CONSTRUCTIBILITE DES FAISCEAUX DE SOLUTIONS DES SYSTEMES DIFFERENTIELS HOLONOMES
d'après Masaki KASHIWARA par Jean-Pierre DEMAILLY
0. Introduction.
Le présent travail est une version écrite détaillée d'un exposé oral sur l'étude des opérateurs microdifférentiels analytiques, qui constituait le sujet de deuxième thèse de l'auteur (Thèse de Doctorat d'Etat soutenue le 19 Octobre 1982 à l'Université de Paris VI sous la direction de Henri SKODA , le sujet de deuxième thèse ayant été posé par Louis BOUTET de MONVEL).
Ce texte vise en principe un public de non-spécialistes, et se présente comme une introduction élémentaire à quelques idées de base de la théorie algébrique des systèmes d'équations aux dérivées partielles (cf. S-K-K [5]) . L'objectif final est la démonstration de la constructibilité du faisceau des solutions d'un système holonome, due à M.KASHIWARA [3] , (1975). Nous nous sommes inspirés sans vergogne de la littérature existante, en particulier du cours de KASHIWARA [4] à l'Université de Paris-Nord.
Le paragraphe 1 rappelle brièvement la construction des faisceaux f$       et
A
£  des opérateurs différentiels et microdifférentiels sur une variété analytique
A
complexe  X . Nous montrons ensuite le lien entre la notion classique de système différentiel et la notion intrinsèque de J^-module cohérent ?7l ; par exemple, si £r est un faisceau de jt/ -modules, le faisceau des solutions à valeurs dans <j~     est
A
donné par Kom^ (7îl,d)   . Après quelques rappels sur la géométrie symplectique du
X   *	e - - .
fibre cotangent  T X ,nousdonnons au paragraphe 3 la définition des systèmes holo-
nômes, appelés aussi systèmes surdéterminés maximaux. Le paragraphe 4 est consacré à la démonstration d'un théorème de prolongement pour les solutions holomorphes d'un système différentiel sur un ouvert à frontière non caractéristique. Ce dernier théorème est l'outil essentiel pour la démonstration du théorème de KASHIWARA , moyennant quelques résultats de H.WHITNEY [6] , [7] sur l'existence de "bonnes" stratifications d'un ensemble analytique. Pour rester accessible au lecteur non spécialiste, nous avons évité l'usage (non indispensable ici) du langage des catégories dérivées.
Conventions et notations.
Tous les faisceaux (ou foncteurs à valeurs dans la catégorie des faisceaux) seront désignés par des lettres majuscules cursives, leurs espaces de sections par des lettres majuscules droites. Ainsi par exemple, si tj    et A   sont des faisceaux de ^-modules sur X , on écrira Hom  (X ;0\û)   = f (X ; Xbm   AcFl&))   .
-2-
Un faisceau 3  de ^6-modules est dit injectif si le foncteur exact à" gauche Hbm  ( . , £/)  est aussi exact à droite. Etant donné des 2fë-modules 77b, cj et une résolution cohomologique   0 ?*lr'+J'     de lF   par des faisceaux injectif s, les faisceaux de cohomologie du complexe Kom     (971 ^J ' )     ne dépendent pas (à iso-morphisme près) du choix de la résolution injective  (cf. R.GODEMENT [2] ) ; on pose alors :
**ti(%.9:') = xi( jfom   m, X)) .
Ext3/   X   ;/^y)   =  Hj(Hom   (X   ittb,7">)    ?
-Lis	vil*
Vb	c/b
Si  de plus  ïlb possède  une  résolution homologique  libre   £jUm     -*? ?7Z>-> 0   ,   on a  un  iso-
morphisme
Enfin, si  Z  est une partie de  X , £ri   désigne la restriction à Z  du faisceau J", cr7  le faisceau des sections de £/  à support dans  Z .
1. Construction des faisceaux JB       et  £  .
	,	.	   ^ 	   ^
Soit  X une variété analytique complexe de dimension n , Q C X un ouvert de carte , x = (x.,...,x )  des coordonnées locales sur Û , et  Ç » (Ç.»-.*,Ç )  les coordonnées correspondantes sur les fibres du fibre cotangent  T X . Le faisceau Ju      des opérateurs différentiels sur  X  est défini comme suit.
