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ANALYSE HARMONIQUE. - Sur les transformées de Fourier de fonctions continues et le théorème de de Leeuw-Katznelson-Kahane.
Note de Jean-Pierre Demailly, présentée par Paul Malliavin. Reçue le 23 juillet 1984.
Étant donné un groupe localement compact abélien G quelconque et une fonction <peL2(G), nous montrons l'existence d'une fonction fe L2 (G) continue nulle à l'infini telle que | /1 g; | <p | p. p. sur  ô.
HARMONIC ANALYSIS. - On Fourier Transforms of Continuous Functions and a Theorem of de Leeuw-Katznelson-Kahane.
Given any locally compact abelian group G and any function cp 6 L2 (ô)^ we prove the existence of a function fe L2 (G) continuous and vanishing at infinity such that [/1 2; | (p | a. e. on G.
Introduction. - L'objet de la présente Note est d'étendre au cas d'un groupe localement compact abélien G quelconque le théorème ci-dessus démontré par de Leeuw-Katznelson-Kahane [4] dans le cas d'un groupe G compact. Une rédaction plus détaillée de ce travail paraîtra dans [2]. La démarche, analogue à celle de [4], consiste dans un premier temps à généraliser les inégalités de Khintchine pour les transformées de Fourier aléatoires sur un groupe non compact.
1. Inégalités de Khintchine généralisées. - Soit cpEL2(G). Si G n'est pas discret, il existe pour tout s>0 une partition dénombrable du support :
Suppcp = U  Ep
j e N
avec m(EJ)^e. Si G est discret (i. e. G compact) on choisit simplement m(E7)=8=l. Étant donné une suite aléatoire r = (^)e(IR/Z)w on considère la fonction :
(1.1)	cp, © = I   9,- të) e2"ilJ       où    cp; = U, 9-
Soit dt la mesure de probabilité naturelle sur (M/T)N. Un calcul classique ([3], p. 215) utilisant la formule de Plancherel sur le tore, fournit pour tout entier /?2:1 l'estimation en norme L2 p :
(1.2)

<?,\\22Ppdt=  £   ^-||cp.
WZ)M	|<x|=P   «!
où la somme est étendue aux suites presque nulles (a0, al5 . . . ) de module p et où la notation cp*a désigne le produit de convolution cpj010 * cp^f"1 * . . . Les inégalités de Hausdorff-Young et de Cauchy-Schwarz entraînent les majorations :
(1. 3)     || cp.- M II <Po ||a II cPo H?-1 || cpt Hï1 - - -  S^"12 || epo ||? || 9, ||? ? ? -
D'après (1.2), (1.3) et l'inégalité p\2/a\2 f^plpl/al il s'ensuit donc :
cpt \\lppdt£p\ s*"1 (2 || cp, Hfr^! e""1 || cp |||p.
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Inégalité de Khintchine. - Il existe te(U/Z)M tel que :
0-4)	||çt|L^(p!e'"1)1/2'||.q>||2-
L'inégalité élémentaire ( | cpr | - r\)+ ^(p- l)p_1 p~p r\l ~p \ <pt |p, r\ >0, fournit alors le : Lemme. - Si (p, satisfait l'inégalité de Khintchine, on a pour tout r|>0 :
(1-5)	|| (| «pt| -Tl)+||L2(G)^CPi£Ti1-''||cp||f)
avec C^^iz»-1 pi)1'2 (p-l)'-1 p"'.
2. Démonstration du théorème LKK.   - Nous démontrons la version suivante du théorème, qui donne des estimations précises en normes L2 et L00.
Théorème LKK.  - Soit M un réel 2:17 et s>0. Alors pour tout (peL2(G) il existe une fonction /e L2 (G) p) C0 (G) vérifiant les propriétés :
(2.1)	| /1 ^ | <p | presque partout sur G,
(2-2)	II/m(i+^)|MI*
(2.3)	||/||½^ye(l+y2MM|M|2,
avec s=l si G est compact, ou bien respectivement :
(2-20	||/||2gl,186||q>||2,
(2.3')	||/|Lg3,685   /I||q>||2.
Le théorème LKK résulte du lemme (1.5) grâce à un procédé de construction itératif général, implicitement contenu dans [4] et formalisé par S. V. Hruscev (voir Kisliakov [5]). Comme dans [4] il suffit en fait de vérifier l'existence de/eL2(G) H L½(G).
Soient ôj, r^-, 07- trois suites positives sommables qui seront précisées ultérieurement et rj(z) = z.mm(l,j]j/\z\), zeC, la rétraction sur le disque de rayon r^. On construit une suite de fonctions gj e L2 (G) ayant les propriétés suivantes : si
fj = rO (g0)+ ?  ?   ?  +0-1 (gj-l)+gp
\fj\> |<p|[(l+80)...(l + 5J_1)]-1,
Ujh^p l|(kl-nj)+Mc,.iTij-'ej.
