Bull. Sc. math., 2e série, 103, 1979, p. 179-191.
FONCTIONS HOLOMORPHES
A  CROISSANCE POLYNOMIALE
SUR LA  SURFACE D'ÉQUATION ex+ey=1
PAR
Jean-Pierre DEMAILLY (*)
[École normale supérieure, Paris, et C.N.R.S., L.A. Analyse complexe et Géométrie]
Résumé. - Dans cet article, nous démontrons un théorème d'extension très précis pour les fonctions holomorphes sur la surface S de C2 d'équation ex + ey = 1. Nous en déduisons que les fonctions à croissance polynomiale sur S sont des restrictions de polynômes sur C2 et que les fonctions méromorphes à fibres finies sont constantes. En particulier, les fonctions holomorphes bornées sur S sont constantes.
Abstract. - Holomorphic functions with polynomial growth on the curve defined by ex + ey = 1.
In this paper, we prove a very précise extension theorem for holomorphic functions on the curve S defined by ex + ey - 1 in C2. Then we show that holomorphic functions with polynomial growth on S are restrictions of polynomials on C2, and that mero-morphic functions with finite fibres are constant. Especially, we prove that holomorphic bounded functions on S are constant.
Introduction
Dans un article récent [2], L. A. Rubel, W. A. Squires et B. A. Taylor ont démontré que si/1?/2, ...,/,,/*> 3, sont des fonctions méromorphes non constantes dans le plan, l'hypersurface S de C" d'équation
f1(z1)+...+fn(zn) = 0 est irréductible.
Un problème naturel, soulevé par les auteurs de [2], est de savoir si S est de Liouville, c'est-à-dire si toute fonction holomorphe bornée sur S est constante.
(*) Texte présenté par P. Malliavin, reçu le 4 octobre 1978.
Jean-Pierre Demailly, École normale supérieure, 45 rue d'Ulm, 75230 Paris Cedex 05.
BULLETIN DES  SCIENCES  MATHÉMATIQUES.  0007.  4497/1979/179/$  4.00
© Gauthier-Villars
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La réponse est positive, comme on le voit facilement, lorsque l'une des/f est rationnelle.
Dans ce travail, nous montrons que la réponse est encore positive pour la surface régulière S d'équation ex+ey = 1 (qui est connexe en tant que surface de Riemann de la fonction y = Log(l- ex)), et plus précisément qu'une fonction à croissance polynomiale sur S est la restriction d'un polynôme de deux variables de degré correspondant.
La démonstration consiste, dans un premier temps, à étendre les fonctions de S en des fonctions entières, dont on contrôle la croissance grâce aux techniques d'HÔRMANDER [1]. Dans un deuxième temps, on utilise le fait que S est « voisine » de la surface ex+ey = 0, qui est réunion de droites complexes; le théorème de Liouville permet d'exploiter les propriétés de croissance précédemment établies, et de montrer qu'une fonction/ sur S à croissance polynomiale est la restriction à S d'un polynôme sur C2.
Ce résultat entraîne aisément qu'il n'existe pas sur S de fonction méro-morphe à fibres finies. On en déduit en particulier que S n'est pas isomorphe à un ouvert d'une courbe algébrique, et plus généralement, que S ne peut s'obtenir à partir de la sphère de Riemann P1 (C) par constructions successives de revêtements ramifiés à fibres finies (cf. paragraphe 2).
Je remercie vivement M. Henri Skoda de m'avoir soumis ce sujet de recherches, et d'avoir beaucoup contribué par ses remarques à améliorer la clarté de l'exposé. Après avoir terminé ce travail, nous avons appris récemment que I. Wakabayashi (Tokyo Noko University) a également démontré que la surface S est de Liouville, par une méthode complètement différente.
1.  Extension des fonctions holomorphes sur S avec contrôle de la croissance
Théorème 1. - Soit (p une fonction plurisousharmonique dans C2 telle que
(1)	|(p(z)-(p(z')| <A       si    \z - z' | < 1,    z,z'eC2.
