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\begin{document}
\begin{center}
\includegraphics[width=157.82mm,height=36.91mm]{./pdf_images/image001.eps}

\end{center}
JEAN-PIERRE DEMAILLY

Sur les nombres de Lelong associes a l'image
directe d'un courant positif ferme

{\it Annales de} $l$ '{\it institut Fourier}, tome 32, n${}^{\text{o}}$2 (1982), p. 37-66.

$<\mathrm{http}://\mathrm{w}\mathrm{w}\mathrm{w}.\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{m}.\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{g}_{--}/\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{m}?\mathrm{i}\mathrm{d}=\mathrm{A}\mathrm{I}\overline{\vdash}198232 2 37 -0>$

$[eggc]$ Annales de l'institut Fourier, 1982, tous droits r\'{e}serv\'{e}s.

L'acces aux archives de la revue $\langle\langle$ Annales de l'institut Fourier $\rangle\rangle$

(http://annalif.ujf-grenoble.fr/), implique l'accord avec les conditions ge-

nerales $\mathrm{d}$ 'utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisa-

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\begin{center}
NUMDAM

\end{center}
  {\it Article numerise dans le cadre du programme}

{\it Numerisation de documents anciens mathematiques}

            http://www.numdam.org/

\vspace{1em}
Ann. Inst. Foouurriler, Grenoble
32, 2 (1982), 37-66.

\begin{center}
SUR LES NOMBRES DE LELONG ASSOCIES

A L'IMAGE DIRECTE

D'UN COURANT POSITIF FERME

par Jean-Pierre DEMAILLY

0. Introduction.

\end{center}
   Soit $\mathrm{T}$ un courant positif ferme de bidimension $(p,p)$ sur un ouvert
$\Omega\subset \mathrm{C}^{n}$. On definit classiquement le nombre de Lelong $\mathrm{v}(\mathrm{T};x)$ du courant
$\mathrm{T}$ en un point $ X\in\Omega$ comme la limite quand $r$ tend vers 0 du rapport
entre la masse du courant $\mathrm{T}$ sur la boule euclidienne de centre $X$ et de
rayon $r$ dans $\Omega$, et le volume $\displaystyle \frac{\pi^{p}}{p!}r^{2p}$ de la boule de rayon $r$ dans $\mathrm{C}^{p}$
(voir P. Lelong [6] pour de plus amples d\'{e}tails). Un th\'{e}or\`{e}me remarquable
de Y.-T. Siu [11], fonde sur les resultats de E. Bombieri [1], affirme que
pour tout $c>0$ l'ensemble $\mathrm{E}_{c}=\{x\in\Omega;\mathrm{v}(\mathrm{T};x)\geq c\}$ est un sous-
ensemble analytique de $\Omega$ de dimension {\it 4} $p$.

   Dans le pr\'{e}sent travail, nous envisageons la generalisation suivante des
nombres de Lelong. $\mathrm{T}$ designera un courant positif ferme de bidimension
$(p,p)$ sur un espace analytique X. On se donne une fonction $\varphi\geq 0$ de
classe $\mathrm{C}^{2}$, telle que $\log\varphi$ soit plurisousharmonique sur $\mathrm{X}$, et telle que
pour $\mathrm{R}>0$ assez petit l'ensemble Supp $\mathrm{T}\cap\varphi^{-1} ([0,\mathrm{R} [)$ soit
relativement compact dans X. Une formule de type Jensen, d\'{e}j\`{a} utilisee
dans [3], permet alors de definir le nombre de Lelong du courant $\mathrm{T}$
relativement au poids $\varphi$ comme la limite

\begin{center}
$\displaystyle \mathrm{v}(\mathrm{T};\varphi)=\mathrm{J}>0,r\rightarrow 0\mathrm{i}\mathrm{m}\uparrow\frac{1}{(2\pi r)^{p}}\int_{\varphi(z)<r}\mathrm{T}\wedge(\mathrm{i}\partial\overline{\partial}\varphi)^{p}$.

\end{center}
   Une propriete fondamentale, qui jouera un r\^{o}le central tout au long de

\vspace{1em}
38

JEAN-PIERRE DEMAILLY

ce travail, r\'{e}side dans le fait que $\mathrm{v}(\mathrm{T};\varphi)$ d\'{e}pend uniquement du
comportement asymptotique de $\log\varphi$ au voisinage de l'ensemble polaire
$\varphi^{-1}(0)$ (cf. \S 1, theoreme 4). Un particulier, si les fonctions $\log\varphi$ et $\log\psi$
ont memes p\^{o}les et sont equivalentes au voisinage de l'ensemble
$\varphi^{-1}(0)=\psi^{-1}(0)$, alors $\mathrm{v}(\mathrm{T};\varphi)=\mathrm{v}(\mathrm{T};\psi)$. On retrouve ainsi l'invariance
des nombres de Lelong par isom.orphisme analytique local. Ce r\'{e}sultat
avait \'{e}t\'{e} etabli anterieurement par Y.-T. Siu [11] au moyen de la theorie Ca
slicing de H. Federer [4].

   Considerons maintenant un morphisme $\mathrm{F}:\mathrm{X}\rightarrow \mathrm{Y}$ de l'espace $\mathrm{X}$ sur
un espace analytique $\mathrm{Y}$, dont la restriction au support de $\mathrm{T}$ soit {\it propre}.
On designe par $\mathrm{F}_{*}\mathrm{T}$ le courant positif ferme sur $\mathrm{Y}$, image directe de T.
Nous etudions au \S 2 les relations qul existent entre les nombres de Lelong
de $\mathrm{F}_{*}\mathrm{T}$ et ceux de T.

   TH\'{E}OR\`{E}ME 1. -- {\it Soit} $y$ {\it un point de} Y. {\it On suppose que l}'{\it ensemble}
{\it compact} Supp $\mathrm{T}\cap \mathrm{F}^{-1}(y)$, {\it intersection du support de} $\mathrm{T}$ {\it et de la fibre}
$\mathrm{F}^{-1}(y)$, {\it est totalement discontinu. Alors}

\begin{center}
$\displaystyle \mathrm{v}(\mathrm{F}_{*}\mathrm{T};y)\geq\sum_{\chi\in \mathrm{F}^{-1}(y)}\mathrm{v}(\mathrm{T};x)$.

\end{center}
   Le theoreme 1 s'applique notamment lorsque $\mathrm{F}$ est un morphisme
{\it propre fini} de $\mathrm{X}$ dans $\mathrm{Y}$, sans autre hypothese sur T. II s'applique plus
generalement lorsque la restriction de $\mathrm{F}$ a Supp $\mathrm{T}$ est une application
propre a fibres finies ou denombrables. II est facile de voir d'autre part que
l'hypothese de totale discontinuite' de l'ensemble Supp $\mathrm{T}\cap \mathrm{F}^{-1}(y)$ ne peut
\^{e}tre eliminee :sans cette hypothese, il existe en effet des contre-exemples
triviaux (voir \S 2).

   L'in\'{e}galit\'{e} du theoreme 1 sera $\mathrm{aff}_{1n}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}$ au \S 3 de maniere a tenir compte
des multiplicit\'{e}s d'annulation des derivees du morphisme F. Pour
simplifier, on supposera ici que $\mathrm{F}= (\mathrm{F}_{1},\mathrm{F}_{2},. . .\mathrm{F}_{\mathrm{N}})$ est un morphisme de
$\mathrm{X}$ dans un sous-ensemble analytique $\mathrm{Y}$ d'un ouvert de $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$, tel que la
restriction de $\mathrm{F}$ a Supp $\mathrm{T}$ soit propre. Dans ces conditions, on a le

   TH\'{E}OR\`{E}ME 2. -- {\it Soit} $X\in \mathrm{X}$ {\it un point tel que} $\mathrm{v}(\mathrm{T};x) >0$ {\it et} $\mathrm{F}(x)=0$.
{\it On suppose que la composante connexe de} $X$ {\it dans} Supp $\mathrm{T}\cap \mathrm{F}^{-1}(0)$ {\it est}
{\it reduite \`{a}} $\{x\}$. {\it Si} $\mathrm{F}_{1},\mathrm{F}_{2},$. . $.,\mathrm{F}_{\mathrm{N}}$ {\it s}'{\it annulent respectivement aux ordres}
$s_{1}\leq s_{2}\leq\cdots\leq s_{\mathrm{N}}$ {\it au point} $X$, {\it alors} $\mathrm{N}\geq p$ {\it et}

\begin{center}
$\mathrm{v}(\mathrm{F}_{*}\mathrm{T};0)\geq s_{1}s_{2}$ . . . $s_{p}\mathrm{v}(\mathrm{T};x)$.

\vspace{1em}
\end{center}
NOMBRES DES LELONG DES COURANTS

39

  Nous obtiendrons un enonce plus geometrique en introduisant une
notion intrinseque de multiplicitis pour le morphisme F.

   Si les $\mu_{p}(\mathrm{F};x)$ sont ces multiplicit\'{e}s (d\'{e}flnition 4), le theoreme 5 $\mathrm{aff}_{1rme}$
que

\[
\mathrm{v}(\mathrm{F}_{*}\mathrm{T};y)\geq\sum\mu_{p}(\mathrm{F};x)\mathrm{v}(\mathrm{T};x)
\]

ou la somme est etendue a tous les points $ X\in$ Supp $\mathrm{T}\cap \mathrm{F}^{-1}(y)$ qui
coincident avec leur composante connexe dans Supp $\mathrm{T}\cap \mathrm{F}^{-1}(y)$, et tels
que $\mathrm{v}(\mathrm{T};x)>0$.

   Les minorations des nombres de Lelong de $\mathrm{F}_{*}\mathrm{T}$ donnees par les
theoremes 1, 2et 5 entrainent elles-memes une majoration des nombres
$\mathrm{v}(\mathrm{F}_{*}\mathrm{T};y)$ par les nombres $\mathrm{v}(\mathrm{T};x)$ aux points $X\in \mathrm{F}^{-1}(y)$, lorsque la fibre
$\mathrm{F}^{-1}(y)$ est finie (theoreme 6). II faut naturellement faire intervenir encore
certaines multiplicit\'{e}s $\overline{\mu}_{p}(\mathrm{F};x)$ du morphisme $\mathrm{F}$ (cf. d\'{e}flnition 5). Nous
montrerons par un exemple qu'il n'est pas possible d'ameliorer
l'encadrement obtenu.

   Le quatrieme et dernier paragraphe est consacre a l'\'{e}tude du $\langle\langle$ degre $\rangle\rangle$
$6(\mathrm{T};\varphi)$ du courant T. De faqon pr\'{e}cise, on pose

\begin{center}
$6(\mathrm{T};\varphi)= \displaystyle \lim\uparrow\rightarrow+\infty\frac{1}{(2\pi r)^{p}}\int_{\varphi(z)<r}\mathrm{T}\wedge(i\partial\overline{\partial}\varphi)^{p}$,

\end{center}
la fonction $\varphi$ etant supposee exhaustive sur le support de T. La theorie
est tout a fait analogue a celle des nombres de Lelong.

   En particulier, il est possible d'encadrer le degre de l'image directe $\mathrm{Q}_{*}\mathrm{T}$
d'un courant $\mathrm{T}$ par un morphisme algebrique $\mathrm{Q}$ au moyen du degre de
$\mathrm{T}$ et de certaines multiplicit\'{e}s du morphisme Q.

   Tous ces resultats apparaissent comme des generalisations d'in\'{e}galit\'{e}s
obtenues dans [3], qui nous avaient permis de retrouver le theoreme de
E. Bombieri [1] sur les valeurs algebriques de fonctions meromorphes. Les
d\'{e}monstrations du pr\'{e}sent travail sont assez notablement differentes de
celles de [3], et d'une certaine maniere plus elementaires;les raisonnements
reposent 1C1 sur des arguments de theorie geometrique de la mesure, mais
n'utilisent plus de resultats fins sur la structure des ensembles analytiques
ou algebriques.

   L'idee d'etudier ce probl\`{e}me $\mathrm{m}' \mathrm{a}$ ete suggeree par M. Henri Skoda, queje
tiens a remercier 1C1 pour ses nombreuses remarques.

\vspace{1em}
40

JEAN-PIERRE DEMAILLY

\begin{center}
1. Formules de Jensen

et nombres de Lelong g\'{e}n\'{e}ralis\'{e}s.

\end{center}
   Nous commencerons par rappeler quelques d\'{e}finitions qui nous seront
utiles, de maniere a fixer simultanement les notations.

   Si $\mathrm{X}$ est un espace analytique (r\'{e}duit), nous designerons par $\varphi_{p,q}(\mathrm{X})$
l'espace des $(p,q)$-formes de classe $\mathrm{C}^{k}$, defini de la maniere suivante : $k, p, q$
sont trois entiers $\geq 0,\ k$ pouvant eventuellement prendre la valeur
$+$ co . Soit $\mathrm{U}$ un ouvert de $\mathrm{X}$ plonge comme sous-ensemble analytique
d'un ouvert 0 de $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$. Si $\mathrm{U}^{\prime}$ est l'ensemble des points r\'{e}guliers de $\mathrm{U}$, on
note $\varphi_{p,q}(\mathrm{U})$ l'image du morphisme de restriction

\begin{center}
$j^{*}$ : $\varphi_{p,q}(\Omega)\rightarrow q_{p,q}^{\mathrm{k}}(\mathrm{U}^{\prime})$

\end{center}
(o\`{u} $j$ : $\mathrm{U}^{\prime}\subset_{->}\Omega$ est l'inclusion), munie de la topologie-quotient; on peut
montrer que $\phi_{p,q}(\mathrm{U})$ est bien independant du plongement $j$ choisi. On
definit $\Psi_{p.q}(\mathrm{X})$ par recollement, et $\mathscr{D}_{p,q}^{k}(\mathrm{X})$ comme l'espace des $(p,q)-$
formes de classe $\mathrm{C}^{k}$ a support compact dans $\mathrm{X}$, avec la topologie limite
inductive.

   L'espace des courants de bidimension $(p,q)$ et d'ordre $k$ sur $\mathrm{X}$ sera
par d\'{e}flnition l'espace dual $[\mathscr{D}_{p,q}^{k}(\mathrm{X})]^{\prime}$. Les operateurs $\mathrm{d}, \partial, \overline{\partial}$ sont \'{e}tendus
aux courants par dualite. Si l'on revoit le d\'{e}tail de la construction, on
s'aperqoit que pour tout courant $\mathrm{T}\in[\mathscr{D}_{p,q}^{k}(\mathrm{X})]^{\prime}$ et tout plongement
$j$ : $\mathrm{U}\rightarrow\Omega$ considere plus haut, il existe un courant C) $\in[\mathscr{D}_{p,q}^{k}(\Omega)]^{\prime}$ ayant la
ProPri\'{e}t\'{e} suivante :

\begin{center}
(1)   $\langle \mathrm{T}, j^{*}v\rangle=\langle\Theta,v\rangle$

\end{center}
pour toute forme $v\in \mathscr{D}_{p,q}^{k}(\Omega).\ \Theta$ est unique, et son support est contenu
dans $j(\mathrm{U})$.

   On dira qu'un courant $\mathrm{T}\in[\mathscr{D}_{p,p}^{\mathrm{o}}(\mathrm{X})]^{\prime}$ est faiblement positif si tous les
courants C) $\in[\mathscr{D}_{p,p}^{0}(\Omega)]^{\prime}$ qui lui sont associes sont $\mathrm{eux}$-memes faiblement
positifs. On rappelle qu'un courant C) $\in[\mathscr{D}_{p,q}^{\mathrm{o}}(\Omega)]^{\prime}$ est dit (faiblement)
positif si quelles que soient les formes $u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{p}\in \mathscr{C}_{1,0}^{\mathrm{o}}(\Omega)$, le $(n,n)$
courant $\mathrm{T}\wedge(\mathrm{i}u_{1}\wedge\overline{u}_{1})\wedge$ . . . $(\mathrm{i}u_{p}\wedge\overline{u}_{p})$ est une mesure positive.

