une partie de} $\mathbb{C}^{*}et \delta$ {\it un entier tel que} $\delta \leq\omega_{1} (S)$. {\it Il}
{\it existe une constante} $C_{2}\geq 1$ {\it telle qste si} $F$ {\it est une fonction entiire ayant en}
{\it chaque point de} $S$ {\it un zero Iordre} $\geq t$, {\it on ait pour tour} $R\geq r\geq 1$ :

\begin{center}
${\rm Log}|F|,\displaystyle \leq{\rm Log}|F|_{-}-t\frac{\delta(\delta+1)\ldots(\delta+n-1)}{n!\delta^{*-1}}{\rm Log}\frac{R}{C_{2}r}$.

\end{center}
  {\it Dirruynstra tion}. -- Notons :

\begin{center}
$m(6)=\displaystyle \left(6+ & nn & -1\right)=\frac{(\delta+1)\ldots(\delta+n-1)}{n!}$,

\end{center}
la dimension de $1^{\prime}\mathrm{espaoe}$ vectoricl $\mathbb{C}[z]_{\delta}$ des polyn\^{o}mes de degr\'{e} $<\delta$ dans $\mathbb{C}^{*}$.
Un raisonnement \'{e}l\'{e}mentaire d'alg\`{e}bre lin\'{e}aire conduit au r\'{e}sultat suivant.

  LEMME 4. - {\it Onpeut trouver} $m=m(\delta)$ {\it points} $w_{1}, w_{2}$, . . ., $w_{\mathrm{r}}\in S$ {\it qui ne sont}
{\it situis sur aucune hypersuface} $de$\&{\it gre}\acute $<\delta$.{\it Il existe alors un unique polymyme}
{\it de degri} $<\delta$ {\it prenant} \&{\it s valeurs donnies agrx points} $w_{1}, w_{2}$, . . . , $w_{m}$.

  En effet les diff\'{e}rentes formes lin\'{e}aires sur $\mathbb{C}[z]_{\delta}$ damies par $P\mapsto P(w)$,
$w\in S$, s'annulent simultan\'{e}ment pour le seul polyn\^{o}me $P=0$ (par hypothets
$\omega_{1}(S)\geq\delta)$. On peut donc trouver $m=m(\delta)$ formcs (correspondant \`{a} des
points $w_{1}$, . . ., $w_{*l}\in S$) qui constituent une base de l'espace dual $\mathbb{C}[z]_{\delta}^{*}$. Les
affirmations du lemme 4 ne soot qu'une autre formulation de cette
ProPri\'{e}t\'{e}. $\blacksquare$

  En particulier, il existe des polyn\^{o}mes $P_{1}, \ldots, P_{N}$ de degr66, s'annulant
aux points $w_{1}, \ldots, w_{m}$, et dont les parties homogenes de plus haut degr\'{e}
forment une base de l'espace des polyn\^{o}mes homogenes de degr\'{e} $\delta$. Le
corollaire 7 cst donc cons\'{e}quen\infty de la proposition 3 en prenant $m=m(\delta)$,
$s=t, s_{1}=s_{2_{-}}=\ldots=s_{N}=1.\ \blacksquare-$

TOME 110 -- 1982 --$\mathrm{N}^{0}1$

\vspace{1em}
FORMULES DE {\it JENSEN} EN PLUSIEURS VRRIABLES

97

Nous pouvons am\'{e}h.orer 1'in\'{e}galit\'{e} du corollaire 7 moyennant des
renseignements suppl\'{e}mentaires sur la $\mathrm{r}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\dot{\mathrm{u}}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$ des points de $S$. Si $S$ est un
produit cartisien $S=S_{1}\mathrm{x}S_{2}\mathrm{x}$ . . . $\mathrm{x}S_{n}$ suivant les directions d'une base de
$\mathbb{C}^{n}$, ml est facile de montrer qu'on pcut remplacer le nombre :

\[
\frac{\delta(\delta+1)\ldots(\delta+n-1)}{n!\delta^{n-1}}
\]

par tout entier 6 tel que :

\begin{center}
$\displaystyle \delta\leq\omega_{1}(S)=\min_{1' j\leq n}$ carl $S_{i}$.

