Invent. math. 69, 347-374 (1982) Courants positifs extrêmaux et conjecture de Hodge Jean-Pierre Demailly Université Paris VI, Analyse Complexe et Géométrie. Laboratoire Associé au C.N.R.S. (L.A. 213), 4, Place Jussieu, F-75230 Paris-Cedex 05. France Table des matières 10.Introduction et énoncé des résultats 347 11.Un théorème de support pour les courants positifs fermés 351 12.Exemple de courant extrêmal sur 1P2 qui n'est pas un cycle analytique 354 13.Contre-exemples dans IP" et kPiq{X)J, <2)kpq{X) étant muni de la topologie limite inductive usuelle. Pour simplifier les notations, on écrira aussi @pJX) = ®?JX), @'p,q(X) = [2pJX)J. Définition 1.1. Une forme ae^p°p(X) est dite: 0020-9910/82/0069/0347/$05.60 348 J.-P. Demailly (1.1) fortement positive (ou fortement 2:0) si en tout point zeX, 0, faiblement >0) au point zeX, si toute petite perturbation de _0 pour toute forme ae!3 (X) fortement (resp. faiblement) positive. Il résulte aisément de cette définition qu'un courant ou une forme fortement 2:0 sont aussi faiblement 2:0; on montre de plus que les notions de positivité relatives aux courants sont bien cohérentes avec celles relatives aux formes. Rappelons aussi que les notions de positivité forte et faible coïncident pour p = 0,1, n -1 ou n et diffèrent dans tous les cautres cas (cf. [6]). Un courant faiblement 2:0 est nécessairement d'ordre 0, i.e. ses coefficients sont des mesures de Radon. Définition 1.2. On notera SPC(X) (resp. WPC(X)) P ensemble des (p,p)-courants Tfortement (resp. faiblement) positifs et fermés, c'est-à-dire tels que dT = Q. On vérifie facilement que SPCp(X)cWPCp(X) sont des cônes convexes saillants, fermés pour la topologie faible de 3>'p p(X). Définition 1.3. Un courant T est dit extrêmal dans SPC(X) si TeSPC(X) et si chaque fois que l'on a une décomposition T=T1 + T2 avec Tx, T2eSPC(X), alors T,TY,T2 sont proportionnels. L'ensemble des courants extrêmaux de SPC(X) sera noté SP(X); on définit de même l'ensemble S^,(X) des courants extrêmaux de WPC(X). L'intérêt des courants extrêmaux est dû en partie au résultat suivant, qui est une conséquence simple du théorème de Krein-Milman. Proposition 1.4. On a SPCp(X) = ip(X), WPC"(X) = SP¥(X) où le symbole a désigne l'enveloppe convexe fermée dans l'espace 3)' (X) muni de la topologie faible. A la suite de l'introduction des courants positifs par P. Lelong [7], différents auteurs ont posé le problème de l'étude des éléments extrêmaux de SPC(X) et WPC(X). Il est classique que le courant d'intégration [Z] sur un ensemble analytique irréductible Z de dimension p, est un élément extrêmal de chacun des cônes SPC(X) et WPC"(X) (cf. [9], [5]). Définition 1.5. On désignera par ,f(X) l'ensemble des courants d'intégration X[Z~\e3i' (X), où Z est un ensemble analytique irréductible et 1_0. D'après ce qui précède, on a donc J"(X)^&(Y;p); 20.^(X\Y;p)et^(Y;p)^i?(X;p); 21.&{V;p)=>£e{W;p); 22.if(P" + fc;p-t-/c)=>J^(P";p) pour tout entier fc^l. Le démonstration des points (1.5), (1.6), (1.7) fait usage d'un théorème de prolongement pour les courants positifs fermés de masse finie, dû à H. Skoda [1]. L'idée de la démonstration de (1.6) m'a été suggérée par M.M. Jean-Baptiste Poly et Gilles Raby. On notera qu'en général ni ip(X), ni JP(X) ne sont faiblement fermés dans SPC(X), comme le montre dans P2 l'exemple de la famille de coniques non dégénérées zzl + z\ + z\=0 qui dégénèrent en une 350 J.-P. Demailly réunion de 2 droites pour e, = 0. Le contre-exemple du théorème 1.6 est obtenu précisément en choisissant une suite de ^(IP2) qui converge dans $l(TP2), mais pas dans ./'(IP2). Il semble donc raisonnable de substituer à âf(X;p) l'énoncé affaibli suivant: (&(X;p)) Sp(X)^JpJx), où JP{X) est l'adhérence de J"(X) pour la topologie faible de 3>'p p(X). Le théorème de Krein-Milman permet de transformer cet énoncé en une propriété plus parlante (cf. § 5). Proposition 1.8 i?(X; p)est équivalent à l'énoncé Ê(X;p): Jfp(X) = SPC(X), où JP(X) désigne l'enveloppe convexe fermée de ,fp(X) dans Sf'pp(X). La propriété Ê(X;p) est démontrée par P. Lelong [9] lorsque p = n - \ et lorsque X est une variété de Stein telle que H2(X, R) = 0. Etant donné un courant quelconque TeSPC^1(X), la méthode consiste à approximer le potentiel de T (qui est une fonction plurisousharmonique) par des logarithmes de fonctions holomorphes. On en déduit alors que T est limite faible des diviseurs associés. Pour des variétés de Stein ou projectives quelconques, l'énoncé i?