annales scientifiques de l'école normale supérieure Annales scientifiques de l'É.N.S Jean-Pierre Demailly Estimations L2 pour l'opérateur d d'un fibre vectoriel holomorphe semi-positif au-dessus d'une variété kâhlérienne complète Annales scientifiques de l'É.N.S. 4e série, tome 15, n° 3 (1982), p. 457-511. © Gauthier-Villars (Éditions scientifiques et médicales Elsevier), 1982, tous droits réservés. L'accès aux archives de la revue « Annales scientifiques de l'É.N.S. » (http://www. elsevier.com/locate/ansens), implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. 3VUMDAM Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Ann. scient. Ec. Norm. Sup., 4e série, t, 15, 1982, p. 457 à 511. ESTIMATIONS L2 POUR L'OPÉRATEUR d D'UN FIBRÉ VECTORIEL HOLOMORPHE SEMI-POSITIF AU-DESSUS D'UNE VARIÉTÉ KAHLÉRIENNE COMPLÈTE Par Jean-Pierre DEMAILLY TABLE DES MATIÈRES (9.4)Introduction 457 (9.5)Variétés kâhlériennes complètes et faiblement pseudoconvexes 460 (9.6)Rappels sur les notions de courbure et de positivité 465 (9.7)Etude du terme de courbure dans l'identité de Kodaira 468 (9.8)Estimations L2 pour l'opérateur D" 471 (9.9)Estimations avec métriques et poids plurisousharmoniques singuliers 475 (9.10)Théorème de relèvement des sections globales d'un fibré semi-positif par un morphisme surjectif. Théorème d'extension 480 (9.11)Théorèmes d'annulation pour la cohomologie à valeurs dans un fibré positif de rang quelconque. . . 489 (9.12)Régularisation des fonctions plurisousharmoniques sur une variété kàhlérienne 491 (9.13)Théorèmes d'approximation pour les fonctions plurisousharmoniques 503 0. Introduction L'objet de ce travail est d'étendre aux variétés kâhlériennes complètes les estimations L2 de Bochner-Kodaira-Kohn-Hôrmander-Nakano-Skoda pour l'opérateur d. Nous étudierons de manière générale l'opérateur d d'un fibré vectoriel holomorphe hermitien, en nous inspirant de H. Skoda dont les articles [22] à [26] sont à l'origine de la plupart de nos résultats. Dans ses travaux les plus récents sur la question ([24], [25] et [26]) H. Skoda se plaçait, comme S. Nakano [20], sur des variétés faiblement C2-pseudoconvexes. Par définition, une variété X est faiblement (Ck)-pseudoconvexe s'il existe sur X une fonction plurisousharmoni-que exhaustive (de classe Ck). Les variétés compactes et les variétés de Stein sont des exemples de variétés faiblement C00-pseudoconvexes. D'autre part, on a (cf. §1) : Théorème 0.1. - Toute variété kàhlérienne faiblement pseudoconvexe peut être munie d'une métrique kàhlérienne complète. ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE. - 0012-9593/1982/419/$ 5.00 © Gauthier-Villars 458 J.-P. DEMAILLY On généralise ainsi le résultat analogue de S. Nakano [20] pour les variétés faiblement C2-pseudoconvexes. Les variétés kàhlériennes complètes apparaissent en fait comme le cadre naturel de la méthode d'analyse fonctionnelle de L. Hôrmander [14] pour la résolution de l'opérateur d, et certaines simplifications techniques sont possibles dans ce cadre. Un passage à la limite sur la métrique kâhlérienne permet notamment de s'affranchir de la technique des trois poids qui était utilisée antérieurement ([14], [24]). Une autre source d'intérêt des variétés kàhlériennes complètes, outre leur généralité plus grande, réside dans le résultat suivant (prop. 1.6). Théorème 0.2. - Soit X une variété kâhlérienne compacte ou une variété de Stein, et Zun ensemble analytique dans X. Alors X\Z possède une métrique kâhlérienne complète. Pour obtenir des théorèmes d'annulation optimaux, nous avons été amenés à introduire de nouvelles notions de positivité pour les fibres, qui généralisent à la fois les notions de positivité de Ph. Griffiths [12] et de S. Nakano [20]. On dira que le fibre E est s-positif (où s est un entier ^ 1 ) si la forme de courbure c (E) est telle que ic (E) (x, x) > 0 pour tout tenseur non nul xeTX(g)E de rang ^s (voir définitions 2.1 et 2.2). La positivité de Griffiths correspond à s=l, celle de Nakano à s = n = dimX. On a dans ce contexte un théorème d'annulation (th. 7.1), qui généralise le résultat de S. Nakano [20] dans le cas particulier des (n, #)-formes. Théorème 0.3. - Soit E un fibre s-positif au-dessus d'une varié té X faiblement pseudoconvexe. Alors H"'q (X, E) = 0 pour q ^ sup (1, n - s +1 ). Ce théorème s'accompagne d'estimations L2 précises pour l'opérateur <9, qui seront étudiées au paragraphe 4. Le paragraphe 2 contient une synthèse des résultats de [6] et [7] sur les relations entre les différentes notions de positivité (cf. th. 2.6), résultats que nous rappelons brièvement ici. Théorème 0.4. - Soit E un fibre positif au sens de Griffiths, de rang r^2. Alors : (0.1) E® dét E est positif au sens de Nakano; (0.2) E*(x)(détE)s est s-positif pour tout s^l. Les théorèmes 0.3 et 0.4 admettent la conséquence suivante (cor. 7.2 et 7.3). Corollaire 0.5. - Soit E un fibre positif au sens de Griffiths, de rang ^2, au-dessus d'une variété faiblement pseudoconvexe X. Alors : (0.3) Hn'^(X; E®détE) = 0 pour q^l; (0.4) HM'«(X; E*(x)(détE)s) = 0 pour g^sup (1, n - s 4-1) et pour tout q^l si s^r. La propriété (0.3), qui est un théorème de Ph. Griffiths [12], devient ainsi un corollaire du théorème d'annulation de Nakano. Le résultat (0.4) est nouveau à notre connaissance lorsque n - s+l^qE-^Q-*0 une suite exacte de fibres vectoriels holomorphes hermitiens au-dessus de la variété faiblement pseudoconvexe X. Nous démontrons le résultat suivant (th. 7.4 et 7.5). Théorème 0.6. - Soit r le rang de E, k le rang de Q, nia dimension deXetqun entier tel que O^q^n. On pose s = in£(n - q, r-k). Soit M un fibre linéaire hermi tien et L = (détQ)s®M. (0.6) Si E est s-semi-positif et si M est semi-positif (F une des deux hypothèses de positivité étant stricte) alors le fibre N®L est (n-q)-positif et on a : Hw'' + 1(X;N®L) = 0 pour feq. (0.7) Si E est s-semi-positif et si ic(M)}Zzic (détQ), 8>0 alors le morphisme cobord : S : Hn' ' (X; Q®L) -* H"'l + 1 (X; N®L) est nul pour l^q. Sous chacune des deux hypothèses (0.6), (0.7), le morphisme : g: HW/(X;E®L)^HW'Z(X;Q®L) est surjectif Le cas particulier du théorème 0.6 correspondant à q = 0 est dû à H. Skoda[25]. Le cas q = l=0 est particulièrement intéressant, puisqu'il donne des conditions suffisantes assurant la surjectivité du morphisme : g : H"'° (X; E®L) -+ H"' ° (X; Q®L), opérant sur les sections holomorphes globales. La méthode de démonstration est essentiellement la même que celle suivie par H. Skoda [25], et repose sur les liens qui existent entre les formes de courbure c(E), c(N) et l'obstruction au scindage holomorphe de la suite exacte (0.5). Le théorème 0.6 admet lui aussi une version plus précise, avec estimations L2 (th. 6.2 et cor. 6.10), permettant de traiter le cas où le morphisme g dégénère en certains points. Si Z est l'ensemble des points où g dégénère, on peut en effet appliquer le théorème d'existence à la variété X\Z, car X\Z est réunion d'une suite croissante de variétés complètes. Les estimations L2 qui sont obtenues simultanément permettent de prolonger les solutions au travers de l'ensemble analytique Z {cf. Iemme6.9). Certaines hypothèses techniques superflues qui apparaissent dans [24], [25], [26], [5], [7] ont pu ainsi être éliminées. La section 6 s'achève par l'énoncé d'un théorème d'extension pour les fonctions holomorphes. Ce théorème améliore les résultats de B. Jennane [16], et semble optimal. Soit/une section holomorphe d'un fibre E au-dessus de X, définie au voisinage d'un sous-ensemble analytique YcX. On donne une condition suffisante portant sur la courbure de E, qui assure l'existence d'un prolongement F de/à X. Dans le cas où X = Cn, on obtient ainsi ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 460 J.