Pour toute fonction holomorphe f sur S vérifiant avec une constante C > 0
j/(z)|<Ce*(z),       zeS, il existe une fonction entière F, égale àf sur S, telle que
|F(z)|<104Ce3'1(l + |z|)5(l + |e*+e5'|)e,,'(^ z = (x,y)eC2,       M2 = |x|2 + M2.
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Démonstration. - Le principe en est classique, mais la nécessité (pour le paragraphe 2) d'obtenir très précisément le facteur 1 +| ex+ey | dans la majoration du théorème 1 rend la démonstration particulièrement technique. Pour la commodité du lecteur, la démonstration a été découpée en quatre étapes.
Étape 1 ; extension locale de f.
On désigne par Ul9 U2 les ouverts de C2 :
C71 = |(x, v);Rex<l et \ex + ey-l\ <H, U2 = Ux, y);RQx>0 et \ex + ey-l\ <-|e*|l
Oc, y); Rex>0 et \e~x-ey~x-l\ <
/se prolonge en une fonction/} holomorphe sur Uj,j = 1,2, de la manière suivante (on appelle Log la détermination du logarithme complexe sur C-]-oo, 0] telle que Log 1=0):
fi(x9y)=*f(x- Log (ex + ey), y - Log (ex + ey))       pour   (x, y)eU1,
(2)	f2(x, y) = f(x + Log(e-x-ey~xl y)       pour   (x, y)e U2.
Il est immédiat que fx et f2 coïncident avec / sur S. Étape 2 : construction d'une partition de Vunité. Soit % une fonction de classe C°° définie sur R telle que 0 < % < 1,
On pose
x(0-'0
^1(z) = x(Rex).X(|^+e3'-l|), ^OO^l-xCRexW.XCle"'^
<13.
Il)-
Les supports de \|/l5 \|/2 sont respectivement contenus dans Ux et U2, et
0<\|f1(z) + \|f2(z)<x(Rex) + l-x(Rex)<l. De plus y\rx +\|/2 = 1 sur le voisinage ouvert
7= j(x, y)eC2; \ex+ey-l\ <-j de S.
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Soit en effet (x, y) e V;
si Re x < 1/4, on a
*ta = U       ^2 = 0;
si Re x > 0, on a
|e-*_^-*_l| <t\e'x\<^,
,,  ,	'     41	4
d ou
vj/j = % (Re x),       \|/2 = 1 - x (Re x).
On remarque également que \|/i, \|/2 sont de classe C°°, et que les différentielles dtyl9 dy\f2 sont bornées.
Pour montrer ce dernier point, on utilise les majorations
i    i     3 I ex I < e9       I ey | < - + e   sur Ul9
e~x\ <1,        \ey~x\<5   sur C72.
On a
c/vl/1=x/(Rex)d(Rex).x(|^ + ^-l|)
+%(Rex)%'(\ex+c?-l\)d\ex+ey-l\,
d\ex+ey-l   =Re(  ?	tl(fdx+é'dy))9
donc	x	'
|#1|<|x'(Rex)| + |x'(|ex + ey-l|)|(|^|2 + K|2)112,
en normes euclidiennes usuelles pour les formes. On a ainsi
|#1|<13(l+    e2+(3+e\   )<70,
et on montrerait de même | d \|/2 | ^70. A fortiori on a
(3)	| à|f 11 < 70,        | â+a | < 70.
Étape 3 : recherche de F et majorations. Cherchons la fonction entière F sous la forme
F = f1y\f1+f2^2-(ex+ey-l)u, avec ue C00 (C2).
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F coïncide par construction avec / sur S, et la condition d'holomorphie dF = 0 équivaut k du = h, où h est la forme de bidegré (0, 1) :
(4)	h =
ex + ey-l
h est de classe C00 en dehors de 5, et sur le voisinage V de S9 on a #1+5^2 = 0, d'où
(5)	ft = #^7^2 = -#^Ar#29
e*+ey-l	ex+ey-l
avec/2-/i = 0 sur S n ^n I72, par suite A est de classe C°° sur C2 tout entier.
