UNE PREUVE  SIMPLE  DE  LA  CONJECTURE DE  GRAUERT-RIEMENSCHNEIDER
Jean-Pierre Demailly
Institut Fourier,  Université de  Grenoble I
B.P.   74,     F-38402    Saint-Martin-d'Hères.
Résumé.     Soit    E    un fibre hermitien holomorphe en droites au-dessus d'une variété analytique complexe compacte    X .  Nous démontrons une majoration asymptotique pour la dimension des groupes de cohomologie des puissances tensorielles    E      assez élevées.   Le majorant obtenu s'exprime de manière intrinsèque à l'aide d'une intégrale de la forme de courbure de    E  .   Comme application,  nous obtenons une preuve simple de la conjecture de  Grauert-Riemenschneider,   résolue récemment par Siu :  si    X   possède un fibre en droites    E    quasi-positif,  alors    X   est de Moishezon    ; de plus, l'hypothèse de quasi-positivité a pu être affaiblie ici en une condition intégrale qui n'exige pas la semi-positivité ponctuelle de      E  .
Abstract.     Let    E    be a hermitian holomorphic line bundle over a compact complex manifold    X .   We give an asymptotic upper bound for the dimension of cohomology groups of high tensor powers    E    .   This bound is invariantly expressed in terms of an intégral of the bundle curvature form.   As an application,   we find a  simple proof of the Grauert-Riemenschneider conjecture,   recently solved by Siu :   if    X   possesses a quasi-positive line bundle    E  ,  then    X    is a Moishezon space  ; furthermore the quasi-positivity hypothesis can be weakened hère in an intégral condition which does not re-quire the bundle    E    to be pointwise semi-positive.
0.     INTRODUCTION ET NOTATIONS.
Soient    X   une variété analytique complexe compacte de dimension    n  ,     F    un fibre vectoriel holomorphe de rang    r    et    E    un fibre holomorphe en droites hermitien
de classe    C°°    au-dessus de    X .   Soient    v = v' + v"    la connexion canonique de    E
2 et    c(E) = v    = v'v" +v"v'    la forme de courbure de    E  .   Désignons par    X(q)  ,
Osq^n ,  l'ouvert de    X    sur lequel la  (l,l)-forme de courbure    ic(E)    possède exactement    q    valeurs propres    <0    et    n-q    valeurs propres    > 0 .   Nous démontrons alors l'estimation asymptotique suivante,  qui borne la dimension de l'espace de
25
q	jj
cohomologie    H (X, E   ®F)    en fonction d'une intégrale de courbure de    E    sur    X(q)  .
THÉORÈME  0.1.   - Pour tout    q = 0,1,...,n    on a l'estimation
dim Hq(X,Ek®F) <; C(n)rkn P       |c(E)n| +o(kn)
X(q) où    r = rang(F)    et où    C(n) > 0    ne dépend que de    n .
La constante optimale dans l'inégalité du théorème 0.1 est    C(n) = (2tt)    /n!   , mais la preuve de ce résultat requiert une analyse beaucoup plus détaillée que celle élémentaire que nous exposons ici (cf.   [D2],   [D3]).   La constante optimale précédente s'obtient en combinant les inégalités de Morse de E. Witten [W]   avec un théorème de [D3],  qui décrit de manière très précise le spectre de l'opérateur de Schrô'dinger associé au champ magnétique    B = kic(E)    lorsque    k    tend vers    + e» .
Les techniques du présent article sont en fait plus proches des techniques utilisées antérieurement par  [ Siu 1,2]   pour prouver la conjecture de Grauert-Kiemenschneider. Indiquons brièvement la méthode de démonstration.   Les groupes de cohomologie
G	K
H (X,E <g>F) peuvent être interprétés comme des espaces de formes harmoniques à valeurs dans E <g>F , une fois qu'on a muni E et X de métriques hermitiennes. On utilise alors l'identité de Bochner-Kodaira-Nakano non kahlérienne de P. Griffiths [G],   relative  à la connexion    D,   = D'   + D"    de    E   <g> F    :
A£ = Aj^+ [ic(Ek® F),A] + [D^.9]  -  [D£,ë]     ;	(0.2)
Aj   , AV     désignent ici les  Laplaciens holomorphes et antiholomorphes sur    E   ® F ,   et 6    est un opérateur d'ordre    0    et de bidegré    (-1,0)    qui dépend uniquement de la torsion de la métrique hermitienne sur    X .   Il résulte de la présence du terme de courbure    kfic(E),A]     dans  (0.2)   que toute  (0,q)-forme harmonique    h    à valeurs dans
E  <g> F    est nécessairement petite en dehors de l'ensemble    X(q)  .  Pour majorer    h sur    X(q)  ,  on commence par démontrer un lemme de type Rellich pour opérateur    D' en bidegré    (0,q)  .   Ce lemme repose sur l'ellipticité du    ô    en degré    0    (cf. § 3,  §4) la preuve nécessite l'utilisation d'un pavage de    X(q)    par des cubes de côté   ~  l//k de manière  à pouvoir contrôler les effets de la courbure  (qui sont grosso modo proportionnels à    k )  lorsque    k    tend vers    +<» .
q	k
La dimension de    H (X, E   ®F)    est donc majorée  à une constante près par le
nombre de cubes du pavage,   soit    k   Vol(X(q))    ; il reste alors seulement à choisir la
métrique hermitienne sur    X   de manière adéquate pour en déduire le théorème 0.1.
La méthode de  [Siu l] ,   [Siu 2]   était assez différente,  et consistait à utiliser l'isomor-phisme de Dolbeault en vue d'appliquer le lemme de  Schwarz à des cochaîhes holomor-phes s'annulant en de nombreux points.   L'utilisation directe du lemme de Rellich pour les formes harmoniques va entraîner ici un gain de précision considérable dans les estimations recherchées.
k	n	q	q	k
Soit maintenant    \(E  ®F) =   E (-1) dim H^(X, E  ®F)    la caractéristique d'Euler-
k	Q=0
Poincaré du fibre    E   <8>F .   La formule de Hirzebruch-Riemann-Roch donne
x(Ek®F) « r j£ C;L(E)n + Pn_1(k)	(0.3)
ou
P       Ç. Q,[k]    est un polynôme de degré    <sn-l  ,   et où    c  (E)    est la première
classe de Chern de    E  .   La forme    c  (E)    est représentée en cohomologie de de Rham par la (l.l)-forme   -- e(E)  ,  de sorte que la formule précédente se récrit
Ci TT
\r	b?	î	n	n
X(E*W) = r^p f (-c(E))    + o(k )   .	(0.3-)
X En combinant  (0. 3) et le théorème 0.1 pour    q s 2  ,  on en déduit la minoration suivante
du    H° .
