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\begin{document}
\begin{center}
\includegraphics[width=157.82mm,height=36.91mm]{./pdf_images/image001.eps}

\end{center}
JEAN-PIERRE DEMAILLY

Champs magnetiques et inegalites de Morse
pour la #'-cohomologie

{\it Annales de} $l$ '{\it institut Fourier}, tome 35, n${}^{\text{o}}$4 (1985), p. 189-229.

$<\mathrm{http}://\mathrm{w}\mathrm{w}\mathrm{w}.\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{m}.\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{g}_{--}/\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{m}?\mathrm{i}\mathrm{d}=\mathrm{A}\mathrm{I}\overline{\vdash}198535 4_{-}189 -0>$

$[eggc]$ Annales de l'institut Fourier, 1985, tous droits r\'{e}serv\'{e}s.

L'acces aux archives de la revue $\langle\langle$ Annales de l'institut Fourier $\rangle\rangle$

(http://annalif.ujf-grenoble.fr/), implique l'accord avec les conditions ge-

nerales $\mathrm{d}$ 'utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisa-

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\begin{center}
NUMDAM

\end{center}
  {\it Article numerise dans le cadre du programme}

{\it Numerisation de documents anciens mathematiques}

            http://www.numdam.org/

\vspace{1em}
Ann. Inst. Fourier, Grenoble
35, 4 (1985), 189 a 229.

\begin{center}
CHAMPS MAGNETIQUES

ET INEGALITES DE MORSE

POUR LA $d^{\prime\prime}$-COHOMOLOGIE

par Jean-Pierre DEMAILLY

0. Introduction.

\end{center}
   Soit $\mathrm{X}$ une vari\'{e}t\'{e} $\mathrm{C}$-analytique compacte de dimension $n, \mathrm{F}$ un
fibr\'{e} vectoriel holomorphe de rang $r$ et $\mathrm{E}$ un fibre' holomorphe en droites
hermitien de classe $\mathscr{C}^{\infty}$ au-dessus de X. Soit $\mathrm{D}=\mathrm{D}^{\prime}+\mathrm{D}^{\prime\prime}$ la connexion
canonique de $\mathrm{E}$ et $c(\mathrm{E})=\mathrm{D}^{2}=\mathrm{D}^{\prime}\mathrm{D}^{\prime\prime}+\mathrm{D}^{\prime\prime}\mathrm{D}^{\prime}$ la forme de courbure de
cette connexion. D\'{e}signons par $\mathrm{X}(q), 0\leq q\leq n$ , l'ouvert des points de
$\mathrm{X}$ d'indice $q$, i.e. l'ouvert des points $X\in \mathrm{X}$ en lesquels la forme de
courbure $\mathrm{i}c(\mathrm{E})(x)$ a exactement $q$ valeurs propres $<0$ et $(n-q)$
valeurs propres $>0$. On pose \'{e}galement

\begin{center}
$\mathrm{X}(\leq q)=\mathrm{X}(0)\mathrm{u}\mathrm{X}(1)\cup\ldots\cup \mathrm{X}(q)$.

\end{center}
Nous d\'{e}montrons alors les in\'{e}galit\'{e}s de Morse suivantes, qui bornent la
dimension des espaces de cohomologie $\mathrm{H}^{q}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}[eggx] \mathrm{F})$ en fonction
d'invariants integraux de la courbure de E.

  THEOREME 0.1. -- {\it Lorsque} $k$ {\it tend vers} $+\infty$ {\it on a pour tout}
$q=0,1, \ldots, n$ {\it les inigalites asymptotiques suivantes}.

   ({\it a}) {\it In\'{e}galit\'{e}s de Morse} .$\cdot$

\begin{center}
$\displaystyle \dim \mathrm{H}^{q}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}[eggx] \mathrm{F})\leq r\frac{k^{\prime}\mathrm{I}}{n!}\int_{\mathrm{X}(q)}(-1)^{q}(\frac{\mathrm{i}}{2\pi}c(\mathrm{E}))^{n}+o(k^{n})$.

\end{center}
   {\it Mots-clis}: In\'{e}galit\'{e}s de Morse - $d^{\prime\prime}$-cohomologie - Fibre' lin\'{e}aire hermitien - Forme de
courbure - Champ magn\'{e}tique-Op\'{e}rateur de Schr\"{o}.dinger-Identite' de Bochner-Kodaira-
Nakano - Espace de $\mathrm{Mo}i8\mathrm{e}\mathrm{z}\mathrm{o}\mathrm{n}$.

\vspace{1em}
190

JEAN-PIERRE DEMAILLY

  ({\it b}) {\it Inegalites de Morse fortes} .$\cdot$

\begin{center}
$\displaystyle \sum_{j=0}^{q}(-1)^{q-j}\dim \mathrm{H}^{j}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}[eggx] \mathrm{F})\leq r\frac{k^{n}}{n!}\int_{\mathrm{X}(\leq q)} (-1)^{q}(\displaystyle \frac{\mathrm{i}}{2\pi}c(\mathrm{E}))^{n}+o(k^{n})$ .

\end{center}
  (c) {\it Formule de Riemann-Roch asymptotique} .$\cdot$

\begin{center}
$\displaystyle \sum_{q=0}^{n}(-1)^{q}\dim \mathrm{H}^{q}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}[eggx] \mathrm{F})=r\frac{k^{n}}{n!}\int_{\mathrm{x}}(\frac{\mathrm{i}}{2\pi}c(\mathrm{E}))^{n}+o(k^{n})$.

\end{center}
  Les estimations 0.1 (a), ({\it b}) sont nouvelles a notre connaissance, meme
dans le cas des vari\'{e}t\'{e}s projectives. L'egalite asymptotique 0.1 (c), quand a
elle, est une version affaiblie du theoreme de Hirzebruch-Riemann-Roch,
qui est lui-meme un cas particulier du theoreme de l'indice d'Atiyah-
Singer [1]. Ce dernier theoreme permet en effet d'exprimer la caract\'{e}ristique
d'Euler-Poincar\'{e}

\[
\chi(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}[eggx] \mathrm{F})=\sum_{q=0}^{n}(.-1)^{q}\dim \mathrm{H}^{q}(.\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}[eggx] \mathrm{F})
\]

sous la forme

\begin{center}
(0.2)   $\displaystyle \chi(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}[eggx] \mathrm{F})=r\frac{k^{n}}{n!}c_{1}(\mathrm{E})^{n}+\mathrm{P}_{n-1}(k)$;

\end{center}
$\mathrm{P}_{n-1}(k)\in \mathrm{Q}[k]$ designe 1C1 un polyn\^{o}me de degre $\leq n-1$ {\it et}
$c_{1}(\mathrm{E})\in \mathrm{H}^{2}(\mathrm{X},\mathrm{Z})$ est la premiere classe de Chern de $\mathrm{E},$ repr\'{e}sent\'{e}e en
cohomologie de De Rham par la $(1,1)$-forme fermee $\displaystyle \frac{\mathrm{i}}{2\pi}c(\mathrm{E})$ (cf. par
exemple [16] $)$. On observera que la constante numerique de l'in\'{e}galit\'{e}
0 . 1 (a) est optimale, comme le montre l'exemple du fibre produit tensoriel
total $\mathrm{E}=\mathscr{O}(1)^{n-q}\mathbb{H}\mathscr{O}(-1)^{q}$ au-dessus de $\mathrm{X}=(\mathrm{P}^{1}(\mathrm{C}))^{n}$. Pour ce fibre',
on a en effet $\mathrm{X}(q)=\mathrm{X}$ et

\begin{center}
$\dim \mathrm{H}^{q}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k})=(k+1)^{n-q}(k-1)^{q},\ k\geq 1$,

$\displaystyle \int_{\mathrm{x}}(\frac{\mathrm{i}}{2\pi}c(\mathrm{E}))^{n}=(-1)^{q}n$!.

\end{center}
   L'existence d'une majoration du type 0.1(a) etait conjecturee par
Y. T. Siu, qui a successivement demontre le cas particulier o\`{u} $\mathrm{i}c(\mathrm{E})$ est
$>0$ dans le compl\'{e}mentaire d'un ensemble de mesure nulle [16], puis le
cas ou $\mathrm{i}c(\mathrm{E})$ est $\geq 0$ sur $\mathrm{X}[17]$. Nous avons d'ailleurs emprunte a Siu
une partie des techniques ulilis\'{e}cs 1C1, notamment aux \S 3 et \S 5. La preuve

\vspace{1em}
INEGALITES DE MORSE EN $d^{\prime\prime}$-COHOMOLOGIE

191

du th\'{e}or\`{e}me 0.1 repose sur la m\'{e}thode analytique introduite recemment
par E. Witten [18], [19]. Cette methode permet (entre autres) de
redemontrer les in\'{e}galit\'{e}s de Morse classiques $b_{q}\leq m_{q}$ sur une vari\'{e}t\'{e}
diff\'{e}rentiable compacte $\mathrm{M}$, ou $b_{q}$ designe le $q$-ieme nombre $\dot{\mathrm{d}}\mathrm{e}$ Betti et
$m_{q}$ le nombre de points critiques d'indice $q$ d'une fonction de Morse
quelconque sur M. Dans notre situation, le r\^{o}le de la fonction de Morse
est tenu par le choix de la m\'{e}trique hermitienne sur E. On munit d'uelco
part $\mathrm{X}$ et $\mathrm{F}$ de m\'{e}triques hermitiennes arbitraires, qui interviendront
seulement dans les termes $o(k^{n})$ des estimations finales. \'{E}tant donne un
r\'{e}el A $\geq 0$, on considere le sous-complexe $\ovalbox{\tt\small REJECT}_{k}.(\lambda)$ {\it du} complexe de
Dolbeault $\mathscr{C}_{0}^{\infty},.(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}[eggx] \mathrm{F})$ des $(\mathrm{O},q)$-formes de classe $\mathscr{C}^{\infty}$ sur $\mathrm{X}$ \`{a} valeurs
dans $\mathrm{E}^{k}[eggx] \mathrm{F}$ , engendre par les fonctions propres du Laplacien
antiholomorphe $\Delta^{\prime\prime}$ dont les valeurs propres sont $\leq k\lambda$. Les groupes de
cohomologie du complexe $\ovalbox{\tt\small REJECT}_{k}.(\lambda)$ sont alors isomorphes aux groupes
$\mathrm{H}^{q}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}[eggx] \mathrm{F})$ (proposition 4.1), de sorte qu'il suffit de savoir borner la
dimension des espaces $\ovalbox{\tt\small REJECT}_{k}^{q}(\lambda)$. Pour cela, on utilise essentiellement Opre
outils.

Le premier outil consiste en une formule de type Weitzenb\"{o}ck

\begin{center}
(0.3) $\displaystyle \frac{2}{k}\int_{\mathrm{X}}\langle\Delta^{\prime\prime}u,u\rangle=\int_{\mathrm{x}}\frac{1}{k}|\nabla_{k}u+\mathrm{S}u|^{2}-\langle \mathrm{V}u,u\rangle+\frac{1}{k}\langle\Theta u,u\rangle$

\end{center}
demontree au \S 3, et d\'{e}riv\'{e}e de l'identit\'{e} de Bochner-Kodaira-Nakano non
k\"{a}hl\'{e}rienne [6]. $\nabla_{k}$ designe 1C1 la connexion hermitienne naturelle sur le
fibr\'{e} $\Lambda^{0.q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}$ OX $\mathrm{E}^{k}[eggx] \mathrm{F}$ , $\mathrm{V}$ est un potentiel lineaire $\mathrm{d}' \mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{r}e_{\backslash }0$ lie a la
courbure du fibr\'{e} $\mathrm{E}$, enfin $\mathrm{S}$ et $\Theta$ sont des opjrateurs d'ordre 0
provenant de la torsion de la m\'{e}trique hermitienne sur $\mathrm{X}$ et de la courbure
de F. L'\'{e}tude du spectre de $\Delta$'' se trouve donc ramen\'{e}e a l'\'{e}tude du
spectre de l'op\'{e}rateur autoadjoint $\nabla_{k}^{*}\nabla_{k}$ associe' a la connexion reelle $\nabla_{k}$.

   Le deuxieme outil fondamental consiste precisement en un th\'{e}or\`{e}me
spectral tr\`{e}s g\'{e}n\'{e}ral relatif aux op\'{e}rateurs du type $\nabla^{*}\nabla$. Soit $(\mathrm{M},g)$ une
vari\'{e}t\'{e} riemannienne $\mathscr{C}^{\infty}$ de dimension r\'{e}elle $n, \mathrm{E}$ un fibre en droites
complexes au-dessus de $\mathrm{X}$, muni d'une connexion hermitienne V. Si $\nabla_{k}$
designe la connexion induite par $\nabla$ sur $\mathrm{E}^{k}$, on etudie alors le spectre de la
forme quadratique

\begin{center}
(0.4)   $\displaystyle \mathrm{Q}_{k}(u)=\int_{\Omega}(\frac{1}{k}|\nabla_{k}u|^{2}-\mathrm{V}|u|^{2})$ do , $u\in \mathrm{L}^{2}(\Omega,\mathrm{E}^{k})$

\vspace{1em}
\end{center}
192

JEAN-PIERRE DEMAILLY

pour le probleme de Dirichlet, ou $\Omega$ est un ouvert relativement compact
dans $\mathrm{M}$, et ou $\mathrm{V}$ est un potentiel scalaire continu sur M. D'un point de
vue physique, ceci revient a \'{e}tudier le spectre de l'operateur de Schr\"{o}dinger
$\displaystyle \frac{1}{k}(\nabla_{k}^{*}\nabla_{k}-k\mathrm{V})$ associe au champ \'{e}lectrique $k\mathrm{V}$ et au champ magn\'{e}tique
AB, oti $\mathrm{B}=-\mathrm{i}\nabla^{2}$ n'est autre que la 2-forme de courbure de la
connexion V. C'est dans la pr\'{e}sence de ce champ magn\'{e}tique que r\'{e}side
notre contribution principale par rapport a la methode de E. Witten [18],
[19] (dans le cas de la cohomologie de De Rham le champ magnetique est
toujours nul puisque $d^{2}=0$).

   En tout point $X\in \mathrm{X}$, soit $2s=2s(x)\leq n$ le rang de $\mathrm{B}(x)$ et
$\mathrm{B}_{1}(x)\geq\ldots\geq \mathrm{B}_{s}(x)>0$ les modules des valeurs propres non nulles En
l'endomorphisme antisym\'{e}trique associe. On d\'{e}finit une fonction $\mathrm{v}_{\mathrm{B}(x)}(\lambda)$
du couple $(x,\lambda)\in \mathrm{M}\times \mathrm{R}$ , continue a gauche en $\lambda$, en posant

\begin{center}
(0.5) $\displaystyle \mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\lambda)=\frac{2^{s-n}\pi^{-\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}-s+1)}\mathrm{B}_{1}\ldots \mathrm{B}_{s}\sum_{(p_{1},..,p_{S})\in \mathrm{N}^{S}} [\mathrm{A}-\mathrm{l}(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}]^{\frac{n}{2+}-s}$

\end{center}
avec la convention $0^{\mathrm{O}}=0$. Enfin, si $\lambda_{1}\leq\lambda_{2}\leq\ldots$ designent les valeurs
propres de $\mathrm{Q}_{k}$ (comptees avec multiplicite'), on considere la fonction de
de'nombrement

\begin{center}
$\mathrm{N}_{k}(\lambda)=\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d} \{j;\lambda_{j}\leq\lambda\},\ \lambda\in \mathrm{R}$.

\end{center}
   THEOREME 0.6. -- {\it Si} IQ {\it est de mesure nulle, il existe un ensemble}
{\it denombrable} $\mathscr{D}\subset \mathrm{R}$ {\it tel que}

\begin{center}
$\displaystyle \lim_{k\rightarrow+\infty}k^{-\frac{n}{2}}\mathrm{N}_{k}(\lambda)=\int_{\Omega}\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V}+\lambda)$ do

\end{center}
{\it pour tout} $\lambda\in \mathrm{R}\backslash \mathscr{D}$.

  Pour d\'{e}montrer le theoreme 0.6, on commence par itudier le cas simple
ou $\mathrm{M}=\mathrm{R}^{n}$ avec un champ magn\'{e}tique constant $\mathrm{B}$ et avec $\mathrm{V}=0$.
Lorsque 0 est un cube, on sait alors expliciter les fonctions propres par
une transformation de Fourier partielle qui ramene le probleme a celui
classique de l'oscillateur harmonique en une variable. L'id\'{e}e de ce calcul
nous a \'{e}t\'{e} fortement inspir\'{e}e par les articles [3] [4] de Y. Colin de Verdiere.
L'extension du r\'{e}sultat au cas d'un champ magn\'{e}tique quelconque reprend

\vspace{1em}
INEGALITES DE MORSE EN $d^{\prime\prime}$-COHOMOLOGIE

193

une id\'{e}e de [16], consistant a utiliser un pavage de $\Omega$ par des cubes assez
petits. Notre methode est n\'{e}anmoins tr\`{e}s differente de celle de Siu, puisque
nous travaillons directement sur les formes harmoniques alors que Siu se
ramenait aux cochaines holomorphes via l'isomorphisme de Dolbeault. On
gagne ainsi beaucoup en pr\'{e}cision sur les estimations cherchees. Le c\^{o}t\'{e} Ucs
cubes doit etre ici choisi d'un ordre de grandeur interm\'{e}diaire entre $k^{-\frac{1}{2}}$ et
$k^{-\frac{1}{4}}$, par exemple $k^{-\frac{1}{3}}$ : $k^{-\frac{1}{2}}$ est en effet la longueur d'onde des premieres
fonctions propres, de sorte que l'action du champ magnetique $\mathrm{B}$ n'est pas
perceptible a une echelle inf\'{e}rieure; au-dessus de $k^{-\frac{1}{4}}$, l'oscillation de $\mathrm{B}$ est
au contraire trop forte. On utilise finalement le principe du minimax pour
comparer les valeurs propres sur $\Omega$ aux valeurs propres sur les cubes.
Dans la methode anterieure de [16] (telle qu'elle est reprise dans [7]), la
taille des cubes \'{e}tait choisie \'{e}gale \`{a} $k^{-\frac{1}{2}}$ ; on peut voir ais\'{e}ment que ce
choix \'{e}tait critique pour permettre de borner les effets du champ
magn\'{e}tique independamment de $k$, mais la d\'{e}termination exacte du
spectre devenait alors impossible.

   Le dernier paragraphe est consacre a l'etude de caracterisations
g\'{e}om\'{e}triques des espaces de $\mathrm{Moi}8\mathrm{e}\mathrm{z}\mathrm{o}\mathrm{n}[13]$. Rappelons qu'un espace
analytique compact irr\'{e}ductible $\mathrm{X}$ est appele' espace de MoiSezon si le
corps $\mathrm{K}(\mathrm{X})$ des fonctions m\'{e}romorphes sur $\mathrm{X}$ est de degre' is
transcendance $=n=\dim_{\mathbb{C}}\mathrm{X}$. La conjecture de Grauert-Riemenschneider
[10] affirme que $\mathrm{X}$ est de $\mathrm{Moi}8\mathrm{e}\mathrm{z}\mathrm{o}\mathrm{n}$ si et seulement si il existe un faiaract
quasi-positif {\it ff} de rang 1 sans torsion au-dessus de X. Par
desingularisation, on se ramene au cas oti $\mathrm{X}$ est lisse et oti $g$ est le
faisceau localement libre des sections d'un fibri en droites $\mathrm{E}$ strictement
positif sur un ouvert dense de X. Y. T. Siu [17] a resolu recemment la
conjecture et l'a renforc\'{e}e en supposant seulement $\mathrm{i}c(\mathrm{E})$ semi-positive et
$>0$ en au moins un point. L'utilisation du th\'{e}or\`{e}me 0.1 ({\it b}) permet de
trouver des conditions g\'{e}om\'{e}triques plus faibles encore, qui n'exigent pas
la semi-positivite ponctuelle de $\mathrm{i}c(\mathrm{E})$, mais seulement la positivite' d'une
certaine int\'{e}grale de courbure. Pour $q=1$ , l'in\'{e}galit\'{e} 0.1 ({\it b}) implique en
effet une minoration du nombre de sections holomorphes de $\mathrm{E}^{k}$, a savoir :

(0.7) $\displaystyle \dim \mathrm{H}^{0}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k})\geq\frac{k^{n}}{n!}\int_{\mathrm{X}(\leq 1)}(\frac{i}{2\pi}c$ (E) $)^{n}-o(k^{n})$ .

