J.-P. Demailly
Formules de Jensen en plusieurs variables et applications arithmétiques
Bulletin de la S. M. F, tome 110 (1982), p. 75-102. <http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1982_110_75_0>
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Bull. Soc. math. France. 110. IW2. p. 75-102
FORMULES DE JENSEN
EN PLUSIEURS VARIABLES
ET APPLICATIONS ARITHMÉTIQUES
PAR
J.-P. DEMAILLY (*)
Résumé. - En utilisant une généralisation à plusieurs variables de la formule de Jensen, nous démontrons de nouveaux lemmes de Schwarz dans C". La méthode repose sur une minoration des nombres de Lelong d'un courant positif fermé. Nous en déduisons le théorème de E. Bombieri sur les valeurs algébriques de fonctions méromorphes, ainsi que quelques résultats nouveaux sur les zéros de polynômes dans C".
Abstract. - Using a generalization in several variables of Jensen's formula, we prove new Schwarz' Lemmas in C". The method rests upon a lower bound for Lelong numbers of closed positive currents. As a conséquence, we nnd another proof of E. Bombieri's Theorem on algebraic values of meromorphic maps, together with some new results conoeming zéro sets of polynomials in C".
0. Introduction .
Étant donné un système de /i+l fonctions méromorphes d'ordre fini /"(/n - - ->/»+i) da^s C", algébriquement indépendantes et vérifiant des équations différentielles, les points algébriques de / sont situés sur une hypersurface algébrique dèC". Ce résultat, d'abord démontré par T. Schneider et S. Lang dans le cas n= 1, a été étendu en plusieurs variables par E. Bombieri [1] au moyen des estimations L2 de L. Hôrmander pour l'opérateur è. La méthode de E. Bombieri, qui a été reprise et améliorée ensuite par H. Skoda [8], fournit simultanément une majoration pour le degré de Fhypersurface. Le lecteur pourra consulter l'article récent de P. Lelong [5] pour quelques compléments sur le sujet.
(*) Texte reçu le 9 février 1981, révisé le 23 mai 1981.
J.-P. Demailly, Université de Paris-VI, Laboratoire d'Analyse complexe et Géométrie, Département de Mathématiques, Tour 46-0,4, place Jussieu, 75230 Paris Cedex 05.
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE   -   0037-9484/1982/ 75 /$ 5.00
© Gauthier-Viliars
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Le présent travail a pour but de démontrer le théorème de Bombieri sans utiliser les estimations L2, grâce à une extension convenable de la formule de Jensen en plusieurs variables. Cette extension (cf. §1) fait intervenir une généralisation des notions de mesure trace, mesure projective, et nombre de Lelong d'un courant positif fermé (cf. P. Lelong [4]). Lorsque la fonction d'exhaustion cp de référence est approximée par une fonction homogène \|f, l'utilisation de l'égalité (i Ôd Log t|/)" s 0 fait disparaître le terme correctif de convexité, et conduit à un lemme de Schwarz assez général dans C". Le lemme ainsi obtenu nous permet de retrouver le théorème de Bombieri avec une majoration différente, optimale pour /z=2, du degré des hypersurfaces.
Le dernier paragraphe est consacré à l'étude des polynômes s'annulant sur un sous-ensemble fini de C" (cf. M. Waldschmidt [9] et [10]). Nous avons pu prouver sous certaines hypothèses une conjecture de G. V. Chudnovsky, dont une démonstration partielle (pour le cas n=2) a été annoncée dans [2J. A notre connaissance, aucune preuve écrite ne semble toutefois avoir été publiée à ce jour.
L'utilité des formules générales de type Poisson-Jensen m'a été suggérée par un cours de M. H. Skoda, professé à l'Université de Pierre-et-Marie-Curie en 1979. Je remercie vivement MM. Henri Skoda et Michel Waldschmidt pour d'utiles remarques qui ont contribué à améliorer la rédaction du présent travail.
1. Formules générales de type Poisson-Jensen
Les résultats qui suivent sont classiques dans leur principe, et constituent une généralisation naturelle de la méthode employée par P. Lelong [4] pour prouver l'existence des nombres de Lelong d'un courant positif fermé. Nous avons préféré cependant redémontrer toutes les formules, pour en donner une version adaptée aux applications envisagées.
Soit X une variété analytique complexe de dimension n > 1, cp une fonction de classe C2, à valeurs dans l'intervalle ] - oo, *[, et exhaustive sur X. Pour tous réels r < R et rx < r2 < R9 on pose :
B(r) = {zeX;q>(z)<r}9       S(r) = {zeX; cp(z) = r},
5(r)={zeX;<p(zKr}, B(rl9 r2) = {zeX; r, ^ <p(z) < r2}=B(r2)\B(ri), Ê(r1,r2)^{zEX;r1<ip(z)^r2}^Ê(r2)\Ê(r1).
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FORMULES DE JENSEN  EN PLUSIEURS VARIABLES	77
Par hypothèse, tous ces ensembles sont relativement compacts dans X. Lorsque r est une valeur régulière de <p, l'ensemble S(r) est une hypersurface compacte de classe C2 de X, qui sera orientée canoniquement par la normale extérieure dq>. On note enfin :
a = /33(Log<p)   sur l'ouvert {cp > 0}, '  p = iddq>.
Théorème 1. - Soit Tune forme de classe C2 et de bidegré (n -p, n - p) sur X, 1 ^p < n.Sirx etr2,0 <rx <r2 < R, sont deux valeurs régulières de q>9 on
a la formule :
a)
r,    '      JB(t)

"M
r2   JSir3)
Ta p*"1 a id<p

rl    JS(r,)	JB(r"r2)
A CL"
Démonstration. - On peut écrire :
<p = limv^+30 <pv   dans C2(X; R),
où (pv est une suite décroissante de fonctions de classe C00 dont les points critiques sont non dégénérés. Quitte à effectuer un passage à la limite, on peut donc supposer que cp est une fonction de classe C½ sans points critiques dégénérés, de sorte que la formule de Stokes s'applique au domaine Ê(t) à bord éventuellement singulier dB(t)=S(t). Désignons par jt l'injection S(t) <+ X (avec t > 0 dans toute la suite). Il est clair que :
./* dq> +/* ?cp = y* </q> = d(<p <>/,) = 0.
