Institut Fourier Université de Grenoble I SUR LES TRANSFORMEES DE FOURIER DE FONCTIONS CONTINUES ET LE THEOREME DE DE LEEUW - KATZNELSON - KAHANE par Jean-Pierre DEMAILLY Given any locally compact abelian group G and any function cp Ç L2(G) , we prove the existence of a function f Ç L2(G) continuous and vanishing at infinity such that |f| > jcpj a.e. on G . 0. INTRODUCTION L'objet de ce travail est d'étendre au cas d'un groupe localement compact abélien G quelconque le théorème suivant, dû à de Leeuw - Katznelson - Kahane [8 ] dans le cas d'un groupe G compact : THEOREME LKK. - Pour toute fonction cp ¤ L (G) , U 2 existe une fonction f ¤ L (G) continue et tendant vers 0 à l'infini dont la transformée de Fourier vérifie jf | s |cp| presque partout sur G . Nous résolvons le problème en donnant des majorations expli- cites de f en normes L (G) et L (G) (cf. th. 2.1). On montrera 2 en particulier que la norme L de f peut être choisie arbitrairement 00 proche de celle de cp , au détriment de la majoration L si le groupe G est compact, tandis qu'on peut choisir de plus II fil arbitrairement 00 petite lorsque G n'est pas compact. Institut Fourier - B. P. 74 - 38402 Salnt-Martin-d'Hères Cedex Laboratoire de Mathématiques Pures associé au CNRS -Tél. (76) 51-46-00 - 2 - La démonstration suit la même démarche que celle de fe], aux modifications techniques près imposées par le cadre plus général dans lequel nous nous plaçons. Dans une première étape, nous étendons aux groupes localement compacts les inégalités classiques de Khintchine telles qu'elles sont exposées par exemple dans Edwards [4], vol. 2, §14.2.1 p. 215. De façon précise, nous montrons qu'on peut multiplier une fonc- 2 * tion cp ¤ L (G) par des constantes aléatoires de module 1 (variables de Steinhaus) sur une partition du support de cp , de sorte que cp vé-rifie des estimations en norme L (G) pour tout q > 2 . Ce résultat est obtenu par un raisonnement probabiliste classique, essentiellement contenu dans Zygmund [13], th. (8.16). Le reste de la preuve consiste en un argument général de sommation utilisé implicitement dans [8] et formalisé par Hruscev ; voir pour cela l'article de Kisliakov [9] qui démontre une intéressante généralisation du théorème LKK aux algèbres A(D ) , n = 1,2 du disque et du bidisque. On montre enfin que le théorème d'Orlicz [10], Paley [il], Sidon [12] sous sa forme habituelle aussi bien que dans la version généralisée donnée par J.J. F. Fournier [5] et J.P. Bertrandias [l] est une conséquence de LKK . Nous obtenons en particulier l'énoncé suivant relatif aux espaces amalgamés (voir §3 pour les définitions), qui contient OPS et améliore le théorème 3.3' de [5]. COROLLAIRE. - Pour toute fonction cp ¤ ¤ (L½(G)) , il existe une fonction continue f Ç C (G) à support compact et une partie compacte Le G telle que |f|#l s |cp| . C'est un problème ouvert de savoir si on peut obtenir exactement |f | > |cp| , voir [5]. Notations. G désignera un groupe localement compact abélien quel-conque, G son dual de Pontrjagin, m et m les mesures de Haar - 3 - respectives sur G et G , C(G) (resp. C (G),C (G)) l'espace des fonctions continues sur G (resp. nulles à l'infini, à support compact). On supposera toujours m et m normalisées de sorte que la formule de Plancherel ait lieu, avec m(G) = 1 si G est compact. 