D'après (1) et (2), on a
\fj(z)\^CeAe*(z)   sur £7,, compte tenu de ce que
%/2|Log(^ + ey)| ^ V2Log2< 1   sur Ul9
|Log(>r*-e),~*)| < Log2 < 1    sur U2.
Il en résultera une majoration du type | h | < Cx e9 (z), où Ct est une constante à déterminer.
En dehors de F on a | ex + ey-1 | ^ 1/4, et d'après (3), (4) il vient sur [ V :
(6)	| fe| < 4.70(|Sx | + | fz |) < 560CeV(2).
Pour z e F, on peut supposer z e supp tyt n supp \|/2, donc 1/4 < Re x ^ 1/3, sinon h (z) = 0 d'après (5).
x étant fixé tel que 1/4 < Re x < 1/3, la fonction
J2~Jl
ex+ey-l est holomorphe en y pour
\ex + ey-l\<   .
1	'     2
Pour
p^\ex + ey-l\ <-,
2 on a
(7)	/2-/1   ^gC^M
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L'ensemble
{yeC; \ex + ey-l\ ^ p},       pour   p<|l-e*|,
est une réunion de translatées modulo lin Z de la partie compacte
Kx = {yeC; \ex + ey-i\ ^ p, |lmj;-Arg(l-ex)| <7u},
dont le diamètre est majoré par
2Log-
ex + ey-l
l puisque y = Log (1 - ex) + Log ( 1 +
V	V	1-e*
Comme
e*-l  >ex/*-l >- + - = _,
1	4     32     32
le choix  p = 1/10 entraîne
45
diamXx^2Log- < 1; 29
le principe du maximum donne alors pour tout y tel que | e^e*- 1 | < p :
/2(z)-A(z)
(8)
ex + e"-l
i
< suPz'=(x,y'). |y'-y| <l,|ex + ey'-l | =p
^s	e sup|z>_z. <xe
P
^20Ce2-V(z).
On a donc (c/ (3), (5), (6), (7) et (8)) :
(9)	\h\ <1400Ce2Vw.
Étape 4 ; résolution du ô.
JLEmme 1 (Hôrmander [1], p. 94, théorème 4.4.2, e£ régularité du d en bidegré (0, 0)). - SW* (p une fonction plurisousharmonique dans un domaine pseudo-convexe Q,, et h e C? t (Q) une forme de bidegré (0, 1) te/fe #we
3ft = 0       et
n
h\2e 9dX < oo.
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Alors il existe une fonction ue C00 (Q) telle que du = h, et
|u|2e~9(l + |z|2r2dA,<-     \h\2e~*dX.
(X désignant la mesure de Lebesgue).
Appliquons   le   lemme   1   à   notre   situation,   avec   Q = C2,   et   où 2 cp + 3 Log (1 +1 z |2) remplace (p.
D'après (9) on a
C2
2A\2
H2*-2*(i+Hr^<(1400Cg >
2
<&
c(i+ z r)
On vérifie aisément que
dA,

ic»(l+ zr)
izi <i	2
On obtient par le lemme 1 une fonction u de classe C00 telle que du = A et
(10)
71
C2
u re"2f(l+ z r)" adA,<(700V2CO
En appliquant la formule de Cauchy (Hôrmander [1], p.  3, théorème 1.2.1) à la fonction
i>(0 = w(z+t»,       zeC2,   toeC2,   ÇeC, il vient
3y dX(Ç)
lin
.jti-i ?        rt,
u(z+Ç»)        1 "
u(z) =
2Î7T
ici =i
Prenons la valeur moyenne (en abrégé FM) en la variable m; des deux membres sur la boule \w\ < 1 :
d'où
u(z) = FM, wj <1u(z + w) - 2
drVM\ w\<1du(z + rw). m;,

(11)    | m(z) | <FM| w_,| <t |u(w)\ +2sup, l0^z, <! | du(w) | .KM, w, <x
w
<(FM|u)_z,<1|w(w;)|2)1/ +-sup,JP_.2,<1|3tt(tt>)|,
grâce à l'inégalité de Schwarz.