-P. DEMAILLY un théorème de prolongement avec contrôle précis de la croissance (cf. aussi [5]). Le lecteur trouvera certaines applications à l'analyse harmonique dans l'article de C. A. Berenstein et B. A. Taylor [1]. Les sections 8 et 9 sont consacrées à l'étude d'un certain nombre de résultats concernant l'approximation des fonctions plurisousharmoniques sur des variétés kâhlériennes quelconques. L'étape technique cruciale consiste en un procédé de régularisation par des noyaux « symétriques » vis-à-vis de la métrique kàhlérienne . R. Greene et H. Wu [11] ont déjà utilisé des techniques similaires dans le cadre des variétés riemanniennes. Leurs résultats et ceux antérieurs de R. Richberg [21], résolvent de manière satisfaisante le cas des fonctions plurisousharmoniques continues (sur une variété analytique quelconque). Lorsque la variété est supposée de plus kàhlérienne , nous obtenons un théorème général d'approximation (th. 9.1), qui semble nouveau dans le cas des fonctions plurisousharmoniques semi-continues. Ce dernier théorème permet l'introduction de poids singuliers dans les estimations L2 pour l'opérateur d sur des variétés kâhlériennes complètes, non nécessairement de Stein (cf. § 5). Citons quelques-uns des résultats obtenus (cf. cor. 9.3 et th. 9.4). Théorème 0.7. - Soit cp une fonction plurisousharmonique sur une variété kàhlérienne (X, co). Alors il existe une une suite décroissante (cpv) de fonctions de classe Cx sur X et une suite (Xv) de fonctions continues ^0 telles que : (0.8) lim iq>v = v^-A,v©; (0.10) A,v converge vers 0 uniformément sur tout compact de X. L'énoncé qui suit est l'une des étapes essentielles de la démonstration du théorème 0.1. Théorème 0.8. - Soit (X, co) une variété kàhlérienne faiblement pseudoconvexe. Alors il existe des fonctions continues m, M exhaustives sur X, telles que 00 sur X, // existe une fonction \|/ de classe C00 sur X telle que : m ^ \|/ ^ M et id' d"\\f^-X(o. J'adresse mes plus vifs remerciements à M. Henri Skoda, qui m'a suggéré de nombreuses améliorations dans la rédaction de ce travail. 1. Variétés kâhlériennes complètes et faiblement pseudoconvexes Soit X une variété analytique complexe de dimension n. Pour pouvoir résoudre l'opérateur d", nous serons amenés à faire sur X certaines hypothèses de pseudoconvexité. 4e SÉRIE - TOME 15 - 1982 - N°3 FIBRES HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 461 Définition 1.1. - La variétéX sera dite faiblement pseudoconvexe (resp. Ck-pseudoconvexe) s'il existe sur X une fonction cp plurisousharmonique (resp. de classe Ck) et exhaustive, c'est-à-dire que pour tout réel c, l'ouvert X (c) = { z e X; cp (z) < c } est relativement compact dans X. Les variétés de Stein et les variétés compactes sont des exemples de variétés faiblement C °° -pseudoconvexes. Définition 1.2. - On dira que X est une variété kâhlérienne complète si X possède une métrique kâhlérienne ½vérifiant l'une des propriétés équivalentes (1.1), (1.2), (1.3) : (9.14)la distance géodésiqueh associée à co est complète; (9.15)les boules fermées définies par S sont compactes; (9.16)// existe une suite exhaustive (Kv), v = l, 2, . . ., de parties compactes de X et une suite (xv) de fonctions C½ à support compact dans X, telles que : 1 O^Xv^1* Xv=1 sur Kv, D'après S. Nakano [20], une variété kâhlérienne faiblement C2-pseudoconvexe peut toujours être munie d'une métrique kâhlérienne complète. Nous énoncerons ici un résultat un peu plus général. Théorème 1.3. - Toute variété kâhlérienne faiblement pseudoconvexe possède une métrique kâhlérienne complète. Démonstration. - Soit X une variété faiblement pseudoconvexe, et co une métrique kâhlérienne sur X. D'après le théorème 9.4 de l'appendice, il existe une fonction continue M >0 et une fonction exhaustive \|/ de classe C00 sur X telles que : 0^v|/^M et id'd"\\f^---½. M Posons <î) = 3(!> + /0, e~^ est non sommable au voisinage de tout point zeZ en lequel la codimension du germe Zz est au plus égale à oc. Démonstration. - Soit Jz le faisceau d'idéaux des germes de fonctions holomorphes qui s'annulent sur Z. Puisque J>z est cohérent, il existe un recouvrement ouvert localement fini (U/O/ej de X par des ouverts U7- relativement compacts, et pour tout j des fonctions fj v, l^v^v(y), qui engendrent le faisceau Jz au voisinage de U,-. On pose/; = (/,-, v)i^v^v(7), l/;l2 = El/},vl2 v . Comme les/i>v sont des générateurs, chaque quotient \fj\1/\fk\1 est borné sur U; n Ufc\Z; seule cette propriété nous servira en fait par la suite. 4e SÉRIE - TOME 15 - 1982 - N° 3 FIBRES HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 463 Choisissons une famille (Xj) de fonctions de classe C00 sur X, à support Supp XjCzUp telles que : IX?>0, Ix!l/;l2<7 surX. jeJ jeJ c On définit : P=Ix,2l/;l2 = Ixjl/;,vl2, ^ = Logp. j h V En différentiant une première fois, on trouve : Y Y j, v où Uj v est la (1, 0)-forme sur X : On a d'autre part d' (ûj v) = 2 /;, v d d" %j a tÇ dfh v, d'où : P j, v Y j, v r = 1-Y2\fi,X(Xjd'd''xj-d'XjAd"Xj)+WulvAÛhv-d'pAfP. Y j, v K j, V P Dans cette dernière égalité, la première sommation a ses coefficients localement bornés sur X, à cause de l'hypothèse que les quotients \fj\2/\fk\2 sont bornés. Il existe donc une (1,1)-forme réelle y, continue sur X, telle que : . Jf v, i ^ ?! v- . - id' pA d" p P j, v P La forme hermitienne correspondant à la somme des deux derniers termes, calculée sur le vecteur tangent ^eTzX, est donnée par : jïi.^i'-!if. quantité ^0 d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée à l'identité : ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 464 J.-P. DEMAILLY La minoration (1.6) est donc démontrée. L'affirmation (1.7) est facile à vérifier si z est un point régulier de Z. Dans le cas général, il suffit d'observer qu'il y a toujours une suite zk de points réguliers convergeant vers z et tels que la codimension de Z soit la même aux points z et zk. D Il est maintenant facile de prouver l'existence de métriques complètes sur des variétés de la forme X\Z. Théorème 1.5.- Soit (X, oo) une variété kàhlérienne, Z un ensemble analytique dans X et X un ouvert relativement compact de X possédant une métrique kàhlérienne complète co. Alors X\Z est une variété kàhlérienne complète. Remarque 1.6. - Si de plus X est faiblement pseudoconvexe, avec fonction d'exhaustion p.s.h. cp, le théorème 1.5 s'applique en particulier aux ouverts X = X(c) = {zeX; cp(z)0 assez grand : co = d>>(-r^)= ld'd'^_ +4âf (-^)i/4A0 tel que : ^ id'd"\\f ^ " ~ Cco + 7=^0 sur X, donc co ^ co -h 4 i d ( - \|/)1/4 a d" ( - \|/)1/4. Comme \|/ (z) tend vers - oo au voisinage de Z, le raisonnement utilisé en (1.4) et (1.5) montre que co est complète sur X\Z. D Pour obtenir un résultat plus global, il est nécessaire défaire une hypothèse plus forte sur la variété X, en supposant par exemple X compacte ou X de Stein. Le cas où X est une variété de Stein avait déjà été étudié par H. Grauert [10]. On peut énoncer de manière générale : Proposition 1.6. - Soit (X, co) une variété kàhlérienne possédant une fonction d'exhaustion cp p.s.h. sur X et strictement p.s.h. en dehors dun compact de X. Alors pour tout ensemble analytique Z de X, X\Z est une variété kàhlérienne complète. Démonstration. - Rappelons qu'une fonction semi-continue supérieurement est dite strictement p.s.h. si elle est localement somme d'une fonction p.s.h. et d'une fonction strictement p.s.h. de classe C2. Grâce au corollaire 9.5, on peut supposer cp de classe C00. On pose : co = Cco-f id d'(x <> cp -y/-ty), 4e SÉRIE - TOME 15 - 1982 - N°3 FIBRES HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 465 où C est une constante > 0, % une fonction convexe croissante de classe C00 et \|/ la fonction de la proposition 1.4. On choisit C et % de sorte que : (C-l) ½ + x'o(p./-f4/^(-\|/)1/4Aj,,(-\|/)1/4; cd est donc complète sur X\Z. ? 