1. REARRANGEMENT EN PHASE DES TRANSFORMEES DE FOURIER DANS L2(6) . 2 A Soit cp une fonction dans L (G) . On va construire une partition dénombrable du support de cp puis, modifiant l'argument de cp par des constantes aléatoires de module 1 sur chaque sous-ensemble de la partition, on montrera que cp vérifie en moyenne des estimations dans Lq(G) , q Ç f2,+<»[ . 2 La sommabilité de cp entraîne que le support de cp est réunion dénombrable de compacts ; Supp cp peut donc être recouvert par une suite (K.). de translatés d'un voisinage compact K de l'élément neutre de G . On a alors une partition Supp cp = U E . j¤lN J avec EQ = KQ n Suppcp , E = (K H Supp cp)\(KQU...U K ) , J*l . Si G est discret, on choisit les E. égaux aux différents points du support de cp (de sorte que m(E.) = 1 ), sinon pour tout e > 0 on peut choisir K de mesure <, e . On aura donc m(E ) <; e , Vj ¤ IN , avec la convention que e = 1 lorsque G est compact. Pour tout élément t = (t.) g (E/Z) 2 A cp Ç L (G) défini par ,_, _ 2niti cp,(Ç) = E cp.(Ç)e J , 1 JÇ1N J où cp.(?) = cp(|) si ç ¤ E cp (?) = 0 si | é E . J J J " - 4 - IN THEOREME 1.1. - Pour tout entier pàl il existe t Ç (IR/Z) Ws"! i$t(x)i dx *e p'iwr2 Preuve. - Pour éviter les difficultés de convergence dans les calculs qui suivent, on tronque cp en posant cp = S cp.e J . 1 t'n 0<;j<;n J Appliquons alors la formule du p-nôme à l'égalité _ A 2nit4 cp. (x) = 2j cp.(x)e J . Ceci donne t,n (kj<;n J . p p| .a , 2mt-a cp (x)F = S ^-cp. (x)e t>n |a|=p a! où la sommation est étendue à l'ensemble des multi-indices a = (a.) Ç M tels que |a| = S a. = p , avec les notations -* O^jsn "* a! = a"!a, f...a ! , cp = cpn ... cp , t. a = Et.a. . Si dt est la 0 1 n ^. ^0 ^n j j / IN mesure de probabilité naturelle sur (IR/2L) on obtient pour chaque x Ç G fixé : l*p , \|2,. «p p !21 ^ oc, ., 2 Cp (X)| dt = S ^y|cp (X)| . (WM.) |a|=P af On intègre maintenant par rapport à x en utilisant le théorème de Fubini. H vient W*> |a|=p al D'après la formule de Plancherel et l'inégalité de Young |lf*g||2 * llfllills|!2 appliquée (p-1) fois on a ,, - oc,, m 0 1 n,, II*. Il 2 = K **! -'-*Cpn II 2 - L (G) L (G) L'inégalité de Cauchy-Schwarz donne d'autre part l^jl'l * m(E/,,CPJ!,2 ^^2 ' - 5 - d'où \A\l ^hjC-hjT- ,|2 P! p! Majorons -- par p! =-j dans l'inégalité (1). On obtient alors a! i : e^p! £ |j-|h>0|| |a|=p (IR/B) = ^"1p'(||cp0!!^...+||cpn|^)P Après passage à la limite quand n -» +<» ceci donne (2) ,, * ,,2p p-1 n ,,2p tels que ||q>t|| * e p!||qp||2 de probabilité non nulle, ce qui achève la preuve du théorème 1.1. Il est clair qu'on peut améliorer le résultat du théorème 1.1 de manière à obtenir un réarrangement cp, ¤ f] L (G) - t q¤[2,+½[ Il suffit pour cela de sommer les différentes inégalités (2) pour X <1 - tout A. < 1 un réarrangement en phase cp tel que 2 / X/e dx <. G Choisissons en particulier X - -x - Il vient pour tout q Ç f2,+½[ |cp,(x) I dx £ - sup u V * eu>0 exp ^imi; q «5 \IMg a T 2 1-1 avec A = sup u exp(^-)-l q u>0 L 2 J u2 \2 u2 2 (T)-l > (exp(-)-l s (-) d'où A ^ q .On obtient donc le résultat suivant. q - 6 - COROLLAIRE 1.3. - Pour tout cp ¤ L2(G) il existe un réarrangement cpj. tel que 1_1 IIÎJI _ * e2 ^TqUepU , vq ¤ t2,+-[ . 