\documentclass[a4paper,12pt]{article} \usepackage{latexsym} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{graphicx} \usepackage{wrapfig} \pagestyle{plain} \usepackage{fancybox} \usepackage{bm} %\setlength{\parindent}{0em} \begin{document} \begin{center} \includegraphics[width=180.00mm,height=39.66mm]{./pdf_images/image001.eps} \end{center} JEAN-PIERRE DEMAILLY Estimations $L^{2}$ pour l'operateur 2 d 'un fibre vectoriel holomorphe semi-positif au-dessus d'une variete k\"{a}hl\'{e}rienne complete {\it Annales scientifiques de l}'{\it E.N.S}. $\mathit{4}^{e}$ {\it serie}, tome 15, n${}^{\text{o}}$3 (1982), p. 457-511. $<\mathrm{http}://\mathrm{w}\mathrm{w}\mathrm{w}$.numdam. $\mathrm{org}/\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{m}?\mathrm{i}\mathrm{d}=\mathrm{A}\mathrm{S}\mathrm{E}\mathrm{N}\mathrm{S}_{-}1982 4_{-}15 3 457 -0>$ $[eggc]$ Gauthier-Villars (\'{E}ditions scientifiques et medicales Elsevier), 1982, tous droits r\'{e}serv\'{e}s. L'acces aux archives de la revue $\langle\langle$ Annales scientifiques de I'\'{E}.N.S. $\rangle\rangle (\mathrm{http}://\mathrm{w}\mathrm{w}\mathrm{w}$. $\mathrm{elsevier}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}/\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}/\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{s})$, implique l'accord avec les conditions generales d'utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systema- tique est constitutive d'une inffaction penale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la presente mention de copyright. NUMDAM {\it Article numerise dans le cadre du programme} {\it Numerisation de documents anciens mathematiques} http://www.numdam.org/ \vspace{1em} {\it Ann. scient. \'{E}c. Norm. Sup}., 4' s\'{e}rie, t, 15, 1982, p. 457 a 511 ESTIMATIONS $\mathrm{L}^{2}$ POUR L'OPERATEUR $\overline{\partial}$ D'UN FIBRE VECTORIEL HOLOMORPHE SEMI-POSITIF AU-DESSUS D'UNE VARIETE KAHLERIENNE COMPLETE \begin{center} PAR Jean-Pierre DEMAILLY TABLE DES MATI\`{E}RES \end{center} 0. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 1 Varietes k\"{a}hl\'{e}riennes completes et faiblement pseudoconvexes 460 2. Rappels sur les notions de $\mathrm{c}on\mathrm{l}$ but $\mathrm{e}$ el de positivite 465 3. Etude du terme de courbure dans l'identite de Kodaira--468 4. Estimations $\mathrm{L}^{2}$ pour l'operateur $\mathrm{D}^{\prime\prime}$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471 5. Estimations avec metriques et poids plurisousharmoniques singuliers--475 6. Th\'{e}or\`{e}me de rel\`{e}vement des sections globales d'un fibre semi-positif par un morphisme surjectif Theoreme d'extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 7. Th\'{e}or\`{e}mes d'annulation pour la cohomologie \`{a} valeurs dans un fibr\'{e} positif de rang quelconque . . . 489 8. R\'{e}gularisation des fonctions plurisousharmoniques sur une variete k\"{a}hl\'{e}rienne--491 9. Theoremes d'approximation pour les fonctions plurisousharmoniques--503 \begin{center} 0. Introduction \end{center} L'objet de ce travail est d'\'{e}tendre aux vari\'{e}t\'{e}s k\"{a}hl\'{e}riennes completes les estimations $\mathrm{L}^{2}$ de Bochner-Kodaira-Kohn-H\"{o}rmander-Nakano-Skoda pour l'operateur $\overline{\partial}$. Nous etudie- rons de maniere generale l'operateur 8 d'un fibre vectoriel holomorphe hermitien, en nous inspirant de H. Skoda dont les articles [22] a [26] sont a l'origine de la plupart de nos resultats. Dans ses travaux les plus recents sur la question ([24], [25] et [26]) H. Skoda se pla\c{a}ait, comme S. Nakano [20], sur des varietes faiblement $\mathrm{C}^{2}$-pseudoconvexes. Par d\'{e}flnition, une vari\'{e}t\'{e} $\mathrm{X}$ est faiblement $(\mathrm{C}^{k})$-pseudoconvexe s'il existe sur $\mathrm{X}$ une fonction plurisousharmoni- que exhaustive (de classe $\mathrm{C}^{k}$). Les vari\'{e}t\'{e}s compactes et les varietes de Stein sont der exemples de varietes faiblement $\mathrm{C}$ ''-pseudoconvexes. D'autre part, on a({\it cf}. \S 1) : $\mathrm{T}_{\mathrm{H}\acute{\mathrm{E}}\mathrm{O}\mathrm{R}\grave{\mathrm{E}}\mathrm{M}\mathrm{E}}0.1$. -- {\it Toute variete k\"{a}hl\'{e}rienne faiblement pseudoconvexe peut \^{e}tre munie} {\it d}'{\it une me trique k\"{a}hl\'{e}rienne comple} $te$. ANNALES $\mathrm{SC}$ IENTIFIQIIPS DB L'\'{E}COLE NORMALE SUP\'{E}RIEURE. -- 0012-9593/1982/419/\$ 5.00 $[eggc]$ Gauthier-Villars \vspace{1em} 458 J.-P. DFMAILLY On g\'{e}n\'{e}ralise ainsi le risultat analogue de S. Nakano [20] pour les varietes faiblement $\mathrm{C}^{2}$-pseudoconvexes. Les vari\'{e}t\'{e} $\mathrm{s}$ k\"{a}hl\'{e}riennes compl\`{e}tes apparaissent en fait comme le cadre naturel de la m\'{e}thode d'analyse fonctionnelle de L. H\"{o}rmander [14] pour la r\'{e}solution de $1' \mathrm{op}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{u}\mathrm{r}\overline{\partial}$, et certaines simplifications techniques sont possibles dans ce cadre. Un passage a la limite sur la metrique k\"{a}hl\'{e}rienne permet notamment de s'affranchir de la technique des trois poids qui etait utilis\'{e}e anterieurement ([14], [24]). Une autre source d'interet des varietes k\"{a}hl\'{e}riennes completes, outre leur g\'{e}n\'{e}ralit\'{e} plus grande, r\'{e}side dans le resultat suivant (prop. 1.6). TH\'{E}OR\`{E}ME 0.2. -- {\it Soit} X {\it une variete k\"{a}hl\'{e}rienne}\wedge {\it compacte ou une variete de Stein, et} Z {\it un} {\it ensemble analytique dans} X. {\it Alors} xyz $pos^{1}s\grave{e}de$ {\it une metrique k\"{a}hl\'{e}rienne comple}: {\it te}. Pour obtenir des theoremes d'annulation optimaux, nous avons ete amen\'{e} $\mathrm{s}$ a introduire de nouvelles notions de positivite pour les flbr\'{e}s, qui generalisent a la fois les notions de positivite de Ph. Griffiths [12] et de S. Nakano [20]. On dira que le fibre' $\mathrm{E}$ est $s$-positif (ou $s$ est un entier $\geqq 1$) si la forme de courbure $c(\mathrm{E})$ est telle que $\mathrm{i}c(\mathrm{E})(x, x)>0$ pour tout tenseur non nul $x\in \mathrm{TX}\otimes \mathrm{E}$ de rang $\leqq s$ ({\it voir} d\'{e}flnitions 2. 1 et 2.2). La positivite de Griffiths correspond \`{a} $s=1$, celle de Nakano a $ s=n=\dim$ X. On a dans ce contexte un th\'{e}or\`{e}me d'annulation (th. 7.1), qui generalise le resultat de S. Nakano [20] dans le cas particulier des $(n, q)$-formes. TH\'{E}OR\`{E}ME 0. 3. -- {\it Soit} $\mathrm{E}$ {\it un fibre}' $s$-{\it positif au-dessus d}'{\it une varie t\'{e}} $\mathrm{X}$ {\it faiblemen} $t$ {\it pseudoconvexe. Alors} $\mathrm{H}^{n,q}(\mathrm{X}, \mathrm{E})=0$ {\it pour} $q\displaystyle \geqq\sup(1, n-s+1)$. Ce theoreme s'accompagne d'estimations $\mathrm{L}^{2}$ precises pour l'operateur 7, qui seront etudiees au paragraphe 4. Le paragraphe 2 contient une synthese des resultats de [6] et [7] sur les relations entre les differentes notions de positivite ({\it cf}. th. 2.6), resultats que nous rappelons brievement 1C1. TH\'{E}OR\`{E}ME 0.4. -- {\it Soit} $\mathrm{E}$ {\it un fibre positif au sens de Griffi} $ths$, {\it de rang} $r\geqq 2$. {\it Alors} : (0. 1) E\otimes d\'{e}t $\mathrm{E}$ {\it est positif au sens de Nakano}; (0 . 2) $\mathrm{E}^{*}\otimes(\mathrm{d}\text{\'{e}} \mathrm{t} \mathrm{E})^{s}$ {\it est} $s$-{\it positif pour tout} $s\geqq 1$. Les theoremes 0.3 et 0.4 admettent la cons\'{e}quence suivante ( $\mathrm{cor}.\ 7.2$ et 7.3). COROLLAIRE 0.5. -- {\it Soit} $\mathrm{E}$ {\it un fibr\'{e} positif au sens de Griffi} $ths$, {\it de} $rang\geqq 2$, {\it au-dessus d}'{\it une} {\it varie t\'{e} faiblemen} $t$ {\it pseudoconvexe} X. {\it Alors} : (0 . 3) $\mathrm{H}^{n,q}$( $\mathrm{X};$ E\otimes d\'{e}t $\mathrm{E}$) $=0$ {\it pour} $q\geqq 1$; (0.4) $\mathrm{H}^{n,q}$( $\mathrm{X};\mathrm{E}^{*}$ \otimes(d\'{e}t $\mathrm{E})^{s}$) $=0$ {\it pour} $q\displaystyle \geqq\sup(1, n-s+1)$ {\it et pour tout} $q\geqq 1$ {\it si} $s\geqq r$. La Propri\'{e}t\'{e} (0. 3), qui est un theoreme de Ph. Griffiths [12], devient ainsi un corollaire du theoreme d'annulation de Nakano. Le resultat (0.4) est nouveau a notre connaissance lorsque $n-s+1\leqq q0$ {\it alors le morphisme cobord} : \begin{center} 6: $\mathrm{H}^{n,l}$ (X;QOX L) $\rightarrow \mathrm{H}^{n,l+1}(\mathrm{X};\mathrm{N}\otimes \mathrm{L})$ \end{center} {\it est nul pour} $l\geqq q$. {\it Sous chacune des deux hypotheses} (0.6), (0.7), {\it le morphisme} : \begin{center} $g$ : $\mathrm{H}^{n,l}(\mathrm{X};\mathrm{E}\otimes \mathrm{L})\rightarrow \mathrm{H}^{n,l}(\mathrm{X};\mathrm{Q}\otimes \mathrm{L})$ \end{center} {\it est surjectif}. Le cas particulier du theoreme 0.6 correspondant \`{a} $q=0$ est dti a H. Skoda [25]. Le cas $q=l=0$ est particulierement interessant, puisqu'il donne des conditions suffisantes assurant la surjectivite du morphisme : \begin{center} $g$ : $\mathrm{H}^{n,0}(\mathrm{X};\mathrm{E}\otimes \mathrm{L})\rightarrow \mathrm{H}^{n,0}(\mathrm{X};\mathrm{Q}\otimes \mathrm{L})$, \end{center} operant sur les sections holomorphes globales. La methode de d\'{e}monstration est essentiellement la meme que celle suivie par H. Skoda [25], et repose sur les liens qui existent entre les formes de courbure $c(\mathrm{E}), c(\mathrm{N})$ et l'obstruction au scindage holomorphe de la suite exacte (0.5). Le theoreme 0.6 admet lui aussi une version plus pr\'{e}cise, avec estimations $\mathrm{L}^{2}$ (th. 6.2 et $\mathrm{cor}.\ 6.10$), permettant de traiter le cas ou le morphisme $g$ degenere en certains points. Si $\mathrm{Z}$ est l'ensemble des points ou $g$ degenere, on peut en effet appliquer le theoreme d'existence a la varie't\'{e} $\mathrm{X}\backslash \mathrm{Z}$, car xyz est r\'{e}union d'une suite croissante de varietes completes. Les estimations $\mathrm{L}^{2}$ qui sont obtenues simultanement permettent de prolonger lui solutions au travers de l'ensemble analytique $\mathrm{Z}$ ({\it cf}. lemme 6.9). Certaines hyPoth\`{e}ses techniques superflues qui apparaissent dans [24], [25], [26], [5], [7] ont pu ainsi \^{e}tre eliminees. La section 6 s'ach\`{e}ve par l'\'{e}nonc\'{e} d'un theoreme d'extension pour les fonctions holomorphes. Ce th\'{e}or\`{e}me ameliore les resultats de B. Jennane [16], et semble optimal. Soit $f$ une section holomorphe d'un fibre' $\mathrm{E}$ au-dessus de $\mathrm{X}$, definie au voisinage d'un sous- ensemble analytique $\mathrm{Y}\subset \mathrm{X}$. On donne une condition suffisante portant sur la courbure de $\mathrm{E}$, qui assure l'existence d'un prolongement $\mathrm{F}$ de $f$ \`{a} X. Dans le cas ou $\mathrm{X}=\mathbb{C}^{n}$, on obtient ainsi ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'\'{E}COLE NORMALE SUP\'{E}RIEURE \vspace{1em} 460 J.-P. DEMAILLY un theoreme de prolongement avec contr\^{o}le precis de la croissance ({\it cf}. aussi [5]). Le lecteur trouvera certaines applications a l'analyse harmonique dans l'article de C. A. Berenstein et B. A. Taylor [1]. Les sections 8 et 9 sont consacrees a l'etude d'un certain nombre de resultats concernant l'approximation des fonctions plurisousharmoniques sur des varietes k\"{a}hl\'{e}riennes quelconques. L'etape technique cruciale consiste en un procede de regularisation par des noyaux $\langle\langle$ symetriques $\rangle\rangle$ vis-\`{a}-vis de la metrique kihlerienne . R. Greene et H. Wu [11] ont deja utilise des techniques similaires dans le cadre des varietes riemanniennes. Leurs resultats et ceux anterieurs de R. Richberg [21], resolvent de maniere satisfaisante le cas des fonctiann plurisousharmoniques continues (sur une vari\'{e}t\'{e} analytique quelconque). Lorsque la vari\'{e}t\'{e} est supposee de plus k\"{a}hl\'{e}rienne, nous obtenons un theoreme g\'{e}n\'{e}ral d'approximation (th. 9.1), qui semble nouveau dans le cas des fonctions plurisousharmoniques semi- continues. Ce dernier theoreme permet l'introduction de poids singuliers dans les estimations $\mathrm{L}^{2}$ pour l'operateur a sur des varietes k\"{a}hl\'{e}riennes completes, non necessairement de Stein ({\it cf}. \S 5). Citons quelques-uns des resultats obtenus ({\it cf}. $\mathrm{cor}.\ 9.3$ et th. 9.4). $\mathrm{TH}\acute{\mathrm{E}}\mathrm{O}\mathrm{R}\grave{\mathrm{F}}\mathrm{M}\mathrm{E}0.7$. -- {\it Soit} $\varphi$ {\it une fonction plurisousharmonique sur une} $\mathrm{t}^{7}or\mathrm{i}\acute{e}t\acute{e}$ {\it k\"{a}h}/{\it \'{e}l}$\cdot${\it ienne} ( $\mathrm{X}$, co ). {\it Alors il exis te une une suite decroissan} $te(\varphi_{\mathrm{v}})$ {\it deJonc lions de classe} $\mathrm{C}^{\infty}$ {\it sur} $\mathrm{X}$ {\it et une suite} $(\lambda_{\mathrm{v}})$ {\it de fonctions continues} $\geqq 0$ {\it telles que} : (0 . 8 ) Jim $\downarrow\varphi_{\mathrm{v}}=\varphi$; \[ \mathrm{v}\rightarrow\dagger\infty \] \begin{center} (0.9) $\mathrm{i}d^{\prime}d^{\prime\prime}\varphi_{\mathrm{v}}\geqq-\lambda_{\mathrm{v}}0)$; (0. 10) $\lambda_{\mathrm{v}}$ {\it converge vers} 0 {\it uniform\'{e}ment sur tout compact de} X. \end{center} L'\'{e}nonc\'{e} qui suit est l'une des \'{e}tapes essentielles de la d\'{e}monstration du theoreme 0. 1. TH\'{E}OR\`{E}ME 0.8. -- {\it Soit} (X, eo) {\it une variete k\"{a}hl\'{e}rienne faiblement pseudoconvexe. Alors il} {\it existe des fonctions continues} $m, \mathrm{M}$ exhaustives {\it sur} $\mathrm{X}$, {\it telles que} $00$ {\it sur} $\mathrm{X}$, {\it il existe une fonction} $\psi$ {\it de} {\it classe} $\mathrm{C}^{\infty}$ {\it sur} $\mathrm{X}$ {\it telle que} : \begin{center} $m\leqq\psi\leqq \mathrm{M}$ {\it et} $\mathrm{i}d^{\prime}d^{\prime\prime}\psi\geqq-\lambda \mathrm{o}0$. \end{center} J'adresse mes plus vifs remerciements aM. Henri Skoda, qui $\mathrm{m}' \mathrm{a}$ suggere de nombreuses amiliorations dans la redaction de ce travail. \begin{center} 1. Varietes k\"{a}hl\'{e}riennes completes et faiblement pseudoconvexes \end{center} Soit $\mathrm{X}$ une vari\'{e}t\'{e} analytique complexe de dimension $n$. Pour pouvoir resoudre l'operateur $d^{\prime\prime}$, nous serons amen\'{e}s a faire sur $\mathrm{X}$ certaines hypoth\`{e}ses de pseudoconvexite. $4^{\mathrm{e}}$ s\'{E}RIE -- TOME 15 -- 1982--$\mathrm{N}^{\mathrm{o}}3$ \vspace{1em} FIBR\'{E}S HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 461 D\'{E}FINITION 1. 1. -- {\it La varie t\'{e}} $\mathrm{X}$ {\it sera dite faiblemen} $t$ {\it pseudoconvexe} ({\it resp}. $\mathrm{C}^{k}-$ {\it pseudoconvexe}) {\it s}'{\it il existe sur} $\mathrm{X}$ {\it une fonction} $\varphi$ {\it plurisousharmonique} ({\it resp. de classe} $\mathrm{C}^{k}$) ar exhaustive, {\it c}'{\it est-\`{a}-dire que pour tout riel} $c$, {\it l}'{\it ouvert} $\mathrm{X}(c)=\{z\in \mathrm{X};\varphi(z)0$ et une fonction exhaustive $\psi$ de classe $\mathrm{C}^{\infty}$ sur $\mathrm{X}$ telles que : \begin{center} $0\leqq\psi\leqq \mathrm{M}$ et $id^{\prime}d^{ll}\displaystyle \psi\geqq-\frac{1}{\mathrm{M}}\mathrm{e}\mathrm{o}$. \end{center} Posons $\mathrm{oJ}=3\mathrm{t}'$) $+\mathrm{i}`/'`/^{l\prime}\mathfrak{l}\psi^{2}$) $=30$) $+2\mathrm{i}\psi d^{\prime}d^{\prime\prime}\psi+2\mathrm{i}d^{\prime}\psi\wedge d^{\prime\prime}\psi$. On obtient : (1.4) $0)\geqq 0)+2$ i#' $\psi\wedge d^{\prime\prime}\psi$, en particulier, $\hat{\sigma}$) est une metrique k\"{a}hl\'{e}rienne. Soient 6 et 6 les distances geodesiques associees respectivement a co et $\mathrm{oJ}$, et soit $(z_{1}, z_{2})$ un couple de points de X. On a par d\'{e}flnition : \begin{center} 6 $(z_{1}, z_{2})=\displaystyle \inf\int_{0}^{1}\sqrt{0)(\frac{du}{dt},\mathrm{i}\frac{du}{dt})}dt$, \end{center} ou la borne inferieure est etendue \`{a} tous les chemins $u$ : $[0, 1]\rightarrow \mathrm{X}$ de classe $\mathrm{C}^{1}$ et d'extr\'{e}mit\'{e}s $z_{1}$ et $z_{2}$. D'apres (1.4), il vient : \begin{center} c'o $(\displaystyle \frac{du}{dt},\dot{\iota}\frac{du}{dt})\geqq \mathrm{co}(\frac{du}{dt},\dot{\iota}\frac{du}{dt})+4|d^{\prime}\psi(\frac{du}{dt})|2\geqq 0$) $(\displaystyle \frac{du}{dt}, \displaystyle \mathrm{i}\frac{du}{dt})+|\frac{d(\psi_{\circ}u)}{dt}|^{2}$ \end{center} ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'\'{E}COLE NORMALE SUP\'{E}RIEURE \vspace{1em} 462 J.-P. DEMAILLY puisque : \begin{center} $\displaystyle \frac{d(\psi_{0}u)}{dt}=d\psi(\frac{du}{dt})=2{\rm Re} d^{\prime}\psi(\frac{du}{dt})$. \end{center} On en deduit aisement : (1. 5) $\displaystyle \hat{6}(z_{1}, z_{2})\geqq\sup(6(z_{1}, z_{2}), |\psi(z_{1})-\psi(z_{2})|)$ pour Lout couple $(z_{1}, z_{2})$ de points de X. Comme $\psi$ est exhaustive, il en resulte que l'hypothese (1.2) est verifiee par 6. $[]$ Au paragraphe 6 nous serons amen\'{e}s pour des raisons techniques a appliquer lve estimations $\mathrm{L}^{2}$ sur des varietes de la forme $\mathrm{X}\backslash \mathrm{Z}$, ou $\mathrm{Z}$ est un ensemble analytique dans X. Lorsque $\mathrm{X}$ est une vari\'{e}t\'{e} de Stein ou une vari\'{e}t\'{e} projective, on resout la difflcult\'{e} ou choisissant une hypersurface $\mathrm{H}$ contenant $\mathrm{Z}$ et telle que XJ soit une vari\'{e}t\'{e} de Stein. Dans le cas g\'{e}n\'{e}ral, on a un th\'{e}or\`{e}me d'existence pour le $\overline{\partial}$ valable sur toute vari\'{e}t\'{e} k\"{a}hl\'{e}rienne complete. II est donc interessant de rechercher des conditions tr\`{e}s generales assurant l'existence d'une metrique k\"{a}hl\'{e}rienne complete sur $\mathrm{X}\backslash \mathrm{Z}$. La premiere etape consiste a con.struire une fonction $\psi$ singuliere sur $\mathrm{Z}$, et qui soit $\langle\langle$ pres- que $\rangle\rangle$ plurisousharmonique sur X. La methode standard, lorsque $\mathrm{Z}$ est un ensemble analytique de codimension pure $p$ dans $\mathbb{C}^{n}$, utilise une convolution du courant d'integration [Z] avec le noyau $-|z-x|^{-2p}/p$ ! $((\mathrm{i}/2)d^{\prime}d^{\prime\prime}|z|^{2})^{p}$ convenablement tronque ({\it cf}. H. Skoda [28]). Cette methode peut s'adapter au cas ou $\mathrm{X}$ est k\"{a}hl\'{e}rienne, au prix de $\mathrm{diff}_{1cu}1\mathrm{t}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{s}$ comparables a celles que nous rencontrerons au paragraphe 8. Neanmoins, comme auavec estimation pr\'{e}cise n'est indispensable, on pourra se contenter ici d'une construction plus simple. PROPOSITION 1.4. -- {\it Soil} $\mathrm{X}$ {\it une variete analytique et} $\mathrm{Z}$ {\it un ensemble analytique dans} X. {\it Il} {\it existe unefonction} $\psi<-1$, {\it de classe} $\mathrm{C}^{\infty}$ {\it sur} $\mathrm{X}\backslash \mathrm{Z}$, {\it convergeant vers} - co {\it au voisinage de} $\angle^{-}et$ {\it localement sommable sur} $\mathrm{X}$, {\it et une} $(1, 1)$-{\it forme reelle} $\gamma$ {\it continue sur} $\mathrm{X}$ {\it ayant les proprietes} {\it suivantes} : (1.6) $\mathrm{i}d^{\prime}d^{\prime\prime}\psi\geqq\gamma$; (1.7) {\it si} a {\it est un} $reel>0, e^{-\alpha\psi}$ {\it est non sommable au voisinage de tout point} $z\in \mathrm{Z}$ {\it en lequel la} {\it codimension du germe} $\mathrm{Z}_{Z}$ {\it est au plus egale \`{a}} $\alpha$. {\it Demonstration}. -- Soit $f_{\mathrm{Z}}$ le faisceau d'id\'{e}aux des germes de fonctions holomorphes qui s'annulent sur Z. Puisque $J_{\mathrm{Z}}$ est coh\'{e}rent, il existe un recouvrement ouvert localement fini $(\mathrm{U}_{j})_{j\in \mathrm{J}}$ de $\mathrm{X}$ par des ouverts $\mathrm{U}_{j}$ relativement compacts, et pour tout $j$ des fonctions $f_{j,\mathrm{v}}$, $1\leqq \mathrm{v}\leqq \mathrm{v}(j)$, qui engendrent le faisceau $J_{\mathrm{Z}}$ au voisinage de $\overline{\mathrm{U}}_{j}$. On pose $f_{j}=(f_{j,\mathrm{v}})_{1\leqq \mathrm{v}\leqq \mathrm{v}(j)}$, $|f_{j}|^{2}=\displaystyle \sum_{\mathrm{v}}|f_{j,\mathrm{v}}|^{2}$ Comme les $f_{j,\mathrm{v}}$ sont des generateurs, chaque quotient $|f_{j}|_{/}^{2}\cdot/|f_{k}|^{2}$ est born\'{e} sur $\mathrm{U}_{j}\cap \mathrm{U}_{k}\backslash \mathrm{Z}$; seule cette propri\'{e}t\'{e} nous servira en fait par la suite. $4^{\mathrm{e}}$ S\'{E}RIE -- TOME 15 -- 1982 -- $\mathrm{N}^{\mathrm{o}}3$ \vspace{1em} FIBRES HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 463 Choisissons une famille $(\chi_{j})$ de fonctions de classe $\mathrm{C}^{\infty}$ sur $\mathrm{X}$, a support Supp $\chi_{j}\subset \mathrm{U}_{j}$, telles que : \begin{center} $\displaystyle \sum_{j\in \mathrm{J}}\chi_{j}^{2}>0,\ \displaystyle \sum_{j\in \mathrm{J}}\chi_{j}^{2}|f_{j}|^{2}<\frac{1}{e}$ sur X. \end{center} On definit : \begin{center} $\displaystyle \mathrm{p}=\sum_{j}\chi_{j}^{2}|f_{j}|^{2}=\sum_{j,\mathrm{v}}\chi_{j}^{2}|f_{j,\mathrm{v}}|^{2},\ \psi={\rm Log} \mathrm{p}$. \end{center} En differentiant une premi\`{e}re fois, on trouve : \begin{center} $d^{\prime\prime}\displaystyle \psi=\frac{d^{\prime\prime}\mathrm{p}}{\mathrm{p}}=\frac{1}{\mathrm{p}}\sum_{j,\mathrm{v}}\chi_{j}f_{j,\mathrm{v}}\overline{u}_{j,\mathrm{v}}$, \end{center} o\`{u} $u_{j,\mathrm{v}}$ est la $(1, 0)$-forme sur $\mathrm{X}$ : \begin{center} $u_{j,\mathrm{v}}=2f_{j,\mathrm{v}}d^{\prime}\chi_{j}+\chi_{j}df_{j,\mathrm{v}}$. \end{center} On a d'autre part $d^{\prime}(\overline{u}_{j,\backslash })=2\overline{f}_{j,\mathrm{v}}d^{\prime}d^{\prime\prime}\chi_{j}\wedge d_{\chi}^{\mathrm{o}}, \overline{df}_{j,\mathrm{v}}$, d'ou : $d^{\prime}d^{\prime\prime}\displaystyle \psi=\frac{1}{\mathrm{p}}\sum_{j,\mathrm{v}}\chi_{j}f_{j,\mathrm{v}}(2\overline{f}_{j,\mathrm{v}}d^{\prime}d^{\prime\prime}\chi_{j}+d^{\prime}\chi_{j}\wedge\overline{d}f_{j,\mathrm{v}})$ \[ +\frac{1}{\mathrm{p}}\sum_{j,\mathrm{v}}(f_{j,\mathrm{v}}d^{\prime}\chi_{j}+\chi_{j}df_{j,\mathrm{v}})\wedge\overline{u}_{j}-\frac{d^{\prime}\mathrm{p}\wedge d^{\prime\prime}\mathrm{p}}{\mathrm{p}^{2}} \] \begin{center} $=\displaystyle \frac{1}{\mathrm{p}}\sum_{j,\mathrm{v}}2|f_{j,\mathrm{v}}|^{2}(\chi_{j}d^{\prime}d^{ll}\chi_{j}-d^{\prime}\chi_{j}\wedge d^{\prime\prime}\chi_{j})+\frac{1}{\mathrm{p}}\sum_{j,\mathrm{v}}u_{j,\mathrm{v}}\wedge\overline{u}_{j,\mathrm{v}}-\frac{d^{\prime}\mathrm{p}\wedge d^{\prime\prime}\mathrm{p}}{\mathrm{p}^{2}}$. \end{center} Dans cette derniere \'{e}galite', la premiere sommation a ses coefficients localement bornes sur $\mathrm{X}$, a cause de 1'hypothese que les quotients $|f_{j}|^{2}/|f_{k}|^{2}$ sont bornes. II existe donc une $(1, 1)-$ forme reelle $\gamma$, continue sur $\mathrm{X}$, telle que : \begin{center} $\displaystyle \mathrm{i}d^{\prime}d^{ll}\psi\geqq\gamma+\frac{1}{\mathrm{p}}\sum_{j,\mathrm{v}}iu_{j,\mathrm{v}}\wedge\overline{u}_{j,\mathrm{v}}-\frac{\mathrm{i}d^{\prime}\mathrm{p}\wedge d^{ll}\mathrm{p}}{\mathrm{p}^{2}}$. \end{center} La forme hermitienne correspondant a la somme des deux derniers termes, calculee sur le vecteur tangent $\xi\in \mathrm{T}_{z}\mathrm{X}$, est donnee par : \begin{center} $\displaystyle \frac{1}{\mathrm{p}}\sum|u_{j,\mathrm{v}}(\xi)|^{2}-\frac{|d^{\prime}\mathrm{p}(\xi)|^{2}}{\mathrm{p}^{2}}$, \end{center} quantite $\geqq 0$ d'apr\`{e} $\mathrm{s}1$ 'in\'{e}galit\'{e} de Cauchy-Schwarz appliqu\'{e}e \`{a} l'identite' : \begin{center} $d^{\prime}\displaystyle \mathrm{p}(\xi)=\sum_{j,\mathrm{v}}\chi_{j}\overline{f}_{j,\mathrm{v}}u_{j,\mathrm{v}}(\xi)$. \end{center} ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'\'{E}COLE NORMALE SUP\'{E}RIEURE \vspace{1em} 464 J.