RELATIONS ENTRE LES DIFFERENTES NOTIONS DE FIBRES ET DE COURANTS POSITIFS. par J.P. DEMAILLY 0. INTRODUCTION. Nous nous proposons de généraliser les résultats de l'article [2], consa­cré à l'étude des relations entre les notions de positivité de P.A. Griffiths et de S. Nakano pour les fibres vectoriels. Etant donné une forme hermitienne 0 sur un produit tensoriel T ® E , il y a trois manières naturelles de défi­nir la positivité de 8 , calquées sur les définitions usuelles concernant les courants positifs. Dans le cas où 0 est la forme de courbure d'un fibre vec­toriel holomorphe hermitien E au dessus d'une variété analytique X , on re­trouve les notions de positivité de P.A. GRIFFITHS [4] et de S. NAKANO [6] relatives aux fibres, ainsi qu'une troisième notion de positivité plus restric­tive, appelée ici positivité forte. Notre objectif essentiel est la démonstra­tion du résultat suivant, contenu implicitement dans [2] : si le fibre E est positif au sens de Griffiths, alors le fibre E £> dét E est positif fortement (donc aussi au sens de Nakano). Ce type de résultat est lié étroitement aux calculs de courbure intervenant dans la théorie des morphismes surjectifs de fibres vectoriels semi-positifs de H. SKODA [8] (cf. aussi [1]). Nous montrons dans le dernier paragraphe comment ces techniques peuvent s'appliquer aux formes et aux courants pour établir des relations entre positivité faible et forte. - 2 - 1. FORMES HERMITIENNES POSITIVES SUR UN PRODUIT TENSORIEL Soit 8 une forme hermitienne sur un produit tensoriel T ® E d'espaces vectoriels complexes. DEFINITION 1. 0 sera dite (1) semi-positive au sens de Griffiths, si pour tout vecteur décomposable xGT®E,x = Ç®u, avec £GT,uGE,ona 0(x,x) > 0 ; (2) semi-positive au sens de Nakano, si elle est semi-positive au sens usuel sur T ® E , c'est-à-dire si 0(x,x) > 0 pour tout x G T ® E ; (3) semi-positive fortement, si on peut écrire N 0(x,x) = l |x*(x)r pour une famille finie {x#J,-*-— de formes linéaires x. décomposables J l$j£N j e • _* • * • u. , avec £, G T , u. G E . J J J On désignera par > , > , > les inégalités de semi-posltivité Cj Jn o de Griffiths, de Nakano, et de semi-positivitê forte. On dira que G est (strictement) positive, et on écrira respectivement 0 > 0 , 0 >„ 0 , 9 > 0 si. toute petite perturbation de 0 est encore semi-positive dans le sens considéré. Il est clair que 0 >„ 0 entraîne 0 >>T 0 , et que 0 >„ 0 entraîne 0 >„ 0 , u S N 7 ^ N G mais les réciproques sont fausses en général comme on le verra au § 2. Les trois notions coïncident toutefois si l'un des espaces E ou T est de dimension 1. On suppose maintenant que l'espace E est muni d'une forme hermitienne définie positive y ; on désigne par n la dimension de T , par r celle de E, et on définit Tr 0 comme la forme hermitienne sur T telle que TrE 0 (Ç,ÇT) = l 8(Ç » e. , Ç' © e.) j-J J - 3 - 2 pour toute base orthonormée (e.) ÇT) e T ; la forme Tr„ 6 est indépendante de la base orthonormée (e.) choisie, et elle est semi-positive dès que 0 > 0 . Les semi-positivités forte et de Griffiths sont reliées par le théorème suivant. THEOREME 1 . - Si la forme hermitienne 0 sur T ® E est semi-positive au sens de Griffiths, alors la forme 0 + Tr_ 9 ® tp E est semi-positive fortement (donc aussi au sens de Nakano). La démonstration sera une conséquence aisée du lemme suivant. LEMME 1. - Soient q un entier > 3 , u. et v , 1 < j ,k < r des nombres com- J k plexes. O décrivant