1 Lq(G) Z La démonstration du théorème LKK repose essentiellement sur le théorème 1.1 et sur le lemme technique suivant qui en découle. 2 A LEMME 1.4. - Pour tout cp ¤ L (G) et tout entier ps2 il existe un réarrangement cp, tel que <»> |l$t||2 - ||cp||2 (b) [| (!$t(x)|-n)^dx]^ cp^-p||cp||P , vn>o, avec C - (^W M£L P ~P Preuve. - L'égalité (a) provient de la formule de Plancherel. D'autre part, si cp est la fonction donnée par le théorème 1.1, l'intégrale de gauche dans l'inégalité (b) est majorée par p-i " ,,2p (u-n)2 e P!|MI2 «^ . u^n u * et un calcul élémentaire donne u-ri (p-l)P 1-p sup L = -- n - ? p p u^n uF p^ 2. DEMONSTRATION DU THEOREME LKK . Nous allons démontrer la version suivante du théorème, qui 2 co donne des estimations précises en normes L et L . THEOREME 2.1. - Sort M un réel ;> 17 . Alors, pour tout O a 9 cp Ç L (G) il existe une fonction f Ç L (G) n G (G) telle que - 7 - (a) |f | > |cpj presque partout sur G , (b) llfll <. (i+i)lb|L v i II ll2 v M/|mi2 (c) ||f||½ £ (l+lv/SÏ7ë)||cp||2 , ou bien respectivement au lieu de (b) et (c) : (b') ||f||2 * l,186||cp|!2 , (c') ||f|| s 3,685 ||cp|j . L'idée de base pour la construction de f est de partir de la v * transformée de Fourier inverse cp (x) = cp, (-x) donnée par le théorèir 1.1, de rétracter cette fonction sur un disque borné, de corriger par 2 addition d'une petite fonction dans L (G) , et enfin d'itérer ces opéra tions de manière convergente. Preuve. - Remarquons d'abord qu'il suffit de répondre à la question avec f ¤ L2(G) fl L°°(G) au lieu de fg CQ(G) . En effet, 2 *- 1 quand cp ¤ L (G) est donnée, il existe p ¤ L (G) de norme 1 telle p que cp = \|r.p avec |i £ L (G) de norme arbitrairement voisine de celle 2 00 de cp (lemme 2.3 ci-dessous) ; si on peut trouver f Ç L (G) fl L (G) telle que |f| s |f| alors f# p ¤ L (G) fl CQ(G) (lemme 2.4) et Jf#p| = jf| |p| s |t| |p| = |cp| . Les inégalités (b) et (c) restent valables avec les mêmes constantes, celles-ci n'étant pas optimales. Explicitons maintenant le procédé de construction itératif de f ; on supposera ||cp|L = 1 pour simplifier. Si r\ est un réel > 0 , on note r :(C->(|zj^n} la rétraction définie par r\ ' r (z) = z si |z| as n , r (z) = ri-- si jz| ^ r\ . Tl 'I z Soient 6. , r\. , 0. , j ¤ IN trois suites positives sommables qui seront précisées ultérieurement. On co ayant les propriétés suivantes : - 8 - (3) si f = r (g)+... + r (g )+g alors |f.| * |cpj[(l+60)....(l+6j_1)ï-1 , (4) IIk,II2 * e. , (5) Klsjl-Tij)+ll2 * cPrij1"Pej) (cf' lemme 1,4)" On pose gft = cp où cp est la fonction donnée par le lemme 1.4. On a donc fQ = gQ = cpt et (3), (4), (5) sont vérifiés si 60 = ||ep||2 = 1 Supposons construit g. et soit h. = r" (gj +...+ r" (g.) . Alors j J ^o ° Y] l|f.-h.||2- ||gj-r,jte.,||2 = || (|gj|-V+||2. Vj^. _ 2 <- On définit maintenant une fonction (i Ç L (G) de manière à corriger *. ?*- h. là où h. ne vérifie pas l'inégalité (3) à l'ordre j+1 . A cet effet, on pose (a)?