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(1) et (10) entraînent
(VMlw_2]<1\u(w)\2)1/2 ^700j2Ce2Ae*{z)+A(l+(i + \z\2)5/2
O600Cé^(1 + |z|)V(z). L'inégalité (11) jointe à (9) montre que
\u(z)\ ^8000Ce3^(l + |z|)V(z), et en revenant à la définition de F9 on voit que
\F(z)\^CeAe(?(z) + S0Q0Ce3A(i + \z\)5\ex + ey-l\e*(z) ^lQ*Ce3A(l + \z\)5(l + \éx + é'\)é9i'\ qui était précisément l'inégalité à démontrer.
2. Fonctions holomorphes à croissance polynomiale sur S
Théorème 2. - Soit f une fonction holomorphe sur S telle que
|/(z)|<C(l + |z|)w,       z = (x9y)eS,
n étant un nombre réel ^ 0. Alors f est la restriction à S d'un polynôme P (x, y) de degré total ^ n.
Démonstration. - Le théorème 1 appliqué avec
cp(z) = ttLog(l + | z|),       A - nLog2,
montre qu'il existe une fonction entière F prolongeant / telle que
|F(z)|<i04.8wC(l + |z|)n+5(l + |^+^|).
Le théorème 2 résultera alors du lemme suivant.
Lemme 2. - Soit F une fonction entière telle que
(12)	|F(z)|^C(l + |z|)n(l + |e* + ey|),
pour tout z = (x, y) e C2, où n ^ 0.
// existe deux polynômes G (x, y), H (x9 y) de degrés totaux < n tels que F (x, y) = G {x, y) +(ex+ey) H (x, y).
Démonstration du lemme 2. - Le développement en série entière de F par rapport aux variables x, y - x, peut s'écrire :
F(x, y) = Yj>oXJëj(y-x)> où les gj sont des fonctions entières.
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On a
gj(y) =
x\=l        x
et	2iu'
(13)	|8yG0|<C1(l + |j>|)"(l + |«'|).
On remarque que la surface d'équation ex + ey = 0 est la réunion des droites complexes y - x = (2k + l)in, ke Z, et la démonstration utilisera ce fait de manière essentielle.
Sur la surface e*+ey = 0, on a d'après (12) : | F(z) | < C (1 +1 z \ )n.
La restriction de F à chaque droite y - x = (2k + l)in est donc un polynôme de degré ^ n, i. e.
gj((2k+l)in) = 0       pour   j > n,   /ceZ,
et gj(y) est divisible par ey-\-l pour j > n; on pose g/(y) = (ey + l)Pj(y)-Pour | ey+ 1 | > 1/2, (13) implique ^ (y) < C2 (1 + | y \ f (distinguer les cas Re^ ^ 1, Rej> ^ 1).
Comme l'ensemble défini par | ey +1 | ^ 1/2 est une réunion de compacts disjoints qui se déduisent les uns des autres par translations modulo 2 i n Z, la majoration |/>j00| ^ C2 ( 1 -H| 3^ | )n s'étend à tout le plan complexe grâce au principe du maximum.
Pj est donc un polynôme de degré < n, et on a
F(x9 y) = l,o^j^n^gj(y~x)+(ey^x+ï)Ylj>nXJPj(y-^
où les deux sommes sont des fonctions entières. Cette égalité peut se récrire :
(14)	F(x, y) = TJo^^xjgj(y-x) + (ex+ey)^o^j^n{y-x)Jhj(x)9
(14)	=^j^yih(y^x)Hex + ey)^j^(y-xyhj(yl
compte tenu de la symétrie des rôles de x et y; gj9 gj9 hj9 hj désignent ici des fonctions entières.
Il vient
(15)	(e' + er^j^iy-xy'lhjW-hjiy)]
= Eo^y<«y gj(y~x)- Y,o<j<nXJgj(y-x)'
Effectuons dans (15) le changement de variable y = x + t, où t sera considéré comme un paramètre; à ce stade le raisonnement est purement formel. On obtient :
(l + e')exj:o^JJ[hj(x)-hj(x + t)]=Q(t, x),
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où Q est une fonction entière, polynomiale de degré < n en x, et chaque coefficient est divisible par 1 + e*.