-P. DEMAILLY La minoration (1.6) est donc d\'{e}montr\'{e}e. L'affirmation (1.7) est facile a verifier si $z$ est un point regulier de Z. Dans le cas g\'{e}n\'{e}ral, il suffit d'observer qu'il $\mathrm{y}$ a toujours une suite $z_{k}$ de points reguliers convergeant vers $z$ et tels que la codimension de $\mathrm{Z}$ soit la meme aux points $z$ et $z_{k}.\ \square $ II est maintenant facile de prouver l'existence de metriques completes sur des varietes de la forme $\mathrm{X}\backslash \mathrm{Z}$. TH\'{E}OR\`{E}ME 1. 5. -- {\it Soil} $(\mathrm{X}, \omega)$ {\it une variete k\"{a}h}/{\it \'{e}rienne}, $\mathrm{Z}$ {\it un} $\mathrm{e}n.\backslash c^{J}mb/(^{\prime}pmc//\iota\cdot t\mathrm{i}`/1l()$ {\it dans} $\mathrm{X}_{(^{\prime}}t\hat{\mathrm{X}}$ {\it un ouvert relativement compact de} $\mathrm{X}$ {\it possedant une metrique k\"{a}hl\'{e}rienne complc} $\backslash te$ \^{O}). {\it Alors} xyz {\it est une variete k\"{a}hl\'{e}rienne complete}. {\it Remarque} 1.6. -- Si de plus $\mathrm{X}$ est faiblement pseudoconvexe, avec fonction d'exhaustion p.s.h. $\varphi$, le theoreme 1.5 s'applique en particulier aux ouverts $\hat{\mathrm{X}}=\mathrm{X}(c)=\{z\in \mathrm{X};\varphi(z)0$ assez grand : \begin{center} CD=\^{O})+C $\mathrm{o}0+\mathrm{i}d^{\prime}d^{\prime\prime}(-\sqrt{-\psi})$. \end{center} En effet, un calcul immediat donne : (1. 8) $\displaystyle \mathrm{i}d^{\prime}d^{\prime\prime}(-\sqrt{-\psi})=\frac{\mathrm{i}d^{\prime}d^{\prime\prime}\psi}{2\sqrt{-\psi}}+4\mathrm{i}d^{\prime}(-\psi)^{1/4}\wedge d^{\prime\prime}(-\psi)^{1/4}$. D'apr\`{e} $\mathrm{s}(1.6)$ et l'inegalite $\psi<-1$, il existe $\mathrm{C}>0$ tel que : \begin{center} $\displaystyle \mathrm{Ceo}+\frac{\mathrm{i}d^{\prime}d^{\prime\prime}\psi}{2\sqrt{-\psi}}\geqq 0$ sur $\hat{\mathrm{X}}$, \end{center} donc $\mathrm{oJ}\geqq \mathrm{t}0 +4\mathrm{i}d^{\prime}(-\psi)^{1/4}\wedge d^{\prime\prime}(-\psi)^{1/4}$. Comme $\psi(z)$ tend vers $-\infty$ au voisinage de $\mathrm{Z}$, le raisonnement utilise en (1.4) et (1.5) montre que $G\mathrm{J}$ est complete sur $\hat{\mathrm{X}}\backslash \mathrm{Z}.\ \square $ Pour obtenir un resultat plus global il est necessaire de faire une hypothese plus forte sur la vari\'{e}t\'{e} $\mathrm{X}$, en supposant par exemple $\mathrm{X}$ compacte ou $\mathrm{X}$ de Stein. Le cas o\`{u} $\mathrm{X}$ est une vari\'{e}t\'{e} de Stein avait deja \'{e}t\'{e} etudie par H. Grauert [10]. On peut enoncer de maniere generale : PROPOSITION 1.6. -- {\it Soil} $(\mathrm{X}, 0))$ {\it une vario} '{\it t\'{e} k\"{a}hl\'{e}rienne possedant une fonction} {\it d}'{\it exhaustion} cp {\it p.s.h. sur} $\mathrm{X}$ {\it et strictement p.s.h. en dehors d}'{\it un compact de} X. {\it Alors pour tout} {\it ensemble analytique} $\mathrm{Z}$ {\it de} $\mathrm{X}, \mathrm{X}\backslash \mathrm{Z}$ {\it est une variete k\"{a}hl\'{e}rienne compl\`{e}te}. {\it Demonstration}. -- Rappelons qu'une fonction serm-conbnue superieurement est dite strictement p.s.h. si elle est localement somme d'une fonction p.s.h. et d'une fonction strictement p.s.h. de classe $\mathrm{C}^{2}$. Grace au corollaire 9.5 on peut supposer $\varphi$ de classe $\mathrm{C}^{\infty}$. On pose : \begin{center} $\hat{\omega}=\mathrm{Co}0+\mathrm{i}d^{\prime}d^{\prime\prime}(\chi\circ\varphi-\sqrt{-\psi})$, \end{center} $4^{\mathrm{e}}$ S\'{E}RIE -- TOME 15 -- 1982 -- $\mathrm{N}^{\mathrm{o}}3$ \vspace{1em} FIBRES HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 465 ou $\mathrm{C}$ est une constante $>0, \chi$ une fonction convexe croissante de classe $\mathrm{C}^{\infty}$ et $\psi$ la fonction de la proposition 1.4. On choisit $\mathrm{C}$ et $\chi$ de sorte que : \begin{center} (C-1) ($\displaystyle \mathrm{D}+\chi^{\prime}\circ\varphi.\mathrm{i}d^{\prime}d^{ll}\varphi+\frac{\mathrm{i}d^{\prime}d^{\prime\prime}\psi}{2\sqrt{-\psi}}\geqq 0$ et $\chi^{ll}\circ\varphi\geqq 1$. \end{center} II vient alors d'apres (1.8) : \begin{center} \^{O})\geqq eo+id' cp $\wedge d^{\prime\prime}\varphi+4\mathrm{i}d^{\prime}(-\psi)^{1/4}\wedge d^{\prime\prime} ( -\psi)^{1/4}$; \end{center} $C\mathrm{D}$ est donc complete sur $\mathrm{X}\backslash \mathrm{Z}.\ \square $ \begin{center} 2. Rappels sur les notions de courbure et de positivite \end{center} Soient $\mathrm{X}$ une vari\'{e}t\'{e} analytique complexe de dimension $n$, et $\mathrm{E}$ un flbr\'{e} vectoriel holomorphe hermitien de rang $r$ au-dessus de $\mathrm{X}$, dont la metrique est de classe $\mathrm{C}^{2}$. Ra designe par $\mathrm{D}=\mathrm{D}^{\prime}+\mathrm{D}^{\prime\prime}$ la connexion holomorphe hermitienne du fibre' $\mathrm{E}$ ({\it cf}. A. Douady et J.-L. Verdier [9], exposi III), et par $c(\mathrm{E})$ la forme de courbure de $\mathrm{E}$, qui est definie par : \[ c(\mathrm{E}).u=\mathrm{D}^{2}u=(\mathrm{D}^{\prime}\mathrm{D}^{\prime\prime}+\mathrm{D}^{\prime\prime}\mathrm{D}^{\prime})u \] pour toute section $u$ de $\mathrm{C}^{\infty}(\mathrm{X};\mathrm{E});\mathrm{i}c(\mathrm{E})$ est donc une $(1,1)$-forme reelle a valeurs dans le flbr\'{e} Herm $(\mathrm{E}, \mathrm{E})$ des endomorphismes hermitiens de E. $\mathrm{i}c(\mathrm{E})$ sera identifiee a la forme sesquilineaire hermitienne sur $\mathrm{TX}\otimes \mathrm{E}$ qui lui correspond canoniquement par la formule : \begin{center} $\mathrm{i}c(\mathrm{E})(t\otimes e, t\otimes e)=$( $\mathrm{i}c(\mathrm{E})(t$, {\it it}). $e|e$) \end{center} en tout point $z\in \mathrm{X}$ et avec $t\in \mathrm{T}_{z}\mathrm{X}, e\in \mathrm{E}_{z}$. Relativement a un couple de bases $(dz_{1}, dz_{2}$, . . ., $dz_{n})$ de $\mathrm{T}_{z}^{*}\mathrm{X}$ et $(e_{1}, e_{2}, . . ., e_{r})$ de $\mathrm{E}_{z}$ (cette derniere \'{e}tant orthonormee) on peut \'{e}crire : \begin{center} $\displaystyle \mathrm{i}c(\mathrm{E})=\frac{\mathrm{i}}{2}\sum c_{jk1m}dz_{j}\wedge d\overline{z}_{k}\otimes e_{l}^{*}\otimes e_{m}$, $\displaystyle \mathrm{i}c(\mathrm{E})(x, x)=\sum c_{jklm}x_{j1}x_{km}$, \end{center} avec : \begin{center} $c_{jklm}=\overline{c}_{kjm\mathrm{t}},\ 1\leqq j, k\leqq n,\ 1\leqq/, m\leqq r$, $x\in \mathrm{T}_{z}\mathrm{X}\otimes \mathrm{E}_{z},\ x_{jl}=(dz_{j}\otimes e_{l}^{*})(x)$, \end{center} $(e_{1}^{*}, e_{2}^{*}, . , . , e_{r}^{*})$ \'{e}tant la base duale de $(e_{1}, e_{2}, . . ., e_{r})$. D\'{E}FINmox 12. 1. -- {\it Soient} $\mathrm{T}$ {\it et} $\mathrm{E}$ {\it deux espaces vectoriels complexes de dimensions} {\it respectives} $n$ {\it et} $r$. {\it Un tenseur} $x\in \mathrm{T}\otimes \mathrm{E}$ {\it sera} $d\mathrm{i}t$ {\it de rang} $s$ {\it si} $s$ {\it est le plus petit en} $tier\geqq 0$ {\it tel qu}'{\it on puisse ecrire} .$\cdot$ \begin{center} $x=\displaystyle \sum_{j=1}^{s}t_{j}\otimes e_{j},\ t_{j}\in \mathrm{T},\ e_{j}\in \mathrm{E}$. \end{center} ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'\'{E}COLE NORMALE SUP\'{E}RIEURE \vspace{1em} 466 J.-P. DEMAILLY {\it On dira qu}'{\it uneforme hermitienne} $\Theta$ {\it sur} $\mathrm{T}\otimes \mathrm{E}$ {\it est s-semi-positive} ({\it o\`{u}} $s$ {\it est un en} $tier\geqq 1$), c7 {\it on} {\it ecrira} $\Theta\geqq_{s}0$, {\it si} C) $(x, x)\geqq 0$ {\it pour tout tenseur} $x\in \mathrm{T}\otimes \mathrm{E}$ {\it de} $rang\leqq s$. {\it La forme} 0 {\it sera} $s$-{\it positive} $(\Theta>_{s}0)$ {\it si} C) $(x, x)>0$ {\it pour tout tenseur} $x\neq 0$ {\it de} $rang\leqq s$. D\'{E}FINITION 2.2. -- {\it On dira que le fibre hermitien} $\mathrm{E}$ {\it est s}-({\it semi}-) {\it positif si sa forme de} {\it courbure} $\Theta =\mathrm{i}c(\mathrm{E})$ {\it est s}-({\it semi}) {\it positive sur} $\mathrm{T}_{z}\mathrm{X}\otimes \mathrm{E}_{z}$ {\it en lout point} $z\in \mathrm{X}$. Pour $s=1$, on retrouve la notion de positivite de Ph. Griffiths [12] : \begin{center} $0\geqq_{1}0$ si 0 $(t\otimes e, t\otimes e)\geqq 0$ pour tout $(t, e)\in \mathrm{TX}\otimes \mathrm{E}$, \end{center} tandis que pour $s\geqq \mathrm{Inf}(n, \mathfrak{l}\cdot)$ on obtient la positivite de S. Nakano [20] : $\Theta\geqq_{s}0$ si 0 $(x, x)\geqq 0$ pour tout $x\in \mathrm{TX}\otimes \mathrm{E}$ [tout element de TX $\otimes \mathrm{E}$ est de $\mathrm{ran}_{\mathrm{l}}\mathrm{g}\leqq$ Inf $(n, r)$]. Toutes ces $\mathrm{n}_{1}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}$ coincident par ailleurs si $r=1$ ou si $n=1$, et nous omettrons alors Pindice $s$. Les questions que nous allons maintenant aborder ne seront pas utilisees avant le paragraphe 7. Nous nous proposons d'etudier (comme dans [7] et [61) differentes relatipts existant entre les notions de positivite introduites plus haut. \'{E}tant donne' une forme hermitienne $\Theta$ sur $\mathrm{T}\otimes \mathrm{E},$ on d\'{e}signera par $\mathrm{Tr}_{\mathrm{E}}\Theta$ la $\mathrm{trace}$ de $\Theta$ par rapport a $\mathrm{E},$ c'est-\`{a}-dire la forme hermitienne definie sur $\mathrm{T}$ par : \[ (\mathrm{Tr}_{\mathrm{E}}\Theta)(t, t)=\sum_{\iota=1}^{r}\Theta(t\otimes e_{\iota}, t\otimes e_{l}) \] pour tout $t\in \mathrm{T}$ et toute base orthonormee $(e,)_{1\leqq/\leqq}$, de E. PROPOSITION 2.3. -- {\it Soil} $0\geqq_{1}0$ {\it une forme hermitienne semi-positive au sens de Griffi} $ths$. {\it Alors la forme} $\Theta+\mathrm{Tr}_{\mathrm{E}}\Theta\otimes \mathrm{I}\mathrm{d}_{\mathrm{E}}$ {\it est semi-positive au sens de Nakano, c}'{\it est-\`{a}-dire} $\Theta+\mathrm{Tr}_{\mathrm{E}}\Theta\otimes \mathrm{I}\mathrm{d}_{\mathrm{E}}\geqq_{r}0$. Dams cet enonce, on identifie la metrique hermitienne de $\mathrm{E}$ a l'endomorphisme $\mathrm{Id}_{\mathrm{E}}$ qui lui correspond. Le lecteur est invite' a se reporter a [7] ou a [6] pour une d\'{e}monstration. COROLLAIRE 2.4. -- {\it Supposons} $0\geqq 10$. {\it Alors} $s\mathrm{Tr}_{\mathrm{E}}\Theta\otimes \mathrm{I}\mathrm{d}_{\mathrm{E}}- [) \geqq_{s}0$. {\it Demonstration}. -- Nous etablirons d'abord le cas $s=1$, le cas g\'{e}n\'{e}ral r\'{e}sultant de la proposition 2.3. (a) $s=1$. Soit $x\in \mathrm{T}\otimes \mathrm{E}$ un tenseur de rang $\leqq 1$. On peut ecrire $x=t\otimes e$ avec $t\in \mathrm{T}$ et $e\in \mathrm{E}, |e|=1$. Completons $[e]$ en une base orthonormee $(e_{1}, e_{2}, . . ., e_{r})$ de $\mathrm{E}$ telle que $e_{1}=e$. II vient : \begin{center} C) $(x, x)=\Theta(t\otimes e_{1}, t\otimes e_{1})$, \[ (\mathrm{Tr}_{\mathrm{E}}\Theta\otimes \mathrm{I}\mathrm{d}_{\mathrm{E}})(x, x)=\mathrm{T}\mathrm{r}_{\mathrm{E}}\Theta(t, t)=\sum_{l=1}^{r}\Theta(t\otimes e_{l}, t\otimes e_{l})\geqq\Theta(x, x) \] \end{center} car par hypothese 0 $(t\otimes e_{l}, i\otimes e_{\iota}) \geqq 0$. $4^{\mathrm{e}}$ S\'{E} $\mathrm{RIE}-$ TOME 15 -- 1982 -- $\mathrm{N}^{\mathrm{O}}3$ \vspace{1em} FIBRES HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 467 ({\it b}) {\it Cas general}. Tout tenseur $x\in \mathrm{T}\otimes \mathrm{E}$ de rang $\leqq s$ peut s'ecrire : \[ x=\sum_{l=1}^{q}t_{j}\otimes e_{j} \] avec $q=\displaystyle \inf(n, r, s), t_{j}\in \mathrm{T}$, et ou $(e_{j})_{1\leqq j\leqq r}$ est une base orthonormee de E. Notons $\mathrm{F}$ le sous- espace de dimension $q$ de $\mathrm{E}$ engendre par $e_{1}, e_{2}$, . . ., $e_{q}$ et $\Theta_{\mathrm{F}}$ la restriction de C) a $\mathrm{T}\otimes \mathrm{F}$ (de sorte que $\Theta_{\mathrm{F}}\geqq_{1}0$). La partie ({\it a}) montre que : \begin{center} $\Theta=\mathrm{Tr}_{\mathrm{F}}\Theta_{\mathrm{F}}\otimes \mathrm{I}\mathrm{d}_{\mathrm{F}}-\Theta_{\mathrm{F}}\geqq_{1}0$. \end{center} D'apres la proposition 2.3 on obtient : \begin{center} $\Theta+\mathrm{Tr}_{\mathrm{F}}\Theta\otimes \mathrm{I}\mathrm{d}_{\mathrm{F}}=q\mathrm{T}\mathrm{r}_{\mathrm{F}}\Theta_{\mathrm{F}}\otimes \mathrm{I}\mathrm{d}_{\mathrm{F}}-\Theta_{\mathrm{F}}\geqq_{q}0$, \end{center} {\it 0} $(x, x)=\displaystyle \Theta_{\mathrm{F}}(x, x)\leqq q(\mathrm{T}\mathrm{r}_{\mathrm{F}}\Theta_{\mathrm{F}}\otimes \mathrm{I}\mathrm{d}_{\mathrm{F}})(x, x)=q\sum_{1\leqq j,\iota\leqq q}\Theta(t_{j}\otimes e_{l}, t_{j}\otimes e_{l})$ \begin{center} $\displaystyle \leqq s\sum_{1\leqq j\leqq q}\Theta(t_{j}\otimes e_{l}, t_{j}\otimes e_{l})=s(\mathrm{Tr}_{\mathrm{E}}\Theta\otimes \mathrm{I}\mathrm{d}_{\mathrm{E}})(x, x).\ \square $ \end{center} Les principales cons\'{e}quences de la proposition 2.3 seront obtenues en choisissant pour $\Theta$ la forme de courbure $\mathrm{i}c(\mathrm{E})$ d'un fibre' hermitien. Nous aurons besoin du lemme classique suivant, qui relie la courbure des ftbres d\'{e}t $\mathrm{E}$ et $\mathrm{E}^{*}$ a celle de E. LEMME 2.5. -- {\it Soient} $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ {\it desfibres hermitiens au-dessus de} X. {\it On note} d\'{e}t $\mathrm{E}=\Lambda^{r}\mathrm{E}$ {\it o\`{u}} $r$ {\it est} {\it le rang de} E. {\it Alors lesformes de courbure desfibr\'{e}s} d\'{e}t $\mathrm{E}, \mathrm{E}^{*}$ ({\it dual de} E) e7 $\mathrm{E}\otimes \mathrm{F}$ {\it son} $t$ {\it donn\'{e}es} /'`/'. \begin{center} $c$ (d\'{e}t $\mathrm{E}$) $=\mathrm{Tr}_{\mathrm{E}}c(\mathrm{E})$, $c(\mathrm{E}^{*})=-{}^{t}c(\mathrm{E})$, $c(\mathrm{E}\otimes \mathrm{F})=c(\mathrm{E})\otimes \mathrm{I}\mathrm{d}_{\mathrm{F}}+\mathrm{I}\mathrm{d}_{\mathrm{E}}\otimes c(\mathrm{F})$, \end{center} {\it ou la trace} $\mathrm{Tr}_{\mathrm{E}}$ {\it est celle de} $\mathrm{Hom}(\mathrm{E}, \mathrm{E})$ {\it et} $t$ ? {\it l}'{\it op\'{e}rateur de transposition} $\mathrm{Hom}(\mathrm{E}, \mathrm{E})\rightarrow \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{E}^{*}, \mathrm{E}^{*})$. TH\'{E}OR\`{E}ME 2.6. -- {\it Soit} $\mathrm{E}$ {\it un fibre semi-positif} ({\it resp. positifl au sens de Griffi} $ths$. {\it Alors} : (2. 1) E\otimes d\'{e}t $\mathrm{E}$ {\it est semi-positif} ({\it resp. positif}) {\it au sens de Nakano}. (2.2) {\it Pour lout entier} $s\geqq 1$, {\it le fibre} $\mathrm{E}^{*}\otimes (\mathrm{d}\text{\'{e}} \mathrm{t} \mathrm{E})^{s}$ {\it est s-semi-positif}. (2. 3) $\mathrm{E}^{*}\otimes (\mathrm{d}\text{\'{e}} \mathrm{t} \mathrm{E})^{s}$ {\it est} $s$-{\it positif si} $\mathrm{E}>10$ {\it et si} $rs>1$( $r$ {\it designant le rang de} $\mathrm{E}$). {\it D\'{e}monstra tion}. --(2. 1 )r\'{e}sulte aisement de la proposition 2.3et du lemme 2.5. Lorsque $\mathrm{E}$ est semi-positif au sens de Griffiths, il est classique que $\mathrm{E}^{*}$ est semi-negatif en ce sens $(\mathrm{i}.\mathrm{e}$. $\mathrm{E}^{*}\leqq 10)$. La $\mathrm{con}_{1c}1\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}.\ (2.2)$ r\'{e}sulte $\mathrm{don}_{1c}$ du corollaire 2.4 applique' \`{a} $\Theta=-\mathrm{i}c\cdot(\mathrm{E}^{*})$, compte tenu de l'egalite : \begin{center} $\mathrm{i}c$( $\mathrm{E}^{*}$ \otimes(d\'{e} $\mathrm{tE})^{s}$) $=\mathrm{i}c(\mathrm{E}^{*}) -s\mathrm{Tr}_{\mathrm{E}^{*}}\mathrm{i}c(\mathrm{E}$ ' $)$. \end{center} ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'\'{E}COLE NORMALE SUP\'{E}RIEURE \vspace{1em} 468 J.-P. DEMAILLY Si de plus $\mathrm{E}>10$, il existe une form6 hermitienne positive co sur TX telle que $ic.(\mathrm{E})\geqq 1\mathrm{Q})\otimes \mathrm{I}\mathrm{d}_{\mathrm{I}}$ , d'ott : \begin{center} C) $=-\mathrm{i}c(\mathrm{E}^{*})-(0\otimes \mathrm{I}\mathrm{d}_{\mathrm{E}^{*}}\geqq_{1}0$. \end{center} Le corollaire 2.4 entraine que : \begin{center} $-s$ Tr $\mathrm{i}c(\mathrm{E}^{*})+\mathrm{i}c(\mathrm{E}^{*})+(1-rs)\sigma)\otimes \mathrm{I}\mathrm{d}_{\mathrm{E}^{*}}\geqq_{s}0$, \end{center} soit $\mathrm{i}c$( $\mathrm{E}^{*}$ \otimes(d\'{e}t $\mathrm{E})^{s}$) $\geqq_{s}(\mathrm{rs}-1)0)\otimes \mathrm{I}\mathrm{d}_{\mathrm{E}^{*}}>_{s}0.\ \square $ \begin{center} 3. \'{E}tude du terme de courbure dans l'identite de Kodaira \end{center} Soit $\mathrm{X}$ une variete analytique complexe de dimension $n$, munie d'une metrique hermitienne $\mathrm{o})$. On rappelle que l'algebre A $\mathrm{Hom}_{\mathrm{R}}(\mathrm{T}\mathrm{X}, \mathbb{C})$ des formes differentielles sur $\mathrm{X}$ admet la d\'{e}composition en somme directe orthogonale : \begin{center} A $\displaystyle \mathrm{Hom}_{\mathrm{R}}(\mathrm{T}\mathrm{X}, \mathbb{C})=\bigoplus_{p+q\leqq n}\Lambda^{p,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}$, \end{center} ou l'espace $\Lambda^{p,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}$ des formes de bidegre $(p, q)$ est muni de la metrique naturelle deduite de celle de TX (conventions de A. Weil [29]). On note $d\mathrm{V}=\mathrm{r}\mathrm{n}^{n}/n$ ! l'element de volume euclidien de $\mathrm{X}$, A Padjoint de l'operateur $\mathrm{L}$ de multiplication exterieure par $0$), de sorte que : \begin{center} $\mathrm{L}\alpha=\mathrm{e}\mathrm{o}\wedge\alpha$, (A $\alpha|\beta$) $=(\alpha|\mathrm{eo}\wedge\beta)$ \end{center} pour toutes formes $\alpha, \beta\in$ A $\mathrm{Hom}_{\mathrm{R}}(\mathrm{T}\mathrm{X}, \mathbb{C})$. Soit maintenant $\mathrm{E}$ un fibre' vectoriel holomorphe hermitien de rang $r$ au-dessus de $\mathrm{X}$, dont la metrique est de classe $\mathrm{C}^{2}$. Les operateurs $\mathrm{L}$ et A sont etendus aux espaces de formes $\Lambda^{p,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes \mathrm{E}$ a valeurs dans $\mathrm{E}$ en tensorisant par $\mathrm{Id}_{\mathrm{E}}$. L'inegalite de Kodaira-Nakano ({\it cf}. lemme 4.4) fera intervenir un terme de courbure du type ( $\mathrm{i}c(\mathrm{E})$ A $\alpha|\alpha$). C'est l'etude de ce terme que nous allons entreprendre. Si 0 est une $(1, 1)$-forme r\'{e}elle a valeurs dams Herm $(\mathrm{E}, \mathrm{E})$, on definit pour tout entier $q=1$, 2, $\ldots, n$ une forme sesquilineaire $\Theta_{q}$ sur les fibres de $\Lambda^{n,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes \mathrm{E}$ en posant en chaque point $z\in \mathrm{X}$ : \begin{center} $\Theta_{q}(\alpha, \beta)=$( $\Theta$ A $\alpha|\beta$) \end{center} pour toutes les formes $\alpha, \beta\in\Lambda^{n,q}\mathrm{T}_{z}^{*}\mathrm{X}\otimes \mathrm{E}_{z}$. Les deux lemmes suivants, que nous demontrons simultan\'{e}ment, seront utiles par la suite. LEMME 3.1. $-LesJormes\Theta_{q}$ {\it son} $t$ {\it hermitiennes. Si la forme} 0 {\it est} $(n-q+1)-(semi-)$ {\it positive}, {\it alors} $\Theta_{q}$ {\it est} ({\it semi}-) {\it positive}. On suppose desormais que $0\geqq_{n-q+1}0$. Si $\alpha\in\Lambda^{n,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes \mathrm{E}$, on note $|\alpha|_{6}$ le plus petit nombre $\geqq 0$, eventuellement infini, tel que : (3. 1) $|(\alpha|\beta)|^{2}\leqq|\alpha|_{9}^{2}$( $\Theta$ A $\beta|\beta$) $4^{\mathrm{e}}$ S\'{E}R1E-- TOME 15 -- 1982 -- $\mathrm{N}^{\mathrm{o}}3$ \vspace{1em} FIRR $\acute{\Gamma}$S HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 469 pour tout $\beta\in\Lambda^{n,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes \mathrm{E}$. LEMME 3.2. -- {\it La} $(n, n)$-{\it forme} $|\alpha|_{9}^{2}d\mathrm{V}$ : (3.2) {\it est independante de} co {\it si} $q=1$, (3.3) {\it decroit lorsque} co {\it croit si} $q\geqq 1$. {\it D}'{\it autre part, pour tour nombre reel} $\lambda\geqq 0$ {\it tel que 04} $n-q+1\lambda 0$) $\otimes \mathrm{Id}_{\mathrm{E}}$ {\it et tour} $\alpha\in\Lambda^{n,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes \mathrm{E}$ {\it on} $a$ : (3.4) $|\displaystyle \alpha|_{9}^{2}\leqq\frac{1}{q\lambda}|\alpha|^{2}$. {\it Enfin, soit} $\eta$ {\it une} $(0, 1)$-{\it forme sur} X. {\it On} $a$ {\it alors} : (3. 5) $|\eta\wedge\alpha|_{9}\leqq|\eta|.