   Les r\'{e}sultats qui suivent reposent sur une formule de Jensen a plusieurs
variables. Cette formule, deja utilisee dans [3], est d'ailleurs parfaitement
classique dans son principe. La d\'{e}monstration s'appuie sur la formule de

\vspace{1em}
NOMBRES DES LELONG DES COURANTS

41

Stokes et constitue une generalisation naturelle de la methode suivie par
P. Lelong [6] pour etablir l'existence des nombres de Lelong d'un courant
positif ferme.

   Soit $\varphi$ une fonction reelle de classe $\mathrm{C}^{2}$ sur X. On pose

\begin{center}
$\beta=\mathrm{i}\partial\overline{\partial}\varphi$,

\end{center}
            $\alpha=i\partial\overline{\partial}(\log\varphi)$ sur l'ouvert $\varphi>0$,

et pour tous r\'{e}els $r>0, r_{2}>r_{1}>0$ :

\begin{center}
$\mathrm{B}(r)=\{z\in \mathrm{X};\varphi(z)<r\}$,

$\mathrm{S}(r)=\{z\in \mathrm{X};\varphi(z)=r\}$,

$\mathrm{B}(r_{1},r_{2})=\{z\in \mathrm{X};r_{1}\leq\varphi(z)<r_{1}\}=\mathrm{B}(r_{2})\backslash \mathrm{B}(r_{1})$.

\end{center}
   PROPOSITION 1. -- {\it Soit} $\mathrm{T}$ {\it un courant de bidimension} $(p,p)$ {\it sur} $\mathrm{X},.d$ '{\it ordre}
0 {\it ainsi que ses diff\'{e}rentielles} $\mathrm{dT}, \mathrm{i}\partial\overline{\partial}\mathrm{T}$. {\it Soient} $r_{2}>r_{1}>0$. {\it On suppose que}
{\it l}'{\it ensemble} Supp $\mathrm{T}\cap \mathrm{B}(r_{2})$ {\it est relativement compact dans} X. {\it Alors}

   (2) $\{$

\[
\int_{r_{1}}^{\prime}2\frac{dt}{t^{p}}\int_{\mathrm{B}(t)}i\partial\overline{\partial}\mathrm{T}\wedge\beta^{p-1}
\]

\begin{center}
$=\displaystyle \frac{1}{r_{2}^{p}}\int_{\mathrm{S}(r_{2})}\mathrm{T}\wedge\beta^{p-1}\wedge i\overline{\partial}\varphi-\frac{1}{r_{1}^{p}}\int_{\mathrm{S}(r_{1})}\mathrm{T}\wedge\beta^{p-1}\wedge \mathrm{i}\overline{\partial}\varphi-\int_{\mathrm{B}(r_{1},r_{2})}\mathrm{T}\wedge\alpha^{p}$,

\end{center}
{\it ou l}'{\it integrale} $\displaystyle \int_{\mathrm{S}(r)}\mathrm{T}\wedge\beta^{p-1}\wedge \mathrm{i}\overline{\partial}\varphi(r=r_{1},r_{2})$ {\it est definie par la formule de}
{\it Stokes} :

\begin{center}
$\displaystyle \int_{\mathrm{S}(r)}\mathrm{T}\wedge\beta^{p-1}\wedge i\overline{\partial}\varphi=\int_{\mathrm{B}(r)}\mathrm{T}\wedge\beta^{p}+\int_{\mathrm{B}(\prime)}d\mathrm{T}\wedge$ A $ p-1\wedge i\overline{\partial}\varphi$.

\end{center}
   La d\'{e}monstration est assez technique, mais sa comprihension n'est pas
indispensable pour la suite. II est donc possible de la sauter en premiere
lecture. Pour la commodite du lecteur, nous procederons en trois etapes.

   a) {\it Reduction au cas ou} $\mathrm{T}$ {\it est un courant \`{a} support compact dans un}
{\it ouvert de} $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$.

   En remplaqant $\mathrm{T}$ par $\Sigma\chi_{\mathrm{v}}\mathrm{T},$ o\`{u} $(\chi_{\mathrm{v}})$ est une partition de l'unite, on
voit que le probleme est local. Pour tout point $X\in \mathrm{X}$, il existe un voisinage
ouvert $\mathrm{U}$ de $X$ dans $\mathrm{X}$, un plongement $ j:\mathrm{U}\rightarrow\Omega$ dans un ouvert de
$\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$, une fonction $\psi\in \mathscr{C}^{2}(\Omega,\mathrm{R})$ telle que $\varphi|_{\mathrm{U}}=\psi\circ j$.

\vspace{1em}
42

JEAN-PIERRE DEMAILLY

   On a donc $\beta=j^{*}(\mathrm{i}\partial\overline{\partial}\varphi)$, a $=j^{*}(\mathrm{i}\partial\overline{\partial}\log\psi)$. Au courant $\mathrm{T}$ (suppose a
support compact dans U) est associe par (1) un courant 0 a support
compact dans $\Omega$, verifiant les memes propri\'{e}t\'{e}s que T. Un utilisant (1),
on est donc ramene a demontrer la proposition 1 lorsque $\mathrm{X}=\Omega\subset \mathrm{C}^{\mathrm{N}}$,
$\varphi\in\varphi^{2}(\Omega)$, et $\mathrm{T}$ courant a support compact dans 0.

   b) {\it Regularisation de} T.

   Puisque les deux membres de (2) sont des fonctions continues a gauche
en $r_{1}$ et $r_{2}$, tl suffit de demontrer (2) pour les valeurs $r_{1}, r_{2}$ de $r$ tels que
la $\langle\langle$ sph\`{e}re $\rangle\rangle \mathrm{S}(r)$ soit negligeable pour la mesure $|\mathrm{T}|+|d\mathrm{T}|+|\mathrm{i}\partial\partial \mathrm{T}|$ (les
valeurs exceptionnelles formant un ensemble denombrable $\mathrm{D}$).

   Soit $(\mathrm{p}_{\epsilon})_{\epsilon>0}$ une famille de noyaux regularisants dans $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$. Remplaqons
$\mathrm{T}$ par $\mathrm{T}*\mathrm{p}_{\epsilon}$ dans la formule (2) ; tous les termes de (2) passent alors a la
limite quand $\epsilon$ tend vers 0 , d\`{e}s que $r_{1}\not\in \mathrm{D}, r_{2}$ (D. Raisonnons par
exemple pour le premier terme, en notant $\chi_{\mathrm{B}(')}$ la fonction caracteristique
de l'ensemble $\mathrm{B}(t)$ :

\begin{center}
$\displaystyle \int_{\mathrm{B}(t)}i\partial\overline{\partial}(\mathrm{T}*\mathrm{p}_{\epsilon})\wedge\beta^{p}=\int i\partial\overline{\partial}\mathrm{T}\wedge[\mathrm{p}_{\epsilon}*(\chi_{\mathrm{B}(t)}\beta^{p})]\rightarrow\int i\partial\overline{\partial}\mathrm{T}\wedge\chi_{\mathrm{B}(\prime)}\beta^{p}$ si $t\not\in \mathrm{D}$

\end{center}
car $\mathrm{p}_{\epsilon}*(\chi_{\mathrm{B}(')}\beta^{p})$ reste borne et converge simplement vers . $\chi_{\mathrm{B}(')}\beta^{p}$ sur le
complementaire de l'ensemble $|i\partial\overline{\partial}\mathrm{T}|$-negligeable $\mathrm{S}(t)$. Les autres termes se
traitent de meme.

c) {\it Demonstration de la formule} (2) {\it pour} $\mathrm{T}\in \mathscr{D}_{\mathrm{N}-p,\mathrm{N}-p}^{\infty}(\Omega)$.

On peut egalement supposer que $\varphi$ est une fonction de classe $\mathrm{C}^{\infty}$ {\it sans}

{\it points critiques degeneres} (sinon ecrire $\displaystyle \varphi=\lim\downarrow\varphi_{\mathrm{V}}\rightarrow\dagger\infty$ o\`{u} $\varphi_{\mathrm{V}}$ est une srute
decroissante de telles fonctions, et appliquer le theoreme de convergence
dominee). II en resulte que la formule de Stokes s'applique au domaine a bord
eventuellement singulier $\mathrm{B}(t)$, le bord $\partial \mathrm{B}(t)=\mathrm{S}(t)$ etant oriente par la
normale exterieure $ d\varphi$. Designons par $i_{t}(t>0)$ l'injection $\mathrm{S}(t)\subset_{->}$ X. II
est clair que

\begin{center}
$i_{t}^{*}\partial\varphi+\mathrm{i}_{t}^{*}\overline{\partial}\varphi=i_{t}^{*}d\varphi=d(\varphi\circ i_{t})=0$.

\end{center}
Un calcul immediat fournit d'autre part

\begin{center}
oc $=\displaystyle \frac{\mathrm{i}\partial\overline{\partial}\varphi}{\varphi}-\frac{i\partial\varphi\wedge\overline{\partial}\varphi}{\varphi^{2}}$,

\vspace{1em}
\end{center}
NOMBRES DES LELONG DES COURANTS

43

d'oti $\displaystyle \mathrm{i}_{t}^{*}\alpha=\frac{i_{t}^{*}\beta}{t}$; on obtient donc d'apres la formule de Stokes :

\[
\int_{\mathrm{B}(t)}i\partial\overline{\partial}\mathrm{T}\wedge\beta^{p-1}=\int_{\mathrm{B}(t)}d(i\overline{\partial}\mathrm{T}\wedge\beta^{p-1})=\int_{\mathrm{S}(t)}i\overline{\partial}\mathrm{T}\wedge\beta^{p-1}
\]

\[
=t^{p-1}\int_{\mathrm{S}(t)}i\partial \mathrm{T}\wedge\alpha^{p-1}
\]

Le theoreme de Fubini montre que

\begin{center}
(3)   $\displaystyle \int_{r_{1}}^{r_{2}}\frac{dt}{t^{p}}\int_{\mathrm{B}(t)}\mathrm{i}\partial\overline{\partial}\mathrm{T}\wedge\beta^{p-1}=\int_{r_{1}}^{r_{2}}\frac{dt}{t}\int_{\mathrm{S}(\iota)}i\overline{\partial}\mathrm{T}\wedge\alpha^{p-1}$

\[
=\int_{\mathrm{B}(r_{1},r_{2})}d{\rm Log}\varphi\wedge i\overline{\partial}\mathrm{T}\wedge\alpha^{p-1}
\]

\end{center}
Comme les formes de bidegre $(n-1, n+1)$ et $(n+1, n-1)$ sont nulles, on
a sur $\mathrm{B}(r_{1},r_{2})$ :

\[
d{\rm Log}\varphi\wedge \mathrm{i}\overline{\partial}\mathrm{T}\wedge\alpha^{p-1}=\partial{\rm Log}\varphi\wedge \mathrm{i}\overline{\partial}\mathrm{T}\wedge\alpha^{p}
\]

\[
=\partial{\rm Log}\varphi\wedge id\mathrm{T}\wedge\alpha^{p}
\]

\begin{center}
$=-d(\mathrm{T}\wedge\alpha^{p-1}\wedge i\partial{\rm Log}\varphi)-\mathrm{T}\wedge\alpha^{p}$.

\end{center}
En utilisant a nouveau la formule de Stokes et les egalites

\begin{center}
{\it i7} $\displaystyle \alpha=\frac{i_{t}^{*}\beta}{t}$ , $\mathrm{i}_{t}^{*}\partial\varphi=-\mathrm{i}_{t}^{*}\overline{\partial}\varphi$,

\end{center}
l'integrale (3) devient :
$-\displaystyle \int_{\partial \mathrm{B}(\prime_{1^{r_{2})}},T}\wedge\alpha^{p-1}\wedge i\partial\log\varphi-\int_{\mathrm{B}(r_{1^{\prime}2}},)\mathrm{T}\wedge\alpha^{p}$

\begin{center}
$=\displaystyle \frac{1}{r_{2}^{p}}\int_{\mathrm{S}(r_{2})}\mathrm{T}\wedge\beta^{p-1}\wedge i\overline{\partial}\varphi-\frac{1}{r_{1}^{p}}\int_{\mathrm{S}(r_{1})}\mathrm{T}\wedge\beta^{p-1}\wedge i\overline{\partial}\varphi-\int_{\mathrm{B}(r_{1},r_{2})}\mathrm{T}\wedge\alpha^{p}$.

\end{center}
On obtient precisement le second membre de la formule (2). $\square $

   Dans toute la suite de ce paragraphe, on designera par $\mathrm{T}$ un courant
faiblement positif, ferm\'{e} (i.e. $d\mathrm{T}=0$) , de bidimension $(p,p)$ sur X. Un cas
particulier fondamental sera le cas ou la fonction ${\rm Log}\varphi$ est
plurisousharmonique (en abr\'{e}g\'{e} p.s.h.). De faqon pr\'{e}cise, nous choisirons $\varphi$
dans la classe $\mathrm{LP}$ ( $\mathrm{X}$, Supp T) definie comme suit.

\vspace{1em}
44

JEAN-PIERRE DEMAILLY

   D\'{E}FINITION 1. -- {\it Soit} A {\it une partie de} X. {\it On dira qu}'{\it une fonction} $\varphi$ {\it de}
{\it elasse} $\mathrm{C}^{2}$ {\it sur} $\mathrm{X}$ {\it est dans la classe} $\mathrm{LP}(\mathrm{X})$ [{\it resp}. $\mathrm{LP}(\mathrm{X},\mathrm{A})$] {\it si}

   (4) $\varphi$ {\it est logarithmiquement p.s.h. au sens suivant} : {\it pour tout point}
$X\in \mathrm{X}$, {\it il existe un voisinage} $\mathrm{U}$ {\it de} $X$ {\it dans} $\mathrm{X}$, {\it un plongempoi}
$j$ : $\mathrm{U}\rightarrow\Omega\subset \mathrm{C}^{\mathrm{N}}$ {\it et une fonction} $\psi\geq 0$ {\it de classe} $\mathrm{C}^{2}$ {\it sur} $\Omega$, {\it prolongeant}
$\varphi$ ({\it i.e}. $\varphi|_{\mathrm{U}}=\psi\circ j$), {\it dont le logarithme} ${\rm Log}\psi$ {\it est p.s.h}.

   (5) {\it Il existe un nombre} $\mathrm{R}=\mathrm{R}(\varphi)>0$ {\it tel que l}'{\it ensemble} $\mathrm{B}(\mathrm{R})$ [{\it resp}.
A $\cap \mathrm{B}(\mathrm{R})]$ {\it soit relativement compact dans} X.

   On a dans ce contexte le theoreme fondamental suivant, qui va nous
permettre d'introduire une d\'{e}flnition generalisee des nombres de Lelong.

   TH\'{E}OR\`{E}ME 3. -- {\it Soient} $\varphi\in \mathrm{LP}$ ( $\mathrm{X}$, Supp $\mathrm{T}$), $\beta=i\partial\partial\varphi$, a $=\mathrm{i}\partial\overline{\partial}{\rm Log}\varphi$.
{\it Alors pour tous reels} $r_{1}, r_{2}$ {\it tels que} $0<r_{1}<r_{2}\leq \mathrm{R}=\mathrm{R}(\varphi)$, {\it on} $a$

\begin{center}
(6)   $\displaystyle \frac{1}{r_{2}^{p}}\int_{\mathrm{B}(r_{2})}\mathrm{T}\wedge\beta^{p}-\frac{1}{r_{1}^{p}}\int_{\mathrm{B}(r_{1})}\mathrm{T}\wedge\beta^{p}=\int_{\mathrm{B}(r_{1},r_{2})}\mathrm{T}\wedge\alpha^{p}$.