2. Rappels sur les notions de courbure et de positivité Soient X une variété analytique complexe de dimension «, et E un fibré vectoriel holomorphe hermitien de rang r au-dessus de X, dont la métrique est de classe C2. On désigne par D = D' + D" la connexion holomorphe hermitienne du fibré E {cf. A. Douady et J.-L. Verdier [9], exposé III), et par c(E) la forme de courbure de E, qui est définie par : c(E).u = D2w = (D'D" + D"D> pour toute section u de C00 (X; E); ic (E) est donc une (1,1 )-forme réelle à valeurs dans le fibré Herm(E, E) des endomorphismes hermitiens de E. ic(E) sera identifiée à la forme sesquilinéaire hermitienne sur TX®E qui lui correspond canoniquement par la formule : ic{E)(t®e, t®e) = {ic{E){t, ii).e\é) en tout point zeX et avec teTzX,eeEz. Relativement à un couple de bases (dz1, dz2, .. ., dzn) de T* X et (el9 e2, ..., er) de Ez (cette dernière étant orthonormée) on peut écrire : ic(E) = -YJcjklmdzjAdz~k®ef®em, ic(E)(x, x) = YJcjklmxjlxkm, avec : xeTzX®Ez, xjl = (dzj(S)ef){x), (ej, e%, .,., e*) étant la base duale de (el9 e2, ..., er). Définition 12.1. - Soient T et E deux espaces vectoriels complexes de dimensions respectives n et r. Un tenseur x e T® E sera dit de rang s si s est le plus petit entier ^ 0 tel qu'on puisse écrire : s x= Z h®er 0gT> ejeE- ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 466 J.-P. DEMAILLY On dira qu'une forme hermitienne 0 sur T® E est s-semi-positive (où s est un entier ^ 1 ), et on écrira 0^SO, si Q(x, x) = 0 pour tout tenseur xeT®E de rang _£. La forme 0 sera s-positive (0>SO) si 0 (x, x)>0 pour tout tenseur x^O de rang = s. Définition 2.2. - On dira que le fibre hermitienE est s-(semi-) positif si sa forme de courbure 0 = /c(E) est s-(semi) positive sur TZX®EZ en tout pointzeX. Pour s = l, on retrouve la notion de positivité de Ph. Griffiths [12] : 0^0 si Q(t®e, /®x0 et si rs>l (r désignant le rang de E). Démonstration. -(2.1) résulte aisément de la proposition 2.3 et du lemme 2.5. Lorsque E est semi-positif au sens de Griffiths, il est classique que E* est semi-négatif en ce sens (i. e. E*^^). La conclusion (2.2) résulte donc du corollaire 2.4 appliqué à 0=-/c(E*), compte tenu de l'égalité : zc(E*®(dét E)s) = /c(E*)-sTrEwc(E*). ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 468 J.-P. DEMAILLY Si de plus E > l0, il existe une formé hermitienne positive co sur TX telle que ic (E) ^ l co ® IdF, d'où : 0=-/c(E*)-co(g)IdE*^1O. Le corollaire 2.4 entraîne que : - s Tr ic (E*) + ic (E*) -f (1 - rs) co IdE*^ s0, soit ic (E* (dét E)s) ^ s (rs -1 ) co (g) IdE* > s 0. ? 3. Etude du terme de courbure dans l'identité de Kodaira Soit X une variété analytique complexe de dimension n, munie d'une métrique hermitienne co. On rappelle que l'algèbre AHomR(TX, C) des formes différentielles sur X admet la décomposition en somme directe orthogonale : AHomJTX, C)= 0 AP'«T*X, p + q^n où l'espace Ap'q T* X des formes de bidegré (/?, q) est muni de la métrique naturelle déduite de celle de TX (conventions de A. Weil [29]). On note dV = (ûn/n ! l'élément de volume euclidien de X, A l'adjoint de l'opérateur L de multiplication extérieure par co, de sorte que : Loc = co a a, (Aa| (3) = (a|co a p) pour toutes formes a, Pe AHomR(TX, C). Soit maintenant E un fibre vectoriel holomorphe hermitien de rang r au-dessus de X, dont la métrique est de classe C2. Les opérateurs L et A sont étendus aux espaces de formes Ap'q T* X (x) E à valeurs dans E en tensorisant par IdE. L'inégalité de Kodaira-Nakano (cf. lemme 4.4)fera intervenir un terme de courbure du type (ic(E) A a| a). C'est l'étude de ce terme que nous allons entreprendre. Si 0 est une (1,1 )-forme réelle à valeurs dans Herm(E, E), on définit pour tout entier q=l, 2, ..., n une forme sesquilinéaire 0^ sur les fibres de An*q T* X (x) E en posant en chaque point zeX : e,(q T* X ® E. Lemme 3.2. - La (n, n)-forme \ai\ldV : (9.22)est indépendante de co si q = l, (9.23)décroît lorsque ½ croît si q^l. D'autre part, pour tout nombre réel X^O tel que Q^n_q+1 Xco (x) IdE et tout aeAMT*X(x)Eonfl: (3-4) |oc|^i|a|2. q h Enfin, soit r\ une (0, ly/orme sur X. 0« 0 tf/ors : (3.5) |ti a a|e^ h|.|a|e. Démonstration du lemme 3.1. - Relativement à un couple de bases orthonormées (dz1,dz2, .. ., dzn) de T* X et (el9 e2i . .., er) de Ez, on peut écrire : i n co = - X ^zi A ^ e = ô ^ ^kimdzjAdzk®ef®em lg/, m^r avec c,k/OT = r,7-m/ et pour p e A"^ T* X ® E : r P = Z' X Pj,/^zi a - - - A dzn A dzj®et, \J\=q 1 = 1 où la notation ]T' signifie que la sommation est étendue à tous les multi-indices J croissants. On vérifie que : /\ Ap = 2 Yj Z ( - l)n_,7Pjj,/^zi A - - - A dzj a . . . a dzn a dzj (x) ^ |J|=?-i i^/^/i (la notation dzj rappelant que le terme dzj est omis), et que : (3.6) 60. L'isométrie a1/2 : (TZX, co')->(TzX, co) qui à tout (tj)lûjûn associe (a)'2 tj)lûjûn induit un isomorphisme métrique : (AT*X, ©)->(AT*X, co7). Si ( | )', | |', A', dV' sont respectivement associés à co', on a donc : A' = all2Aa-112, (IP;j,*|2 = q +1 T* X on a : |(îlAa|p)|2=|(ah jp)|2^|a|^(iTjp,^Jp), où T| J P désigne le produit intérieur de p par r|. Pour démontrer (3.5), il suffit donc de vérifier : (3.7) e,6Tjp,n jp)ghi2e,+1(P,P), et pour cela, on peut supposer que r\ = dzs. Il vient | r| |2 = 2 : r| J p = 2 £' Z $shidziA --- *dznAdzj®eh \J\=q 1=1 0q(^Jp,^Jp) = 2" + ^2 £' I ^mPsA/P^- Si l'on compare cette inégalité à l'égalité (3.6) où # -f-1 est substitué à q, la ligne (3.7) devient évidente. ? Nous aurons besoin aussi du résultat simple qui suit. Lemme 3.3. - Soit co et co' deux formes hermitiennes sur TX telles que ½^co'. Pour tout aeAn'*T*X(x)E, ^ = 0,1, ...,n,ona \a\'2dV'^ \a\2dV. r Démonstration. - Posons oc= ]T' £ otj /O^ a ... aJz" a dzJ®el, avec les mêmes |J|=? « = i notations que dans le lemme 3.2. Il vient : dV' = a1a2. . .andV avec #,^1, |a|2 = 2"+"XlocJ,;|2, J, / |ar2" f=g et : 1 \g\2dV. D Le théorème 4.1 sera une conséquence simple de l'inégalité de Kodaira-Nakano, moyennant l'utilisation de la méthode d'analyse fonctionnelle de L. Hôrmander [14]. On désigne par £^p q (X; E) l'espace des (/?, #)-formes de classe C00 à support compact dans X et à valeurs dans E, et par L2 q (X; E) l'espace de Hilbert des (/?, <7)-formes à coefficients L2C, muni de la norme : Jx \u\2dV. 4e SÉRIE - TOME 15 -r- 1982 - N°3 T S t 2 ->T2 -? T 2 ^p, q- 1 ^ ^p, q ^ ^p, q+ 1 FIBRES HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 473 D'après L. Hôrmander [14], lemme 5.2.1, on a le résultat suivant : Lemme 4.3. - Si la métrique co est complète [hypothèse (1.3) vérifiée] 2p> q (X; E) est dense dans Dom T* n Dom S pour la norme du graphe : u-,||u||+||T*ii||+||Sii||. Soit maintenant 8" l'adjoint formel de l'opérateur D", défini par : (S"u\v)dV = (u\d"v)dV I (S"u\v)dV= i JX JX pour toutes formes ue2PtQ(X; E), ve@pq_1(X; E). Le lemme 4.3 montre que T* coïncide avec l'opérateur 8" calculé au sens des distributions. Les opérateurs D" et 8" vérifient par ailleurs l'inégalité fondamentale suivante (cf. A, Douady et J.-L. Verdier [9], exposé III, th. 3). Lemme 4.4 (Inégalité de Kodaira-Nakano). %- Pour toute forme ue!3>n q(X; E), on a : |D"w||2 + ||8'w||2^ (ic(E) Au\u)dV. Démonstration du théorème 4.1. - Nous supposerons provisoirement que la métrique co est complète. Considérons les deux opérateurs D" décrits plus haut, avec p = n : T S ^n, q-1 ^n, q ^n, q+1' Les lemmes 4.3 et 4.4 montrent que : ||T*W||2 + ||SW||2^ (ic(E)\u\u)dV pour toute forme u e Dom S n Dom T* [on notera que (ic (E) A u | u) ^ 0 d'après le lemme 3.1 et l'hypothèse ic(E)7^n_q + 10]. L'inégalité (3.1) et l'inégalité de Cauchy-Schwarz impliquent : \(g\u)\2è\ \gtfwdV. (ic(E) Au\u)dV^ g|2¤_1(X; E; loc). La limite faible / est telle que : D"f=g et \f\ldV^ \g\ï)c + i(d' d" cp)s, où la partie singulière i(d'd" (p)s est un courant ^0 de bidegré (1, 1), et où la partie absolument continue i(d' d" cp)c est une (1, l)-forme localement minorée à coefficients L^. On multiplie la métrique de E par le poids e~*. Il sera commode de poser : c(E, cp) = c(E)+ (s(X;E)ll^LÎ),+1(X;EV Si (xv) est ^a famille de fonctions tronquantes de la définition 1.2 (1.3) et si 1/eL2 q(X; E; loc), l'inégalité de Cauchy-Schwarz donne : l(Xv£l«)J2^ SuppXv \g\led\l.