On peut montrer d'autre part, en utilisant un raisonnement classique de
Siegel [15] mis en forme par [16] que $\dim \mathrm{H}^{\mathrm{O}}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k})\leq \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{e}.k^{n-1}$ si $\mathrm{X}$ n'est

\vspace{1em}
194

JEAN-PIERRE DEMAILLY

pas de $\mathrm{Moi}8\mathrm{e}\mathrm{z}o\mathrm{n}$ (cf. theoreme 5.1). De la il resulte le

   THEORIME 0.8. -- {\it Soit} $\mathrm{X}$ {\it une variete} $\mathrm{C}$-{\it analytique compacte connexe de}
{\it dimension} $n$. {\it Pour que} $\mathrm{X}$ {\it soit de} $Mo\mathrm{i}\check{s}ezon$, {\it il sujfit que} $\mathrm{X}$ {\it possede un fibre}
{\it holomorphe en droites hermitien v\'{e}rifiant} $l^{\prime}une$ {\it des hypotheses} (a), (b), (c) {\it ci}-
{\it dessous}.

   (a) $\displaystyle \int_{\mathrm{X}(\leq 1)}(ic(\mathrm{E}))^{n}>0$.

   (b) $c_{1}(\mathrm{E})^{n}>0$, {\it et la forme de courbure} $ic(\mathrm{E})$ {\it ne possede aucun point}
$d^{\prime}\mathrm{i}nd\mathrm{i}ce$ {\it pair} +0.

   (c) $\mathrm{i}c(\mathrm{E})$ {\it est semi-positive en tout point de} $\mathrm{X}$ {\it et definie positive en au}
{\it moins un point de} X.

  Ce travail a fait l'objet d'une note [8] du meme titre, publiee aux
Comptes Rendus. Le prisent article est une version amelioree d'un
m\'{e}moire anterieur [7], qui \'{e}tait plus proche des techniques initiales de Siu,
et qui d\'{e}montrait seulement l'inegalite 0.1 (a) a la constante numetique
pr\`{e}s; de ce fait, les estimations 0.1 (b) et (c) restaient inaccessibles.

   L'auteur remercie vivement $\mathrm{MM}$. Gerard Besson, Alain Dufresnoy,
Sylvgstre Gallot et tout particulierement Yves Colin de Verdiere, pour de
stimulantes conversations qui ont beaucoup contribue' a la mise en fonac
d\'{e}finitive des id\'{e}es de ce travail, notamment dans le \S 1.

\begin{center}
1. Spectre de $1' 0\beta \mathrm{rateur}$ de \& hr\"{o}dinger associ6

$\lambda$ un champ magndtique constant.

\end{center}
  Soit $(\mathrm{M},g)$ une variete riemannienne de classe $\mathscr{C}^{\infty}$, de dimension
r\'{e}elle $n$, et $\mathrm{E}\rightarrow \mathrm{M}$ un fibre' en droites complexes au-dessus de $\mathrm{M}$, otai
d'une m\'{e}trique hermitienne $\mathscr{C}^{\infty}$ Notons $\mathscr{C}_{q}^{\infty}(\mathrm{M},\mathrm{E})$ l'espace des sections
de classe $\mathscr{C}$ '' du fibr\'{e} $\Lambda^{q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{M}$ OX $\mathrm{E}$ , et $(?|?)$ l'accouplement
sesquilin\'{e}aire canonique

\begin{center}
$\mathscr{C}_{q}^{\infty}(\mathrm{M},\mathrm{E})\times \mathscr{C}_{q}^{\infty}(\mathrm{M},\mathrm{E})\rightarrow \mathscr{C}_{p+q}^{\infty}(\mathrm{M},\mathrm{C})$.

\end{center}
On suppose donn\'{e}e une connexion hermitienne $\mathrm{D}$ sur $\mathrm{E},$ c'est-\`{a}-dire un
op\'{e}rateur diff\'{e}rentiel d'ordre un

\begin{center}
$\mathrm{D}$ : $\mathscr{C}_{q}^{\infty}(\mathrm{M},\mathrm{E})\rightarrow \mathscr{C}_{q+1}^{\infty}(\mathrm{M},\mathrm{E}),\ 0\leq q<n$,

\vspace{1em}
\end{center}
INEGALITES DE MORSE EN $d^{\prime\prime}$-COHOMOLOGIE

195

v\'{e}rifiant les identit\'{e} $\mathrm{s}$

(1.1) $\mathrm{D}$($f$ Ae) $=df$ A $u+(-1)^{m}f$ A D{\it u},
(1.2)   $d(u|v)=(\mathrm{D}u|v)+(-1)^{p}(u|\mathrm{D}v)$,

pour toutes sections $f\in \mathscr{C}_{m}^{\infty}(\mathrm{M},\mathrm{C}), u\in \mathscr{C}_{p}^{\infty}(\mathrm{M},\mathrm{E}), v\in \mathscr{C}_{q}^{\infty}(\mathrm{M},\mathrm{E})$. Soit
$.\Theta:\mathrm{E}|_{\mathrm{W}}\rightarrow \mathrm{W}\times \mathrm{C}$ une trivialisation isometrique de $\mathrm{E}$ au-dessus d'un
ouvert $\mathrm{W}\subset \mathrm{M}$ . Les connexions hermitiennes de $\mathrm{E}|_{\mathrm{W}}$ sont alors touiss
donn\'{e}es par la formule suivante :

\begin{center}
$Du=du+\mathrm{iA}$ A $u$,

\end{center}
o\`{u} $u\in \mathscr{C}_{q}^{\infty}(\mathrm{W},\mathrm{E})\simeq \mathscr{C}_{q}^{\infty}(\mathrm{W},\mathrm{C})$ et ou A $\in \mathscr{C}_{1}^{\infty}(\mathrm{W},\mathrm{R})$ est une 1-Orrme {\it rielle}
arbitraire.

   Le {\it champ magnitique} (ou forme de courbure) associe' a la connexion $\mathrm{D}$
est la 2-forme r\'{e}elle fermee $\mathrm{B}=d\mathrm{A}$ telle que

\[
\mathrm{D}^{2}u=\mathrm{i}\mathrm{B}\Lambda u
\]

pour tout $u\in \mathscr{C}_{q}^{\infty}(\mathrm{M},\mathrm{E}).\ \mathrm{B}$ ne d\'{e}pend donc que de la connexion $\mathrm{D}$, mais
pas de la trivialisation 0 choisie. Un changement de phase $u=ve^{i\varphi}$ dans
0 conduit a remplacer A par A $+d\varphi$. Le choix d'une trivialisation de $\mathrm{E}$
et de la 1-forme A correspondante s'interprete physiquement comme le
choix d'un potentiel vecteur particulier du champ magnetique B.

  Designons par $|u|$ la norme ponctuelle d'un \'{e}l\'{e}ment $u\in\Lambda^{q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{M}$ OX $\mathrm{E}$
pour la metrique produit tensoriel des m\'{e}triques de $\mathrm{M}$ et E. Si 0 est un
ouvert de $\mathrm{M}$, on note $\mathrm{L}^{2}(\Omega,\mathrm{E})$ (resp. $\mathrm{L}_{q}^{2}(\Omega,\mathrm{E})$) l'espace $\mathrm{L}^{2}$ des sectimes
de $\mathrm{E}$ (resp. de $\Lambda^{q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{M}[eggx] \mathrm{E}$) au-dessus de $\Omega$, muni de la norre

\begin{center}
$||u||_{\Omega}^{2}=\displaystyle \int_{\Omega}|u|^{2}$ {\it da} ,

\end{center}
o\`{u} $ d\sigma$ est la densit\'{e} de volume riemannien sur M.

   Soit $\mathrm{D}_{k}$ la connexion induite par $\mathrm{D}$ sur la puissance tensorielle {\it k}-
ieme $\mathrm{E}^{k}$, et $\mathrm{V}$ un potentiel scalaire sur $\mathrm{M}$, i.e. une fonction reelle
continue. Etant donne un ouvert relativement compact $\Omega\subset \mathrm{M}$, nous
nous proposons de d\'{e}terminer asymptotiquement lorsque $k$ tend veno
+00 le spectre de la forme quadratique

(1.3) $\displaystyle \mathrm{Q}_{\Omega,k}(u)=\int_{\Omega}(\frac{1}{k}|\mathrm{D}_{k}u|^{2}-\mathrm{V}|u|^{2})$ do

\vspace{1em}
196

JEAN-PIERRE DEMAILLY

ou' $u\in \mathrm{L}^{2}(\Omega,\mathrm{E}^{k})$ , avec condition de Dirichlet $u|_{\partial\Omega}=0$. Le domaine de
$\mathrm{Q}_{\Omega,k}$ est donc l'espace de Sobolev $\mathrm{W}_{\mathrm{o}}^{1}(\Omega,\mathrm{E}^{k})=\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{h}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{e}$ de l'espace
$\mathscr{D}(\Omega,\mathrm{E}^{k})$ des sections $\mathrm{C}^{\infty}$ de $\mathrm{E}^{k}$ a support compact dans $\Omega$ tios
l'espace $\mathrm{W}^{1}(\mathrm{M},\mathrm{E}^{k})$ . D'un point de vue physique, ceci revient a etudier le
spectre de l'operateur de Schr\"{o}dinger $\displaystyle \frac{1}{k}(\mathrm{D}_{k}^{*}\mathrm{D}_{k}-k\mathrm{V})$ associe au champ
magn\'{e}tique AB et au champ \'{e}lectrique $k\mathrm{V}$ , lorsque $k$ tend vers $+$ co .
'Nous renvoyons le Iecteur a l'article classique [2] pour une \'{e}tude g\'{e}n\'{e}rale
du spectre de l'operateur de Schr\"{o}dinger, et aux travaux [3], [4], [5], [9], [12]
pour l'\'{e}tude de problemes asymptotiques voisins du precedent.

   DEFINITION 1.4. -- {\it On disignera par} $\mathrm{N}_{\Omega,k}(\lambda)$ {\it le nombre de valeurs}
{\it propres} $\leq\lambda$ {\it de la forme quadratique} $\mathrm{Q}_{\Omega,k}$ .

  Nous allons d'abord etudier un cas simple qui servira de mod\`{e}le pour le
cas g\'{e}n\'{e}ral au \S 2. On se place dans la situation suivante : $\mathrm{M}=\mathrm{R}^{n}$ avec le
m\'{e}trique constante $g=\displaystyle \sum_{j=1}^{n}dx_{j}^{2}, \Omega$ est le cube de c\^{o}t\'{e} $r$ :

\begin{center}
$\Omega =\{(x_{1},\ldots,x_{n})\in \mathrm{R}^{n}$ ; $|x_{j}|<\displaystyle \frac{r}{2}, 1\leq j\leq n\}$,

\end{center}
$\mathrm{V}=0$, et enfin le champ magn\'{e}tique $\mathrm{B}$ est constant, \'{e}gal a la 2-forme
alternee de rang $2s$ donn\'{e}e par

\begin{center}
$\displaystyle \mathrm{B}=\sum_{j=1}^{s}\mathrm{B}_{j}dx_{j}$ A $dx_{j+s}$,

\end{center}
avec $\mathrm{B}_{1}\geq \mathrm{B}_{2}\geq\cdots\geq \mathrm{B}_{s}>0,\ s\displaystyle \leq\frac{n}{2}$. On peut alors choisir une
trivialisation de $\mathrm{E}$ dont le potentiel vecteur associe' est

\begin{center}
A $=\displaystyle \sum_{j=1}^{s}\mathrm{B}_{j}x_{j}dx_{j+s}$.

\end{center}
La connexion de $\mathrm{E}^{k}$ s'\'{e}crit donc

\begin{center}
$\mathrm{D}_{k}u=du +\mathrm{i}k\mathrm{A}\Lambda u$,

\end{center}
et la forme quadratique $\mathrm{Q}_{\Omega,k}$ est donnee par

\[
\mathrm{Q}_{\Omega,k}(u)=\frac{1}{k}\int_{\Omega}[_{\iota_{\sim}}<j\sum_{\sim}<s(|\frac{\partial u}{\partial \mathrm{x}_{j}}\left|2 & +\right|\frac{\partial u}{\partial x_{j+s}}+\mathrm{i}k\mathrm{B}_{j}x_{j}u|^{2})+\sum_{j>2s}|\frac{\partial u}{\partial x_{j}}|^{2}]d\mu
\]

\vspace{1em}
INEG@LI@E@ DE MORSE EN $d^{\prime\prime}$-COHOMOLOGIE

197

ou $ d\mu$ d\'{e}signe la mesure de Lebesgue sur $\mathrm{R}^{n}$. Si on effectue l'homoth\'{e}tie
$\mathrm{X}_{j}=\sqrt{k}x_{j}$ , on est ramene a etudier les valeurs propres de la forme
quadratique

\[
\int_{\sqrt{k}\Omega}[1<j\sum_{\sim}\leq s(|\frac{\partial u}{\partial \mathrm{X}_{j}}\left|2 & +\right|\frac{\partial u}{\partial \mathrm{X}_{j+s}}+\mathrm{i}\mathrm{B}_{j}\mathrm{X}_{j}u|^{2})+\sum_{j>2s}|\frac{\partial u}{\partial \mathrm{X}_{j}}|^{2}]d\mu
\]

sur les cubes $\sqrt{k}\Omega$ de cite $\sqrt{k}r$. Au champ $\mathrm{B}$, nous associons la
fonction de la variable r\'{e}elle $\lambda$ definie par

\begin{center}
(1.5)   $\displaystyle \mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\lambda)=\frac{2^{s-n}\pi^{-\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}-s+1)}\mathrm{B}_{1}\ldots \mathrm{B}_{s}\sum_{(p_{1},\ldots,p_{S})\in \mathrm{N}^{S}}[\lambda-\Sigma(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}]^{\frac{n}{2+}-s}$

\end{center}
ou l'on pose par convention $\lambda_{+}^{0}=0$ si I $\leq 0$ et $\lambda_{+}^{0}=$ I si $\lambda>0$. La
fonction V9 est donc croissante et continue a gauche sur $\mathrm{R}$; on observera
que V9 est en fait continue si $s<\displaystyle \frac{n}{2}$. Le spectre de $\mathrm{Q}_{\Omega,k}$. est alors d\'{e}crit
asymptotiquement par le theoreme suivant, dont l'id\'{e}e nous a ite suggeree
par Y. Colin de Verdiere [4].

  THEOREME 1.6. -- {\it Soit} $\mathrm{R}$ {\it un reel} $>0$,

\begin{center}
$\mathrm{P}(\mathrm{R})=\{\mathrm{x}\in \mathrm{R}^{n}$ ; $|x_{j}|<\displaystyle \frac{\mathrm{R}}{2}\}$

\end{center}
{\it le pavi de cite} $\mathrm{R}, \mathrm{Q}_{\mathrm{R}}$ {\it la forme quadratique}

\begin{center}
$\displaystyle \mathrm{Q}_{\mathrm{R}}(u)=\int_{\mathrm{P}(\mathrm{R})}[_{1<}\sum_{\sim i\leq s}(|\frac{\partial u}{\partial x_{j}}\left|2 & +\right|\displaystyle \frac{\partial u}{\partial \mathrm{x}_{j+s}}+\mathrm{i}\mathrm{B}_{j}x_{j}u|^{2})+\sum_{j>2s}|\frac{\partial u}{\partial x_{j}}|^{2}]d\mu$,

\end{center}
{\it et} $\mathrm{N}_{\mathrm{R}}(\lambda)$ {\it le nombre de valeurs propres} $\leq\lambda$ {\it de} $\mathrm{Q}_{\mathrm{R}}$ {\it pour le probleme de}
{\it Dirichlet. Alors pour tout} $\lambda\in \mathrm{R}$ {\it on} $a$

\begin{center}
$\displaystyle \lim_{\mathrm{R}\rightarrow+\infty}\mathrm{R}^{-n}\mathrm{N}_{\mathrm{R}}(\lambda)=\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\lambda)$.

\end{center}
   Lorsque $s=\displaystyle \frac{n}{2}, \mathrm{v}_{\mathrm{B}}$ est une fonction en escalier. Les valeurs propres de
$\mathrm{Q}_{\mathrm{R}}$ se regroupent donc par paquets autour des valeurs $\Sigma(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}$, avec
multiplicite' approximative $(2\pi)^{-s}\mathrm{B}_{1}\ldots \mathrm{B}_{s}\mathrm{R}^{n}$. Ceci peut s'interpre'ter
physiquement comme un ph\'{e}nom\`{e}ne de quantification des etats propres.

\vspace{1em}
198

JEAN-PIERRE DEMAILLY

En revenant au probleme initial relatif a la forme quadratique $\mathrm{Q}_{\Omega,k}$, nous
obtenons le

COROLLAIRE 1.7. -- $\displaystyle \lim_{k\rightarrow+\infty}k^{-\frac{n}{2}}\mathrm{N}_{\Omega,k}(\lambda)=r^{n}\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\lambda).\ \square $

   {\it Demonstration du thioreme} 1.6. -- On cherche d'abord a majorer
$\mathrm{N}_{\mathrm{R}}(\lambda)$. Dans ce but, \'{e}tant donne $u\in \mathrm{W}_{0}^{1}(\mathrm{P}(\mathrm{R}))$ , on exprime $u$ sous
forme de serie de Fourier partielle par rapport aux variables $x_{s+1}, \ldots, x_{n}$ :

\[
u(x)=\mathrm{R}^{-\frac{1}{2}(n-s)}\sum_{t\in \mathrm{z}^{n-s}}u_{t}(x^{\prime})\exp(\frac{2\pi \mathrm{i}}{\mathrm{R}}l.x^{\prime\prime})
\]

ou $u, \in \mathrm{W}_{\mathrm{O}}^{1}(\mathrm{R}^{s}\cap \mathrm{P}(\mathrm{R}))$ , avec les notations

\begin{center}
$x^{\prime}=(x_{1}, \ldots,x_{s}),\ x^{\prime\prime}=(x_{s+1}, \ldots,x_{n})$,

$l.x^{\prime\prime}=l_{1}x_{s+1}+ \cdot$ . . $+l_{n-s^{X}n}$.

\end{center}
   L'hypothese $u\in \mathrm{W}_{0}^{1}(\mathrm{P}(\mathrm{R}))$ entraine que la serie

\[
\Sigma|l|^{2}|u,(x^{\prime})|^{2}
\]

est dans $\mathrm{L}^{2}(\mathrm{R}^{s})$. Posons $l^{\prime}=(l_{1}, \ldots,l_{s}),\ l^{\prime\prime}=(l_{s+1}, \ldots,l_{n-s})$. La
norme $||u||_{\mathrm{P}(\mathrm{R})}$ et la forme quadratique $\mathrm{Q}_{\mathrm{R}}$ sont donnees par

\begin{center}
$||u||_{\mathrm{P}(\mathrm{R})}^{2}=\displaystyle \sum_{t\in \mathrm{Z}^{n-s}}\int_{\mathrm{R}^{S}}|u,(x^{\prime})|^{2}d\mu(x^{\prime})$,

\end{center}
$\displaystyle \mathrm{Q}_{\mathrm{R}}(u)=\sum_{t\in \mathrm{Z}^{n-s}}\int_{\mathrm{R}^{S}}[1\leq\sum_{\sim}j<s(|\frac{\partial u}{\partial x_{j}},|^{2}+(\frac{2\pi}{\mathrm{R}}l_{j}+\mathrm{B}_{j}x_{j})^{2}|u,|^{2})$

\begin{center}
$+\displaystyle \frac{4\pi^{2}}{\mathrm{R}^{2}}|l^{\prime\prime}|^{2}|u,|^{2}]d\mu(x^{\prime})$.

\end{center}
On obtient par cons\'{e}quent un probleme de Dirichlet a $\langle\langle$ variables
s\'{e}par\'{e}es $\rangle\rangle$ sur le cube $\mathrm{R}^{s}\cap \mathrm{P}(\mathrm{R})$ . En posant $t=x_{j}+\displaystyle \frac{2\pi l_{j}}{\mathrm{RB}_{j}}$, on est
ramene' a etudier le spectre de la forme quadratique d'une variable

\begin{center}
$q(f)=\displaystyle \int_{\mathrm{R}}(|\frac{df}{dt}|^{2}+\mathrm{B}_{j}^{2}t^{2}|f|^{2})dt$,

\end{center}
avec $f\displaystyle \in \mathrm{W}_{0}^{1}(]-\frac{\mathrm{R}}{2}, \displaystyle \frac{\mathrm{R}}{2}[+\frac{2\pi \mathit{1}_{j}}{\mathrm{R}\mathrm{B}_{j}})$. On retombe donc sur le probleme

\vspace{1em}
INEGALITES DE MORSE EN $d^{\prime\prime}$-COHOMOLOGIE

199

classique de l'oscillateur harmonique (cf. par exemple [14], Vol. $\mathrm{I}$, p. 142).
Sur $\mathrm{R}$, i.e. sans condition de support pour $f$, la suite des valeurs propres
de $q$ est la suite $(2m+1)\mathrm{B}_{j}, m\in \mathrm{N}$, et les fonctions propres associees sont
donn\'{e}es par $\Phi_{m}(\sqrt{\mathrm{B}_{j}}t)$ ou $\Phi_{0}, \Phi_{1}, \ldots$ sont les fonctions d'Hermite:

\begin{center}
$\displaystyle \Phi_{m}(t)=e^{t^{2}/2}\frac{d^{m}}{dt^{m}}(e^{-t^{2}})$.