Un calcul immédiat fournit d'autre part :
i d 5(p       i dcp a 5cp
cp	cp2
d'où y* a =y* P/f; il en résulte d'après la formule de Stokes :
f   issrAp'-1»!    -^/arAp'"1)
JB(t)	JBU)
= -|     idTAy-^-t"-1 I    iôTAOL"-1.
JS(t)	JS(t)
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J.-P. DEMAILLY
On obtient donc :
Pif »ir.r.-fsM «»»^
J rt    l     jB(t)	J rt     <    Js(l)
= -	idLogcp aôTa a""1.
Comme les formes de bidegré (n+1, w - 1) et (h-1, w+1) sont nulles, il vient :
idLogcp a dT a ap~1=idLogq> a dT a ap~x
= /3Log9 AdT a a*""1
= -rf(rAarl a i3Log<p)+TA a*.
En utilisant à nouveau la formule de Stokes, la dernière intégrale s'écrit :
Ta oc*""1 a /3Logq>-	Ta oc",
JdB(rt,r2)	JB[rltrt)
expression qui est égale précisément au second membre de la formule (1), compte tenu de l'égalité Jf a =jf $/t.    M
Les corollaires 1, 2, 3, 4 qui suivent sont des conséquences simples mais fondamentales du théorème 1.
Corollaire 1. - Soit Tun courant fermé (Tordre 0 sur X (i. e. dT=0 et les coefficients de T sont des mesures de Radon), de bidegré (n-p9 n-p). Alors pour tout rl9 r2, 0 < rx < r2 < R, on a les égalités :
(2)	yp   \     JaP'-I  f      rAP'-f	lAa'.
(2)	if      TaP'-I  f     TAp-f	Taol'9
Démonstration, - La deuxième ligne se déduit de la première en remplaçant rl9 r2 par rl +e, r2 + 6 et en faisant tendre 6 vers zéro. Comme dans le théorème 1, on peut supposer que <p est de classe C00 et que <p admet rl9r2 pour valeurs régulières (sinon écrire cp=limi<pv et appliquer le théorème de convergence dominée). Si T est une (n-p9 n-p) forme de
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classe C2, le théorème 1 fournit, après application de la formule de Stokes :
(3)   if     rAP'-i  f      J-AP'-f	Ta oc*
r2   jB(r2)	ri    jBirJ	jB(rltr2)
-|     *  I     id^TAP"-1-^; I      dTAp-xAidip
J r,    *      Jb(I)	r2   J*(r2)
JJa P""1 a /Sep.
-i)
La conclusion résulte donc de l'affirmation suivante.
--*
Lemme 1. - L'égalité (3) est vraie pour tout courant T de bidegré (w-/?, n-p) qui est (Tordre 0 ainsi que ses différentielles dT, iddT
Démonstration. - En utilisant une partition de l'unité, on se ramène aussitôt au cas où le courant Test à support dans une carte locale. Comme tous les termes de l'égalité (3) sont continus à gauche par rapport à ru r2, il suffit en fait de vérifier l'égalité (3 ) pour un ensemble dense de valeurs de r j, r2. On observe que l'ensemble D des réels f >0 tels que S(t) ne soit pas négligeable pour l'une des mesures coefficients de T, dT ou /35!Test au plus dénombrable. Soit alors (p£) une famille de noyaux de convolution dans la carte locale considérée. Appliquons l'égalité (3) à la forme régularisée 7* pe; il vient, en notant xB{fi) la fonction caractéristique de l'ensemble B (rj :
[    (r^Ap^frAtp^x^p')] -frAXe^si  md,
lB(r,)	J	J
car (Xs(r,) Pp)* Pc converge simplement vers Xbm Pp sur le complémentaire de l'ensemble T-négligeable S (rx ).
On raisonne de même pour les autres termes (avec r2^D, t£D).    ?
On rappelle qu'un courant Tde bidegré {n-p, n-p) est dit (faiblement) positif si le (n, n)-courant :
iP T A Uj   A Mj   A   ...   A Up A Mp,
est une mesure positive, pour tout système(u1,u2, .. .,up)de(l,0)-formesde classe C00. Test alors un courant d'ordre nul. Le corollaire 1 entraîne immédiatement le résultat suivant.
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Corollaire 2. - On suppose que lafonction Log 9 est plurisousharmonique sur l'ouvert {<p>0}. Alors, pour tout courant positif fermé T de bidegré (w- /?, n-p) sur A\ lafonction positive :
T      JB(r)
est croissante par rapport à r. En particulier, la limite :
r     JB(r)
existe toujours.
Le corollaire 2 est classique lorsque X = CH, et cp(z)=|z|2 = |z112+ ... +\zH\2 (P. Lelong[4]). On désigne alors par :
Pp
ar= T a ^,   ,,   la « mesure trace » de T, 2pp !
vr=	T a clp,   la « mesure projective » de T,
de sorte qu'on a la formule :
avec la notation usuelle 2* (r)=\z e C"; | z \ < r}.
La limite vr(0)=limr-oPÏ/7tPr2p        àoT est appelée nombre de Lelong
Jb(d
du courant T au point 0. Nous allons maintenant examiner le cas important /?=n.
Corollaire 3. - Soit V une fonction plurisousharmonique sur Xf rx, r2 deux valeurs régulières de <p. On a:
I    * f    id'SV a P""1 « 1 f     KP"-1 a iScp
J r,   l    jB(t)	^  Js(r2)
-"T f     ^P""1 Ai'3q>-|	Fa".
ri   JS{rt)	JB(rttr2)
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Démonstration. - Soit (Uj) un recouvrement de X par des domaines de cartes U} aczX, (tyj) une partition de l'unité subordonnée au recouvrement (Uj), (p)) une famille de noyaux régularisants à symétrie sphérique dans l'ouvert Uj. On applique la formule (1) à la suite de fonctions C°° :
qui converge simplement vers V en décroissant. On raisonne alors comme dans le lemme 1, en utilisant le fait que Ket rfFsont dans L^, et que le courant positif iôdVest d'ordre0. Les détails sont laissés au lecteur.    ?
