\documentclass[a4paper,12pt]{article} \usepackage{latexsym} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{graphicx} \usepackage{wrapfig} \pagestyle{plain} \usepackage{fancybox} \usepackage{bm} %\setlength{\parindent}{0em} \begin{document} \begin{center} \includegraphics[width=157.82mm,height=36.91mm]{./pdf_images/image001.eps} \end{center} JEAN-PIERRE DEMAILLY Construction d 'hypersurfaces irreductibles avec lieu singulier donne dans $\mathbb{C}^{n}$ {\it Annales de} $l$ '{\it institut Fourier}, tome 30, n${}^{\text{o}}$3 (1980), p. 219-236. $<\mathrm{http}://\mathrm{w}\mathrm{w}\mathrm{w}.\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{m}.\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{g}_{--}/\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{m}?\mathrm{i}\mathrm{d}=\mathrm{A}\mathrm{I}\overline{\vdash}198030 3 219 -0>$ $[eggc]$ Annales de l'institut Fourier, 1980, tous droits r\'{e}serv\'{e}s. L'acces aux archives de la revue $\langle\langle$ Annales de l'institut Fourier $\rangle\rangle$ (http://annalif.ujf-grenoble.fr/), implique l'accord avec les conditions ge- nerales $\mathrm{d}$ 'utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisa- tion commerciale ou impression systematique est constitutive d'une in- fraction penale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte- nir la presente mention de copyright. \begin{center} NUMDAM \end{center} {\it Article numerise dans le cadre du programme} {\it Numerisation de documents anciens mathematiques} http://www.numdam.org/ \vspace{1em} Ann. Inst. Fourier, Grenoble 30, 3 (1980), 219-236 \begin{center} CONSTRUCTION D'HYPERSURFACES IRREDUCTIBLES AVEC LIEU SINGULIER DONNE DANS $\mathrm{C}^{\mathrm{n}}$ par Jean.Pierre DEMAILLY 0. Introduction. \end{center} M. Cornalba et B. Shiffman [1] ont construit deux courbes d'ordre 0 dans $\mathrm{C}^{n}$ qui se coupent en une suite discr\`{e}te de points dont le cardinal croit aussi rapidement que l'on veut \`{a} l'infini (voir le fi 4), montrant ainsi que l'analogue transcendant du theoreme de Bezout sur l'intersection des courbes algebriques n'est pas vrai en g\'{e}n\'{e}ral. II est bien connu d'autre part qu'une courbe algebrique \[ (n-1)(n-2) \] de degre $n$, qui admet plus de points doubles, 2 degenere en deux ou plusieurs courbes de degre inferieur. On peut se demander si un analogue transcendant de ce dernier theoreme subsiste. L'objet du pr\'{e}sent travail est de demontrer qu'il n'en est rien; nous prouvons au \S 4, en nous appuyant sur l'exemple de Cornalba-Shiffman, l'existence d'une courbe transcendante irreduc- tible dont la croissance \`{a} l'infini est arbitrairement lente, et dont cependant les points singuliers sont aussi nombreux que l'on veut. Nous deduisons cet exemple d'un theoreme g\'{e}n\'{e}ral permettant de construire, avec contr\^{o}le de la croissance, une hypersurface irr\'{e}duc- tible de $\mathrm{C}^{n}$ dont le lieu singulier $\mathrm{S}$ est impose' (voir le \S 1 pour l'enonce precis). La traduction en termes de distributions \`{a} support compact, obtenue au fi 5 par l'intermediaire du theoreme de Paley- Wiener, nous permet de retrouver un resultat anterieur de $\mathrm{L}.\mathrm{A}$. Rubel, $\mathrm{W}.\mathrm{A}$. Squires et $\mathrm{B}.\mathrm{A}$. Taylor [3] , complete par J. Dixmier, P. Malliavin [2] , selon lequel l'ensemble des produits de convolution $\omega(\mathrm{R}^{n})*\omega(\mathrm{R}^{n})$ n'est pas egal a $\omega(\mathrm{R}^{n})$ pour $n\geq 2$ . \vspace{1em} 220 J.P. DEMAILLY J'adresse tous mes remerciements \`{a} Monsieur Henri Skoda, qui m'a signale' ce probl\`{e}me, et qui porte un interet constant a mes travaux. \begin{center} 1. Enonce du theoreme principal. \end{center} THEOREME. -- {\it Soit} $\mathrm{S}$ {\it un ensemble analytique de} $\mathrm{C}^{n}$ (o\`{u} $n\geq 2$), {\it de codimension} $\geq 2$ {\it en tout point, d\'{e}fini par les equations} \begin{center} $f_{1}(z)=\ldots=f_{k}(z)=0$. \end{center} {\it On se donne une fonction} $\varphi$ {\it de} $\mathrm{R}$ {\it dans} $\mathrm{R}$, {\it croissante et posi}- {\it tive, telle que} .$\cdot$ (1) $\displaystyle \frac{\varphi(t)}{t}$ {\it tend vers} $+\infty$ {\it quand} $t$ {\it tend vers} $+\infty$. {\it Alors il existe des fonctions en ti\'{e}res} $g_{1}$, . . . , $g_{k}$ {\it telles que} .$\cdot$ (2) {\it la fonction} $\displaystyle \mathrm{F}=\sum_{j=1}^{k}f_{j}g_{j}$ {\it est irreductible}, (3) {\it l}'{\it hypersurface} $\mathrm{X}$ {\it d\'{e}finie par l}'{\it \'{e}quation} $\mathrm{F}=0$ {\it a son lieu} {\it singulier contenu dans} $\mathrm{S}$, {\it et la majoration} (4) ${\rm Log}|g_{j}(z)|\leq\varphi({\rm Log}|z|)$ {\it a lieu pour tout} $j=1$ , . . . , $k$ {\it et tout} $z\in \mathrm{C}^{n}$ COROLLAIRE 1. -- {\it Si} $f_{1}, \ldots, f_{k}$ {\it s}'{\it annulen} $td$ {\it l}'{\it ordre 2 au moins} {\it sur} $\mathrm{S}$ ({\it sinon remplacer par exemple} $f_{1}, \ldots, f_{k}$ {\it par leurs puissances}), {\it le lieu singulier de l}'{\it hypersurface irreductible} $\mathrm{X}$ {\it du theoreme est pr\'{e}}- {\it cisement egal} $d$ S. Nous aurons besoin d'exprimer dans la d\'{e}monstration qu'une hypersurface d\'{e}pend $\langle\langle$contin\^{u}ment$\rangle\rangle$ de son equation, Propri\'{e}t\'{e} ex- plicitee dans les propositions 1et 2. 