\end{center}
{\it L}'{\it expression} $\displaystyle \frac{1}{r^{p}}\int_{\mathrm{B}(r)}\mathrm{T}\wedge\beta^{p}$ {\it est fonction croissante de} $r$ {\it sur l}'{\it intervalle}
$]0,\mathrm{R}]$.

   D\'{E}FINITION 2. -- {\it On designera par nombre de Lelong du courant} $\mathrm{T}$
{\it relativement au poids} $\varphi$ {\it le reel positif ou nul}

\begin{center}
$\displaystyle \mathrm{v}(\mathrm{T};\varphi)=\lim_{r>00}\frac{1}{(2\pi r)^{p}}\int_{\varphi(z)<r}\mathrm{T}\wedge\beta^{p}$.

\end{center}
   {\it D\'{e}monstration}. -- La formule (6) resulte aussit\^{o}t de la proposition 1
puisque $d\mathrm{T}=0$ et $i\partial\partial \mathrm{T}=i\partial d\mathrm{T}=0$. D'autre part, comme ${\rm Log}\varphi$ est
p.s.h., $\varphi$ est aussi p.s.h., donc les $(1,1)$-formes $\alpha$ et $\beta$ sont positives.
L'hypothese que $\mathrm{T}$ est un courant faiblement positif entraine

\begin{center}
$\displaystyle \int_{\mathrm{B}(r_{1},r_{2})}\mathrm{T}\wedge\alpha^{p}\geq 0,\ \displaystyle \frac{1}{r^{p}}\int_{\mathrm{B}(r)}\mathrm{T}\wedge\beta^{p}\geq 0$,

\end{center}
ce qui acheve de prouver toutes nos $\mathrm{aff}_{1rmations}.\ \square $

  Considerons le cas particulier ou $\mathrm{X}$ est un voisinage de 0 dans $\mathrm{C}^{n}$, et
posons $\varphi(z)=|z|^{2}=|z_{1}|^{2}+\cdots+|z_{n}|^{2}.\ \beta$ co.incide alors avec la
me'trique hermitienne naturelle de $\mathrm{C}^{n}$ (multipliee par le facteur 2), de sorte

\vspace{1em}
NOMBRES DES LELONG DES COURANTS

45

qu'on retrouve la d\'{e}flnition classique, apres remplacement de $r$ par $r^{2}$ :

\begin{center}
$\mathrm{v}(\mathrm{T};\varphi)= \displaystyle \lim_{\rightarrow 0}\frac{1}{(2\pi)^{p}r^{2p}}\int_{|z|<r}\mathrm{T}\wedge\beta^{p}= \displaystyle \lim_{\rightarrow 0}\frac{\sigma(r)}{\pi^{p}}=\mathrm{v}(\mathrm{T};0)$,

\[
-r^{2p}
\]

\end{center}
                                           $p$ !

ou $\displaystyle \sigma=\mathrm{T}\wedge\frac{\beta^{p}}{2^{p}p!}$ est la mesure $\mathrm{trace}$ de $\mathrm{T}$, et ou $\displaystyle \sigma(r)=\int_{|z|<r}d\sigma(z)$.
Nous allons maintenant examiner quelques propri\'{e}t\'{e}s generales simples
des nombres de Lelong $\mathrm{v}(\mathrm{T};\varphi)$.

   PROPOSITION 2. -- {\it Soit} $\varphi\in \mathrm{LP}$ ( $\mathrm{X}$; Supp T) {\it et} $k$ {\it un reel} $>0$ {\it tel que}
$\psi=\varphi^{k}$ {\it soit de classe} $\mathrm{C}^{2}$ ({\it ce qui a lieu d\`{e}s que} $k\geq 2$). {\it On} pnom

$\beta=\mathrm{i}\partial\partial\varphi,\ \gamma=i\partial\overline{\partial}\psi$. {\it Alors} $\psi\in \mathrm{LP}$ ( $\mathrm{X}$, Supp T) {\it et pour tout} $ r\in$] $\mathrm{O},\mathrm{R}(\varphi)]$
{\it on} $a$:

     (7) $\displaystyle \frac{1}{r^{kp}}\int_{\psi(z)<r^{k}}\mathrm{T}\wedge\gamma^{p}=\frac{k^{p}}{r^{p}}\int_{\varphi(z)<r}\mathrm{T}\wedge\beta^{p}$.

{\it De plus}

\begin{center}
(8)   $\mathrm{v}(\mathrm{T};\varphi^{k})=k^{p}\mathrm{v}(\mathrm{T};\varphi)$.

\end{center}
   {\it Demonstration}. -- ii suffit evidemment d'\'{e}tablir l'egalite (7), et ce, pour
$k\geq 2$. En effet si $k<2$, on pourra appliquer deux fois la formule (7) en
substituant a $(\varphi,\psi)$ les couples $(\varphi,\varphi^{4})$ et $(\varphi^{k},\varphi^{4})$.

  RemplaQons maintenant $\varphi$ par $\varphi_{\epsilon}=\varphi+\epsilon, \psi$ par $\psi_{\epsilon}=(\varphi+\epsilon)^{k}$, ou
$k\geq 2$. Il vient

\begin{center}
$\mathrm{i}\partial\overline{\partial}\psi_{\epsilon}=ik(\varphi+\epsilon)^{k-2}[\varphi+\epsilon)\partial\overline{\partial}\varphi+(k-1)\partial\varphi\wedge\overline{\partial}\varphi]$,

\end{center}
et $\mathrm{i}\partial\overline{\partial}\psi_{\epsilon}$ converge uniformement vers $\gamma$ sur $\mathrm{B}(r)$ quand $\epsilon\rightarrow 0, \epsilon>0$.
Le theoreme de convergence dominee montre que l'egalite (7) passe a la
limite. On peut donc finalement supposer que inf $\varphi(z)>0$. Appliquons

\[
z\in \mathrm{X}
\]

alors la formule (6) du theoreme 3 avec $r_{2}=r, r_{1}<$ inf $\varphi(z)$. On obtient

\[
z\in \mathrm{X}
\]

\begin{center}
$\displaystyle \frac{1}{r^{p}}\int_{\varphi(z)<r}\mathrm{T}\wedge\beta^{p}=\int_{\varphi(z)<r}\mathrm{T}\wedge\alpha^{p}$,

$\displaystyle \frac{1}{r^{kp}}\int_{\psi(z)<r^{k}}\mathrm{T}\wedge\gamma^{p}=\int_{\psi(z)<r^{k}}\mathrm{T}\wedge(\mathrm{i}\partial\overline{\partial}{\rm Log}\psi)^{p}$.

\end{center}
L'\'{e}galit\'{e} (7) resulte de ce que $ i\partial\overline{\partial}{\rm Log}\psi=k\alpha.\ \square $

\vspace{1em}
46

JEAN-PIERRE DEMAILLY

   II nous est maintenant facile de prouver l'invariance des nombres
$\mathrm{v}(\mathrm{T};\varphi)$ annoncee dans l'introduction.

   TH\'{E}OR\`{E}ME 4. -- {\it Soient} $\varphi, \psi$ {\it deux fonctions de} $\mathrm{LP}$ ( $\mathrm{X}$, Supp $\mathrm{T}$), {\it et} $l$ {\it un}
{\it reel} $\geq 0$ {\it tels que}

\begin{center}
Jim inf $\underline{{\rm Log}\psi(z)}\geq l$.

\[
z\in \mathrm{SuppT},\varphi(z)\rightarrow 0{\rm Log}\varphi(z)
\]

\end{center}
{\it Alors} $\mathrm{v}(\mathrm{T};\psi)\geq l^{p}\mathrm{v}(\mathrm{T};\varphi)$ .

   {\it En particulier si} Supp $\mathrm{T}\cap\psi^{-1}(\mathrm{O})=\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} \mathrm{T}\cap\varphi^{-1}(0)$ {\it et si} ${\rm Log}\psi(z)$
{\it est equivalent \`{a}} $l{\rm Log}\varphi(z)$ {\it lorsque} $z\in \mathrm{Supp} \mathrm{T}$ {\it et} $\varphi(z)\rightarrow 0$, {\it alors}

\begin{center}
$\mathrm{v}(\mathrm{T};\psi)=l^{p}\mathrm{v}(\mathrm{T},\varphi)$.

\end{center}
   {\it Demonstration}. -- Quitte a remplacer $\psi$ par $\psi^{k}$ et $l$ par $(k-1)^{-}l$ ou $k$
est un r\'{e}el $\geq 2$ assez grand, la proposition 2 permet de supposer que

\begin{center}
$\displaystyle \lim\inf\frac{{\rm Log}\psi}{{\rm Log}\varphi}>l\geq 2$.

\[
\psi(z)
\]

\end{center}
On adonc $\displaystyle \lim\overline{\varphi(z)^{t}}=0$ quand $\mathrm{z}\in \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} \mathrm{T}$ et $\varphi(z)\rightarrow 0$, de sorte que la
fonction $\psi_{\epsilon}=\psi+\epsilon\varphi^{l}$ est equivalente a $\epsilon\varphi^{t}$ pour tout $\epsilon>0$. Puisque
$l\geq 2, \psi_{\epsilon}$ est de classe $\mathrm{C}^{2}$ et appartient a $\mathrm{LP}$ ( $\mathrm{X}$ ; Supp T) comme
somme de fonctions dont le logarithme est p.s.h. Posons $\beta=\mathrm{i}\partial\overline{\partial}(\varphi^{l})$,
$\gamma=i\partial\partial\psi, \gamma_{\epsilon}=i\partial\partial\psi_{\epsilon}$ et soit $r$ tel que $0<r<\mathrm{R}=\mathrm{R}(\psi)$. Le theoreiz
de convergence dominee montre que

\begin{center}
$\displaystyle \lim_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{1}{(2\pi r)^{p}}\int_{\psi_{\epsilon}(z)<r}\mathrm{T}\wedge\gamma_{\epsilon}^{p}=\frac{1}{(2\pi r)^{p}}\int_{\psi(z)<r}\mathrm{T}\wedge\gamma^{p}$.

\end{center}
II suffit donc de v\'{e}rifler que pour tout $r<\mathrm{R}$ et tout $\epsilon>0$ on a

\begin{center}
(9)   $\displaystyle \frac{1}{(2\pi r)^{p}}\int_{\psi_{\epsilon^{(z)<r}}}\mathrm{T}\wedge\gamma_{\epsilon}^{p}\geq l^{p}\mathrm{v}(\mathrm{T};\varphi)=\mathrm{v}(\mathrm{T};\varphi^{t})$;

\end{center}
la derniere egalite resulte 1C1 de la prop. 2. Comme $\psi_{\epsilon}\in \mathrm{LP}$ ($\mathrm{X}$ ;Supp T) et
comme $\psi_{\epsilon}\sim\epsilon\varphi^{\iota},$ le theoreme 3 entraine

$\displaystyle \frac{1}{(2\pi r)^{p}}\int_{\psi_{8}(z)<r}\mathrm{T}\wedge\gamma_{\epsilon}^{p}\geq\lim_{\mathrm{p}\rightarrow 0}\frac{1}{(2\pi \mathrm{p})^{p}}lz\epsilon$ Supp $\mathrm{T},'|_{6}\mathfrak{l}(z)<\mathrm{p}\mathrm{T}\wedge\gamma_{\epsilon}^{p}$

\begin{center}
$=\displaystyle \lim_{\mathrm{p}\rightarrow 0}\frac{]}{(2\pi \mathrm{p})^{p}}\int_{z\in \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{T},\varphi^{1}(z)<\mathrm{p}/\epsilon}\mathrm{T}\wedge\gamma_{\epsilon}^{p}$.

\vspace{1em}
\end{center}
NOMBRES DES LELONG DES COURANTS

47

Mais $\psi$ est p.s.h., donc on a $\gamma_{\epsilon}\geq\epsilon\beta$ et

\[
\mathrm{T}\wedge\gamma_{\epsilon}\geq\epsilon^{p}\mathrm{T}\wedge\beta^{p}
\]

puisque $\mathrm{T}$ est positif. On obtient bien finalement la conclusion desiree (9)
en substituant $\epsilon \mathrm{p}$ a $\mathrm{p}$ dans la limite. $\square $

   Le theoreme 1, qui fait l'objet du prochain paragraphe, sera une
cons\'{e}quence simple du theoreme 4.

\begin{center}
2. Nombres de Lelong de l'image diructe

d'un courant positif ferme.

\end{center}
   Soient $\mathrm{X}$ et $\mathrm{Y}$ deux espaces analytiques, $\mathrm{F}$ : $\mathrm{X}\rightarrow \mathrm{Y}$ un morphisme
de $\mathrm{X}$ dans Y. Soit $\mathrm{Y}$ un courant faiblement positif ferme de bidimensies
$(p,p)$ sur $\mathrm{X}$, tel que la restriction a Supp $\mathrm{T}$ du morphisme $\mathrm{F}$ soit {\it propre}.
On definit alors le courant image directe $\mathrm{F}_{*}\mathrm{T}$ par

\begin{center}
(10)   $\langle \mathrm{F}_{*}\mathrm{T},v\rangle=\langle \mathrm{T},\mathrm{F}^{*}v\rangle$

\end{center}
pour toute forme $v\in \mathscr{D}_{p,p}^{\infty}(\mathrm{Y})$. Le support de $\mathrm{F}_{*}\mathrm{T}$ est contenu dans
$\mathrm{F}$ (Supp $\mathrm{T}$), et on demontre que $\mathrm{F}_{*}\mathrm{T}$ est un courant faiblement positif
ferme de bidimension $(p,p)$ sur Y.

   II existe entre les nombres de Lelong g\'{e}n\'{e}ralis\'{e}s de $\mathrm{T}$ et de $\mathrm{F}_{*}\mathrm{T}$ un
lien direct, exprime par la proposition suivante.

PROPOSITION 3. --{\it \'{E}tant donne une fonction} $\psi\in \mathrm{LP}(\mathrm{Y},\mathrm{F}(\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{T}))$, {\it on}

{\it pose} $\varphi=\psi\circ \mathrm{F}, \beta=\mathrm{i}\partial\overline{\partial}\varphi, \gamma=\mathrm{i}\partial\partial\psi$. {\it Alors} $\varphi\in \mathrm{LP}$ ( $\mathrm{X}$, Supp T) {\it et pour}
{\it tout} $r<\mathrm{R}(\psi)$ {\it on} $a$

\begin{center}
(11)   $\displaystyle \int_{z\in \mathrm{X}}\varphi(z)<r\mathrm{T}\wedge\beta^{p}=\int_{w\in \mathrm{Y}}\psi w)<r\mathrm{F}_{*}\mathrm{T}\wedge\gamma^{p}$ ;

\end{center}
{\it de plus} $\mathrm{v}(\mathrm{F}_{*}\mathrm{T};\psi)=\mathrm{v}(\mathrm{T};\psi\circ \mathrm{F})$.

   {\it Demonstration}. -- Le fait que $\varphi\in \mathrm{LP}$ ( $\mathrm{X}$ ; Supp T) r\'{e}sulte de l'hypothese
que la restriction a Supp $\mathrm{T}$ du morphisme $\mathrm{F}$ est propre. Pour etablir (11),
il suffit d'appliquer la relation (10) a une suite $v_{\mathrm{v}}\in \mathscr{D}_{p,p}^{\infty}(\psi^{-1}([0,r[))$
convergeant ponctuellement vers $\gamma^{p}$ dans $\psi^{-1}([0,r[). \square $

\vspace{1em}
48

JEAN-PIERRE DEMAILLY

   Si $X\in \mathrm{X}$, on designe par $\mathscr{O}_{\mathrm{X},x}$ l'anneau local des germes de fonctions
analytiques sur $\mathrm{X}$ au point $X$, et par $\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{X},x}$ l'ideal maximal de $\mathscr{O}_{\mathrm{X},x}$. Soit
$g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{\mathrm{N}}$ un systeme generateur de $\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{X},\mathrm{x}}$. Posons

\begin{center}
cp $=\displaystyle \sum_{\lambda=1}^{\mathrm{N}}|g_{\lambda}|^{2}$.