A
DEFINITION 1.1. - Pour tout ouvert  U C Q       f( U , j8>)  est l'ensemble des opérateurs
		A    	
différentiels de la forme
P(x,D ) =     Z   a (x)Da , v ' xy     ii    or ' x ' |a|^m
avec a e lNn , m G ]N , a  e T ( U , @L)   .
Ot	A
La fonction sur T  X|    définie par
P(x, Ç) =  Z  aa(x)Ça |a|<m
est appelée symbole total de  P (dans les coordonnées  x.,...,x ) .
Un calcul aisé montre que le symbole total du composé P o Q  est donné par
(1.1)	(P o Q) (x, Ç) =   Z    I 3" P  3? Q  .
,-..n  ut!  c      a
a eu     ^ Si  U n'est plus contenu dans un ouvert de carte,  T (U,^')  est défini par recol-
A
lement au moyen des formules de changement de variable.     devient ainsi un faisceau
A
d'anneaux sur X .
Le faisceau &  des opérateurs microdifférentiels sera quant à lui un fais-
A
t	*
ceau d'anneaux sur T X.
/	.	*  i
DEFINITION 1.2. - Soit  m£S  un entier fixe ,  UCT  X|   un ouvert . Le module
r(U, & (m)) est l'ensemble des séries formelles   I     P.(x,Ç)  telles que :
-c°<j ^m       J
(1.2)	P.     G    T (U,   &'.      )     est homogène  de  degré     j     en    Ç   ;
-,	T  X
(1.3)	Quel que soit K CCU  , il existe  £ > 0  tel que
£~j
sup |P. (x,Ç) | < +co .
jN<0  (_j)"  K    -
La loi produit de l'anneau filtré  & = | J &v(m)  est déduite de la formule (1.1)
m tl étant donné P eP(U,. Êv(m))  et  Q G T(U, £_,(£))  , R = P o Q e f(U, &v(m + £) )  est
A	A	A
l'opérateur dont, les composantes homogènes. R  sont les sommes (finies)
r   =    T~     ^aS. âaQ,   .
s    *-   a !  Ç j  x xk
j+k=s+ | et | La condition de convergence (1.3) relative à R  résulte d'une inégalité démontrée
par BOUTET de MONVEL et KREE  [ 1 ] .
Si  PC £ (m) , le symbole principal de P  est défini par o   (P) = P  .On
a	mm
-
vérifie aisément que O  (P)  est défini intrinsèquement sur T  X .
M    m	H
Propriétés du symbole principal. Soit  Q C & (i)   . On a :
.	'	A
(1.4)	PoQC^(m+£)     et     <Va(P  ° Q)   = Pm Q£     ;
(1.5)	[P,Q]  =    PQ -  QP G  ax(m +£-   1)     et     Om+l_{ ([ P ,Q] )     =   {Pm,   Q£ >    ,
ou
J=1   J    J      J    J
* est le crochet de Poisson des fonctions  f,g définies sur T  X.
* Soit TT î T X -> X  la projection sur la base. Comme les seules fonctions entières
homogènes de degré j  sont les polynômes de degré  j  si  j >, 0 et  0  si  j < 0 .,
on voit que
\   gx = ^x ?>
TF <P"	TT  TL fk&    est donc un faisceau de sous-anneaux de S  . La proposition sui-
vante montre que  S  va jouer le rôle de "localisé" de  tt JB^   .
A	X
PROPOSITION 1.3. - Soit Pe T(U, &v(m)) un opérateur dont le symbole principal
		A       	
P (x,Ç)  ne s'annule pas sur  U . Alors  P  est inversible, i.e. il existe Q G r(U, £v(-m))  tel que   P o Q = Q o P = 1 .
A		
Démonstration. On pose Q_  = -- , de sorte que
m
Q   oP=l-R,   où  R^ r(Us &__(-!)) .
m	X
-1	2
On vérifie alors que la série  (1 - R) ' = 1 + R + R  + ...  est convergente , par
il suffit de poser
Q = (1 - R)"1 Q_m  .
2. Systèmes différentiels.
On peut démontrer que S)     , &  sont des faisceaux d'anneaux cohérents; il en ré-
A     A
suite qu'on a une bonne théorie des modules sur ces anneaux.
DEFINITION 2.1. - Un système différentiel sur  X est la donnée d'une £)-module cohé-
!	    	.-,	 x  	_	
rent Pi sur  X .