(X;p) n'est pas adéquat, car il faut tenir compte de certaines obstructions de nature topologique. Il est facile de voir (prop. 6.3.) que Jp(X)cSPCPl{X\ où SPC^X) est l'ensemble des courants de SPC(X) dont la classe de cohomologie appartient à A2q(X) = adhérence dans H2«(X;R) de (H«''(I)nfl2'(X;Z))®jlR, q = n - p. L'existence de ces obstructions permet de donner de nouveaux contreexemples au problème i£{X\ 1) sur des surfaces algébriques affines, et également au problème <£{X\p\ lorsque X est une variété de Stein ayant une cohomologie entière «pathologique». On est donc amené à faire la conjecture suivante: {&E(X;p)) J^(X) = SPCpx(X). L'énoncé ÊZ(X ; p) est vrai en codimension 1 (p = n - 1 ), et s'obtient par des arguments analogues à ceux de [9], à condition de remplacer les fonctions plurisous harmoniques par des métriques hermitiennes de fibres linéaires positifs. Comme l'avait conjecturé P. Lelong [9], on a en fait un résultat un peu plus précis (voir § 7). Théorème 1.9. Soit X une variété projective ou de Stein, connexe et de dimension n^2. Alors SPC"Z1(X) = J"-X(X). Lorsque X est une variété projective, l'énoncé J?z(X;p) apparaît comme une formulation explicite forte de la conjecture de Hodge (cf. th. 6.4). Théorème 1.10. Sur une variété projective X, Thypothèse i£^{X ; p) entraîne la conjecture de Hodge en degré 2q(p + q = dimX), à savoir la propriété J#'(X;q): Hqq(X)nH2q(X;d}) est engendré par les classes des cycles algébriques de dimension p. Courants positifs extrêmaux et conjecture de Hodge 351 Signalons que R. Harvey et A.W. Knapp [6] ont également ramené la conjecture de Hodge à un problème de Plateau homologique pour les courants. 2. Un théorème de support pour les courants positifs fermés Soient X une variété analytique complexe de dimension n, S une sous-variété fermée de classe C1 et de dimension réelle 2p + k, qui est fibrée en variétés analytiques de dimension complexe p. De façon précise, on suppose qu'il existe une variété M, dimKM = /c, et une submersion de classe C1 dont les fibres = f du(t) f a (2.1) tuM p p(X). Le courant 0 est fermé, à support dans S, et il est fortement =ï 0 si // ^ 0. Inversement, nous allons voir que (2.1) donne bien tous les (p, p)-courants fermés d'ordre 0 à support dans S, sous des hypothèses assez générales sur S. Théorème 2.1. On suppose que les fibres a'x(t) sont connexes, et que S est totalement réelle dans les directions transverses aux fibres, c'est-à-dire qu'en tout point zeS on a TzSniTzS = TzFz, (2.2) où Fz = a~1(o(z)) est la fibre du point z, et TZS, TZFZ les espaces tangents respectifs à S et Fz. Alors pour tout courant fermé 0 de bidimension (p,p) et d'ordre 0 à support dans S, il existe une unique mesure de Radon p sur M telle que 0= \la-Hmdliit). (2.3) IeM Si le courant 0 est faiblement S: 0, alors la mesure p. est positive. Notons d'abord que l'hypothèse (2.2) limite la dimension de S: en effet TZS/TZFZ est un sous-espace totalement réel de TZX/TZFZ, on a donc nécessairement k^n-p, soit dimRS^n+p. L'hypothèse (2.2) est d'autre part automatiquement vérifiée si fc=l. Démonstration. Puisque 0 est un courant fermé d'ordre 0 (donc localement plat) à support dans S, il existe un courant 0 d'ordre 0 sur S tel que 0 = i^d, où F-.S-tX est l'inclusion (voir H. Fédérer [3] ou R. Harvey [5], théorème 1.7 (b)). 352 J.-P. Demailly Démontrer (2.3) revient donc à construire une mesure n sur M telle que <6>,a> = J dfi{t) J a (2.4) pour toute 2p-forme a continue à support compact sur S. On voit qu'il suffit en fait de construire, relativement à un recouvrement ouvert <% de M, des mesures locales fiv définies sur chaque Ue2n - 2p, définissent des coordonnées locales sur les fibres Fçr\W,ÇeSnW. Puisque 0 est d'ordre 0 à support dans S, on a sur W les relations Wj-0 = O, k+l^jè2n-2p, d'où après differentiation dwj a 0=0. Comme 0 est de bidegré pur, on en déduit dcwJA0=O, avec la notation usuelle dc = i(ô - ô). Calculons en tout point ÇeSoW l'intersection des noyaux des 1-formes dw}, dcWj pour k + lSj^2n-2p: f]Kevdwjnf]KeïdcWj=T^SniTt.S = T!;F!. d'après l'hypothèse (2.2). Les formes dw,, l_/_/c, sont nulles sur l'espace T^ tangent aux fibres. Il existe donc des fonctions réelles ajt, a'j, continues sur Wet telles que dwl = Yi{^jidwJ + ajldcwJ) en tout point de SnW. On a par j conséquent pour l = 1,2,..., k : dw, a (9 = £ (flji dWj a 0 + a'j, dcWjA0) = 0. j Le courant 9 étant de degré k, on peut écrire sur S '= I SK.wdwi |JC| = t Courants positifs extrêmaux et conjecture de Hodge 353 où K décrit l'ensemble des multi-indices de longueur k à valeurs dans {1,2, ...,k} u{2n-2p + 1,..., 2n} et où 0KtW est un courant d'ordre 0 et de degré 0 sur SnW. Les conditions dwl/\0=Q montrent que 6 se réduit à un seul terme: 0 = 0(i.2 k),w^w\ A ?