{eA%,u\xvu)^ où l'on pose : (5.7) 0 = 0^ = 0^- ½(x)IdF, D'autre part, pour tout ueDom T* n Dom S^, les lemmes 4.3 et 4.4 montrent que : |TÎ(Xvu)l|2M + ||S*(xvu)||23(/C(E)MAXvt<|xvu: M' 4e SÉRIE - TOME 15 - 1982 - N° 3 FIBRES HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 477 D'après (4.3), (4.7) et le lemme 3.2, il vient : (®AXvW|XvW)^(^(E)MAxvw|xvw)MH-(UMH- -jcoAXvWlXvWJ Comme T* (xv u) = xv T* u - d! xv -I u et SM (xv, u) = xv SM u + d" xv a m, on voit aisément en utilisant (1.3) que : Il T* (xv m) ||Jh- || SM(Xv «) IIS g(l + -V||T*M||2 + ||SMu||2J + (l+v)(||v = (l + - SuppXv \g\l@cN. Cette estimation va nous permettre de démontrer le théorème 5.1 par récurrence sur n - q. (a) Le cas q = n est particulièrement simple; (5.8) s'écrit en effet dans ce cas : l(Xv.?l«g2^A( l|T>||2 + 9||^2xv«H2M + -||u||2), pour tout me Dom T*. D'après le théorème de Hahn-Banach appliqué pour chaque u et chaque v fixés, il existe/^ vv, wv dans L2 n_1 (X; E^ tels que : (5.9) et : (I/mI^KJm+KI2.)^^ (Zv^l«)M = (/(.|T*u)(1 + (^k1/2^/2Xv")M + («' pour tout weDomT*; ceci entraîne que : Xvg = D"/, + ?1/2^/2Xv^ + 0) 2\i/2 ANNALES SCIENTIFIQUES DE L ECOLE NORMALE SUPERIEURE 478 J.-P. DEMAILLY Faisons tendre |a vers + oo, v étant fixé. On peut extraire de (/M) et (w^) des sous-suites qui convergent faiblement vers des limites fv et wv dans Lj^.. Comme q1/2 XXJ2 xv *V tend vers zéro dans L^. (pour la topologie forte) d'après (5.5), (5.6) et (5.9), on obtient : '2\1/2 ou : {\p\2 + \wv\2)(N^\\m supA. (5.3) et (5.7) montrent que 0^n_^ + 1(l/^v)co®ldE; le lemme 3.2 (3.4) fournit donc l#l2.0^v|g-|2:gv|g|2. Le théorème de convergence dominée implique d'après (5.4) : lim supAfgl-lH- ?1 I S Lc(E) + (l/<7v)G),'(xvg) = l(Xvfl«)"l2^(l^)[l(Xv«l«i)Ml2 + v||gv|lîl|«2|l3 ^ 1 + - I(Xv^I«i)mI2 + -II«IIî l^l2,E)^v En combinant cette estimation avec l'inégalité (5.8) appliquée à u1 e Dom T* n Ker SM on obtient : |(Xv«l«)Ml2^(H-|)A(||T*tt||î + ?||A.J;/2Xv«illî)+*ll«llî. 4e SÉRIE - TOME 15 1982 - n°3 FIBRES HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 479 avec : B= 1 + - 2A+ \g$E)dV). Notons PM : L^4(X; E)M -» Ker SM la projection orthogonale sur Ker S^. D'après le théorème de Hahn-Banach, il existe des formes f^v^, w^ dans L2>(Z(X; E)^ telles que : II/JÎ+IKII^(i4-^)a, IKIIÏ^*. (5.10) (Xv^l")M = (/JT»M + (z;k1/2^2XvPM«)M + KI«) pour tout weDom T*, c'est-à-dire : (c) La seule difficulté nouvelle par rapport à la partie (a) du raisonnement est de montrer que le terme «M = PM(^Jl/2xvi;^) tend faiblement vers zéro dans L^ quand li->+oo. D'après (5.6), (5.10) et la définition de PM on voit que : (5.H) f \aXdVS [ MXv^|2,^V^sup(^).IKII2^Cv, Jx Jx où Cv est une constante. Notons H^ (resp. H) l'unique opérateur hermitien positif sur les fibres de (E, | |J tel que pour tout eeE on ait : I^HIVU (resp. \e\ = \UeU). On a donc pour tout \i : IdE^H^^H^+1, et H^ tend vers H presque partout sur X. Comme la boule unité de L2 q (X; E)x est compacte et métrisable pour la topologie faible, il suffit de vérifier que la limite faible de toute suite extraite de la suite HM a^ est nulle. Si la sous-suite è^ = HM attend faiblement versé e L2 JX; E)1? alors pour toute forme weL^(X; E)t à support compact, il vient : lim (a \u)1dV= lim H -> 4- oo (bvt\H;lu)1dV=\ (ilH-'tOidV, x Jx car d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz : 1 (^KH"1-^1)!!)^ ^IIMIilKH-^H-1)!!^ où II bp \\l = Il a^ ||2 ^ Cv [2(X), une (1, \)-forme réelle y^O à coefficients L^., unfibré linéaire M tels que {au sens des courants) : (6.1) ic (M) + id' d"y-s ic (dét Q) ^ y. Alors pour toute (n, q)-forme D"-fermée f à valeurs dans Q®M, telle que l'intégrale : /* A= (l+s[^(détQ) :y])(g~g*f\f)(détgg*)-se-»dV Jx\z soit finie, il existe une (n, q)-forme D"-fermée h à valeurs dans E® M, telle quef=g. h, vérifiant la majoration : \h\2(dét gg*)-se-*dV^A. Jx\z Remarque 6.3. - Le théorème 6.2 est vrai sous l'hypothèse de positivité suivante, plus générale mais moins manipulable : (6.2) ic(E) + (ic(M) + id'd" Q est surjectif, et on considère la suite exacte de fibres holomorphes au-dessus de X : (6.3) 0->N-»E-^Q^0, où N est le fibré noyau de g. Les fibres N, Q seront provisoirement munis des métriques induites par celle de E. La connexion hermitienne canonique DE de E se décompose suivant le scindage orthogonal E = N©Q de la manière suivante : où DN et DQ sont les connexions hermitiennes sur N et Q, où (3 g #£ 0 (X, Hom (N, Q)), et où P* e<%o, i (x> Hom(Q, N)) est l'adjoint de p. Il est classique que la forme D"-fermée - p* représente l'obstruction au scindage holomorphe de la suite exacte (6.3). Considérons la suite exacte (6.3) tensorisée par M : (6.4) 0 -> N® M -? E® M -^ Q® M - 0. Le théorème 6.2 est trivial si s = 0. Si s^l, on cherche un relèvement h de la section feLlq(X; Q®M; (p) en écrivant : h=f+u où u est une (n, #)-forme à valeurs dans le fibré noyau N® M. h sera une forme D"-fermée si et seulement si : (6.5) D;>=-D^=p*/ On est donc ramené à résoudre un D" à valeurs dans N®M. La résolution est possible grâce au théorème 5.1 et grâce au fait que la forme de courbure c(N) du fibré noyau s'exprime à l'aide de P*. Un calcul classique montre que : D^-p*Ap -Dp* \ Dp D£-pAp*/ On en déduit les courbures de N et Q : (9.30)c(N) = c(E)|n + |3*aP, (9.31)c(Q) = c(E)|Q + pAp*. L'idée du lemme 6.6 ci-dessous est déjà essentiellement contenue dans [22]. Le corollaire 2.4 nous permettra d'obtenir un énoncé plus général et une démonstration plus courte. 4e SÉRIE - TOME 15 - 1982 - N°3 FIBRES HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 483 Lemme 6.6. - On a les inégalités de semi-positivité : (6.8) /pAp^O, ï'P*aP^10; (6.9) -/p*Ap^^TrQ(/pAp*)(8)IdN; et sous Vhypothise E^s0 : (6.10) fc(détQ)^TrQ(ïPAp*); (6.11) MN)^szc(E)|N-s/c(détQ)(x)IdN ^s-sic (dét Q)(g)IdN. Démonstration. - Pour obtenir (6.8), il suffit d'observer que quels que soient les éléments teTX, eeQ (resp. eeN) on a : (iPAp*(/,i0.ek)=(p(0P(0*^k)=IP(0*^l2 [resp.(/p*AP(r,ï0.^k) = (-P(0*P(0^k)=-IP(O^I2]. (6.9) résulte de (6.8) et de l'égalité TrN(-/p* a P) = TrQ(z'P a P*), en appliquant le corollaire 2.4 à la forme 0= - / p* a p. Lorsque E^s0, onaen particulier E^x0, et (6.7) implique : îc(détQ)=TrQ(/C(E)IQ)+TrQ(iPAp*)^TrQ(iPAp*), d'où (6.10). Enfin (6.11) est conséquence immédiate de (6.6), (6.9) et (6.10). ? Nous admettrons d'autre part le résultat élémentaire suivant : Lemme 6.1 (cf. H. Skoda [25], lemmes (3.2) et (3.4)). - Pour toute (n, q + \)-forme v à valeurs dans M®N, on a : (/p*ApAt;|î;)=-|P_Jt;|2. Conformément aux notations introduites au début du paragraphe 5, posons : c(N®M, ^[MdétQ):Y]|/|2. Démonstration. - Pour toute (n, q +1 )-forme v à valeurs dans les fibres de N (g) M, on a : l(P*/U')l2 = lt/'IP-lP)l2^l/l2IP-li'l2. Les hypothèses (6.1) ou (6.2) et les lemmes 2.5, 6.6 (6.11) impliquent : ic(N®M, E réalise le scindage orthogonal de la suite exacte (6.3). La métrique quotient | T sur Q s'exprime donc en fonction de la métrique initiale | | par : (?£*f\f) i/r2=ig*fe^*r1/i2=(te*r1/i/)=^^y, où gg* est l'endomorphisme cotransposé de gg*. Les métriques correspondantes sur dét Q sont reliées par : M'2=,,[?'*, "edétQ; detfeg*) si c' (dét Q) désigne la forme de courbure de dét Q relativement à la métrique quotient, on a donc : (6.13) c,(détQ) = c(détQ) + ^^,,Logdét(gg*). 4e SÉRIE - TOME 15 - 1982 - N°3 FIBRES HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 485 La condition (6.1) imposée à la métrique de M devient donc : (6.14) ic(M) + id' d" y-sic(détQ)-sid' d"Logdét(gg*)^y. En remplaçant cp par