(?) - 0 si (cas favorable) |h (?) | s |cp(§)| f (1+6Q)...(1+ô )] _1 (b)MQ = 2|cp(§)|[(l+ô0)...(l+6.)]"1 sinon. Dans ce dernier cas, on a A -1 lfi(?)l |h.(?)| < |cp(§)|[(l+ô0)...(l+6.)] s -J- d'après (3.) , ce qui entraîne o * nç) <|-|f (Ç)-Ê(ç)| , j J J V On pose alors g = i|t où i|j est la fonction associée à i|i par le lemme 1.4. Cette fonction satisfera les estimations (4) et (5) à l'ordre j+1 si l'on définit la suite 8. par la relation de récurrence (8) 0... = 2C ô71r)1~Pe.P . J+1 P J J J Vérifions enfin l'inégalité (3) pour f = h. +g.+1 : par construction - 9 - fj+1 = hj + *t et Ktl = * > donc |fj+1(?)| = |n.(Ç)| à |cp(S)|[(l+60)...(l+6J)]"1 dans le cas favorable (6), |fj+1(?)| s t(Ç) - |h(Ç)| > |ip(Ç)|[(l+60)...(l+6)] dans le cas (7). -1 D'après (3) et (4) la suite f. converge dans L (G) vers 00 3 f = Tj r (g.) ; de plus f vérifie les inégalités j=0 Tlj J 3=0 J _s_ -1-1 3=0 j=0 J Ceci démontre le théorème 2.1 avec les constantes A = L 0. - I I (1+6.) au lieu de 1 + - j=0 3 jU J M | (1+6.) au lieu de 1 + JzM/ë , 5=0 J j=0 les suites 6. , r\. , 0. étant liées par l'unique relation (8) e... = 2c ô:V~p0p , 0n = i . 3+1 P 3 3 3 0 Il nous reste à préciser le choix des suites 6. , n. , 0. de manière il) que celles-ci soient sommables. Dans ce but, on cherche à optimiser la constante B par un calcul de variations. On observe que 1 + 6. < e J , d'où 3 B < B = Et). . exp Tj ô. j = 0 J lj=:0 J Supposons d'abord la suite (0.) fixée, et faisons varier 6, , ru k étant un indice donné. Ha relation (8) impose B est donc ik *> - - ? ? j 1 ^k minimum si 6. = -- -- , ce qui entraîne ru = Xô, où \ = cte , et 3 - 10 - ½ -, (9) E6. = -7 j-0 J P"1 On obtient alors B = -re*P(-r) » et la relation de récurrence p-1 *^p-l' 9.J.1 = 2C X ~Pô.Pe? implique J+l P J J il 1 6o = 1 = (2c/VI,"?""?Vf1...6^+1f]. Comme 6. < 1 et 6. < 1 pour j assez grand, on voit que le pro- 3 n"J * p"j duit infini des &f converge nécessairement et que 0T a une li- J «I mite £ Ç 10,1] .La valeur minimale de X sera obtenue dans le cas où lim 8P =1 ; on aura alors J I (10) (2C X1"*) '"P - (2CnPr1 = fi ôfj . P P j=0 J Fixons tous les éléments 6. sauf ô, et 6, , . Par différentiation J k k+1 (9) et (10) donnent «,+«, -0, -!* "k^k -k-l^k+1 k k+l X ^ » 6k+1 X sera donc minimal si 6, = - ô ; compte-tenu de (9) et (10) on obtient 1 P ôk = P-k-\ (2c/-ix-i = np-«+i)p"J = p <^2 . k P j=0 Il en résulte en définitive les valeurs suivantes : ô -p*1. ,. = X6. , x= 2CpPP-M , e^p13"1 A = A 1-p-p=T J-i v p' l P , B = VeB , B = 2p!V P V V / j=l * p" Un calcul numérique permet de vérifier que la constante B optimale est obtenue pour p = 11 et que B < 3,685 , A,, < 1,186 ; les - 11 - estimations (b'), (c') du théorème 2.1. en résultent. D'autre part, on peut montrer par des calculs élémentaires que nous n'expliciterons pas (formule de Stirling !) que avec les majorations effectives A < 1 + - pour p s 18 , B < 1 + J^- pour p a 35 . p P P ^e Ceci donne les inégalités (b), (c) du théorème pour tout réel M s 17 , en prenant p tel que p-1 s 2M < p . ? 