COROLLAIRE  0.4.   -    Supposons que    c(E)    ait au plus    1    valeur propre    < 0 en tout point de    X .   Alors   :
dim H°(X,£k®F) ;> x(Fk<8>F)  - o(kn)
k	n	., n^
~ rn Cl(  *    " °(k )  - "
Le dernier paragraphe est consacré à l'étude des espaces de Moishezon.   Rappelons-en la définition.
DEFINITION 0.5.   -    Soit    Y   un espace analytique compact irréductible.  On appelle dimension algébrique de    Y ,  notée    a(Y)  ,  le degré de transcendance sur    C    du corps   #î(Y)    des fonctions méromorphes de    Y .
D'après un théorème bien connu de  Siegel [S],  on a toujours l'encadrement 0 £ a(Y) <; n ,  où    n = dim^, Y .
DEFINITION 0.6.   -    Y    est    appelé espace de Moishezon si    a(Y) = n .
En utilisant le raisonnement de Siegel [S],   il n'est pas difficile d'obtenir d'autre part l'estimation suivante  (cf. § 6 ; voir aussi  [Siu 1]).
27
THEOREME  0.7.   -    Pour tout fibre holomorphe en droites    E    au-dessus de    X , il existe une constante    C > 0    telle que
dimH°(X,Ek) <; Ck&(X)  ,    vk s 1  .
Le fibre    E    est dit quasi-positif si la forme de courbure    ic(E)    est définie positive sur un ouvert dense de    X .   La conjecture  [G-R]  de Grauert et Riemenschneider peut alors s'énoncer comme suit.
CONJECTURE  0.8.   -    Pour que    Y    soit un espace de Moishezon,   il faut et il suffit qu'il existe une désingularisation    tt :  X -Y    de    Y    et un fibre holomorphe en droites    E - X   quasi-positif.
La condition est trivialement nécessaire,  car si    Y    est de Moishezon on sait d'après  [Moi]  que    Y   possède une désingularisation projective    X .    Le corollaire 0.4 et le théorème  0.7 permettent inversement de résoudre par l'affirmative la conjecture de Grauert et Riemenschneider.   Le corollaire  0.4 fournit en fait une condition suffisante plus générale,  qui n'exige pas la semi-positivité ponctuelle de    E  .
THEOREME  0.9.   - Soit    X   une variété analytique compacte connexe de dimension n .  Pour que    X    soit de Moishezon,   il suffit que    X   possède un fibre hermitien en droites vérifiant l'une des hypothèses suivantes :
(a)c  (E)    > 0 ,   et    ic(E)    a au plus une valeur propre    < 0    en tout point de   X
(b)ic(E)    est semi-positive sur    X   et définie positive en au moins un point.
Le théorème 0.9 (b) a été démontré antérieurement par I Siu 1]   avec l'hypothèse supplémentaire    ic(E) > 0   presque partout,  puis par  [ Siu 2]   en général.   C'est ce résultat qui a constitué la principale motivation de notre travail.   Une fois que l'on sait que    X   est de Moishezon,   il n'est pas difficile de démontrer un théorème d'annulation sous hypothèse de semi-positivité de    E    (cf. §7).
/
THEOREME 0.10.   -  Soit    X   une variété complexe compacte et connexe de dimension    n  ,     E    un fibre hermitien en droites au-dessus de    X .   Si    ic(E)    est    s 0 sur    X  _et    > 0    en au moins un point,   alors
Hq(X,Kv®E) = 0 = H^^X.E"1 pour tout    q = l,...,n  .
28
1.     IDENTITE DE BOCHNER-KODAIRA-NAKANO EN GEOMETRIE HERMITIENNE.
L'outil essentiel pour la démonstration du théorème  0.1 consiste en une estimation a priori pour les formes harmoniques à valeurs dans le fibre    E  <g> F ,  dérivée de l'identité de Bochner-Kodaira-Nakano.
Pour obtenir cette estimation,  on munit la variété    X   d'une métrique hermitienne
00
arbitraire    u>    de type  (1,1)    et de classe    C    ,   et on introduit de même une métrique
co
hermitienne    C      sur les fibres de    F .   L'espace    C      (X, F)    des  (p.q)-formes de
p,q
classe C à valeurs dans F se trouve alors muni d'une structure préhilbertienne naturelle. On note D = D' +D" la connexion hermitienne canonique (i. e. telle que D" = â ) de    F ,     6 = ô' + S"    l'adjoint formel de    D    considéré comme opérateur dif-
CO
férentiel sur    C      (X, F)   ,   et    A    l'adjoint de l'opérateur de multiplication extérieure - ? -
co
par    ou .   Si    A,B    sont des opérateurs différentiels sur    C      (X, F)    de degrés respec-
* ? -
tifs    a,b  , on définit leur anti-commutateur    [a,B]    par la formule
ah [A.BJ   = AB - (-1)     BA  .
Pour un troisième opérateur    C    de degré    c  ,   l'identité de Jacobi s'écrit alors :
(-l)Ca[A,[B,C]]  + (-l)ab[B,[C,A]]  + (-l)bC[C,[A,B]]   =  0 .	(1.1)
Avec ces notations,   les opérateurs de  Laplace-Beltrami    A' , A"    du fibre    F    sont définis par
A"  =  fD',6'1   = D'ô*   + Ô'D'     ,       A" =  fD",ô"]    .
LEMME   1.2.   - On a les relations de commutation
fA,D']   = i(ô"+6)   ,       fA,D"]   = -i(ô' + 6)   ,
où    0 (resp.   0)    est un opérateur d'ordre    0    et de bide gré    (-1,0)  (resp.   (0,-1))
ne dépendant que de la torsion de la métrique    ^    sur    X .
Démonstration.   - Les relations sont vraies dans    C     pour la métrique canonique (et plus généralement pour toute métrique kahlérienne)  : on a alors    0 = 0.  Pour une métrique hermitienne    uu   quelconque,  l'égalité a donc bien lieu au niveau des symboles principaux.
On peut montrer que    8* = [A ,d'uu]     (cf.  [Dl]),  mais nous aurons besoin ici seulement de savoir que    0    est indépendant de    F    ; or,  ceci est évident,  car pour tout    x ¤ X     le fibre    F    admet localement une trivialisation par un repère holomorphe qui est orthonormé et D-parallèle au point    x . ?
29
L'utilisation du lemme 1.2 et de l'identité  (1.1) donne
A" = ID", -i[A,D'] -ël
= -i([D',[D",A]] + [A,[D',D"]])  -  [D",ë] = A' + lD',91   + [i[D',D"],A] -  tD",0]    ,
ce qui implique la formule suivante,   connue sous le nom d'identité de Bochner-Kodaira-Nakano.