l'ensemble $** des applications de {l,2,...,r} dans le groupe des racines q-ièmes de l'unité, on pose r r u' - l u- a(H) , v' = l v a(m) . a Z=i % a w*\ m Alors pour tout couple (j>k) , 1 < j,k < r , on a l'identité q"r I u* vj a(j) ïï(k) = u. v" si j j* k a er J r = I' ui? v? si J = k • Démonstration. Le coefficient de un v dans la quantité x. m ■r q I u' v\ 0(j) a (k) a er a a est donné par q"r I cy(j) 3 par hypothèse, il en résulte bien I J jK avec 1 < A ,u < n , 1 < j ,k < r . Par hypothèse, 0(Ç ®u,Ç ® u) est >0 . - 5 - O décrivant comme dans le lemme 1 l1ensemble f* des applications de {l,...,r} dans le groupe des racines q-ièmes de l'unité, on pose xÀa " J3 XX£ ^> • D'après le lemme 1 , on a -r « l l. , aAujk xÂa xya °«> *« = X.y^k *^ ^ ** + X,yLk '*«" ^ ^ = 6(x,x) +TrE6K),(x;x)- J aXyjj ^. 7~ . On obtient donc 0(x,x) + TrE 0 ® ¥>(x,x) = q~r Y J alllM xL C C(j) ï(k) + y a, . ■ x, . 7~ > 0 d'après l'hypothèse de positivité de Griffiths de 6 . Il nous reste à vérifier que le second membre est somme de carrés de formes linéaires décomposables sur T ® E . Par hypothèse, la forme hermitienne de coefficients ( i a^ ., o"(j) o"(k)), est semi-positive sur T , donc somme de carrés de * * - -formes linéaires £ G T , 1 ^ V < n , De même la forme de coefficients vo* (a, . .)■» est somme de carrés de formes linéaires £ . e T , lu£T&)E 3 on peut écrire, en r notant e = £ ff(j) e. ; j = l J 0(x,x) + Tr£ 0 ® y?(x,x) = a gTt v=l w ° + f I i 0 . E G En effet, tout vecteur décomposable x G T © E peut s'écrire 2 x = Ç ® u où llu|| = <^(u,u) = 1 ; si l'on choisit une base orthonormée (e.),... de E telle que e = u , il vient 0(x,x) = 9(Ç © e]5Ç m e}) , r 9 TrJ® V(x,x) = I 0(Ç » e.,Ç ® e.) Hull > 0(x,x) , E j-1 J J grâce à l'hypothèse 0 **n 0. Le lemme 2 est démontré. ■ G D'après le théorème 1, on a donc Tr„ 9 ® ip - 9 + Tr^CTr^ 0 ® ^ - 0)® y? = r Tr^ 0 ® <£ - 0 >_ 0 . E E E E b Il nous reste à montrer qu'on a également 9 < n Tr 9 ® ^ , b E ce qui est plus difficile. Munissons T de la forme hermitienne semi-positive 0) = Tr_ 0 , que nous E supposons pour l'instant non dégénérée. Soit 8»O)®#-0>O la forme con- l ■ G sidérée dans le lemme 2. Les coefficients de 9, relativement à un couple de - 7 - bases orthonormées de T et E , sont donnes en fonction des coefficients a, ., de 0 et des symboles de Kronecker 6\ , 6 ... , par Apjk J X\i jk %ijk Xy jk ~ ^Vijk On applique le procédé de sommation du lemme 1, mais cette fois par rapport à l'espace T (indices X et p). Si ^ est l'ensemble des applications de {1,...,n} dans le groupe des racines q-ièmes de l'unité, et si 1 < X,y < n » 1 < j,k < r , il vient d'après le lemme 1 : q"n T T a, ., x\ xT~~ o(X) ai,,M xi • x,,i " J a,, ., x . x , + n y I x . I ' ce qui donne 2 n / x . - y a,,., x, . x , = q y y % *-, o(\) o (y) x'. x'_ + y a.. ., x . x . Comme dans la démonstration du théorème 1, on voit donc que 0 <_ n 0) ®

a . Lorsque w est dégénérée» de noyau K , il est facile de voir grâce au lemme 2 que 0 induit une forme hermitienne 0 sur T/K ® E . En remplaçant 0 par © , et n par N = dim T/K < n , on obtient 0 V , ce qui entraîne <_ N . Tr„ 0 ® V? <_ n . Tr_ 0 © ¥> . t> ii o Xj Nous allons voir maintenant comment ces notions se traduisent dans le cadre des fibres vectoriels hermitiens. - 8 - 2. FIBRES POSITIFS. Si E est un fibre vectoriel holomorphe hermitien au dessus d'une variété analytique complexe X , on peut définir une connexion canonique D sur E , hermitienne et holomorphe (cf. A. DOUADY et J.L. VERDIER [3], P.A. GRIFFITHS [4]). D envoie l'espace C (X,E) des formes de type (p,q) à valeurs dans E , dans l'espace C . (X,E) ©C .