(z) 0. Le troisième terme sera estimé au moyen de l'inégalité de Cauchy-Schwarz (dk désignant la mesure de Lebesgue sur C) : v a d" %e a h < zj^e \v a h\2dk. Supp h \d"XJ2dk; puisque i;eL,2oc(Q) l'intégrale | v a h\2 dX tend vers zéro quand e -? 0, tandis que : supp h d"xe\2dk^-2- xVolume (Supp Andzjge})^Cte. D Remarque 6.10. - Le théorème 6.2 est vrai plus généralement si on remplace l'hypothèse de faible pseudoconvexité de X par l'hypothèse que X est réunion d'une suite croissante X de variétés kâhlériennes complètes, ouvertes et relativement compactes dans X. D Un cas particulier important du théorème 6.2 sera obtenu en choisissant y = 8 ic' (dét Q) et en remplaçant cp par cp + e Log dét(gg*) [compte tenu de (6.13)]. On en déduit des estimations particulièrement simples et satisfaisantes, qui généralisent aux («, #)-formes les résultats de H. Skoda relatifs au relèvement des sections holomorphes globales ([25], th. 2). Corollaire 6.11. - On suppose que la variété kâhlérienne (X, co) est complète (resp. faiblement pseudoconvexe si g n'est pas surjectif), et que E est s -semi-positif [avec s = inf (n - q, r-k)].On se donne un réels> 0, une fonction cp localement plurisousharmonique modulo %>2 (X), un fibre linéaire M sur X tels que : ic (M) + id'd"(p-(s + e) ic (dét Q) ^ 0. Alors pour toute (n, q)-forme D"-fermée f à valeurs dans Q (g) M, telle que l'intégrale : A = x\z (gg* g\f)(àètgg*) *e-*dV soit finie, il existe une {n, q)-forme D" fermée h à valeurs dans E (g) M, telle que f=g.h, vérifiant F estimation : x\z \h\2(détgg*ys-£e-*dV^ 1 + - A. Chronologiquement, le théorème 6.2 et le corollaire 6.11 ont trouvé leur origine dans l'étude des idéaux des algèbres de fonctions holomorphes avec poids. Les articles initiaux de L. Hôrmander [15] et de J. J. Kelleher-B. A. Taylor [17] utilisaient le double complexe de 4e SÉRIE - TOME 15 - 1982 - N° 3 FIBRES HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 487 Koszul. H. Skoda [22], [23] a montré ensuite comment on pouvait obtenir des résultats optimaux en adaptant convenablement la méthode d'analyse fonctionnelle de L. Hôrmander. Les théorèmes énoncés alors correspondaient au cas très particulier où E, Q sont des fibres triviaux au-dessus d'un ouvert pseudoconvexe de C" (et au cas q = 0 des n-formes holomorphes, i. e. des fonctions holomorphes). J. Briançon et H. Skoda [3], [4] ont déduit de ces résultats certaines propriétés fines d'algèbre locale, prouvant ainsi que les théorèmes en question sont déjà localement non triviaux. Enfin, H. Skoda [24], [25] et [26] a étudié les morphismes surjectifs de fibres semi-positifs dans une situation générale qui a été essentiellement reproduite ici. K. Diederich et P. Pflug [8] ont récemment démontré le corollaire 6.11 dans le cas particulier où g est un morphisme surjectif de fibres triviaux au-dessus d'un domaine kâhlérien complet QcC". Ce résultat est un outil très utile pour étudier la structure de tels domaines (cf. [8], [10]). o Corollaire 6.12. - Soit Q un ouvert kâhlérien complet de C" tel que Q = Q. Alors Q est un ouvert cPholomorphie. o On notera que le corollaire 6.12 est faux si on retire l'hypothèse Q = Q, comme le montre la proposition 1.6. Démonstration. - Soit a = (a1, a2, ...,an)£Cl. On considère le morphisme surjectif n g:QxC"->QxCde fibres triviaux défini par gz(Q = £ (zj-a^j, (z, Ç)eQ x Cn. j=i Le corollaire 6.11, avec (p(z) = (« + l) Log (1+ |z|2), implique l'existence de fonctions holomorphes hx, h2, ..., hn sur Q telles que : t(Zj-aj)hj(z)=l. O L'une des fonctions hj ne se prolonge donc à aucun voisinage du point a. L'hypothèse Q = Q équivaut à dire que les frontières des ensembles Q et Q coïncident. Il en résulte par définition que Q est un ouvert d'holomorphie. ? On considère maintenant le problème de l'extension des fonctions holomorphes définies sur une sous-variété fermée. Comme dans notre article précédent [5], nous envisageons aussi le prolongement de sections à valeurs dans un fibre holomorphe (avec hypothèse de semi-positivité), généralisant ainsi les résultats de B. Jennane [16]. Le point de vue adopté a permis d'obtenir un énoncé plus géométrique et plus précis. Le lecteur trouvera des résultats connexes, avec application à l'analyse harmonique, dans l'article de C. A. Berenstein et B. A. Taylor [1]. Soit Y une sous-variété fermée de X. On suppose que Y est le lieu des zéros d'une section a d'un fibre hermitien S de rang s et de classe C2 au-dessus de X. Soit d'autre part E un fibre hermitien de classe C2 et / une section holomorphe de E au-dessus de Y. Alors, si l'extension est possible sur un voisinage convenable de Y et si E vérifie ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 488 J.-P. DEMAILLY certaines hypothèses de positivité, il existe une section holomorphe F de E au-dessus de X qui prolonge /. On supposera ici que X est une variété kâhlérienne complète. Théorème 6.13. - On se donne des réels e>0, k>0 tels que la fonction | a | ~2k soit non sommable au voisinage de tout point de Y. On fait F hypothèse de semi-positivité suivante : (îc(S)a|a) (ic(S)a|a) l+|a|2 +* |a (au sens de Nakano). Soient cp, v|/ deux fonctions plurisousharmoniques sur Xet f une section holomorphe de E au-dessus de l'ouvert U= {zeX; \o\20, // existe une fonction holomorphe F sur Q telle que F(z0)=l et : F|2e_

s0 un fibré s-positif au-dessus de X. Alors H* (X; K (g) E) = 0pour #^Sup(l, n-s+1). Démonstration. - D'après l'isomorphisme de Dolbeault, le groupe H*(X; K ® E) est isomorphe au groupe de D"-cohomologie des (n, #)-formes à valeurs dans E. Soit g une («, #)-forme fermée à valeurs dans E et à coefficients L^, avec n - q +1 :g s. L'existence d'une solution L^ à l'équation D" f-g résulte du théorème 5.1 (on remplace

jO est unfibré positif au sens de Grijfiths, on a : H«(X; K®E(x)détE) = 0 pour tout q^\. ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE / 490 J.-P. DEMAILLY Si E est seulement semi-positif au sens de Griffiths, on a : H«(X; K®E®détE®M) = 0 pour tout q^l et tout fibré en droites M>0. Le théorème 2.6 (2.2) et (2.3) entraîne d'autre part le : Corollaire 7.3.- Soit E > t0 un fibré hermitien de rang r, positif au sens de Griffiths. Si rs > 1, on a alors : Uq (X; K ® E* ® (dét E)s) = 0 dans les deux cas suivants : (9.32)#^sup(l, n-s+1); (9.33)q^l et s^r. Si E est seulement semi-positif au sens de Griffiths, chacune des hypothèses (7.1) ou (7.2) entraîne : H«(X; K ® E* ® (dét E)s ® M) = 0 pour tout fibré en droites M>0. Le résultat (7.1) est nouveau à notre connaissance. La partie (7.2) résulte aussi du théorème de Griffiths appliqué au fibré Ar_ l E~ E* ® dét E. Examinons maintenant dans ce contexte les résultats du paragraphe 6. Soit : (7.3) 0->N->E-^Q-*0 une suite exacte de fibres vectoriels holomorphes au-dessus de X. E étant supposé hermitien, on munit N et Q des métriques hermitiennes induites par celle de E. Le théorème 6.2 peut se traduire en un théorème d'annulation, avec hypothèse de positivité stricte. Soient r le rang de E, k le rang de Q, q un entier tel que O^q^n, et s = ir£(n - q, r-k). On se donne d'autre part un fibré linéaire hermitien M sur X, et on désigne par L le fibré en droites K ® (dét Q)s ® M. Considérons la suite exacte longue de cohomologie associée à la suite exacte (7.3), après tensorisation par L : .. .H<(X; N ® L) -> H'(X; E ® L) ^ H'(X; Q ® L) -^ H/ + 1 (X; N ® L)... Nous démontrons