COROLLAIKE  1.3.   -    A" = A' + Uc(F), A] + [D», 9Ï - ÏD", 9 I    -?
Pour    u Ç C       (X, F)    on note      u(x)      la norme de    u    en chaque point    x £ X   et
p,q	'        '
[lu||    la norme    L^    globale :
||u||2=J   |u|2dV    ,      dV = -J-½n .
X	2nn !
Par adjonction,  on obtient les égalités
<A'u,u> = ||û'u||2 + ||ô'u||2  ,       <A"u,u) = ||D"ul|2 + ||ô"u||2  , <[D',9Ïu,u> - (9u,ô'u) + <D»u,e*u>   , <[D",9]u,u) =  <0u,6"u)  + <D"u,ë*u>   .
Grâce à l'inégalité |(9u,6'u)|  * è(||6'u||2+||0u||2)    . et ses 3 analogues,  on déduit alors du corollaire 1.3    l'estimation
|<A"u,u>   ;> |(A'u,u>  + <[ic(F),A]u,u)  -  C^uf   ,	(1.4)
où    Cft    est une constante    s 0    dépendant de    d'uu  ,  mais pas de    F .
Soit maintenant    v    la connexion de    E  ,     D,   = D!  + D"      celle de    E  <g> F ,
k	k        k
ô,     l'adjoint de    D.   ,  et    Aï , A!'    les laplaciens associés.
k	k	k     k
La courbure de    E  ®F    se calcule par la formule
c(Ek<8»F) = kc(E) ® H     + c(F)   .
-F
oo	k
Pour tout    u Ç C       (X,E   ®F)   ,   l'estimation  (1.4)  implique
p,q
3(||D^u||2+||ô^u||2) ^   |lD^u||2 + ||6{5u||2 +2k<[ic(E),A]u,u) - C^uf	(1.5)
où    C   > 0    dépend de    d'uu    et de    F ,   mais pas de    k .  Nous aurons donc besoin d'évaluer le terme en courbure    tic(E),A]    .   En tout point    x 6 X , notons
30
a (x) <s a (x) <;...£ a   (x)
les valeurs propres de la (l,l)-forme réelle    ic(E)(x)  ,  et pour tout multi-indice le {l,...,n}    notons
aT =  S a.  . 1     J6I   J
Les    a.    sont donc des fonctions continues sur    X .
-I	1  0  #
Choisissons une base orthonormée    (§.),   .	de    A '   T   X   qui diagonalise    ic(E)(x)
j l^j^n	x
sous la forme
n
ic(E)(x) =iEa. (x)Ç AÇ. i=l  J        J     J
k et une base orthonormée    (f, ,...,f   )    de la fibre    (E ®F)    .   Alors pour toute forme
1	m	x
u Ç AP'qT*X   telle que x
I,J,m I     J     m où    |l| = p  ,     |J| - q  ,     l^m^r  ,  on a l'égalité classique  (cf.  par exemple [Dl]) :
<[ic(E),Alu,u> =     T    (aT+aT- Za.)|uT T      |2 .	(1.6)
I,J,m V  I      J   j=i 1)    M,m
2.     ESTIMATIONS A PRIORI POUR LES FORMES HARMONIQUES.
q	k
D'après la théorie de Hodge,   l'espace de cohomologie    H (X,E  ®F)    est isomorphe
q	k
à l'espace    M,     des (0,q)-formes    AV. -harmoniques    à valeurs dans    E  ®F .   Toute
k forme    u 6 c!    (X,E  ®F)    peut également être interprétée comme une  (n.q)-forme
k    ~	~	n
u    à valeurs dans le fibre    E  ®F , où    F = F® A TX   ; de plus,  l'isomorphisme
ui-u    est une isométrie
C*    (X,Ek®F)^C°     (X,Ek®F)  .
0,qv	n,qx
Si on écrit    u = Eu.     ÇT®e      ,  l'égalité (1.6) donne
J,m J      m
<[ic(E),AÏu,u>  =    E   -ccPj|uJ>m|2 > -(aq+1+...+an)|u|2 ,	(2.1)
(tie(E),A]ïï,û)    -    T ajluj^l2 ^ (ai+...+ aq)|u|2 .	(2.1)
L'estimation a priori (1.5) appliquée aux formes    u ¤ Cn    (X, E  ®F)    et
S 6 C      (X, E  ®F)    entraîne alors les trois inégalités suivantes : n,qv
illD^uf - 2B||u||2   *  ek(u)  ,	(2.2)
2Jx" (V+'"+Vlul2dV^k(u) »	<2-3>
31
2j   (a +...+otQ)|u|2dV  <;  e (a)    ,	(2.3)
avec
B = max (a  J_1(x)+...+a   (x))   ,	(2.4)
x¤X    q+1	n
ek(u) = |(llDku!l2 + llôkull2 + c2H2) .   c2-° -	(2-5)
Soit maintenant    h   une (0,q)-forme harmonique à valeurs dans    E  ®F    et soit    \|t    une fonction    C      arbitraire sur    X .  On a    D" h = ô"h = 0 ,  donc
K	K
D"(tjjh) = d"ij/Ah ,       ô"(i|rh) = -d*\|tJ h	(2.6)
où   j    désigne le produit intérieur.   Considérons le recouvrement de    X   par les intérieurs des compacts
K+ = {x¤X ; a1(x)+...+ a (x)^|]  ,
K_ = {x¤X; a     (x)+...+ an(x)<;-.i }  ,
K
[x6X; a.(x)+... + a (x) s 1   et   a J_(x)+...+ a (x) > -1} ,
L	1	q	q+1	n	J
et soit    (\|t   , \|r   , \|i)    une partition de l'unité subordonnée à ce recouvrement,  telle que
2        2        2*	~
i|r    + i|r_ + ?j/    = 1  .   Les estimations (2.3),   (2.3),   (2.5),   (2.6) appliquées à    u = ijj   h
fournissent alors
de sorte qu'il suffit de savoir contrôler    ijfh .   Ceci sera possible grâce à l'inégalité (2.2),  moyennant un lemme de Rellich convenable pour l'opérateur    D'   .
3.     UN LEMME DE RELLICH POUR L'OPERATEUR    a    DANS    (c"  .
Soit    cp    une fonction de classe    C°°    à valeurs réelles dans    AT     (cp   de classe    C suffirait).  On désigne par    \    la mesure de  Lebesgue sur    ¤r    et par    ||w||,        la norme    L     d'une fonction mesurable complexe    w  ,  avec poids    exp(-kcp)    :
Hkcp = J^lw^e^îX-kcpJdX  .
Soit N(P) le nombre de points du réseau Kti] = (2Z + i:&) situés dans la boule fermée de centre 0 et de rayon p . Nous démontrons alors le lemme de Rellich explicite suivant pour l'opérateur    d  .