\ |\alpha|_{9}$. {\it Demonstration du lemme} 3.1. -- Relativement a un couple de bases orthonormees $(dz_{1},dz_{2}$, . . ., $dz_{n}$) de $\mathrm{T}_{z}^{*}\mathrm{X}$ et $(e_{1}, e_{2}, . . . , e_{r})$ de $\mathrm{E}_{z}$, on peut ecrire : \begin{center} $0)=\displaystyle \frac{\mathrm{i}}{2}\sum_{j=1}^{n}dz_{j}\wedge d_{Z_{j}}^{-}$, $\displaystyle \Theta=\frac{\mathrm{i}}{2}1\leqq$''$m\displaystyle \leqq r\sum_{1\leqq j,k\leqq n}c_{jklm}dz_{j}\wedge d^{-}z_{k}\otimes e_{l}^{*}\otimes e_{m}$ \end{center} avec $c_{jklm}=(.kjml$ et pour $\beta\in\Lambda^{n,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes \mathrm{E}$ : \begin{center} $\displaystyle \beta=\sum_{|\mathrm{J}|=q}'\sum_{\iota=1}^{r}\beta_{\mathrm{J},l}dz_{1}\wedge$ . . . $\wedge dz_{n}\wedge d_{Z_{\mathrm{J}}}^{-}\otimes e_{l}$, \end{center} ou la notation $\displaystyle \sum^{\prime}$ signifie que la sommation est etendue a tous les multi-indices $\mathrm{J}$ {\it croissan} $ts$. On v\'{e}rifle que : \begin{center} A $\displaystyle \beta=2\sum_{|\mathrm{J}|=q-1}\sum_{1\leqq j\leqq n}(-1)^{n-j}\beta_{j\mathrm{J},l}dz_{1}\wedge\ldots\wedge\hat{dz}_{j}\wedge\ldots\wedge dz_{n}\wedge dz_{\mathrm{J}}\otimes e_{1}-$ \[ 1\leqq l\leqq r \] \end{center} (la notation $ dz_{j}\wedge$ rappelant que le terme $dz_{j}$ est omis), et que : \begin{center} (3.6) $\Theta_{q}(\beta, \beta)=$( $\Theta$ A $\beta|\beta$) $=2^{n+q}\displaystyle \sum_{|\mathrm{J}|=q-1}\prime 1\leqq l,m\leqq r\sum_{1\leqq J,k\leqq n}c_{jklm}\beta_{j\mathrm{J},l}\overline{\beta_{k\mathrm{J},m}}$. \end{center} Le multi-indice $\mathrm{J}$ etant fixe', $|\mathrm{J}|=q-1$, la matrice $(\beta_{j\mathrm{J},1})_{j,\mathrm{I}}$ est de rang {\it n}-({\it q-l} ) au plus, puisque $\beta_{j\mathrm{J}},\ ,=0$ si $j\in \mathrm{J}$. Si $\Theta\geqq_{n-q+1}0$, on a donc pour tout $\mathrm{J}$ : \begin{center} $\displaystyle \sum c_{jklm}\beta_{j\mathrm{J},l}\overline{\beta}_{k\mathrm{J},m}\geqq 0.\ \square $ \end{center} ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'\'{E}COLE NORMALE SUP\'{E}RIEURE \vspace{1em} 470 J.-P. DEMAILLY {\it Demonstration du lemme} 3.2. -- Soit $0\mathrm{J}^{l}$ une deuxi\`{e}me metrique hermitienne sur $\mathrm{T}_{z}$ X. On choisit une base $(dz_{1}, . . ., dz_{n})$ de $\mathrm{T}_{z}^{*}\mathrm{X},$ orthonorm\'{e}e relativement a co et orthogonale relativement a ($\mathrm{o}^{\prime}$. On peut donc ecrire : \begin{center} ' co $'=\displaystyle \frac{\mathrm{i}}{2}\sum_{j=1}^{n}a_{j}dz_{j}\wedge d_{Z_{j}}^{-}$ o\`{u} $a_{j}>0$. \end{center} L'isometrie $a^{1/2}$ : $(\mathrm{T}_{z}\mathrm{X}, 0)^{\prime})\rightarrow(\mathrm{T}_{z}\mathrm{X}, 0))$ qui a tout $(t_{j})_{1\leqq j\leqq n}$ associe $(a_{j}^{1/2}t_{j})_{1\leqq j\leqq n}$ induit un isomorphisme metrique : \begin{center} (A $\mathrm{T}_{z}^{*}\mathrm{X}, \omega$) $\rightarrow$ (A $\mathrm{T}_{z}^{*}\mathrm{X}, 00^{\prime}$). \end{center} Si $(|)',\ | |^{\prime}, \Lambda^{\prime}, d\mathrm{V}^{\prime}$ sont respectivement associ\'{e} $\mathrm{s}$ a $\mathrm{co}^{\prime}$, on a donc : \begin{center} $\Lambda^{\prime}=a^{1/2}$ A $a^{-1/2}$, \[ (\alpha|\beta)^{\prime}=(a^{-1/2}\alpha|a^{-1/2}\beta)=(\alpha|a^{-1}\beta) \] \end{center} pour toutes formes $\alpha, \beta\in\Lambda^{n,q}\mathrm{T}_{z}^{*}\mathrm{X}\otimes \mathrm{E}_{z}$. Par consiquent : \begin{center} $|\displaystyle \alpha|_{\acute{0}^{2}}=\sup_{\beta}\frac{|(\alpha|\beta)^{\prime}|^{2}}{(\Theta\Lambda'\beta|\beta)^{\prime}}=\sup_{\beta}\frac{|(\alpha|a^{-1}\beta)|^{2}}{(\Theta a^{1/2}\Lambda a^{-1/2}\beta|a^{-1}\beta)}=\sup_{\beta}\frac{|(\alpha|\beta)|^{2}}{(\Theta a^{1/2}\Lambda a^{1/2}\beta|\beta)}$ . \end{center} II est facile de v\'{e}ffiler que : \begin{center} (C) $a^{1/2}$ A $ a^{1/2}\beta|\beta$) $=2^{n+q}a_{1}\displaystyle \ldots a_{n}\sum_{|\mathrm{J}|=q-1}\prime a_{\mathrm{J}} \displaystyle \sum_{1\leqq j,k\leqq n,1\leqq l,m\leqq r}c_{jklm}\beta_{j\mathrm{J},l}\overline{\beta_{k\mathrm{J}},m}$, \end{center} o\`{u} $a_{\mathrm{J}}=\displaystyle \prod_{j\in \mathrm{J}}a_{j}$, et ou la somme qui suit $a_{\mathrm{J}}$ est $\geqq 0$ quel que soit J. Si $\omega^{\prime}\geqq \mathrm{co}$ (c'est-\`{a}-dire si $a_{j}\geqq 1,1\leqq j\leqq n)$ on obtient donc : \begin{center} (C) $a^{1/2}\wedge a^{1/2}\beta|\beta)\geqq a_{1}\ldots a_{n}(\Theta\wedge\beta|\beta)$, $|$ a $|\displaystyle \acute{0}^{2}\leqq\frac{|\alpha.|_{9}^{2}}{a_{1}..a_{n}}$, $|\displaystyle \alpha|_{\acute{0}^{2}}\frac{\mathrm{eo}^{\prime n}}{n!}\leqq|\alpha|92\frac{00^{n}}{n!}$, \end{center} avec egalite si $q=1$. Les conclusions (3.2) et (3.3) sont donc bien vraies. Si $\Theta\geqq_{n-q+1}\lambda\omega\otimes \mathrm{Id}_{\mathrm{E}}$, le lemme 3.1et l'\'{e}galit\'{e} 3.6 montrent que : \begin{center} ( $\Theta$ A $\beta|\beta$) $\displaystyle \geqq 2^{n+q}\sum_{|\mathrm{J}|=q-1}\sum_{j,l}\lambda|\beta_{j\mathrm{J},l}|^{2}=q\lambda|\beta|^{2}$, \end{center} d'ou par dualite : \begin{center} $|\displaystyle \alpha|_{9}^{2}\leqq\frac{1}{q\lambda}|\alpha|^{2}$. \end{center} $4^{\mathrm{e}}$ S\'{E}RIE -- TOME 15 -- 1982 --$\mathrm{N}^{\mathrm{o}}3$ \vspace{1em} FIBR\'{E}S HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 471 D'autre part, comme $\Theta\geqq_{n-q+1}0$, et {\it a fortiori} $\Theta\geqq_{n-q}0$, les formes hermitiennes $\Theta_{q}$ et $\Theta_{q+1}$ sont semi-positives. Pour tout $\eta\in\Lambda^{0,1}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X},\ \alpha\in\Lambda^{n,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}, \beta\in\Lambda^{n,q+1}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}$ on a : \begin{center} $|(\eta\wedge\alpha|\beta)|^{2}=|(\alpha|\overline{\eta}\lrcorner\beta)|^{2}\leqq|\alpha|_{9}^{2}\Theta_{q}(\overline{\eta}\lrcorner\beta, \overline{\eta}\lrcorner\beta)$, \end{center} -- 011 $\eta\lrcorner\beta$ designe le produit interieur de $\beta$ par $\eta$. Pour demontrer (3.5), il suffit donc de verifier : \begin{center} $(3.7)$ $\Theta_{q}(\overline{\eta}\lrcorner\beta, \overline{\eta}\lrcorner\beta)\leqq|\eta|2\Theta_{q+1}(\beta, \beta)$, \end{center} et pour cela, on peut supposer que $\eta=d_{Z_{S}}^{-}$. II vient $|\eta|^{2}=2$ : \begin{center} $\displaystyle \eta\lrcorner\beta=2\sum_{|\mathrm{J}|=q}'\sum_{\iota=1}\beta_{s\mathrm{J},l}dz_{1}\wedge$ . . . $\wedge dz_{n}\wedge d_{Z_{\mathrm{J}}}^{-}\otimes e_{l}$, $\displaystyle \Theta_{q}(\overline{\eta}\lrcorner\beta, \overline{\eta}\lrcorner\beta)=2^{n+q+2}\sum_{|\mathrm{J}|=q-1}\prime 1\leqq j,k\leqq n\sum_{1\leqq l' m\leqq r}c_{jklm}\beta_{sj\mathrm{J},l}\overline{\beta_{sk\mathrm{J},m}}$. \end{center} Si l'on compare cette in\'{e}galit\'{e} a l'\'{e}galit\'{e} (3.6) ou $q+1$ est substitue a $q$, la ligne (3. 7) devient evidente. $\square $ Nous aurons besoin aussi du resultat simple qui suit. LEMME 3.3. -- {\it Soit} co {\it et} $\omega^{\prime}$ {\it deux formes hermitiennes sur} TX {\it telles que} $\omega\leqq\omega^{\prime}$. {\it Pour tout} $\alpha\in\Lambda^{n,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes \mathrm{E}, q=0,$1, \ldots, {\it n, on a} $|\alpha|^{\prime 2}d\mathrm{V}^{\prime}\leqq|\alpha|^{2}$ A. {\it Demons} $tra$ {\it tion}. -- Posons $\displaystyle \alpha=\sum_{|\mathrm{J}|=q}'\sum_{l=1}^{r}\alpha_{\mathrm{J},l}dz_{1}\wedge$ . . . $\wedge dz_{n}\wedge d\overline{z_{\mathrm{J}}}\otimes e_{1}$, avec les memes notations que dans le lemme 3.2. Il vient : \begin{center} $d\mathrm{V}^{\prime}=a_{1}a_{2}$ . . . $a_{n}d\mathrm{V}$ avec $a_{j}\geqq 1$, $|\displaystyle \alpha|^{2}=2^{n+q}\sum_{\mathrm{J},l}|\alpha_{\mathrm{J},l}|2$, $|\alpha|^{\prime 2}d\mathrm{V}^{\prime}=2^{n+q}$ I $\displaystyle \frac{|\alpha_{\mathrm{J},l}|^{2}}{a_{\mathrm{J}}}d\mathrm{V}.\ \square $ 4. Estimations $\mathrm{L}^{2}$ pour l'operateur $\mathrm{D}^{\prime\prime}$ \end{center} Dans ce paragraphe, nous etendrons les estimations de L. H\"{o}rmander [13] et [14] au cas des $(n, q)$-formes \`{a} valeurs dans un fibre' vectoriel holomorphe semi-positif. II s'agit en fait d'une generalisation imm\'{e}diate des estimations de H. Skoda [24], qui etaient relatives au cas ien varietes faiblement $\mathrm{C}^{2}$-pseudoconvexes. Nous obtiendrons un th\'{e}or\`{e}me d'existence valable pour toute vari\'{e}t\'{e} k\"{a}hl\'{e}rienne complete, avec des hypoth\`{e}ses de positivite plus faibles. Un passage a la limite sur la metrique k\"{a}hl\'{e}rienne nous permettra de court-circuiter la $\langle\langle$ methode des trois poids $\rangle\rangle$ utilis\'{e}e ant\'{e}rieurement par L. H\"{o}rmander [14] et H. Skoda [24]. ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'\'{E}COLE NORMALE SUP\'{E}RIEURE \vspace{1em} 472 J.-P. DEMAILLY TH\'{E}OR\`{E}ME 4. 1. -- {\it Soil} $\mathrm{X}$ {\it une vari\'{e}t\'{e}} kihl\'{e}rienne complete {\it de dimension} $n$, {\it munie d}'{\it une} {\it metrique k\"{a}hl\'{e}rienne} co non necessairement complete. {\it Soit} $\mathrm{E}$ {\it un fibre}' {\it vectoriel hermitien de} {\it classe} $\mathrm{C}^{2}$ {\it sur} X. {\it On suppose que} $\mathrm{E}$ {\it est} (a $-q+1$)-{\it semi-positif. On se donne une} $(n, q)$-{\it forme} $g$ {\it \`{a}} {\it coefficients} $\mathrm{L}_{1\mathrm{o}\mathrm{c}}^{2}$ {\it et \`{a} valeurs dans} $\mathrm{E}$, {\it telle que} $\mathrm{D}^{\prime\prime}g=0|$ : $\displaystyle \int_{\mathrm{X}}|g|^{2}d\mathrm{V}<+$ oo et $v|$. \[ |g|_{c(\mathrm{E})}^{2}d\mathrm{V}<+\infty \] \[ \mathrm{x} \] [cf. (3 . 1 ); {\it pour simplifier l}'{\it ecriture, on a note} $|g|_{c(\mathrm{E})}=|g|_{ic(\mathrm{E})}$]. {\it Alors il existe une} $(n, q-1)-$ forme $f$ {\it \`{a} coefficients} $\mathrm{L}_{1\mathrm{o}\mathrm{c}}^{2}$ {\it \`{a} valeurs dans} $\mathrm{E}$, {\it telle que} : \begin{center} $\mathrm{D}^{ll}f=g$, \end{center} et : \begin{center} $\displaystyle \int_{\mathrm{X}}|f|^{2}d\mathrm{V}\leqq\int_{\mathrm{X}}|g|_{c(\mathrm{E})}^{2}d\mathrm{V}$. \end{center} {\it Remarque} 4.2. --D'apr\`{e} $\mathrm{s}$ le lemme 3.2(3.4), si on dispose d'une minoration de la forme de courbure du type : \begin{center} $\mathrm{i}c(\mathrm{E})\geqq_{n-q+1}\lambda\omega\otimes \mathrm{I}\mathrm{d}_{\mathrm{E}}$, \end{center} ou $\lambda$ est une fonction mesurable $\geqq 0$ sur $\mathrm{X}$, et si la forme $g$ est telle que : \begin{center} $\displaystyle \int_{\mathrm{X}}|g|^{2}d\mathrm{V}<+\infty,\ \displaystyle \int_{\mathrm{X},g\neq 0}\lambda^{-1}|g|^{2}d\mathrm{V}<+\infty$, \end{center} alors il existe une $(n, q-1)$-forme $f$ verifiant $\mathrm{D}^{ll}f=g$ et : \begin{center} $\displaystyle \int_{\mathrm{X}}|f|^{2}d\mathrm{V}\leqq\int_{\mathrm{X}}\frac{1}{q\lambda}|g|^{2}d\mathrm{V}.\ \square $ \end{center} Le theoreme 4.1 sera une conse'quence simple de l'ine'galite' de Kodaira-Nakano, moyennant l'utilisation de la methode d'analyse fonctionnelle de L. H\"{o}rmander [14]. On designe par $\mathscr{D}_{p,q}(\mathrm{X};\mathrm{E})$ l'espace des $[p, q)$-formes de classe $\mathrm{C}^{\infty}$ a support compact dams $\mathrm{X}$ et a valeurs dans $\mathrm{E}$, et par $\mathrm{L}_{p,q}^{2}(\mathrm{X};\mathrm{E})$ l'espace de Hilbert des $(p, q)$-{\it Comes} a coefficients $\mathrm{L}_{1\circ \mathrm{t}}^{2}$, muni de la norme : \begin{center} $||u||^{2}=\displaystyle \int_{\mathrm{X}}|u|^{2}d\mathrm{V}$. \end{center} On definit deux operateurs non bornes : \[ \mathrm{T} \] \[ \mathrm{s} \] \[ \mathrm{L}_{p,q-1}^{2}\rightarrow \mathrm{L}_{p,q}^{2}\rightarrow \mathrm{L}_{p,q+1}^{2} \] a domaines denses Dom $\mathrm{T}$, Dom $\mathrm{S}$, en considerant l'operateur $\mathrm{D}^{ll}$ calcule au sens des distributions. Soient $\mathrm{T}^{*}$ : $\mathrm{L}_{p,q}^{2}\rightarrow \mathrm{L}_{p,q-1}^{2}$ et $\mathrm{S}^{*}$ : $\mathrm{L}_{p,q+1}^{2}\rightarrow \mathrm{L}_{p,q}^{2}$ les adjoints respectifs de $\mathrm{T}$ et S. $4^{\mathrm{e}}$ s\'{E}RIE-- TOME 15 $\rightarrow$1982 $-\mathrm{N}^{\mathrm{o}}3$ \vspace{1em} FIBRFS HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 473 D'apres L. H\"{o}rmander [14], lemme 5.2.1 on a le resultat suivant : LEMME 4.3. -- {\it Si la metrique} co {\it est complete} [{\it hypo th\`{e}se} (1. 3) {\it v\'{e}rifi\'{e}e}] $\mathscr{D}_{p,q}(\mathrm{X};\mathrm{E})$ {\it est dense} {\it dans} Dom $\mathrm{T}^{*}\cap$ Dom $\mathrm{S}$ {\it pour la norme du graphe} : \begin{center} $u\rightarrow||u||+||\mathrm{T}^{*}u||+||\mathrm{S}u||$. \end{center} Soit maintenant 6'' l'adjoint formel de l'operateur $\mathrm{D}^{ll}$, defini par : \[ \int \] \[ \mathrm{x}(\delta^{\prime\prime}u|v)d\mathrm{V}=\int_{\mathrm{X}}(u|d^{\prime\prime}v)d\mathrm{V} \] pour toutes formes $u\in \mathscr{D}_{p,q}(\mathrm{X};\mathrm{E}), v\in \mathscr{D}_{p,q-1}(\mathrm{X};\mathrm{E})$. Le lemme 4.3 montre que $\mathrm{T}^{*}$ co.incide avec l'operateur $6^{\prime\prime}$ calcule au sens des distributions. Les operateurs $\mathrm{D}^{ll}$ et 6'' v\'{e}riflent par ailleurs l'inegalite fondamentale suivante ({\it cf}. $\mathrm{A}$, Douady et J.-L. Verdier [9], expos\'{e} III, th. 3). LEMME 4.4 (Inegalite de Kodaira-Nakano). $\tau$ {\it Pour route forme} $u\in \mathscr{D}_{n,q}(\mathrm{X};\mathrm{E})$, {\it on} $a$: \begin{center} $||\displaystyle \mathrm{D}^{\prime\prime}u||^{2}+||6^{\prime}u||^{2}\geqq\int_{\mathrm{x}}$ ( $\mathrm{i}c(\mathrm{E})$ A $u|u$) $d\mathrm{V}$. \end{center} {\it Demonstration du theoreme} 4.1. -- Nous supposerons provisoirement que la metrique co est complete. Considerons les deux operateurs $\mathrm{D}^{\prime\prime}$ decrits plus haut, avec $p=n$ : \[ \mathrm{T} \] \[ \mathrm{s} \] \begin{center} $\mathrm{L}_{n,q-1}^{2}\rightarrow \mathrm{L}_{n,q}^{2}\rightarrow \mathrm{L}_{n,q+1}^{2}$. \end{center} Les lemmes 4.3 et 4.4 montrent que : \begin{center} $||\displaystyle \mathrm{T}^{*}u||^{2}+||\mathrm{S}u||^{2}\geqq\int_{\mathrm{X}}$ ( $\mathrm{i}c(\mathrm{E})$ A $u|u$) $d\mathrm{V}$ \end{center} pour toute forme $ u\in$ Dom $\mathrm{S}\cap$ Dom $\mathrm{T}^{*}$ [on notera que ( $\mathrm{i}c(\mathrm{E})$ A $n|u$) $\geqq 0$ d'apres le lemme 3.1 et l'hypothese $\mathrm{i}c(\mathrm{E})\geqq_{n-q+1}0]$. L'inegalite (3. 1) et l'inegalite de Cauchy-Schwarz impliquent : \begin{center} $|(g|u)|^{2}\leqq.|$. \end{center} x $|g|_{(\mathrm{E})}^{2}` d\displaystyle \mathrm{V}.\int_{\mathrm{X}}$ ( $ic(\mathrm{E})$ A $u|u$) $d\displaystyle \mathrm{V}\leqq\int_{\mathrm{X}}|g|_{c(\mathrm{E})}^{2}d\mathrm{V}.(||\mathrm{T}^{*}u||^{2}+||\mathrm{S}u||^{2})$. Par d\'{e}composition orthogonale de toute forme $ u\in$ Dom $\mathrm{T}^{*}$ en $u=u_{1}+u_{2}$ avec $u_{1}\in \mathrm{KerS}$, $u_{2}\in(\mathrm{KerS})^{\perp}\subset({\rm Im} \mathrm{T})^{\perp}=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{T}^{*}$, on en d\'{e}duit comme dans [14], lemme 4.4. 1: \[ |(g|u)|^{2}=|(g|u_{1})|^{2}\leqq\int_{\mathrm{x}}|g|_{c(\mathrm{E})}^{2}d\mathrm{V}.||\mathrm{T}^{*}u_{1}||^{2}\leqq.|/\cdot \] \begin{center} $|g|_{c(\mathrm{E})}^{2}d\mathrm{V}.||\mathrm{T}^{*}u||^{2}$, \[ \mathrm{x} \] \end{center} ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'\'{E}COLE NORMALF SUPERIEURE \vspace{1em} 474 J.-P. DEMAILLY car $g\in \mathrm{Ker}$ S. Le theoreme de Hahn-Banach implique l'existence d'une forme $f\in \mathrm{L}_{n,q-1}^{2}$ telle que : \begin{center} $||f||^{2}\displaystyle \leqq\int_{\mathrm{x}}|g|_{c(\mathrm{E})}^{2}d\mathrm{V}$, \end{center} et $(g|u)=(f|\mathrm{T}^{*}u)$ pour tout $ u\in$ Dom $\mathrm{T}^{*}$, ce qru signifie precisement que $g=\mathrm{T}f=\mathrm{D}^{\prime\prime}f$. Il ne nous reste plus qu'a eliminer l'hypothese de completude de la metrique $\omega$. II existe par hypothese une m\'{e}trique k\"{a}hl\'{e}rienne compl\`{e}te $\hat{\omega}$ sur X. On definit de nouvelles m\'{e}triques completes en posant : 1, \begin{center} $\omega_{\mathrm{v}}=$ co $+\omega\overline{\mathrm{v}},\ \mathrm{v}=1,2, \ldots$ \end{center} Si $| |_{\mathrm{v}}$ et $| |_{\mathrm{v},c(\mathrm{E})}$ d\'{e}signent les normes associ\'{e}es \`{a} $\omega_{\mathrm{v}}$, et si $d\mathrm{V}_{\mathrm{v}}=\omega_{\mathrm{v}}^{n}/n$!, on obtient d'apr\`{e} $\mathrm{s}$ les lemmes 3.2 (3.3) et 3.3 : \begin{center} $\displaystyle \int_{\mathrm{x}}|g|_{\mathrm{v},c(\mathrm{E})}^{2}d\mathrm{V}_{\mathrm{v}}\leqq\int_{\mathrm{x}}|g|_{c(\mathrm{E})}^{2}d\mathrm{V}<+\infty$, \[ \int \] $\displaystyle \mathrm{x}|g|_{\mathrm{v}}^{2}d\mathrm{V}_{\mathrm{v}}\leqq\int_{\mathrm{x}},|g|^{2}d\mathrm{V}<+\infty$. \end{center} Les resultats deja etablis montrent qu'il existe des formes $f_{\mathrm{v}}\in \mathrm{L}_{n,q-1}^{2}$ telles que $\mathrm{D}^{\prime\prime}f_{\mathrm{v}}=g$ et : \begin{center} $||f_{\mathrm{v}}||_{\mathrm{v}}^{2}\displaystyle \leqq\int_{\backslash }|g|_{\mathrm{v},c(\mathrm{E})}^{2}d\mathrm{V}_{\mathrm{v}}\leqq\int_{1}|g|_{c(\mathrm{E})}^{2}d\mathrm{V}$. \end{center} Soit $\mu$ un entier fixe et $\mathrm{K}$ une partie compacte de X. Pour tout $\mathrm{v}$@ $\mu$ on a: \begin{center} $\displaystyle \int_{\mathrm{K}}|f_{\mathrm{v}}|_{\mu}^{2}d\mathrm{V}_{\mu}\leqq||f_{\mathrm{v}}||_{\mu}^{2}\leqq||f_{\mathrm{v}}||_{\mathrm{v}}^{2}\leqq\int_{\mathrm{X}}|g|_{c(\mathrm{E})}^{2}$ A \end{center} d'apr\`{e}s le lemme 3.3. On peut donc extraire de la suite $(f_{\mathrm{v}})$ une sous-suite faiblement convergente dans $\mathrm{L}_{n,q-1}^{2}(\mathrm{X};\mathrm{E};1\mathrm{o}\mathrm{c})$. La limite faible $f$ est telle que : \begin{center} $\mathrm{D}^{Jl}f=g$ et $\displaystyle \int_{\mathrm{K}}|f|_{\mu}^{2}d\mathrm{V}_{\mu}\leqq\int_{\mathrm{X}}|g|_{c(\mathrm{E})}^{2}d\mathrm{V}$ \end{center} pour tout compact $\mathrm{K}$ de $\mathrm{X}$ et tout entier $\mu$. L'estimation du theoreme 4.1 s'obtient par convergence monotone en faisant tendre $\mu$ vers $+\infty.\ \square $ Remarque 4.5. -- Pour toute $(n, 0)$-forme $f$, on verifie aisement que : \begin{center} $|f|^{2}d\mathrm{V}=i^{n^{2}}f\wedge\overline{f}$, \end{center} $4^{\mathrm{e}}$ s\'{E}RIE-- TOME 15 -- 1982 -- $\mathrm{N}^{\mathrm{o}}3$ \vspace{1em} FIBRES HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 475 le produit exterieur etant combine' avec la forme bilineaire $\mathrm{E}\otimes\overline{\mathrm{E}}\rightarrow \mathbb{C}$ definie par le produit scalaire. Cette observation, jointe au lemme 3.2(3.2), montre que l'estimation du theoreme 4.1 est independante de la metrique k\"{a}hl\'{e}rienne si $q=1$ [ceci n'est plus vrai pour l'estimation de la remarque 4.2]. {\it Remarque} 4.6. -- La condition $\displaystyle \int_{\mathrm{x}}|g|^{2}d\mathrm{V}<+$ co est en fait superflue, et sera lev\'{e}e au paragraphe suivant. Si la vari\'{e}t\'{e} $\mathrm{X}$ est faiblement pseudoconvexe, on peut se debarrasser de cette hypothese en appliquant le theoreme 4. 1 a chaque ouvert faiblement pseudoconvepe $\mathrm{X}(c)$, et en faisant tendre $c$ vers $+\infty$. \begin{center} 5. Estimations avec metriques et poids plurisousharmoniques singuliers \end{center} On considere comme precedemment une vari\'{e}t\'{e} {\it k\"{a}hl\'{e}rienne comple}: $te\mathrm{X}$, un fibre vectoriel holomorphe hermitien $\mathrm{E}$ de rang $r$ et de classe $\mathrm{C}^{2}$ au-dessus de X. Soit $\varphi$ une fonction semi- continue superieurement sur $\mathrm{X}$, telle que $\varphi$ soit localement somme d'une fonction de classe $\mathrm{C}^{2}$ et d'une fonction plurisousharmonique. La d\'{e}composition de Lebesgue du courant d'ordre 0 $\mathrm{i}d^{\prime}d^{\prime\prime}\varphi$ est donc de la forme : \begin{center} $\mathrm{i}d^{\prime}d^{\prime\prime}\varphi=\mathrm{i}(d^{\prime}d^{ll}\varphi)_{c}+\mathrm{i}(d^{\prime}d^{\prime\prime}\varphi)_{s}$, \end{center} ou la partie singuliere $i(d^{\prime}d^{\prime\prime}\varphi)_{s}$ est un courant $\geqq 0$ de bidegre $(1, 1)$, et ou la partie absolument continue $\mathrm{i}(d^{\prime}d^{\prime\prime}\varphi)_{c}$ est une $(1, 1)- \mathrm{f}\sigma \mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{e}$ localement minoree a coefficients $\mathrm{L}_{1\mathrm{o}\mathrm{c}}^{1}$. On multiplie la m\'{e}trique de $\mathrm{E}$ par le poids $e^{-}'$. {\it Il} sera commode de poser : \begin{center} $c(\mathrm{E}, \varphi)=c(\mathrm{E})+(d^{\prime}d^{ll}\varphi)_{c}$. \end{center} Nous nous proposons de demontrer dans ce paragraphe le resultat suivant, qui est seulement une am\'{e}lioration technique du theoreme 4.1. TH\'{E}OR\`{E}ME 5.1. -- {\it On suppose} $\mathrm{i}c(\mathrm{E}, \varphi)\geqq_{n-q+1}0$. {\it Alors pour toute forme} $g\in \mathrm{L}_{n,q}^{2}(\mathrm{X};\mathrm{E};1\mathrm{o}\mathrm{c})$ {\it telle que} : \begin{center} $\mathrm{D}^{\prime\prime}g=0$ {\it et} $\displaystyle \int_{\mathrm{x}}|g|_{c(\mathrm{E},\varphi)}^{2}e^{-\varphi}d\mathrm{V}<+\infty$, \end{center} {\it il existe une} $(n, q-1)$-{\it forme} $f\in \mathrm{L}_{n,q-1}^{2}(\mathrm{X};\mathrm{E};1\mathrm{o}\mathrm{c})$ {\it telle que} : \begin{center} $\mathrm{D}^{ll}f=g$ et $\displaystyle \int_{\mathrm{x}}|f|2e-\varphi d\mathrm{V}\leqq\int_{\mathrm{x}}|g|_{c(\mathrm{E},\varphi)}^{2}e^{-\varphi}d\mathrm{V}$. \end{center} Si cp est de classe $\mathrm{C}^{2}$, le theoreme 5.1se reduit au theoreme 4.1. Lorsque $\varphi$ n'est plus de classe $\mathrm{C}^{2}$, la d\'{e}monstration est techniquement plus d\'{e}licate, et repose sur un theoreme d'approximation des fonctions plurisousharmoniques exposi dans les deux dernieres sections. Pour simplifier les notations, nous nous placerons sous des hypoth\`{e}ses un peu plus generales. ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'\'{E}COLE NORMALE SUP\'{E}RIEURE \vspace{1em} 476 J.-P. DFMAILLY HYPOTH\`{E}SES. -- On suppose que $\mathrm{E}$ est muni d'une metrique hermitienne $| |$ positive, non necessairement continue. On dira que cette metrique est $\langle\langle s$-approximable $\rangle\rangle$ s'il existe une suite $| |_{\mu}$ de structures hermitiennes de classe $\mathrm{C}^{2}$ sur $\mathrm{E}$ et une $(1, 1)$-forme reelle $ic(\mathrm{E})\geqq_{s}0$ a valeurs dans Berm $(\mathrm{E}, \mathrm{E})$, a coefficients mesurables, telles que les propri\'{e}t\'{e} $\mathrm{s}(5.1)$ a(5.6) ci- dessous soient v\'{e}rifl\'{e}es. (5. 1) pour tout indice $\mu=1,2$, . . . et tout element $e\in \mathrm{E}, |e|_{\mu}\leqq|e|_{\mu+1}$ ; (5.2) en presque tout point $z\in \mathrm{X}$, la metrique $| |_{\mu}$ tend vers $| |$ sur la fibre $\mathrm{E}_{z}$; (5.3) $\mathrm{i}c(\mathrm{E})_{\mu}\geqq_{s}\Theta_{\mu}-\lambda_{\mu}$ co OX $\mathrm{Id}_{\mathrm{E}},$ o\`{u} $c(\mathrm{E})_{\mu}$ est la forme de courbure du fibre' Ointitien $(\mathrm{E}$, $| |_{\mu});\Theta_{\mu}$ une $(1, 1)$-forme hermitienne $\geqq_{s}0$ et continue; $\lambda_{\mu}$ une fonction continue telles que : (5.4) $\Theta_{\mu}$ tend vers $\mathrm{i}c(\mathrm{E})$ presque partout sur $\mathrm{X}$; (5.5) $\lambda_{\mu}$ tend vers z\'{e}ro presque partout sur $\mathrm{X}$; (5.6) il existe une fonction continue $\lambda$ sur $\mathrm{X}$ telle que $ 0\leqq\lambda_{\mu}\leqq\lambda$ pour tout $\mu.