le théorème suivant : Théorème7 .4. - Supposons E ^ s 0, M ^ 0, Vune de ces inégalités étant stricte. Alors pour tout entier l^q, on a HI + 1 (X; N ® L) = 0, donc le morphisme : g: H/(X;E®L)^H'(X;Q®L) est sur je et if 4e série - tome 15 - 1982 - n° 3 FIBRES HOI OMORPHFS SFMI-POSITIFS 491 Démonstration. - Le lemme 6.6 (6.11 ) implique N (g) (dét Q)s (g) M > "_q 0 (car le rang de N (g) (dét Q)s (x) M est r-k). Le théorème 7.4 est donc conséquence du théorème 7.1. ? On a d'autre part un théorème d'annulation partielle pour l'image du morphisme cobord 8, moyennant une hypothèse de semi-positivité convenable sur M. Théorème 7.5. - On suppose qu'il existe une fonction £>0 continue sur X telle que /c(M)^8 /V(détQ), E étant toujours s-semi-positif. Alors le morphisme cobord b : H*(X; Q (g) L) -? Hl + 1 (X; N (g) L) est nul pour l^q, c'est-à-dire que le morphisme : g: H'(X;E®L)-H'(X;Q®L) est surjectif. Démonstration. - Conséquence immédiate du théorème 6.2, en choisissant cp pour faire converger les intégrales. ? Pour q = 0, les théorèmes 7.4 et 7.5 sont dus à H. Skoda [25]. Le cas q = l=0 est particulièrement intéressant puisqu'on obtient alors un théorème de relèvement pour les sections holomorphes du fibre Q (g) L. Ces résultats sont à rapprocher du théorème de Le Potier [19] : si E est un fibre de rang r au-dessus d'une variété compacte X, et si E est positif au sens de Griffiths, alors : Hpq(X; E) = H«(X; A"T*X (g) E) = 0 pour p + q^n + r. Ce théorème semble toutefois malaisé à démontrer par un usage direct de l'identité de Kodaira lorsque r>\. 8. Régularisation des fonctions plurisousharmoniques sur une variété kàhlérienne Soit (X, co) une variété kàhlérienne, (p une fonction mesurable sur X. On suppose que cp est, au voisinage de tout point zeX, somme d'une fonction de classe C2 et d'une fonction plurisousharmonique. La décomposition de Lebesgue de id d" <$ est donc de la forme : id' d"<ç> = (id' d' »s + (id d »c, où la partie singulière (id d" cp)s est un courant positif, et où la partie absolument continue (id d"cp)c est minorée par une (1, l)-forme réelle continue. Le premier procédé de régularisation qui vient à l'esprit est le suivant : on se ramène dans une carte locale en tronquant cp à l'aide d'une partition de l'unité, puis on approxime par convolution avec les noyaux standards. Cette méthode ne donne pas de bons résultats, car elle ne respecte pas les symétries du problème. C'est pourquoi nous serons amenés à travailler plutôt avec un noyau « symétrique » vis-à-vis de la métrique kàhlérienne co. R. Greene et H. Wu [11] ont déjà utilisé des techniques semblables pour démontrer des théorèmes d'approximation de fonctions convexes, de fonctions plurisousharmoniques continues, etc., ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 492 J.-P. DEMAILLY sur les variétés riemanniennes. La non-continuité de la fonction cp va entraîner ici quelques difficultés techniques supplémentaires. Notons exp : TX -» X l'application exponentielle, qui envoie le vecteur tangent ÇeTzX, zeX, sur le point correspondant expz(Ç) de la géodésique issue de z et de vecteur tangent initial Ç. Si la variété (X, co) n'est pas complète, exp est définie seulement sur un voisinage de la section nulle du fibre tangent TX. Soit % : IR -* IR la fonction de classe C00 définie par : ,Y(r)=-exp( -) si r %eTzX Ce où C = %'(\Ç\2)dk(Q, et où dk désigne la mesure de Lebesgue sur l'espace hermitien TzX(resp. Cn). La fonction cpe est définie sur tout compact KcX dès que 8 est assez petit. Notre objectif est de montrer la convergence de cpe vers cp, et d'étudier le comportement local du Hessien id' d" cpe. Nous aurons besoin pour cela d'un développement limité à l'ordre 3 de expz (Ç). Désignons par n la dimension de X. Au voisinage d'un point fixé 0 g X, on pose : © = - £ ^jkdZj^dzk, relativement à un système de coordonnées locales (zl5 z2, ..., zn) en 0; désormais, tous les indices notés y, k, /, m, /?, q... seront supposés implicitement compris entre 1 et n. Comme la métrique ½ est kâhlérienne par hypothèse, l'équation différentielle des géodésiques va se simplifier. Lemme 8.1. - La géodésique t^u (t) = expz (t Q est la solution du système différentiel du second ordre : avec conditions initiales 4e SÉRIE - TOME 15 - 1982 - N°3 du uk{0) = zk, -^(0) = Çt. FIBRES HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 493 Bien que le lemme 8.1 soit tout à fait classique, nous expliciteront brièvement les calculs pour montrer où intervient le caractère kàhlérien de la métrique. Démonstration. - Comme le problème est local, on peut supposer XcC". Soit u : [0, 1] -? X un chemin de classe C1. On définit l'énergie de u par : Ew-Ifêr*-I! h*?% **- Dans l'ensemble P(z1? z2) des chemins de classe C1 ayant pour origine z1 et pour extrémité z2, les géodésiques sont les chemins qui réalisent un minimum local de l'énergie. On va donc utiliser le calcul des variations pour déterminer l'équation des géodésiques. Soit u g P (z1, z2) et s : [0, 1] -? TX une section de classe C1 de TX au-dessus de w, tangente à P(z1, z2), i. e. s(0) = .s(l) = 0. La différentielle de l'énergie est donnée par : ^ ^ ^^ fVv^ , ,du: dsk _^ d½lk du: duk--\ _ D.E.,-2». j o(g-,M^ ^ I, -g ^ ^..(0)*. Intégrons la première sommation par parties et permutons les indices k et / dans la deuxième. Il vient : x^^ ^^ rir ^ , y^; -7- ^ $<» ik du ; du, -- D"E., = 2Rej y-^M^i*)-^ âf -t ~i^ dcolt du: du,--- __ d(ùn du: du, - Il l Le (A-L. V IL l L La métrique co étant kâhlérienne par hypothèse, la condition 3(0 = 0 se traduit par les relations dcù^ldu^dçùjjdu^ On obtient par conséquent : DfiE.s=-2Re 1 _/__, #U: ^ Ô(Ù:k dU: dU,\ - _ La différentielle DM E est donc nulle si et seulement si u vérifie le système différentiel du lemme 8.1. ? Pour simplifier les calculs ultérieurs, on se placera dans un système de coordonnées géodésiques. L'existence de ces coordonnées est assurée par le lemme suivant : Lemme 8.2. - Soit V un voisinage assez petit du point a°eX. Il existe une application : u = (uu u29 ...,«") : VxV->C" de classe C00, telle que pour tout point z°eV fixé, l'application u(7, z°) : V-? C" soit un système de coordonnées analytiques locales, vérifiant les propriétés : i uk(z°,z°) = 0; (8-3) coJ.fc(M) = S,t-X^lmuii7m + 0(|M|3), \ h m ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 494 J.-P. DEMAILLY dans les coordonnées wfc(jk = &jk + £ ajkl w{ + Y. a'jki ?i i i + I aJklmWiivm + I b.}klmwxwm+ X Vmmiï>xu>m + 0{\w\% l, m l, m l, m où les coefficients ajkl9 a'jkl, ajklm, bjklm, b'jklm sont des fonctions de classe C00 de z°. On peut imposer de plus : (8-7) 0jklm = bjkml, bjklm = bjkml' La métrique co étant hermitienne, les relations coJk = cokj impliquent : (^-8) a'jkl = akjl> ajklm = akjmli °jklm = bkjlm. Le caractère kâhlérien de co se traduit par la condition dco = 0 (soit d®jk/dw t = ô(ùlk/ôu)j), qui entraîne les relations supplémentaires : (^-9) ajkl = alkp ajklm = alkjm> °jklm = blkjm. Posons : uk = ^k + ^ T,ajkiwjwi + ^ Z bjklmwjwlwrn; L j,l J j,l,m 4e SÉRIE - TOME 15 - 1982 - N°3 FIBRES HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 495 si on utilise (8.7), (8.8) et (8.9), un calcul immédiat montre que : duk = dwk + Y,ajklwldwj+ £ bjklmwlwmdwj. j, l j, l, m En comparant avec (8.6), on voit qu'il existe des nombres complexes cjklm tels que : £ duk a duk = a) + - k 2 j, k, l, m = (9 + ô S cjkimUiUmdUj a duk + 0(\u\3). Z j, k, Z, m L'écriture (8.3) en résulte. Les relations (8.4) sont des cas particuliers de (8.8), (8.9) avec ajki = t>jkim = 0, ajkim- ~~cjkim- L'interprétation de la matrice (cjklm) comme tenseur de courbure ne sera pas utilisée de manière essentielle par la suite, et sera donc laissée au lecteur. Soit maintenant uk(t) les coordonnées locales de çxpz(tQ. Le développement limité à l'ordre 1 de uk(t) est donné par : uk(t) = zk+t^k + 0(t2) pour M^l, |Ç|^1, d'où par homogénéité, en écrivant expz(tQ = expz(t'Ç), t, = t\Ct\9\Ç\=l: uk(t) = zk+t^k + 0(t2\ï\2) pour f|Ç|^l, et : ^=Çfc + 0(|Ç|2) pour ^1, Kl^l. Après substitution dans le système différentiel du lemme 8.1, on obtient : -£r= I c,,;mMmÇ,C, + 0(|u|2|Ç|2)= X c,,im(Jm + /UÇ^( + 0(|z|2+|d2)|Ç|2, "' ./'. /- m j,l, m les majorations étant unitbrmes pour t^ 1, | Ç | ^ 1; (8.5) s'en déduit après deux intégrations successives, en faisant t=\. ? Désormais, tous les calculs seront exprimés dans le système de coordonnées (uk) centré en un point a e V. Les majorations qui seront démontrées au point a seront vraies uniformément sur V. Effectuons le changement de variable w = exp_(Ç) dans l'intégrale (8.2) et posons vk = uk - zk\ (8.5) entraîne : (8.10) Zk~vk-± £ c^fj.