THEOREME 3.1.   -    Soit    K   une partie compacte de    C      et    A > 0    un majorant sur    K   des valeurs propres du Hessien de    cp ,   i.e.
Soit    a    un réel    > 0    quelconque.   Pour tout réel    k > 0    il existe alors un entier ,n, n
Y(k) = N(Vo-+2n)A"k"\(K) + o(k )	(3.2)
et des fonctions    f.      ¤ C   (¼   )  ,     l^j^y(k)   »   ayant la propriété suivante : pour
î » -K
n toute fonction    w ¤ C  (¼ )    à support dans    K ,  on a l'Inégalité
H< <3S l'5< + lsi?Y(k) I^'jA/ -	<3'3»
Démonstration.   - Observons d'abord que le problème est,  en un certain sens,  local
o
sur    K .   Soient en effet    K ,...,K      des compacts dont les intérieurs    K      recouvrent
1	s	2
K   et sofent    \|/      des fonctions réelles    C      à support dans    K.    ,  telles que   Zï-i|f    = 1
sur    K .   L'égalité    2Z4 ô\|i    =0    donne
S |i(>Lw)|2 = S |*p5w + w5*pl2 = 1ôw|2 + ( ? |5*pl2)|w|2 .	(3.4)
g=l       *	£=1    c w	e	\£=1     e    /
Supposons (3.3) vraie sur chaque    K      ;  il suffira alors de sommer les inégalités (3.3)
relatives aux fonctions    i|i  w   pour obtenir celle relative à    w  ,  car la constante
-       2 2jô|0|      figurant dans (3.4) se trouve multipliée par le facteur    l/k   tendant vers   0 .
Pour démontrer l'inégalité (3.3) on va utiliser un pavage de    K   par des cubes de côté assez petit.  On considère pour cela le pavé "modèle"    P    de côté    2    défini par
P = {z = (xj + iyj)^jàn;   jx.jsl,   jy.^1}  .	(3.5)
On définit une fonction    i|i ¤ C (<E )   ,   à support dans    P  ,  en posant
f(z) =    TT  cos^x.-cos^y      ,     zÇP  ,	(3.6)
l^j^n        *   J	z   J
2	2
de sorte que la fonction    i|r    s'annule sur    ôP  .   Des relations    cos   + sin    =1    et
-^-(cos -- x. -cos-ô-yj = - t(sin Sx. cos-y. + icos-x. sin-y.)  ,  on tire aussitôt :
ÔZj v        2   ]	2 V	4V       2   j	2Jj	2   j        2 V
£	i|)(z-v)2 = 1   ,	(3.7)
v¤^[i]n
S   n|ô*(z-v)|    ? nlC   ?	(3-8)
v¤»[il
L'inégalité (3.3) va alors se déduire du lemme crucial suivant par un argument de
partition de l'unité.
33
LEMME 3.9.   - Soit    p    un réel    > 0    et      v, x      des fonctions complexes de
classe    C      sur    P  ,  avec    v..
r BjiN = N(2P/tt)   ,  telles que
Jp|v|2exp(-ReX)dX   £ ^J   (jgvj2 +\ |ôX|2 |v|2)eXp(-Rex)dX +  £|<v,f.^|2 .
Démon st rat ion.   - Posons    g = vexp(~x/2)  .  On a alors
ôg = (ôv --vôx)e^)(-x/2)  . et l'inégalité de  Cauchy-Schwarz entraîne
|dg|    * 2(|5v|   +||ôx|   |v|  )exp(-Rex)  - L'inégalité du lemme 3.9 est donc une conséquence de l'inégalité
f   |g|2dX si f   |ôg|V  + Z|<g,f.exp(-x/2)>|2    .	(3.10)
JP	p2 V	j	J
2n Identifions l'espace mesuré    (P,d\)    au tore    (IR/2I&)        et considérons les coefficients
de Fourier de    g    définis par
g(v) =   f  g(z)exp(-iTTRe<v,z))d\(z)  ,      v^[i]     . Comme    g    s'annule sur    ôP  ,  on obtient après intégration par parties l'égalité
La formule de Parseval-Plancherel donne alors les identités
Mg|2d^2-2n    S    Jg(v)|2 ,
p	v¤Z[i]
\lg\2d\ - 2~2*f      Z        |v|2|g(v)|2   - 4  Y¤^[i]n
Pour assurer la validité de (3.10),  il suffit donc de prendre pour fonctions    f.    les fonctions    z «-* 2     exp(irrRe(v,z>+x/2)    avec     |v|  <-   -   Le lemme est démontré.»
On considère maintenant le recouvrement du compact    K   par la famille de pavés
P   =-r=r(P+v),    v¤^ti]n	(3.11)
v     V^k
de côté    2A/Â"k    et de centre    a   = v/jAk .  Posons
v
If  (z) « ?ifijAkz - v)	(3.12)
de sorte que    Supp |   c Pv   .   D'après (3.7),   (3.8) et (3.4),   il vient
HlLp - £ MIL	<3-13>
S||5«vW)||^=|W|^+n4AkH^.	(3. ,4)
On va maintenant appliquer le lemme 3. 9 aux fonctions    \|i w    sur chaque cube    P    .
On cherche pour cela un poids    x = X      te* <ine    *te X    = cp ,  qui minimise    ôx    sur
P    .   Dans toute la suite,  nous conviendrons de noter    C , C  ,...    des constantes dépen-
dant éventuellement de    K   et de    cp ,   mais indépendantes de    k,e,v  -  Pour tout    z ÇP
la formule de Taylor donne
2 cp(z) = Re F (C) +        S      rfrf- (a > Ç. C. + n <C>
o
où    £ = z - a    ,    n(0 ^ O  |C|     ,  et où    F      est le polynôme holomorphe défini par Fv(c, - cp(av) ? Z Z XL (av,£. ? S J&- ,av) CjC , .
On pose alors
X  (z) = cp(z) +iImFv(0   ,
de sorte que
àv	2
*V	,-x      5 cp     ,    .,    ,   âî] .,.	| Sri  ....       n  lr,2
lsj^n ôzjôzg    v   J      ÔZ¤	'âz¤
Puisque les valeurs propres de    iôôcp    sont majorées par    A   et puisque
o k.l    ^ 2/Ak    sur    P    ,  nous obtenons :
'V	v
|ôXv|2 * A2|C|2  + C3|C|3 <. 2nA/k + C4k"3/2   .	(3.15)
Appliquons maintenant le lemme 3.9 au poids    x(z) ~ ^X   ((z+v)A/Ak)    et à la fonction v(z) = \|i(z)w((z+v)/*/ÂTE) = (\|i w)((z+v)Â/A"E) ,    zÇP .