Corollaire 4. - On suppose que toutes les valeurs critiques positives de <p sont non dégénérées, que lafonction Log <p est plurisousharmonique sur l'ouvert {cp > 0}, et que la forme a" est identiquement nulle. Alors on a la formule :
Jr,   '" Jb")	H	r* ->*<">    P	.  *? Js,f|l    H
ef lafonction r »-? 1 /rn        K pn "1 a / 2(p &sf croissante convexe par rapport à
Log r.	JS(r)
Démonstration. - La dérivée à gauche :
JLogï existe, et elle est donnée par l'expression :
iôSKaP""1,
À I     "
r	jB{r)
qui est fonction croissante de Log r (corollaire 2).    ? Dans C, si on choisit cp (z)=|z|2, on vérifie que :
ot'sO,
iôdVA P"-^ -î-AK.pB = 2"-2(w-l)!AF.^, 4 w
^(P""1 Ai39)«2"-1(n-l)!rdSf
où dk désigne la mesure de Lebesgue dans CR, et dS la mesure superficielle de la sphère S(r)={zeCB; |z| = r}. L'égalité du corollaire 4 se transcrit donc
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J.-P. DEMAUXY
sous la forme classique :
Pjêrf   W-A-^f   rm-^t    y*.
2. Estimation des nombres de Lelong
Dans les applications à la théorie des nombres, nous utiliserons les formules précédentes pour des courants du type :
T--ddhog\F\9
où F est une fonction entière. D'après l'équation de Lelong-Poincaré, Test le courant d'intégration sur le cycle analytique défini par F; T est donc un courant positif fermé de bidegré (1, 1).
Dans ce paragraphe, nous supposerons plus généralement que F est une fonction analytique dans un ouvert Q de C"; la fonction plurisousharmonique Ksera le potentiel K= Log | F | du courant T=(i/n) dd Log | F |, et on choisira pour <p une fonction du type :
où les fonctions Fj sont analytiques sur Q. Dans ces conditions, il est aisé de minorer le « nombre de Lelong généralisé », égal à la limite quand r tend vers zéro de la fonction :
r^(2^\    7'AP""1' (2Kr)       JB(r)
(fonction qui est croissante d'après le corollaire 2).
Proposition 1. - Soit zQ un point de H, © un voisinage ouvert de z0 relativement compact dans Cl. On suppose que les fonctions F, Fl9 F2, ..., FN s'annulent en z0 aux ordres s, s1^s2^ ... ^ sN et que le nombre :
K = infZ¤d½(p(z), est > 0. Alors pour tout re]0, R[9 on a:
s^L.rAP""i>''1 -5-1 (I)-
(1 ) Ces estimations sont en fait valables dans une situation beaucoup plus générale, et nous ont permis d'encadrer les nombres de Lelong associés à l'image directe d'un courant positif fermé <«*P1).
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Démonstration. - Notons que d'après les hypothèses, l'ensemble analytique {zeco; F1(z)-... =FN(z)=0} est compact, donc fini, ce qui entraîne N ^ n. Le résultat est clair pour h=1. Dans le cas général n ^ 2, nous procéderons d'abord à quelques réductions, et nous poserons z0=0 pour simplifier.
Étape 1. - Soient Pl9.. ,9PN les polynômes homogènes de degré -jj, ..., sN égaux aux parties principales des développements de Taylor de Fx, ..., FN au point 0. Il n'est pas restrictif de supposer que les polynômes Pl9 ..., Pn s'annulent simultanément au seul point 0.
En effet, les polynômes homogènes Pl9 ..., Pn de degré sl9 ..., sH qui ne vérifient pas cette condition, constituent un ensemble algébrique A dans l'espace C des familles de coefficients. Il suffit donc de substituer à Fl9 ..., F" des fonctions F*, ..., FJ, telles que | FJ-Fj| < e sur ½, obtenues en approchant les parties principales de Fi9 ..., Fn par des polynômes P\9 ..., P\ dont le point représentatif est situé dans C*\A.
On remplace <p par la fonction de classe C2 :
9.W-I5-1 I^WI2+(C|r|r2y..+ 1 |F,(z)|2, et on choisit les constantes :
C = sup½XB(r) -,       rt={y/r-z ^)2,       6 < ^,
de sorte que les conditions ze½, cpe(z)<r£ entraînent <p(z)<r. Si l'on pose pE = fô3cpe, et si l'on fait tendre e vers zéro, le théorème de convergence dominée montre que :
donc il suffit de démontrer l'inégalité pour le membre de gauche.
Étape 2.  - Nous allons maintenant nous débarrasser des fonctions
Posons R6 = inf2eaa> cpe(z), de sorte que Rt^(s/R-es/n)2>rt. D'après le corollaire 2, appliqué à la variété :
Ar = {z¤©;cpi(z)<JRe},
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l'expression :
(2itp)'
est fonction croissante de p dans l'intervalle ]0, H J, car la fonction Log q>e est plurisoushannonique. Vu les hypothèses sur les parties principales des
fonctions F\, ..., F£, F-+1, ..., FN, il est clair que :
Zj.1|FJ(r)|a>C1|2|^,
avec des constantes C1} C2, C3 >0. Par suite, la fonction <pe est équivalente à la fonction :
lorsque | z | tend vers zéro. Comme pc ^ y£ = i dô \|jc et comme le courant T est positif, il en résulte :
l*nPJ	J{ie(o;».W<pi
l^"PJ	J{recû;^r(r)<p;
^H-oj^p [,	tat:-1-
Étape 3. - En définitive, on peut supposer que JV = n, et que les parties principales Px, ..., P" des fonctions Fj, ..., Fn n'ont pas d'autre zéro commun que 0. Dans ces conditions, on a le lemme suivant, qui est le point crucial de la démonstration.