\end{center}
II existe un voisinage ouvert $\mathrm{U}$ de $X$ tel que $\varphi\in \mathrm{LP}(\mathrm{U})$ (cf. d\'{e}flnition 1)
et tel que $\mathrm{U}\cap\varphi^{-1}(0)=\{x\}$.

   DE'F1N1T10N 3. -- {\it On appelle nombre de Lelong du courant} $\mathrm{T}$ {\it au point} $X$
{\it le reel} $\geq 0$

\[
\mathrm{v}(\mathrm{T};x)=\mathrm{v}(\mathrm{T}|_{\mathrm{U}};\varphi)
\]

{\it o\`{u}} $\mathrm{T}|_{\mathrm{U}}$ {\it est la restriction de} $\mathrm{T}$ {\it \`{a}} U.

   Cette d\'{e}flnition est coherente, car le theoreme 4 montre que $\mathrm{v}(\mathrm{T};\varphi)$ ne
d\'{e}pend pas du choix des generateurs $g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{\mathrm{N}}$ de $\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{X},x}$. D'autre
part, on retrouve bien la d\'{e}flnition classique lorsque $X$ est un point regulier
de $\mathrm{X}$ (voir les remarques qui suivent la d\'{e}flnition 2).

   PROPOSITION 4. -- {\it Supposons que} $\mathrm{X}$ {\it soit un sous-espace ferme de} $\mathrm{Y}$, {\it et}
{\it soit} $j$ : $\mathrm{X}\subset_{->}\mathrm{Y}$ {\it l}'{\it inclusion. Alors pour tout} $X\in \mathrm{X}$, {\it on} $a$

\begin{center}
$\mathrm{v}(\mathrm{T};x)=\mathrm{v}(\mathrm{i}_{*}\mathrm{T}i(x))$.

\end{center}
   {\it Demonstration}. --Imme'diate grace au theoreme 4: soient $g_{1}$,
$g_{2}, \ldots, g_{\mathrm{N}}$ des generateurs de $\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{v}i(x)}, \displaystyle \psi=\sum_{\lambda=1}^{\mathrm{N}}|g_{\lambda}|^{2}\in \mathrm{L}\mathrm{P}(\mathrm{V})$ ou $\mathrm{V}\subset \mathrm{Y}$
est un voisinage de $j(x)$ tel que $\psi^{-1}(0)=\{j(x)\}$, et soit $\mathrm{U}=\mathrm{X}\cap \mathrm{V}$.
Alors

\begin{center}
$\mathrm{v}(\mathrm{i}_{*}\mathrm{T}j(x))=\mathrm{v}(\dot{;}_{*}\mathrm{T}|_{\mathrm{V}} ; \psi)=\mathrm{v}(\mathrm{T}|_{\mathrm{U}} ; \psi\circ j)=\mathrm{v}(\mathrm{T};x)$,

\end{center}
car les germes $g_{\lambda}\circ j$ engendrent $\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{X},\mathrm{x}}.\ \square $

   En particulier, les nombres de Lelong sont invariants par isomorphisme
analytique local. De plus, si $j$ : $\mathrm{U}\rightarrow\Omega$ est un plongement d'un voisinage
$\mathrm{U}$ de $X$ dans un ouvert $\Omega$ de $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$, et si $\Theta=j_{*}\mathrm{T}$ est le courant defini par
(1), on obtient

\begin{center}
$\mathrm{v}(\mathrm{T};x)=\mathrm{v}(\Theta i(x))$ ;

\vspace{1em}
\end{center}
NOMBRES DES LELONG DES COURANTS

49

on peut donc aussi d\'{e}finir les nombres de Lelong de $\mathrm{T}$ comme etant ceux
de $\Theta$ dans l'ouvert $\Omega\subset \mathrm{C}^{\mathrm{N}}$.

   Ces preliminaires etant etablis, nous sommes maintenant prets pour
demontrer le theoreme 1.

   {\it Demonstration du theoreme} 1. -- On se donne un point $y\in \mathrm{Y}$ tel que
l'ensemble $\mathrm{A}=$ Supp $\mathrm{T}\cap \mathrm{F}^{-1}(y)$ soit totalement discontinu. Cela signifie
par d\'{e}finition que tout point $X\in \mathrm{A}$ possede dans A un systeme
fondamental de voisinages ouverts et fermes. Soient $h_{1}, h_{2}, \ldots, h_{\mathrm{N}}$ des
generateurs de l'id\'{e}al $\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{Y},y}$ et $\mathrm{V}$ un voisinage de $y$ dans $\mathrm{Y}$ tel que la
fonction

\[
\psi=\sum_{\lambda=1}^{\mathrm{N}}|h_{\lambda}|^{2}
\]

appartienne a $\mathrm{LP}(\mathrm{V})$ et tel que $\mathrm{V}\cap\psi^{-1}(0)=\{y\}$. D'apres la
proposition 3, on a pour tout $r<\mathrm{R}(\psi)$

\begin{center}
(12)   $\displaystyle \int_{\psi(w)<r}\mathrm{F}_{*}\mathrm{T}\wedge\gamma^{p}=\int_{\varphi(z)<r}\mathrm{T}\wedge\beta^{p}$

\end{center}
o\`{u} cp $=\psi\circ \mathrm{F}, \beta=\mathrm{i}\partial\overline{\partial}\varphi$ et $\gamma=\mathrm{i}\partial\overline{\partial}\psi$. Le theoreme 1 sera prouve si l'on
montre que pour toute partie finie $\{x_{1}, \ldots, \mathrm{x}_{m}\}$ de A et tout $r$ assez
petit, on a
(13)   $\displaystyle \frac{1}{(2\pi r)^{p}}\int_{\varphi(z)<r}\mathrm{T}\wedge\beta^{p}\geq\sum_{q=1}^{m}\mathrm{v}(\mathrm{T};x_{q})$.

Soit $(g_{q,\lambda})\lambda=1,2$, . . ., $\mathrm{N}_{q}$, un systeme de g\'{e}n\'{e}rateurs de l'ideal $\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{X},x_{q}}$.
Comme A est totalement discontinu, il existe des voisinages ouverts $\mathrm{U}_{q}$ de
$x_{q}$ dans $\mathrm{X}$, deux adeux disjoints, tels que A $\cap \mathrm{U}_{q}=\mathrm{A}\cap\overline{\mathrm{U}}_{q}$. On choisit
de plus $\overline{\mathrm{U}}_{q}$ compact et $\mathrm{U}_{q}$ assez petit pour que $(g_{q,\lambda})$ definisse un
plongement de $\mathrm{U}_{q}$ ; la fonction $\displaystyle \sum_{\lambda}|g_{q,\lambda}|^{2}$ appartient donc a $\mathrm{LP}(\mathrm{U}_{q})$. De
plus, la famille de parties compactes Supp $\mathrm{T}\cap\varphi^{-1}([0,r])\cap\overline{\mathrm{U}}_{q}$ est crois-
sante en $r$, et admet pour intersection

Supp $\mathrm{T}\cap\varphi^{-1}(0)\cap\overline{\mathrm{U}}_{q}=$ Supp $\mathrm{T}\cap \mathrm{F}^{-1}(y)\cap\overline{\mathrm{U}}_{q}=$ A $\cap\overline{\mathrm{U}}_{q}\subset \mathrm{U}_{q}$.

II existe donc $r_{0}>0$ tel que

\begin{center}
Supp $\mathrm{T}\cap\varphi^{-1}([0,r_{0}])\cap\overline{\mathrm{U}}_{q}\subset \mathrm{U}_{q}, q=1,2$, . . ., $m$,

\vspace{1em}
\end{center}
50

JEAN-PIERRE DEMAILLY

par cons\'{e}quent $\varphi\in \mathrm{LP}(\mathrm{U}_{q}$, Supp $\mathrm{T}|_{\mathrm{U}}\mathrm{J}$. Pour tout $r\leq r_{0}$ on obtient

\begin{center}
(14)   $\displaystyle \int_{z\in \mathrm{X},\varphi(z)<r}\mathrm{T}\wedge\beta^{p}\geq\sum_{q=1}^{m}\int_{z\epsilon \mathrm{U}_{q},\varphi(z)<r}\mathrm{T}\wedge\beta^{p}$.

\end{center}
Comme $\displaystyle \varphi=\sum_{\lambda=1}^{\mathrm{N}}|h_{\lambda}\circ \mathrm{F}|^{2}$ ou $h_{\lambda}\circ \mathrm{F}\in\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{X},\mathrm{x}_{q}}$, on a

\begin{center}
$\displaystyle \mathrm{Jim}\inf_{z\rightarrow q} \displaystyle \frac{{\rm Log}\varphi(z)}{{\rm Log}\Sigma|g_{q,\lambda}(z)|^{2}}\geq 1$,

\end{center}
et les theoremes 3 et 4 montrent que

\begin{center}
(15)   $\displaystyle \frac{1}{(2\pi r)^{p}}\int_{z\epsilon \mathrm{U}_{q},\varphi(z)<r}\mathrm{T}\wedge\beta^{p}\geq \mathrm{v}(\mathrm{T}|_{\mathrm{U}_{q}} ; \varphi)\geq \mathrm{v}(\mathrm{T};x_{q})$;

\end{center}
(13) resulte donc de (14) et (15). $\square $

   Lorsque l'hypothese de totale discontinuite de l'ensemble
Supp $\mathrm{T}\cap \mathrm{F}^{-1}(y)$ est supprimee, le theoreme 1 devient trivialement faux.

   {\it Contre-exemple}. -- Soit $\mathrm{F}$ : $\mathrm{X}\rightarrow \mathrm{Y}$ un morphisme ayant une fibre
$\mathrm{F}^{-1}(y)$ compacte et non discr\`{e}te. Soit $\mathrm{Z}$ une composante irreductible de
$\mathrm{F}^{-1}(y)$ de dimension $>0$. On choisit pour $\mathrm{T}$ le courant d'integraties
[Z] sur l'ensemble analytique Z. Alors $\mathrm{F}_{*}\mathrm{T}=\mathrm{F}_{*}[\mathrm{Z}]=0$ par raison de
dimension, bien que $\mathrm{v}(\mathrm{T};x)\geq 1$ en tout point $X\in \mathrm{Z}.\ \square $

   Nous allons maintenant decrire une situation naturelle dans laquelle les
nombres de Lelong g\'{e}n\'{e}ralis\'{e}s seront des entiers.

   PROPOSITION 5. -- {\it Soit} $(\mathrm{Z}_{q})$ {\it une famille localement finie de sous-varietes}
{\it irreductibles de dimension} $p$ {\it de} $\mathrm{X}$, {\it et soit} $\mathrm{T}=\Sigma n_{q}[\mathrm{Z}_{q}]$ {\it un cycle}
{\it analytique \`{a} coefficients entiers positifs. On se donne des applications}
{\it holomorphes} $\mathrm{F}_{1}, \mathrm{F}_{2}, \ldots, \mathrm{F}_{\mathrm{N}}$ sur $\mathrm{X}$ {\it telles que}

\begin{center}
$\displaystyle \varphi=\sum_{\lambda=1}^{\mathrm{N}}|\mathrm{F}_{\lambda}|^{2}\in \mathrm{L}\mathrm{P}(\mathrm{X};\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{T})$.

\end{center}
{\it Alors} $\mathrm{v}(\mathrm{T};\varphi)$ {\it est entier}.

{\it Demonstration}. -- On peut se borner a considerer le cas $\mathrm{T}=[\mathrm{Z}],$ o\`{u} $\mathrm{Z}$ est
irreductible. Puisque $\varphi\in \mathrm{LP}$ ( $\mathrm{X}$;Supp $\mathrm{T}$), il existe un r\'{e}el $\mathrm{R}>0$ tel que
$\mathrm{Z}_{\mathrm{R}}=\{z\in \mathrm{Z};\varphi(z)<\mathrm{R}\}\subset\subset$ X. Soit $\mathrm{F}_{\mathrm{R}}$ : $\mathrm{Z}_{\mathrm{R}}\rightarrow \mathrm{B}$ la restriction a $\mathrm{Z}_{\mathrm{R}}$ Os

\vspace{1em}
NOMBRES DES LELONG DES COURANTS

51

morphisme $(\mathrm{F}_{1}\ovalbox{\tt\small REJECT}@2'\ldots,\mathrm{F}_{\mathrm{N}})$, a valeurs dans la boule $\mathrm{B}=\{w\in \mathrm{C}^{\mathrm{N}}$,
$|w|^{2}<\mathrm{R}\}.\ \mathrm{F}_{\mathrm{R}}$ est donc une application propre, et on a

\[
\mathrm{v}(\mathrm{T};\varphi)=\mathrm{v}(\mathrm{F}_{\mathrm{R}^{*}}[\mathrm{Z}_{\mathrm{R}}];0)
\]

d'apres la proposition 3. Quitte a d\'{e}composer encore $\mathrm{Z}_{\mathrm{R}}$, on peut
supposer $\mathrm{Z}_{\mathrm{R}}$ irreductible. Deux cas peuvent alors se presenter.

a) $\mathrm{F}_{\mathrm{R}}$ {\it est de rang} $<p$ {\it en tout point regulier de} $\mathrm{Z}_{\mathrm{R}}$.

   Dans ce cas la mesure de Hausdorff $\mathrm{H}_{2p}(\mathrm{F}_{\mathrm{R}}(\mathrm{Z}_{\mathrm{R}}))$ est nulle (theoreme de
Sard). Comme Supp $(\mathrm{F}_{\mathrm{R}^{*}}[\mathrm{Z}_{\mathrm{R}}])\subset \mathrm{F}_{\mathrm{R}}(\mathrm{Z}_{\mathrm{R}})$, le theoreme du support pour les
courants localement plats entraine que

\[
\mathrm{F}_{\mathrm{R}^{*}}[\mathrm{Z}_{\mathrm{R}}]=0
\]

(cf. H. Federer [4], 4.1.15.).

b) $\mathrm{F}_{\mathrm{R}}$ {\it est de rang maximum} $p$.

   Puisque le morphisme $\mathrm{F}_{\mathrm{R}}$ est propre, l'image $\mathrm{F}_{\mathrm{R}}(\mathrm{Z}_{\mathrm{R}})$ est une sous-
variete irreductible $\mathrm{W}$ de dimension $p$ de $\mathrm{B}$ (theoreme de R. Remmert
[9], [10] $)$; en outre $\mathrm{F}_{\mathrm{R}}$ : $\mathrm{Z}_{\mathrm{R}}\rightarrow \mathrm{W}$ est un revetement ramifie a un nombre
fini $s$ de feuillets (voir par exemple R. Narasimhan [8]). II en resulte que
$\mathrm{F}_{\mathrm{R}^{*}}[\mathrm{Z}_{\mathrm{R}}]=s[\mathrm{W}]$, par suite

\begin{center}
$\mathrm{v}(\mathrm{F}_{\mathrm{R}}.[\mathrm{Z}_{\mathrm{R}}];\mathrm{O})=s\mathrm{v}([\mathrm{W}];0)$,

\end{center}
et on sait que $\mathrm{v}$ ([W] ;0) est un entier (cf. R. Harvey [5]). $\square $

\begin{center}
3. R\^{o}le des multipliciti du morphisme F.

\end{center}
   On considere ici encore un morphisme $\mathrm{F}$ : $\mathrm{X}\rightarrow \mathrm{Y}$ et un $(p,p)$-courant
positif ferme $\mathrm{T}$ sur $\mathrm{X}$ tel que la restriction de $\mathrm{F}$ au support de $\mathrm{T}$ soit
propre.