2. D\'{e}formation des composantes irreductibles d'une hypersurface \begin{center} en fonction de l'equation. \end{center} Les propositions 1 et 2 qui suivent sont probablement clas- siques. Mais vu leur importance pour la d\'{e}monstration du theoreme, \vspace{1em} CONSTRUCTION D'HYPERSURFACES IRREDUCTIBLES 221 il nous a sembl\'{e} pr\'{e}f\'{e}rable d'en donner une preuve afin d'\^{e}tre complet. PROPOSITION 1. -- {\it Soien} $t \Omega$ {\it une varieti analy tique complexe} {\it connexe de dimension} $n,\ \mathrm{H}(\Omega)$ {\it l}'{\it espace des fonctions holomorphes} {\it sur} $\Omega$, {\it et} $\mathrm{K}$ {\it une partie compacte de} $\Omega$. {\it A toute fonction} $f\in \mathrm{H}(\Omega)$ {\it non nulle, on associe l}'{\it entier} $\nu_{\mathrm{K}}(f)$, {\it somme des multiplicites de} $f$ {\it sur les composantes irr\'{e}duc}- {\it tibles de} $\mathrm{Z}_{f}=\{z\in\Omega ;f(z)=0\}$ {\it qui rencontrent} $\mathrm{K}$, {\it et on pose} $\nu_{\mathrm{K}}(0)=\infty$. {\it Alors l}'{\it application} $f\rightarrow\nu_{\mathrm{K}}(f)$ {\it est semi-continue supe}- {\it rieurement sur} $\mathrm{H}(\Omega)$. {\it Demonstration}. -- On prouve la semi-continuite' en une fonction $f\neq 0$ fixee une fois pour toutes. On commencera par substituer a $\mathrm{K}$ des compacts $\mathrm{K}_{1}, \mathrm{K}_{2}$ plus appropries tels que \begin{center} $\nu_{\mathrm{K}}(f)=\nu_{\mathrm{K}_{1}}(f)=\nu_{\mathrm{K}_{2}}(f)$, $\nu_{\mathrm{K}}(g)\leq\nu_{\mathrm{K}_{1}}(g)\leq\nu_{\mathrm{K}_{2}}(g)$ pour $g$ voisine di $f$. \end{center} Le lieu singulier $\mathrm{S}$ de $\mathrm{Z}_{f}$ a en tout point une codimension $\geq 2$. Quel que soit $z_{0}\in \mathrm{S}\cap \mathrm{K}$, il existe donc des coordonnees locales $w_{1}, \ldots, w_{n}$ telles que $w_{j}(z_{0})=0,\ 1\leq i\leq n$, et telles que le point $z_{0}$ soit isole dans l'ensemble $\mathrm{S}\cap\{w_{3}=. . . =w_{n}=0\}$. On choisit $\epsilon>0$, puis y7 $>0$ assez petits de sorte qu'en notant $\mathrm{V}_{z_{0}}=$\{{\it z} $\in\Omega$ ; $|w_{1}(z)|^{2}+|w_{2}(z)|^{2}<\epsilon^{2}$, et $|w_{j}(z)|<\eta$ \begin{flushright} pour {\it j} $>2$\}, \end{flushright} $\mathrm{B}_{z_{0}}=$\{E $\in\Omega$ ; $|w_{1}(z)|^{2}+|w_{2}(z)|^{2}=\epsilon^{2}$, et $|w_{j}(z)|\leq\eta$ \begin{flushright} pour {\it j} $>2$\}, \end{flushright} on ait $\mathrm{S}\cap \mathrm{B}_{z_{0}}=\Phi$, et que les composantes irreductibles de $\mathrm{Z}_{f}$ ne rencontrant pas $\mathrm{K}$ ne rencontrent pas non plus $\overline{\mathrm{V}}_{z_{0}}$. Si $\mathrm{V}_{z_{1}}, \ldots, \mathrm{V}_{z_{p}}$ recouvrent $\mathrm{S}\cap \mathrm{K}$, on pose \begin{center} $\displaystyle \mathrm{K}_{1}=(\mathrm{K}\backslash \bigcup_{1\leq j2$\} \vspace{1em} 222 J.P. DEMAILLY serait un ensemble analytique compact de dimension 1 ou 2. Pour tout $g\in \mathrm{H}(\Omega)$ on a donc $\nu_{\mathrm{K}}(g)\leq\nu_{\mathrm{K}_{1}}(g)$ . De plus par construction, $\nu_{\mathrm{K}}(f) \geq\nu_{\mathrm{K}_{1}}(f)$, et $\mathrm{S}\cap \mathrm{K}_{1}=\Phi$ . Soient $\mathrm{X}_{1}^{\prime}$ , . . . , $\mathrm{X}_{k}^{\prime}$ les compo- santes connexes de $\mathrm{Z}_{f}\backslash \mathrm{S}$ qui rencontrent $\mathrm{K}_{1}$, et $\mathrm{L}_{j},\ 1\leq j\leq k$, un voisinage compact de $\mathrm{X}_{j}^{\prime}\cap \mathrm{K}_{1}$ dams $\Omega$ tel que $\mathrm{Z}_{f}\cap \mathrm{L}_{j}=\mathrm{X}_{j}^{\prime}\cap \mathrm{L}_{j}$ . On prend \begin{center} $\displaystyle \mathrm{K}_{2}=\bigcup_{1\leq j\leq k}\mathrm{L}_{j}$, \end{center} de sorte que $\displaystyle \nu_{\mathrm{K}_{2}}(f)=\sum_{1\leq j\leq k}\nu_{\mathrm{L}_{j}}(f)=\nu_{\mathrm{K}_{1}}(f)$. Comme $\mathrm{K}_{2}$ est un voisinage de $\mathrm{Z}_{f}\cap \mathrm{K}_{1}$ , on a $\displaystyle \inf_{z\in \mathrm{K}_{1}\backslash \mathrm{K}_{2}}0|f(z)|>0$, donc $\mathrm{Z}_{g}\cap \mathrm{K}_{\mathrm{I}}\subset \mathrm{Z}_{g}\cap \mathrm{K}_{2}\circ$ lorsque $g$ tend vers $f$, ce qui entraine \begin{center} $\displaystyle \nu_{\mathrm{K}_{1}}(g)\leq\nu_{\mathrm{K}_{2}}(g)\leq\sum_{1\leq j\leq k}\nu_{\mathrm{L}_{j}}(g)$ ; \end{center} on voit qu'il suffit de prouver la semi-continuiti des $\nu_{\mathrm{L}_{j}}$ en $f$. Pour simplifier les notations, on supprime l'indice $j$, et on considere un compact $\mathrm{L}$ de $\Omega$ tel que $\mathrm{Z}_{f}\cap \mathrm{L}=\mathrm{X}^{\prime}\cap \mathrm{L}$, ou $\mathrm{X}^{\prime}$ est l'une des composantes connexes de la sous-vari\'{e}t\'{e} lisse $\mathrm{Z}_{f}\backslash \mathrm{S}$ de dimension $n-1$. Soit $\mathrm{P}=\{w\in \mathrm{C}^{n} ; |w_{j}|<1,1\leq j\leq n\}$ le polydisque unite' de $\mathrm{C}^{n}$ On peut, par compacite de $\mathrm{X}^{\prime}\cap \mathrm{L}$, trouver un nombre fini de cartes $\theta_{q}$ : $\mathrm{U}_{q}\rightarrow \mathrm{P}$, definies par $\theta_{q}(z)=(w_{1}(z), . . . , w_{n}(z))$, o\`{u} les $\mathrm{U}_{q}$ soot des ouverts de $\Omega$ recouvrant $\mathrm{X}^{\prime}\cap \mathrm{L}$, et pour lesquelles $\mathrm{X}^{\prime}\cap \mathrm{U}_{q}$ admet l'equation $w_{1}(z)=0$. On suppose egalement que $\mathrm{Z}_{f}\cap \mathrm{U}_{q}=\mathrm{X}^{\prime}\cap \mathrm{U}_{q}$, zf on d\'{e}signe par $\pi_{q}$ : $\mathrm{U}_{q}\rightarrow \mathrm{X}^{\prime}\cap \mathrm{U}_{q}$ l'application qui en coordonnees locales s'e'crit $(w_{1}, w_{2}, \ldots, w_{n})\rightarrow(0, w_{2}, \ldots, w_{n})$. Comme $\mathrm{X}^{\prime}$ est connexe, on peut toujours faire en sorte que $\displaystyle \bigcup_{q}\pi_{q}(\mathrm{U}_{q})$ soit connexe. Pour chaque couple $(q_{1}, q_{2})$ d'indices distincts tels que $\pi_{q_{1}}(\mathrm{U}_{q_{2}})\cap\pi_{q_{1}}(\mathrm{U}_{q_{2}})\neq\Phi$ , on choisit un point \begin{center} $z_{q_{1}q_{2}}\in\pi_{q_{1}}(\mathrm{U}_{q_{1}})\cap\pi_{q_{2}}(\mathrm{U}_{q_{2}})$. \end{center} On pose $\mathrm{A}_{q}^{\epsilon}=[z\in \mathrm{U}_{q}$ ; \} $w_{j}(z)|\leq 1-\epsilon, 1\leq j\leq n\}$, \begin{center} $\mathrm{B}_{q}^{\epsilon}=\{z\in \mathrm{U}_{q} ; |w_{1}(Z)|<\epsilon, |w_{j}(Z)|\leq 1-\epsilon, 10$ assez petit de maniere que les conditions suivantes soient