2 Lorsque G n'est pas compact, choisissons p s - où a > 0 est donné, et e assez petit (i.e. Je B <; a ). On obtient alors le résultat suivant. THEOREME 2.2. - Soit G un groupe non compact. Pour tout o o cp Ç L (G) et tout a > 0 , il existe une fonction f Ç L (G) H CQ(G) telle que (c)|f | a |cp| P.P. sur G , (d)||f||2 <; (l+a)||cp||2 , <°> lift* aIMI2 - Nous allons maintenant compléter la démonstration des théorèmes 2.1 et 2.2 en prouvant les deux lemmes invoqués au cours de celle-ci. 2 LEMME 2.3. - Pour toute fonction f ¤ L (G) (resp. * 2 A 2 cp = fÇ L (G)) et tout e > 0 , il existe une fonction g Ç L (G) 2 * 1 (resp. i|; Ç L (G)) et une fonction p Ç L (G) telles que f = g*p (resp. cp = \|fp) et (e)p s 0 , Hpl^ = 1 (f)||g|| s 0 , d'intégrale 1 , de support c V . On a |pn(Ç)-l| = IJ* pn(x)(ÇW-l)dx| £ e si ?¤Kn , donc I p (?) I s 1 - e sur K . Définissons ,rn ' n p = E 2~n" pn*p , avec p(x) = p (-x) . n=0 n n n n Alors IpI^ = 2 2~n-1||P ||2 = 1 1 n=0 n l et p = £ 2~n_1|p |2 s Z 2"n_1(l-e)2 - 2"P(l-c)2 sur K . n=0 n nsp p Posons enfin ty = cp/p sur Supp cp , \|i = 0 sur G\Supp cp ; il vient JJt(?)| d? ^-J- L |q»rd6+ E/L ^ fofdç o p*i jVkp-i '"L f1+ Z2-PJ _ _l+_e_IL.H2 (1-e)2 l P*l ; (1-e)2 2 d'où "ll*ll2*-£i ||cp||2 = (i+S')IW! LEMME 2.4. - &it f Ç L2(G) fi L°°(G) et p 6 l\g) Alors fwp ¤ CQ(G) . En effet p est limite dans L (G) de la suite p = p.inffl,--) g h1 (G) fi L°°(G) c L2(G) . V p \J - 13 - 2 Comme f Ç L (G) on a donc f*p Ç Cn(G) » et i|f*p-f*pnll½ * llflLIIP-pjli- o.- Une conséquence immédiate du théorème LKK est le théorème d'Orlicz-Paley-Sidon tl0,ll,12] ci-dessous. COROLLAIRE 2.5. - Soit \|i une fonction mesurable sur G telle que i|;f 6 L1(G) pour tout f ¤ L2(G)DC (G) . Alors ? ¤ L2(G) . Le théorème OPS apparaît en fait nettement plus faible que LKK , puisqu'il n'exprime qu'une propriété de "densité" de 2 A 2 ?*- (L (G) flC (G)) dans L (G) , à savoir que ces espaces ont mêmes multiplicateurs à valeurs dans L (G) . 3. TRANSFORMEES DE FOURIER DE FONCTIONS CONTINUES A SUPPORT COMPACT. Les résultats précédents permettent également d'étudier les multiplicateurs ponctuels de l'espace C (G) des transformées de C 1 * Fourier de fonctions continues à support compact, dans L (G) ou dans Mh(G) (espace des mesures bornées sur G ). A cet effet, rappelons d'abord la définition des espaces amalgamés gP(Lq(G)) et £P(M(G)) , cf. [2] et t7]. Soit E un voisinage compact de l'élément neutre de G et f une fonction mesurable sur G . On pose 1 Hfllp o m[l IIVEfHPa dT Si P<½' - 14 - 8r(M) On vérifie aisément que les normes ainsi obtenues ne dépendent pas à équivalence près du voisinage E choisi. La transformation de Fourier jouit de propriétés naturelles vis-à-vis de ces espaces (voir J.P. Bertrandias - C. Dupuis [3]) ; en par- 12 2 » ~ ticulier, elle envoie ¤ (L (G)) dans l (L (G)) . Le théorème LKK permet d'établir inversement que l'image de ce morphisme dans 2 co *- i (L (G)) est "assez grosse". THEOREME 3.1. - Soit K une partie compacte d'intérieur non vide dans G . Alors il existe un compact Le G et une constante C > 0 ayant la propriété suivante : pour toute fonction 2 00 A cp Ç Z (L (G)) on peut trouver une fonction f Ç CK(G) à support dans K telle que (a) |f | * 1L ;> |cp| , 11*11 * cN1^(in - Ainsi |f | majore |cp| en moyenne sur les