   Le theoreme 5 ci-dessous generalise a la fois les theoremes 1 et 2. Pour
pouvoir donner un enonce simple et intrinseque, nous aurons besoin
d'introduire la notion de $p$-multiplicite du morphisme $\mathrm{F}$ en un point
$x\in \mathrm{X}$.

   DIEFINITION 4. -- {\it Soient} $X\in \mathrm{X},\ y=\mathrm{F}(x)$, {\it et} $j=(i_{1}i_{2},. . .i_{\mathrm{N}})$ {\it un}
{\it syst\`{e}me de generateurs de l}'{\it ideal} $\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{Y},y}$ ; {\it posons} $\mathrm{F}_{\lambda}=j_{\lambda}\circ$ F. {\it On dira que}

\vspace{1em}
52

JEAN-PIERRE DEMAILLY

$\mathrm{F}_{\lambda}$ {\it s}'{\it annule au point} $X$ {\it \`{a} l}'{\it ordre} $s_{\lambda}$ ( $s_{\lambda}$ {\it entier} $\geq 1$) {\it si le germe} $\mathrm{F}_{\lambda,x}$
{\it appartient \`{a}} $\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{X},x}^{s_{\lambda}}\backslash \ovalbox{\tt\small REJECT}_{\chi_{X}}^{s_{\lambda}+1},$, {\it et \`{a} l}'{\it ordre} $s_{\lambda}=$ co {\it si} $\mathrm{F}_{\lambda,x}=0$. {\it On note alors}
$\mu_{p}$ ( $\mathrm{F}$ ;c) {\it la borne sup\'{e}rieure} ({\it \'{e}ventuellement infinie}) {\it des entiers} $s_{1}s_{2}$ . . . $s_{p}$
{\it pour tout systeme} $j=(i_{\lambda})_{1\leq\lambda\leq \mathrm{N}}$ {\it de generateurs de} $\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{Y},y}$, {\it tel que} $\mathrm{N}\geq p$ {\it et}
$ s_{1}\leq s_{2}\leq\ldots\leq s_{\mathrm{N}}<\infty$.

  II est clair que $\mu_{p}(\mathrm{F};x)=$ oo d\`{e}s qu'il existe un plongement
$j=(i_{1}j_{2}, \ldots i_{\mathrm{N}})$ d'un voisinage $\mathrm{V}$ du point $y=\mathrm{F}(x)\in \mathrm{Y}$ dans $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$, irl
que $\mathrm{N}<p$, autrement dit si la dimension de Zariski de $\mathrm{Y}$ au point
$y=\mathrm{F}(x)$ est $<p$.

  TH\'{E}OR\`{E}ME 5. -- {\it Soit} $y\in \mathrm{Y}$. {\it On note} $\mathrm{Z}(y) l$ '{\it ensemble des points}
$X\in \mathrm{F}^{-1}(y)$ {\it tels que} $\mathrm{v}(\mathrm{T};x) >0$ {\it et tels que la composante connexe de} $X$ {\it dans}
Supp $\mathrm{T}\cap \mathrm{F}^{-1}(y)$ {\it soit reduite \`{a}} $\{x\}$. {\it Alors pour tout point} $X\in \mathrm{Z}(y)$ {\it on} $a$
$\mu_{p}(\mathrm{F};x)<$ oo {\it et}

\begin{center}
$\displaystyle \mathrm{v}(\mathrm{F}_{*}\mathrm{T};y)\geq\sum_{\mathrm{x}\epsilon \mathrm{Z}(y)}\mu_{p}(\mathrm{F};x)\mathrm{v}(\mathrm{T};x)$.

\end{center}
  {\it D\'{e}monstration}. -- II suffit de d\'{e}montrer que pour toute partie finie
$\{x_{1},x_{2},. . . ,x_{m}\}$ de $\mathrm{Z}(y)$ on a

\begin{center}
$\displaystyle \mathrm{v}(\mathrm{F}_{*}\mathrm{T};y)\geq\sum_{q=1}^{m}\mu_{p}(\mathrm{F};x_{q})\mathrm{v}(\mathrm{T};x_{q})$.

\end{center}
Comme Supp $\mathrm{T}\cap \mathrm{F}^{-1}(y)$ est compact, les hypoth\`{e}ses entrainent que
chaque point $X_{q}$ admet dans Supp $\mathrm{T}\cap \mathrm{F}^{-1}(y)$ un systeme fondamental
de voisinages a la fois ouverts et fermes (cf. Bourbaki [2], chap. 2, \S 4, $\mathrm{n}^{0}4$,
prop. 6). On peut alors r\'{e}p\'{e}ter la d\'{e}monstration du th\'{e}or\`{e}me 1 (cf. (12) et
(14)$)$ pour voir que

\[
\int_{\psi(w)<r}\mathrm{F}_{*}\mathrm{T}\wedge\gamma^{p}=\int_{\varphi(z)<r}\mathrm{T}\wedge\beta^{p}\geq\sum_{q=1}^{m}\int_{z\in \mathrm{U}_{q}}\varphi(z)<r\mathrm{T}\wedge\beta^{p}
\]

(avec les m\^{e}mes notations). II suffit donc de montrer que

\begin{center}
$\displaystyle \lim_{r\rightarrow 0}\frac{1}{(2\pi r)^{p}}\int_{z\epsilon \mathrm{U}_{q}}\varphi(z)<' \mathrm{T}\wedge\beta^{p}\geq\mu_{p}(\mathrm{F};x_{q})\mathrm{v}(\mathrm{T};\mathrm{x}_{q})$,

\end{center}
ou encore (en supprimant l'indice $q$ pour simplifier) :

\begin{center}
(16)   $\displaystyle \lim_{r\rightarrow 0}\frac{1}{(2\pi r)^{p}}\int_{z\in \mathrm{U}}\varphi(z\rangle<r\mathrm{T}\wedge\beta\geq s_{1}s_{2}\ldots s_{p}\mathrm{v}(\mathrm{T};x)$

\vspace{1em}
\end{center}
NOMBRES DES LELONG DES COURANTS

53

pour tout systeme $j= (i_{1}j_{2},. . .,\mathfrak{j}_{\mathrm{N}})$ de generateurs de $\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{Y},y}$ verifiant les
hypoth\'{e}ses de la deftnition 4 ( $\mathrm{N}$ ap et $ s_{1}\leq s_{2}\leq\ldots\leq s_{\mathrm{N}}<\infty$). Comme la
limite (16) ne d\'{e}pend que de la classe d'equivalence de $\varphi=\psi\circ \mathrm{F}$
(theoreme 4), on peut remplacer les generateurs $(h_{\lambda})$ de $\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{Y},y}$ par
$(i_{\lambda})_{1\leq\lambda\leq \mathrm{N}}$, de sorte qu'on a maintenant

\begin{center}
$\displaystyle \psi=\sum_{\lambda=1}^{\mathrm{N}}1i_{\lambda}|^{2},\ \displaystyle \varphi=\sum_{\lambda=1}^{\mathrm{N}}|\mathrm{F}_{\lambda}|^{2}$.

\end{center}
La famille croissante de compacts SuPP $\mathrm{T}\cap\varphi^{-1}([0,r])\cap\overline{\mathrm{U}}$ a pour
intersection Supp $\mathrm{T}\cap \mathrm{F}^{-1}(0)\cap\overline{\mathrm{U}}\subset \mathrm{U}$, donc il existe $r_{0}>0$ tel que

\begin{center}
Supp $\mathrm{T}\cap\varphi^{-1}([0,r_{0}])\cap\overline{\mathrm{U}}\subset$ U.

\end{center}
Si l'on pose $\mathrm{U}_{0}=\mathrm{U}\cap\varphi^{-1} ([0,r_{0} [)$ et $\mathrm{B}(r_{0})=\{z\in \mathrm{C}^{\mathrm{N}} ; |z|^{2}<r_{0}\}$, on
voit que l'application

\begin{center}
$\Phi=j\circ \mathrm{F}= (\mathrm{F}_{1},\mathrm{F}_{2}, . . . ,\mathrm{F}_{\mathrm{N}})$ : $\mathrm{U}_{0}\rightarrow \mathrm{B}(r_{0})$

\end{center}
a une restriction au support de $\mathrm{T}$ qui est propre. Un vertu de la
proposition 3, l'inegalite (16) equivaut a

\begin{center}
$\mathrm{v}(\Phi_{*}\mathrm{T} ;0)\geq s_{1}s_{2}$ . . . $s_{p}\mathrm{v}(\mathrm{T};x)$.

\end{center}
Posons $s=s_{1}s_{2}$ . . . $s_{\mathrm{N}}, \displaystyle \sigma_{\lambda}=\frac{s}{s_{\lambda}}$ pour $1\leq\lambda\leq \mathrm{N}$, et soit

\begin{center}
$\mathrm{G}$ : $\mathrm{B}(r_{0})\rightarrow \mathrm{G}(\mathrm{B}(r_{0}))$

\end{center}
l'application propre qui a $z= (z_{1},z_{2}, . . .,z_{\mathrm{N}})$ fait correspondre
$\mathrm{G}(z)=(z_{1}^{\sigma_{1}} , z_{2}^{\sigma_{2}},. . .,z_{\mathrm{N}}^{\sigma_{\mathrm{N}}})$. On observe que

\[
\mathrm{G}\circ\Phi=(\mathrm{F}_{1}^{\sigma_{1}}, \mathrm{F}_{2}^{\sigma_{2}},\ldots,\mathrm{F}_{\mathrm{N}}^{\sigma_{\aleph}})
\]

et que $\mathrm{F}_{\lambda}^{\sigma_{\lambda}}\in\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{X},x}^{s_{\lambda^{\mathrm{O}}\lambda}}=\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{X},x}^{s}$ ; le theoreme 4 et la proposition 3 montrent
aussit\^{o} $\mathrm{t}$ que

\begin{center}
$\mathrm{v}(\mathrm{G}_{*}\Phi_{*}\mathrm{T} ;0)\geq s^{p}\mathrm{v}(\mathrm{T};x)$.

\end{center}
II nous suffira donc de montrer l'in\'{e}galit\'{e}

\begin{center}
$\mathrm{v}(\mathrm{G}_{*}\Phi_{*}\mathrm{T};0)\leq\sigma_{1}\sigma_{2}$ . . . $\sigma_{p}\mathrm{v}(\Phi_{*}\mathrm{T};0)$.

\end{center}
Cette inegalite resultera de la proposition 6 ci-dessous, qul est interessante
par elle-m\^{e}me (poser $\Theta=\Phi_{*}\mathrm{T}$).

\vspace{1em}
54

JEAN-PIERRE DEMAILLY

   PROPOSITION 6. -- {\it Soit} $\mathrm{B}\subset \mathrm{C}^{\mathrm{N}}$ {\it une boule ouverte de centre} $\mathrm{O}$, {\it et 0 un}
{\it courant positif ferme de bidimension} $(p,p)$ {\it sur} B. {\it Soit}

\begin{center}
$\mathrm{G}$ : $\mathrm{B}\rightarrow \mathrm{G}(\mathrm{B})$

\end{center}
{\it l}'{\it application holomorphe} ({\it et propre}) {\it qui \`{a} tout} $z=(z_{1},z_{2}, . . .,z_{\mathrm{N}})$ {\it associe}

\begin{center}
$\mathrm{G}(z)=(z_{1}^{\sigma_{1}}, z_{2}^{\sigma_{2}}, \ldots, z_{\mathrm{N}}^{\sigma_{\mathrm{N}}})$,

\end{center}
{\it o\`{u}} $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \ldots, \sigma_{\mathrm{N}}$ {\it sont des entiers tels que} $\sigma_{1}\geq\sigma_{2}\geq.$ . . $\geq\sigma_{\mathrm{N}}\geq 1$.
{\it Alors}

\begin{center}
$\mathrm{v}(\mathrm{G}_{*}\Theta ; 0)\leq\sigma_{1}\sigma_{2}$ . . . $\sigma_{p}\mathrm{v}(\Theta;0)$.

\end{center}
Avant de donner une preuve de la proposition 6, nous aurons besoin
d'etablir quelques resultats preliminaires. Si $a= (a_{1},a_{2}, . . .,a_{\mathrm{N}})$ est un N-
uplet de nombres r\'{e}els $>0$, on note $a^{-1}$ l'application de $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$ dans $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$
qui a $z= (z_{1},z_{2}, . . .,z_{\mathrm{N}})$ assoc.e $(\displaystyle \frac{z_{1}}{a_{1}}, \displaystyle \frac{z_{2}}{a_{2}}$, . . ., $\displaystyle \frac{z_{\mathrm{N}}}{a_{\mathrm{N}}})$.

   L'id\'{e}e directrice de la dimonstration est $\langle\langle$ d'aplatir $\rangle\rangle$ le courant 0 le
long des sous-espaces vectoriels de $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$ qui sont somme de $p$ facteurs C.
Dans ce but, on remplacera $\Theta$ par $ a_{*}^{-1}\Theta$ et on passera a la limite faible zi
faisant tendre convenablement $a$ vers 0.

   LEMME 1. -- {\it Soit} $\mathrm{T}_{k}$ {\it une suite de} $(p,p)$-{\it courants} ({\it faiblement}) {\it positifs et}
{\it fermes sur un espace analytique} $\mathrm{X}$, {\it convergeant faiblement ners un courant}
$\mathrm{T}_{\infty}$ {\it au sens de la dualite entre} $\mathscr{D}_{p,p}^{\mathrm{o}}(\mathrm{X})$ {\it et} $(\mathscr{D}_{p,p}^{\mathrm{o}}(\mathrm{X}))^{\prime}$. {\it Alors} $\mathrm{T}_{\infty}$ {\it est un}
$(p,p)$-{\it courant faiblement positif, ferme. Soient} $\varphi\in \mathrm{LP}(\mathrm{X})$ {\it et} $\beta=i\partial\overline{\partial}\varphi$. Ce
{\it a quel que soit} $ r\in$] $0, \mathrm{R}(\varphi)[$

\begin{center}
$\displaystyle \int_{\varphi(z)<r}\mathrm{T}_{\infty}\wedge\beta^{p}\leq\lim_{k\rightarrow+}\inf_{\infty} \displaystyle \int_{\varphi(z)<r}\mathrm{T}_{k}.\wedge\beta^{p}$

$\displaystyle \leq^{\sim}\lim_{k\rightarrow+}\sup_{\infty}\int_{\varphi(z\rangle<r}\mathrm{T}_{k}\wedge\beta^{p}\leq\int_{\varphi(z)\leq r}\mathrm{T}_{\infty}\wedge\beta^{p}$.

\end{center}
{\it De plus} $\mathrm{v}(\mathrm{T}_{\infty};\varphi)\geq \displaystyle \mathrm{Jim}\sup_{k\rightarrow+\infty}(\mathrm{T}_{k};\varphi)$ .

   {\it D\'{e}monstration}. -- Les premieres inegalites s'obtiennent en approximant
la fonction caracteristique $\chi_{\mathrm{B}(r)}$ de l'ensemble $\mathrm{B}(r)=\{z\in \mathrm{X}$;
$\varphi(z)<r\}\subset\subset \mathrm{X}$ par des fonctions continues $\geq 0$ a support compact qui

\vspace{1em}
NOMBRES DES LELONG DES COURANTS

55

encadrent $\chi_{\mathrm{B}(r)}$. D'autre part, il est clair que

$\mathrm{v}(\mathrm{T}_{\infty};\varphi)= \displaystyle \lim_{\rightarrow 0}\frac{1}{(2\pi r)^{p}}\int_{\varphi(z)\leq r}\mathrm{T}_{\infty}\wedge\beta^{p},$ et que

\begin{center}
$\displaystyle \frac{1}{(2\pi r)^{p}}\int_{\varphi(z)\leq r}\mathrm{T}_{\infty}\wedge\beta^{p}\geq \displaystyle \mathrm{Iim}\sup_{k\rightarrow+\infty}\frac{1}{(2\pi r)^{p}}\int_{\varphi(z)<r}\mathrm{T}_{k}\wedge\beta^{p}$

$\geq \displaystyle \lim_{k\rightarrow+}\sup_{\infty}\mathrm{v}(\mathrm{T}_{k};\varphi).\ \square $

\end{center}
Soit maintenant $\Theta$ un $(p,p)$-courant positif ferme defini sur un voisinage de
0 dans $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$.