\end{center}
Pour tout $p_{j}\in \mathrm{N}$ , notons $\Psi_{p_{j},l_{j}}(x_{j})$ la $p_{j}$-ieme fonction propre de la forme
quadratique

   (1,$\cdot$8) $qU)=\displaystyle \int_{\mathrm{R}}(|\frac{df}{dx_{j}}|^{2}+(\frac{2\pi}{\mathrm{R}}l_{j}+\mathrm{B}_{j}x_{j})^{2}|f|^{2})d\mathrm{x}_{j}$

pour $f\displaystyle \in \mathrm{W}_{0}^{1}(]-\frac{\mathrm{R}}{2}$ , $\displaystyle \frac{\mathrm{R}}{2}[)$, et $\lambda_{p_{j},\swarrow j}$ la valeur propre correspondante. On
peut alors d\'{e}composer chaque fonction $u_{t}$ en serie de fonctions propres, ce
qui conduit a ecrire $u$ sous la forme

\begin{center}
(1.9)   $u(x)=\displaystyle \mathrm{R}^{--\frac{1}{2}(n-s)}\sum_{(p,t)\in \mathrm{N}^{S}\mathrm{x}\mathrm{z}^{n-s}}u_{p,t}\Psi_{pl^{\prime}}(x^{\prime})\exp(\frac{2\pi \mathrm{i}}{\mathrm{R}}l.\mathrm{x}^{\prime\prime})$

\end{center}
avec $u_{p.J}\in \mathrm{C},\ \displaystyle \Psi_{p,t^{\prime}}(x^{\prime})=\prod_{1\leq j\leq \mathrm{s}}\Psi_{p_{j},t_{\mathrm{j}}}(x_{j})$.

On prendra garde au fait que $\displaystyle \Psi_{p,t^{\prime}}(x^{\prime})\exp(\frac{2\pi \mathrm{i}}{\mathrm{R}}l.x^{\prime\prime},)$ {\it n}'{\it est pas} une vraie
fonction propre pour le probleme de Dirichlet, car le terme exponentiel
prend des valeurs non nulles aux points du bord $x_{j}=\displaystyle \pm\frac{\mathrm{R}}{2}, j>s$. Par
cons\'{e}quent, les coefficients $(u_{p,\swarrow})$ ne sont pas arbitraires si $u\in \mathrm{W}_{0}^{1}(\mathrm{P}(\mathrm{R}))$;
ils doivent v\'{e}rifier les conditions d'annulation au bord :

\begin{center}
(1.10)   ,$\displaystyle \sum_{j^{\mathrm{eZ}}}(-1)^{t_{j}}u_{p,t}=0$

\end{center}
pour tout $j=1$, . . ., $n-s$ et tous les indices autres que $l_{j}$ fix\'{e}s:

\begin{center}
$p\in \mathrm{N}^{s}, l_{1}$, . . , $l_{j-1}, l_{j+1}, \cdots, l_{n-s}\in \mathrm{Z}$.

\end{center}
Avec l'\'{e}criture (1.9), la norme $\mathrm{L}^{2}$ et la forme quadratique $\mathrm{Q}_{\mathrm{R}}$ s'expriment
sous la forme

\begin{center}
$||u||_{\mathrm{P}(\mathrm{R})}^{2}=\Sigma|u_{p,J}|^{2},\ \displaystyle \mathrm{Q}_{\mathrm{R}}(u)=\Sigma(\lambda_{p.t^{\prime}}+\frac{4\pi^{2}}{\mathrm{R}^{2}}|l^{\prime\prime}|^{2})|u_{p,J}|^{2}$,

\vspace{1em}
\end{center}
200

JEAN-PIERRE DEMAILLY

ou $\displaystyle \lambda_{p,t^{\prime}}=1_{\sim}<s\sum_{<j_{\sim}}\lambda_{p_{j},\swarrow j}$. Le principe du minimax 1.20 ({\it b}) rappele plus loin
montre que
(1.11)   $\displaystyle \mathrm{N}_{\mathrm{R}}(\lambda)\leq \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\{(p,\parallel)\in \mathrm{N}^{s}\times \mathrm{Z}^{n-s};\lambda_{p},''+\frac{4\pi^{2}}{\mathrm{R}^{2}}|l^{\prime\prime}|^{2}\leq\lambda\}$.

II suffit donc d'obtenir une minoration ad\'{e}quate de $\lambda_{p_{j},\swarrow j}$.

  LEMME 1.12. -- {\it On a} $l^{\prime}\mathrm{i}n\acute{e}gal\mathrm{i}t\acute{e}$

\begin{center}
$\displaystyle \lambda_{p_{j},\swarrow j}\geq\max((2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}, \displaystyle \frac{4\pi^{2}}{\mathrm{R}^{2}}[(\frac{p_{j}+1}{2})^{2}+(|l_{j}|-\frac{\mathrm{B}_{j}\mathrm{R}^{2}}{4\pi})_{+}^{2}])$,

\end{center}
{\it et celle-ci est stricte si} $l_{j}\neq 0$ {\it ou si} $\Phi_{p_{j}}(\mathrm{R}\sqrt{\mathrm{B}_{j}}/2)\neq 0$ .

   La minoration $\lambda_{p_{j},\swarrow j}\geq(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}$ resulte en effet du minimax et du fait
que les valeurs propres de $qU$) sur $\mathrm{R}$ valent $(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}$. Pour obtenir
l'autre in\'{e}galit\'{e}, on minore (1.8) par la forme quadratique

\begin{center}
$\displaystyle \hat{q}U)=\int_{|x,|<\mathrm{R}/2}(|\frac{df}{dx_{j}}|^{2}+(\frac{2\pi}{\mathrm{R}}|l_{j}|-\mathrm{B}_{j}\frac{\mathrm{R}}{2})_{+}^{2}|f|^{2})dx_{j}$.

\end{center}
Les fonctions propres de $\hat{q}$ sont les fonctions

\begin{center}
$\displaystyle \mathrm{s}.\mathrm{n}\frac{\pi}{\mathrm{R}}(p_{j}+1)(x_{j}+\frac{\mathrm{R}}{2}),\ p_{j}\in \mathrm{N}$;

\end{center}
$\lambda_{p_{j},t_{j}}$ est donc minor\'{e}e par la valeur propre correspondante :

\begin{center}
$\displaystyle \frac{4\pi^{2}}{\mathrm{R}^{2}}[(\frac{p_{j}+1}{2})^{2}+(|l_{j}|-\frac{\mathrm{B}_{j}\mathrm{R}^{2}}{4\pi})_{+}^{2}]$.

\end{center}
Les in\'{e}galit\'{e}s sont strictes parce que d'une part $qU$) $>\hat{q}(f)$ pour tout
$f\neq 0$, et d'autre part $\Phi_{p_{j}}(\sqrt{\mathrm{B}_{j}}t)$ ne peut \^{e}tre fonction propre de $q$ sur
$]-\mathrm{R}/2, \mathrm{R}/2[+2\pi l_{j}/\mathrm{R}\mathrm{B}_{j}$ que si

\begin{center}
$\Phi_{p_{j}}(\pm \mathrm{R}\sqrt{\mathrm{B}_{j}}/2+2\pi l_{j}/\mathrm{R}\sqrt{\mathrm{B}_{j}})=0$.

\end{center}
Comme les zeros de $\Phi_{p_{j}}$ sont alg\'{e}briques et que $\pi$ est transcendant, ceci
n'est possible que si

\begin{center}
$l_{j}=0$ et $\Phi_{\nu_{j}}(\mathrm{R}\sqrt{\mathrm{B}_{j}}./2)=0$.

\[
\square 
\]

\vspace{1em}
\end{center}
INEGALITES DE MORSE EN $d^{\prime\prime}$-COHOMOLOGIE

201

   LEMME 1.13. -- {\it Soit} $\tau_{n}(\mathrm{p})$ {\it le nombre de points de} $\mathrm{Z}^{n}$ {\it situes dans la}
{\it boule ferm\'{e}e} $\overline{\mathrm{B}}(0,\mathrm{p})\subset \mathrm{R}^{n}$. {\it Alors}

\[
\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}(\mathrm{p}-\frac{\sqrt{n}}{2})_{+}^{n}\leq\prime \mathrm{r}_{n}(\mathrm{p})\leq\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}(\mathrm{p}+\frac{\sqrt{n}}{2})^{n}
\]

   En effet, la r\'{e}union des cubes de c\^{o}t\'{e} 1 centr\'{e}s aux points $X\in \mathrm{Z}^{n}$ tels
que $|x|\leq \mathrm{p}$ est contenue dans la boule $\displaystyle \overline{\mathrm{B}}(0,\mathrm{p}+\frac{\sqrt{n}}{2})$, et contient la
boule $\overline{\mathrm{B}}$ (0, $\displaystyle \mathrm{p}-\frac{\sqrt{n}}{2}$) si $\displaystyle \mathrm{p}\geq\frac{\sqrt{n}}{2}$, ca $\mathrm{r} \displaystyle \frac{\sqrt{n}}{2}$ est la demi-diagonale du cube;
l'entier $\tau_{n}(\mathrm{p})$ est donc encadre' par le volume des boules $\displaystyle \overline{\mathrm{B}}(0,\mathrm{p}\pm\frac{\sqrt{n}}{2})\square $.

   Nous majorons maintenant Jim $\displaystyle \sup \mathrm{R}^{-n}\mathrm{N}_{\mathrm{R}}(\lambda)$ en utilisant (1.11) et les
lemmcs 1.12, 1.13. Pour $p\in \mathrm{N}^{s}$ fixe', l'inegalite $\displaystyle \lambda_{p,t^{\prime}}+\frac{4\pi^{2}}{\mathrm{R}^{2}}|l^{\prime\prime}|^{2}\leq\lambda$
implique

\begin{center}
(1.14)   $|l^{\prime\prime}|\displaystyle \leq\frac{\mathrm{R}}{2\pi}(\lambda-\Sigma(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j})^{\frac{1}{2+}}$,

\end{center}
et l'in\'{e}galit\'{e} est stricte pour $\mathrm{R}>\mathrm{R}_{0}(p)$ assez grand. Lorsque $s<n/2$ le
nombre de multi-indices $l^{\prime\prime}\in \mathrm{Z}^{n-2s}$ correspondants est donc au plus

\begin{center}
(1.15)   $\displaystyle \frac{\pi^{\frac{n}{2}-s}}{\Gamma(\frac{n}{2}-s+1)}[\frac{\mathrm{R}}{2\pi}(\lambda-\Sigma(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j})^{\frac{1}{2+}}+\frac{\sqrt{n}}{2}]^{n-2s}$

\[
\mathrm{R}\rightarrow+\infty\sim\frac{2^{2s-n}\pi^{s-\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}-s+1)}\mathrm{R}^{n-2s}(\lambda-\Sigma(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j})^{\frac{n}{2+}-s}
\]

\end{center}
Lorsque $s=\displaystyle \frac{n}{2}$, ce nombre doit itre compte comme valant 1 si
1-- 1 $(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}>0$ et 0 sinon, ce qui est bien conforme a la convention
que nous avons adopt\'{e}e pour la notation $\lambda_{+}^{\mathrm{o}}$. L'inegalite $\lambda_{p,t^{\prime}}\leq$ A

\vspace{1em}
202

JEAN-PIERRE DEMAILLY

implique d'autre part

\begin{center}
(1.16)   $|l_{j}|\displaystyle \leq\frac{\mathrm{R}}{2\pi}\sqrt{\lambda_{+}}+\frac{\mathrm{B}_{j}\mathrm{R}^{2}}{4\pi},\ 1\leq j\leq s$,

\end{center}
ce qui correspond asymptotiquement a un nombre de multi-indices
$l^{\prime}=(l_{1},\ldots,l_{s})\in \mathrm{Z}^{s}$ \'{e}quivalent a

\begin{center}
(1.17)   $\displaystyle \prod_{j=1}^{s}\frac{\mathrm{B}_{j}\mathrm{R}^{2}}{2\pi}=2^{-s}\pi^{-s}\mathrm{B}_{1}$ . . . $\mathrm{B}_{s}\mathrm{R}^{2s}$.

\end{center}
La majoration Jim $\displaystyle \sup \mathrm{R}^{-n}\mathrm{N}_{\mathrm{R}}(\lambda)\leq \mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\lambda)$ s'obtient alors en effectuant le
produit de (1.15) par (1.17), et en sommant pour tout $p\in \mathrm{N}^{s}$ (la somme est
finie). $\square $

   Pour des questions de convergence qui interviendront au \S 2, nous
aurons besoin egalement de connaitre une majoration de $\mathrm{N}_{\mathrm{R}}(\lambda)$
independante du champ magnetique B. Une telle estimation uniforme est
fournie par la proposition suivante.

PROPOSITION 1.18. $-\mathrm{N}_{\mathrm{R}}(\lambda)\leq(\mathrm{R}\sqrt{\lambda_{+}}+1)^{n}$.

   {\it Demonstration}. -- On majore pour chaque indice $j$ le nombre d'entiers
$p_{j}$ et $l_{j}$ tels que l'inegalite

\[
\lambda_{p,J^{\prime}}+\frac{4\pi^{2}}{\mathrm{R}^{2}}|l^{\prime\prime}|^{2}\leq\lambda
\]

ait lieu. Le lemme 1.12 implique

\begin{center}
card $\displaystyle \{p_{j}\}\leq\max(p_{j}+1)\leq\min(\frac{\lambda_{+}}{\mathrm{B}_{j}},\frac{\mathrm{R}}{\pi}\sqrt{\lambda_{+}}),\ 1\leq j\leq s$,

\end{center}
tandis que (1.16) entraine

\begin{center}
card $\displaystyle \{l_{j}\}\leq\frac{\mathrm{R}}{\pi}\sqrt{\lambda_{+}}+\frac{\mathrm{B}_{j}\mathrm{R}^{2}}{2\pi}+1,\ 1\leq j\leq s$.

\end{center}
On en d\'{e}duit par cons\'{e}quent pour $1\leq j\leq s$:

\begin{center}
card $\displaystyle \{(p_{j},l_{j})\}\leq(\frac{\mathrm{R}}{\pi}\sqrt{\lambda_{+}})^{2}+\frac{\lambda_{+}}{\mathrm{B}_{j}}\cdot\frac{\mathrm{B}_{j}\mathrm{R}^{2}}{2\pi}+\frac{\mathrm{R}}{\pi}\sqrt{\lambda_{+}}.1$

$\leq(\mathrm{R}\sqrt{\lambda_{+}}+1)^{2}$.

\vspace{1em}
\end{center}
INEGALITES DE MORSE EN $d^{\prime\prime}$-COHOMOLOGIE

203

Pour $s<j\leq n-s$, l'ine'galite' (1.14) donne d'autre part

\begin{center}
$|l_{j}|<\displaystyle \frac{\mathrm{R}}{2\pi}\sqrt{\lambda_{+}}$,

\end{center}
d'ou card $\displaystyle \{l_{j}\}\leq\frac{\mathrm{R}}{\pi}\sqrt{\lambda_{+}}+1$ . La proposition 1.18 s'ensuit. $\square $

   {\it Fin de la demonstration du theoreme} 1.6 (minoration de $\mathrm{N}_{\mathrm{R}}(\lambda)$).

  Pour minorer $\mathrm{N}_{\mathrm{R}}(\lambda)$, il suffit d'apr\`{e}s 1.20 ({\it a}) de construire un espace
vectoriel de dimension finie sur lequel $\mathrm{Q}_{\mathrm{R}}(u)\leq\lambda||u||_{\mathrm{P}(\mathrm{R})}^{2}$. On considere
pour cela l'espace vectoriel $\mathscr{F}_{\lambda}$ des combinaisons lin\'{e}aires de $\langle\langle$ fonctions
propres $\rangle\rangle$ du type (1.9), assujetties aux conditions d'annulation au bord
(1.10), et somm\'{e}es sur les indices $(p,l)\in \mathrm{N}^{s}\times \mathrm{Z}^{n-s}$ tels que

\begin{center}
$\displaystyle \lambda_{p,t^{\prime}}+\frac{4\pi^{2}}{\mathrm{R}^{2}}|l^{\prime\prime}|^{2}\leq\lambda$.

\end{center}
D'apr\`{e}s le raisonnement de la proposition 1.18, le nombre de conditions
(1.10) a r\'{e}aliser est majore' par
$\displaystyle \sum_{j=1}^{s}[\mathrm{card}\{p_{j}\}\times\prod_{1\leq i\leq s,i\neq j}$ card $\displaystyle \{(p_{i} ,l_{i})\}\times\prod_{\sim}s<'<n-s$ card $\{l_{i}\}]$

     $+\displaystyle \sum_{s<j\leq n-s}[_{\iota_{\sim}}\prod_{<i\leq s}$ card $\displaystyle \{(p_{i}, l_{i})\}\times\prod_{s<i\neq j}$ card $\{l_{i}\}]\leq n(\mathrm{R}\sqrt{\lambda_{+}}+1)^{n-1}$.
L'entier $\mathrm{N}_{\mathrm{R}}(\lambda)$ est donc majore' par

   $\dim \mathscr{F}_{\lambda}\geq$ card $\displaystyle \{(p,\parallel)\in \mathrm{N}^{s}\times \mathrm{Z}^{n-s};\lambda_{p,\mathit{1}^{\prime}}+\frac{4\pi^{2}}{\mathrm{R}^{2}}|l^{n}|^{2}\leq\lambda\-O}(\mathrm{R}^{n-1})$.

En combinant la minoration du lemme 1.13 avec le lemme ci-dessous,
l'in\'{e}galit\'{e} Jim inf $\mathrm{R}^{-n}\mathrm{N}_{\mathrm{R}}(\lambda)\geq \mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\lambda)$ resulte alors de calculs analogues a
ceux que nous avons explicit\'{e}s pour obtenir la majoration de $\mathrm{N}_{\mathrm{R}}(\lambda)$ .

  LEMME 1.19. -- {\it Soit} $p\in \mathrm{N}^{s}$ {\it un multi-indice fixe. Alors il existe une}
{\it constante} $\mathrm{C}=\mathrm{C}(p,\mathrm{B})\geq 0$ {\it telle que}

\[
\lambda_{p,t^{\prime}}\leq(1+\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{R}})\sum_{j=1}^{s}(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}
\]

{\it lorsque} $|l_{j}|\displaystyle \leq\frac{\mathrm{B}_{j}\mathrm{R}^{2}}{4\pi}(1-\mathrm{R}^{-1}2), 1\leq j\leq s$.

\vspace{1em}
204

JEAN-PIERRE DEMAILLY

  {\it Demonstration}. -- On utilise a nouveau le minimax et le fait que les
fonctions d'Hermite $\Phi_{p}(\sqrt{\mathrm{B}_{j}}t)$ sont une bonne approximation des
fonctions propres de $q$ sur tout intervalle assez grand de centre 0.
Lorsque $|l_{j}|\displaystyle \leq\frac{\mathrm{B}_{j}\mathrm{R}^{2}}{4\pi}(1-\mathrm{R}^{-\frac{1}{2}})$ et $x_{j}\displaystyle \in]-\frac{\mathrm{R}}{2}$ , $\displaystyle \frac{\mathrm{R}}{2}[$, la variable
$t=X_{j}+\displaystyle \frac{2\pi l_{j}}{\mathrm{B}_{j}\mathrm{R}}$ qui apparait dans (1.8) d\'{e}crit en effet un intervalle
contenant $]-\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{R}}}{2},\frac{\sqrt{\mathrm{R}}}{2}[$. On a donc $\lambda_{p_{j},\swarrow j}\leq 7_{\bigvee_{p_{j}}}$ ou $(1_{m})_{m\in \mathrm{N}}$ est la
suite des valeurs propres de la forme quadratique

\begin{center}
$\displaystyle \tilde{q}U)=\int[|\frac{df}{dt}|^{2}+(\mathrm{B}_{j}t)^{2}|f|^{2}]dt,\ f\displaystyle \in \mathrm{W}_{0}^{1}(]-\frac{\sqrt{\mathrm{R}}}{2}, \displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{R}}}{2}[)$.

\end{center}
Soit $\chi_{\mathrm{R}}$ une fonction plateau a support dan $\mathrm{s} [-\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{R}}}{2},\frac{\sqrt{\mathrm{R}}}{2}],$ \'{e}gale \`{a} 1
sur $[-\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{R}}}{4},\frac{\sqrt{\mathrm{R}}}{4}]$, dont la d\'{e}riv\'{e}e est major\'{e}e par $5/\sqrt{\mathrm{R}}$. Pour toute
combinaison line'aire

\begin{center}
$f=$ I $c_{m}\Phi_{m}(\sqrt{\mathrm{B}_{j}}t)$,

\[
m\leq p_{j}
\]

\end{center}
la d\'{e}croissance exponentielle des fonctions $\Phi_{m}$ a l'infini implique pour $\mathrm{R}$
assez grand l'in\'{e}galit\'{e}

\[
||f||\leq(1+\mathrm{C}_{1}\exp(-\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{C}_{1}}))||\chi_{\mathrm{R}}f||
\]

ou $\mathrm{C}_{1}=\mathrm{C}_{1}(p_{j}, \mathrm{B}_{j})>0$. On en deduit par cons\'{e}quent:

     $\displaystyle \tilde{q}(\mathrm{x}\Phi\leq\tilde{q}U)+\int_{|t|>\sqrt{\mathrm{R}}/4}(\frac{10}{\sqrt{\mathrm{R}}}|f\frac{df}{dt}|+\frac{25}{\mathrm{R}}|f|^{2})$ {\it it}

\begin{center}
$\displaystyle \leq\tilde{q}U)+\int_{|t|>\sqrt{\mathrm{R}}/4}(\frac{1}{\mathrm{R}}|\frac{d}{dt}|^{2}+25(1+\frac{1}{\mathrm{R}})|f|^{2})$ {\it it}

\[
\leq(1+\frac{\mathrm{C}_{2}}{\mathrm{R}})\tilde{q}(f)\leq(1+\frac{\mathrm{C}_{2}}{\mathrm{R}})(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}||f||^{2}
\]

$\displaystyle \leq(1+\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{R}})(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}||\chi_{\mathrm{R}}f||^{2}$.