-- Adwk, (2.8) soit encore 0 = 0{l 2 k)Wo*{dMv) d'après (2.5). Il est clair que les différents courants d(it2,...,k).w se recollent en un courant 9V sur ff_1(l/) qui satisfait aux conclusions du lemma 2.2. ? Lemme 2.3. Avec les notations précédentes, il existe un courant vv d'ordre 0 et de degré 0 sur U tel que 9v = a*(vv), i.e. 8 = a*(vv-dMu). Démonstration. En effet d'après (2.8), l'hypothèse que 0 est fermé entraîne dO -^ = 0 sur SnW pour 2n- 2p + l ^;' = 2«, dWj c'est-à-dire que les dérivées partielles de 0V dans la direction des fibres sont nulles (cf. (2.7)). Comme les fibres sont supposées connexes, le lemme 2.3 s'ensuit aisément. ? Le lemme 2.3 montre que pour toute forme a continue à support compact dans o~ ' (U) on a les égalités <0, x}=(vu-dMu,a^x}= j vD-dMu{t) j a; la relation (2.4) est donc bien démontrée avec la mesure jiv=vv- dMv à la place de \i. Il nous reste à vérifier que nv est 5:0 si le courant 0 est faiblement 2:0. Ceci démontrera simultanément l'unicité des mesures /iv, en prenant 0 = 0. Lemme 2.4. On suppose que le courant 0 est faiblement 2:0. Alors la mesure représentative \i est 2:0. Démonstration. Soient x une fonction continue 2:0 à support compact dans M, L une partie compacte de S telle que fj(L)^Suppx, peS)pp(X) une forme fortement 2:0 et >0 sur L, Xi ia fonction continue sur M définie par XiW = x(0[ j P]~l- Appliquons (2.1) à la forme fortement positive x = Xi°o-P', il vient O^<0,«>= j x^dnit) J j?= J x(t)dfi(t). D Nous aurons besoin également du résultat simple et plus ou moins classique suivant: lorsque le support d'un (p,p)-courant localement normal 0 ne contient pas «suffisamment» de directions complexes, alors 6> est nécessairement nul. On rappelle qu'un courant 0 est dit localement normal si 0 et d0 sont d'ordre 0. Proposition 2.5. Soit 0 un courant localement normal de bidimension {p, p) sur X, à support dans une sous-variété I de classe C1 telle que dim^i^L niTzE)

2n - 2p. Soit (u1, u2, ...,u2n) un repère local de 1-formes réelles continues au voisinage de z, tel que ui, u2,..., u2n_2 t soient extraites de la famille dwj, dcWj, lgjrgiV. On peut écrire 0 = Y.®kuk avec uk k = «t a... a m, , et u, a 0=0, lP2, 7r(z0,z,,z2) = [z0,z1,z2] est la projection canonique. Le i coefficient -- est choisi de manière que la classe de cohomologie de ½ 2n coïncide avec le générateur positif de 7f2(P2,Z). Comme la courbe rd:zd0-^-z\ + z^ = 0 est de degré d, la masse totale du courant d'intégration [FJ est donnée par J|Td]Aa>=Jû, = d. (3.1) F2 rd La première étape en vue de montrer la convergence faible de la suite -,-[rd] est de préciser le support des éventuels courants limites. L'ensemble des (1,1)-courants ^0 de masse 1 sur P2 est compact pour la topologie faible de Si^P2); il suffira donc de montrer que tous les courants Tqui sont valeurs d'adhérence de la suite -jrd~] sont égaux. Lemme 3.1. Soif TeSPC^P2) une valeur d'adhérence faible de la suite -.[/^]. Alors j. T a a) = 1 et le support de T est contenu dans l'ensemble S des points v2 [z0, zu z2]eP2 tels qu'il existe une permutation (J, k, l) de (0,1,2) telle que \Zj]û\zk\ = \zt\. (3.2) Courants positifs extrêmaux et conjecture de Hodge 355 Démonstration. Soit £ = [_zQ,z1,z2]£S. Après permutation éventuelle des coordonnées, on peut supposer |z0|^|zj|<|z2|. Choisissons s>0 tel que |z,|<(l - e)\z2\ et soit Kle voisinage de £ défini par K={^ = [w0,w1,w2];sup(|w0|,|w1|)<(l-£)|w2|}. Si neVnrâ, il vient |w2|dg|w0|'i + |w1|',<2(l -e)d|w2|d, ce qui est impossible pour d assez grand. Par conséquent V ne rencontre qu'un nombre fini de courbes Fd et le point £ ne peut appartenir au support de T. Q Les informations contenues dans le lemme 3.1 suffisent pour déterminer T. Le théorème 2.1 et la proposition 2.5 permettent en fait de décrire complètement la structure des (1, l)-courants fermés d'ordre 0 dont le support est contenu dans S. Pour chaque indice j = 0,1,2 et k, l tels que kmzi,22];lzol = lztl = lz2l}- L'ensemble Sj est fibre par les variétés Aj(t), feR/Z, qui sont en fait des disques complexes. On est donc dans la situation décrite par le théorème 2.1 avec dimR S ? = 3, p = 1, k = 1, ce qui donne le. Lemme 3.2. Soit 0e3>[ t(IP2) un courant fermé de hidimension (1,1) et d'ordre 0 à support dans S. Alors il existe une mesure /.