-    2	-4
L'estimation (3.15) entraîne     jôxl    s 2n + C k       ,  d'où
Pour achever la démonstration,  il ne reste plus qu'à sommer les inégalités (3.16) sur les cubes    P     qui rencontrent    K .   En utilisant (3.13) et  (3.14) on obtient alors
«-C ^ [s iis-C+ Hrt) +V*)ii<,]
'uftw'^W       (3-17)
où les fonctions    (f. , )    ne sont autres que les fonctions    è f.    après réindexation.
J,k	VJ      J
L'inégalité (3.17) implique (3.3) en faisant passer le terme    ||w|L        du membre de
droite dans le membre de gauche ; il suffit pour cela que
35
l-(l+n2/4)n/p2        p2
0 <	   = -5-
2/p2	2
ce qui est réalisé par exemple pour    p = - ^a + 2n .   L'entier    y(k)    est alors donné
2 par
Y(k) = Ncard{v ;PvnK^0}
avec    N = Ni--) = N("/a +2n)  .   Comme la maille du réseau des translations définissant
les cubes    P     a pour volume    (Ak)      ,   il vient
card{v ;PnK^} = Ank\(K) + o(kn)  , et l'estimation (3.2) s'ensuit. ?
4.     LEMME  DE  RELLICH POUR L'OPERATEUR    D'    .
1	k
Comme l'estimation (3.3) est locale,   elle peut s'étendre sans difficulté au cas de
l'opérateur    Dj     agissant sur une section    u ¤ Cn    (X, E   <g>F)  .  Pour cela,   il suffit
k	0, q
d'appliquer le théorème 3.1 aux composantes de    u    dans des coordonnées locales convenables.
THEOREME 4.1.   - Soit    K   une partie compacte    de    X   et    Vol(K)    son volume relativement à la métrique    uu .   Soit    A    un réel    > 0   tel que
sup     max  ! a. (x) I   <.  A  , x6K  l±]<,n     Y    '
où    a  <.<x    <? ...<, a      sont les valeurs propres de    ic(E)  ,  et    a    un réel    > 0 quelconque.  Pour tout entier    k > 0  ,  il existe alors un entier
v(k) = fnjrN(Va+2n)AnknVol(K)  + o(kn)	(4.3)
0	k
et des formes    v. .   ¤ C"    (X,E  <8>F)   ,     l^j âv(k)  ,  telles que pour tout
½	u      '
u ¤ Cn    (X,E  ®F)    à support dans    K   on ait
i2	1     n_.    i,2	^        , ,	lf2
1 sï
Démonstration.   - Soit    g g ]0,ll     un réel fixé.  On va d'abord démontrer que l'inégalité  (4.4) a lieu a un facteur multiplicatif    1 + e    près dès que    K   est assez petit.  On suppose que    K   est contenu dans un ouvert de carte    Q c X   qui trivialise les fibres    E    et    F .  Pour simplifier les notations,  on identifiera    E|q   au fibre trivial   Q x C    ; la métrique de    E    est alors donnée par un poids    e-cf ,  et la
36
courbure de    E    est telle que
ic(E) = iôôcp      sur   Ci .	(4.5)
00
Soit d'autre part    (f ,...,f   )    un repère orthonormé    C     de    Fi~ .  Quitte à rétrécir Q ,  on peut supposer que    fi   est muni de coordonnées locales holomorphes    (z  ,...,z )
approximativement orthonormées,  telles que
!     n	n
(1 + e)     i Zdz.Adz.   <. ut),     <;   (1+e) i Edz.Adz.  .	(4.6)
1=1    J        i	|u	j-i     J        J
co	k
Via l'identification    E i    =* fi x ¼   ,  toute forme    u ¤ Cn    (X, E  ®F)    peut s'écrire
u =   Z   uT     dzT®f     ,       |j|=q,     l^m^r.
J,m  J.m    J      m	"
LEMME 4.7.   -    L'opérateur    D'     est défini par la formule
D'u =    E	E    ekcp-^(e"kCpuT     )dznAdzT®f
k       J,m   lsfcsn        Sz¤	J,m     ¤       J     m
+ (-l)q   Z uT     dzT<g> D'f     .
J,m  J>m    J	m
Démonstration. - En utilisant la formule de différentiation d'un produit tensoriel, on se ramène au cas où le fibre F est trivial (la métrique de F étant elle aussi triviale).   Sbit
(X,<C)
l'accouplement sesquilinéaire induit par la métrique de    E    .   Relativement à la trivia-lisation    E.    =- Q x ¼   ,   cet accouplement est défini par
(v|w)    = vAwe    ^  .
Kl
Comme la connexion    D      est hermitienne et holomorphe,  on a la formule
ô(v|w)k = (D^lwjj^ + (-1) 6gV(v|ôw)k . Ceci implique     D*   = e  ^(e-     .)  >  d'ou le lemme. ?
_	-kep
Posons    wT       = uT     e	.   D'après  (4.6) on a l'inégalité
J,m        J,m
||u||2 * (l+£)n+q    E   J   |wT      |2ekcpdX	(4.8)
J,mJK'   J»m	V      '
car    Supp u c Kc n    ; le coefficient    (1+e)      provient de l'inégalité    dV ^ (1+e) d\  , le coefficient    (1 + e)      de la métrique du fibre    ATX.   Le lemme 4.7 peut se récrire par ailleurs
37
2	2-12
Grâce à l'inégalité    (a+b)    ^ (l+e)(a +e    b )  ,   il vient :
Ci
E   J   I», jV^X  <  (1+e,n+^2[||D.u||2 + a"uf ] ,	(4.9,
J,m   K      J'm	L     K
où    C      est un majorant de    (JD'f  |+... + |D'f  |)      sur    K.
Les valeurs propres de    ic(E) = iôôcp    sont d'autre part majorées sur    K   par
(l + s)A   .   Appliquons alors le théorème 3.1 aux fonctions    wT        ,  où    cp    est remplacé
par    -cp    et    A    par    (1+e)	A  .  U vient
-2n-2q-3
||w        ||2        ^   <lî£>	||ôw        ||2        +        E      |<wT       ,f.  . >  .     |     .	(4.10)
J'm'-kcp	°Ak	J'm -kcp      l^j^Y(k)      J>m    J,k   kcp
En combinant  (4.8),   (4.9) et  (4.10) on obtient après sommation sur    J,m    :
H2 * <J⣠[ll^ll24w2] + 1^vWl<""'i.k>lî -	<4'n>
et comme    \(K) <; (l + e)nVol(K)    il vient
V(k) =fn]rY(k) ^fn]rN(Vor+2H)(l+e)   2AnknVol(K)  + o(kn) .	(4.12)
Ceci suppose que    Supp u c K    et que le compact    K    soit assez petit.   Dans le cas
o
général,   soient    K ,...,K     des compacts dont les intérieurs    K      recouvrent    K ,  tels
1	S	£
que  (4.11) et  (4.12)  soient réalisés sur chaque    K      et tels que Vol(K ) +...+ Vol(K ) < Vol(K) +e   .