\end{center}
Ceci donne bien $\displaystyle \lambda_{p_{j},t_{j}}\leq'\lambda_{p_{j}}\leq(1+\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{R}})(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}.\ \square $

\vspace{1em}
INEGALITES DE MORSE EN $d^{\prime\prime}$-COHOMOLOGIE

205

  Pour faciliter la t\^{a}che du lecteur, nous \'{e}nonqons maintenant le principe
du minimax sous la forme ou il nous a servi.

   PROPOSITION 1.20 (principe du minimax, cf. [14], Vol. $\mathrm{IV}$, p. 76 et 78). -
{\it Soit} $\mathrm{Q}$ {\it une forme quadratique \`{a} domaine dense} $\mathrm{D}(\mathrm{Q})$ {\it dans un espace de}
. {\it Hilbert} $\ovalbox{\tt\small REJECT}$. {\it On suppose que} $\mathrm{Q}$ {\it est bornee inferieurement, i.e}.
$\mathrm{Q}\omega\geq-\mathrm{C}||f||^{2}$ {\it si} $f\in \mathrm{D}(\mathrm{Q})$, {\it que} $\mathrm{D}(\mathrm{Q})$ {\it est complet pour la norme}
$||f||_{\mathrm{Q}}=[\mathrm{Q}(f)+(\mathrm{C}+1)||f||^{2}]^{\frac{1}{2}}$, {\it et enfin que l}'{\it injection}
$(\mathrm{D}(\mathrm{Q}), ||||_{\mathrm{Q}})\subset_{->}(\ovalbox{\tt\small REJECT},||||)$ {\it est compacte. Alors} $\mathrm{Q}$ {\it a un spectre discret}
$\lambda_{1}\leq\lambda_{2}\leq.$ . . , {\it et on a les egalites}:

   (a) $\displaystyle \lambda_{p}=\min_{\mathrm{F}\subset \mathrm{D}(\mathrm{Q})}\max_{\in f\mathrm{F},||f||=1}\mathrm{Q}(f)$,
{\it o\`{u}} $\mathrm{F}$ {\it dicrit} $l^{\prime}ensemble$ {\it des sous-espaces de dimension} $p$ {\it de} $\mathrm{D}(\mathrm{Q})$;

   (b) $\displaystyle \lambda_{p+1}=\max_{\mathrm{F}\subset \mathrm{D}}\min_{(\mathrm{Q})f\in \mathrm{F},||f||=1}\mathrm{Q}(f)$ ,
{\it o\`{u}} $\mathrm{F}$ {\it decrit} $l^{\prime}ensemble$ {\it des sous-espaces} $||||_{\mathrm{Q}}$-{\it fermes de codimension} $p$ {\it de}
$\mathrm{D}(\mathrm{Q})$.

\begin{center}
2. Distribution asymptotique du spectre

(cas d'un champ variable).

\end{center}
  Nous nous plapons a nouveau dans le cadre g\'{e}n\'{e}ral d\'{e}crit au d\'{e}but du
\S 1. Notre objectif est d'etudier le spectre de la forme quadratique $\mathrm{Q}_{\Omega,k}$
(cf. (1.3)) dans le cas d'un champ magnetique $\mathrm{B}$ et d'un champ electrique
$\mathrm{V}$ quelconques. Pour tout point $a\in \mathrm{M}$, soit

  (2.1) $\displaystyle \mathrm{B}(a)=\sum_{j=1}^{s}\mathrm{B}_{j}(a)dx_{j}$ A $dx_{j+s}$
l'\'{e}criture r\'{e}duite de $\mathrm{B}(a)$ dans une base orthonormee convenable
$(dx_{1} ,. . .,dx_{n})$ de $\mathrm{T}_{a}^{*}\mathrm{M}$, ou $2s=2s(a)\leq n$ est le rang de $\mathrm{B}(a)$, et otz
$\mathrm{B}_{1}(a)\geq \mathrm{B}_{2}(a)\geq.$ . . $\geq \mathrm{B}_{s}(a)>0$ sont les modules des valeurs propres
non nulles de l'endomorphisme antisym\'{e}trique associe'. L'\'{e}galit\'{e} de
d\'{e}finition 1.5 permet de regarder $\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\lambda)$ comme une fonction du couple

$(a,\lambda)\in \mathrm{M}\times$ R. Nous aurons besoin \'{e}galement de considerer la fonction
$\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\lambda)$, continue a droite en $\lambda$, definie par:

(2.2) $\displaystyle \overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\lambda)=\lim_{0<\epsilon\rightarrow 0}\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\lambda+\epsilon)$.

Nous d\'{e}montrons alors la g\'{e}n\'{e}ralisation suivante du corollaire 1.7.

\vspace{1em}
206

JEAN.PIERRE DEMAILLY

   THEOREME 2.3. -- {\it Lorsque} $k$ {\it tend vers} $+$ {\it so le nombre} $\mathrm{N}_{\Omega,k}(\lambda)$ {\it de}
{\it valeurs propres} $\leq\lambda$ {\it de} $\mathrm{Q}_{\Omega,k}$ {\it v\'{e}rifie} $l^{\prime}encadrement.asymptot\mathrm{i}que$

$\displaystyle \int_{\Omega}\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V}+\lambda)  da\leq$ Jim $\displaystyle \inf k^{-\frac{n}{2}}\mathrm{N}_{\Omega,k}(\lambda)$

              $\leq$ Jim $\displaystyle \sup k^{-\frac{n}{2}}\mathrm{N}_{\Omega,k}(\lambda)\leq\int_{\Omega}\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V}+\lambda)d\sigma$ .

   La fonction $\displaystyle \lambda\mapsto\int_{\Omega}\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V}+\lambda)d\sigma$ est croissante et continue a gauche;
elle n'a donc au plus qu'un ensemble $\mathscr{D}$ denombrable de points de
discontinuite'. L'ensemble $\mathscr{D}$ est d'ailleurs vide si $n$ est impair, car $\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\lambda)$
est alors continue. De la, on deduit aussit\^{o}t le

   COROLLAIRE 2.4. -- {\it On suppose que} $\partial\Omega$ {\it est de mesure nulle. Alors}

\[
\lim_{k\rightarrow+\infty}k^{-\frac{n}{2}}\mathrm{N}_{\Omega,k}(\lambda)=\int_{\Omega}\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V}+\lambda)d\sigma
\]

{\it pour tout} $\lambda\in \mathrm{R}\backslash \mathscr{D}$, {\it et la mesure de densiti spectrale} $k^{-\frac{n}{2}}\displaystyle \frac{d}{d\lambda}\mathrm{N}_{\Omega,k}(\lambda)$
{\it converge faiblement sur} $\mathrm{R}$ {\it vers} $\displaystyle \frac{d}{d\lambda}\int_{\Omega}\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V}+\lambda)$ do. {\it Si} $n$ {\it est impair, la}
{\it mesure limite est diffuse}. $[]$

  Le lemme suivant montre que les integrales du theoreme 2.3 ont bien un
sens.

LEMME 2.5.

(a) {\it On a les in\'{e}galit\'{e}s} $\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\lambda)\leq\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\lambda)\leq\lambda_{+}^{n/2}$.

   (b) $\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})$ (resp. $\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})$) {\it est semi-continue infirieurement} (resp.
supirieurement) {\it sur} M.

  (c) {\it En tout point} $X\in \mathrm{M}$ {\it ou}' $s(\displaystyle \mathrm{x})<\frac{n}{2}$ {\it on a} $\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})(x)=\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})(x)$ {\it et}
$\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V}),\ \overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})$ {\it sont continues en} $X$.

   (d) {\it Si} $n$ {\it est impair}, $\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})=\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})$ {\it est continue sur} M.

  {\it Demonstration}. $-(a)$ On a toujours $(\lambda-\Sigma(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j})^{\frac{n}{2+}-s}\leq\lambda^{\frac{n}{2+}-s}$, et
le nombre d'entiers $p_{j}$ tels que $\lambda-(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}$ soit $\geq 0$ est majore' par

\vspace{1em}
INEGALITES DE MORSE EN $d^{\prime\prime}$-COHOMOLOGIE

207

$\displaystyle \frac{\lambda_{+}}{\mathrm{B}_{j}}$. Comme la quantite' numerique figurant dans (1.5) est majoree par 1,
l'ine'galite' ({\it a}) s'ensuit.

   $(b, c)$ Le rang $s=s(x)$ est une fonction semi-continue inferieurement
sur $\mathrm{M}$, et les valeurs propres $\mathrm{B}_{1}, \mathrm{B}_{2}, \ldots$, prolongees par $\mathrm{B}_{j}(x)=0$
pour $j>s(x)$, sont continues sur M. Comme la fonction $\mathrm{t}\mapsto t_{+}^{\mathrm{O}}$
(resp. $t\mapsto(t+0)_{+}^{0}$) est semi-continue inferieurement (resp. superieure-
ment), la semi-continuite de $\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})$ et $\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})$ pose un probleme uniquemcon
aux points $a\in \mathrm{M}$ au voisinage desquels $s(\mathrm{x})$ n'est pas localement
constant. En un tel point $a\in \mathrm{M}$, on a necessairement $s(a)<\displaystyle \frac{n}{2}$, donc
$\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})(a)=\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})(a)$; on va alors montrer que $\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})$ et $\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})$ sont
continues en $a$. La continuite des $\mathrm{B}_{j}$ donne $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\mathrm{B}_{j}(\mathrm{x})=0$ pour
$j>s(a)$. Si les entiers $p_{1}, \ldots, p_{s(a)}$ sont fix\'{e}s, la sommation figurant
dans (1.5) peut s'interpr\'{e}ter comme une somme de Riemann d'une integrale
sur $\mathrm{R}^{s(x)-s(a)}$, et on a donc l'iquivalent :

$\displaystyle \sum_{(_{-p_{j};s(a)<j\leq s(x))}}(\mathrm{V}(x)-\Sigma(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}(x))^{\frac{n}{2}-s(\mathrm{x})}$

\[
\sim\int_{t\in \mathrm{R}^{s(x)-s(a)}}[\mathrm{V}(a)-\sum_{j=1}^{s(a)}(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}(a)-\sum_{j=s(a)+1}^{s(\mathrm{x})}2t_{j}\mathrm{B}_{j}(x)]^{\frac{n}{2+}s(\mathrm{x})}-dt
\]

\[
2^{s(a)-s(x)}(\mathrm{V}(a)- 1(2p_{j}+1)\mathrm{B}_{j}(a))^{\frac{n}{2+}-s(a)}
\]

\[
=(\frac{n}{2}-s(x)+1)\cdots(\frac{n}{2}-s(a))\mathrm{B}_{s(a)+1}(x)\ldots \mathrm{B}_{s(x)}(x)
\]

On obtient bien par consiquent :

\begin{center}
$\displaystyle \lim_{\mathrm{x}\rightarrow a}\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})(\mathrm{x})=\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})(a)=\lim_{x\rightarrow a}\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V})(x)$ .

\end{center}
   (d) Est un cas particulier de ({\it c}). $\square $

   La d\'{e}monstration du theoreme 2.3 repose essentiellement sur deux
ingr\'{e}dients: tout d'abord un principe de localisation asymptotique des
fonctions propres, qui s'obtient par application directe du minimax
(proposition 2.6); d'autre part, la connaissance explicite du spectre de
l'operateur de Schr\"{o}dinger associe a un champ magn\'{e}tique constant
(cf. \S 1). Le principe de localisation permet en effet de se ramener au cas
d'un champ constant en utilisant un pavage de $\Omega$ par des cubes assez
petits.

\vspace{1em}
208

JEAN-PIERRE DEMAILLY

   PROPOSITION 2.6. -- (a) {\it Si} $\Omega_{1}, \cdots, \Omega_{\mathrm{N}}\subset\Omega$ {\it sont des ouverts} 2{\it \`{a}} 2
{\it disjoints, alors}

\begin{center}
$\displaystyle \mathrm{N}_{\Omega,k}(\lambda)\geq\sum_{j=1}^{\mathrm{N}}\mathrm{N}_{\Omega_{j},k}(\lambda)$ .

\end{center}
   (b) {\it Soit} $(\Omega_{j}^{\prime})_{1<j\leq \mathrm{N}}\sim$ {\it un recouvrement ouvert de} $\Omega$ {\it et} $(\psi_{j})_{1\leq j\leq \mathrm{N}}$ {\it un}
{\it syst\`{e}me de fonctions} $\psi_{j}\in \mathscr{C}^{\infty}(\mathrm{R}^{n})$ {\it \`{a} support dans} 05 , $te\Pi es$ {\it que} $\Sigma\psi_{j}^{2}=1$
{\it sur} $\Omega$. {\it On pose}

\begin{center}
$\displaystyle \mathrm{C}(\psi)=\sup_{\Omega}\sum_{j=1}^{\mathrm{N}}|d\psi_{j}|^{2}$.

\end{center}
{\it Alors}

\begin{center}
$\displaystyle \mathrm{N}_{\Omega,k}(\lambda)\leq\sum_{j=1}^{\mathrm{N}}\mathrm{N}_{\Omega_{\acute{j}},k}(\lambda+\frac{1}{k}\mathrm{C}(\psi))$.

\end{center}
   {\it Demonstration}. $-(a)$ Soit $\mathscr{F}$ le $\mathrm{C}$-espace vectoriel engendre par la
collection de toutes les fonctions propres des formes quadratiques $\mathrm{Q}_{\Omega_{j},k}$,
$1\leq j\leq \mathrm{N}$, correspondant a des valeurs propres $\leq\lambda.\ \mathscr{F}$ est de
dimension

\[
\dim \mathscr{F}=\sum_{j=1}^{\mathrm{N}}\mathrm{N}_{\Omega_{j},k}(\lambda)
\]

et pour tout $u\in \mathscr{F}$, on a

\begin{center}
$\displaystyle \mathrm{Q}_{\Omega,k}(u)=\sum_{j=1}^{\mathrm{N}}\mathrm{Q}_{\Omega_{j},k}(u)\leq\sum_{j=1}^{\mathrm{N}}\lambda||u||_{\Omega_{j}}^{2}=\lambda||u||_{\Omega}^{2}$.

\end{center}
Le principe du minimax montre donc que les valeurs propres de $\mathrm{Q}_{\Omega,k}$
d'indice $\leq\dim \mathscr{F}$ sont $\leq\lambda$, d'ou l'in\'{e}galite' ({\it a}).

   ({\it b}) Pour tout $u\in \mathrm{W}_{0}^{1}(\Omega,\mathrm{E}^{k})$ il vient

\[
\sum_{j}|\mathrm{D}_{k}(\psi_{j}u)|^{2}=\sum_{j}|\psi_{j}\mathrm{D}_{k}u+(d\psi_{j})u|^{2}=|\mathrm{D}_{k}u|^{2}+\sum_{j}|d\psi_{j}|^{2}|u|^{2}
\]

car $2\Sigma\psi_{j}d\psi_{j}=$ a $(\Sigma\psi_{j}^{2})=0$. On obtient donc

\[
\sum_{j=1}^{\mathrm{N}}\mathrm{Q}_{\Omega_{\acute{j}},k}(\psi_{j}u)=\mathrm{Q}_{\Omega,k}(u)+\int_{\Omega}\frac{1}{k}\sum_{j=1}^{\mathrm{N}}|d\psi_{j}|^{2}|u|^{2}d\sigma
\]

\begin{center}
$\displaystyle \leq \mathrm{Q}_{\Omega,k}(u)+\frac{1}{k}\mathrm{C}(\psi)||u||_{\Omega}^{2}$.

\end{center}
Si chaque fonction $\psi_{J}u\in \mathrm{W}_{0}^{1}(\Omega_{j} , \mathrm{E}^{k})$ est orthogonale aux fonctions

\vspace{1em}
INEGALITES DE MORSE EN $d^{\prime\prime}$-COHOMOLOGIE

209

propres de $\mathrm{Q}_{\Omega_{\acute{j}}}$ , $k$ de valeurs propres $\displaystyle \leq\lambda+\frac{1}{k}\mathrm{C}(\psi)$, on en d\'{e}duit
successivement

\begin{center}
$\displaystyle \mathrm{Q}_{\Omega_{\acute{j}}.k}(\psi_{j}u)>(\lambda+\frac{1}{k}\mathrm{C}(\psi))||\psi_{j}u||_{\Omega_{j}}^{2}$, si $\psi_{j}u\neq 0$,

$\mathrm{Q}_{\Omega,k}(u)>\lambda||u||_{\Omega}^{2}$, si $u\neq 0$.

\end{center}
Le principe du minimax 1.20 ({\it b}) entraine alors que $\mathrm{N}_{\Omega,k}(\lambda)$ est majore par
le nombre d'\'{e}quations liniaires imposees \`{a} $u$, soit au plus

\begin{center}
$\displaystyle \sum_{j=1}^{\mathrm{N}}\mathrm{N}_{\Omega_{\acute{j}},k}(\lambda+\frac{1}{k}\mathrm{C}(\psi)).\ \square $

\end{center}
   Soit $\mathrm{W}_{1}$, . . ., $\mathrm{W}_{\mathrm{N}}$ un recouvrement de $\Omega$ par des ouverts de carte de
la vari\'{e}t\'{e} M. Pour tout $\epsilon>0$, on peut trouver des ouverts $\Omega_{j}\subset\Omega_{j}^{\prime}$
relativement compacts dans $\mathrm{W}_{j},\ 1\leq j\leq \mathrm{N}$, tels que

(2.7) $\Omega=\cup\Omega_{j}$ (disjointe), et $\mathrm{Vol}(\Omega)=$ I $\mathrm{Vol}(\Omega_{j})$ ,

(2.8) $\Omega\subset\cup\Omega_{j}^{\prime}$, et $\mathrm{Vol}(\Omega)\leq\Sigma \mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}(\Omega_{j}^{\prime})+\epsilon$.

La proposition 2.6 ramene alors la preuve du theoreme 2.3 au cas des
ouverts $\Omega_{j}$ et $\Omega_{j}^{\prime}$ (on observera pour cela que la fonction $\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V}+\lambda)$ est
born\'{e}e et que la constante $\mathrm{C}(\psi)$ est ind\'{e}pendante de $k$).

  En d\'{e}finitive, on peut supposer que $\mathrm{M}=\mathrm{R}^{n}$, avec une metrique
riemannienne $g$ quelconque. Comme $\mathrm{M}=\mathrm{R}^{n}$ est contractile, le fibr\'{e} $\mathrm{E}$
est alors trivial; soit A un potentiel vecteur de la connexion $\mathrm{D}$ et
$\mathrm{B}=d\mathrm{A}$ le champ magn\'{e}tique correspondant. Nous demontrons d'abord
la version locale suivante du th\'{e}or\`{e}me 2.3.

   PROPOSITION 2.9. -- {\it Soit} $a\in \mathrm{R}^{n}$ {\it un point fixe, et} $\mathrm{P}_{k}$ {\it une suite de paves}
{\it cubiques ouverts tets que} $\mathrm{P}_{k}\ni a$. {\it On note} $r_{k}$ {\it la longueur du c\^{o}ti de} $\mathrm{P}_{k}$, {\it et}
{\it on suppose que}

\begin{center}
$r_{k}\leq 1$, Jim $ k^{1}r_{k}=+\infty$, Jim $k^{1}r_{k}=0$.

\end{center}
{\it Alors quand} $k$ {\it tend vers} $+\infty$, {\it on} $a$

\begin{center}
Jim inf $\displaystyle \frac{k^{-\frac{n}{2}}}{\mathrm{Vo}1(\mathrm{P}_{k})}\mathrm{N}_{\mathrm{P}_{k},k}(\lambda)\geq \mathrm{v}_{\mathrm{B}(a)}(\mathrm{V}(a)+\lambda)$,

Jim $\displaystyle \sup\frac{k^{-\frac{n}{2}}}{\mathrm{Vo}1(\mathrm{P}_{k})}\mathrm{N}_{\mathrm{P}_{k}.k}(\lambda)\leq\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}(a)}(\mathrm{V}(a)+\lambda)$,

\vspace{1em}
\end{center}
210

JEAN-PIERRE DEMAILLY

{\it et pour tout compact} $\mathrm{K}\subset \mathrm{R}^{n}, \mathrm{N}_{\mathrm{P}_{k},k}(\lambda)$ {\it admet la majoration}

\[
\mathrm{N}_{\mathrm{P}_{k},k}(\lambda)\leq \mathrm{C}_{\mathrm{K}}(1+r_{k}\sqrt{k(\lambda_{+}\neq\max_{\mathrm{K}}\mathrm{V}_{+})}.)^{n}
\]

{\it uniforme par rapport \`{a}} $a,$ {\it d\`{e}s lors que} $\mathrm{P}_{k}\subset$ K.