(- sur IR/2 telle que 01,/,= 1 \_àj(ty]dvj(t), fdR/Z où 0\v est la restriction de 0 à rouvert Uj. D Soit 0j= f \_Aj{t)~\dnj(t) le courant d'ordre 0 et de bidimension (1,1) sur IP2 défini par <6>;,a>= j dnj(t) J y.. (3.5) ieR/z 4,(0 pour oiE§ia(P2). Le courant 0j est à support dans S-, mais n'a aucune raison d'être fermé. Il est clair que SjnUk = $ pour j + k, donc 0,114 = 0 et 0 = 0o + 0l + 02 sur U0ut/1u[/2 = IP2\2". On va voir que cette égalité se prolonge à IP2. Lemme 3.3. On a 0 = 0O + 0, + 02 sur P2. 356 J.-P. Demailly Démonstration. On vérifiera par un calcul explicite de d&j que le courant 0j est localement normal (cf. lemme 3.4). Comme Z est une sous-variété totalement réelle de IP2 et que 0-(0o + 01 + 02) est un courant localement normal de bidimension (1,1) à support dans I, la proposition 2.5 montre que 0-{0o + 0l + 02) = O. ? Il nous reste à calculer le bord d0y On sait que 0- est fermé sur Uj, donc le support de d&j est contenu dans SjvS- = Z. On va travailler en coordonnées z z non homogènes £j=-, Ç2= - dans l'ouvert C2 = {z0=}=0} c=P2. Dans ces zo 2o coordonnées, l'ensemble I est le tore d'équations Ç,l=e2'"u, Ç,2 = e2K"2 où (f1; t2)e(R/Z)2. Les disques zl^(t), j = 0,1,2, teR/Z, sont définis de la manière suivante : C2 = Cie2m(, |dl>l (et un point à l'infini) A^ty.C^e2'", |Çt|=iï\_pl{tl, tx + t) + fi2(tl,tl +1)] dtv dn0(t), = -ïïpl{t1,t)dt1dn1{t\ = -ÏÏP2(t,t2)dt2dix2{t). En particulier 0. est normal sur IP2 (i.e. 0j et d0- sont d'ordre 0). Le courant 0 = 0o + 01 + 02 est fermé si et seulement si il existe une constante Xe = -<6>J.,rfjS>, donc d'après (3.5) = - j d^t) j dfi=-\ d»j(t) 1 fi R/Z 4j(!i R/Z ôAjit) où le bord dzl^t) est orienté par la normale extérieure. D'après (3.6), dAj{t) est défini et orienté comme suit: (,y = elKit\{,2 = e2mi + t\ orienté par -dt, C1=e2'Iitl,C2 = e2'ti', orienté par d^ Ç ! = e2?, C2 = e2Kit2, orienté par dt2. Les formules du lemme 3.4 en résultent immédiatement. Si dfÀ0 - dfi1=dn2 = Xdt, il est alors trivial de vérifier que d<9 = 0. Inversement supposons d0=O et choisissons /? telle que P2 = 0, Pi{tl,t2) Courants positifs extrêmaux et conjecture de Hodge 357 = u(ti)v(t1), avec u,ve<#°°(lBL/Z). Il vient = $u(t1)dt1$[v(t1 + t)dii0(t)-v(t)dn1(t)]=0, ce qui équivaut, pour tout t;e<î?0C(R/Z) et tout ^elR/Z, à \v(tl + t)dfi0(t) = $v(t)dn1(t). Choisissons en particulier v(t) = e2nm', neZ; on obtient j'rf/i0(r) = j'rf/z1(f) = constante Àe<£ \e2nintdn0{t) = \e2ninl'd/i1(t) = 0 pour n + 0. On a donc dp.0 = d/2l=Xdt. L'égalité dp.0=dp.2 se démontre de même en prenant 0,=O, j!2(f1,t2) = «(t1)»(t2). D La conjonction des lemmes 3.2, 3.3 et 3.4 entraîne finalement le résultat suivant. Théorème 3.5. Soit Tle courant ^0 fermé défini par 0 tel que la masse du courant A1Tsoit égale à 1. Ceci démontre le théorème 1.6. Un calcul facile permet de vérifier que la masse j T aco est précisément égale à 1, donc que A, = l. p2 4. Contre-exemples dans P" et (C" Nous allons montrer que le problème Jj?(X;p) a en général une réponse négative. Théorème 4.1. Les assertions if (P"; p) et if ( M' ^2- L'hypothèse J^(X\F;p) appliquée à T|Xxy permet donc d'écrire T|Axl, = A[Z] où Z est un ensemble analytique de dimension p dans X\ Y. En raisonnant comme plus haut, on voit que l'extension simple [Z] de [Z] à X est fermée, et d'après [11] on a [Z] =[Z], où l'adhérence Z de Z dans X est un ensemble analytique. Par suite T = A[Z] sur X. ? Démonstration de (1.6). On raisonne par récurrence sur n, l'implication étant triviale pour n=\. D'après (1.4) et l'hypothèse de récurrence on a les implications ^(^'(C"-1;p)^if(P"-1;p). La propriété S£(IP"; p) est alors conséquence de (1.5), avec X = W, Y = JPn~\ X\y = k-r). On va encore utiliser le théorème de prolongement de H. Skoda [11] pour envoyer SPCp(iP") dans SPCp+k(JPn+k). Nous aurons besoin pour cela du résultat élémentaire suivant. Courants positifs extrêmaux et conjecture de Hodge 359 Lemme 4.2. Soit con la métrique kàhlérienne sur P" induite par la forme ±dd\og(\zQ\2 + \zi\2 + ...