Séminaire   P.LELONG,H.SKODA
(Analyse)
20e et 21e année, 1980-1981.
SCINDAGE H0L0M0RPHE D'UN MORPHISME DE FIBRES VECTORIELS SEMI-POSITIFS AVEC
ESTIMATIONS  L
par J.-P.DEMAILLY
Table des matières.
(21)Introduction et notations.
(22)Rappel sur les différentes notions de positivité.
(23)Estimations a priori et inégalités  L2 .
(24)Calcul de courbure.
(25)Construction de rétractions holomorphes.
(26)Extension des fonctions holomorphes avec contrôle de la croissance.
0. Introduction et notations.
Le présent travail réétudie dans un cas particulier les techniques développées par
H.SKODA [n] , [12] , [13] , [14] , [15] pour l'étude des morphismes surjectifs de fi
bres vectoriels holomorphes semi-positifs. On considère une suite exacte
(1)	0-> S ->E-^Q-^0
de fibres vectoriels holomorphes, de rangs respectifs s,p,q  (avec  s = p-q) , au-dessus d'une variété analytique complexe  X  de dimension n . On dit qu'un morphisme de  Q  dans  E  réalise un scindage holomorphe de la suite exacte (1) si
g o h  =  Id  , de sorte qu'on a alors la décomposition
E  =  S  © h(Q) .
Plus généralement, étant donné un fibre linéaire  M  sur  X , et une section  f  du fibre  Hom(Q, Q ® M)  , on recherche s'il existe une section  h  du fibre  Hom(Q, E ®  M) t elie qu e
g o h =  f . Pour obtenir de tels résultats, nous serons amenés à faire des hypothèses de convexité sur la variété X , et de positivité sur les fibres  E  et  M . Nous supposerons, comme H.SKODA [13] , [14] , [15] , que X  est une variété kahlérienne., munie d'une métrique
-2-de Kahler w non nécessairement complète, et que X  est faiblement pseudoconvexe ,
2 c'est-à-dire qu!il existe sur  X une fonction de classe  C  , plurisousharmonique
et exhaustive . Les variétés compactes, les variétés de Stein, l'espace total d'un
fibre holomorphe semi-négatif an sens de Griffiths au-dessus d'une variété compacte ,
sont faiblement pseudoconvexes. On suppose de plus que les fibres  E , M  sont munis
de métriques hermitiennes, et que les fibres  S , Q ,  Hom(Q, Q<S>M) , Hom(Q, E®M)
sont munis des métriques naturelles déduites de celles de  E  et M .
Les hypothèses de positivité sont les suivantes (voir le paragraphe 1  pour les définitions concernant la courbure et la positivité) : le fibre  E  est semi-positif au sens de Griffiths, et il existe un réel  k>Inf(n,q) + inf(n,s)  tel que l'une des conditions (2) ou (3) soit réalisée :
(27)ic(M) - ik c(dét Q)  -  ic(dét E) + i Ricci(w) ^  0 ;
(28)le rang  s  de  S  est égal à 1 , ou bien  E  est semi-positif au sens de Nakano et on a
ic(M)  -  ikc(dét Q)  +  i Ricci(w) > 0 .
2	n
On a alors un théorème d'existence avec estimations L  précises (on a noté  dV = -=-
n!
l'élément de volume canonique sur  X ).
THEOREME 1. - Pour toute section globale  f  de  Hom(Q, Q <2> M)  telle que le second membre de (5) soit fini, il existe une section globale  h de Hom(Q, E ® M)  telle que (4)    g o h  =  f ,
avec  C
Ihl2 dV < C
X
k - Inf(n,q)
k-Inf(n,s)-Inf(n,q)
En pratique, le théorème 1 s'appliquera surtout au cas où la variété  X est de Stein car les conditions de positivité et la convergence globale des intégrales semblent supposer l'existence de fonctions d'exhaustion strictement plurisousharmoniques (du moins lorsqu'on cherche à construire des scindages holomorphes).
La -démonstration repose sur l'inégalité de Kodaira-Nakano, et sur le lien qui existe entre les formes de courbure des fibres Q, S  et l'obstruction au scindage holomorphe
de la suite exacte (1). Les calculs sont directement inspirés de [14] , mais utilisent de plus une relation entre les notions de positivité de P.A.GRIFFITHS et de S.NAKANO, récemment publiée par l'auteur dans [3] en collaboration avec H.SKODA , et dans [2],
Etant donné une sous-variété  X de dimension n  de  Cp , le théorème 1 s'applique en particulier à la suite exacte
0 -v TX -> T¼P I  -^ NX -> 0
A
qui définit le fibre normal  NX de  X . Cette idée , déjà utilisée par C.A.BERENSTEIN et B.A.TAYLOR  LU s nous permet de montrer l'existence d'un voisinage tubulaire  U se rétractant holomorphiquement sur  X , et d'estimer la taille de  U . En appliquant des - techniques analogues à celles de B.JENNANE ["9"] t  nous obtenons au dernier paragraphe un théorème d extension des fonctions holomorphes avec contrôle de la croissance
Je tiens à remercier Monsieur Henri SKODA pour ses nombreuses suggestions, qui ont permis d'améliorer la rédaction initiale.
1.  Rappel sur les différentes notions de positivité.
Si E  est un fibre hermitien, on peut définir une connexion canonique D  sur E ,
hermitienne et holomorphe  (cf. A.DOUADY  et  J.-L.VERDIER [4] , P.A.GRIFFITHS [5]) ,
00 qui envoie l'espace C K(X,E)  des formes de type  (a,b)  à valeurs dans E , dans
co	oo
Ca+l,b(X'E> eCa,b+I(X'E) «
La forme de courbure  c(E)  du fibre  E  est alors définie par la propriété suivante :
D2u  =  c(E).u
pour toute section  C   u  de E , de sorte que  ic(E)  est une (1,1)-forme à
valeurs dans le fibre  Herm(E,E)  des endomorphismes hermitiens de  E ; on identifiera
toujours  ic(E)  à la forme hermitienne sur  TX ® E  qui lui est associée canoniquement.
DEFINITION 1. - Soit  0 une forme hermitienne sur un produit tensoriel  T © E d'espaces vectoriels complexes  T  e_t_ E  de dimensions respectives n  et  p . On dira que 0 est semi-positive
(cf. § 4, théorèmes 4 et 5).
(cf. corollaires 2,3,et 4 du théorème 6).
-4-
(29)au sens de GRIFFITHS, si pour tout vecteur décomposable x = t®e£T<8E , on a 0(x,x) > 0 ;
(30)au sens de NAKANO, si pour tout  x G T ® E , on a 0(x,x) :> 0 .
Le fibre vectoriel hermitien E  sur la variété  X  est dit semi-positif au sens de
GRIFFITHS (resp. au sens de NAKANO) si pour tout point  z^ X , la forme hermitienne
ic(E)  sur la fibre  T  X 0    E   est semi-positive dans ce sens.
	  z       z 	E	-
Nous noterons  *}       la semi-positivité de GRIFFITHS, \     celle de NAKANO. Il est
G	N
clair que la semi-positivité de NAKANO entraîne celle de GRIFFITHS. De plus, les deux notions coïncident si n = 1  ou si  p = 1  , et sont reliées en général par le théorème suivant.
THÉORÈME 2     -  Soit  0 >  0  une forme hermitienne sur  T ® E .
	    G       '     '     ii i ii ii	i.	
Si  (e.).  - ^    est une base orthonormée quelconque de  E  (supposé hermitien) on J 1 ?$ J ?$? P
définit  Tr 0 par
	,-   j^   	
P Tr^ 0(t,t)  =   E 0(t © e., t ® e.)
pour  t ^ T . Alors on a
(31)0 +  TrE 0 <S> Idg >N  0 ,
(32)0 <R Inf(n,p) TrE0 * IdE .