   LEMME 2. -- {\it On suppose que pour une suite} $a_{k}\rightarrow 0$ {\it les courants} $a_{k*}^{-1}0$
{\it convergent faiblement vers un courant} $\Theta_{0}$ {\it sur} $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$. {\it Alors} $\Theta_{0}$ {\it est tel que}

\begin{center}
$\mathrm{v}(\mathrm{G}_{*}\Theta;0)\leq \mathrm{v}(\mathrm{G}_{*}\Theta_{0};0)$.

\end{center}
   {\it Demonstration}. -- L'enonce a bien un sens puisque les courants $ a_{k}^{-1}*\Theta$
sont definis sur toute boule de $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$ d\`{e}s que $k$ est assez grand. D'apres la
proposition 3 et le lemme 1 on a

\begin{center}
$\mathrm{v}(\mathrm{G}_{*}\Theta_{0},0)=\mathrm{v}(\Theta_{0};|\mathrm{G}|^{2})\geq \displaystyle \lim_{k\rightarrow+}\sup_{\infty}\mathrm{v}(a_{k}^{-}*^{1}\Theta ; |\mathrm{G}|^{2})$.

\end{center}
Comme la fonction ${\rm Log}|\mathrm{G}\circ a_{k}^{-1}(z)|^{2}$ est equivalente a ${\rm Log}|\mathrm{G}(z)|^{2}$ quand
$z\rightarrow \mathrm{O}$, les theoremes 3 et 4 montrent que

\[
\mathrm{v}(a_{k^{*}}^{-1}\Theta ; |\mathrm{G}|^{2})=\mathrm{v}(\Theta;|\mathrm{G}\circ a_{k}^{-1}|^{2})=\mathrm{v}(\Theta;|\mathrm{G}|^{2})=\mathrm{v}(\mathrm{G}_{*}\Theta;0)
\]

pour tout indice $k$.

   La premiere etape consistera
tangent $\rangle\rangle \Theta_{0}$ .

\begin{flushright}
\$
a remplacer 0 par son $\langle\langle$ cone

\end{flushright}
   LEMME 3. --{\it Il existe une suite} $(\mathrm{p}_{k})$ {\it de nombres reels tendant vers} 0 {\it telle}
{\it que la suite} $\mathrm{p}_{k^{*}}^{-1}\Theta$ {\it converge faiblement vers un courant} $\Theta_{0}$ {\it sur} $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}(\mathrm{p}_{k}^{-1}$ {\it etant}
{\it l}'{\it homothetie de rapport} $1/\mathrm{p}_{k}$ {\it dans} $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$). {\it De plus, chacune des limites faibles}
$\Theta_{0}$ {\it v\'{e}rifie les conditions}

\begin{center}
$\mathrm{v}(\Theta_{0} ; 0)=\mathrm{v}(\Theta;0)$,

$\Theta_{0}\wedge\alpha^{p}\equiv 0$ sur $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}\backslash \{0\}$,

\end{center}
{\it o\`{u}} $\alpha=\mathrm{i}\partial\overline{\partial}({\rm Log}|z|^{2})$.

\vspace{1em}
56

JEAN-PIERRE DEMAILLY

   {\it Demonstration}. -- Etant donne deux r\'{e}els positifs $r$ et $\mathrm{p} (\mathrm{p}$
suffisamment petit) et $\beta=\mathrm{i}\partial\partial|z|^{2}$, on a

\begin{center}
(17)   $\displaystyle \frac{1}{(2\pi r)^{p}}\int_{|z|^{2}<r}\mathrm{p}_{*}^{-1}\Theta\wedge\beta^{p}=\frac{1}{(2\pi r\mathrm{p})^{p}}\int_{|z|^{2}<r\mathrm{p}}\Theta\wedge\beta^{p}$.

\end{center}
Le theoreme 3 montre que la famille $\mathrm{p}_{*}^{-1}\Theta$ est uniformement bornee sur
tout compact pour la norme de la masse (lorsque $\mathrm{p}$ tend vers 0); on peut
donc bien en extraire une limite faible $\displaystyle \Theta_{0}=\lim_{\mathrm{p}_{k}\rightarrow 0}\mathrm{p}_{k}^{-1}*\Theta$ . II decoule du
lemme 1 et de (17) que pour tout $r>0$

\begin{center}
$\displaystyle \frac{1}{(2\pi r)^{p}}\int_{|z|^{2}<r}\Theta_{0}\wedge\beta^{p}=\mathrm{v}(\Theta;0)$.

\end{center}
On a donc $\mathrm{v}(\Theta_{0};0)=\mathrm{v}(\Theta;0)$ et comme $\Theta_{0}$ est faiblement positif sur $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$,
la relation (6) du theoreme 3 montre que

$\Theta_{0}\wedge\alpha^{p}\equiv 0$ sur $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}\backslash \{0\}.\ \square $

Pour etablir la proposition 6, nous sommes dorrc ramenes a prouver que

\begin{center}
$\mathrm{v}(\mathrm{G}_{*}\Theta_{0} ; 0)$ ti $\sigma_{1}\sigma_{2}$ . . . $\sigma_{p}\mathrm{v}(\Theta_{0}$ ; 0 $)$,

\end{center}
ce qui se fera en $\langle\langle$ aplatissant $\rangle\rangle \Theta_{0}$.

   LEMME 4. -- {\it Soit} $\Theta_{0}$ {\it un courant positifferme sur} $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$ {\it tel que} $\Theta_{0}\wedge\alpha^{p}\equiv 0$
{\it sur} $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}\backslash \{0\}$, {\it Alors pour toute suite} $a_{k}\rightarrow 0$, {\it on peut extraire de la suite des}
{\it courants} $a_{k^{*}}^{-1}\Theta_{0}$ {\it une sous-suite convergeant faiblement. La limite} $\Theta_{1}$ {\it v\'{e}rifie}

\begin{center}
$\mathrm{v}(\Theta_{1} ; 0)=\mathrm{v}(\Theta_{\mathrm{O}}$ ; 0$)$ et $\Theta_{1}\wedge\alpha^{p}\equiv 0$ sur $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}\backslash \{0\}$.

\end{center}
   {\it Demonstration}. -- II est clair qu'il existe pour tout N-uplet
$a= (a_{1},a_{2},. . .,a_{\mathrm{N}})$ de r\'{e}els $>0$ une constante $\mathrm{C}=\mathrm{C}(a)\geq 1$ telle que

\begin{center}
$\displaystyle \frac{1}{\mathrm{C}}$ ai $\leq a^{-1*}\alpha\leq$ Ccc;

\end{center}
en effet, la terme $\alpha=\mathrm{i}\partial\overline{\partial}{\rm Log}|z|^{2}$ est issue d'une forme definie $>0$ sur
$\mathrm{P}_{\mathrm{N}-1}$ (qui est precisement la metrique k\"{a}hl\'{e}rienne standard de $\mathrm{P}_{\mathrm{N}-1}$).
Comme $\Theta_{0}\geq 0$ il vient
(18)   $\left\{\begin{array}{l}
\Theta_{\mathrm{O}}\Lambda a^{-1*}\alpha^{p}\equiv 0\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{C}^{\mathrm{N}}\backslash \{0\}\\
a_{*}^{-1}9_{\mathrm{O}}\wedge\alpha^{p}=a_{*}^{-1}(\Theta_{0}\wedge a^{-1*}\alpha^{p})\equiv 0
\end{array}\right.$

\vspace{1em}
NOMBRES DES LELONG DES COURANTS

57

D'apres les theoremes 3 et 4, on en deduit quel que soit $r>0$:

\begin{center}
$\displaystyle \frac{1}{(2\pi r)^{p}}\int_{|z|^{2}<r}a_{*}^{-1}\Theta_{\mathrm{O}}\wedge\beta^{p}=\mathrm{v}(a_{*}^{-1}\Theta_{0} ; 0)=\mathrm{v}(\Theta_{0}$ ; 0$)$,

\end{center}
d'otz la conclusion gr\^{a}ce au lemme 1. $[]$

   {\it Demonstration de la proposition} 6. -- Pour tout N-uplet
$\sigma= (\sigma_{1},\sigma_{2},. . .,\sigma_{\mathrm{N}})$ d'entiers positifs, et tout r\'{e}el $\mathrm{p}>0$, soit $\mathrm{p}^{-1/\sigma}$
l'application de $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$ dans $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$ qui a $z= (z_{1},z_{2},. . .,z_{\mathrm{N}})$ associe
$(\mathrm{p}^{-1/\sigma_{1}}z_{1}, \mathrm{p}^{-\iota/\sigma_{2}}z_{2},\ldots,\mathrm{p}^{-1/\sigma_{N}}z_{\mathrm{N}})$.

   On ordonne les elements de $(\mathrm{N}^{*})^{\mathrm{N}}$ en une suite $\sigma^{1}, \sigma^{2}, \sigma^{3}, \ldots$, et on
extrait successivement des suites faiblement convergentes

\begin{center}
$\displaystyle \Theta_{1}=\lim_{k\rightarrow\dagger\infty}(\mathrm{p}_{k}^{-1/\sigma^{1}})_{*}\Theta_{0}, \displaystyle \Theta_{2}=\lim_{k\rightarrow+\infty}(\mathrm{p}_{k}^{-1/\sigma^{2}})_{*}\Theta_{1}, \ldots$,

$\displaystyle \{)_{\infty}=\lim_{k\rightarrow+\infty}\Theta_{\mathrm{v}_{k}}$.

\end{center}
Les lemmes 2 et 4 montrent que

\begin{center}
(19)   $\{$

$\mathrm{v}(\mathrm{G}_{*}6_{0} ; 0)\leq \mathrm{v}(\mathrm{G}_{*}6_{k} ; 0)$,

$\mathrm{v}(\Theta_{k}$ ;0$) =\mathrm{v}(9_{0}$ ;0$)$ et $\Theta_{k}\wedge\alpha^{p}\equiv 0$.

\end{center}
De plus

\[
\mathrm{G}_{\mathrm{v}^{*}}\Theta_{\mathrm{v}}=\lim_{k\rightarrow\dagger\infty}(\mathrm{G}_{\mathrm{v}}\circ \mathrm{p}_{k}^{-1/\sigma^{\mathrm{V}}})_{*}\Theta_{\mathrm{v}-1}
\]

\begin{center}
$=\displaystyle \lim_{k\rightarrow\dagger\infty}\mathrm{p}_{k^{*}}^{-1}(\mathrm{G}_{\mathrm{v}}.\Theta_{\mathrm{v}-1})$,

\end{center}
ou $\mathrm{G}_{\mathrm{v}}$ est l'application $\mathrm{G}$ associ\'{e}e a $\sigma=\sigma^{\mathrm{v}}$. Lc lemme 3 entraine que
$(\mathrm{G}_{\mathrm{v}}.\Theta_{\mathrm{v}})\wedge\alpha^{p}=\mathrm{G}_{\mathrm{v}^{*}}(\Theta_{\mathrm{v}}\wedge \mathrm{G}_{\mathrm{v}}^{*}\alpha^{p})\equiv 0$ sur $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}\backslash \{0\}$ et donc la mesure
positive $\Theta_{\mathrm{v}}\wedge \mathrm{G}_{\mathrm{v}}^{*}\alpha^{p}$ est nulle elle aussi. En raisonnant comme pour (18) on
en deduit que $a_{*}^{-1}\Theta_{\mathrm{v}}\wedge \mathrm{G}_{\mathrm{v}}^{*}\alpha^{p}\equiv 0$ pour tout $\mathrm{N}$-uplet $a$, d'oti
$\Theta_{\mathrm{v}+1}\wedge \mathrm{G}_{\mathrm{v}}^{*}\alpha^{p}\equiv 0$, et plus generalement $\Theta_{k}\wedge \mathrm{G}_{\mathrm{v}}^{*}\alpha^{p}\equiv 0$ lorsque $k\geq \mathrm{v}$.
Un dernier passage a la limite fournit (cf. 19)$)$

\begin{center}
(20)   $\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{v}(\mathrm{G}_{*}9_{0},.0)\leq \mathrm{v}(\mathrm{G}_{*}6_{\infty}..0)\\
\mathrm{v}(\Theta_{\infty},.0)=\mathrm{v}(\Theta_{\mathrm{O}},.0)
\end{array}\right.$

\end{center}
(21) $\Theta_{\infty}\wedge \mathrm{G}^{*}\alpha^{p}\equiv 0$ sur $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}\backslash \{0\}$ ,

\vspace{1em}
58

JEAN-PIERRE DEMAILLY

pour toute application $\mathrm{G}$ associee a un $\mathrm{N}$-uplet $\sigma=(\sigma_{1},\sigma_{2},. . .,\sigma_{\mathrm{N}})$
quelconque. II en resulte (lemme 5 ci-dessous) que $\Theta_{\infty}$ est une combinaious
lineaire des courants d'integration sur les plans vectoriels

\[
\mathrm{C}_{\mathrm{L}}=\mathrm{C}_{\swarrow 1}\oplus \mathrm{C}_{J_{2}}\oplus\ldots\oplus \mathrm{C}_{t_{p}}\subset \mathrm{C}^{\mathrm{N}}
\]

(somme des $p$ facteurs $\mathrm{C}$ d'indices respectifs $l_{1}, l_{2}$, . . . , $l_{p}$) :

\begin{center}
(22)   $\displaystyle \Theta_{\infty}=\sum_{\mathrm{L}}\epsilon_{\mathrm{L}}[\mathrm{C}\mathrm{J}$,

\end{center}
avec $\mathrm{L}=\{l_{1},l_{2},\ldots,l_{p}\}\subset\{1,2, . . ., \mathrm{N}\}, \epsilon_{\mathrm{L}}\geq 0$. On a donc

\begin{center}
$\displaystyle \mathrm{v}(\Theta_{\infty};0)=\sum_{\mathrm{L}}\epsilon_{\mathrm{L}}$,

\end{center}
et comme la restriction de $\mathrm{G}$ a $\mathrm{C}_{\mathrm{L}}$ est un revetement ramifie de $\mathrm{C}_{\mathrm{L}}$ a
$\sigma\sigma\swarrow 1' 2\ldots\sigma_{\swarrow_{p}}$ feuillets, on obtient

\begin{center}
$\mathrm{G}_{*}[\mathrm{C}_{1}]=\sigma_{\swarrow 1^{\circ}2}$, . . . $\sigma_{l_{p}}[\mathrm{C}_{1}]$,

$\displaystyle \mathrm{v}(\mathrm{G}_{*}\Theta_{\infty};0)=\sum_{\mathrm{L}}\sigma_{l_{1}}\sigma_{J_{2}}$ . . . $\sigma,\epsilon_{\mathrm{L}}p$.

\end{center}
Si l'on combine ces egalites avec (20), (21) et les lemmes 2-3, on trouve
l'estimation de la proposition 6. $\square $

   II ne nous reste plus qu'\`{a} etablir l'existence de la d\'{e}composition (22) ;
c'est l'objet du lemme 5 qui suit.