\ \square $ Le th\'{e}or\`{e}me 9. 1 et la remarque 9.2 montrent que si la metrique $| |$ est de classe $\mathrm{C}^{2}$ et si $\mathrm{i}c(\mathrm{E}, \varphi)\geqq_{n-q+1}0$, alors la metrique $| |e^{-\varphi/2}$ est $(n-q+1)$-approximable [avec pr\'{e}cis\'{e}ment $\mathrm{i}c(\mathrm{E}, \varphi)$ comme forme de courbure]. {\it Demonstration}. -- Nous supposons donc $\varphi=0$ et $\mathrm{E}$ muni d'une metrique $| |(n-q+1)-$ approximable par des metriques $| |_{\mu}$ de classe $\mathrm{C}^{2}$. On se ramene d'abord au cas o\`{u} la metrique k\"{a}hl\'{e}rienne co est {\it complete} par un passage a la limite analogue a celui du paragraphe 4. Nous indexerons par $\mu$ tous les operateurs et toutes les normes associ\'{e}es a la metrique $| |_{\mu}$. On notera ainsi $||u||_{\mu}^{2}=\displaystyle \int_{\mathrm{X}}|u|_{\mu}^{2}d\mathrm{V}$, et $\mathrm{L}_{n,q}^{2}(\mathrm{X};\mathrm{E})_{\mu}$ [resp. $\mathrm{L}_{n,q}^{2}(\mathrm{X};\mathrm{E})$] l'espace de Hilbert des $(n, q)$-{\it formcs} $u$ telles que $||u||_{\mu}<+$ oo (resp. $||u||<+\infty$); on de'signe par $\mathrm{T}_{\mu}, \mathrm{S}_{\mu}$ les extensions fermees de l'operateur $\mathrm{D}^{\prime\prime},$ calcul\'{e}es au sens des distributions : \begin{center} $\mathrm{L}_{n,q-1}^{2}(\mathrm{X};\mathrm{E})_{\mu}-\rightarrow \mathrm{L}_{n,q}^{2}(\mathrm{X};\mathrm{E})_{\mu}-\rightarrow \mathrm{L}_{n,q+1}^{2}\mathrm{T}_{\mu}\mathrm{s}_{\mu}(\mathrm{X};\mathrm{E})_{\mu}$. \end{center} Si $(\chi_{\mathrm{v}})$ est la famille de fonctions tronquantes de la d\'{e}flnition 1.2 (1.3) et si $u\in \mathrm{L}_{n.q}^{2}(\mathrm{X};\mathrm{E};1\mathrm{o}\mathrm{c})$, l'inegalite de Cauchy-Schwarz donne : \begin{center} $|(\displaystyle \chi_{\mathrm{v}}g|u)_{\mu}|^{2}\leqq\int_{\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi_{\mathrm{v}}}|g|_{\mu,\Theta}^{2}d\mathrm{V}$ . $(\Theta\Lambda\chi_{\mathrm{v}}u|\chi_{\mathrm{v}}u)_{\mu}$, \end{center} ou l'on pose : \begin{center} (5.7) $\displaystyle \Theta=\Theta_{\mu,\mathrm{v}}=\Theta_{\mu}+\frac{1}{q\mathrm{v}}\omega\otimes \mathrm{I}\mathrm{d}_{\mathrm{F}}$. \end{center} D'autre part, pour tout $ u\in$ Dom $\mathrm{T}_{\mu}^{*}\cap$ Dom $\mathrm{S}_{\mu}$, les lemmes 4.3 et 4.4 montrent que : \begin{center} $||\mathrm{T}_{\mu}^{*}(\chi_{\mathrm{v}}u)||_{\mu}^{2}+||\mathrm{S}_{\mu}^{*}(\chi_{\mathrm{v}}u)||_{\mu}^{2}\geqq(\mathrm{i}c(\mathrm{E})_{\mu}\Lambda\chi_{\mathrm{v}}u|\chi_{\mathrm{v}}u)_{\mu}$. \end{center} $4^{\mathrm{e}}$ S\'{E}RIE -- TOME 15 -- 1982 -- $\mathrm{N}^{\mathrm{o}}3$ \vspace{1em} FIBR\'{E}S HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 477 D'apres (4.3), (4.7) et le lemme 3.2, il vient : $(\displaystyle \Theta\Lambda\chi_{\mathrm{v}}u|\chi_{\mathrm{v}}u)_{\mu}\leqq(\mathrm{i}c(\mathrm{E})_{\mu}\Lambda\chi_{\mathrm{v}}u|\chi_{\mathrm{v}}u)_{\mu}+((\lambda_{\mu}+\frac{1}{q\mathrm{v}})\omega\Lambda\chi_{\mathrm{v}}u|\chi_{\mathrm{v}}u)_{\mu}$ \begin{center} $\displaystyle \leqq||\mathrm{T}_{\mu}^{*}(\chi_{\mathrm{v}}u)||_{\mu}^{2}+||\mathrm{S}_{\mu}(\chi_{\mathrm{v}}u)||_{\mu}^{2}+q||\lambda_{\mu}^{1/2}\chi_{\mathrm{v}}u||_{\mu}^{2}+\frac{1}{\mathrm{v}}||u||_{\mu}^{2}$. \end{center} Comme $\mathrm{T}_{\mu}^{*}(\chi_{\mathrm{v}}u)=\chi_{\mathrm{v}}\mathrm{T}_{\mu}^{*}u-d^{\prime}\chi_{\mathrm{v}}\lrcorner u$ et $\mathrm{S}_{\mu}(\chi_{\mathrm{v}}, u)=\chi_{\mathrm{v}}\mathrm{S}_{\mu}u+d^{\prime}$ ' $\chi_{\mathrm{v}}\wedge u$, on voit aisement en utilisant (1. 3) que : $||\mathrm{T}_{\mu}^{*}(\chi_{\mathrm{v}}u)||_{\mu}^{2}+||\mathrm{S}_{\mu}(\chi_{\mathrm{v}}u)||_{\mu}^{2}$ \[ \leqq(1+\frac{1}{\mathrm{v}})(||\mathrm{T}_{\mu}^{*}u||_{\mu}^{2}+||\mathrm{S}_{\mu}u||_{\mu}^{2})+(1+\mathrm{v})(||d^{\prime}\chi_{\mathrm{v}}\lrcorner u||_{\mu}^{2}+||d^{\prime\prime}\chi_{\mathrm{v}}\wedge u||_{\mu}^{2}) \] \begin{center} $\displaystyle \leqq(1+\frac{1}{\mathrm{v}})(||\mathrm{T}_{\mu}^{*}u||_{\mu}^{2}+||\mathrm{S}_{\mu}u||_{\mu}^{2}+\frac{1}{\mathrm{v}}||u||_{\mu}^{2})$. \end{center} Pour tout $ u\in$ Dom $\mathrm{T}_{\mu}^{*}\cap$ Dom $\mathrm{S}_{\mu}$, on obtient finalement l'estimation : (5. 8) $|(\displaystyle \chi_{\mathrm{v}}g|u)_{\mu}|^{2}\leqq \mathrm{A}(||\mathrm{T}_{\mu}^{*}u||_{\mu}^{2}+||\mathrm{S}_{\mu}u||_{\mu}^{2}+q||\lambda_{\mu}^{1/2}\chi_{\mathrm{v}}u||_{\mu}^{2}+\frac{2}{\mathrm{v}}||u||_{\mu}^{2})$, avec : \begin{center} $\displaystyle \mathrm{A}=\mathrm{A}_{\mu,\mathrm{v}}=(1+\frac{1}{\mathrm{v}})\int_{\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi_{\mathrm{v}}}|g|_{\mu,\Theta}^{2}d\mathrm{V}$. \end{center} Cette estimation va nous permettre de demontrer le theoreme 5.1 par {\it recurrence sur} $n-q$. ({\it a}) Le cas $c/^{=}n$ est particulierement simple; (5.8) s'ecrit en effet dans ce cas : \begin{center} $|(\displaystyle \chi_{\mathrm{v}}g|l\mathit{4})_{\mu}|^{2}\leqq \mathrm{A}(||\mathrm{T}_{\mu}^{*}u||_{\mu}^{2}+q||\lambda_{\mu}^{1/2}\chi_{\mathrm{v}}u||_{\mu}^{2}+\frac{2}{\mathrm{v}}||u||_{\mu}^{2})$, \end{center} pour tout $ 2\in$ Dom $\mathrm{T}_{\mu}^{*}.$ D'apr\`{e}s le theoreme de Hahn-Banach applique pour chaque $\mu$ et chaque $\mathrm{v}$ fixe' $\mathrm{s}$, il existe $f_{\mu}, v_{\mu}, w_{\mu}$ dans $\mathrm{L}_{n,n-1}^{2}(\mathrm{X};\mathrm{E})_{\mu}$ tels que : (5.9) $\displaystyle \int_{\mathrm{x}}(|f_{\mu}|_{\mu}^{2}+|v_{\mu}|_{\mu}^{2}+|w_{\mu}|_{\mu}^{2})d\mathrm{V}\leqq \mathrm{A}$, et : \[ (\chi_{\mathrm{v}}g|u)_{\mu}=(f_{\mu}|\mathrm{T}_{\mu}^{*}u)_{\mu}+(v_{\mu}|q^{1/2}\lambda_{\mu}^{1/2}\chi_{\mathrm{v}}u)_{\mu}+(w_{\mu}|(\frac{2}{\mathrm{v}})^{1/2}u)_{\mu} \] pour tout $u\in \mathrm{Dom} \mathrm{T}_{\mu}^{*}$ ; ceci entraine que : \begin{center} $\displaystyle \chi_{\mathrm{v}}g=\mathrm{D}^{\prime\prime}f_{\mu}+q^{1/2}\lambda_{\mu}^{1/2}\chi_{\mathrm{v}}v_{\mu}+(\frac{2}{\mathrm{v}})^{1/2}w_{\mu}$. \end{center} ANNALFS SCIFNTIFIQUPS ]) $\mathrm{f}1\backslash \acute{\mathrm{F}}\mathrm{C}()\mathrm{L}\mathrm{E}$ NORMALE SUP\'{E} $\mathrm{R}$'FURE \vspace{1em} 478 J.-P. DEMAILLY Faisons tendre $\mu$ vers $+\infty, \mathrm{v}$ etant flx\'{e}. On peut extraire de $(f_{\mu})$ et $(w_{\mu})$ des sous-suites qui convergent faiblement vers des limites $f^{\mathrm{v}}$ et $w^{\mathrm{v}}$ dans $\mathrm{L}_{1\mathrm{o}\mathrm{c}}^{2}$. Comme $q^{1/2}\lambda_{\mu}^{1/2}\chi_{\mathrm{v}}v_{\mu}$ tend vers z\'{e}ro dans $\mathrm{L}_{1\mathrm{o}\mathrm{c}}^{1}$ (pour la topologie forte) d'apr\`{e}s (5.5), (5.6) et (5.9), on obtient : \begin{center} $\displaystyle \chi_{\mathrm{v}}g=\mathrm{D}^{\prime\prime}f^{\mathrm{v}}+(\frac{2}{\mathrm{v}})^{1/2}w^{\mathrm{v}}$, \end{center} ou : \begin{center} $\displaystyle \int_{\mathrm{x}}(|f^{\mathrm{v}}|^{2}+|w^{\mathrm{v}}|^{2})d\mathrm{V}\leqq\lim_{\mu\rightarrow}\sup_{+}$, A. \end{center} (5.3) et (5.7) montrent que $\Theta\geqq_{n-q+1}(1/q\mathrm{v})\omega\otimes \mathrm{I}\mathrm{d}_{\mathrm{E}}$ ; le lemme 3.2 (3.4) fournit donc $|g|_{\mathrm{t}\downarrow°}^{2}\leqq \mathrm{v}|g|_{\mu}^{2}\leqq \mathrm{v}|g|^{2}$. Le theoreme de convergence dominee implique d'apres (5.4) : \begin{center} $\displaystyle \lim_{\mu\rightarrow}\sup_{\infty}\mathrm{A}\leqq(1+\frac{1}{\mathrm{v}})\int_{\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi_{\mathrm{v}}}|g|_{ic(\mathrm{E})+(1/q\mathrm{v})0)\otimes \mathrm{I}\mathrm{d}_{\mathrm{E}}}^{2}d\mathrm{V}\leqq(1+\frac{1}{\mathrm{v}})\int_{\mathrm{X}}|g|_{c(\mathrm{E})}^{2}d\mathrm{V}$. \end{center} Un nouveau passage a la limite $\mathrm{v}\rightarrow+\infty$ permet de conclure. ({\it b}) On suppose maintenant que le theoreme 5.1aete d\'{e}m ontre pour toutes les formes $g$ de bidegre $(n, q+1)$ avec $1\leqq q\leqq n$ [on notera que $\mathrm{i}c(\mathrm{E})\geqq_{n-q+1}0$ implique $\mathrm{i}c(\mathrm{E})\geqq_{n-q}0$]. II existe donc une forme $g_{\mathrm{v}}\in \mathrm{L}_{n,q}^{2}(\mathrm{X};\mathrm{E})$ telle que : \begin{center} $\mathrm{D}^{\prime\prime}g_{\mathrm{v}}=\mathrm{D}^{\prime\prime}(\chi_{\mathrm{v}}g)=d^{\prime\prime}\chi_{\mathrm{v}}\wedge g$, \end{center} avec [{\it cf}. lemme 3.2 (3. 5)] : \begin{center} $\displaystyle \int_{\mathrm{x}}|g_{\mathrm{v}}|^{2}d\mathrm{V}\leqq\frac{1}{\mathrm{v}^{2}}\int_{\mathrm{x}}|g|_{c(\mathrm{E})}^{2}e^{-\varphi}d\mathrm{V}<+\infty$. \end{center} Moralement, $\chi_{\mathrm{v}}g$ est $\langle\langle$ proche $\rangle\rangle$ de $\mathrm{KerS}$, ce qui se traduit par le fait que la norme $||g_{\mathrm{v}}||$ est $\langle\langle$ petite $\rangle\rangle$. Toute forme $u\in \mathrm{Dom} \mathrm{T}_{\mu}^{*}$ peut s'\'{e}crire $u=u_{1}+u_{2}$, avec $u_{1}\in \mathrm{KerS}_{\mu}$, $u_{2}\in(\mathrm{KerS}_{\mu})^{\perp}\subset({\rm Im} \mathrm{T}_{\mu})^{\perp}=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{T}_{\mu-}^{*}$ On observe que $g_{\mathrm{v}}\in \mathrm{L}_{n,\mathrm{q}}^{2}(\mathrm{X};\mathrm{E})_{\mu}$ et que $\chi_{\mathrm{v}}g-g_{\mathrm{v}}\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{S}_{\mu}$, d'ou : \begin{center} $(\chi_{\mathrm{v}}g-g_{\mathrm{v}}|u)_{\mu}=(\chi_{\mathrm{v}}g-g_{\mathrm{v}}|u_{1})_{\mu}$, $(\chi_{\mathrm{v}}g|u)_{\mu}=(\chi_{\mathrm{v}}g|u_{1})_{\mu}+(g_{\mathrm{v}}|u_{2})_{\mu}$, \end{center} $|(\displaystyle \chi_{\mathrm{v}}g|u)_{\mu}|^{2}\leqq(1+\frac{1}{\mathrm{v}})[|(\chi_{\mathrm{v}}g|u_{1})_{\mu}|^{2}+\mathrm{v}||g_{\mathrm{v}}||_{\mu}^{2}||u_{2}||_{\mu}^{2}]$ \begin{center} $\displaystyle \leqq(1+\frac{1}{\mathrm{v}})[|(\chi_{\mathrm{v}}g|u_{1})_{\mu}|^{2}+\frac{1}{\mathrm{v}}||u||_{\mu}^{2}\int_{\mathrm{X}}|g|_{c(\mathrm{E})}^{2}d\mathrm{V}]$. \end{center} Un combinant cette estimation avec l'in\'{e}galite' (5.8) appliquee a $ u_{1}\in$ Dom $\mathrm{T}_{\mu}^{*}\cap \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{S}_{\mu}$ on obtient : \begin{center} $|(\displaystyle \chi_{\mathrm{v}}g|u)_{\mu}|^{2}\leqq(1+\frac{1}{\mathrm{v}})$ A $(||\displaystyle \mathrm{T}_{\mu}^{*}u||_{\mu}^{2}+q||\lambda_{\mu}^{1/2}\chi_{\mathrm{v}}u_{1}||_{\mu}^{2})+\frac{\mathrm{B}}{\mathrm{v}}||u||_{\mu}^{2}$, \end{center} $4^{\mathrm{e}}$ s\'{E}RIE -- TOME 15982 -- $\mathrm{N}^{\mathrm{o}}3$ \vspace{1em} FIBR\'{E}S HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 479 avec : \begin{center} $\displaystyle \mathrm{B}=(1+\frac{1}{\mathrm{v}})(2$ A $+\displaystyle \int_{\chi}|g|_{(\mathrm{E})}^{2}` d\mathrm{V})$. \end{center} Notons $\mathrm{P}_{\mu}$ : $\mathrm{L}_{n,q}^{2}(\mathrm{X};\mathrm{E})_{\mu}\rightarrow \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{S}_{\mu}$ la projection orthogonale sur $\mathrm{KerS}_{\mu}$. D'apres le theoreme de Hahn-Banach, il existe des formes $f_{\mu}, v_{\mu}, w_{\mu}$ dans $\mathrm{L}_{n,q}^{2}(\mathrm{X};\mathrm{E})_{\mu}$ telles que : (5. 10) $\left\{\begin{array}{l} ||f_{\mu}||_{\mu}^{2}+||v_{\mu}||_{\mu}^{2}\leqq \mathrm{A},||w_{\mu}||_{\mu}^{2}\leqq\frac{\mathrm{B}}{\mathrm{v}}\\ (\chi_{\mathrm{v}}g|u)_{\mu}=(f_{\mu}|\mathrm{T}_{\mu}^{*}u)_{\mu}+(v|q^{1/2}\lambda_{\mu}^{1/2}\chi_{\mathrm{v}}\mathrm{P}_{\mu}u)_{\mu}+(w_{\mu}|u)_{\mu} \end{array}\right.$ pour tout $ u\in$ Dom $\mathrm{T}_{\mu}^{*},$ c'es.t-\`{a}-dire: \begin{center} $\chi_{\mathrm{v}}g=\mathrm{D}^{\prime\prime}f_{\mu}+q^{1/2}\mathrm{P}_{\mu}(\lambda_{\mu}^{1/2}\chi_{\mathrm{v}}v_{\mu})+w_{\mu}$. \end{center} ({\it c}) La seule difflculte' nouvelle par rapport a la partie (o) du raisonnement est de montrer que le terme $a_{\mu}=\mathrm{P}_{\mu}(\lambda_{\mu}^{1/2}\chi_{\mathrm{v}}v_{\mu})$ tend faiblement vers z\'{e}ro dans $\mathrm{L}_{1\mathrm{o}\mathrm{c}}^{2}$ quand $\mu\rightarrow+\infty$. D'apres (5 . 6), (5 . 10) et la d\'{e}flnition de $\mathrm{P}_{\mu}$ on voit que : (5. 11) $\displaystyle \int_{\mathrm{X}}|a_{\mu}|_{\mu}^{2}d\mathrm{V}\leqq\int_{\mathrm{x}}\lambda_{\mu}|\chi_{\mathrm{v}}v_{\mu}|_{\mu}^{2}d\mathrm{V}\leqq\sup(\lambda\chi_{\mathrm{v}}^{2}).||v_{\mu}||_{\mu}^{2}\leqq \mathrm{c}_{\mathrm{v}}$, oti $\mathrm{C}_{\mathrm{v}}$ est une constante. Notons $\mathrm{H}_{\mu}$ (resp. H) l'unique operateur hermitien positif sur les fibres de $(\mathrm{E}, | |_{1})$ tel que pour tout $e\in \mathrm{E}$ on ait : \begin{center} $|e|_{\mu}=|\mathrm{H}_{\mu}e|_{1}$ (resp. $|e|=|\mathrm{H}e|_{1}$). \end{center} On a donc pour tout $\mu$ : $\mathrm{Id}_{\mathrm{E}}\leqq \mathrm{H}_{\mu}\leqq \mathrm{H}_{\mu+1}$, et $\mathrm{H}_{\mu}$ tend vers $\mathrm{H}$ presque partout sur X. Comme la boule unite' de $\mathrm{L}_{n.q}^{2},(\mathrm{X};\mathrm{E})_{1}$ est compacte et metrisable pour la topologie faible, il suffit de verifier que la limite faible de toute suite extraite de la suite $\mathrm{H}_{\mu}a_{\mu}$ est nulle. Si la sous- suite $b_{\mu}=\mathrm{H}_{\mu}a_{\mu}$ tend faiblement vers $b\in \mathrm{L}_{n,q}^{2}(\mathrm{X};\mathrm{E})_{1}$ , alors pour toute forme $u\in \mathrm{L}_{n,q}^{2}(\mathrm{X};\mathrm{E})_{1}$ a support compact, il vient : \begin{center} $\displaystyle \lim_{\mu\rightarrow+\infty}\int_{\mathrm{x}}(a_{\mu}|u)_{1}d\mathrm{V}=\lim_{\mu\rightarrow\dagger\infty}\int_{\mathrm{X}}(b_{\mu}|\mathrm{H}_{\mu}^{-1}u)_{1}d\mathrm{V}=\int_{\mathrm{X}}(b|\mathrm{H}^{-1}u)_{1}d\mathrm{V}$, \end{center} car d'apres l'inegalite de Cauchy-Schwarz : \begin{center} $|\displaystyle \int_{\mathrm{X}}(b_{\mu}|(\mathrm{H}^{-1}-\mathrm{H}_{\mu}^{-1})u)_{1}$ A $|\leqq||b_{\mu}||_{1}||(\mathrm{H}^{-1}-\mathrm{H}_{\mu}^{-1})u||_{1}$ \end{center} o\`{u} $||b_{\mu}||_{1}^{2}=||a_{\mu}||_{\mu}^{2}\leqq \mathrm{C}_{\mathrm{v}}$ [{\it cf}. (5. 11)], et ou $||(\mathrm{H}^{-1}-\mathrm{H}_{\mu}^{-1})u||_{1}\rightarrow 0$ par convergence domin\'{e}e. La suite $a_{\mu}$ correspondante converge donc faiblement dans $\mathrm{L}_{1\mathrm{o}\mathrm{c}}^{2}$ vers $a=\mathrm{H}^{-1}b\in \mathrm{L}_{n,q}^{2}(\mathrm{X};\mathrm{E})$. ANNALES SCIENTIFIQUFS DE L'\'{E}COLE NORMALE SUP\'{E}RIEURE \vspace{1em} 480 J.-P. DEMAILLY Puisque $\mathrm{D}^{ll}a_{\mu}=0$, on a aussi $\mathrm{D}^{\prime\prime}a=0$. II s'ensuit que : \begin{center} $\displaystyle \int_{\mathrm{X}}|a|^{2}d\mathrm{V}=\int_{\mathrm{X}}|b|_{1}^{2}d\mathrm{V}=1^{1}1\mathrm{m}\mu\rightarrow+\infty\backslash \int_{\mathrm{x}}(\mathrm{H}a|\mathrm{H}_{\mu}a_{\mu})_{1}\mathrm{A}=\lim_{\mu\rightarrow+\infty}\int_{\mathrm{x}}(\mathrm{H}_{\mu}a|\mathrm{H}_{\mu}a_{\mu})_{1}d\mathrm{V}$ , \end{center} car d'apres l'inegalite de Cauchy-Schwarz : \begin{center} $|\displaystyle \int_{\mathrm{X}}$ QH $-\mathrm{H}_{\mu}$) $a|\mathrm{H}_{\mu}a_{\mu})_{1}d\mathrm{V}|\leqq||(\mathrm{H}-\mathrm{H}_{\mu})a||_{1}.||a_{\mu}||_{\mathrm{t}^{1}}$, \end{center} ou $||(\mathrm{H}-\mathrm{H}_{\mu})a||_{1}\rightarrow 0$ par convergence dominee. On obtient donc : \begin{center} $\displaystyle \int_{\mathrm{X}}|a|^{2}\mathrm{A}=\lim_{\mu\rightarrow+\infty}\int_{\mathrm{x}}(a|a_{\mu})_{\mu}$ A. \end{center} On remarque que $(a|a_{\mu})_{\mu}=(a|\lambda_{\mu}^{1/2}\chi_{\mathrm{v}}v_{\mu})_{\mu}$, puisque $a\in \mathrm{KerS}_{\mu}$ et $a_{\mu}=\mathrm{P}_{\mu}(\lambda_{\mu}^{1/2}\chi_{\mathrm{v}}v_{\mu})$. De plus : \begin{center} $|\displaystyle \int_{\mathrm{x}}(a|\lambda_{\mu}^{1/2}\chi_{\mathrm{v}}v_{\mu})_{\mu}$ A $|\leqq||v_{\mu}||_{\mu}||\lambda_{\mu}^{1/2}\chi_{\mathrm{v}}a||_{\mu}\leqq||v_{\mu}||_{\mu}||\lambda_{\mu}^{1/2}\chi_{\mathrm{v}}a||$; \end{center} $\chi_{\mathrm{v}}$ est \`{a} support compact, et d'apr\`{e} $\mathrm{s}$ les hypoth\`{e}ses (5. 5), (5. 6) $\lambda_{\mu}$ tend vers 0 presque partout sur $\mathrm{X}$, avec $ 0\leqq\lambda_{\mu}\leqq\lambda$. Grace au theoreme de convergence dominee, on voit que $||\lambda_{\mu}^{1/2}\chi_{\mathrm{v}}a||\rightarrow 0$. On a donc $\displaystyle \int_{\mathrm{X}}|a|^{2}d\mathrm{V}=0$, de sorte que $a=0$ presque partout sur X. $\square $ \begin{center} 6. Theoreme de relevement des sections globales d'un fibre semi-positif par un morphisme surjectif. Theoreme d'extension \end{center} Le theoreme 5.la nous permettre de retrouver directement les resultats de H. Skoda [25] sous des hypoth\`{e}ses un peu plus g\'{e}n\'{e}rales. Soit $g$ : $\mathrm{E}\rightarrow \mathrm{Q}$ un morphisme de flbr\'{e}s vectoriels holomorphes hermitiens de classe $\mathrm{C}^{2}$ au-dessus d'une variete k\"{a}hl\'{e}rienne $(\mathrm{X}, \omega)$ de dimension $n$. On suppose que le morphisme $g$ est surjectif en dehors d'un ensemble analytique $\mathrm{Z}$ rare dans X. On cherche des conditions geometriques simples portant sur les courbures des flbr\'{e}s $\mathrm{E}, \mathrm{Q}$ pour obtenir un theoreme de relevement des sections globales de Q. Pour pouvoir donner un enonce intrinseque, nous serons amenis a introduire la d\'{e}flnition suivante. D\'{E}FINITION 6. 1. -- {\it Soient} $\gamma$ {\it et} $\gamma^{\prime}$ {\it des} $(1, 1)$-{\it formes reelles semi-positives sur l}'{\it espace} {\it tangent} $\mathrm{T}_{z}\mathrm{X}$. {\it On note} $[\gamma^{\prime} : \gamma]$ {\it le plus petit reel} $\lambda\geqq 0$ {\it tel que} $\lambda\gamma-\gamma^{\prime}\geqq 0$ {\it si ce reel existe, et} $[\gamma^{\prime} : \gamma]=+$ co {\it sinon}. Lorsque $\gamma$ est definie positive, $[\gamma^{\prime} : \gamma]$ est la plus grande des valeurs propres de la forme $\gamma^{\prime}$, calculees dans une base $\gamma$-orthonormee. En particulier on voit que $[\gamma^{\prime} : \gamma]\leqq \mathrm{Tr}_{\gamma}\gamma^{\prime},$ o\`{u} $\mathrm{Tr}_{\gamma}\gamma^{\prime}$ $4^{\mathrm{e}}$ S\'{E} $\mathrm{RIE}-$ TOME 15 -- 1982 -- $\mathrm{N}^{\mathrm{O}}3$ \vspace{1em} FIBRES HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 481 est la $\mathrm{trace}$ de $\gamma^{\prime}$ dans une base $\gamma$-orthonormee. On a alors le resultat suivant dans lequel $g^{*}$ : $\mathrm{Q}\rightarrow \mathrm{E}$ d\'{e}signe l'adjoint de $g, g\tilde{g}^{*}$ l'endomorphisme cotranspose de $gg^{*}$, \begin{center} $ic^{\prime}$ (de' $\mathrm{tQ}$) $=\mathrm{i}c$ (d\'{e} $\mathrm{tQ}$) $+\mathrm{i}d^{\prime}d^{ll}{\rm Log}$ (d\'{e} $\mathrm{t}gg^{*}$) $\geqq 0$ \end{center} la forme de courbure du fibre' d\'{e}t $\mathrm{Q}$ lorsque $\mathrm{Q}$ est muni de la metrique quotient [{\it cf}. ligne (6. 13)$]$. TH\'{E}OR\`{E}ME 6.2. -- {\it Soient r le rang de} E, {\it k le rang de} Q, {\it q} un entier tel que {\it O}\leqq{\it q}@{\it n et} $s=\grave{\inf}(n-q, r-k)$. {\it Si} $s\geqq 1$, {\it on suppose que le fibre} $\mathrm{E}$ {\it est} s-semi-positif {\it et que la variete} $\mathrm{X}$ {\it est} k\"{a}hl\'{e}rienne compl\`{e}te. {\it Si le morphisme} $g$ {\it n}'{\it est pas surjectif, on suppose de plus} $\mathrm{X}$ faiblement pseudoconvexe. {\it On se donne sur} $\mathrm{X}$ {\it une fonction} $\varphi$ {\it localement plurisousharmonique} {\it modulo} $\mathscr{C}^{2}(\mathrm{X})$, {\it une} $(1, 1)$-{\it forme reelle} 740ct {\it coefficients} $\mathrm{L}_{1\mathrm{o}\mathrm{c}}^{1}$, {\it un fibre lineaire} $\mathrm{M}$ {\it tels que} (es {\it sens des couran} $ts$) : (6. 1) $\mathrm{i}c(\mathrm{M})+\mathrm{i}d^{\prime}d^{\prime\prime}\varphi-s\mathrm{i}c$ (de' $\mathrm{tQ}$) $\geqq\gamma$. {\it Alors pour toute} $(n, q)$-{\it forme} $\mathrm{D}^{\prime\prime}$-{\it ferm\'{e}e} $f$ {\it \`{a} valeurs dans} $\mathrm{Q}$ OX $\mathrm{M}$ , {\it telle que l}'{\it integrale} : \begin{center} $\displaystyle \mathrm{A}=\int_{\mathrm{x}\backslash \mathrm{z}}$( $1+s[\mathrm{i}c^{\prime}$ (d\'{e} $\mathrm{tQ})$ : $\gamma]$) $(\tilde{gg}^{*}f|f) (\mathrm{d}\text{\'{e}} \mathrm{t}gg^{*})^{-s}e^{-\varphi}d\mathrm{V}$ \end{center} {\it soitfinie, il exis te une} $(n, q)-$.{\it forme} $\mathrm{D}^{\prime\prime}$-{\it ferm\'{e}e} $h$ {\it \`{a} valeurs dans} $\mathrm{E}\otimes \mathrm{M}$ , {\it telle} $quef=g.h$, {\it verifian} $t$ {\it la majora tion} .$\cdot$ \begin{center} $\displaystyle \int_{\mathrm{X}\backslash \mathrm{Z}}|h|^{2} (\mathrm{d}\text{\'{e}} \mathrm{t} gg^{*})^{-s}e^{-}, \mathrm{A}\leqq \mathrm{A}$. \end{center} {\it Remarque} 6.3. -- Le theoreme 6.2 est vrai sous l'hypothese de positivite suivante, plus g\'{e}n\'{e}rale mais moins manipulable : (6. 2) $ic(\mathrm{E})+$( $\mathrm{i}c(\mathrm{M})+\mathrm{i}d^{\prime}d^{\prime\prime}$ {\it cp-isc} (de' $\mathrm{tQ})-\gamma$) $\otimes \mathrm{Id}_{\mathrm{E}}\geqq_{s}0$. {\it Remarque} 6.4. -- Si $\mathrm{Q}$ est de rang 1 on a simplement $\tilde{gg}^{*}=\mathrm{Id}_{\mathrm{Q}}$ et d\'{e}t $gg^{*}=|g|^{2}$ est le rapport de l'homothetie deftnie par $gg^{*}$. {\it Remarque} 6.5. -- Comme dans la remarque 4.5 on verifie que : \begin{center} $|h|^{2}d\mathrm{V}=i^{n^{2}}h\wedge\overline{h}$, $(\tilde{gg}^{*}f|f)$ A $=\iota^{n^{2}}\tilde{gg}^{*}f\wedge\overline{f}$ \[ \backslash \mathrm{L} \] \end{center} pour toute $(n, 0)$-forme $h$ (resp. $f$) a valeurs dans $\mathrm{E}$ (resp. $\mathrm{Q}$). Lorsque $q=0$, les estimations du theoreme 6.2 ne d\'{e}pendent donc pas de la metrique k\"{a}hl\'{e}rienne $\omega$, mais seulement des metriques hermitiennes sur $\mathrm{E}$ et Q. {\it Demonstration}. - Nous renvoyons \`{a} H. Skoda [25] pour un expose detaille des id\'{e}es et des calculs qui vont suivre. ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'\'{E}COLE NORMALE SUP\'{E}RIEURE \vspace{1em} 482 J.-P. DEMAILLY On suppose d'abord que $g$ : $\mathrm{E}\rightarrow \mathrm{Q}$ est {\it surjectif}, et on considere la suite exacte de flbr\'{e}s holomorphes au-dessus de $\mathrm{X}$ : (6. 