+\zf) In sur C"+1. Alors l'image directe a*(coPXk) calculée par intégration sur les fibres de a existe, et on a ff, «:*)=< Démonstration. On se place dans l'ouvert n + k est invariante sous l'action du groupe unitaire U(n + k + l) opérant sur P" + fe. En considérant l'action du sous-groupe U(n+l) sur les coordonnées (z0,...,z"), on voit que la forme (T^co^J est invariante par U{n+\). Il existe donc une constante c>0 telle que o^ca^l = c½p. Une remarque simple montrera ultérieurement que c = \. D Pour tout courant TeSPCp(P"), la formule o^o)p+kk = ca}p donne r*'\ip*-i iP" = cJTa<; (4.1) la première égalité se justifie en tronquant la forme wPX\ pour la rendre à support compact dans p"+k\ip''"1, et en passant à la limite. Le courant a*T est donc de masse finie au voisinage de P'-1 et d'après [11] er*Tse prolonge en un courant <ï*Tsur W+k. On a donc bien défini un morphisme ë*:SPCp{Wn)^SPCp + k(W + k). L'égalité (4.1) donne alors j 0*TA<=cfrA< p»+u p" Si l'on choisit en particulier T=[PP], on voit que rJ*T=[Pp+'t] et que les deux intégrales précédentes sont égales à 1. On a donc bien c=\. Lemme 4.3. Limage de à* est l'ensemble des courants 0eSPCp+k(JPn + k) tels que 0 a a*mp+ ' =0 sur ÎP+MP1- '. Démonstration. Si 0=d*T, alors a*T A(j*cjp+1 =g*{T acop + 1) = 0. Inversement soit 0eSPCp+k(Wn + k) tel que 0 act*(dp+1=0 sur F+MP*-'. On peut toujours choisir les coordonnées zQ,z{, ...,z" de sorte que l'hyperplan {zo=0}czP" + 'i soit de masse nulle pour 0 (c'est possible car P6-1 est de masse nulle). On peut alors travailler dans les coordonnées (z,, ...,zn + k) avec z0=l. L'application a s'identifie à la projection 0). Nous allons voir, grâce au raisonnement du théorème 2.1 et à la positivité de 0, que 0 ne dépend que des variables z1,z2, ...,zn. Ecrivons 0|c" + k = i<"-"»2 X 0JfKdZjAdzK, \J\=\K\=n-p avec J, Ka {1,2,..., n + k} et (9, K de degré 0. Si J n'est pas contenu dans {1,2, ...,n} la propriété (4.2) entraîne 6>yj = 0. Si l'un des multi-indices J, K (disons J) n'est pas contenu dans {1,2, ...,n}, la positivité forte de 0 donne la majoration suivante pour les mesures coefficients: pour tout £>0, et on obtient encore 0JK = O. Comme de plus 0 est fermé, il Ô0, K d0, K vient --- = ' =0 pour J, Kc{l 2,..., ri) et />«. Il existe donc un cou- dzj dZj rant TeSPCp((C") tel que 6>|c"+k = (" + '£ tel que CT*T = /l[Z], leR + - Lorsque A 4=0, cette dernière égalité implique que Zn(P" + ,I\IP'' ') est réunion de fibres de a. On en déduit qu'il existe un ensemble analytique Y de dimension p dans P" tel que Z = a'1 (Y). Par suite [Z] = à*[7] et T = X[7]. ? Bien entendu, ces démonstrations «abstraites» permettent aussi de donner des contre-exemples explicites aux problèmes JS?(P";p) et £f('pp(X) (Z parcourant tous les ensembles analytiques irréductibles de dimension p de X). Cette équivalence logique est en fait une conséquence de résultats généraux d'analyse fonctionnelle, tels que le théorème de Krein-Milman (cf. N. Bourbaki [1], chap. II, §4, th. 1) et le théorème de Choquet (cf. Phelps [10]). Lemme 5.1 (th. de Krein-Milman). Soit K une partie convexe compacte d'un espace vectoriel topologique localement convexe séparé E. On désigne par ${K) l'ensemble des points extrêmaux de K ( = ensemble des points xeK tels que K ne contienne aucun intervalle ouvert de centre x). Alors K = S (K) = enveloppe convexe fermée de S{K). L'implication J£ (X ; p) => £f {X ; p) résulte de la proposition 1.4, qui est elle-même une conséquence simple du lemme 5.1. Proposition 1.4. SPCp{X) = fp(X), WPCp{X) = é'pr(X). Démonstration. Les deux égalités se démontrent exactement de la même manière, donc nous étudierons seulement la première. Par définition de ^{X), on a £"(X)cSPCp(X), donc SP{X)^SPCP{X). Inversement, soit TeSPC(X) et soit y une (p,p)-forme faiblement >0 sur X telle que JTAygl. x On peut toujours construire une telle forme y à l'aide d'une partition de l'unité sur X, la seule condition étant que les coefficients de y tendent assez rapidement vers 0 à l'infini. Soit alors Ly l'ensemble des courants 0eSPCp(X) tels que J 6> a y g 1. On a: vérifie aisément que L est une partie convexe faiblement compacte de 2}'pp{X) et que l'ensemble «f (L ) des points extrêmaux de L est la réunion de {0} et des courants 0eSp(X) tels que ]&Ay=\. X D'après le théorème de Krein-Milman on a donc TeLy^S{L)^SpiX). D Pour achever la preuve de la proposition 1.8, il suffit maintenant d'établir l'implication réciproque: Proposition 5.2. <ê(X; p)=>&{X;p). Démonstration. Observons tout d'abord que la topologie faible est metrisable sur SPC(X) (bien qu'elle ne le soit pas sur £)'pp(X)); elle peut être définie par les semi-normes 6M<®,OI + l<0,/?v>l si les suites (X) ont les propriétés suivantes: (5.1) ocv est faiblement ^0; 362 J.