Par conséquent
(16)	Tto<j<»t*[hJ(x)-bJ(x+t)'] = R(t, x)e~x,
où R est entière, polynomiale de degré ^ n en x.
Montrons par récurrence sur les valeurs décroissantes de j que l'on a
/17x	f hj (x) = qj (x) e~x + q'j (x),
{hj(x) = qj(x)e-x + q'j(x),
°ù ?j5 £p $_/, q'j sont des polynômes, et degqj9 deg £,- ^ v,
j       f   a    *i ^ v(v+3)-j"0"+l)
deg«;, deg?} ^ _i	i~^	;,
v désignant la partie entière de «.
Si le résultat est vrai pour j+l, j+2, ..., v, on tire de (16) l'égalité
(18)	lùotk[hk(x)-îik(x + t)] = Ryft x)e-x+n;ft x),
avec des fonctions entières Rj9 Rj polynomiales en x,
deg.R^V,       é^R^+i>-^<J^;
pour j = v, (18) se réduit à (16).
Dérivons l'identité (18) y'+1 fois par rapport à t; on trouve
-tjh^+i\x + t)
4- somme de termes tk h\$) (x + t)9       k< j
dj+1Rj,     ,   _,    dj+1R'ir     ,
Substituons y à x + t, et identifions les coefficients de tJ dans chaque
membre	m+iw ,     - , n   -x    ~,, x
avec
,    -^            ,    ~, ^ v(v+3)-(j + l)0' + 2)
deg ^ < v,       deg ^ ^ -	--	-	.
L'égalité annoncée pour hs s'en déduit, et l'identité
ILo^(hj(y't)-%j(y)) = Rj(t9 y^t)e'x+Rfj(t, y^
donne de même	,   . s	, N   __      ., x
kj(x) = qj(x)e x + qj(x).
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On reporte (17) dans l'expression (14) de F pour obtenir (19)      F(x,y) = YJo^j^xJgj(y-x) + (l + ey^x)Yo^j^(y-xyqj(x)
+(**+eOEoWy-*y«/(*)
= Ho<j^xJfj(y~x) + (ex + ey)H(x9 y),
ou
fj(y) = gj(y)Hi+ey)TJo^j^ ~{^\
j\   dxJ
et
H(x, y) = Eo^^v^-^y^W»
H polynôme de degré total
v(v + 3)-;0-l)
v(v + 3)
<SUp0^y^
n(v + 3)
^n.
<V>
D'après la majoration (12), et (19), on a
\lo^j^xifj(y^x)\^C3(l + \z\ni + \ex + ey\)9
IIo^v^7i(»|^C4(l + |z|r(l + |^|(l + |^|)).
Utilisons cette inégalité aux points x, x + l, ...,x+v, et résolvons le système linéaire ainsi obtenu.
Le déterminant du système est du type Vandermonde, donc son module est ^ 1, la distance des points x9 x+l9 .. .9 x+v, deux à deux étant elle-même > 1.
De plus les déterminants
1    x	...        xv
1    x + l	(x + iy
1    x + v	(x + v)v
où l'une des colonnes est remplacée par une colonne de données, sont
majorés par	c5(l + |*|)^+1^sup|données|.
On a donc
\fjiy)\<C6(l^z\r+^+1>'2\l + \ex\(l+\e'\)y,
si Re y ^ 0, choisissons x = 0, et si Re y ^ 0 choisissons x = - y; il vient et y} est un polynôme de degré ^ n (v+2).
BULLETIN DES SCIENCES  MATHEMATIQUES
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J.-P.   DEMAILLY
L'égalité (19) s'écrit maintenant :
F (x, y) = G (x, y) + (ex + e») H (x, y), où G et H sont deux polynômes,
degG < n(v + 2) +v < n(n + 3),
2	2
Montrons qu'en fait deg G < n, deg H ^ n.