On suppose ||<p||2 = l pour simplifier, et on choisit g0 (x) = <f>, (x) = cp,( - x) où (p, est donnée par le lemme (1.5). On a donc /0=g0 = <pf et les propriétés (2.4, 5, 6) sont vérifiées avec 90= ||<p||2 = l. Supposons construites g0, ...,gj et soit hj = r0(g0)+ ? ? ? +rj(g). Alors :
\\fj-hj\\2= \\gj-rj(gj)\\2 = \\(\gj\-nj)+ ||2^Cp,Er,]-p0J.	.
On définit alors v|/eL2(G) par :
(2.7)      v|/ CQ = 0   si (cas favorable)    | K} (Ç) | ^ | cp ÇQ | [(1 + 60). . . ( 1 + bj)] ~ \
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(2.8)	ij/(y=2|(p(Ç)|[(l + ô0)...(l + ôJ.)r1 sinon.
Dans ce dernier cas, on a | hj(Q \ ^ |j}(£) \ (1 + 5j)_1 d'après (2.4), ce qui entraîne :
ogiKÇ)^f-|/, ©-*,©!,
On définit alors gJ+1 = tyt où \|/, est associée à \|i par (1.5). Cette fonction satisfait (2. 5) et (2. 6) si l'on pose :
(2.9)	0J.+ 1 = 2Cp,Eôr1Tij^0rp.
Comme fj+1 = hj+gJ+u on a d'autre part fj+ 1 = hJ + \|/t avec |\|/t| = \|/, donc (2.4) est vérifié à l'ordre j+l par construction de \\i. Les propriétés (2.4,5,6) montrent que la
+ 00
r .
J
(2.io)    u/MEfy,   ii/iu^iîi/.   i/i^i«pi n o+ôj)-1.
J=0	j=0	j=0
Le choix :
ô-p--'-1,        Q^p-PJ'C-v,        t\j = Mp        X = (2Cp^p"2>"-1)11''-1,
satisfait la relation de récurrence (2. 9) et conduit aux estimations (2. 2) et (2. 3) avec les constantes respectives  :
z«ino+<w-A,-ï-^n(*+i).
Injn<l+5;) = %AB, = v^(2p!"ïp"i'-»)'"'-"n('l + ^\
On vérifie enfin par un calcul numérique que An < 1,186, Btl <3,685 et Ap< 1 + (1/M), BP<1+   /2M/ëpour/>-lg2M</>, M^17.    ?
3. Application au théorème d'Orlicz-Paley-Sidon. - Le théorème LKK apparaît comme une version forte du théorème OPS. En appliquant LKK à un groupe quotient U/D compact (U a G ouvert, D <= U discret) on peut déduire la conséquence suivante relative aux espaces amalgames lp(Lq(G)) (cf. [2]). L'espace /P(L¤(G)) est par définition l'ensemble des/mesurables sur G telles que :
/II*
(L«):

ip
.. 1x+b/||J<M     < + ½, L JG
où E est un voisinage compact de l'unité de G (cf. [1]). La transformation de Fourier envoie /X(L2(G)) dans Z2(L°°(G)). Inversement :
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Corollaire. - Soit K une partie compacte de G d'intérieur non vide. Il existe un compact Lcôet une constante C>0 tels que pour toute fonction cp e l2 (L00 (G)) il existe une fonction /eCK(G) à support dans K telle que :
|/|*lLi£|(p|,       H/IU^C || 911,2 a..,.
Par dualité ce corollaire entraîne un théorème de type OPS, à savoir que l'espace des multiplicateurs ponctuels de CK(G) dans L1(G) est /2(Lx(ô)).
Références bibliographiques
[1] J.-P. Bertrandias et C. Dupuis, Transformation de Fourier sur les espaces lp(L"), Ann. Inst. Fourier, 29, n° 1, 1979, p. 189-206.
[2] J.-P. Demailly. - Sur les transformées de Fourier de fonctions continues et le théorème de de Leeuw-Katznelson-Kahane, à paraître dans le fascicule 1983/1984 du groupe de travail d'Analyse harmonique de Grenoble.
[3] R. E. Edwards, Fourier séries, A modem introduction, II; Holt, Rinehart and Winston (1967), 2e édition, Springer, 1982.
[4] K. De Leeuw, Y. Katznelson et J.-P. Kahane, Sur les coefficients de Fourier des fonctions continues, Comptes rendus, 285, série A, 1977, p. 1001-1003.
[5] S. B. Kisliakov, Fourier Coefficients of Analytic Functions Defined up to the Boundary, preprint Univ. de Leningrad 1978, cf. aussi Théorie spectrale des fonctions et des opérateurs, Trudy Lenin. Mat. Institut., Acad. Nauk S.S.S.R., 1981, 155, p. 77-94 (en russe).
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