-P. Demailly 28.pour tout point zeX, il existe v tel que av>0 au voisinage de z; 29.la suite p\. est (fortement) dense dans 3 (X). Soit alors TeSPCp(X). L'hypothèse £ê{X;p) et le fait que la topologie de SPC(X) soit métrisable montrent que T= lim Tv V-+ + QC' où Tv est combinaison linéaire convexe de courants d'intégration: Tv = I W;»], v=l,2,...,iia0. (5.4) Comme la suite Tv est faiblement convergente, on peut toujours choisir une (p, p)-forme y faiblement >0 sur X telle que TeLy, TveL pour tout v, L désignant comme ci-dessus la partie convexe faiblement compacte Ly={0eSPCp(X); $0Ayg,l}. x Le reste du raisonnement reproduit essentiellement la démonstration du théorème de Choquet. Soit M la partie compacte M = Lyn,f{X). D'après (5.4) il existe une mesure pv de masse 1 sur M telle que Tv= J 8dnvm 6e N il suffit en effet de prendre pour piv un barycentre à coefficients 2:0 des mesures de Dirac aux points 0 et /.'jv[Zjv] de M, avec l'Jv J [ZJV] a y = 1. Il est classique x que l'ensemble des mesures de probabilité sur un espace compact métrisable est une partie vaguement compacte métrisable de l'espace des mesures de Radon. On peut donc extraire de la suite nv une sous-suite qui converge vaguement vers une mesure de probabilité ju sur M. Par définition de la topologie de M, l'application 0-K0, a>, «e@p p(X) est continue sur M. On a donc <7»= j <0,a>dAiv(0) <7»= lim = j {0,a}d^i(6), v- + co lie N ce que nous écrirons T= J 8dfi(6). Si le courant T initialement choisi est 6e N extremal, le lemme 5.3 ci-dessous montre que le support de la mesure p. est contenu dans une «génératrice» {l@;0|i^ljcM. On a donc T=[_\Xdp{k0)-]-&eMcJv{X). ? Lemme 5.3. Soit M une partie faiblement compacte de SPC(X), p une mesure 2:0 sur M et Tle courant T= j Qdn(6). 6e N Courants positifs extrêmaux et conjecture de Hodge 363 Si le courant T est extrêmal, le support de fi est contenu dans un segment {A0;Ogl^l} où 0eM. La démonstration est pratiquement évidente: si le support de p. contient deux courants 6l,02 non proportionnels, on peut écrire r=T, + T2 + T3 où Tj, T2 sont obtenus par intégration de Odfi(O) sur des petits voisinages disjoints de 6l,02.Tl et T2 sont alors non proportionnels (car cette condition est ouverte pour la topologie faible), donc T n'est pas extrêmal. ? 6. Lien avec la conjecture de Hodge et obstructions topologiques Soit X une variété analytique complexe de dimension n. Nous serons amenés à considérer certains groupes de cohomologie de X, définis comme suit. Notations 6.1 30.Hk(X; (C) = k-ème groupe de cohomologie de de Rham de X; 31.Hk(X; 2F) = cohomologie de Cech à valeurs dans un faisceau J^ de groupes abéliens; 32.Hk(X; Z) = image du morphisme naturel Hk(X,Z)^Hk(X,~SL)~Hk(X,WL); (6.4) HP,9{X) = ensemble des classes de cohomologie de Hp + q(X;'k{X)^Kcïd-+H2"-k(X; C) 0^c!(6>) (6.5) qui à un courant fermé 0e3>'k{X) de degré 2n - k associe sa classe de cohomologie de de Rham. Si 0e9'pp{X\ d0=O, on a donc cl(0)eH2q{X; C) avec q = n - p. Dans le cas où X est une variété algébrique projective, la théorie de Hodge donne la décomposition: Hk{X;<£)= © Ha-b(X). a + b=k On vérifie alors par dualité que c\{0)eHq-q(X). 364 J.-P. Deraailly Définition 6.2. Si X est une variété projective, on désignera par A2q(X)^Hq-q(X) le WL-module engendré par H"-q(X; Z) = H«(X)nH2«(I; TL\ Si X est une variété de Stein on définit Ak(X) comme l'adhérence de Hk(X; Z)®Z1R dans ^(Xi'R). Dans les deux cas, on désigne par SPC%(X) l'ensemble des courants 0eSPC{X) de bidegré {q,q), q = n - p, dont la classe cl(6>) est dans A2q(X). Pour tout ensemble analytique ZcX de dimension pure p, on sait que le courant d'intégration [Z] définit une classe de cohomologie entière cl[Z]eH2"(X;Z). On a par conséquent JP(X)<=SPC£{X), et la continuité du morphisme ©y->cl(<9) implique: Proposition 6.3. J^X)^SPC^X). Il semble donc naturel de faire la conjecture suivante: (S?z{X;p)) J^X) = SPC^X). Cette conjecture sera démontrée en codimension 1 (p = n-\) au paragraphe 7. Dans le cas où X est une variété projective, J^x(X;p) apparaît comme une formulation forte de la conjecture de Hodge. Théorème 6.4. Soit X une variété projective. Alors (6.6) A2q ( X) = cl (SP Cl (X) - SP C|(X)). 33.Llhypothèse =Sfz(Z;p) entraîne la propriété J^f(X;q), à savoir que Hq'q{X)nH2q(X;0 assez grand, la forme h + N½q est dans SPCg(X), de même que N½". Par suite ri -cl (h) est la différence de deux classes associées à des éléments de SPC^X). Preuve de (6.7). L'hypothèse SPC£(X) = JP(X) combinée à (6.6) implique que A2q(X) est engendré par c\(J"(X)). Puisque le morphisme cl est continu et que A2q(X) est un espace vectoriel de dimension finie, on voit que A2q(X) est le R-module engendré par les classes des cycles algébriques. Par conséquent Hq'q(X)nH2q(X;(Q) est l'ensemble des combinaisons linéaires rationnelles des classes cl[Y], yd, codim Y = q. Preuve de (6.8). Un raisonnement analogue à (6.6) montre que Hq,q(X) est le démodule engendré par cl(SPC{X)), soit