   {\it Demonstration}. -- On va se ramener au the'or\`{e}me 1.6 en effectuant une
homoth\'{e}tie de rapport $\sqrt{k}$ sur $\mathrm{P}_{k}$ (c'est pourquoi nous avons dtz
supposer Jim $ k^{\frac{1}{2}}r_{k}=+\infty$).

   Le lemme suivant mesure combien le champ magnetique $\mathrm{B}$ devie du
champ constant $\mathrm{B}(a)$ sur chaque $\mathrm{P}_{k}$.

   LEMME 2.10. -- {\it Sur chaque pave} $\mathrm{P}_{k}$, {\it on peut choisir un potentiel} $\mathrm{A}_{k}$ {\it du}
{\it champ constant} $\mathrm{B}(a)$ {\it tel que pour tout} $X\in\overline{\mathrm{P}}_{k}$ {\it on ait}

\begin{center}
$|\mathrm{A}_{k(x)}$ --A $(\mathrm{x})|\leq \mathrm{C}_{1}r_{k}^{2}$,

\end{center}
{\it ou}' $\mathrm{C}_{1}$ {\it est une constante} $\geq 0$ {\it independante de} $k$ ({\it et independante de a si} $a$
{\it dicrit un compact} $\mathrm{K}\subset \mathrm{R}^{n}$).

   La r\'{e}gularit\'{e} $\mathrm{C}^{\infty}$ de $\mathrm{B}$ entraine en effet une majoration

\begin{center}
$|\mathrm{B}(a)-\mathrm{B}(x)|\leq \mathrm{C}_{2}r_{k},\ X\in \mathrm{P}_{k}$.

\end{center}
Soit $\mathrm{A}_{k}^{\prime}$ un potentiel du champ $\mathrm{B}(a)-\mathrm{B}(\mathrm{x})$ sur le cube $\mathrm{P}_{k}$, calcule au
moyen de la formule d'homotopie usuelle pour les ouverts \'{e}toil\'{e}s. On a
alors

\begin{center}
$|\mathrm{A}_{k}^{\prime}(x)|\leq \mathrm{C}_{3}r_{k}^{2}$,

\end{center}
et il suffit de poser $\mathrm{A}_{k}=\mathrm{A}+\mathrm{A}_{k}^{\prime}.\ \square $

  Notons $(x_{1},\ldots,x_{n})$ les coordonnies standard de $\mathrm{R}^{n}$. Soit $(y_{1}, \ldots,y_{n})$
un systeme de coordonn\'{e}es lineaires en $x_{1}$ , . . ., $X_{n}$ tel que $(dy_{1},. . .,dy_{n})$
soit une base orthonorm\'{e}e au point $a$ pour la m\'{e}trique $g$, et tel que dans
cette base $\mathrm{B}(a)$ s'\'{e}crive sous la forme diagonale (2.1):

\begin{center}
$\displaystyle \mathrm{B}(a)=\sum_{j=1}^{s}\mathrm{B}_{j}(a)dy_{j}$ A $dy_{j+s}$.

\end{center}
Soit $\tilde{g}$ la me'trique constante

\begin{center}
$\displaystyle \tilde{g}\equiv g(a)=\sum_{j=1}^{n}dy_{j}^{2}$.

\vspace{1em}
\end{center}
INEGALITES DE MORSE EN $d^{\prime\prime}$-COHOMOLOGIE

211

Designons par $\mathrm{D}_{k}=d+ik\mathrm{A}$ A ?, $\mathrm{D}_{k}=d+\mathrm{i}k\mathrm{A}_{k}$ A ? les connexions
sur $\mathrm{E}^{k}|\mathrm{P}_{k}$ associ\'{e}es aux potentiels $\mathrm{A}, \mathrm{A}_{k}$, et par $\mathrm{Q}_{k}=\mathrm{Q}_{\mathrm{P}_{k},k}, \mathrm{Q}_{k}$ les
formes quadratiques associees respectivement aux connexions $\mathrm{D}_{k}, \mathrm{D}_{k}$,
aux m\'{e}triques $g,\tilde{g}$, et aux potentiels scalaires $\mathrm{V},\tilde{\mathrm{V}}\equiv \mathrm{V}(a)$ (formule
(1.3) $)$.

   LEMME 2.11. --{\it Il existe une suite} $\epsilon_{k}$ {\it tendant vers} 0 ({\it dependant des} $r_{k}$,
{\it mais independante de a si a decrit un compact} $\mathrm{K}\subset \mathrm{R}^{n}$) {\it telle que si} $||||_{g}$
{\it et} $||||_{\mathrm{g}}$ {\it designent les normes} $\mathrm{L}^{2}$ {\it globales associees aux metriques} $g$ {\it et} $\tilde{g}$,
{\it on ait}

\begin{center}
$(1-\epsilon_{k})||u||_{\mathrm{g}}^{2}\leq||u||_{g}^{2}\leq(1+\epsilon_{k})||u||_{\tilde{g}}^{2}$,

\[
(1-\epsilon_{k})\mathrm{Q}_{k}(u)-\epsilon_{k}||u||_{\mathrm{g}}^{2}\leq \mathrm{Q}_{k}(u)\leq(1+\epsilon_{k})\mathrm{Q}_{k}(u)+\epsilon_{k}||u||_{g}^{2}
\]

\end{center}
{\it pour tout} $u\in \mathrm{W}_{0}^{1}(\mathrm{P}_{k})$.

   Sur $\mathrm{P}_{k}$, on a en effet un encadrement :

\begin{center}
$(1-\mathrm{C}_{4}r_{k})\tilde{g}\leq g\leq(1+\mathrm{C}_{4}r_{k})\tilde{g}$,

\end{center}
et ceci donne la premiere in\'{e}galit\'{e} double dans 2.11. Avec la notation
$\mathrm{A}_{k}^{\prime}=\mathrm{A}_{k}-\mathrm{A}$, on en d\'{e}duit

$\displaystyle \mathrm{Q}_{k}(u)=\int_{\mathrm{P}_{k}}(\frac{1}{k}|\mathrm{D}_{k}u-\mathrm{i}k\mathrm{A}_{k}^{\prime}$ A $ u|_{g}^{2}-\mathrm{V}|u|^{2})d\sigma$

              $\displaystyle \leq(1+\mathrm{C}_{5}r_{k})\int_{\mathrm{P}_{k}}(\frac{1}{k}|\mathrm{D}_{k}u-\mathrm{i}k\mathrm{A}_{k}^{\prime}$ A $u|_{\tilde{g}}^{2}-\displaystyle \mathrm{V}(a)|u|^{2})d\tilde{\sigma}+\eta_{k}||u||\frac{2}{g}$

avec $\displaystyle \eta_{k}=\sup_{\mathrm{P}_{k}}|\mathrm{V}-\mathrm{V}(a)|+\mathrm{C}_{6}r_{k}$, quantite' qui tend vers 0 lorsque $k$
tend vers $+\infty$. En utilisant l'in\'{e}galit\'{e} $(a+b)^{2}\leq(1+\alpha)(a^{2}+\alpha^{-1}b^{2})$, le
lemme 2.10 implique d'autre part

\begin{center}
$|\mathrm{D}_{k}u-\mathrm{i}k\mathrm{A}_{k}^{\prime}$ A $u|\displaystyle \frac{2}{g}\leq(1+\alpha)[|\mathrm{D}_{k}u|_{\tilde{g}}^{2}+ \mathrm{o}\mathrm{c}^{-1}\mathrm{C}_{1}^{2}k^{2}r_{k}^{4}|u|^{2}]$ .

\end{center}
Choisissons $\alpha=\alpha_{k}=\mathrm{C}_{1}\sqrt{k}r_{k}^{2}$. La suite $\alpha_{k}$ tend vers 0 d'apres
l'hypoth\`{e}se Jim $k^{\frac{1}{4}}r_{k}=0$, et il vient

\begin{center}
$\displaystyle \frac{1}{k}|\mathrm{D}_{k}u-\mathrm{i}k\mathrm{A}_{k}^{\prime}$ A $u|\displaystyle \frac{2}{g}\leq(1+\alpha_{k})[\frac{1}{k}|\mathrm{D}_{k}u|_{\tilde{g}}^{2}+\alpha_{k}|u|^{2}]$.

\end{center}
La majoration de $\mathrm{Q}_{k}$ s'ensuit. La minoration s'obtient de meme grice a
l'ine'galite' $(a+b)^{2}\geq(1-\alpha)(a^{2}-\alpha^{-1}b^{2}).\ \square $

\vspace{1em}
212

JEAN-PIERRE DEMAILLY

  Le lemme 2.11 ramene la preuve de la proposition 2.9 au cas ou la
metrique $g$ et le champ magn\'{e}tique $\mathrm{B}$ sont constants :

\begin{center}
$g=\displaystyle \sum_{j=1}^{n}dy_{j}^{2},\ \displaystyle \mathrm{B}=\sum_{j=1}^{n}\mathrm{B}_{j}dy_{j}\Lambda dy_{j+s}$.

\end{center}
On peut supposer de plus $\mathrm{V}\equiv 0$ en effectuant la translation
$\lambda\mapsto\lambda+\mathrm{V}(a)$ . La seule difficulte' qui subsiste pour appliquer directement
le theoreme 1.6 vient du fait que les cubes $\mathrm{P}_{k}$ deviennent en g\'{e}n\'{e}ral des
parall\'{e}l\'{e}pip\'{e}des obliques dans les coordonnees $(y_{1}, \ldots,y_{n})$; les anglen
entre les diff\'{e}rentes aretes de chaque $\mathrm{P}_{k}$ et les rapports de leurs longueurs
restent toutefois encadr\'{e}s par des constantes $>0$. Pour resoudre cette
difficulte', il suffit de paver chaque parall\'{e}l\'{e}pip\`{e}de $\mathrm{P}_{k}$ par des cubes $\mathrm{P}_{k,\alpha}$
dont les aretes sont paralleles aux axes des coordonn\'{e}es $(y_{1}, . . .,y_{n})$.
Choisissons $\epsilon\in$] $0,1$ [. Pour tout $\alpha\in \mathrm{Z}^{n}$, soient $(\mathrm{P}_{k,\alpha})$ , $(\mathrm{P}_{k,\alpha}^{\prime})$ les cubes
ouverts de c\^{o}t\'{e}s respectifs $\epsilon r_{k}, \epsilon(1+\epsilon)r_{k}$, et de centre commun $\epsilon r_{k}\alpha$. On
se bornera a considerer les cubes $\mathrm{P}_{k.\alpha}$ contenus dans $\mathrm{P}_{k}$ et les cubes $\mathrm{P}_{k,\alpha}^{\prime}$
rencontrant $\mathrm{P}_{k}$. On a alors

\begin{flushright}
1 $\mathrm{Vol}(\mathrm{P}_{k,\alpha})$

\end{flushright}
   (2.12) $\displaystyle \mathrm{P}_{k}\supset\bigcup_{\alpha}\mathrm{P}_{k.\alpha}$ (disjointe), et $\displaystyle \frac{\alpha}{\mathrm{Vol}(\mathrm{P}_{k})}\geq 1-\mathrm{C}_{7}\epsilon$,

                              1 $\mathrm{Vol}(\mathrm{P}_{k,\alpha}^{\prime})$

   (2.13) $\displaystyle \mathrm{P}_{k}\subset\bigcup_{\alpha}\mathrm{P}_{k.\alpha}^{\prime}$, et $\displaystyle \frac{\alpha}{\mathrm{Vol}(\mathrm{P}_{k})}\leq 1+\mathrm{C}_{7}\epsilon$,

o\`{u} $\mathrm{C}_{7}$ est une constante independante de $k$ (et aussi de $a$, si $a$ decrit un
compact). Le nombre de cubes $\mathrm{P}_{k},, {}_{\alpha}\mathrm{P}_{k,\alpha}^{\prime}$ qui figurent dans (2.12) ou (2.13)
est majore par $\mathrm{C}_{8}\epsilon^{-n}$. Comme les cubes $\mathrm{P}_{k,\alpha}^{\prime}$ se recouvrent deux a deux
sur une longueur $\epsilon^{2}r_{k}$ lorsqu'ils sont contigus, on peut construire une
partition de l'unite' $\Sigma\psi_{k,\alpha}^{2}=1$ sur $\mathrm{P}_{k}$, avec Supp $\psi_{k,\alpha}\subset \mathrm{P}_{k,\alpha}^{\prime}$ et

\[
\sup_{\mathrm{P}_{k}}\sum_{\alpha}|d\psi_{k,\alpha}|^{2}=\mathrm{C}(\psi_{k})\leq \mathrm{C}_{9}(\epsilon^{2}r_{k})^{-2}
\]

L'hypothese Jim $k^{\frac{1}{2}}r_{k}=+$ co entraine bien Jim $\displaystyle \frac{1}{k}\mathrm{C}(\psi_{k})=0$, ce qui
permet d'appliquer 2.6 ({\it b}). Sur les cubes $\mathrm{P}_{k,\alpha,\backslash }, \mathrm{P}_{k,\alpha}^{\prime}$ nous sommes
maintenant dans la situation du theoreme 1.6: apres homothetie de rapport
$\sqrt{k}$, le c\^{o}t\'{e} du cube homoth\'{e}tique $\sqrt{k}\mathrm{P}_{k,\alpha}$ vaut $\mathrm{R}_{k}=\epsilon r_{k}\sqrt{k}$ et tend
bien vers $+\mathrm{co}$ par hypothese. La majoration uniforme de $\mathrm{N}_{\mathrm{P}_{k},k}(\lambda)$
r\'{e}sulte de la proposition 1.18 et du fait que toutes nos constantes
$\mathrm{C}_{1}, \ldots, \mathrm{C}_{9}$ etaient uniformes. La proposition 2.9 est d\'{e}montr\'{e}e. $\square $

\vspace{1em}
INEGALITES DE MORSE EN $d^{\prime\prime}$-COHOMOLOGIE

213

  {\it Demonstration du theoreme} 2.3. -- D'apres la remarque pr\'{e}c\'{e}dant la
proposition 2.9, nous pouvons supposer que $\mathrm{M}=\mathrm{R}^{n}$ et que $\Omega$ est uv
ouvert borne' de $\mathrm{R}^{n}$. L'idee du raisonnement est de combiner les
propositions 2.6 et 2.9 en utilisant un pavage de $\Omega$ par des cubes de siti
$r_{k}=k^{-\frac{1}{3}}$. La mise en ceuvre effective r\'{e}clame n\'{e}anmoins un peu de soin a
cause des difficult\'{e}s li\'{e}es a la non-uniformite eventuelle des Jim $\displaystyle \sup$ et
Jim $\displaystyle \inf$.

  D\'{e}signons par $\Pi_{k,\alpha}$ , $\Pi_{k,\alpha}^{\prime}$ , a $\in \mathrm{Z}^{n}$ , les cubes ouverts de cites respectifs

\begin{center}
$k^{-\frac{1}{3}},\ k^{-\frac{1}{3}}(1 \mathrm{f} k^{-\frac{1}{8}})=k^{-\frac{1}{3}}+k^{-\frac{11}{24}}$

\end{center}
et de centre commun $ k^{-\frac{1}{3}}\alpha$. Soit $\mathrm{I}(k)$ (resp. $\mathrm{I}^{\prime}(k)$) l'ensemble des indices
$\alpha\in \mathrm{Z}^{n}$ tels que $\Pi_{k.\alpha}\subset\Omega$ (resp. $\coprod_{k,\alpha}^{\prime}\cap\Omega\neq\emptyset$). Comme dans le
raisonnement de la proposition 2.9, il existe une partition de l'unite'
$\displaystyle \sum_{\alpha\in \mathrm{I}^{\prime}(k)}\psi_{k,\alpha}^{2}=1$ sur $\Omega$, avec Supp $\psi_{k,\alpha}\subset\Pi_{k,\alpha}^{\prime}$ et

\begin{center}
$\displaystyle \mathrm{C}(\psi_{k})=\sup_{\mathrm{q}}\sum_{\alpha\in \mathrm{I}^{\prime}(k)}|d\psi_{\mathrm{t},\alpha}|^{2}\leq \mathrm{C}_{10}k^{\frac{11}{12}}$,

\end{center}
d'ou Jim $\displaystyle \frac{1}{k}\mathrm{C}(\psi_{k})=0$. On pose

\begin{center}
$\displaystyle \Omega_{k}=\bigcup_{\alpha\in \mathrm{I}(k)}\Pi_{k.\alpha},\ \displaystyle \Omega_{k}^{\prime}=\bigcup_{\alpha\in \mathrm{I}^{\prime}(k)}\Pi_{k,\alpha}^{\prime}$

\end{center}
et on considere pour tout $\lambda\in \mathrm{R}$ fixe', les fonctions sur $\mathrm{R}^{n}$ definies par

\begin{center}
$f_{k}=k^{-\frac{n}{2}}\displaystyle \sum_{\alpha\in \mathrm{I}(k)}\mathrm{N}_{\mathrm{n}_{k,\alpha},k}(\lambda)\frac{1}{\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}(\Pi_{k.\alpha})}0_{\Pi k,\alpha}$,

$ f_{k}^{\prime}=k^{-\frac{n}{2}}\displaystyle \sum_{\alpha\in\Gamma(k)}\mathrm{N}_{\mathrm{n}_{k,\alpha}^{\prime},k(\lambda+\frac{1}{k}\mathrm{C}(\psi_{k}))\frac{1}{\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}(\Pi_{k,\alpha})}1_{\Pi}}k,\alpha$ ,

\end{center}
ou $\eta_{\Pi}k,\alpha$ d\'{e}signe la fonction caracteristique de $\Pi_{k,\alpha}$. La proposition 2.6
implique l'encadrement

\begin{center}
(2.14)   $\displaystyle \int_{\mathrm{R}}.f_{k}d\sigma\leq k^{-\frac{n}{2}}\mathrm{N}_{\Omega,k}(\lambda)\leq\int_{\mathrm{R}}.f_{k}^{\prime}d\sigma$.

\end{center}
Soit $X\in \mathrm{R}^{n}$ un point fixe' n'appartenant pas a l'ensemble negligeable

\begin{center}
$\displaystyle \mathrm{Z}=\bigcup_{k\in \mathrm{N},\alpha\epsilon \mathrm{Z}}.\partial\Pi_{k,\alpha}$.

\vspace{1em}
\end{center}
214

JEAN-PIERRE DEMAILLY

II existe alors une suite d'indices $\alpha(k)\in \mathrm{Z}^{n}$ unique telle que $X\in\Pi_{k,\alpha(k)}$ . La
proposition 2.9 appliqu\'{e}e a la suite des cubes $\mathrm{P}_{k}=\Pi_{k,\alpha(k)}$ (resp.
$\mathrm{P}_{k}^{\prime}=\Pi_{k,\alpha(k)}^{\prime})$ avec $\mathrm{Vol}(\mathrm{P}_{k})$ -- $\mathrm{VolP}_{k}^{\prime}$ montre que les suites ponctuelles

\begin{center}
$f_{k}(x)=\displaystyle \frac{k^{-\frac{n}{2}}}{\mathrm{Vo}1(\mathrm{P}_{k})}\mathrm{N}_{\mathrm{P}_{k},k}(\lambda)1_{\Omega_{k}}(x),\ f_{k}^{\prime}(x)=\displaystyle \frac{k^{-\frac{n}{2}}}{\mathrm{Vo}1(\mathrm{P}_{k})}\mathrm{N}_{\mathrm{P}_{\acute{k}},k}(\lambda)\mathrm{t}_{\Omega_{\acute{k}}}(x)$,

\end{center}
sont telles que
(2.15)   $\{$

\begin{center}
Jim $\mathrm{inf}f_{k}(x)\geq \mathrm{v}_{\mathrm{B}(x)}(\mathrm{V}(x)+\lambda)\eta_{\Omega}(x)$

$\displaystyle \lim \mathrm{sup}f_{k}^{\prime}(x)\leq\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}(x)}(\mathrm{V}(\mathrm{x})+\lambda)\mathrm{t}_{\Omega}(\mathrm{x})$.

\end{center}
La majoration uniforme de la proposition 2.9 entraine d'autre part
l'existence de constantes $\mathrm{C}_{11}, \mathrm{C}_{12}$ independantes de $k, x$ et $\lambda$ telles que

\begin{center}
$f_{k}(x)\leq f_{k}^{\prime}(x)\leq \mathrm{C}_{11}(1+\sqrt{\lambda_{+}+\mathrm{C}_{12}})^{n}$.