translatés d'un compact. À notre connaissance, c'est un problème ouvert de savoir s'il existe f Ç C (G) telle que |f | ^ |cp| en tout point de G , cf. J.J.F. Fournier [5], th. 3.3'. Démonstration. - Il n'est pas restrictif de supposer que K est un voisinage compact de l'élément neutre de G . Première étape. On va d'abord réduire le problème au cas où le o groupe G est engendré par K . - 15 - Soit en effet U le sous-groupe ouvert de G engendré par K . Si U est l'orthogonal de U dans G , le dual de U peut s'identi- fier à U °* G/U , et la transformée de Fourier de tout élément 2 x f g L (G) à support dans U est constante sur les classes modulo U . Par ailleurs G/U est discret, donc U =- G/U est compact. Remplaçons alors cp par ç(Ç) = sup|cp|(?+UX) ; il est clair que cp Ç ¤ (L (G/U )) et on voit qu'il suffit de démontrer le théorème pour le groupe U à la place de G . Deuxième étape. o On supposera donc que K engendre le groupe G . Dans ce cas, on montre que le théorème 3.1 se ramène au théorème LKK appliqué à un groupe-quotient compact de G . Le théorème de structure pour les groupes localement compacts abéliens (Hewitt and Ross [6], vol. I, th. (9.3) p. 86) implique l'existence d'un sous-groupe discret de type fini o D c G tel que D + K = G , en particulier G/D est compact. L'ortho- x A i. gonal D est un sous-groupe discret de G à quotient compact, D admet donc un domaine fondamental E relativement compact dans G . Pour tout 6 Ç D posons ty(&) = sup |cp| . Alors ty Ç g (D ) et ô+E D'après le théorème LKK appliqué aux 2 i Imi 2 ½ * « (D ) ¤(L (G)) ^ groupes duaux G/D et D , il existe une fonction g Ç C(G/D) telle que |g(ô)| s i|r(ô) pour tout 6 6 D"1 . Dans la suite g sera identifiée à une fonction continue sur G , périodique modulo D . Troisième étape.: construction de f par troncature de g . o Comme D + K = G , il existe une fonction u Ç CK(G) dont les translatées modulo D constituent une partition de l'unité sur G i.e. - 16 - (11) S u(x+y) = 1 pour tout y ¤ G . x¤D A Soit 8 6 C (G) , ||8 = 1 , une fonction dont la transformée de C co Fourier inverse 6 ne s'annule pas sur K . Posons alors (12) f = g- au voisinage de K , f=0 sur G\K . 8 Compte-tenu de (11) et (12), on obtient pour tout 6 ¤ D : f * 6(6) = Lf(5)6(ô-Ç)dÇ = f f(x)8(x)6(x)dx G G = f g(x)u(x)ô(x")dx = f g(x)ô(x")dx = g(ô) . .G G/D Il s'ensuit par construction de g (cf. deuxième étape) : supjcpl = m) * |g(6)| * |f|*|9|(6) . 6+E Ceci entraîhe |cp| £ |f |#1-. dès lors que L 3 E + Supp 8 , et le théorème 3.1 est démontré. ? Nous pouvons alors redémontrer le théorème d'Orlicz-Paley-Sidon dans la version généralisée obtenue indépendamment par J.J.F. Fournier [5] et J.P. Bertrandias [l]. COROLLAIRE 3.2. - Soit K une partie compacte d'intérieur non vide dans G et \J» une fonction mesurable (resp. une me- A A ]^ A A «* sure) sur G telle que ff 6 L (G) (resp. i|ff çM (G)) pour 2 1 * n\ Ai^vc ,i, c o /T /rai /r-aot-. ?!> e. tout f ¤ C"(G) . Alors % ¤ e2(L1(G)) (resp. i|r ¤ £2(M(G))). Démonstration. - Le théorème du graphe fermé entraîhe l'existence d'une constante C > 0 telle que A Etant donné n ¤ G , il vient, après substitution de fn à f : X* |*| |f