+ Mi^ + OCM + lzl)*. D'après (8.3), on peut écrire de plus : !Ç|2=co(Ç,/Q=|î1l|2+... + h"|2, ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 496 J.-P. DEMAILLY ou r|=(r|l5 ..., r\n) est un système de coordonnées orthonormées sur les fibres de TX, linéaire en Ç, de classe C00 en z, tel que : (8.-H) - r\u = tk~ Z c^mz,zm^. + 0(|z|3).Ç. Z j, h m Substituons dans (8.11) l'expression de Çfe donnée par (8.10) : (8.12) T)k=*Vk~ £ ^mUmi;^ Comme l'application Ç -? r\ est (à z fixé) une isométrie de (T2X, co) sur Cn, il vient : 1 f , v Y I "H (*> u) (8.13) cpe(z)== cp(w)xM ^-^_ ^(TJ). ^8 - Ju=(uk)eC- \ 8 / | T] |2 = | r| (z, w) |2 étant de classe C00 par rapport à (z, w), on voit que cpe est de classe C00 sur tout compact, dès que s est assez petit. Nous aurons besoin de l'estimation suivante des valeurs moyennes de (p. Lemme 8.3. -Il existe une constante Cx telle que pour tout z voisin de 0 et tout z assez petit, on ait : £-2n f |cp(t/)|^(w)^C1Log-. J|U-Z|<8 £ Démonstration. - Soit B une boule {| u | ^ 2 a} contenue dans V (cf. lemme 8.2). Quitte à ajouter une fonction de classe C2 convenable à (p, on peut supposer cp plurisousharmo-nique ^0 sur B. La valeur moyenne : |l(8) = 8" (p(u)dk(u) \u-z\-y<6> ^{a)Jï\*Ji Logoc-Loge \e J \e avec : -

^4 Ce2 (pMx'^-KM + oTe1-2" «|<2e |(p(w)| dk(u) Compte tenu du lemme 8.3 et de l'uniformité des estimations O (?) (cf. lemme 8.2), il suffira de prouver les inégalités : (0)-Cie (8.17) Pour simplifier, on écrira désormais % au lieu de % (|r|(z, w)|2/e2), et de même les notations %\ %",%'" désigneront les valeurs de ces fonctions au point |r|(z, w)|2/s2. Comme la («, «)-formex'd^(r|) est réelle, on a : (8.20) X =- m'dk(r\))slSm -sCé-è)^^."1'*""»"7- Après permutation des indices, l'égalité (8.12) s'écrit [cf. (8.4)] : Tîk-fk-2 X ^PKMfc^i/p + x'.0(M + |z|)2 k, P Comme : (é-i)h|2=-2î;m+0(|M|+|z|)3' il vient : 3 3 \ / 5 3 ^ 3Mm/VÔZ, OU, x'f^K(n) = dk(u) K- e ^(p^uzp+tg+V-0(|u|+|z|)5 11 ;. *. ? fc + 7rEc^p^(^ + "P) + 27rZc^^mMp+^.0(|M| + |z|)3 b 7, P fc k, P fc + X,TJckklm + x'.0(\u\ + \z\ Au point z = 0 (c'est-à-dire au point a), cette dernière expression est égale à : dk(u)\ :-- Zckk^mwp + x'Xckk*m + 0(e) 8^ *>P soit encore, par un calcul aisé : d2 _ s2 p VUpCUm j,k k jjc OUjdUk 4e SÉRIE - TOME 15 - 1982 - N°3 FIBRES HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 501 L'égalité (8.20) nous donne en définitive aujDoint z = 0 : hm\dzldzm du^Un (x'dMr|))^" --dk(u)Re £ ot a- [x'YiCjklpuJuk + e2%YickklJslsn l, m, p 0Up 0Um j, k k ?^(") Z 7TX- (s2 X cjkZm) ^sm + O (e) | .v |2 dX. (m) Étape 3. - Intégration par parties. La dernière égalité obtenue à l'étape 2 entraîne après intégration par parties : /.m CZlCZm Ce 2« Re d2cp iTTJ. 5m/5m. -S/S, (8.21) d2

(u)Q{z2 + \u\2)\s\2 dk(u), u|<2e ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 502 J.-P. DEMAILLY donc ce terme est majoré par O (s2 Log (1 /s) | s |2 en vertu du lemme 8.3. Enfin si on remplace X ( I r| 12/s2) par x ( I m 12/s2) dans l'intégrale (8.22), on introduit un nouveau terme d'erreur qui est majoré par O (s2 Log (l/s)|s|2. Le lemme 8.5 est démontré. ? Nous allons maintenant estimer les différents termes qui apparaissent dans l'expression de id! d" cpe telle qu'elle est donnée dans le lemme 8.5. Nous commencerons par l'étude du terme de courbure. On désigne par x (a) la plus petitef« valeur propre » du tenseur de courbure {il2 n) c (TX) au point a, définie par : x(a)=±- inf cJklmtâMm= inf ±- c(TX)(Ç ® Ç, Ç ® \\ Z7lKIH^I = i IU=l^l = i Z71 On pose x _ (a) = sup (0, - x (a)). Comme (p est localement somme d'une fonction de classe C2 et d'une fonction plurisousharmonique, on peut d'autre part considérer le nombre de Lelong : v(cp;a)=lim ^ 2n_2 £ ^ O Z71 b A(p(u)dk(u), U\<£ de cp au pointu. Il est classique que v(cp; a) est une fonction ^0 et semi-continue supérieurement de la variable a. Lemme 8.6. - // existe une constante C4 ayant les propriétés suivantes. On pose : M A;a;e)= x 'j |t*|<8 Des calculs élémentaires montrent que : (8.28) Acp(u)x dk{u) = A(p(u)dk(u) t> |u|/e 2tx'{t2)dt 2tx'(t2)dt \u\ ' La quantité v(cp; a; e) définie par (8.27) est fonction croissante de 8 et tend vers v(; (9.3) y.^0; (9.34)y£ tend vers (id''d"(p)c presque partout sur X quand & tend vers zéro; (9.35)Xe tend vers zéro presque par tou t sur X (plus précisémen t en tou tpointaeXoù le nombre de Lelong v((p; a) est nul); (9.36)Si v (cp; a) = 0 pour tout aeX (en particulier si cp est localement bornée) Xe converge uniformément vers zéro sur tout compact de X. Démonstration. - Soit v|/ une fonction exhaustive de classe C00 sur X, à croissance suffisamment rapide pour que la fonction cpe définie par (8.2) soit de classe C00 au voisinage du compact {zeX; \|/(z)^l/s}. Soit p une fonction numérique de classe C00, telle que 0 ^ p ^ 1, avec p (t) =1 si t^1 /2 et p (t) = 0 si t^ 1. La fonction cpe (z) p (e\|/ (z)) est donc définie et de classe C00 sur X tout entier. Le lemme 8.4 montre de plus qu'il existe des fonctions continues C2>0, C3>0 sur X telles que pour tout 8 on ait : cp8 (z) p (e\|/ (z)) ^

sup (C2, C3). On pose : (9.8) 9£(z) = (p£(^)p(^W) + C5(z)82('Log|+l Les inégalités (9.7) entraînent que : $E(z)>cp(z) et . ^>0. D'autre part, la semi-continuité supérieure de cp implique : lim supcpe(z) = lim supcpe(z)^(p(z), 8 -+ 0 8^0 ce qui démontre (9.1). 4e SÉRIE - TOME 15 - 1982 - N°3 FIBRES HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 505 Il nous reste à démontrer les propriétés (9.2) à (9.6) en construisant les formes y8 et les fonctions À,£, X. D'après (9.8) il suffit de raisonner pour cpe. On observe aussi qu'il suffit de construire y8, XB9 X localement, sur un voisinage V d'un point quelconque a0 e X. On recollera ensuite les différentes formes et fonctions au moyen d'une partition de l'unité. D'après la proposition 8.5 et le lemme 8.6 la fonction (8.24) : A(Px(-^)^(w) + C6eLog- sera croissante en s et aura les propriétés (9.2), (9.5) requises pourvu que la constante C6 soit assez grande. L'affirmation (9.6) résulte tout simplement du théorème de Dini. Quant à la forme ye, elle proviendra du premier terme dans le second membre de l'égalité de la proposition 8.5. Soit en effet : la décomposition de Lebesgue du (1, l)-courant d'ordre 0 id' d" cp. La partie singulière y' est un courant ^ 0, tandis que la partie absolument continue y vérifie par hypothèse l'inégalité y^0. On pose : y*(*> *)= c^r jEY,,(«)^^x,(|Tl(0e2")|2)^(") (où y = / £ y lm dux dum), de sorte que (9.2) est bien vérifié. Puisque y est à coefficients y lm e L£c, le théorème de Lebesgue montre que ye tend vers y presque partout sur X. Ceci prouve (9.4). L'hypothèse y ^ 0 implique d'autre part : Grâce à la continuité de 0, le second membre converge uniformément vers 0(s, s) lorsque s tend vers zéro. Quitte à remplacer y8 par y8 + a (e) co et Xe par Xe + a (s) [avec lim î a (e) = 0], £ -+ 0 toutes les propriétés (9.1 ) à (9.6) sont vérifiées, y compris (9.3). D Remarque 9.2. - Plus généralement, soit 0 une (1, l)-forme continue à valeurs dans le fibré Herm(E, E) des endomorphismes hermitiens d'un fibré hermitien E. On suppose id'd"cp(x)IdE^s0. Alors le théorème 9.1 est vrai en remplaçant (9.3) par : (9.9) y£®IdE^s0. Pour établir les propriétés (5.1) à (5.6) relatives à l'approximation de ic(E, (p) = iç(E) + i(d'd"q>)c, on choisira 0= -/c(E). D Lorsque cp est plurisousharmonique, il est possible de donner un énoncé plus simple. ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 506 J.-P. DEMAILLY Corollaire 9.3. - Soit cp une fonction plurisousharmonique sur X. 77 existe une suite décroissante (cpv) de fonctions de classe C00 et une suite (Xv) de fonctions continues ^0 sur X telles que : (9.10) limi cpv = q>, v -> + 00 (9.11) K/'rf"q>v^-A,va>, (9.12) À,v converge uniformément vers zéro sur tout compact de X. Démonstration. - On applique le théorème 9.1 avec 0 = 0. La convergence uniforme de Xv n'est obtenue a priori que si (p est localement bornée. On remplace donc cp par sup ((p, - v) et on prend pour cpv une fonction de classe C00 qui approche sup (cp, - v). Il est clair qu'on peut s'arranger pour que la suitecpv soit décroissante et pour que les conditions (9.10), (9.11), (9.12) soient réalisées. ? Le résultat suivant est relatif à l'approximation des fonctions plurisousharmoniques exhaustives, et constitue un maillon essentiel dans la preuve de la proposition 1.3. Théorème 9.4. - Soit (X, co) une variété kàhlériennefaiblementpseudoconvexe et cp une fonction plurisousharmonique exhaustive sur X. Il existe des fonctions continues m, M exhaustives sur X, telles que 00 sur X, on peut trouver une fonction \|/ de classe C00 sur X, telle que m^y\f^Met id' ûT\|/^ -X(ù. Démonstration. - Nous supposerons (p ^ 1 [sinon il suffit de remplacer (p par sup (cp,l)]. Pour tout réel c^0, on désigne par X(c) l'ouvert {zeX; cp(z)(z) --tao en tout point zeX(c3v + 5), (9.15) 9v(^)^^v(^)0>y\fv(z). Pour pouvoir exploiter (9.16), nous définirons av par récurrence en posant : (9.18) av(^3v+l-^3v) = 2av-l(^3v+3-^3v-3) de sorte que : (9.19) ocv(c3v+1-C3V)>2av_1(c3v_2-C3V_3)> ... >2voc0(c1-c0)>2v. L'idée est de recoller les fonctions \|/v pour obtenir une fonction \|/ qui satisfasse aux exigences du théorème 9.4. Soit Xi une fonction ^0 de classe C00 sur U, à support dans l'intervalle [0,2], telle que .Xi(2-0 = Xi(0et X1(t)dt = l. Il vient : (9.20) t%1{t)dt = {2-t)xAt)dt = Xl(t)dt = l. On « interpole » entre v|/v_1 et \|/v en posant : (9.21) *K(s) sup(/\|/v_1(z), v|/v(z))xi(0^- Les inégalités (9.16) et l'égalité (9.18) entraînent : \|/; = \|/v au voisinage de X(c3v + 2) \ X(c3v + 1), tandis que (9.17) et (9.20) impliquent : \K = ^v-i au voisinage de X(c3v_1) \ X(c3v_2). Il est donc légitime de poser : \|/ = \|/0 sur X(c2), \|/ = \|/v sur X(c3v + 2)\X(c3v+1), v^l, \|/ = \|/; sur X(c3x+1)\X(c3v_1), v^l. Le changement de variable w=/\|/v_1(z)-\|/v(z) dans l'intégrale (9.11) donne : 'm4-\|/v(z)\ du *; (*)=*,(*)+ ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 508 J.-P. DEMAILLY \\f'v est donc de classe C00 sur l'ouvert X(c3v+1 J\X(c3v_1), car sur cet ouvert on a d'après (9.16) et (9.19) : (9-23) \|/v_1^(pv_1^av_1(c3v_2-c3v_3)>2v-1. Par conséquent v|/ est de classe C00 sur X. Les lignes (9.15) et (9.22) montrent l'existence de la fonction continue M. De plus : ^ = ^0^90 = 9^1 sur X(c2), x|/ = x|/v»2v sur X(c3v + 2)\X(c3v+1) [cf. (9.16), (9.19)], v|/ = v|/'v^v|/v. 1>2-1 sur X(c3v+1)\X(^rj [cf. (9.20), (9.21) et (9.23)]. Il en résulte l'existence d'une fonction continue exhaustive m ayant les propriétés annoncées. Il nous reste seulement à montrer que id' d"\|/^ - X®. D'après (9.14) et (9.22), il suffira d'étudier le cas de la fonction\\f'v. Soit z0eX(c3v+5) un point fixé de X et |i une fonction de classe C2 au voisinage de z0 telle que id' d" \i = X (z0) cd au point z0. (9.14) montre que \|/v + |i et ty\rv_l + [i, O^t^l sont p.s.h. sur un voisinage de z0 indépendant de t. Par conséquent : >K+n= sup(r\|/v_1 + |i, \|/v + u)Xi(0^ est p.s.h. au voisinage de z0, et id'd"\\f'v^ -Xco en z0. D Le prochain énoncé fait intervenir la notion de stricte plurisousharmonicité pour une fonction non nécessairement de classe C2. Par définition, une fonction plurisousharmonique cp sera dite strictement p.s.h. si le courant id' d" cp est minoré par une (1,1 )-forme continue 0 > 0, ce qui revient à dire que cp est localement somme d'une fonction p.s.h. et d'une fonction strictement p.s.h. de classe C2. Corollaire 9.5.- Dans le théorème 9 A, on suppose déplus que cp est strictement p.s.h. en dehors d'un compact K de X. Alors il existe une fonction p. s h. \|/ de classe C00, exhaustive sur X et strictement p.s.h. en dehors d'un compact de X. Démonstration. - Reprenons en détail la construction du théorème 9.4. On peut trouver un compact Kx et des fonctions\|/v de classeC°° vérifiant (9.14), (9.15) ainsi que la condition : id'd"\\fv>0 en tout point zgX(c3v + 5)\K1. Le reste du raisonnement montre alors que \|/ est strictement p.s.h. en dehors de K1. Pour rendre \|/ p.s.h. sur X tout entier on choisit>un réel osupxl/^J et on remplace\|/ par la fonction C00 : *(*) = sup(c+^,^(z))x1(0^ = ^(^) + o u Xi (u + \|/ (z) - c) du. o 4e SÉRIE - TOME 15 - 1982 - N°3 FIBRES HOLOMORPHES SEMI-POSITIFS 509 Il est clair que \j/ est p.s.h. sur X, et égale à v|/ donc strictement p.s.h. en dehors de K2 = \|/"1(]-oo,c + 2]). D Le théorème 9.1 permet aussi de retrouver dans le cas particulier des variétés kâhlériennes les résultats de R. Greene et H. Wu sur l'approximation des fonctions plurisousharmoniques continues. Corollaire 9.6 (R. Greene et H. Wu [11]). - Soit G une (1,1 )-forme réelle continue et cp une fonction continue sur X telle que id' d" (p ^ G. Alors pour toute fonction continue X > 0 sur X, il existe une fonction (p de classe C00 sur X telle que : (p<\|/ [0, + oo[ une fonction exhaustive de classe C00 sur X; on pose X(c) = { zeX; p(z)^v, i(z) lorsque p(z) = v-l, /eSuppXi^tl/^, 3/2], car (1/2)8V_1>8V>8V+1, Il en résulte que : \|/v = \|/v x au voisinage du compact { p = v}, r +00 ^v-i,tX2(0 et : A 1 2'2 par suite cp (z) < v|/ (z) = \|/v (z) < (p (z) + 2 sv _ 1. La condition (p < \|/ < (p + X sera donc réalisée dès que les réels 8V sont choisis assez petits. De plus, il est clair d'après (9.24), (9.25) et (9.26) qu'on peut faire en sorte que W J"\|/^6 - Xco. P Remarque 9.1. - N. Sibony m'a communiqué un exemple simple montrant que le corollaire 9.6 n'a pas d'analogue si l'on ne suppose pas que (p est continue. Ainsi, soit a une fonction sousharmonique dans C telle que a (zv) = - oo pour une suite dense {zv} c C. On considère dans C2 la fonction strictement p.s.h. : cp ( z, m; ) = a ( z ) +1 o g | w | +1 z |2 +1 w |2, et l'ouvert de Stein X = {(z, io)eC2; cp(z, w)<0}. Alors il est impossible de trouver une fonction p.s.h. v|/ continue sur X telle que cp <\|/<0. Une telle fonction \|/ serait en effet constante sur chacune des droites {zv}xCetCx{0} contenues dans X. D'après la continuité de \|/ et la densité de la suite {zv}, \|/ serait une constante C. On aurait donc cp< c<0 sur X, ce qui est impossible. BIBLIOGRAPHIE [1] C. A. Berenstein and B. A. Taylor, Interpolation Problems in C" with Applications to Harmonie Analysis (à paraître au Journal d'Analyse Math, de Jérusalem). [2] E. Bombieri, Algebraic Valuesof MeromorphicMaps(Invent. Math., vol. 10,p. 267-287,1970et 11,p. 163-166, 1970). [3] J. Briançon, Sur la clôture intégrale dun idéal de germes de fonctions holomorphes en un point de C"; preprint de l'Université de Nice, février 1974 (non publié). [4] J. Briançon et H. 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