\end{center}
Le th\'{e}or\`{e}me 2.3 r\'{e}sulte alors de (2.14), (2.15) et du lemme de Fatou.

\[
\square 
\]

   En vue des applications a la geometrie complexe, nous aurons besoin
d'une l\'{e}g\'{e}re g\'{e}n\'{e}ralisation du theoreme 2.3. On se donne un fibr\'{e} hermitien
$\mathrm{F}$ de rang $r$ et de classe $\varphi\infty$ au-dessus de $\mathrm{M}$, muni d'une connexion
hermitienne $\nabla$, et des sections continues $\mathrm{S}$ du fibr\'{e}
$\Lambda_{\mathrm{R}}^{1}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes_{\mathrm{R}}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathrm{C}}(\mathrm{F},\mathrm{F})$ et $\mathrm{V}$ du fibre Herm (F) des endomorphismes
hermitiens de F. Soit $\nabla_{k}$ la connexion hermitienne sur $\mathrm{E}^{k}[eggx] \mathrm{F}$ induite
par les connexions $\mathrm{D}$ et V. Pour abr\'{e}ger les notations, on d\'{e}signera
encore par $\mathrm{S}$ et $\mathrm{V}$ les endomorphismes $\mathrm{Id}_{\mathrm{E}^{k}}\otimes \mathrm{S}$ et $\mathrm{Id}_{\mathrm{E}^{k}}[eggx] \mathrm{V}$ op\'{e}rant
sur $\mathrm{E}^{k}$ OX F. Etant donne un ouvert $\Omega$ relativement compact dans $\mathrm{M}$,
on considere la forme quadratique

\begin{center}
$\displaystyle \Omega_{\Omega,k}(u)=\int_{\Omega}(\frac{1}{k}|\nabla_{k}u+\mathrm{S}u|^{2}-\langle \mathrm{V}u,u\rangle)$ {\it do} ,

\end{center}
o\`{u} $u\in \mathrm{W}_{0}^{1}(\Omega,\mathrm{E}^{k}[eggx] \mathrm{F})$. Soient $\mathrm{V}_{1}(x)\leq \mathrm{V}_{2}(\mathrm{x})\leq\cdots\leq \mathrm{V}_{r}(x)$ les valeurs
propres de $\mathrm{V}(x)$ en tout point $X\in \mathrm{M}$ . On a alors le resultat suivant.

   THEOREME 2.16. -- {\it La fonction de denombrement} $\mathrm{N}_{\Omega.k}(\lambda)$. {\it des valeurs}
{\it propres de} $\mathrm{Q}_{\Omega,k}$ {\it admet pour tout} $\lambda\in \mathrm{R}$ {\it les estimations asymptotiques}

\begin{center}
$\displaystyle \lim_{k\rightarrow+}\inf_{\infty}k^{-\frac{n}{2}}\mathrm{N}_{\Omega.k}(\lambda)\geq\sum_{j=1}^{r}\int_{\Omega}\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V}_{j}+\lambda)d\sigma$,

$\displaystyle \lim_{k\rightarrow+}\sup_{\infty}k^{-\frac{n}{2}}\mathrm{N}_{\Omega,k}(\lambda)\leq\sum_{j=1}^{r}\int_{\Omega}\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\mathrm{V}_{j}+\lambda)$ {\it do},

\end{center}
{\it o\`{u}} $\mathrm{B}$ {\it est le champ magnetique associe \`{a} la connexion} $\mathrm{D}$ {\it sur} E.

\vspace{1em}
INEGALITES DE MORSE EN $d^{\prime\prime}$-COHOMOLOGIE

215

   {\it Demonstration}. -- Le principe de localisation 2.6 est encore valable
dans la presente situation. II suffit donc de demontrer les inegalites 2.16
lorsque $\Omega$ est assez petit. Soit $a\in \mathrm{M}$ un point fixe et $(e_{1}, \ldots,e_{r})$ un
repere orthonorme' $\mathscr{C}^{\infty}$ de $\mathrm{F}$ au-dessus $\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{u}\mathrm{n}$ voisinage $\mathrm{W}$ de $a$, tel que
$(e_{1}(a),\ldots,e_{r}(a))$ soit une base propre pour $\mathrm{V}(a)$. Ecrivons $u$ sous la
forme

\[
u=\sum_{j=1}^{r}u_{j}[eggx] e_{j}
\]

ou $u_{j}$ est une section de $\mathrm{E}^{k}$. Pour tout $\epsilon>0$, il existe un voisinage
$\mathrm{W}_{\epsilon}^{\prime}\subset \mathrm{W}$ de $a$ sur lequel

\[
\sum_{j=1}^{r}(\mathrm{V}_{j}(a)-\epsilon)|u_{j}|^{2}\leq\langle \mathrm{V}u,u\rangle\leq\sum_{j=1}^{r}(\mathrm{V}_{j}(a)+\epsilon)|u_{j}|^{2}
\]

On a d'autre part

\begin{center}
$\displaystyle \nabla_{k}u=\sum_{j=1}^{r}\mathrm{D}_{k}u_{j}[eggx] e_{j}+u_{j}[eggx]\nabla e_{j}$,

\end{center}
et le terme $u_{j}$ OX $\nabla e_{j}$ peut \^{e}tre absorbe dams $\mathrm{S}u$ (ce qui nous ramene en
fait au cas ou la connexion $\nabla$ est plate). L'encadrement
$(1-k^{-})|\nabla_{k}u|^{2}1+(1-k^{1}|\mathrm{S}u|^{2}\leq|\nabla_{k}u+\mathrm{S}u|^{2}$

\[
\leq(1+k^{-\frac{1}{2}})|\nabla_{k}u|^{2}+(1+k^{1}|\mathrm{S}u|^{2}
\]

montre que le terme So ne modifie $\mathrm{Q}_{\Omega,k}$ que par un facteur multiplicatif
1 $\pm\epsilon$ et par un facteur additif $\pm\epsilon||u||^{2}$ Pour tout $\epsilon>0$, II existe
donc un voisinage $\mathrm{W}_{\epsilon}$ de $a$ et un entier $k_{0}(\epsilon)$ tels que

\[
(1-\epsilon)\mathrm{Q}_{\Omega.k}(u)-\epsilon||u||^{2}\leq \mathrm{Q}_{\Omega,k}(u)\leq(1+\epsilon)\mathrm{Q}_{\Omega,k}(u)+\epsilon||u||^{2}
\]

d\`{e}s que $k\geq k_{0}(\epsilon)$ et $\Omega\subset \mathrm{W}_{\epsilon}$, oti $\mathrm{Q}_{\Omega,k}$ d\'{e}signe la forme quadratique

\begin{center}
$\displaystyle \mathrm{Q}_{\Omega.k}(u)=\sum_{j=1}^{r}\int_{\Omega}(\frac{1}{k}|\mathrm{D}_{k}u_{j}|^{2}-\mathrm{V}_{j}(a)|u_{j}|^{2})d\sigma$.

\end{center}
Comme $\mathrm{Q}_{\Omega.k}$ est une somme directe de $r$ formes quadratiques, le spectre
de $\mathrm{Q}_{\Omega.k}$ est la riunion (comptee avec multiplicit\'{e}s) des spectres de chacun
des termes de la somme. Le theoreme 2.16 s'ensuit.

\[
\square 
\]

\vspace{1em}
216

JEAN-PIERRE DEMAILLY

\begin{center}
3. $\mathrm{Identit}\epsilon$ de Bochner-Kodaira-Nakano

en g\'{e}om\'{e}trie hermitienne.

\end{center}
   L'objet des paragraphes qui suivent est de tirer les cons\'{e}quences du
theoreme de repartition spectrale 2.16 pour l'etude de la $d^{\prime\prime}$-cohomologie
des fibr\'{e}s vectoriels holomorphes hermitiens. Dans ce but, nous aurons
besoin de relier le laplacien antiholomorphe $\Delta^{\prime\prime}$ a l'operateur de
Schr\"{o}dinger d'une connexion reelle ad\'{e}quate. Ceci se fait au moyen d'une
formule particuliere de type Weitzenb\"{o}ck, connue en geometrie complexe
sous le nom d'identite de Bochner-Kodaira-Nakano.

   Soit $\mathrm{X}$ une variete analytique complexe compacte de dimension $n$ et
$\mathrm{F}$ un fibr\'{e} vectoriel holomorphe hermitien de rang $r$ au-dessus de X. On
sait $\mathrm{qu}^{\prime}\mathrm{i}1$ existe une unique connexion hermitienne $\mathrm{D}=\mathrm{D}^{\prime}+\mathrm{D}^{\prime\prime}$ sur $\mathrm{F}$
dont la composante $\mathrm{D}^{\prime\prime}$ de type $(0,1)$ coincide avec l'operateur $\partial$ du fibre'
(une telle connexion est dite $\mathrm{h}$ olomorphe). $\mathrm{S}$ oit
$c(\mathrm{F})=\mathrm{D}^{2}=\mathrm{D}^{\prime}\mathrm{D}^{\prime\prime}+\mathrm{D}^{\prime\prime}\mathrm{D}^{\prime}$ la forme de courbure de F. Munissons $\mathrm{X}$
d'une metrique hermitienne arbitraire co de type $(1,1)$ et de classe $\mathscr{C}$ ''
L'espace $\mathscr{C}_{p.q}^{\infty}(\mathrm{X},\mathrm{F})$ des sections de classe $\subset d^{\infty}$ du fibre' $\Lambda^{p,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}$ OX $\mathrm{F}$ se
trouve alors muni d'une structure prehilbertienne naturelle. On itie
$6=6^{\prime}+6^{\prime\prime}$ l'adjoint formel de $\mathrm{D}$ considere comme operateur differentiel
sur $\mathscr{C}^{\infty}.,.(\mathrm{X},\mathrm{F})$, et A l'adjoint de l'op\'{e}rateur $\mathrm{L}:u\mapsto 0$) A $u$.

   Nous utiliserons l'identite de Bochner-Kodaira-Nakano sous la forme
generale demontree dans [6], bien qu'on puisse en fait se contenter, comme
le fait Y. T. Siu [16], [17], de la formule moins pr\'{e}cise donn\'{e}e par P.
Griffiths. Si $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ sont des op\'{e}rateurs diff\'{e}rentiels sur $\mathscr{C}^{\infty}.,.(\mathrm{X},\mathrm{F})$, on
definit leur $\mathrm{anti}- \mathrm{c}\dot{\mathrm{o}}\mathrm{m}\mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{u}\mathrm{r}[\mathrm{A},\mathrm{B}]$ par la formule

\begin{center}
$[\mathrm{A},\mathrm{B}]=$ AB $-(-1)^{ab}\mathrm{BA}$

\end{center}
ou $a, b$ sont les degres respectifs de Aet B. Les operateurs de Laplace-
Beltrami $\Delta^{\prime}$ et $\Delta^{\prime\prime}$ sont alors donnes classiquement par

\begin{center}
A $=[\mathrm{D}^{\prime},6^{\prime}]=\mathrm{D}^{\prime}6^{\prime}+6^{\prime}\mathrm{D}^{\prime},\ \Delta^{\prime\prime}=[\mathrm{D}^{\prime\prime}, 6'']$ .

\end{center}
A la forme de torsion $d^{\prime}c\mathrm{o}$, nous associons l'op\'{e}rateur de multiplication
exte'rieure $u\mapsto d^{\prime}\mathfrak{c}\mathrm{n}\Lambda u$ sur $\mathscr{C}^{\infty}\ldots(\mathrm{X},\mathrm{F})$, de type $(2,1)$, note simplement
$ d^{\prime}\omega$, et l'op\'{e}rateur $\tau$ de tyoe $(1,0)$ defini par $\tau=[\Lambda,d^{\prime}\mathrm{o})]$ . Nous posons
enfin

\begin{center}
$\mathrm{D}_{\tau}^{\prime}=\mathrm{D}^{\prime}+\tau,\ 6:=(\mathrm{D}_{\tau}^{\prime})^{*}=6^{\prime}+\tau^{*},\ \Delta_{\tau}^{\prime}=[\mathrm{D}_{\tau}^{\prime},6_{\tau}^{\prime}]$.

\vspace{1em}
\end{center}
INEG@LI@E@ DE MORSE EN $d^{\prime\prime}$-COHOMOLOGIE

217

On a alors l'identite' suivante, pour une dimonstration de laquelle le lecteur
se reportera a [6].

   PROPOSITION 3.1. $-\Delta^{\prime\prime}=\Delta_{\tau}^{\prime}+[\mathrm{i}c(\mathrm{F}),\Lambda]+\mathrm{T}_{\varpi}$ {\it ou}' $\mathrm{T}_{\omega}$ {\it est} $l^{\prime}op\acute{e}rateur$
$d^{\prime}ordre0$ {\it et de type} $(0,0)$ {\it defini par}

\begin{center}
$\displaystyle \mathrm{T}_{\omega}=[\Lambda,[\Lambda,\frac{\mathrm{i}}{2}d^{\prime}d^{\prime\prime}\mathrm{o}\mathrm{D}]]-[d^{\prime}\mathrm{o}),(d^{\prime}\ddagger 0)^{*}]$ .

\end{center}
   D'apr\`{e}s la theorie de Hodge-De Rham, le groupe de cohomologie
$\mathrm{H}^{q}(\mathrm{X},\mathrm{F})$ s'identifie a l'espace des $(\mathrm{O},q)$-formes $\Delta^{\prime\prime}$-harmoniques a valeurs
dans F. Soit $u\in \mathscr{C}_{p,q}^{\infty}(\mathrm{X},\mathrm{F})$ . La proposition 3.1 nous donne l'egalite

\begin{center}
(3.2)   $\displaystyle \int_{\mathrm{x}}^{\prime}|\mathrm{D}^{\prime\prime}u|^{2}+|6^{\prime\prime}u|^{2}=\int_{\mathrm{X}}\langle\Delta^{ll}u,u\rangle$

$=\displaystyle \int_{\mathrm{x}}|\mathrm{D}_{\tau}^{\prime}u|^{2}+|6_{\tau}^{\prime}u|^{2}+\langle[\mathrm{i}c(\mathrm{F}),\Lambda]u,u\rangle+\langle \mathrm{T}_{\mathrm{o})}u,u\rangle$,

\end{center}
ou les int\'{e}grales sont calculees relativement a l'\'{e}l\'{e}ment de volume
$do=\displaystyle \frac{(\mathrm{I})^{\hslash}}{n!}$. En particulier, si $u$ est de bidegre $(\mathrm{O},q)$ , on a $6_{\tau}^{\prime}u=0$ par
raison de bidegre, d'otz

\begin{center}
(3.3)   $\displaystyle \int_{\mathrm{X}}\langle\Delta^{\prime\prime}u,u\rangle=\int_{\mathrm{x}}|\mathrm{D}_{\tau}^{\prime}u|^{2}+\langle[ic(\mathrm{F}),\Lambda]u,u\rangle+\langle \mathrm{T}_{\omega}u,u\rangle$ .

\end{center}
On peut egalement considerer $u$ comme une $(n,q)$-forme a valeurs dans le
fibr\'{e} $\mathrm{F}=\mathrm{F}[eggx]\Lambda^{n}\mathrm{T}\mathrm{X}$; on notera $\mathrm{D}=\mathrm{D}^{\prime}+\mathrm{D}^{\prime\prime}$ la connexion hermitienne
holomorphe de $\mathrm{F}$ et $\tilde{u}$ l'image canonique de $u$ dans $\mathscr{C}_{n,q}^{\infty}(\mathrm{X},\mathrm{F})$.

   LEMME 3.4. -- {\it On a des diagrammes commutatifs}

\begin{center}
$\mathscr{C}_{0,q}^{\infty}(\mathrm{F})\downarrow\sim \rightarrow \mathrm{D}^{\prime\prime}\mathscr{C}_{0,q+1}^{\infty}(\mathrm{F})\downarrow\sim$' $\mathscr{C}_{\mathrm{O}q}^{\infty}(\mathrm{F})\downarrow'\sim \rightarrow\Delta^{\prime\prime} \mathscr{C}_{\mathrm{O},q}^{\infty}(\mathrm{F})\downarrow\sim$

$\mathrm{D}^{\prime\prime} \rightarrow\Delta^{\prime\prime}$

$\mathscr{C}_{n,q}^{\infty}(\mathrm{F}) \rightarrow \mathscr{C}_{n.q+1(\mathrm{F})}^{\infty},\ \mathscr{C}_{n,q}^{\infty}(\mathrm{F}) \mathscr{C}_{n,q}^{\infty}(\mathrm{F})$

\end{center}
{\it ou les fleches verticales sont les isometries} $u\mapsto\tilde{u}$.

\vspace{1em}
218

JEAN-PIERRE DEMAILLY

   {\it Demonstration}. -- La commutativite du diagramme de gauche resulte
du fait que $\Lambda^{n}\mathrm{TX}$ est un fibre holomorphe (on prendra garde au fait que le
r\'{e}sultat correspondant pour $\mathrm{D}^{\prime}$ et $\mathrm{D}^{\prime}$ est faux). On a donc un diagramet
commutatif analogue pour les adjoints $6^{\prime\prime}, \mathrm{S}^{\prime\prime}$ et pour $\Delta^{\prime\prime}, \Delta^{\prime\prime}.\ \square $

Le lemme 3.4 et l'identite' (3.2) nous donnent

\begin{center}
(3.5)   $\displaystyle \int_{\mathrm{X}}\langle\Delta^{\prime\prime}u,u\rangle=\int_{\mathrm{X}}\langle\Delta^{\prime\prime}\tilde{u},\tilde{u}\rangle$

$=\displaystyle \int_{\mathrm{x}}|\mathrm{S}_{\tau}^{\prime}\tilde{u}|^{2}+\langle[\mathrm{i}c(\mathrm{F}),\Lambda]\tilde{u},\tilde{u}\rangle+\langle \mathrm{T}_{\omega}\tilde{u},\tilde{u}\rangle$.

\end{center}
Nous allons maintenant transformer legerement l'ecriture de (3.3) et (3.5).
La connexion hermitienne holomorphe du fibr\'{e} $\Lambda^{q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}$ induit sur le fibre'
conjugue $\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}$ une connexion dont la composante de type $(1,0)$
co.incide avec l'operateur $d^{\prime}$. On en deduit alors une connexion
hermitienne naturelle $\nabla$ sur le fibre' produit tensoriel $\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}$ OX $\mathrm{F}$ (on
observera que ce fibre' vectoriel $n^{\prime}est$ {\it pas} holomorphe en g\'{e}n\'{e}ral si $q\neq 0$).
Soient $\nabla^{\prime}$ et $\nabla^{\prime\prime}$ les composantes de $\nabla$ de type $(1,0)$ et $(0,1)$.

   PROPOSITION 3.6. -- {\it On} $a$

\begin{center}
$\nabla^{\prime}=\mathrm{D}^{\prime}$ : $\mathscr{C}^{\infty}(\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}[eggx] \mathrm{F})\rightarrow \mathscr{C}_{1,0}^{\infty}(\Lambda^{\mathrm{O},q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}[eggx] \mathrm{F})$,

\end{center}
{\it et if existe un diagramme commutatif}

\begin{center}
$\mathscr{C}^{\infty}(\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}\otimes \mathrm{F})\rightarrow\nabla^{\prime\prime} \mathscr{C}_{0.1}^{\infty}(\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}[eggx] \mathrm{F})$

$\downarrow\sim \downarrow\Psi$

\[
\rightarrow \mathrm{S}^{\prime}
\]

$\mathscr{C}_{n,q}^{\infty}(\mathrm{F}) \mathscr{C}_{n-1,q}^{\infty}(\mathrm{F})$

\end{center}
{\it ou les fleches verticales sont des isometries, celle de gauche itant donnee par}
$u\mapsto\tilde{u}$.

   {\it Dimonstration}. --L'\'{e}galit\'{e} $\nabla^{\prime}=\mathrm{D}^{\prime}$ provient du fait que la
composante de type $(1,0)$ de la connexion de $\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}$ co.incide avec $d^{\prime}$.
Pour le diagramme, on commence par definir la fleche verticale ?. Soit

\begin{center}
$(?|?)$ : $(\Lambda^{p_{1},q\mathrm{l}}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}[eggx] \mathrm{F})\times(\Lambda^{p_{2},q_{2}}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}[eggx] \mathrm{F})\rightarrow\Lambda^{p_{1}+q_{2},q_{1}+p_{2}}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}$

\vspace{1em}
\end{center}
INEGALITES DE MORSE EN $d^{n}$-COHOMOLOGIE

219

l'accouplement sesquilin\'{e}aire canonique induit par la metrique sur les fibres
de $\mathrm{F}$, et

\begin{center}
$*: \Lambda^{p,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}$ @ $\mathrm{F}\rightarrow\Lambda^{n-q.n-p}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}[eggx] \mathrm{F}$

\end{center}
l'operateur de Hodge-De Rham-Poincare' defini par

\begin{center}
$(v|*w)=\langle v,w\rangle d\sigma,\ v, w\in\Lambda^{p,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}[eggx]$ F.