Lemme 2. - // existe un voisinage U de 0 dans <û, une boule euclidienne D de centre 0 et de rayon v/r7<x/r dans C, et un ensemble analytique YaD tels
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que rapplicationf-{Fu ..., Fn) soit un revêtement :
U\r1(Y)^D\Y,
à sxs2 ... sn feuillets.
Esquisse de démonstration du lemme 2. - Les hypothèses entraînent que le point 0 est isolé dans la fibre/"l (0); l'existence du revêtement ramifié décrit dans l'énoncé en découle (cf. par exemple R. Narasimhan [7]).
Il reste à montrer que le nombre de feuillets v vaut sxs2 ... sn (on notera que v est constant au-dessus de la base D\Y par connexité de celle-ci). Effectuons à cet effet un « changement d'échelle », en remplaçant les fonctions Fl9 ..., F" et l'application /par :
Fjt0(z) = Pj(z),       FjtX(z) = X-sJFj(kz)       si   0<|M*:l,
où le nombre complexe X tend vers zéro. Le théorème des fonctions implicites montre que v=v(X,) est localement constant au voisinage de a,=0, donc indépendant de X. On est donc ramené à montrer que l'application :
p=(Pl9...9Pn):C"^C\
est un revêtement ramifié à sx s2 ... sn feuillets, lorsque le point (Px, ..., Pn) est dans le complémentaire ¤d\A de l'ensemble algébrique A (pour la définition de A, voir le début de l'étape 1). Il suffit d'observer comme ci-dessus que lorsque (Px, ..., P") décrit Cd\A, le nombre de feuillets v reste localement constant; v est donc constant par connexité de Cd\A. Comme l'égalité :
v=sxs2 ... sn,
est d'autre part évidente si l'on choisit Pi (z) = fj, la conclusion s'ensuit. ? Achevons maintenant la preuve de la proposition 1. On peut supposer que l'ensemble/"1 (Y) du lemme 2 ne contient aucune composante irréductible de l'hypersurface U nF~l(0) : sinon modifier les fonctions Fx, ..., Fn en appliquant une « petite » rotation dans l'espace des variables (zl9 ..., zn) et raisonner comme à l'étape 1. Lorsque r<R' (X/R7 = rayon de la boule D du lemme 2), on peut effectuer le changement de variable :
w = (wl9 ...,w;n)=(F1(z), ...,F"(z));
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on obtient :
n-1
-ddLog\G\ at!"-1
w¤D\r;|»|a<r} ^
=  	 1	f
(27irr"1	-^LoglGlAn""1,
J|w|2<r *
avec ti = /35|u;|2, G(w)=Y\zerl(») F^- ^ fonction G, qui est définie a priori sur D \ 7, est localement bornée au voisinage de T, donc se prolonge en une fonction analytique dans la boule D. On va minorer l'ordre d'annulation q de G au point 0. On a vu plus haut (étape 2) qu'on avait :
lorsque |z| est assez petit; par suite | z |< C51 w | l/'m et :
d'où 0^! ... $"_!- La proposition 1 résulte de l'égalité classique :
V
^-oo-^rf     ^âLog|G|An'-l=*.   ?
Nous aurons besoin également du résultat suivant, qui se démontre de manière analogue.
Proposition 2. - Soient P, Pl9 P2, ..., PN des polynômes de degrés respectifs 8, hx ^52> ... ^SN dons C", tels que la fonction :
9W=iy.ilP^)l2,
soit exhaustive, et doit T-i/n dd Log |P|, P = zdd<p. A/orj ;
(2 Tir)       JB(r) tomf 110 - 1982 - n°1
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Démonstration. - Les hypothèses entraînent que N^n. Posons :
w=(wl9 ..., *")=(?!(z), ...,P"(z)),
cpe(z)=|u;|2+(£ + Xi=^il^)l2)1"% p£ = /aâcp£,       n = idd|u7|2.
Il vient :
(4)        p
^L/Ar"'-"m-°«^L,.rA^'
où re = inf^u)ssr cp£ tend vers r quand e tend vers zéro. D'autre part, le corollaire 2 montre que :
(5)
(27ire)	J*.<x><r.	l2lCP)	J*.(*)<P
Soient maintenant w1? u2, ..., u^ des formes linéaires en zl5 ..., zn telles . que le système de (1, 1) formes positives :
idUjAdûj,       l^j^n2,
constitue une base de l'espace vectoriel des (1, IKormes. Si l'on procède comme dans la démonstration précédente, on est amené à faire les hypothèses supplémentaires (6), (7) qui suivent :
(6)	Les parties homogènes de plus haut degré de n quelconques des
1+h + «2 polynômes :
P> Pl>   - - -» P«> Ul »   - - -> Un2*
n'ont pas d'autre zéro commun que le point 0 (sinon modifier légèrement P" ....P., u,, ...,iv).
(7)	Il existe une petite constante c>0 telle que :
HJmn+1\Pjiz)\2>c\z\»;
(augmenter au besoin JV, et introduire des polynômes de degré ô" ayant de petits coefficients). Il est clair qu'on a des égalités de la forme :
p£ = rj + ££. j a} (z) duj a dûj.
(8)	K'1=^n'1^Ié\i\ + \j^n-uj\>iau(z)dwIAdwlAdujAdûj,
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où la somme est étendue aux multi-indices croissants :
I={h> ...,**}<={1,2, ...,/i},       J-{jl9 ...,./,}<={ 1,2, ...,n2},
et où :
|/|=fe,   *   |J| = /,       dw^dw^A ... *dwik, dUj-du^A ...  Adujr
L'inégalité (7) entraîne :
,0,	f    \aj(z)\ ^C.a + UI2)6-^-1/
w	ll^Wlw,<c2(i+i*|2p->-1.
En vertu de la condition (6), on a de plus :
(10)	l + |z|2<C3(l + |u>|2)1/5-
et l'inégalité \w\2<p implique :
(il)	«2=I^il«il2<c4(n-P)1/6-.