\end{center}
  Nous supposerons ici quc $S$ contient un polytope complet a
$m(\delta)=\left(\begin{array}{ll}
\delta+n & -1\\
n & 
\end{array}\right)$ sommets : autrement $\mathrm{dit}$, il existe $\delta+n.-1$ hyperplans
affines $H_{j}\subset \mathbb{C}^{n}$, concourants $n$ \`{a} $n, \mathrm{d}' \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}\alpha \mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}$ vides $n+1$ \`{a} $n+1$, ut tels
que $S$ contienne les sommets $w_{J}$ du polytope (intersections dcs families de $n$
hyperplans $(H_{j})_{j\epsilon J}, J\subset\{ 1, 2, . . ., \delta+n-1\}, |J|=n)$. Cette hypoth\`{e}se est
v\'{e}rifi\'{e}e notamment dans le cas $\omega_{1}(S)\geq 2$, avec $\delta=2, m(2)=n+1$.

Soit $A_{j}$ une forme affine ddtnissant $H_{j}$, et posons :

\begin{center}
$A_{I}=\displaystyle \prod_{\ell l}A_{j}$,

\end{center}
pour toute partie {\it I} de $\{1, 2, . . ., \delta+n-1\}.\ \mathrm{n}$ est clair que :

\begin{center}
$\hat{A}_{l}(w_{J})=0$, si 1 $I|=n,\ I\neq J$,

$\hat{A}_{J}(w_{J})\neq 0$.

\end{center}
Les polyn\^{o}mes $\mathrm{t}A_{l})_{|l|-n}$ forment donc une base de l'espaoe des polyn\^{o}mes
de degre $<\delta$, de sorte que :

\begin{center}
$\omega_{1}(\{w_{J};|J|=n\})=\delta$.

\end{center}
  On observe que le polyn\^{o}me $P_{k}=\displaystyle \sum_{l|-n-k}\hat{A}_{l}, 1\leq k\leq n$, a pour degre
$\delta+k-1$ et que $P_{\mathrm{k}}$ s'annule a l'ordre $k$ en chaque point $w_{J}$;il est ais\'{e} de v\'{e}rifier
d'autre part que les parties homog\`{e}nes de plus haut degre' des polyn\^{o}mes
$P_{1}, \ldots, P_{n}$ n'ont pas d'autre z\'{e}ro commun que le point 0. Posons
$\tau=\delta(\delta+1)\ldots(\delta+n-1);\mathrm{si}\dot{1}' \mathrm{o}\mathrm{n}$ applique la proposition 3 aux polyn\^{o}mes de
degr\'{e} $\tau$ :

\begin{center}
$P_{1}^{\tau/\delta}, P_{2}^{\mathrm{c}/\delta+1}$, . . ., $p_{n}\mathrm{s}/t+*-1$,

\[
\leftarrow
\]

\end{center}
uurrrns DE LA SOCl\'{E}Tg $\mathrm{MA}T\mathrm{H}\mathrm{g}\mathrm{M}\mathrm{A}\mathrm{W}\mathrm{Q}\dot{\mathrm{U}}\mathrm{E}$ DE FRANCE

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98

J.-P. DEMAILLY

avec $m=m(\delta), s=t, s_{l}=k\tau/\delta+k-1,\cdot 4$ vient :

  COROLLAIRE {\it B}. -- {\it Soit} $S$ {\it une partie de} $\mathbb{C}^{n}$ {\it contergant un polytope complet \`{a}}
$\left(\begin{array}{ll}
\delta+n & -1\\
n & 
\end{array}\right)$ {\it sommets. Il existe une constante} $C_{3}\geq 1$, {\it telle que si} $F$ {\it est une}
{\it fonction entiire a.vant en chaque point de} $S$ {\it un zero lordre} $\geq t$. {\it on ait pour rout}
$R\geq r\geq 1$ :

\begin{center}
${\rm Log}|F|,\displaystyle \leq{\rm Log}|F|_{R}-t\frac{\delta+n\simeq 1}{n}{\rm Log}\frac{R}{C_{3}r}$.