\end{center}
On en d\'{e}duit par composition une isometrie

\begin{center}
$\Psi_{0}$ : $\Lambda^{0,1}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}$ OX $\mathrm{F}\rightarrow\Lambda^{n,1}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}[eggx] \mathrm{F}\sim\rightarrow\Lambda^{n-1,0}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}[eggx] \mathrm{F}*$

\end{center}
et la fleche $\Psi$ s'obtient par d\'{e}finition en tensorisant $-i^{-n^{2}}\Psi_{0}$ par
$\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}$. Pour demontrer la commutativite, on suppose d'abord $q=0$.
Soit $u\in \mathscr{C}$ '' (F). On a classiquement

\begin{center}
$\mathrm{S}^{\prime}\tilde{u}=-*\mathrm{D}^{\prime\prime}*\tilde{u}$,

\end{center}
et comme $\tilde{u}\in \mathscr{C}_{n,0}^{\infty}(\mathrm{F})$ , il vient $*\tilde{u}=i^{-n^{2}}\tilde{u},$ d'o\`{u}

\begin{center}
$\mathrm{S}^{\prime}\tilde{u}=-i^{-n^{2}}*\mathrm{D}^{\prime\prime}\tilde{u}=-i^{-n^{2}}*\sim \mathrm{D}^{\prime\prime}u=-\mathrm{i}^{-n^{2}}\Psi_{0}(\mathrm{D}^{\prime\prime}u)=\Psi(\nabla^{\prime\prime}u)$.

\end{center}
Dans le cas ou $q$ est quelconque, il suffit de trivialiser $\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}$ au
voisinage d'un point $X$ arbitraire, en choisissant un repere orthonorme'
$(e_{1}, \ldots,e_{\mathrm{N}})$ de ce fibr\'{e} tel que $\nabla e_{1}(x)=\cdots=\nabla e_{\mathrm{N}}(x)=0.\ \square $

On considere maintenant les morphismes de fibr\'{e}

\begin{center}
$\mathrm{S}^{\prime}$ : $\Lambda^{0.q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}$ OX $\mathrm{F}\rightarrow\Lambda^{1,0}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}$ OX $\Lambda^{0.q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}$ OX $\mathrm{F}$

$\mathrm{S}^{\prime\prime}$ : $\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}[eggx] \mathrm{F}\rightarrow\Lambda^{0,1}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}$ OX $\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}$ OX $\mathrm{F}$

\end{center}
ou $\mathrm{S}^{\prime}=\tau=[\Lambda,d^{\prime}\omega]$ , et ou $\mathrm{S}^{\prime\prime}$ est le releve' par les isometries -- et $\Psi$ du
morphisme

\begin{center}
$\tau^{*}=[(d^{\prime}\omega)^{*},\mathrm{L}]$ : $\Lambda^{n,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}[eggx] \mathrm{F}\rightarrow\Lambda^{n-1,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}$ OX F .

\end{center}
D'apr\`{e}s la proposition 3.6, on a

\begin{center}
$|\mathrm{D}_{\tau}^{\prime}u|=|\nabla^{\prime}u+\mathrm{S}^{\prime}u|,\ |\mathrm{S}_{\tau}^{\prime}\tilde{u}|=|\nabla^{\prime\prime}u+\mathrm{S}^{\prime\prime}u|$ .

\end{center}
Si on pose $\mathrm{S}=\mathrm{S}^{\prime}\oplus \mathrm{S}^{\prime\prime}$, les identit\'{e}s (3.3) et (3.5) impliquent par addition
(3.7)   2 $\displaystyle \int_{\mathrm{x}}\langle\Delta^{\prime\prime}u,u\rangle=\int_{\mathrm{x}}|\nabla u+\mathrm{S}u|^{2}+\int_{\mathrm{X}}\langle[ic(\mathrm{F}),\Lambda]u,u\rangle$

\[
+\int_{\mathrm{X}}\langle[\mathrm{i}c(\mathrm{F}),\Lambda]\tilde{u},\tilde{u}\rangle+\langle \mathrm{T}_{\omega}u,u\rangle+\langle \mathrm{T}_{\omega}\tilde{u},\tilde{u}\rangle
\]

pour tout $u\in \mathscr{C}_{0,q}^{\infty}(\mathrm{X},\mathrm{F})$.

\vspace{1em}
220

JEAN-PIERRE DEMAILLY

  Soit maintenant $\mathrm{E}$ un fibre' holomorphe hermitien de rang 1 au-dessus
de X. Pour tout entier $k$, on note $\mathrm{D}_{k}$ et $\nabla_{k}$ les connexions hermitiennvk
naturelles sur les fibris $\mathrm{F}_{k}=\mathrm{E}^{k}[eggx] \mathrm{F}$ et $\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}[eggx] \mathrm{F}_{k}$ , et on pose
$\Delta_{k}^{\prime\prime}=[\mathrm{D}_{k}^{\prime\prime},6_{k}^{\prime\prime}]$. La courbure de $\mathrm{F}_{k}$ (resp. $\mathrm{F}_{k}$) est donn\'{e}e par

(3.8) $c(\mathrm{F}_{k})=c(\mathrm{F})+$ Ac(E) $[eggx] \mathrm{Id}_{\mathrm{F}}$,

\begin{flushright}
(resp. $c(\mathrm{F}_{k})=c(\mathrm{F})+$ Ac(E) $[eggx] \mathrm{Id}_{\mathrm{F}}$).

\end{flushright}
Rappelons, bien que ce soit inutile pour la suite, que

\begin{center}
$c(\mathrm{F})=c(\mathrm{F})+c(\Lambda^{n}\mathrm{T}\mathrm{X})[eggx] \mathrm{I}\mathrm{d}_{\mathrm{F}}=c(\mathrm{F})+$ Ricci(co) $[eggx] \mathrm{Id}_{\mathrm{F}}$.

\end{center}
Nous aurons donc besoin d'\'{e}valuer les termes $[\mathrm{i}c(\mathrm{E}),\Lambda]$ . Pour tout point
$X\in \mathrm{X}$, soient $\alpha_{1}(x)$ , $\alpha_{2}(x)$ , . . . , $\alpha_{n}(x)$ les valeurs propres de $\mathrm{i}c(\mathrm{E})(x)$
relativement a la mitrique hermitienne co sur X. II existe donc un
systeme de coordonn\'{e}es locales $(z_{1}, \ldots,z_{n})$ centr\'{e} en $X$ tel que
$(\displaystyle \frac{\partial}{\partial z_{1}'}\cdots,\frac{\partial}{\partial z_{n}})$ soit une base orthonorm\'{e}e de $\mathrm{T}_{X}\mathrm{X}$, et tel que

\begin{center}
$\displaystyle \omega(x)=\frac{\mathrm{i}}{2}\sum_{j=1}^{n}dz_{j}$ A $d\overline{z}_{j}$,

$\displaystyle \mathrm{i}c(\mathrm{E})(x)=\frac{\mathrm{i}}{2}\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}(x)dz_{j}$ A $d\overline{z}_{j}$.

\end{center}
Soit $(e_{1}$, . . ., $e_{r})$ un rep\`{e}re orthonorme de la fibre $\mathrm{E}_{\mathrm{x}}^{k}$ OX $\mathrm{F}_{\mathrm{x}}$. Pour
$v\in\Lambda^{p.q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}[eggx] \mathrm{F}_{k}$ , on peut \'{e}crire

\begin{center}
$v=\displaystyle \sum_{|\mathrm{I}|=p,|\mathrm{J}|=q\swarrow}v_{\mathrm{I},\mathrm{J},J}dz_{\mathrm{I}}$ A $d\overline{z}_{\mathrm{J}}$ OX $e_{t},\ |v|^{2}=2^{p+q}\displaystyle \sum_{\mathrm{I},\mathrm{J},J}|v_{\mathrm{I},\mathrm{J}.\mathit{1}}|^{2}$

\end{center}
Un calcul \'{e}l\'{e}mentaire, explicit\'{e} par exemple dans [6], donne la formule
(3.9)   $\displaystyle \langle[ic(\mathrm{E}),\Lambda]v,v\rangle=2^{p+q}\sum_{\mathrm{I},\mathrm{J},J}(\alpha_{\mathrm{I}}+\alpha_{\mathrm{J}}-\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j})|v_{\mathrm{I},\mathrm{J},\dot{J}}|^{2}$
avec $\displaystyle \alpha_{\mathrm{I}}=\sum_{j\in \mathrm{I}}\alpha_{j}$. Soit $u\in\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}[eggx] \mathrm{F}_{k}$. Posons

\begin{center}
$u=\displaystyle \sum_{\mathrm{J},\mathit{1}}u_{\mathrm{J},\swarrow}d\overline{z}_{\mathrm{J}}[eggx] e,$ .

\end{center}
D'apres (3.9), il vient

\begin{center}
$\displaystyle \langle[\mathrm{i}c(\mathrm{E}),\Lambda]u,u\rangle=2^{q}\sum_{\mathrm{J},J}-\alpha_{\mathrm{t}^{\mathrm{J}}}|u_{\mathrm{J},J}|^{2}$,

\[
\langle[\mathrm{i}c(\mathrm{E}),\Lambda]\tilde{u},\tilde{u}\rangle=2^{q}\sum_{\mathrm{J},J}\alpha_{\mathrm{J}}|u_{\mathrm{J}/}|^{2}
\]

\vspace{1em}
\end{center}
INEGALITES DE MORSE EN $d^{\prime\prime}$-COHOMOLOGIE

221

Soit $\mathrm{V}$ l'endomorphisme hermitien de $\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}[eggx] \mathrm{F}_{k}$ defini par

\begin{center}
(3.10)   $\langle \mathrm{V}u,u\rangle=-\langle[\mathrm{i}c(\mathrm{E}),\Lambda]u,u\rangle-\langle[ic(\mathrm{E}),\Lambda]\tilde{u},\tilde{u}\rangle$

\[
=2^{q}\sum_{\mathrm{J},\mathit{1}}(\alpha_{\mathrm{t}^{\mathrm{J}}}-\alpha_{\mathrm{J}})|u_{\mathrm{J},J}|^{2}
\]

\end{center}
Les valeurs propres de $\mathrm{V}$ sont donc les coefficients $\alpha_{\}\mathrm{J}}-\alpha_{\mathrm{J}}$, comptes
avec multiplicite' $r=$ rang (F). Soit enfin $\Theta$ l'endomorphisme hermitien
d\'{e}fini par

\begin{center}
(3.11)   $\langle\Theta u,u\rangle=\langle[\mathrm{i}c(\mathrm{F}),\Lambda]u,u\rangle+\langle[\mathrm{i}c(\mathrm{F}),\Lambda]\tilde{u},\tilde{u}\rangle$

$+\langle \mathrm{T}_{\omega}u,u\rangle+\langle \mathrm{T}_{0)}\tilde{u},\tilde{u}\rangle$ .

\end{center}
Les identite' $\mathrm{s}$ (3.7-11) impliquent alors

\begin{center}
(3.12)   $\displaystyle \frac{2}{k}\int_{\mathrm{x}}\langle\Delta_{k}^{\prime\prime}u,u\rangle=\int_{\mathrm{x}}\frac{1}{k}|\nabla_{k}u+\mathrm{S}u|^{2}-\langle \mathrm{V}u,u\rangle+\frac{1}{k}\langle\Theta u,u\rangle$

\end{center}
ou les op\'{e}rateurs $\mathrm{S}, \mathrm{V}, \Theta$ n'agissent que sur la composante $\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}$ OX $\mathrm{F}$
de $\Lambda^{0,q}\mathrm{T}^{*}\mathrm{X}[eggx] \mathrm{F}_{k}$. On va donc pouvoir utiliser le theoreme 2.16 pour
d\'{e}terminer la distribution spectrale asymptotique de $\Delta_{k}^{\prime\prime}$, car le terme
$\displaystyle \frac{1}{k}\langle\Theta u,u\rangle$ tend vers 0 en norme.

  Soit $h_{k}^{q}(\lambda)$ le nombre de valeurs propres $\leq k\lambda$ de $\Delta_{k}^{\prime\prime}$ operant sur
$\mathscr{C}_{0,q}^{\infty}(\mathrm{E}^{k}[eggx] \mathrm{F})$. Le champ magn\'{e}tique $\mathrm{B}$ est 1C1 donne par

(3. 13) $\displaystyle \mathrm{B}=-ic(\mathrm{E})=-\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}dx_{j}\Lambda dy_{j},\ z_{j}=x_{j}+\mathrm{i}y_{j}$.

Compte-tenu que $\dim_{\mathrm{R}}\mathrm{X}=2n$, le th\'{e}or\`{e}me 2.16 se transcrit comme suit.

  THEOREME 3.14. -- {\it If existe un ensemble denombrable} 3 {\it tel que pour}
{\it tout} $q=0,1$, . . ., $n$ {\it et tout} $\lambda\in \mathrm{Rj}$ ? {\it on ait}

\[
h_{k}^{q}(\lambda)=rk^{n}\sum_{|\mathrm{J}|=q}\int_{\mathrm{x}}\mathrm{v}_{\mathrm{B}}(2\lambda+\alpha_{[\mathrm{J}}-\alpha_{\mathrm{J}})d\sigma+o(k^{n})
\]

{\it lorsque} $k$ {\it tend vers} $+\infty$.

\vspace{1em}
222

JEAN-PIERRE DEMAILLY

\begin{center}
4. Complexe de Witten et $\mathrm{in}6\mathrm{g}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{t}\epsilon \mathrm{s}$ de Morse.

\end{center}
   E. Witten[18], [19] a introduit recemment une nouvelle methode
analytique pour demontrer les inegalites de Morse en cohomologie le
de Rham. Nous adaptons 1C1 sa methode pour l'etude de la
$d^{\prime\prime}$-cohomologie. La principale diff\'{e}rence r\'{e}side dans le fait que le champ
magn\'{e}tique est toujours nul dans le cas de la cohomologie de de Rham (on
a en effet $d^{2}=0$!) , et c'est le champ electrique qul intervient seul dans ce
cas.

  Avec les notations du \S 3, soit $\ovalbox{\tt\small REJECT}_{k}^{q}(\lambda)\subset \mathscr{C}_{0,q}^{\infty}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}[eggx] \mathrm{F})$ la somme
directe des sous-espaces propres de $\Delta_{k}^{\prime\prime}$ attach\'{e}s aux valeurs propres
$\leq k\lambda.\ \ovalbox{\tt\small REJECT}_{k}^{q}(\lambda)$ est donc un espace vectoriel de dimension finie

\begin{center}
$h_{k}^{q}(\lambda)=\dim_{\mathrm{C}}\ovalbox{\tt\small REJECT}_{k}^{q}(\lambda)$ .

\end{center}
La th\'{e}orie de Hodge donne un isomorphisme

\begin{center}
$\mathrm{H}^{q}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}[eggx] \mathrm{F})\simeq\ovalbox{\tt\small REJECT}_{k}^{q}(0)$.

\end{center}
On posera pour abr\'{e}ger

\begin{center}
$h_{k}^{q}=\dim \mathrm{H}^{q}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}[eggx] \mathrm{F})=h_{k}^{q}(0)$.

\end{center}
   PROPOSITION 4.1. --$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\dot{k}}(\lambda)$ {\it est un sous-complexe du complexe de}
{\it Dolbeault}

\begin{center}
$\mathrm{D}_{k}^{\prime\prime}$ : $\mathscr{C}_{0}^{\infty},.(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}[eggx] \mathrm{F})$.

\end{center}
{\it De plus}, $l^{\prime}\mathrm{i}nclus\mathrm{i}on\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\dot{k}}(\lambda)\subset \mathscr{C}_{0}^{\infty},.(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}[eggx] \mathrm{F})$ {\it et la projection orthogonale}

\begin{center}
$\mathrm{P}_{\lambda}$ : $\mathscr{C}_{0}^{\infty},.(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}[eggx] \mathrm{F})\rightarrow\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\dot{k}}(\lambda)$

\end{center}
{\it induisent en cohomologie des isomorphismes inverses} $l^{\prime}un$ {\it de l}'{\it autre}.

   {\it Demonstration}. --Le fait que $\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\dot{k}}(\lambda)$ soit un sous-complexe de
$\mathscr{C}_{0}^{\infty},.(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}[eggx] \mathrm{F})$ provient de la ProPri\'{e}t\'{e} de commutation des operateurs $\mathrm{D}_{k}^{\prime\prime}$
et $\Delta_{k}^{\prime\prime}$. Soit maintenant

\[
\mathrm{G}=\int_{\lambda>0}\frac{1}{\lambda}d\mathrm{P}_{\lambda}
\]

\vspace{1em}
INEGALITES DE MORSE EN $d^{\prime\prime}$-COHOMOLOGIE

223

l'op\'{e}rateur de Green du laplacien $\Delta_{k}^{\prime\prime}$. Comme $[\mathrm{P}_{\lambda},\Delta_{k}^{\prime\prime}]=0$, on a les
relations $[\mathrm{G},\Delta_{k}^{\prime\prime}]=0$ et

\begin{center}
$\Delta_{k}^{\prime\prime}\mathrm{G}+\mathrm{P}_{0}=\mathrm{I}\mathrm{d}$.

\end{center}
De plus, $[\mathrm{P}_{\lambda},\mathrm{D}_{k}^{\prime\prime}]=[\mathrm{G},\mathrm{D}_{k}^{\prime\prime}]=0$. On en deduit donc

\[
\mathrm{Id}-\mathrm{P}_{\lambda}=\Delta_{k}^{\prime\prime}\mathrm{G}(\mathrm{I}\mathrm{d}-\mathrm{P}_{\lambda})+\mathrm{P}_{0}(\mathrm{I}\mathrm{d}-\mathrm{P}_{\lambda})=\Delta_{k}^{\prime\prime}\mathrm{G}(\mathrm{I}\mathrm{d}-\mathrm{P}_{\lambda})
\]

\begin{center}
$=\mathrm{D}_{k}^{\prime\prime}(6_{k}^{\prime\prime}\mathrm{G}(\mathrm{I}\mathrm{d}-\mathrm{P}_{\lambda}))+(6_{k}^{\prime\prime}\mathrm{G}(\mathrm{I}\mathrm{d}-\mathrm{P}_{1}))\mathrm{D}_{k}^{ll}$,

\end{center}
de sorte que l'operateur $6_{k}^{\prime\prime}\mathrm{G}(\mathrm{I}\mathrm{d}-\mathrm{P}_{\lambda})$ est une homotopie entre $\mathrm{Id}$ et $\mathrm{P}_{\lambda}$.

\[
\square 
\]

   On utilise maintenant un lemme classique simple d'algebre
homologique.

   LEMME 4.2. -- {\it Soit}

\begin{center}
$0\rightarrow \mathrm{C}^{0}\rightarrow \mathrm{C}^{1}d^{0}\rightarrow d^{1}$ . . . $\rightarrow \mathrm{C}^{n}\rightarrow 0$

\end{center}
{\it un complexe} $d^{\prime}espaces$ {\it vectoriels de dimensions finies} $c^{0}, c^{1}, \ldots, c^{n}$ {\it sur un}
{\it corps} K. {\it Soit} $h^{q}=\dim_{\mathrm{K}}\mathrm{H}^{q}(\mathrm{C}^{\cdot})$. {\it Alors, on a les in\'{e}galit\'{e}s suivantes} :

   (d) {\it Inegalites de Morse} : $h^{q}\leq c^{q}, 0\leq q\leq n$.

   ({\it b}) {\it \'{E}galit\'{e} des caracteristiques} $d^{\prime}Euler$-{\it Poincire} $\chi(\mathrm{H}^{\cdot}(\mathrm{C}^{\cdot}))=\chi(\mathrm{C}^{\cdot})$ :

\begin{center}
$h^{0}-h^{1}+ \cdot$. . $+(-1)^{n}h^{n}=c^{0}-c^{1}+ \cdot$. . $+(-1)^{n}c^{n}$

\end{center}
   c) {\it Inegalites de Morse fortes} .$\cdot$ {\it pour tout} $q, 0\leq q\leq n$,

\begin{center}
$h^{q}-h^{q-1}+ \cdot$. . $+(-1)^{q}h^{0}\leq c^{q}-c^{q-1}+ \cdot$. . $+(-1)^{q}c^{0}$.

\end{center}
   {\it Demonstration}. -- Si $\mathrm{Z}^{q}=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}d^{q}$ et $\mathrm{B}^{q}={\rm Im} d^{q-1}$ ont pour
dimensions $z^{q}$ et $b^{q},$ l'\'{e}galit\'{e} ({\it b}) r\'{e}sulte en effet des formules

\begin{center}
$c^{q}=z^{q}+b^{q+1},\ h^{q}=z^{q}-b^{q}$,

\end{center}
tandis que (c) r\'{e}sulte de ({\it b}) applique' au complexe

\begin{center}
$ 0\rightarrow \mathrm{C}^{0}\rightarrow \mathrm{C}^{1}\rightarrow \rightarrow \mathrm{C}^{q-1}\rightarrow \mathrm{Z}^{q}\rightarrow 0.\ \square $

\end{center}
   Si $\mathrm{F}$ est un fibre' vectoriel holomorphe sur $\mathrm{X}$, on d\'{e}finit sa
caracteristique d'Euler-Poincare' par

\begin{center}
$\displaystyle \chi(\mathrm{X},\mathrm{F})=\sum_{q=0}^{n}(-1)^{q}\dim \mathrm{H}^{q}(\mathrm{X},\mathrm{F})$.