3) $0\rightarrow \mathrm{N}\rightarrow \mathrm{E}\rightarrow \mathrm{Q}g\rightarrow \mathrm{O}$, ou $\mathrm{N}$ est le fibre' noyau de $g$. Les flbr\'{e}s $\mathrm{N}, \mathrm{Q}$ seront provisoirement munis des metriques induites par celle de E. La connexion hermitienne canonique $\mathrm{D}_{\mathrm{E}}$ de $\mathrm{E}$ se d\'{e}compose suivant le scindage orthogonal $\mathrm{E}=\mathrm{N}\oplus \mathrm{Q}$ de la maniere suivante : \begin{center} $\mathrm{D}_{\mathrm{E}}=\left(\begin{array}{ll} \mathrm{D}_{\mathrm{N}} & -\beta^{*}\\ \beta & \mathrm{D}_{\mathrm{Q}} \end{array}\right)$ , \end{center} ou $\mathrm{D}_{\mathrm{N}}$ et $\mathrm{D}_{\mathrm{Q}}$ sont les connexions hermitiennes sur $\mathrm{N}$ et $\mathrm{Q}$, ou $\beta\in \mathscr{C}_{1,0}^{\infty}(\mathrm{X}, \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{N}, \mathrm{Q}))$, et ou $\beta^{*}\in \mathscr{C}_{0,1}^{\infty}(\mathrm{X}, \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{Q}, \mathrm{N}))$ est l'adjoint de $\beta$. II est classique que la forme $\mathrm{D}^{\prime\prime}$-fermee $-\beta^{*}$ represente l'obstruction au scindage holomorphe de la suite exacte (6.3). Considerons la suite exacte (6.3) tensorisee par $\mathrm{M}$ : \begin{center} (6.4) $0\rightarrow \mathrm{N}\otimes \mathrm{M}\rightarrow \mathrm{E}\otimes \mathrm{M}\rightarrow \mathrm{Q}\otimes \mathrm{M}g\rightarrow \mathrm{O}$. \end{center} ' Le theoreme 6.2 est trivial si $s=0$. Si $s\geqq 1$, on cherche un relevement $h$ de la section $f\in \mathrm{L}_{n,q}^{2}(\mathrm{X};\mathrm{Q}\otimes \mathrm{M};\varphi)$ en ecrivant : \[ h=f+u \] ou $u$ est une $(n, q)$-forme a valeurs dans le fibre' noyau $\mathrm{N}\otimes \mathrm{M}.h$ sera une forme $\mathrm{D}^{\prime\prime}$-fermee si et seulement si : (6. 5) $\mathrm{D}_{\mathrm{N}}^{\prime\prime}u=-\mathrm{D}_{\mathrm{E}}^{ll}f=\beta^{*}f$. On est donc ramene a resoudre un $\mathrm{D}^{ll}$ a valeurs dans $\mathrm{N}\otimes$ M. La r\'{e}solution est possible grice au theoreme 5.1et grace au fait que la forme de courbure $c(\mathrm{N})$ du fibre' noyau s'exprime a l'aide de $\beta^{*}$. Un calcul classique montre que : \begin{center} $c(\mathrm{E})=\mathrm{D}_{\mathrm{E}}^{2}=\left(\begin{array}{ll} \mathrm{D}_{\mathrm{N}}^{2}-\beta^{*}\wedge\beta & -\mathrm{D}\beta^{*}\\ \mathrm{D}\beta & \mathrm{D}_{\mathrm{Q}}^{2}-\beta\wedge\beta^{*} \end{array}\right)$. \end{center} On en deduit les courbures de $\mathrm{N}$ et $\mathrm{Q}$ : \begin{center} (6.6) $ c(\mathrm{N})=c(\mathrm{E})_{|\mathrm{N}}+\beta^{*}\wedge\beta$, (6.7) $c(\mathrm{Q})=c(\mathrm{E})_{1\mathrm{Q}}+\beta\wedge\beta^{*}$. \end{center} L'id\'{e}e du lemme 6.6 ci-dessous est deja essentiellement contenue dans [22]. Le corollaire 2.4 nous permettra d'obtenir un enonce plus g\'{e}n\'{e}ral et une d\'{e}monstration plus courte. 4' s\'{E}RIE -- TOME 15 -- 1982 -- $\mathrm{N}^{\mathrm{o}}3$ \vspace{1em} FIBR\'{E}S HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 483 LEMME 6.6. -- {\it On a les inegalites de semi-positivite} : (6. 8) $\mathrm{i}\beta\wedge\beta^{*}\geqq_{1}0,\ \mathrm{i}\beta^{*}\wedge\beta\leqq_{1}0$; (6.9) $-\mathrm{i}\beta'\wedge\beta\leqq_{s}s\mathrm{T}\mathrm{r}_{\mathrm{Q}}(\mathrm{i}\beta\wedge\beta^{*})\otimes \mathrm{I}\mathrm{d}_{\mathrm{N}}$; {\it et sous} $l' hypot/l(se\mathrm{E}\geqq_{s}0$ : (6. 10) $\mathrm{i}c$ (d\'{e}t $\mathrm{Q}$) $\geqq \mathrm{Tr}_{\mathrm{Q}}(\mathrm{i}\beta\wedge\beta^{*})$; (6. 11) $ic(\mathrm{N})\geqq_{s}\mathrm{i}c(\mathrm{E})_{|\mathrm{N}}-sic$ (d\'{e}t $\mathrm{Q}$) $\otimes \mathrm{Id}_{\aleph}\geqq_{s}-sic$ (de' $\mathrm{tQ}$) $\mathrm{OX} \mathrm{Id}_{\mathrm{N}}$. {\it Demonstration}. -- Pour obtenir (6. 8), it suffit d'observer que quels que soient les elements $t\in \mathrm{TX}, e\in \mathrm{Q}$ (resp. $e\in \mathrm{N}$) on a: \begin{center} ( $ i\beta\wedge\beta$'( $t$, {\it it}). $e|e$) $=(\beta(t)\beta(t)^{*}.e|e)=|\beta(t)^{*}.e|^{2}$ \end{center} [resp. ( $\mathrm{i}\beta^{*}\wedge\beta$ ( $t$, {\it it}). $e|e)=(-\beta(t)^{*}\beta(t).e|e)=-|\beta(t).e|^{2}$]. (6.9) resulte de (6.8) et de l'egalite $\mathrm{Tr}_{\mathrm{N}}(-\mathrm{i}\beta^{*}\wedge\beta)=\mathrm{T}\mathrm{r}_{\mathrm{Q}}(\mathrm{i}\beta\wedge\beta^{*})$, en appliquant le corolLtirc 2.4 a la forme $\Theta=-i\beta^{*}\wedge\beta$. Lorsque $\mathrm{E}\geqq_{s}0$, on a en particulier $\mathrm{E}\geqq 10$, et (6.7) implique : \begin{center} $\mathrm{i}c$ (d\'{e}t $\mathrm{Q}$) $=\mathrm{Tr}_{\mathrm{Q}}(\mathrm{i}c(\mathrm{E})_{1\mathrm{Q}})+\mathrm{T}\mathrm{r}_{\mathrm{Q}}(\mathrm{i}\beta\wedge\beta^{*})\geqq \mathrm{T}\mathrm{r}_{\mathrm{Q}}(\mathrm{i}\beta\wedge\beta')$, \end{center} d'ou (6. 10). Enfin (6. 11) est cons\'{e}quence immidiate de (6.6), (6.9) et (6. 10). $\square $ Nous admettrons d'autre part le resultat elementaire suivant : LEMME 6.7 ({\it cf}. H. Skoda [25], lemmes (3.2) et (3.4)). -- {\it Pour toute} $(n, q+1)$-{\it forme} $v$ {\it \`{a}} {\it valeurs dans} $\mathrm{M}\otimes \mathrm{N}$ , {\it on} $a$: \begin{center} $(\mathrm{i}\beta^{*}\wedge\beta\Lambda v|v)=-|\beta\lrcorner v|^{2}$. \end{center} Conform\'{e}ment aux notations introduites au d\'{e}but du paragraphe 5 posons : \begin{center} $c(\mathrm{N}\otimes \mathrm{M}, \varphi)=c(\mathrm{N}\otimes \mathrm{M})+(d^{\prime}d^{\prime\prime}\varphi)_{c}$. \end{center} LEMME 6.8. -- {\it Sous les hypo theses de semi-positivite} (6. 1) {\it ou} (6.2) {\it la} ({\it n},$ q+1)$-{\it forme} $\beta^{*}f$ {\it verifte la majora tion} : \begin{center} $|\mathrm{a}*f|_{c(\mathrm{N}\otimes \mathrm{M},\varphi)}^{2}\leqq s$[ $\mathrm{i}c$ (d\'{e}t Q) : $\gamma$] $|f|^{2}$. \end{center} {\it D\'{e}mon}`\backslash {\it lration}. -- Pour toute ( $n, q+$ I )-forme $v$ a valeurs dans Ies fibres de $\mathrm{N}\otimes \mathrm{M}$, on a: \begin{center} $|(\beta^{*}f|\iota^{7})|^{2}=|(f|\beta\lrcorner u)|^{2}\leqq|f|^{2}|\beta\lrcorner_{\mathrm{t})}|^{2}$. \end{center} Les hypoth\`{e}ses (6. 1) ou (6.2) et les lemmes 2.5, 6.6 (6. 11) impliquent : \begin{center} $\mathrm{i}c(\mathrm{N}\otimes \mathrm{M}, \varphi)\geqq_{s}\gamma\otimes \mathrm{I}\mathrm{d}_{\mathrm{N}\otimes \mathrm{M}}$. \end{center} ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'\'{E}COLE NORMALE SUP\'{E}RIEURE \vspace{1em} 484 J.-P. DEMAILLY D'autre part le lemme 6.6 (6.9), (6. 10) et la deftnition 6.1 montrent oue : \begin{center} $-\mathrm{i}\beta'\wedge\beta\leqq_{s}s\mathrm{i}c$ (de' $\mathrm{tQ}$) $\otimes \mathrm{Id}_{\mathrm{N}}\leqq_{s}s$[ $ic$ (de' $\mathrm{tQ})$ : $\gamma$] $\gamma$ OX $\mathrm{Id}_{\mathrm{N}}$. \end{center} Puisque $s=\displaystyle \inf(n-q, r-k)$ et que $\mathrm{N}\otimes \mathrm{M}$ est de rang $r-k$, on en conclut : \begin{center} $(-\mathrm{i}\beta^{*}\wedge\beta)\otimes \mathrm{I}\mathrm{d}_{\mathrm{M}}\leqq_{n-q}s$[ $\mathrm{i}c$ (de' $\mathrm{tQ})$ : $\gamma$] $\mathrm{i}c(\mathrm{N}\otimes \mathrm{M}, \varphi)$. \end{center} Un combinant les lemmes 6.7 et 2.1 on voit que : \begin{center} $|\beta\lrcorner v|^{2}=(-\mathrm{i}\beta'\wedge\beta\Lambda v|v)\leqq s$[ $\mathrm{i}c$ (de' $\mathrm{tQ})$ : $\gamma$] $(\mathrm{i}c(\mathrm{N}\otimes \mathrm{M}, \varphi)$ At $|v$). \end{center} Le lemme 6.8 r\'{e}sulte par d\'{e}flnition de l'inegalite : \begin{center} $|(\beta' f|v)|^{2}\leqq s$[ $\mathrm{i}c$ (de' $\mathrm{tQ})$ : $\gamma$] $(ic(\mathrm{N}\otimes \mathrm{M}, \varphi)$ A $v|v$) $|f|^{2}.\ \square $ \end{center} Revenons maintenant a la d\'{e}monstration du theoreme principal 6.2. Grace au theoreme 5.1 l'equation (6.5) admet une solution $u\in \mathrm{L}_{n,q}^{2}(\mathrm{X};\mathrm{N}\otimes \mathrm{M};\varphi)$ telle que : \begin{center} $\displaystyle \int_{\mathrm{X}}|u|^{2}e^{-\varphi}\mathrm{A}\leqq\int_{\mathrm{x}}s$[ $\mathrm{i}c$ (d\'{e}t Q) : $\gamma$] $|f|^{2}e^{-\varphi}d\mathrm{V}$, \end{center} pourvu que le second membre soit fini. Puisque $h$ est somme orthogonale $\mathrm{de}f$ et $u$, on a bien $f=g.h$ et : (6. 12) $\displaystyle \int_{\mathrm{X}}|h|^{2}e^{-\varphi}d\mathrm{V}\leqq\int_{\mathrm{x}}$( $1+s[\mathrm{i}c$ (d\'{e} $\mathrm{tQ})$ : $\gamma]$) $|f|^{2}e^{-\varphi}d\mathrm{V}$. Pour pouvoir traiter le cas ou le morphisme $g$ degenere, nous allons maintenant demontrer des estimations faisant intervenir la metrique donnee {\it a priori} sur $\mathrm{Q},$ Plut\^{o} $\mathrm{t}$ que la m\'{e}trique quotient. On raisonne comme dans [25]. Le morphisme $g^{*}(gg^{*})^{-1}$ : $\mathrm{Q}\rightarrow \mathrm{E}$ r\'{e}alise le scindage orthogonal de la suite exacte (6.3). La metrique quotient $| |^{\prime}$ sur $\mathrm{Q}$ s'exprime donc en fonction de la metrique initiate $| |$ par : \begin{center} $|f|^{\prime 2}=|g^{*}(gg^{*})^{-1}f|^{2}=((gg^{*})^{-1}f|f)=\displaystyle \frac{(g\tilde{g}^{*},f1f)}{\det(gg^{*})}$, \end{center} o\`{u} $\tilde{g}g^{*}$ est l'endomorphisme cotranspose de $gg^{*}$. Les metriques correspondantes sur d\'{e}t $\mathrm{Q}$ sont reliees par : \begin{center} $|v|^{l2}=\displaystyle \frac{|v|^{2}}{\mathrm{d}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}(gg^{*})}$, v\in d\'{e}t $\mathrm{Q}$; \end{center} si $c^{\prime}$ (d\'{e}t Q) d\'{e}signe la forme de courbure de d\'{e}t $\mathrm{Q}$ relativement a la metrique quotient, on a donc : (6. 13) $c^{\prime}$ (de' $\mathrm{tQ}$) $=c$ (de' $\mathrm{tQ}$) $+d^{\prime}d^{\prime\prime}{\rm Log}$ de' $\mathrm{t}(gg^{*})$. $4^{\mathrm{e}}$ s\'{E}RIE -- TOME 15 -- 1982 -- $\mathrm{N}^{\mathrm{o}}3$ \vspace{1em} FIBR\'{E}S HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 485 La condition (6. 1) imposee a la m\'{e}trique de $\mathrm{M}$ devient donc : (6. 14) $\mathrm{i}c(\mathrm{M})+\mathrm{i}d^{\prime}d^{\prime\prime}\varphi-s\mathrm{i}c$ (de' $\mathrm{tQ}$) $-s\mathrm{i}d^{\prime}d^{\prime\prime}{\rm Log}$ de' $\mathrm{t}(gg^{*})\geqq\gamma$. En $\mathrm{rempla}9\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\varphi$ par $\varphi+s{\rm Log}$ dit $(gg^{*}), (6.14)$ se reduit a la condition (6. 1), tandis que l'estimation (6. 12) devient : $\displaystyle \int_{\mathrm{X}}|h|^{2} (\displaystyle \mathrm{d}\text{\'{e}} \mathrm{t}gg^{*})^{-s}e^{-\varphi}d\mathrm{V}\leqq\int_{\mathrm{X}}(1+s[\mathrm{i}c^{\prime}(\mathrm{d}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}\mathrm{Q})- : \gamma])|f|^{\prime 2} (\mathrm{d}\text{\'{e}} \mathrm{t}gg^{*})^{-s}e^{-\varphi}d\mathrm{V}$ $=\displaystyle \int_{\mathrm{X}}$( $1+s[ic^{\prime}$ (d\'{e} $\mathrm{tQ})$ : $\gamma]$) $(\overline{gg}^{*}f|f) (\mathrm{d}\text{\'{e}} \mathrm{g}gg^{*})^{-s-1}e^{-\varphi}d\mathrm{V}$. On suppose maintenant que l'ensemble $\mathrm{Z}$ des points $z\in \mathrm{X}$ en lesquels $g$ est non surjectif n'est pas vide. Soit $\varphi$ une fonction d'exhaustion p.s.h. sur $\mathrm{X}$ et pour tout $c$, $\mathrm{X}(c)=\{z\in \mathrm{X};\varphi(z)0$, {\it unefonction} $\varphi$ {\it localemen} $t$ {\it plurisousharmonique modulo} $\mathscr{C}^{2}(\mathrm{X})$, {\it un fibre linsaire} $\mathrm{M}$ {\it sur} $\mathrm{X}$ {\it tels que} : \begin{center} $\mathrm{i}c(\mathrm{M})+id^{\prime}d^{\prime\prime}\varphi-(s+\epsilon)$ ic(d\'{e}t $\mathrm{Q}$) $\geqq 0$. \end{center} {\it Alors pour toute} $(n, q)$-{\it forme} $\mathrm{D}^{\prime\prime}$-{\it ferm\'{e}e} $f$ {\it \`{a} valeurs dans} $\mathrm{Q}\otimes \mathrm{M}$, {\it telle que l}'{\it integrale} : \begin{center} $\displaystyle \mathrm{A}=\int_{\mathrm{x}\backslash \mathrm{z}}(\tilde{gg}^{*}g|f) (\mathrm{d}\text{\'{e}} \mathrm{t} gg^{*})^{-s-1-\epsilon}e^{-\varphi}d\mathrm{V}$ \end{center} {\it soit finie, il existe une} $(n, q)$-{\it forme} $\mathrm{D}^{\prime\prime}$ {\it fermee} $h$ {\it \`{a} valeurs dans} $\mathrm{E}\otimes \mathrm{M}$, {\it telle que} $f=g.h$, {\it v\'{e}rifian} $t$ {\it l}'{\it es tima tion} : \begin{center} $\displaystyle \int_{\mathrm{x}\backslash \mathrm{Z}}|h|^{2} (\displaystyle \mathrm{d}\text{\'{e}} \mathrm{t} gg^{*})^{-s-\epsilon}e^{-\varphi}d\mathrm{V}\leqq(1+\frac{s}{\epsilon})$ A. \end{center} Chronologiquement, le theoreme 6.2 et le corollaire 6.11 ont trouve leur origine dans l'etude des ideaux des algebres de fonctions holomorphes avec poids. Les articles initiaux de L. H\"{o}rmander [15] et de J. J. Kelleher-B. A. Taylor [17] utilisaient le double complexe de $4^{\mathrm{e}}$ s\'{E}RIE -- TOME 15 -- 1982 -- $\mathrm{N}^{\mathrm{o}}3$ \vspace{1em} FIBRFS HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 487 Koszul. H. Skoda [22], [23] a montre ensuite comment on pouvait obtenir des resultats optimaux en adaptant convenablement la methode d'analyse fonctionnelle de L. H\"{o}rmander. Les theoremes enonces alors correspondaient au cas tr\`{e} $\mathrm{s}$ particulier ou $\mathrm{E}, \mathrm{Q}$ sont des flbr\'{e}s triviaux au-dessus d'un ouvert pseudoconvexe de $\mathbb{C}^{n}$ (et au cas $q=0$ des {\it n}- formes holomorphes, $\mathrm{i}.\mathrm{e}$. des fonctions holomorphes). J. Brianqon et H. Skoda [3], [4] ont deduit de ces resultats certaines propri\'{e}t\'{e}s fines d'algebre locale, prouvant ainsi que les theoremes en question sont deja localemerrt non triviaux. Enfin, H. Skoda [24], [25] et [26] a etudie les morphismes surjectifs de fibre' $\mathrm{s}$ semi-positifs dans une situation generale qui a ete essentiellement reproduite 1C1. K. Diederich et P. Pflug [8] ont ricemment demontre le corollaire 6.11 dans le cas particulier ou $g$ est un morphisme surjectif de flbr\'{e}s triviaux au-dessus d'un domaiic k\"{a}hl\'{e}rien complet $\Omega\subset \mathbb{C}^{n}$. Ce r\'{e}sultat est un outil tr\`{e} $\mathrm{s}$ utile pour etudier la structure de tels domaines ({\it cf}. [8], [10]). COROLLAIRE 6.12. -- {\it Soit} $\Omega$ {\it un ouvert k\"{a}hl\'{e}rien complet de} $\mathbb{C}^{n}$ {\it tel que} $\displaystyle \frac{\mathrm{o}}{\Omega}=\Omega$. {\it Alors} $\Omega$ {\it est un} {\it ouvert d}'{\it holomorphie}. On notera que le corollaire 6.12 est faux si on retire l'hypothese $\displaystyle \frac{\mathrm{o}}{\Omega}=\Omega$, comme le montre la proposition 1.6. {\it Demonstration}. -- Soit $a=(a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n})\not\in\overline{\Omega}$. On considere le morphisme surjectif $g$ : $\Omega\times \mathbb{C}^{n}\rightarrow\Omega\times \mathbb{C}$ de flbr\'{e}s triviaux defini par $g_{z}(\displaystyle \zeta)=\sum_{j=1}^{n}(z_{j}-a_{j})\zeta_{j}, (z, \zeta)\in\Omega\times \mathbb{C}^{n}$. Le corollaire 6.11, avec $\varphi(z)=(n+1){\rm Log}(1+|\mathrm{z}|^{2})$, implique l'existence de fonctions holomorphes $h_{1}, h_{2}$, . . ., $h_{n}$ sur $\Omega$ telles que : \begin{center} $\displaystyle \sum_{j=1}^{n}(z_{j}-a_{j})h_{j}(z)=1$. \end{center} L'une des fonctions $h_{j}$ ne se prolonge donc a aucun voisinage du point $a.$ L'hypoth\`{e}s e$=\Omega$ equivaut a dire que les frontieres des ensembles $\Omega$ et $\overline{\Omega}$ co.incident. II en resulte par d\'{e}flnition que $\Omega$ est un ouvert d'holomorphie. $\square $ On considere maintenant le probleme de l'extension des fonctions holomorphes definies sur une sous-vari\'{e}t\'{e} fermee. Comme dans notre article pr\'{e}c\'{e}dent [5], nous envisageons aussi le prolongement de sections a valeurs dans un fibre' holomorphe (avec hypothese de semi- positivite), generalisant ainsi les resultats de B. Jennane [16]. Le point de vue adopte a permis d'obtenir un enonce plus geometrique et plus precis. Le lecteur trouvera des resultats connexes, avec application \`{a} l'analyse harmonique, dans l'article de C. A. Berenstein et B. A. Taylor [1]. Soit $\mathrm{Y}$ une sous-vari\'{e}t\'{e} fermee de X. On suppose que $\mathrm{Y}$ est le lieu des zeros d'une section $0$ d'un fibre hermitien $\mathrm{S}$ de rang $s$ et de classe $\mathrm{C}^{2}$ au-dessus de X. Soit d'autre part $\mathrm{E}$ un fibre hermitien de classe $\mathrm{C}^{2}$ et $f$ une section holomorphe de $\mathrm{E}$ au- dessus de Y. Alors, si l'extension est possible sur un voisinage convenable de $\mathrm{Y}$ et si $\mathrm{E}$ v\'{e}rifle ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'\'{E}COLE NORMALE SUP\'{E}RIEURE \vspace{1em} 488 J.-P. DEMAILLY certaines $\mathrm{hypoth}\acute{\grave{\mathrm{e}}}$ ses de positivite, il existe une section holomorphe $\mathrm{F}$ de $\mathrm{E} \mathrm{au}\cdot \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{s}$ de $\mathrm{X}$ qui prolonge $f$. On supposera ici que $\mathrm{X}$ est une vari\'{e}t\'{e} {\it k\"{a}hl\'{e}rienne compl\`{e}te}. $\mathrm{T}_{\mathrm{H}\acute{\mathrm{E}}\mathrm{O}\mathrm{R}\grave{\mathrm{E}}\mathrm{M}\mathrm{E}}6.13$. -- {\it On se donne des reels} $\epsilon>0, k>0$ {\it tels que la fonction} $|\sigma|^{-2k}$ {\it sort non} {\it sommable au voisinage de tout point de} Y. {\it On fait l}'{\it hypothese de semi-positivite}' {\it suivante} : (6 . 15) $ic(\displaystyle \mathrm{E})\geqq_{n}(\epsilon\frac{(ic(\mathrm{S})0|\sigma)}{1+|\sigma|^{2}}+k\frac{(\mathrm{i}\mathrm{c}(\mathrm{S})\mathit{0}|\sigma)}{|\sigma|^{2}})\otimes \mathrm{I}\mathrm{d}_{\mathrm{E}}$ ({\it au sens de Nakano}). {\it Soient} $\varphi, \psi$ {\it deux fonctions ilurisousharmoniques sur} $\mathrm{X}$ {\it et} $f$ {\it une section} {\it holomorphe de} $\mathrm{E}$ {\it au-dessus de l}'{\it ouvert} $\mathrm{U}=\{z\in \mathrm{X};|\sigma|^{2}0$, {\it il existe une jonction holomorphe} $\mathrm{F}$ {\it sur} $\Omega$ {\it telle que} $\mathrm{F}(z_{0})=1$ {\it et} . \begin{center} $\displaystyle \int_{\Omega}\frac{|\mathrm{F}|^{2}e^{-\varphi}}{(1+|z|^{2})^{n+\epsilon}}d\mathrm{V}<+\infty$. 7. Theoreme d'annulation pour la cohomologie a valeur dans un fibre' positif de rang quelconque \end{center} Nous allons traduire les theoremes d'existence obtenus dans les paragraphes pr\'{e}c\'{e}dents en des theoremes d'annulation de la cohomologie. On suppose desormais que $\mathrm{X}$ est une vari\'{e}t\'{e} (k\"{a}hl\'{e}rienne) {\it faiblement pseudoconvexe}, c'est-\`{a}-dire qu'il existe une fonction plurisousdan- monique et exhaustive sur X. $\mathrm{E}$ designera un fibre' hermitien de classe $\mathrm{C}^{2}$ et $\mathrm{K}=\Lambda^{n}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}$ le fibre' canonique des $n$-formes holomorphes sur X. Le theoreme suivant generalise un resultat classique de S. Nakano [20]. TH\'{E}OR\`{E}ME 7. 1. -- {\it Soit} $\mathrm{E}>_{s}0$ {\it unfibre} $s$-{\it positif au-dessus de} X. {\it Alors} $\mathrm{H}^{q}(\mathrm{X};\mathrm{K}\otimes \mathrm{E})=0$ {\it pour} $q\geqq \mathrm{Sup} (1, n-s+1)$. {\it Demonstration}. -- D'apres l'isomorphisme de Dolbeault, le groupe $\backslash \mathrm{H}^{q}(\mathrm{X};\mathrm{K}\otimes \mathrm{E})$ est isomorphe au groupe de $\mathrm{D}^{ll}$-cohomologie des $(n, q)$-formes a valeurs dans E. Soit $g$ une $(n, q)$-forme fermee a valeurs dans $\mathrm{E}$ et a coefficients $\mathrm{L}_{1\mathrm{o}\mathrm{c}}^{2}$, avec $n-q+1\leqq s$. L'existence d'une solution $\mathrm{L}_{1\mathrm{o}\mathrm{c}}^{2}$ \`{a} l'\'{e}quation $\mathrm{D}^{\prime\prime}f=g$ r\'{e}sulte du th\'{e}or\`{e}me 5. I (on remplace $\varphi$ par $\mathrm{P}^{\circ}\varphi$ ou $\mathrm{p}$ est une fonction convexe croissante choisie de telle maniere que l'integrale $\displaystyle \int_{\mathrm{X}}|g|_{c(\mathrm{E})}^{2}e^{-\mathrm{p}\mathrm{o}}$ , $d\mathrm{V}$ converge). El Le$\cdot$ theoreme 2.6 (2. 1) permet d'en deduire : COROLLAIRE 7.2(P. Griffiths [12]). -- {\it Si} $\mathrm{E}>10$ {\it est un fibre positif au sens de Griffi}. $ths$, {\it on} $a$ : \begin{center} $\mathrm{H}^{q}$( $\mathrm{X};$ K\otimes E\otimes d\'{e}t $\mathrm{E}$) $=0$ {\it pour tour} $q\geqq 1$. \end{center} ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'\'{E}COLE NORMALE SUPERIEURE \vspace{1em} 490 J.-P. DEMAILLY {\it Si} $\mathrm{E}$ {\it est seulement semi-positif au sens de Griffi} $ths$, {\it on} $a$ : \begin{center} $\mathrm{H}^{q}$( $\mathrm{X};$ K\otimes E\otimes d\'{e} $\mathrm{tE}\otimes \mathrm{M}$) $=0$ \end{center} {\it pour tout} $q\geqq 1$ {\it et tout fibre en droites} $\mathrm{M}>0$. Le theoreme 2.6 (2.2) et (2.3) entraine d'autre part le : COROLLAIRE 7.3. -- {\it Soit} $\mathrm{E}>_{1}0$ {\it un fibre hermitien de rang} $r$, {\it positif au sens de} $Griff\dot{i}ths$. {\it Si} $rs>1$, {\it on} $a$ {\it alors} : \begin{center} $\mathrm{H}^{q}$( $\mathrm{X};\mathrm{K}\otimes \mathrm{E}^{*}$ \otimes(d\'{e}t $\mathrm{E})^{s}$) $=0$ \end{center} {\it dans les deux cas suivants} : (7. 1) $q\displaystyle \geqq\sup(1, n-s+1)$; (7.2) $q\geqq 1$ et $s\geqq r$. {\it Si} $\mathrm{E}$ {\it est seulement semi-positif au sens de Griffiths, chacune des hypoth\`{e}ses} (7 . 1 ) {\it ou} (7.2) {\it entraine} : \begin{center} $\mathrm{H}^{q}$( $\mathrm{X};\mathrm{K}\otimes \mathrm{E}^{*}$ \otimes(d\'{e}t $\mathrm{E})^{s}\otimes \mathrm{M}$) $=0$ \end{center} {\it pour tout fibre}' {\it en droites} $\mathrm{M}>0$. Le resultat (7. 1) est nouveau \`{a} notre connaissance. La partie (7.2) resulte aussi du theoreme de Grifhths applique au fibre' $\Lambda^{r-1}\mathrm{E}\simeq \mathrm{E}^{*}$ \otimes d\'{e}t E. Examinons maintenant dans ce contexte les resultats du paragraphe 6. Soit : \begin{center} (7.3) $0\rightarrow \mathrm{N}\rightarrow \mathrm{E}\rightarrow \mathrm{Q}g\rightarrow 0$ \end{center} une suite exacte de flbr\'{e}s vectoriels holomorphes au-dessus de X. $\mathrm{E}$ etant suppose' hermitien, on munit $\mathrm{N}$ et $\mathrm{Q}$ des metriques hermitiennes induites par celle de E. Le theoreme 6.2 peut se traduire en un theoreme d'annulation, avec hypothese de positivite stricte. Soient $r$ le rang de $\mathrm{E}, k$ le rang de $\mathrm{Q}, q$ un entier tel que $0\leqq q\leqq n$, et $s=$ inf $(n-q, r-k)$. On se donne d'autre part un fibre' lineaire hermitien $\mathrm{M}$ sur $\mathrm{X}$, et on designe par $\mathrm{L}$ le fibre' en droites K\otimes $(\mathrm{d}\text{\'{e}} \mathrm{t} \mathrm{Q})^{s}$ OX M. Considerons la suite exacte longue de cohomologie associee a la suite exacte (7.3), apres tensorisation par $\mathrm{L}$ : \begin{center} . . . $\mathrm{H}^{l}(\mathrm{X};\mathrm{N}\otimes \mathrm{L})\rightarrow \mathrm{H}^{l}(\mathrm{X};\mathrm{E}\otimes \mathrm{L})\rightarrow \mathrm{H}^{l}(\mathrm{X};\mathrm{Q}g\otimes \mathrm{L})\rightarrow \mathrm{H}^{l+1}\delta(\mathrm{X};\mathrm{N}\otimes \mathrm{L})\ldots$ \end{center} Nous demontrons le theoreme suivant : TH\'{E}OR\`{E} $\mathrm{ME}7$ .4. -- {\it Supposons} $\mathrm{E}\geqq_{s}0, \mathrm{M}\geqq 0$, {\it l}'{\it une de ces inegalites extant stricte. Alors pour} {\it tout entier} $l\geqq q$, {\it on a} $\mathrm{H}^{1+1}(\mathrm{X};\mathrm{N}\otimes \mathrm{L})=0$, {\it donc le morphisme} : \begin{center} $g$ : $\mathrm{H}^{l}(\mathrm{X};\mathrm{E}\otimes \mathrm{L})\rightarrow \mathrm{H}^{l}(\mathrm{X};\mathrm{Q}\otimes \mathrm{L})$ \end{center} {\it est} $su'.iec\cdot tif$. 