Soit  E un fibre vectoriel hermitien sur X , semi-positif (resp. positif) au sens de GRIFFITHS. Alors
0) , 0) ,
(11)  E ® (dét E) Inf(n'P) 4    0  (resp.  <M 0) ,
E*® (dé
t E)Inf(n'P>  > 0  (resp.  >N0) .
REMARQUE 1* Les deux assertions de (10) (ou de (11)) ne sont pas équivalentes car la positivité de E  équivaut à la négativité de  E   seulement au sens de GRIFFITHS (mais pas au sens de NAKANO en général).
Les points (9) et (11) sont en fait une généralisation du lemme fondamental (3,5) de [14] . Lorsque  E  est quotient dTun fibre trivial, la seconde assertion
de   (11)   est  d'ailleurs  conséquence de ce  lemme de   [l4j    .
Démonstration.   Nous  renvoyons  le  lecteur  à   [2J    ,    [3]   pour une  preuve  de   (8).
Preuve de   (9)   :  montrons  tout  d'abord  que
TrE 0   ®    IdE  -  0  >G  0   .
En effet, tout vecteur décomposable  x^T ® E  peut s'écrire  x =  t © e   où e  =1  ; si l'on choisit une base orthonormêe  (e.)i , -  ,        de E telle que
e, = e , il vient
0(x,x)  =  0(t ® ej, t ® ej)  ,  et
P	?
Tr 0 ® Id"(x,x)  =   E 0(t ® e., t ® e.) ||e|r ^0(x,x) ,
J = l        J       J
grâce à l'hypothèse  0 ^n    0 . D'après (8) on a donc
TrE 0 ® IdE - 0 + TrE(TrE 0 ® IdE - 0) ©IdE = p TrE G ® Id£ - 0 ^  0 ,
ce qui démontre  (9)  lorsque  p<n. Lorsque n ^ p , il est aisé de voir que
T ® E = [__J	T ® F .
F CE, dim  F = n
Appliquons le résultat déjà trouvé à la restriction 0_  de 0  à T & F , pour tout sous-espace F de dimension n  de  E . (9)  se déduit des inégalités suivantes
GF  «N  n  TrF  9F ® IdF   ^N  n  TrE° ®  IdF >
soit  0  $" n Tr 0 ® Id_  sur  T^F .
N       E      E
Preuve de (10) et (11).
Il est bien connu que la courbure du fibre  dét  E = A^ E  est reliée à celle de E par la formule
(12)	c(dét E) - Tr£ c(E) = - TrE c(E*) ,
et que pour deux fibres vectoriels hermitiens  E.- et  E"  , on a
(13)	c(Ej ® E2) = c(Ej) ® IdE  + IdE ® c(E2) .
(10) et (11) se déduisent alors de (8) et (9) en prenant 0 = ic(E)  ou G = -ic(E ) selon le cas.
2 2.  Estimations a priori et inégalités  L
On considère , avec les notations et hypothèses de l'introduction, la suite exacte (1) :
0-fS->E-l(|-^0 .
La connexion canonique  D  sur  E  se décompose suivant le scindage orthogonal  C  , E = S & Q  , de la manière suivante
3*
(14)	D =
où D  et  P  sont respectivement les connexions canoniques sur  S  et  Q  , et où
oo
6 e Cj  (X, Hom(S,Q)) .
Nous renvoyons à P.A. GRIFFITHS [5] pour la démonstration de (14), et à H. SKODA [l 4] pour le détail des calculs qui vont suivre. On a classiquement
e* a g    - 03* d? n2Q - $ a 0*
c(S) = D^ = c(E)|   +  8*A
c(Q) = D^ = c(E)|   +  6 a 3* .
n ~k. Soit  K = A T  X  le fibre canonique de la variété  X et  M un fibre en droites
sur X  . Par application à (1) du foncteur  Hom(Q, ?®K®M), on obtient la suite
exacte
(16)    0 ->Hom(Q, S ® K «S» M) 	>- Hom(Q, E ® K ® M) ->- Hom(Q,Q <8> K ® M) 	y 0 ,
et la connexion DT1  ,"  _ rr    ...      se décompose suivant le scindage orthogonal de
Hom(Q, E®K®M)	*	&       &
(16) , en
Hom(Q, SOK0M)    - 3
DHom(Q, E®KOM)
DHom(Q, Q®K®M)
Posons  R = Hom(Q, S®M)  pour simplifier les notations.
PROBLEME. - Etant donné une section holomorphe  f  de Hom(Q, Q®K<3M), chercher un
-7-
relèvement  h de  f dans Hom(Q, E 0  K <8> M)  sous la forme
h =  f  + u  ,
oo	oo
avec u e c  (X, R ® K) = C n(X, R) .
		n,U
On aura bien par construction  g o h = f , et  h  sera holomorphe si et seulement si
0 7)	Dî,! u = - D"  ,n ^ " ^ ^ M,f = 3* f -
N  '	R	Hom(Q, E @ K © M)
On résout cette équation par la méthode d'HORMANDER [6] et [7] , ce qui, modulo l'inégalité de KODAIRA-NAKANO  (cf. [4], exposé III, th. 3) , nécessite l!obtention d'une estimation a priori du type suivant  (avec une constante A ^ 0)
(18)	|(6*f|v)|2 « A(ic(R)A v |v)
OO
pour toute  (n,l) forme v  à valeurs dans  R , de classe  C  et à support compact.
Le produit scalaire (   )  est défini à partir du produit scalaire ponctuel < , > des formes par la formule
(v | w)  =1   <v, w> dV , X pour deux formes v  et  w a valeurs dans  R , de classe C  , et a support compact.
A désigne d'autre part l'opérateur de type  (-1,-1), adjoint de l'opérateur  L de
multiplication extérieure par tû , pour le produit scalaire ponctuel  <  ,  >
Nous nous, servirons de la proposition suivante  (cf. H.SKODA [14]  , lemme (3,1) ,
proposition 3.1. , et conclusion (4,17)).
co
PROPOSITION. - Sous l'hypothèse (18), il existe une forme u6C (X, R ®  K)  vérifiant
(17) : D£ u = 6* f , et (19)
X Le relèvement h = f + u de  f  est donc tel que
(20)	|h|  dV ^ A +
Jx	Jx
car  f  et u  sont orthogonaux.
Le théorème 1 sera démontré si nous établissons l'inégalité (18) et déterminons la constante A .
3.  Calcul de courbure.
Nous aurons besoin des notations et résultats suivants .
Le produit intérieur  a J b  de deux formes à valeurs scalaires est défini en tout point  z  de X par dualité :
< aJb , c >  = <b , â Ac >  ; on étend le produit intérieur au cas où a, b  sont des formes à valeurs dans des fibres vectoriels E, F par bilinéarité (le résultat étant à valeurs dans le fibre  G si on a un morphisme bilinéaire  E x F ->? G) .
LEMME 1. - (H.SKODA [14] , lemmes (3,3) et (3,4)) .
oo	co
Pour toute forme v ^C   (X, R) = C   (X, Hom(Q, S %  K ® M))  à support compact, toute (l,l)-forme réelle Q ^    0 à valeurs dans Herm(R, R)  , et toute forme
oo
3 S Cj Q(X, Hom(S, Q)), on a
(33)(0 A v | v) >/ 0
(34)(-13* A 3 A v |v) =|3Jv||2.