J-	O
p
Soient    if      des fonctions réelles    C      à support dans    K     vérifiant   Z)f    = 1    sur    K On a alors l'estimation suivante,   analogue à (3.4)  :
^K^^f * !!Dkull2 + C3HI2 .	<4-13>
2 où    C      est un majorant pour   £|ô|  |     .   Les inégalités (4.11) et (4.12) relatives aux
formes    ty u    impliquent
avec
v(k) - fnjrN(^ + 2ÏÏ)(l+e)   2 Ankn(Vol(K) + e)  + o(kn)  .
Le théorème 4.1 s'ensuit si l'on fait tendre    e    vers    0 . ?
llull2 *  <1+E>_1
38
5.     MAJORATION ASYMPTOTIQUE  DE  LA  DIMENSION DES GROUPES DE  COHO MO LOGEE.
Pour illustrer la méthode,  nous commencerons d'abord par étudier le cas particulièrement simple où    ic(E) s 0 .
THEOREME  5.1.   -    On suppose    ie(E) s 0    sur    X .   Alors dim Hq(X,Ek<g> F) = o(kn)    si    q s 1  .
Ce résultat est dû à Y. T.   Siu  [Siu2]   (avec une preuve différente)  ;   grâce à la
formule de Riemann-Roch (0.3),  on en déduit la minoration suivante du    H      :
0	k	k11
dim H (X,E   ®F) £   r - c   (E)n - o(k.n)  .	(5.2)
En utilisant le théorème 0.7 on voit que la proposition 5.1 entraîne déjà la conjecture de Grauert-Riemenschneider dans sa formulation 0.9 (b).
Démonstration du théorème 5.1.   -   Soit    fi ,    l'ouvert des points de    X   où    ic(Ë)
"    '        '       ?"	"" -      -	'   ??	-f-
est définie    > 0    (c'est-à-dire où    (ic(E))   >0 ),  et    K   un voisinage compact de X\Q    .  Pour tout    e > 0 ,  on peut choisir    K   tel que
f   (ic(É))n < e  .
Si    K+ c 0      est un voisinage compact de    X\K    ,   il existe des fonctions
\|i,\|i    ¤ C½(X,IR)    à support dans    K,   K    respectivement,  telles que    i)j   + \|t    = 1
sur    X .
Soit    S   une métrique hermitienne arbitraire sur    X ,    ri    un réel > 0    et
ou = ic(E) + nôJ -   Puisque    K   c: Q   ,   ic(E)    est définie    > 0    sur    K    .   Les valeurs
propres    a.    de    ic(E)    relativement à la métrique    uu   vérifient donc    a. s:...s a   ^l
sur    X ,  et sur    K     on aura
-sa, s...^a   s 1	(5.3)
2	1	n
dès que    r\    est assez petit ; pour    r\ < ru     suffisamment petit,  on aura de plus
Vol(K) = J    ~-  < e   - JK 2nn!
Soit alors    h    une  (0,q)-forme harmonique à valeurs dans    E  ®F ,    qsl  .   Les estimations  (2.3),   (2.5),   (2.6) pour    u = \|r   h    donnent
WKH2 * t INI2 .	(5-4)
39
tandis que les inégalités  (2.2),   (2.4) pour    u = ijjh    impliquent
i||D^h)||2 - (2n-2)||rf   ^   ^ INI2'	(5-5)
Utilisons maintenant le théorème 4.1 avec    u = t|fh ,	A = 1  ,    a = 2n-l  .  Il vient
(2n-l)||^h||2 - i||D^h)||2 £ VÈ |<h,fv.)k>|2 .	(5.6)
Par addition de (5.4),   (5.5),   (5.6),  on en déduit
IN2 - IIHI2 - IIMI2 * ïlN2 +Vf l<h'*vj,k>l2 ?
ce qui entraîne    h= 0    dès lors que    k> C      et    (h, i|rv.    ) = 0 ,     l^j^v(k)  .  Il vient donc
dimHq(X,Ek®F)   <; v(k)   5; fJn]rN(v4rn^î)kne + o(kn)
pour    k    assez grand,   et le théorème 5.1 est démontré. ?
Démonstration du théorème 0.1.   -    L'idée est analogue est celle du théorème 5.1 ; elle consiste à combiner l'estimation a priori du    Aï     avec le lemme de Rellich pour l'opérateur    D'   .   Nous aurons besoin pour cela de construire une métrique hermitienne adéquate sur    X .
Désignons par    S    l'ensemble des points    x ¤ X   en lesquels la forme de courbure    ic(E)(x)    est dégénérée.   Avec les notations de l'introduction,  posons
fi + = X(0) U...U X(q-l)   ,       fi_ = X(q+1) U..-U X(q)   .
On a alors une partition de    X    :
X=SUX(q)U^Un      .
L'ensemble    S U X(q)    est compact,  et    c(E)    =0    sur    S .  Pour tout    e > 0 ,  il existe donc un voisinage compact    K   de    SU X(q)    tel que
P	|c(E)n|   <  e/2nn .	(5-7)
JK\X(q)	'
On choisit d'autre part des compacts    K   c fi    ,     K  cz  fi      tels que
00	o
X = K U K   U K    .
4-	-
On va maintenant construire une métrique hermitienne    m    sur    X   qui sera intimement reliée à la forme de courbure    ic(E)   .   Soit   Ûj    une métrique hermitienne fixée une fois pour toutes et    a   £ a0 £ >.«£a  les valeurs propres de    ic(E)    relativement à   ûj .
1	£	Xi.
40
On définit trois formes hermitiennes    uu   ,  tu    ,  uu      semi-positives en tout point
T)       +        -
x 6 X   en posant
n     /        2     2
0)   = i E 7a (x)   +n   Ç AÇ        >    il >o
M	j=l	J	J	J
uu    = i     E   n|â (x)|c.AC  + i   £Aà(x)CAC	(5.8)
+        aj<0       J        J     J        a.>0   J      J     J
uu   = i    S   |â.(x)|CAC +i    L  na(x)C.AC a.<0   J        J    J        a.>o     J      J    J
relativement à une base    (Ç.)    .        de    TrX ,  orthonormée pour    S    et orthogonale
pour    ic(E)   ,  telle que
n
ic(E) = i Z a(x)Q AQ    .	(5.9)
j=l  J       J     J
LEMME  5.10.   -    ou    (resp. uu , , uu   )    est définie    > 0    de classe    C°°    sur    X
f]	+      ~				
(resp.   sur    X\S )  .