(X.E) ; la forme de courbure c(E) du fibre E p+1,q p»q+i est alors définie par la propriété suivante D u = c(E) .u pour toute section C u de E , de sorte que i c(E) est une (1»0 forme à valeurs dans le fibre Herm (E,E) des endomorphismes hermitiens de E . On identifiera i c(E) à la forme hermitienne 0 sur TX &> E qui lui est cano-niquement associée. DEFINITION 2. - Le fibre E est dit semi-positif (respectivement positif) au sens de Griffiths, au sens de Nakano, ou au sens fort, s'il en est ainsi pour la forme hermitienne 0 sur chaque fibre T X ® E , z € X . z z La forme de courbure c(E ) du fibre dual E est donnée par c(E*) = - tc(E) , t * ■*■ où c(E) G Herm (E ,E ) désigne 1'endomorphisme transposé de c(E). Le lecteur en déduira aisément la proposition suivante. PROPOSITION 1. Le fibre E est (semi-) positif au sens de Griffiths (resp. au sens fort) si et seulement si le fibre dual E est (semi-) négatif au sens de Griffiths (resp. au sens fort). Le résultat analogue pour la positivitë de Nakano n'est pas vrai (voir l'exemple ci-dessous). Il est classique d'autre part (P.A. GRIFFITHS [4]) qu'un fibre quotient d'un fibre E > 0 est encore positif au sens de Griffiths.De même un sous-fibre d'un fibre E r) sont fortement (semi-) positifs. En particulier, ils sont (semi-) positifs au sens de Nakano, et les fibres E* © (det E)"1 , E B (dét E)"Inf(n,r) sont (semi-) négatifs au sens de Nakano. Démonstration. Il est bien connu que la courbure du fibre dét E = A E est reliée à la courbure de E par la formule c(dét E) = Tr,, c(E) = - Tr„*c(E*) , et que pour deux fibres vectoriels hermitiens E et E , on a c(EJ B E2) = c(E]) © IdE + IdE © c(E2). Le théorème 2 se déduit alors du théorème 1 et de son corollaire en prenant successivement 6 = i c(E) , Ô = -ic(E)=i c(E) . Exemple. Soient V un espace vectoriel hermitien de dimension n+1 , lï* = IP(V) n lfespace projectif associé, 0(-l) le sous-fibré linéaire canonique du fîbré trivial V sur rp , Q = V/0(-l) le fibre quotient de rang n . On munit 0(-l) et Q de leurs métriques naturelles, induites par celle de V , et IP de sa métrique kahlërienne usuelle. On a classiquement les isomorphismes métriques dét Q - 0(-I)* = 0(1) T P - Q ® 0(1) * Q ® dét Q . - 10 - Q est semi-positif au sens de Griffiths, comme quotient du fibre trivial V. On retrouve donc d'après le théorème 2 que le fibre tangent T JP est semi-positif au sens de Nakano (cf. M. SCHNEIDER. [7])» et même au sens fort. Etant donné une base orthonormée (e ,e19...,e ) de V , (eï5...,e ) o 1 n 1 n définit une base orthonormée de la fibre Q au dessus du point z = [e ] z o de fi? .Si l'on munit T tP de la base orthonormée Ol.,...,n ) correspon- n z n In dante, déduite de 1 Tisomorphisme canonique T fp — Q ® dét Q , la forme de cour­bure 0 = i c(Q) s1explicite en coordonnées par les formules n 2 6(Ç B u,Ç ® u) = | l Ç. ïïJ 9(x,x) = £ x. xTT , l*j,k^n Jk kj Tr 8(Ç,Ç) = |Ç|2 - £ |Ç |2 , n 7=1 J J"1 X = X Xîk ni ® ek e Tz ^n ® Qz ' La forme de courbure de T IP s'écrit donc n «e + TrQ e ■> Mq) (x),x>= J Xjk i^7* Sjk x^ = 2 1 |x |2+ I l*jk*\/ ■ j n j 2 . Il n'existe donc pas de constante y < 1 telle que 0 + y Tr0 ® ïd ^vr 0 , et en ce sens le résultat du théorème I est le meilleur possible. En ce qui concerne le corollaire I, le lecteur