Démonstration de (21). Soit
0 = i   Z   a, ., dz, /\ dz ® e. & e, , Ayjk  X   u   j   k *
X,U,j,k
v = -r- Z v-, . dz,A... A dz Adz, ® e. , 2 .    Aj   1       n   A   j
'J
l'écriture canonique de 0  et de v relativement a  une base orthonormêe  (dz-,), ,
À   1 -^ À$ n
de T    X   ,   et  à une base  orthonormêe     {e-}     de  la  fibre de     R   .   On a  en  tout  point
n - \	/\
Av =        Z      (-1 )	v, .   dz. A ...a dz,  A ... Adz   ® e.    ,
\   s	Aj	1	A	n       j
A,J
0 A v =   i	Z	a,    ..   v, ,   dz. A ...A dz   Adz   ®e,    ,
A,y,j ,k
< 0Av,v >=  2n	Z	a,   ... v..  v ,   ^ 0  ,
A,y,j,k    X«k    AJ    ^k
dTaprès       l1 hypothèse     de   semi-positivité  de  NAKANO  de     0   . Démonstration de   (22).     Ecrivons  en  tout  point  de     X
A j J 5 -^
v = -s-      Z       vv   dz, A ... Adz   Adz,   ® e.    ,
2  .    .	Ail	n	A	i    '
X,J,m	J
avec    v,.eQ    ®M,     l^X^n,     l^j<s,     1<&<   q   ,     dans des  bases  orthonormées (e*)i  ^ -  -      »      (  TlJi  .. 0 ^        des   fibres  de     S     et     Q   .   On vérifie  que
2fc de  sorte  que  les  coefficients  de 0 =  -i3 A3e  Herm(S,S)     sont  donnés  par
aXujk      |    3X£j     3y^k  ' D!après  la  première  partie de  la démonstration,   on a
< -i(3   A 3 A v,v >= <0 © Id^*^,, A.v,v >
,n
X,u,  j,k,i      Uj    v*k    Xj        yk
2n    Z   I   S    S,..  v. J2     .
A    X,j     Uj     Xj
(22)	résulte donc de l'inégalité
3 J v = (-l)n i T.    g. n. v, . dz, a ... Adz ® ru .  ?
X,j,£Uj  XJ   l	n   £
Nous disposons maintenant des moyens techniques nécessaires pour effectuer le calcul de courbure.
Puisque R = Q ® S <S M , on a d! après la formule  (13)
(23)	c(R) = c(Q*) 8 Ids0M + c(S) 8 IdQ*0 M + c (M) « IdQ* 0 g .
Supposons le fibre  E  semi-positif au sens de GRIFFITHS.
Alors il en est de même pour le fibre  Q . D!après le théorème 2  (11)  on a
(24)	ic(Q*) + Inf(n,q) ic(dét Q) 8 Id * >    0 .
Puisque     -ig a3 ^ 0     (en fait  on  a même     -i  3 A3  ^T 0)   ,   (9)   et   (15)   entraînent   succès-
u	In
sivement
(25)	i(c(E) |s  - c(S))   =  -i3*A3 <N Inf (n,s)i Tr(-g*A 3) ®Idg
= Inf (n,s) i Tr 3a3* ® Id     ,
(26)	i(c(E)|s  - c(S))    ^N  Inf(n,s)   i(c(dét  Q)   - Tr  c(E)|    )   ® Idg   ,
dToù   ,   après   substitution de     (24)     et   (26)     dans   (23)    :
ic(R)   ^     iftCM)   -   (Inf(n,q)   +   Inf (n, s) )c(dét   Q)   +   Inf(n,s).Tr   c(E) | ^ ®IdR+ic(E)|s® Idg*^.
Si   (hypothèse   (3))     S     est  de  rang     1   ,   ou  si     E  ^     0   ,   on  a     ic(E)|q     ^    0   ;   de
-10-
façon générale, (8) implique
ic(E) j s + i Tr c(E) |s (9 Idg  »  0 .
En substituant à nouveau dans  (27) , il vient
ic(R)  ^N ifc(M) - (Inf(n,q) + Inf(n,s)c(det Q) + Inf(n,s)Tr c(E)|  - Tr c(E)| ]®Id  .
Posons e = k - Inf(n,q) - Inf(n,s)> 0 ; comme Tr BaB* = c(det Q) - Tr c(E)| d'après (15), on obtient
(28)	ic(R) - ieTr B A B* ® Id_ »"
i(c(M)"- k c(det Q) + (k - Inf(n,q))Tr c(E)L - Tr c(E) I c) (SUd,, ; le terme Tr c(E)|   peut même être omis sous l'hypothèse (3) .
o
Remplaçons M par M ® K = M Odét TX  ; compte tenu de ce que Ricci (ai) = c(dét TX) et E > 0, le premier membre de (28) est semi-positif sous les hypothèses (2) ou (3). La propriété (21) entraîne donc l'inégalité suivante :
(29)	(ic(R) Av|v)^ e(i Tr 3 A3*Av| v) .
Pour  obtenir  l'estimation  a priori     (18)   ,   il  nous  reste  à majorer   | (g*  f|v)|2     en fonction de     (i Tr  BaB*Av|v).
Pour obtenir   (18),   il  nous reste  à majorer   | (B     f  | v) |        en fonction de   (i Tr   BaB   Av|v) Par définition du produit   intérieur,   et  d'après   (22),   on a
(30)	|(g*f|v)|2 =   |(f|6 Jv)|2s< |j£]|2  l3Jv||2 = |f|2   (-i6*Af3Av|v)   .
Une nouvelle application de   (21)   fournit  à partir de   (25)   :
(31)	(-iB*A B A v|v) ^Inf(n,s)   (i Tr BaB* A v|v)   ,
d'où  en combinant  avec   (29):
LEMME  2.   - L'estimation   (18)    |(B*f|v)|24 A(i  c(R) Avlv)     est  satisfaite   ,   et  on peut
choisir  la constante    A    égale  à
Inf(n,s)
k-Inf(n,q) - Inf(n,s) Le théorème 1 résulte maintenant de la proposition (cf. (20)) et du lemme 2.
REMARQUE 2. Les calculs précédents montrent en fait que le théorème est vrai si l'on
suppose seulement
(32)   i(c(M)-kc(dét Q)+(k-Inf (n,q))Tr  c(E)|   -Tr c(E)|s+Ricci w)   > 0   ,
le terme    Tr c(E)|-    étant   superflu  si     s =   1     ,   ou  si    E >"    0.
Mais nous avons préféré énoncer le théorème 1 avec des hypothèses géométriques qui ne supposent pas une connaissance approfondie de  c(E).
REMARQUE 3. Lorsque la section  f  du fibre  Hom(Q, Q ® M)   est de la forme  f = Id ® u pour une section u de  M , on va montrer que
|(3* f |v)|2^ Inf(-,s) [|f||2 (i Tr B'aB* A vIv> >
de sorte quTon peut dans le lemme 2 prendre
Inf(J,s)
A =
k - Inf(n,q) - Inf(n,s)
X
i 2
f  dV
et remplacer la constante  C du théorème 1 par
Inf&s)
C = 1 +
k - Inf(n,q) - Inf(n,s) Ecrivons en effet en chaque point  z ^X  la section
oo	co
v G C 1 (X,R) = C (X, Hom(Q,S ® K ® M))  sous la forme v = w ® e , où e  est n, i
un vecteur unitaire de la fibre K <9 M  , et où w est une  (0,1)-forme à valeurs dans Hom (Q,S) . On a
(33)	<0*f» v> = < 3* o Id ®u, w © e > - <B* , w> <u, e >.
Dans une base orthonormée  (dz.)  de T X , les formes  3  et w  sTécrivent
1       z   ' n       J
3=2   3-  dz.  ,   3- G  Hom (S,Q) ,
- i   J    J      j     z j  n     j = l
w = tt  E w. dz.  ,   w. E Hom (Q,S) . 2  j=i  J   J      J     z
Il vient donc
n
<3*, w> = E  <3*, w.> , j = l   1  J
n
(34)	|<3*, w>|2 ^ n Z  |S.|2 |v.|2  , avec v. * w. ®  e .
j=1   J    J	J    J
Si d'autre part, on a choisi la base  (dz.)  de sorte que les éléments  3-  soient
orthogonaux (ce qui est toujours possible, car toute matrice r x n y     B peut s'écrire
B = U D V  , où D matrice "diagonale" r x n 9     ]j    et  V matrices unitaires r x r
et n x n)  on obtient successivement :
3 a 3* =    Z	3- 3* dz. Adz
l^j,k^n  J  k  3    k
*     n        *       -      n  i  .2 i Tr £ A 3 - i  S  Tr(3. 3-) dz. Adz. = i  2   g.   dz. A dz.  , j-1    J V   J    J    j=1 ' l1    J    1
12-
(35)    <i Tr 3 A3* Av, v > =  Z  |S.|2 |v.]2
j-1   J    J
pour établir l'égalité (35), on se reportera à la démonstration de (21). En combinant (33), (34) et (35), on voit que
* ,   .|2     . m    x	,  ,2
<
Après intégration sur X , l'inégalité de Cauchy-Schwarz implique | (6* f|v)|\< £( '
X
et (30) , (31)  montrent qu'on peut remplacer - par  Inf(-,s) . ?