   LEMME 5. -- {\it Soit} 0 {\it un} $(p,p)$-{\it courant faiblement positif et ferme dans} $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$.
{\it On suppose que} 0 $\wedge \mathrm{G}^{*}\alpha^{p}\equiv 0$ {\it sur} $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}\backslash \{0\},$ {\it o\`{u}} $\alpha=i\partial\overline{\partial}{\rm Log}|z|^{2}$, {\it pour}
{\it toute application} $\mathrm{G}(z)=(z_{1}^{\sigma_{1}}, z_{2}^{\sigma_{2}}, . . ., z_{\mathrm{N}}^{\sigma_{\mathrm{N}}})$ {\it associe \`{a} un N-uplet}
$\sigma= (\sigma_{1},\sigma_{2}, . . .,\sigma_{\mathrm{N}})\in(\mathrm{N}^{*})^{\mathrm{N}}$ {\it quelconque. Alors il existe des}
{\it constantes reelles} $\epsilon_{\mathrm{L}}\geq 0$ {\it relies que}

\begin{center}
$\Theta =\displaystyle \sum_{|\mathrm{L}|=p}\epsilon_{\mathrm{L}}[\mathrm{C}\mathrm{J}$.

\end{center}
   {\it Demonstration}. -- Grace au theoreme du support (cf. H. Federer [4] ou
R. Harvey [5], theoreme 1.7 et lemme 1.9), on peut se contenter de verifier
que

\begin{center}
Supp C) $\displaystyle \subset\bigcup_{|\mathrm{L}|=p}\mathrm{C}_{\mathrm{L}}$.

\vspace{1em}
\end{center}
NOMBRES DES LELONG DES COURANTS

59

II suffira de montrer que le c\^{o}ne convexe engendre par les formes $\mathrm{G}^{*}\alpha^{p}$
contient une $(\mathrm{p},\mathrm{p})$-forme fortement $>0$ de $\Lambda^{p,p}\mathrm{T}_{z}^{*}\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$ (i.e. one forme
fortement minoree par $\mathrm{C}(\mathrm{i}\partial\overline{\partial}|\zeta|^{2})^{p},\ \mathrm{C}>0)$ en tout point $z\displaystyle \not\in\bigcup_{\mathrm{L}}\mathrm{C}_{\mathrm{L}}$.
Quitte a permuter les coordonnees et a appliquer un automorphisme $a^{-1}$
(compte tenu que $\displaystyle \frac{1}{\mathrm{C}}\alpha\leq a^{-1*}\alpha\leq \mathrm{C}\alpha$), on peut supposer que
$z=(1, \ldots,1,0,\ldots,0)$ est un $\mathrm{N}$-uplet forme de $q$ fois l'entier 1 $(q>p)$ suivi
de {\it N-q} z\'{e}ros. Prenons $\sigma= (\sigma_{1},\sigma_{2}, . . .,\sigma_{q},1, . . .,1)$ et posons :

\begin{center}
$\displaystyle \alpha_{q,\sigma}=i\sum_{\lambda=1}^{q}\sigma_{\lambda}^{2}dz_{\lambda}\wedge d\overline{z}_{\lambda}-\frac{i}{q}\sum_{\lambda=1}^{q}\sigma_{\lambda}dz_{\lambda}\wedge\sum_{\mu=1}^{q}\sigma_{\mu}d\overline{z}_{\mu}$.

\end{center}
Un calcul elementaire montre qu'on a au point $z$ :

\begin{center}
(23)   $\displaystyle \mathrm{G}^{*}\alpha=\frac{1}{q}(\alpha_{q,\sigma}+\mathrm{i}\sum_{\lambda=q+1}^{\mathrm{N}}dz_{\lambda}\wedge d\overline{z}_{\lambda})$.

\end{center}
En elevant (23) \`{a} la puissance $p$, on voit que les formes $(\mathrm{G}^{*}\alpha)^{p}$
engendreront une $(p,p)$-forme fortement $>0$ si et seulement si les Calcus
$\alpha_{q,\sigma}^{m}$ engendrent elles-memes un element fortement $>0$ de $\Lambda^{m,m}\mathrm{T}^{*}\mathrm{C}^{q}$
pour tout $m\leq p<q$. En approximant les r\'{e}els par des rationnels, on
peut etendre l'ensemble des formes $\alpha_{q,\sigma}$ consid\'{e}r\'{e}es a tous les 4-uplets
$(\sigma_{1},\sigma_{2}, . . . ,\sigma_{q})$ de r\'{e}els $\geq 0$. En choisissant certains $\sigma_{\lambda}$ nuls et ue
permutant les coordonnees on se ramene au cas $q=m+1$ (car les
conditions $q>m$ et $\sigma_{m+2}=\cdots=\sigma_{q}=0$ entrainent $\alpha_{q,\sigma}\geq\alpha_{m+1.\sigma}$).
Nous sommes donc reduits a montrer que les elements $\alpha_{m\dagger 1,\sigma}^{m}$ engendrent
une $(m,m)$-forme fortement $>0$. La formule de Lagrange permet d'ecrine

\[
\alpha_{m+1,\sigma}=\underline{\mathrm{i}}
\]

\begin{center}
$m+1\displaystyle \sum_{1\leq\lambda<\mu\leq m+1}(\sigma_{\lambda}dz_{\lambda}-\sigma_{\mu}dz_{\mu})\wedge(\sigma_{\lambda}d\overline{z}_{\lambda}-\sigma_{\mu}d_{Z_{\mu}}^{-})$.

\end{center}
Lorsque $\sigma_{1}\sigma_{2}$ . . . $\sigma_{m+1}>0$, on voit donc que la forme $\alpha_{m+1,\sigma}$,
consideree comme forme hermitienne sur $\mathrm{C}^{m+1}$, est positive de rang $m$,
et qu'elle admet pour noyau la droite complexe engendree par le vecteur
$1/\sigma=(1/\sigma_{1},1/\sigma_{2}, \ldots,1/\sigma_{m+1})$. Choisissons des $(m+1)$-uplets
$\sigma^{1}, \sigma^{2}$, . . ., $\sigma^{m+1}$ tels que les elements $1/\sigma^{1},1/\sigma^{2}$, . . ., $1/\sigma^{m}$ constituent
une base de $\mathrm{C}^{m+1}$ II est clair que la $(m,m)$-forme

\[
\sum_{k=1}^{m+1}(\alpha_{m+1},0^{k})^{m}
\]

est un element fortement $>0$ de $\Lambda^{m,m}\mathrm{T}^{*}\mathrm{C}^{m+1}.\ \square $

\vspace{1em}
60

JEAN-PIERRE DEMAILLY

   La proposition 6 fournit dans un cas particulier une minoration des
nombres de Lelong de l'image directe du courant T. Pour etendre cette
minoration a une situation plus generale (comprenant le cas Plu
morphismes a fibres finies) nous poserons la d\'{e}flnition suivante.

   Soient $X\in \mathrm{X}, y=\mathrm{F}(x)\in \mathrm{Y}$ tels que $X$ soit un point isole de la fibre
$\mathrm{F}^{-1}(y)$. On se fixe un systeme generateur $(g_{\lambda})$ de $\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{X},x}$ et on considere
une famille d'elements quelconques $(h_{\lambda})_{1\leq\lambda\leq \mathrm{N}}$ de $\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{Y},y}$, telle que $\mathrm{N}\geq p$.

   $\mathrm{D}_{\acute{\mathrm{E}}\mathrm{F}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{I}\mathrm{T}\mathrm{I}\mathrm{O}\mathrm{N}}5$. -- {\it La} $p$-{\it multiplicite superieure du morphisme} $\mathrm{F}$ {\it au point}
$X$, {\it notee} $\overline{\mu}_{p}(\mathrm{F};x)$, {\it est la borne infirieure des produits} $\sigma_{1}\sigma_{2}$ . . . $\sigma_{p}$ {\it etendue}
{\it aux familles} $(h_{\lambda})_{1\leq\lambda\leq \mathrm{N}}$ {\it d}'{\it elements de} $\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{Y},y}$ {\it et aux famille} $(\sigma_{\lambda})_{1\leq\lambda\leq \mathrm{N}}$ {\it de reels}
{\it tels que}

\begin{center}
$\sigma_{1}\geq\sigma_{2}\geq\cdots\geq\sigma_{\mathrm{N}}>0$,

\[
{\rm Log}\sum_{\lambda=1}^{\mathrm{N}}|h_{\lambda}\circ \mathrm{F}(z)|^{1/\sigma 1}
\]

(24)   $\displaystyle \lim_{z\rightarrow}\sup_{X} \leq 1$.

\[
{\rm Log}\sum_{\lambda}|g_{\lambda}(z)|
\]

\end{center}
Lorsque $(h_{\lambda})_{1\leq\lambda\leq \mathrm{N}}$ est un systeme g\'{e}n\'{e}rateur de $\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{Y},y}$, l'inegalite de
S. Lojasiewicz (voir B. Malgrange [7]) ou le theoreme des zeros de Hilbert
montrent qu'il existe une constante $\sigma>0$ telle que

\[
\mathrm{N}
\]

\[
\sum_{\lambda=1}|h_{\lambda}\circ \mathrm{F}(z)|^{2}\geq(\sum|g_{\lambda}(z)|^{2})^{\sigma}
\]

au voisinage de $X$ (en effet $X$ est isole' dans $\mathrm{F}^{-1}(\mathrm{F}(x))$). II existe donc bien
des familles $(h_{\lambda})_{1\leq\lambda\leq \mathrm{N}}, (\sigma_{\lambda})_{1\leq\lambda\leq \mathrm{N}}$ verifiant les hypoth\`{e}ses de la deftnition 5,
de sorte que $\overline{\mu}_{p}(\mathrm{F};x)<\infty$, mais nous ignorons si $\overline{\mu}_{p}(\mathrm{F};x)$ est toujours os
entier. D'autre part, on voit aisement que $\overline{\mu}_{p}(\mathrm{F};x)=0$ si $p$ excede la
dimension du germe $\underline{\mathrm{X}}_{X}$.

   THEOR\`{E}ME 6. -- {\it Soit} $y$ {\it un point de} $\mathrm{Y}$ {\it tel que la fibre} $\mathrm{F}^{-1}(y)$ {\it soit finie}.
{\it Alors on} $a$

\begin{center}
$\displaystyle \mathrm{v}(\mathrm{F}_{*}\mathrm{T};y)\leq\sum_{\mathrm{x}\epsilon \mathrm{F}^{-1}(y)}\overline{\mu}_{p}(\mathrm{F};x)\mathrm{v}(\mathrm{T};x)$.

\end{center}
   {\it Demonstration}. -- En choisissant des voisinages 2a2 disjoints des
points de la fibre $\mathrm{F}^{-1}(y)$, et en tronquant $\mathrm{X}$ et $\mathrm{Y}$, on se ramene au cas

\vspace{1em}
NOMBRES DES LELONG DES COURANTS

61

ou $\mathrm{F}^{-1}(y)=\{x\}$. Soient $(h_{\lambda})_{1\leq\lambda\leq \mathrm{N}}, (\sigma_{\lambda})_{1\leq\lambda\leq \mathrm{N}}$ deux familles verifiant les
hypoth\`{e}ses de la deftnition 5. On peut supposer (quitte a accroitre N) que
$(h_{\lambda})_{1\leq\lambda\leq \mathrm{N}}$ est un systerne generateur de $\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{Y},y}$, de sorte que
$h= (h_{1},h_{2},. . .,h_{\mathrm{N}})$ est un plongement local de $\mathrm{Y}$ dans $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$. Soient

\begin{center}
$\displaystyle \frac{s}{s_{1}}$,

\[
s
\]

\[
s
\]

$-s_{2}'\ldots, -s_{\mathrm{N}}$

\end{center}
des approximations rationnelles de $\sigma_{\mathrm{I}}$ , $\sigma_{2}, \ldots, \sigma_{\mathrm{N}}$ avec des entiers $s$,
$s_{1}\leq s_{2}\leq\ldots\leq s_{\mathrm{N}}$ tels que $\displaystyle \frac{s}{s_{1}}\geq\sigma_{\lambda}$, et soit

\begin{center}
$\mathrm{G}$ : $\mathrm{Y}\rightarrow \mathrm{C}^{\mathrm{N}}$

\end{center}
l'application qui a tout $w\in \mathrm{Y}$ associe $(h_{\lambda}(w)^{s_{\lambda}})_{1\leq\lambda\leq \mathrm{N}}$. Le theoreme 5
montre que

\begin{center}
$\mathrm{v}(\mathrm{G}_{*}\mathrm{F}_{*}\mathrm{T};0)\geq s_{1}s_{2}$ . . . $s_{p}\mathrm{v}(\mathrm{F}_{*}\mathrm{T} ;y)$.

\end{center}
Par ailleurs, le theoreme 4 donne

\begin{center}
$\displaystyle \mathrm{v}(\mathrm{T} : X)=\mathrm{v}(\mathrm{T} : \sum_{\lambda}|g_{\lambda}|^{2})\geq s^{-p}\mathrm{v}(\mathrm{G}_{*}\mathrm{F}_{*}\mathrm{T};0)$,

\end{center}
car d'apres l'hypothese (24) on a

\begin{center}
$\displaystyle \mathrm{Jim}\inf_{\rightarrow x}\frac{\lambda}{{\rm Log}|\mathrm{G}\circ \mathrm{F}(z)|^{2}}= \displaystyle \lim_{z\rightarrow}\inf_{X} \displaystyle \geq\frac{1}{s}$.

${\rm Log}$ I $|g(z)|^{2} {\rm Log}\displaystyle \sum_{\lambda}|g_{\lambda}(z)|^{2}$

\[
{\rm Log}\sum_{\lambda}|h_{\lambda}\circ \mathrm{F}(z)|^{2s_{\lambda}}
\]

\end{center}
II vient donc :

\begin{center}
$\displaystyle \mathrm{v}(\mathrm{F}_{*}\mathrm{T};y)\leq\frac{s}{s_{1}}.\ \displaystyle \frac{s}{s_{2}}\cdots\frac{s}{s_{n}}\mathrm{v}(\mathrm{T};x)$.

\end{center}
Le theoreme 6 s'obtient en passant a la limite dans les approximations
rationnelles, puis en prenant la borne inferieure des produits $\sigma_{1}\sigma_{2}$ . . $.\coprod^{\mathrm{G}_{p}}$.

   Les theoremes 5 et 6 entrainent la cons\'{e}quence suivante, qul ne parait
pas tout a fait claire {\it a priori}.

\vspace{1em}
62

JEAN-PIERRE DEMAILLY

   COROLLAIRE. -- {\it Soit} $X\in \mathrm{X}$ {\it tel que} $X$ {\it soit un point isole de la fibre}
$\mathrm{F}^{-1}(\mathrm{F}(x))$. {\it Alors pour tout} $p\leq\dim-\mathrm{X}_{X}$ {\it on} $a$

\begin{center}
$\mu_{p}(\mathrm{F};\mathrm{x})\leq\overline{\mu}_{p}(\mathrm{F};x)$.

\end{center}
   {\it D\'{e}monstration}. -- II existe des voisinages $\mathrm{U}$ de $X$ dans $\mathrm{X}$ et $\mathrm{V}$ de $y$
dans $\mathrm{Y}$, arbitrairement petits, tels que $\mathrm{F}(\mathrm{U})\subset \mathrm{V}, \mathrm{U}\cap \mathrm{F}^{-1}(y)=\{x\}$,
et tels que la restriction $\mathrm{F}_{|\mathrm{U}}$ : $\mathrm{U}\rightarrow \mathrm{V}$ soit propre (voir R. Narasimhan [8]).
Soit $\mathrm{Z}$ un ensemble analytique de dimension $p$ dans $\mathrm{U}$, contenant le
point $X$, et soit $\mathrm{T}=[\mathrm{Z}]$ le courant $\mathrm{d}'\grave{\mathrm{i}}\mathrm{n}\mathrm{t}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$ sur Z. On sait que
$\mathrm{v}(\mathrm{T};\mathrm{x})\geq 1$, et on observe d'autre part que

\[
\mu_{p}(\mathrm{F};x)\mathrm{v}(\mathrm{T};x)\leq \mathrm{v}(\mathrm{F}_{*}\mathrm{T};y)\leq\overline{\mu}_{p}(\mathrm{F};x)\mathrm{v}(\mathrm{T};x)
\]

d'apr\`{e}s les theoremes 5 et 6. $\square $

   Pour terminer ce paragraphe, nous allons montrer qu'il n'est pas
possible d'ameliorer l'encadrement de $\mathrm{v}(\mathrm{F}_{*}\mathrm{T};x)$ fourni par les theoremes 5
et 6.