D'après le lemme 2, l'application :
pi    Z = {ZX, ...,2||)h-tt? = (P1(2), ...,PH(z)),
réalise un revêtement ramifié de C" à 5t 82 ... 6" feuillets. De même, pour tout couple de multi-indices Icz{ 1, 2, ..., w}, Jc{ 1, 2, ..., n2} tels que |J| + |J|sn-lf l'application :
(12)	(zj, . .., z")h*(P(z), iwj)jm" (uj(z))jeJ),
est im revêtement ramifié de C" (à, disons, vu feuillets). On obtient comme à l'étape 3 de la proposition 1 :
(13)	l^up,...^^^--
où:
e(»)-n..,-.«p(*>.
TOMK 110 -   1982 - N° 1
FORMULES DE JENSEN EN PLUSIEURS VARIABLES	89
Comme | Q (w) | < [C5 (1 +1 w \ )m-f*>    8-, Q se prolonge en un polynôme de degré #<88! ... 8n_ls et on a donc classiquement :
(14)   limp_+00-i-T|	iôâLogieiA^-^^^S^ ...8.^.
Il nous reste à majorer les termes correctifs issus de l'identité (8). On a, en posant m=|/|2 + |J|2 :
T A û7 j (z ) dlVj A dïÔj A fl&ij a dûA
' * V.l:Kp	I
<sup9tU)<p|flM(z)|. I      îl-aâLog|P|
J«Mz)<p     *	j	j-       j.	JT
AdWjAdWjAdUjAdUj,
car les courants (i/n) 35 Log |P| et f" dwjAdwjAdujAduj sont positifs; l'utilisation du changement de variable (12), combinée à l'inégalité (11), fournit :
9.(*)<P.     K
33 Log | P | a <fa?7 a dwl AdujAduj
l,j	rdWiAdWjAdUjACtUj
Jp-O.lwl^pjHl^C^l + p)'*»
^v/,,(2tcp)|;|(2tcC4(1 + p)1/6-),J|.
Les inégalités (9), (10) et (11) entraînent d'autre part :
sup,t{2)<Q\aItJ(z)\ <[C2(C> (l-hp)1^)6-0^-1]171, on obtient donc (compte tenu de ce que \I\ + \J\=n - 1)*
(z)dwjAdWjAdujAduj I ^C6(1+pr-,-e|J|.
La conclusion se déduit des lignes (4), (5), (8), (13), (14), (15).    ? Les propositions 1 et 2 admettent les conséquences suivantes (corollaires 5 et 6), qui nous seront utiles ultérieurement.
Corollaire 5. - Soient Fl9 ..., FN des fonctions holomorphes dans un ouvert Cl de C", qui s'annulent respectivement aux ordres sx ^s2 < ... ^sNen un point z0eCl.
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J.-P. DEMAILLY
On pose cp(z)=^=1 |F^(z)|2, P = /dd<p, et on suppose donné un voisinage ouvert ©ccQ de z0 tel que le nombre :
R=Mxediù<f>(z), soit >0. Alors pour tout re]0, R[ on a :
--	F>sxs2...sm.
(2nr)   JB(r)n½
On voit que la quantité limr _, 0 î 11(2 n r)n \ ?      p" doit être considérée
jB(r)r\co
comme une « multiplicité d'intersection » au point z0 des cycles analytiques définis par les fonctions F/9 il resterait à en trouver une interprétation géométrique précise.
Démonstration. - On identifie C" à l'hyperplan zn+i=0 de C"+1. On pose :
ffri. ...,zll+1)=zn+1,       T=±ddLog\F\9 FK+i(zt, ?-..«?+i)-«*+i,       avec   5W+1>*N,
Comme Test le courant d'intégration sur l'hyperplan C", il est clair que :
\£Tir)     JB(r)n<Q	\^^r)     J<|r(*)<r,(*,	zn)e<û
et il suffit donc d'appliquer la proposition 1, avec 5=1.    ? En plongeant de même C" dans C"+1, la proposition 2 entraîne :
Corollaire 6. - Soient Pl9 ..., PN des polynômes de degrés respectifs Si ^52> ... >8N dans C" tels que la fonction :
9(*)-2j-iIW. 50/f exhaustive et soit p = i 33cp. >4/or5 :
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FORMULES DE JENSEN EN PLUSIEURS VARIABLES
91
3. Un lemme de Schwarz dans C"
On considère comme précédemment une fonction entière F dans C", et des polynômes Pl9 P2, ..., PN de degré ô, dont les parties homogènes de plus haut degré Ql9 Q2, ..., QN admettent pour unique zéro commun le point 0. On pose :
q>w-Ey-il^wla,    p-i-aâtp,
r=i3âLog|F|,       |F|,=sup|2|<r|F(z)|.
Les formules de Jensen du paragraphe 1 permettent de minorer la quantité LoglFIjj/IF^parlamassemoyenneducourant rrelativementàlaforme p.
Théorème 2. - // existe une constante Ce]0, 1] ne dépendant que des polynômes Pu ..., PN telle que pour tout R^r^l on ait :
f CR2$ dt C	IFI
-	FAP"-1<(25rTt"-1Log|-f.
J ,2.      l    J<p(*)<'	,rlr
Démonstration. - Procédons d'abord à une première réduction. D'après le principe du maximum on a |F|r=|F(a)| avec \a\ = r; effectuons une dilatation de l'espace de manière à nous ramener à la situation dans laquelle r=l,a=0.
Posons :	.
$a = idôya,       Y = /d5i|/, Fa(z) = F(rz + a\       7>-33Log|F.|.
71
Pour tout R^r, l'inégalité du théorème 2 résultera de l'inégalité : soit, quitte à remplacer (Ffl, Ta) par (F, T) et R par rRC~1/2& :
(16)    I, r-L^-'^-'-'^wk-
pour tout R^l; on choisira alors C"1/2ô=l + C1.