Pour justifier cette définition, nous allons montrer le lien avec la notion usuelle de système différentiel. Etant donné un faisceau c/"de §)  -modules (par exemple
A
cf~= BL  j cT = & , cT =  distributions, hyperfonctions,...) et une matrice
P = (P..) , l^i^N,, l^j^N d'opérateurs différentiels, on considère le système
N (2.1)  I  P  (x,D)u. =0  , i  = 1 , ... , N
dont les inconnues sont les sections  u,....,il, E O    . Soit  P'  l'opérateur
IN	r
$)  -linéaire à gauche '-  R = (R. , . . . ,R^ ) t-> RP .
Soit *HZ  le conoyau de  P' :
A	A
Si à cette- suite exacte on applique le f oncteur exact à gauche  ?tem . ( . , £r ) , il vient la suite exacte :
0 ~*  HW (771,3e) -    ^ £+     F1      ,
^X donc fam (%, c/")  s'identifie au faisceau des solutions de P  dans le faisceau cT .
A
Le noyau Ker P'  étant un faisceau cohérent, il existe dVautre part une suite exacte (localement sur  X ) :
(2.2)	s>l -£i    &ll -al ^2  i
?5-
e.t en appliquant à nouveau le f oncteur 7Com~ ( . , J")     on obtient la suite
^       J^  &l        JL>.     ?  2 _
Puisque (2.2) est le début d'une résolution libre du module /% , on a d'après
1 introduction
£xt* {71b9^)   - Ker  Q/l¼ P .
<^X
Si l'on considère le système différentiel non homogène  Pu = v , on voit donc que  &xt^ (J71,
fi
représente le groupe des données  v = (v , . . . ,v  )  compa-t'ibles  (i.e.  Qv -  0)  modulo celles qui sont représentables par P .
DEFINITION 2.2. - Soit/% un 0  -module cohérent. Le support singulier de JJL,
noté  S S (ÏÏL)   , est le sous-ensemble de .T  X  défini par
SSÛ&) = SuPP(ê  ®      tt_I77Z) ?
Exemple. Considérons le cas d'un système TU- 2L /<$3V  P  à une seule équation d'or-
		A	A
dre m' :   Pu  - 0   .   On a alors
sx®_!      Tï~xm= ax/s p , *ïï ^x
SSCW = (points de  T  X  où  P  non inversible} = {Pm(x, Ç) = 0} .
3. Rappels de géométrie symplectique.
-
Sur le fibre cotangent  T  X habite naturellement une  1-forme  co , dite 1-forme
canonique, et définie par :
pour (x, £) et X , Ç e T.  r* (T  X) ,  tt : T  X -#? X  .
n En coordonnées locales, on voit aussitôt que a) = S  Ç. dx. î Par suite la
j-I  J   J forme O =  dw  , dite  2-forme canonique, s'écrit
n O  =  S  d£.  ^ dx. .
Les énoncés qui suivent sont relatifs à la géométrie symplectique définie par C
- sur T X .
/	-
DEFINITION 3.1. - Soit  A  un sous-ensemble analytique de  T  X .  A  est dit
isotrope, resp. involutif» lagrangien., si et seulement si en tout point régulier
-6-
de    A    on a   :
TAC   (TA)      ,   resp.     T A3   (TA)      ,   TA    =     (TA)1   .
La propositioti qui suit caractérise une importante classe de sous-variétés isotropes.
PROPOSITION 3.2. - Soit A un sous-ensemble analytique conique irréductible de T  X  tel que Y = ïï(A)  soit une sous-variété lisse de X . Alors :
(3.1)	A est isotrope si et seulement si ACT X , ou T  X  est le fibre conor-
mal à Y . Dans ce cas w _   A = 0 .
-	     	   'Reg A
-
(3.2)	A est lagrangien si et seulement si A = T X .
Démonstration. Il est aisé de voir que T X est une variété lagrangienne, de sorte que les conditions  (3.1) et (3.2) sont suffisantes. Inversement la condition A isotrope signifie que 0~|    « = 0 . Soit AT  l'ensemble (dense) des points réguliers de A où ïï : A -*? Y  est submersive, et  (y,O^A'  . La conicité de A implique que le vecteur vertical (0, Ç)  est tangent à A' . On a donc
0 - a((0, C) » T(yjÇ) A'> = <£>""* T(y,Q A?> =  <5> Ty Y>   ' d'oû WU' = °  et (y, Ç) £T X . Par suite A = A' C T  X . A est lagrangien si et seulement si A
- est isotrope de dimension maximale dim X -  dim T X , d'où la conclusion (3.2). a
Il se trouve que le support singulier d'un système différentiel vérifie toujours la propriété d!involutivité.