On va maintenant énoncer les résultats du théorème 1 en fonction d'une métrique donnée a priori sur Q , de manière à pouvoir traiter comme H. SKODA [l 4] le cas où le morphisme g dégénère.
Soit  g  le morphisme G  , transposé de  g  , pour les métriques données sur E  et  Q :
0 	>? Q -^-E .
S   3fc -l	.	co
Le morphisme  g (gg )   : Q ->- E  , est le scindage  C  de la suite exacte (1)
qui envoie Q dans  (Ker  g)  =  S  ; la métrique quotient |  | '  sur  Q  est donc donnée en fonction de la métrique initiale      par
(36)	|u|'2  = |g*(gg*)_1 u|2 = <(gg*)-1 u,u> , uSQ .
Désignons par c'(dét Q)  la forme de courbure de dét Q relative à la métrique quotient sur Q . Il résulte aussitôt de (36) que pour tout  v G dét Q :
|v |'*  =  det(gg )    |v|  . On a donc
cf(dét Q) = c(det Q) + d'd" Log dét(gg*) . Si l'on veut conserver telles quelles les hypothèses de positivité (2) et (3), on est amené à multiplier la métrique de M par le poids  |_dét(gg )J  , de sorte que l'estimation (5) du théorème 1 devient (37)
x
Pour tout élément  h£Hom(Q, E) , la norme  |h|f  est donnée en fonction de la
-13-norme naturelle   |h|   par
|h|'2 »   |h  o g|     = <h  o  gg*,   h>  , et  d'après   (36),   on a  pour  tout     fEHom(Q,   Q)   :
|f|'2 = <(gg*)"1o f ogg*  ,  f >
= (dët gg )   < gg o f o gg , f > ,
^i   ..	.	ïfc
où  gg  désigne 1'endomorphisme cotransposé de  gg
L'estimation (37) s'écrit donc
< h o gg , h > (dét gg*) "  dV £ C X
Si maintenant  g n'est surjectif qu'au dessus de X privé d'un ensemble analytique Z  , on suppose que  Z  est  X-négligeable au sens suivant.
DEFINITION 2. - Nous dirons qu'un ensemble  ZCX est  X-négligeable, s'il existe un sous-ensemble fermé Y d_e X , contenant  Z  , de mesure nulle, tel que l'ouvert  X \Y  soit faiblement pseudoconvexe, et tel que toute fonction de carré som-mable sur un ouvert  U de_    X  , holomorphe dans  U \Y  , se prolonge en une fonction holomorphe sur  U .
Lorsque la variété  X  est de Stein ou projective, Z  est toujours  X-négligeable il suffit de prendre pour Y une hypersurface quelconque de X contenant  Z .
Si  Z  est  X-nëgligeable, le théorème 1 s'applique à X \Y . Comme  k ^ 1  , la
finitude de l'intégrale
ïfe	i -k
<h o gg , h> (dét gg )   dV
X \Y
2 entraîne que h  est localement L  , donc que  h  se prolonge à X . D'où le
THEOREME 2. - Etant donné un morphisme  g : E ->? Q  , on suppose que 1 ensemble analytique  Z = {z£X]g(E ) f  Q } est  X-négligeable , et que le fibre linéaire M vérifie l'une des conditions de positivité (2), (3) ou (32) .
Alors, pour toute section  f de Hom(Q, Q ®  M) telle que le second membre de (38) soit fini, il existe une section h d_e_ Hom(Q, E ® M)  telle que  g o h = f et
<hogg*, h>(dét gg*) k dV<çC
X\Z
k - Inf(n,q)
Inf(n,q) - Inf(n,s)
X\Z
< gg   f o gg ,f> (dét gg )     dV ,
On peut démontrer que cette hypothèse est superflue.
-14-
4.  Construction de rétractions holomorphes.
Soit X une sous-variété fermée de dimension n dTun ouvert pseudoconvexe Q de  ¼^  . On s'intéresse à la suite exacte
0 	? TX -*- TQ\X  -^>NX 	*Q
où  NX est le fibré normal à X . Tous ces objets sont munis des métriques induites par la métrique de E  . Avec les notations de l'introduction , on a E=  Tft|x,S=TX,Q=NX,s=n,q=p-n.
De plus, dét Q = dét NX ^ (dét TX)   métriquement, donc
c(dét Q ) = - Ricci(X) . Choisissons pour M un fibré trivial, dont la métrique est donnée par le poids  e   , de telle sorte que  c (M)  = d'd" <p Comme le fibré E = T ¼ I   est plat, les conditions (2) et (3) s'écrivent :
A
id'd'V + i(k+l)Ricci(X) >0 ;
en appliquant le théorème là f = Id  , dont la norme en tant que section de
-(û Hom(Q, Q ® M)  vaut  qe   , et compte-tenu de la remarque 3, on obtient le
THEOREME 3. - Pour toute fonction V  plurisousharmonique sur X , et tout réel k > Inf(2n,p)  tels que
id'd'V + i(k+l)Ricci(X) >s  0 ,
il  existe une  section      h   :   NX ->- TQ |        telle que
-- - - ? x "--L ' -  ? -'-'"" "' -	A
g oh = IdNX , (39) |  |h|2e-*dV.< (p-n + k,In^(2n>p))
A	- a
REMARQUE 4. Le résultat a été démontré seulement lorsque <£  est de classe  C  , mais il est immédiat de se débarrasser de cette hypothèse par un passage à la limite, On notera que la condition de courbure ne peut être vérifiée que si $  est plurisousharmonique , car  i Ricci(X) -£ 0 . Si 7TV : NX ->? X est la projection du fibré NX , on définit une application
A
0 :  NX ->- (CP par
a(Ç) = ttx(ç) + h.Ç ,  ç G NX
Il est clair, d'après le théorème des fonctions implicites, que a    est un
-15-
isomorphisme d!un voisinage  V de la section nulle dans  NX , sur un voisinage  V' de  X dans Q   .
On construit donc une rétraction holomorphe  r : V1 ->X  (c'est-à-dire une application holomorphe   r : V! -^-X telle que  r(z) = z  pour tout  z £ X) en posant
r = Ux o   a'1   .
Il ne nous reste plus qufà préciser	V et  V!
On se donne une fonction   p>0  sur  X   telle que pour tout  z^X , il existe un polydisque  D(z, p(z))  de centre  z  , de rayon  p(z) , dans lequel  X est un
graphe. De façon précise, on suppose	:
(40)	D(z, p(z))  est le produit des deux disques  D'CT X,  DM C (T X)  de centre  z
z	z
et de rayon  p(z) .
(41)	XHD(z, p(z))  est le graphe d'une application holomorphe
u  : D1 	vD" .
z
Si on pose <J>   (z) -  sup     <p (Ç)  , on obtient le résultat général suivant , qui p   çexnD(z,p(z)) ne fait intervenir que des données géométriques de X .
THEOREME 4. - Soit ip     une fonction plurisousharmonique sur X telle que
id'd'V + i( £+ 1 + Inf(2n,p))Ricci(X) ^0  (e > 0),
e_V? dV < +co
X
p une fonction vérifiant les hypothèses (40) , (41)  , et h  le scindage holomorphe du théorème 3.