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92	J.-P. DEMAILLY
Étape 2. - Pour établir (16), nous écrirons PJ"1 sous la forme : PU-1 = y"""1 + termes de degré inférieur
et nous décomposerons le premier membre de (16) en la somme de la partie
Ç#*dt f
principale	-	Ta y"  S  et  d'un  certain  nombre  de  termes
correctifs. Il est clair qu'il existe des constantes C2, ..., C7 telles que :
(17) (18) (19)
(20) (21)
|r|<C2(l + q>.(2)).1/M,
C;l\z\2t* + (z)*Ci\z\U,
Mz)*V.(z)+C4(l + \z\y
28-1
P^Y + Qd + lzl)28"3!!,       où   îi = ^|z|2,
P--1<Y»-1+C<.(1 + |Z|)2(.-1)(J-1)-1T1»-1)
P:-1<C,(l + |2|)a<"-1)<,-1>T|"-1.
D'après (17) et (19), on a : sup,.w<, ^ (z) < suP«>.,<.->- » ^ (r)
0 + Cl(l+C2(l + /)1'2S)2S-1<f+<V
ce qui donne :
BI
J   1       '     J<P.(*)<<
t-ap:
7-Ap;-
J x       *     J<|r(z)<Ml+C"r
-c,***
-(I + CïoU-1'")	TApr1,
1      M	J*<«)<«
avec le changement de variable u = / (1 + C8 f  l/2S). En combinant avec (20) on obtient le majorant :
(22) avec : (23)
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FORMULES DE JENSEN EN PLUSIEURS VARIABLES
93
(24)	/2 = C6 fC,*"^f       (l + lzD^'-^-v-iTAT)"-1.
J  1	U   J+(z)<u
Étape 3. - La partie principale (premier terme de (22)) sera estimée à l'aide du corollaire 4 et du lemme élémentaire qui suit.
Lemme 3. - yn=(idd Log \|0"s0   sur C"\{0}.
En effet, la fonction \|f est homogène de degré 2 5; la forme y = idô Log \|f provient donc par passage au quotient d'une (1, Informe sur l'espace projectif Pn-! = C"\^0} )/C*.
Le lemme 3 s'ensuit par raison de dimension.    ?
D'après le corollaire 4, il vient :
»C9R26    ,      /-
i *I t^"
0
= ^7cWf	LoglFIy-'A^
-limp^0-^ I	LoglFIy"'^/^.
L'homogénéité des polynômes Qj et les corollaires 5 et 6 entraînent que :
où, sur Fhypersurface orientée {\|/(z) = f}, la forme volume y""1 Aid\|/ est positive. En vertu de (18) on en déduit :
(25)	P* -n[       rAY--1^(28r7t"-1Logi|^f.
Jo     «'W.	IF(°)I
Étape 4. - Estimation du terme correctif Ii + I2-Comme pour (25), on montre que :
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94
J.-P. DEMAUXY
On vérifie aisément [<f. (18), (21), (23), (24)] qu'on a la majoration :
(27)	h+h + CnX	Wê    du\	7a tv""1
ÇC»R2    dt    Ç	B-1
<ci*	-n+ci/2)	Tati"    ,
J1    l        Jlll2«
[effectuer le changement de variable u^(t/C\^)% D'autre part, on peut écrire :
(28)	f ^ f       T^u-l<\'-Jm\       TavT1
J   1   '	J|x|2</	J  1 l	Jl*la<l
où pour tout couple (f, u) tel que r<p<u,ona(çf. corollaire 2) :
Intégrons    les    deux    membres    de    l'inégalité    avec    le    poids 1/Logpj   (<fo/u)x?:
'     Jui><,	LogpJ "«".)",,<"
D vient donc (ç/: (26), (28)) :
J   1   '	J|z|2</
*(db--")DL--
^Logp     ë|F(0)|' d'où finalement (cf. (22), (25), (27), (29)) :
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FORMULES DE JENSEN EN PLUSIEURS VARIABLES	95
EtapeS. - Ilneresteplusqu'àfairedisparaîtrelefacteur(l+(C17/Logiî)) pour rendre la formule (30) plus esthétique.
Comme lafonction tv-> 1/f""1	Ta pj"1 est croissante, l'expression
-a"       r	J*-(z)<'
Ta pj"1 est fonction convexe de la variable LogR.
On a donc : Log(Rec") Ç*"dt f       "   0..,^rC",M^

d'après (30), avec Cl =C18 eCil. L'inégalité (16) en résulte.   ?
Le lemme de Schwarz précédent est d'autant plus utile que les fonctions F, Pl9 ..., PN ont de nombreux zéros communs. En combinant le théorème 2 avec la proposition 1, on obtient ainsi la :
Proposition 3. - Soient Pl9 ...,PN ^s polynômes de degré 8 de C[zu ..., zn], dont les parties homogènes de plus haut degré admettent pour unique zéro commun F origine. Il existe une constante C{^\ ayant les propriétés suivantes. Soit F une fonction entière dans C". Soit R^r^l et w^ ..., wm des zéros deux à deux distincts de F, Pl9 ..., PN d'ordre ^s, sx, ..., ss respectivement, avec sl^.s2 < -.. ^%. Alors :
Log | F |r<Log | F \R -m^Lll^lLog
Démonstration. - Les zéros communs aux polynômes Pl9 P2, ..., PN sont isolés. Il existe par conséquent des voisinages ouverts disjoints ½l9 2, ..., com des points wl9 w2, .. .,wm tels que supz6ôa)/<p(z)>0, où les
co
notations <p, P, T conservent la même signification que dans le théorème 2. Lorsque r est assez petit, la proposition 1 montre que :
(2


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J.-P. DEMAILLY
La minoration est donc vraie quel que soit r>0, ce qui entraîne :
CR2i
TAF-1M2ny-1mss1...sH_lLog-^ir
La proposition 3 résulte alors du théorème 2 (avec C^C"1'25).    ? Soit maintenant S une partie quelconque de C". On note <ol (S) le degré minimal des hypersuifaces algébriques qui contiennent S (s'il n'existe pas de telles hypersuifaces, on pose ©j (S)= + oo). Nous énoncerons un lemme de Schwarz relatif aux fonctions qui s'annulent sur S.