realisees pour tous les couples $(q_{1}, q_{2})$ pr\'{e}c\'{e}dents : (5) $z_{q_{1}q_{2}}\in\pi_{q_{1}}(\mathrm{A}_{q_{1}}^{\epsilon})\cap\pi_{q_{2}}(\mathrm{A}_{q_{2}}^{\epsilon})$, (6) $\pi_{q_{1}}^{-1}(z_{q_{1}q_{2}})\cap \mathrm{B}_{q_{1}}\subset \mathrm{A}_{q_{2}}$, (7) $\displaystyle \mathrm{A}^{\epsilon}=\bigcup_{q}\mathrm{A}_{q}^{\epsilon}$ est un voisinage de $\mathrm{X}^{\prime}\cap \mathrm{L}$. Grice a la propri\'{e}t\'{e} (7) et au fait que $\mathrm{Z}_{f}\cap \mathrm{A}^{\epsilon}=\mathrm{X}^{\prime}\cap \mathrm{A}^{\epsilon}$, on voit que $\nu_{\mathrm{L}}\leq\nu_{\mathrm{A}}$ au voisinage de $f$ dams $\mathrm{H}(\Omega)$, et que \begin{center} $\nu_{\mathrm{L}}(f)=\nu_{\mathrm{A}^{\epsilon}}$ (f)=multiplicit\'{e} $m$ de $f$ sur $\mathrm{X}^{\prime}$ \end{center} La d\'{e}monstration sera achevee si nous prouvons que $\nu_{\mathrm{A}^{\epsilon}}(g)\leq m$ lorsque (8) $\displaystyle \sup_{\mathrm{A}^{\epsilon}}|g-f|<\inf_{\mathrm{c}^{\epsilon}}|f|$ o\`{u} $\displaystyle \mathrm{C}^{\epsilon}=\bigcup_{q}\mathrm{C}_{q}^{\epsilon}$ (noter que $\mathrm{Z}_{f}\cap$ C' $=\Phi$ , donc $\displaystyle \inf_{\mathrm{c}^{\epsilon}}|f|>0$) . Soit $\mathrm{Y}$ une composante irreductible de $\mathrm{Z}_{g}$ rencontrant $\mathrm{A}^{\epsilon}$, avec $\mathrm{Y}\cap \mathrm{A}_{q_{1}}^{\epsilon}\neq\Phi$ par exemple. L'inegalite (8) entraine que $\mathrm{Y}\cap \mathrm{A}_{q_{1}}^{\epsilon}=\mathrm{Y}\cap \mathrm{B}_{q_{1}}^{\epsilon}$, donc pour tout $z\in\pi_{q_{1}} (\mathrm{A}_{q_{1}}^{\epsilon} )$, le sous-ensemble analytique $\mathrm{Y}\cap \mathrm{B}_{q_{1}}^{\epsilon}\cap\pi_{q_{1}}^{-1}(z)$ du disque $\mathrm{B}_{q_{1}}^{\epsilon}\cap\pi_{q_{1}}^{-1}(z)$ est compact. II en resulte que les fibres $\mathrm{Y}\cap \mathrm{B}_{q_{1}}^{\epsilon}\cap\pi_{q_{1}}^{-1}(z)$ sont discretes, un comme $\dim \mathrm{Y}=\dim \mathrm{X}^{\prime}=n-1,\ \pi_{q_{1}}(\mathrm{Y}\cap \mathrm{B}_{q_{1}}^{\epsilon})$ est ouvert dans $\pi_{q_{1}}(\mathrm{B}_{q_{1}}^{\epsilon})=\pi_{q_{1}}(\mathrm{A}_{q_{1}}^{\epsilon})$. Mais d'autre part, $\pi_{q_{1}}(\mathrm{Y}\cap \mathrm{B}_{q_{1}}^{\epsilon})=\pi_{q_{1}}(\mathrm{Y}\cap \mathrm{A}_{q_{1}}^{\epsilon})$ est une partie compacte non vide, donc $\pi_{q_{1}}(\mathrm{Y}\cap \mathrm{B}_{q_{1}}^{\epsilon})=\pi_{q_{1}}(\mathrm{A}_{q_{1}}^{\epsilon})$ par connexite de $\pi_{q_{1}}(\mathrm{A}_{q_{1}}^{\epsilon})$. D'apres (5) et (6), pour tout indice $q_{2}$ tel que $\pi_{q_{1}} (\mathrm{A}_{q_{1}}^{\epsilon} )\cap\pi_{q_{2}}(\mathrm{A}_{q_{2}}^{\epsilon})\neq\Phi$, on a $\mathrm{Y}\cap \mathrm{A}_{q_{2}}^{\epsilon}\neq\Phi$, donc aussi $\pi_{q_{2}}(\mathrm{Y}\cap \mathrm{B}_{q_{2}}^{\epsilon})=\pi_{q_{2}}(\mathrm{A}_{q_{2}}^{\epsilon})$ en repetant le meme raisonnement. II en resulte par connexite de $\displaystyle \bigcup_{q}\pi_{q}(\mathrm{A}_{q}^{\epsilon})$ (hypothese (5)) que pour tout indice $q$ on a $\pi_{q}(\mathrm{Y}\cap \mathrm{B}_{q}^{\epsilon})=\pi_{q}(\mathrm{A}_{q}^{\epsilon})$. Choisissons arbitrairement un indice $q_{0}$ et un point $h_{0}\in\pi_{q_{0}}(\mathrm{A}_{q_{0}}^{\epsilon})$. D'aapprreess le theoreme de Rouche et la condition (8) , la fonction $g$ possede exactement $m$ zeros (compt\'{e}s avec multiplicitis) dpas le disque $\mathrm{B}_{q_{0}}^{\epsilon}\cap\pi_{q_{0}}^{-1} (h_{0})$. Si $\mathrm{Y}_{1}, \ldots, \mathrm{Y}_{r}$ sont les composantes \vspace{1em} 224 J.P. DEMAILLY irr\'{e}ductibles de $\mathrm{Z}_{g}$ qui coupent $\mathrm{A}^{\epsilon}$ (donc aussi $\mathrm{B}_{q_{0}}^{\epsilon}\cap\pi_{q_{0}}^{-1}(h_{0})$ en vertu de ce qui pr\'{e}c\`{e}de) et $m_{1}, \ldots, m_{r}$ les multiplicitis respec- tives de $g$ sur ces composantes, chaque point de $\mathrm{Y}_{j}\cap \mathrm{B}_{q_{0}}^{\epsilon}\cap\pi_{q_{0}}^{-1}(h_{0})$, $1\leq j\leq r$ , contribue pour au moins $m_{j}$ z\'{e}ros. II vient par cons\'{e}quent \begin{center} $\nu_{\mathrm{A}^{\epsilon}}(g)=m_{1}+\ldots+m_{r}\leq m$. \end{center} La preuve est complete. {\it Remarque 1}. --Continuite' de $\nu_{\mathrm{K}}$ II est facile de voir que $\nu_{\mathrm{K}}$ est continue en $f$ sous les hypo- theses : (9) toute composante de $\mathrm{Z}_{f}$ qui coupe $\mathrm{K}$, coupe \'{e}galement $\mathrm{K}\circ$ ; (10) $\mathrm{Z}_{f}\cap \mathrm{K}$ ne comporte que des points ou le germe de $\mathrm{Z}_{f}$ est irreductible, et en lesquels $f$ a la multiplicite' 1. Lorsque $\Omega$ est une vari\'{e}t\'{e} de Stein de dimension $n\geq 2$, la condition (10) est necessaire pour que $\nu_{\mathrm{K}}$ soit continue en $f$;dans le cas $n=1$, la condition (9) est en fait necessaire et suffisante. PROPOSITION 2. -- {\it Soient} $\Omega, \mathrm{K}$ {\it et} $f$ {\it comme dans la proposition} {\it 1}, $f$ {\it etant non nulle, et} $\mathrm{X}_{1}=\overline{\mathrm{X}}_{1}^{\prime}, \ldots, \mathrm{X}_{k}=\overline{\mathrm{X}}_{k}^{\prime}$ {\it les composantes} {\it irreductibles de} $\mathrm{Z}_{f}$ {\it qui rencontrent} K. {\it Alors, pour tout ouvert} $\omega$ {\it de} $\Omega$ {\it qui rencontre chaque} $\mathrm{X}_{j}$, {\it les composantes irreductibles} {\it de} $\mathrm{Z}_{g}$ {\it qui coupent} $\mathrm{K}$, {\it rencontrent} $\omega$ {\it d\'{e}s que} $g$ {\it est suffisamment} {\it voisine de} $f$. {\it Demonstration}. -- On revient aux consid\'{e}rations precedentes, en supposant dans ce qui suit que $g$ est prise suffisamment proche de $f$. Alors toute composante $\mathrm{Y}$ de $\mathrm{Z}_{g}$ telle que $\mathrm{Y}\cap \mathrm{K}\neq\Phi$ rencontre $\mathrm{L}=\mathrm{L}_{j}$ pour $j=1$ ou 2, . . . ou $k$. On choisit ensuitr les $\mathrm{U}_{q}$ de sorte que $\displaystyle \omega\cap\bigcup_{q}\pi_{q}(\mathrm{U}_{q})\neq\Phi$ , ce qui est toujours