pourra vérifier que l'inégalité Q ® (dét Q) > 0 est optimale, mais que dans cet exemple Q © (dét Q) % 0 . Lorsque n > 2 , il apparaît qu'on a Q > 0 sans avoir Q > 0 , et qu'on a Q < 0 (puisque Q est un sous-fibré du fibre trivial V ) sans avoir Q < 0 (ce qui entraînerait Q >„ 0 ! ) . o S - 11 - 3. COURANTS POSITIFS. Seules les propriétés ponctuelles des courants seront étudiées dans ce pa­ragraphe, de sorte qu'on se limitera à la considération des formes différen­tielles. La première définition des formes et des courants positifs a été donnée par P. LELONG [5]. Soient T un espace vectoriel complexe de dimension n , F - Hohl(T,Œ) le complexifiê du E-dual de T , Ap'q F l'espace des formes de type (p,q) sur T. Pour tout entier p, on pose . P sS^D 2 e - (f) (-0 2 = 2-p ip . P l DEFINITION 3. - Une forme a^ AP'q F est dite (I) positive, si elle peut s'écrire N a /=1 s ajA aj avec des éléments a. G A F ; J (2) fortement positive, si on a une écriture analogue avec des formes a. j décomposables ; (3) faiblement positive, si pour toute forme 6 G "A ' F fortement positive, où p+k = n , la (n,n)-forme a A g est positive. Nous noterons Pp (resp. SP , WP ) le cône des (p,p)-formes positives (resp. fortement, faiblement positives), et nous désignerons par > (resp. >q, >„) l'inégalité de positivité (resp. de positivité forte, faible). On vérifie aisément à partir de cette définition qu'on a les inclusions SPP C Pp C WPP , et que les éléments de WPP sont réels. Si l'on a choisi une (n,n)-forme T positive, non nulle, il y a une forme bilinéaire naturelle Ap'PFx Ak'kF+ 8 (avec p+k = n) qui à a £ A F , g G A ' F associe l'unique nombre complexe y - 12 - tel que a A (3 » y • t • u le o le WP^ s'identifie alors par définition au cône dual (SP ) de SP , et on peut montrer d'autre part que SPP = (WPk)° , PP = (Pk)° . Enfin, si p « 0,1 , n-1 , ou n , toutes les formes de A F sont dé-composables, donc SPP = PP WPP = (SPk)° = (Pk)° = PP . On suppose désormais que l'espace T est muni d'une métrique hermitienne, représentée par la (1,1)-forme positive n m « i Y dz. A dz. dans une base orthonormée (dz.),..- du dual E de E . L'espace J l$j$n v F = Hoiil(T,Œ) et l'algèbre extérieure A F sont munis des métriques usuelles correspondantes. On désigne classiquement par L l'opérateur de multiplication extérieure par a) dans l'espace hilbertien A F , et par A son adjoint ; on a donc : La « tu A et , (Aa|8) * (a,Lg) « (a|tu A B) pour toutes formes a,S G A F . On peut écrire en coordonnées, pour tout a ^ A F , a = e T aT v dzT A dz„ , P j K J,K J K 1 r T — —. L a = e . J aT T, dz_. A dzT___ , r! p+r j | M J,K JM KM r — » A a = e y a,-, -,, dzXT A dz_, , P~r u k r. NM.PM N P où la notation 2 signifie que les sommes sont étendues à tous les multi-indices croissants J,K,M,N,P , avec ici |j| = |k| = P , |m| = r , |n| = |p| = p-r . On convient que les symboles aT ^ , dzT , dz„ sont définis pour des multi- J, K J K - 13 - indices non nécessairement croissants J,K , de sorte que leurs signes soient alternés en J,K . On rappelle enfin que l'opérateur * de Hodge-de Rham-Poincarë est défini sur A F par la relation n a A* g = (a|3) ^j- . Les propriétés des formes positives sont intimement liées aux opérateurs L,A et * ; la proposition 2 ci-dessous est classique, et de démonstration aisée PROPOSITION 2. - Soit et e Ap'p F une forme positive (resp. fortement, faible­ment positive). Alors les formes Lra E AP+r>P+r F,Arae AP"r'P-r F , * a e A*"P,n-p F sont positives (resp. fortement, faiblement positives). Les méthodes du §1 conduisent d'autre part au résultat suivant. PROPOSITION 3. - Soit a une (p,p)-forme faiblement positive sur l'espace hilbertien (T,ti)). Alors la (p,p)-forme ....... ■.