Corollaire 7. - Soit S une partie de C* et S un entier tel que b^(ù1 (S). Il existe une constante C2^l telle que si F est une fonction entière ayant en chaque point de S un zéro d'ordre > f, on ait pour tout R^r^l :
*     ,*?    t     ,*,       8(8+1)... (6+n-l).       R Démonstration. - Notons :
m(8)
/8+n-l\    (S + l)...(8+n-l)
-{      n      )-	. "!
la dimension de l'espace vectoriel C [z]B des polynômes de degré < ô dans C". Un raisonnement élémentaire d'algèbre linéaire conduit au résultat suivant.
Lemme 4. - On peut trouver m = m(6) points wl9w2, ..., wme S qui ne sont situés sur aucune hypersurface de degré < 8. // existe alors un unique polynôme de degré <8 prenant des valeurs données aux points wl9 w2, ..., wm.
En effet les différentes formes linéaires sur C[z]6 définies par P\->P(w), weS, s'annulent simultanément pour le seul polynôme P=0 (par hypothèse ©1(5)^S). On peut donc trouver m=m(5) formes (correspondant à des points wl9 ..., wmeS) qui constituent une base de l'espace dual C [z]J. Les affirmations du lemme 4 ne sont qu'une autre formulation de cette propriété.    ?
En particulier, il existe des polynômes Pl9 ..., PN de degré 6, s'annulant aux points wl9 ..., wm, et dont les parties homogènes de plus haut degré forment une base de l'espace des polynômes homogènes de degré 6. Le corollaire 7 est donc conséquence de la proposition 3 en prenant m = m(8),
S=f, 5j=52= ... =5^=1.      ? TOME 110 -  1982 - N°l
FORMULES DE JENSEN EN PLUSIEURS VARIABLES	97
Nous pouvons améliorer l'inégalité du corollaire 7 moyennant des renseignements supplémentaires sur la répartition des points de S. Si S est un produit cartésien S=St xS2 x ... xSH suivant les directions d'une base de C", il est facile de montrer qu'on peut remplacer le nombre :
8(8 + 1).. .(S+ii-l) /IÎ8"-1
par tout entier 8 tel que :
8^û)1(S)=min1</<ncardS|..
Nous   supposerons   ici   que   S   contient   un   polytope   complet   à
m(8)= I	j sommets : autrement dit, il existe 8 + n-1 hyperplans
affines H/czCn, concourants n à n, d'intersections vides n+làw + 1, et tels que S contienne les sommets Wj du polytope (intersections des familles de n hyperplans (Hj)jeJ, Jc{l, 2, ...,8+w-l}, |J| = n). Cette hypothèse est vérifiée notamment dans le cas (ù1(S)^2, avec 8=2, m(2)=n+l.
Soit Aj une forme affine définissant HJ9 et posons :
pour toute partie / de {1, 2, ..., 8+w - 1}. Il est clair que : Mw^O,       si   |J|«n,       /#J,
Les polynômes (Âj\j^" forment donc une base de l'espace des polynômes de degré <8, de sorte que :
û>i(K;|./|="})=8.
On observe que le polynôme Pk= £|/|-*-*^/> K&^/i, a pour degré 8+k-1 et que Pk s'annule à l'ordre k en chaque point wy, il est aisé de vérifier d'autre part que les parties homogènes de plus haut degré des polynômes Pu ...,Pn n'ont pas d'autre zéro commun que le point 0. Posons x = 8 (8 +1 )... (8 + n - 1 ); si l'on applique la proposition 3 aux polynômes de degré x :
dt/6    pt/6 +1	pt/6 + n -1
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98
.     J.-P. DEMAILLY
avec m=m(5)9 s=t9 sk=kx/b+k-l9 il vient : Corollaire 8. - Soit S une partie de C" contenant un poly tope complet à sommets. Il existe une constante C3^l, telle que si F est une
V      n      )
fonction entière ayant en chaque point de S un zéro (Tordre ^ /, on ait pour tout R^r^l :
i «i  ^x     i »?       o + w*--l_       R
Log|F|r<Log|F|K-/	L°êF-;-
n	C3r
4. Nouvelle démonstration du théorème de Bombieri
Nous allons établir le théorème de Bombieri au moyen des lemmes de Schwarz énoncés au paragraphe 3. Soit K un corps de nombres. On note [K : Q] son degré, et on pose :
PC:Q]]=[*::Q]       si   XcR, [[K:Q]] = i[K:Q] sinon.
Théorème 3. - Soient fl9 .. .9fp des fonctions méromorphes dans C", telles que fl9 ..., fd(n<d^p) soient algébriquement indépendantes sur Q et dordres finis pl9 ..., pd. On suppose que les dérivations d/dzl9 ..., d/dzn appliquent Panneau K[fl9 ...9fp] dans lui-même. Alors F ensemble S des points zeC", distincts des pôles des fj9 tels que (/i(z), .. .9fp(z))eKp9 est contenu dans une hypersurface algébrique dont le degré 8 vérifie la majoration :
8(5 + l)      (S+W-l)<gi±_11±p£
nlo    x	d-n
Démonstration. - Si l'ensemble S n'est pas contenu dans une hypersurface algébrique de degré <6, le raisonnement d'algèbre linéaire du lemme 4 montre qu'on peut trouver m=m(5) points wl9 w2, ..., wmeS qui ne sont situés sur aucune hypersurface de degré <5. Quitte à remplacer pl9 ..., pd par les nombres pi+ e, ..., pd + e, on peut supposer Pj>Oetfj=gj/hj avec :
\gj(z)\ + \hj{z)\*ciLp(Bj\zir' + Cj),       l^j**d, hj(wk)*09       l^j^d,       Kk*m.
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FORMULES DE JENSEN EN PLUSIEURS VARIABLES
99
Les     méthodes     arithmétiques     classiques     (voir     par     exemple M. Waldschmidt [10], §5.4) permettent alors d'obtenir le résultat suivant.