pos- sible puisque $\mathrm{X}^{\prime}$ est connexe. On prend enfin $ h_{0}\in\omega$, et $\epsilon$ assez petit pour que $h_{0}$ appartienne a un certain pave' $\mathrm{B}_{q_{0}}^{\epsilon}$, uffi $\pi_{q_{0}}^{-1}(h_{0})\cap \mathrm{B}_{q_{0}}^{\epsilon}\subset\omega$ . \begin{center} 3. D\'{e}monstration du theoreme. \end{center} Soit $\mathrm{E}$ l'espace de Frechet des fonctions entieres $g$ telles que les semi-normes \vspace{1em} CONSTRUCTION D'HYPERSURFACES IRREDUCTIBLES 225 (11) $p_{j}(g)=\displaystyle \sup_{z\in \mathrm{C}^{n}}|g(z)|e-\frac{1}{j}\varphi({\rm Log}|z|), j=1,\ )$, . . . soient finies. Notons $\mathrm{B}_{p}$ la boule fermee de centre 0 et de rayon $p,\ (\mathrm{K}_{p})_{p\in \mathrm{N}}$ une suite exhaustive de compacts de $\mathrm{C}^{n}\backslash \mathrm{S}$, et $\mathrm{U}_{p}$ (resp. $\mathrm{V}_{p}$) l'ensemble de A-uplets $g=(g_{1}, \ldots,g_{k})\in \mathrm{E}^{k}$ tels que, si $\displaystyle \mathrm{F}=\sum_{j=1}^{k}f_{j}g_{j}$, tous les points de $\mathrm{Z}_{\mathrm{F}}\cap \mathrm{K}_{p}$ soient reguliers pour $\mathrm{F}$ (resp. $\nu_{\mathrm{B}_{p}}(\mathrm{F})\leq 1$, c'est-\`{a}-dire qu'une composante irreductible au plus de $\mathrm{Z}_{\mathrm{F}}$ rencontre $\mathrm{B}_{p}$, composante sur laquelle $\mathrm{F}$ a la mul- tiplicite 1). D'apres la proposition 1, $\mathrm{V}_{p}$ est ouvert, et il en est de meme trivialement pour $\mathrm{U}_{p}$. Si l'on montre que $\mathrm{U}_{p}$ et $\mathrm{V}_{p}$ sont denses dams $\mathrm{E}^{k}$, le theoreme de Baiue entrainera que $\displaystyle \bigcap_{p\in \mathrm{N}}(\mathrm{U}_{p}\cap \mathrm{V}_{p})$ est dense d'ott la conclusion. {\it Densite de} $\mathrm{U}_{p}$ II suffit de pouuver que l'ensemble ferme des $a=(a_{1}, \ldots, a_{k})\in \mathrm{C}^{k}$ tels que $(g_{1}+a_{1}, . . . , g_{k}+a_{k})$ n'appartienne pas a $\mathrm{U}_{p}$ est negli- geable, et pour cela, que l'ensemble des $a$ tels que la fonction \[ \mathrm{F}_{a}=\sum_{j=1}^{k}f_{j}(g_{j}+a_{j}) \] ait un point critique sur $\mathrm{Z}_{\mathrm{F}_{q}}\backslash \mathrm{Z}_{f_{j}}$ , est negligeable quel que soit $i,\ 1\leq j\leq k$ : en effet $\displaystyle \mathrm{Z}_{f_{\mathcal{O}}}\cap \mathrm{K}_{p}(^{-}-\bigcup_{11$, sont deux \`{a} deux dis- tincts, et non contenus dans $\mathrm{Y}\cup \mathrm{Z}_{\mathrm{F}_{2}}$ . Pour chaque $j>1$, on selectionne un point $x_{j}\in \mathrm{H}_{1}\cap \mathrm{H}_{j}$ tel que (16) $x_{j}\displaystyle \not\in \mathrm{Y}\cup \mathrm{Z}_{\mathrm{F}_{2}}\cup\bigcup_{1\rangle$ entre elles les composantes $\mathrm{Y}_{1}, \ldots, \mathrm{Y}_{r}$ , et qu'en deformant un peu l'ensemble $\mathrm{Y}_{1}$ U. . . $\cup \mathrm{Y}_{r}\cup \mathrm{H}_{1}$ U. . . $\cup \mathrm{H}_{r}$ on obtiendra une hypersurface ir- reductible. On pose quel que soit $\epsilon\in \mathrm{C}$ \begin{center} $\displaystyle \mathrm{G}_{\epsilon}=\frac{1}{2}(\mathrm{F}_{1}+\alpha \mathrm{F}_{2})\prod_{j=1}^{r} (1-\displaystyle \frac{\langle z,u_{j}\rangle}{\langle z_{j},u_{j}})\rangle+\epsilon \mathrm{F}_{2}$, \end{center} et on examine l'allure de $\mathrm{Z}_{\mathrm{G}_{\epsilon}}$ au voisinage des points $z_{j}, 1\leq j\leq r$, et $x_{j},\ 11$, on peut gr\^{a}ce a (16) trouver des coordonnees locales $(w_{1}$ , . . . , $w_{n})$ telles que \begin{center} ' $w_{1}=\displaystyle \frac{1}{2}\frac{\mathrm{F}_{1}+\alpha \mathrm{F}}{\mathrm{F}_{2}}2\prod_{11$) un voisinage ouvert de $z_{j}$ (resp. $x_{j}$), tel que les coordonnees $(w_{1}, \ldots, w_{n})$ realisent un isomorphisme de $\omega_{z_{j}}$ (resp. $\omega_{x_{j}}$) sur le polydisque $\mathrm{P}_{6}=\{w\in \mathrm{C}^{n} ;|w_{j}|<\delta, 1\leq j\leq n\}$ de $\mathrm{C}^{n}$ Dans les ouverts $\omega_{z_{j}}$ et $\omega_{x_{j}},\ \mathrm{Z}_{\mathrm{G}_{\epsilon}}$ admet l'equatite $w_{1}w_{2}+\epsilon=0$, donc pour $0<|\epsilon|<\delta^{2}, \mathrm{Z}_{\mathrm{G}_{\epsilon}}\cap\omega_{z_{j}}$ et $\mathrm{Z}_{\mathrm{G}_{\epsilon}}\cap\omega_{x_{j}}$ sont irreductibles. Par ailleurs $\mathrm{Z}_{\mathrm{G}_{0}}$ admet l'equation $w_{1}w_{2}=0$, o\`{u} $w_{1}=0$ represente l'hyperplan $\mathrm{H}_{j}$, et $w_{2}=0$ l'hypersurface $\mathrm{Y}$ (dans $\omega_{z_{j}}$), ou l'hyperplan $\mathrm{H}_{1}$ (dans $\omega_{x_{j}}$ ) . On peut donc choisir des compacts $\mathrm{L}_{j}$ de $\omega_{z_{j}}$ et $\mathrm{M}_{j}$ de $\omega_{x_{j}}, j>1$ , tels que \begin{center} $\mathrm{Z}_{\mathrm{G}_{0}}\cap \mathrm{L}_{j}=\mathrm{H}_{j}\cap \mathrm{L}_{j}$ et $\mathrm{H}_{j}\cap \mathrm{L}_{j}\circ\neq\Phi$, $\mathrm{Z}_{\mathrm{G}_{0}}\cap \mathrm{M}_{j}=\mathrm{H}_{1}\cap \mathrm{M}_{j}$ et $\mathrm{H}_{1}\cap \mathrm{M}_{j}\neq\Phi 0$, \end{center} et il est clair que l'hyperbole $w_{1}w_{2}+\epsilon=0$ rencontre $\mathrm{L}_{j}$, ou $\mathrm{M}_{j}$ selon le cas, d\`{e}s que $\epsilon$ est assez petit. On applique maintenant trois fois consecutives la proposition 2 avec $\Omega=\mathrm{C}^{n}, f=\mathrm{G}_{0}, g=\mathrm{G}_{\epsilon}$, ou $\mathrm{K},\ \{\mathrm{X}_{1}, \ldots, \mathrm{X}_{k}\}$ et $\omega$ sont remplaces par \begin{center} $\mathrm{B}_{p}, \displaystyle \{\mathrm{Y}_{1}, \ldots, \mathrm{Y}_{r}\},\bigcup_{1\leq j\leq r}\omega_{z_{j}}$ ; $\mathrm{L}_{j}$ , $\{\mathrm{H}_{j}\}$ , $\omega_{x_{j}}$ pour $j>1$ ; $\mathrm{M}_{j}$ , $\{\mathrm{H}_{1}\}$ , $\omega_{z_{1}}$ pour $j>1$ . \end{center} Si $\epsilon\neq 0$ est assez petit, et si $\mathrm{T}$ est une composante irreductible de $\mathrm{Z}_{\mathrm{G}_{\epsilon}}$ qui rencontre $\mathrm{B}_{p}$ , on obtiendra successivement les conse- quences (17), (18), (19) ci-dessous : \vspace{1em} 228 J.P. DEMAILLY (17) $\mathrm{T}$ rencontre $1\displaystyle \leq j1$ ; alors \begin{center} $\mathrm{T}\cap \mathrm{L}_{j}=\{w_{1}w_{2}+\epsilon=0\}\cap \mathrm{L}_{j}\neq\Phi$ ; \end{center} (18) $\mathrm{T}\cap\omega_{x_{j}}$ +\$, donc $\mathrm{T}\cap \mathrm{M}_{j}=\{w_{1}w_{2}+\epsilon\}\cap \mathrm{M}_{j}\neq\Phi$ ; (19) $\mathrm{T}\cap\omega_{z_{1}}\neq\Phi$. Dans tous les cas, on voit que $\mathrm{T}\cap\omega_{z1}\neq\Phi$ ; comme $\mathrm{Z}_{\mathrm{G}_{\epsilon}}\cap\omega_{z1}=\{w_{1}w_{2}+\epsilon=0\}\cap\omega_{z1}$ est irreductible et que $\mathrm{G}_{\epsilon}=(w_{1}w_{2}+\epsilon)\mathrm{F}_{2}y$ a la multiplicite' 1, $\mathrm{Z}_{\mathrm{G}_{\epsilon}}$ possede au plus une composante $\mathrm{T}$ rencontrant $\mathrm{B}_{p}$, sur laquelle $\mathrm{G}_{\epsilon}$ a necessai- rement la multiplicite' 1; par d\'{e}finition $\mathrm{G}_{\epsilon}$ appartient \`{a} $\mathrm{V}_{p}$. Ecrivons maintenant $\displaystyle \mathrm{G}_{\epsilon}=\sum_{j^{=}1}^{k}f_{j}g_{j,\epsilon}$ avec \begin{center} $g_{j,\epsilon}=\displaystyle \frac{1}{2} ((g_{j} \displaystyle \& a_{j}^{1})+\alpha(g_{j}+a_{j}^{2}))\prod_{s=1}^{k} (1-\displaystyle \frac{\langle z,u_{s}\rangle}{\langle z_{s},u_{s}\rangle})+\epsilon(g_{j}+a_{j}^{2})$ ; \end{center} on fait tendre $a^{1}$ et $a^{2}$ vers 0, $\alpha$ vers 1 , $z_{s}$ vers $\infty$, et $\epsilon$ vers 0. II resulte de (1) et de la d\'{e}flnition de $\mathrm{E}$ (cf. (11)) que dans $\mathrm{E}$ la multiplication par un polyn\^{o}me est continue. On verifie enfin, en utilisant la relation (12) $|u_{s}-z_{s}|\leq 1$, que $g_{j,\epsilon}$ tend vers $g_{j}$, d'oi la densite' de $\mathrm{V}_{p}$ . {\it Remarque 2}. -- La d\'{e}monstration r\'{e}v\`{e}le en fait que les A-uplets de fonctions $(g_{1}$, . . . , $g_{k})\in \mathrm{E}^{k}$ satisfaisant aux conclusions (2) et (3) du theoreme constituent un $\mathrm{G}_{\delta}$ dense dams $\mathrm{E}^{k}$ Le quatrieme paragraphe est consacre \`{a} l'application du theo- reme au contre-exemple annonce dans l'introduction. \begin{center} 4. Exemple de courbe irreductible d'ordre 0 ayant un lieu singulier d'ordre infini. \end{center} Rappelons d'abord bri\`{e}vement l'exemple de Cornalba-Shiffman [1]. On choisit une suite de nombres complexes distincts non nuls, $a_{n}$, tendant tris vite vers $\infty$, et on pose \vspace{1em} CONSTRUCTION D'HYPERSURFACES IRREDUCTIBLES 229 \begin{center} $f_{1}(z_{1})=\displaystyle \frac{1}{2}\prod_{n=0}^{\infty}(1-\frac{z_{1}}{a_{n}}), h_{n}(z_{1})=\displaystyle \frac{f_{1}(z}{1-\frac{1Z_{1})}{a_{n}}}$ ; \end{center} on d\'{e}termine ensuite, etant donne une suite quelconque $(k_{n})$ d'entiers, une suite $(\epsilon_{n})$ de complexes non nuls, tels qu'en definissant le poly- n\^{o}me $\mathrm{P}_{k}$ par \begin{center} $\displaystyle \mathrm{P}_{k}(z_{2})=\prod_{j=1}^{k}\left(\begin{array}{ll} & 1\\ & --\\ z_{2} & j \end{array}\right)$, \end{center} la serie $f_{2}(z_{1}, z_{2})=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\epsilon_{n}h_{n}(z_{1})\mathrm{P}_{k_{n}}(z_{2})$ soit convergente. L'en- semble analytique \[ \mathrm{S}=\{(z_{1}, z_{2})\in \mathrm{C}^{2} ; f_{1}(z_{1})=f_{2}(z_{1}, z_{2})=0\} \] est l'ensemble des points de coordonnees \begin{center} $z_{1}=a_{n}, n\in \mathrm{N}, z_{2}\in\{1, \displaystyle \frac{1}{2}, \displaystyle \ldots,\frac{1}{k_{n}}\}$. \end{center} La croissance de $f_{1}$ est aussi lente qu'on veut, pourvu que la suite $(a_{n})$ tende vers $\infty$ assez vite ;on choisit alors $k_{n}$ tris grand et $\epsilon_{n}$ tr\`{e}s petit de sorte que $f_{2}$ soit \`{a} croissance lente et $\mathrm{S}$ a crois- sance tr\`{e}s rapide. De faqon pr\'{e}cise, on obtient la PROPOSITION 3 (Cornalba-Shiffman [1]). - {\it Pour toute fonc}- {\it tion croissan} $te$ {\it positive} $\varphi$ {\it v\'{e}rifian} $t$ ({\it 1}), {\it et} $toute$ {\it fonction} $\psi$ : $\mathrm{R}\rightarrow[0, +\infty$[ {\it croissante, on peut trouver} $f_{1}$ {\it et} $f_{2}$ {\it telles que} \begin{center} ${\rm Log}|f_{1}(z_{1})|\leq\varphi({\rm Log}|z_{1}|)$, ${\rm Log}|f_{2}(z_{1}, z_{2})|\leq\varphi({\rm Log}|z|)$, \end{center} {\it et Card} $\{w\in \mathrm{S} ; |w|\leq r\}\geq\psi(r)$, {\it quels que soient} $z=(z_{1}, z_{2})\in \mathrm{C}^{2}$ et $r\geq 0$. On remarquera que par construction, le jacobien de $(f_{1}, f_{2})$ est non nul aux points de S. D'apres le th\'{e}or\`{e}me, on peut fonctio des fonctions $g_{1}$ et $g_{2}$ telles que $f=f_{1}^{p_{1}}g_{1}+f_{2}^{p_{2}}g_{2}$ soit irre- ductible (ou $2\leq p_{1}\leq p_{2}$), telles que $\mathrm{S}$ soit l'ensemble des points singuliers de $\mathrm{Z}_{f}$, et telles que \begin{center} ${\rm Log}(|g_{1}(z)|+|g_{2}(z)|)\leq\varphi({\rm Log}|z|)$. \end{center}\begin{flushright} '` \vspace{1em} \end{flushright} 230 J.P. DEMAILLY La remarque 2 montre qu'on peut meme imposer $g_{1}\neq 0$, $g_{2}\neq 0$ aux points de S. Il vient ${\rm Log}|f(z)|\leq(1+p_{2})\varphi({\rm Log}|z|)$, et $\mathrm{Z}_{f}$ admet en tout point de $\mathrm{S}$ l'\'{e}quation locale \begin{center} (20) $w_{1}^{p_{1}}+w_{2}^{p_{2}}=0$ \end{center} ( les coordonnees $w_{1}=f_{1}g\displaystyle \frac{1}{p_{1},1},\ w_{2}=f_{2}g_{2}\displaystyle \frac{1}{p_{2}}$), equation irre- ductible ou non suivant que les entiers $p_{1}, p_{2}$ soot premiers entre eux ou non. On voit en particulier que la courbe irreductible $\mathrm{Z}_{f}$ d'ordre 0 peut avoir tous ses points singuliers multiples. Quitte a remplacer $\varphi$ par $\displaystyle \frac{\varphi}{1+p_{2}}$, on obtient la PROPOSITION 4. -- {\it Si} $\varphi$, ? {\it sont les poids de la proposition 3}, {\it il existe une fonction entiere irreductible f dans} $\mathrm{C}^{2}$ {\it telle que} (21) ${\rm Log}|f(z)|\leq\varphi({\rm Log}|z|)$, (22) {\it l}'{\it