Sur la surface Sa d'équation ex + ey = a, F coïncide avec le polynôme P = G+aH.
Il suffit de prouver que pour tout a e C, deg P < n. Sinon, soient m = deg P > n,Pm la partie homogène de degré m de P, et (x0, ^0) un point fixé de Sa. Pour tous les entiers j et k, le point (jt0+2y rc, y0+2ikK) appartient à Sai et d'après (12) on a
|P(x0+2ijn, y0 + 2ikiz)| < C8(1 + \j| +1k\)n.
Prenons j = \t Ç], k - [t rj], où £, Ç, r| e R, et où [   ] désigne la partie
entière.	",       ^..	n.,   N
P(x0 +2ijk, y0 + 2ikn)
(2ïtcOw
tend vers Pm (Ç, r|) quand 111 tend vers +oo, tandis que
c8(i+ljl+lfeD"
\2int\m tend vers zéro, puisque m > n.
On a donc Pm (Ç, tj) = 0 pour tous Ç, n e R, et Pm = 0 contrairement à l'hypothèse.
La démonstration du lemme 2 est achevée, et avec elle, celle du théorème 2 (l'assertion deg P ^ n s'obtient en raisonnant sur S comme ci-dessus).
En particulier, S est de Liouviîle, ce qui signifie par définition que les fonctions holomorphes bornées sur 5 sont constantes. Signalons qu'étant donné une variété de Liouviiîe X, il est possible de construire des variétés de même nature par les procédés suivants :
(a)ôter de X une partie fermée « suffisamment petite » (par exemple une partie fermée polaire);
(b)construire au-dessus de X un revêtement connexe (ramifié ou non) à fibres finies. Ainsi, de même que C, les variétés algébriques irréductibles de dimension n sont de Liouviîle.
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Le corollaire ci-dessous montre que la surface S ne peut se déduire de la sphère P1 (C) par application répétée des procédés (a) et (b).
Corollaire. - Soit f : S->P1(C) une fonction méromorphe sur S. On suppose quil existe un ouvert non vide U de P1 (C) tel que pour tout a e U la fibre f~x (à) soit finie. Alors f est constante.
Démonstration.   -   Comme la fonction   U-» N, a h-» Card/-1 (a) est
semi-continue inférieurement, le théorème de Baire montre qu'il existe un
ouvert  non  vide   V c U et  un   entier p,   tels   que   pour tout a e V,
Card/-1 (a) ^ p.   Choisissons   a0 e V  tel   que  p = Card/-1 (a0)   soit
maximal, et notons	t	(	.
f    (a0) = {zl5z2,..., zp).
Il existe des voisinages W c V de a0 dans P1 (C), et Wx, ..., Wp de zu ...9zp, disjoints, relativement compacts dans 5, tels que / applique isomorphiquement Wl9 ..., Wp sur W (sinon Card/-1 (a0) ne serait pas maximal).
Si a0 = oo posons g = /, sinon posons
1
on a. f1 (W) =^u...u ]^p, par suite g est bornée en dehors de Wl9 ..., Wp, et possède des pôles simples aux points
de s	zi = (^i, yù, ..., 2P = (xp, yp)
La fonction P(x9y) = g(x, y)Y[i<j<p(x~~xj) est holomorphe sur S9 à croissance polynomiale de degré p; donc P est la restriction à S d'un polynôme de degré total ^ p, de même que la fonction
Q(x> y) = gO> y)ïli*j*r(y-yj)-
OnasurS,        n	(	^
et cette égalité est vraie formellement (cf. démonstration du lemme 2; S n'est pas algébrique).
Par conséquent J]Uj<| (x-xj) divise P, g est holomorphe bornée sur S9 et p = 0.
Il en résulte que g et/sont constantes.
BIBLIOGRAPHIE
[1] Hôrmander (L.).   -  An Introduction to Complex Analysis in Several Variables,
North Holland Publishing Company, 1973. [2] Rubel (L. A.), Squires (W. A.) et Taylor (B. A.). - Irreducibility of certain entire
functions with applications to harmonie analysis (preprint).