Alors l'application cr(z, Ç)  =  z + h(z) . Ç, définie sur  NX , est injective
sur un "voisinage"  V de la section nulle dans  NX de la forme
1
Il existe une constante  C? > 0   et une rétraction holomorphe  r : U -> X sur 1T ouvert
U = {Ç e  CP ;  (3zGX) |Ç - z| < C2 e  P    p(z)2n+1}
Les constantes  C, > 0 , CL > 0 , sont le produit de constantes universelles (ne dé' pendant que de la dimension p ) et de
[(!+£)    e^dv]
Démonstration. Dans toute la suite, on désignera par a.  les constantes ne dépendant que de la dimension  p , et on posera
C = (I +1) [   e^ dV.
Jx
On considère en tout point  z^ X un système de coordonnées linéaires (ç,, ..., Ç )
3        S    ..	.  .  	       3        9
'P
une base orthonormée de  (T X)  . Les vecteurs  ~	 , .... *- définissent un
9Çn+l        9S
repère local de NX au-dessus de XOD  ; on note  E     ,,..., E       les coordonnées
z '	^n+1'   ' ^p
correspondantes dans les fibres de NX  . La section h G Hom(NX, TQI )  est donc
A
définie dans XHD  par une matrice
Hz(Çlf..., Çn)  = [h  (Çl,...,Çn)]
J	1  ^ J ^
P
n+1 ^ k < p
avec h., (z) = 6.,  ,  n+1 ^i,k^p . jk      jk
Soit  A  le polydisque de centre  z  et de rayon -^  p(z) , contenu dans D (z, p(z)).
Z	<£
o
Dans  A , |.h|   est équivalent à une constante universelle près à
i 12       i   (2 H  =  Z  h..
j,k  &
(noter que l'application u  de (41)  a ses dérivées bornées dans  A ) , et on
z	z
tire de (39) , grâce aux inégalités de Cauchy, que pour tout   Ç ¤= A  ,
1/2* (z) Hz(Ç)| Sa, C1/Z e   P   p(z) "
I  3Hz        |	1/2       »/2V*)	-n-1
Sup    I  gp-(Ç)| $a2C1/Z     e	P	p(z)   n       .
a/  Injectivité de    a     sur    V C NX   .
De   (42)   il  résulte  en particulier pour     Ç  =  z   :
r1/2     1/2VZ)   ,   ,-n s
(43)	C	e	p(z)       :> a3   ,
et si  (z, Ç) appartient au "voisinage" V , 0n a
u       -1/2* (z)     +]
(44)	|a(z, Ç) - z| = |h(z).£| 4   a4C!C   e        p(z)   '
Supposons  a(z, Ç) = a(z!> £f)  pour deux points distincts  (z,Ç),  (zf, Çf)  de V , ce qui ne peut se produire que si  z ^ z! ; on a par exemple
K    p(z')   ^ e    H  p(z)
17-
(43)  et  (44)  entraînent donc
1/9  -1/2* (z) (45)  |z' - z| ^2a4 Cj C1/Z e    P   p(z)n x$ a5 Cj C p(z)  ,
et  z!  £ A  dès que C. C  est assez petit .
z     ^    1	r
On montre aisément à partir de (41) , (45) que
.,  -1/2* (z)   n angle(TzX ; z'-z) ^ c^CjC   e        P^  »
car les dérivées secondes de u  sont bornées par a7 p(z)    dans  A  . Ecrivons
maintenant
0 = ff(z», V)   -  CT(z, Ç) - z' - z + Hz(z').Ç' - Hz(z).Ç
= z' - z + (H (z') - H (z)). V   + H (z).(Ç' - Ç) .
z        z	z
-V (z) D'après (42) et lTinégalité |Ç'| ^ C, e  P   p(z) n    ,  on obtient ,
si  C.C  est assez petit :
1/9  -1/2* (z) |(Hz(z') - Hz(z)).Ç'|  « agCj C1/Z e     P    p(z)n. |z' - z|
^ a9C c|z'-z[<|z'-z| ,
-1/2* (z) angle (z1 - z ; zT - z + (Hz(zT) - H^z)). Ç») ^a^CjC1'2 e    P   p(z)n .
D'autre part, comme le vecteur non nul  H (z). (Ç! - Ç)  se projette sur le vecteur
de coordonnées  Ç1 - Ç  dans  N X  , (42) implique
angle (T X ; H (z). (£' - Q)>\V   - Ç|. |H (z) . (Ç« - Ç) |_1
> CtnC    e    M   p(z)  .
Les trois évaluations d!angle qui précèdent sont contradictoires dès que  C,C
est assez petit; on a donc démontré 1'injectivité de a  sur V .
b/ Existence de l'ouvert  U .
Comme nous n'avons fait aucune hypothèse de régularité sur la fonction p , l'ensemble V n'est pas nécessairement un véritable voisinage de la section nulle dans  NX .
Il nous faut commencer par "régulariser"  p . On remarque qu'il existe une constante a19eJ0,l[ telle que pour tout
£ 6 A  = D(z, y p(z)),  X  soit un graphe dans le polydisque  D(Ç,a   p(z)) (c'est-à-dire que les hypothèses (40) , (41)  relatives à Ç, D(Ç, a,"p(z))  sont vérifiées).
On peut donc remplacer p par la fonction
p'(Ç) =  sup a12(p(z) - 2 |ç - z|)  , çex . p'  est lipschitzienne de rapport  2a,- , à moins que  p' s + co f auquel cas  X
est le graphe d'une application ¼ ->- ¼    , et 1! ouvert  U = ¼  convient !
Posons pour tout  z^X  et  0<t ^ pf(z) :
yp   (z) =   Sup   v(Ç) . çexnD(z,t)
La plurisousharmonicité de <P     entraîne que y   (z)     est continue par rapport
a     (t,z) dans le domaine 0<t^p'(z).
D!autre part, on a la majoration évidente
"VZ)  TTn  2n ,
X
e~^  dV ,
~^t(z)   2n+1 de sorte que l'expression e     . t     , te]0, pT(z)] , atteint son maximum en un
point  t = p(z) G ]o, p1(z)]  , et que la fonction
-**(z)  _ ,2n+l e  P    p(z)
est continue sur X . Il résulte du  lemme  de Schwarz que les conditions (40), (41)
(41)  sont bien satisfaites pour les polydisques D(z, p(z)) .
L!ensemble V associé à  p  comme dans l'énoncé du th. 4  est donc ouvert, et l'application holomorphe O   , qui est injective sur  V  ,  est un isomorphisme de V sur l'ouvert  0~(V) C ¼^  (on pourrait aussi de façon plus élémentaire utiliser le théorème des fonctions implicites).
L'inégalité évidente qui suit, valable pour |ç - z[ <j-  p(z)  :
a Pf(ç) >s~y- p(z)
entraîne  par définition de     p
r,&\	~V?)     ~/^2n+1 x        ,	...       fal2     ,   N1   2n+l
(46)        e     H	p(ç)	^exp(-«p	(ç))   . L^>-P(Z)J
- p(z)
.  al2 N2n+1  ~VZ)  / s2n+l >À -  )     e      P(z)
u car  D( Ç, -^ p(z)) C D(z, p(z)) .
Fixons  z^X ; d'après (46)  l'ensemble V contient l'adhérence W de l'ouvert
W={(Ç, Ç) ^NX ; [Ç - z| < ^ p(z)  et  |Ç| < C3 e  r   p(z)    }
dès que  CL < a, ~ C
-19-
"V2)    2 On va montrer que 0{VS)   contient la boule de centre z et de rayon C9 e     p(z)
lorsque  C" C  est assez petit, ce qui achèvera la démonstration. Il est clair que
le rayon de la plus grande boule incluse dans  a(W)  est égal à la distance de  z
au bord   9a(W) = a(3W)  de a(W) .
Supposons qu'un point  (Ç, Ç) ^ W soit tel que
-<p  (z) (47)  |o(ç, C) - z| = |ç - z + h(Ç).Ç| = C2 e p   p(z)2n+1 .