Démonstration.   - Soit    M    la matrice de    ic(E)    dans un repère    eu -orthonormé de classe    C°°   de    TX   et     |M| = Jm      la valeur absolue de    M  .   Les matrices de uu    >  U),   ,  w      sont données par
M      est donc de classe    C°°    sur    X ,   et    MM      le sont sur    X\S . ?
X]	+
En recollant    uu    ,  uu    ,  uu      à l'aide d'une partition de l'unité,  on peut construire
m    ri        +
une métrique    C      définie positive    ou    sur    X   telle que
uu = eu      sur    SU X(q) ,
uu = uu+    sur    K+ ,	(5.11)
uu = m      sur    K_  .
Comme les 3 métriques    uu    ,  m    ,  uu      majorent     |ic(E)|    et comme    uu    ^nuu
T]	+	±11
on a l'encadrement
|ic(E)|  ^ uu ^ nuu    .	(5.12)
T)
Puisque    uu      converge vers     |ic(E)|    quand    n    tend vers    0  ,   (5.7),   (5.11),   (5.12) entraînent pour    r| < r)n    assez petit :
41
r	½n<e/2 ,       f       o)n < J       |c(E)n| +e/2 ,
K\X(q)	X(q)	X(q)
d'où l'inégalité
r / < r    |C(E)n| + e .	(5.i3)
J K	J X(q) '
Si    a   <? a   £ ... ^ a      sont les valeurs propres de    ic(E)    relativement à    u) ,   (5.12)
a.        ù	n
implique     la. I  ^ 1    sur    X ,  tandis que  (5.8),   (5.9) et  (5.11) donnent ax = ...   =ct   = --    ,       et        = ... = an = 1    sur    K+n X(j)  ,    j <q  , a1 =  ... = a   = - 1    ,      a        = ... = an = -    sur    K_ n X(j)   ,    j > q .
En particulier,  on en déduit
(5.14)
00
Soient    \|j , \|i    , i|i    ¤ C (X,IR)    des fonctions à support dans    K , K   , K      respec-
9	2	2
tivement,  telles que    i|i    + i|)    + \|)     =1    sur    X .   Pour toute  (0,q)-forme harmonique
h    à valeurs dans    Ek ® F  ,   les estimations  (2.2) pour    u = \jjh  ,   (2.3) pour    u = i|r h ,
(2.3) pour    u = i|r h    entraînent respectivement
±||D^h)||2 -2n||th||2   s   ^||h||2   ,	(5.15)
|!^±h||2   *   S |Jh||2  .	(5. 16)
Utilisons maintenant le théorème 4.1 avec    u = \)rh ,     A. = 1  ,    a = 2n+l  .   Il vient
(2n+l)^h|!2 -i||D'(^h)||2   <;       £        |<Mv      >|2   .	(5.17)
K     K	l^j^v(k)	J'K
Par addition de (5.15),   (5.16),   (5.17) on en déduit
IN2 = IIHI2 + llnhH2 + IM!2	-    <5-18>
^||h||2+      S     |<h,tv  k)|2
K	l^j^v(k)	J'K
ce qui entraîne    h= 0    dès lors que    k > C"    et    (h,\|iv. , ) = 0 ,     1 <; j <; v(k)  .  Pour k > C"    il vient
dim Hq(X,Ek®F)   <; v(k)   =£   MrN(v^n+Î)knVol(K)  + o(kn)   .
D'après  (5.13) on a
42
VbKK)--^-;   /  <  4~(j        lc(E)nî+e)   -
2nn! JK	2nn! ^ X(q)	/
Comme    (    ] £ 2      il s'ensuit
dimHq(X,E  ®F)   <; -r N(A^n+ï)rk11  f        |c(E)n| + e    + o(kn)   ,
n!	V JX(q)	/
et l'estimation asymptotique 0.1 est donc démontrée avec C(n) = ~ N^iH+l) . .
Le théorème 0.1 entraîne une minoration du nombre de sections holomorphes de E   ® F    ; plus précisément,  on a l'énoncé suivant qui généralise le corollaire  0.4.
COROLLAIRE 5.19.   - Supposons que la courbure    c(E)    n'admette aucun point
d'indice pair    ^ 0 .   Alors
0        1	kn
dimH (X,Ë  ®F)   s  x^cAE)    - o(kn)  .
Démonstration.  - Par hypothèse    X(2) = X(4) = ... = 0  ,  donc le théorème 0.1 donne    H q(X,E   ®F) = o(kn)   .  Par suite
x(X,£k®F) = dimH° -  (dim H1 + dimH3+... ) + o(kn)  ,
et le corollaire résulte de la formule de Riemann-Roch (0. 3).b
6.     MAJORATION DU NOMBRE  DE  SECTIONS HOLOMORPHES ET DIMENSION DE  KODAIRA.
Tous les résultats de ce paragraphe sont archi-classiques.   Nous les rappelons simplement afin de donner un exposé complet et autonome.
Si    E    est un fibre en droites au-dessus de la variété    X    (supposée connexe),  on
notera    V.   = H (X, E )    et    h,   = dim V,   .   Si    h,     est    >0 ,   les sections globales
k	k	k	k
s Ç V.     définissent une application holomorphe naturelle
$k :  X\Zk^lP(Vk)- IP k
où    Z   c X   est le sous-ensemble analytique de leurs zéros communs :   pour tout x ¤ X\z,   ,   l'image    §,(x)    est définie comme droite épointée de    V,     par
$k(x) = |<Vk3flH-S.a<x)) ; ? ¤ E~k , S^oj £ ¼>(v£) .
43
Soit    p      le rang maximum de    §.     sur    X\Z    .
DEFINITION 6.1.   - On appelle dimension de Kodaira de    E    l'entier
H(E) = max{pk; k>l et h^O}
jsi    h,  ^ 0    pour au moins un    k s 1  ,   et    k(E) = -½    sinon.
On a alors la majoration suivante pour les dimensions    h,   .
THEOREME  6.2.   - Il existe une constante    C s 0   telle que pour tout entier k 2: 1    on ait
hk = dimH°(X,Ek) ^  CkK(E)   .
Démonstration.   - Nous reprenons pour l'essentiel les arguments de  Siegel [S]
tels qu'ils sont exposés dans [Siu 1],   Soit    [q  }    un recouvrement de    X   par des
ouverts de coordonnées    o   c I      et    B. = B(a. , R.)  ,     1 £ j <; m  ,  une famille de boules
g	j	s     j
relativement compactes dans les ouverts    Q    ,  telles que les boules concentriques
1 B! = B(a. , - R. )    recouvrent    X .   Munissons    E    d'une métrique hermitienne,  et soit
exp(-cp.)    le poids représentant cette métrique dans une trivialisation de    E    au voisinage de    B.  . J
0	k
Soit alors    s ¤ H (X,É )    une section holomorphe qui s'annule à l'ordre    p    en
un point    x. ¤ B!   .   Les inclusions
J	J
B! g Bfx. , Ir.)  c  b(x. .Ir.) c B.