BULLETIN DES SCIENCES  MATHÉMATIQUES
A1
ADDENDUM (tiré de la Thèse de 3e Cycle)
COROLLAIRE (analogue pour S du théorème de Picard dans le plan). -Soit f une fonction méromorphe non constante sur S, considérée comme application de S dans (P (D . Alors l'ensemble des points aeP C tels que la fibre f  (a) soit finie est maigre-Démons trat ion. Il suffit de montrer que pour tout entier p 1'ensemble fermé fa e. tP (C ; Card f  (a) ^ plest d'intérieur vide.
Supposons au contraire qu 'il existe un ouvert U non vide de tP ¼ tel que pour tout  a e U on ait Card f  (a) ^p . Choisissons a <= U tel que
p = Card f  (a ) soit maximal, et notons f  (a ) = |z.§z_,...,z X   .
o	o    \ 1  2      p/
Il existe des voisinages V c U de a  dans ÏP <C , et V......V  de z,,...,z ,
o	I      p     1      p
disjoints, relativement compacts dans S, tels que f applique isomorphi-
P
Si a = oo posons g -   f , sinon posons  g = -z	  ; on a f  (V) = V.U. . . UV ,
o	^
par suite g est bornée en dehors de Vj,...,V , et possède des pôles simples aux points z  = (z,y ),..., z  - (z ,y ) de S.
1      l       *	p      P  p
La fonction P(x,y) = g(x,y)   |  |  (x - x.) est holomorphe sur S, à crois-sance polynomiale de degré p ; donc P est la restriction à S d'un polynôme de degré total ^p , de même que la fonction
Q(x,y) « g(x,y) |   | (y-y.) .
On a sur S, P .  |  |  (y - y ) = q. !      (x - x.),
HUv	I 4J £ P      J
par conséquent cette égalité est vraie formellement (cf. démonstration
du lemme 2; S n'est pas algébrique).
Par  suite	[  f  (x - x.) diviseP,et g est holomorphe bornée sur
S (î.e. p - 0) . Il en résulte que g et f sont constantes, contrairement à 1'hypothèse.
3. Lien avec les fonctions automorphes.
Considérons   l'application   p   de   S   dans   (C      -    fO, 1 j   qui   à    (x,y) e S
x associe   e    .
p est un revêtement , et le groupe d'automorphismes de S
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(x>y) h-*(x + 2ijrr , y+2ikrr) , j,ké=2T  , opère transitivement sur les fibres de p.
Ce groupe est donc le groupe Aut(p) de tous les automorphismes du revêtement p .
D'autre part, il est bien connu que le revêtement universel de « - [°>lJ s'identifie au demi-plan superieur TT+, avec pour groupe dTautomorphismes le groupe I  des homographies
z >-
cz + d a,d entiers impairs, b,c pairs, ad - bc « 1  (RUDIN [3], section 16.20)
H est un groupe libre à deux générateurs
T(z) = z + 2
correspondant (avec des conventions adéquates de point-bases) aux lacets autour des points 0 et 1 dans le groupe fondamental de C - {0, 1 } .
Notons À : TT+ 	>?  £ - {p,l} °* I l+ /Pla projection.
Il existe une flèche q : TT  -*-S qui rend le diagramme suivant commu-
tatif :
TT.-^-^s
p
g' - (o, 1 ]
q est un revêtement, et puisque p est galoisien, Aut(q)  est un sous-groupe distingué de P tel que
P/Aut (q) ^âut(p) cssi %   . Par conséquent Aut(q) est le groupe P!  des commutateurs de P, de sorte que la surface S est définie explicitement comme quotientI \J  P !  du demi-plan supérieur. Une fonction holomorphe sur S sTidentifie à une fonction automorphe invariante par Pf. La proposition suivante précise cette quest ion -
PROPOSITION. - Soit G un groupe d'automorphismes du disque unité D opérant proprement et librement sur D, X -   D/G 1Tespace quotient.