4' $\mathrm{SF}$ RIE TOME 15982 -- $\mathrm{N}^{\mathrm{o}}3$ \vspace{1em} $\mathrm{FIBR}\acute{\mathrm{F}}\mathrm{S}$ not OMOR PR I S St $\mathrm{M}1- \mathrm{I}^{)}()\mathrm{S}1\mathrm{T}\mathrm{I}\mathrm{F}\mathrm{S}$ 491 {\it Demonstration}. -- Le lemme 6.6(6. 11 )implique N\otimes $(\mathrm{d}\text{\'{e}} \mathrm{t} \mathrm{Q})^{s}\otimes \mathrm{M}>_{n-q}0$ (car le rang de N\otimes $(\mathrm{d}\text{\'{e}} \mathrm{t} \mathrm{Q})^{s}\otimes \mathrm{M}$ est $r-k$). Le th\'{e}or\`{e}me 7.4 est donc consequence du theoreme 7.1. $\square $ On a d'autre part un theoreme d'annulation partielle pour l'image du morphisme cobord 6 moyennant une hypothese de semi-positivite convenable sur M. TH\'{E}OR\`{E}ME 7. 5. -- {\it On suppose qu}'{\it il existe une fonction} $\epsilon>0$ {\it continue sur} $\mathrm{X}$ {\it telle que} $\mathrm{i}c(\mathrm{M})\geqq\epsilon j_{()}$ (d\'{e}t $\mathrm{Q}$), $\mathrm{E}$ {\it etant touiours s-semi-positif}. {\it Alors le morphisme cobord 6} : $\mathrm{H}^{\iota}(\mathrm{X};\mathrm{Q}\otimes \mathrm{L})\rightarrow \mathrm{H}^{l+1}(\mathrm{X};\mathrm{N}\otimes \mathrm{L})$ {\it est nul pour} $l\geqq q$, {\it c}'{\it est-ct}- {\it dire que le morphisme} : \begin{center} $g$ : $\mathrm{H}^{l}(\mathrm{X};\mathrm{E}\otimes \mathrm{L})\rightarrow \mathrm{H}^{l}(\mathrm{X};\mathrm{Q}\otimes \mathrm{L})$ \end{center} {\it es} $t$ {\it surjec tif}. {\it D\'{e}monstration}. --Cons\'{e}quence imme'diate du theoreme 6.2, en choisissant $\varphi$ pour faire converger les integrales. $\square $ Pour $q=0$, les theoremes 7.4 et 7.5 sont dus a H. Skoda [25]. Le cas $q=l=0$ est particulierement interessant puisqu'on obtient alors un theoreme de relevement pour les sections holomorphes du fibre' $\mathrm{Q}\otimes$ L. Ces resultats sont a rapprocher du theoreme de Le Potier [19] : si $\mathrm{E}$ est un fibre' de rang $r$ au- dessus d'une vari\'{e}t\'{e} compacte $\mathrm{X}$, et si $\mathrm{E}$ est positif au sens de Griffiths, alors : \begin{center} $\mathrm{H}^{p,q}(\mathrm{X};\mathrm{E})=\mathrm{H}^{q}(\mathrm{X};\Lambda^{p}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes \mathrm{E})=0$ pour $p+q\geqq n+r$. \end{center} Ce theoreme semble toutefois malaise a demontrer par un usage direct de l'identite de Kodaira lorsque $r>1$. \begin{center} 8. Regularisation des fonctions plurisousharmoniques sur une vari\'{e}t\'{e} k\"{a}hl\'{e}rienne \end{center} Soit $(\mathrm{X}, $(0) une vari\'{e}t\'{e} k\"{a}hl\'{e}rienne, $\varphi$ une fonction mesurable sur X. On suppose que $\varphi$ est, au voisinage de tout point $z\in \mathrm{X}$, somme d'une fonction de classe $\mathrm{C}^{2}$ et d'une fonction plurisousharmonique. La d\'{e}composition de Lebesgue de $\mathrm{i}d^{\prime}d^{\prime\prime}\varphi$ est donc de la forme : \begin{center} $\mathrm{i}d^{\prime}d^{\prime\prime}\varphi=(\mathrm{i}d^{\prime}d^{\prime\prime}\varphi)_{s}+(\mathrm{i}d^{\prime}d^{\prime\prime}\varphi)_{c}$, \end{center} ou la partie singuliere $(id^{\prime}d^{\prime\prime}\varphi)_{s}$ est un courant positif, et ou la partie absolument continue $(\mathrm{i}d^{\prime}d^{\prime\prime}\varphi)_{c}$ est minoree par une $(1, 1)$-forme reelle {\it continue}. Le premier procede de regularisation qui vient a l'esprit est le suivant :on se ramene dans une carte locale en tronquant $\varphi$ a l'aide d'une partition de l'unite, puts on approxime par convolution avec les noyaux standards. Cette m\'{e}thode ne donne pas de bons resultats, car elle ne respecte pas les symetries du probleme. C'est pourquoi nous serons amen\'{e} $\mathrm{s}$ a travaillre plut\^{o} $\mathrm{t}$ avec un noyau $\langle\langle$ symetrique $\rangle\rangle$ vis-\`{a}-vis de la metrique k\"{a}hl\'{e}rienne $\mathrm{o}0$. R. Greene et H. Wu [11] ont deja utilise des techniques semblables pour demontrer des the'or\`{e}mes d'approximation de fonctions convexes, de fonctions plurisousharmoniques {\it continues}, etc., ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'\'{E}COLE NORMALE SUP\'{E}RIEURE \vspace{1em} 492 J.-P. DEMAILLY sur les varietes riemanniennes. La non-continuite de la fonction $\varphi$ va entrainer 1C1 quelques difflcult\'{e}s techniques supplementaires. Notons $\exp$ : TX $\rightarrow \mathrm{X}$ l'application exponentielle, qui envoie le vecteur tangent $\zeta\in \mathrm{T}_{z}\mathrm{X}$, $z\in \mathrm{X}$, sur le point correspondant $\exp_{z}(\zeta)$ de la g\'{e}od\'{e}sique issue de $z$ et de vecteur tangent initial 4. Si la vari\'{e}t\'{e} $(\mathrm{X}, 0))$ n'est pas complete, $\exp$ est definie seulement sur un voisinage de la section nulle du fibre' tangent $\mathrm{TX}$. Soit $\chi$ : $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ la fonction de classe $\mathrm{C}^{\infty}$ definie par : (8. 1) $\displaystyle \chi(t)=-\exp(\frac{1}{t-1})$ si $t<1$, \begin{center} $\chi(t)=0$ si $t\geqq 1$, \end{center} de sorte que : \begin{center} $\displaystyle \chi^{\prime}(t)=\frac{1}{(t-1)^{2}}\exp(\frac{1}{t-1})$ si $t<1$. \end{center} Pour tout r\'{e}el $\epsilon\in$] $0,1$], on pose : \begin{center} (8.2) $\displaystyle \varphi_{\epsilon}(z)=\frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n}}\int_{\zeta\in \mathrm{T}_{z}\mathrm{X}}\varphi(\exp_{z}(\zeta))\chi^{\prime}(\frac{|\zeta|^{2}}{\epsilon^{2}})`\theta_{\vee}(\zeta)$, \end{center} {\it o\`{u}} $C=\displaystyle \int_{\zeta\in \mathrm{C}^{n}}\chi^{\prime}(|\zeta|^{2})$ A $(\zeta)$, et ou A designe la mesure de Lebesgue sur l'espace hermitien $\mathrm{T}_{z}\mathrm{X}$ (resp. $\mathbb{C}^{n}$). La fonction $\varphi_{\epsilon}$ est definie sur tout compact $\mathrm{K}\subset \mathrm{X}$ d\`{e}s que $\epsilon$ est assez petit. Notre objectif est de montrer la convergence de $\varphi_{\epsilon}$ vers $\varphi$, et d'etudier le comportement local du Hessien $id^{\prime}d^{\prime\prime}\varphi_{\epsilon}$. Nous aurons besoin pour cela d'un developpement limite a l'ordre 3 de $\exp_{z}(\zeta)$. Designons par $n$ la dimension de X. Au voisinage d'un point fixe' $\mathrm{O}\in \mathrm{X}$, on pose : \begin{center} $0)=\displaystyle \frac{\mathrm{i}}{2}\sum_{1\leqq j,k\leqq n}(\mathrm{D}_{jk}dz_{j}\wedge d_{Z_{k}}^{-}$, \end{center} relativement a un syst\`{e}me de coordonnees locales $(z_{1}, z_{2}, . . ., z_{n})$ en 0; desormais, tous les indices not\'{e}sj, $k, \mathit{1}, m, p, q\ldots$ seront suppos\'{e}s implicitement compris entre Iet $n$. Comme la m\'{e}trique co est k\"{a}hl\'{e}rienne par hypothese, l'equation differentielle des geodesiques va se simplifier. LEMME 8.1. -- {\it La geodesique} $t\rightarrow u(t)=\exp_{z}(\mathrm{t} ()$ {\it est la solution du syst\`{e}me diff\'{e}rentiel du} $\backslash `)($('' $\mathfrak{l}t/()'.(/,.$(' \begin{center} $\displaystyle \sum_{j}\mathrm{oJ}_{jk}(\mathcal{U})\frac{d^{2}u_{j}}{dt^{2}}+\sum_{j,l}\frac{\partial_{0\mathrm{J}_{jk}}}{\partial u_{l}}\frac{du_{j}}{dt}\frac{du_{l}}{dt}=0,\ 1\leqq k\leqq n$, \end{center} {\it avec conditions initiales} : \begin{center} $u_{k}(0)=z_{k}$, \end{center} $\displaystyle \frac{du_{k}}{dt}(0)=\zeta_{k}$. $.4^{\mathrm{e}}$ S\'{E}$\mathrm{RIE}-$ TOME 15 -- 1982 -- $\mathrm{N}^{\mathrm{O}}3$ \vspace{1em} FIBRFS HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 493 Bien que le lemme 8.1 soit tout a fait classique, nous expliciteront bri\`{e}vement les calculs pour montrer ou intervient le caractere k\"{a}hl\'{e}rien de la metrique. {\it Demonstration}. -- Comme le probleme est local, on peut supposer $\mathrm{X}\subset \mathbb{C}^{n}$. Soit $u$ : $[0, 1]\rightarrow \mathrm{X}$ un chemin de classe $\mathrm{C}^{1}$. On d\'{e}flnit l'\'{e}nergie de $u$ par : \begin{center} $\displaystyle \mathrm{E}(u)=\int_{0}^{1}|\frac{du}{dt}|^{2}dt=\int_{0}^{1}\sum_{j,k}0)_{jk}(u(t))\frac{du_{j}}{dt}\frac{d\overline{u}_{k}}{dt}dt$. \end{center} Dans l'ensemble $\mathrm{P}(z_{1}, z_{2})$ des chemins de classe $\mathrm{C}^{1}$ ayant pour origine $z_{1}$ et pour extr\'{e}mit\'{e} $z_{2}$, les geodesiques sont les chemins qui realisent un minimum local de l'energie. On va donc utiliser le calcul des variations pour d\'{e}terminer l'\'{e}quation des geodesiques. Soit $u\in \mathrm{P}(z_{1}, z_{2})$ et $s$ : $[0, 1]\rightarrow$ TX une section de classe $\mathrm{C}^{1}$ de TX au-dessus de $u$, tangente a $\mathrm{P}(z_{1}, z_{2}), \mathrm{i}.\mathrm{e}.\ s(0)=s(1)=0$. La differentielle de l'energie est donnee par : \begin{center} $\mathrm{D}_{u}$ E. $s=2{\rm Re}\displaystyle \int_{0}^{1}(\sum_{j,k}0\mathrm{J}_{jk}(u)\frac{du_{j}}{dt}\frac{d\overline{s}_{k}}{dt}+\sum_{j,k,l}\frac{\partial 0)_{jk}}{\partial u_{l}}\frac{du_{j}}{dt}\frac{d\overline{u}_{k}}{dt}\overline{s_{l}(t)})dt$. \end{center} Integrons la premiere sommation par parties et permutons les indices $k$ et $l$ dans la deuxieme. II vient : $\mathrm{D}_{u}$ E. $s=2{\rm Re}\displaystyle \int_{0}^{1}[-\sum_{j,k}0)_{jk}(u)\frac{d^{2}u_{j}}{dt^{2}}\overline{s_{k}(t)}-\sum_{j,k,l}\frac{\partial_{C\mathrm{D}_{jk}}}{\partial u_{l}}\frac{du_{j}}{dt}\frac{du_{l}}{dt}\overline{s_{k}(t)}$ - $\displaystyle \sum_{j,k,l}\frac{\partial \mathrm{o}0_{jk}}{\partial\overline{u}_{l}}\frac{du_{j}}{dt}\frac{d\overline{u}_{l}}{dt}\overline{s_{k}(t)}+\sum_{j,k,\iota}\frac{\partial \mathrm{o}0_{jl}}{\partial\overline{u}_{k}}\frac{du_{j}}{dt}\frac{d\overline{u}_{l}}{dt}\overline{s_{k}(t)}]$ i{\it t}. La metrique co etant k\"{a}hl\'{e}rienne par hypothese, la condition $\overline{\partial}0$) $=0$ se traduit par les relations $\partial \mathrm{oo}_{jk}/\partial\overline{u}_{l}=\partial \mathrm{o}\mathrm{o}_{jl}/\partial\overline{u}_{k}$. On obtient par cons\'{e}quent : \begin{center} $\mathrm{D}_{u}$ E. $s=-2{\rm Re}\displaystyle \int_{0}^{1}\sum_{k}(\sum_{j}0)_{jk}(u)\frac{d^{2}u_{j}}{dt}+\sum_{j,l}\frac{\partial(\mathrm{n}_{jk}}{\partial u_{l}}\frac{du_{j}}{dt}\frac{du_{l}}{dt})\overline{s_{k}(t)}dt$. \end{center} La differentielle $\mathrm{D}_{u}\mathrm{E}$ est donc nulle si et seulement si $u$ v\'{e}rifle le syst\`{e}me differentiel du lemme 8.1. $\square $ Pour simplifier les calculs ulterieurs, on se placera dans un systeme de coordonnees geodesiques. L'existence de ces coordonnees est assuree par le lemme suivant : LEMME 8.2. -- {\it Soit} $\mathrm{V}$ {\it un voisinage assez petit du point} $a^{0}\in \mathrm{X}$. {\it Il existe une application} : \begin{center} $u= (u_{1}, u_{2}, . . ., u_{n})$ : $\mathrm{V}\times \mathrm{V}\rightarrow \mathbb{C}^{n}$ \end{center} {\it de classe} $\mathrm{C}^{\infty}$, {\it telle que pour lout point} $z^{0}\in \mathrm{V}$ {\it fixe, l}'{\it application} $u ($?, $z^{0})$ : $\mathrm{V}\rightarrow \mathbb{C}^{n}$ {\it soit un} {\it syst\`{e}me de coordonnees analytiques locales, v\'{e}rifiant les proprietes} : (8. 3) $\displaystyle \int|\omega_{jk}(u)=6_{jk}-\sum_{l,m}^{u_{k}(z^{0}}c_{jklm}' u_{lm}.+\mathrm{O}\frac{0}{u}(|u|^{3})Z^{0})=,$, ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'\'{E}COLE NORMALE SUP\'{E}RIEURE \vspace{1em} 494 J.-P. DEMAILLY {\it dans les coordonnees} $u_{k}(?, z^{0}),$ {\it o\`{u}} $(c_{jklm})$ {\it est la matrice de courbure de Levi-Civita de} $(\mathrm{X}, 00)$, {\it repr\'{e}sen tant le tenseur} $\mathrm{i}c(\mathrm{T}\mathrm{X})$ {\it au poin} $tz^{0}$, {\it et o\`{u}} $6_{jk}$ {\it est le symbole de Kronecker} $(6_{jj}=1,6_{jk}=0$ {\it si} $j\neq k$). {\it Les coefficients} $c_{jklm}$ {\it v\'{e}rifient les relations} : \begin{center} (8.4) $c_{jklm}=\overline{c}_{kjml}=c_{1kjm}=c_{jmlk}$. \end{center} {\it Les coordonnees geodesiques} $u_{k}=u_{k}(\exp_{z}(\zeta), \mathrm{z}^{0})$ {\it de} $\exp_{z}(\zeta)$ {\it admettent alors en fonction de} $z_{k}=u_{k}(z, z^{0}) et \zeta_{k}=d_{z}u_{k}(z, z^{0}).\zeta$ {\it le developpemen} $t$ {\it limite} : (8. 5) $u_{k}=z_{k}+\displaystyle \zeta_{k}+\frac{1}{2}\sum_{j,l,m}c_{jk1m}(z_{m}+\frac{\overline{\zeta}_{m}}{3})-\zeta_{j}\zeta_{j}+\mathrm{O}(|z|^{2}+|\zeta|^{2})|\zeta|^{2}$. {\it Les majorations} $\mathrm{O}(?)$ {\it sont uniformes pour} $ z^{0}\in$ V. {\it Demonstration}. -- Soit $(v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n})$ une carte locale de $\mathrm{X}$ definie sur V. On commence par centrer cette carte en un point quelconque $z^{0}\in \mathrm{V}$ en posant : \begin{center} $v_{k}^{\prime}(z, z^{0})=v_{k}(z)-v_{k}(z^{0})$. \end{center} Gr\^{a}ce au procede d'orthogonalisation de Schmidt, on obtient un systeme de coordonnees $w(z, z^{0})=(w_{1}$, . . ., $w_{n})$ tel que : \[ \mathrm{Q})=\frac{i}{2}\sum_{k}dw_{k}\wedge d\overline{w}_{k} \] au point $z^{0}$. Les coefficients ($\mathrm{D}_{jk}$ de co relativement a $(w_{1}, w_{2}, . . ., w_{n})$ admettent un developpement limite du type : \begin{center} (8.6) $(\displaystyle \mathrm{D}_{jk}=6_{jk}+\sum_{l}a_{jkl}w_{l}+\sum_{l}a_{jkl}^{\prime}\overline{w}_{l}$ $+\displaystyle \sum_{\mathrm{I},m}a_{jklm}w_{l}\overline{w}_{m}+\sum_{l,m}b_{jklm}w_{l}w_{m}+\sum_{l,m}b_{jklm}^{\prime}\overline{w}_{l}\overline{w}_{m}+\mathrm{O}(|w|^{3})$, \end{center} ou les coefficients $a_{jk1}, a_{jkl}^{\prime}, a_{jklm}, b_{jklm}, b_{jklm}^{\prime}$ sont des fonctions de classe $\mathrm{C}^{\infty}$ de $z^{0}$. On peut imposer de plus : \begin{center} (8.7) $b_{jklm}=b_{jkml},\ b_{jklm}^{\prime}=b_{jkml}^{\prime}$. \end{center} La metrique co \'{e}tant hermitienne, les relations $\sigma \mathrm{J}_{jk}=0\mathrm{J}_{kj}-$ impliquent : \begin{center} (8.8) $a_{jkl}^{\prime}=\overline{a}_{kj\mathrm{I}},\ a_{jklm}=\overline{a}_{kjml},\ b_{jklm}^{\prime}=\overline{b}_{kjlm}$. \end{center} Le caract\`{e}re k\"{a}hl\'{e}rien de co se traduit par la condition Dco $=0 ($soit $\partial 0)_{jk}/$ cr $\iota^{=\partial 0)_{lk}/\partial w_{j})}$' qui entraine les relations supplementaires : \begin{center} (8.9) $a_{jkl}=a_{1kj}, a_{jklm}=a_{\mathrm{I}kjm},\ b_{jklm}=b_{lkjm}-\cdot$ Posons : $u_{k}=w_{k}+\displaystyle \frac{1}{2}\sum_{j,l}a_{jkl}w_{j}w_{l}+\frac{1}{3}\sum_{j,l,m}b_{jk1m}w_{j}w_{l}w_{m}$; \end{center} $4^{\mathrm{e}}$ SLR1E -- TOME 15 -- 1982 -- $\mathrm{N}^{\mathrm{O}}3$ \vspace{1em} FIBRES HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 495 si on utilise (8.7), (8.8) et (8.9), un calcul immediat montre que : \begin{center} $du_{k}=dw_{k}+\displaystyle \sum_{j,l}a_{jkl}w_{l}dw_{j}+\sum_{j,l,m}b_{jklm}w_{l}w_{m}dw_{j}$. \end{center} En comparant avec (8.6), on voit qu'il existe des nombres complexes $c_{jklm}$ tels que : $\displaystyle \frac{i}{2}\sum_{k}du_{k}\wedge d\overline{u}_{k}=0)+\frac{i}{2}\sum_{j,k,lm},c_{jk1m}w_{1}\overline{w}_{m}dw_{j}\wedge d\overline{w}_{k}+\mathrm{O}(|w|^{3})$ \begin{center} $=00+\displaystyle \frac{i}{2}\sum_{j,k,lm},c_{jklm}u_{l}\overline{u}_{m}du_{j}\wedge d\overline{u}_{k}+\mathrm{O}(|u|^{3})$. \end{center} L'ecriture (8.3) en resulte. Les relations (8.4) sont des cas particuliers de (8.8), (8.9) avec $a_{jk\mathrm{I}}=b_{jklm}=0, a_{jklm}=-c_{jklm}.$ L'interpr\'{e}tation de la matrice $(c_{jklm})$ comme tenseur de courbure ne sera pas utilisee de maniere essentielle par la suite, et sera donc laissee au lecteur. Soit maintenant $u_{k}(t)$ les coordonnees locales de $\exp_{z}(t\zeta)$. Le developpement limite a l'ordre 1 de $u_{k}(t)$ est donne par : \begin{center} $u_{k}(t)=z_{k}+t\zeta_{k}+\mathrm{O}(t^{2})$ pour $|t|\leqq 1,\ |\zeta|\leqq 1$, \end{center} d'ou par homog\'{e}n\'{e}it\'{e}, en ecrivant $\exp_{z}(t\zeta)=\exp_{z}(t^{\prime} ('),\ t^{\prime}=t|\zeta|, |\zeta^{\prime}|=1$ : \begin{center} $u_{k}(t)=z_{k}+t\zeta_{k}+\mathrm{O}(t^{2}|\zeta|^{2})$ pour $t|\zeta|\leqq 1$, \end{center} et : \begin{center} $\displaystyle \frac{du_{k}}{dt}=\zeta_{k}+\mathrm{O}(|\zeta|^{2})$ pour $t\leqq 1,\ |\zeta|\leqq 1$. \end{center} Apr\`{e} $\mathrm{s}$ substitution dans le systeme differentiel du lemme 8.1, on obtient : \begin{center} $\displaystyle \frac{d^{2}u_{k}}{dt^{2}}=\sum_{j.l.m}c_{jklm}\overline{u}_{m}\zeta_{j}\zeta_{\iota}+\mathrm{O}(|u|^{2}|\zeta|^{2}1=\sum_{j,l,m}c_{jklm}(^{-}z_{m}+t\overline{\zeta}_{m})\zeta_{j}\zeta_{l}+\mathrm{O}(|z|^{2}+|\zeta|^{2})|\zeta|^{2}$, \end{center} les majorations etant $\mathrm{un}.A\grave{\mathrm{o}}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}$ pour $t\leqq 1, |\zeta|\leqq 1;(8.5)$ s'en deduit apres deux $\mathrm{int}\dot{\mathrm{e}}$ grations successives, en faisant $t=1.\ \square $ Desormais, tous les calculs seront exprimes dans le syst\`{e}me de coordonnees $(u_{k})$ centr\'{e} en un point $ a\in$ V. Les majorations qui seront demontrees au point $a$ seront vraies uniformement sur V. Effectuons le changement de variable $u=\exp_{-}\sim(\zeta)$ dans l'int\'{e}grale (8.2) et posons $v_{k}=u_{\mathrm{A}^{\leftrightarrow \mathrm{A}}}^{-}-;(8.5)$ entraine : (8. 10) $\displaystyle \zeta_{k}=v_{k}-\frac{1}{2}\sum_{j,l,m}c_{jklm}(z_{m}+-\frac{\overline{v}_{m}}{3})v_{j}v_{\mathrm{t}}+\mathrm{O}(|u|+|z|)^{4}$. D'aPr\`{e} $\mathrm{s}(8.3)$, on peut \'{e}crire de plus : \begin{center} $|\zeta|^{2}=0)(\zeta, i\zeta)=|\eta_{1}|^{2}+\ldots+|\eta_{n}|^{2}$, \end{center} ANNAL FS SCIENTIFIQUES DB L'\'{E}COLE NORMALE SUP\'{E}RIEURE \vspace{1em} 496 J.-P. DEMAILLY o\'{u} $\eta=(\eta_{1}, \ldots, \eta_{n})$ est un systeme de coordonnees orthonormees sur les fibres de $\mathrm{TX}$, lineaire en $\zeta$, de classe $\mathrm{C}^{\infty}$ en $z$, tel que : (8. 11) $\displaystyle \eta_{k}=\zeta_{k}-\frac{1}{2}\sum_{j,l,m}c_{jklm}z_{l}^{-}z_{m}\zeta_{j}+\mathrm{O}(|z|^{3}).\zeta$. Substituons dans (8 . 11 ) l'expression de $\zeta_{k}$ donnee par (8. 10) : (8. 12) $\displaystyle \eta_{k}=v_{k}-\frac{1}{2}\sum_{j,l,m}c_{jklm}(z_{m}v_{j}u_{l}+\frac{1}{3}\overline{v}_{m}v_{j}v_{l})-+\mathrm{O}(|u|+|z|)^{4}$. Comme l'application $\zeta\rightarrow\eta$ est (\`{a} $z$ fixe') une isometrie de $(\mathrm{T}_{z}\mathrm{X}, 00)$ sur $\mathbb{C}^{n}$, il vient : (8. 13) $\displaystyle \varphi_{\epsilon}(z)=\frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n}}\int_{u=(u_{k})\in \mathrm{C}^{n}}\varphi(u)\chi^{\prime}(\frac{|\eta(z,u)|^{2}}{\epsilon^{2}})h(\eta)$. $|\eta|^{2}=|\eta(z, u)|^{2}$ etant de classe $\mathrm{C}^{\infty}$ par rapport \`{a} $(z, u)$, on voit que $\varphi_{\epsilon}$ est de classe $\mathrm{C}^{\infty}$ sur tout compact, d\`{e}s que $\epsilon$ est assez petit. Nous aurons besoin de l'estimation suivante des valeurs moyennes de $\varphi$. LEMME 8.3. -- {\it It existe une constante} $\mathrm{C}_{1}$ {\it telle que pour tout} $z$ {\it voisin de} 0{\it et tout} $\epsilon$ {\it assez} {\it petit, on ait} : \begin{center} $\displaystyle \epsilon^{-2n}\int_{|u-z|<\epsilon}|\varphi(u)|h(u)\leqq \mathrm{C}_{1}{\rm Log}\frac{1}{\epsilon}$. \end{center} {\it Demonstration}. -- Soit $\mathrm{B}$ une boule $\{|u|\leqq 2\alpha\}$ contenue dans $\mathrm{V}$ ({\it cf}. lemme 8.2). Quitte a ajouter une fonction de classe $\mathrm{C}^{2}$ convenable a $\varphi$, on peut supposer $\varphi$ plurisousharmo- nique $\leqq 0$ sur B. La valeur moyenne : \[ \mu(\epsilon)=\epsilon^{-2n}\int_{|u-z|<\epsilon}\varphi(u)h(u) \] est alors pour $\epsilon\leqq\alpha, |z|\leqq\alpha$ fonction convexe croissante et n\'{e}gative de ${\rm Log}\epsilon$ ({\it voir} P. Lelong [18] $)$. On obtient donc pour $\epsilon\leqq\alpha/e$: (8. 14) $\displaystyle \frac{\mu(\alpha)-\mu(\epsilon)}{{\rm Log}\alpha-{\rm Log}\epsilon}\leqq\mu(\alpha)-\mu(\frac{\alpha}{e})\leqq-\mu(\frac{\alpha}{e})$, avec : \begin{center} $-\displaystyle \mu(\frac{\alpha}{e})=(\frac{e}{\alpha})^{2n}\int_{|u-z|<\alpha/e}-\varphi(u)h(u)\leqq(\frac{e}{\alpha})^{2n}\int_{\mathrm{B}}-\varphi(u)m_{\vee}(u)=\mathrm{C}_{1}^{\prime}$. \end{center} (8. 14) implique pour $\epsilon\leqq\alpha/e, |z|\leqq\alpha$ : \begin{center} $\displaystyle \epsilon^{-2n}\int_{|u-z|<\epsilon}|\varphi(u)|h(u)=-\mu(\epsilon)\leqq-\mu(\frac{\alpha}{e})^{\vee}{\rm Log}\frac{\alpha}{\epsilon}-\mu(\alpha)\leqq \mathrm{C}_{1}^{\prime}{\rm Log}\frac{e\alpha}{\epsilon}$, \end{center} ce qui acheve la preuve du lemme 8.3. $\square $ $4^{\mathrm{e}}$ S\'{E} $\mathrm{RIE}-$ TOME 15 -- 1982 -- $\mathrm{N}^{\mathrm{o}}3$ \vspace{1em} FIBRES HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 497 LEMME 8.4 (minoration de $\varphi_{\epsilon}(z)$ et de $d/d\epsilon[\varphi_{\epsilon}(z)]$). --{\it Il existe des constantes} $\mathrm{C}_{2}\geqq 0$, $\mathrm{C}_{\backslash }\geqq 0t`)//(^{\prime}\backslash p/1l`'$. (8. 15) $\displaystyle \varphi_{\epsilon}(Z)\geqq\varphi(z)-\mathrm{C}_{2}\epsilon^{2}{\rm Log}\frac{1}{\epsilon}$, (8. 16) $\displaystyle \frac{d}{d\epsilon}[\varphi_{\epsilon}(z)]\geqq-\mathrm{C}_{3}\epsilon{\rm Log}\frac{1}{\epsilon}$ {\it pour tout} $z$ {\it voisin de} 0 {\it et tout} $\epsilon$ {\it assez petit}. {\it D\'{e}monstra tion}. -- Le d\'{e}veloppement limite (8. 12) fournit : \begin{center} $|\eta(z, u)|^{2}=|z-u|^{2}+\mathrm{O}(|u|+|z|)^{4}$, \end{center} et : \begin{center} {\it d}A $(\eta)=(1+\mathrm{O}(|u|+|z|)^{2})$ A(u) \end{center} [ $u$ etant la variable; {\it cf}. (8. 