THÉORÈME 3.3. - Soit% un <ff> -module cohérent. Alors  SS(?#>)  est un ensemble analytique involutif.
Indications sur la démonstration. Pour toute suite exacte 0 -^CJ7Q "*" Yïh^lïl"  * 0
on a  SS(J%) = SS(#£') U SS(77Z>")  - Il suffit donc de considérer le cas d.'.un module
Yïb =  JEL/</  où cf  est un idéal à gauche. Soit 7f    l'idéal gradué de <5L*   engen-
X	IX
dré par les .symboles principaux des éléments de     Puisque  (P,Q) ^J*J=>  E?,*!^, on a aussi l'implication  (f,g) G J *J => {f, g} G *~f  . Cette condition traduit lf involutivité de  SS(#2>), du moins lorsque ^ = Vy î en effet  SS(%»)  est l'ensemble des zéros de j     , donc J  ,  ,  = y J    d'après le théorème des zéros de Hilbert. D
DEFINITION 3.4. - Un système différentiel est dit holonome si  SS(9#)  est une sous-variété lagrangienne, autrement dit si  dim SS(9$ = dim X  en tout point.
4. Un théorème de prolongement.
Le résultat qui suit donne en particulier une condition suffisante pour que le morphisme de restriction
Hom^ (fl;W» &x)     	>.  Hom   (fi' ;U,   9^) -»   fif C fi C X ,
A	A
soit surjectif, autrement dit pour que les solutions holomorphes defesur  S2T  se prolongent à Çl  .
THEOREME 4.1. - Soit ïih    un ^ -module cohérent , Q     , (fi )    des ouverts de  X ayant
	       	    A -	?*-"--*-'		C   	,L_    ' ?   ? ? ... .--		?-?	
c^3R les propriétés suivantes :
(4.1)  c1 <? c  =>       fi , C fi  ;
(4.2)   n  -    |J   n   , n  «    U   « » ;
c e H °       c ' < c c
(4.3)	cT,<c    *>    fi    -     fi   ,     compact   ;
(4.4)	Soit     Z       =       (H       ÎS    -     fi~       .   Alors     Z       C fi     si     c  >  c     ;
	       c	L I	c	c		      c	c "--	o  >
o	c  >  c	o	o
o
(4.5)	Pour  tout     c GIR       la  frontière       Sfi    =  fi    -  Çl       est  au voisinage de     Z
-			.---	c	c	c    ~~	?	fi	       c
une  sous-variété  de  classe        C	non  caractéristique par  rapport  à7%[i.e.   si
8fi    =   {f   = 0}  au voisinage  de     z <EZ     ,alors     (z,3f   )  £  SSÇ%)  ]    . Alors  pour  tout     j  G IN  et  tout     c G ]R     on  a
Kxtj.   ( fi ; %,   Ô  )   -  Ext£  (fi     ; 772,   6  )    .
Démonstration. Posons EJ = ExtJ (fi  ; ?7Z, &v)  , de sorte que pour  cT <: c  on a
c      x c '     X
un morphisme de restriction
EJ  -*-  EJ .  ' c       c
Pour montrer qu'il s'agit dTun isomorphisme quels que soient  c, c'  , il suffit de
prouver les deux propriétés :
(4.6)	lim EJ ^> EJ
c
c>c
(4>7)	Ej °-+  lim EJ  .
c <c
o
-8-
Commençons par démontrer (4.6) . Soit  0 -*? 81 -*- j *     une résolution jj  -injective
X	A
de ®t  , &,'   « Kbn^ (m,#')  et
F =  n  fi . c c > c o
Tout ouvert qui contient  F  contient un Û     , c > c  , à cause des conditions (4.3)
et (4.4) . On obtient par conséquent
lim Y?   =  lim HJ( V (Ù   ,<^))
-y c>c0
= HJ (limr(fi)f))=HJ(r(F4')) ,
et il s'agit de vérifier que
Hj(r(F,,p)    2+ Hj(r(fic ,&.')) .