encore par cl(Jp(X)) sous l'hypothèse Courants positifs extrêmaux et conjecture de Hodge 365 £(X;V). Les entiers dimlcHq'q(X) et rgzHq-q(X; Z) = dimw,A2q(X) sont alors tous deux égaux au nombre maximum de cycles algébriques de codimension q dont les classes de cohomologie sont linéairement indépendantes. ? La conjecture ,f{X) = SPCx{X) nous parait en fait beaucoup plus forte que la conjecture de Hodge. En effet, cette dernière donne seulement une représentation des classes de cohomologie par des cycles algébriques, tandis que l'assertion J"(X) = SPCI{X) affirme grosso modo que n'importe quel courant de SPCZ(X) est égal (et pas seulement cohomologue) à une somme intégrale de cycles analytiques. R. Harvey et A.W. Knapp [6] ont énoncé des conjectures qui semblent logiquement plus proches de la conjecture de Hodge, et qui ramènent celle-ci à un problème de Plateau homologique pour les courants. Soit maintenant X une surface algébrique projective telle que rgzH1A{X; Z)Z->R->R/Z->0 correspond une suite exacte de cohomologie Hk{X;Z)-UHk(X;ÏÏL)-^Hk{X;'R/l.)-^Hk+1(X;Z). On munit les espaces de cochaînes de la topologie produit déduite des topolo-gies usuelles de Z, R, R/Z. Hk(X;WL) devient alors un espace de Fréchet et Hk(X;l&/"E) un groupe topologique compact métrisable. De plus les flèches j, n, S sont continues. L'hypothèse que Hk+1(X;W.) est séparé entraîne que Ker(5 est fermé, par conséquent l'application n: Hfc(X;R)->Ker(5 est ouverte d'après le théorème de Baire. Soit cp une forme linéaire continue sur Hk(X; R), s'annulant sur j(Hk(X; Z)). D'après ce qui précède, cp se factorise en un homo-morphisme q> continu à valeurs réelles sur le groupe compact Ker<5. Par suite

HL(K;R/Z) R > HmR/2mZ où les flèches verticales sont des isomorphismes. De plus Hk(K;Ht) = Hk(K; R/Z) = 0 pour fc^2. On a donc la suite exacte de cohomologie 0-+Ël(K; ZHR-^HmR/2mZ-»H2(K; Z)^0 et le morphisme R->limR/2mZ est injectif. Par conséquent Hk(K;I.) = 0 pour/c=l et/c^3, H2(JC;Z)~(limR/2mZ)/R~Z2/Z Courants positifs extrêmaux et conjecture de Hodge 367 où Z2 = limZ/2mZ est le groupe additif des entiers diadiques (dans cet exemple /?2(K;Z) a la topologie grossière). Il est aisé de vérifier que K est isomorphe à un polyèdre localement fini de dimension 2. En «épaississant» les faces de K, on construit une variété analytique réelle M de dimension 3 qui se rétracte par déformation sur K. D'après un théorème de H. Grauert [4], il existe une variété de Stein Q, dimc£2 = 3, et un plongement R-analytique M->fl, Q étant un voisinage tubulaire de M. Q a donc bien la topologie souhaitée. Pour obtenir le même phénomène en degré k^2, il suffit de poser Xk + 2 = Q x Zk_, où Zkl est une variété de Stein ayant même type d'homoto-pie que la sphère Sk~l, par exemple Zk_, = {ze0, i.e. il existe une (1, l)-forme }'v>0 telle que Tv^yv. Démonstration. Soit 9 une (1, l)-forme fermée de classe C°° telle que cl(0) = cl(T). On a donc T=9+T0 avec cl(T0) = 0, et d(9)eA2{X) par hypothèse. Preuve de (7.1). ff2(X;Z)®Q est dense dans l'espace H2(X; Z)®R, dont l'adhérence est A2(X) (cf. définition 6.2). Il existe donc une suite cveH2(X; Z)®Q telle que c\(9)= lira cv. V-> + OC Soit 9V une 2-forme réelle fermée représentant la classe cv. Par définition de la topologie de H2(X;ÏÏL), on peut choisir des représentants tels que la suite 9V converge vers 9 dans <^,J>(X;R). La composante de bidegré (0,2) de 9V est rl-fermée et tend vers 0. Le théorème de l'application ouverte de Banach montre que l'équation duv = 9°'2 se résout avec une suite uv-»0; quitte à remplacer 9V par 0V - d(uv + ïiv) on peut supposer de plus que 9V est de bidegré (1,1). Puisque 0V-*O, il existe une suite cpv de fonctions plurisousharmoniques convergeant vers 0 dans ^°°(Z) telles que Ov + idô(pv>0. Il vient doncT= lim Tv avec Tv = 9v + iddcpv + To>9 + To = T^0 et cl(Tv) = cl(flv) = cvetf2(X;Z)®Q. Preune de (7.2). cl(0)e/42(X) = JrY,-1(X; Z)®R, donc il existe des (1, l)-formes réelles fermées a,- et des scalaires Â^eR, IgjgN, tels que cl(t(j)ei/''1(A')nH2(X;Z) et 0= £ A,.a,.. j=i Soit co une métrique de Hodge sur X et A-veQ tel que \kj - Àjv\Opour v assez grand. On pose alors T = 0V + T0. ? Courants positifs extrêmaux et conjecture de Hodge 369 D'après le lemme 7.2, il suffit de montrer que tout courant T>0 de bidegré (1, 1) et de classe cl(T) entière est limite faible d'éléments de ,?"