19)]. Fixons $z=0$. Comme $|\eta(0, u)|^{2}\geqq(|u|/2)^{2}$ pour $u$ assez petit, et comme $\chi^{\prime}(t)=0$ pour $t\geqq 1$, on obtient : $\displaystyle \chi^{\prime}(\frac{|\eta(0,u)|^{2}}{\epsilon^{2}})h(\eta)=(\chi^{\prime}(\frac{|u|^{2}}{\epsilon^{2}})+\mathrm{O}(\frac{|u|^{4}}{\epsilon^{2}})+\mathrm{O}(|u|^{2}))m(u)$ \begin{center} $=(\displaystyle \chi^{\prime}(\frac{|u|^{2}}{\epsilon^{2}})+\mathrm{O}(\epsilon^{2}))h(u)$, $\displaystyle \frac{d}{d\epsilon}[\chi^{\prime}(\frac{|\eta(0,u)|^{2}}{\epsilon^{2}})]$ A $(\displaystyle \eta)=\{\frac{d}{d\epsilon}[\chi^{\prime}(\frac{|u|^{2}}{\epsilon^{2}})]+\mathrm{O}(\epsilon)\}h(u)$. \end{center} Substituons ces estimations dans l'integrale (8. 13). II vient : \begin{center} $\displaystyle \varphi_{\epsilon}(0)=\frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n}}\int_{ll\in \mathrm{C}^{n}}\varphi(u)\chi^{\prime}(\frac{|u|^{2}}{\epsilon^{2}})$ A $(u)+\displaystyle \mathrm{O}[\epsilon^{2-2n}\int_{|u|<2\epsilon}|\varphi(u)|m(u)]$, $\displaystyle \frac{d}{d\epsilon}[\varphi_{\epsilon}(0)]=\frac{d}{d\epsilon}[\frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n}}\int_{u\in \mathrm{C}^{n}}\varphi(u)\chi^{\prime}(\frac{|u|^{2}}{\epsilon^{2}})h(u)] +\displaystyle \mathrm{O}[\epsilon^{1-2n}\int_{|u|<2\epsilon}|\varphi(u)|h(u)]$. \end{center} Compte tenu du lemme 8.3et de l'uniformite' des estimations 0 (?) ({\it cf}. lemme 8.2), il suffira de prouver les inegalites : \begin{center} $\displaystyle \}\frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n}}\int\varphi(u)\chi^{\prime}(\frac{|u|^{2}}{\epsilon^{2}})\iota\hslash(u)\geqq\varphi(0)-\mathrm{C}_{2}^{\prime}\epsilon^{2}$, \end{center} (8. 17) \begin{center} $(\displaystyle \frac{d}{d\epsilon}[\frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n}}\int\varphi(u)\chi^{\prime}(\frac{|u|^{2}}{\epsilon^{2}})h(u)]\geqq-\mathrm{C}_{3}^{\prime}\epsilon$. \end{center} ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'\'{E}COLE NORMALE SUP\'{E}RIEURE \vspace{1em} 498 J.-P. DEMAILLY On observe qu'il existe une constante $\mathrm{C}_{2}^{\prime\prime}$ telle que la fonction $\psi(u)=\varphi(u)+\mathrm{C}_{2}^{\prime\prime}|u|^{2}$ soit plurisousharmonique ( $\mathrm{C}_{2}^{\prime\prime}$ pouvant etre choisie independante de $a\in \mathrm{V}$). On a donc : \begin{center} $\displaystyle \frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n}}\int\varphi(u)\chi^{\prime}(\frac{|u|^{2}}{\epsilon^{2}})h(u)=\frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n}}\int\psi(u)\chi^{\prime}(\frac{|u|^{2}}{\epsilon^{2}})$ A $(u)-\mathrm{C}_{2}^{\prime}\epsilon^{2}$, \end{center} avec : \begin{center} $\displaystyle \mathrm{C}_{2}^{\prime}=\frac{\mathrm{C}_{2}^{Jl}}{\mathrm{C}}\int|u|^{2}\chi^{\prime}(|u|^{2})h(u)$. \end{center} D'apres P. Lelong [18], la valeur moyenne : \begin{center} $\displaystyle \psi_{\epsilon}(0)=\frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n}}\int\psi(u)\chi^{\prime}(\frac{|u|^{2}}{\epsilon^{2}})ch(u)=\frac{1}{\mathrm{C}}\int\psi(\epsilon u)\chi^{\prime}(|u|^{2})h(u)$, \end{center} de la fonction p.s.h. $\psi$ est fonction croissante de $\epsilon$, et on a $\psi_{\epsilon}(0)\geqq\psi(0)=\mathrm{cp}$ (0). Les deux in\'{e}galit\'{e}s (8. 17) en d\'{e}coulent (avec $\mathrm{C}_{3}^{\prime}=2\mathrm{C}_{2}^{\prime}$ ). Le lemme 8.4 est d\'{e}montr\'{e}. $\square $ Nous arrivons maintenant a l'\'{e}tape essentielle du raisonnement, qui est d'estimer le Hessien de $\varphi_{\epsilon}$. Le probleme revient a commuter les d\'{e}rivations par rapport \`{a} $z$ et $u$ dans l'integrale (8. 13), en faisant apparaitre les termes correctifs dus a la courbure. PROPOSITION 8.5 (calcul de $id^{\prime}d^{\prime\prime}\varphi_{\epsilon}$). -- {\it Soit} $s=(s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{n})$ {\it un vecteur de} $\mathbb{C}^{n}$. {\it Le} {\it Hessien de} $\varphi_{\epsilon}$ {\it au point} $a\in \mathrm{V}$ {\it est donne par} : $\displaystyle \sum_{l,m}\frac{\partial^{2}\varphi_{\epsilon}}{\partial z_{\mathrm{I}}\partial_{Z_{m}}^{-}}(0)s_{l}\overline{s}_{m}=\frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n}}\int\sum_{l,m}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial u_{l}\partial\overline{u}_{m}}(u)s_{\acute{l}}\overline{s}_{m}^{\prime}\chi^{\prime}(\frac{|\eta(0,u)|^{2}}{\epsilon^{2}})a(u)$ \begin{center} $-\displaystyle \frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n-2}}\int\sum_{j,k,lm},\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial\overline{u}_{j}\partial u_{k}}c_{jklm}s_{l}\overline{s}_{m}\chi(\frac{|u|^{2}}{\epsilon^{2}})\mathrm{A}\mathrm{A}(u)+\mathrm{O}(\epsilon{\rm Log}\frac{]}{\mathrm{b}}\backslash ).\ |s|^{2}$ \end{center} avec : (8. 18) $s_{\acute{l}}(u)=s_{l}+\displaystyle \frac{1}{2}\sum_{j,k,p}c_{jkp\mathrm{I}}u_{j}\overline{u}_{k}s_{p}-\frac{\epsilon^{2}}{2}(1-\frac{|u|^{2}}{\epsilon^{2}})^{2}\sum_{k,p}c_{kkpl}s_{p}$, {\it la majorotion} $\mathrm{O}(.\cdot')$ {\it etant uniforme localement par rapport \`{a}} $a\in \mathrm{V}$. {\it Demonstration}. -- Nous raisonnerons en trois etapes. {\it Etape} 1. --{\it \'{E}valuation de la mesure} $ d\lambda (\eta )$. Diff\'{e}rentions par rapport a $u$ l'expression de $\eta_{k}$ donnee par (8. 12) ( $z$ etant fixe'). En se rappelant que $v_{k}=u_{k}-z_{k}$ et en faisant usage des relations (8.4), on obtient : $d\displaystyle \eta_{k}=du_{k}-\frac{1}{2}\sum_{j,l,m}c_{jklm}(z_{m}v_{j}d-u_{l}+z_{m}u_{1}d-u_{j}+\frac{1}{3}\overline{v}_{m}v_{j}du_{l}+\frac{1}{3}\overline{v}_{m}v_{l}du_{j)}$ \[ -\frac{1}{6}\sum_{j,l,m}c_{jklm}v_{j}v_{l}d\overline{u}_{m}+\mathrm{O}(|u|+|z|)^{3} \] $4^{\mathrm{e}}\mathrm{S}\dot{\mathrm{E}}$ RIE -- TOME 15 -- 1982 -- $\mathrm{N}^{\mathrm{O}}3$ \vspace{1em} FIBR\'{E}S HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 499 \[ =du_{k}-\frac{1}{2}\sum_{j,l,m}c_{jklm}(z_{m}v_{l}+z_{m}u_{l}+\frac{2}{3}\overline{v}_{m}v_{l})--du_{j} \] \[ -\frac{1}{6}\sum_{j,l,m}c_{jklm}v_{j}v_{l}d\overline{u}_{m}+\mathrm{O}(|u|+|z|)^{3} \] \[ =du_{k}-\frac{1}{2}\sum_{j,l,m}c_{jklm}(u_{\mathrm{I}}\overline{u}_{m}-\frac{1}{3}v_{\mathrm{I}}\overline{v}_{m})du_{j} \] \[ -\frac{1}{2}\sum_{j,l,m}c_{jklm}(v_{l}\overline{u}_{m}-u_{l}\overline{v}_{m})du_{j} \] \begin{center} $-\displaystyle \frac{1}{6}\sum_{j,l,m}c_{jklm}v_{j}v_{l}d\overline{u}_{m}+\mathrm{O}(|u|+|z|)^{3}$. \end{center} Dans le developpement limite' \`{a} l'ordre 2 de la $(n, n)$-forme : \begin{center} $ a(\displaystyle \eta)=(\frac{i}{2})^{n}d\eta_{1}\wedge d\overline{\eta}_{1}\wedge$ . . . $\wedge` l\eta_{n}\wedge d\overline{\eta}_{n}$, \end{center} les deux dernieres sommations apportent une contribution nulle. On trouve donc : (8. 19) $h(\displaystyle \eta)=h(u)[1-\sum_{k,l,m}c_{kklm}(u_{l}\overline{u}_{m}-\frac{1}{3}v_{l}\overline{v}_{m})+\mathrm{O} ( |u|+|z| )3]$. {\it \'{E}tape} 2. -- {\it Derivation sous le signe} $\displaystyle \int et$ {\it commutation des derivees}. Calculons sur le vecteur $s= (s_{1}, s_{2}, . . ., s_{n})\in \mathbb{C}^{n}$ le Hessien de $\varphi_{\epsilon}$ au point $a$. En derivant (8. 13) sous le signe il vient : \[ \mathrm{J} \] \begin{center} $\displaystyle \sum_{l,m}\frac{\partial^{2}\varphi_{\epsilon}}{\partial z_{l}\partial_{Z_{m}}^{-}}(0)s_{l}\overline{s}_{m}=\frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n}}\int_{l1\in \mathrm{C}^{n}}\varphi(u)\sum_{l,m}\frac{\partial^{2}}{\partial z_{l}\partial_{Z_{m}}^{-}}[\chi'(\frac{|\eta|^{2}}{\epsilon^{2}})m(\eta)]s_{l}\overline{s}_{m}$ . \end{center} Pour simpl.ff ler, on ecrira desormais $\chi$ au lieu de $\chi(|\eta(z, u)|^{2}/\epsilon^{2})$, et de meme les notations $\chi^{\prime}, \chi^{ll}$ , $\chi^{\prime\prime\prime}$ d\'{e}signeront les valeurs de ces foncti\`{o}ns au point $|\eta(z, u)|^{2}/\epsilon^{2}$. Comme la $(n, n)$-forme $\mathrm{X}^{\prime m(\eta}$ ) est reelle, on a: (8.20) $\displaystyle \sum_{l,m}(\frac{\partial^{2}}{\partial z_{l}\partial_{Z_{m}}^{-}}-\frac{\partial^{2}}{\partial u_{l}\partial\overline{u}_{m}})(\chi^{\prime}\alpha(\eta))s_{l}\overline{s}_{m}$ \begin{center} $={\rm Re}\displaystyle \sum_{l,m}(\frac{\partial}{\partial_{Z_{m}}^{-}}-\frac{\partial}{\partial\overline{u}_{m}})(\frac{\partial}{\partial z_{l}}+\frac{\partial}{\partial u_{\iota}})(\chi^{\prime}\iota h(\eta))s_{\iota}\overline{s}_{m}$. \end{center} Apr\`{e} $\mathrm{s}$ permutation des indices, l'egalite (8. 12) s'\'{e}crit [{\it cf}. (8.4)] : \[ \left\{\begin{array}{l} \eta_{k}=v_{k}-\frac{1}{2}\sum_{j,l,p}c_{jklp}+\mathrm{O}(|u|+|z|)^{4}\\ \overline{\eta}_{j}=\overline{v}_{j}-\frac{1}{2}\sum_{k,l,p}c_{jklp}+\mathrm{O}(|u|+|z|)^{4} \end{array}\right. \] ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'\'{E}COLE NORMALE SUP\'{E}RIEURE \vspace{1em} 500 J.-P. DEMAILLY L'operateur $\nabla_{l}=(\partial/\partial z_{l}) +(\partial/\partial u_{l})$ annule les coordonnees $v_{k}=u_{k}-z_{k}$ et $\overline{v}_{k}$ : $\nabla_{l}v_{k}=\nabla_{l}\overline{v}_{k}=0$. On obtient donc : \begin{center} $\displaystyle \nabla_{l}\eta_{k}=-\frac{1}{2}\sum_{j,p}c_{jklp}v_{j}^{-}z_{p}+\mathrm{O}(|u|+|z|)^{3}$, $\displaystyle \nabla_{l}\overline{\eta}_{j}=-\frac{1}{2}\sum_{k,p}c_{jk1p}\overline{v}_{k}\overline{u}_{p}+\mathrm{O}(|u|+|z|)^{3}$, \end{center} $\displaystyle \nabla_{l}[\chi^{\prime}(\frac{|\eta|^{2}}{\epsilon^{2}})$ A $(\displaystyle \eta)]=\frac{\chi^{\prime\prime}}{\epsilon^{2}}(\sum_{k}\overline{\eta}_{k}\nabla_{\mathrm{I}}\eta_{k}+\sum_{j}\eta_{j}\nabla_{l}\overline{\eta}_{j})h(\eta)+\chi^{\prime}\nabla_{\iota}$ (A $(\eta)$) \begin{center} $=-h(u)[\displaystyle \frac{\chi^{\prime\prime}}{\epsilon^{2}}.\frac{1}{2}\sum_{j,k.p}c_{jklp}v_{j}\overline{v}_{k}(^{-}z_{p}+\overline{u}_{p})+\frac{\chi^{\prime\prime}}{\epsilon^{2}}.\ \mathrm{O}(|u|+|z|)^{4}$ $+\chi^{\prime} \displaystyle \sum_{k,p}c_{kk\mathrm{I}p}\overline{u}_{p}+\chi^{\prime}.\ \mathrm{O}(|u|+|Z|)^{2}]$. \end{center} Comme : \begin{center} $(\displaystyle \frac{\partial}{\partial_{Z_{m}}^{-}}-\frac{\partial}{\partial\overline{u}_{m}})|\eta|^{2}=-2v_{m}+\mathrm{O}(|u|+|z|)^{3}$, \end{center} il vient : $(\displaystyle \frac{\partial}{\partial_{Z_{m}}^{-}}-\frac{\partial}{\partial\overline{u}_{m}})(\frac{\partial}{\partial z_{l}}+\frac{\partial}{\partial u_{l}})[\chi^{\prime}(\frac{|\eta|^{2}}{\epsilon^{2}})m(\eta)]$ \begin{center} $=m(u)[\displaystyle \frac{\chi^{\prime\prime\prime}}{\epsilon^{4}}\sum_{j.k,p}c_{jklp}v_{j}\overline{v}_{k}v_{m}(^{-}z_{p}+\overline{u}_{p})+\frac{\chi^{\prime\prime\prime}}{\epsilon^{4}}.\ \mathrm{O}(|u|+|z|)^{5}$ $+\displaystyle \frac{\chi^{\prime\prime}}{\epsilon^{2}}\sum_{j,p}c_{jmlp}v_{j}(^{-}z_{p}+\overline{u}_{p})+2\frac{\chi^{\prime\prime}}{\epsilon^{2}}\sum_{k,p}c_{kklp}v_{m}\overline{u}_{p}+\frac{\chi^{\prime\prime}}{\epsilon^{2}}.\ \mathrm{O}(|u|+|z|)^{3}$ $+\displaystyle \chi^{\prime}\sum_{k}c_{kk\mathrm{I}m}+\chi^{\prime}.\mathrm{O}(|u|+|z|)]$. \end{center} Au point $z=0$ (c'est-\`{a}-dire au point $a$), cette derni\`{e}re expression est \'{e}gale \`{a} : $d\displaystyle \lambda(u)[\frac{\chi^{lll}}{\epsilon^{4}}\sum_{j_{\backslash }k,p}c_{jklp}u_{j}\overline{u}_{k}u_{m}\overline{u}_{p}+\frac{\chi^{\prime\prime}}{\epsilon^{2}}\sum_{j,p}c_{jmlp}u_{j}\overline{u}_{p}$ \begin{center} $+\displaystyle \frac{\underline\chi\gamma}{\epsilon}\sum_{k,p}c_{kklp}u_{m}\overline{u}_{p}+\chi^{\prime}\sum_{k}c_{kklm}+\mathrm{O}(\epsilon)]2$' \end{center} soit encore, par un calcul aise : \begin{center} $d\displaystyle \lambda(u)\sum_{p}\frac{\partial^{2}}{\partial u_{p}\partial\overline{u}_{m}}[\chi^{\prime}\sum_{j,k}c_{jklp}u_{j}\overline{u}_{k}+\epsilon^{2}\chi\sum_{k}c_{kk1p}]-m(u)\sum_{j,k}\frac{\partial^{2}}{\partial\overline{u}_{j}\partial u_{k}}(\epsilon^{2}\chi c_{jklm})+\mathrm{O}(\epsilon)$ A (u). \end{center} $4^{\mathrm{e}}$ S\'{E} $\mathrm{RIE}-$ TOME 15 -- 1982 -- $\mathrm{N}^{\mathrm{o}}3$ \vspace{1em} FIBRFS HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 501 L'egalite (8.20) nous donne en d\'{e}flnitive au\lrcorner)oint $z=0$ : $\displaystyle \sum_{l,m}(\frac{\partial^{2}}{\partial z_{l}\partial_{Z_{m}}^{-}}-\frac{\partial^{2}}{\partial u_{l}\partial\overline{u}_{m}})(\chi^{\prime}h(\eta))s_{l}\overline{s}_{m}$ \begin{center} $=h(u){\rm Re}\displaystyle \sum_{l,m,p}\frac{\partial^{2}}{\partial u_{p}\partial\overline{u}_{m}}$[ $\chi^{\prime}$ I $c_{jklp}u_{j}\displaystyle \overline{u}_{k}+\epsilon^{2}\chi\sum_{k}c_{kk\mathrm{I}p}$] $s_{l}\overline{s}_{m}$ \end{center} -A(u) $\displaystyle \sum_{j,k.lm}.\frac{\partial^{2}}{\partial\overline{u}_{j}\partial u_{k}}(\epsilon^{2}\chi c_{jklm})s_{l}\overline{s}_{m}+\mathrm{O}(\epsilon)|s|^{2}h(u)$. {\it \'{E} tape} 3. -- {\it In tegra tion par par ties}. La derniere \'{e}galit\'{e} obtenue a l'etape 2 entraine apres int\'{e}gration par parties : (8.21) $\{$ \[ \sum_{l.m}\frac{\partial^{2}\varphi_{\epsilon}}{\partial z_{l}\partial_{Z_{m}}^{-}}(0)s_{l}\overline{s}_{m} \] \[ =\frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n}}{\rm Re}_{\mathrm{J}}\mathrm{r}\chi^{\prime}(\sum_{l,m}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial u_{l}\partial\overline{u}_{m}}s_{l}\overline{s}_{m} \] \[ +\sum_{j.k,l,m.p}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial u_{p}\partial\overline{u}_{m}}c_{jklp}u_{j}\overline{u}_{k}s_{l}\overline{s}_{m})\theta.(u) \] \[ +\frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n}}{\rm Re}_{\mathrm{J}}\mathrm{r}_{8^{2}}\chi\sum_{k.l,m,p}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial u_{p}\partial\overline{u}_{m}}c_{kklp}s_{l}\overline{s}_{m}d\lambda(u) \] \begin{center} (8.22) $-\displaystyle \frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n-2}}\int\chi\sum_{j.k.lm}.\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial\overline{u}_{j}\partial u_{k}}c_{jklm}s_{\iota}\overline{s}_{m}m(u)$ (8.23) $+\mathrm{O}(\epsilon^{1-2n})|s|^{2}$ . $\displaystyle \int_{|u|<2}|\varphi(u)|\mathrm{A}(u)$. \end{center} D'apres le lemme 8.3le terme (8. 23) est majore par 0( $\epsilon\log(1/\epsilon)|s|^{2}$. La fonction $\chi$ definie en (8 . 1 ) est telle que $\chi(t)=-(1-t)^{2}\chi^{\prime}(t)$; le terme (8.21) peut donc s'ecrire : \begin{center} $\displaystyle \frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n}}{\rm Re}_{\mathrm{J}}[\chi^{\prime}\sum_{l.m}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial u_{l}\partial\overline{u}_{m}}[s_{l}\overline{s}_{m}+\sum_{j,k_{\backslash }p}c_{jkpl}u_{j}\overline{u}_{k}s_{p}\overline{s}_{m}-\epsilon^{2}(1-\frac{|\eta|^{2}}{\epsilon^{2}})^{2}\sum_{k,p}c_{kkpl}s_{p}\overline{s}_{m}]h(u)$, \end{center} soit, en introduisant le champ de vecteurs $s_{\acute{l}}$ d\'{e}flni par (8. 18) : \begin{center} $\displaystyle \frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n}}\int\chi^{\prime}\sum_{l,m}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial u_{l}\partial\overline{u}_{m}}(s_{\acute{l}}\overline{s}_{m}^{\prime}+\mathrm{O}(\epsilon^{2}+|u|^{2})^{2})h(u)$. \end{center} Une nouvelle inte'gration par parties montre que le terme d'erreur est de la forme : \begin{center} $\displaystyle \frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n}}\int_{|u|<2\epsilon}\varphi(u)\mathrm{O}(\epsilon^{2}+|u|^{2})|s|^{2}m(u)$, \end{center} ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'\'{E}COLE NORMALE SUPERIEURE \begin{center} \includegraphics[width=43.52mm,height=21.76mm]{./pdf_images/image001.eps} \vspace{1em} \end{center} 502 J.-P. DEMAILLY donc ce terme est majore par $\mathrm{O}(\epsilon^{2}{\rm Log}(1/\epsilon)|s|^{2}$ en vertu du lemme 8.3. Enfin si on remplace $\chi(|\eta|^{2}/\epsilon^{2})$ par $\chi(|u|^{2}/\epsilon^{2})$ dans l'integrale (8.22), on introduit un nouveau terme d'erreur qui est majore par 0 ( $\epsilon^{2}{\rm Log}(1/\epsilon)|s|^{2}$. Le lemme 8.5 est demontre. $\square $ Nous allons maintenant estimer les differents termes qui apparaissent dans l'expression de $\mathrm{i}d^{\prime}d^{\prime\prime}\varphi_{\epsilon}$ telle qu'elle est donn\'{e}e dans le lemme 8.5. Nous commencerons par l'etude du terme de courbure. On designe par $\prime \mathrm{r}(a)$ la plus $\mathrm{petite}^{\prime}\langle\langle$ valeur propre $\rangle\rangle$ du tenseur de courbure $(\mathrm{i}/2\pi)c(\mathrm{T}\mathrm{X})$ au point $a$, definie par : \begin{center} $\displaystyle \tau(a)=\frac{1}{2\pi}\inf_{|\zeta|=|\xi|=1}c_{jklm}\zeta_{j}\overline{\zeta}_{k}\xi_{l}\overline{\xi}_{m}=\inf_{|\zeta|=|\xi|=1}\frac{\mathrm{i}}{2\pi}c(\mathrm{T}\mathrm{X})(\zeta\otimes\xi, \zeta\otimes\xi)$. \end{center} On pose $\displaystyle \tau_{-}(a)=\sup(0, -\tau(a))$. Comme $\varphi$ est localement somme d'une fonction de classe $\mathrm{C}^{2}$ et d'une fonction plurisousharmonique, on peut d'autre part considerer le nombre Ei Lelong : \begin{center} $\displaystyle \mathrm{v}(\varphi;a)=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{(n-1)!}{2\pi^{n-1}\epsilon^{2n-2}}\int_{|u|<\epsilon}\Delta\varphi(u)\mathrm{A}(u)$, \end{center} de $\varphi$ au point $a$. II est classique que $\mathrm{v}(\varphi;a)$ est une fonction $\geqq 0$ et semi-continue superieurement de la variable $a$. LEMME 8.6. -- {\it It existe une constante} $\mathrm{C}_{4}$ {\it ayant les proprietes suivantes. On pose} : (8.24) $\displaystyle \lambda_{\epsilon}(a)=-\frac{\pi\tau_{-\backslash }a)\prime}{2\mathrm{C}\epsilon^{2n-2}}\int\Delta\varphi(u)\chi(\frac{|u|^{2}}{\epsilon^{2}})m(u)+\mathrm{C}_{4}\epsilon^{2}$. {\it Alors pour tout} $\epsilon$ {\it assez petit et tout} $a\in \mathrm{V}$, {\it on} $a$: \begin{center} (8.25) $\displaystyle \frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n-2}}\int,\sum_{jk,/,m}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial\overline{u}_{j}\partial u_{k}}c_{jklm}s_{l}\overline{s}_{m}\chi(\frac{|u|^{2}}{\epsilon^{2}})h(u)\leqq\lambda_{\epsilon}(a)|s|^{2}$, \end{center} (8.26) $\lambda_{\epsilon}(a)$ {\it est fonction continue} $\geqq 0$ {\it de} $a$, {\it fonction croissante de} $\epsilon$, {\it et} : \begin{center} Jim $\lambda_{\epsilon}(a)=\tau_{-}(a)\mathrm{v}(\varphi;a)$. \[ \epsilon\rightarrow 0 \] \end{center} {\it Demonstration}. -- En remplaqant eventuellement $\varphi(u)$ par $\psi(u)+\mathrm{C}_{2}^{\prime\prime}|u|^{2}$ comme dans le lemme 8.4 on peut supposer $\varphi$ {\it plurisousharmonique}. On va alors demontrer le lemme 8.6 avec $\mathrm{C}_{4}=0$. Pour chaque $s\in \mathbb{C}^{n}$ fixi, on peut ecrire dans une base orthonormee convenable de $\mathrm{T}_{a}\mathrm{X}$ : \begin{center} $\displaystyle \sum c_{jk1m}s_{l}\overline{s}_{m}=6_{jk}\tau_{j}|s|^{2},\ 1\leqq j, k\leqq n$, $l, m$ \end{center} $4^{\mathrm{e}}$ S\'{E}RIE -- T0ME 15 -- 1982 -- $\mathrm{N}^{\mathrm{o}}3$ \vspace{1em} FJBRES HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 503 en diagonalisant par rapport aux indices $j, k$. Les valeurs propres $\tau_{j}$ sont minorees par -2 $\pi\tau_{-}(a)$. On obtient donc : $\displaystyle \frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n-2}}\int\sum_{j,k,lm},\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial\overline{u}_{j}\partial u_{k}}c_{jklm}s_{l}\overline{s}_{m}\chi(\frac{|u|^{2}}{\epsilon^{2}})$ A({\it u}) \[ =\frac{|s|^{2}}{\mathrm{C}\epsilon^{2n-2}}\int\sum_{j}\tau_{j}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial u_{j}\partial\overline{u}_{j}}\chi(\frac{|u|^{2}}{\epsilon^{2}})m(u) \] \[ \leqq-\frac{\pi\tau_{-}(a)}{\mathrm{C}\epsilon^{2n-2}}\int\Delta\varphi\chi(\frac{|u|^{2}}{\epsilon^{2}})\lambda(u)=\lambda_{\epsilon}(a)|s|^{2} \] car $\chi<0,\ \displaystyle \frac{\partial^{2}\varphi}{\partial u_{j}\partial\overline{u}_{j}}\geqq 0$ et $\displaystyle \sum_{j}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial u_{j}\partial\overline{u}_{j}}=\frac{1}{4}\Delta\varphi$. Posons : (8 . 27) $\displaystyle \mathrm{v}(\varphi;a;\epsilon)=\frac{(n-1)!}{2\pi^{n-1}\epsilon^{2n-2}}\int_{|u|<\epsilon}\Delta\varphi(u)h(u)$. Des calculs \'{e}l\'{e}mentaires montrent que : (8.28) $-\displaystyle \int\Delta\varphi(u) \displaystyle \chi(\frac{|u|^{2}}{\epsilon^{2}})a(u)=\int\Delta\varphi(u)a(u)\int_{t>|u|/\epsilon}2t\chi^{\prime}(t^{2})dt$ \begin{flushright} $=\displaystyle \int_{0}^{1}2 t\displaystyle \chi^{\prime}(t^{2})dt\int_{|u|<\epsilon t}$ Acp ({\it u}) $m(u)$. On obtient par consiquent d'apr\`{e} $\mathrm{s}(8.24), (8.27)$ et (8.28) : (8.29) $\displaystyle \lambda_{\epsilon}(a)=\frac{2\pi^{n}\tau_{-}(a)}{\mathrm{C}(n-1)!}\int_{0}^{1}t^{2n-1}\chi^{\prime}(t^{2})\mathrm{v}(\varphi;a;\epsilon t)dt$ avec par d\'{e}flnition de $\mathrm{C}$ : \end{flushright}\begin{center} $\displaystyle \mathrm{C}=\int_{u\in \mathrm{C}^{n}}\chi^{\prime}(|u|^{2})a(u)=\frac{2\pi^{n}}{(n-1)!}\int_{0}^{1}t^{2n-1}\chi^{\prime}(t^{2})dt$. \end{center} La quantite' $\mathrm{v}(\varphi;a;\epsilon)$ d\'{e}flnie par (8.27) est fonction croissante de $\epsilon$ et tend vers $\mathrm{v}(\varphi;a)$ quand $\epsilon$ tend vers z\'{e}ro ({\it cf}. P. Lelong [18]). L'assertion (8.26) resulte donc de (8.29) [la continuite' de $\lambda_{\epsilon}$ est evidente sur l'egalite de d\'{e}finition (8.24)$].\ \square $ \begin{center} 9. Theoremes d'approximation pour les fonctions plurisousharmoniques \end{center} R. Richberg [21], dans un travail deja assez ancien, a r\'{e}solu le cas des fonctions strictement $\mathrm{p}.\mathrm{s}.\mathrm{h}$. {\it continues} sur un espace analytique quelconque. Grace aux outils techniques \'{e}tablis au paragraphe 8 nous pouvons maintenant enoncer differents theoremes d'approximative ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'\'{E}COLE NORMALE SUP\'{E}RIEURE \vspace{1em} 504 J.