   {\it Exemple}. -- Soit $\mathrm{F}$ : $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}\rightarrow \mathrm{C}^{\mathrm{N}}$ l'application definie par

\[
\mathrm{F}(z_{1},z_{2},\ldots,z_{\mathrm{N}})=(z_{1}^{s_{1}},z_{2}^{s_{2}}, \ldots,z_{\mathrm{N}}^{s_{\mathrm{N}}})
\]

avec des entiers $ s_{1}\leq s_{2}\leq$ . . . $\leq s_{\mathrm{N}}$. Pour tout multi-indice
$\mathrm{L}=\{l_{1},l_{2},\ldots,l_{p}\}$, on a comme on l'a vu

\begin{center}
$\mathrm{v}([\mathrm{C}\mathrm{d};0)=1, \mathrm{v}(\mathrm{F}_{*}[\mathrm{C}_{1}];0)=s_{l_{1}}s_{l_{2}}\ldots s_{t_{p}}$.

\end{center}
D'autre part, il est clair sur les d\'{e}flnitions que

$\mu_{p}(\mathrm{F};0)\geq s_{1}s_{2}\ldots s_{p},\ \overline{\mu}_{p}(\mathrm{F};0)\leq s_{\mathrm{N}}s_{\mathrm{N}-1}\ldots s_{\mathrm{N}-p+1}$ pour $p\leq \mathrm{N}$,

\begin{center}
$\mu_{p}(\mathrm{F};0)=+\infty,\ \overline{\mu}_{p}(\mathrm{F};0)=0$ pour $p>\mathrm{N}$.

\end{center}
On en deduit pour $p\leq \mathrm{N}$ :

\begin{center}
$\mu_{p}(\mathrm{F};0)=\mathrm{v}(\mathrm{F}_{*}[\mathrm{C}_{1}\oplus \mathrm{C}_{2}\oplus\ldots\oplus \mathrm{C}_{p}] ; 0) =s_{1}s_{2}\ldots s_{p}$,

$\overline{\mu}_{p}(\mathrm{F} ,0)=\mathrm{v}(\mathrm{F}_{*}[\mathrm{C}_{\mathrm{N}-p+1}\oplus\ldots\oplus \mathrm{C}_{\mathrm{N}}] ; 0)=s_{\mathrm{N}}s_{\mathrm{N}-1}$ . . . $s_{\mathrm{N}-p+1}$.

\end{center}
En choisissant pour $\mathrm{T}$ une combinaison lineaire des [ $\mathrm{CJ}$ , on voit que le
rapport $\displaystyle \frac{\mathrm{v}(\mathrm{F}_{*}\mathrm{T},0)}{\mathrm{v}(\mathrm{T},0)}.\cdot$ est un r\'{e}el quelconque compris entre $\mu_{p}(\mathrm{F};0)$ et
$\overline{\mu}_{p}(\mathrm{F};0)$.

\vspace{1em}
NOMBRES DES LELONG DES COURANTS

63

   Enfin, meme lorsque $\mathrm{T}$ est le courant d'integration sur un germe
irr\'{e}ductible en 0, le nombre rationnel $\displaystyle \frac{\mathrm{v}(\mathrm{F}_{*}\mathrm{T},0)}{\mathrm{v}(\mathrm{T},0)}.\cdot$ n'est pas necessaiationt
entier. Prenons par exemple $\mathrm{N}=2, s_{1}=1, s_{2}=2$, et soit $\mathrm{Z}$ la courbe
d'equation $z_{1}^{3}+z_{2}^{4}=0$. L'image $\mathrm{W}=\mathrm{F}(\mathrm{Z})$ a pour equation
$w_{1}^{3}+w_{2}^{2}=0$, de sorte qu'on a classiquement

\begin{center}
$\mathrm{v}([\mathrm{Z}];0)=3,\ \mathrm{v}([\mathrm{W}];0)=2$.

\end{center}
Comme la restriction $\mathrm{F}$ : $\mathrm{Z}\rightarrow \mathrm{W}$ est un reveternent ramifie a2 feuillets, on
obtient

\begin{center}
$\mathrm{F}_{*}[\mathrm{Z}]=2[\mathrm{W}],\ \mathrm{v}(\mathrm{F}_{*}[\mathrm{Z}];0)=4$,

$\displaystyle \mu_{1}(\mathrm{F};0)=1<\frac{\mathrm{v}(\mathrm{F}_{*}[\mathrm{Z}],0)}{\mathrm{v}([\mathrm{Z}],0)}.\cdot=\frac{4}{3}<\overline{\mu}_{1}(\mathrm{F};0)=2$.

4. Theorie $\langle<$ duale \rangle\rangle ; degre d'un courant positif ferme.

\end{center}
   Jusqu'a pr\'{e}sent, nous avons etudie le comportement du courant positif
ferme $\mathrm{T}$ au voisinage de tout point $X\in \mathrm{X}$ (ou plus generalement sur la
base de filtre des ensembles $\varphi^{-1}([0,r[), r$ tendant vers 0). II est possible
de developper une theorie entierement analogue pour etudier le
comportement du courant $\mathrm{T}$ a$\langle\langle$ l'infini $\rangle\rangle$, l'espace $\mathrm{X}$ etant suppose {\it non}
{\it compact}. La classe des poids $\varphi$ qui interviennent de maniere naturelle est
la classe $\mathrm{LP}_{\infty}$ ( $\mathrm{X}$;Supp T) ainsi definie.

   D\'{E}FINITION 6. -- {\it Soit} A {\it une partie de} X. {\it On dira que} $\varphi\in \mathrm{LP}_{\infty}$( $\mathrm{X}$ ;A)
{\it si} $\varphi$ {\it est une fonction} $\geq 0$ {\it de classe} $\mathrm{C}^{2}$ {\it sur} $\mathrm{X}$, {\it dont le logarithme est}
{\it p.s.h}., {\it et exhaustive sur} $\mathrm{A}$, {\it c}'{\it est-\`{a}-dire que pour tout riel} $r>0$,
A $\cap\varphi^{-1}([0,r[)$ {\it est relativement compact dans} X.

   {\it Si} $\varphi\in$ LP $\infty$ ( $\mathrm{X}$ ; Supp $\mathrm{T}$), {\it on d\'{e}finit le degre du} $(p,p)$-{\it courant} $\mathrm{T}$,
{\it relativement} a $\varphi$, {\it comme la limite} ({\it finie ou infinie})

\begin{center}
$6(\displaystyle \mathrm{T};\varphi)=\mathrm{I}\mathrm{i}\mathrm{m}\uparrow\rightarrow+\infty\frac{1}{(2\pi r)^{p}}\int_{\varphi(z)<r}\mathrm{T}\wedge(i\partial\partial\varphi)^{p}$.

\end{center}
   Lorsque $\mathrm{T}$ est Ie courant d'int\'{e}gration sur une hypersurface algebrique
A de $\mathrm{C}^{n}$, et lorsque $\varphi(z)=|z|^{2}$, on verifie que $6(\mathrm{T};\varphi)$ co.incide avec le
degre de A.

Tous les principaux resultats des paragraphes 1, 2 et 3 (theoremes 45

\vspace{1em}
64

JEAN-PIERRE DEMAILLY

et 6) admettent des enonces duaux dans la presente situation. Le theoreme 4
devient ainsi le

Tt \'{E}OR\`{E}ME 7. -- {\it Soit} $\varphi,\psi$ {\it deux elements de} $\mathrm{LP}_{\infty}$ ( $\mathrm{X}$; Supp $\mathrm{T}$), {\it tels que}

\begin{center}
Jim inf $\underline{{\rm Log}\psi(z)}\geq l\geq 0$.

\end{center}
$ z\epsilon$ Supp $\mathrm{T},z\rightarrow\infty{\rm Log}\varphi(z)$

{\it Alors} 6 $(\mathrm{T};\psi)\geq l^{p}6(\mathrm{T};\varphi)$.

   {\it Demonstration}. -- Tout a fait semblable a celle du theoreme 4, en dehors
d'une modification technique dans la construction de la fonctior
auxiliaire $\psi_{\epsilon}$.

   II est clair que $6(\mathrm{T};\varphi)=6(\mathrm{T};\varphi+1)$, donc on peut supposer $\varphi\geq 1$,
$\psi\geq 1$, et (de meme que dans le th\'{e}or\`{e}me 4)

(25) $\displaystyle \lim$ inf $\underline{{\rm Log}\psi(z)}>l\geq 2$.

                $ z\epsilon$ Supp $\mathrm{T},z\rightarrow\infty{\rm Log}\varphi(z)$

Soit $\chi\geq 0$ une fonction de classe $\mathrm{C}^{\infty}$ sur $\mathrm{R}$, a support dans l'intervalle
$[1,2]$, telle que $\displaystyle \int_{1}^{2}\chi(t)$ dr $=1$. On pose

\begin{center}
$\displaystyle \psi_{\epsilon}(z)=\int_{1}^{2}\sup(\varphi^{t}(z), \epsilon t\psi(z))\chi(t)dt,\ \epsilon>0$.

\end{center}
Gr\^{a}ce au changement de variable $u=\varphi^{\prime}(z)-\epsilon t\psi(z)$ on voit que

\begin{center}
$\displaystyle \psi_{\epsilon}(z)=\epsilon\psi(z)\int_{1}^{2}t\chi(t)dt+\int_{0}^{+\infty}u\chi(\frac{\varphi^{\swarrow}(z)-u}{\epsilon\psi(z)})\frac{du}{\epsilon\psi(z)}$,

\end{center}
donc $\psi_{\epsilon}$ est de classe $\mathrm{C}^{2}$. Comme $\psi_{\epsilon}\geq\varphi^{\prime}$ on en deduit que $\psi_{\epsilon}\in \mathrm{LP}$
($\mathrm{X}$ ; Supp $\mathrm{T}$). Soit $r>0$ quelconque; choisissons

\begin{center}
$\displaystyle \epsilon<\frac{1}{2}\inf_{z\epsilon \mathrm{SuppT}\cap\varphi^{-1}(\mathrm{I}0,r\mathrm{I})}\frac{\varphi^{t}(z)}{\psi(z)}$.

\end{center}
On a alors $\psi_{\epsilon}(z)=\varphi^{t}(z)$ au voisinage de l'ensemble
Supp $\mathrm{T}\cap \mathrm{cp}^{-1}([0,r[)$, d'ou (proposition 2)

\begin{center}
$\displaystyle \frac{l^{p}}{(2\pi r)^{p}}\int_{\varphi(z)<r}\mathrm{T}\wedge(\mathrm{i}\partial\partial\varphi)^{p}=\frac{1}{(2\pi)^{p}r^{Jp}}l_{\psi_{\epsilon}(z)<}\swarrow \mathrm{T}\wedge(i\partial\partial\psi_{\epsilon})^{p}\leq 6(\mathrm{T};\psi_{\epsilon})$.

\vspace{1em}
\end{center}
NOMBRES DES LELONG DES COURANTS

65

Mais $\psi_{\epsilon}(z)=\mathrm{C}\epsilon\psi(z)$ (avec $\displaystyle \mathrm{C}=\int_{1}^{2}t\chi(t)dt$) au voisinage de l'ensemble
$\{z\in \mathrm{Supp} \mathrm{T};\epsilon\psi(z)>\varphi^{\prime}(z)\}$. Le complementaire de cet ensemble dans
Supp $\mathrm{T}$ est compact, en vertu de l'hypothese (25), par suite

\begin{center}
$6(\mathrm{T};\psi_{\epsilon})=6(\mathrm{T};\psi).\ \square $

\end{center}
   On suppose desormais que $\mathrm{T}$ est un courant faiblement positif et ferme',
de bidimension $(p,p)$ sur $\mathrm{C}^{n}$. On definit le degre de $\mathrm{T}$ par

\begin{center}
$6(\displaystyle \mathrm{T})=6(\mathrm{T};|z|^{2})=r\rightarrow\dagger\infty\lim\uparrow\frac{1}{(2\pi)^{p}r^{2p}}\int_{|z|<r}\mathrm{T}\wedge(i\partial\partial|z|^{2})^{p}$.

\end{center}
Grace au theoreme 7, le nombre $6(\mathrm{T})$ ne d\'{e}pend que de la structure
d'espace affine de $\mathrm{C}^{n}$ (mais pas de sa structure d'espace vectoriel
hermitien). On obtient alors le r\'{e}sultat suivant, avec une d\'{e}monstration
presque identique a celle du theoreme 5 mais plus simple techniquement.

   THE'0R\`{E}ME 8. -- {\it Soit} $\mathrm{Q}=(\mathrm{Q}_{1},\mathrm{Q}_{2},\ldots,\mathrm{Q}_{\mathrm{N}})$ {\it un morphisme de} $\mathrm{C}^{n}$ {\it dans}
$\mathrm{C}^{\mathrm{N}}$, {\it ou} $\mathrm{Q}_{\lambda}$ {\it est un polyn\^{o}me de degre} $d_{\lambda}$, {\it avec} $d_{1}\geq d_{2}\geq.$ . . $\geq d_{\mathrm{N}}$. {\it On}
{\it suppose que la restriction de} $\mathrm{Q}$ {\it \`{a}} SuPP $\mathrm{T}$ {\it est propre. Alors si} $\mathrm{T}\neq 0$, {\it on} $a$
$\mathrm{N}\geq p$ {\it et}

\begin{center}
$6(\mathrm{Q}_{*}\mathrm{T})$ Qi $d_{1}d_{2}$ . . . $d_{p}6(\mathrm{T})$.

\end{center}
II est possible de transcrire de m\^{e}me le theoreme 6.

   TH\'{E}OR\`{E}ME 9. -- {\it Soil} $\mathrm{Q}=(\mathrm{Q}_{1},\mathrm{Q}_{2},\ldots,\mathrm{Q}_{\mathrm{N}})$ {\it un morphisme propre de} $\mathrm{C}^{n}$
{\it dans} $\mathrm{C}^{\mathrm{N}}(\mathrm{N}\geq n)$. {\it On definit le reel} $\eta_{p}(\mathrm{Q})$ {\it comme la borne superieure} lor
{\it produits} $6_{1}6_{2}$ . . . $6_{p}$ {\it pour tous les} $\mathrm{N}$-{\it uplets} $(6_{1},6_{2}, . . .,6_{\mathrm{N}})\in \mathrm{R}^{\mathrm{N}}$ {\it tels que}

\[
{\rm Log}\sum_{\lambda=1}|\mathrm{Q}_{\lambda}(z)|^{1/6_{\lambda}}
\]

  $0<6_{1}\leq 6_{2}\leq\ldots\leq 6_{\mathrm{N}}$ et Jim inf $\geq 1$.

\[
 z\rightarrow\infty
\]

\[
{\rm Log}|z|
\]

{\it Alors} $6(\mathrm{Q}_{*}\mathrm{T})\geq\eta_{p}(\mathrm{Q})6(\mathrm{T})$.

\begin{center}
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Manuscrit $\mathrm{re}\sigma \mathrm{u}$ le 2 juillet 1981.

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Jean-Pierre DEMAILLY,

Universite' de Paris VI

\end{flushright}
Analyse Complexe et G\'{e}om\'{e}trie

\begin{flushright}
4, place Jussieu

(Tour 45-46, $5^{\mathrm{e}}$ etage)

75230 Paris Cedex 05.

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\end{flushright}\end{document}