Alors  d'après   (42),   (43)   : U-2U<a14C3C1/2e"1/2VZ)p(z)n+1+C2e-VZ>p(z)2n+l
,a15(C2 + C3)C1/2e"1/2V'P(Z)p(z)-1.
On en déduit comme dans la première partie :
,"  -1/2 $   (z) angle (Ç - z ; T X) ^ ^l6^2  +  C3)Ci/Z e     p   p(z)n
angle (h(ç).Ç ; Tç X)»|Ç| . |h(ç) .Ç| > ap C	p(z)n ,
et  lorsque     (C    +  C~)C     est  assez  petit   :
angle   (Ç - z,   -h(Ç). Ç)   ^.1   |Ç|.    |h(Ç).Ç|-1   ,
|ç - z + MO.Çl^sinCJlçl.lMç).^-1)]   .   [|ç-z|   +  |h(Ç)-Ç|]
.       -1/2  y>  (z)
>,    I  |Ç|     + a18 C_1/2  e	P       p(z)n   |ç  - z|    ,
ce qui  est vrai même  si     |ç|   = 0  .
Il  résulte  alors  de   (47)   :
|6| .< 8C2 e""^^ p(z)2n+1 ,
1/2  ~1/2^ <z> |Ç - z| ^ a~g C2 C   e    P   p(z)n+ <ç a19 C2 C p(z)  ;
lorsque  C" C  est assez petit, on voit que  ( Ç , Ç)  ne peut appartenir à la
frontière  9W de W  , donc la distance de  z  à o(9 W)  est bien minorée
par C  e     p(z)     . ?
Nous allons maintenant transcrire le théorème 4 sous une forme plus exploitable dans la pratique. On suppose que la variété X est définie par des équations
Fj =f2= .... =Fn = 0 , telles que le rang du système  (dF.)i - N  soit égal à codim X =  p - n  en tout point de X . Calculons la courbure de Ricci de X  en un point  z E X  où
20-
les formes  (dF.)._T   sont indépendantes,  J C {l,...,N} , |j I = p ?
jjfcj	o    '        ' o1
Si l'on considère dF.  comme une section de NX, /\     dF.  définit
jej
section de  dét NX- dét TX ; par conséquent
Ricci(X)   =  c(dét TX)   =  -d'd"  Log   | A        dF
JGJ
ce  qui  entraîne
i Ricci(X)   +  id'd"  Log     1
n .
une

/\     dF
id'd" Log    £    J-i
j   a   dF.
>s   0

D'autre part   ,   par  définition de  la métrique de    AT     (E^
on a

ou
Î^J
9F
AT    _,=  dét     ~-
J,K	L ôz.
J'AJ.*I      '
]jej, k£K ,

JC{1	K } ,     K C {!,...,  p}
p  - n
On a donc
i  Ricci(X)   +   id'd" Log     Z
aj)KI  »°
et  on voit   qu'on peut  prendre pour poids    <p     toute  fonction
(48)
avec les notations
<P     = 2 £ Log A + V j  >
£ = e + 1 + Inf(2n, p) , A2 =  S  |A   |2
J,K  J> et où v. est une fonction plurisousharmonique sur  X telle que
-2£ ~*\ A   e    dV < + ½ .
X Nous pouvons maintenant montrer de façon très précise l'existence de rétractions ho-
lomorphes, déjà discutée par C.A.BERENSTEIN et B.A.TAYLOR [î] dans un cadre analogue
THEOREME 5. - Soient ip, ,  $?,   x  des fonctions plurisousharmoniques sur l'ouvert pseudoconvexe Çl  C ¼ , telles que
(49) (50)
dV < + ½ 9   i =  e + i + inf(2n , p) ,
N  ,  ,2 1/2   ^2 F| =  (  E  |F.| V  ^ e Z
-21-
(51)	z^flet    |ç  - z|   <e"X^Z        impliquent   :
ÇEfi   » *j(Ç) <^j(z)  + A   , ip2( ç )<v52(z)   + A,     et    x(0   <   X(z)   + A. Alors   il  existe une  rétraction holomorphe     r   :     U -*-X    définie  sur  l'ouvert
U = {Z 6 U   ;     \Y(z)\<e"P(z)}    ,
où  #  est la fonction plurisousharmonique
(52)	* = «Pj + C2 *>2 + C3 x + C4 log A + C5 ,
avec     C2 = (2n+2) (p-n)-l, C3 = (2n+2) (p-n)+2n, C^  = 2( Jl-n-1) ,
-2?  " 1	1
A   e   dv) + log - + a (1+ e +A) ,
>x	e
et  a > 0 une constante ne dépendant que de N  et  p .
1 + £ +A Démonstration. On désignera par  (3-  les constantes du type a       , et
c * (i + h
-2? "^l
A Z  e   dV .
a/ Montrons que la fonction
-(p-n)tf>? - (p-n+l)x
(53)	p = g, A e
vérifie les hypothèses (40) , (41).
D'après (50), (51) et les inégalités de Cauchy, les dérivées premières des  F.
*2(z)+X(z>	1 J-v(z)
sont majorées par  $" e	sur la boule de centre  z  et de rayon y G
*>2(z) + 2x(z)
les dérivées secondes par  L e
On a donc  |a| «: 3, etP~n; (s^+X)  ^  ce quj_ permet de choisir  ^  tel que
(54)	p «c e"X .
Fixons un point  z£X , que nous prendrons  comme origine des coordonnées pour
simplifier ; quitte à effectuer une transformation unitaire sur  (F,,...,F ) ,
on peut supposer que les différentielles d F,,...,d F _   sont orthogonales,
et que d F   . = . . . = d F._ = 0 .
H    z p-n+1	z N
On choisit un système de coordonnées  (Ç,,...,Ç )  tel que
dF.fe) =a,Ç,	 dF  (ç) = a  Ç
z Ivs/    1^1'       z p-n      p-n ;
V?2(z)+x(z)
A(z) -  a,  ...  a     ,  et  a.  =  d F.\ 4  3?e
ce qui entraîne
-(p~n-l)0/>2(z)+x(z))
(55)	fâjl ^ 35 A(z)  e
-22-
On peut  écrire
aT   (F.(Ç)   - F.(z))   -  Çj   + G,(Ç)   ,   1 $ j< p-n   ,   avec
|dGj(Ç)| ^66 A(z)"1 exp((p-n-l)(^2(z)+ x(z)) + *2(z) + 2 X<z)) |ç| sur la boule | Ç | ^ i e~X^ .
On en déduit que l!application G = (G.,...,G _ ) est y lipschitzienne sur une certaine boule de centre  z  et de rayon  37A(z) exp(-(p-n) tp    (z) - (p-n+I)x(z)) ; lTassertion relative à p résulte alors du théorème des fonctions implicites. Si  B7  est assez petit, on aura de plus dans cette boule
(56)	A(Ç) >,     I A(z) .
b/ D'après (48), (51), (54), (56), on a  e^(Ç) « Sge^^  pour |ç - z\  <p(z), donc
V    (Z)	,   V
e     ^ 3oe     - Le théorème 4 implique que 1!application O   est injective sur
le voisinage
V = avec (cf. (43))  e9C~1e~*(z) p(z)2n+1 $p(z) .
Plaçons-nous en un point z G X . Pour tout point  ( ç , £ ) e 3V  ,  avec
[ç-z |<3inP(z ) et |Ç| = gqC  e  ^  p(Ç)     , le raisonnement de a/ montre que
lF(a( Ç, Ç))U Inf |a. | X  distance  (a(Ç,Ç),X) .
j La partie b/ de la démonstration du théorème 4 entraîne dans les mêmes conditions  (39 et  BJ0 assez petits) :
distance(a(Ç,Ç),X) = inf      *   distance(a(Ç,Ç),z)
-1 -v>(z) f   N2n+1
^ inf      j    3nC  e    p(z)
zex,|z-zo|^(zo)
>. S^C^e^^o) p(Zo)2n+l  ,
et comme	|zq - o(Ç,Ç)| < p(a (Ç, Ç)) , on a d!après (51), (53), (54)
e^(zo) p(zo)2n+1 »B,3e^(o(C^» P(a(ç)?))2n+I -
On obtient donc au point 0=    cr(Ç,£) e 8a(V) :
|F(a)| ^S,4C_IA(a) exp(-(p-n-l)(v2(a) +X(a)))e^(CT)p(a)2n+1 = e"*(a)p(o)2n+1 (cf. (48),(52),(53),(55),56)).