\end{center}
4. Nouvelle demonstration du tMr\'{e}me de Bombieri

Nous allons \'{e}tablir le th\'{e}or\`{e}me dc BOMBIERI au moyen des lemmes de
Schwarz \'{e}nonc\'{e}s au paragraphe 3. Soit $K$ un corps de nombres. On note
$[K : \mathbb{Q}]$ son degre', et on pose :

\begin{center}
$[[K:\Theta]]=[K:\Theta]$ si $K\subset \mathbb{R}$,

$[[K $:$ \displaystyle \Theta]]=\frac{1}{2}[K $:$ \mathbb{Q}]$ sinon.

\end{center}
  THEOREME 3. - {\it Soien} $tf_{1}, \ldots, f_{p}$ \&{\it s fonctions miromorphes dans} $\mathbb{C}^{n}$, {\it telles}
{\it que} $f_{1}, \ldots, f_{d}(n<d\leq p)$ {\it soient algibriquemen} $t$ {\it indipendan tes sur} $\mathbb{Q}$ {\it et}
{\it lordres finis} $\mathrm{p}_{1}$, . . ., $\mathrm{p}_{d}$. {\it On suppose que les dirivations} $d/dz_{1}$, . . ., $d/dz_{n}$
{\it appliquent} $\Gamma anneauK[f_{1}$, . . ., $f_{p}]kns$ {\it lui-minge. Alors} $\Gamma ensembleS$ {\it des}
{\it points} $z\in \mathbb{C}^{n}$, {\it distincts} \&{\it s po}^{\it les}\&{\it s} $f_{j}$, {\it tels que} $(f_{1}(z), . . ., f_{p}(z))\in K^{p}$, {\it est}
{\it contenu dans une} $hypersu\phi ace$ {\it algibrique dont le degri} 6 {\it v\'{e}r}.$\displaystyle \oint e$ {\it la majoration} :

\begin{center}
$\displaystyle \frac{\delta(\delta+1)\ldots(\delta+n-1)}{n!\delta^{n-1}}\leq\frac{\mathrm{p}_{1}+\ldots+\mathrm{p}_{4}}{d-n}[[K:\Theta]]$.

\end{center}
  {\it Demonstration}. -- Si l'ensemble $S$ n'est pas contenu dans une hypersurface
alg\'{e}brique de degr\'{e} $<\delta$, le raisonnement d'algebre lin\'{e}aire du lemme 4
montrc qu'on peut trouver $m=m(\delta)$ points $w_{1}, w_{2}$, . . ., $w_{m}\in S$ qui ne inct
situ\'{e}s sur aucune hypersurface de degre' $<\delta$. Quitte \`{a} remplacer $\mathrm{p}_{1}, \ldots, \mathrm{p}_{d}$
par les nombres $\mathrm{p}_{1}+\epsilon$, . . ., $\mathrm{p}_{d}+\epsilon$,on peut supposer $\mathrm{p}_{j}>0\mathrm{e}\mathrm{t}_{-}f_{j}=g_{j}/h_{j}$ avec :

\begin{center}
$|g_{j}(z)|+$ I $h_{j}(z)$ I $\leq\exp(B_{j}|z|^{\rho_{j}}+C_{j}),\ 1\leq j\leq d$,

$h_{j}(w_{\mathrm{t}})\neq 0,\ 1\leq j\leq d,\ 1\leq k\leq m$.