J	V J     7   j)	V j    7   jj	j
et le lemme de Schwarz appliqué aux deux boules intermédiaires entraînent l'inégalité
supB,|s|  <; exp(Ak)3 P supB |s|	(6.3)
J	«
où    A = max,   .        diamcp.(B.)     est l'oscillation maximale des poids    cp.    sur les
l£]<sm	V  j	YJ
boules    B.   . J
Cela étant, on peut supposer    h, > 0 .   Choisissons pour tout    j = l,...,m    un point x.  6 B'.\Z,     tel que    d$.     soit de rang maximum    = p,     en    x.   ,  et soit
j	J	K	K	K	J
s. ¤ H (X,E )    une section qui ne s'annule en aucun point    x.  .  Pour tout
s ¤ H (X,E )    le quotient    s/s"    est bien défini en tant que fonction méromorphe sur
44
X ,  et de plus    s/s      est une fonction holomorphe au voisinage de    x.   ,  constante le long des fibres de    |.   .   Comme    $      est une subimmersion au voisinage de chaque
Xv	IV
point    x.    (théorème du rang),  on peut choisir localement une sous-variété complexe
J	-1
M.    de dimension    p     passant par    x.    et transverse à la fibre    §    ($, (x.))  .   La
J	K	J	K        K     J
section s s'annulera à l'ordre p en chaque point x. , 1 <. j <. m , si et seulement si les dérivées partielles d'ordre < p de s/sn le long de M. s'annulent en x. . Ceci correspond au total à l'annulation d'au plus mp dérivées. Si nous choisissons p = ([A] +l)k ,  alors l'inégalité (6.3) entraîne
supx|s|   <;  (e/3)psupx|s|
d'où    s = 0 .   Comme    p.   <. k (E)  ,  nous obtenons par conséquent
dim H (X,E )   <. mp       <.  Ck	. ?
Pour achever la preuve du théorème 0.7 et donc de la conjecture de  Grauert-Hiemenschneider,   il suffit maintenant de combiner le théorème 6.2 avec le résultat élémentaire  (6.5) ci-dessous.
THÉORÈME 6.4.   - &it    a(X) = deg.tr    $(X)    la dimension algébrique de    X .
IL
Alors :
x. (E) <. a(X)    pour tout fibre en droites    E    sur    X  ;	(6.5)
0 <; a(X) <. n  ,   et il existe un diviseur positif    D    sur    X   tel que	(6.6) k(0<D)) = a(X)  .
Démonstration de  (6.5).   - Avec les notations du début,   soit    x ¤ ^\Z      un point
où le rang de    d$      est égal à    p,   .  Pour tout voisinage    U    de    x    assez petit,
?K-
|, (U)    est une sous-variété analytique de dimension    p,     de    1P(V, )  .  Il existe donc
des coordonnées homogènes    s", sn,..., s      ¤ V,   =- V.     sur    V,     telles que
0 ? 1'        p.	k        k	k
_1 ,...,--    forment un système de coordonnées locales sur    §. (U)  .   Ceci entrame
s    *       sQ	J	kv
(Bl              SPk    \	pk
que le point    -(x),..., 	(x)      où    x ¤ U    décrit un ouvert de    C      ,  et donc que
Vs0	s0     l	s
sl            Pk
les fonctions méromorphes   - ,...,	     sont algébriquement indépendantes sur    X .
s0	s0
45
Démonstration de  (6. 6).   - Soient    f 	£,.    des fonctions méromorphes algébrique
ment indépendantes sur    X   et soit    D    la borne supérieure (ou la somme) des divi
seurs polaires des    f.   .   Rappelons que    0(D)    désigne le faisceau inversible des fonc
tions méromorphes dont le diviseur des pôles est   <. D .   Pour tout polynôme
P 6 ¼fz  ,...,z   ]     de degré    <. k ,    P(f   ...,f   )    est une section de    0(kD) = O(D)    ,
(k + N\        k et il y a    I    N       s   --     telles sections linéairement indépendantes.   D'après le théo-
N! culier    N <, n  .   Si on choisit    N  maximal,   i.e.     N = a(X)   ,   il vient     k(0(D)) = a(X)
grâce à (6.5).
7.     THEOREME  D'ANNULATION  SOUS HYPOTHESE  DE  SE MI-PO SITI VITE.
Nous démontrons ici le théorème d'annulation 0.10,  qui est dû à fSiu2]   ; la preuve en est indirecte,  et utilise la solution de la conjecture de Grauert-Riemenschneider.
THEOREME  7.1.   - Soit    X   une variété complexe compacte et connexe,   de dimension    n  ,     E    un fibre hermitien en droites au-dessus de    X .   Si_   ic(E)    est > 0    sur    X    et    > 0    en au moins un point,   alors
Hq(X,K®E) - 0 = H11 q(X,E  l pour tout    q = l,...,n  .
Démonstration.   - Dans le cas où    X   est kahlérienne,  on raisonne comme O.  Riemenschneider [R].   Soit    h   une forme harmonique dans    H      (X,E    )  .   L'identité 1.3 pour    F = E        donne
||D'hl|2 +||ô'h||2 - <fic(E),Alh,h>   =   0 ,
et la formule (2.1) entraîne que h s'annule sur l'ouvert de X où ic(E) > 0 . Le résultat de Aronszajn [Ar] sur les zéros des solutions d'équations elliptiques implique alors que    h    est identiquement nulle sur    X .
Dans le cas général,  le théorème  0.9 (b) montre que    X   est de Moishezon.  Il existe donc d'après  [Moi]  une modification    propre    n :  X -- X   telle que    X    soit une variété projective.   Le fibre    E = tt E    est lui aussi semi-positif et    > 0    en au
46
moins un point de    X ,   car    c(Ê) = rr7r(c(E))  .   Par suite    H      (X,Ê    ) = 0 .  Or    le morphisme naturel
est clairement injectif : on a en effet    rr  «rr* = id    où    n      désigne le morphisme image directe
n" :  H^X.Ê-1)   -^(X.E"1)
calculé au sens des courants (on utilise ici le fait que la cohomologie peut être calculée indifféremment au moyen des formes    C     ou au moyen des courants).
q La démonstration de la nullité de    H (X,K   <8>E)    est analogue,   si on identifie cet
espace à l'espace des    (n,q)-formes harmoniques à valeurs dans    E  .  On peut aussi
se ramener au cas précédent en invoquant la dualité de Serre :
Hq(X,K   ®E)* -   eP^X.e"1)   .
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