-■■-■,■ ■ :. ; a r=o est fortement positive. Nous aurons besoin des notations suivantes : o décrivant l'ensemble 3* des applications de {l,2,...,n} dans le groupe des racines q-ièmes de l'unité (q > 3) , on pose n w = £ ô(T) dz„ , et pour tout a = (al5-..,a ) G 3* , on pose % = ™o A • * ' A wa = ^ ^ dzL 1 q L où la somme Y est étendue à tous les multi-indices L « (JL ,... ,£ ) , non L I p nécessairement croissants, et où a(L) = a, (&,) ... a (l ) . il p p - 14 - LEMME 3. - Pour tout couple de multi-indices (J,K) tels que [J.j *» [Kl « p , on a l'égalité q~nP ï w a(J) a(K) W A 5 - 7 dzT A dl ae^P a a lTm L M où la somme J est étendue à tous les L,M tels que L,M {j 9^ } = {k ,& } pour tout s , 1 < s < p . Pour p = 1 , le lemme 3 se réduit au lemme 1 , et on obtient aussitôt le cas général en observant que I p- I •■• l • 1 p Démonstration de la proposition 3. Ecrivons a = e y aT T. dzT A dzTr p |j|i|K|=p J>K J K £ ""f* !t|L, aJ,KdzJAdiK p! |J|=|K|»p Dire que a G WP équivaut par définition à dire que pour toute famille (xT) dëcomposable, x_ = x. x. . . . x? , on a J J Jl J2 Jp J j K Pour chaque élément a G 3^ , la (1,1)-forme. 2 ï t , , aiJ kK a(J) ^} dzî A d\ Z j,k,|J| = |K|=p-l JJ,icK J k est donc positive, ce qui entraîne que la forme g(a) suivante appartient à SP D'après le lemme 3, il vient 6(a) « -Ky J a,T ._ dz.T dz. „ , p!2 i,k;|Ji-|r|-|L|-|H|-p-i JJ>kK jL M la somme étant prise sur les J,K,L,M tels que - 15 - la somme étant prise sur les J,K,L,M tels que {j jEi } ■ {k ,£ } pour tout s , 1 < s < p-1 . S o S o Si {JoSmc} - {k »£ } , on a ou bien (j »k) = (£_»m ) , ou bien j = k fi$l = m , les deux cas s'excluant mutuellement. On obtient donc Js s s s 6fa)=^2 Pï O L .ajN,KN dzJP A ^ , p! r=o IJ|=|K|=|p-r |N|=|P|= r où la somme est restreinte aux multi-indices N,P tels que n £ p pour tout s s s € {!,...,r} . Le coefficient binomial ( ) apparaît parce qu'il faut choi­sir r indices s e {l»...,p-l} pour lesquels on aura j = k £ £ -m s s s s Pour tout multi-indice M de longueur Ml - m , définissons la "contraction" a [M] e WPp-m de a par : p! |J|=[K|=p-m et considérons la forme e p-l p! r=o |J|-|K|=p-r |H|-|P|- r dans laquelle la sommation est prise sans restriction sur les multi-indices N et P . Pour chaque couple (N,P) , on peut écrire N = NTM , P = P'M où les multi-indices N1 , PT ont la propriété que n! £ pT pour tout s ; on observera qje s s dans cette notation, M nfest pas nécessairement constitué des m » [Ml derniers indices de N et P , mais de m quelconques des r indices possibles. Si on réordonne en écrivant M à la fin, chaque couple (NTM,P!M) proviendra d'exac- tement ( ) couples (N,P) , obtenus après avoir "mélangé" M à N' , M à PT . De l'égalité (p"!) (r) = (P_I) (p"m_1) résulte alors r m m r—m - 16 - Y (Ot) -A l (^ ) 0 , ï , OjN'M.KP'M dZJN'M A d*KP» pï o$r^p-l |J|=|K]=p-r °$in$r lut 1 l-nf I ^ * IN I=|P |-r-m | M | = m ,2 l K m J ^ L . K r-m ; p ! m=o o^ r-mKN JP ** |N|-|P|- r e = ~S T j aTAT T^T dZTr> A dZyrTi î , N,2 ,2 iT|i'|tr| JN,KN JP KP ' (p-r)! r! |J|=|K|=p-r |N|=|P|=r on obtient donc 1!