ensemble} S {\it des points singuliers de} $\mathrm{Z}_{f}$ {\it v\'{e}rifie la mino}- {\it ration} Card \{{\it z} $\in \mathrm{S} $; $|z|\leq r\}\geq\psi$({\it r}), (23) $\mathrm{Z}_{f}$ {\it a au voisinage des points singuliers l}'{\it \'{e}quation} ({\it 20}) \begin{center} $w_{1}^{p_{1}}+w_{2}^{p_{2}}=0$. \end{center} {\it Remarque 3}. -- Des modifications \'{e}videntes dans la construc- tion de $f_{1}$ et $f_{2}$ permettraient de faire warier $(P, {}_{1}P_{2})$ a volonte. \begin{center} 5. Applications a $1' \mathrm{analy}$ harmonique. \end{center} $\Phi(\mathrm{R}^{n})$ (resp. @$(\mathrm{R}^{n})$) designera comme $\mathrm{d}$ 'habitude l'alg\`{e}bre de convolution des fonctions indefiniment differentiables (resp. des distributions) a support compact. A toute distribution $u\in@^{\prime} (\mathrm{R}^{n})$ , on associe sa transformee de Fourier-Laplace {\it \^{u}}\in{\it H}({\it C} ) definie par {\it \^{u}} $(z)=u_{x}(e^{-i\langle x,z\rangle})$. La classe des transformees de Fourier-Laplace des elements de $\Phi(\mathrm{R}^{n})$ et de $@^{\prime}(\mathrm{R}^{n})$ est caract\'{e}ris\'{e}e par le theoreme bien connu de Paley-Wiener : {\it Une fonction entiere} $f$ {\it est transformie de Fourier-Laplace} {\it d}'{\it une fonction de} $\omega(\mathrm{R}^{n})$ ({\it resp. d}'{\it une distribution de} @$(\mathrm{R}^{n})$) {\it \`{a}} \vspace{1em} CONSTRUCTION D'HYPERSURFACES IRREDUCTIBLES 231 {\it support dans la boule fermee de centre} 0 {\it et de rayon} A {\it si et seu}- {\it lement si pour tout entier} $\mathrm{N}\geq 0$, {\it il existe une constante} $\mathrm{C}_{\mathrm{N}}$ {\it telle} {\it que} (24) $|f(z)|\leq \mathrm{C}_{\mathrm{N}}(1+|z|)^{-\mathrm{N}}\exp$ (A $|\mathrm{I}mz|$), {\it respectivement, s}'{\it il existe un entier} $\mathrm{N}$ {\it et une constante} $\mathrm{C}$ {\it tels que} (25) $|f(z)|\leq \mathrm{C}(1+|z|)^{\mathrm{N}}\exp$ (A $|\mathrm{I}mz|$). Le theoreme du \S 1 admet dans ce contexte la traduction partielle suivante. PROPOSITION 5. --{\it Soient} $u_{1}, \ldots, u_{k}$ {\it des distributions \`{a} support} {\it compact dans} $\mathrm{R}^{n}$ ({\it o\`{u}} $n\geq 2$), {\it telles que les transformees de Laplsui} $\hat{u}_{1}$, . . . , $\hat{u}_{k}$ {\it aient un ensemble de zeros communs de codimension} a2 {\it en tout point. Alors il existe des fonctions} $v_{1}, \ldots, v_{k}$ {\it dans} $\Phi(\mathrm{R}^{n})$ {\it telles que la fonction} $\displaystyle \mathrm{V}=\sum_{j=1}^{k}u_{j}*v_{j}$ {\it soit irriductible dans} {\it l}'{\it anneau} $8^{\prime}(\mathrm{R}^{n})$. {\it Pour tout compact} $\mathrm{K}_{j}$ {\it de} $\mathrm{R}^{n}$ {\it d}'{\it intirieur non vide}, $1\leq j\leq k$, {\it l}'{\it ensemble des solutions} $(v_{1}, \ldots, v_{k})\in\omega(\mathrm{K}_{1})\times\ldots \mathrm{x}\Phi(\mathrm{K}_{k})$, {\it o\`{u}} $v_{j}$ {\it est \`{a} support dans} $\mathrm{K}_{j}$ , {\it est de seconde categorie}. Comme les seuls elements inversibles de @$(\mathrm{R}^{n})$ sont les mesures de Dirac $\delta_{a},\ a\in \mathrm{R}^{n}$, et leurs multiples scalaires, lesquels n'appar- tiennent pas \`{a} $\Phi(\mathrm{R}^{n})$, on retrouve le COROLLAIRE 2 (Rubel -- Squires -- Taylor [3] pour $n\geq 3$, Dixmier -- Malliavin [2] pour $n=2$). $-\Phi(\mathrm{R}^{n})*\omega(\mathrm{R}^{n})\neq\Phi(\mathrm{R}^{n})$ {\it pour} $n\geq 2$ . {\it Demonstration de la proposition 5}. -- Soient $w_{1}, \ldots, w_{k}$ des fonctions non nulles de (I)(B), ou $\mathrm{B}$ est la boule de centre 0 et de rayon A. On peut supposer que (26) les fonctions $\hat{u}_{1}\hat{w}_{1}, \ldots,\hat{u}_{k}\hat{w}_{k}$ ont un ensemble de zeros \begin{center} communs de codimension a2 en tout point. \end{center} Si (26) n'est pas vrai, on remplace $w_{j}$ par \begin{center} $w_{j}^{\prime}(x)=w_{j}(x)\exp(\mathrm{i}\langle a_{j}, x\rangle), a_{j}\in \mathrm{C}^{n}$, \end{center} de sorte que $\hat{w}_{j}^{\prime}(z)=\hat{w}_{j}(z-a_{j})$. L'hypoth\`{e}se (26) relative aux fonctions $w_{j}^{\prime}$ signifie que pour tout $j\neq s$ on a \vspace{1em} 232 J.P. DEMAILLY \begin{center} $(26^{\prime})\mathrm{co}\dim(a_{j}+\mathrm{Z}_{\hat{w}_{j}})\cap \mathrm{Z}_{\hat{u}_{S}}=\mathrm{c}\mathrm{o}\dim(a_{j}+\mathrm{Z}_{\hat{w}_{j}})\cap(a_{s}+\mathrm{Z}_{\hat{w}_{S}})=2$. \end{center} Choisissons sur chaque composante irreductible de $\mathrm{Z}_{\hat{w}_{j}}$ un point $q_{j,p}$ (o\`{u} $p\in \mathrm{N}$). II est clair que $(26^{\prime})$ est r\'{e}alis\'{e} d\`{e}s que $(a_{1}$, . . . , $a_{k})$ est en dehors de la r\'{e}union (d\'{e}nombrable) des en- sembles analytiques dans $(\mathrm{C}^{n})^{k}$ definis par l'une des conditions \begin{center} $a_{j}+q_{j,p}\in \mathrm{Z}_{\hat{u}_{S}}$ , $a_{j}-a_{s}+q_{j,p}\in \mathrm{Z}_{\hat{w}_{S}}$ , $j\neq s, p\in \mathrm{N}$. \end{center} Par cons\'{e}quent $(26^{\prime})$ est vrai pour un ensemble dense de $(a_{1}, \ldots, a_{k})\in(\mathrm{C}^{n})^{k}$ D'apres (24), il existe pour tout entier $\mathrm{N}$ une constante $\mathrm{C}_{\mathrm{N}}$ telle que (en revenant a la notation $w_{j}$) \begin{center} (27) $|\hat{w}_{j}(z)|\leq \mathrm{C}_{\mathrm{N}}(1+|z|)^{-\mathrm{N}}\exp$ (A $|\mathrm{I}mz|$), $j=1, \ldots, k$. \end{center} On peut naturellement supposer en outre que $\displaystyle \lim_{\mathrm{N}\rightarrow+\infty}\frac{{\rm Log} \mathrm{C}_{\mathrm{N}}}{\mathrm{N}}=+\infty$, ce qui permet de definir une application croissante positive $\varphi$ ; $\mathrm{R}\rightarrow \mathrm{R}$ par (28) $\displaystyle \varphi(t)=\frac{1}{2}\mathrm{N}\in \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{R}(\mathrm{N}t-{\rm Log}\frac{\mathrm{C}_{\mathrm{N}}}{\mathrm{C}_{0}})$. On a $\displaystyle \lim_{\rightarrow