\vspace{1em}
\end{center}
224

JEAN-PIERRE DEMAILLY

En combinant la proposition 4.1 et le lemme 4.2, nous obtenons pour tout
$1\geq 0$ et tout $q, 0\leq q\leq n,$ l'in\'{e}galite'

\begin{center}
$h_{k}^{q}-h_{k}^{q-1}+\cdots+(-1)^{q}h_{k}^{0}\leq h_{k}^{q}(\lambda)-h_{k}^{q-1}(\lambda)+\cdots+(-1)^{q}h_{k}^{0}(\lambda)$.

\end{center}
Evaluons maintenant $h_{k}^{q}(\lambda)$ au moyen du thioreme 3.14 et faisons tendre
$\lambda\in \mathrm{R}\backslash \mathscr{D}$ vers 0 par valeurs $>0$. II s'ensuit :

   COROLLAIRE 4.3. -- {\it On a les inegalites asymptotiques}
({\it a})   $h_{k}^{q}\leq k^{n}\mathrm{I}^{q}+o(k^{n})$
({\it b})   $\chi(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}[eggx] \mathrm{F})=k^{n}(\mathrm{I}^{0}-\mathrm{I}^{1}+\cdots+(-1)^{n}\mathrm{I}^{n})+o(k^{n})$ ,

   ({\it c}) $h_{k}^{q}-h_{k}^{q-1}+\cdots+(-1)^{q}h_{k}^{0}\leq k^{n}(\mathrm{I}^{q}-\mathrm{I}^{q-1}+\cdots+(-1)^{q}\mathrm{I}^{0})+o(k^{n})$,
{\it ou} $\mathrm{I}^{q}$ {\it designe} $l^{\prime}\mathrm{i}nt\acute{e}grale$ {\it de courbure}

\begin{center}
$\displaystyle \mathrm{I}^{q}=r\sum_{|\mathrm{J}|=q}\int_{\mathrm{x}}\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\alpha_{\mathrm{t}^{\mathrm{J}}}-\alpha_{\mathrm{J}})$ {\it do} .

\end{center}
   D'apr\`{e}s (3.13), les modules des valeurs propres du champ magnetique $\mathrm{B}$
soot les $|\alpha_{j}|$ , $1\leq j\leq n$. Pour tout point $X\in \mathrm{X}$, rangeons ces valeurs
propres en sorte que

\begin{center}
$|\propto_{1}\mathrm{L}\geq|\alpha_{2}|\geq.$ . . $\geq|\alpha_{s}|>0=|\alpha_{s+1}|=\cdots=|\alpha_{n}|,\ S=s(x)$.

\end{center}
La formule (1.5) donne

\[
\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\alpha_{\mathrm{t}\mathrm{J}}-\alpha_{\mathrm{J}})=\frac{2^{s-2n}\pi^{-n}}{\Gamma(n-s+1)}|\alpha_{1}\ldots\alpha_{s}|\sum(p_{1},..,p_{S})\{\alpha_{[\mathrm{J}}-\alpha_{\mathrm{J}}-\Sigma(2p_{j}+1)|\alpha_{j}|\}_{+}^{n-s}
\]

avec la notation $\{\lambda\}_{+}^{0}=0$ si $\lambda<0$ et $\{\lambda\}_{+}^{0}=1$ si $\lambda\geq 0$. Comme la
quantite' $\alpha_{\mathrm{t}^{\mathrm{J}}}-\alpha_{\mathrm{J}}-\Sigma(2p_{j}+1)|\alpha_{j}|$ est toujours $\leq 0,\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\alpha_{\mathrm{t}^{\mathrm{J}}}-\alpha_{\mathrm{J}})$ ne peut
\^{e}tre non nul que si $s=n$. Dans ce dernier cas
$\alpha_{\mathrm{tJ}}-\alpha_{\mathrm{J}}- 1(2p_{j}+1)|\alpha_{j}|=0$ si et seulement si $p_{1}=\cdots=p_{n}=0$ et
$\alpha_{j}<0$ pour $j\in \mathrm{J}, \alpha_{j}>0$ pour $j\in \mathrm{tJ}$. Ceci entraine que la forme $\mathrm{i}c(\mathrm{E})$
est non d\'{e}g\'{e}n\'{e}r\'{e}e d'indice $q$. Pour $X\in \mathrm{X}(q)$ (cf. notations de
l'introduction) et $|\mathrm{J}|=q$, on a donc

\[
\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\alpha_{\mathrm{t}^{\mathrm{J}}}-\alpha_{\mathrm{J}})=(2\pi)^{-n}|\alpha_{1}\ldots\alpha_{n}|>0
\]

si $\mathrm{J}$ est le multi-indice $\mathrm{J}(x)=\{j;\alpha_{j}(x)<0\}$ et $\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}(\alpha_{\mathrm{t}^{\mathrm{J}}}-\alpha_{\mathrm{J}})=0$ si
$\mathrm{J}\neq \mathrm{J}(x)$. II s'ensuit

\begin{center}
$\displaystyle \mathrm{I}^{q}=r\int_{\mathrm{X}(q)}(2\pi)^{-n}(-1)^{q}\alpha_{1}\ldots\alpha_{n}$ da $=\displaystyle \frac{r}{n!}\int_{\mathrm{X}(q)}(-1)^{q}(\frac{\mathrm{i}}{2\pi}c(\mathrm{E}))^{n}$

\vspace{1em}
\end{center}
INEGALITES DB MORSE EN $d^{\prime\prime}$-COHOMOLOGIE

225

Le theoreme fondamental 0.1n'est alors qu'une reformulation du
corollaire 4.3. Le raisonnement ci-dessus montre que les formes
harmoniques de $\mathrm{H}^{q}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}[eggx] \mathrm{F})$ se concentrent asymptotiquement sur
$\mathrm{X}(q)$, et qu'en chaque point de $\mathrm{X}(q)$ leur direction tend a s'aligner sur le
q-sous-espace de TX correspondant a la partie n\'{e}gative de $\mathrm{i}c(\mathrm{E})$. Ur
plus, seule la valeur propre d'energie minimale $p_{1}=\cdots=p_{\hslash}=0$ de
l'oscillateur harmonique intervient pour ces formes. Pour $q=1$,
l'in\'{e}galit\'{e} de Morse forte 4.3 (c) s'\'{e}crit

\begin{center}
$h_{k}^{1}-h_{k}^{0}\leq k^{n}(\mathrm{I}^{1}-\mathrm{I}^{0})+o(k^{n})$,

\end{center}
d'o\'{u} en particulier une minoration asymptotique du nombre de sections
holomorphes du fibre' $\mathrm{E}^{k}$ OX F.

  THEOREME 4.4. -

\begin{center}
$\displaystyle \dim \mathrm{H}^{0}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}[eggx] \mathrm{F})\geq r\frac{k^{n}}{n!}\int_{\mathrm{X}(\leq 1)}(\frac{\mathrm{i}}{2\pi}c(\mathrm{E}))^{n}-o(k^{n})$ .

\end{center}
   Plus g\'{e}n\'{e}ralement, l'addition des in\'{e}galit\'{e}s 4.3 ({\it c}) pour les indices
$q+1$ et q--2 entraine

\begin{center}
$h_{k}^{q+1}-h_{k}^{q}+h_{k}^{q-1}\leq k^{n}(\mathrm{I}^{q+1}-\mathrm{I}^{q}+\mathrm{I}^{q-1})+o(k^{n})$,

\end{center}
d'o\`{u} la minoration

\begin{center}
(4.5) $\displaystyle \dim \mathrm{H}^{q}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}[eggx] \mathrm{F})\geq r\frac{k^{n}}{n!}\sum_{j=0,\pm 1}(-1)^{q}\int_{\mathrm{X}(q+j\rangle}(\frac{i}{2\pi}c(\mathrm{E}))^{n}-o(k^{n})$.

5. Caract\& isation des vari6t\& de Moi6ezon.

\end{center}
   Soit $\mathrm{X}$ une vari\'{e}t\'{e} $\mathrm{C}$-analytique compacte connexe de dimension $n$.
On appelle dimension algebrique de $\mathrm{X}$, notee $a(\mathrm{X})$, le degre' de
transcendance sur $\mathrm{C}$ du corps $\mathrm{K}(\mathrm{X})$ des fonctions miromorphes sur X.
D'apres un th\'{e}or\`{e}me bien connu de Siegel [15], la dimension alg\'{e}brique de
$\mathrm{X}$ v\'{e}rifie toujours l'in\'{e}galit\'{e} $0\leq a(\mathrm{X})\leq n$. Lorsque $a(\mathrm{X})=n$, on dit
que $\mathrm{X}$ est un espace de $\mathrm{Moi}8\mathrm{e}\mathrm{z}\mathrm{o}\mathrm{n}$. Comme on va le voir, la dimensine
alg\'{e}brique de $\mathrm{X}$ impose asymptotiquement de fortes contraintes sur la
dimension des espaces de sections d'un fibre' vectoriel holomorphe.

   THEORBME 5.1. -- {\it Soit a la dimension algibrique de} $\mathrm{X}, \mathrm{F}$ {\it un fibre}'
{\it vectoriel holomorphe de rang} $r$ {\it et} $\mathrm{E}$ {\it un fibre lineaire sur X. Alors, if existe}

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{\it une constante} $\mathrm{C}_{\mathrm{E}}\geq 0$ {\it ne dependant que de} $\mathrm{E}$ {\it telle que}

\begin{center}
$\dim \mathrm{H}^{0}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}[eggx] \mathrm{F})\leq \mathrm{C}_{\mathrm{E}}rk^{a}+o(k^{a})$ .

\end{center}
  {\it Demonstration}. -- Nous reprenons pour l'essentiel les arguments de
Y. T. Siu [16]. Soit $\{\mathrm{W}_{t}\}$ un recouvrement de $\mathrm{X}$ par des ouverts de
coordonn\'{e}es $\mathrm{W}, \subset \mathrm{C}^{n}$, et $\mathrm{B}_{j}=\mathrm{B}(a_{j},\mathrm{R}_{j}),\ 1\leq j\leq m$, une famille Ve
boules relativement compactes dans les ouverts $\mathrm{W}_{t}$, telles que les boules
concentriques $\displaystyle \mathrm{B}_{j}^{\prime}=\mathrm{B}(a_{j},\frac{1}{7}\mathrm{R}_{j})$ recouvrent X. Munissons $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ de
metriques hermitiennes, et soit $\exp (-\varphi_{j})$ le poids representant la
m\'{e}trique de $\mathrm{E}$ dans une trivialisation de $\mathrm{E}$ au voisinage de $\overline{\mathrm{B}}_{j}$.

   Soit alors $s\in \mathrm{H}^{0}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}[eggx] \mathrm{F})$ une section holomorphe qui s'annule a
l'ordre $p$ en un point $X_{j}\in \mathrm{B}_{j}^{\prime}$. Les inclusions

\[
\mathrm{B}_{j}^{\prime}\subset \mathrm{B}(x_{j},\frac{2}{7}\mathrm{R}_{j})\subset \mathrm{B}(x_{j},\frac{6}{7}\mathrm{R}_{j})\subset \mathrm{B}_{j}
\]

et le lemme de Schwarz applique aux deux boules interm\'{e}diaires entrainent
l'ine'galite'

\begin{center}
(5.2)   $\displaystyle \sup_{\mathrm{B}_{\acute{j}}}|s|\leq\exp(\mathrm{A}k+\mathrm{C}_{\mathrm{F}})3^{-p}\sup_{\mathrm{B}_{j}}|s|$ ,

\end{center}
ou $\displaystyle \mathrm{A}=\max_{1\leq j\sim<m}$ diam $\varphi_{j}(\mathrm{B}_{j})$ ne dipend que de $\mathrm{E}$, et ou $\mathrm{C}_{\mathrm{F}}$ est une
constante $\geq 0$ qui d\'{e}pend de la metrique de F.

  Soit $\mathrm{p}\leq r=$ rang (F) le maximum pour $X\in \mathrm{X}$ de la dimension du
sous-espace de la fibre $\mathrm{F}_{\mathrm{x}}$ engendre' par les vecteurs $s(x)$ lorsque $s$ d\'{e}crit
$\displaystyle \bigcup_{k\in \mathrm{N}}\mathrm{H}^{0}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}[eggx] \mathrm{F})$. Si $\mathrm{p}=0$, alors $\mathrm{H}^{0}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}[eggx] \mathrm{F})=0$ pour tout $k$.
Distinguons maintenant deux cas suivant que $\mathrm{p}=1$ ou $\mathrm{p}>1$.

(d) {\it Supposons} $\mathrm{p}=1$.

  Soit $h_{k}=\dim \mathrm{H}^{0}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}[eggx] \mathrm{F})$ , suppos\'{e}e $>0$. Sous l'hypothese
$\mathrm{p}=1$, les sections globales de $\mathrm{E}^{k}[eggx] \mathrm{F}$ d\'{e}finissent une application
holomorphe

\begin{center}
$\Phi_{k}$ : $\mathrm{X}\backslash \mathrm{Z}_{\mathrm{k}}\rightarrow \mathrm{P}^{h_{k}-1}(\mathrm{C})$

\end{center}
oti $\mathrm{Z}_{k}\subset \mathrm{X}$ est le sous-ensemble analytique de leurs zeros communs. Soit
$d$ le rang maximum de $\Phi_{\acute{k}}$ sur $\mathrm{X}\backslash \mathrm{Z}_{k}$. On a n\'{e}cessairement $d\leq a$, sinon
le corps des fractions rationnelles de $\mathrm{P}^{h_{k}-1}(\mathrm{C})$ induirait un corps de

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INEGALITES DE MORSE EN $d^{\prime\prime}$-COHOMOLOGIE

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fonctions m\'{e}romorphes sur $\mathrm{X}$ de degre de transcendance $\geq d>a$, ce
qui est absurde. Choisissons pour tout $j=1, \ldots, m$ un point $x_{j}\in \mathrm{B}_{j}^{\prime}\backslash \mathrm{Z}_{k}$
tel que $\Phi_{k}^{\prime}$ soit de rang maximum $=d$ en $x_{j}$, et soit $s_{\mathrm{O}}\in \mathrm{H}^{0}$($\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}$ OX F)
une section qui ne s'annule en aucun point $x_{j}$. Pour tout
$s\in \mathrm{H}^{0}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}[eggx] \mathrm{F})$, le quotient $s/s_{0}$ est bien defini en taut que fonction
meromorphe sur $\mathrm{X}$, et de plus $s/s_{0}$ est une fonction holomorphe au
voisinage de $X_{j}$, constante le long des fibres de $\Phi_{k}$. Comme $\Phi_{k}$ est une
subimmersion au voisinage de chaque point $x_{j}$, on peut choisir une
sous-vari\'{e}t\'{e} $\mathrm{M}_{j}$ de dimension $d$ passant par $x_{j}$ et transverse a la fibre
$\Phi_{k}^{-1}(\Phi_{k}(x_{j}))$ . La section $s$ s'annulera a l'ordre $p$ en chaque point $x_{j}$,
$1\leq j\leq m$, si et seulement si les d\'{e}riv\'{e}es partielles d'ordre $<p$ de $s/s_{0}$ le
long de $\mathrm{M}_{j}$ s'annulent en $x_{j}$. Ceci correspond au total a l'annulation de

\[
m\left(\begin{array}{ll}
p+d & -1\\
d & 
\end{array}\right)
\]

derivees. Si nous choisissons $p=[\mathrm{A}k+\mathrm{C}_{\mathrm{F}}]+1$, alors l'ine'galite' (5.2)
entraine

\begin{center}
$\displaystyle \sup_{\mathrm{X}}|s|\leq(\frac{e}{3})^{p}\sup_{\mathrm{X}}|s|$,

\end{center}
d'o\`{u} $s=0$. Comme $d\leq a$, nous obtenons par cons\'{e}quent

\[
\dim \mathrm{H}^{\mathrm{O}}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}[eggx] \mathrm{F})\leq m\left(\begin{array}{ll}
p+a & -1\\
a & 
\end{array}\right)\leq \mathrm{C}_{\mathrm{E}}k^{a}+o(k^{a})
\]

avec $\mathrm{C}_{\mathrm{E}}=m\mathrm{A}^{a}/a$!.

(b) {\it Supposons} $\mathrm{p}>1$.

  II existe alors des sections $s_{t}\in \mathrm{H}^{0}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k_{t}}[eggx] \mathrm{F}), 1\leq t\leq \mathrm{p}$, et un point
$x_{0}\in \mathrm{X}$ tels que les vecteurs $s_{1}(x_{0}), \ldots, s_{\mathrm{p}}(x_{\mathrm{O}})$ soient lin\'{e}airement
ind\'{e}pendants. Par construction, pour tout $k\in \mathrm{N}$ et toute section
$s\in \mathrm{H}^{0}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}[eggx] \mathrm{F})$, la droite $\mathrm{C}$ . $s(x)$ est contenue dans le sous-espace
engendre par $(s_{1}(x), \ldots,s_{\rho}(x))$, sauf peut-etre au-dessus du sous-ensemble
analytique \{ $\mathrm{x}\in \mathrm{X};s_{1}$ A. . . A $s_{\mathrm{p}}(\mathrm{x})$\} $=0$. On a donc un morphisme injectif

\[
\mathrm{H}^{0}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}\otimes \mathrm{F})\rightarrow\backslash \bigoplus_{1<\iota\leq \mathrm{p}}\mathrm{H}^{0}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k+k_{\hat{t}}}[eggx]\Lambda^{\mathrm{p}}\mathrm{F})
\]

o\`{u} $k_{t}-=(k_{1}+\cdots+k_{\rho})-k_{t}$, dont la composante d'indice $t$ est donn\'{e}e
par $s\rightarrow s_{1}$ A $\ldots$ A $\hat{s}_{t}\Lambda\cdots$A $s_{\rho}$ A $s$. L'image de $\mathrm{H}^{\mathrm{O}}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}[eggx] \mathrm{F})$ ror
chaque composante est formee de sections colin\'{e}aires en presque tout point

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\`{a} $s_{1}$ A $\ldots$ A $s_{\rho}$. On se retrouve donc dans une situation analogue a celle
du ({\it a}), ou $\mathrm{F}$ est remplace' par $\mathrm{E}^{k_{\hat{t}}}$ @ $\Lambda^{\rho}\mathrm{F}$; par suite :

\begin{center}
$\dim \mathrm{H}^{0}(\mathrm{X},\mathrm{E}^{k}[eggx] \mathrm{F})\leq \mathrm{C}_{\mathrm{E}}\mathrm{p}k^{a}+o(k^{a}),\ \mathrm{p}\leq r.\ \square $

\end{center}
   Choisissons en particulier pour $\mathrm{F}$ le fibre' trivial $\mathrm{X}\times$ C. En
comparant les theoremes 4.4 et 5.1, nous obtenons la caract\'{e}risation
g\'{e}om\'{e}trique suivante des vari\'{e}t\'{e}s de $\mathrm{Moi}5\mathrm{e}\mathrm{z}\mathrm{o}\mathrm{n}$.

   THEOREME 5.2. -- {\it Pour} $qu^{\prime}une$ {\it variiti} $\mathrm{C}$-{\it analytique compacte connexe}
$\mathrm{X}$ {\it de dimension} $n$ {\it soit de} $ Mo\mathrm{i}sezon\forall$, {\it il suffit} $qu^{\prime}\mathrm{i}l$ {\it existe un fibri en droites}
{\it holomorphe hermitien} $\mathrm{E}$ {\it au-dessus de} $\mathrm{X}$ {\it tel que} $\displaystyle \int_{\mathrm{X}(\leq 1)}(\mathrm{i}c.(\mathrm{E}))^{n}>0.\ \square $

   Ce th\'{e}or\`{e}me entraine a son tour le th\'{e}or\`{e}me 0.8 puisque
0.8 (c) $\Rightarrow 0.8(b)\Rightarrow 0.8(a)$. On am\'{e}liore ainsi les resultats de
Y. T. Siu [17] [18], et on retrouve donc en particulier une nouvelle
d\'{e}monstration de la conjecture de Grauert-Riemenschneider [10].

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    333.

\begin{flushright}
Manuscrit re\c{a}u le 30 mai 1985.

Jean-Pierre DEMAILLY,

Institut Fourier

Laboratoire de Mathe'matiques

Universite' de Grenoble I

\end{flushright}\begin{center}
$\mathrm{B}.\mathrm{P}.\ 74$

\end{center}\begin{flushright}
38402 St-Martin d'Heres Cedex.

\vspace{1em}
\end{flushright}\end{document}