égalité suivante, qui prouve la proposition 3 : Y(«) = Pî' O ^|2i! Lr Ara, r=o p! Ou peut démontrer de même un résultat analogue au corollaire 1. PROPOSITION 4. - Si a est une (p,p)-£orme faiblement positive (p > 2) , on a l'inégalité forte ^ PV r /P~2\ /P~2N -, (p-r)! Tr Ar a] -^T—L Aa r=l p! Démonstration. Avec les notations de la proposition 3 , on pose n &T v = y otT, • t^t . - a, „ si J = JTjn, K = K'k et j = k , J,K > Jfj,K'j J,K JP' p Jp p - - aT „ si j é k J,K Jp p On prendra garde au fait que aT nTest pas alterné en J et K (mais - 17 - seulement par rapport aux p-1 premiers indices de J et K). Il est clair que l'expression est > 0 pour toute famille (x ) dêcomposable (cf« lerame 2) ; il en résulte comme précédemment que SP^ contient la forme £ $&) = 9 1 n 1^-1 I S.TR cr(J) a. T0 , „_ dz.T A dz. „ ,2 . L , jJ£,kK£ jLm kMm p! j»k,£#m £ = E. y a dz._ « A dz. _. ! 2 . , L fl i JJ6 . kKm i Lie kMm p j,k,£fm £ + n —% Y a . T„ , ™ dz.T A dz,., p!2j,k,Ji,m jJ£'kK!l JM "* On vérifie comme dans la démonstration de la proposition 3 qu'on a l'égalité Vl O ,J B(a[M]) A£mdZMAd5M m=o |M =m p"2 0 / n,2 l ( r } 2 L A a r=o p ! + n l ( ) -e-= L A a - 18 - Comme le premier membre est une (p, p) - forme fortement positive, la proposi­tion 4 est démontrée. Nous pouvons maintenant énoncer le résultat essentiel de ce paragraphe. THEOREME 3. - Soit et une (p,p)-forme faiblement positive (1 < p < n) . On a les inégalités fortes - C'(n,P) -^-LP"! AP"J a ^a ^ C(n,p) -Llp_I ApH a p! p! où les constantes positives C(n,p) , C'(n,p) sont définies par C(n,l) = 1 , CT(n,l) = 0 , C(n,2) = n , CT(n,2) = 1 , C(n,p) + C'(a,p) =-g^), , et la relation de récurrence r r-I Démonstration. On raisonne par récurrence sur p , en utilisant les propositions 3 et 4. Lorsque p = 1 , on peut choisir C(n,p) = 1 , Cf(n,p) = 0 . On observe que, pour tout entier r > I , ,2 Ara - P" g l a[M] , (p-r)! |M|-r et que a[M] ne fait intervenir que les variables dont les indices appartien­nent au complémentaire Cm de M . Si L. et A. désignent les opérateurs L et A relatifs à ces variables, on obtient par hypothèse de récurrence -«[M] 0) et P"1 C'(n,p) = l (P"!) C(n-r,p-r) r=l Grâce à la relation (p ) = ( ) + ( ,) , on voit que r r r-1 P~* _o t C(n,p) = l [(n+î) (P_p - (p"J)]C(n-r,p-r) r=l = (n+1) (Cf(n-l,p-l) + C(n-l,p-l)) - C1(n,p) . On en déduit aussitôt C(n,p) + C'(n,P) = (n+l)...(n-p+3) - fr^jï ' " Nous avons maintenant besoin de la majoration suivante, dont la démonstra­tion est immédiate (se ramener au cas d'une forme $ = e dzT A dz , IJ| = p). / p J J LEMME 4. - Pour toute forme 3 e SPP et tout entier k < p , on a a < (P"k) ! Tk Akfi En appliquant cette inégalité pour k = 1 à la forme 8 = A ot G WP = SP on obtient (la notation Tr a désignant le scalaire —, A et) : P! COROLLAIRE 2. - Si a 6 WPP , on a les inégalités fortes P P - C'(n,p) Tra • JT % a % C(n'p) Tr a ' fî avec les constantes du théorème 3 , et C(n,0) = 1 , CT(n,0) = 0 . - 20 - Comme l'opérateur * conserve la trace Tr a et la positivitë forte, on peut d'ailleurs remplacer dans le corollaire 2 C(n,p) par Inf(C(n,p),C(n,n-p)) , Cf(n,p) par Inf(CT(n,p),C*(n,n-p)) . Ces dernières constantes ne sont malheureusement pas optimales. Ainsi pour p = 2 : PROPOSITION 5. - Si a E WP , alors a < ^ . Tr a . ^ . Démonstration. Si a = ~~r 7 a.n , dz. A dz, A dz, A dz , nous savons (voir " _ 4 j.kta.m J£'km J J k la démonstration de la proposition 3) que la forme S(a) = a + T . I , «jJU« dzj A dzm A dSk A d5m j , k , jc^m est fortement positive. En utilisant le lemme 4 avec p = k = 2 , on trouve 2 a