t+}\inf_{\infty} \displaystyle \frac{\varphi(t)}{t}\geq\sup_{\mathrm{N}\in \mathrm{N}}\frac{\mathrm{N}}{2}=+\infty$ donc la condition (1) est satisfaite. D'apres le theoreme du fi 1, il existe des fonctions entieres $g_{1}$, . . . , $g_{k}$ telles que la fonction $\displaystyle \mathrm{F}=\sum_{j=1}^{k}\hat{u}_{j}\hat{w}_{j}g_{j}$ soit irr\'{e}ductible, et qui satisfont a la majoration (29) ${\rm Log}|g_{j}(z)|\leq\varphi({\rm Log}|z|)$. Il resulte aisement de (27), (28) et (29) que \begin{center} ${\rm Log}|\hat{w}_{j}(z)|\leq{\rm Log} \mathrm{C}_{0}-2\varphi({\rm Log}|z|)+\mathrm{A}|\mathrm{I}mz|$, ${\rm Log}|\hat{w}_{j}(z)g_{j}(z)|\leq{\rm Log} \mathrm{C}_{0}-\varphi({\rm Log}|z|)+$ A $|\mathrm{I}mz|$. \end{center} Le theoreme de Paley-Wiener montre qu'il existe une fonction $v_{j}\in\omega(\mathrm{B})$ telle que $\hat{v}_{j}=\hat{w}_{j}g_{j}$. Si l'on definit $\displaystyle \mathrm{V}=\sum_{j=1}^{k}u_{j}*v_{j}$, alors $\hat{\mathrm{V}}=\mathrm{F}$ est irreductible dams $\mathrm{H}(\mathrm{C}^{n})$, par cons\'{e}quent $\mathrm{V}$ est irreductible dans $\mathrm{g}^{\prime}(\mathrm{R}^{n})$, car les seules fonctions entieres inver- sibles verifiant (25) sont les exponentielles $\lambda\exp (-\mathrm{i} \langle a, z\rangle)$, \vspace{1em} CONSTRUCTION D'HYPERSURFACES IRREDUCTIBLES 233 $a\in \mathrm{R}^{n}$, correspondant par la transformation de Fourier-Laplace aux mesures de Dirac $\lambda\delta_{a}$. Faisons maintenant tendre $a_{j}$ vers 0 dans $\mathrm{C}^{n}$, et $g_{j}$ vers 1, $g_{j}$ satisfaisant de plus a (29) (cf. remarque 2) ; on obtient la densite' des $(v_{1}, \ldots, v_{k})$ dans $\Phi(\mathrm{B})^{k}$ Si $\mathrm{K}_{1}$ , . . . , $\mathrm{K}_{k}$ soot des partien compactes de $\mathrm{R}^{n}, \mathrm{K}_{j}\circ\neq\Phi$, l'ensemble des A-uplets \[ (v_{1}, \ldots, v_{k})\in\omega(\mathrm{K}_{1})\mathrm{x}\ldots\times\omega(\mathrm{K}_{k}) \] tels que la fonction $\displaystyle \mathrm{V}=\sum_{j=1}^{k}u_{j}*v_{j}$ ait une transformee $\hat{\mathrm{V}}$ irreduc- tible dams $\mathrm{H}(\mathrm{C}^{n})$, est un $\mathrm{G}_{\delta}$ (utiliser la proposition 1 et la conti- nuite de la transformation de Laplace). Verifions brievement que ce $\mathrm{G}_{\delta}$ est dense. Pour tout $\epsilon>0$, designons par $(\mathrm{K}_{j})_{\epsilon}$ la partie compacte $\{x\in \mathrm{K}_{j} ; d(x, \beta \mathrm{K}_{j})\geq\epsilon\}\subset \mathrm{K}_{j}\circ$ ; soit $\rho\in\omega(\mathrm{R}^{n})$ osi fonction positive d'integrale 1 a support dams la boule de centre 0 et de rayon $\displaystyle \frac{1}{3}$, et posons $\displaystyle \rho_{j,\epsilon}(x)=\int_{y\in(\mathrm{K}_{j})_{\frac{2\epsilon}{3}}} \displaystyle \rho(\frac{y-x}{\epsilon})\frac{dy}{\epsilon^{n}}$. La fonction $\rho_{j.\epsilon}\in\omega(\mathrm{R}^{n})$ a les propri\'{e}t\'{e}s suivantes : (30) $\rho_{j,\epsilon}=1$ sur $(\mathrm{K}_{j})_{\epsilon}$ , Supp $(\rho_{j,\epsilon})\subset(\mathrm{K}_{j})_{\frac{\epsilon}{3}}$ ; (31 ) pour tout multi-indice $\alpha\in \mathrm{N}^{n}$, il existe une constante $\mathrm{C}_{\alpha}$ independante de $\epsilon$ telle que \[ |\mathrm{D}^{\alpha}\rho_{i,\epsilon}(x)|\leq \mathrm{C}_{\alpha}d(x, \mathrm{C}\mathrm{K}_{j})^{-|\alpha|} \] II resulte facilement de $(30_{\circ})$, (31) qu'etant donne $v_{j}\in\Phi(\mathrm{K}_{j})$ la fonction $v_{j,\epsilon}=v_{j}\rho_{j,\epsilon}\in\omega(\mathrm{K}_{j})$ tend vers $v_{j}$ dans $\omega(\mathrm{K}_{j})$ quand $\epsilon\rightarrow$ Q. On peut comme ci-dessus remplacer $v_{j,\epsilon}$ par une fonc- tion voisine $v_{j,\epsilon}^{\prime}.$ teUe que $\hat{u}_{1}\hat{v}_{1,\epsilon}^{\prime}, \ldots,\hat{u}_{k}\hat{v}_{k,\epsilon}^{\prime}$ aient un ensemble do zeros communs de codirnension $\geq 2$. D'apres ce que nous avons deja d\'{e}montr\'{e}, il existe des approximations $w_{1}$, . . . , $w_{k}$ de $\delta_{0}$ dams $\omega(\mathrm{R}^{n})$ telles que la fonction $\displaystyle \mathrm{V}=\sum_{i=1}^{k}u_{j}*.\ v_{j,\epsilon}^{\prime}*w_{j}$ soit irr\'{e}- ductible. La preuve s'acheve en faisant tendre $v_{j,\epsilon}^{\prime}$ vers $v_{j}$, et $w_{j}$ vers $\delta_{0}$ . {\it Remarque 4}. -- Dans le cas $n=1$, la situation est tout \`{a} fait differente. II est aise de voir, en utilisant la factorisation canonique de Weierstrass-Hadamard des fonctions entieres (24), que tout ele- ment de $\omega(\mathrm{R})$ est {\it reductible} dans 8$(\mathrm{R})$. Par contre, le probleme \vspace{1em} 234 J.P. DEMAILLY de savoir si (7) (R) $*\Phi(\mathrm{R})=\omega(\mathrm{R})$ semble non resolu \`{a} ce jour (cf. [2] , [3] pour plus de d\'{e}tails). {\it Remarque 5}. -- La proposition 5 repose sur le fait que pour toute distribution $\mathrm{V}\in \mathrm{g}^{\prime}(\mathrm{R}^{n})$, l'irreductibilite de $\hat{\mathrm{V}}$ dans $\mathrm{H}(\mathrm{C}^{n})$ entra\^{i}ne l'irreductibilite de $\mathrm{V}$ dans $\mathrm{g}^{\prime}(\mathrm{R}^{n})$. II est naturel de se demander si l'implication reciproque est vraie. La reponse est affir- mative si $n=1$ . negative si $n\geq 2$ . PROPOSITION $6.