\end{center}
TOMF 110 -- 1982 -- $\mathrm{N}^{0}1$

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FORMULES DE {\it JENSEN} EN PLUSIEURS VARIABLES

99

Les m\'{e}thodes arithm\'{e}tiques classiques ({\it voir} par cxemple
M. WALDSCHMIDT [10], \S 5.4) permettent alors d'obtenir le r\'{e}sultat suivant.

  LEMME 5. --{\it Il existe} \&{\it s constantes positives r}, $C_{1}, C_{2}$ {\it et une suite} $(F_{t})$ {\it de}
{\it fonctions entiires dans} $\mathbb{C}^{n}$ ({\it o\`{u} t dicrit une partie infinie} $\sqrt{}^{-}dde$ N) {\it telles que} :

(31) $F_{t}$ {\it s}'{\it annule \`{a}} $\Gamma ordret$ {\it aux points} $w_{1}, w_{2}$, . . ., $w_{m}\mathrm{i}$
(32)   $|F_{t}|,>,.(C_{1}t)^{-t\Pi K:Q\mathrm{n}_{j}}$
(33)   $|F_{t}|_{R(t)}\leq C_{2}^{t}$, {\it o\`{u}} $R(t)=(\displaystyle \frac{t^{d-n}}{{\rm Log} t})^{\iota/(\rho_{1}+\ldots+\rho_{*})}$

  La majoration du th\'{e}or\'{e}me 3 r\'{e}sulte ais\'{e}ment du corollaire 7 appliqu\'{e} a la
fonction $F=F_{t}$ et a $R=R(t)$, quand $ t\rightarrow+\infty$. @

  Le theoreme 3 entraine en particulier l'inegaliti :

\begin{center}
$0)_{1}(S)+\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}\leq n!\frac{\mathrm{p}_{1}+\ldots+\mathrm{p}_{d}}{d-n}[[K:\Theta]]$.

\end{center}
  Ici encore, il est possible de faire mieux si l'on connait plus pr\'{e}cis\'{e}ment
l'ensemble $S$. Dans une premi\`{e}re tentative de d\'{e}monstration en plusieurs
variables du th\'{e}or\`{e}me 3, S. Lang a montr\'{e} que si $S$ contenait un produit
cart\'{e}sien $S_{1}\mathrm{x}S_{2}\mathrm{x}\ldots \mathrm{x}S_{n}$ alors on avait :

\begin{center}
$\omega_{1} (S_{1}\displaystyle \mathrm{x} . . . \mathrm{x}S_{n})=\min_{1\leq j\leq n}$ card $S_{j}\displaystyle \leq\frac{\mathrm{p}_{1}+\ldots+\mathrm{p}_{l}}{d-n}[[K : \Theta]]$.

\end{center}
  D'une mani\'{e}re analogue, les corollaires 7et 8 fournissent le r\'{e}sultat
suivant, qui semble me pas avoir \'{e}t\'{e} \'{e}tabli a ce jour par la m\'{e}thode des
estimations $\mathrm{L}^{2}$.

  PROPOSITION 4. -- {\it Si} $n=1,2$, {\it ou si} $S$ {\it contient un polytope complet \`{a}}
$(_{n}^{\omega_{1}(S)+n-1})$ {\it sommets} ({\it en particulier si} $(\mathrm{I})_{1}(S)=1,2$) {\it alors}:

\begin{center}
$\displaystyle \frac{(1)_{1}(S)+n-1}{n}\leq\frac{\mathrm{p}_{1}+\ldots+\mathrm{p}_{d}}{d-n}[[K:\mathbb{Q}]]$.

\end{center}
  II parait naturel de conjecturer que ce r\'{e}sultat reste valable dans tous les
cas. La m\'{e}thode de E. BOMBIERI, am\'{e}lior\'{e}e par H. SKODA [8], en donne une
bonne approche :

\begin{center}
(34)   $-\displaystyle \frac{\omega_{1}(S)}{n}$ '' $\displaystyle \frac{\mathrm{p}_{1}+\ldots+\mathrm{p}_{d}}{d_{-}-n}[[K:\mathbb{O}]]$.