Comme ÛL*     est un complexe de faisceaux flasques (cf.  GODEMENT [2] , lemme 7.3.2) on a une suite exacte
0 * rz(F,^") +    ?<?,&*)    *   T(Qc     , #')  +  0
avec  Z=Z  = p - Q   .11 suffit donc de montrer que
ce	^
o    .    o
hj( rz(F,^'))   =   hj( r(F,^p)  = 0 ,
ou encore que le complexe flasque $*     est lui-même exact au-dessus de F . Or il est
clair que la fibre de (jL*     en tout point  x G F  est donnée par
u     '	y	c ,x      °^X	c
o	o
soit %     +7K +    0 une résolution libre de Yïh>   su voisinage de x . Comme le double complexe
ïfom   (£  ,5^-fl  )x
X	c
o
est exact en degré f  0 par rapport à la différentielle de ^  , sa cohomologie totale est isomorphe à celle de u*
On va montrer que le terme E  de la suite spectrale associée à la première filtration est nul. 11 vient successivement :
C	c
4'j - ^zA *n - n° (0))x -
X	c
^X.x	c
'	o
9-
Si  x $  dQ,       y   on a	3C~.   n  (0-)  = 0 , tandis qu'au voisinage d'un point
C	AU      ***  ùè                      X
o	c
o
x ^ F H 8<^>  CZ	,42-0    est d'après l'hypothèse (4.5) un domaine à bord
ce	c
0      0	o
Q  -  ft  « {f > 0} , avec  Ç =  3f  ^ 0  et  (x, Ç) £ SS(T7h)   .
c	X
o
Nous admettrons le lemme suivant, élémentaire mais de démonstration laborieuse.
LEMME 4.2. - 3r      (O')    a une structure de  &  -   - ^-module prolongeant la
Q -   Q	X	X'U> ^;	?
c
cSr -structure naturelle.
X,x 	
Comme S .  rv  est un ffi  -module plat, il vient
(x, ç. )	x
°^x	c	(X, ^ )	x	c
et 9?^    ®   &(x, £) = ° Puis^ue  (x> 5)** SS(?7Z>) . x
Preuve de (4.7) . La difficulté essentielle est ici de commuter la  lim  avec les foncteurs H  . Ceci est possible en raisonnant par récurrence sur  j  et en utilisant le lemme algébrique qui suit.
LEMME 4.3. - Soit  (F')     un système projectif de complexes (avec des morphismes de complexes  F"   ?* F") .
On a alors un morphisme naturel
<bJ :  HJ(limF*)  	> lim HJ(F") .
(4.8)	On suppose que pour tous  i, V   fixés la suite des images  Im(F.. --*? F ) ,
]i ^ V ,  est stationnaire.
Alors  (()  est surjectif.
(4.9)	On suppose de plus que la suite des images
Im(H   (F")   	?  HJ  (F*))  est stationnaire pour tout V  .  Alors  cj)J
est un isomorphisme.
Posons  F' = Hom    (Q     ; ftl9 #' ) = T( Q      , ?Com (17b, 3'))   .
Il est clair que lim F* = F"   , et la condition  (4.8)  est évidente puisque les c<CQ  c   %
faisceaux fa  (#£, 7")  sont flasques. D'autre part , ^X
la condition  (4.9) résulte de l'hypothèse de récurrence. Le lemme 4.3
10-
implique alors
EJ  =  HJ(F# ) ^~>  lim HJ(F") = lim EJ . c        c        «-     c    *~   c o        o
La conclusion du théorème s'obtient en vérifiant de même que
Ext;!. (Q;??l,   6l) A- lim Extl (fi  ; 7#, @L) .
céR
5. Constructibilité des solutions d'un système holonome.
La démonstration s'effectuera en plusieurs étapes. THÉORÈME 5.1. - Soit 7H>   un ^y-niodule holonome. Alors pour tout  j G IN  et tout x E X , dim¼ **4 (%. Vx <  + °° ?
Démonstration. La question est locale, donc on peut supposer X  ouvert dans  (E   et x = 0 . Par hypothèse A = SS(7/l)  est une sous-variété lagrangienne de  T  X . Un raisonnement géométrique simple va nous montrer que la sphère  S  = {x ;  bel  » r } est non caractéristique par rapport à VI  dès que  r  est > 0 assez petit.