-23-
II en resuite que l'ouvert  V  contient toutes les composantes connexes de U
qui rencontrent la sous-variété  X . On définit la rétraction r par r= tt ° a
X
sur ces composantes, et  r = point constant de X  sur les autres composantes de  U
REMARQUE 5. On a de plus par construction
|r(ç) - ç|<e~X(Ç) pour tout point  Ç  de l'une des composantes connexes de U  rencontrant  X .
REMARQUE 6.  Dans les applications , on aura intérêt à remplacer (49) par une condition plus maniable. Si 03 est la réunion des boules ouvertes de centre  z^X  et
A~20  p-2(p"n)
<P       2 (p-n) [(p-n) <J> + (p-n+ 1 )x]
< B16     A-2(£+P"n) e  ' e
compte-tenu de la définition (53) de  p .
Supposons maintenant que les conditions suivantes soient réalisées (avec des fonctions plurisousharmoniques v", ^,, x ) :
(57)	A >. e    3     ,
If
(58)	|F|*e  2     ,
(59)	z e ¼    et        |ç-z|<  e~X^z'     impliquent
Ç G  0   >  V2(Ç)  ^2(z)   +  A,  V3(Ç)^3(z)   +  A,   X(Ç)   ^  X(z)   +  A   -
Alors on peut choisir
Vj « 2 (p-n) [(p-n)v?2 + (p-n+l)x]  + 2(&+p-n) 93 + (p+e)Log(l + |z| ) ,
2 if  = C^V2 + C^3 + C^ X + ^ + (p+e)Log(l +|z| ) ,
(p-n)(v>2+X)
avec    £- ert-1   +  Inf(2n,p)   ,  et   (compte-tenu de  ce  que     |A|  ^  6,   e	)
Z%2  =  2( Jt+p-n)(p-n)   -   1   ,   C^ =  2(£+p-n)   ,
C!   -  2(£+p-n+l)(p-n)   +  2n,     C^  =  2  Log - + a( 1   + e + A)   .
Ces dernières estimations précisent et généralisent les résultats antérieurs de C.A.BERENSTEIN et B.A.TAYLOR [l] . Ainsi, soit X unG fonction plurisous-
-24-
harmonique sur fi  vérifiant les conditions suivantes :
(60)	X ^ 0   ,    et  Log(l + |z|) = 0(X (z)) ;
(61)	il existe une constante A telle que
z ^ fi et  |z - Ç| < exp(- X (z) )  implique que X(Ç)  $ X(z) + A . On définit l'algèbre  A (fi)  comme lTensemble des fonctions holomorphes  f  sur fi telles qu'il existe des constantes  A , A"^0  telles que
(62)	|f(z)| £Aj exp(A2 X(z)) .
L'hypothèse (61) est généralement exprimée sous une forme un peu plus générale dans la littérature (voir par exemple [8j), mais tous les poids usuels satisfont la condition plus restrictive que nous avons donnée .
COROLLAIRE î. - Soit  X une sous-variété de dimension n de 1Touvert pseudoconvexe
fi C  ¼p t   définie par les équations  F  = F  = ... = F  = 0, avec  F ,...,F e A (fi)
On suppose que la quantité
|2\l/2
9F. dét
j| = |k| = p-n
est non nulle, et vérifie une minoration du type
A  ^ exp(- A    X(z)   " An)     9   pour  tout     zGX   . Alors  il   existe des  constantes     À«,A, > 0     et  une  rétraction holomorphe    r   :     U définie   sur  l'ouvert
U   =  {z^fi   ;    |F(z)|<exp(- A3X (z)   -  A4)>    .
X

*
5.  Extension des fonctions holomorphes avec contrôle de la croissance.
On se replace tout d'abord dans la situation générale des paragraphes 0,1 et 2 : X désigne une variété kahlerienne faiblement pseudoconvexe de dimension n , E, M des des fibres hermitiens au-dessus de X ,  M étant de rang N . On considère un sous-ensemble analytique  Y =  F  (0)  de  X , lieu des zéros d'une section holomorphe  F de M , et on pose
U = {z e x ; |F(z)| <l}.
On peut démontrer en outre que les classes d'algèbres A (fi)  correspondantes sont les
mêmes .
25
On a dans ce cadre un théorème d'extension , qui généralise le théorème de B.JENNANE [9] .
THEOREME 6. - Soient r\   , q  deux réels > 0 tels que  |F | "     ne soit localement
sommable en aucun point de Y  (en général  q  sera un entier ^   1 , par exemple
q =   sud  codim Y  , ou  q = Inf(n.N)) . z^Y        ~z
On suppose que Y est X-négligeable (cf. §3, définition 2) ,et que la forme de courbure de  E  satisfait â l'inégalité
(63)
ic(E) ^N (
1 +  F
) <ic(M).F,F> -i Ricci(X)

Alors pour toute section g de E  au-dessus de U , telle que
dV < + co
il existe une section G de E au-dessus dq X,coïncidant avec g sur Y, et telle que

i2 G  dV
(1 +M2)q+n 2
avec  C(q,n) = 1 +  q*  ' si  q^l ,
£ C(q,n) 1
|g|  dV >
si  0 <q < 1 .
Démonstration. On cherche l'extension G sous la forme
G = X(|F| )g - u , où À est une fonction réelle de classe  C  à support dans  J -½ , 1 |_  , telle que
co
À = 1 au voisinage de  0, et  u^C  (X,E) , u = 0  sur  Y .
L*analyticité de  G  équivaut à
(64)	D"u = v ,
avec v = D"( X(|F|2)g) =  à'(|f|2) < F , D'F > g .
Comme toute solution de l'équation (64) est de classe  C  , il suffit d'imposer que |u | *' |F [     soit localement sommable pour assurer 1 ' annulation de  u  sur Y . Soit  Z  une partie fermée de  X  contenant Y , telle que  X \ Z  satisfasse les hypothèses de la définition 2. On résout l'équation (64)  dans  X\Z , après avoir multiplié la métrique de E par  (1 + |f[ )  |f|    . Pour cette nouvelle métrique, la forme de courbure  c'(E)  du fibre  E  est donnée par
c'(E) = c(E) +n
<D'F,D'F>   |F|  <D'F,D'F> -  <D'F,F> A <F,D'F>    <c(M),F,F>
9 9	9 9	*"        1  1 2
(1 + F  )	(1 + F| )	1 + M
F]  <D'E,D,F>  - <DTF,F> A<F,D'F>   <c(M) .F,F>
i"i4	u,2
Comme pour le théorème 2, cette hypothèse est en fait superflue.
?26-
Soit  K = dét(T X)  le fibre canonique de  X . Comme la (1,1)-forme
n
i(|F|  <D*F , D'F> - <D'F,F> A  <F, DrF>)  est >,  0 , il résulte de l'hypothèse (63) que
ic'(K* se) *. n-i <D'F' D'F^ ® Id" .
N      (1 +|F|2)2       E
La forme v^C   (X,E) = C   (X, K ® E)  vérifie clairement les inégalités v> j J        n j i
|v|2.<X'2. |F|2 |n'F|2 |g|2
s< i/n X'2 .   |f|2 (i +  |f|2)2
" <ic' (K*®E) Av, v>  ,
grâce au lemme 1, § 3, ligne (21). D'après H.SKODA [l3] , théorème 2 et remarques consécutives (comparer aussi avec la proposition du § 2), il existe une solution u e Cn Q(X\ Z, K ® E) = C (X\ Z, E)  de l'équation (64) , telle que
i/n x'2.]f|2 (1 + If]2)2
XXZ	(1   +   |F|2)n|F|2^
2_2
-ïïj   Tl^^  (^|Fl2)^lël2dV;
1 ^u  |f| q
	o _9- O + |f| )    est bornée, la dernière intégrale du
If! q
second membre est bien finie.