Lemme 5. - // existe des constantes positives r, Cl9 C2 et une suite (Ft) de fonctions entières dans C" (où t décrit une partie infinie 2T de H) telles que :
(31)	Ft s'annule à F ordre t aux points wl9 w2, ..., u?m;
(32)	IF,!,^*)-'**";
(33)
/  fd-n  \l/(p1 + ...+p,)
La majoration du théorème 3 résulte aisément du corollaire 7 appliqué à la fonction F = Ft et à R-R(t\ quand f-> +oo.    ? Le théorème 3 entraîne en particulier l'inégalité :
2.	a-n
Ici encore, il est possible de faire mieux si l'on connaît plus précisément l'ensemble S. Dans une première tentative de démonstration en plusieurs variables du théorème 3, S. Lang a montré que si S contenait un produit cartésien S1 x S2 x ... x S" alors on avait :
MS, x ... xS.) = mmu^.cardSJ< Pl*d^Pd[[K:Q]].
D'une manière analogue, les corollaires 7 et 8 fournissent le résultat suivant, qui semble ne pas avoir été établi à ce jour par la méthode des estimations L2.
Proposition 4. - Si w=l, 2, ou si S contient un polytope complet à
1	) sommets (en particulier si ©x (S)= 1, 2) alors :
n	)
col(5H,-l^p1+       +p,
n	d-n
Il paraît naturel de conjecturer que ce résultat reste valable dans tous les cas. La méthode de E. Bombieri, améliorée par H. Skoda [8], en donne une bonne approche :
(34)	^£i±p±££p::Q]].
n	d-n
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J.-P. DEMAILLY
5. Polynômes s'annulant sur une partie finie de C"
Soit S une partie finie de C". Suivant M. Waldschmidt [9], nous noterons, pour tout entier f>0, ©f (S)=degré minimum des polynômes P qui s'annulent à l'ordre t sur S.
De la propriété de sous-additivité :
(ùti+t2(SH<oti(S)+(ùt2(S),
résulte aisément l'égalité suivante, qui est une définition du nombre Q(S) (« degré singulier » de S) :
En utilisant le théorème d'HoRMANDER-BoMBiERi-SKODA (H. Skoda [8]) M. Waldschmidt [10] a démontré l'encadrement :
(35,	_lg>   «WKiffl.
ij-f-W - 1	t2
pour tout couple (ti9 f2) d'entiers positifs; il a prouvé aussi le lemme de Schwarz suivant.
Propositions. - Soient S une partie finie de C" et eun nombre réel,E>0. Il
existe un nombre réel positif r0=r0 (S, e) tel que pour tout entier t>0et pour
toute fonction entière F dans C" ayant en chaque point de S un zéro (Tordre ^ f,
on ait :	~
Log|F|r<Log|F|K-*(ft(S)-e)Log-
pour R^r^r0.
J.-C. Moreau [6] en a déduit un lemme de Schwarz analogue où le nombre f(Q(S)-e) est remplacé par ©,(S)- te. Si S est l'ensemble exceptionnel du théorème 3, la proposition 5 montre que :
(36)	Q(SKP1V'*P'PE:QD.
a - n
En observant d'après (35) appliqué à tx = 1 que :
û>i(S)
TOME 110 -   1982 - N°l
FORMULES DE JENSEN EN PLUSIEURS VARIABLES
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on voit que (36) permet de retrouver la majoration (34). G. V. Chudnovsky [2] a conjecturé que l'on avait l'inégalité plus forte :
(37)	Q(^<MS)+*-l
n
et en a annoncé une démonstration dans le cas « = 2, utilisant la théorie des intersections. Les corollaires 7 et 8 vont nous permettre de démontrer ce résultat sous les hypothèses plus générales de la proposition 4. Choisissons pour fonction entière F un polynôme P de degré (ùt(S) qui s'annule à l'ordre t en tout point de S. Fixons r et faisons tendre R vers + oo. Il vient, avec ô=co1(5) :
(ûAS)>t	nlvASr-i	'
et en faisant à nouveau tendre t vers + oo :
Proposition 6. - Pour toute partie finie S de C", on a :
^owMS)(<»i)(S)+l)M(Oi(S)+tt-l)
Si n = 1,2, ou si S contient unpolytope complet a I	I sommets (en
particulier si (ùx (S)= 1, 2) alors :
^/^    a>i(S) + n-l n
Observons que l'inégalité (37) ne peut pas être améliorée. En effet, avec les
notations du corollaire 8, lorsque S est un polytope complet à I	]
sommets, le polynôme :
P=AX A2 . - - As+n^l,	r.
est de degré ô + « - 1 et s'annule à l'ordre n en tous les points de S. On peut se demander si plus généralement on n'a pas :
Q(S)^-^-?	-,
t + n-1
pour tout entier f >0, mais ce résultat semble inaccessible par les méthodes
précédentes lorsquej^2.
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
102
J.-P. DEMAILLY
BIBLIOGRAPHIE
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p. 267-287 et Vol. 11, 1970, p. 163-166. [2] Chudnovsky (G. V.). - Singular points on complex hypersurfaces and multidimensional
Schwarz lemma, Séminaire Delange-Pisot-Poitou, 21e année, 1979-1980, Progress in
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p. 211-213. [6] Moreau  (J.-C).   -   Lemmes  de  Schwarz en  plusieurs variables et  applications
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190; Lectures Notes in Math., n° 822, Springer Verlag, 1980. [7] Narasimhan (R.). - Introduction to analytic spaces, lecture Notes in Math., n° 25,
Springer Verlag, 1966. [8] Skoda (H.). - Estimations L2 pour l'opérateur 3"et applications arithmétiques, Séminaire
Pierre Lelong, Analyse, année 1975-1976, p. 314-323; Lecture Notes in Math., n° 538,
Springer Verlag, 1977. [9] Waldschmidt (M.). - Propriétés arithmétiques des fonctions de plusieurs variables (II),
Séminaire Pierre Lelong, Analyse, année 1975-1976, p. 108-135; Lecture Notes in Math.,
n° 538, Springer Verlag, 1977. [10] Waldschmidt (M.). - Nombres transcendants et groupes algébriques, Astérisque, n° 69-
70, 1979.
tome 110 - 1982 - n°1