-Il$ {\it existe une famille} $(\mathrm{V}_{\lambda})_{\lambda\in \mathrm{C}}$, {\it dependant} {\it analytiquement de} $\lambda$, {\it de fonctions irriductibles dans l}'{\it anneau} $@^{\prime}(\mathrm{R}^{n})$, {\it premieres entre elles deux} a {\it deux telles que les transfor}- {\it mees de Laplace} $\hat{\mathrm{V}}_{\lambda}$ {\it aient un facteur commun} $\mathrm{H}\in \mathrm{H}(\mathrm{C}^{n})$ {\it non} {\it inversible. De plus}, (32) {\it la dicomposition en facteurs irriductibles, lorsqu}'{\it elle existe}, {\it n}'{\it est pas unique en geniral dans} @$(\mathrm{R}^{n})$. \begin{center} {\it Demonstration}. -- On considere la fonction d'une variable \[ g(z_{1})=\frac{1}{\Gamma(z_{1})}=z_{1}e^{\mathrm{C}z_{1}}\prod_{s=1}^{\infty}(1+\frac{z_{1}}{s})e^{-\frac{z_{1}}{s}} \] \end{center} II est classique que $g$ est une fonction entiere d'ordre 1 qui n'est pas de tyPe exponentiel, et d'apres la formule de Stirling $g$ poss\`{e}de la majoration (33) $|g(z_{1})|\leq$ Cte . $(\displaystyle \frac{|z_{1}|}{e})^{\frac{1}{2}-\mathrm{R}ez_{1}}e^{\frac{\pi}{2}|\mathrm{I}mz_{1}|}$ On deduit aisement de (33) que pour tout $\lambda\in \mathrm{C}$ la fonction $z_{1}\rightarrow g(z_{1})g(\lambda-z_{1})$ est dans l'espace $\hat{\mathrm{g}^{\prime}(\mathrm{R})}$ des transform\'{e}es de Laplace. Un raisonnement analogue a celui de la proposition 5 fournit, pour toute boule fermee $\mathrm{B}$ de centre 0, des elements $u, u^{\prime}$ de (?) (B) tels que la fonction $\mathrm{H}(z_{1}, $\ldots,$ z_{n})$={\it \^{u}} $(z_{1}, $\ldots,$ z_{n})g(z_{1})$ +{\it \^{u}}' $(z_{1}, $\ldots,$ z_{n})g\left(\begin{array}{l} 1\\ z_{1}+-2 \end{array}\right)$ soit irreductible dans $\mathrm{H}(\mathrm{C}^{n})$. Montrons tout d'abord que H n'est pas de type exponentiel. Fixons $(z_{2}^{0}, $\ldots,$ z_{n}^{0})\in \mathrm{C}^{n-1}$ de maniere \vspace{1em} CONSTRUCTION D'HYPERSURFACES IRREDUCTIBLES 235 que la fonction {\it h} $(z_{1})=\mathrm{H}(z_{1}$ , $z_{2}^{0}$, . . . , $z_{n}^{0})$ ne soit pas identique- ment nulle. De (33) on tire la majoration \begin{center} $|h(z_{1})|\leq$ Cte. $(\displaystyle \frac{|z_{1}|}{e})-\mathrm{R}ez_{1}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}.\ ((\displaystyle \frac{\pi}{2}+\mathrm{A})|\mathrm{I}mz_{1}|)$ \end{center} (o\`{u} A designe le rayon de la boule B) , montrant ainsi que $|h(z_{1})|$ tend vers 0 tr\`{e}s rapidement lorsque $z_{1}$ tend vers $\infty$ dans le sectain angulaire 1 $\mathrm{Arg}z_{1}|\leq\pi/4$ . Si $h$ \'{e}tait de type exponentiel, on en deduirait $,\displaystyle \lim_{\rightarrow+\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{\rm Log}|h(re^{i\theta})|$ de $=-\infty$, ce qui est absurde. II est clair que la fonction entiere \begin{center} $\mathrm{F}_{\lambda}(z_{1}$, . . . , $z_{n})=\mathrm{H}(z_{1}, z_{2}, . . . , z_{n})\mathrm{H}(\lambda-z_{1}, z_{2}, . . . , z_{n})$ \end{center} appartient a $\hat{\omega(\mathrm{R}^{n}}$), que $\mathrm{F}_{\lambda}$ est irreductible dans l'anqueu des fonctions de type exponentiel, mais reductible dans $\mathrm{H}(\mathrm{C}^{n})$. Lcz fonctions $\mathrm{V}_{\lambda}\in\omega(\mathrm{R}^{n})$ definies par $\hat{\mathrm{V}}_{\lambda}=\mathrm{F}_{\lambda}$ repondent a la ques- tion d'apres le lemme ci-dessous, et l'assertion (32) resulte de meon de l'egalite $\mathrm{F}_{0}(z_{1}, $. .$ .)\mathrm{F}_{0}(z_{1}+\lambda, $. .$ .)=\mathrm{F}_{-\lambda}(z_{1}, $. .$ .)\mathrm{F}_{\lambda}(z_{1}+\lambda, $\ldots) \begin{center} $=\mathrm{H}(z_{1}, $. . .) $\mathrm{H}(-z_{1}, $. . .) $\mathrm{H}(z_{1}+\lambda, $. . .) $\mathrm{H}(-\lambda-z_{1}, $. . .). \end{center} LEMME. --{\it L}'{\it hypersurface irriductible} $\mathrm{Z}_{\mathrm{H}}=\{z\in \mathrm{C}^{n} ;\mathrm{H}(z)=0\}$ $n$ '{\it est invariante par aucune transformation} $ z_{1}\mapsto\lambda$ --$z_{1}$, {\it ou} $z_{1}\mapsto z_{1}+\lambda, \lambda\neq 0$, {\it portant sur la premiere variable}. {\it Demonstration}. -- L'invariance de $\mathrm{Z}_{\mathrm{H}}$ equivaut \`{a} l'existence d'une fonction $\mathrm{P}\in \mathrm{H}(\mathrm{C}^{n})$ telle que \begin{center} $\mathrm{H}(\epsilon z_{1}+\lambda, z_{2}, \ldots, z_{n})=e^{\mathrm{P}(z_{1}}$' . . . , $z_{n}$) $\mathrm{H}(z_{1}, \ldots, z_{n}), \epsilon=\pm 1$. \end{center} La fonction $e^{\mathrm{P}}$ est d'ordre 1, comme quotient de fonctions d'ordre 1 par cons\'{e}quent $\mathrm{P}$ est un polyn\^{o}me de degre $\leq 1$ . Si $\epsilon=-1$, on obtient \begin{center} $\mathrm{H}(z)^{2}=\mathrm{H}(z)\mathrm{H}(\lambda-z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n})e^{-\mathrm{P}(z)}=\mathrm{F}_{\lambda}(z)e^{-\mathrm{P}(z)}$, \end{center} donc $\mathrm{H}$ serait une fonction de type exponentiel, contrairement a ce que nous savons d\'{e}j\`{a}. Supposons desormais $\epsilon=1,\ \lambda\neq 0$, et considerons une fonction partielle $h(z_{1})=\mathrm{H}(z_{1}, z_{2}^{0}, \ldots, z_{n}^{0})$ non nulle. Par hypothese, $h$ est une fonction entiere d'ordre 1, dont \vspace{1em} 236 J.P. DEMAILLY le diviseur $\mathrm{div}(h)$ est une somme de classes modulo $\lambda \mathrm{Z}$; comme la fonction $z_{1}\rightarrow h(z_{1})h(-z_{1})$ est de tyPe exponentiel, le nombre $\mathrm{N}$ de ces classes est necessairement fini (examiner la croissance Ss nombre de z\'{e}ros), et $h$ est de la forme \[ h(z_{1})=e^{az_{1}+b}\prod_{s=1}^{\mathrm{N}}\sin\frac{\pi}{\lambda}(z_{1}-c_{s}) \] avec des constantes complexes $a, b, c_{s}$ ; $h$ serait donc encore de type exponentiel :contradiction. \begin{center} BIBLIOGRAPHIE \end{center} [1] M. CORNALBA, B. SHIFFMAN, A counterexample to the ``trans- cendental Bezout problem'', {\it Ann. of Math}. (2) 96 (1972), 402- 406. [2] J. DIXMIER, P. MALLIAVIN, Factorisations de fonctions et de vec- teurs indefiniment differentiables, {\it Bull. des Sc. Math}., tome 102, fasc. n${}^{\text{o}}$4 (1978), 305-330. [3] L.A. RUBEL, W.A. SQUIRES, B.A. TAYLOR, Irreducibility of certain entire functions with applications to harmonic analysis, {\it Annals} {\it ofMath}., vol. 108, n${}^{\text{o}}$3 (1978), 553-567. \begin{flushright} Manuscrit requ le 12 fevrier 1980. Jean-Pierre DEMAILLY, $\mathrm{L}.\mathrm{A}$. au C.N.R.S. n${}^{\text{o}}$213 Analyse Complexe et Geometrie Universite' de Paris VI 4 place Jussieu 75230 Paris Cedex 05. \vspace{1em} \end{flushright}\end{document}