-P. DEMAILLY pour des fonctions non necessairement continues, resultats qui avaient \'{e}t\'{e} utilis\'{e}s \`{a} plusieurs reprises dans les sections anterieures. On se dodne comme pr\'{e}c\'{e}demment une vari\'{e}t\'{e} analytique $\mathrm{X}$ de dimension $n$, munie d'une metrique k\"{a}hl\'{e}rienne $\mathrm{o}0$. $\mathrm{T}_{\mathrm{H}\acute{\mathrm{E}}\mathrm{O}\mathrm{R}\grave{\mathrm{E}}\mathrm{M}\mathrm{E}}$9.1. -- {\it Soil} $\varphi$ {\it une fonction d\'{e}finie sur} X {\it et localement plurisousharmonique} {\it modulo} $\varphi^{2}(\mathrm{X})$. {\it On suppose donnees une} $(1, 1)$-{\it forme reelle} continue 0 {\it telle que} $\mathrm{i}d^{\prime}d^{\prime\prime}\varphi\geqq\Theta$. {\it Alors il existe une famille} croissante $(\hat{\varphi}_{\epsilon})_{\epsilon\in \mathrm{l}0,1\mathrm{l}}$ {\it de fonctions de classe} $\mathrm{C}^{\infty}$ {\it sur} $\mathrm{X}$, {\it une famille de} $(1, 1)$-{\it formes reelles continues}({\it \gamma\epsilon}) {\it et une famille} croissante $(\lambda_{\epsilon})$ {\it de fonctions continues sur X} {\it ayan} $t$ {\it les proprie tes suivan tes} : (9 . 1 )Jim $\hat{\varphi}_{\epsilon}(a)=\varphi(a)$ {\it pour lout} $a\in \mathrm{X}$; \[ \epsilon\rightarrow 0 \] (9 . 2) $id^{\prime}d^{\prime\prime}\hat{\varphi}_{\epsilon}\geqq\gamma_{\epsilon}-\lambda_{\epsilon}0)$; (9. 3) $\gamma_{\epsilon}\geqq\Theta$; (9.4) $\gamma_{\epsilon}$ {\it tend vers} $(id^{\prime}d^{\prime\prime}\varphi)_{c}$ {\it presque partout sur} $\mathrm{X}$ {\it quand} $\epsilon$ {\it tend vers zero}; (9. 5) $\lambda_{\epsilon}$ {\it tend vers zero presque partou} $t$ {\it sur} $\mathrm{X}$ ({\it plus precisement en lout poin} $ta\in \mathrm{X}$ {\it o\`{u} le nombre} {\it de Lelong} $\mathrm{v}(\varphi;a)$ {\it est nul}); (9.6) {\it Si} $\mathrm{v}(\varphi;a)=0$ {\it pour tour} $a\in \mathrm{X}$ ({\it en particulier si} $\varphi$ {\it est localement bornee}) $\lambda_{\epsilon}$ {\it converge} {\it uniform\'{e}ment vers zero sur tout compact de} X. {\it D\'{e}monstration}. -- Soit $\psi$ une fonction exhaustive de classe $\mathrm{C}^{\infty}$ sur $\mathrm{X}$, a croissance suffisamment rapide pour que la fonction $\varphi_{\epsilon}$ definie par (8. 2) soit de classe $\mathrm{C}^{\infty}$ au voisinage du compact $\{z\in \mathrm{X};\psi(z)\leqq 1/\epsilon\}$. Soit $\mathrm{p}$ une fonction numerique de classe $\mathrm{C}^{\infty}$, telle que $0\leqq \mathrm{p}\leqq 1$, avec $\mathrm{p}(t)=1$ si $t\leqq 1/2$ et $\mathrm{p}(t)=0$ si $t\geqq 1$. Lafonction $\varphi_{\epsilon}(z)\mathrm{p}(\epsilon\psi(z))$ est donc definie et de classe $\mathrm{C}^{\infty}$ sur $\mathrm{X}$ tout entier. Le lemme 8.4 montre de plus qu'il existe des fonctipar continues $\mathrm{C}_{2}>0, \mathrm{C}_{3}>0$ sur $\mathrm{X}$ telles que pour tout $\epsilon$ on ait : (9. 7) $\left\{\begin{array}{l} \varphi_{\epsilon}(z)\mathrm{p}(\epsilon\psi(z))\geqq\varphi(z)-\mathrm{C}_{2}(z)\epsilon^{2}\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}\frac{1}{\epsilon}\\ \frac{d}{d\epsilon}[\varphi_{\epsilon}(z)\mathrm{p}(\epsilon\psi(z))]\geqq-\mathrm{C}_{3}(z)\epsilon \mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}\frac{1}{\epsilon} \end{array}\right.$ Soit $\mathrm{C}_{5}$ une fonction de classe $\mathrm{C}^{\infty}$ sur $\mathrm{X}$, telle que $\displaystyle \mathrm{C}_{5}>\sup(\mathrm{C}_{2}, \mathrm{C}_{3})$. On pose : (9. 8) $\displaystyle \hat{\varphi}_{\epsilon}(z)=\varphi_{\epsilon}(z)\mathrm{p}(\epsilon\psi(z))+\mathrm{C}_{5}(z)\epsilon^{2}({\rm Log}\frac{1}{\epsilon}+\frac{1}{2})$. Les inegalites (9. 7) entrainent que : \begin{center} $\hat{\varphi}_{\epsilon}(z)>\varphi(z)$ et $\displaystyle \frac{d\hat{\varphi}_{\epsilon}(z)}{d\epsilon}>0$. \end{center} D'autre part, la semi-continuite superieure de $\varphi$ implique : \begin{center} $\displaystyle \mathrm{Iim}\sup_{\rightarrow 0}\hat{\varphi}_{\epsilon}(z)=\lim_{\epsilon\rightarrow}\sup_{0}\varphi_{\epsilon}(z)\leqq\varphi(z)$, \end{center} ce qui demontre (9. 1). $4^{\mathrm{e}}$ s\'{E}RIE -- TOME 15 -- 1982 -- $\mathrm{N}^{\mathrm{O}}3$ \vspace{1em} FIBR\'{E}S HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 505 II nous reste \`{a} d\'{e}montrer les propri\'{e}t\'{e} $\mathrm{s}(9.2)$ a (9.6) en construisant les formes $\gamma_{\epsilon}$ et les fonctions $\lambda_{\epsilon}, \lambda.$ D'apr\`{e} $\mathrm{s}(9.8)$ il suffit de raisonner pour $\varphi_{\epsilon}$. On observe aussi qu'il $\mathrm{suff}_{1t}$ de construire $\gamma_{\epsilon}, \lambda_{\epsilon}, \lambda$ localement, sur un voisinage $\mathrm{V}$ d'un point quelconque $a^{0}\in \mathrm{X}$. On recollent ensuite les diffirentes formes et fonctions au moyen d'une partition de l'unit\'{e}. D'apr\`{e} $\mathrm{s}$ la proposition 8.5et le lemme 8.6 la fonction (8.24) : \[ \lambda_{\epsilon}(a)=-\frac{\pi\tau(a)}{2\mathrm{C}\epsilon^{2n-2}}\mathrm{r}\mathrm{J}\Delta\varphi\chi(\frac{|u|^{2}}{\epsilon^{2}})a(u)+\mathrm{C}_{6}\epsilon{\rm Log}\frac{1}{\epsilon} \] sera croissante en $\epsilon$ et aura les proprie't\'{e} $\mathrm{s}(9.2),(9.5)$ requises pourvu que la constante $\mathrm{C}_{6}$ soit assez grande. L'affirmation (9.6) resulte tout simplement du theoreme de Dini. Quant a la forme $\gamma_{\epsilon}$, elle proviendra du premier terme dans le second membre de l'egalite de la proposition 8.5. Soit en effet : \begin{center} $\mathrm{i}d^{\prime}d^{lJ}\varphi=\gamma+\gamma^{\prime}$, \end{center} la d\'{e}composition de Lebesgue du $(1, 1)$-courant d'ordre 0 $\mathrm{i}d^{\prime}d^{\prime\prime}\varphi$. La partie singuliere $\gamma^{\prime}$ est un courant $\geqq 0$, tandis que la partie absolument continue $\gamma$ v\'{e}rifie par hypothese l'inegalite $\gamma\geqq \mathrm{f}3$. On pose : \[ \gamma_{\epsilon}(s, s)=\frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n}}\int\sum_{l,m}\gamma_{\mathrm{t}m}(u)s_{\acute{l}}\overline{s}_{m}^{\prime}\chi^{\prime}(\frac{|\eta(0,u)|^{2}}{\epsilon^{2}})h(u) \] (o\`{u} $\displaystyle \gamma=\mathrm{i}\sum\gamma_{lm}du_{l}d\overline{u}_{m}$), de sorte que (9.2) est bien v\'{e}rifl\'{e}. Puisque $\gamma$ est a coefficients $\gamma_{lm}\in \mathrm{L}_{1\mathrm{o}\mathrm{c}}^{1}$, le theoreme de Lebesgue montre que $\gamma_{\epsilon}$ tend vers $\gamma$ presque partout sur X. Ceci prouve (9.4). L'hypothese $\gamma\geqq\Theta$ implique d'autre part : \begin{center} $\displaystyle \gamma_{\epsilon}(s, s)\geqq\frac{1}{\mathrm{C}\epsilon^{2n}}\int\sum_{l,m}\Theta_{lm}(u)s_{\acute{l}}\overline{s}_{m}^{\prime}\chi^{\prime}(\frac{|\eta(0,u)|^{2}}{\epsilon^{2}})a_{(u)}$. \end{center} Grace a la continuite' de 0 le second membre converge uniformement vers 0 $(s, s)$ lorsque $\epsilon$ tend vers z\'{e}ro. Quitte a remplacer $\gamma_{\epsilon}$ par $\gamma_{\epsilon}+$ a $(\epsilon)$ co et $\lambda_{\epsilon}$ par $\lambda_{\epsilon}+\alpha(\epsilon)$ [avec Jim $\uparrow\alpha(\epsilon)=0$], \[ \epsilon\rightarrow 0 \] toutes les propri\'{e}t\'{e}s (9. 1) a (9.6) sont verifiees, $\mathrm{y}$ compris (9.3). $\square $ {\it Remarque} 9.2. -- Plus generalement, soit 0 une $(1, 1)$-forme continue a valeurs dans le fibre' Herm $(\mathrm{E}, \mathrm{E})$ des endomorphismes hermitiens d'un fibre' hermitien E. On suppose $\mathrm{i}d^{\prime}d^{ll}\varphi\otimes \mathrm{I}\mathrm{d}_{\mathrm{E}}\geqq_{s}\Theta$. Alors le th\'{e}or\`{e}me 9. 1 est vrai en remplagant (9 . 3) par : \begin{center} (9.9) $\gamma_{\epsilon}\otimes \mathrm{Id}_{\mathrm{E}}\geqq_{s}\Theta$. \end{center} Pour etablir les propri\'{e}t\'{e} $\mathrm{s}(5.1)$ a (5.6) relatives a l'approximation de \begin{center} $ic(\mathrm{E}, \varphi)=ic(\mathrm{E})+\mathrm{i}(d^{\prime}d^{ll}\varphi)_{c}$, \end{center} on choisira C) $=-ic(\mathrm{E}).\ \square $ Lorsque $\varphi$ est plurisousharmonique, il est possible de donner un \'{e}nonce' plus simple. ANNALES $\mathrm{SC}$ IENTIFIQUES DE L'\'{E}COLE NORMALE SUP\'{E}RIEURE \vspace{1em} 506 J.-P. DEMAILLY COROLLAIRE 9.3. -- {\it Soit} $\varphi$ {\it une fonction plurisousharmonique sur} X. {\it Il existe une suite} {\it decroissante} $(\varphi_{\mathrm{v}})$ {\it de fonctions de classe} $\mathrm{C}^{\infty}$ {\it et une suite} $(\lambda_{\mathrm{v}})$ {\it de fonctions continues} $\geqq 0$ {\it sur} $\mathrm{X}$ {\it relies que} : (9. 10) $\displaystyle \mathrm{v}\rightarrow+\infty\lim\downarrow\varphi_{\mathrm{v}}=\varphi$, (9. 11) $id^{\prime}d^{\prime\prime}\varphi_{\mathrm{v}}\geqq-\lambda_{\mathrm{v}}\mathrm{o}0$, (9. 12) $\lambda_{\mathrm{v}}$ {\it converge uniform\'{e}ment vers zero sur tout compact de} X. {\it Demonstration}. -- On applique le theoreme 9.1 avec $\Theta=0$. La convergence uniforme de $\lambda_{\mathrm{v}}$ n'est obtenue {\it a priori} que si $\varphi$ est localement bornee. On remplace donc $\varphi$ par $\displaystyle \sup(\varphi, -\mathrm{v})$ et on prend pour $\varphi_{\mathrm{v}}$ une fonction de classe $\mathrm{C}^{\infty}$ qui approche $\displaystyle \sup(\varphi, -\mathrm{v})$. II est clair qu'on peut s'arranger pour que la suite $\varphi_{\mathrm{V}}$ soit decroissante et pour que les conditions (9. 10), (9. 11), (9. 12) soient realisees. $[]$ Le resultat suivant est relatif a l'approximation des fonctions plurisousharmoniques exhaustives, et constitue un maillon essentiel dans la preuve de la proposition 1.3. TH\'{E}OR\`{E}ME 9. 4. -- {\it Soit} (X,$ 0))$ {\it une varie te k\"{a}hl\'{e}rienne faiblemen t pseudoconvexe et} $\varphi$ {\it une} {\it fonction plurisousharmonique} exhaustive {\it sur X. Il existe des fonctions continues} $m, \mathrm{M}$ {\it exhaustives sur} $\mathrm{X}$, {\it telles que} $00$ {\it sur} $\mathrm{X}$, {\it on peu} $t$ {\it trouver unefonction} $\psi$ {\it de classe} $\mathrm{C}^{\infty}$ {\it sur} $\mathrm{X}$, {\it telle que} $m\leqq\psi\leqq \mathrm{M}$ {\it et} $ id^{\prime}d^{\prime\prime}\psi\geqq-\lambda\omega$. {\it Demonstration}. -- Nous supposerons $\varphi\geqq 1$ [sinon il suffit de remplacer $\varphi$ par $\displaystyle \sup(\varphi, 1)$]. Pour tout r\'{e}el $c\geqq 0$, on designe par $\mathrm{X}(c)$ l'ouvert $\{z\in \mathrm{X}; \varphi(z)-\frac{1}{2}\lambda \mathrm{o}0$ en tout point $z\in \mathrm{X}(c_{3\mathrm{v}+5})$, (9. 15) $\{$ \begin{center} $\varphi_{\mathrm{v}}(z)\leqq\psi_{\mathrm{v}}(z)<\alpha_{\mathrm{v}}(c_{3\mathrm{v}+6}-c_{3\mathrm{v}})$ en tout point $z\in \mathrm{X}(c_{3\mathrm{v}+5})$, $\psi_{\mathrm{v}}(z)<0$ en tout point $z\in \mathrm{X}(c_{3\mathrm{v}-1}),\ \mathrm{v}\geqq 1$. \end{center} $4^{\mathrm{e}}$ S\'{E}RIE -- TOME 15 -- 1982 -- $\mathrm{N}^{\mathrm{O}}3$ \vspace{1em} FIBR\'{E}S HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 507 Des inegalites (9. 15) on deduit pour $z\in\overline{\mathrm{X}(c_{3\mathrm{v}+2})}\backslash \mathrm{X}(c_{3\mathrm{v}+1})$ : (9. 16) $\{$ \begin{center} $\psi_{\mathrm{v}}(z)\geqq\varphi_{\mathrm{v}}(z)\geqq\alpha_{\mathrm{v}}(c_{3\mathrm{v}+1}-c_{3\mathrm{v}})$, $\psi_{\mathrm{v}-1}(z)<\alpha_{\mathrm{v}-1}(c_{3\mathrm{v}+3}-c_{3\mathrm{v}-3})$ si $\mathrm{v}\geqq 1$, \end{center} tandis que pour $Z\in\overline{\mathrm{X}(c_{3\mathrm{v}-1})}\backslash \mathrm{X}(c_{3\mathrm{v}-2}), \mathrm{v}\geqq 1$, on obtient : (9. 17) $\psi_{\mathrm{v}-1}(z)\geqq\varphi_{\mathrm{v}-1}\check{(}z)\geqq\alpha_{\mathrm{v}-1}(c_{3\mathrm{v}-2}-c_{3\mathrm{v}-3})>0>\psi_{\mathrm{v}}(z)$. Pour pouvoir exploiter (9. 16), nous d\'{e}flnirons $\alpha_{\mathrm{v}}$ par r\'{e}currence en posant : (9. 18) $\alpha_{\mathrm{v}}(c_{3\mathrm{v}+1}-c_{3\mathrm{v}})=2\alpha_{\mathrm{v}-1}(c_{3\mathrm{v}+3}-c_{3\mathrm{v}-3})$ de sorte que : (9. 19) $\alpha_{\mathrm{v}}(c_{3\mathrm{v}+1}-c_{3\mathrm{v}})>2\alpha_{\mathrm{v}-1}(c_{3\mathrm{v}-2}-c_{3\mathrm{v}-3})>\ldots>2^{\mathrm{v}}\alpha_{0}(c_{1}-c_{0})>2^{\mathrm{v}}$. L'idee est de recoller les fonctions $\psi_{\mathrm{v}}$ pour obtenir une fonction $\psi$ qui satisfasse aux exigences du theoreme 9.4. Soit $\chi_{1}$ une fonction $\geqq 0$ de classe $\mathrm{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R},$ \`{a} support dans l'intervalle $[0, 2]$, telle que $\chi_{1}(2-t)=\chi_{1}(t)$ et $\displaystyle \int_{0}^{2}\chi_{1}(t)$ Jr $=1$. Il vtent : (9.20) $\displaystyle \int_{0}^{2}t\chi_{1}(t)dt=\int_{0}^{2}(2-t)\chi_{1}(t)dt=\int_{0}^{2}\chi_{1}(t)dt=1$. On $\langle\langle$ interpole $\rangle\rangle$ entre $\psi_{\mathrm{v}-1}$ et $\psi_{\mathrm{v}}$ en posant : (9.21) $\displaystyle \psi_{\mathrm{v}}^{\prime}(z)=\int_{0}^{2}\sup(t\psi_{\mathrm{v}-1}(z), \psi_{\mathrm{v}}(z))\chi_{1}(t)dt$. Les inegalites (9. 16) et l'egalite (9. 18) entrainent : \begin{center} $\psi_{\mathrm{v}}^{\prime}=\psi_{\mathrm{v}}$ au voisinage de $\mathrm{X}(c_{3\mathrm{v}+2})\backslash \mathrm{X}(c_{3\mathrm{v}+1})$, \end{center} tandis que (9. 17) et (9. 20) impliquent : \begin{center} $\psi_{\mathrm{v}}^{\prime}=\psi_{\mathrm{v}-1}$ au voisinage de $\overline{\mathrm{X}(c_{3\mathrm{v}-1})}\backslash \mathrm{X}(c_{3\mathrm{v}-2})$. \end{center} II est donc legitime de poser : (9.22) $\left\{\begin{array}{l} \psi=\psi_{0}\mathrm{surX}(c_{2})\\ \psi=\psi_{\mathrm{v}}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{r}\overline{\mathrm{X}(c_{3\mathrm{v}+2})}\backslash \mathrm{X}(c_{3\mathrm{v}+1})\\ \psi=\psi_{\mathrm{v}},\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{X}(c_{3\mathrm{v}+1})\backslash \mathrm{X}(c_{3\mathrm{v}-1}) \end{array}\right. \mathrm{v}\geqq 1\mathrm{v}\geqq 1.$' Le changement de variable $u=t\psi_{\mathrm{v}-_{l}1}(z)-\psi_{\mathrm{v}}(z)$ dans l'int\'{e}grale (9 . 11 ) donne : \begin{center} $\displaystyle \psi_{\mathrm{v}}^{\prime}(z)=\psi_{\mathrm{v}}(z)+\int_{0}^{+\infty}u\chi_{1}(\frac{u+\psi_{\mathrm{v}}(z)}{\psi_{\mathrm{v}-1}(z)})\frac{du}{\psi_{\mathrm{v}-1}(z)}$; \end{center} ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'\'{E}COLE NORMALE SUP\'{E}RIEURE \vspace{1em} 508 J.-P. DEMAILLY $\psi_{\mathrm{v}}^{\prime}$ est donc de classe $\mathrm{C}^{\infty}$ sur l'ouvert $\mathrm{X}(c_{3\mathrm{v}+1})\backslash \overline{\mathrm{X}(c_{3\mathrm{v}-1})}$, car sur cet ouvert on a d'apres (9. 16) et (9. 19) : \begin{center} (9.23) $\psi_{\mathrm{v}-1}\geqq\varphi_{\mathrm{v}-1}\geqq\alpha_{\mathrm{v}-1}(c_{3\mathrm{v}-2}-c_{3\mathrm{v}-3})>2^{\mathrm{v}-1}$. \end{center} Par cons\'{e}quent $\psi$ est de classe $\mathrm{C}^{\infty}$ sur X. Les lignes (9. 15) et (9.22) montrent l'existence de la fonction continue M. De plus : \begin{center} $\psi=\psi_{0}\geqq\varphi_{0}=\varphi\geqq 1$ sur $\overline{\mathrm{X}(c_{2})}$, $\psi=\psi_{\mathrm{v}}>2^{\mathrm{v}}$ sur $\mathrm{X}(c_{3\mathrm{v}+2})\backslash \mathrm{X}(c_{3\mathrm{v}+1})$ [{\it cf}. (9. 16), (9. 19)], $\psi=\psi_{\mathrm{v}}^{\prime}\geqq\psi_{\mathrm{v}}1>2^{\mathrm{v}-1}$ sur $\mathrm{X}(c_{3\mathrm{v}+1})\backslash \mathrm{X}(c_{3\mathrm{v}-1})$ \end{center} [{\it cf}. (9.20), (9.21) et (9.23)]. II en r\'{e}sulte l'existence d'une fonction continue exhaustive $m$ ayant les proprie't\'{e}s annoncees. It nous reste seulement a montrer que $\mathrm{i}d^{\prime}d^{\prime\prime}\psi\geqq-\lambda 0$). D'apres (9. 14) et (9.22), il $\mathrm{suff}_{1ra}$ d'etudier le cas de la fonction $\psi_{\mathrm{v}}^{\prime}$. Soit $z_{0}\in \mathrm{X}(c_{3\mathrm{v}+5})$ un point fixe' de $\mathrm{X}$ et $\mu$ une fonction de classe $\mathrm{C}^{2}$ au voisinage de $z_{0}$ telle que $id^{\prime}d^{\prime\prime}\mu=\lambda(z_{0})0)$ au point $z_{0}$. (9 . 14) montre que $\psi_{\mathrm{v}}+\mu$ et $t\psi_{\mathrm{v}-1}+\mu, 0\leqq_{l}t\leqq 2$ sont $\mathrm{p}.\mathrm{s}.\mathrm{h}$. sur un voisinage de $z_{0}$ independant de $t$. Par cons\'{e}quent : \[ \psi_{\mathrm{v}}^{\prime}+\mu=\int_{0}^{2}\sup(t\psi_{\mathrm{v}-1}+\mu, \psi_{\mathrm{v}}+\mu)\chi_{1}(t)dt \] est p.s.h. au voisinage de $z_{0}$, et $\mathrm{i}d^{\prime}d^{\prime\prime}\psi_{\mathrm{v}}^{\prime}\geqq-\lambda \mathrm{c}\mathrm{o}$ en $z_{0}.\ []$ Le prochain enonce fait intervenir la notion de stricte plurisousharmonicite pour une fonction non necessairement de classe $\mathrm{C}^{2}$. Par d\'{e}flnition, une fonction plurisousharmonique $\varphi$ sera dite strictement $\mathrm{p}.\mathrm{s}.\mathrm{h}$. si le courant $ id^{\prime}d^{\prime\prime}\varphi$ est minore par une $(1, 1)$-forme continue $\Theta>0$, ce qui revient a dire que $\varphi$ est localement somme d'une fonction $\mathrm{p}.\mathrm{s}.\mathrm{h}$. et d'une fonction strictement $\mathrm{p}.\mathrm{s}.\mathrm{h}$. de classe $\mathrm{C}^{2}$. COROLLAIRE 9.5. -- {\it Dans le th\'{e}or\`{e}me} 9.4, {\it on suppose de plus que} $\varphi$ {\it est strictemen tp.s.h. en} {\it dehors ffun compact} $\mathrm{K}$ {\it de} X. {\it Alors il exis te unefonction} $p.sh.\ \psi$ {\it de classe} $\mathrm{C}^{\infty}$, {\it exhaus tive sur} $\mathrm{X}$ {\it et strictement p.s.h. en dehors d}'{\it un compact de} X. {\it Demonstration}. -- Reprenons en d\'{e}tail la construction du theoreme 9.4. On peut trouver un compact $\mathrm{K}_{1}$ et des fonctions $\psi_{\mathrm{v}}$ de classe $\mathrm{C}^{\infty}$ v\'{e}rifiant (9. 14), (9. 15) ainsi que la condition : \begin{center} $id^{\prime}d^{ll}\psi_{\mathrm{v}}>0$ en tout point $z\in \mathrm{X}(c_{3\mathrm{v}+5})\backslash \mathrm{K}_{1}$. \end{center} Le reste du raisonnement montre alors que $\psi$ est strictement p.s.h. en dehors de $\mathrm{K}_{1}$. Pour rendre $\psi$ p.s.h. sur $\mathrm{X}$ tout entier on $\mathrm{choisit}\cdot \mathrm{u}\mathrm{n}$ r\'{e}el $ c>\displaystyle \backslash \sup \psi (\mathrm{K}_{1} )$ et on remplace $\psi$ par la fonction $\mathrm{C}^{\infty}$ : $\displaystyle \hat{\psi}(z)=\int_{0}^{2}\sup(c+t, \psi(z))\chi_{1}(t)dt=\psi(z)+\int_{0}^{+\infty}u\chi_{1}(u+\psi(z)-c)$ {\it du}. $4^{\mathrm{e}}$ s\'{E}RIE -- TOMB 15 -- 1982 -- $\mathrm{N}^{\mathrm{o}}3$ \vspace{1em} FIBRES HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 509 II est clair que $\psi$ est p.s.h. sur $\mathrm{X}$, et \'{e}gale a $\psi$ donc strictement p.s.h. en dehors de $\mathrm{K}_{2}=\psi^{-1}(]-\infty, c+2]).\ \square $ Le theoreme 9.1 permet aussi de retrouver dans le cas particulier des varietes k\"{a}hl\'{e}riennes les resultats de R. Greene et H. Wu sur l'approximation des fonctions plurisousharmoniques continues. COROLLAIRE 9.6(R. Greene et U. Wu [11]). -- {\it Soil 0 une} $(1, 1)$-{\it forme reelle con tinue et} $\varphi$ {\it une} {\it fonction continue sur} $\mathrm{X}$ {\it telle que} $\mathrm{i}d^{\prime}d^{ll}\varphi\geqq\Theta$. {\it Alors pour toute fonction continue} $\lambda>0$ {\it sur} $\mathrm{X}$, {\it il} {\it existe une fonction} $\varphi$ {\it de classe} $\mathrm{C}^{\infty}$ {\it sur} $\mathrm{X}$ {\it telle que} : \begin{center} $\varphi<\psi<\varphi+\lambda$ {\it et} $id^{\prime}d^{\prime\prime}\psi\geqq\Theta-\lambda 0$). \end{center} {\it Demonstration}. -- Grace au theoreme 9.1 on sait construire $\psi$ sur tout ouvert relativement compact dans X. La seule difflcult\'{e} est de construire une fonction $\psi$ globale. Soit $\mathrm{p}$ : $\mathrm{X}\rightarrow[0, +\infty$[ une fonction exhaustive de classe $\mathrm{C}^{\infty}$ sur $\mathrm{X}$; on pose $\mathrm{X}(c)=\{z\in \mathrm{X}$; $\mathrm{p}(z)\psi_{\mathrm{v},1}(z)$ lorsque $\mathrm{p}(z)=\mathrm{v}-1,\ t\in \mathrm{Supp} \chi_{2}\subset[1/2, 3/2]$, car (1/2) $\epsilon_{\mathrm{v}-1}>\epsilon_{\mathrm{v}}>\epsilon_{\mathrm{v}+1}$, Il en resulte que : \begin{center} $\psi_{\mathrm{v}}=\psi_{\mathrm{v},1}$ au voisinage du compact $\{\mathrm{p}=\mathrm{v} \}$, $\displaystyle \psi_{\mathrm{v}}=\int_{0}^{+\infty}\psi_{\mathrm{v}-1,t}\chi_{2}(t)dt=\psi_{\mathrm{v}-1,1}$ au voisinage de $\{\mathrm{p}=\mathrm{v}-1\}$. \end{center} On definit donc une fonction de classe $\mathrm{C}^{\infty}$ sur $\mathrm{X}$ en posant : (9.27) $\psi(z)=\psi_{\mathrm{V}}(z)$ pour $\mathrm{v}-1\leqq \mathrm{p}(z)<\mathrm{v},\ \mathrm{v}\geqq 1$. Lorsque $\mathrm{v}-1\leqq \mathrm{p}(z)<\mathrm{v}$, les relations (9.24) et (9.25) montrent que : \begin{center} $\varphi(z)<\psi_{\mathrm{v},1}(z)\leqq\varphi_{\mathrm{v}+1}(z)+\epsilon_{\mathrm{v}}<\varphi(z)+2\epsilon_{\mathrm{v}}$, \end{center} et : \begin{center} $\displaystyle \varphi(z)<\psi_{\mathrm{v}-1,t}(z)\leqq\varphi_{\mathrm{v}}(z)+\frac{3}{2}\epsilon_{\mathrm{v}-1}<\varphi(z)+2\epsilon_{\mathrm{v}-1}$ pour $t\displaystyle \in[\frac{1}{2}, \displaystyle \frac{3}{2}]$, \end{center} par suite $\varphi(z)<\psi(z)=\psi_{\mathrm{v}}(z)<\varphi(z)+2\epsilon_{\mathrm{v}-1}$. La condition $\varphi<\psi<\varphi+\lambda$ sera donc r\'{e}alis\'{e}e d\`{e} $\mathrm{s}$ que les r\'{e}els $\epsilon_{\mathrm{v}}$ sont choisis assez petits. De plus, il est clair d'apres (9.24), (9.25) et (9.26) qu'on peut faire en sorte que $\mathrm{i}d^{\prime}d^{\prime\prime}\psi\geqq\Theta-\mathrm{i} \mathrm{oJ}.\ \square $ {\it Remarque} 9.7. -- N. Sibony $\mathrm{m}' \mathrm{a}$ communique un exemple simple montrant que le corollaire 9.6n'a pas d'analogue si l'on ne suppose pas que $\varphi$ est continue. Ainsi, soit {\it as} une fonction sousharmonique dans $\mathbb{C}$ telle que a $(z_{\mathrm{v}})=-\infty$ pour une suite dense $\{z_{\mathrm{v}}\}\subset \mathbb{C}$. On considere dans $\mathbb{C}^{2}$ la fonction strictement $\mathrm{p}.\mathrm{s}.\mathrm{h}$. : \begin{center} (1) $(z, w)=\sigma(z)+\log|w|+|z|^{2}+|w|^{2}$, \end{center} et l'ouvert de Stein $\mathrm{X}=\{(z, w)\in \mathbb{C}^{2};\varphi(z, w)<0\}$. Alors il est impossible de trouver une fonction $\mathrm{p}.\mathrm{s}.\mathrm{h}.\ \psi$ continue sur $\mathrm{X}$ telle que $\varphi<\psi<0$. Une telle fonction $\psi$ serait en effet constante sur chacune des droites $\{z_{\mathrm{v}}\}\times \mathbb{C}$ et $\mathbb{C}\times\{0\}$ contenues dans X. D'apres la contiriuite de $\psi$ et la densit\'{e} de la suite $\{z_{\mathrm{v}}\}, \psi$ serait une constante $c$. On aurait donc cp $