~X(X). Nous aurons besoin du lemme classique suivant. Lemme 7.3. Si d(T)eH2(X,Z), il existe un fibré linéaire L sur X de classe de Chernc1(L) = c\(T). La suite exponentielle 0->Z->C''->C;*-»-l donne en effet un diagramme commutatif H\X; &*)-^->H2(X; Z) >H2(X; 6) H2(X;1R) Si X est de Stein le groupe H2(X: C) est nul; si X est projective. n02 s'identifie à la projection H2(X; ]R)^>H°-2(X) dans la décomposition de Hodge. Dans les deux cas on a n0 2(c\(T)) = 0, donc cl(T) provient d'une classe d'isomorphisme de fibres linéaires dans H1(X; G,'*). ? On munit le fibré L d'une métrique hermitienne de classe Cx. La classe cx(L) est alors définie par la forme de courbure -e(L), d'où ... . in cl (T--c(L))=0. Comme T-~--c{L)eS)' ln_,LY), il existe (pe3'n n(X) tel \ 2n ! 2n que T = ^-(c(L) + ddq>). (7.3) In Puisque T>0 et que c(L) est une forme Cx, la distribution cp peut être représentée par une fonction (encore notée q>), qui est localement somme d'une fonction plurisousharmonique et d'une fonction Cx. Lemme 7.4. Soit L* le fibré dual de L et p: L*-^X la projection. La fonction ijj(Ç) = Log|(|2+ ç>(p(£)) est plurisousharmonique sur l'espace total L*, et on a -^<^ = [X]+p*T 271 où [X] est le courant d'intégration sur la section nulle de L*. Démonstration. L'application £)->£ définit une section holomorphe du fibré image réciproque p*L*, section dont le lieu des zéros est X. L'équation de Lelong-Poincaré implique -'-- dô Log ICI2 = [X] -~ c(p*L*) = [X] + -L p*(c(L)), In in in d'où le résultat d'après (7.3). D 370 J.-P. Demailly La démonstration du théorème 7.1 suit maintenant de près la méthode de P. Lelong [9], qui correspond au cas où le fibre L est trivial. L'idée (due à K. Oka) consiste à utiliser une fonction holomorphe dont le domaine d'existence est un «ouvert de Hartogs» dans L*. Lemme 7.5. Soit Q le domaine de Hartogs Q = {CeL*;0 assez grand. Il suffit de considérer le cas où X est projective. Par construction de L et q> on a ic(L) + idô(p = 2nT>0, donc le fibre L est ample. Quitte à remplacer L par une puissance Lk, il existe un système a=(a0,a1, ..., CA'+ ' \ O 1 . Iv^'" x-J-^jp* définisse un plongement j de X dans IPN. L'image ff(L*) = q~,(j(X)) est une variété algébrique affine homogène dans <£.N+1, et a est l'application qui écrase la section nulle de L* sur 0. Comme \j/= - oo sur X=a~i(0), i/r se factorise en une fonction plurisousharmonique \J/ sur a(L*) telle que i// = t//o<7. L'image a{Q) = {zecr(L*); i//(z)<0} est donc un espace de Stein avec singularité isolée en 0. Il existe par conséquent une fonction holomorphe F dont le domaine d'existence est a{Q). La fonction F = F°o répond à la question. ? On se donne une fonction holomorphe F dont le domaine d'existence est Q. F peut s'écrire de manière unique sous forme d'une série entière oc F(0=£Fv(z).C, CeflcL*, z=p{QeX, v=0 où Fv est une section de U au-dessus de X. La construction de F et du domaine de Hartogs Q montrent que q> est la limite supérieure régularisée 0 et une suite de sections Gv de Lkv telles que 9= lim - Log|GJ2 dans L\0C(X). Courants positifs extrêmaux et conjecture de Hodge 371 Démonstration. Posons comme P. Lelong [9] est localement uniformément majorée, et l'égalité (7.4) montre que rs)*. r-> + oc s-* + oc La fonction

k - Log |pl2 sont plurisousharmoniques (car la métrique de L se simplifie), localement uniformément majorées sur U, et inf - x presque partout sur U d'après (7.5). k La famille {) = in lim -[ZJ 372 J.-P. Demaillv pour la topologie faible de ^_Un_](X). Comme chaque diviseur [Zv] se décompose en une somme localement finie de diviseurs irréductibles, on a en fait démontré que SPCl~1(X) = J;r-UX). Pour achever la preuve du théorème 7.1 il reste seulement à rendre les diviseurs Zv irréductibles, ce qui est possible grâce aux techniques de [2]. On étudiera séparément le cas des variétés projectives et des variétés de Stein. Proposition 7.7. Soit X une variété projective irréductible de dimension n^.2, L un fibre linéaire >0 sur X et G une section non nulle de L. Alors il existe un fibre linéaire hermitien M et une section non nulle H de M ayant la propriété suivante: pour tout entier k^k0 assez grand, il existe une section Hk de !}®M et F,(k)>0 tels que le diviseur des zéros de GkH + F,Hk soit irréductible si ee + cc k de choisir une suite e.k tendant rapidement vers 0. Si l'on calcule le -- ôd en 2n tenant compte de l'égalité c(l}0, sa décomposition en diviseurs irréductibles. Il est clair qu'on peut trouver une suite d'hypersurfaces irréductibles Yh lrg/^iV,, 2 à 2 distinctes, contenant la suite Zj (avec Yl=Zu YN =ZN) et ayant la propriété suivante: pour tout indice /, 1^/0, il existe une fonction holomorphe H sur X vérifiant 38.\H-l\