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(i)  S'il existe une fonction holomorphe bornée non constante sur X, on a la condition de Blaschke uniforme
2
g ¤G
1 ~  g(z)| < C <oo pour  z e D
(ii)  ST il exi s te z eD tel que (ou de façon équivalente si pour tout
z «~ D, on a )
0     	
g e G
alors le produit    [ g(z)I   est convergent,
geG     ' et définit une fonction sous-harmonique bornée non constante iR-analyti-
que sur X.
Si B  est le facteur de Blaschke' associe au point a <£.D , le produit
f(z)  -     B ,  \(z) définit une fonction automorphe bornée invariante
W  8(«0)1	"
par le groupe G ' des commutateurs de G ( i . e. une fonction holomorphe bornée non constante sur le revêtement homologique X ' = D /G ' de X).
(iii) S'il existe une fonction harmonique positive non constante sur X, il existe une fonction holomorphe bornée non constante sur X'.
Remarque. - Pour le demi-plan supérieur, la condition de Blaschke (ii) s'écrit
y~~	i	<co
-^	2       2      2      2
geG   a   +b   +c   +d
,    N	az   +   b
avec      g(z)    =	-T   ,    ad   -   bc   =    1.
cz   +   a
Pour montrer que la surface S est de Liouville, il suffirait donc de vérifier que la série ci-des sus est divergente lorsque  G = P ' .
Malheureusement, nous n'y sommes pas parvenus, car les éléments de P' . n'ont pas une expression s impie.
Démons trat ion.
(i)  Soit f une fonction automorphe non constante invariante par G, y un automorphisme de D.
La fonction F (w) -   f o Y(w) " f (z) admet les points V~ g(z) pour zéro s. On déduit aisément de la formule de Jens en que
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F(0)
eG     y      g(z)
<iFLs<2!flii,oùII L°g
geG
2 Hf H
"oo
Z^T"72^   L°g|foT(0)    -   f(z)f
ï     g(z)	*	u
D'autre part, un calcul facile montre que
i-irW  *  Kffi<>-!-<?>!
Log F^guTF^1  |0 6V£,/|   " ' +|T(0)|
Choisissons     deux   points   a}    et   a2   tels   que   f(aj)   4   f(a2)    >   lal|^|a2i'    et   deux
utomorphismes   *jC ,   Y«   tels   que   JT (0)   =   a, »   "jC (0)    -   a^-
1    + la.
Alors   ^L    1    - |g(g)|Z>       »    -|g(z)|    42   inf
3=1,2      '   "1^1       -f^    *   f^z)! 4 |£Il
Log
1    -ja2|      -° |f (a,)    "   f (a2)| (ii)   La   convergence   des   produits   infinis   est   bien   connue    (sous   lThypothè
se      J^    1    - jg(z    )|   < co ;      cf.   RUDIN    [3]    ,    section   15.21),    et   il   est   clair
gé=G
que j  ! |g(z)|  est invariant par G. geG
Par ailleurs, posant B (z)
B  o g = p
g  (a)
-=-  pour 0 < |a| < 1 , B (z) = z, on a
a z	o
1 .
Par suite,pour tout g £G, il existe une constante de module 1, p > telle
o
que f o g = p f.
On peut vérifier que p  = 1 lorsque g est une homographie parabolique,
o
n général p 4-
L!invariance de f par les commutateurs de G est néanmoins évidente. (iii) Soit h une fonction harmonique positive invariante par G, f une fonction holomorphe telle que h = lia f = "- (f - f) .
Pour tout g eG, il existe une constante réelle p  telle que f o g = f + u
o	6
d'où l'invariance de f par G! .
f est à valeurs dans le demi-plan supérieur II.» et on construit une fonction holomorphe bornée en posant   F = t-r .
(ii) et (iii) montrent l'intérêt qu'il y aurait à étudier le revêtement homologique ST de S. Mais le groupe fondamental de S est un groupe libre à une infinité de générateurs, et la surface S! est particulièrement difficile à décrire de manière exploitable.
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Complément de bibliographie :
[3] RUDIN (W.). - Real and complex analysis, Me Graw-Hill, 1966