Sinon il existe une suite x ¤ ¼  - {0} tendant vers  0  telle que (x , x ) G A[noter que x =  3(|x|2 _ r )x=x 1 >     il  existe donc en fait une courbe analytique réelle  t --*- y(t) = (x(t) , x(t))  contenue dans A , telle que x(0) « 0 et x(t) S* 0  si  0 <t < e. Comme A est isotrope et conique, on a 0)|^ = 0 (cf. proposition 3.2 ), donc ®\    :=<x(t) ,dx(t)>= 0  et d[x(t)|  = 0 , ce qui est contradictoire Appliquons le théorème de prolongement aux boules Q    = {x ;|x| <r } On obtient pour 0 < rT < r < e *
Ext^ <nr ;77t, &x)  - Ext^ (îîr, ;f!l,  ex)
A	X
~-   iim     * ax4 (m,  ©_)_ .
? .	A
r *>o Soit _£-~^?. f/1 ->0 une résolution libre de 771 au voisinage de  0 . Le morphisme de restriction
p : Homg (Qr ; jg , ©x)  4- Hom^ (^t ; <£ , 0^)      N>
A	X	*-	j
induit alors un isomorphisme en cohomologie. Si l'on pose <£>.   = «&Y     ., il vient
N.	J
Hom   ( fi; <5f. , 0" )  =  F(0, ©*") J , par suite p est un morphisme compact entre com-
^x	A	A
plexes de Fréchet .
-11-
D!après un théorème de L.SCHWARTZ, les espaces de cohoraologie sont de dimension finie.
THÉORÈME 5.2. - Soit 1%   un système holonome ,  A = SS ( fTi)     et Y une sous-variété lisse de X . On suppose que Y  est plate par rapport à /%,   c' est-à-dire que Y vérifie les conditions suivantes :
(5.1)TT_1(Y) H A C T* X ;
(5.2)C tal(Y)(A)  C { ç E T (T* X)  ;  <w , Ç> = 0 } ,
où l'ensemble de gauche est le cône normal a  7T  (Y)  le long de A 9   défini comme
l'ensemble des limites de suites  a (X -ri)  ,  a £]R , et où X  E A , n E tt  (Y)
	.	  V  v    v      v      	  V	V      v J
tendent vers un point p E T  X fixé .
Alors pour tout  j ,  Sxti) £^> ®%) ly  est un faisceau localement constant de rang fini
Démonstration. Fixons  y E y  et choisissons une carte locale en y  de sorte que Y
		-> Q	Jo	n
s'identifie à un sous-espace linéaire de  IC  , avec y  = 0 - Alors pour  0 < r < e et pour  y S Y ,  |y| < e  ( e    assez petit) , la sphère {x ; | x - y | =  r} est non caractéristique par rapport à 7%.   Sinon il existe des suites {x } p  CX  ,
{y ,} a*, c Y   convergeant vers  0  telles que  (x  ,x  -y  ) E A ,  x ^ y  .
Quitte à extraire une sous-suite, nous pouvons choisir  c  > 0  de sorte que
lim  c (x - y ) = Ç  existe et soit non nul. Alors  p -   (0,Ç) E À Pi ir  (Y) C x^r X .
yj	V  V     v	Y
On a donc  Xv = (x v , c v (^ - y^) ) E A , n = (y ^ , c v (x^ - y^) ) £ tt"1 (Y)  et
lim c (X  - ri ) =   ( £ , 0) E c  ,    (A)  . L'hypothèse (5.2) implique
v   v v   v	ïï l(y)    p
<0J  ,(£ ,0)> = < Ç , Ç>~ 0 , ce qui est contradictoire.
Dans ces conditions, le théorème de prolongement s'applique  avec ft = {|x|<e},ft=  {x;  |x-(l-c)y|<ce}  , 0 < c < 1 , y£ynj} étant fixé; par hypothèse  9fi est non caractéristique et les conditions (4.1) -(4.4)  sont clairement vérifiées. Il vient donc :
Ext£ ( R; m,   &_)  -  lim ExA (fi  ;^, 0- )
^X	X     cîo   <^X C      X
A
-12-
Ceci montre que £xtJ (/?Z, & )i n0  est le faisceau des applications localement cons-
A	-
tantes à valeurs dans  ExtJ ( Q, ; #2, 0) , espace dont la dimension est finie d'après
x      x
le théorème 5.1. °
Le reste de la démonstration n'utilise plus les propriétés spécifiques des
<£/ -modules, mais simplement l'existence de "bonnes" stratifications d'un ensemble ana-X
lytique.