\end{center}
BULLETIN DE LA S$\propto$I\'{E}T\'{E} MATH\'{E}bIATlQUE DE FRANCE

\vspace{1em}
100

J.-P. DEMALLY

5. PolyMn]oe s'mnnulant sw une partie fxnie de $\mathbb{C}^{n}$

Soit $S$ une partie finie de $\mathbb{C}^{n}$. Suivant M. WALDSCHMIDT [9], nous noterons,
pour tout entier $t>0, \omega_{t}(S)=\mathrm{degr}\acute{\mathrm{e}}$ minimum des polyn\^{o}mes $P$ qui
s'annulent A l'ordre $t$ sur $S$.

  De la propri\'{e}t\'{e} de sous-additivit\'{e} :

\begin{center}
$\omega_{l_{1}+t_{2}}(S)\leq\omega_{\iota_{1}}(S)+\omega_{2},(S)$,

\end{center}
r\'{e}sulte ais\'{e}ment l'\'{e}galit\'{e} suivante, qui est une dffinition du nombre $\Omega(S)$
$1^{(\langle}$ degr\'{e} singulier $\rangle\rangle$ de $S$) :

\begin{center}
$\displaystyle \inf\frac{\omega_{l}(S)}{t}=\lim_{t\rightarrow+\infty}\frac{\omega_{l}(S)}{f}=\Omega(S)$.

\end{center}
  En utilisant le th\'{e}or\`{e}me d'HoRMANl)ER-BoMBlERI-SKoDA (H. SKODA [8])
M. WALDSCHMIDT [10] a d\'{e}montr\'{e} l'encadrement :

\begin{center}
(35)   $\displaystyle \frac{\omega,(S)}{t_{1}+n-1}\leq\Omega(S)\leq\omega_{t}(S)\hat{t_{2}}$,

\end{center}
pour Lout couple $(t_{1}, t_{2})$ d'entiers positifs; il a prouve' aussi le lemmc de
Schwarz suivant.

  PROPOSmON 5. - {\it Soien} $tS$ {\it une partie finie de} $\mathbb{C}^{*}et \epsilon$ {\it un nombre riel}, $\epsilon>0$.{\it Il}
{\it existe un nombre riel positf} $r_{0}=r_{0}(S, \epsilon)$ {\it tel que pour tout en tier} $t>0$ {\it et pour}
{\it toute fonction entiire} $F$ {\it dans} $\mathbb{C}^{n}$ {\it ayant en chaque point de} $S$ {\it un zero dordre} $\geq t$,
{\it on ait}:

\begin{center}
${\rm Log}|F|,\leq{\rm Log}|F|_{R}-t(\Omega(S)-\epsilon) {\rm Log}\displaystyle \frac{R}{4nr}$

\end{center}
{\it pour} $R\geq r>,r_{0}$.

  J.-C. MOREAU [6] en a d\'{e}duit un lcmme de Schwarz analogre ou le nombre
$t(\Omega(S)-\epsilon)$ est remplac\'{e} par $\omega_{t}(S)-t\epsilon$. Si $S$ est l'ensemble exceptionnel du
th\'{e}or\'{e}me 3, la proposition 5 montre que :

\begin{center}
(36)   $0(S)\displaystyle \leq\frac{\mathrm{p}_{1}+\ldots+\mathrm{p}_{t}}{d-n}[[K:\mathbb{O}]]$.

\end{center}
En observant d'apr\'{e}s (35) appliqu\'{e} \'{a} $t_{1}=1$ que :

\begin{center}
$\displaystyle \Omega(S)\geq\frac{\omega_{1}(S)}{n}$,

\end{center}
TOME 110 -- 1982 -- $\mathrm{N}^{\mathrm{o}}1$

\vspace{1em}
FORMULES DE {\it JENSEN} EN PLUSIEURS VARIABLES

101

on voit que (36) permet de retrouver la majoration (34).