La section G = X(|f| )g - u est donc holomorphe dans X\Z et localement L  dans X ,
par conséquent  G  se prolonge en une section holomorphe de E  sur X  (hypothèse
co
de la définition 2) ; on voit que u  est de classe C  dans  X , et que  u = 0 sur Y d'après (65). On obtient :
\G\Z  x< (1 +
(1 + l/|F|2)q
?) X'
2   +   o+-L
)q M2
O   +M2)q     %   (1   +|F|2)q  -|F|2q	|F|2q

Gl2 dV
JY o +\*n
+ 1 At2.(l+|F|2)2-
F|2)q -|F|2q   n
On fait tendre convenablement  X vers la fonction  X  définie par
o	r
q+1/2
pour
= 0	pour    t > 1      ;
le prolongement G de  g va tendre vers une section enoore notée  G
27-
telle  que
G       dV
,      C'    «   H*!2)2

avec
X        (1   +|F|2)q+T1 2.t2
l>;(hr>ra ^n
(1   +|F|2)q-|F|2q       n
(?^)2  (1 +|F|2)2 « (q+D2  dans  U , et
(1 +|F|2)q - |F|2q^,Inf(l , 2q-l)  dans  U , car la fonction  (1 + x)q - xq  est monotone sur [o, l] .
2
On peut donc prendre  C(q,n) = Sup(l , -	) + -
2q-l On remplace désormais  X par un ouvert pseudoconvexe Q    de ¼p , et on suppose que
N E = ¼  ,  M = ¼  sont des fibres triviaux , dont les métriques sont données respectivement par les poids  e q    , e   ( y> , ty     fonctions plurisousharmoniques de
co
classe  C ) . On a donc
Ricci(Q) = 0, c(E) = d'd'V - 2q d'd"^  , c(M) = - 2d'd"ifj 8 Id  , de sorte que la condition (63) est vérifiée.
COROLLAIRE 2. - Soient  g  une fonction holomorphe dans l'ouvert U = {Z Gfi; |F(Z)|<e"*(z)}   ,
+  °° , et  f)  un réel  > 0
U
Alors il existe une fonction holomorphe  G qui coïncide avec  g  sur 1T ensemble ana-
lytique  X = F  (0), et telle que
lG|2 e2^ dV  g r(       ,
U
gl2 e2*"* dV
Par un passage à la limite évident, le corollaire 1  s'étend au cas où \p     est pluri-
:fe sousharmonique quelconque, et  Xp  localement minorée.
Reprenons maintenant les notations et les hypothèses du théorème 5 : X est la sous-
On améliore ainsi les estimations de B.JENNANE [9] , grâce au choix de poids plus naturellement adaptés au problème posé.
Il peut paraître surprenant que le corollaire 1 fasse intervenir un poids non plurisous-harmonique  2qi|> - ip,   mais cette situation s'explique par le fait qu'on a "récupéré de la plurisousharmonicitë" en jouant sur la négativité du fibre M . Lorsque F(z) = z = (z],...,z ) , q = p , et ty  =  constante, le corollaire 1 redonne le théorème d'H0RMANDER-BOMBIERIp sous une forme optimale, utile pour la théorie des nombres (cf. H. SKODA [16] ).
-28-variété lisse de l'ouvert Q Cffi  définie par les équations  F, = ... = F  = 0 ,
On pose n = dim X, A = 2__        |dét f-^-1	I   , F = (F. , . . . ,F") ,
2      2	2lJl = lKl=P"n        k  jej' kGK^
lFl  = lFjl  +...+ |FN|   , et on désigne par   dVx =  ~y| x 1'élément de volume
canonique de  X ; on suppose que ^  est la fonction plurisousharmonique donnée par le théorème 5 ou la remarque 6, et que 1T inégalité   |ç - z| <e      entraîne de plus   <P(Ç) <? <P(z) + A .
COROLLAIRE 3. - Four toute fonction holomorphe  g  sur  X = F  (0) et tout réel n.,> 0, il existe une fonction holomorphe  G  dans Q     qui prolonge  g , telle que
,2 -* - 2n* ",   1+A  ,
n    (|f|2 + e-2*)p-n+T1	n
où a est une constante ne dépendant que de  p  e_t  N .
Démonstration. On choisit  q = codim X = p-n  ;  si  r : U -*-X est la rétraction du
théorème 5 , on étend  g à U en posant  g = g o r  sur les composantes de  U
.	m
qui rencontrent X , et  g = 0  sur les autres composantes.
Réexaminons maintenant les arguments utilisés dans la démonstration du théorème 5,
en conservant les mêmes notations.
Les composantes connexes de  U qui rencontrent X forment un voisinage tubulaire
de  X , dont la coupe suivant le plan normal  (T X)    constitue approximativement
i  i-l -Y       |    i-l  -iJj un polydisque de multirayon  (|a.|  e   ,..., |a_|   e   ).
Un tel polydisque est contenu par construction dans la boule de centre  z  et de
-y(z)
rayon p(z) ^e A    , et son volume est donne par :
p-n   ,      ,-2	.	,-2     -2(p-n)4»       q   A~2     -2qi|T
TT	a,	...     a	e       ^     yy=TTH  A       e     HY   .
i   1 i	i   p_nt
On en déduit visiblement d'après   la remarque  5  que
.rj|2        2qijj  - <p ,__    .    1+A
|g|       e  Mr	dV $a
U
et la conclusion résulte du corollaire 2.
gl2 A"2 e"*dV
Le corollaire 3 paraît pratiquement optimal, en dehors du fait que l'on souhaiterait pouvoir prendre n = 0 .
On observera que les constantes  C?,C ,C,,C  qui interviennent dans la définition de if> , et qui ne sont probablement pas les meilleures possibles, n'auront en général aucune importance dans les applications du corollaire 3, puisqu'on peut les "tuer" en choisissant f) assez petit, et qu'en pratique ty     sera > 0 .
-29'
REMARQUE 7. Explicitons le corollaire 3 en termes plus familiers, sous les hypothèses suivantes :
|g| ^ eY   , |F| ^e  2  ,   A > e  3  ,
dans lesquelles on suppose que y>  ^> ^, X sont des fonctions plurisousharmoniques
vérifiant toutes l'analogue de  (51)  ; dans ces conditions, on peut choisir comme
fonction p (cf. (40) , (41) et le théorème 5) la fonction
-(p-n)v? -(p-n+l)x P = 34 Ae
On obtient alors,   en posant a) =     W     T)(z,     p(z))     et  en remplaçant    <p     par     2^  :
z tz  x
2y + 2 ?     - 2y>    .,       .
3	p-2(P"n)   dV   ;
>X
on choisit donc
y   = y+   (p-n+1) ^3 + (p-n) [(p-n)^2 + (p-n+l)x]+ (p+n)Log(l +|z|) , ce qui donne
f     ?     -2<p-2n*	9
lGl    TT	 dv « 3i8(1 + P    >
d'où |G|Ol9.(l +I)e^+n* + ^   .(f2  + e^)P"n+n  .
COROLLAIRE 4. - Sous les hypothèses du corollaire 1 [voir  (60), (61), (62) ;  X est définie par F ,F ,. . . ,F <= A (Q) ,  et on suppose que A 5- exp(-A.)£ - A")]  , une fonction holomorphe  g  sur  X se prolonge en une fonction G^A (Q)     si et seulement si
A
g vérifie la condition :
|g(z)| ^ exp(A x(z) + A,)  , pour tout   z^X .
-30-
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