DEFINITION 5.3. - Soit  (X )     une famille de sous-ensembles de X . On dit que
	?*     Ct Ct ^ A.		-
(X ) s-.     est une stratification de X  si
(5.3)	X = [J Xa et_ X^ H x = $     lorsque a  *   3  ;
a e A
(5.4)	la famille  (X )  ~,  est localement finie ;
(5*5)  X  et X - X  sont des ensembles analytiques ;
^  /  a -  a   a 	1-a.	
(5.6)	Xa n x& *  <j>  implique \    ^ ^     ?
(X ) ç.	est appelée une stratification de Whitney si les strates  X   sont lisses
et si les deux conditions supplémentaires (5.7) , (5.8)  sont réalisées pour tous ? a , 3 :
(5.7)	T|"X n 7T~!(X ) C T* X ;
a	3
(5.8)	C  .     (T*  X) C{VGT(T* X) ; < U) ,V > = 0} .
ir (X )   B
a
PROPOSITION 5.4 (WHITNEY [6] , [7] ) . Toute statification X = : : X  peut se raffiner
cxeA a en une stratification de Whitney X = I I X'   (i.e.pour tout 3, il existe a tel que XlCX
3fcB  P	P
Le lemme suivant caractérise la structure des sous-variétés lagrangiennes coniques.
LEMME 5.5. - Soit A une sous-variété lagrangienne conique de  T X . Alors il existe
une famille localement finie  (V ) -. .  de sous-variétés lisses, telles que les ensembles
	   a acA 	2	-*	-	
V - V  soient des ensembles analytiques, et telles que
a       a 	--a	-*-
A = M T; x .
a £A  a
Démonstration. On peut supposer A irréductible. La projection  tt(A)  est un ensemble
analytique d'après le théorème de REMMERT. Posons  V, = Reg tt(A) . La proposition 3.2
-1       *
implique A O tî  (V ) = T  X . Le raisonnement se poursuit par récurrence sur dim tt(A)
en considérant A = A - T* X  (qui est encore un sous-ensemble analytique lagrangien).
-13-
Nous pouvons enfin énoncer le résultat que nous avions en vue.
THEOREME 5.6 (M.KASHIWARA [3 ] ). - Soit 7YI  un c2?-module holonome. Alors pour tout j ¤1J , &xt  (?%, 0- ) est un faisceau constructible , i.e.  il existe une stratifica-
%      x	;
tion X= !  I X  telle que  teti (?%, &v)   i v  soit localement constant de rang fini
a GA	^X       l a
pour chaque  strate  X
Démonstration.  D!après le lemme 5.5 on peut construire une stratification X = |   X
aGA telle que
A = SSOTl)     C y     T^~~X  . a   et
Quitte à raffiner , on peut supposer qu'il s'agit d'une stratification de Whitney. D'après la condition (5.7) il vient
A C y     T* X
a    a
de sorte que les hypothèses  (5.1) et (5.2)  sont satisfaites pour chaque strate Y = X Le théorème 5.2 permet de conclure.
BIBLIOGRAPHIE
[ï] BOUTET de MONVEL (L.), KREE (P.). - Pseudo-differential operators and Gevrey classes ; Ann. Inst. Fourier, 17, 1967, p. 295-323.
[2] GODEMENT (R.). - Topologie algébrique et théorie des faisceaux ; Paris, Hermann, 1957.
[3] KASHIWARA (M.). - On the maximally overdetermined Systems of linear differential équations I ; Publ. R.I.M.S., Kyoto Univ., vol. 10, n° 2, 1975, p. 563-579.
[4] KASHIWARA (M.). - Systèmes d'équations micro-différentielles ; Cours polycopié à l'Université de Paris-Nord, rédigé par T.Monteiro-Fernandes, 1976-1977.
[5] SATO (M.), KAWAI (T.) and KASHIWARA (M.). - Microfunctions and pseudo-differential
équations ; in Lecture Notes in Math., n° 287, Springer, Berlin-Heidelberg-New York, p. 265-529, 1973.
[6] WHITNEY (H.). - Tangents to an analytic variety ; Ann. of Math. 81, p. 496-549, 1964.
[7] WHITNEY (H.). - Local properties of analytic sets ; Differential and Combinatorial Topology, Princeton Univ. Press, p. 205-244, 1965.
L.A. n° 213 au C.N.R.S.
Analyse complexe et Géométrie
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4, Place Jussieu
75230 - PARIS CEDEX 05