G. V. CHUDNOVSKY [2] a conjectur\'{e} que l'on avait l'in\'{e}galit\'{e} plus forte :
(37)   $\displaystyle \Omega(S)\geq\frac{\omega_{1}(S)+n-1}{n}$,

et en a annonce' une d\'{e}monstration dams le cas $n=2$, utilisant la th\'{e}orie des
intersections. Les corollaires 7 et 8 vont nous permettre de d\'{e}montrer ce
r\'{e}sultat sous les hypoth\`{e}ses plus g\'{e}n\'{e}rales de la proposition 4. Choisiollai
pour fonction entiere $F$ un polyn\^{o}me $P$ de degre' $\omega_{t}(S)$ qui s'annule a
$1^{\prime}\mathrm{ordre}t$ en tout point de $S$. Fixons $r$ et faisons tendre $R$ vers $+\infty$. II vient,
avec $\delta=\omega_{1}(S)$ :

\begin{center}
$\displaystyle \mathrm{c}\mathfrak{v}_{t}(S)\geq t\frac{\omega_{1}(S)(\omega_{1}(S)+1)\ldots(\omega_{1}(S)+n-1)}{n!\omega_{1}(S)^{n-1}}$,

\end{center}
et en faisant a nouveau tendre $t$ vers $+\infty$ :

  Pooposmos 6. -- {\it Pour toute partie finie} $S$ {\it de} $\mathbb{C}^{n}$, {\it on} $a$:

\begin{center}
$\displaystyle \Omega(S)\geq\frac{\omega_{1}(S)(\omega_{1})(S)+1)\ldots(\omega_{1}(S)+n-1)}{n!\omega_{1}(S)^{n-1}}$.

\end{center}
{\it Si} $n=1,2$, {\it ou si} $S$ {\it contient un polytope complet \'{a}} $\left(\begin{array}{ll}
\omega_{1}(S)+n & -1\\
n & 
\end{array}\right)$ {\it somm ts} ({\it en}
{\it particgtlier si} $\mathrm{co}_{1}(S)=1,2)$ {\it alors} :

\begin{center}
$\displaystyle \Omega(S)\geq\frac{0)_{1}(S)+n-1}{n}$.

\end{center}
  Observons que l'in\'{e}galit\'{e} (37) ne peut pas \^{e}tre am\'{e}lior\'{e}e. En ffiet, avec les
notations du corollaire 8, lorsque $S$ est un polytope complet a $\left(\begin{array}{ll}
\delta+n & -1\\
n & 
\end{array}\right)$
sommets, le polyn\^{o}me :

\begin{center}
$P=A_{1}A_{2}\ldots A_{8+n-1}$,

\end{center}
est de degr\'{e} $\delta+n-1$ et $\mathrm{s}' \mathrm{a}\mathrm{n}\dot{\mathrm{n}}$ ule a l'ordre $n$ en tous les points de $S$.

  On peut se demander si plus g\'{e}n\'{e}ralement on n'a pas :

\begin{center}
$\displaystyle \Omega(S)\geq\frac{\mathrm{CD}_{t}(S)+n-1}{t+n-1}$,

\end{center}
pour tout entier $t>0$, mais ce r\'{e}sultat semble inaccessible par les m\'{e}thodes
pr\'{e}c\'{e}dentes $1\mathrm{orsque}_{-}\iota\geq 2$.

BULLETIN DE LA SIgT\'{E} IIATH\'{E} $\mathrm{MA}\Pi \mathrm{Q}\mathrm{U}\mathrm{E}$ DE FRANCE

\vspace{1em}
102

J.-P. DEMAILLY

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TOME 110 -- 1982 -- $\mathrm{N}^{\mathrm{o}}1$

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\end{document}